Radoslav D. Mićić, doc. PhD, Hemija nafte i gasa. Presentation 9.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Radoslav D. Mićić, doc. PhD, Hemija nafte i gasa. Presentation 9."

Transcript

1 Radoslav D. Mićić, doc. PhD, Hemija nafte i gasa Presentation 9.

2 Destilacione krive S obzirom da su nafta i njene frakcije složene smese ugljovodonika, njihovo temeljno svojstvo isparljivosti je područje ključanja (eng. Boiling range), koje se određuje laboratorijskim postupcima destilacije. Destilacija je postupak kojim se u prikladnoj tikvici isparava tečna naftna frakcija na atmosferskom ili nižem pritisku pri čemu se dobijaju podaci o temperaturnom području ključanja ispitivanog uzorka. Dobijene vrednosti temperatura ukazuju na sastav ispitivanog uzorka s obzirom da temperatura ključanja zavisi od molekulske mase i strukture.

3 Temperatura ključanja povećava se s povećanjem molekulske mase, a izoparafini imaju niže temperature ključanja od odgovarajućih n- parafina. Temperatura ključanja na odgovarajućem pritisku za pojedine ugljovodonike je fizička konstanta. Smeša ugljovodonika, različitih molekulskih masa i struktura, ključa u odredjenon intervalu temperatre čija širina zavisi od razlike temperatura najtežih i najlakših ugljovodonika. Iz nafte se pri njenoj preradi destilacijom izdvajaju u određenim temperaturnim intervalima frakcije ugljovodonika čiji prinos zavisi od hemijskog sastava nafte tj. udela ugljovodonika koji ključaju u datom temperaturnom intervalu.

4 Destilacijoni opseg ima veliko značenje u oceni nafte i naftnih frakcija, a dobijene informacije osobito su važne pri projektovanju i pracénju rada destilacionih kolona. Buducí da je isparljivost primarna funkcija tečnost, ona je, povezana s ostalim fizičkim karakteristikama, temeljna u karakterizaciji tekucíh naftnih goriva, kao što su tečni naftni gas, prirodni benzin, motorni i avionski benzini, petrolej, gasna ulja, dizelska goriva i lož ulja.

5 Standardna (ASTM) destilacija Standardna ili ASTM destilaciona kriva dobija se destilacijom nafte ili njenih frakcija u standardnoj aparaturi koja se sastoji od balona za isparavanje uzoraka, termometra i hladnjaka. Destilacija se izvodi na atmosferskom pritisku i pri tome se meri temperatura početka ključanja, a zatim kada predestiliše 5, 10, 20, i 95% uzorka polazne zapremine ispitivanog uzorka, kao i završetak destilacije.

6 Destilacijom lakših nafti dobija se više destilata u odnosu na predestilisani deo teške nafte. Ova metoda se naročito koristi za karakterizaciju tečnih proizvoda nafte. Ona je brza i jednostavna, ali se njom postiže samo grubo frakcionisanje. Na ovaj način se određuje interval ključanja uzorka što je važan podatak za tečna goriva. Osim toga, pomoću podataka ove destilacije moguće je izračunati srednje temperature ključanja za ispitivane uzorke.

7 Postupak destilacije provodi se po standardnoj metodi, a podaci se izračunavaju i prikazuju u skladu sa sledecím nazivima: Početak destilacije - očitavanje na termometru, zabeleženo kada prva kap kondenzata padne iz donjeg kraja cevi za kondenzaciju. Završetak destilacije - maksimalno očitavanje na termometru za vreme ispitivanja. to se obično događa nakon isparavanja sve tečnosti sa dna tikvice. Procenat predestilisane - zapremine u ml kondenzata koji se dobije u menzuri, a povezan je sa paralelnim očitanjem na termometru. Procenat ukupno predestiliranog - zbir procenta predestilisanog i ostatka. Procenat gubitka minus procenat ukupno predestilisanog. Procenat ostatka - procenat ukupno predestilisanog umanjen za procenat predestiliranog, ili zapreminu ostatka u ml direktno izmeren. Procenat isparenog - zbir procenata predestilisanog i ostatka.

8 Ravnotežna destilaciona linija Na engleskom jeziku se označava kao EFV-kriva ili Flashkriva (eqvilibrium flash vaporisation). Ravnotežna destilaciona linija daje temperature na kojima se uspostavljaju ravnoteže između različitih udela i tečne i parne faze smeše. Pri njenom određivanju se pare ne odvode, odnosno sastav ukupne smeše (para+tečnost) se ne menja od početka ključanja do potpunog isparavanja. Parnu fazu sačinjavaju prvobitno nastale pare i pare naknadnim isparavanjem na račun osetne toplote tečnih komponenata. Ravnotežna destilaciona linija, koja se koristi pri proračunavanju peći za zagrevanje nafte, separatora faza i dr. može da se izračuna i iz podataka TBP destilacije.

9 TBP destilaciona kriva Za određivanje prinosa raznih frakcija nafte tj. njenog frakcionog sastava najčešće koristi metoda za određjivanje pravih temperatura ključanja, tzv, TBP-destilacija (TBP = True boiling points). Uopšteno, broj i širina informacija koje se mogu dobiti destilacionim postupcima zavise od sastava uzorka, kao i o tipu aparature koji se koristi za ispitivanje. Tako se primenom jednostavne ASTM destilacije dobiju samo podaci o području ključanja neke frakcije, dok TBP (eng. True boiling point) destilacija omogucáva određivanje sastava ugljovodoničnih smesa.

10 Za izvođenje TBP destilacije koristi se aparatura čiji su osnovni delovi kolona za frakcionisanje sa razdeljivačem povratnog toka (refluksa), balon za zagrevanje i isparavanje uzorka, termometar, vakummetar, hladnjak i sudovi za merenje prinosa frakcija. Pare ugljovodonika iz balona se kreću naviše kroz kolonu za frakcionisanje nasuprot tečnoj fazi (refluksu) se kojom dolaze u višestepeni kontakt. U takvom suprotno strujnom dodiru komponente tečne faze sa nižom temperaturom ključanja postupno isparavaju, a komponente sa višom temperaturom ključanja iz parne faze kondenzuju. Kada se prva kap destilata pojavi registruje se početna temperatura destilacije na kojoj isparavaju najlakše komponente. Frakcije se prihvataju u odmerni sud u određenom intervalu temperatura.

11 Po jednoj od metoda destilacijom uzorka na atmosferskom pritisku izdvaja se 10 frakcija nafte na svakih 25 C. Frakcijama se određuje masa, gustina, indeks refrakcije, molska masa i druge fizičko-hemijske karakteristike. Za frakcije uzanog intervala ključanja odredjuje se, eventualno, i hemijski sastav. Ostatak atmosferske destilacije se dalje razdvaja u vakuumu na 53,6 m Bara. Time se izbegava moguće termičko razlaganje ugljovodonika na temperaturama iznad 350 o C. Frakcije dobijene u vakuumu i ostatak vakuum destilacije se analiziraju na isti način kao i one dobijene na atmosferskom pritisku. Temperature ključanja u vakuumu se preračunavaju na atmosferski pritisak i konstruiše jedinstven dijagram destilacije nafte za celu oblast ispitivanja.

12 Pri konstruisanju TBP-destilacione linije na apscisu se nanose kumulativne vrednosti svih predestilisanih frakcija u masenim, ili zapreminskim procentima, a ordinatu temperature njihovih para. Na isti način se konstruišu i dijagrami promene raznih fizičko hemijskih svojstava dobijenih frakcija u zavisnosti. od njihovog zbirnog prinosa. Pomoću TBP-destilacionih linija može se za ispitivanu naftu odrediti prinos i kvalitet frakcija za uže ili šire intervale ključanja. Frakcije ugljovodanika koje su, uopšte, najznačajnije za svaku naftu su: benzinska, čiji je interval ključanja do oko 205 o C, kerozinska ili petrolejska (od 180 C do oko 240 C) i frakcija za razna dizel goriva (do oko 350 C). Navedene frakcije se dobijaju atmosferskom destilacijom nafte. Ostatak atmosferske destilacije, koji se naziva i laki-ostatak ili mazut, destiluje se dalje u vakuumu u frakcije sa intervalom ključanja do oko 550 o C, pritiska računato na atmosferski pritisak.

13 Nafte iz raznih regiona sveta međusobno se razlikuju po frakcionom sastavu, odnosno daju različit prinos benzina i drugih značajnih proizvoda. Postoje nafte koje daju čak 83% frakcija koje ključaju do 300 C. Većina svetskih nafti sadrže 15-30% frakcije koja ključa do 200 C i 40-50% frakcije koja ključa do oko C. Nađene su teške nafte koje uopšte ne sadrže lakše frakcije. Neke od njih počinju da ključaju tek na oko 200 C i često sadrže samo 20% frakcije koja ključa do 300 C na atmosferskom pritisku.

14 TBP destilaciona kriva je veoma važan padatak za projektovanje kolona i drugih uređaja za preradu nafte. Ona direktno daje prinose bilo koje frakcije nafte, obično u masenim.i zapreminskim procentima. Zato se TBP destilacija često naziva "randman-analiza (analiza prinosa). Osim za karakterizaciju nafte TBP krive služe i za karakterizaciju proizvoda od nafte ili koje smeše ugljovodonika heterogenog frakcionog sastava.

15 Komparacija TBP i ASTM destilacije Postupak obrade rezultata TBP i prikaz krive je isti kao u slučaju standardne destilacije -destilacije. Obe, TBP, ASTM destilacijone krive se dobijaju merenjem na 1 atm pritisku. U oba slučaja, se mere tačke ključanja različitih zapreminskih frakcija. Osnovna razlika između TBP krive i ASTM destilacije krive je da dok se TBP kriva je meri korišcénjem batch destilacionog aparata koji se sastoji od ne manje od 100 podova i veoma velikog refluksnog odnosa, ASTM destilacija se meri u aparatu sa jednim stepenom (single stage apparatus), bez refluksa.

16 Na sledećim slikama se vide zavisnosti temperature ( o F) od zapreminskih procenata destiliata (%V/V). Na slici 4. su upoređene destilacione krive dobijene ASTM, TBP i EFV destilacijom za kerozin.

17 Druga slika daje TBP destilacione krive u zavisnosti od API gustine nafte.

18 Na trećoj slici mogu se videti tipične ASTM destilacione krive za naftne frakcije: laku naftu, benzin, tešku naftu, kerozin, dizel i gasno ulje.

19 FIZIČKE KARAKTERISTIKE NAFTNIH FRAKCIJA Srednje temperature ključanja Frakcije nafte su smeše sastavljene pretežno od ugljovodonika, koji ključaju u odredjenim intervalima temperatura. Za proračune potrebno je oblast ključanja frakcije predstaviti jednom temperaturam, tzv. srednjom temperaturom. Postoji više načina definisanja srednje temperature ključanja koje služe se određivanje vrednosti drugih fizičkih karakteristika. Srednje temperature ključanja se obično računaju na osnovu; ASTM destilacione krive.

20 Zapreminska srednja temperatura ključanja je definisana kao: t z = t 10% + + t 50% + t 60% + t 70% + t 80% + t 90% 9 t 10% - t 90% označavaju temperature na kojima 10 zapr.% - 90 zapr.% frakcije prodestiliše. [ o C] Pomoću t z mogu se, međutim, izračunati srednje temperature ključanja uz korišćenje odgovarajućih korekcija. Matematički se tz definiše na sledeći način: t z = n i=1 ν i t i [ o C] gde ν predstavljaju zapreminske udele komponenata,a t i srednju temperaturu ključanja odgovarajućeg zapreminskog udela. Kada frakcija ključa u uskom intervalu temperature tada se t 50% može uzeti za srednju temperaturu.

21 Ako se frakcijama dobijenim ASTM destilacijom odredi gustina onda se može izračunati masena srednja temperatura ključanja koja se matematički definiše kao: t w = n i=1 g i t i [ o C] gde g i predstavljaju masene udele komponenata, a t i srednju temperaturu ključanja odgovarajućeg masenog udela. Molska srednja temperatura ključanja, t M, daje se sledećim izrazom: t M = n i=1 y i t i [ o C] gde y i predstavljaju molske udele komponenata, a t i njegove srednje temperature ključanja.

22 Postoji i srednja kubna temperatura ključanja, t k, koja je data izrazom: n t k = ν i t i 1/3 i=1 3 [ o C] gde ν i predstavljaju zapreminske udele komponenata, a t i srednju temperaturu ključanja odgovarajućeg zapreminskog udela. Opšta srednja temperatura ključanja, t s, se dobija kao srednja aritmetička vrednost iz molske i kubne temperature ključanja: t k = t M + t k [ o C] 2

23 Gustina (ρ) Definiše se kao masa uzorka u jedinici zapremine fluida. Gustina je funkcija stanja, i za čista jedinjenja zavisi od temperature i pritiska, a izražava se u g/cm 3 ili kg/m 3. ρ = m V U ovoj formuli ρ označava gustinu, m označava masu tela, a V njegovu zapreminu. Gustine tečnosti se smanjuju sa porastom temperature, a efekat pritiska kod tečnih fluida pri umerenim (srednjim) pritiscima je obično zanemarljiv. Na niskim i srednjim pritiscima (manjim od nekoliko barova), gustina zasićene tečnosti je slična stvarnoj gustina na istoj temperaturi.

24 Gustina zasićenja tečnosti, je gustina tečnosti čije je temperatura i pritisak takva da svako smanjenje pritiska bez promene temperature prouzrokuje da ona proključa. Parametar d se naziva apsolutna gustina i razlikuje se od relativne gustina. Drugi parametri koji predstavljaju gustinu su specifična zapremina (l/d), molarna zapremina (M/d), i molarna gustina (g/m). Generalno, apsolutna gustina se koristi kao karakteristični parametar da se klasifikuju svojstva ugljovodonika. Gustine tečnost za ugljovodonike obično se izražava kao specifična težina (SG) ili relativna gustina.

25 Relativna gustina definiše se kao odnos mase određene zapremine uzorka i mase iste zapremine vode, pa je prema tome bezdimenzijska veličina. Ona je definisana: SG = gustina tečnosti na T gustina vode na T Gustina i relativna gustina ugljikovodičnih naftnih frakcija dve su karakteristike koje imaju široku primenu za njihovu preliminarnu karakterizaciju. Gustoća se još izražava i u stepenima API (API, American Petroleum Institute), a izračunava se iz sledećeg izraza:

26 Relativne gustine naftnih frakcija uobičajeno imaju vrednosti od 0.8 (45.3 API) za lakše frakcije do iznad 1.0 (10 API) za teške asfaltenske frakcije. Na gustinu naftnih frakcija utiče njihov hemijski sastav. Povećanje sadržaja aromatskih jedinjenja izaziva povećanje gustine dok povećanje sadržaja zasićenih jedinjenja izaziva smanjenje gustine naftne frakcije. Gustina (relativna gustina) i API mogu se izmeriti pomoću tzv. areometra ili pomoću piknometra.

27 Na osnovu API nomenklature izvršena je podela nafti na lakše i isparljivije i teške i viskozne. Lake nafte imaju API gustinu od 30 do 40 stepeni, što znači da je gustina je mnogo manje od 1,0 g / cc. Nasuprot tome, neke teške nafte imaju API gustinu manju od 12 stepeni, što znači da su teže od vode. Zavisnost gustine od temperature, odnosno koeficijent širenja vrlo je važna tehnološka karakteristika jer se većina naftnih proizvoda prodaje s obzirom na zapreminu te se relativna gustoća najčešće određuje pri temperaturi (21 C), a ne na standardnoj temperaturi(15.56 C).

28 Gustina proizvoda - Relativna gustina smeše frakcija nafte u tečnom stanju računa se po pravilu aditivnosti: gde je: d sm = i 1 n n broj komponenata smeše, d i su gustine komponenti, ν i zapreminski udeli komponenata, g i maseni udeli komponenata. n Zapreminski udeli se mogu izračunati na osnovu masenih udela, preko sledeće relacije: v i v i d i g i d d i 1 sm i 1 g d i i (1)

29 Viskozitet Viskozitet je najvažnija karakteristika tečnosti, koja utiče na tečljivost nafte i naftnih proizvoda i mera je unutrašnjeg otpora pomeranja tečnosti koje izazivaju kohezione sile među molekulama ili molekulskim aglomeratima. Indeks viskoznosti se uzima u obzir prilikom procene stepena filtrabilnosti u formiranju eksploatacione bušotine, i kod izbora i izračunavanju pumpi za naftu i drugo.

30 Nafta je neidealan sistem (fluid). U pogledu hemije ugljovodonika i međusobne hetero interakcije (fizičke, Van der Waals mehaničke interakcije). Sa matematičke tačke gledišta sve posmatrane makrokarakteristike sistema nafte ne mogu se dobiti prostim principom aditivnosti komponenata, zbog međusobne interakcije komponenata. Parametar viskoznost najuže korelira sa stepenom tih interakcija između komponenata.

31 Dinamički viskozitet (apsolutna, dinamička viskoznost) definiše se kao odnos primenjenog naprezanja smicanja i gradijenta brzine smicanja. Predstavlja silu trenja (unutrašnji otpor), koji nastaje između dva susedna sloja unutar tečnosti ili gasa na jedinici površine jedinice u njihovom međusobnom pomeranju (kretanju). Jedinice kojima se iskazuje dinamički viskozitet u CGS sistemu mera je poise (poise) odnosno centipoaz (centipoise), a u SI sistemu mera Pascal sekunda (Pascal sekunda, Pa x s, mpa x s), odnosno mili Pascal sekunda (mpa x s), što je identički jednako sa kg m 1 s 1 ili u CGS sistemu 1 stoks = 100 centistoksa = 1 cm 2 s 1 = 0,0001 m 2 s 1.

32 Kinematska viskoznost Je mera za otpor tečenju pod uticajem gravitacije. Predstavlja osobinu fluida koja obezbeđuje otpornost na kretanje jednog dela tečne faze u odnosu na drugu uzimajući u obzir silu gravitacije. Određuje se merenjem vremena protoka tečnosti kroz kapilaru poznatih dimenzija, a predstavlja odnos dinamičkog viskoziteta i relativne gustine. ν = μ ρ Jedinice mere za kinematski viskozitet su: u SI sistemu - 1 stoks = 100 centistoksa = 1 cm 2 s 1 = 0,0001 m 2 s 1, a u - CGS sistemu - 1 centistoks = 1 mm 2 s -1 = 10-6 m 2 s 1. Konverzija iz CGS sistema u SI = 10 4 m 2 /s

33 Viskoznost slojne nafte uvek se značajno se razlikuje od viskoznosti separisane (stabilizovane) nafte, zbog velikog količine rastvorenog gasa, povećanog pritiska i temperature. Viskoznost se smanjuje sa povećanjem količine ugljovodoničnog gasa rastvorenog u nafti.

34 Sa povećanjem molekulske težina gasne komponente (od SN 4 do S 4 N 10 ) viskozitet nafte se smanjuje, a sa povećanjem molekulske mase tečne komponente (od S 5 N 12 na više) viskozitet nafte raste. Sa porastom količine azota rastvorenog u nafti viskozitet slojne nafte raste. Povećanje pritiska izaziva povećanje viskoziteta, a temperature - smanjenje. Viskoznost "sirove" nafte je viši od viskoziteta nafte nakon separacije. Naftne smeše koja imaju viši sadržaj arena (aromata) imaju i viši viskozitet, od smeša kod kojih su dominantni alkani (aromatska i parafinska nafta). Mnoge nafte sadrže i asfaltene i smole (polarnije komponente), veće viskoznosti.

35 Viskozitet nafti iz različitih izvorišta i oblasti se razlikuje, može da se kreće od 100 do desetak mpa s. Viskozitet in-situ nafti (sirovih) može i 10 puta da bude niži od viskoziteta nafte nakon separacije. Izračunavanje viskoziteta smeše iz viskoziteta komponenti nafte, vrši se pomoću jednačine: log(log f ( ) i f ( )) i i za i 1, i 0,7 n g i log(log( za i 1,5 i f ( ))) i g i i maseni udeli komponenata, viskoziteti komponenata smeše.

36 Napon pare Napon pare - je pritisak pare iznad tečnosti. Molekul na površini tečnosti može u sudaru sam molekulom iz unutrašnjosti (usled toplotnog kretanja) da dobije komponentu brzine normalnu na površinu tečnosti i da se tako 'otkine' sa površine. To je dobro poznati proces isparavanja. Iznad svake tečnosti postoji izvestan broj molekula (ili atoma za atomske tečnosti) u gasnoj fazi koji obrazuju paru. Kao i svaki drugi gas, para na datim uslovima vrši određeni pritisak što zovemo napon pare.

37 Na isti način na koji molekuli napuštaju površinu tečnosti, mogu u nju da se vrate. Molekul usled toplotnog kretanja udara površinu tečnosti i postoji konačna verovatnoća da ga na površini zadrže privlačne međumolekulske sile. To je proces koji zovemo kondenzacija. Jasno da se isparavanje i kondenzacija istovremeno odigravaju i ako je sistem zatvoren i prepušten samome sebi nakon dovoljno dugog vremena uspostaviće se ravnoteža - broj molekula koji ispare u jedinici vremena po jedinici površine jednak je broju molekula koji se kondenzuju. Kada se uspostavi ravnoteža brzina isparavanja i brzina kondenzacije se izjednačavaju i na datoj temperaturi napon pare dostiže konstantnu vrednost, dakle, dostignut je ravnotežni napon pare ili pritisak zasićene pare.

38 Ravnotežni napon pare zavisi od vrste tečnosti, a za za svaku tečnost zavisi od temperature. Ukoliko temperatura raste, raste i pritisak, dobijajući maksimalnu vrednost pri kritičnoj temperaturi i tada se on naziva i kritični pritisak. Iznad svoje kritične temperature gasna faza se ne može pritiskom prevesti u tečnost. Iznad kritične temperature govorimo o gasu, a ispod o pari. Na primer kritična temperatura vode je 374 C pa u svakodnevnom životu govorimo o vodenoj pari. Tečnost ključa kada se njen napon pare izjednači sa spoljašnjim pritiskom. Pritisak zasićene pare daje se kao jedan od parametara kojima se karakterišu tečnost.

39 Molekulska masa Molekulska masa je osnovna fizičko-hemijska karakteristika nafte i naftnih frakcija. Ona zavisi od hemijskog sastava i određuje se kao srednja vrednost prisutnih ugljovodonika u frakciji i/ili nafti. najniži član tečnih ugljovodonika pentan, ima molekulsku masu 72, a najteži sastojci nafte imaju molekulsku masu Srednje molekulske mase mnogih nafti nalaze se u granicama od 200 do 600. Sa povećanjem temperature ključanja, frakcija nafte, srednja molekulska masa raste. Postoje više metoda za određivanje srednje molekulske mase. Za lakše frakcije koriste se krioskopske, a za teže frakcije ebulioskopske metode. Za frakcije ključanja preko 200 o C koristi se metoda parno-fazne osmometrije.

40 Ova metoda se zasniva na principu osmoze, tj. prirodnoj težnji molekula rastvarača da kroz polupropustljivu membranu pređu iz razblaženog u koncentrovani rastvor da bi se uspostavila ravnoteža. Pri ispitivanju, razblaženi rastvor ima koncentraciju nula, dok koncentrovani rastvor sadrži naftnu frakciju. Efekat prolaska rastvarača kroz membranu dovodi do razlike u pritiscima što zavisi od koncentracije i molekulske mase naftnih frakcija.

41 Primenljivost, za Mn između i , dok se za za Mn < koristi osmometrija parne faze. Molekulska masa - smeše računa se pomoću jednačine: gde je M x i d i g i sm n i 1 x i d i n i 1 1 g M i i n i 1 x i M molski udeo i-te komponente u smeši su gustine komponenti, maseni udeli komponenata. i

42 Pored ovog izračunavanja za određivanje molekulske mase mogu se koristiti i određeni empirijski podaci i nomogrami, dobijeni iz fizičko-hemijskih parametara kao što su relativna gustina, srednja molekulska temperatura ključanja, indeks refrakcije itd. Takve empirijske zavisnosti prikazane su sledećim jednačinama: M = 44,2 d /(1,03 d ) 15 Ova jednačina važi za sve klase ugljovodonika, a d 15 je relativna gustina ispitivane frakcije. M = a + bt m + ct2 m gde je t m srednja molska temperatura ključanja a, b, c su konstante za različite serije ugljovodonika. Za alkane: M = ,3t m + 0,001t2 m Za cikloalkane: 2 M = 7K 21,5 + (0,76 0,04K)t m + (0,0003K 0,00245)t m Vredmnost K se nalazi u granicicama 10 do 12,5.

43 OKTANSKI BROJ (OB) Oktanski broj je mera za antidetonatorsko svojstvo benzina. Definisan je kao maseni udeo izooktana u smeši sa normalnim heptanom, izražen u procentima. Izooktan ima oktanski broj 100, a n-heptan ima oktanski broj 0. Detonacija je pojava kod benzinskih motora do koje dolazi kada smeša benzina i vazduha ne sagoreva ravnomerno. Posledica toga je lupanje i pregrejavanje motora i gubitak snage. Za povećanje oktanskog broja benzinu se dodaju oksigenati (metil-tercijarni butil etar MTBE, alkoholi), jedinjenja mangana MMT, dok su se pre koristila i jedinjenja olova, npr. TEO- tetraetil-olovo ili TMO- tetrametil-olovo. Od aditiva sada se koriste: Ferrocene, Tetraethyllead, Methyl cyclopentadienyl manganese tricarbonyl (MMT), Toluene, Isooctane, Iron Pentacarbonyl OB smeše računa se iz relacije: n IOB v i IOB i 1 i

44 CETANSKI BROJ To je mera za određivanje kvaliteta paljenja dizel goriva. Definiše se kao procenat n-cetana u smeši n-cetana i - metil-naftalena, koja ima isto zakašnjenje paljenja kao ispitivano gorivo kada se testira na CFR motoru. Od dizela se zahteva da nema zakašnjenje pri paljenju, za razliku od benzina koji ne sme naglo sagorevati.

45 Sadržaj sumpora Jedinjenja sumpora koja se nalaze u nafti ili nastaju pri procesima prerade nafte i imaju koroziono dejstvo. To su najčešće merkaptani i sumporovodonik koji čine tzv.aktivni sumpor čije prisustvo je neophodno kontrolisati. Njihovo prisustvo u derivatima se eksperimentalno utvrdjuje pomoću srebrnih i bakarnih listića koji se uranjaju u naftu (ili derivat ) zagrejanu na C. Ukoliko sumpora nema na ovim pločicama nema sivih ili crnih mrlja. Za procese korozije je posebnošstetno istovremeno prisustvo i soli i sumpora. Npr.brzina korozije čelika pod dejstvom soli-hlorida je 5-20 mm/godišnje ali istovremeno prisustvo soli i sumporovodonika ubrzava koroziju čelika 3-4 puta. S obzirom da je sumor aditivna veličina, ukupan sadržaj sumpora u smeši se računa prema jednačini: sm n S g i 1 i S i g i S i je maseni udeo komponenata, je sadržaj sumpora u i-toj frakciji.

46 Termičke osobine a) Temperatura zamućenja je temperaturu na kojoj se opaža prvo zamućenje u nafti koje je posledica izdvajanja parafina veće molekulske mase u čvrstom agregatnom stanju. Temperatura na kojoj se pojavi zamućenje ulja uzima se kao tačka zamućenja. Tačka zamućenja se određuje tako što se naftnom proizvodu smanjuje temperatura u kontrolisanim uslovima.

47 b) Temperatura stinjavanja-stinište je temperaturu na kojoj nafta gubi odlike fluida i ne može više da teče. Ona je obično niža za C u odnosnu na tempetaturu zamućenja. Ove temperature su različite za različite nafte i kreću se u opsegu od 20 do 320 o C. Važno je napomenuti da stinjavanje nafte nije promena hemijskog sastava nafte već promene agregatnog stanja viših parafina iz tečnog u čvrsto. Treba ga razlikovati od zgušnjavanja nafte koje se dešava kada se isparavanjem lakih frakcija nafte promeni njen hemijski sastav pa i rastvorljivost viših parafina usled čega se oni izdvajaju u čvrstom stanju. Ove temperature je neophodno poznavati jer su stinjavanje i zgušnjavanje nepoželjani procesi koji uzrokuju teškoće pri transportu i preradi nafte.

48 c) Tačka paljenja - Flash point (FP)- temperatura paljenja je temperaturu na kojoj se nafta pali. Ona je za većinu nafti u opsegu izmedju 30 i 700 C. Nafta sa temperaturom paljenja ispod 200 C spada u klasu lako zapaljivih tečnosti i rukovanje sa njom uključuje specijalne mere predostrožnosti. To je najniža temperatura na kojoj će doći do paljenja naftnog proizvoda prinošenjem plamena sa strane. Ova temperatura se određuje testiranjem u laboratoriji korišćenjem aparature koja se sastoji od zatvorene/otvorene posude u kojoj se naftni proizvod zagreva, opreme za grejanje i opreme sa prilagođenim plamenom.

49 Tipovi opreme i metoda koje se koriste mogu biti: za srednje destilate i goriva je PENSKY MARTENS (PM) (ASTM D 93) aparatura, za kerozin i svetle destilate koristi se metoda po ABBEL-u (DIN 51755), za uljne destilate primenjuje se metoda sa otvorenom posudom po CLEVELAND-u ( JUS ISO 2592, ASTM D 92). Postoji dosta empirijskih metoda za određivanje tačke paljenja iz ASTM destilacione krive. Jedna takva korelacija je data izrazom: FP= 0.77 (ASTM 5% ) FP i ASTM u ( C) Temperatura paljenja smeše računa se iz jednačine: (0.05FP ) 7.03 n i FP i ,03

50 d) Plamište je temperaturu na kojoj će pare iznad nafte planuti kada im se primakne plamen gorionika. e) Gorište je temperatura na kojoj se pare iz nafte izdvajaju (kontinualno) takvom brzinom da mogu stacionarno da gore. Ovi podaci se odredjuju eksperimentalno u praksi i to za teža ulja na Markusonovom aparatu a za lakša ulja na Penski-Martenovom aparatu.

51 f) Napon pare smeše - Reid vapour pressure (RVP) To je laboratorijski test koji se koristi da se odredi pritisak para benzinskih frakcija na 100 F. Pravi pritisak para isparavanja je za oko 5-9% viši nego što se utvrdi ovim testom. Laboratorijska metoda za određivanje napona para je ISO 3007, odn. ASTM 323. određuje se iz sledeće jednačine: RVP 1.25 n i 1 v i RVP i 1.25

52 g) toplotna vrednost (ranije nazivana kalorična moć) predstavlja količinu toplote koju oslobodi jedinica zapremine (za gasna) ili jedinica mase (za tečna i čvrsta goriva). Ona za naftu iznosi izmedju kj/kg a za zemni gas kJ/m3. Odredjuje se eksperimentalno u laboratoriji u kalorimetru ili se računa na osnovu hemijskog sastava nafte. Poznavanje termičkih osobina nafte je neophodno zbog sprečavanja pojave požara i eksplozija.

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Idealno gasno stanje-čisti gasovi

Idealno gasno stanje-čisti gasovi Idealno gasno stanje-čisti gasovi Parametri P, V, T i n nisu nezavisni. Odnos između njih eksperimentalno je utvrđeni izražava se kroz gasne zakone. Gasni zakoni: 1. ojl-maritov: PVconst. pri konstantnim

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

FIZIČKE OSOBINE NAFTE

FIZIČKE OSOBINE NAFTE RUDARSKI ODSEK-Eksploatacija tečnih i gasovitih mineralnih sirovina i gasna tehnika PREDMET: HEMIJA I PRERADA NAFTE I GASA (za studente VI semestra) Prof. dr AleksandraKostic-Pulek (18.04.2008) FIZIČKE

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

C 273,15, T 273,15, 1 1 C 1 50 C 273,15 K 50K 323,15K 50K 373,15K C 40 C 40 K

C 273,15, T 273,15, 1 1 C 1 50 C 273,15 K 50K 323,15K 50K 373,15K C 40 C 40 K 1 Zadatak temperatura K- C Telo A se nalazi na temperaturi 50 C i zagreje se za 50 K. Telo B se nalazi na temperaturi 313 K.i zagreje se za 40 C. Koje je telo toplije posle zagravanja i kolika je razlika

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

GASNO STANJE.

GASNO STANJE. GASNO STANJE http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html AGREGATNA STANJA MATERIJE Četiri agregatna stanja materije na osnovu stepena uređenosti, tj. odnosa termalne energije čestica i energije međumolekulskih

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

RAVNOTEŽA FAZA.

RAVNOTEŽA FAZA. RAVNOTEŽA FAZA http://www.ffh.bg.ac.rs/geografi_fh_procesi.html 1 Definicija faze faznog prelaza nezavisne komponenete stepena slobode Termodinamički uslov ravnoteže faza Gibsovo pravilo faza Ravnoteža

Διαβάστε περισσότερα

Viskoznost predstavlja otpor tečnosti pri proticanju. Viskoznost predstavlja unutrašnje trenje između molekula u fluidu.

Viskoznost predstavlja otpor tečnosti pri proticanju. Viskoznost predstavlja unutrašnje trenje između molekula u fluidu. VISKOZNOST VISKOZNOST Viskoznost predstavlja otpor tečnosti pri proticanju. Viskoznost predstavlja unutrašnje trenje između molekula u fluidu. VISKOZNOST Da li očekujete da će glicerol imati veću ili manju

Διαβάστε περισσότερα

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1

TERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1 OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura

Διαβάστε περισσότερα

II RASTVORI. Borko Matijević

II RASTVORI. Borko Matijević Borko Matijević II RASTVORI Rastvori predstavljaju složene disperzne sisteme u kojima su fino usitnjene čestice jedne supstance ravnomerno raspoređene između čestica druge supstance. Supstanca koja se

Διαβάστε περισσότερα

RAVNOTEŽA TEČNO-PARA

RAVNOTEŽA TEČNO-PARA RAVNOTEŽA TEČNO-PARA Smeša dve isparljive komponente (dve tečnosti) koje se mešaju u svim odnosima: f = c p + 2 = 2 2 + 2 = 2 tečna homogena smeša+para iznad tečnosti Ako su te dve nezavisno promenjive

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Termofizika. Glava Temperatura

Termofizika. Glava Temperatura Glava 7 Termofizika Toplota je jedan od oblika energije sa čijim transferom sa tela na telo se svakodnevno srećemo. Tako nas na primer, leti Sunce zagreva tokom dana dok su vedre letnje noći često prilično

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE JN-DIPL VDNIČNE NE VEZE DIPL-DIPL JN-INDUKVANI DIPL DIPL-INDUKVANI INDUKVANI DIPL DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE jake JNSKA VEZA (metal-nemetal) KVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA

BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA Akademik, prof. dr Jovan P. Šetrajčić jovan.setrajcic@df.uns.ac.rs Univerzitet u Novom Sadu Departman za fiziku PMF Powered byl A T E X 2ε! p. / p. 2/ Termika FENOMENOLOŠKA TEORIJA

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED OSNOVNIH VELIČINA ZA DEFINISANJE SASTAVA RASTVORA

PREGLED OSNOVNIH VELIČINA ZA DEFINISANJE SASTAVA RASTVORA I RAČUNSKE EŽBE PREGLED OSNONIH ELIČINA ZA DEFINISANJE SASTAA RASTORA Za izražavanje kvantitativnog sastava rastvora u heiji koriste se različite fizičke veličine i odnosi. Koriste se i različite jedinice.

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

BROJ NEZAVISNIH KOMPONENTI

BROJ NEZAVISNIH KOMPONENTI RAVNOTEŽA FAZA FAZA p-homogeni deo nekog heterogenog sistema, uniforman po svojim fizičkim osobinama i hemijskom sastavu u celoj zapremini a koji je od ostalih delova sistema odvojen granicom faza. Granica

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

НАФТНО-ГАСНИ КОМПЛЕКСИ

НАФТНО-ГАСНИ КОМПЛЕКСИ Индустријско инжеnjерство у експлоатацији нафте и гаса Технички факултет Михајло Пупин Зрењанин НАФТНО-ГАСНИ КОМПЛЕКСИ (Решени задаци за писмени) Вер.1 Др. Радослав Д. Мићић, доц SADRŽAJ: 1. KONVERZIJA

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

MEĐUMOLEKULSKE SILE Jon-jon Kulonove sile kj/mol, Šarl-Оgisten de Кulon (Charles-Augustin de Coulomb) , francuski fizičar

MEĐUMOLEKULSKE SILE Jon-jon Kulonove sile kj/mol, Šarl-Оgisten de Кulon (Charles-Augustin de Coulomb) , francuski fizičar MEĐUMOLEKULSKE SILE Jon-jon Kulonove sile 400-4000 kj/mol, Šarl-Оgisten de Кulon (Charles-Augustin de Coulomb) 1736-1806, francuski fizičar F = k Q 1 x Q 2 d 2 Privlačne i odbojne elektrostatičke sile

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA NAFTE PRIMARNA PRERADA NAFTE

PRERADA NAFTE PRIMARNA PRERADA NAFTE RUDARSKI ODSEK-Eksploatacija tečnih i gasovitih mineralnih sirovina i gasna tehnika PREDMET: HEMIJA I PRERADA NAFTE I GASA (za studente VI semestra) Prof. dr AleksandraKostic-Pulek ( 09.05.2008) PRERADA

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

I Pismeni ispit iz matematike 1 I

I Pismeni ispit iz matematike 1 I I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA Bavi se energetskim promenama pri odigravanju hemijskih reakcija. TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA U unutrašnja energija H entalpija S entropija Ako su određene na standardnom pritisku

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas

entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas ,4,4, Odreñivanje promene entropije,4,4,, romena entropije pri promeni faza Molekular ularna interpretacija entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: čvrsto

Διαβάστε περισσότερα