Κεφάλαιο 3: Οι εκδοχές p και hp της ΜΠΣ στη 1- διάσταση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 3: Οι εκδοχές p και hp της ΜΠΣ στη 1- διάσταση"

Transcript

1 Κεφάλαιο 3: Οι εκδοχές και της ΜΠΣ στη - διάσταση Μέχρι τώρα είδαμε την εκδοχή της ΜΠΣ (με γραμμικά πολυώνυμα βάσης) στην οποία η σύγκλιση επιτυγχάνεται με την εκλέπτυνση του πλέγματος δηλ 0 Κατά τη δεκαετία του 980 δύο άλλες εκδοχές της ΜΠΣ εμφανίστηκαν: η εκδοχή και η εκδοχή Στην πρώτη το πλέγμα δεν εκλεπτύνεται (δηλ παραμένει σταθερό) ενώ ο βαθμός των πολυωνύμων βάσης αυξάνεται για να επιτύχουμε σύγκλιση (εξού και το όνομα εκδοχή της ΜΠΣ) Αν η ακριβής λύση είναι ομαλή (πχ αναλυτική συνάρτηση) τότε ο ρυθμός σύγκλισης δύναται να είναι εκθετικός Η εκδοχή συνδυάζει τις δύο προηγούμενες δηλαδή εκλεπτύνουμε το πλέγμα και αυξάνουμε το βαθμό των πολυωνύμων βάσης Το πλεονέκτημα της εκδοχής είναι ότι ακόμα και αν η λύση δεν είναι ομαλή και έχει ιδιομορφίες (sngulartes) ο ρυθμός σύγκλισης δύναται και πάλι να είναι εκθετικός αν το πλέγμα και οι βαθμοί των πολυωνύμων βάσης επιλεχτούν κατάλληλα Θα επανέλθουμε σε αυτό το σημείο στο Κεφ 7 Θα δούμε τώρα τη κατασκευή της λύσης πεπερασμένων στοιχείων στη πιο γενική της μορφή δηλ θα υποθέσουμε ότι το πλέγμα είναι τυχαίο και ότι στο κάθε στοιχείο χρησιμοποιούμε πολυώνυμα βάσης βαθμού Με αυτό το τρόπο μπορούμε να μελετήσουμε και τις τρεις εκδοχές της ΜΠΣ ταυτόχρονα Θα θεωρήσουμε το εξής ΠΣΤ: (3) όπου d( x) u ( x) c( x) u( x) f ( x) x (0 ) u(0) u( ) 0 > 0 δοθείσα σταθερά και d c L (I) f L (I) δοθείσες συναρτήσεις που ικανοποιούν d(x) > 0 c(x) 0 για όλα τα x [0 ] Η μεταβολική μορφή είναι: να βρεθεί η uh ( ) τέτοια ώστε 0 B( u w) F( w) wh ( ) όπου 0

2 (3) B( u w) d( x) u ( x) w ( x) c( x) u( x) w( x) dx F( w) f ( x) w( x) dx 0 0 Το διακριτό πρόβλημα είναι: να βρεθεί η u ( ) S H0 τέτοια ώστε B( u w) F( w) ws H ( ) όπου S ο υπόχωρος πεπερασμένης διάστασης που θα περιγράψουμε στη συνέχεια 0 3 Ο χώρος S ( ) Αρχίζουμε με ένα τυχαίο πλέγμα Δ που αποτελείται από τα (δοθέντα) κομβικά σημεία Δ : 0 = x < x < < x < x+ = και συμβολίζουμε με Ω το στοιχείο : Ω = (x x+) Ορίζουμε επίσης το στοιχείο αναφοράς (reference element) Ω = ( ) και παρατηρούμε ότι απεικονίζεται στο Ω με τη (γραμμική) απεικόνιση ( ) ( ) (33) x Q ( ) x x Η αντίστροφη απεικόνιση είναι (34) x x x Q ( x) x x x Μπορούμε δηλαδή να πάμε από το ένα στοιχείο στο άλλο (βλ Σχήμα 3) χρησιμοποιώντας τις απεικονίσεις (33) (34) Σχήμα 3: Η γραμμικές απεικονίσεις Q ( ) και Q ( x) Ορίζουμε το χώρο ενέργειας E( ) u : B( u u)

3 3 ο οποίος για το πρόβλημα μας είναι ο H ( ) 0 Με Π(Ω) το χώρο όλων των πολυωνύμων βαθμού που ορίζονται στο Ω ορίζουμε το χώρο πεπερασμένων στοιχείων (35) S ( ) u E( ) : u Q ( ) ( ) Με άλλα λόγια ο S ( ) είναι ο χώρος των συναρτήσεων που ανήκουν στο χώρο ενέργειας Ε(Ω) και που η απεικόνισή τους στο στοιχείο του πλέγματος είναι πολυώνυμο βαθμού = Οι συναρτήσεις βάσης του S ( ) θα οριστούν με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε όταν προσθέτουμε μια καινούργια συνάρτηση (πολυώνυμο) στη βάση (δηλ αυξάνουμε τη διάσταση του υπόχωρου) οι υπάρχουσες συναρτήσεις δεν θα επηρεαστούν Τέτοιου είδους βάσεις καλούνται ιεραρχικές (erarccal) Έστω τώρα και στη συνέχεια P(t) το βαθμού πολυώνυμο Legendre και έστω (36) N( ) N( ) N( ) ( ) 34 όπου ( ) P ( t) dt Τα πολυώνυμα Legendre ικανοποιούν τις εξής σχέσεις: ( n ) Pn ( x) (n ) xpn ( x) npn ( x) n (n ) P ( x) P ( x) P ( x) n n n n n Pn n Pn x Pn x n (37) () 0 ( ) ( ) 0 P( x) P( x) dx 0 Από τις ιδιότητες των πολυωνύμων Legendre (βλ Άσκηση 3) έχουμε ( ) P ( t) P ( t) 3 ( ) Επιπλέον ( ) () 0 3 και ( ) ( ) d 0 Οι δύο πρώτες συναρτήσεις βάσης Ν Ν καλούνται κομβικές/εξωτερικές (nodal/external) συναρτήσεις βάσης και οι υπόλοιπες Ν = καλούνται εσωτερικές (nternal) συναρτήσεις βάσης

4 4 Έτσι και ( ) san N N N N 3 dm S ( ) ( ) ( ) ο οποίος καλείται αριθμός βαθμών ελευθερίας (number of degrees of freedom) Μπορούμε να αυξάνουμε τον αριθμό αυτό με το να αυξάνουμε το Μ το ή και τα δύο μαζί Σημειώνουμε ότι η πιο πάνω παράσταση για τον αριθμό βαθμών ελευθερίας αντιστοιχεί στη περίπτωση που οι συνοριακές συνθήκες είναι τύπου Neumann αφού για συνοριακές συνθήκες Drclet οι δύο ακρινές εξωτερικές συναρτήσεις βάσης δεν χρειάζονται και έτσι ο πιο πάνω αριθμός θα είναι Παρατήρηση 3: Κάθε S ( ) είναι συνεχής συνάρτηση και επιπλέον ψ H (Ω) που σημαίνει ότι S ( ) H ( ) Άρα στόχος μας είναι να προσεγγίσουμε μια συνάρτηση ψ H (Ω) (πχ τη λύση του μεταβολικού προβλήματος) σε κάθε στοιχείο με κάποιο γραμμικό συνδιασμό των συναρτήσεων N N N3 N 3 Υπολογισμός του πίνακα ακαμψίας και του διανύσματος φορτίου Βάση των προηγουμένων έχουμε να λύσουμε το διακριτό πρόβλημα: να βρεθεί η u S ( ) τέτοια ώστε B( u w) F( w) w S ( ) όπου η διγραμμική μορφή Β και το γραμμικό συναρτησιακό F δίδονται από τη (3) Γράφουμε τη διγραμμική μορφή ως όπου ( [ ] ) ( ) B u w B u w

5 5 x [ B ] ( u w) d( x) u( x) w( x) c( x) u( x) w( x) dx x και ο πίνακας που αντιστοιχεί στη πιο πάνω παράσταση καλείται πίνακας ακαμψίας για το στοιχείο και υπολογίζεται ως εξής: Έστω x x το μήκος πλέγματος του στοιχείου Από τις (33) (34) παίρνουμε Επομένως dx d Q x x Q x d dx ( ) ( ) ( ) [ ] du dw B ( u w) d( ) d c( ) u ( ) w( ) d d d όπου u ( ) u ( Q ( )) (και παρομοίως για τις d c w) Γράφουμε (38) [ ] [ ] u ( ) N ( ) w( ) N ( ) όπου N ( ) οι συναρτήσεις βάσης του χώρου S ( ) και [ ] [ ] σταθεροί συντελεστές Αν γνωρίζουμε τα Έχουμε [ ] τότε έχουμε τη λύση πεπερασμένων στοιχείων B u w d d c N N dd [ ] dn N [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d όπου (39) g [ ] [ ] [ ] [ ] dn N d( ) d g c( ) N ( ) N ( ) d [ ] [ ] d d Οι πιο πάνω πίνακες υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση (πχ κατά Gauss) Στην ειδική περίπτωση που οι συναρτήσεις d(ξ) c(ξ) είναι σταθερές τότε έχουμε και B u w d cg [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) dn N d g N ( ) N ( ) d [ ] [ ] d d Μπορούμε να υπολογίσουμε τους πιο πάνω πίνακες χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πολυωνύμων Legendre Αρχίζουμε παρατηρώντας τα εξής:

6 6 g g (οι πίνακες είναι συμμετρίκοί) [ ] [ ] [ ] [ ] αν 34 [ ] [ ] [ ] [ ] 0 αν 34 Ορίζουμε έτσι τον λεγόμενο στοιχειώδη πίνακα ακαμψίας (elemental stfness matrx) / / 0 0 / / 0 0 [ ] όπως επίσης και τον στοιχειώδη πίνακα μάζας (elemental mass matrx) ο οποίος για = 4 δίδεται από G [ ] g / 3 / 3 / 6 / (3 0) 0 / 3 / 3 / 6 / (3 0) 0 G / 6 / 6 / 5 0 / (5 ) / (3 0) / (3 0) 0 / / (5 ) 0 / 45 Για 3 στη κύρια διαγώνιο του G έχουμε [ ] g N ( ) d ()(5) Επίσης λόγω της ορθογωνιότητας των πολυωνύμων Legrendre έχουμε ότι για 3 όλα τα στοιχεία (που δεν βρίσκονται στη κύρια διαγώνιο) του πίνακα G είναι μηδέν εκτός από [ ] [ ] g g N ( ) N ( ) d ( ) ( 3)( ) [ Επομένως η διγραμμική μορφή B ] ( u w ) γράφεται σε μορφή πινάκων ως [ ] T [ ] [ ] [ ] B ( u w) όπου [ ] T [ ] [ ] [ ] [ ] T [ ] [ ] [ ] [ ] d[ ] c[g] και

7 7 (στη περίπτωση που τα δεδομένα του προβλήματος c d είναι σταθερές) Με ανάλογο τρόπο χειριζώμαστε και το διάνυσμα φορτίου: με όπου f [ ] ( ) f Q ( ) x [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F w f x w x dx f x w x dx F w 0 x F ( w) f ( ) w( ) d f ( ) N ( ) d [ ] [ ] [ ] [ ] Αν ορίσουμε (30) τότε q f ( ) N ( ) d [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] T [ ] F( w) q q με [ ] T [ ] [ ] [ ] q q q q το στοιχειώδες διάνυσμα φορτίου (elemental load vector) τα στοιχεία του οποίου υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση Η περίπτωση που η f είναι σταθερά και άρα τα στοιχεία [ ] q στην εξ (30) μπορούν να προ-υπολογιστούν αφήνεται σαν άσκηση (βλ Άσκηση 3) Μέχρι εδώ έχουμε κατασκευάσει τη στοιχειώδη σχέση (δηλ τη σχέση που ισχύει σε κάθε στοιχείο) ή ισοδύναμα B ( u w) F ( w) [ ] [ ] T [ ] [ ] [ ] [ ] T [ ] q Το επόμενο βήμα είναι η κατασκευή του καθολικού (global) γραμμικού συστήματος που αντιστοιχεί σε όλα τα στοιχεία (και του οποίου η λύση θα μας δώσει την u) Η διαδικασία αυτή καλείται συναρμολόγηση (assembly) και θα την δούμε πρώτα μέσω ενός παραδείγματος Παράδειγμα 3: Έστω η διγραμμική μορφή du dw B( u w) dx dx dx 0

8 8 (η οποία αντιστοιχεί στο d(x) = c(x) = 0 στην εξ (3)) έστω ότι το διάστημα (0 ) διαμελίζεται σε 3 στοιχεία τυχαίου μήκους (βλ Σχήμα 3) και έστω ότι οι βαθμοί των πολυωνύμων βάσης για το κάθε στοιχείο δίδονται από [] Σχήμα 3: Το πλέγμα για το Παράδειγμα 3 Τότε και γράφοντας 3 3 x 3 [ ] du dw du x dw B( u w) B ( u w) dx d dx dx d d [ ] [ ] έχουμε u ( ) N ( ) w( ) N ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] T [ ] ( ) ( ) ( ) B u w N N d [ ] T [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] όπου T και / / 0 0 / / Στοιχείο ( = ): = Στοιχείο ( = ): = [] [] [] [] T / / B [] / / [] / / 0 [] [] [] [] T [] B 3 / / 0 [] 0 0 / 3 Στοιχείο 3 ( = 3): 3 = [3] / 3 / 3 0 [3] [3] [3] [3] T [3] B 3 / 3 / 3 0 [3] 0 0 / 3 3

9 9 [] [] [] [] [] [3] [3] [3] Τα πιο πάνω δείχνουν ότι αν βρούμε τους 8 συντελεστές 3 3 τότε θα έχουμε υπολογίσει τη u Μπορούμε να μείωσουμε το σύνολο των αγνώστων παρατηρώντας ότι στα άκρα του Ω = ( ) ισχύουν τα εξής: Άρα έχουμε αν αν N ( ) N () 0 αν 0 αν [ ] [ ] [ ] [ ] u ( x ) N ( ) u ( x ) N () Για να είναι η u συνεχής θα πρέπει να ισχύει u ( x ) [ ] [ ] που σημαίνει ότι για τα εσωτερικά κομβικά σημεία δεν χρειάζονται δύο άγνωστοι και μπορούμε να ξεφορτωθούμε τον ένα Έτσι μετονομάζουμε τους άγνωστους συντελεστές [ ] ως εξής: (βλ Σχήμα 33) [] [] [] [] [3] [3] [] [3] Σχήμα 33: Οι συντελεστές της κάθε συνάρτηση βάσης [ ] Κάνουμε το ίδιο για τα και παίρνουμε έτσι τον 6 6 καθολικό πίνακα B / / / / / / T 0 / / / 3 / / 3 / / / 3

10 0 Παρατήρηση 3: Ο πιο πάνω καθολικός/περιεκτικός πίνακας ακαμψίας είναι χωρίς περιορισμούς δηλ δεν έχουν ληφθεί υπόψη οι συνοριακές συνθήκες Αναφέρουμε επίσης ότι η πιο πάνω διαδικασία (δηλ η μετονομασία των αγνώστων και η κατασκευή του περιεκτικού πίνακα) διευκολύνεται μέσω ενός πίνακα δείκτη (onter matrx) max Αν στη θέση του πίνακα δείκτη υπάρχει το στοιχείο δηλ τότε αυτό σημαίνει ότι στο στοιχείο η συνάρτηση βάσης του στοιχείου αυτού αντιστοιχεί στην σύστημα Για το προηγούμενο παράδειγμα συνάρτηση βάσης στο καθολικό Επομένως για κάθε πρόβλημα θα πρέπει να κατασκευάσουμε τον πίνακα δείκτη που του αντιστοιχεί έτσι ώστε να τον έχουμε για τη διαδικασία της συναρμολόγησης του καθολικού συστήματος όπως αυτή περιγράφεται στην επόμενη ενότητα 33 Κατασκευή του γραμμικού συστήματος Θα περιγράψουμε τη διαδικασία κατασκευής του (καθολικού) γραμμικού συστήματος για το ΠΣΤ: (3) d( x) u ( x) c( x) u( x) f ( x) x ( a b) u( a) u( b) 0 όπου b > a δοθείσες σταθερές και d c L (I) f L (I) δοθείσες συναρτήσεις που ικανοποιούν d(x) > 0 c(x) 0 για όλα τα x [a b] (Αντί για το διάστημα [0 ] θεωρούμε το πιο γενικό διάστημα [a b]) Η μεταβολική μορφή είναι: να βρεθεί η uh ( ) τέτοια 0 ώστε B( u w) F( w) wh ( ) όπου 0

11 b (3) B( u w) d( x) u ( x) w ( x) c( x) u( x) w( x) dx F( w) f ( x) w( x) dx a Ακολουθούμε τη διαδικασία της προηγούμενης ενότητας δηλαδή διαμελίζουμε το διάστημα [a b] σε Μ υποδιαστηματα (στοιχεία) χρησιμοποιώντας το τυχαίο πλέγμα b a x και θέτουμε x x (το μήκος πλέγματος του στοιχείου ) Με Ν(ξ) τις ιεραρχικές συναρτήσεις βάσης και με Q ( ) x x έχουμε ήδη δει ότι ο πίνακας που αντιστοιχεί στη παράσταση την απεικόνιση του στοιχείου x [ ] B( u w) B ( u w) d( x) u ( x) w ( x) c( x) u( x) w( x) dx x [ ] ( ) ( ) είναι το άθροισμα ενός πίνακα ακαμψίας με στοιχεία [ ] (33) d Q ( ) N( ) N( ) d και ενός πίνακα μάζας g με στοιχεία [ ] ( ) ( ) [ ] (34) g c Q ( ) N ( ) N ( ) d Με τον ίδιο τρόπο έχουμε για το διάνυσμα φορτίου και [ ] (35) x [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) F w F w f x w x dx x F f Q ( ) N ( ) d [ ] [ ] [ ] Αφού έχουμε λοιπόν υπολογίσει τα g F θέτουμε τους καθολικούς πίνακες K G μεγέθους ( ή αν έχουμε ΣΣ Neumann) να ισούνται αρχικά με μηδέν Στη συνέχεια σαρώνουμε όλα τα στοιχεία του πλέγματος (we loo over all elements n te mes) και υπολογίζουμε K K G K g [ ] [ ] m m m m όπου m (Αν το ή το m είναι 0 τότε παραλείπουμε το πιο πάνω βήμα) Κάνουμε το ίδιο για το διάνυσμα φορτίου: αρχικά θέτουμε F ίσο με το μηδενικό διάνυσμα (μήκους ) και στη συνέχεια

12 [ ] F F F ( 0) Με την αποπεράτωση των πιο πάνω θα καταλήξουμε στο γραμμικό σύστημα του οποίου η λύση u λύση πεπερασμένων στοιχείων (βλ (38)) K G u F περιέχει τους συντελεστές που μας επιτρέπουν να κατασκευάσουμε τη u u N Συγκεκριμένα για να βρούμε τη τιμή της u (y) για κάποιο y [a b] προχωρούμε ως εξής: Βρίσκουμε το στοιχείο στο οποίο βρίσκεται το y δηλ το έτσι ώστε y [x x+] Θέτουμε Q ( y) όπου η αντίστροφη απεικόνιση είναι Q u ( y) N ( ) y x x ( y) Τότε όπου u (δηλαδή το α είναι η συνιστώσα του u στη θέση που καθορίζεται από το δηλ το στοιχείο στη θέση του πίνακα δείκτη ) Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε τη νόρμα ενέργειας της λύσης πεπερασμένων στοιχείων: T ( ) u B u u u K G u E F u u F T 34 Εκτιμήσεις σφάλματος Η αφετηρία είναι και πάλι το Θεώρημα (Ceá s Lemma) που λέει ότι η λύση πεπερασμένων στοιχείων είναι η βέλτιστη προσέγγιση της u από τον υπόχωρο πεπερασμένης διάστασης Για το πρόβλημα του παρόντος κεφαλαίου u u C u w ws ( ) N E E Στην εκδοχή (που είδαμε στο Κεφάλαιο ) επιλέξαμε w I u το κατά-τμήματα βαθμού πολυώνυμο παρεμβολής της u στα κομβικά σημεία του πλέγματος Στις εκδοχές και

13 3 η επιλογή του w γίνεται διαφορετικά εκμεταλλεύοντας κάποιες από τις ιδιότητες των ορθογώνιων πολυωνύμων τις οποίες ανακαλούμε στη συνέχεια Έστω Ι = [ ] και u L (Ι) Τότε η u μπορεί να γραφτεί σαν μια άπειρη σειρά (36) u( ) a P( ) 0 όπου P(t) το βαθμού πολυώνυμο Legendre Ισχύουν τα εξής (βλ Άσκηση 36): (37) (38) lm u a P I a u( ) P( ) d (39) u 0 I a 0 Τώρα έστω u(ξ) πολυώνυμο βαθμού Τότε για κάποιες σταθερές c και έτσι u ( ) c P( ) 0 u u a P c P a c P c P 0 I I 0 0 I a c P c P a c P cp 0 0 a c a 0 Αν a = c τότε η πιο πάνω ποσότητα παίρνει τη μικρότερη δυνατή τιμή της δηλ το u u ελαχιστοποιήται αν το u είναι το πολυώνυμο Legendre για τη u 0 I Το πιο κάτω αποτέλεσμα μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την ορθογωνιότητα των πολυωνύμων Legendre (βλ Άσκηση 37): ( )! P P d ( )! 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ά Τότε με u να δίδεται από την (36) ισχύει

14 4 ( ) ( )! ( ) u ( ) d a ( )! Για να το δούμε αυτό έστω u(ξ) πολυώνυμο βαθμού Τότε ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) u ( ) d ( ) c P ( ) d c c ( ) P ( ) P ( ) d ( )! c ( )! Αν το u είναι το πολυώνυμο Legendre βαθμού για την u τότε c = a Παίρνοντας το όριο όταν μας δίνει το ζητούμενο Τώρα έστω 0 ακέραιοι και για u L (I) ορίζουμε τη ποσότητα (30) ( ) V ( I ) u ( ) u ( ) d Για > 0 η πιο πάνω παράσταση ορίζει ημι-νόρμα ενώ για = 0 ορίζει νόρμα Ορίζουμε επίσης το συναρτησιακό χώρο (3) V ( ) I u L ( I ) : u V ( I ) και σημειώνουμε ότι για = 0 θα γράφουμε V ( I ) αντί για V ( ) 0 I Θεώρημα 3: Έστω u V ( I ) με u( ) ap( ) και έστω για 0 s mn{ } 0 / ( s)! u u u ( s)! s 0 I Vs ( I ) u ( ) a P( ) Τότε 0 Απόδειξη: Έχουμε ( s)!( s)! u u a a ( s)!( s)! 0 I ( s)! ( s)! a ( s)! ( s)! ( s)! ( s)! ( s)! u ( s)! u ( s) s Vs ( I ) s ( ) ( ) d

15 5 Πόρισμα 3: Έστω u V ( I ) Τότε καθώς u u C( ) u 0 I V ( I ) για κάθε πολυώνυμο u βαθμού Απόδειξη: Θέτουμε s = στο προηγούμενο θεώρημα και χρησιμοποιούμε το τύπο του Sterlng που λέει ότι (3) / ( )! e ( )! Θεώρημα 3: Έστω u H ( I ) Τότε υπάρχει πολυώνυμο u βαθμού τέτοιο ώστε () u ( ) u( ) () uu b 0 I () ( uu ) u u d b 0 I ( )( ) όπου b οι συντελεστές της σειράς Legendre για την u δηλ Απόδειξη: Έστω u b u( ) P( ) d 0 το πολυώνυμο Legendre βαθμού ( ) για τη u (όχι τη u) Τότε το () το έχουμε ήδη δείξει Ας δείξουμε το (): Ορίζουμε u ( ) u ( ) d u( ) το οποίο είναι πολυώνυμο βαθμού Τότε u ( ) u( ) Επίσης και Αφαιρώντας παίρνουμε u() u( ) u( ) d b u () u ( ) u ( ) d b 0 u() u () u( ) u ( ) 0 0 0

16 6 δηλαδή u() u () και έτσι δείξαμε το () Απομένει να δείξουμε το () Παρατηρούμε ότι u( ) u ( ) b P( t) dt b P( t) dt Έστω ( ) P( t) dt Η διαφορική εξίσωση του Legendre λέει η οποία δίνει ( ) ( ) ( ) P( ) ( ) P( ) ( ) P( ) 0 και Επομένως ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d P P d ( )! ( ) ( ) ( )! ( )( ) u u 0 I ( )( ) u u u u d d b ( ) d b Τα πιο πάνω μπορούν να συμμαζευτούν στο εξής θεώρημα Θεώρημα 33: Για κάθε u C ( I ) υπάρχει πολυώνυμο βαθμού u τέτοιο ώστε () u ( ) u( ) () ( s)! u u u ( ) ( s)! ( s) 0 I 0 I () ( s)! uu u ( s)! ( s) 0 I 0 I για κάθε s [0 ] Απόδειξη: Από το Θεώρημα 3 έχουμε ότι υπάρχει πολυώνυμο βαθμού u τέτοιο ώστε να ισχύει το () και επίσης uu b 0 I όπου b οι συντελεστές της σειράς Legendre για την u δηλ ( uu ) u u d b 0 I ( )( )

17 7 Επομένως b u( ) P( ) d 0 ( s)!( s)! ( s)! ( s)! u u b b ( s)!( s)! ( s)! ( s)! 0 I ( s)! ( s)! ( s) s ( u) ( ) ( ) d ( s)! ( s) ( s)! ( s) ( u) ( ) d ( s)! u ( s)! 0 I Παρομοίως ( s)!( s)! u u b b ( )( ) ( )( ) ( s)!( s)! 0 I ( s)! ( s)! b ( ) ( s)! ( ) ( s)! ( s)! ( ) ( s)! ( s)! u s ( s) s ( u) ( ) ( ) d ( s) ( ) ( )! 0 I 34 Η εκδοχή της ΜΠΣ Τα προηγούμενα αποτελέσματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εξεύρεση εκτιμήσεων σφάλματος (δηλ για την απόδειξη του ρυθμού σύγκλισης) της εκδοχής της ΜΠΣ ως εξής: Ας υποθέσουμε ότι λύνουμε το μεταβολικό πρόβλημα: να βρεθεί η uh ( ) 0 τέτοια ώστε 0 B( u w) F( w) wh ( ) με B και F τη διγραμμική μορφή και γραμμικό συναρτησιακό αντίστοιχα Το διακριτό πρόβλημα είναι: να βρεθεί η u ( ) V H0 τέτοια ώστε B( u w) F( w) w V Ο υπόχωρος V επιλέγεται ως ο χώρος S ( ) που είδαμε προηγουμένως με Δ ένα πλέγμα από στοιχεία (διαστήματα) που παραμένουν σταθερά και το διάνυσμα με τους βαθμούς των πολυωνύμων βάσης οι οποίοι θα αυξηθούν για να έχουμε

18 8 σύγκλιση Για να απλουστέυσουμε τα πράγματα έστω ότι έχουμε μόνο ένα στοιχείο και χρησιμοποιούμε πολυώνυνα βαθμού σαν βάση To Θεώρημα (Ceá s Lemma) λέει ότι u u u w w S ( ) Επιλέγουμε w = u με u το πολυώνυμο του Θεωρήματος 33 Τότε / ( s)! ( s) I ( s)! 0 I u u u u C u u C u όπου u u( Q( )) Ο τύπος του Sterlng (3) δίνει περαιτέρω ( s ) s u u C() s u 0 I Επομένως αν η λύση u είναι ομαλή ώστε ( s) u C s 0 τότε έχουμε 0 I s (33) u u C() s με το s να καθορίζεται από την ομαλότητα της λύσης u όσο πιο ομαλή είναι η u τόσο μεγαλύτερο το s Τέτοιου είδους σύγκλιση καλείται φασματική (sectral) και αν η λύση είναι πχ αναλυτική συνάρτηση τότε ο ρυθμός αυτός είναι (σχεδόν) εκθετικός 34 Η εκδοχή της ΜΠΣ Το βασικό εργαλείο για τη μελέτη της εκδοχής είναι το εξής: Θεώρημα 34: Έστω Ω = (a b) και έστω ένα πλέγμα για το Ω Έστω u H ( ) με uh ( ) για κάποια Τότε υπάρχει πολυώνυμο S ( ) τέτοιο ώστε u () u( x ) u( x ) () s ( s )! 0 s ( s)! u u u () για 0 s t mn{ } t ( t )! 0 t ( )( t )! u u u

19 9 Απόδειξη: Θα κατασκευάσουμε το πολυώνυμο u ξεχωριστά για κάθε στοιχείο Ω : Έχουμε από το Θεώρημα 33 ότι υπάρχει πολυώνυμο u έτσι ώστε να ισχύει το () και επιπλέον για 0 s mn{ } Επιστρέφοντας στο Ω παίρνουμε ( s )! ( s ) u u u I ( s)! 0 I s ( )! ( ) s s u u u ( )! 0 s Αθροίζοντας όλα τα στοιχεία παίρνουμε το () Για το () η απόδειξη είναι παρόμοια Στη περίπτωση που το πλέγμα είναι σχεδόν/οιονεί ομοιόμορφο (quas-unform) το πιο πάνω θεώρημα δίνει μια απλούστερη παράσταση Ορισμός 3: Ένα πλέγμα του Ω καλείται ημι-ομοιόμορφο (quas-unform) αν υπάρχουν θετικές σταθερές C C ανεξάρτητες του τέτοιες ώστε max 0 C max C mn mn (Για το ομοιόμορφο πλέγμα ισχύει C = C = ) Θεώρημα 35: Έστω ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος 34 Αν = και το πλέγμα είναι ημι-ομοιόμορφο τότε με ισχύει mn{ } s t

20 0 και Απόδειξη: Βλέπε άσκηση 35 u u C u mn{ } max 0 mn{ } max u u C u 0 Το πιο πάνω θεώρημα χρησιμοποιείται για την απόδειξη του ρυθμού σύγκλισης της εκδοχής της ΜΠΣ ως εξής: από το Θεώρημα (Ceá s Lemma) έχουμε u u u w w S ( ) Ας υποθέσουμε ότι το πλέγμα είναι σχεδόν ομοιόμορφο Τότε επιλέγουμε w = πu με πu το πολυώνυμο του Θεωρήματος 35 και έχουμε mn{ } max u u u u C u Αν u C δηλ αν u H ( ) τότε η πιο πάνω εκτίμηση δίνει mn{ } max u u C που δείχνει το ρυθμό σύγκλισης της εκδοχής Παρατήρηση 3: Όπως έχουμε ήδη αναφέρει στη αρχή του κεφαλαίου η εκδοχή της ΜΠΣ είναι αρκετή για να δώσει εκθετικό ρυθμό σύγκλισης όταν η λύση του ΠΣΤ είναι επαρκώς ομαλή (πχ αναλυτική συνάρτηση) Στη περίπτωση που η λύση έχει συγκεκριμένη ομαλότητα πχ uh ( ) με σταθερό τότε η εκδοχή της ΜΠΣ είναι προτιμητέα αφού ο ρυθμός σύγκλισης θα περιορίζεται από το Η εκδοχή της ΜΠΣ είναι χρήσιμη όταν η λύση περιέχει ιδιομορφίες (sngulartes) όπως θα δούμε στο Κεφ 7

21 Ασκήσεις: 3 Έστω N( ) ( ) N( ) ( ) N( ) ( ) 34 όπου ( ) P ( t) dt και Ρ(t) το βαθμού πολυώνυμο Legendre Να δειχτούν τα πιο κάτω: (α) ( ) P ( ) P ( ) (γ) ( ) 6 N ( ) d (β) ( ) ( ) d 0 3 Να γράψετε δύο ATLAB m-fles που να καλούνται bassm και dbassm αντίστοιχα τα οποία να δουλεύουν ως εξής: bassm: Παίρνει σαν INPUT το (ίσως διάνυσμα) x και τον ακέραιο και δίνει σαν OUTPUT τη τιμή N ( x ) όπου οι συναρτήσεις N ( x ) ορίζονται στην Άσκηση 3 dbassm: Παίρνει σαν INPUT το (ίσως διάνυσμα) x και τον ακέραιο και δίνει σαν OUTPUT τη τιμή N ( x) όπου οι συναρτήσεις N ( x) πρέπει να υπολογιστούν (βλ Άσκηση 3) Χρησιμοποιώντας τα m-fles που γράψατε να κάνετε τη γραφική παράσταση των N ( ) 5 στους ίδιους άξονες όπως επίσης και τη γραφική παράσταση των N( ) 5 στους ίδιους άξονες (Σημείωση: Θα χρειαστείτε ένα m-fle το οποίο θα σας δίνει το βαθμού n πολυώνυμο Legendre στο x Αυτό το fle καλούμενο legm μπορείτε να το κατεβάσετε από τo διαδικτυακό σύνδεσμο wwwmasucyaccy/~xenoon/msc/ ή να ψάξετε στο διαδύκτιο για κάτι ανάλογο)

22 33 Έστω [Κ] και [G] οι λεγόμενοι στοιχειώδεις πίνακες ακαμψίας και μάζας αντίστοιχα οι οποίοι ορίζονται ως [ K] N( ) N( ) d [ G] N ( ) N ( ) d με N(x) τις ιεραρχικές συναρτήσεις βάσης (βλ εξ (36)) Να δείξετε ότι και / / 0 / / [ K] 0 [ G] [ G] / 3 [ G] [ G] / 3 [ G] 3 ()(5) [ G] [ G] 3 ( ) ( 3)( ) [ G] 0 oterwse Επίσης να γράψετε ένα ATLAB m-fle που να καλείται gm το οποίο να παίρνει σαν ( ) ( ) INPUT το και να δίνει σαν OUTPUT τον πίνακα [ G] Βεβαιωθείτε ότι το m- fle σας δουλεύει σωστά αφού το χρησιμοποιήσετε για να υπολογίσετε τον [G] για διάφορες τιμές του 34 Θεωρούμε το εξής ΠΣΤ: όπου ac au( x) cu( x) f ( x) x I ( ) u( ) u() 0 Θέλουμε να προσεγγίσουμε την λύση του πιο πάνω ΠΣΤ με τη εκδοχή της ΜΠΣ χρησιμοποιώντας ένα (μόνο) στοιχείο (α) Να γράψετε ένα ATLAB m-fle που να καλείται femdm το οποίο να παίρνει σαν INPUT τις σταθερές a c τη συνάρτηση f και το βαθμό των πολυωνύμων βάσης που θέλετε να χρησιμοποιήσετε και να δίνει σαν OUTPUT τη νόρμα ενέργειας (στο τετράγωνο) της u και τους συντελεστές οι οποίοι μας δίνουν την u σαν u N (Σημείωση: Θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε αριθμητική ολοκλήρωση για τον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων η εντολή στη ATLAB είναι ntegral)

23 3 (β) Να βρείτε τη συνάρτηση f έτσι ώστε η ακριβής λύση του ΠΣΤ να είναι u ( x) x x (Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την APLE για αυτό το EX μέρος) (γ) Να βρείτε τη νόρμα ενέργειας (στο τετράγωνο) της uex ( x) για λ = και 65 (Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την APLE για αυτό το μέρος) (δ) Να τρέξετε το πρόγραμμα σας με f την συνάρτηση που βρήκατε στο (β) για κάθε τιμή του λ από το (γ) επιλέγοντας a = c = και = 8 (για όλα τα λ) Κάθε φορά να υπολογίζετε το (τοις εκατό) σχετικό σφάλμα uex u E Error 00 u Να κάνετε τη γραφική παράσταση (μια για κάθε τιμή του λ) του Error συναρτήσει του αριθμού βαθμών ελευθερίας Ν σε λογαριθμικούς άξονες και να εξηγήσετε τι παρατηρείτε (ε) Για λ = 65 a = c = 5 και = 6 να κάνετε τη γραφική παράσταση της u(x) και της uex(x) στους ίδιους άξονες όπως επίσης και τη γραφική παράσταση του σφάλματος u ( x) u ( x) για x [ ] EX EX E 35 Έστω Ω = (a b) και έστω ένα οιονεί-ομοιόμορφο (quas-unform) πλέγμα για το Ω Έστω u H ( ) και u H ( ) για κάποια Να δείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο S ( ) με [ ] τέτοιο ώστε u max u u C u u u C u L ( ) όπου max max mn mn{ } mn{ } max ( ) ( ) H L H ( ) 36 Να αποδείξετε τις (37) (39) 37 Με P(t) το βαθμού πολυώνυμο Legendre να αποδείξετε ( )! P P d ( )! 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ά Υπόδειξη: Με J ( x; ) το πολυώνυμο Jacob βαθμού ( ) με συνάρτηση βάρους

24 4 ( ξ ) ( ) ( )! ισχύει P ( ) J ( x; ) Επίσης! ( n)!( n)! ( ) Jn( x; ) J m( x; ) d ( n ) n!( n)! 0 ά n m

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Όπως είδαμε μέχρι τώρα η ομαλότητα της ακριβούς λύσης επηρεάζει τις εκτιμήσεις σφάλματος με τέτοιο τρόπο ώστε ολα όσα αποδείξαμε ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 473: Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων Χειμερινό Εξάμηνο 2017

ΜΑΣ 473: Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων Χειμερινό Εξάμηνο 2017 ΜΑΣ 473: Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων Χειμερινό Εξάμηνο 207 ΟΜΑΔΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Γενικές πληροφορίες: Η εργασία θα πρέπει να έχει γίνει από εσάς αντιγραφή από οποιαδήποτε πηγή θα έχει σαν αποτέλεσμα τον μηδενισμό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή Κεφάλαιο : Εισαγωγή Διαφορικές εξισώσεις Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αλλά και οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) εμφανίζονται παντού στις επιστήμες από τη μηχανική μέχρι τη βιολογία Τις περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 7: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Λύση: Για τα σημεία x, x, x 4, y, y, y υπολογίζουμε x x x x () x x x x x x 4 L

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις

Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Κεφάλαιο 9 Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή ελλειπτική εξίσωση, στις δύο διαστάσεις. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H ( Ω ). Αυτό επιβάλλει τη χρήση C πεπερασμένων. C ( Ω )). Άλλες προσεγγίσεις που αποφεύγουν τη χρήση C πεπερασμένων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H ( Ω ). Αυτό επιβάλλει τη χρήση C πεπερασμένων. C ( Ω )). Άλλες προσεγγίσεις που αποφεύγουν τη χρήση C πεπερασμένων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις οι οποίες προκύπτουν στη Μαθηματική Μοντελοποίηση πολλών φυσικών, χημικών, βιολογικών φαινομένων και σε ποικίλες θεματικές περιοχές όπως η Δυναμική των Ρευστών,

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Κεφάλαιο 6 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε την εξίσωση της θερμότητας στη μια διάσταση ως προς τον χώρο και θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση

Πρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση Κεφάλαιο 3 Πρόβλημα δύο σημείων Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μεθόδο πεπερασμένων διαφορών για προβλήματα Σ.Δ.Ε. δεύτερης τάξεως, τα οποία καλούνται και προβλήματα δύο σημείων. Ο λόγος που θα ασχοληθούμε

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή 4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2) Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων

Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων Κεφάλαιο 4 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι μια τεχνική για την κατασκευή προσεγγιστικών λύσεων μερικών και ολοκληρωτικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

f(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a)

f(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a) Κεφάλαιο 11 Συνεχείς κατανομές και ο Ν.Μ.Α. Στο προηγούμενο κεφάλαιο ορίσαμε την έννοια της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, και είδαμε τις βασικές της ιδιότητες. Εδώ θα περιγράψουμε κάποιους ιδιαίτερους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11.1 Γενικά περί συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) 1 ης τάξης έχει τη μορφή dy d = f (, y()) όπου f(, y) γνωστή και y() άγνωστη συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή . Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 3. Σύντομες Λύσεις

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 3. Σύντομες Λύσεις Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Quiz Σύντομες Λύσεις Άσκηση. Δείξτε ότι η απεικόνιση u, v = u v + 5u v, όπου u = (u, u ), v = (v, v ),

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

x,f με j 012,,,...,n x,x S x f S x είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S x S x y y Μέθοδος κυβικών splines: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα

x,f με j 012,,,...,n x,x S x f S x είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S x S x y y Μέθοδος κυβικών splines: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα Μέθοδος κυβικών sples: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα,f με,,,...,,. Για κάθε διάστημα βρίσκουμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής 3 ης τάξης S,,..., έτσι ώστε να ισχύουν τα παρακάτω: Συνθήκη Α: S f, S f S Συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 37 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1),

i=1 i=1 i=1 (x i 1, x i +1) (x 1 1, x k +1), Κεφάλαιο 6 Συμπάγεια 6.1 Ορισμός της συμπάγειας Οπως θα φανεί στην αμέσως επόμενη παράγραφο, υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορεί κανείς να εισάγει την έννοια του συμπαγούς μετρικού χώρου. Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 473/673: Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων

ΜΑΣ 473/673: Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων ΜΑΣ 473/673: Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων Ένα δυσδιάστατο παράδειγμα με το λογισμικό MATLAB Θεωρούμε το εξής Π.Σ.Τ.: Να βρεθεί η u(x, y) έτσι ώστε όπου f (x, y) = 1. u u f ( x, y), x ( 1,1) ( 1,1) x

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ : ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η μετρική του χώρου Στην ορίσαμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, όταν οι συντεταγμένες αυτές λαβαίνονται σε ένα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς του Ερχόμαστε,

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 14, 30 Απριλίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο (Ευκλείδειοι χώροι) 2. Βέλτιστες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #3: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. x x

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #3: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. x x ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, --, ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ Βαρούτης Ποια είναι η γενική μορφή των πολυωνύμων παρεμβολής των μεθόδων Newto και grge; Τα πολυώνυμα παρεμβολής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΣ 3: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 4 ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να ταξινομηθούν οι πιο κάτω ΣΔΕ με βάση τα εξής: τάξη, γραμμική ή μή Να δοθούν επίσης οι ανεξάρτητες και εξαρτημένες μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηματικές Μέθοδοι στη Φυσική. Γράψτε το ονοματεπώνυμο και αριθμό ταυτότητάς σας στο πάνω μέρος της αυτής της σελίδας.

ΦΥΣ 145 Μαθηματικές Μέθοδοι στη Φυσική. Γράψτε το ονοματεπώνυμο και αριθμό ταυτότητάς σας στο πάνω μέρος της αυτής της σελίδας. ΦΥΣ 145 Μαθηματικές Μέθοδοι στη Φυσική Τελική Εξέταση 24 Μάη 2005 Group: Α Γράψτε το ονοματεπώνυμο και αριθμό ταυτότητάς σας στο πάνω μέρος της αυτής της σελίδας. Πρέπει να απαντήσετε και στα 5 προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Θέμα Α) Να δείξετε ότι αν f μια συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα Δ και F μια παράγουσα της f στο Δ τότε: α) όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(χ) = F ( ) +c, c είναι παράγουσες

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης 8 Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ. Ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ, μια συνάρτηση F παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ Εισαγωγή. Η αρχή του εγκλεισμού αποκλεισμού είναι ένα ισχυρό μέσο απαρίθμησης με το οποίο υπολογίζεται ο αριθμός των στοιχείων της ένωσης και της τομής των συμπληρωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Το μοντέλο Perceptron

Το μοντέλο Perceptron Το μοντέλο Perceptron Αποτελείται από έναν μόνο νευρώνα McCulloch-Pitts w j x x 1, x2,..., w x T 1 1 x 2 w 2 Σ u x n f(u) Άνυσμα Εισόδου s i x j x n w n -θ w w 1, w2,..., w n T Άνυσμα Βαρών 1 Το μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ 1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

6. Αριθμητική Ολοκλήρωση

6. Αριθμητική Ολοκλήρωση 6. Αριθμητική Ολοκλήρωση Ασκήσεις 6.1 Έστω f : [; b]! R μια συνάρτηση, της οποίας το ολοκλήρωμα του Riemnn στο διάστημα [; b] υπάρχει. Αν Qn T είναι ο σύνθετος τύπος ολοκλήρωσης του τραπεζίου με n ομοιόμορφα

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

MEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * *

MEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * MEM 253 Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * 1 Περιγράφουμε το πρόγραμμα fem.py για τη λύση του προβλήματος δύο σημείων (x) + q(x)u(x) = f (x), x [, ], u( ) = u( ) = 0, u x l x r x l x r με τη μέθοδο των πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

2. Η μέθοδος του Euler

2. Η μέθοδος του Euler 2. Η μέθοδος του Euler Ασκήσεις 2.5 Έστω a = t 0 < t 1 < < t N = b ένας διαμερισμός του [a, b]. Υποθέστε ότι ο διαμερισμός είναι ημιομοιόμορφος, ότι υπάρχει δηλαδή θετική σταθερά µ, ανεξάρτητη του N, τέτοια

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις δέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 2 x dx = 02 ( 2) 2

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις δέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 2 x dx = 02 ( 2) 2 Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 08-9. Λύσεις δέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.. Υπολογίστε το x αν x < 0 4 fx) dx όταν fx) = αν 0 x 3/x αν < x 4 Λύση: Η f ταυτίζεται στο [, 0] με την συνεχή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Interpolation (1) Τρίτη, 3 Μαρτίου Σελίδα 1

Interpolation (1) Τρίτη, 3 Μαρτίου Σελίδα 1 Iterpolatio () Τρίτη, 3 Μαρτίου 05 9:46 πμ 05.03.03 Σελίδα 05.03.03 Σελίδα 05.03.03 Σελίδα 3 05.03.03 Σελίδα 4 05.03.03 Σελίδα 5 05.03.03 Σελίδα 6 05.03.03 Σελίδα 7 05.03.03 Σελίδα 8 05.03.03 Σελίδα 9

Διαβάστε περισσότερα