PRERADA NAFTE PRIMARNA PRERADA NAFTE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "PRERADA NAFTE PRIMARNA PRERADA NAFTE"

Transcript

1 RUDARSKI ODSEK-Eksploatacija tečnih i gasovitih mineralnih sirovina i gasna tehnika PREDMET: HEMIJA I PRERADA NAFTE I GASA (za studente VI semestra) Prof. dr AleksandraKostic-Pulek ( ) PRERADA NAFTE Nafta nema direktnu primenu.ona se u rafinerijama dalje preradjuje u razlicite proizvode. Prerada nafte se deli na primarnu i sekundarnu preradu. Primarnom preradom nafte (frakcionom destilacijom) dobijaju se smese ugljovodonika,frakcije (derivati) nafte,koje po svojim osobinama zadovoljavaju potrebe potrosaca. Sekundarnom preradom se dobijaju vece kolicine zeljenje frakcije ili se izbegava dobijanja frakcija manje vrednosti. Osnovni princip primarne prerade nafte se nije bitnije promenio od samih pocetaka prerade nafte nasuprot procesa sekundarne prerade koji se znatno razvio a i dalje se razvija. PRIMARNA PRERADA NAFTE Nafta se preradjuje u rafinerijama koje su najcesce udaljene od nalazista.nakon ukljanjanja (gasovitih) najnizih ugljovodonika (separacije)na samom nalazistu nafta se transportuje do rafinerija naftovodima ili cisternama odnosno brodovima cisternama. Primarna prerada nafte zasnovana je na teholoskoj operaciji koja se naziva destilacija.destilacija je tehnoloska operacija za razdvajanje smese tecnosti na osnovu razlicitih temperatura kljucanja i moze se izvoditi pod :atmosferskim pritiskom(atmosferska destilacija),u vakumu (vakuum destilacija) ili pod povisenim pritiskom (destilacija pod pritiskom).kao i sve tehnoloske operacije ona ukljucuje samo fizicke promene i izvodi se zagrevanjem nafte,njenim isparavanjem,hladjenem i kondenzovanjem. Destilacijom se dobijaju pojedine frakcije (derivati) nafte koji takodje predstavljaju smese ugljovodonika. U laboratorijskim uslovima destilacija se izvodi u aparaturi koja se sastoji od balona,kondenzatora i prihvatnog suda.zagrevanjem nafte dolazi do isparavanja jedinjenja sa nizim temperaturama kljucanja a hladjenjem pare dobija se tecnost sa vecim sadrzajem lakse isparljivih jedinjenja nego u sirovoj nafti.tokom destilacije temperatura pare a i nafte u balonu rastu.sakupljanjem kondenzacijom nastale tecnosti (destilata) u odredjenom temperaturnom intervalu dobijaju se zeljene frakcije nafte.ova vrsta destilacije se naziva prosta (frakciona ) destilacijai za nju je karakteristicno da se samo jedna (gasna) faza krece..ako se na balon za destilaciju prikljuci kolona tj. uspravna staklena cev ispunjena komadicima stakla (ili punjenja od drugog materijala) deo pare se pri kontaktu sa njim kondenzuje i vraca u balon za destilaciju.kroz kolonu se,u suprotnim smerovima,krecu para (na gore) i tecnost (na dole):tecnost je bogatija teze isparljivom komponentom, ima

2 nizu temperaturu i zato izaziva kondenzaciju teze isparljivih jedinjenja iz pare a pri tome oslobodjena toplota kondenzacije se trosi na delimicno isparavanje laksih komponenti iz tecnosti.prolazeci kroz kolonu na nize tecnost se, sve vise obogacuje sa teze isparljivim ugljovodonicima, dok se para iduci ka vrhu kolone obogacuje sa lakse isparljivim ugljovodonicima.ovakav nacin razdvajanja tecnih smesa naziva se rektifikacija (rectificato=popravljeno) i predstavlja zapravo vise puta ponovljenu (popravljenu) destilaciju zbog cega je mnogo efikasniji od frakcione (proste) destilacije u kojoj se samo jedna (gasna) faza krece. Rafinerije nafte su se nekada sastojale od baterija kotlova,sirova nafta je propustana kroz sve kotlove u nizu a svaki od njih je zagrevan na visu temperaturu od prethodnog.prinos pojedinih frakcija iz kotla (u prvom su se dobijali benzini,drugom petroleum i dalje redom teze frakcije) je zavisio od temperature,sastava nafte i brzine proticanja. Ovaj postupak je bio nepogodan jer su kapaciteti bili mali,nafta se dugo zadrzavala u kotlovima,pregrevala se i neki su se sastojci raspadali. Savremena postrojenja za primarnu preradu nafte ukljucuju razdvajanje nafte na komponente u kolonama za atmosfersku destilaciju pod priblizno atmosferskim pritiskom.naziv atmosferska destilacija se uobicajeno koristi iako se u njima odigrava rektifikacija tj.vise puta ponovljena destilacija na atmosferskom pritisku.rektifikaciju u njima omogucuje konstrukcija ovih kolona..to su najcesce uspravni cilindricni sudovi (visine do 40 m i precnika 2-6 m) u kojima su ugradjene horizontalne pregrade-podovi sa otvorima.kroz otvore prolaze tecni i gasoviti ugljovodonici, u suprotnim smerovima, i na njima se desava njihovo isparavanje i kondenzacija. Efikasnost razdvajanja frakcija zavisi od broja podova a kapacitet kolone od njenog precnika Na slici br 1. data je sema postrojenja za atmosfersku destilaciju.

3 Sl br.1.sema postrojenja za atmosfersku destilaciju nafte Sirova nafta se pre ulasku u postrojenje za destilaciju prvo predgreva u izmenjivacima toplote (IT) toplim frakcijama nafte koje dolaze sa atmosferske kolone preko pomocnih tzv.striping kolona.predgrejana nafta se zatim uvodi u uredjaj za odvodnjavanje i odsoljavanje u kome se odstranjuju voda,so i mehanicke necistoce.nafta pripremljena za preradu se cevovodom transportuje do izmenjivaca toplote (IT) u kome se dalje predgreva i zatim uvodi u cevnu pec u kojoj se zagreva na temperaturu destilacije.ta temperatura zavisi od tipa nafte i krece se od C a maksimalno iznosi C:lakse nafte greju se na nize a teze nafte na vise temperature.zagrejana nafta,pretezno u parnom stanju,se izvodi iz peci i uvodi u kolonu za destilaciju.zbog razlike u pritiscima u peci (12 bara) i koloni (1,8 bara)nafta naglo isparava.temperatura na dnu kolone je najvisa i opada prema vrhu gde je najniza.pare ugljovodonika koje se krecu navise kroz kolonu prolaze (barbotiraju) kroz tecnu fazu ugljovodonika na podovima a tecna faza se sa poda na pod krece nanize kroz kolonu nasuprot kretanju para.tecna faza koja silazi sa bilo kog viseg poda na nizi dolazi na visu temperaturu na kojoj isparavaju lakse isparljivi ugljovodonici cime se njihova koncentracija u tecnoj fazi (koja silazi na nizi pod) smanjije.sa druge strane parna faza koja se sa nizeg poda penje na visi pod dolazi na pod sa nizom temperaturom usled cega se deo komponenata sa visom temperaturom kljucanja na tom podu kondenzuje i prelazi u tecnu fazu i

4 koncentracija teze isparljive komponente u parnoj fazi smanjuje a lakse isparljive raste.temperatura u koloni opada iduci ka vrhu i sastav frakcija na pojedinim podovima je razlicit.u cilju efikasnijeg uklanjanja lakse isparljivih ugljovodonika na dnu kolone se uvodi pregrejana vodena para.da bi se odrzala temperatura na vrhu kolone i poboljsalo frakcionisanje deo kondenzovane vrsne frakcije se vraca u kolonu kao povratni tok (refluks).sa ostalih podova kolone se odvode bocne frakcije a sa dna kolone se izvodi ostatak atmosferske destilacije.bocne frakcije iz kolone se odvode u striping kolone u kojima se pomocu pregrejane vodene pare destilacijom odstranjuju laksi ugljovodonici i tako suzava interval kljucanja frakcije.deo smese vodene pare i isparenih ugljovodonika se kao refluks vraca u kolonu za destilaciju.bocne frakcije se potom odvode preko izmenjivaca toplote (gde se hlade i kondenzuju) u skladista odakle se transportuju u postrojenja za sekundarnu preradu.sa vrha kolone se izdvaja vrsna ( benzinska frakcija) koja kljuca do C i koja pored para ugljovodonika sadrzi vodenu paru sa dna kolone i iz striping kolona.posle hladjenja i kondenzacije ove frakcije se izdvaja lozivi gas koji se koristi kao gorivo u samoj rafineriji.kondenzat vrsne frakcije (primarni stabilisani benzin) se po odvajanju vode odvodi u kolonu za odvajanje propana i butana (debutanizator) cija se smesa naziva tecni naftni gas. Primarni stabilisani benzin predstavlja najznacajniji derivat koji se dobija preradom nafte.ostatak atmosferske destilacije se transportuje na dalju preradu.sastoji se od visih ugljovodonika sa temperaturom kljucanja iznad C.Frakcionisanje ovog ostatka pod atmosferskim pritiskom nije moguce zbog termickog razlaganja ovih ugljovodonika na t>380 0 C.Zato se frakcionisanje ostatka atmosferske destilacije vrsi pod pritiskom manjim od atmosferskog,u vakuumu (vakuum destilacija).razdvajanje vakuum destilacijom na frakcije je u principu isto kao i postupkom atmosferske destilacije. Proizvodi primarne prerade nafte (derivati nafte) U proizvode primarne prerade nafte(derivate) spadaju :gasovi,benzin,petroleum i gorivo za mlazne motore,dizel goriva,maziva ulja i ulja za lozenje,parafin,bitumen,koks i sirovine za petrohemijsku industriju (petrohemikalije). 1. Gasovi :Gasovi se izdvajaju iz vrsne benzinske frakcije koja kljuca do C u koloni za atmosfersku destilaciju nafte.po svom sastavu ovi gasovi se (pretezno) sastoje od parafina koji sadrze do cetiri atoma ugljenika i najcesce se koriste u samoj rafineriji kao gorivo a sluze i kao sirovina u petrohemijskoj industriji.gasove cini lozivi gas i tecni naftni gas.lozivi gas se sastoji od metana,etana i sumporovodonika i najcesce se koristi za zagrevanje u samoj rafineriji.tecni naftni gas predstavlja najlaksi komercijalni derivat primarne prerade nafte i sastoji se od smese propana (do 65 % mas.) i butana prevedenih u tecno stanje.koristi se kao gorivo ( u industriji i domacinstvu i za motore sa unutrasnjim sagorevanjem ) i kao sirovina u hemijskoj industriji za dobijanje nizih ugljovodonika i drugih supstanci(metanola,amonijaka itd.).sema postrojenja za izdvajanje gasova iz vrsne frakcije kolone za destilaciju data je na sl.br.105.

5 Po izlasku iz destilacione kolone gasovi se hlade i komprimuju na pritisak od 10 bar-a i potom se u apsorberu dovode u kontakt sa petroleumom.u petroleumu se apsorbuju propan i butan (i njihovi izomeri) a metan i etan ostaju neapsorbovani i svi se zajedno prebacuju u deetanizator.iz deetanizatora,gde je identican pritisak (10 bara),se sa vrha kolone izvode neapsorbovani gasovi metan i etan (lozivi gas) a (deetanizirani) petroleum odlazi u sledecu kolonu-frakcionator gde kao rebojler sluzi cevna pec.u njemu isparavaju preostali apsorbovani gasovi (propan i butan) a petroleum izlazi sa dna kolone i vraca se u apsorber.pritisak u njemu je bar-a i gasovi izdvojeni na vrhu se hlade na 40 0 C i prelaze u tecno stanje.odatle odlaze u drugi frakcionator gde se sa vrha kolone odvodi propan a sa dna butan. Propan se koristi kao gorivo jer ima visoku toplotnu vrednost. Cuva se i transportuje u tecnom agregatnom stanju,pod pritiskom,u celicnim posudama.ima nisku temperaturu kljucanja (t klj. = C) zbog koje je pogodan za spoljasnje instalacije i zimi. Butan je gasno gorivo jos vece toplotne vrednosti koje kljuca na t klj. = C i zato nije pogodan za spoljasne instalacije zimi.

6 Gasoviti ugljovodonici se obrazuju i kao sporedni proizvodi pri postupcima sekundarne prerade nafte. Rafinerijski gasovi cine 30% zapr.ukupne potrosnje gasova u svetu (ostatak su prirodni gasovi). 2.benzin Benzin dobijen primarnom preradom naziva se primarni (sirovi) benzin i sastoji se od smese ugljovodonika sa 5-11 atoma ugljenika koja kljuca u intervalu od C.Njegova direktna primena kao motornog goriva nije moguca jer njegove osobine ne zadovoljavaju zahteve motora sa unutrasnjim sagorevanjem.ovaj benzin sadrzi isparljive sastojke koji tokom skladistenja (polako) ili pri radu motora (brzo) isparavaju i koje je pre upotrebe neophodno ukloniti odnosno benzin stabilisati.to se cini destilacijom pod povisenim pritiskom (15 bara) pri cemu se sa vrha destilacione kolone izvode isparljive frakcije a sa dna kolone stabilisani benzin.karakteristika kvaliteta benzina kao goriva tj.najvazniji zahtev koji benzin treba da ispuni je sagorevanje bez detonacija (lupanja u motoru).sagorevanje smese kiseonika iz vazduha i goriva treba da bude brzo (ne eksplozivno) i ravnomerno.detonacija nastaje kada se gorivo u cilindru motora zapali pre pojave varnice (samopaljenje).tada dolazi do naglog porasta pritiska sto se manifestuje karakteristicnim zvukom tj. lupanjem u motoru pri cemu dolazi do rasipanja energije.posledica toga su povecana potrosnja goriva,pregrevanje motora,gubitak snage i ostecenje delova motora (zaptivnih elemenata i lezajeva). Sklonost ka detonovanju,odnosno merilo za antidetonatorska svojstva benzina,izrazava se oktanskim brojem.kao standard za odredjivanje oktanskog broja uzima se smesa n- heptana i izo-oktana (2,2,4-trimetilpentan).Prvi ima najizrazeniju sklonost ka detonovanju i za njegov oktanski broj je usvojena vrednost nula.drugi ima veoma malu sklonost ka samopaljenju i detonovanju i za njegov je oktanski broj usvojena vrednost 100.Oktanski broj nekog benzina se odredjuje uporedjenjem nacina njegovog sagorevanja sa sagorevanjem smese n-heptana i izo-oktana.ukoliko se utvrdi da ispitivani benzin sagoreva na isti nacin kao i smesa koja sadrzo 90 % zapr. izo-oktana i 10 %zapr.nheptana takav benzin ima oktanski broj 90.Detonacije se mogu spreciti i oktanski se broj moze povecati na dva nacina:1)odabirom goriva i 2)dodatkom aditiva. 1) Najvecu sklonost ka samopaljenju i detonacijama pri sagorevanju imaju n-alkani,nesto manju nafteni a sklonost ka samopaljenju i detonaciji izomera alkana a narocito aromaticnih ugljovodonika je znatno manja.isto tako ugljovodonici sa nezasicenim vezama pokazuju manju sklonost ka detonovanju od ugljovodonika sa zasicenim vezama.na primer n-heksan ima oktanski broj 26, 2-heksan 74, cikloheksan 77, 2-heksen 100 a benzen 108.U novije vreme su sintetizovana goriva ciji je oktanski broj veci od 100 i kao etalon za poredjenje kod ovih goriva se umesto izo-oktana uzima 2,2,3- trimetilbutan (triptan) i to je tzv.triptanski broj. 2) Aditiv koji smanjuje sklonost ugljovodonika da detonuje,koji se najcesce koristi,je tetraetil-olovo Pb(C 2 H 4 ) 4 koje pri sagorevanju daje olovnu gledj (PbO) ili olovnu prasinu (Pb) koje se taloze na cilindru motora: Pb(C 2 H 5 ) 4 +13,5 O 2 =8CO 2 +PbO+10 H 2 O

7 Da bi se to sprecilo tetraetil-olovu se dodaje dibrometan ili dihloretan koji sa olovom daju isparljiva jedinjenja koja u izduvnim gasovima motora,zajedno sa CO 2,zagadjuju zivotnu sredinu. Pb(C 2 H 5 ) 4 +C 2 H 4 Br O 2 =PbBr CO H 2 O ili Pb(C 2 H 5 ) 4 +C 2 H 4 Cl O 2 =PbCl CO H 2 O Zbog toga se u svetu a i kod nas ogranicava upotreba tetraetil-olova kao aditiva benzinu a tendencija je da se iskljucivo proizvodi bezolovni benzin. Primarni benzini se preradom razdvajaju na :a) lake benzine koji kljucaju u intervalu od C (petroletar koji sluzi kao rastvarac za masti i ulja,medicinski benzin i benzin za benoid aparate),b)srednje benzine koji kljucaju u intervalu od C (koriste se za ekstrakciju uljarica,za rastvaranje gume i kao rudarski benzini) i c) teske benzine koji kljucaju u intervalu od C (koriste se za boje i lakove i za rad sa hemikalijama). Pored benzina dobijenog preradom u rafinerijama postoji i tzv.prirodni benzin (kaptazni gazolin) koji se dobija od prirodnog gasa odvajanjem para ugljovodonika sa od 4 do 7 atoma ugljenika,na samom nalazistu. Kod nas se proizvode motorni benzini poznati pod nazivima :normal sa oktana,super sa oktana i bezolovni sa 95 oktana. Sadrzaj benzina u sirovoj nafti je izmedju % mas. 3.Petroleum i goriva za mlazne motore Frakcija nafte koja se dobija iz kolone za atmosfersku destilaciju koja kljuca u intervalu od C,sastavljena od alkana,naftena i aromaticnih ugljovodonika sa atoma ugljenika. naziva se petroleum.u sirovoj nafti ova frakcija se nalazi u kolicini od 6-10 %.mas. Ranije se najvise koristila kao sredstvo za osvetljenje (petrolej) u lampama poznatim pod nazivom petrolejke a potom i kao gorivo za traktore.danas se najvise koristi kao gorivo za mlazne motore tj.kao tzv.mlazno gorivo. Mlazna goriva se dobijaju iz destilata nafte (ili sekundarnom preradom petroleuma) koji kljucaju u temperaturnom intervalu od C i mogu u sebi sadrzavati i neke additive.to je ustvari frakcija koja sadrzi benzin i petroleum( od 5-15 atoma C). Ova goriva moraju da zadovolje veoma stroge sledece zahteve:da sagorevaju cisto,bez cadji (cestica ugljenika),ne smeju biti korozivna i posto avioni na mlazni pogon lete na velikim visinama na kojima su veoma niske temperature zahteva se da njihova temperatura mrznjenja bude ispod C i da sadrzaj ukupnog sumpora ne bude veci od 0,15 % mas. 4.Dizel goriva (gasno ulje) Dizel goriva ( goriva za dizel motore) su sastavljena od ugljovodonika koji kljucaju u opsegu od C i sadrze od atoma ugljenika.dobijaju se pretezno atmosferskom destilacijom a mogu im se dodavati i gasna ulja iz vakuum destilacije kao i iz sekundarnih postupaka prerade nafte.karakteristika kvaliteta ovog goriva je sposobnost samopaljenja odnosno lakoca.njegovog paljenja.ono je kvalitetnije sto je vreme od ubrizgavanja u motor do paljenja krace.merilo sposobnosti samopaljenja

8 (lakoce paljenja) je cetanski broj. Najvecu vrednost cetanskog broja imaju n-alkani a najmanju aromaticni ugljovodonici. Standardi za uporedjivanje su u ovom slucaju smesa α-metilnaftalena (koji ima cetanski broj 0) i n-heksadekan (cetan) koji ima cetanski broj Goriva ulja (ulja za lozenje) i maziva ulja (ulja za podmazivanje ) Ulja za lozenje se koriste za dobijanje toplotne energije u domacinstvima,energetskim postrojenjima i industriji.dele se na:laka,srednja i teska.laka ulja (tzv.gasna ulja) se dobijaju iz srednjih destilata nafte a srednja i teska ulja se dobijaju mesanjem razlicitih komponenata:ostataka atmosferske i vakuum destilacije,teskog ulja iz procesa sekundarne prerade i drugih komponenata.temperature kljucanja za laka ulja krecu se u intervalu od C a za teska ulja od C a broj atoma ugljenika u ugljovodonicima koji ga cine je izmedju Ulja za lozenje spadaju u najeftinije i najmasovnije proizvode sirove nafte.neprecisceni ostatak destilacije sirove nafte se obicno naziva mazut.najvaznije karakteristike gorivih ulja su viskoznost i sadrzaj ukupnog sumpora i te vrednosti su propisane standardima. Maziva ulja (ulja za podmazivanje) imaju funkciju da smanje trenje izmedju dve povrsine koje se krecu jedna na drugoj.to se postize prevlacenjem povrsina tankim filmom ulja za podmazivanje pri cemu se neravnine izjednacavaju ili ublazuju.na taj se nacin trenje izmedju metalnih delova svodi na mnogo manje unutrasnje trenje prisutno u sredstvu za podmazivanje.polazne sirovine za njihovu proizvodnju su teze frakcije nafte dobijene vacuum destilacijom koje se podvrgavaju razlicitim postupcima rafinacije.osnovni sastojak vecine ulja za podmazivanje jesu frakcije nafte koje kljucaju preko C a osnovne fizicke karakteristike su:viskozitet (ne bi trebalo mnogo da se menja sa temperaturom),tacka paljenja (treba da je visoka) i tacka mrznjenja (treba da je niska). Ove su vrednosti propisane standardima za svaku vrstu ulja. Ova ulja se dele se na motorna (sluze za podmazivanje motora sa unutrasnjim sagorevanjem odnosno sprecavanje mrdjusobnog trenja pokretnih delova u motoru)) i industriska ulja kojima se podmazuju podmazuje oprema u industriji. 6.Parafin Parafin je derivat nafte sastavljen od alkana,normalnih ili racvastih nizova,sa atoma ugljenika.dobija se na razlicite nacine:postupkom ekstrakcije iz ostatka vacuum destilacije pri proizvodnji mazivih ulja (deparafinacija),hljadjenjem visih frakcija nafte,iz ostatka atmosferske destilacije parafinom bogatih nafti itd.neke nafte mogu da sadrze i do 50 % mas.parafina.parafin se javlja u dva oblika:kao kristalinican parafin (dobija se iz laksih vacuum frakcija i ima temperaturu topljenja od C ) i kao mikrokristalinican parafin koji se izdvaja iz najteze frakcije vacuum destilacije i ima temperaturu topljenja u opsegu od C.Koristi se za :svece,vestacke voskove,masti za parket,impegniranje tkanina u proizvodnji sibica itd. 7.Bitumen

9 Bitumen se dobija oksidacijom ostatka vakuum destilacije koji sadrzi najteze ugjlovodonike i predstavlja smesu teskih ugljovodonika i jedinjenja sa kiseonikom,azotom i sumporom u sledecim kolicinama: jedinjenja sa kiseonikom do 27 % mas., jedinjenja sa sumporom do 14 % mas. i jedinjenja sa azotom do 3 % mas koja se nalaze u sastavu nafte ili su tokom prerade nastala u njoj.neke teske sirova nafte mogu sadrzavati i do 65 % mas.bitumena.koristi se u gradjevinarstvu kao vezivno i kao izolaciono sredstvo zbog fizickih osobina koje poseduje:sposobnost vezivanja,viskoznost i postojanost. Po svom izgledu bitumen dosta podseca na prirodni asfalt pa se cesto naziva i vestacki asfalt.prirodni asfalt je tamna vrlo viskozna supstanca koja predstavlja koloidni rastvor visokomolekularnih jedinjenja u uljanoj fazi.do pocetka dvadesetog veka nalazista prirodnog asfalta su u potpunosti zadovoljavala potrebe u bitumenu.a danas je neophodno koristiti bitumen koji potice iz prerade nagte.(vestacki asfalt).bitumen iz prerade nafte nema tako dobre osobine kao prirodni asfalt i nije u istoj meri otporan prema atmosferskim uticajima kao on.njegove osobine se znatno poboljsavaju produvavanjem vazduha kroz zagrejanu stopljenu masu ( duvani bitumen) pri cemu se teska ulja dehidrogenizuju i polimerizuju a viskoznost raste.pri ovom postupku nastali polimeri su slozenog sastava i otporni na dejstvo kiselina,baza i soli. 8.Petrohemikalije Petrohemikalije predstavljaju hemikalije koje se dobijaju iz nafte ili gasa i ni po cemu se ne razlikuju od hemikalija koje se dobijaju iz drugih sirovina.to su :etilen,propilen,butilen,acetilen,benzol,toluol i ksilol.proizvodnja nekih od ovih jedinjenja je jeftinija od proizvodnje iz drugih sirovina. 9.Koks Koks (cesto se naziva i naftni koks) je cvrsti derivat nafte koji se dobija koksovanjem ostatka atmosferske ili vacuum destilacije.vrednost ovako dobijenog koksa je veca ako on sadrzi manje sumpora i organometalnih jedinjenja. Pitanja 1.Gasovi-proizvodi primarne prerade nafte 2.Benzin i oktanski broj 3.Petroleum i goriva za mlazne motore 4.Dizel gorivo i cetanski broj 5.Bitumen

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Radoslav D. Mićić, doc. PhD, Hemija nafte i gasa. Presentation 9.

Radoslav D. Mićić, doc. PhD, Hemija nafte i gasa. Presentation 9. Radoslav D. Mićić, doc. PhD, Hemija nafte i gasa Presentation 9. Destilacione krive S obzirom da su nafta i njene frakcije složene smese ugljovodonika, njihovo temeljno svojstvo isparljivosti je područje

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Idealno gasno stanje-čisti gasovi

Idealno gasno stanje-čisti gasovi Idealno gasno stanje-čisti gasovi Parametri P, V, T i n nisu nezavisni. Odnos između njih eksperimentalno je utvrđeni izražava se kroz gasne zakone. Gasni zakoni: 1. ojl-maritov: PVconst. pri konstantnim

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

TEHNOLOŠKE OPERACIJE. Predavanje 9

TEHNOLOŠKE OPERACIJE. Predavanje 9 EHNOLOŠKE OPERACIJE Predavanje 9 RAZMENA OPLOE Prenos toplote Provođenje (kondukcija) Strujanje (konvekcija) Zračenje (radijacija) RAZMENJIVAČI OPLOE Količina toplote moţe da preďe sa jednog tela na drugo

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

FIZIČKE OSOBINE NAFTE

FIZIČKE OSOBINE NAFTE RUDARSKI ODSEK-Eksploatacija tečnih i gasovitih mineralnih sirovina i gasna tehnika PREDMET: HEMIJA I PRERADA NAFTE I GASA (za studente VI semestra) Prof. dr AleksandraKostic-Pulek (18.04.2008) FIZIČKE

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

PROCESI PRERADE NAFTE

PROCESI PRERADE NAFTE SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za tehnologiju nafte i petrokemiju Zagreb, Savska cesta 16 / II PROCESI PRERADE NAFTE Prof. Katica Sertić - Bionda ATMOSFERSKA

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

C 273,15, T 273,15, 1 1 C 1 50 C 273,15 K 50K 323,15K 50K 373,15K C 40 C 40 K

C 273,15, T 273,15, 1 1 C 1 50 C 273,15 K 50K 323,15K 50K 373,15K C 40 C 40 K 1 Zadatak temperatura K- C Telo A se nalazi na temperaturi 50 C i zagreje se za 50 K. Telo B se nalazi na temperaturi 313 K.i zagreje se za 40 C. Koje je telo toplije posle zagravanja i kolika je razlika

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

PROCESI PRERADE NAFTE

PROCESI PRERADE NAFTE SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za tehnologiju nafte i petrokemiju Zagreb, Savska cesta 16 / II PROCESI PRERADE NAFTE Prof. Katica Sertić - Bionda PROCESI PRERADE

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

NAFTNO-PETROKEMIJSKO INŽENJERSTVO

NAFTNO-PETROKEMIJSKO INŽENJERSTVO SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za tehnologiju nafte i petrokemiju Zagreb, Savska cesta 16 / II NAFTNO-PETROKEMIJSKO INŽENJERSTVO Prof. dr. sc. Katica Sertić -

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

2011. ENERGIJA I OKRUŽENJE SKRIPTA D. D. ŠTRBAC, B. D. GVOZDENAC, Z. D. MIROSAVLJEVIĆ

2011. ENERGIJA I OKRUŽENJE SKRIPTA D. D. ŠTRBAC, B. D. GVOZDENAC, Z. D. MIROSAVLJEVIĆ 2011. ENERGIJA I OKRUŽENJE SKRIPTA D. D. ŠTRBAC, B. D. GVOZDENAC, Z. D. MIROSAVLJEVIĆ SADRŽAJ 1. FORMIRANJE ENERGETSKIH BILANSA... 4 1.1. Zakon održanja energije i energetski bilansi... 4 1.2. Planetarni

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

RAVNOTEŽA TEČNO-PARA

RAVNOTEŽA TEČNO-PARA RAVNOTEŽA TEČNO-PARA Smeša dve isparljive komponente (dve tečnosti) koje se mešaju u svim odnosima: f = c p + 2 = 2 2 + 2 = 2 tečna homogena smeša+para iznad tečnosti Ako su te dve nezavisno promenjive

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα

Obrada signala

Obrada signala Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

1. Uvod. 2. Opis eksperimenta

1. Uvod. 2. Opis eksperimenta Univerzitet u Nišu Mašinski fakultet TEHNIČKI MATERIJALI - Nemetalne materije VEŽBA VI ODREĐIVANJE KARAKTERISTIKA DIZEL GORIVA A KRIVA ISPARAVANJA UZORKA DIZEL GORIVA 1. Uvod Dizel-gorivo (gorivo za dizel

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα