Πρόλογος Οι συγγραφείς... 18

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18"

Transcript

1

2

3 Περιεχόμενα Πρόλογος Οι συγγραφείς Θεμελιώδεις έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ειδικές περιπτώσεις ΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΔΥΝΑΜΙΚH ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ Η ΜΕΘΟΔΟΣ RAYLEIGH-RITZ Δυναμική Ενέργεια, Η Μέθοδος Rayleigh-Ritz ΜΕΘΟΔΟΣ GALERKIN ΑΡΧΗ SAINT VENANT ΤΑΣΗ VON MISES ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ H/Y ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μητρωική άλγεβρα και απαλοιφή Gauss ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Διανύσματα γραμμών και στηλών Πρόσθεση και αφαίρεση Πολλαπλασιασμός με ένα βαθμωτό Πολλαπλασιασμός μητρώων Αναστροφή Διαφόριση και ολοκλήρωση Τετραγωνικό μητρώο Διαγώνιο μητρώο Μοναδιαίο μητρώο Συμμετρικό μητρώο... 47

4 8 Περιεχόμενα Άνω τριγωνικό μητρώο Ορίζουσα μητρώου Αντιστροφή μητρώου Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Θετικά ορισμένο μητρώο Αποσύνθεση Cholesky ΑΠΑΛΟΙΦΗ GAUSS Γενικός αλγόριθμος για την απαλοιφή Gauss Συμμετρικό μητρώο Συμμετρικά ζωνικά μητρώα Λύση με πολλαπλά δεξιά μέρη Απαλοιφή Gauss με αναγωγή στήλης Λύση κορυφογραμμής Μετωπική λύση ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΖΥΓΟΥΣ ΚΛΙΣΕΩΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αλγόριθμος συζυγούς κλίσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ Προγράμματα Η/Υ Προβλήματα μίας διάστασης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Διαίρεση στοιχείων Σχήμα αρίθμησης ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΡΦΗΣ Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Μητρώο ακαμψίας στοιχείου Όροι δυνάμεων Η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ GALERKIN Ακαμψία Στοιχείου Όροι δυνάμεων ΣΥΝΘΕΣΗ ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ ΑΚΑΜΨΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΦΟΡΤΙΟΥ IΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ Κ ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜEΝΩΝ ΣΤΟΙΧEIΩΝ Τύποι συνοριακών συνθηκών Προσέγγιση απαλοιφής Προσέγγιση ποινής Πολυσημειακοί περιορισμοί ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΡΦΗΣ ΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ Αρχείο δεδομένων εισόδου ΑΣΚΗΣΕΙΣ Προγράμματα Η/Υ

5 Περιεχόμενα 9 4 Δικτυώματα ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Τοπικά και ολικά συστήματα συντεταγμένων Τύπος υπολογισμού των l και m Μητρώο ακαμψίας στοιχείου Υπολογισμοί τάσης Επιδράσεις θερμοκρασίας ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ ΤΡΙΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΥΝΟΛΙΚΗΣ ΑΚΑΜΨΙΑΣ ΓΙΑ ΖΩΝΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΚΟΡΥΦΟΓΡΑΜΜΗΣ Σύνθεση για ζωνική λύση Αρχείο δεδομένων εισόδου ΑΣΚΗΣΕΙΣ Προγράμματα Η/Υ Προβλήματα δυο διαστάσεων με τη χρήση τριγώνων σταθερής παραμόρφωσης ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕIΑ ΤΡΙΓΩΝΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (CST) Ισοπαραμετρική αναπαράσταση Προσέγγιση δυναμικής ενέργειας Ακαμψία στοιχείου Όροι δύναμης Προσέγγιση Galerkin Υπολογισμοί τάσης Επιδράσεις θερμοκρασίας ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Μερικές γενικές παρατηρήσεις για τη διαίρεση σε στοιχεία ΟΡΘΟΤΡΟΠΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Επιδράσεις θερμοκρασίας Αρχείο δεδομένων εισόδου ΑΣΚΗΣΕΙΣ Προγράμματα Η/Υ Αξονοσυμμετρικά στερεά υποβαλλόμενα σε αξονοσυμμετρική φόρτιση ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΞΟΝΟΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: ΤΡΙΓΩΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ Προσέγγιση δυναμικής ενέργειας Όρος δύναμης σώματος

6 10 Περιεχόμενα Περιστρεφόμενος σφόνδυλος Εφελκυσμός επιφάνειας Προσέγγιση Galerkin Υπολογισμοί τάσης Επίδραση θερμοκρασίας ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Κύλινδρος υποβαλλόμενος σε εσωτερική πίεση Άπειρος κύλινδρος Προσαρμογή με πίεση σε άκαμπτο άξονα Προσαρμογή με πίεση σε ελαστικό άξονα Ελατήριο Belleville Πρόβλημα θερμικής τάσης Αρχείο δεδομένων εισόδου ΑΣΚΗΣΕΙΣ Προγράμματα Η/Υ Δισδιάστατα ισοπαραμετρικά στοιχεία και αριθμητική ολοκλήρωση ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΚΟΜΒΩΝ Συναρτήσεις μορφής Μητρώο ακαμψίας στοιχείου Διανύσματα δύναμης στοιχείου ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Διπλά ολοκληρώματα Ολοκλήρωση ακαμψίας Υπολογισμοί τάσης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Τετράπλευρο εννέα κόμβων Τετράπλευρο οκτώ κόμβων Τρίγωνο έξι κόμβων ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΚΟΜΒΩΝ ΓΙΑ ΑΞΟΝΟΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΥΖΥΓΟΥΣ ΚΛΙΣΗΣ ΤΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ Συμπερασματικά σχόλια Αρχείο δεδομένων εισόδου ΑΣΚΗΣΕΙΣ Προγράμματα Η/Υ Δοκοί και πλαίσια ΕΙΣΑΓΩΓΗ Προσέγγιση δυναμικής ενέργειας Προσέγγιση Galerkin ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΦΟΡΤΙΟΥ

7 Περιεχόμενα ΣΥΝΟΡΙΑΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ ΚΑΜΨΗΣ ΔΟΚΟΙ ΣΕ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΣΤΗΡΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΚΑΠΟΙΑ ΣΧΟΛΙΑ Αρχείο δεδομένων εισόδου ΑΣΚΗΣΕΙΣ Προγράμματα Η/Υ Προβλήματα ανάλυσης τάσεων σε τρεις διαστάσεις ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Ακαμψία στοιχείου Όροι δυνάμεων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΤΑΣΗΣ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ ΕΞΑΕΔΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕΤΩΠΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΙΑ ΜΗΤΡΩΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Συνδετικότητα και προμετωπική ρουτίνα Σύνθεση στοιχείων και εξέταση συγκεκριμένων βαθμών ελευθερίας Απαλοιφή συμπληρωμένων βαθμών ελευθερίας Προς τα πίσω αντικατάσταση Εξέταση πολυσημειακών περιορισμών Αρχείο δεδομένων εισόδου ΑΣΚΗΣΕΙΣ Προγράμματα Η/Υ Προβλήματα βαθμωτού πεδίου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Μονοδιάστατη αγωγή θερμότητας Μονοδιάστατη μεταφορά θερμότητας σε λεπτά πτερύγια Δισδιάστατη αγωγή θερμότητας σε σταθερή κατάσταση Δισδιάστατα πτερύγια Προεπεξεργασία για το πρόγραμμα Heat2D ΣΤΡΕΨΗ Τριγωνικό στοιχείο Μέθοδος Galerkin* ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΗ, ΔΙΗΘΗΣΗ, ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΚΑΙ ΡΟΗ ΡΕΥΣΤΩΝ ΣΕ ΑΓΩΓΟΥΣ Δυναμική ροή Διήθηση

8 12 Περιεχόμενα Προβλήματα ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου Ροή ρευστών σε αγωγούς Ακουστική Συνοριακές συνθήκες Μονοδιάστατη ακουστική Μονοδιάστατες αξονικές δονήσεις Δισδιάστατη ακουστική ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Αρχείο δεδομένων εισαγωγής ΑΣΚΗΣΕΙΣ Προγράμματα Η/Υ Θέματα δυναμικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΟΡΦΟΠΟΙΗΣΗ Στερεό σώμα με κατανεμημένη μάζα ΜΗΤΡΩΑ ΜΑΖΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Ιδιότητες των ιδιοδιανυσμάτων Υπολογισμός ιδιοτιμής-ιδιοδιανύσματος Γενικευμένη μέθοδος Jacobi Τριδιαγωνοποίηση και προσέγγιση έμμεσης μετατόπισης Μετατροπή του γενικευμένου προβλήματος σε τυπική μορφή Τριδιαγωνοποίηση Έμμεσο συμμετρικό βήμα QR με μετατόπιση Wilkinson για διαγωνοποίηση ΔΙΑΣΥΝΔΕΣΗ ΜΕ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΚΑΙ ΜΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΚΡΙΣΙΜΩΝ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ΑΝΑΓΩΓΗ GUYAN ΙΔΙΟΜΟΡΦΕΣ ΑΚΑΜΠΤΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Αρχείο δεδομένων εισόδου ΑΣΚΗΣΕΙΣ Προγράμματα Η/Υ Προεπεξεργασία & μετεπεξεργασία ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ Αναπαράσταση περιοχής και μπλοκ Κόμβοι γωνιών μπλοκ, πλευρές και υποδιαιρέσεις ΜΕΤΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Παραμορφωμένη σύνθεση και μορφή κατάστασης Σχεδίαση ισομετρικών καμπύλων Κομβικές τιμές από γνωστές τιμές σταθερού στοιχείου για τρίγωνο

9 Περιεχόμενα 13 Προσαρμογή ελαχίστων τετραγώνων για τετράπλευρο με τέσσερις κόμβους ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Αρχείο δεδομένων εισόδου ΑΣΚΗΣΕΙΣ Προγράμματα Η/Υ Παράρτημα Βιβλιογραφία Απαντήσεις σε επιλεγμένα προβλήματα Ευρετήριο

10

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Προβλήματα δυο διαστάσεων με τη χρήση τριγώνων σταθερής παραμόρφωσης 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε αυτό το κεφάλαιο θα περιγράψουμε τη διαδικασία εξαγωγής τύπων με πεπερασμένα στοιχεία δυο διαστάσεων χρησιμοποιώντας τα βήματα του προβλήματος μίας διάστασης. Οι μετατοπίσεις, οι συνιστώσες εφελκυσμού και οι κατανεμημένες τιμές της δύναμης σώματος είναι συναρτήσεις της θέσης η οποία υποδεικνύεται με τα (x, y). Το διάνυσμα μετατόπισης u δίνεται ως (5.1) όπου u και υ είναι οι συνιστώσες x και y του u αντίστοιχα. Οι τάσεις και οι παραμορφώσεις δίνονται από τους τύπους (5.2) (5.3) Από το Σχ. 5.1, το οποίο αναπαριστά το πρόβλημα των δυο διαστάσεων στη γενική τοποθέτηση, η δύναμη σώματος, το διάνυσμα εφελκυσμού και ο στοιχειώδης όγκος δίνονται από ΣΧΗΜΑ 5.1 Το πρόβλημα δύο διαστάσεων

12 158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ f = [f x, f y ] T T = [T x, T y ] T και dv = t da (5.4) όπου t είναι το πάχος κατά την κατεύθυνση z. Η δύναμη σώματος f έχει μονάδες δύναμη/μονάδα όγκου, ενώ η δύναμη εφελκυσμού Τ έχει μονάδες δύναμη/μονάδα επιφανείας. Η σχέση παραμόρφωσης-μετατόπισης δίνεται από Η σχέση τάσεων και παραμορφώσεων δίνεται από τον τύπο (βλέπε Εξ και 1.19) σ = Dє (5.6) Για να διακριτοποιήσουμε την περιοχή εκφράζουμε τις μετατοπίσεις ως προς τις τιμές σε διακριτά σημεία. Πρώτα εισάγουμε τριγωνικά στοιχεία. Έπειτα αναπτύσσουμε τις έννοιες της α- καμψίας και της φόρτισης χρησιμοποιώντας τις προσεγγίσεις ενέργειας και Galerkin. (5.5) 5.2 Η ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕIΑ Διαιρούμε την περιοχή δυο διαστάσεων σε τρίγωνα με ευθύγραμμες πλευρές. Το Σχήμα 5.2 δείχνει έναν τυπικό τριγωνισμό. Τα σημεία όπου συναντώνται οι ακμές των τριγώνων ονομάζονται κόμβοι, ενώ κάθε τρίγωνο το οποίο σχηματίζεται από τρεις κόμβους και τρεις πλευρές ονομάζεται στοιχείο. Τα στοιχεία καλύπτουν ολόκληρη την περιοχή, εκτός μιας μικρής περιοχής στο σύνορο. Αυτή η ακάλυπτη περιοχή βρίσκεται στα καμπύλα σύνορα και μπορεί να μειωθεί με επιλογή μικρότερων στοιχείων ή στοιχείων με καμπύλα σύνορα. Στόχος της Μεθόδου Πεπερασμένων Στοιχείων είναι να λυθεί το πρόβλημα προσεγγιστικά και η ακάλυπτη περιοχή συνεισφέρει ως ΣΧΗΜΑ 5.2 Διακριτοποίηση πεπερασμένου στοιχείου

13 5.2 Η ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕIΑ 159 ένα βαθμό σε αυτήν την προσέγγιση. Κατά τον τριγωνισμό του Σχ. 5.2, τοποθετούμε τους αριθμούς των κόμβων στις ακμές και τους αριθμούς των στοιχείων σε κύκλους. Στο πρόβλημα δυο διαστάσεων που εξετάζουμε εδώ, κάθε κόμβος επιτρέπεται να μετατοπίζεται κατά τις δυο κατευθύνσεις x και y. Επομένως, κάθε κόμβος έχει δύο βαθμούς ελευθερίας. Όπως φαίνεται από το σχήμα αρίθμησης το οποίο χρησιμοποιήσαμε στα δικτυώματα, οι συνιστώσες μετατόπισης του κόμβου j λαμβάνονται ως Q 2j 1 στην κατεύθυνση x και Q 2j στην κατεύθυνση y. Ορίζουμε το διάνυσμα ολικής μετατόπισης ως (5.7) όπου Ν είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας. Αναπαριστούμε υπολογιστικά, τις πληροφορίες τριγωνισμού σε μορφή κομβικών συντεταγμένων και συνδεσμολογίας. Αποθηκεύουμε τις κομβικές συντεταγμένες σε έναν πίνακα δυο διαστάσεων, ο οποίος απαρτίζεται από το συνολικό αριθμό κόμβων και συντεταγμένων (δύο) ανά κόμβο. Για να δούμε τη συνδεσμολογία καθαρά, απομονώνουμε ένα τυπικό στοιχείο, όπως στο Σχ Για τους τρεις κόμβους οι οποίοι ορίζονται τοπικά ως 1, 2 και 3, οι αντίστοιχοι ολικοί αριθμοί κόμβων ορίζονται στο Σχ Συγκεντρώνουμε τις πληροφορίες συνδεσμολογίας των στοιχείων σε έναν πίνακα όπου αναφέρεται το μέγεθος και ο αριθμός των στοιχείων και οι κόμβοι (τρεις) ανά στοιχείο. Στον Πίνακα 5.1 απεικονίζεται μια τυπική συνδεσμολογία. Οι περισσότεροι πρότυποι κώδικες πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιούν αριστερόστροφη σύμβαση αρίθμησης, για να αποφεύγεται ο υπολογισμός αρνητικών εμβαδών. Όμως, για το πρόγραμμα το οποίο συνοδεύει αυτό το κεφάλαιο, η διάταξη δεν είναι αναγκαία. Ο Πίνακας 5.1 ορίζει την αντιστοιχία των τοπικών και ολικών αριθμών κόμβων και τους α- ντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας. Αναπαριστούμε τις συνιστώσες μετατόπισης ενός τοπικού κόμβου j ως q 2j-1 και q 2j κατά τις κατευθύνσεις x και y, αντίστοιχα (Σχ. 5.3). Ορίζουμε το διάνυσμα μετατόπισης του στοιχείου ως (5.8) ΣΧΗΜΑ 5.3 Τριγωνικό στοιχείο

14 160 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Παρατηρήστε ότι από το μητρώο συνδεσμολογίας του Πίνακα 5.1, έχουμε τη δυνατότητα να εξαγάγουμε το διάνυσμα q από το ολικό διάνυσμα Q, μια ενέργεια η οποία εκτελείται συχνά σε ένα πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων. Επίσης, ΠΙΝΑΚΑΣ 5.1 Συνδεσμολογία στοιχείων Αριθμός Στοιχείου Τρεις κόμβοι e οι κομβικές συντεταγμένες οι οποίες συμβολίζονται με (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) και (x 3, y 3 ) έχουν την ολική αντιστοίχηση που ορίζεται στον Πίνακα 5.1. Η τοπική απεικόνιση των κομβικών συντεταγμένων και βαθμών ελευθερίας αποτελεί τη βάση για μια απλή και σαφή αναπαράσταση των χαρακτηριστικών του στοιχείου. 5.3 ΤΡΙΓΩΝΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (CST) Πρέπει να αναπαραστήσουμε τη μετατόπιση των σημείων εντός ενός στοιχείου συναρτήσει των κομβικών μετατοπίσεων του στοιχείου. Όπως αναφέραμε νωρίτερα, η Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων χρησιμοποιεί την έννοια των συναρτήσεων μορφής για τη συστηματική ανάπτυξη αυτών των προσεγγίσεων. Οι τρεις συναρτήσεις μορφής Ν 1, Ν 2 και Ν 3, οι οποίες αντιστοιχούν στους κόμβους 1, 2 και 3 αντίστοιχα φαίνονται στο Σχ Η συνάρτηση μορφής Ν 1 έχει τιμή 1 στον κόμβο 1 και ελαττώνεται γραμμικά στην τιμή 0 στους κόμβους 2 και 3. Έτσι, οι τιμές της συνάρτησης μορφής Ν 1 ορίζουν μια επίπεδη επιφάνεια, η οποία απεικονίζεται σκιασμένη στο Σχ. 5.4α. Οι Ν 2 και Ν 3 αναπαρίστανται με παρόμοιες επιφάνειες, οι οποίες έχουν τιμή 1 στους κόμβους 2 και 3 αντίστοιχα, η οποία μειώνεται στην τιμή 0 στις απέναντι κορυφές. Αλλά και κάθε γραμμικός συνδυασμός αυτών των συναρτήσεων μορφής αναπαριστά μια επίπεδη επιφάνεια. Πιο συγκεκριμένα, η σχέση Ν 1 + Ν 2 + Ν 3 αναπαριστά ένα επίπεδο με ύψος 1 στους κόμβους 1, 2 και 3. Άρα, το επίπεδο είναι παράλληλο προς το τρίγωνο 123. Συνεπώς, για κάθε Ν 1, Ν 2 και Ν 3, Ν 1 + Ν 2 + Ν 3 = 1 (5.9) Γι' αυτό το λόγο, οι Ν 1, Ν 2 και Ν 3 δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Μόνο δύο από αυτές είναι ανεξάρτητες. Οι ανεξάρτητες συναρτήσεις μορφής αναπαρίστανται κατάλληλα από το ζεύγος ξ, η ως Ν 1 = ξ Ν 2 = η N 3 = 1 ξ η (5.10) όπου ξ και η είναι φυσικές συντεταγμένες (Σχ. 5.4). Σε αυτό το σημείο, πρέπει να σημειώσουμε την ομοιότητα με το στοιχείο μίας διάστασης (Κεφάλαιο 3). Στο πρόβλημα μίας διάστασης, αντιστοιχίσαμε τις συντεταγμένες x με τις συντεταγμένες ξ και ορίσαμε τις συναρτήσεις μορφής συναρτήσει του ξ. Στην προκειμένη περίπτωση, στο πρόβλημα δύο διαστάσεων, αντιστοιχίζουμε τις συντεταγμένες x, y με τις συντεταγμένες ξ, η και ορίζουμε τις συναρτήσεις μορφής συναρτήσει των ξ και η.

15 5.3 ΤΡΙΓΩΝΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (CST) 161 Οι συναρτήσεις μορφής μπορούν να παρασταθούν φυσικά με συντεταγμένες επιφανείας. Ένα σημείο (x, y) ενός τριγώνου, το διαιρεί σε τρεις περιοχές Α 1, Α 2 και Α 3, όπως στο Σχ Οι συναρτήσεις μορφής Ν 1, Ν 2 και Ν 3 αναπαρίστανται με ακρίβεια από ΣΧΗΜΑ 5.4 Συναρτήσεις μορφής ΣΧΗΜΑ 5.5 Συντεταγμένες επιφανείας

16 162 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (5.11) όπου Α είναι το εμβαδόν του στοιχείου. Προφανώς, έχουμε Ν 1 + Ν 2 + Ν 3 = 1 σε κάθε εσωτερικό σημείο του τριγώνου. Ισοπαραμετρική αναπαράσταση Γράφουμε τις μετατοπίσεις εσωτερικά του στοιχείου χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις μορφής και τις κομβικές τιμές του άγνωστου πεδίου μετατόπισης. Έχουμε ή χρησιμοποιώντας την Εξ. 5.10, u = N 1 q 1 + N 2 q 3 + N 3 q 5 υ = N 1 q 2 + N 2 q 4 + N 3 q 6 (5.12α) u = (q 1 + q 5 )ξ + (q 3 + q 5 )η + q 5 υ = (q 2 q 6 )ξ + (q 4 q 6 )η + q 6 (5.12β) Εκφράζουμε τις σχέσεις 5.12α σε μορφή μητρώου ορίζοντας ένα μητρώο συνάρτησης μορφής και (5.13) u = Nq (5.14) Στην περίπτωση του τριγωνικού στοιχείου, μπορούμε να αναπαραστήσουμε τις συντεταγμένες x, y συναρτήσει κομβικών συντεταγμένων, χρησιμοποιώντας τις ίδιες συναρτήσεις μορφής. Αυτό λέγεται ισοπαραμετρική αναπαράσταση. Η προσέγγιση αυτή απλοποιεί την ανάπτυξη και διατηρεί την ομοιομορφία με άλλα σύνθετα στοιχεία. Έχουμε ή x = N 1 x 1 + N 2 x 2 + N 3 x 3 y = N 1 y 1 + N 2 y 2 + N 3 y 3 (5.15α) x = (x 1 x 3 )ξ + (x 2 x 3 )η + x 3 y = (y 1 y 3 )ξ + (y 2 y 3 )η + y 3 Αντικαθιστώντας x ij = x i x j και y i j = y i y j γράφουμε τις Εξ. 5.15β ως (5.15β) x = x 13 ξ + x 23 η + x 3 y = y 13 ξ + y 23 η + y 3 (5.15γ) Οι εξισώσεις αυτές συσχετίζουν τις συντεταγμένες x και y με τις συντεταγμένες ξ και η. Η Εξίσωση 5.12 εκφράζει τα u και υ ως συναρτήσεις των ξ και η.

17 5.3 ΤΡΙΓΩΝΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (CST) 163 Παράδειγμα 5.1 Υπολογίστε τις συναρτήσεις μορφής Ν 1, Ν 2 και Ν 3 στο εσωτερικό σημείο Ρ για το τριγωνικό στοιχείο του Σχ. Π5.1. ΣΧΗΜΑ Π5.1 Παραδείγματα 5.1 και 5.2 Λύση Χρησιμοποιώντας την ισοπαραμετρική αναπαράσταση (Εξ. 5.15), έχουμε 3.85 = 1.5Ν 1 + 7Ν 2 + 4Ν 3 = 2.5ξ + 3η = 2Ν Ν 2 + 7Ν 3 = 5ξ 3.5η + 7 Αναδιατάσσουμε τις δύο εξισώσεις στη μορφή 2.5ξ 3η = ξ + 3.5η = 2.2 Λύνοντας τις εξισώσεις, λαμβάνουμε ξ = 0.3 και η = 0.2 από όπου συνεπάγεται Ν 1 = 0.3 Ν 2 = 0.2 Ν 3 = 0.5 Για να υπολογίσουμε τις παραμορφώσεις, πρέπει να λάβουμε μερικές παραγώγους των u και υ ως προς x και y. Από τις Εξ και 5.15 βλέπουμε ότι τα u, υ και x, y είναι συναρτήσεις των ξ και η. Δηλαδή, u = u(x(ξ, η), y(ξ, η)). Παρόμοια, υ = υ(x(ξ, η), y(ξ, η)). Χρησιμοποιώντας τον κανόνα παραγώγισης για μερικές παραγώγους του u, έχουμε Τις οποίες μπορούμε να γράψουμε σε μορφή μητρώων ως

18 164 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ (5.16) όπου το τετραγωνικό μητρώο (2 2) ορίζεται ως η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού, J: (5.17) Στο παράρτημα παραθέτουμε μερικές ακόμα ιδιότητες της Ιακωβιανής. Λαμβάνοντας την παράγωγο των x και y έχουμε Επίσης, από την Εξ. 5.16, (5.18) (5.19) όπου J -1 είναι το αντίστροφο της Ιακωβιανής J και δίνεται από (5.20) (5.21) Από το εμβαδόν του τριγώνου, είναι προφανές ότι το μέγεθος της ορίζουσας, det J είναι το διπλάσιο του εμβαδού του τριγώνου. Εάν τα σημεία 1, 2 και 3 είναι διατεταγμένα αριστερόστροφα, η det J έχει θετικό πρόσημο. Έχουμε (5.22) όπου το αναπαριστά το μέγεθος. Οι περισσότεροι κώδικες υπολογιστών χρησιμοποιούν αριστερόστροφη διάταξη κόμβων, και την ορίζουσα det J για τον υπολογισμό του εμβαδού. Παράδειγμα 5.2 Ορίσετε την Ιακωβιανή του μετασχηματισμού J για το τριγωνικό στοιχείου του Σχ. Π5.1. Λύση Έχουμε

19 5.3 ΤΡΙΓΩΝΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (CST) 165 Άρα, det J = μονάδες. Αυτό είναι το διπλάσιο του εμβαδού του τριγώνου. Εάν οι κόμβοι 1, 2 και 3 είναι δεξιόστροφα διατεταγμένοι, τότε η ορίζουσα det J είναι αρνητική. Από τις Εξ και 5.20 προκύπτει ότι (5.23α) Αντικαθιστώντας το u με τη μετατόπιση υ, λαμβάνουμε την παρόμοια έκφραση (5.23β) Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις παραμόρφωσης-μετατόπισης (5.5) και τις Εξ. 5.12β και 5.23 (5.24α) Από τον ορισμό των x ij και y ij μπορούμε να γράψουμε y 31 = y 13 και y 12 = y 13 y 23 κ.λπ. Γράφουμε την προηγούμενη εξίσωση στη μορφή (5.24β) Γράφουμε την εξίσωση σε μορφή μητρώου ως є = Bq (5.25) όπου Β είναι ένα μητρώο (3 6) στοιχείου παραμόρφωσης-μετατόπισης, το οποίο συνδέει τις τρεις παραμορφώσεις με τις έξι κομβικές μετατοπίσεις και δίνεται από το (5.26) Σημειώνεται ότι όλα τα στοιχεία του μητρώου Β είναι σταθερές και εκφράζονται συναρτήσει των κομβικών συντεταγμένων. Παράδειγμα 5.3 Βρείτε τα μητρώα B e παραμόρφωσης-κομβικών μετατοπίσεων για τα στοιχεία του Σχ Χρησιμοποιήστε τους τοπικούς αριθμούς που δίνονται στις γωνίες.

20 166 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Λύση Έχουμε ΣΧΗΜΑ Π5.3 όπου η det J λαμβάνεται από x 13 y 23 x 23 y 13 = (3) (2) (3)(0) = 6. Χρησιμοποιώντας τους τοπικούς αριθμούς των γωνιών, μπορούμε να γράψουμε τη Β 2 χρησιμοποιώντας τη σχέση ως Προσέγγιση δυναμικής ενέργειας Η δυναμική ενέργεια Π του συστήματος δίνεται από την (5.27) Στον τελευταίο όρο της Εξ. 5.27, το i υποδεικνύει το σημείο εφαρμογής του φορτίου σημείου Ρ i και P i = [P x, P y ] Τ i. Η άθροιση ως προς i δίνει τη δυναμική ενέργεια, η οποία οφείλεται στα φορτία όλων των σημείων. Αν χρησιμοποιήσουμε τον τριγωνισμό του Σχ. 5.9, μπορούμε να γράψουμε την ολική δυναμική ενέργεια στη μορφή (5.28α) ή (5.28β) όπου U e = ½ T є єtda e D είναι η ενέργεια παραμόρφωσης του στοιχείου.

21 5.3 ΤΡΙΓΩΝΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (CST) 167 Ακαμψία στοιχείου Αντικαθιστούμε τώρα την παραμόρφωση, από τη σχέση παραμόρφωσης-μετατόπισης στοιχείου της Εξ. 5.25, στην Εξίσωση 5.28β της ενέργειας παραμόρφωσης στοιχείου U e, για να λάβουμε (5.29a) Θεωρώντας το πάχος του στοιχείου t e ως σταθερό και λαμβάνοντας υπόψη ότι όλοι οι όροι στα μητρώα D και Β είναι σταθεροί, έχουμε (5.29β) Τώρα, e da = A e, όπου Α e είναι το εμβαδόν του στοιχείου. Συνεπώς, (5.29γ) ή (5.29δ) όπου k e είναι το μητρώο ακαμψίας του στοιχείου το οποίο δίνεται από (5.30) Στην περίπτωση επίπεδης τάσης ή επίπεδης παραμόρφωσης, μπορούμε να υπολογίσουμε το μητρώο ακαμψίας του στοιχείου λαμβάνοντας το κατάλληλο μητρώο ιδιοτήτων υλικού D που ορίσαμε στο Κεφάλαιο 1, και εκτελώντας τον προηγούμενο πολλαπλασιασμό με υπολογιστή. Σημειώνουμε ότι, επειδή το D είναι συμμετρικό, και το μητρώο k e είναι συμμετρικό. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τη συνδεσμολογία στοιχείων του Πίνακα 5.1, προσθέτουμε τις τιμές α- καμψίας στοιχείου του k e στις αντίστοιχες ολικές θέσεις του μητρώου συνολικής ακαμψίας Κ, έτσι ώστε (5.31) Το μητρώο συνολικής ακαμψίας Κ είναι συμμετρικό και ζωνικό ή αραιό. Η τιμή ακαμψίας K ij είναι μηδέν όταν οι βαθμοί ελευθερίας i και j δεν συνδέονται δια μέσου ενός στοιχείου. Εάν οι βαθμοί ελευθερίας i και j συνδέονται μέσω ενός ή περισσοτέρων στοιχείων, συσσωρεύονται τιμές ακαμψίας από αυτά τα στοιχεία. Για τους ολικούς βαθμούς ελευθερίας που αριθμούνται όπως στο Σχ. 5.2, το εύρος ζώνης συσχετίζεται με τη μέγιστη διαφορά των αριθμών κόμβων του στοιχείου, για όλα τα στοιχεία. Εάν i 1, i 2 και i 3 είναι αριθμοί κόμβων του στοιχείου e, η μέγιστη διαφορά αριθμού κόμβων του στοιχείου δίνεται από τον τύπο (5.32α) Το μισό εύρους της ζώνης δίνεται από (5.32β)

22 168 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ όπου ΝΕ είναι ο αριθμός των στοιχείων και 2 είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας ανά κόμβο. Το μητρώο συνολικής ακαμψίας Κ είναι σε μια μορφή όπου όλοι οι βαθμοί ελευθερίας Q είναι ελεύθεροι. Για να λάβουμε υπόψη τις συνοριακές συνθήκες, πρέπει να το τροποποιήσουμε. Όροι δύναμης Ας δούμε πρώτα τον όρο δύναμης σώματος T uf e tda που εμφανίζεται στην ολική δυναμική ενέργεια στην Εξ. 5.28β. Έχουμε Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις παρεμβολής της Εξίσωσης 5.12α, βρίσκουμε ότι (5.33) Από τον ορισμό των συναρτήσεων μορφής σε ένα τρίγωνο, τις οποίες βλέπουμε στο Σχ. 5.4, το e N da 1 αναπαριστά τον όγκο ενός τετραέδρου με εμβαδόν βάσης A e και ύψος ακμής 1 (αδιάστατο). Ο όγκος αυτού του τετραέδρου δίνεται από τον τύπο 1/3 Εμβαδόν βάσης Ύψος (Σχ. 5.6) και είναι. Μπορούμε τώρα να γράψουμε την Εξ στη μορφή 1 Παρόμοια, N da = N da = A e e e όπου f e είναι το διάνυσμα της δύναμης σώματος του στοιχείου και δίνεται από (5.34) (5.35) (5.36) Αυτές οι κομβικές δυνάμεις του στοιχείου συνεισφέρουν στο διάνυσμα ολικού φορτίου F. Πρέπει, να χρησιμοποιήσουμε πάλι τη συνδεσμολογία του Πίνακα 5.1 για να προσθέσουμε το f e στο διάνυσμα ολικής δύναμης F. Το διάνυσμα f e είναι

23 5.3 ΤΡΙΓΩΝΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ (CST) 169 ΣΧΗΜΑ 5.6 Ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης μορφής διαστάσεων (6 1), όπου F είναι (N 1). Αυτή η διαδικασία σύνθεσης συζητείται στα Κεφάλαια 3 και 4. Την ορίζουμε συμβολικά, (5.37) Η δύναμη εφελκυσμού είναι ένα κατανεμημένο φορτίο που ασκείται στην επιφάνεια του σώματος. Μια τέτοια δύναμη ενεργεί στις ακμές που συνδέουν συνοριακούς κόμβους. Μια δύναμη εφελκυσμού η οποία ενεργεί στην ακμή ενός στοιχείου συνεισφέρει στο διάνυσμα ολικού φορτίου F. Μπορούμε να προσδιορίσουμε αυτή τη συνεισφορά, αν θεωρήσουμε τον όρο της εφελκυστικής δύναμης ut td l. Έστω η ακμή l T 1 2 στην οποία ενεργεί εφελκυσμός T x, T y σε μονάδες δύναμης ανά μονάδα εμβαδού επιφανείας, όπως φαίνεται στο Σχ. 5.7α. Έχουμε Από τις σχέσεις παρεμβολής οι οποίες χρησιμοποιούν τις συναρτήσεις μορφής παίρνουμε (5.38) (5.39)

24

Πρόλογος Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Θέση και Προσανατολισμός

Θέση και Προσανατολισμός Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 1.1 Κατασκευές και δομοστατική 3 1.2 Διαδικασία σχεδίασης κατασκευών 4 1.3 Βασικά δομικά στοιχεία 6 1.4 Είδη κατασκευών 8 1.4.1 Δικτυώματα 8

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 2 Χειμερινό Εξάμηνο 213 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/214, 12. Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας Απαγορεύεται η παρουσία & χρήση κινητού!

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 21. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 21. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 21 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων 7

Πίνακας Περιεχομένων 7 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος...5 Πίνακας Περιεχομένων 7 1 Εξισώσεις Ροής- Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών...15 1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ.....15 1.1.1 Γενικά θέματα. 15 1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα...16

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής

Περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής Κεφάλαιο 5 Περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται οι περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών οι οποίες συναντώνται σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής.

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J.

(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J. 4 η Ομάδα Ασκήσεων Δύο πυκνωτές C=5 μf και C=40 μf συνδέονται παράλληλα στους ακροδέκτες πηγών τάσης VS=50 V και VS=75 V αντίστοιχα και φορτίζονται Στην συνέχεια αποσυνδέονται και συνδέονται μεταξύ τους,

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική

Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Σημειώσεις του μαθήματος Μητρωϊκή Στατική Π. Γ. Αστερής Αθήνα, Μάρτιος 017 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Ελατήρια σε σειρά... 1.1 Επιλογή μονάδων και καθολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Δυναμική Μηχανών I 8 1 Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη μαθήματος Ι

Περίληψη μαθήματος Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΛΙΚΩΝ, ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ, ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ, ΑΠΘ Περίληψη μαθήματος Ι Τυπολόγιο μεθοδολογία στατικής Περίληψη Ι: Ισορροπία υλικού σημείου & στερεού σώματος, δικτυώματα,

Διαβάστε περισσότερα

Πολυτεχνείο Κρήτης. Σεπτέμβριος Προσομοίωση γέφυρας με ενσωματωμένους οπτικούς αισθητήρες και ανάλυση της δομικής ακεραιότητάς της.

Πολυτεχνείο Κρήτης. Σεπτέμβριος Προσομοίωση γέφυρας με ενσωματωμένους οπτικούς αισθητήρες και ανάλυση της δομικής ακεραιότητάς της. Πολυτεχνείο Κρήτης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Σεπτέμβριος 2014 Προσομοίωση γέφυρας με ενσωματωμένους οπτικούς αισθητήρες και ανάλυση της δομικής ακεραιότητάς της. ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ Ι. ΤΣΟΥΛΚΑΣ Α.Μ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΤΟΠΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Έστω η Δ.Ε. : d du a d d f ΤΟΠΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ () Με και a a(),() f f γνωστές ποσότητες, u u() η άγνωστη μεταβλητή Για την άγνωστη μεταβλητή θεωρούμε την προσέγγιση: n u ()()() c () h

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραμική θεωρία, στατικά προβλήματα. 3.1 Μέθοδος δυσκαμψίας

Κεφάλαιο 3. Γραμική θεωρία, στατικά προβλήματα. 3.1 Μέθοδος δυσκαμψίας Κεφάλαιο 3 Γραμική θεωρία, στατικά προβλήματα Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται ορισμένες από τις βασικές έννοιες στις οποίες βασίζεται η άμεση μέθοδος δυσκαμψίας. Δίνεται πρώτα το γραμμικό ελατήριο, το

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η Ανάλυση Ισοστατικών οκών και Πλαισίων Τρίτη,, 21, Τετάρτη,, 22 και Παρασκευή 24 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

12. ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ "ΑΣΤΑΘΟΥΣ" ΜΟΡΦΗΣ ΚΑΙ ΜΕΙΩΜΕΝΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

12. ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΑΣΤΑΘΟΥΣ ΜΟΡΦΗΣ ΚΑΙ ΜΕΙΩΜΕΝΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 1. ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ "ΑΣΤΑΘΟΥΣ" ΜΟΡΦΗΣ ΚΑΙ ΜΕΙΩΜΕΝΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 1.1 Μειωμένη αριθμητική ολοκλήρωση Σε προηγούμενο κεφάλαιο ασχοληθήκαμε με το θέμα της αριθμητικής ολοκλήρωσης. Θα πρέπει να τονιστεί πως η "τάξη"

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1

Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1 Περιεχόµενα Εισαγωγή Σύµβολα Ε1-Ε9 Σ1-Σ10 Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1 2. Σύµβαση πρόσηµων 2.1 Συστήµατα αναφοράς 2.2 υνάµεις και ροπές 2.3 Tάσεις 2.4 Τέµνουσες δυνάµεις και καµπτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Σχήμα 2 Παραγόμενη Μονάδες S.I. όνομα σύμβολο Εμβαδό Τετραγωνικό μέτρο m 2 Όγκος Κυβικό μέτρο m 3 Ταχύτητα Μέτρο ανά δευτερόλεπτο m/s Επιτάχυνση Μέτρο ανά δευτ/το στο τετράγωνο m/s 2 Γωνία Ακτίνιο

Διαβάστε περισσότερα

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων.

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Θεωρώντας τα αέρια σαν ουσίες αποτελούμενες από έναν καταπληκτικά μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια) Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια) Ορθογωνικότητα Ιδιομορφών Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-2 Μία από τις σπουδαιότερες ιδιότητες των ιδιομορφών είναι η ορθογωνικότητα τους ως προς τα μητρώα μάζας [m] και ακαμψίας

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Προσέγγιση Galerkin

Δυναμική Μηχανών I. Προσέγγιση Galerkin Δυναμική Μηχανών I 8 2 Προσέγγιση Galerkin Χειμερινό Εξάμηνο 214 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, ΕΜΠ Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D. 215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Εισαγωγή Παραμορφώσεις Ισοστατικών Δοκών και Πλαισίων: Δ22-2 Οι κατασκευές, όταν υπόκεινται σε εξωτερική φόρτιση, αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)

Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση) Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης ύναµη σε ρευµατοφόρους αγωγούς (β) Ο αγωγός δεν διαρρέεται από ρεύμα, οπότε δεν ασκείται δύναμη σε αυτόν. Έτσι παραμένει κατακόρυφος. (γ) Το µαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 4.9.

Πρόβλημα 4.9. Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος /8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Μέθοδος Cross Η μέθοδος Cross ή μέθοδος κατανομής των ροπών, χρησιμοποιείται για την επίλυση συνεχών δοκών και πλαισίων. Είναι παραλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο

Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Το πρόβλημά μας είναι να προσδιορίσουμε την περίοδο των ταλαντώσεων του εκκρεμούς στο πρόβλημα που απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα υπό την προϋπόθεση ότι η δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. H Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων

Δυναμική Μηχανών I. H Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων Δυναμική Μηχανών I 8 3 H Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα