ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

Transcript

1 ΤΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΤΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΓΑΛΑΤΑ ΤΡΟΙΖΗΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ Β ΑΙΘΡΑ Αναστασία Δερματά Βίκυ Αγγελοπούλου Ελευθερία Βλάχου Χρήστος Καλαντζής ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ Γιώργος Αγγελόπουλος ΑΡΧΑΙΑ Γιώργος Καρνέζης ΕΛΛΑΔΑ Κωνσταντίνα Αναγνωστοπούλου Παναγιώτα Βελούδη ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ειρήνη Βασιλάκη Ελευθερία Αναγνωστοπούλου Παναγιώτης Γιαννούλης Χρύσα Αυγερινού Υπεύθυνη καθηγήτρια: Ναταλία Κολοκοτρώνη, ΠΕ03

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΑΝΤΙ ΠΡΟΛΟΓΟΥ ΣΤΟΧΟΘΕΣΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΙ ΑΠΑΡΧΕΣ... 6 Η ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ..7 Η ΕΛΛΗΝΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ 25 ΑΛΛΕΣ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 44 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

3 ΑΝΤΙ ΠΡΟΛΟΓΟΥ Η έρευνά μας αποσκοπεί στην αναζήτηση και καταγραφή των σημαντικότερων Ελλήνων της αρχαιότητας οι οποίοι συνεισέφεραν στην επιστήμη των Μαθηματικών (κυρίως στην Άλγεβρα και τη Γεωμετρία) και όχι μόνο, καθώς και των σχετικών επιτευγμάτων τους. Κεντρική ιδέα αποτέλεσε η αναζήτηση-καταγραφή όχι των «μαθηματικών της αρχαίας Ελλάδας», αλλά όσων ασχολήθηκαν με τα Μαθηματικά και τα εξέλιξαν ακόμα και αν δεν ήταν οι ίδιοι μαθηματικοί (όπως, λ.χ. ο Πλάτωνας), προκειμένου να αρθεί κατά το δυνατό η στερεοτυπία περί διαχωρισμού των Επιστημών σε «θεωρητικές» και «πρακτικές», αλλά και η στερεοτυπία σχετικά με την κατάταξη της Φιλοσοφίας (ως Επιστημονικής σπουδής και ως σχολικού μαθήματος) στο χώρο της Φιλολογίας, ενώ (ουσιαστικά πρόκειται για την αρχική υπερ-επιστήμη που σαν ομπρέλα στεγάζει κάθε επιστημονική έρευνα. ) Ερευνητικά ερωτήματα: 1. Ποιοι Έλληνες της αρχαιότητας ασχολήθηκαν με τα Μαθηματικά; 2. Ποιες ήταν οι σχετικές ανακαλύψεις τους; Να επιχειρήσετε την καταγραφή τους βάσει χρονολογικής ακολουθίας και εννοιολογικής συσχέτισης. 3. Μπορείτε να τις κατηγοριοποιήσετε τις ανακαλύψεις αυτές σε «αλγεβρικές» και «γεωμετρικές»; 3.1. Υπήρξαν επιτεύγματα που δεν μπορούν να ταξινομηθούν μόνο στην Άλγεβρα ή μόνο στην Γεωμετρία; 3.2. Υπήρξαν επιτεύγματα που δεν μπορούν να ταξινομηθούν ούτε στην Άλγεβρα ούτε στη Γεωμετρία, αλλά είναι γενικότερα; 4. Υπήρξαν επιτεύγματα που συνδέονται και με άλλους χώρους του Επιστητού, όπως, λ.χ., με τη Φυσική ή την Τέχνη; 2

4 ΣΤΟΧΟΘΕΣΙΑ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Επιλέχθηκε ένα θέμα σχετικό με τα Μαθηματικά (Άλγεβρα, Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β, Τριγωνομετρία Β, Αναλυτική Γεωμετρία και Θεωρία Αριθμών Β ) του Λυκείου, με στόχο την καλύτερη εμπέδωση των μαθηματικών εννοιών οι οποίες συναντώνται σε αυτά τα μαθήματα, μέσω της χρονικής (ιστορικής) και λογικήςαιτιακής διασύνδεσης-συσχέτισής τους. Τo 4 ο ερευνητικό ερώτημα αποσκοπεί στην άρση ποικίλων στερεοτυπικών αντιλήψεων από πλευράς των μαθητών περί στεγανών μεταξύ των διαφορετικών σχολικών (και κατ επέκταση γνωστικών) αντικειμένων, προκειμένου να προβούν σε μια πιο ενοποιημένη και διαθεματική προσέγγιση των επιμέρους σχολικών μαθημάτων και παρεχόμενων γνώσεων. Με το 4ο ερευνητικό ερώτημα στοχεύουμε στην σύνδεση των Μαθηματικών με τους άλλους τομείς του Επιστητού, προκειμένου να κατανοήσουν οι μαθητές τη χρησιμότητα των Μαθηματικών. Οι μαθητές χωρίστηκαν σε τρεις ομάδες (των τεσσάρων μαθητών εκάστη). Οι βιβλιογραφικές και διαδικτυακές πηγές χωρίστηκαν σε τρεις κατηγορίες, και κάθε ομάδα ανέλαβε να αποδελτιώσει τις απαραίτητες πληροφορίες από μία εκ των τριών βιβλιογραφικών κατηγοριών. Συγκεκριμένα, κάθε ομάδα κατέγραψε τα ονόματα, τις χρονολογίες και τα (μαθηματικά κυρίως) επιτεύγματα εκάστου εκ των αναφερόμενων προσώπων. Στις ολομέλειες γινόταν η συζήτηση-σύνθεση των επιμέρους ευρημάτων, η (όχι απλώς καταγραφή, αλλά και) μαθηματική / λογική επεξεργασία των σχετικών επιτευγμάτων από τους μαθητές, ενώ με τη χρήση αρχείου excel έγινε η καταγραφή των προσώπων αυτών βάσει χρονολογικής σειράς (χρησιμοποιήθηκαν οι αρνητικοί αριθμοί για τις προ Χριστού χρονολογίες), μέσω της οποίας διαφαίνεται και η εξέλιξη των διαφόρων προβλημάτων (ως προς την επίλυσή τους) καθώς και των επιμέρους θεωριών. Επιπλέον, έγινε η συσχέτιση των μαθηματικών επιτευγμάτων από τις δεδομένες βιβλιογραφικές και διαδικτυακές πηγές με τα περιεχόμενα των σχολικών βιβλίων των Μαθηματικών του Λυκείου. Κατέστη αδύνατο (όσο και αν το προσπαθήσαμε) στο πλαίσιο της παρούσης εργασίας να καταγράψουμε όλα, μα όλα τα μαθηματικά επιτεύγματα της εποχής. Περιοριστήκαμε στα σημαντικότερα με κριτήριο κυρίως την ύλη των σχολικών βιβλίων (για να υπάρχει και ένα επιπλέον όφελος για τους μαθητές μας), ενώ διανθίσαμε την εργασία με κάποια χαρακτηριστικά βιογραφικά και ιστορικά 3

5 στοιχεία που κρίναμε ότι είχαν κάποιο ενδιαφέρον, δοθέντος του ότι η συγκεκριμένη εργασία δεν έχει ως στόχο την καταγραφή βιογραφιών. Εκτός από την Αίθρα και την Υπατία (με την οποία κλείνει ένας ιστορικός κύκλος αναφορικά με τα Μαθηματικά), οι γυναίκες οι οποίες ασχολήθηκαν με τα Μαθηματικά, λόγω εξαιρετικά περιορισμένων βιβλιογραφικών και διαδικτυακών αναφορών, αποτέλεσαν χωριστή ενότητα. Λόγω χρονικών περιορισμών δεν συμπεριελήφθησαν αρκετοί εξ όλων όσων ασχολήθηκαν με τα Μαθηματικά της αρχαίας (Κλασσικής και Ελληνιστικής περιόδου) Ελλάδας, και ειδικά οι Σχολιαστές. Τέλος, για τους ίδιους λόγους, η επέκταση σε μη αμιγώς μαθηματικά επιτεύγματα (ή σε εφαρμογές των Μαθηματικών σε άλλους τομείς) δεν έγινε στον επιθυμητό βαθμό, αν και τα στοιχεία που παρατίθενται είναι επαρκή για μια ικανοποιητική απάντηση αναφορικά με το 4 ο ερευνητικό ερώτημα. 4

6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα Μαθηματικά κατείχαν σημαντικό ρόλο σε όλη την πορεία της ανθρώπινης ιστορίας. Η ανάδειξή τους σε Επιστήμη, με την αποδεικτική διαδικασία, πραγματοποιήθηκε κυρίως από τον 6 ο έως τον 3 ο π.χ. αιώνα στην αρχαία Ελλάδα. Από την Αναγέννηση μέχρι σήμερα, παρατηρείται το φαινόμενο της ανάπτυξης της σύγχρονης επιστήμης, με τα Μαθηματικά να έχουν κεντρική θέση. Με την πάροδο των αιώνων, ο ρόλος τους επεκτάθηκε και στις άλλες επιστήμες. Οι αρχαίοι Έλληνες μέσω της ενασχόλησης τους με τη φιλοσοφία κλήθηκαν να αναζητήσουν απαντήσεις σε ερωτήματα που ξεπερνούσαν τις ανθρώπινες γνωστικές ικανότητες. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα την εξέλιξη της Φιλοσοφίας στην ανάπτυξη των επιστημών όπως των Μαθηματικών, της Φυσικής, της Αστρονομίας. 5

7 ΟΙ ΑΠΑΡΧΕΣ Αίθρα (10ος 9ος π.χ. αιώνας) Ήταν κόρη του βασιλιά της Τροιζήνας, Πιτθέα και μητέρα του Θησέα. Ήταν δασκάλα της αριθμητικής. Ιέρεια, λοιπόν, των απαρχών της πλέον εγκεφαλικής επιστήμης, η Αίθρα μάθαινε αριθμητική στα παιδιά της Τροιζήνας, με μια πολύπλοκη μέθοδο που προκαλεί δέος, αφενός γιατί δεν υπήρχε το μηδέν, και αφετέρου γιατί οι αριθμοί συμβολίζονταν πολύπλοκα, αφού τα σύμβολά τους απαιτούσαν πολλές επαναλήψεις (Κρητομυκηναϊκό σύστημα αρίθμησης). 6

8 Η ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Θαλής ο Μιλήσιος ( π.χ.) 7

9 Ο αρχαιότερος προσωκρατικός φιλόσοφος, ο πρώτος των «επτά σοφών» της αρχαιότητας, μαθηματικός, φυσικός, αστρονόμος, μηχανικός, μετεωρολόγος. Είναι ο ιδρυτής της Ιωνικής σχολής της φυσικής φιλοσοφίας στη Μίλητο. Αναφέρεται ότι πρώτος αυτός διατύπωσε απόψεις αναφορικά με την περιφορά του Ήλιου περί της Γης (γεωκεντρικό σύστημα), μίλησε για τροχιές περιφοράς ενώ προέβη και σε σχετικές μετρήσεις, αρκετά ακριβείς! Ερμήνευσε το φαινόμενο της έκλειψης Ηλίου, και προέβλεψε με ακρίβεια την έκλειψη Ηλίου στη Μ. Ασία (Μάιος 585 π.χ.). Εμπνευστής της απόδειξης των γεωμετρικών προτάσεων (με την εισαγωγή του απαγωγικού συλλογισμού και της υπόθεσης), θεωρείται ο πατέρας της Γεωμετρίας. Έχει την πατρότητα των θεωρημάτων των σχετικών με την ισότητα: 1. των κατακορυφήν γωνιών, και 2. των γωνιών της βάσης ισοσκελούς τριγώνου (καθώς και άλλων, τα οποία περιλαμβάνονται στα σχολικά βιβλία). Είναι γνωστός κυρίως για το ομώνυμο θεώρημά του, ενώ ανακάλυψε την ομοιότητα των τριγώνων (το θεμέλιο της Τριγωνομετρίας), με τη βοήθεια της οποίας υπολόγισε την απόσταση πλοίου από το λιμάνι, καθώς και το ύψος μίας πυραμίδας στην Αίγυπτο, από το μήκος της σκιάς της. 8

10 Πυθαγόρας ο Σάμιος ( π.χ.) 9

11 Ιδρυτής της «Πυθαγόρειας Σχολής», της πρώτης ιδεαλιστικής σχολής στην Ελλάδα. Είχε διαιρέσει τα μαθηματικά σε 4 κλάδους: Αριθμητική, Μουσική, Γεωμετρία, Αστρονομία, διαίρεση που διατηρήθηκε στην Εκπαίδευση μέχρι τον Μεσαίωνα («τετρακτύς» ή «quadrivium»). Για την Πυθαγόρειο Φιλοσοφία όλοι οι αριθμοί ήταν ρητοί, δηλαδή, πίστευαν ότι δύο οποιαδήποτε ευθύγραμμα τμήματα (συγκρινόμενα μεταξύ τους με τον λόγο -κλάσμα- των μηκών τους) είχαν κοινό μέτρο, ήταν δηλαδή σύμμετρα. Η ανατροπή από τον Πυθαγόρα αυτής της πεποίθησης (όταν ανακάλυψε την ασυμμετρία της διαγωνίου του τετραγώνου ως προς την πλευρά του) οδήγησε στην ανακάλυψη των αρρήτων (ασυμμέτρων) αριθμών, ένα από τα σημαντικότερα βήματα για την εξέλιξη των Μαθηματικών. Το «Πυθαγόρειο Θεώρημα» (μαζί με την απόδειξή του) αποτελεί τη διασημότερη ανακάλυψη του Πυθαγόρα. Μερικά, ακόμα, επιτεύγματα που αποδίδονται στον Πυθαγόρα και τη Σχολή του είναι: Το άθροισμα των ν όρων της ακολουθίας των αρτίων αριθμών και της ακολουθίας των περιττών αριθμών (αριθμητικές πρόοδοι με πρώτο όρο 2 και 1 αντίστοιχα και διαφορά ω=2). Η μελέτη της εξίσωσης χ 2 + ψ 2 = z 2 (οι ακέραιες λύσεις της οποίας ονομάζονται «πυθαγόρειες τριάδες»). Οι αναλογίες: αριθμητική, γεωμετρική και αρμονική. Η διάκριση των (κυρτών) γωνιών σε οξείες, ορθές και αμβλείες. Η ανακάλυψη ότι: το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο είναι τα μόνα κανονικά πολύγωνα με τα οποία μπορούμε να καλύψουμε το επίπεδο. Η ανακάλυψη ότι: το άθροισμα των γωνιών ενός τυχαίου τριγώνου ισούται με δύο ορθές (αν και αποδίδεται εξίσου και στον Θαλή). 10

12 Η υποδιαίρεση τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο, που ουσιαστικά αποτελεί μερική περίπτωση γεωμετρικής κατασκευής των ριζών δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Η κατασκευή των πέντε κυρτών κανονικών στερεών (4-εδρο, κύβος, 8-εδρο, 12-εδρο, 20-εδρο), τα οποία αργότερα ονομάστηκαν «πλατωνικά στερεά». Η κατασκευή της μουσικής κλίμακας. Οι πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι αριθμοί χρησίμευαν όχι μόνον ως ηθικά αρχέτυπα, αλλά και ως αρχέτυπα του υλικού κόσμου. Πράγματι, τους αριθμούς τους έβλεπαν ως μοντέλα για κάθε φυσική μορφή. Η έννοια των αριθμών ως πηγής μορφής προήλθε από την πυθαγόρεια ανακάλυψη ότι ο κάθε αριθμός θα μπορούσε να συσχετιστεί με ξέχωρα σχήματα. Λόγου χάριν, το 6, το 10 και το 15 ονομάζονταν τρίγωνοι αριθμοί επειδή έξι, δέκα ή δεκαπέντε κουκίδες θα μπορούσαν να διαταχθούν έτσι ώστε να σχηματίσουν ισόπλευρα τρίγωνα. Ομοίως, το 4, το 9, και το 16 (κ.τ.λ.) ονομάζονταν τετράγωνοι αριθμοί. 11

13 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το εμβαδόν του τετραγώνου με πλευρά την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου, ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων καθένα εκ των οποίων έχει πλευρά μία εκ των καθέτων πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου. Η ασυμμετρία της διαγωνίου του τετραγώνου ως προς την πλευρά του: 12

14 Ιπποκράτης Ο Χίος ( π.χ.) Στον Ιπποκράτη τον Χίο αποδίδεται η πρώτη απόπειρα να γραφούν Στοιχεία της Γεωμετρίας. Μεγάλη ήταν η συμβολή του στα δύο εκ των μεγαλύτερων γεωμετρικών προβλημάτων της ελληνικής αρχαιότητας: τον διπλασιασμό του κύβου (εύρεση ακμής κύβου όγκου 2κ.μ., δηλαδή η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη της κυβικής ρίζας του 2), γνωστό ως «Δήλιο πρόβλημα», και τον τετραγωνισμό του κύκλου (δοθέντος κύκλου γνωστού εμβαδού, η εύρεση /κατασκευή με κανόνα και διαβήτη πλευράς τετραγώνου ισεμβαδικού με τον κύκλο). Ένα βήμα προς τον τετραγωνισμό του κύκλου αποτέλεσε ο τετραγωνισμός του μηνίσκου (χωρίο επιπέδου περικλειομένου από δύο τεμνόμενα τόξα κύκλων - όχι απαραιτήτως ίσων-), πρόταση γνωστή ως οι «Μηνίσκοι του Ιπποκράτη». 13

15 Ζήνων Ο Ελεάτης ( π.χ.) Ήταν μαθητής του φιλόσοφου Παρμενίδη. Ασχολήθηκε με τις έννοιες του απείρου και του συνεχούς της ευθείας και, διατύπωσε συλλογισμούς γνωστούς ως «τα παράδοξα του Ζήνωνος», που είναι: «ο Αχιλλέας και η χελώνα», «Βέλος», «Διχοτομία» και «Στάδιο». Ο Αχιλλέας και η χελώνα: Ο Αχιλλέας και η χελώνα κινούνται σε ευθεία γραμμή προς την ίδια κατεύθυνση, με τη χελώνα να προηγείται. Ο Αχιλλέας είναι πολύ πιο γρήγορος από τη χελώνα, αλλά για να τη φτάσει πρέπει πρώτα να περάσει από το σημείο Ρ, από το οποίο ξεκίνησε η χελώνα. Όταν, όμως βρεθεί στο Ρ, τότε η χελώνα θα βρίσκεται πιο μπροστά, στο σημείο Ρ 1. Ο Αχιλλέας για να φτάσει τη χελώνα θα πρέπει πρώτα να περάσει από το σημείο Ρ 1, αλλά τότε η χελώνα θα έχει φτάσει σε ένα νέο σημείο Ρ 2. Όταν ο Αχιλλέας βρεθεί στο Ρ2 τότε η χελώνα θα έχει προχωρήσει σε ένα πιο πέρα σημείο, έστω Ρ 3, κ.ο.κ. Έτσι ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ τη χελώνα!! 14

16 Φιλόλαος ο Κροτωνιάτης (περ π.χ.) Ίππασος ο Μεταπόντιος (5ος αι. π.χ.) Ήταν οπαδοί της Πυθαγόρειας Φιλοσοφίας. Ο Ίππασος διεκδικεί ιστορικά από τον ίδιο τον Πυθαγόρα την πατρότητα της ανακάλυψης των ασυμμέτρων μεγεθών, μια ανακάλυψη σταθμό στην Ιστορία των Μαθηματικών, που όμως έφερε την Πυθαγόρειο Σχολή σε πολύ δύσκολη θέση. (Ο Εύδοξος, αργότερα, θα επιτύχει την ενσωματώση των ασυμμέτρων μαζί με τους σύμμετρους /ρητούς αριθμούς, στη «Γενική Θεωρία των Αναλογιών».) 15

17 Θεόδωρος ο Κυρηναίος (5ος αι. π.χ.) Ανήκε στους Πυθαγορείους. Υπήρξε δάσκαλος του Πλάτωνα στα Μαθηματικά. Βρήκε και απέδειξε ότι υπάρχουν και άλλοι άρρητοι, εκτός από την τετραγωνική ρίζα του 2. (Έδειξε ότι οι πλευρές των τετραγώνων με εμβαδά 3,5,6,7,10,11, 12,13,14,15, είναι ασύμμετρες με την διαγώνιο του μοναδιαίου τετραγώνου. Με άλλα λόγια απέδειξε ότι οι τετραγωνικές ρίζες αυτών των αριθμών είναι άρρητοι.) Ασχολήθηκε με την Αρμονία (μαθηματική θεωρία της Μουσικής). Θεαίτητος ο Αθηναίος ( π.χ.) Μαθητής του Θεοδώρου του Κυρηναίου. Δίδαξε στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Είναι ο πρώτος δημιουργός της «θεωρίας των τετραγωνικών και κυβικών αρρήτων», όπως αυτή παρουσιάζεται στο 10ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη. Στο Πλάτωνος Θεαίτητος ο Θεόδωρος συζητώντας με τον Σωκράτη περιγράφει τον Θεαίτητο. Σε άλλο απόσπασμα του ίδιου έργου, υπάρχει ένας διάλογος ανάμεσα στον Σωκράτη και τον Θεαίτητο, για τους ασυμμέτρους. 16

18 Αρχύτας Ο Ταραντίνος ( π.χ.) Ανήκε στους Πυθαγορείους. Επινόησε μια μέθοδο προσέγγισης των αρρήτων τετραγωνικών ριζών. Όρισε την έννοια του αριθμητικού μέσου. Ασχολήθηκε γενικότερα με τους μέσους (αριθμητικό, γεωμετρικό και αρμονικό), τους οποίους εφαρμόζει στη μαθηματική θεωρία της Μουσικής (Αρμονία). Ασχολήθηκε με το Δήλιον πρόβλημα. (Συγκεκριμένα, έδωσε μία λύση με τη μελέτη μιας συνεχούς σπείρας, ενός κώνου και ενός κυλίνδρου.) (Ήταν ήδη αποδεκτό πως το πρόβλημα του 2-πλασιασμού του κύβου, δηλαδή της εύρεσης της κυβικής ρίζας του 2 ήταν μη επιλύσιμο με κανόνα και διαβήτη.) Ήταν ο πρώτος που εφάρμοσε μαθηματικές αρχές στη Μηχανική. 17

19 Πλάτων ο Αθηναίος ( π. Χ.) 18

20 Μέγας φιλόσοφος, ιδρυτής της ομώνυμης ακαδημίας, σε μια εποχή που μεγιστοποιείται η προσπάθεια για οργάνωση και μεθοδολογική επεξεργασία των γεωμετρικών γνώσεων της εποχής. Στην προσπάθεια αυτή η «Ακαδημία» με τον Πλάτωνα και τους διαδόχους του συνέβαλε τα μέγιστα. Για τον Πλάτωνα τα μαθηματικά αντικείμενα ήταν μορφές, οντότητες ιδανικές που ανήκαν στον λεγόμενο «κόσμο των Ιδεών». Πίστευε για τα Μαθηματικά ότι έπρεπε να υπηρετούν τη φιλοσοφία για την προσέγγιση του Θεού, και όχι τις υλικές ανάγκες. Ένθερμος θαυμαστής της Γεωμετρίας, ενίσχυε την καλλιέργειά της μέσα στην Ακαδημία, πιστεύοντας απόλυτα στην εκπαιδευτική της αξία. «Αεί ο Θεός γεωμετρεί» συνήθιζε να λέει, ενώ στην είσοδο της Ακαδημίας είχε τοποθετήσει την περιβόητη επιγραφή: «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγην». Διατηρούσε στενούς δεσμούς με τους Πυθαγορείους. Ο ίδιος υπήρξε μαθητής του μαθηματικού Θεόδωρου του Κυρηναίου. Έδωσε γενική μορφή στην Αναλυτική Μέθοδο (η μέθοδος επίλυσης ενός προβλήματος κατά την οποία υποθέτεις ότι ισχύει η απαίτηση του προβλήματος και με διαδοχικούς αντιστρεπτούς συλλογισμούς φθάνεις σε γνωστή / δεδομένη / ισχύουσα πρόταση). Συνέβαλλε σημαντικά στη μελέτη των γεωμετρικών τόπων. Έρευνες αφιέρωσε και στη Στερεομετρία, και συγκεκριμένα στα κανονικά πολύεδρα. Προσδιόρισε τύπους που έδιναν τις πυθαγόρειες τριάδες. Έδωσε μια απλή και ιδιαίτερα ευφυή λύση του προβλήματος του διπλασιασμού του κύβου. 19

21 Τα Πλατωνικά Στερεά Φωτιά Γη Αέρας Νερό ΤΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΣΥΜΠΑΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΕΞΑΕΔΡΟ (ΚΥΒΟΣ) ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΟΚΤΑΕΔΡΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΔΩΔΕΚΑΕΔΡΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΕΙΚΟΣΑΕΔΡΟ 20

22 Εύδοξος ο Κνίδιος ( π.χ.) Διετύπωσε τη Γενική Θεωρία των Αναλογιών (σύμμετρων και ασύμμετρων μηκών). Απέδειξε το θεώρημα (που είχε διατυπωθεί από τον Δημόκριτο) ότι: Ο όγκος πυραμίδας (ή κώνου) ισούται με το 1/3 του πρίσματος (ή κυλίνδρου, αντίστοιχα) που έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Ανέπτυξε τη «μέθοδο της εξαντλήσεως» (ουσιαστικά πρόκειται για πρωταρχική μορφή της θεωρίας των ορίων και των συγκλινουσών ακολουθιών), με την οποία προσδιορίστηκαν εμβαδά και όγκοι πολλών σχημάτων. Εφάρμοσε τη Σφαιρική Γεωμετρία για τη συναρμολόγηση μηχανισμών για τη μελέτη και την κίνηση των ουρανίων σωμάτων, πρωτοποριακών για την εποχή του. Δίδαξε στην Ακαδημία του Πλάτωνα. 21

23 Ιππίας ο Ηλείος (περί το 400 π.χ.) Ανακάλυψε την πρώτη υπερβατική καμπύλη (γνωστή ως «τετραγωνίζουσα του Ιππία»), στην προσπάθειά του να λύσει το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας. Δεινόστρατος (περί το 390 π.χ.) Μαθητής του Ευδόξου, δίδαξε στην ακαδημία του Πλάτωνα. Επέλυσε το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου με τη χρήση της τετραγωνίζουσας του Ιππία. (Οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες ήδη γνώριζαν πως αυτό το προβλημα ήταν μη επιλύσιμο με κανόνα και διαβήτη.) Μέναιχμος (περί το 350 π.χ.) Μαθητής του Ευδόξου, δίδαξε στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Ανακάλυψε τις τρεις κωνικές τομές (έλλειψη, παραβολή, υπερβολή) οι οποίες τότε ονομάζονταν «Μεναίχμιος τριάς» με τη βοήθεια των οποίων έλυσε το Δήλιο πρόβλημα. 22

24 23

25 Αριστοτέλης ( π.χ.) 24

26 Όσο κι αν φαίνεται παράξενο, ο Αριστοτέλης, αν και δεν ήταν μαθηματικός ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά. Μεταξύ άλλων: Ασχολείται με τη φύση των Μαθηματικών αντικειμένων (τα ορίζει ως «αντικείμενα, τα οποία προκύπτουν με αφαίρεση, αίροντας πρώτα ο,τιδήποτε αισθητηριακό, όπως το βάρος και την ελαφρότητα, τη σκληρότητα και το αντίθετό της, καθώς επίσης τη θερμότητα και την ψυχρότητα και όλες τις άλλες αισθητηριακές αντίθετες ιδιότητες, το ποσόν και το συνεχές, το μονοδιάστατο, το δισδιάστατο και το τρισδιάστατο, καθώς και τις ιδιότητές τους που είναι ποσά και συνεχή, τις οποίες εξετάζει χωριστά.») Αναλύει τα παράδοξα του Ζήνωνα: «Διχοτομία» και «Στάδιο» στο έργο του Φυσικά, και διατυπώνει τη θεωρία του αναφορικά με το άπειρο και το συνεχές της ευθείας. Μελετά τους Πυθαγορείους, παραθέτει τις απόψεις του αναφορικά με τη συμμετρία και την ασυμμετρία, την οποία θεωρεί ως ένα από τα αίτια γένεσης της θεωρητικής επιστήμης. Πολλές φορές καταφεύγει σε μαθηματικά παραδείγματα για να επεξηγήσει τις σκέψεις του (ομοίως και ο Πλάτων.) 25

27 Η ΕΛΛΗΝΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ (και η ίδρυση της Επιστήμης) Ευκλείδης ( π.χ.) 26

28 Θεωρείται ο πατέρας της Επιστημονικής θεωρίας (με την έννοια του αξιωματικά θεμελιωμένου γνωστικού δομήματος), δοθέντος του ότι υπήρξε ο πρώτος ιστορικά που συνέγραψε ένα τέτοιο επιστημονικό έργο: Αναφερόμαστε στα «Στοιχεία», έργο που αποτελείται από 13 βιβλία. Συγκεκριμένα, είναι ο πρώτος που παρήγαγε ένα αυστηρά δομημένο και συνεκτικό σύστημα προτάσεων (θεωρημάτων και πορισμάτων) με βάση ένα σύνολο πρωταρχικών εννοιών, ορισμών και 5 μόνο αρχικές αναπόδεικτες προτάσεις (αιτήματα). Ήταν οπαδός του Πλάτωνα. Ο Πτολεμαίος ο Α τον διόρισε πρώτο πρύτανι στο νεοϊδρυθέν Πανεπιστήμιο της Αλεξάνδρειας. Όταν ο Πτολεμαίος ρώτησε τον Ευκλείδη αν υπάρχει ευκολότερος τρόπος για να μάθει Γεωμετρία, του απάντησε: «Δεν υπάρχει βασιλική οδός για την Γεωμετρία.» Τα Στοιχεία Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, τα Μαθηματικά είναι επεξεργασμένα ως ένα αξιωματικό, λογικά παραγωγικό σύστημα. Τα Στοιχεία ξεκινούν με ένα σύνολο ορισμών (του σημείου, της γραμμής, της ευθείας, της επιφάνειας, της επίπεδης γωνίας, της ορθής, αμβλείας και οξείας γωνίας, διαφόρων επίπεδων σχημάτων, των παράλληλων ευθειών κ.λπ.) Τους ορισμούς ακολουθούν πέντε αιτήματα: 1. από κάθε σημείο μπορεί να αχθεί ευθεία γραμμή σε κάθε άλλο σημείο, 2. κάθε ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να προεκταθεί συνεχώς και ευθύγραμμα και από τα δύο άκρα του, 3. μπορούμε να χαράξουμε κύκλο οποιασδήποτε ακτίνας με κέντρο οποιοδήποτε σημείο, 4. όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες, και 5. μια διατύπωση των συνθηκών κάτω από τις οποίες δύο ευθείες τέμνονται. Μετά τα αιτήματα ακολουθούν πέντε αξιώματα (προτάσεις των οποίων η αλήθεια είναι προφανής αφ' εαυτής και οι οποίες είναι αναγκαίες για την ορθή σκέψη γενικά και τη μαθηματική ειδικότερα.) 27

29 Τα αξιώματα περιλαμβάνουν προτάσεις όπως ότι «αυτά που είναι ίσα με το ίδιο πράγμα είναι και ίσα μεταξύ τους», ότι «αν στα ίσα προστεθούν ίσα προκύπτουν ίσα αθροίσματα και ότι «το όλον είναι μεγαλύτερο από το μέρος». Αυτοί οι ισχυρισμοί θέτουν τα θεμέλια για τις προτάσεις που περιλαμβάνονται στα 13 βιβλία που ακολουθούν. Το «συμπέρασμα» της τυπικής ευκλείδειας απόδειξης μιας πρότασης συνάγεται με λογική αναγκαιότητα από ορισμούς, αιτήματα, αξιώματα και προτάσεις που έχουν αποδειχθεί προηγουμένως.) Στα βιβλία Α-ΣΤ αναπτύσσονται τα στοιχεία της Επιπεδομετρίας. Το βιβλίο Ι είναι αφιερωμένο στην ταξινόμηση των ασυμμέτρων μεγεθών. Τα βιβλία ΙΑ-ΙΓ ασχολούνται με την Στερεομετρία. Στα βιβλία Ζ-Θ, αντιμετωπίζει αριθμητικά ζητήματα, στα οποία περιλαμβάνεται η θεωρία αριθμών και αριθμητικών αναλογιών. Ο Ευκλείδης εφάρμοσε την Γεωμετρία: στην Οπτική, συγγράφοντας τα Οπτικά και τα Κατοπτρικά (ξεκινώντας από το νόμο της ανάκλασης του φωτός σε επίπεδη επιφάνεια συνάγει τους αντίστοιχους νόμους της ανάκλασης του φωτός σε κυρτά και κοίλα κάτοπτρα), στην Αστρονομία, με το έργο Φαινόμενα, στη Μουσική, με το έργο Κατατομή Κανόνος, στα Εικαστικά, περιλαμβάνοντας σε όλα του τα έργα στοιχεία από τη θεωρία της προοπτικής. Ένας νεαρός μαθητής ρώτησε τον Ευκλείδη τι όφελος θα έχει από τη μελέτη της Γεωμετρίας. Τότε ο Ευκλείδης απευθύνθηκε σε έναν δούλο λέγοντάς του: «δώσε του (μαθητή) τρεις οβολούς για να έχει όφελος από αυτό που έμαθε.» 28

30 Αρχιμήδης Ο Συρακούσιος ( π.χ.) 29

31 Αν ο Ευκλείδης αποτελεί το πρότυπο δασκάλου και εκπαιδευτικού συγγραφέα ο οποίος παρουσιάζει τη γνώση έτσι ώστε να μπορεί να γίνει κατανοητή από αρχάριους, ο Αρχιμήδης αποτελεί το πρότυπο του ερευνητή, ο οποίος δεν ενδιαφέρεται τόσο να παρουσιάσει με ομαλό (εκπαιδευτικό) τρόπο μια αλήθεια, όσο να την ανακαλύψει, να την αποδείξει και να την παρουσιάσει σε ώριμους ερευνητές. Στο έργο του: Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος (μέθοδος) κάνει διάκριση ανάμεσα στη μέθοδο ανακάλυψης και στη μέθοδο απόδειξης των γεωμετρικών αληθειών. Μαζί με τον Εύδοξο, θεωρείται ο θεμελιωτής του Απειροστικού Λογισμού. Χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξάντλησης, για τον υπολογισμό της περιοχής, κάτω από το τόξο παραβολής, με την άθροιση απείρων όρων ακολουθίας (σειρά). Έδωσε μια εξαιρετικά ακριβή προσέγγιση για τον αριθμό π. Όρισε την επίπεδη έλικα που έφερε το όνομά του και υπολόγισε το μήκος της. Υπολόγισε τον όγκο και την επιφάνεια της σφαίρας, θεωρώντας την ως κοινό όριο των επιφανειών εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων σε αυτήν σχημάτων. Ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό της παραβολής. Στο Περί Ελίκων δίνει τρόπο εύρεσης της εφαπτομένης σε καμπύλη (τρόπος που εφαρμόζεται μέχρι και σήμερα.) Προσδιόρισε τους όγκους στερεών εκ περιστροφής (ουσιαστικά κάνοντας χρήση των άνω και κάτω ολοκληρωματικών αθροισμάτων). 30

32 Το έργο του Αρχιμήδη χαρακτηρίζεται από τη στενή σχέση θεωρίας και εφαρμογών, Μαθηματικών και Μηχανικής. Δικαίως θεωρείται ο πατέρας της Θεωρητικής Μηχανικής. Συγκεκριμένα: Ανακάλυψε την υδραυλική αντλία. Ανακάλυψε και απέδειξε τον θεμελιώδη νόμο της Υδροστατικής (τότε είπε και το περίφημο «Εύρηκα!»). Ασχολήθηκε με τη γεωμετρική Οπτική (λέγεται ότι με χρήση κατόπτρων και την εστίαση των ηλιακών ακτινών έκαψε το στόλο των Ρωμαίων κατά την πολιορκία των Συρακουσών.) Σύμφωνα με λεπτομερή περιγραφή του Πλούταρχου, κατασκεύασε μια αποτελεσματική αμυντική μηχανή για να αποκρούσει τους Ρωμαίους (κατά τη πολιορκία των Συρακουσών). Επινόησε και μελέτησε τη χρήση του μοχλού για τη μετακίνηση αντικειμένων. Φέρεται, μάλιστα, να είπε το περίφημο: «Δός μοι πα στω και ταν γαν κινήσω.» («Δός μου μέρος να σταθώ και θα (μετα)κινήσω την Γη.») Η έλικα του Αρχιμήδη 31

33 Τραγικός, όσο και ένδοξος ο επίλογος της ζωής του: Ο Αρχιμήδης, γέροντας πλέον, βρισκόταν επί τω έργω μελετώντας ένα γεωμετρικό σχήμα, τη στιγμή που αλώθηκαν οι Συρακούσες από τους Ρωμαίους. Ένας ρωμαίος στρατιώτης εισέβαλε στο σπίτι του και τον διέταξε να τον ακολουθήσει προς τον Μάρκελλο.(Κατά άλλους βρισκόταν δίπλα στη θάλασσα και χάρασσε γεωμετρικά σχήματα στην άμμο.) Ο Αρχιμήδης δεν ήθελε, πριν επιλύσει το πρόβλημα. Τότε ο στρατιώτης οργίστηκε και (παρά τις οδηγίες που είχε για το σεβασμό της ζωής του) τον σκότωσε με το ξίφος. Φέρεται λίγο πριν, ο Αρχιμήδης να είπε το γνωστό: «Μη μού τους κύκλους τάραττε.», ή κατά άλλους: «Πάρ κεφαλάν και μη παρά γραμμάν.» (κτύπα το κεφάλι μου και όχι το σχήμα) παρακαλώντας τον στρατιώτη, όχι για τη ζωή του, αλλά για τη διάσωση του σχήματος και της λύσης του προβλήματος. ΤΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ </p<> </iframe<> 32

34 Ερατοσθένης Ο Κυρηναίος ( π.χ.) Κατασκεύασε ένα σύστημα συντεταγμένων με παράλληλους και μεσημβρινούς. Θεωρείται ο πρώτος που υπολόγισε την περίμετρο της Γης. Συγκεκριμένα, υπολόγισε το μήκος του μεσημβρινού που διέρχεται από την αρχαία πόλη Συήνη (το σημερινό Ασσουάν) και την Αλεξάνδρεια, (κάνοντας χρήση των όμοιων τριγώνων). Ακόμα, κατασκεύασε ένα χάρτη του κόσμου όπως τον θεωρούσε. 33

35 Απολλώνιος ο Περγαίος ( π.χ.) Γνωστός, κυρίως για τη Θεωρία των Κωνικών Τομών (Κωνικά) στην ποία επεκτείνει και εξελίσσει την αντίστοιχη μελέτη του Μεναίχμου, βάζοντας τα θεμέλια της σύγχρονης Αναλυτικής Γεωμετρίας. Ασχολήθηκε ιδιαίτερα με τους γεωμετρικούς τόπους του επιπέδου. Μάλιστα ένας εξ αυτών, φέρει και το όνομά του: Απολλώνιος Κύκλος (βρίσκεται μέσα στο σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας). Έλυσε και το Δήλιο πρόβλημα. Επίσης, ανέπτυξε και την Προβολική Γεωμετρία. Ίππαρχος ο Νικαεύς ( π.χ.) Μαθηματικός που διέπρεψε στην αστρονομία, κάνοντας χρήση της σφαιρικής Τριγωνομετρίας, και εφαρμόζοντας εγγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Επινόησε διαδικασία υπολογισμού πλευράς κανονικού 9-γώνου και 11-γώνου, και υπολογισμό πλευράς κανονικού 2ν-γώνου όταν είναι γνωστή η πλευρά του κανονικού ν-γώνου. Επινόησε τις γεωγραφικές συντεταγμένες (γεωγραφικό μήκος και γεωγραφικό πλάτος). Κατασκεύασε χάρτες με τη βοήθεια των γεωγραφικών συντεταγμένων και της στερεογραφικής προβολής. 34

36 Νικομήδης (περί το 200 π.χ.) Επινόησε την κογχοειδή καμπύλη με η βοήθεια της οποίας επέλυσε το Δήλιο πρόβλημα (του 2-πλασιασμού του κύβου) καθώς και το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας. Διοκλής (1ος αι. π.χ.) Επινόησε την κισσοειδή καμπύλη με τη βοήθεια της οποίας επέλυσε το Δήλιο πρόβλημα. Με τη βοήθεια των κωνικών τομών έλυσε το πρόβλημα της διαίρεσης της σφαίρας (ισοδυναμεί με πρόβλημα επίλυσης εξίσωσης 3ου βαθμού). Διονυσόδωρος ο Μήλιος (2ος-1ος αι. π.χ.) Μαζί με τον Διοκλή εργάστηκε πάνω στο πρόβλημα της διαίρεσης της σφαίρας. 35

37 Η κισσοειδής του Διοκλή 36

38 Ήρων Ο Αλεξανδρεύς (περί το 65 μ.x.) 37

39 Έγραψε σχόλια στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Ασχολήθηκε ιδιαίτερα με τη μετρική Γεωμετρία (η Ευκλείδεια Γεωμετρία με τη χρήση των λόγων των μηκών των ευθυγράμμων τμημάτων, με έμφαση στην έννοια του μήκους ως αριθμού και στην έννοια του υπολογισμού και της μέτρησης, έναντι της κατασκευής με κανόνα και διαβήτη) στο έργο του Μετρικά. Γνωστός (από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας) είναι ο ομώνυμος τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού τριγώνου από τις πλευρές του. Έκανε εκτεταμένη χρήση της Γεωμετρίας στη Μηχανική. Η πιο διάσημη εφεύρεση του είναι ο ατμοστρόβιλος, η πρώτη ατμομηχανή στην ιστορία. ο ατμοστρόβιλος 38

40 Μενέλαος ο Αλεξανδρεύς ( μ.χ.) Είναι ο θεμελιωτής της Σφαιρικής Γεωμετρίας, της πρώτης μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας (στην οποία η επιφάνεια της σφαίρας είναι ό,τι είναι το επίπεδο στην Ευκλείδεια, και οι μέγιστοι κύκλοι είναι ό,τι είναι οι ευθείες στην Ευκλείδεια), και εισάγει για πρώτη φορά τα σφαιρικά τρίγωνα (τρίγωνα τα οποία έχουν πλευρές τόξα μέγιστων κύκλων). Ομοίως, θεμελιώνει και τη Σφαιρική Τριγωνομετρία, και διατυπώνει το ομώνυμο θεώρημα («θεώρημα του Μενελάου»), εφαρμογή του οποίου αποτελεί στην επιπεδομετρία το «θεώρημα της διχοτόμου» (βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας). Κλαύδιος Πτολεμαίος ( μ.χ.) Έγραψε το περίφημο έργο Μαθηματική Σύνταξις, που αποτελούσε τη μεγαλύτερη γραπτή συγκέντρωση των αστρονομικών γνώσεων των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών, και που αργότερα ονομάστηκε από τους θαυμαστές του Μεγάλη Σύνταξις. Οι Άραβες, τον 8ο αι. που μετέφρασαν το έργο αυτό στη γλώσσα τους, ένωσαν το άρθρο Αl ( η ) με τη λέξη μεγίστη που αραβοποιημένα προφερόταν μαγέστα, με αποτέλεσμα το έργο να φτάσει ως τις μέρες μας με τον τίτλο Αλμαγέστα (ή Αλμαγέστη). Επινόησε και διατύπωσε το ομώνυμο θεώρημα (που αφορά τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο), με την εφαρμογή του οποίου ανακάλυψε και απέδειξε γνωστούς τριγωνομετρικούς τύπους (μεταξύ των οποίων για το ημίτονο και το συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών, τα οποία βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας Β Λυκείου). 39

41 Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς (περί το 250 μ.χ.) Θεωρείται από πολλούς μελετητές της ιστορίας των Μαθηματικών ως ο πατέρας της Άλγεβρας, όχι γιατί ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με αυτήν (ο ίδιος ο Ευκλείδης είχε ασχοληθεί με τους πρώτους αριθμούς, και μάλιστα απέδειξε πως είναι άπειροι στο πλήθος, καθώς και με την ταξινόμηση των τετραγωνικών ριζών), αλλά γιατί: 1. είναι ο πρώτος που τη διαχώρισε σαφώς από τη Γεωμετρία εισάγοντας έναν νέο αλγεβρικό συμβολισμό, και 2. δεύτερον, ασχολήθηκε σε έκταση με διάφορα αλγεβρικά προβλήματα και αύξησε τον όγκο των γνώσεων που υπήρχε μέχρι τότε σε αυτήν, ιδρύοντας τη Θεωρία των Αριθμών. Στο έργο του, Αριθμητικά πραγματεύεται την επίλυση εξισώσεων πρώτου, δευτέρου, ακόμα και τρίτου βαθμού με δύο αγνώστους, ενώ ενδιαφέρεται αποκλειστικά για ακέραιες ή και ρητές λύσεις (ουσιαστικά επεκτείνει και εξελίσσει τη θεωρία που ξεκίνησε από τις πυθαγόρειες τριάδες.) Γνωστές και από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών Κατεύθυνσης της Β Λυκείου είναι και οι «γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις», ενώ ασχολήθηκε ιδιαιτέρως με τη διαιρετότητα και την ανάλυση των αριθμών. 40

42 Πάππος ο Αλεξανδρεύς (περί το 320 μ.χ.) Ένας εκ των σημαντικότερων Γεωμετρών της αρχαιότητας, έμεινε στην ιστορία για το έργο Μαθηματική συναγωγή, το οποίο αποτελείται από οκτώ βιβλία, μέσα στα οποία περιέχονται σχόλια, συμπληρώσεις, παρατηρήσεις και γενικεύσεις προτάσεων πάνω σε όλα τα προηγούμενα έργα Γεωμετρίας, ενώ συμπληρώνει και ο ίδιος δικά του θεωρήματα. Στη Μαθηματική συναγωγή περιέχονται παρατηρήσεις πάνω και σε αστρονομικού περιεχομένου έργα των αρχαίων Ελλήνων. Τα σχόλια του Πάππου προσφέρουν έναν όγκο σημαντικών ιστορικών και βιβλιογραφικών πληροφοριών. 41

43 Υπατία η Αλεξανδρινή ( μ.χ.) Ήταν κόρη του Θέωνα του Αλεξανδρέα, ο οποίος έγραψε σχόλια και προσθήκες στα Στοιχεία του Ευκλείδη, στη Μαθηματική Σύνταξη (Αλμαγέστη) του Κλαύδιου Πτολεμαίου, και αλλού. Ο Πρόκλος ( μ.χ.) (του οποίου το Υπόμνημα εις το πρώτον των Ευκλείδου Στοιχείων αποτελεί μια από τις κύριες πηγές για την ιστορία των αρχαίων ελληνικών Μαθηματικών) ήταν επικεφαλής μιας νεοπλατωνικής σχολής στην Αθήνα. Εκπρόσωπος της ίδιας σχολής στην Αλεξάνδρεια ήταν η Υπατία. Η Υπατία μελέτησε και έγραψε σχόλια στα Στοιχεία του Ευκλείδη, στα Αριθμητικά του Διόφαντου και σε άλλα μαθηματικά έργα ελλήνων κλασικών. Δολοφονήθηκε από φανατικούς οπαδούς του αρχιεπισκόπου Αλεξανδρείας Κυρίλλου 42

44 ΑΛΛΕΣ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Θεμιστόκλεια (6ος αι. π.χ.) Μύησε τον Πυθαγόρα στις αρχές της αριθμοσοφίας και της γεωμετρίας, και αποτέλεσε την αιτία για να δεχτεί ο Πυθαγόρας γυναίκες στη σχολή του. Θεανώ (6ος αι. π.χ.) Μαθήτρια και σύντροφος του Πυθαγόρα (παρά τα 36 χρόνια διαφοράς τους) και στην οποία αποδίδεται η πυθαγόρεια άποψη περί χρυσής τομής. Με την βοήθεια των θυγατέρων της (Δαμούς, Μυίας ή Μυρίας και Αριγνώτης) διέδωσε το επιστημονικό και φιλοσοφικό πυθαγόρειο σύστημα σε όλη την Ελλάδα και την Αίγυπτο. Φιντύς (6ος αι. π.χ.) Αναφέρεται ως εμπνεύστρια της ισότητας που συνδέει τις πυθαγόρειες τριάδες. Λασθενία (4ος αι. π.χ.) Σπούδασε ντυμένη ως άνδρας στην Ακαδημία Πλάτωνος, έγινε σύντροφος του Σπευσίππου και τής αποδίδεται ο ορισμός της σφαίρας. 43

45 Δαμώ (6ος π.χ. αιώνας) Κόρη του Πυθαγόρα και της Θεανούς, δίδαξε τα πυθαγόρεια δόγματα στη Σχολή του Κρότωνος. Μετά την διάλυση της Σχολής, η Δαμώ, στην οποία ο Πυθαγόρας είχε εμπιστευτεί τα γραπτά του έργα, με την ρητή εντολή να μην τα ανακοινώσει σε αμύητους, κατέφυγε στην Αθήνα. Για μεγάλο χρονικό διάστημα τήρησε την παραγγελία του πατέρα της. Αργότερα όμως δημοσίευσε μόνο τη γεωμετρική διδασκαλία του Πυθαγόρα (με τίτλο Η προς Πυθαγόρου Θεωρία ), με την βοήθεια του Φιλολάου και του Θυμαρίδα. Κατά τον Γεμίνο τον Ρόδιο, η κατασκευή του κανονικού τετραέδρου και του κύβου οφείλονται στην Δαμώ. Ο Διογένης ο Λαέρτιος τής αποδίδει τη ρήση: «Των σχημάτων το κάλλιστον, σφαίραν είναι των στερεών, των δ επιπέδων, κύκλος.» ΠΟΛΥΓΝΩΤΗ (7ος 6ος αι. π.χ.) ΑΡΙΓΝΩΤΗ (6ος αι. π.χ.) ΜΥΙΑ (6ος αι. π.χ. ) ΔΕΙΝΩ (6ος αι. π.χ.). ΕΛΟΡΙΣ Η ΣΑΜΙΑ(6ος αι. π.χ.). ΜΕΛΙΣΣΑ (6ος αι. π.χ.). ΤΥΜΙΧΑ (6ος αι. π.χ.). ΠΤΟΛΕΜΑΪΣ (6ος αι. π.χ.) ΔΙΟΤΙΜΑ από την Μαντίνεια (6ος 5ος αι. π.χ.) ΒΙΤΑΛΗ (6ος 5ος αι. π.χ.) ΠΕΡΙΚΤΙΟΝΗ (5ος αι. π.χ. ) ΑΞΙΟΘΕΑ (4ος αι. π.χ.) ΝΙΚΑΡΕΤΗ η ΚΟΡΙΝΘΙΑ (4ος π.χ. ) ΠΑΝΔΡΟΣΙΩΝ (4ος αι. μ.χ.) ΑΡΕΤΗ η ΚΥΡΗΝΕΙΑ (4ος 3ος αι. π.χ.) ΠΥΘΑΪΣ (2ος αι. π.χ.) 44

46 ΣΧΕΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Από τον Θαλή μέχρι και πριν το Διόφαντο διαπιστώνουμε μια άρρηκτη σύνδεση μεταξύ Γεωμετρίας και Άλγεβρας. Είδαμε τη θεμελίωση τόσο των ρητών όσο και των αρρήτων μέσα από λόγους (γεωμετρικών) ευθυγράμμων τμημάτων. Αξιοσημείωτη είναι επίσης η αναφορά (από τον Πυθαγόρα, ακόμα) σε τρίγωνους, τετράγωνους και λοιπούς αριθμούς. Ακόμα και τα βασικά προβλήματα της αρχαιότητας έχουν ταυτόχρονα την αλγεβρική και την γεωμετρική τους ανάγνωση, παρ όλο που η επίλυσή τους επιχειρείται και επιτυγχάνεται γεωμετρικά (είτε με κλασσική Ευκλείδεια Γεωμετρία, είτε με κωνικές τομές είτε με άλλου τύπου καμπύλες όπως η κισσοειδής του Διοκλή, η κογχοειδής του Νικομήδη και η τετραγωνίζουσα του Ιππία). Οι μετρικές σχέσεις στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, και ο συνδυασμός Άλγεβρας- Γεωμετρίας στις κωνικές τομές (ακόμα και χωρίς σύστημα συντεταγμένων) καταδεικνύουν την άρρηκτη σχέση μεταξύ της Άλγεβρας και της Γεωμετρίας. Ο Διόφαντος είναι ο πρώτος που αυτονόμησε την Άλγεβρα από τη Γεωμετρία εισάγοντας έναν νέο αλγεβρικό συμβολισμό. Τέλος, αναφορικά με τον Αρχιμήδη, τον Εύδοξο, τον Ζήνωνα και όσους ασχολήθηκαν με τη δομή της ευθείας (άπειρο, απειροστό, συνεχές, όριο κ.ά.), αλλά και με τα άνω και κάτω αθροίσματα κ.τ.λ. (αυτό που θα ονομάζαμε σήμερα Ανάλυση, Διαφορικό και Ολοκληρωματικό Λογισμό) η Γεωμετρία ήταν παρούσα σε όλες αυτές τις μελέτες. 45

47 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α. Στη Φυσική, την Αστρονομία και τη Γεωγραφία Από όσα αναφέραμε έως τώρα, έγινε φανερό πόσο εκτεταμένη είναι η εφαρμογή της Γεωμετρίας σε άλλους τομείς όπως η Αστρονομία, η Φυσική (Οπτική, Μηχανική και εφευρέσεις), η Γεωγραφία (γεωδαισία και χαρτογράφηση), από διακεκριμένους μαθηματικούς της αρχαιότητας όπως ο Θαλής, ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης, ο Εύδοξος, ο Ερατοσθένης, ο Ίππαρχος κ.ά. Ακόμα, δεν θα έπρεπε να παραλείψουμε τον Αναξίμανδρο τον Μιλήσιο ( π.χ.) που ίδρυσε τη Μαθηματική Γεωγραφία, καθώς και τον Αρίσταρχο τον Σάμιο ( π.χ.) που έμεινε στην ιστορία για το ηλιοκεντρικό του σύστημα (πάνω στο οποίο βάσισε τις μελέτες του, πολλά χρόνια μετά, ο Κοπέρνικος). Το πρόβλημα της υποδιαίρεσης ευθυγράμμου τμήματος (με κανόνα και διαβήτη) σε μέσο και άκρο λόγο (δηλαδή να βρεθεί σημείο Β ευθυγράμμου τμήματος ΑΓ έτσι ώστε ΑΒ 2 =ΑΓ. ΒΓ), το οποίο τον 19ο αιώνα ονομάστηκε «πρόβλημα της χρυσής τομής» απασχόλησε τον Ευκλείδη στα Στοιχεία (νωρίτερα και τους Πυθαγορείους), αποτελεί τη γεωμετρική διατύπωση του αλγεβρικού προβλήματος επίλυσης της εξίσωσης: x 2 = α(α-x) <=> x 2 + αx - α 2 = 0 και οδήγησε στην ανακάλυψη του ασυμμέτρου αριθμού Φ = 1,618 ο οποίος ονομάζεται «χρυσούς αριθμός», και ο οποίος συμβολίζεται έτσι διεθνώς προς τιμήν του γλύπτη Φειδία. Κάθε ορθογώνιο για το οποίο ισχύει ότι: αν διαιρέσουμε το μήκος της μεγαλύτερης πλευράς του με το μήκος της μικρότερης πλευράς του παίρνουμε πηλίκο ίσο με τον χρυσό αριθμό Φ, ονομάζεται «χρυσό ορθογώνιο». Αν επαναλάβουμε την παραπάνω διαδικασία διαιρώντας ένα χρυσό ορθογώνιο, και στα τετράγωνα που προκύπτουν φέρουμε ένα τεταρτημόριο κύκλου με ακτίνα την πλευρά τους τότε προκύπτει το παρακάτω σχήμα που ονομάζεται λογαριθμική σπείρα. 46

48 Πολύ μεταγενέστερα διαπιστώθηκε η εμφάνιση της χρυσής αναλογίας του αριθμού Φ στη Βιολογία, την Μετεωρολογία και την Αστρονομία. (Αναφέρουμε ενδεικτικά ότι: η λογαριθμική σπείρα: 1. στη μικρότερη κλίμακα εμφανίζεται στα όστρακα πολλών θαλάσσιων οργανισμών, όπως για παράδειγμα είναι ο ναυτίλος, 2. Στην ενδιάμεση κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των κυκλώνων, όπως αποτυπώνεται χαρακτηριστικά στις φωτογραφίες των μετεωρολογικών δορυφόρων, και 3. στη μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, τεράστιων σχηματισμών από εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστέρια, τους οποίους μπορούμε να απολαύσουμε στις φωτογραφίες των σύγχρονων τηλεσκοπίων.) Οι μαθηματικές εφαρμογές στις γνωστικές περιοχές της Φυσικής (θεωρητικής καθώς και σε επίπεδο εφευρέσεων), της Αστρονομίας καθώς και της Γεωδαισίας- Γεωγραφίας, της εποχής εκείνης, είναι τόσες πολλές, που αδυνατούμε να καταγράψουμε, περιγράψουμε και αναλύσουμε στο πλαίσιο της παρούσης εργασίας. Αναφέραμε ενδεικτικά μόνο κάποιες από αυτές. 47

49 Β. Στην Τέχνη Ο λόγος Φ της διαίρεσης σε μέσο και άκρο λόγο, πιστεύεται από πολλούς ότι αποτελεί βασικό κανόνα ωραιότητας και αρμονίας. Όσον αφορά την Αρχιτεκτονική και τα Εικαστικά, με τη χρήση του λόγου φ, κατασκευάστηκαν διάφορα έργα της αρχαιότητας όπως ο Παρθενώνας, το Θέατρο του Ιερού της Επιδαύρου, το Θέατρο του Ωρωπού Αττικής κ.ά. Το χρυσό ορθογώνιο εμφανίζεται συνέχεια στην κατασκευή του Παρθενώνα. (Στο παραπάνω σχήμα μόνο, βλέπουμε έξι (6) τέτοια χρυσά ορθογώνια.) Αλλά και σε μεταγενέστερα έργα τέχνης όπως στους πίνακες «Ο Μυστικός Δείπνος» και «Το χαμόγελο της Μόνα Λίζα» του Leonardo da Vinci, ο αριθμός Φ είναι παρών. Τέλος, όπως αναφέραμε, τόσο οι Πυθαγόρειοι όσο και ο Ευκλείδης (Κατατομή Κανόνος) κάνοντας κατάλληλη χρήση των Μαθηματικών έγραψαν τη θεωρία της Μουσικής. Πολύ αργότερα καταγράφηκε η εμφάνιση του αριθμού Φ και στη Μουσική. 48

50 49

51 Σύμφωνα με τον θεατρικό συγγραφέα, σκηνοθέτη και μαθηματικό Απόστολο Δοξιάδη (Τρίτο Μεσογειακό Συνέδριο Μαθηματικής Εκπαίδευσης Αθήνα, Ιανουάριος 2003: «στον παραπάνω πίνακα του Ραφαέλ, "Η Σχολή των Αθηνών", οι κεφαλές του Πυθαγόρα, του Ευκλείδη και του Πλάτωνα, σχηματίζουν ένα ισοσκελές τρίγωνο. Γνωρίζοντας την τεράστια επιρροή της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας στην αναγεννησιακή τέχνη καθώς και το γεγονός ότι οι μεγάλοι αυτοί ζωγράφοι όχι μόνο σημείωναν στον καμβά τους αλλά και ότι "έπαιζαν" με διάφορους συμβολισμούς, άρχισα να "σκάβω" τον πίνακα, προσπαθώντας να ανακαλύψω κι άλλες μυστικές, κρυφές σχέσεις πίσω από τα εικονιζόμενα πρόσωπα. Το αποτέλεσμα με άφησε άφωνο! 50

52 Όλος ο πίνακας είναι ένας περίτεχνος γεωμετρικός καμβάς που αποτελείται από...σχήματα που υπακούν στη "χρυσή αναλογία" του αριθμού φ, δηλαδή του αριθμού 1, Κάπως έτσι πρέπει να ήταν η αρχική μορφή του έργου του Ραφαέλ. Έτσι αντιλήφθηκε και "μοντελοποίησε" τη σχέση ανάμεσα στις Επιστήμες της Αρχαίας Ελλάδας και ακριβώς επάνω στη γεωμετρική αυτή βάση άρχισε να ζωγραφίζει τις μορφές του. "Η Σχολή των Αθηνών", ήταν στην αρχαία Αθήνα κάτι σαν ένα σημερινό Φροντιστήριο και ανήκε στον Πλάτωνα. Λέγεται μάλιστα ότι στην είσοδό του υπήρχε επιγραφή που έγραφε: "Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω", δηλαδή, "Δεν μπαίνει κανείς που δεν ξέρει Γεωμετρία". Τί έκανε ο Ραφαέλ; Μα έκανε πράξη ακριβώς το παραπάνω ρητό. Ακόμα και εμείς, οι σύγχρονοι παρατηρητές αυτού του αριστουργήματος, πότε άραγε "μπήκαμε" πραγματικά στον πίνακα; Πότε "μπήκαμε" στη Σχολή των Αθηνών; Μα φυσικά, μόλις (ανά)-γνωρίσαμε τη κρυφή γεωμετρία του Ραφαέλ. Μόνο τότε αποκτήσαμε ουσιαστική πρόσβαση στο καλλιτεχνικό αποτέλεσμα καθώς οι κρυφοί αυτοί συμβολισμοί αποτελούν προφανώς συστατικό, δομικό στοιχείο, έστω πρωτογενές, των εκφραστικών προθέσεων του ζωγράφου. Μέχρι πρότινος, θαυμάζαμε το "υπέροχο μπλε" του Ραφαέλ, κ.τ.λ. Η ανακάλυψη της κρυφής γεωμετρίας, δημιουργεί νέο πεδίο αναγνώσεων.» 51

53 52

54 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Λυκείου (σχολικό εγχειρίδιο) Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Λυκείου (σχολικό εγχειρίδιο) Άλγεβρα Β Λυκείου (σχολικό εγχειρίδιο) Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου (σχολικό εγχειρίδιο) Η Γεωμετρία και οι εργάτες της στην Αρχαία Ελλάδα (Δημήτρης Τσιμπουράκης)(Εκδ. Alien) Συνοπτική Ιστορία των Μαθηματικών (Dirk Struik)(Εκδ. Δαίδαλος-Ι.Ζαχαρόπουλος) Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών (Διονύσιος Αναπολιτάνος)(Εκδ. Νεφέλη) Οι Μαθηματικοί τ.α (Ε. T. Bell)(Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης) Ιστορία των αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών (Ιζαμπέλλα Γ. Μπασμάκοβα) (Εκδ. Παπασωτηρίου) Εξουσία και Μαθηματικά (Χριστίνα Π. Φίλη)(Εκδ. Παπασωτηρίου) Τα Μαθηματικά, ως Επιστήμη, Βρήκαν τον Ασφαλή τους Δρόμο στον Αξιοθαύμαστο Λαό των Ελλήνων Kant, Kritik der reinen Vernuft, 1787 (Στατεράς Χρήστος Δ., Διδάκτωρ Πανεπιστημίου Αθηνών, Σχολικός Σύμβουλος Δ.Ε.)