Ειδικά Θέματα Οικονομετρίας-Χρονολογικές Σειρές

Transcript

1 Ειδικά Θέματα Οικονομετρίας-Χρονολογικές Σειρές Γεώργιος Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ειδικά Θέματα Οικονομετρίας(ΕΘΟΟ 331)

2 Περιγραφή 1 Εισαγωγή Χρονολογικές Σειρές Εξετάζοντας Αυτοσυσχέτιση Στασιμότητα Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα 2 Υποδείγματα Χρονολογικές Σειρών Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Υποδείγματα Κινητών Μέσων Μικτά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων Εποχικά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων 3 Μεθοδολογία Box-Jenkins Υποδείγματα ARIMA Box-Jenkins 4 ιρών Προβλέψεις με ARMA υποδείγματα Μέτρα Αξιολόγησης Προβλέψεων 5 Βιβλιογραφία

4 Χρονολογικές Σειρές Χρονολογικές Σειρές Τι είναι οι χρονολογικές σειρές; Αποτελούν μια ακολουθία διαχρονικών παρατηρήσεων(παρ: y 1, y 2,..., y T )ηοποίαπαρουσιαζειπιθανήσυσχέτηση. Παράδειγματα Παράδειγμα Α: Πως η απόδοση μιας μετοχής επηρεάζεται από τις διαχρονικές της τιμές. Παράδειγμα Β: Πως ο αριθμός των αεροπορικών επιβατών επηρεάζεται από τις διαχρονικές του τιμές. Παράδειγμα Γ: Πως η μέση θερμοκρασία στο Παρίσι επηρεάζεται από τις διαχρονικές της τιμές.

5 Χρονολογικές Σειρές Στόχοι της Ανάλυσης Χρονολογικών Σειρών Τί κάνουμε στη πράξη; 1 Ενσωμάτωση της μεταβλητικότητας μιας χρονολογικής σειράς μέσω ενός υποδείγματος χρονολογικώς σειρών 2 Η ενσωμάτωση πραγματοποιείται με τη λογική του μαύρου κουτιού (Black Box) 3 Επιλέγουμε το υπόδειγμα που επιτυγχάνει τη καλύτερη δυνατή ενσωμάτωση με τις λιγότερες μεταβλητές 4 Αφου το επιτύχουμε αυτό. Πραγματοποιούμε μελλοντικές προβλέψεις μέσω του υποδείγματος το οποίο έχουμε επιλέξει

10 Εξετάζοντας Αυτοσυσχέτιση Αυτοσυσχέτιση Ορισμός Στις χρονολογικές σειρές η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μετρά το διαχρονικό βαθμό συμμεταβολής μιας χρονολογικής σειράς σε σχέση με τηνίδιατησειράστον k-βαθμόυστέρησης. όπου Cov(k) = Αυτοσυνδιακύμανση r(k) = Cov(k) S 2 y 1 T k 1 T (y t ȳ)(y t k ȳ) t=k+1

11 Εξετάζοντας Αυτοσυσχέτιση Ελεγχος Portmanteau Portmanteau test Είναι ένας εναλλακτικός έλεγχος αυτοσυσχέτισης κατά τον οποίο εξετάζουμε όλες τις τιμές r(k) ταυτόχρονα. Σύμφωνα με αυτόν ελέγχουμε εαν οι r(k) στο σύνολο είναι σημαντικά διάφορες του μηδενός. h Q = T r(k) 2 χ 2 h m k=1 Το Box-Pierce Q-test, όπου h mοιβαθμοίελευθερίας,με hτιςυστερήσειςπουυποθέσαμε, π.χ.30και mτοναριθμότ νπαραμέτρωντουεκτιμόμενουυποδείγματος μας.

12 Εξετάζοντας Αυτοσυσχέτιση Αναγνωρίζοντας Εποχικότητα Ορισμός Η ύπαρξη εποχικότητας αναγνωρίζεται ως ένα φαινόμενο επαναλαμβανόμενων σε μέγεθος τιμών σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Παράδειγμα Α: Μέγιστες και ελάχιστες τιμές αεροπορικών επιβατών. Παράδειγμα Β: Ελάχιστες τιμές θερμοκρασίας στο Παρίσι. Διάγνωση Εποχικότηταστις r(k). Εποχικότητα στην απεικόνηση των δεδομένων μέσω γραφήματος.

13 Στασιμότητα Στασιμότητα Ορισμός Μιαχρονολογικήσειράείναιστάσιμηότανημέσητηςτιμήκαιη διακύμανση δεν επηρεάζονται από τον χρόνο. Ενώ η συνδιακύμανση μεταξύ των τιμών της σε δύο διαδοχικά χρονικά σημεία εξαρτάται μόνο αποτηναπόστασηανάμεσασταχρονικάσημεία,καιόχιαπότονίδιοτο χρόνο. Μαθηματικά αυτό ισχύει όταν: E(y t ) = µ y V(y t ) = E(y t E(y t )) 2 = σ 2 y Cov(y t, y t k ) = E(y t E(y t ))(y t k E(y t k )) = γ k

14 Στασιμότητα Αυτοσυνδιακύμανση ή Αυτοσχέτιση Ορισμός Αυτοσυνδιακύμανση Αυτοσυνδιακύμανση(Autocovariance) ορίζεται ώς η συνδιακύμανση μεταξύ δύο χρονικών περιόδων μιας χρονολογικής σειράς που βρίσκονται σε κάποια χρονική απόσταση k μεταξύ τους. Cov(y t, y t k ) = E(y t E(y t ))(y t k E(y t k )) = γ k, k 0 Ορισμός Αυτοσχέτισης Αυτοσυσχέτιση(Autocorrelation) ορίζεται ώς ο λόγος της συνδιακύμανσης μεταξύ δύο χρονικών περιόδων μιας χρονολογικής σειράς προς το γινόμενο των τυπικών τους αποκλίσεων. r(k) = Cov(y t, y t k ) S 2 y

15 Στασιμότητα Αυτοσυνδιακύμανση ή Αυτοσχέτιση(συνεχ.) Αυτή εκφράζεται ως: r(k) = γ T k t=k+1 = (y t ȳ)(y t k ȳ) γ T 0 t=k+1 (y t ȳ) 2 Παρατήρηση: Ηδιαγραμματικήαπεικόνησητωντιμώντης ρ k γιαδιάφορεςτιμέςτης k καλείται συνάρτηση αυτοσυσχέτισης(autocorrelation function (ACF), Correlogram).

16 Στασιμότητα Η Συνάρτηση Αυτοσχέτισης μέσω Η/Υ 1 Δημιουργία επιφάνεια εργασιας: File/New/Workfile/Select data type 2 Εισαγωγήδεδομένωνσεμορφή txtήexcel File/Import/Read text-lotus-excel 3 Άνοιξε τη χρονολογική σειρά δεξί click 4 Παρουσίαση Κορελογράμματος View/Correlogram

20 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Ελεγχος Στασιμότητα Άτυπος Ελεγχος Από απεικόνηση των δεδομένων μέσω γραφηματος φαίνονται μεταβολές στο μέσο ή/και στη διακύμανση.. Ησυνάρτηση r(k)είναιυψηλή(άνωτου 0.4)καιθετικήγιαμεγάλο βαθμό υστέρησης.

21 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Ελεγχος Στασιμότητα Dickey-Fuller Ο Ελεγχος Εστωχρονολογικήσειρά y 1, y 2,..., y T,τηνοποίαθέλουμενα ελέγξουμε ως προς τη στασιμότητα της. Ενας τρόπος ελέγχου στασιμότητας είναι αυτός των Dickey-Fuller. Ετσι, εαν προσδιορίσουμε το υπόδειγμα: y t = βy t 1 + ǫ t y t y t 1 = βy t 1 y t 1 + ǫ t y t = δy t 1 + ǫ t Ο έλεγχος για την στασιμότητα της σειράς ισοδυναμεί με τον έλεγχο: H 0 : δ = 0 H 1 : δ < 0, όπου δ = β 1.

22 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Ελεγχος Στασιμότητας Dickey-Fuller στη πράξη Δεδομένα: AirPassengers.XLS y = χρονοσειρά αριθμόυ αεροπορικών επιβατών Ελεγχος Στασιμότητα μέσω Η/Υ 1 Δημιουργία επιφάνεια εργασιας & Εισαγωγη δεδομένων 2 Άνοιξε τη σειρά δεδομένων χρησιμοποιώντας δεξί click 3 Ελεγχος Στασιμότητα Dickey-Fuller Δεδομένου απιπέδου σημαντικότητας ααποδεχόμαστετην H 0 (μη-στασιμότητα)όταν t t α όπου t α κριτικήτιμή.σεαντίθετηπερίπτωση (t < t α ) δεχόμαστε την ύπαρχη στασιμότητας της σειράς. Μέσω Eviews: View/Unit Root Test

25 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Αντιμετώπηση Μη-Στασιμότητας στη πράξη Στάδια δημιουργίας στάσιμης σειράς(μη-εποχικής) 1 Δημιουργία δεδομένων πρώτης διαφοράς y t = y t y t 1 2 ΆτυποςκαιΣτατιστικός ΕλεγχοςΣτασιμότηταςγιατη y t μέσω: r(k), Box-Pierce, Dickey-Fuller Αν y t Στάσιμη, Τέλος διαδικασίας Αν y t Μη-Στάσιμη,παίρνουμετη y t = y t y t 1και επανελέγχουμε...εως ότου επιτύχουμε στασιμότητα Οπου: y t = y t 2y t 1 + y t 2

28 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Αντιμετώπηση Μη-Στασιμότητας στη πράξη Στάδια δημιουργίας στάσιμης σειράς(εποχικής) 1 Δημιουργία νέων δεδομένων για μηνιαία δεδομένα(s = 12) y t = y t y t 12 2 ΆτυποςκαιΣτατιστικός ΕλεγχοςΣτασιμότηταςγιατη y t μέσω: r(k), Box-Pierce, Dickey-Fuller Αν y t Αν y t Στάσιμη, Τέλος διαδικασίας Μη-Στάσιμη,παίρνουμετη yt = y t y t 1και επανελέγχουμε...εως ότου επιτύχουμε στασιμότητα Οπου: y t = y t y t 1 y t 12 + y 13

31 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Αντιμετώπηση Μη-Στασιμότητας στη πράξη Χρήσιμοι Συμβολισμοί Ηπρώτηδιαφορα: By t = y t 1 Ηδεύτερηδιαφορα: B(By t ) = B 2 y t = y t 2 y t = y t y t 1 = y t By t = (1 B)y t y t = y t 2y t 1 + y t 2 = (1 2B + B 2 )y t = (1 B) 2 y t Η d-διαφορά (1 B) d y t Εποχική s = 12διαφοράμαζίμεπρώτηδιαφορά (1 B)(1 B s )y t (1 B)(1 B s )y t = (1 B B s +B s+1 )y t = y t y t 1 y t s +y t s 1

32 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα Ι: Ανάλυση Χρονολογικής Σειράς Τιμών μιας μετοχής Στόχοι της Ανάλυση Χρονολογικής Σειράς 1 Εύρεση αρίστου υποδείγματος 2 Πρόβλεψη μελλοντικών τιμών της χρονολογικής σειράς Δεδομένα: DowJones.Util.Index.xls 1 Στάδιο Ι: Ελεγχος Στασιμότητας 2 Στάδιο ΙΙ: Εύρεση αρίστου υποδείγματος και Πρόβλεψη

35 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα Ι(συν.) Ημερήσιες τιμές κλεισίματος του δείκτη DowJones Utility index DOW

36 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα Ι(συν.) Μετασχηματισμός των δεδομένων σε ημερήσιες αποδόσεις DLOGDOW

37 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα Ι(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-acf των ημερήσεων αποδόσεων file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/dow.acf.dlog.htm Date: 12/02/06 Time: 14:03 Sample: 1 78 Included observations: 77 AutocorrelationPartial Correlation AC PAC Q-Stat Prob. ***. *** **. * * **. * * *.. * * * *.. * * *.. ** * *. ** *..* *.. ** * * * *. ** * *..* ** **..* **.. * * *..* *

38 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα Ι(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-df των ημερήσεων αποδόσεων file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/dow.df.dlog.htm Null Hypothesis: DLOGDOW has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DLOGDOW) Method: Least Squares Date: 12/02/06 Time: 14:02 Sample (adjusted): 3 78 Included observations: 76 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. DLOGDOW(-1) C R-squared Mean dependent var-5.36e-05 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

39 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ: Ανάλυση Χρονολογικής Σειράς Αεροπορικών Επιβατών Στόχοι της Ανάλυση Χρονολογικής Σειράς 1 Εύρεση αρίστου υποδείγματος 2 Πρόβλεψη μελλοντικών τιμών της χρονολογικής σειράς Δεδομένα: AirPassengers.XLS 1 Στάδιο Ι: Ελεγχος Στασιμότητας 2 Στάδιο ΙΙ: Εύρεση αρίστου υποδείγματος και Πρόβλεψη

42 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ: Ανάλυση Χρονολογικής Σειράς Αεροπορικών Επιβατών Ερωτήματα 1 Να γίνει η διαγραμματική απεικόνηση της χρονολογικής σειράς. Είναι στάσιμη; 2 Παρουσιάζει η εν λόγω σειρά εποχικότητα; Εαν ναι, ποιά τιμή παίρνειτο s 3 Τίπληροφορίαμαςδίνειηr(k)γιαταδεδομέναμας; 4 Ποιά στάδια απολουθείτε προκειμένου να κάνετε τη σειρά σας στάσιμη; 5 Διατυπώστε και πραγματοποιείστε τους ελέγχους Box-Pierce, Dickey-Fuller στη πράξη

48 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Μηνιαίες τιμές αεροπορικών επιβατών AIRPASS

49 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-acf των μηνιαίων τιμών αεροπορικών επιβατών file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/air.acf.htm Date: 12/01/06 Time: 15:46 Sample: Included observations: 144 AutocorrelationPartial Correlation AC PAC Q-Stat Prob. *******. ******* ******* ** ****** ******. * ******. * ***** *****. * *****. * *****. ** *****. * ******. * ****** * ***** **** ***** ****. * **** **** ****. * *** *** *** **** * **** **** **** * *** ***. * *** ** ** ** ** ** ** ** *** file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/air.acf.htm2/12/2006 2:05:10

50 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-df των μηνιαίων τιμών αεροπορικών επιβατών file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/air.df.htm Null Hypothesis: AIR has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 4 (Automatic based on SIC, MAXLAG=5) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(AIR) Method: Least Squares Date: 12/02/06 Time: 13:40 Sample (adjusted): Included observations: 139 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AIR(-1) D(AIR(-1)) D(AIR(-2)) D(AIR(-3)) D(AIR(-4)) C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

51 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Μετασχηματισμός των δεδομένων σε μηνιαίες διαφορές D12AIR

52 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-acf των δεδομένων σε δωδεκάμηνες διαφορές file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/air.acf.d12.htm Date: 12/02/06 Time: 20:36 Sample: Included observations: 132 AutocorrelationPartial Correlation AC PAC Q-Stat Prob. ******. ****** *****. ** **** * *** ***. * ** ** * * *. * ** * *. * * *. * * ** **. * ** *.. * * ** * * *. * *. * * * * * *.. * *

53 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-df των δεδομένων σε μηνιαίες διαφορές file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/air.df.d12.htm Null Hypothesis: D12AIR has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(D12AIR) Method: Least Squares Date: 12/02/06 Time: 13:39 Sample (adjusted): Included observations: 130 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D12AIR(-1) D(D12AIR(-1)) C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

54 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Μετασχηματισμός των δεδομένων στην πρώτη διαφορα των μηνιαίων διαφορών DD12AIR

55 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-acf των δεδομένων στην πρώτη διαφορα των μηνιαίων file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/air.acf.dd12.htm Date: 12/02/06 Time: 13:45 Sample: Included observations: 131 AutocorrelationPartial Correlation AC PAC Q-Stat Prob **. ** * *. * *. * * *. * *. * *. * * *. * * *. * *. * *. ** *. ** **. * * * * * *. * * * *. *

56 Αναγνωρίζοντας Μη-Στασιμότητα Παράδειγμα ΙΙ(συν.) Ελεγχος στασιμότητας-df των δεδομένων στην πρώτη διαφορα των μηνιαίων file:///c /Documents and Settings/user/Τα γγραφ ου/air.df.dd12.htm Null Hypothesis: DD12AIR has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=12) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DD12AIR) Method: Least Squares Date: 12/02/06 Time: 13:43 Sample (adjusted): Included observations: 130 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. DD12AIR(-1) C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

58 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα(AR(p)) Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα(AR(p)) Στη γενική του μορφή το Αυτοπαλίνδρομο Υποδείγμα AR(p), εκφράζεται ως: y t = α + β 1 y t β p y t p + ǫ t όπουοιπαράμετροι α, β 1,...,β p είναιπροςεκτίμηση,ενώ ǫ t εκφράζει τονδιαταρακτικόόρο(ήσφάλμα),γιατοοποίουποθέτουμε E(ǫ t ) = 0, και V(ǫ t ) = σ 2 σταθερή.επίσηςέχειμηδενικήαυτοσυσχέτισημε E(ǫ t, ǫ t+k ) = 0για k t.

59 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα πρώτης τάξης(ar(1)) Για p = 1και α = 0,έχουμετοΑυτοπαλίνδρομοΥποδείγμαπρώτου βαθμού, έτσι ώστε: y t = βy t 1 + ǫ t Συνθήκες Στασιμότητας,(AR(1), α = 0) y t = β[βy t 2 + ǫ t 1 ] + ǫ t = β 2 y t 2 + βǫ t 1 + ǫ t = β 3 y t 3 + β 2 ǫ t 2 + βǫ t 1 + ǫ t = = T 1 β T y 0 + ǫ t + βǫ t 1 + β 2 ǫ t 2 + = β T y 0 + β k ǫ t k όπουισχύει E(y t ) = β T y 0. k=0

60 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα πρώτης τάξης(ar(1)) Συνθήκες Στασιμότητας,(AR(1), α = 0)(συνεχ.) V(y t ) = E(Y 2 t ) = E(ǫ t + βǫ t 1 + β 2 ǫ t 2 + ) 2 = E(ǫ t ) 2 + β 2 E(ǫ 2 t 1) + β 4 E(ǫ t 2 ) 2 + = σ 2 (1 + β 2 + β 4 + ). δεδομένησηςτης σ 2 σταθερήςγιανασυγκλίνειηδιακύμανσηπρέπει β < 1. Στη περίπτωση στασιμότητας(σταθεση μέση τιμή και διακύμανση), η διακύμανσητης y t παίρνειτημορφή, V(y t ) = σ2 1 β 2 = γ 0

61 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Συνθήκες Στασιμότητας,(AR(1), α = 0)(συνεχ.) Ας δούμε λεπτομερώς πως διαμορφώνονται οι αυτοσυνδιακυμάνση και η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. γ 1 = E(y t, y t 1 ) = E[y t 1 (βy t 1 + ǫ t )] = E(y 2 t 1 ) + E(y 2 t 1 ǫ t) = βγ 0 γ 2 = E(y t, y t 2 ) = E[y t 2 (βy t 1 + ǫ t )] = βe(y t 2 y t 1 ) = βγ 1 = β 2 γ 0 γ k = β k γ 0 Άρα r(k) = γ k γ 0 = β k.επομένωςγιαναέχουμεστάσιμηχρονολογική σειράπρέπειναισχύειότι β < 1.

62 Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Υποδείγματα δεύτερης τάξης(ar(2)) Για p = 2, έχουμε το Αυτοπαλίνδρομο Υποδείγμα δεύτερης τάξης, έτσι ώστε y t = α + β 1 y t 1 + β 2 y t 2 + ǫ t ήγιαχρονολογικήσειρά y t μεμέσομηδέν,έχουμε y t = β 1 y t 1 + β 2 y t 2 + ǫ t Συνθήκες Στασιμότητας,(AR(2)) β 2 + β 1 < 1 β 2 β 1 < 1 β 2 < 1

63 Υποδείγματα Κινητών Μέσων Υποδείγματα Κινητών Μέσων(MA(q)) Υποδείγματα Κινητών Μέσων(MA(q)) Στη γενική του μορφή το υποδείγματα κινητών μέσων(ma(q)), εκφράζεται ως: y t = µ + ǫ t θ 1 ǫ t 1 θ q ǫ t q όπουοιπαράμετροι µ, θ 1,..., θ q είναιπροςεκτίμηση,ενώ ǫ t εκφράζει τον διαταρακτικό όρο(ή σφάλμα) που είναι λευκός θόρυβος, δηλαδή ισχύει E(ǫ t ) = 0, V(ǫ t ) = σ 2 σταθερή,καιμηδενικήαυτοσυσχέτισημε E(ǫ t, ǫ t+k ) = 0για k t.

64 Υποδείγματα Κινητών Μέσων Υποδείγμα Κινητών Μέσων πρώτης τάξης(ma(1)) Για q = 1,έχουμετουποδείγμακινητώνμέσωνπρώτηςτάξης,έτσι ώστε y t = µ + ǫ t θ 1 ǫ t 1 Ιδιότητες και Συνθήκες Στασιμότητας,(MA(1), µ = 0) E(y t ) = 0 V(y t ) = V(µ + ǫ t θ 1 ǫ t 1 ) = σ 2 (1 + θ 2 1) = γ 0 γ 1 = E(y t, y t 1 ) = E[(ǫ t θ 1 ǫ t 1 )(ǫ t 1 θ 1 ǫ t 2 )] = θe(ǫ 2 t 1) = θσ 2 γ k = E(y t, y t k ) = E[y t (ǫ t k θ 1 ǫ t k 1 ) = 0, k > 1 Άρα ρ k = γ k γ 0 = θ 1+θ 2 για k = 1και 0για k > 1.Επομένωςγιατην MA(1), σε αντίθεση με ότι συμβαίνει με τα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα, έχει μνήμη μιάς μόνο περιόδου.

65 Υποδείγματα Κινητών Μέσων Υποδείγμα Κινητών Μέσων δεύτερης τάξης(ma(2)) Για q = 2,έχουμετουποδείγμακινητώνμέσωνδεύτερηςτάξης,έτσι ώστε y t = µ + ǫ t θ 1 ǫ t 1 θ 2 ǫ t 2 Ιδιότητες και Συνθήκες Στασιμότητας,(MA(2), µ = 0) E(y t ) = 0 V(y t ) = σ 2 (1 + θ1 2 + θ2 2 ) = γ 0 γ 1 = E(y t, y t 1 ) = θ 1 (1 θ 2 )σ 2 γ 2 = θ 2 σ 2 γ k = 0, k > 2 Επομένως η MA(2) έχει μνήμη δύο περιόδων.

66 Υποδείγματα Κινητών Μέσων Υποδείγμα Κινητών Μέσων q τάξης(ma(q)) Αυτοσυσχέτιση στη(ma(q)) Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για το υπόδειγμα MA(q) είναι ρ k = q k i=1 θ iθ i+k θ k 1 + q, k = 1, 2,...,q i=1 θ2 i και 0για k > q. Ετσισεμιαδιαδικασία MA(q)οιαυτοσυσχετίσεις ρ k μηδενίζονταιγια k > q.

67 Μικτά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων Υποδείγμα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων (ARMA(p, q)) Στη γενική του μορφή το Αυτοπαλίνδρομο υποδείγμα κινητών μέσων (ARMA(p, q)), εκφράζεται ως: y t = α + β 1 y t β p y t p + ǫ t θ 1 ǫ t 1 θ q ǫ t q όπουοιπαράμετροι α, β 1,...,β p, θ 1,...,θ q είναιπροςεκτίμηση,ενώ ǫ t εκφράζει τον διαταρακτικό όρο(ή σφάλμα) που είναι λευκός θόρυβος, δηλαδήισχύει E(ǫ t ) = 0, V(ǫ t ) = σ 2 σταθερή,καιμηδενική αυτοσυσχέτισημε E(ǫ t, ǫ t+k ) = 0για k t. Παρατήρηση Οταν τα δεδομένα μιας χρονολογικής σειράς έχουν συνάρτηση αυτοσυσχέτισης που δεν φαίνονται να μηδενίζονται μετά από κάποιο σημείοαλλάφθίνουνμεαργόρυθμό,τότεέχουμεστοιχείακαιαπότα δύομορφών AR, MA.

68 Μικτά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων Υπόδειγμα Αυτοπαλίνδρομο Κινητών Μέσων (ARMA(1, 1)) Για p = q = 1,έχουμετουποδείγμακινητώνμέσωνπρώτηςτάξης,έτσι ώστε y t = α + βy t 1 + ǫ t θǫ t 1 Ιδιότητες και Συνθήκες Στασιμότητας,(ARMA(1, 1)) E(y t ) = µ = α 1 β, V(y t) = 1 + θ2 2βθ 1 β 2 σ 2 = γ 0 γ 1 = βγ 0 θσ 2, γ k = βγ k 1, k > 1 Επομένως η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ισούται με ρ 1 = β θσ2 γ 0, ρ k = βρ k 1, k > 1 γιαστάσιμη y t με α < 1,και θ < 1,οιαυτοσυσχετίσειςφθίνουν γεωμετρικά μετά την πρώτη υστέρηση.

69 Εποχικά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων Εποχικά Υπόδειγμα Αυτοπαλίνδρομο Κινητών Μέσων (SARMA(P, Q) s (p, q)) Ορισμός Τα Εποχικά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων, κοινώς SARMA(P, Q) s (p, q)εκφράζουντηδυνατότηταύπαρξηςφαινομένων αυτοσυσχέτισηςγιατις y t και ǫ t ανά sχρονικάδιαστήματα.εμφανίζουν με άλλα λόγια εποχική συμπεριφορά ανά s χρονικά διαστήματα. Στη γενικευμένητουςμορφήσυμβολίζονταιμε SARMA(P, Q) s (p, q). Εδώτο sσυμβολίζειτηνεποχικήδιάσταση(s = 12γιαμηνιαίες παρατηρήσεις) p και q αναφέρονται στον μη-εποχικό βαθμό υστέρησης, ενώτα Pκαι Qστοναντίστοιχοεποχικό.

70 Εποχικά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων ΠαραδείγματαΥποδειγμάτων SARMA(P, Q) s (p, q)μέσ Ε ιεως Παρ. Υποδείγματα Τουπόδειγμα SARMA(1, 0) 12 (0, 0) y t = α + β 1 y t 12 + ǫ t Τουπόδειγμα SARMA(1, 0) 12 (1, 1) y t = α + β 1 y t 1 + β 2 y t 12 + ǫ t θ 1 ǫ t 1 Τουπόδειγμα SARMA(2, 0) 12 (1, 1) y t = α + β 1 y t 1 + β 2 y t 12 + β 3 y t 13 + ǫ t θ 1 ǫ t 1

71 Εποχικά Υποδείγματα Αυτοπαλίνδρομα Κινητών Μέσων ΠαραδείγματαΥποδειγμάτων SARMA(P, Q) s (p, q) μέσω Eviews Παρ. Υποδείγματα μέσω Eviews: Χυιςκ/Εστιματε Εχυατιον... Τουπόδειγμα SARMA(1, 0) 12 (0, 0)εκτιμάταιως: series c sar(12) Τουπόδειγμα SARMA(1, 0) 12 (1, 1)εκτιμάταιως: series c ar(1) ma(1) sar(12) Τουπόδειγμα SARMA(2, 0) 12 (1, 1)εκτιμάταιως: series c ar(1) ma(1) sar(12) sar(13)

73 Υποδείγματα ARIMA Ολοκληρωμένο Υπόδειγμα ARMA(p, q) ή Υποδείγματα ARIMA(p, d, q)) Παρατήρηση Στηνπιοπάνωανάλυσηγιατα AR, MA, ARMAκαι SARMA υποδείγματα υποθέταμε ότι οι χρονολογικές σειρές ήταν στάσιμες. Πολλές όμως σειρές δεν είναι στάσιμες. Οταν μια σειρά παρουσιάζει μη-στασιμότητα υπό μορφήν τάσης, μπορούμε μέσω της πρώτης διαφορας, y t y t 1 νατημετασχηματίσουμεσεστάσιμη. Ετσι, έχοντας την y t = y t y t 1 = (1 B)y t αυτή μπορεί να ονομαστεί ως ολοκληρωμένο υπόδειγμα πρώτης τάξης ARMA(p, q)ήαλλιώς ARIMA(p, 1, q).

74 Υποδείγματα ARIMA Υποδείγματα ARIMA(p, d, q) Ορισμός Στη γενική του μορφή όπου d y t = y t y t d = (1 B) d y t τότε η σειρά μπορεί να ακολουθεί ένα αυτοπαλίνδρομο ολοκληρωμένο υπόδειγμα κινητών μέσων ARIMA(p, d, q) ή ένα SARIMA(P, Q) s (p, d, q).επίσηςηd-ταξεωςδιαφοράμπορείνα εφαρμοστεί και στο εποχικό κομμάτι οπότε μιλάμε για υποδείγματα SARIMA(P, D, Q) s (p, d, q). Παρατήρηση Οταν η χρονολογική σειρά δείχνει να έχει αυξημένη διακύμανση (μη-στάσιμη σειρά ως προς τη διακύμανση), τότε συνιστάται η χρήση του λογαριθμικού μετασχηματισμύ πριν από τις πρώτες διαφορές, έτσι log y t = log y t log y t 1 = (1 B) log y t.

75 Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins σε τρία στάδια 1 Ταυτοποίηση: Κατά το στάδιο αυτό δίνεται η εξειδίκευση του αριθμού d ή/και D των διαφορών προς επίτευξη στασιμότητας. Στη συνέχειαγίνεταιηεξειδίκευσητων p, q, P,και Qανχρειάζεται. 2 Εκτίμηση: Κατά το στάδιο αυτό γίνεται η εκτίμηση των παραμέτρων α, β 1,..., β p, θ 1,...,θ q τουεπιλεγόμενουυποδείγματος. 3 Διαγνωσικός Ελεγχος: Κατά το στάδιο αυτό γίνεται ο διαγνωστικός έλεγχος μέσω στατιστικών κριτηρίων για την τελική μορφή του ARIMA ή SARIMA υποδείγματος που πρέπει να επιλέξουμε(τιςακριβείςτιμέςτων p, q, P,και Q).

79 Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins Ταυτοποίηση στην πράξη Αρχικά γίνεται έλεγχος στασιμότητας της σειράς. Εδώ ελέγχεται η αυτοσυσχέτιση της σειράς για τυχών ύπαρχη τάσης, εποχικότητας ή άλλων διακυμάνσεων. Οταν η ACF τείνει στο μηδέν με αργό ρυθμό τότε υπάρχει ένδειξη μη-στασιμότητας. Τότε με διαδοχικές τιμές για την d = 1, 2,,...ορίζουμετην dγιατηνοποίαεπιτυγχάνεταιπρώτηφορά στασιμότητα. Στην πράξη είναι δύσκολο να φτάσουμε σε ένα υποδειγμα μεσυγκρεκριμένα (p, d, q). Ετσικαταληγουμεσεδύο,τρίαή περισσότερα υποδείγματα τα οποία ελέγχονται στο τρίτο στάδιο μέσω Διαγνωσικού Ελέγχου.

80 Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins Εκτίμηση στην πράξη Στην περίπτωση που έχουμε AR(p) υπόδειγμα, τότε η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων μπορεί να εφαρμοστεί. Σε αντίθεση όμων με τα ARυποδείγματα,τα MAκαι ARMAδενμπορούναεκτιμηθουνμεαυτή τημέθοδοδιότιεξαρτώνταιαπότασφάλματα ǫ t, ǫ t 1,....οιοποίεςείναι μη-παρατηρήσιμες μεταβλητές. Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Yule-Walker η οποία βασίζεται στις συναρτήσειςαυτοσυσχέτισης ρ k.

81 Box-Jenkins Μεθοδολογία Box-Jenkins Διαγνωσικός Ελεγχος στην πράξη Αναφορικά με τον τρόπο τελικής επιλογής του κατάληλου υποδείγματος μπορόύμε να χρησιμοποιήσουμε δύο διαφορετικά κριτήρια. Αυτά είναι, πρώτα το κριτήριο Akaike (AIC) και δεύτερο αυτό του Schwartz (BIC). Αυτά ορίζονται ως: AIC = log(ssr) + 2n/T, BIC = log(ssr) + n log(t), όπου, SSR είναι η εκτίμηση της διακύμανσης των καταλοίπων, n = (p + q + 1)είναιοαριθμόςτωνπροςεκτίμησηπαραμέτρων,και Tο αριθμός των παρατηρήσεων. Ηεπιλογήτουυποδείγματοςμέσωτων (p, d, q)γίνεταιμεβάσηποιός συνδιασμός ελαχιστοποιεί τα πιο πάνω κριτήρια.

82 Box-Jenkins Παράδειγμα: Εφαρμογή της μεθοδολογίας Box-Jenkins στην πράξη Στόχος της ανάλυσης Χρονολογικώς Σειρώς 1 Επιλογή αρίστου υποδείγματος για την χρονολογική σειρά δεδομένων Ακαθαρίστου Εγχωρίου Προιόντος(Δεδομένα: GDPQ.XLS). Στάδια ανάλυσης Χρονολογικών Σειρών 1 Οπτική Απεικόνηση της Χρονολογικής Σειράς 2 Άτυπος Ελεγχος Στασιμότητας της Χρονολογικής Σειράς 3 Στατιστικός Ελεγχος Στασιμότητας της Χρονολογικής Σειράς 4 Εκτίμηση Υποδειγμάτων Χρονολογικών Σειρών 5 Διαγνωστικός Ελεγχος και Τελική Επιλογή

89 Box-Jenkins Παράδειγμα Box-Jenkins(συνεχ.) Άτυπος Ελεγχος Στασιμότητας της Χρονολογικής Σειράς μέσω Η/Υ (Eviews) 1 Δημιουργία επιφάνεια εργασιας: File/New/Workfile/Select data type 2 Εισαγωγήδεδομένωνσεμορφή txtήexcel File/Import/Read text-lotus-excel 3 Άνοιξε τις σειρές δεδομένων σε ομάδα χρησιμοποιώντας δεξί click/open/group... 4 Παρουσίαση Κορελογράμματος View/Correlogram

90 Box-Jenkins Παράδειγμα Box-Jenkins(συνεχ.) Παρουσίαση Κορελογράμματος(Συνάτησης Αυτοσυσχέτισης)GDP file:////c /Documents and Settings/user/Επιφ νεια εργασ ας/table.acf.htm Date: 03/21/08 Time: 19:09 Sample: 1947Q1 1995Q3 Included observations: 195 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q- Stat Prob. ********. ******** ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* ****** ****** ****** ****** ****** ****** ****** ****** ****** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** **** **** **** **** **** **** **** **** **** *** file:////c /Documents and Settings/user/Επιφ νεια εργασ ας/table.acf.htm21/3/2008 7:10:15

91 Box-Jenkins Παράδειγμα Box-Jenkins(συνεχ.) Στατιστικός Ελεγχος Στασιμότητας της Χρονολογικής Σειράς μέσω Η/Υ(Eviews) 1 Δημιουργία επιφάνεια εργασιας & Εισαγωγη δεδομένων 2 Άνοιξε τη σειρά δεδομένων χρησιμοποιώντας δεξί click 3 Ελεγχος Στασιμότητα Dickey-Fuller (DF) View/Unit Root Test

92 Box-Jenkins Παράδειγμα Box-Jenkins(συνεχ.) Ελεγχος Στασιμότητας (DF) για GDPQ file:////c /Documents and Settings/user/Επιφ νεια εργασ ας/table.df.htm Null Hypothesis: GDPQ has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=14) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(GDPQ) Method: Least Squares Date: 03/21/08 Time: 19:01 Sample (adjusted): 1947Q3 1995Q3 Included observations: 193 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. GDPQ(-1) D(GDPQ(-1)) C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) file:////c /Documents and Settings/user/Επιφ νεια εργασ ας/table.df.htm21/3/2008 7:08:04

93 Box-Jenkins Παράδειγμα Box-Jenkins(συνεχ.) Αποτέλεσμα Στατιστικού Ελέγχου Στασιμότητας για GDP 1 Επειδή Augmented (DF) Statistic 1, 769 > 2, 876έχουμε αποδοχήτης H 0 για 5%ποσοστόσφάλματος 2 Πραγματοποιούμετομετασχηματισμό y t = y t y t 1,μέσω Eviews:Quick/Generate Series, γράψε dgdpq = GDPQ GDPQ( 1) 3 ΕλεγχοςΣτασιμότητατης y t Dickey-Fuller (DF) View/Unit Root Test, επιλέξετε Augmented Dickey Fuller Test

94 Box-Jenkins Παράδειγμα Box-Jenkins(συνεχ.) Ελεγχος Στασιμότητας (DF) για DGDPQ file:////c /Documents and Settings/user/Επιφ νεια εργασ ας/table.df2.htm Null Hypothesis: DGDPQ has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=14) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DGDPQ) Method: Least Squares Date: 03/21/08 Time: 19:02 Sample (adjusted): 1947Q3 1995Q3 Included observations: 193 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. DGDPQ(-1) C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) file:////c /Documents and Settings/user/Επιφ νεια εργασ ας/table.df2.htm21/3/2008 7:07:32

95 Box-Jenkins Παράδειγμα Box-Jenkins(συνεχ.) Αποτέλεσμα Στατιστικού Ελέγχου Στασιμότητας για DGDP 1 Επειδή Augmented (DF) Statistic 9, 430 < 2, 876έχουμε αποδοχήτης H 1 για 5%ποσοστόσφάλματος 2 Εκτίμηση ARIMA(p, 1, q)γιαδιαφορα pκαι q.επειδήστο Κορελόγραμμα βλέπουμε ισχυρή συσχέτιση στον πρώτο και δεύτεροβαθμόυποθέτουμεότιτοάριστο pθαείναιείτε 1είτε 2. Ταυτόχροναελέγχουμεκαιγια qστονπρώτοβαθμό q = 1 (Ταυτοποίηση). Εστω, το υπόδειγμα ARIMA(1, 1, 1) y t = α + β 1 y t 1 + ǫ t θ 1 ǫ t 1, αυτό εκτιμάται μέσω του, Quick/Estimate, ως: DGDPQ c ar(1) ma(1), 3 Διαγνωστικός Ελεγχος: γίνεται επιλογή των p και q τα οποία ελαχιστοποιούν τα AIC ή/και BIC κριτήρια.

Δείτε περισσότερα