5.1 Προβλήματα επίπεδης έντασης και επίπεδης παραμόρφωσης

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Προβλήματα δύο και τριών Διαστάσεων Στο κεφάλαιο αυτό αντιμετωπίζουμε προβλήματα δύο και τριών διαστάσεων με χρήση προβλημάτων επίπεδης έντασης και επίπεδης παραμόρφωσης. Ως απλούστερο στοιχείο δύο διαστάσεων αναπτύσσεται το τριγωνικό στοιχείο σταθερής έντασης και σταθερής παραμόρφωσης, καθώς και το τριγωνικό στοιχείο γραμμικής παραμόρφωσης στην (Παράγραφα 5.2, 5.3), ακολουθώντας την θεωρία του Κεφαλαίου 3. Οι παραδοχές πλάκας σε κάμψη συζητούνται στην Παράγραφο 5.4, και εξάγεται το μητρώο δυσκαμψίας με χρήση των υποθέσεων Kirchoff-Love. Τρισδιάστατα προβλήματα παρουσιάζονται συνοπτικά στην Παράγραφο 5.5. Επιπλέον συνοπτικές περιγραφές διδιάστατων προβλημάτων μηχανικής με εφαρμογή σε γεωτεχνικά προβλήματα περιέχονται στα συγγράμματα [1], [9]. Τα περισσότερα από τα συγγράμματα που αναφέρθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο περιέχουν διδιάστατα και τρισδιάστατα προβλήματα, βλ. [12], [17], [3], [13]. Περισσότερες αναφορές παρατίθενται στη βιβλιογραφία αύτου του κεφαλαίου. 5.1 Προβλήματα επίπεδης έντασης και επίπεδης παραμόρφωσης Μέχρι τώρα, στο Κεφάλαιο 3, μελετήσαμε γραμμικά στοιχεία για τη δημιουργία δικτυωμάτων και πλαισίων. Η γεωμετρική τους μορφή εξαρτάται από δύο σημεία και τα χαρακτηριστικά τους συμπληρώνονται με τη διατομή και τη 181

2 182 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ροπή αδράνειας, για ράβδους και δοκούς αντίστοιχα. Μία παράμετρος ˆx κατά μήκος του στοιχείου αρκεί για την περιγραφή κάθε θέσης, και ονομάζονται γραμμικά ή μονοδιάστατα στοιχεία. Στο κεφάλαιο αυτό μελετώνται διδιάστατα πεπερασμένα στοιχεία. Διδιάστατα επιφανειακά στοιχεία ορίζονται με τη χρήση τριών ή περισσοτέρων κόμβων τοποθετημένων πάνω στο επίπεδο x y. Τα στοιχεία συνδέονται μέσω κοινών κόμβων και πλευρών Η συμβατότητα μετακινήσεων πάνω στους κόμβους εξασφαλίζεται μέσω της χρήσης συναρτήσεων παρεμβολής και των εξισώσεων ισορροπίας. Τα διδιάστατα στοιχεία χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό είτε με τη θεωρία επίπεδης έντασης, βλ. Σχήμα 5.1, είτε με τη θεωρία επίπεδης παραμόρφωσης, Σχήμα 5.2. Στην αρχή του κεφαλαίου αναπτύσσεται το μητρώο δυσκαμψίας του απλούστερου τριγωνικού στοιχείου, του στοιχείου με σταθερή ένταση ή παραμόρφωση το οποίο ονομάζεται Τριγωνικό Στοιχείο Σταθερής Έντασης/Παραμόρφωσης Costant Strain Triangle (CST). Το μητρώο ακαμψίας θα εξαχθεί μέσω της αρχής ελαχίστου για τη δυναμική ενέργεια, διότι αυτό είναι η καλύτερη και γενικότερη προσέγγιση για διδιάστατα και τρισδιάστατα στοιχεία. Στη συνέχεια θα παρουσιαστεί παράδειγμα εφαρμογής του Επίπεδη ένταση και επίπεδη παραμόρφωση Επίπεδη ένταση - Plane stress με την υπόθεση του μηδενισμού των κυρίων τάσεων κάθετα στο επίπεδο του φορέα. Για παράδειγμα, στα Σχήματα 5.1(α) και 5.1(β), οι πλάκες στο επίπεδο x y φορτισμένες με δύναμη εντός επιπέδου T (στο σύνορο ή κατανεμημένη στην επιφάνεια του φορέα) καθορίζουν πρόβλημα επίπεδης έντασης, συνεπώς οι αξονικές τάσεις σ z και οι διατμητικές τάσεις τ xz και τ yz μηδενίζονται. Αξίζει να σημειωθεί πως ο ίδιος διδιάστατος φορέας λειτουργεί ως πλάκα σε κάμψη ή δίσκος σε επίπεδη ένταση, ανάλογα με τη μορφή της φόρτισης, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.2. Επίπεδη παραμόρφωση - Plane Strain. Όταν η παραμόρφωση είναι κάθετα στο επίπεδο x y, ϵ z και οι διατμητικές παραμορφώσεις γ xz και γ yz μηδενίζονται. Οι υποθέσεις επίπεδης παραμόρφωσης ισχύουν για σώματα τα οποία εκτείνονται στο άπειρο στην μια διεύθυνση (π.χ. στην διεύθυνση z) με σταθερή διατομή και ίδιες φορτίσεις εντός του επιπέδου καθ όλο το μήκος του άξονα z.

3 5.1. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 183 y y x x z α) z β) Σχήμα 5.1: Παραδείγματα επίπεδης έντασης y y x x α) z β) z Σχήμα 5.2: α) Πλάκα σε κάμψη, β) δίσκος σε επίπεδη ένταση.

4 184 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Διδιάστατη ένταση και παραμόρφωση Με αναφορά στο απειροδιάστατα μικρό στοιχείο του Σχήματος 5.3 με πλευρές dx και dy και κάθετες τάσεις σx και σy που ενεργούν στις διευθύνσεις x και y αντιστοίχως. Οι διατμητικές τάσεις τ xy εφαρμόζονται στην κάθετη πλευρά x Σχήμα 5.3: Διδιάστατη ένταση. και κατά την y διεύθυνση, ενώ οι διατμητικές τάσεις τ yx στην οριζόντια πλευρά y και κατά την x διεύθυνση. Η εξίσωση ισορροπίας ροπών του στοιχείου οδηγεί στη σχέση ισότητας μεταξύ των τ xy και τ yx (για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [8] και το Παράρτημα C.1 στο βιβλίο του Logan s [10]). Συνεπώς οι τρεις ανεξάρτητες τάσεις τοποθετούνται στον πίνακα στήλη (ή διάνυσμα) σ x, {σ} = σ y,. (5.1) Οι κύριες τάσεις, προκύπτουν από κατάλληλη στροφή του συστήματος αναφοράς ούτως ώστε να μηδενίζονται οι διατμητικές τάσεις και υπολογίζονται από τις ακόλουθες σχέσεις ([8]): σ 1 = σ x + σ y 2 σ 2 = σ x + σ y 2 τ xy (σx σ y + 2 (σx σ y 2 ) 2 + τ 2 xy = σ max, ) 2 + τ 2 xy = σ min. (5.2)

5 5.1. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 185 Η γωνία στροφής που απαιτείται θ p, ορίζεται ως tan 2θ p = 2τ xy σ x σ y. (5.3) Η κατεύθυνση του κυρίου συστήματος αναφοράς και οι κύριες τάσεις προκύπτουν είτε από την κλασική γραφική μέθοδο του Mohr, είτε από την επίλυση ενός συστήματος ιδιοτιμών, ιδιομορφών, βλ. Σχήμα 5.4. Η παραμόρφωση του x Σχήμα 5.4: Κύριες τάσεις και οι κατευθύνσεις τους. απειροστού στοιχείου φαίνεται στο Σχήμα 5.5. Κάθε σημείο A μετακινείται στη νέα του θέση σύμφωνα με το διάνυσμα που έχει συνιστώσες τις μετακινήσεις u και v, στην κατεύθυνση x και y αντίστοιχα, ενώ μετακινείται επιπλέον κατά την ποσότητα ( u/ x)dx κατά μήκος της πλευράς AB, και ( v/ y)dy κατά μήκος της πλευράς AC στις διευθύνσεις x και y, αντίστοιχα. Επιπροσθέτως, παρατηρώντας τις γραμμές AB και AC, διαπιστώνουμε ότι το σημείο B μετακινείται προς τα πάνω κατά την ποσότητα ( v/ x)dx σε σχέση με το σημείο A, και το σημείο C κινείται προς τα δεξιά κατά την ποσότητα ( u/ y)dy σε σχέση με το σημείο A. Από τον ορισμό των καθέτων και διατμητικών παραμορφώσεων και το Σχήμα 5.5, λαμβάνουμε ε x = u x, ε y = v y, γ xy = u y + v x. (5.4) Οι παραμορφώσεις ε x και ε y μετρούν την αλλαγή του μήκους ανοιγμένη στη μονάδα μήκους των πλευρών του υλικού που βρίσκονται αρχικά παράλληλες

6 186 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ C A B Σχήμα 5.5: Σχέση μετακινήσεων και παραμορφώσεων ενός στοιχείου στο επίπεδο x-y. στους άξονες x και y, αντιστοίχως. Οι τάσεις αυτές ονομάζονται ορθές ή εκτατικές παραμορφώσεις. Η παραμόρφωση γ xy μετρά την αλλαγή γωνίας της αρχικώς ορθής γωνίας που σχηματίζουν οι πλευρές dx και dy, όταν το στοιχείο υφίσταται παραμόρφωση και καλείται διατμητική παραμόρφωση. Οι παραμορφώσεις τοποθετούνται στον πίνακα-στήλη ε x, {ε} = ε y,. (5.5) Παρουσιάζονται στη συνέχεια οι καταστατικές σχέσεις (νόμος υλικού) για γραμμικώς ελαστικά προβλήματα επίπεδης έντασης και ισότροπα υλικά. Για προβλήματα επίπεδης έντασης, όπως προαναφέρθηκε, ισχύουν γ xy σ x = τ xz = τ yz = 0. Από τις σχέσεις της τρισδιάστατης ελαστικότητας σε συνδυασμό με τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει {σ} = [D]{ε},

7 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 187 όπου το [D] = E 1 ν 0 ν 1 0 (5.6) 1 ν ν 2 είναι ο πίνακας τάσεων-παραμορφώσεων (ή καταστατικός πίνακας), E είναι το μέτρο ελαστικότητας, και ν ο λόγος διόγκωσης ή λόγος του Poisson. Για προβλήματα επίπεδης παραμόρφωσης οι υποθέσεις της θεωρίας οδηγούν στις σχέσεις ε x = γ xz = γ yz = 0. Με εφαρμογή αυτών στις σχέσεις της τρισδιάστατης ελαστικότητας προκύπτει το μητρώο τάσεων παραμορφώσεων του υλικού στη μορφή 1 ν ν 0 E [D] = ν 1 ν 0. (5.7) (1 + ν)(1 2ν) 1 2ν Υπενθυμίζουμε ότι, αν απαλειφτούν οι τάσεις και παραμορφώσεις από τις σχέσεις που περιγράφουν τη μηχανική του γραμμικά ελαστικού σώματος, προκύπτουν οι μερικές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν το φαινόμενο με μόνες αγνώστους το διανυσματικό πεδίο των μετακινήσεων 2 u x + 2 u 2 y = 1 + ν 2 2 ( 2 u y 2 2 v x y ), 2 v x + 2 v 2 y = 1 + ν ( ) 2 v 2 2 x 2 u. 2 x y 5.2 Το τριγωνικό στοιχείο σταθερής έντασης (5.8) Η λεπτή πλάκα του Σχήματος 5.6 θα χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή και επίδειξη των τριγωνικών στοιχείων επίπεδης έντασης. ΒΗΜΑ 1: Επιλογή του είδους των στοιχείων. Στο Σχήμα 5.8 θεωρούμε το βασικό τριγωνικό στοιχείο, όπως προκύπτει από τη διακριτοποιημένη πλάκα (δίσκο) του Σχήματος 5.7. Η διακριτοποίηση της πλάκας έγινε με τριγωνικά στοιχεία, καθένα με κόμβους που έχουν τους αριθμούς i, j, και m σε μια καθολική αρίθμηση. Τα τριγωνικά στοιχεία είναι τα απλούστερα στοιχεία επίπεδης ελαστικότητας. Ανάλογα

8 188 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Σχήμα 5.6: Λεπτή πλάκα σε εφελκυσμό. y T S m T S i j x Σχήμα 5.7: Η διακριτοποιημένη με τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία πλάκα του Σχήματος.

9 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 189 Σχήμα 5.8: Το βασικό τριγωνικό πεπερασμένο στοιχείο και οι βαθμοί ελευθερίας του. με την πυκνότητα της διακριτοποίησης, η ακρίβεια προσέγγισης αυξάνεται. Για παράδειγμα, μια διακριτοποίηση καλείται αραιή εάν χρησιμοποιούνται λίγα και μεγάλα στοιχεία. Κάθε κόμβος έχει δύο μεταφορικούς βαθμούς ελευθερίας, τις συνιστώσες του διανύσματος μετακίνησης κατά x και y. Συμβολίζουμε με u i και v i τις συνιστώσες της μετακίνησης κατά x και y στον κόμβο i. Υπενθυμίζεται εδώ η ανάγκη να χρησιμοποιηθεί σε όλη τη διακριτοποίηση η ίδια φορά αρίθμησης των κόμβων, για παράδειγμα η αντίθετη με τη φορά του ρολογιού, έτσι ώστε να αποδίδεται με μαθηματικά ορθό τρόπο το εμβαδόν και να αποφεύγονται εμβαδά με αρνητικό πρόσημο. Οι συντεταγμένες των κόμβων i, j, και m συμβολίζονται με (x i, y i ), (x j, y j ), και (x m, y m ), αντιστοίχως. Ο πίνακας στήλης των μετακινήσεων κόμβων έχει τη μορφή {d} = d i d j d m = u i v i, u j. (5.9) v j u m v m

10 190 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΒΗΜΑ 2: Επιλογή των συναρτήσεων μετακινήσεων (συναρτήσεις βάσης). Για κάθε στοιχείο επιλέγεται μια γραμμική συνάρτηση για την προσέγγιση των συνιστωσών της μετακίνησης u(x, y) = a 1 + a 2 x + a 3 y, v(x, y) = a 4 + a 5 x + a 6 y, (5.10) όπου με u(x, y) και v(x, y) συμβολίζονται οι μετακινήσεις στο εσωτερικό σημείο (x i, y i ) του στοιχείου. Η μορφή των συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση του πεδίου μετακινήσεων εξασφαλίζει τη συνέχεια κατά μήκος των πλευρών i j μεταξύ δύο γειτονικών στοιχείων, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.7. Συνεπώς η προσέγγιση του διανυσματικού πεδίου μετακινήσεων ψ, παίρνει τη μορφή {ψ} = { } a1 + a 2 x + a 3 y = a 4 + a 5 x + a 6 y, [ ] 1 x y = x y a 1 a 2 a 3 a 4, a 5 a 6. (5.11) Οι σταθερές a αντικαθίστανται από τις διακριτές μετακινήσεις στους κόμβους (επικόμβιοι βαθμοί ελευθερίας). Πρώτα χρησιμοποιείται η γενική έκφραση για να γραφούν οι μετακινήσεις στα άκρα του στοιχείου u i = u(x i, y i ) = a 1 + a 2 x i + a 3 y i, u j = u(x j, y j ) = a 1 + a 2 x j + a 3 y j, u m = u(x m, y m ) = a 1 + a 2 x m + a 3 y m, v i = v(x i, y i ) = a 4 + a 5 x i + a 6 y i, v j = v(x j, y j ) = a 4 + a 5 x j + a 6 y j, v m = v(x m, y m ) = a 4 + a 5 x m + a 6 y m. (5.12) και στη συνέχεια γίνεται επίλυση ως προς a σε μητρωική μορφή u i 1 x i y i a 1 u j = 1 x j y j a 2. (5.13) u m 1 x m y m a 3 Συνεπώς για το a προκύπτει {a} = [x] 1 {u}, (5.14)

11 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 191 όπου με [x] συμβολίζεται το 3 3 μητρώο που προκύπτει από το δεξί μέλος της σχέσης (5.13). Η αντιστροφή του [x] είναι [x] 1 = 1 α i α j α m β i β j β m, (5.15) 2A γ i γ j γ m όπου είναι η ορίζουσα [x], η οποία έχει την τιμή 1 x i y i 2A = 1 x j y j (5.16) 1 x m y m 2A = x i (y j y m ) + x j (y m y i ) + x m (y i y j ). (5.17) Στα παραπάνω A συμβολίζει το εμβαδό του τριγώνου και α i = x j y m y j x m α j = y i x m x i y m α m = x i y j y i x j, (5.18) β i = y j y m β j = y m y i β m = y i y j, (5.19) γ i = x m x j γ j = x i x m γ m = x j x i. (5.20) Μετά από τον υπολογισμό του [x] 1, έχουμε a 1 a 2 = 1 α i α j α m β i β j β m 2A a 3 γ i γ j γ m u i u j u m. (5.21) Ομοίως, παίρνοντας τις τελευταίες τρεις σχέσεις από τις (5.12), προκύπτει a 4 a 5 = 1 α i α j α m v i β i β j β m v j 2A. (5.22) a 6 γ i γ j γ m v m Η συνάρτηση μετακίνησης σε κάθε θέση x δηλαδή η u(x, y) συνιστώσα του {ψ} (και αναλόγως η v) εξαρτάται από τις μεταβλητές θέσης x και y, τις σταθερές α i, α j,...γ m, και τις μετακινήσεις στους κόμβους u i, u j και u m. Από τη μητρωική γραφή του (5.10) έχουμε a 1 {u} = [1 x y] a 2. (5.23) a 3

12 192 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Με αντικατάσταση του (5.21) στη σχέση (5.23), λαμβάνουμε α i α j α m u i {u} = [1 x y] β i β j β m u j γ i γ j γ m u m και Με αναδιάταξη των όρων προκύπτει (5.24) α i u i + α j u j + α m u m {u} = [1 x y] β i u i + β j u j + β m u m. (5.25) γ i u i + γ j u j + γ m u m u(x, y) = 1 2A {(α i +β i x+γ i y)u i +(α j +β j x+γ j y)u j +(α m +β m x+γ m y)u m }. (5.26) Ομοίως για τη μετακίνηση κατά y v(x, y) = 1 2A {(α i + β i x + γ i y)v i + (α j + β j x + γ j y)v j + (α m + β m x + γ m y)v m }. (5.27) Τελικά, με τη χρήση των συναρτήσεων παρεμβολής N i = 1 2A (α i + β i x + γ i y), N j = 1 2A (α j + β j x + γ j y), (5.28) N m = 1 2A (α m + β m x + γ m y). προκύπτει η απλούστερη έκφραση u(x, y) = N i u i + N j u j + N m u m, v(x, y) = N i v i + N j v j + N m v m. Η μητρωική μορφή της (5.29) παίρνει τη μορφή { } { } u(x, y) Ni u {ψ} = = i + N j u j + N m u m v(x, y) N i v i + N j v j + N m v m ή [ ] Ni 0 N {ψ} = j 0 N m 0 0 N i 0 N j 0 N m u i v i u j v j u m v m. (5.29)

13 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 193 Τελικά η συμπυκνωμένη μορφή της (5.2) έχει τη μορφή όπου το [N] ορίζεται ως ακολούθως {ψ} = [N]{d}, (5.30) [ ] Ni 0 N [N] = j 0 N m 0. (5.31) 0 N i 0 N j 0 N m Μέχρι τώρα οι μετακινήσεις ως συναρτήσεις του {d}, έχουν εκφρασθεί με τη βοήθεια των συναρτήσεων παρεμβολής N i, N j, και N m. Οι συναρτήσεις παρεμβολής καθορίζουν μονοσήμαντα τη μορφή της συνάρτησης {ψ} πάνω σε όλο το εμβαδό του πεπερασμένου στοιχείου. Για παράδειγμα, η N i εκφράζει τη μορφή της μεταβλητής u πάνω στην επιφάνεια του στοιχείου όταν το u i = 1 και όλοι οι άλλοι βαθμοί ελευθερίας μηδενίζονται, δηλαδή ισχύει u j = u m = v i = v j = v m = 0. Επιπροσθέτως, η u(x i, y i ) πρέπει να ισούται με το u i. Συνεπώς πρέπει να έχουμε N i = 1, N j = 0, και N m = 0 στη θέση (x i, y i ). Ομοίως, u(x j, y j ) = u j. Συνεπώς, N i = 0, N j = 1, και N m = 0 στη θέση (x j, y j ). Οι συναρτήσεις παρεμβολής φαίνονται στα Σχήματα 5.9. Επιπλέον περιορισμοί Σχήμα 5.9: Μεταβολή των συναρτήσεων N i στην επιφάνεια x-y ενός τυπικού στοιχείου.

14 194 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ισχύουν, όπως, N i + N j = 1 και N m = 1 για όλες τις θέσεις x και y στην επιφάνεια του στοιχείου, έτσι ώστε τα u και v να παίρνουν σταθερή τιμή για κάθε μετακίνηση στερεού σώματος του στοιχείου. Οι απαιτήσεις πληρότητας για το τριγωνικό στοιχείο σταθερής παραμόρφωσης, όταν χρησιμοποιείται για την επίλυση ενός διδιάστατου προβλήματος επίπεδης έντασης, φαίνονται στα Σχήματα 5.10, Το στοιχείο πρέπει να είναι σε θέση να μετακινείται ομοιόμορφα σε κάθε μία από τις κατευθύνσεις, x ή y στο επίπεδο, καθώς επίσης και να περιστρέφεται χωρίς παραμόρφωση, όπως φαίνεται στο Σχήμα Η αιτιολόγηση περιγράφεται με το παράδειγμα μιας αμφιέρειστης δοκού που προσομοιάζεται με τη χρήση στοιχείων επίπεδης έντασης, όπως φαίνεται στο Σχήμα Με χρήση απλής στατικής προκύπτει y x Σχήμα 5.10: Μορφές παραμόρφωσης στερεού σώματος ενός τριγωνικού επίπεδου στοιχείου (από αριστερά προς τα δεξιά, καθαρή μετακίνηση στις κατευθύνσεις x και y και καθαρή περιστροφή). ότι τα στοιχεία της δοκού είναι απαλλαγμένα από τάσεις, και συνεπώς πρέπει να είναι ελεύθερα να μετακινηθούν και να στραφούν χωρίς παραμόρφωση ή αλλαγή μορφής. ΒΗΜΑ 3: Ορισμός των σχέσεων παραμόρφωσης-μετακίνησης και τάσηςπαραμόρφωσης. Παραμορφώσεις στοιχείου. Οι παραμορφώσεις που συσχετίζονται με το διδιάστατο στοιχείο δίδονται από τις σχέσεις {ε} = ε x ε y γ xy = u x v y u x + v x. (5.32)

15 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 195 Σχήμα 5.11: Αμφιέρειστη δοκός προσομοιωμένη με την χρήση τριγωνικών στοιχείων σταθερής παραμόρφωσης. Τα στοιχεία που βρίσκονται στη δεξιά πλευρά της φόρτισης δεν έχουν τάσεις. οι οποίες με τη βοήθεια των συναρτήσεων παρεμβολής γίνονται ή u x = u x = x (N iu i + N j u j + N m u m ) u x = N i,x u i + N j,x u j + N m,x u m, (5.33) όπου το κόμμα που ακολουθείται από μια μεταβλητή σημαίνει διαφόριση σε σχέση με αυτή τη μεταβλητή. Στην προηγούμενη σχέση χρησιμοποιήθηκε u i,x = 0 επειδή το u i = u(x i, y i ) είναι σταθερό ομοίως, u j,x = 0 και u m,x = 0. Με χρήση της σχέσεως (5.28), υπολογίζονται οι παράγωγοι της συναρτήσεως παρεμβολής (5.33) ως ακολούθως: Ομοίως, N i,x = 1 2A x (α i + β i x + γ i y) = β i 2A. (5.34) N j,x = β j 2A and N m,x = β m 2A. (5.35) Συνεπώς χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (5.34) και (5.35) στην (5.33), προκύπτει u x = 1 2A (β iu i + β j u j + β m u m ).

16 196 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Ομοίως προκύπτει v y = 1 2A (γ iv i + γ j v j + γ m v m ), u y + v x = 1 2A (γ iu i + β i v i + γ j u j + β j v j + γ m u m + β m v m ) Με χρήση των (5.34) και (5.35) στην (5.32), προκύπτει ή όπου [B i ] = 1 2A {ε} = 1 2A β i 0 β j 0 β m 0 0 γ i 0 γ j 0 γ m γ i β i γ j β j γ m β m {ε} = [B i B j B m ] β i 0 0 γ i, [B j ] = 1 β j 0 0 γ j 2A γ i β i γ j β j Τελικά η εξίσωση (5.36) γράφεται d i d j d m u i v i u j v j u m v m, (5.36), [B m ] = 1 2A β m 0 0 γ m. (5.37) γ m β m {ε} = [B]{d}, (5.38) όπου [B] = [B i B j B m ]. Το μητρώο B είναι ανεξάρτητο από τις συντεταγμένες x και y. Εξαρτάται αποκλειστικά από τις συντεταγμένες των κόμβων του στοιχείου, όπως φαίνεται από τις (5.37) και (5.20). Οι παραμορφώσεις είναι σταθερές και για τον λόγο αυτό το στοιχείο ονομάζεται στοιχείο σταθερής παραμόρφωσης, Constant Strain Triangle (CST). Σχέση τάσεων παραμορφώσεων. Γενικώς σε διδιάστατο πρόβλημα η σχέση τάσεων, παραμορφώσεων έχει τη μορφή σ x ε x σ y = [D] ε y, (5.39) τ xy ε xy

17 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 197 όπου το [D] δίδεται από τη σχέση (5.6) για προβλήματα επίπεδης έντασης, και από την (5.7) για προβλήματα επίπεδης παραμόρφωσης. Χρησιμοποιώντας τη σχέση (5.38) στο (5.39), προκύπτουν οι τάσεις εντός επιπέδου ως συνάρτηση των αγνώστων βαθμών ελευθερίας στους κόμβους {σ} = [D][B]{d}, (5.40) όπου οι τάσεις {σ} είναι επίσης σταθερές μέσα στο στοιχείο. ΒΗΜΑ 4: Εξαγωγή του μητρώου δυσκαμψίας του στοιχείου και των εξισώσεων ισορροπίας. Στην παράγραφο αυτή θα παραχθούν οι εξισώσεις με τη χρήση του αξιώματος ελάχιστης δυναμικής ενέργειας για ένα τριγωνικό στοιχείο σταθερής παραμόρφωσης. Υπενθυμίζεται ότι η ολική δυναμική ενέργεια για το στοιχείο είναι συνάρτηση των μετακινήσεων κόμβων u i, v i, u j,... v m (δηλαδή του διανύσματος, {d}), έτσι ώστε π p = π p (u i, v i, u j,..., v m ). Η ολική δυναμική ενέργεια δίδεται από τη σχέση π p = U + Ω b + Ω p + Ω s, ενώ η ενέργεια παραμόρφωσης είναι U = 1 2 ]{ε} T {σ}dv. V Με τη χρήση της σχέσης (5.39), προκύπτει U = 1 {ε} T [D]{ε}dV, (5.41) 2 V όπου έχει χρησιμοποιηθεί η ιδιότητα [D] T = [D] στο (5.41) U = 1 {ε} T {σ}dv. (5.42) 2 V Το δυναμικό των μαζικών δυνάμεων εκφράζεται με Ω b = {ψ} T {X}dV, (5.43) V

18 198 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ όπου το {ψ} συμβολίζει τις συναρτήσεις παρεμβολής, και {X} είναι η μαζική δύναμη ανά μονάδα όγκου. Το δυναμικό συγκεντρωμένων δυνάμεων εκφράζεται με Ω p = {d} T {P }, (5.44) όπου οι συνηθισμένες μετακινήσεις κόμβων συμβολίζονται με {d} και οι επιβεβλημένες δυνάμεις στους κόμβους με {P }. Αντίστοιχα, το δυναμικό κατανεμημένων δυνάμεων εκφράζεται ως Ω S = {ψ S } T {T S }ds, (5.45) S όπου οι δυνάμεις στο σύνορο συμβολίζονται με T S, ψ S είναι οι μετακινήσεις στο σύνορο, και S συμβολίζει την επιφάνεια επιβολής των {T S }. Ομοίως με (5.30), οι {ψ S } εκφράζονται ως {Ψ S } = [N S ]{d}, όπου εμπλέκονται οι συναρτήσεις παρεμβολής [N S ]. Με τη χρήση των εκφράσεων (5.30) για τα {ψ} και (5.32) για τις παραμορφώσεις στις σχέσεις (5.41)-(5.45) προκύπτει π p = 1 {d} T [B] T [D][B]{d}dV {d} T [N] T {X}dV 2 V {d} T {P } V {d} T [N S ] T {T S }ds. (5.46) S Οι μετακινήσεις κόμβων {d} είναι ανεξάρτητες από τις γενικές εξισώσεις x y, και συνεπώς το {d} μπορεί να βγει έξω από τα ολοκληρώματα των (5.46). Δηλαδή, π p = 1 2 {d}t [B] T [D][B]dV {d} {d} T [N] T {X}dV V {d} T {P } {d} T V [N S ] T {T S }ds. (5.47) S Από τις σχέσεις (5.43) (5.45) μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι οι τρεις τελευταίοι όροι στην (5.47) αντιστοιχούν στο συνολικό φορτίο {f} που επιβάλλεται πάνω στο στοιχείο, δηλαδή, {f} = [N] T {X}dV + {P } + [N S ] T {T S }ds, (5.48) V S

19 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 199 όπου ο πρώτος, δεύτερος και τρίτος όρος στο δεξιό μέλος της (5.48) αντιπροσωπεύουν τις μαζικές δυνάμεις, τις σημειακές επικόμβιες δυνάμεις και τις επιφανειακές δυνάμεις, αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας τη σχέση (5.48) στην (5.47), προκύπτει π p = 1 2 {d}t [B] T [D][B]dV {d} {d} T {f}. V Παίρνοντας την πρώτη μεταβολή ή παραγωγίζοντας την π p ως προς τις μετακινήσεις κόμβων, και επειδή π p = π p (d) (όπως έγινε και με τα γραμμικά στοιχεία ράβδων και δοκών) προκύπτει π p {d} = [B] T [D][B]dV {d} {f} = 0. (5.49) V Με αναδιάταξη των (5.49), έχουμε [B] T [D][B]dV {d} = {f}, (5.50) V όπου οι μερικές παράγωγοι ως προς το διάνυσμα {d} ορίσθηκαν προηγουμένως στο κεφάλαιο 3. Από τη σχέση (5.50) προκύπτει [k] = [B] T [D][B]dV. (5.51) Για ένα πεπερασμένο στοιχείο σταθερού πάχους, t, (5.51) έχουμε [k] = t [B] T [D][B]dxdy, V A όπου η ποσότητα μέσα στο ολοκλήρωμα είναι ανεξάρτητη των x ή y για το τριγωνικό στοιχείο σταθερής παραμόρφωσης και συνεπώς μπορεί να βγει έξω από το ολοκλήρωμα και προκύπτει [k] = ta[b] T [D][B], (5.52) όπου το A δίδεται από (5.17), [B] = [B i B j B m ], και το D δίδεται από το (5.6) ή (5.7). Θα χρησιμοποιήσουμε αποκλειστικά στοιχεία σταθερού πάχους, τα οποία προσεγγιστικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για διακριτοποίηση δίσκων

20 200 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ μεταβλητού πάχους, εφόσον γίνει σχετικά πυκνή διακριτοποίηση. Από τη σχέση (5.52) διαπιστώνεται ότι το τοπικό μητρώο δυσκαμψίας k είναι συνάρτηση των συντεταγμένων των κόμβων (επειδή αυτές οι ποσότητες υπεισέρχονται στον ορισμό των [B] και A), καθώς και των μηχανικών σταθερών του υλικού E και ν (των οποίων συνάρτηση είναι η [D]). Η ανάπτυξη της σχέσης (5.52) για ένα στοιχείο γράφεται [k ii ] [k ij ] [k im ] [k] = [k ji ] [k jj ] [k jm ], [k mi ] [k mj ] [k mm ] όπου τα υπομητρώα 2 2 ορίζονται όπως [k ii ] = [B i ] T [D][B i ]ta, [k ij ] = [B i ] T [D][B j ]ta, (5.53) [k im ] = [B i ] T [D][B m ]ta, και έτσι στη σχέση (5.53), οι ποσότητες [B i ], [B j ], και [B m ] ορίζονται μέσω της (5.37). Το μητρώο [k] έχει διαστάσεις 6 6 (δηλαδή ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας ανά κόμβο, δύο, πολλαπλασιασμένος με τον συνολικό αριθμό κόμβων ανά στοιχείο, τρία). Γενικά, πρέπει να χρησιμοποιηθεί η προαναφερθείσα ακριβής περιγραφή της ενέργειας για τον υπολογισμό των επιφανειακών και μαζικών δυνάμεων και τη μεταφορά τους στους βαθμούς ελευθερίας των κόμβων. Οι επικόμβιες δυνάμεις που προκύπτουν ονομάζονται συνεπείς δυνάμεις, επειδή ορίζονται με συνέπεια προς την ενεργειακή υπόθεση και τις συναρτήσεις παρεμβολής. Σε στοιχεία ανώτερης τάξης χρησιμοποιούνται πιο σύνθετες συναρτήσεις παρεμβολής, όπως τετραγωνικές και κυβικές συναρτήσεις. Εναλλακτικά οι μαζικές και επιφανειακές δυνάμεις μοιράζονται στους κόμβος του στοιχείου και δίνουν σημειακές επικόμβιες δυνάμεις, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν ομοίως. Τελικά οι εξισώσεις ισορροπίας δυνάμεων για το στοιχείο γράφονται f 1x u 1 f 1y k 11 k k 16 v 1 f 2x k 21 k k 26 u = 2 f 2y v 2 f 3x k 61 k k 66 u 3 f 3y v 3

21 5.2. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΝΤΑΣΗΣ 201 ΒΗΜΑ 5: Συρραφή των τοπικών εξισώσεων στοιχείου για την εξαγωγή των συνολικών εξισώσεων ισορροπίας και εισαγωγή συνοριακών συνθηκών. Με χρήση της ευθείας μεθόδου ακαμψίας η συρραφή των επιμέρους τοπικών μητρώων δυσκαμψίας από τα πεπερασμένα στοιχεία για την εξαγωγή του ολικού μητρώου ακαμψίας γράφεται συμβολικά ως [K] = N [k (e) ] (5.54) e=1 ενώ το προκύπτον σύστημα εξισώσεων έχει τη μορφή {F } = [K]{d}, (5.55) όπου στην εξίσωση (5.54), όλα τα τοπικά μητρώα δυσκαμψίας των στοιχείων ορίζονται στο ίδιο ολικό σύστημα συντεταγμένων x y, το διάνυσμα {d} είναι το ολικό διάνυσμα των βαθμών ελευθερίας (μετακινήσεων), και το διάνυσμα {F } = N {f (e) } (5.56) e=1 συμπεριλαμβάνει όλες τις μαζικές και επιφανειακές φορτίσεις, εκφρασμένες ως συγκεντρωμένα φορτία πάνω στους κόμβους του διακριτοποιημένου φορέα, είτε με την απλοποιημένη μορφή είτε με τη συνεπή μεταφορά με χρήση της σχέσης (5.48). Υπενθυμίζουμε ότι η εξαγωγή του τοπικού μητρώου δυσκαμψίας (5.52), έγινε σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων. Η εξίσωση (5.52) ισχύει για όλα τα στοιχεία. Όλα τα μητρώα των στοιχείων έχουν εκφρασθεί σε ολικό σύστημα συντεταγμένων. Συνεπώς δεν χρειάστηκε η αλλαγή συστήματος συντεταγμένων από το τοπικό στο ολικό σύστημα πριν τη συρραφή των επιμέρους στοιχείων για τη δημιουργία του ολικού συστήματος. Για πληρότητα περιγράφεται στη συνέχεια η αλλαγή του συστήματος συντεταγμένων. Όταν οι τοπικοί άξονες αναφοράς για το τριγωνικό πεπερασμένο στοιχείο σταθερής έντασης δεν συμπίπτουν με τους άξονες του ολικού συστήματος αναφοράς, πρέπει να εφαρμοσθεί αλλαγή συστήματος αναφοράς που ισοδυναμεί με στροφή. Ο μετασχηματισμός του συστήματος αναφοράς για το τριγωνικό πεπερασμένο στοιχείο θα επιδειχθεί για την περίπτωση ενός τοπικού συστήματος αναφοράς ˆx-ŷ που δεν συμπίπτει με το ολικό σύστημα αναφοράς x y. Ο μετασχηματισμός ακολουθεί τη μεθοδολογία που περιγράφτηκε στην Κεφάλαιο

22 202 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ 3, με τις ίδιες γενικές σχέσεις (3.127), (3.129) και (3.135), να συνδέουν τις τοπικές με τις ολικές μετακινήσεις, δυνάμεις και μητρώα δυσκαμψίας, αντίστοιχα. Δηλαδή έχουμε ˆd = T d, ˆf = T f, k = T T ˆkT, (5.57) όπου με (3.128) συμβολίζεται το μητρώο μετασχηματισμού T που χρησιμοποιείται στη σχέση (5.57), το οποίο πρέπει να διευρυνθεί για να λάβει υπόψη του την ύπαρξη δύο επιπλέον βαθμών ελευθερίας στο τριγωνικό στοιχείο σταθερής παραμόρφωσης. Συνεπώς το (3.128) διευρύνεται σε όπου C = cos θ, S = sin θ. C S u i S C v i T = 0 0 C S 0 0 u j 0 0 S C 0 0, v j C S 0 0 C S u m C S 0 0 S C v m ΒΗΜΑ 6: Επίλυση για τις επικόμβιες μετακινήσεις. Μετά την επιβολή κατάλληλων συνοριακών συνθηκών (στηρίξεις) επιλύουμε την εξίσωση (5.55) και καθορίζονται οι μετακινήσεις στους κόμβους. ΒΗΜΑ 7: Μετεπεξεργασία και υπολογισμός των τάσεων. Έχοντας υπολογίσει τις μετακινήσεις στους κόμβους, οι παραμορφώσεις και οι τάσεις σε κάθε στοιχείο με χρήση του συστήματος αναφοράς x και y μπορούν να υπολογιστούν με χρήση των σχέσεων (5.38) και (5.40). Επειδή το στοιχείο έχει σταθερές παραμορφώσεις, οι τάσεις είναι επίσης σταθερές σε κάθε θέση μέσα στο στοιχείο. Στη συμβολή δύο γειτονικών τριγωνικών στοιχείων προκύπτει άλμα (ασυνέχεια) στις τιμές των παραμορφώσεων και τάσεων, γεγονός που υπενθυμίζει τον προσεγγιστικό χαρακτήρα της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Υπενθυμίζεται επίσης ότι η χρήση ενός συστήματος αναφοράς είναι αυθαίρετη και η αντίστοιχη έκφραση του τανυστή των τάσεων εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς. Συνεπώς πιθανώς να χρειάζεται ο υπολογισμός των κυρίων τάσεων σ 1 και σ 2 με χρήση του μετασχηματισμού (5.2), μαζί με τη γωνία που σχηματίζει το σύστημα αναφοράς των κυρίων τάσεων ως προς το αρχικό σε κάθε στοιχείο να δίδεται από τη σχέση (5.3).

23 5.3. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Το τριγωνικό πεπερασμένο στοιχείο γραμμικής μεταβολής της παραμόρφωσης (Linear-Strain Triangular LST) Ως παράδειγμα στοιχείου ανώτερης τάξης, περιγράφεται εδώ ένα τριγωνικό πεπερασμένο στοιχείο με γραμμική παρεμβολή στις παραμορφώσεις. Το στοιχείο είναι διαθέσιμο σε πολλά προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων και έχει καλύτερη συμπεριφορά, συγκρινόμενο με το απλούστερο τριγωνικό πεπερασμένο σταθερής παραμόρφωσης του προηγούμενου Παράγραφου 5.2. Το τριγωνικό στοιχείο γραμμικής παραμόρφωσης LST έχει έξι κόμβους και δώδεκα κινηματικούς βαθμούς ελευθερίας (μετακινήσεις) στους κόμβους. Οι συναρτήσεις παρεμβολής στο στοιχείο είναι τετραγωνικές συναρτήσεις, αντί για τις γραμμικές που χρησιμοποιήθηκαν στο στοιχείο σταθερής παραμόρφωσης CST. Χρησιμοποιούνται τα ίδια βήματα για την εξαγωγή των σχέσεων του στοιχείου LST με εκείνα που χρησιμοποιήθηκαν για το στοιχείο CST. ΒΗΜΑ 1: Επιλογή του τύπου του στοιχείου. Θεωρούμε το τριγωνικό στοιχείο του Σχήματος 5.12 που περιγράφεται από τους τρεις κόμβους στις κορυφές του και τρεις ακόμα κόμβους τοποθετημένους στα μέσα των πλευρών. Η επιλογή της θέσης των κόμβων δεν είναι μονοσήμαντη και θα μπορούσε να είναι διαφορετική. Οι μετακινήσεις των κόμβων δίδονται από τις σχέσεις d 1 d 2 u 1 v 1 u 2 v 2 d {d} = 3 v = 3. d 4 u 4 d 5 v 4 d 6 u 5 v 5 u 3 u 6 v 6

24 204 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Σχήμα 5.12: Το βασικό εξάκομβο τριγωνικό στοιχείο και οι βαθμοί ελευθερίας του. ΒΗΜΑ 2: Επιλογή των συναρτήσεων παρεμβολής. Επιλέγουμε τετραγωνικές συναρτήσεις παρεμβολής για τις μετακινήσεις μέσα σε κάθε στοιχείο u(x, y) = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 x 2 + a 5 xy + a 6 y 2, v(x, y) = a 7 + a 8 x + a 9 y + a 10 x 2 + a 11 xy + a 12 y 2. (5.58) Ο αριθμός των σταθερών a i είναι δώδεκα, και είναι ίσος με τον συνολικό αριθμό βαθμών ελευθερίας του στοιχείου. Η ύπαρξη τριών κοινών κόμβων κατά μήκος της κοινής πλευράς δύο συνορευόντων στοιχείων εξασφαλίζει τη συνέχεια των μετακινήσεων κατά μήκος της πλευράς. Γενικά, σε τριγωνικά ή άλλα στοιχεία, μπορούμε να χρησιμοποιούμε ένα πλήρες πολυώνυμο των καρτεσιανών συντεταγμένων για την προσέγγιση του πεδίου μετακινήσεων μέσα στο στοιχείο. Η επιλογή των στοιχείων γίνεται από το τρίγωνο του Pascal, Σχήμα Με τη χρήση όσων εσωτερικών κόμβων είναι απαραίτητοι, μπορούν να αναπτυχθούν στοιχεία ανώτερης τάξης που χρησιμοποιούν όρους τρίτης και τέταρτης τάξης στις συναρτήσεις παρεμβολής με χρήση στοιχείων από το τρίγωνο του Pascal, όπως φαίνεται στο Σχήμα Αυτό συνέβη και με τη γραμμική παρεμβολή του προηγούμενου στοιχείου CST στην

25 5.3. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 205 CST LST QST Σχήμα 5.13: Η σχέση μεταξύ του τύπου ενός επίπεδου τριγωνικού στοιχείου και των συντελεστών του πολυωνύμου, βασιζόμενη στο τρίγωνο του Pascal. παράγραφο 5.2 ή με την τετραγωνική παρεμβολή του στοιχείου LST που περιγράφεται εδώ. Αντίστοιχα η χρήση μιας πλήρους κυβικής συνάρτησης οδηγεί στην ανάπτυξη τριγωνικών στοιχείων τετραγωνικής προσέγγισης ως προς τις παραμορφώσεις (Quadratic Strain Triangle QST), τα οποία απαιτούν τη χρήση ενός επιπλέον εσωτερικού κόμβου. Επειδή το πεπερασμένο στοιχείο απαιτείται να αποδίδει χωρίς παρασιτικές παραμορφώσεις και τάσεις μετακινήσεις στερεού σώματος, τα πολυώνυμα που χρησιμοποιούνται πρέπει να είναι πλήρη και να μη λείπουν όροι κατώτερης τάξης. Οι συναρτήσεις μετακίνησης, (5.58), εκφράζονται σε μητρωική μορφή {ψ} = { } u = v [ 1 x y x 2 xy y x y x 2 0 xy y 2 ] a 1 a 2. a 12. (5.59) Εναλλακτικά, μπορούμε να εκφράσουμε (5.59) ως {ψ} = [M ]{a}, (5.60) όπου το [M ] συμβολίζει τον πρώτο όρο στο δεξί μέλος της (5.59). Οι σταθερές a 1 έως a 12 υπολογίζονται με αντικατάσταση των σχέσεων στις μετακινήσεις u και v ως ακολούθως: {d} = [X]{a},

26 206 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ u 1 u u όπου {d} = 6 1 x, [X] = 6 y 6 x 2 6 x 6 y 6 y v x 1 y 1 x 2 1 x 1 y 1 y1 2 a 1 a 2. a {a} = 6. a 7. a 11 a 12. v 5 v 6 Επιλύοντας ως προς a i, προκύπτει 1 x 1 y 1 x 2 1 x 1 y 1 y x 2 y 2 x 2 2 x 2 y 2 y x 5 y 5 x 2 5 x 5 y 5 y x 6 y 6 x 2 6 x 6 y 6 y6 2, {a} = [X] 1 {d}. (5.61) Σημειώνουμε ότι μόνο το 6 6 κομμάτι του [X] στη σχέση (5.61) απαιτείται να αντιστραφεί. Αντικαθιστώντας την (5.61) στη σχέση (5.60), προκύπτουν οι γενικές σχέσεις ως συνάρτηση των συναρτήσεων παρεμβολής και των βαθμών ελευθερίας στους κόμβους {ψ} = [N]{d}, όπου [N] = [M ][X] 1. ΒΗΜΑ 3: Ορισμός των σχέσεων παραμόρφωσης-μετακίνησης και τάσηςπαραμόρφωσης. Οι παραμορφώσεις των στοιχείων δίδονται από τη σχέση (5.4). Με χρήση της (5.59) για τα u και v στην (5.4) όπως προκύπτει από τη

27 5.3. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 207 σχέση (5.5) λαμβάνουμε a 1 a x y {ε} = x 2y a 6. (5.62) a x 2y x y 0 7. a 11 Παρατηρούμε ότι η (5.62) οδηγεί σε γραμμική μεταβολή των παραμορφώσεων στο στοιχείο. Συνεπώς το στοιχείο καλείται τριγωνικό στοιχείο γραμμικής παραμόρφωσης, Linear Strain Triangle (LST). Με αναδιάταξη των σχέσεων (5.62), προκύπτει {ε} = [M ]{a}, (5.63) όπου το [M ] είναι το πρώτο διάνυσμα στο δεξί μέλος της (5.62). Με αντικατάσταση των (5.61) για τις σταθερές a i στη (5.63), έχουμε ε σαν συνάρτηση των επικόμβιων μετακινήσεων {ε} = [B]{d}, όπου το [B] είναι συνάρτηση των μεταβλητών x και y και των συντεταγμένων στους κόμβους (x 1, y 1 ) έως (x 6, y 6 ) που δίδεται από τη σχέση a 12 [B] = [M ][X] 1, (5.64) όπου έχει χρησιμοποιηθεί η (5.61) στην (5.64). Σημειώνουμε ότι στην περίπτωση αυτή το [B] είναι ένας πίνακας με διαστάσεις Οι τάσεις δίδονται από τις σχέσεις (5.39) και (5.40), δηλαδή σ x σ y τ xy = [D][B]{d}, όπου το [D] είναι ίσο με (5.6) για προβλήματα επίπεδης έντασης, ή με το (5.7) για προβλήματα επίπεδης παραμόρφωσης. Οι τάσεις είναι τώρα γραμμικές συναρτήσεις των συντεταγμένων x και y.

28 208 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΒΗΜΑ 4: Εξαγωγή των μητρώων δυσκαμψίας του στοιχείου και των εξισώσεων ισορροπίας. Το μητρώο εξάγεται, όπως και στην παράγραφο 5.2, με χρήση της γενικής έκφρασης (5.51) [k] = [B] T [D][B]dV. (5.65) V Στην περίπτωση αυτή όμως το μητρώο [B] είναι συνάρτηση των συντεταγμένων x και y όπως δίδεται στη σχέση (5.64). Συνεπώς πρέπει να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα (5.65). Τελικά το μητρώο [B] παίρνει τη μορφή [B] = 1 2A β 1 0 β 2 0 β 3 0 β 4 0 β 5 0 β γ 1 0 γ 2 0 γ 3 0 γ 4 0 γ 5 0 γ 6, γ 1 β 1 γ 2 β 2 γ 3 β 3 γ 4 β 4 γ 5 β 5 γ 6 β 6 όπου τα στοιχεία β και γ είναι συναρτήσεις των x και y καθώς και των συντεταγμένων στους κόμβους. Το μητρώο δυσκαμψίας είναι ένα μητρώο και προκύπτει από πολλαπλασιασμό των μητρώων που φαίνεται στη σχέση (5.65). Το μητρώο δυσκαμψίας (5.65), μπορεί να δημιουργηθεί και με προγράμματα άλγεβρας με τον υπολογιστή και δεν χρειάζεται να παρατεθεί εδώ. Στην ειδική περίπτωση που κέντρο του συστήματος συντεταγμένων επιλεγεί το γεωμετρικό κέντρο του στοιχείου, οι ολοκληρώσεις γίνονται απλούστερες [20]. Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθούν χωρικές συντεταγμένες πάνω στο τριγωνικό στοιχείο [2, 7, 20] για τη γραφή του στοιχείου σε απλούστερη μορφή. ΒΗΜΑΤΑ 5 7: Δημιουργία του καθολικού μητρώου δυσκαμψίας και εξισώσεις ισορροπίας. Τα βήματα αυτά είναι ίδια με την περίπτωση του τριγωνικού στοιχείου σταθερής παραμόρφωσης που παρουσιάστηκε προηγουμένως 5.2. Στην περίπτωση αυτή βέβαια, αντί για σταθερές τιμές παραμορφώσεων και τάσεων, έχουμε γραμμική μεταβολή τους μέσα στο στοιχείο. Συνήθως χρησιμοποιείται η τιμή τους στο κέντρο βάρους του στοιχείου. Σε στοιχεία ανώτερης τάξης η ακρίβεια της προσέγγισης είναι διαφορετική σε διαφορετικές θέσεις μέσα στο στοιχείο και εξαρτάται από τη μέθοδο ολοκλήρωσης. Για παράδειγμα, όταν χρησιμοποιείται μέθοδος αριθμητικής ολοκλήρωσης κατά Gauss, η ακρίβεια είναι συνήθως καλύτερη στα σημεία αριθμητικής ολοκλήρωσης. Σύγκριση των στοιχείων. Για ένα δεδομένο αριθμό κόμβων, γενικά, τα πεδία τάσεων και μετακινήσεων προσεγγίζονται καλύτερα με χρήση στοιχείων LST σε

29 5.3. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 209 ( ) Σχήμα 5.14: Το βασικό τριγωνικό στοιχείο (α) τέσσερα τριγωνικά στοιχεία σταθερής παραμόρφωσης και (β) ένα τριγωνικό στοιχείο γραμμικά μεταβαλλόμενης έντασης. σύγκριση με τη χρήση των απλούστερων στοιχείων CST. Θα πρέπει βέβαια να ληφθούν υπόψη και επιπλέον γενικοί κανόνες καλής διακριτοποίησης, όπως η αποφυγή τριγωνικών στοιχείων με οξείες γωνίες και να γίνεται πύκνωση σε περιοχές που αναμένονται μεγάλες μεταβολές των πεδίων, όπως σε περιπτώσεις συγκέντρωσης τάσεων κοντά σε οπές κ. ά. Παράδειγμα Παράδειγμα πύκνωσης. Το δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων που χρησιμοποιούμε επηρεάζει τα αποτελέσματα άμεσα εφόσον με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων προσεγγίζουμε τη λύση του συνεχούς μέσου με χωρισμό σε διακριτά μέρη. Όσο μεγαλύτερο αριθμό πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιούμε και με καλή αναλογία πλευρών καθώς και αποφυγή πολύ μικρών ή πολύ μεγάλων γωνιών τόσο η λύση είναι πιο ακριβής. Φυσικά αυξάνοντας τον αριθμό των κόμβων αυξάνεται και το υπολογιστικό κόστος, που είναι σημαντική παράμετρος, ιδιαίτερα στη επίλυση μεγάλων προβλημάτων (π.χ. κατασκευές μεγάλου μεγέθους). Πηγαίνοντας από ένα αραιότερο δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων σε ένα πυκνότερο, η μεταβολή των αποτελεσμάτων όλο και μειώνεται. Όταν τα αποτελέσματα διαδοχικών διακριτοποιήσεων τείνουν να έχουν σταθερή τιμή (ύπαρξη όχι σημαντικής διαφοροποίησης στα αποτελέσματα) τότε θεωρούμε ότι έχουμε καλή προσέγγιση και μπορούμε σταματήσομε την περαιτέρω πύκνωση του δικτύου. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 5.15, δίνεται ένας δίσκος 5 3, ο οποίος στηρίζεται σταθερά (περιορισμός μετακινήσεων και στροφών) στο αριστερό κατακόρυφο όριο του ενώ φορτίζεται με ένα συνολικό φορτίο 550 κατακόρυφο στο δεξιό κα-

30 210 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ τακόρυφο άκρο του (κατανεμημένο στους αντίστοιχους κόμβους ως σημειακό φορτίο). Το πάχος του δίσκου είναι b = 0, 1. Το υλικό κατασκευής έχει μέτρο ελαστικότητας = και λόγο Poison = 0, 3. A 3 5 Σχήμα 5.15: Γεωμετρία δίσκου, προβόλου. Ο συγκεκριμένος φορέας διακριτοποιήθηκε με τετρακομβικά πεπερασμένα στοιχεία επίπεδης έντασης. Αρχικά ο φορέας χωρίστηκε σε ένα αραιό δίκτυο 5 5 και στη συνέχεια έγινε πύκνωση σταδιακά των πεπερασμένων στοιχείων πέντε φορές 10 10, 15 15, 20 20, και 30 30, όπως φαίνεται στο Σχήμα Η κατανομή των κατακόρυφων μετακινήσεων δίνεται στο Σχήμα 5.17, ενώ οι τιμές της κατακόρυφης μετακίνησης του σημείου Α (Σχ. 5.15) σε αντιστοιχία με τα αναλυτικά στοιχεία των μοντέλων που δίνονται στο Πίνακα 5.1. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.18, η πύκνωση του δικτύου των πεπερασμένων στοιχείων οδηγεί σε σύγκλιση της λύσης.

31 5.3. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 211 Περίπτωση 1 (5x5) Περίπτωση 2 (10x10) Περίπτωση 3 (15x15) Περίπτωση 4 (20x20) Περίπτωση 5 (25x25) Περίπτωση 5 (30x30) Σχήμα 5.16: Δίκτυα πεπερασμένων στοιχείων επίπεδου δίσκου-προβόλου. Περίπτωση Κάναβος Μέγεθος Αριθμός Αριθμός Κατακόρυφη στιοιχείου κόμβων στοιχείων μετατόπιση σημείου Α 1 5x5 1,00x0, x10 0,50x0, x15 0,33x0, x20 0,25x0, x25 0,20x0, x30 0,17x0, Πίνακας 5.1: Αποτελέσματα πύκνωσης δικτύου πεπερασμένων στοιχείων επίπεδου δίσκου

32 Κατακόρυφη μετατόπιση σημείου Α 212 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Σχήμα 5.17: Κατανομή κατακόρυφων μετακινήσεων. -1,220-1,230-1,240-1,250-1,260-1,270-1,280-1,290-1,300-1,310-1, Αριθμός κόμβων Σχήμα 5.18: Καμπύλη σύγκλισης αποτελεσμάτων.

33 5.4. ΠΛΑΚΕΣ ΣΕ ΚΑΜΨΗ Πλάκες σε κάμψη Μέχρι τώρα παρουσιάστηκαν πλάκες σε φόρτιση εντός του επιπέδου τους (μοντέλα επίπεδης ελαστικότητας που εξειδικεύτηκαν σε επίπεδη ένταση και επίπεδη παραμόρφωση). Μια επίπεδη πλάκα με φόρτιση κάθετα στο επίπεδό της οδηγεί σε ένα άλλο χρήσιμο μοντέλο της μηχανικής, την πλάκα σε κάμψη, ανάλογο με το μοντέλο της δοκού σε κάμψη. Θα παρουσιαστεί εδώ μια απλή θεωρία πλάκας σε κάμψη μαζί με το αντίστοιχο πεπερασμένο στοιχείο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση πλακών σε κάμψη Υποθέσεις της θεωρίας πλάκας σε κάμψη Η πλάκα μπορεί να θεωρηθεί ως επέκταση της θεωρίας δοκού, με ανάλογες υποθέσεις. Οι πλάκες, όπως και οι δοκοί, υποστηρίζουν φορτία που τοποθετούνται κάθετα στο επίπεδό τους μέσω κάμψεως. Η πλάκα είναι επίπεδη (σε αντίθετη περίπτωση θα χρειαζόμασταν θεωρία κελύφους). Η δοκός είχε καμπτική ακαμψία σε μία διεύθυνση, ενώ η πλάκα σε δύο διευθύνσεις και επιπλέον ακαμψία στρεπτικής παραμόρφωσης. Θα βασιστούμε στην κλασική θεωρία λεπτής πλάκας ή θεωρία Kirchhof ([1], [3], [10] κλπ) πολλές από τις υποθέσεις της οποίας είναι ανάλογες με την κλασική θεωρία δοκού σε κάμψη ή δοκού Euler Bernoulli. Γεωμετρική μορφή και παραμόρφωση. Θεωρούμε τη λεπτή πλάκα στο επίπεδο x y με πάχος t κατά τη διεύθυνση του άξονα z όπως φαίνεται στο Σχήμα Οι πάνω και κάτω επιφάνειες της πλάκας ευρίσκονται σε ύψος (συντεταγμένες) z = ±t/2, ενώ το μέσο επίπεδο στη θέση z = 0. Η γεωμετρία της πλάκας έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: (1) Το πάχος είναι πολύ μικρότερο από τις διαστάσεις της πλάκας b και c (δηλαδή, t b or c). (Εάν το πάχος t είναι μεγαλύτερο από το ένα δέκατο του μήκους, οι διατμητικές παραμορφώσεις πρέπει να ληφθούν υπόψη στη θεωρία της πλάκας και τότε μιλάμε για παχιά πλάκα.) (2) Η εγκάρσια παραμόρφωση w είναι πολύ μικρότερη από το πάχος t (δηλαδή, w/t 1). Οι υποθέσεις της θεωρίας Kirchhoff. Θεωρούμε μια διαφορική (μικρή) τομή από την πλάκα από επίπεδα κάθετα στον άξονα x όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.20(α). Η φόρτιση q προκαλεί παραμόρφωση της πλάκας στη διεύθυνση του άξονα z, και η μετακίνηση w στο σημείο P. θεωρείται ότι είναι συνάρτηση μόνο

34 214 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ y z 2c q 2b t x Σχήμα 5.19: Μοντέλο λεπτής πλάκας σε κάμψη. (α) (β) Σχήμα 5.20: Τομή της πλάκας πάχους t (α) στην απαραμόρφωτη κατάσταση (β) στην παραμορφωμένη κατάσταση, με τις μετακινήσεις του σημείου P σύμφωνα με τη θεωρία Kirchhoff. Οι εγκάρσιες διατμητικές παραμορφώσεις αμελούνται, και συνεπώς οι ορθές γωνίες στην τομή παραμένουν ορθές. Οι μετακινήσεις στο επίπεδο y z είναι παρόμοιες.

35 5.4. ΠΛΑΚΕΣ ΣΕ ΚΑΜΨΗ 215 των συντεταγμένων x και y, δηλαδή, w = w(x, y) ενώ η πλάκα δεν παραμορφώνεται στη διεύθυνση z. Μια γραμμή a b κάθετα στο μέσο επίπεδο της πλάκας, παραμένει κάθετα στο μέσο επίπεδο μετά την παραμόρφωση Σχήμα 5.20(b). Αυτό είναι συνεπές με τις υποθέσεις του Kirchhoff ως ακολούθως: 1. Οι κάθετες στο επίπεδο πλευρές παραμένουν κάθετες. Συνεπώς οι εγκάρσιες διατμητικές παραμορφώσεις y yz = 0 και ομοίως y xz = 0. Όμως, γενικά το y xy δεν μηδενίζεται και συνεπώς οι κάθετες γωνίες στο επίπεδο της πλάκας δεν παραμένουν κάθετες μετά την παραμόρφωση. Η πλάκα μπορεί να συστραφεί στο επίπεδο. 2. Οι αλλαγές στο πάχος μπορούν να αμεληθούν και οι κάθετες διαστάσεις δεν παραμορφώνονται. Αυτό σημαίνει ότι οι κάθετες παραμορφώσεις, ε z = Οι κάθετες τάσεις σ z δεν έχουν επίδραση στην εντός επιπέδου παραμόρφωση ε x και ε y, στις εξισώσεις τάσεων-παραμορφώσεων, και θεωρούνται αμελητέες. 4. Μεμβρανικές ή εντός επιπέδου δυνάμεις αμελούνται, και εάν χρειαστεί η εντός επιπέδου λειτουργία μπορεί να θεωρηθεί χωριστά αργότερα, κατ αναλογία με την επαλληλία της λειτουργίας ράβδου και δοκού σε κάμψη (π.χ. ένας δίσκος με τριγωνικά στοιχεία σταθερής παραμόρφωσης όπως στην Παράγραφο 5.2 μπορεί να συνδυαστεί με τη θεωρία πλάκας σε κάμψη). Με άλλα λόγια οι εντός επιπέδου παραμορφώσεις στο μέσο επίπεδο της πλάκας και στις κατευθύνσεις των αξόνων x και y μηδενίζονται, u(x, y, 0) = 0 and v(x, y, 0) = 0. Βασισμένοι στην υπόθεση του Kirchhof, κάθε σημείο P στο Σχήμα 5.20 έχει μετακίνηση στην κατεύθυνση x εξαιτίας της μικρής στροφής a του ( ) w u = zα = z x το ίδιο σημείο έχει εκτόπισμα στην y κατεύθυνση ( ) w v = z. y Οι καμπυλότητες της πλάκας ορίζονται συνεπώς με χρήση της παραγώγου της στροφικής μετακίνησης των καθέτων ως εξής k x = 2 w x 2, k y = 2 w y 2, k xy = 2 2 w x y. (5.66)

36 216 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Στη θεωρία δοκού χρησιμοποιήθηκε το πρώτο κομμάτι της (5.66). Με χρήση των ορισμών για τις παραμορφώσεις εντός επιπέδου (5.4), και την (5.66), οι εξισώσεις μεταξύ των εντός επιπέδου μετακινήσεων και παραμορφώσεων γράφονται ή με χρήση των (5.66) ε x = z 2 w x 2, ε y = z 2 w y 2, γ xy = 2z 2 2 w x y. (5.67) ε x = zk x, ε y = zk y, γ xy = zk xy. (5.68) Η πρώτη των σχέσεων (5.67) χρησιμοποιήθηκε στη θεωρία δοκού, οι υπόλοιπες είναι καινούργιες και εισάγονται από τη θεωρία πλάκας. q t (α) (β) Σχήμα 5.21: Διαφορικό στοιχείο της πλάκας με (α) τάσεις στις πλευρές του και (β) ροπές κάμψεως και δυνάμεις. Σχέσεις τάσεων-παραμορφώσεων. Βασιζόμενοι στην τρίτη από τις παραπάνω υποθέσεις, οι εξισώσεις της επίπεδης ελαστικότητας μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αλληλοσυσχέτιση των εντός επιπέδου τάσεων με τις εντός επιπέδου παραμορφώσεις για ένα ισότροπο υλικό ως ακολούθως σ x = E 1 ν 2 (ε x + νε y ), σ y = E 1 ν 2 (ε y + νε x ), τ xy = Gγ xy. (5.69)

37 5.4. ΠΛΑΚΕΣ ΣΕ ΚΑΜΨΗ 217 Οι κάθετες και διατμητικές τάσεις εντός επιπέδου φαίνονται να επενεργούν στα άκρα της πλάκας στο Σχήμα 5.21(α). Κατ αναλογία με τη μεταβολή τάσεων στη δοκό, οι τάσεις αυτές μεταβάλλονται γραμμικά στη διεύθυνση του άξονα z σε σχέση με την απόσταση από το μέσο επίπεδο της πλάκας. Οι εγκάρσιες διατμητικές τάσεις τ yz και τ xz είναι επίσης παρούσες, παρόλο που η εγκάρσια διατμητική παραμόρφωση αμελείται. Όπως και στη θεωρία δοκού, αυτές οι εγκάρσιες τάσεις υποτίθεται ότι έχουν τετραγωνική κατανομή κατά μήκος του πάχους της πλάκας. Οι τάσεις της σχέσης (5.69) συσχετίζονται με τις ροπές κάμψεως M x και M y καθώς και τη ροπή συστροφής M xy που εφαρμόζεται στα άκρα της πλάκας, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.21(β). Οι ροπές είναι συναρτήσεις των x και y και υπολογίζονται ανά μονάδα μήκους στο επίπεδο της πλάκας, M x = t/2 t/2 zσ x dz, M y = t/2 t/2 zσ y dz, M xy = t/2 t/2 zσ xy dz. (5.70) Οι ροπές συσχετίζονται με τις καμπυλότητες της παραμορφωμένης πλάκας, αφού εισαχθεί η σχέση (5.68) στη σχέση (5.69) και εν συνεχεία χρήση των τάσεων στη σχέση (5.71) για να προκύψει M x = D(κ x + νκ y ), M y = D(κ y + νκ x ), M xy = D(1 ν) κ xy, (5.71) 2 όπου το D = Et 3 /[12(1 ν 2 )] καλείται καμπτική δυσκαμψία της πλάκας. Οι μέγιστες τιμές των ορθών τάσεων σε κάθε πλευρά της πλάκας βρίσκονται στην κορυφή ή στην βάση z = t/2. Για παράδειγμα, μπορεί να δειχθεί ότι σ x = 6M x t 2. Η μορφή αυτή είναι παρόμοια με τη διατμητική μορφή σ x = M x c/i όταν εφαρμόζεται σε μοναδιαίο πλάτος πλάκας και τότε c = t/2. Η διαφορική εξίσωση που διέπει το πρόβλημα πλάκας σε κάμψη καθορίζει την επιλογή των συναρτήσεων παρεμβολής για τις μετακινήσεις στο πεπερασμένο στοιχείο. Η βάση για τη διατύπωσή της είναι οι διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας που γράφονται εάν ληφθεί υπόψη η ισορροπία δυνάμεων κατά μήκος του άξονα z και με την ισορροπία των ροπών γύρω από τους άξονες x και y, αντίστοιχα. Τελικώς

38 218 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ προκύπτει το ακόλουθο σύστημα διαφορικών εξισώσεων: Q x x + Q y y + q = 0, M x x + M xy Q x = 0, (5.72) y M y y + M xy x Q y = 0, όπου q είναι η εγκάρσια κατανεμημένη δύναμη και Q x, Q y είναι οι διατμητικές φορτίσεις που φαίνονται στο Σχήμα 5.21 (β). Με την αντικατάσταση των σχέσεων μεταξύ ροπών και καμπυλότητας από το (5.71) στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση (5.72), επίλυση ως προς Q x και Q y, και αντικατάσταση των σχέσεων που προκύπτουν στην πρώτη εξίσωση (5.72), προκύπτουν οι μερικές διαφορικές εξισώσεις που ισχύουν για την ισότροπη, λεπτή πλάκα σε κάμψη ( ) 4 w D x w 4 x 2 y + 4 w = q. (5.73) 2 y 4 Από την (5.73), παρατηρούμε ότι η επίλυση εξαρτάται αποκλειστικά από το πεδίο εγκάρσιων μετακινήσεων w. Επιπλέον, εάν παραλειφθούν οι παραγωγίσεις ως προς τη μεταβλητή y, η σχέση (5.73) απλοποιείται και οδηγεί στην σχέση για δοκού (όπου η διατμητική δυσκαμψία D της δοκού οδηγεί στην ποσότητα EI της δοκού, όταν ο λόγος Poisson μηδενιστεί και θεωρηθεί μοναδιαίο πλάτος δοκού). Δυναμική ενέργεια της πλάκας. Η συνολική δυναμική ενέργεια της πλάκας δίδεται από τη σχέση U = 1 (σ x ε x + σ y ε y + τ xy γ xy )dv. (5.74) 2 ή ισοδύναμα με χρήση των ολοκληρωτικών μεγεθών, ροπών και καμπυλοτήτων, με αντικατάσταση των (5.68) και (5.71) στην (5.74) U = 1 (M x κ x + M y κ y + M xy κ xy )da 2

39 5.4. ΠΛΑΚΕΣ ΣΕ ΚΑΜΨΗ Μητρώο δυσκαμψίας για πεπερασμένο στοιχείο πλάκας σε κάμψη Έχουν αναπτυχθεί αρκετά πεπερασμένα στοιχεία πλάκας σε κάμψη τα τελευταία χρόνια (88 διαφορετικά αναφέρονται στο [3]), και αυτό δείχνει την πολυπλοκότητα του μοντέλου της πλάκας. Στην παράγραφο αυτή θα περιγραφεί συνοπτικά ένα βασικό ορθογωνικό στοιχείο με 12 βαθμούς ελευθερίας, όπως φαίνεται στο Σχήμα Περισσότερες πληροφορίες και άλλα στοιχεία πλάκας, παραπέμπουμε στις αναφορές αυτού του κεφαλαίου. Σχήμα 5.22: Βασικό ορθογωνικό στοιχείο πλάκας. ΒΗΜΑ 1: Επιλογή τύπου στοιχείου. Θεωρούμε το πεπερασμένο στοιχείο πλάκας σε κάμψη με 12 βαθμούς ελευθερίας του Σχήματος Κάθε κόμβος έχει 3 βαθμούς ελευθερίας, την εγκάρσια μετακίνηση w κατά μήκος του άξονα z, τη στροφή θ x γύρω από τον άξονα x, και τη στροφή θ y γύρω από τον άξονα y. Το διάνυσμα μετακινήσεων του κόμβου i γράφεται {d x } = w i θ xi θ yi,

40 220 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ όπου οι στροφές συσχετίζονται με τις εγκάρσιες μετακινήσεις μέσω των σχέσεων θ x = + w y, θ y = w x. Το συνολικό διάνυσμα μετακινήσεων του στοιχείου έχει τη μορφή {d} = {d i d j d m d n } T. ΒΗΜΑ 2: Επιλογή των συναρτήσεων παρεμβολής. Επιλέγουμε την ακόλουθη πολυωνυμική προσέγγιση, συνάρτηση των συντεταγμένων x και y, η οποία περιέχει 12 σταθερές, όσοι ακριβώς και οι βαθμοί ελευθερίας του στοιχείου: w = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 x 2 + a 5 xy + a 6 y 2 + a 7 x 3 + a 8 x 2 y +a 9 xy 2 + a 10 y 3 + a 11 x 3 y + a 12 xy 3. (5.75) Η εξίσωση (5.75) περιγράφει ένα μη πλήρες πολυώνυμο τετάρτου βαθμού στα πλαίσια του τριγώνου του Pascal (Σχήμα 5.13). Η επιλογή της συγκεκριμένης συνάρτησης έγινε με στόχο τη συνέχεια των μετακινήσεων κατά μήκος κοινών πλευρών με γειτονικά στοιχεία και επίσης επιτρέπει μετακινήσεις στερεού σώματος και σταθερής παραμόρφωσης χωρίς παρασιτικές τάσεις. Παρόλα αυτά, ασυνέχεια στην παράγωγο κατά μήκος κοινών συνόρων με γειτονικά στοιχεία δεν αποκλείεται. Για να παρατηρήσουμε την ασυνέχεια στις κλίσεις, υπολογίζουμε το πολυώνυμο και τις κλίσεις του κατά μήκος μιας πλευράς, (π.χ. κατά μήκος της πλευράς i j, στον x άξονα του Σχήματος Τότε προκύπτει w = a 1 + a 2 x + a 4 x 2 + a 3 7, w x = a 2 + 2a 4 x + 3a 7 x 2, w y = a 3 + a 5 x + a 8 x 2 + a 12 x 3. Η μετακίνηση w είναι συνάρτηση όμοια με εκείνη της δοκού, ενώ η κλίση w/ x είναι η ίδια με τη δοκό. Στη θεωρία της δοκού οι τέσσερις σταθερές a 1, a 2, a 4, και a 7 μπορούν να υπολογιστούν από τις σχέσεις στα άκρα (w i, w j, θ yi, θ yj ). Συνεπώς, οι w και w/ x υπολογίζονται πλήρως κατα μήκος των πλευρών. Η κάθετη κλίση w/ y είναι τρίτου βαθμού ως συνάρτηση του x. Όμως έχουμε στη διάθεσή μας μόνο δύο βαθμούς ελευθερίας για τον υπολογισμό της, ενώ

41 5.4. ΠΛΑΚΕΣ ΣΕ ΚΑΜΨΗ 221 υπάρχουν τέσσερις σταθερές (a 3, a 5, a 8, και a 12 ). Η κλίση δεν είναι συνεπώς μονοσήμαντα ορισμένη και εμφανίζεται ασυνέχεια. Η συνάρτηση παρεμβολής για το w χαρακτηρίζεται ως μη συμμορφούμενη (non conforming). Θεωρητικά η χρήση στοιχείων αυτού του τύπου δεν εξασφαλίζει ότι θα επιτευχθεί το ελάχιστο της δυναμικής ενέργειας, παρόλο που έχει εμπειρικά δειχθεί ότι οδηγεί σε επιτρεπτά αποτελέσματα [8]. Οι σταθερές a 1 έως a 12 μπορούν να προσδιοριστούν από τις 12 εξισώσεις που συνδέουν τις τιμές w και τις κλίσεις τους στους κόμβους όταν οι συντεταγμένες πάρουν τις τιμές των κόμβων. Καταρχάς γράφονται w + w y w x 1 x y x 2 xy y 2 x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 3 y xy 3 = x +2y 0 +x 2 +2xy +3y 3 +x 3 3xy x y 0 3x 2 2xy y 2 0 3x 2 y y 3 a 1 a 2 a 3. a 12 (5.76) ή με τη χρήση του διανύσματος των βαθμών ελευθερίας {ψ} = [P ]{a}, (5.77) όπου το [P ] είναι το πρώτο 3 12 μητρώο στο δεξί μέρος της (5.76). Στη

42 222 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ συνέχεια υπολογίζουμε την (5.76) σε κάθε κόμβο ως ακολούθως {d} = = w i θ xi θ yi w j. 1 x i y i x 2 i x i y i yi 2 x 3 i x 2 i y i x i y 3 yi 3 x 3 i y i x i y 3 i x i +2y i 0 +x 2 i +2x i y i +3yi 3 +x 3 i 3x i y 2 i a 1 a 2 a 3. a 12 Σε συμπαγή μορφή έχουμε (5.78) {d} = [C]{a}, (5.78) όπου το [C] είναι το μητρώο που εμφανίζεται στο δεξί μέρος της (5.78). Συνεπώς μπορούμε να επιλύσουμε ως προς τις σταθερές α Η εξίσωση (5.77) γίνεται ή συνοπτικά {a} = [C] 1 {d}. (5.79) {ψ} = [P ][C] 1 {d} {ψ} = [N]{d}, όπου το [N] = [P ][C] 1 συμβολίζει το μητρώο με τις συναρτήσεις παρεμβολής, βλ. και [9]. ΒΗΜΑ 3: Σχέσεις μεταξύ παραμορφώσεων (καμπυλοτήτων) και μετακινήσεων. Σχέσεις μεταξύ τάσεων (ροπών) και καμπυλοτήτων. Το μητρώο

43 5.4. ΠΛΑΚΕΣ ΣΕ ΚΑΜΨΗ 223 καμπυλοτήτων, βασιζόμενο στις (5.66), γράφεται κ x 2a 4 6a 7 x 2a 8 y 6a 11 xy {κ} = κ y = 2a 6 2a 9 x 6a 10 y 6a 12 xy 2a 5 4a 8 x 4a 9 y 6a 11 x 2 6a 12 y 2 κ xy (5.80) ή σε μητρωική μορφή, με χρήση της σχέσεως (5.80) {κ} = [Q]{a}, όπου το [Q] συμβολίζει το μητρώο με τις σταθερές που πολλαπλασιάζει το διάνυσμα των a στη σχέση (5.80). Με χρήση της (5.79) για τα {a}, εκφράζουμε το μητρώο καμπυλοτήτων ως όπου {κ} = [B]{d} (5.81) [B] = [Q][C] 1 (5.82) είναι το μητρώο με τις πρώτες παραγώγους. Το μητρώο ροπών-καμπυλοτήτων για την πλάκα έχει τη μορφή M x κ x {M} = M y = [D] κ y = [D][B]{d}, (5.83) M xy όπου [D] συμβολίζει το μητρώο του γραμμικά ελαστικού καταστατικού νόμου, που για την περίπτωση ισότροπου υλικού δίδεται από τη σχέση Et 3 1 ν 0 [D] = ν 1 0 (5.84) 12(1 ν 2 ) ν 2 κ xy και έχουν χρησιμοποιηθεί οι σχέσεις (5.81) και (5.83). ΒΗΜΑ 4: Εξαγωγή του μητρώου δυσκαμψίας και των εξισώσεων ισορροπίας. Το μητρώο δυσκαμψίας δίδεται από τη συνηθισμένη μορφή [k] = [B] T [D][B]dxdy με χρήση του μητρώου [B] που ορίζεται στη σχέση (5.82) και [D] που ορίζεται στην (5.84). Το μητρώο δυσκαμψίας για το τετράκομβο ορθογωνικό στοιχείο

44 224 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ είναι πίνακας τύπου Η αναλυτική μορφή του [k] δίδεται στις αναφορές [21] και [7]. Για τον χειρισμό επιφανειακών κατανεμημένων δυνάμεων q ανά μονάδα επιφάνειας και κατά τη διεύθυνση του άξονα z χρησιμοποιείται η συνηθισμένη εξίσωση {F x } = [N x ] T qdxdy. (5.85) Για ομοιόμορφο φορτίο q που εφαρμόζεται για παράδειγμα σε τετράγωνη πλάκα με πλευρές 2b 2c, (5.85) προκύπτουν επικόμβιες δυνάμεις και ροπές στον κόμβο i ίσες με f wi 1/4 f θxi = 4qcb c/12 b/12 f θyi με όμοιες εκφράσεις για τους υπόλοιπους κόμβους j, m, και n. Οι εξισώσεις του στοιχείου γράφονται στη μορφή f wi w k f 11 k k i 1,12 θxi f θyi k 21 k k 2,12 f θxi = k 21 k k 2,12 θ xi θ. yi k k 2,12 f θyn Τα υπόλοιπα βήματα, συμπεριλαμβανομένου της συρραφής των επιμέρους στοιχείων για τη δημιουργία του ολικού μητρώου δυσκαμψίας και των εξισώσεων ισορροπίας, της επιβολής συνοριακών συνθηκών (στους κινηματικούς βαθμούς ελευθερίας w, θ x, θ y ), και της επίλυσης του συστήματος των εξισώσεων, είναι όμοια με τις διαδικασίες που παρουσιάστηκαν ήδη σε προηγούμενες παραγράφους. θ yn 5.5 Τρισδιάστατη ανάλυση τάσεων Η πιο γενική μορφή ανάλυσης τάσεων είναι η τρισδιάστατη ανάλυση. Χρησιμοποιείται όταν δεν μπορεί να εφαρμοσθεί καμία από τις προαναφερθείσες απλοποιημένες μονοδιάστατες ή διδιάστατες θεωρίες (π.χ. ράβδοι, δοκοί, δίσκοι, πλάκες ή άλλα μοντέλα που δεν παρουσιάζονται εδώ (κελύφη, αξονοσυμμετρικά μοντέλα, κ.ά.). Πρέπει όμως να σημειωθεί ότι η ανάλυση με τρισδιά-

45 5.5. ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ 225 στατα πεπερασμένα στοιχεία είναι ακριβής, διότι εάν ληφθούν υπόψη οι οδηγίες για τη δημιουργία αξιόπιστων διακριτοποιήσεων (στοιχεία περίπου ίσου μήκους πλευρών, με αποφυγή οξειών γωνιών κλπ.), οδηγούμαστε σε μεγάλα μοντέλα με αρκετές απαιτήσεις σε μνήμη και χρόνο επίλυσης στον υπολογιστή. Στην παράγραφο αυτή θα περιγραφεί αναλυτικά, ως παράδειγμα, ένα βασικό τετραεδρικό τρισδιάστατο πεπερασμένο στοιχείο. Στην αρχή θεωρούμε το τρισδιάστατο απειροστό στοιχείο σε καρτεσιανό σύστημα αναφοράς με διαστάσεις dx, dy, και dz καθώς και ορθές και διατμητικές τάσεις, όπως φαίνονται στο Σχήμα Όπως έχει προαναφερθεί, οι κάθετες τάσεις είναι κάθετες στις πλευρές του στοιχείου και συμβολίζονται με σ x, σ y, και σ z, ενώ οι διατμητικές τάσεις επενεργούν στις πλευρές και συμβολίζονται με τ xy, τ yz, τ zx. Από την εξίσωση ισορροπίας των ροπών για το στοιχείο, προκύπτει τ xy = τ yx, τ yz = τ zy, τ zx = τ xz. Οι σχέσεις παραμορφώσεων-μετακινήσεων για το τρισδιάστατο πεπερασμένο y, v σ y τ yx τ yz τ zy τ xy dy σ z τ zx τ xz σ x x, u z, w dx dz Σχήμα 5.23: Στοιχείο τρισδιάστατης ανάλυσης. στοιχείο είναι ε x = u x, ε y = v y, ε z = w z,

46 226 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ όπου με u, v, και w συμβολίζονται οι συνιστώσες του διανύσματος μετακίνησης στους άξονες x, y, και z. Οι διατμητικές παραμορφώσεις γ δίδονται από τις σχέσεις γ xy = u y + v x = γ yx, γ yz = v z + w y = γ zy, γ zx = w x + u z = γ xz. Οι σχέσεις τάσεων-παραμορφώσεων για ισότροπο υλικό δίδονται από όπου {σ} = [D]{ε}, σ x ε x σ y ε y σ {σ} = z ε, {ε} = z τ xy γ xy τ yz τ zx γ yz γ zx και με χρήση του καταστατικού νόμου με τη μορφή του μητρώου [D] [D] = E (1 + ν)(1 2ν) 1 ν ν ν ν ν ν ν ν ν Sym. 2 (5.86) Τετραεδρικό στοιχείο Περιγράφεται στη συνέχεια συνοπτικά η δημιουργία του μητρώου δυσκαμψίας για τετραεδρικό πεπερασμένο στοιχείο τρισδιάστατης ανάλυσης τάσεων.

47 5.5. ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ 227 Οι λεπτομέρειες ακολουθούν τα βήματα των διδιάστατων στοιχείων που έχουν ήδη παρατεθεί και μπρούν να βρεθούν σε διάφορες δημοσιεύσεις, όπως στις [1] και [2]. ΒΗΜΑ 1: Επιλογή του τύπου του πεπερασμένου στοιχείου. Θεωρούμε το τετραεδρικό στοιχείο του Σχήματος 5.24 με κόμβους στις γωνίες του που αριθμούνται με το 1 4. Κατά την αρίθμηση πρέπει να ληφθεί η αντίθετη της φοράς του ρολογιού σειρά, δηλαδή ή 1, 2, 3, 4 ή 2, 3, 1, 4, ώστε να αποφευχθεί ο υπολογισμός του όγκου με αρνητικό πρόσημο (πρβλ. αντίστοιχη πρόβλεψη για το τριγωνικό στοιχείο στην Παράγραφο 5.2). Σχήμα 5.24: Τετραεδρικό τρισδιάστατο στοιχείο συνεχούς. Οι επικόμβιες μετακινήσεις γράφονται ως w 1 {d} =.. u 4 Συνεπώς έχουμε 3 βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο ή 12 συνολικά βαθμούς ελευθερίας ανά στοιχείο. u 1 v 1 v 4 w 4

48 228 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Επιλέ- ΒΗΜΑ 2: Επιλογή συναρτήσεων παρεμβολής για τις μετακινήσεις. γουμε γραμμικές συναρτήσεις παρεμβολής ως ακολούθως u(x, y, z) = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 z, v(x, y, z) = a 5 + a 6 x + a 7 y + a 8 z, w(x, y, z) = a 9 + a 10 x + a 11 y + a 12 z. Ανάλογα με όσα έγιναν στην παράγραφο 5.2, εκφράζονται οι σταθερές a i με χρήση των γνωστών συντεταγμένων στους κόμβους (x 1, y 1, z 1,..., z 4 ) και των άγνωστων μετακινήσεων (u 1, v 1, w 1,..., w 4 ) στους κόμβους του στοιχείου. Μετά από ανάλογους υπολογισμούς προκύπτει u(x, y, z) = 1 6V {(α 1 + β 1 x + γ 1 y + δ 1 z)u 1 +(α 2 + β 2 x + γ 2 y + δ 2 z)u 2 +(α 3 + β 3 x + γ 3 y + δ 3 z)u 3 +(α 4 + β 4 x + γ 4 y + δ 4 z)u 4 }, όπου το 6V προκύπτει από τον υπολογισμό της ορίζουσας 1 x 1 y 1 z 1 6V = 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 x 4 y 4 z 4 (5.87) και το V συμβολίζει τον όγκο του τετραέδρου. Οι συντελεστές a i, b i, γ i, και δ i (1, 2, 3, 4) στο (5.87) δίδονται από x 2 y 2 z 2 α 1 = x 3 y 3 z 3 x 4 y 4 z 4, β 1 y 2 z 2 1 = 1 y 3 z 3 1 y 4 z 4, 1 x 2 z 2 γ 1 = 1 x 3 z 3 1 x 4 z 4, δ 1 x 2 y 2 1 = 1 x 3 y 3 1 x 4 y 4, x 1 y 1 z 1 α 2 = x 3 y 3 z 3 x 4 y 4 z 4, β 1 y 1 z 1 2 = 1 y 3 z 3 1 y 4 z 4, 1 x 1 z 1 γ 2 = 1 x 3 z 3 1 x 4 z 4, δ 1 x 1 y 1 2 = 1 x 3 y 3 1 x 4 y 4,

49 5.5. ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ 229 x 1 y 1 z 1 α 3 = x 2 y 2 z 2 x 4 y 4 z 4, 1 x 1 z 1 γ 3 = 1 x 2 z 2 1 x 4 z 4, β 1 y 1 z 1 3 = 1 y 2 z 2 1 y 4 z 4, δ 1 x 1 y 1 3 = 1 x 2 y 2 1 x 4 y 4, x 1 y 1 z 1 α 4 = x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3, β 1 y 1 z 1 4 = 1 y 2 z 2 1 y 3 z 3, 1 x 1 z 1 γ 4 = 1 x 2 z 2 1 x 3 z 3, δ 1 x 1 y 1 4 = 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3. Οι εκφράσεις για τα v και w παράγονται με αντικατάσταση των v i για όλα τα u i και εν συνεχεία των w i για όλα τα u i στη σχέση (5.87). Η έκφραση των μετακινήσεων για τα u δίδεται από (5.87), με παρόμοιες εκφράσεις για τα v και w, u N N N N w 1 v = 0 N N N N 4 0., (5.88) w 0 0 N N N N 4 u 4 όπου N 1 = α 1 + β 1 x + γ 1 y + δ 1 z, N 2 = α 2 + β 2 x + γ 2 y + δ 2 z, 6V 6V N 3 = α 3 + β 3 x + γ 3 y + δ 3 z, N 4 = α 4 + β 4 x + γ 4 y + δ 4 z. 6V 6V u 1 v 1 v 4 w 4 (5.89) Το ορθογωνικό μητρώο στο δεξί μέρος της σχέσης (5.88) είναι το μητρώο των συναρτήσεων παρεμβολής [N]. ΒΗΜΑ 3: Ορισμός των σχέσεων παραμόρφωσης-μετακίνησης και τάσηςπαραμόρφωσης. Οι παραμορφώσεις του στοιχείου για την τρισδιάστατη εντα-

50 230 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ τική κατάσταση δίδονται από ε x ε y {ε} = ε z γ xy γ zx u x v x w x u x + v x v x + w x w x + u x Με παραπέρα χρήση της σχέσης (5.88) στην (5.90), προκύπτει {ε} = [B]{d},. (5.90) όπου [B] = [B 1 B 2 B 3 B 4 ]. Το υπομητρώο B 1 ορίζεται ως ακολούθως N 1,x N 1,y 0 B 1 = 0 0 N 1,z N 1,y N 1,x 0, (5.91) 0 N 1,z N 1,y N 1,z 0 N 1,x όπου το κόμμα μετά το δείκτη υποδηλώνει παραγώγιση ως προς την μεταβλητή που το ακολουθεί. Τα υπομητρώα B 2, B 3, και B 4 ορίζονται αναλόγως με αλλαγή των δεικτών στο (5.91) από 1 σε 2, 3, και τέλος 4, αντιστοίχως. Με αντικατάσταση των συναρτήσεων παρεμβολής από το (5.89) στο (5.91), το B 1 εκφράζεται ως β γ 1 0 B 1 = 1 6V 0 0 δ 1 γ 1 β δ 1 γ 1 δ 1 0 β 1

51 5.5. ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΣΕΩΝ 231 με παρόμοιες εκφράσεις για τα B 2, B 3, και B 4. Οι τάσεις του στοιχείου εξαρτώνται από τις παραμορφώσεις {σ} = [D]{ε} με τη χρήση του καταστατικού νόμου (μητρώου) (5.86). ΒΗΜΑ 4: Εξαγωγή του μητρώου δυσκαμψίας και εξισώσεις ισορροπίας. Με χρήση του γνωστού τύπου [k] = [B] T [D][B]dV. V και απλό υπολογισμό του ολοκληρώματος, επειδή τα [B] και [D] είναι σταθερές σε όλο τον όγκο του απλού τετραεδρικού στοιχείου, δηλαδή [k] = [B] T [D][B]V, όπου, V είναι ο όγκος του στοιχείου και το μητρώο έχει διαστάσεις Το διάνυσμα μαζικών δυνάμεων του στοιχείου δίδεται από {f b } = [N] T {X}dV όπου το [N] δίδεται από το 3 12 μητρώο στη σχέση (5.88), και X b {X} = Y b. V Για σταθερές μαζικές δυνάμεις, οι κομβικές συνιστώσες του ολικού διανύσματος μαζικών δυνάμεων μπορεί να δειχθεί ότι είναι ίσες με Z b {f b } = 1 4 [X b Y b Z b X b Y b Z b X b Y b Z b ] T. Οι επιφανειακές δυνάμεις είναι {f s } = [N] T S εκτιμώμενη πάνω στην επιφάνεια 1,2,3 p x p y p z ds, (5.92)

52 232 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ όπου τα p x, p y, και p z είναι οι κατά x, y, και z συνιστώσες, αντιστοίχως, του p. Με απλοποίηση και ολοκλήρωση (5.92), προκύπτει p x p y p z p x {f x } = S p y p z p x p y p z όπου το S 123 είναι η επιφάνεια της πλευράς που σχετίζεται με τους κόμβους 1 3., 5.6 Παραδείγματα επίπεδων δίσκων Παράδειγμα Δίσκος σε επίπεδη ένταση. Σε αυτή την άσκηση επίπεδης έντασης μελετούμε και επιλύουμε δύο δίσκους και συγκρίνουμε τα αποτελέσματα με την απλή δοκό. Οι δίσκοι και η δοκός έχουν μήκος L = 10, είναι πακτωμένοι στο αριστερό άκρο, ενώ στο δεξί άκρο τους υπάρχει μια κύλιση. Η φόρτιση ασκείται στο μέσον L/2 = 5 και έχει μέτρο P = 500 και κατακόρυφη διεύθυνση. Το πάχος των δίσκων είναι b = 0, 1. Το υλικό κατασκευής έχει μέτρο ελαστικότητας E = και λόγο Poison ν = 0, 3. Ο πρώτος δίσκος (Σχήμα 5.25) έχει ύψος h 1 = 0, 5 και ο δεύτερος (Σχήμα 5.30) έχει h 2 = 3. Το εμβαδό διατομής είναι για τον πρώτο δίσκο A 1 = bh 1 = 0, 05 ενώ για τον δεύτερο δίσκο έχουμε, A 2 = bh 2 = 0, 3. Ζητείται να επιλυθούν τα προβλήματα και να συγκριθούν οι λύσεις των δίσκων των προηγούμενων δύο ερωτημάτων με αυτές που προκύπτουν από την αναλυτική λύση της ισοδύναμης δοκού (Σχήμα 5.34). Επίπεδη ένταση μικρού δίσκου: Για τη διακριτοποίηση του φορέα αρχικά χρησιμοποιούνται τετρακομβικά στοιχεία επίπεδης έντασης με τρεις βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο (δύο μετακινήσεις στο επίπεδο και μια στροφή στον τρίτο άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου). Στην περίπτωση του

53 5.6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΔΙΣΚΩΝ 233 Σχήμα 5.25: Επίπεδη ένταση μικρού δίσκου ύψους h = 0.5. Σχήμα 5.26: Επίπεδη ένταση μεγάλου δίσκου ύψους h = 3. μικρού δίσκου (Σχ ) μελετώνται δύο περιπτώσεις διακριτοποίησης: 1η περίπτωση, 48 πεπερασμένα στοιχεία (αραιότερο δίκτυο, Σχ. 5.28) και 2η περίπτωση, 192 πεπερασμένα στοιχεία (πυκνότερο δίκτυο, Σχ. 5.30). Στα Σχήματα 5.28, 5.29 εμφανίζονται η αρχική και η παραμορφωμένη κατάσταση του φορέα για την 1η περίπτωση. Η μέγιστη βύθιση παρουσιάζεται στον κόμβο 133 (δηλώνεται με βελάκι στο σχήμα 5.28) και είναι u y = Στα Σχήματα 5.30, 5.31 εμφανίζονται η αρχική και η παραμορφωμένη κατάσταση

54 234 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Σχήμα 5.27: Απλή δοκός. Σχήμα 5.28: Δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων (1η περίπτωση). του φορέα για την 2η περίπτωση διακριτοποίησης (περισσότερα στοιχεία και καλύτερο λόγο πλευρών) και αντίστοιχα η μέγιστη βύθιση είναι u y = Θέλοντας να συγκρίνουμε την προσεγγιστική λύση των πεπερασμένων στοιχείων με την αναλυτική λύσης της «ισοδύναμης» δοκού υπολογίζουμε τη μέγιστη βύθιση που είναι: max u = (P L 3 )/(48 51/2 E I) = Συνεπώς η αναλυτική λύση της ισοδύναμης δοκού μπορεί να προσεγγιστεί σε πολύ καλό επίπεδο από τη λύση με πεπερασμένα στοιχεία χρησιμοποιώντας ένα αρκετά πυκνό δίκτυο στοιχείων, ενώ μεγάλο σφάλμα ακρίβειας έχουμε στην περίπτωση του αραιού δικτύου. Επίπεδη ένταση μεγάλου δίσκου: Για τη διακριτοποίηση του φορέα

55 5.6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΔΙΣΚΩΝ 235 Σχήμα 5.29: Παραμορφωμένος φορέας μικρού δίσκου (1η περίπτωση). Σχήμα 5.30: Δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων (2η περίπτωση). (Σχήμα 5.26) χρησιμοποιούνται 1152 πεπερασμένα στοιχεία επίπεδης έντασης με τρεις βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο (δύο μετακινήσεις στο επίπεδο και μια στροφή στον τρίτο άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου (Σχήμα 5.32). Στην περίπτωση του μεγάλου δίσκου μελετώνται δύο διαφορετικοί τύποι πεπερασμένων στοιχείων: 1η περίπτωση, διακριτοποίηση με τετρακομβικά στοιχεία επίπεδης έντασης και 2η περίπτωση, διακριτοποίηση με στοιχεία οκτώ κόμβων επίπεδης έντασης. Για την 1η περίπτωση όπου η παραμορφωμένη κατάσταση του φορέα δίνεται στο Σχήμα 5.33, η μέγιστη βύθιση για την περισσότερο εφελκυόμενη ίνα είναι u y = , ενώ η βύθιση στον κόμβο επιβολής του φορτίου είναι u y = Στην 2η περίπτωση, από την παραμόρφωση του

56 236 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Σχήμα 5.31: Παραμορφωμένος φορέας μικρού δίσκου (2η περίπτωση). Σχήμα 5.32: Δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων μεγάλου δίσκου. φορέα, Σχ. 5.34, η μέγιστη βύθιση για την περισσότερο εφελκυόμενη ίνα είναι u y =0.3609, ενώ η βύθιση στον κόμβο επιβολής του φορτίου είναι u y = H μέγιστη βύθιση κατά την αναλυτική λύση της «ισοδύναμης» δοκού είναι max u = (P L 3 )/(48 51/2 E I) = Συνεπώς η αναλυτική λύση της ισοδύναμης δοκού δεν μπορεί να προσεγγιστεί από την λύση με πεπερασμένα στοιχεία. Παράδειγμα Πλάκα σε επίπεδη ένταση Ζητείται ο υπολογισμός και η γραφική απεικόνιση των ορθών και διατμητικών τάσεων, καθώς και των κομβικών μετατοπίσεων στο πρόβλημα επίπεδης

57 5.6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΔΙΣΚΩΝ 237 Σχήμα 5.33: Παραμορφωμένος φορέας μεγάλου δίσκου (1η περίπτωση). Σχήμα 5.34: Παραμορφωμένος φορέας μεγάλου δίσκου (2η περίπτωση). έντασης του σχήματος Η αριστερή πλευρά του φορέα είναι πακτωμένη

58 238 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ και η επάνω πλευρά του καταπονείται με στατική φόρτιση, όπου το γραμμικό φορτίο είναι ίσο με P = 1.0 N/mm. To πάχος του φορέα είναι t = 1.0 mm, το μέτρο ελαστικότητας είναι ίσο με Ν/mm 2 και o δείκτης Poisson του υλικού ισούται με ν = 0.3. Για τη διακριτοποίηση του φορέα χρησιμοποιούνται 400mm 400mm Σχήμα 5.35: Πλάκα σε επίπεδη ένταση. τετραπλευρικά με 8 κόμβους (από ένας σε κάθε άκρο και μέσο πλευράς του κάθε στοιχείου) πεπερασμένα στοιχεία και η αριθμητική ολοκλήρωση για τον υπολογισμό των μητρώων ακαμψίας των στοιχείων γίνεται σε 4 σημεία του κάθε στοιχείου. Ο αριθμός των πεπερασμένων στοιχείων είναι 100 (10 10). Από την επίλυση προέκυψαν οι κομβικές μετακινήσεις, οι ορθές τάσεις στο οριζόντιο και στον κατακόρυφο άξονα καθώς και οι διατμητικές τάσεις, όπως δίνονται γραφικά στα σχήματα (με ισοτασικές περιοχές ίδιας χρωματικής απεικόνισης).

59 5.6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΔΙΣΚΩΝ 239 Σχήμα 5.36: Μετακινήσεις. Σχήμα 5.37: Τάσεις στον οριζόντιο άξονα.

60 240 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΚΑΙ TΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Σχήμα 5.38: Τάσεις στον κατακόρυφο άξονα. Σχήμα 5.39: Διατμητικές τάσεις.