Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας
|
|
- Λωΐς Σπηλιωτόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 6 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε την εξίσωση της θερμότητας στη μια διάσταση ως προς τον χώρο και θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα αρχικών και συνοριακών τιμών με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet. Η κατασκευή της μεθόδου θα γίνει σε δύο βήματα. Πρώτα, θα θεωρήσουμε ένα βοηθητικό πρόβλημα αρχικών τιμών που καλείται ημιδιακριτό πρόβλημα, όπου χρησιμοποιούμε μια μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για τη διακριτοποίηση μόνο ως προς τον χώρο. Στη συνέχεια, η πλήρως διακριτή μέθοδος προκύπτει, αν διακριτοποιήσουμε το ημιδιακριτό πρόβλημα χρησιμοποιώντας μια μέθοδο για προβήματα αρχικών τιμών όπως είναι η άμεση μέθοδος του Euler ή η πεπλεγμένη μέθοδο του Euler ή η μέθοδος των Cran Nicolson. 6.1 Ημιδιακριτό πρόβλημα Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών και συνοριακών τιμών για την εξίσωση της θερμότητας με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet (5.1), δηλαδή ζητούμε μια συνάρτηση u :[0,L] [0,T] R η οποία ικανοποιεί u t (x, t) =u xx (x, t), u(0,t)=u(l, t) =0, u(x, 0) = g(x), όπου L>0, g C[0,L]. x [0,L], t [0,T], t [0,T], x [0,L], (6.1) 103
2 104 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΕΞΙΣΩΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ: ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Έστω μια διαμέριση του [0,L], με 0=x 0 <x 1 < <x N+1 = L, με βήμα h = L/(N + 1), N 1. Θεωρούμε και πάλι τον χώρο συναρτήσεων V, βλ. π.χ. (4.4), που αποτελείται από τις συνεχείς συναρτήσεις οι οποίες είναι κατά τμήματα C 1 συνεχείς και μηδενίζονται στα άκρα του [0,L]. Επίσης, συμβολίζουμε με (, ) το εσωτερικό γινόμενο (f,g) = L 0 f(x)g(x) dx, και με την αντίστοιχη παραγόμενη νόρμα. Για μια συνάρτηση v V θεωρούμε το εσωτερικό γινόμενο και ως προς τα δύο μέλη της εξίσωσης (6.1), οπότε έχουμε την ακόλουθη μεταβολική μορφή του προβλήματος (6.1): Ζητείται u(,t), t [0,T], τέτοια ώστε (u t (,t),v)+(u x (,t),v )=0, v V, u(, 0) = g. (6.2) Αν θεωρήσουμε τώρα έναν υπόχωρο V h του V και ακολουθήσουμε ανάλογα βήματα όπως στο Κεφάλαιο 4, προκύπτει μια προσέγγιση u h (,t) V h, t [0,T], της u(,t) η οποία αποτελεί λύση ενός νέου πρόβληματος, του λεγομένου ημιδιακριτού προβλήματος του (6.2). Ως V h μπορούμε, παραδείγματος χάριν, να θεωρήσουμε τον χώρο των συνεχών συναρτήσεων που είναι κατά τμήματα γραμμικά πολυώνυμα και μηδενίζονται στα άκρα του [0,L], δηλαδή V h = {χ C 0 [0,L]:χ [xj,x j+1 ] P 1,j=0,...,N}. (6.3) Ορίζουμε τότε ως ημιδιακριτή λύση τη u h (,t) V h, t [0,T], τέτοια ώστε (u h,t (,t),χ)+(u h,x (,t),χ )=0, χ V h, u h (, 0) = g h, (6.4) όπου g h V h μια προσέγγιση της g. Στη συνέχεια, ως V h θα θεωρήσουμε τον χώρο των κατά τμήματα γραμμικών συναρτήσεων (6.3) όμως τα συμπεράσματα που έπονται επεκτείνονται ανάλογα και για άλλους υπόχωρους του V. Είδαμε στο Λήμμα 4.2 ότι οι συναρτήσεις {φ j } N j=1 της (4.15) αποτελούν μια βάση του χώρου V h. Οπότε, επειδή u h (,t) V h, υπάρχουν α j (t), t [0,T], τέτοια ώστε N u h (x, t) = α j (t)φ j (x), j=1 x [0,L], t [0,T].
3 6.1. ΗΜΙΔΙΑΚΡΙΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 105 Τότε, το πρόβλημα (6.4) γράφεται ισοδύναμα N N α j(t)(φ j,χ)+ α j (t)(φ j,χ )=0, χ V h, j=1 j=1 α j (0) = γ j, j =1,...,N, όπου g h = N j=1 γ jφ j. Στη συνέχεια, επιλέγοντας ως χ = φ i, i = 1,...,N, λαμβάνουμε N N α j(t)(φ j,φ i )+ α j (t)(φ j,φ i)=0, i =1,...,N, j=1 j=1 (6.5) α j (0) = γ j, j =1,...,N. Μπορούμε να δούμε τώρα ότι η (6.5) γράφεται και ως πρόβλημα αρχικών τιμών για ένα γραμμικό σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, Mα (t)+sα(t) =0, t [0,T], με α(0) = Γ, (6.6) όπου M και S είναι N N πίνακες με στοιχεία M ij =(φ j,φ i ) και S ij =(φ j,φ i ), i, j =1,...,N, αντίστοιχα, α(t) =(α 1 (t),...,α N (t)) T και Γ=(γ 1,...,γ N ) T. Ο πίνακας M καλείται πίνακας μάζας και ο πίνακας S πίνακας ακαμψίας. Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι και οι δύο πίνακες M και S είναι συμμετρικοί. Επίσης, είναι και θετικά ορισμένοι. Πράγματι, αν w =(w 1,...,w N ) T R N, τότε w T Mw = v 2 0 και w T Sw = v 2 0, όπου v = N w i φ i. Ακόμα εύκολα βλέπουμε από την παραπάνω σχέση ότι αν w T Mw =0ή w T Sw = 0, τότε w =0. Συνεπώς, ο M είναι αντιστρέψιμος, βλ. π.χ. (Ακρίβης & Δουγαλής, 2015), οπότε το σύστημα διαφορικών εξισώσεων (6.6) γράφεται α (t)+m 1 Sα(t) =0, t [0,T], με α(0) = Γ, το οποίο λύνεται μονοσήμαντα. Στη συνέχεια, θα δείξουμε την ευστάθεια του ημιδιακριτού προβλήματος (6.4). Θεώρημα 6.1. Έστω u h (,t), t [0,T], η λύση του (6.4). Τότε i=1 u h (t) g h, t [0,T]. (6.7)
4 106 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΕΞΙΣΩΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ: ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Απόδειξη. Επιλέγοντας χ = u h (,t) στην (6.4), έχουμε (u h,t (,t),u h (,t)) + (u h,x (,t),u h,x (,t)) = 0. (6.8) Παρατηρούμε τώρα ότι 1 d 2 dt ( u h(,t) 2 )=(u h,t (,t),u h (,t)), οπότε η (6.8) γίνεται 1 d 2 dt ( u h(,t) 2 )+ u h,x (,t) 2 =0. Συνεπώς, d dt ( u h(,t) 2 ) 0, από όπου εύκολα προκύπτει η ζητούμενη (6.7). Θα θεωρήσουμε τώρα μια προβολή R h : V V h η οποία ορίζεται με τον ακόλουθο τρόπο ((R h v),χ )=(v,χ ), χ V h. (6.9) Η προβολή R h καλείται ελλειπτική προβολή ή προβολή Ritz. Λήμμα 6.1. Έστω v C 2 0 [0,L]. Η προβολή R h ορίζεται μονοσήμαντα και ικανοποιεί τη σχέση R h v v + h R h v v Ch 2 v. (6.10) Απόδειξη. Θέτουμε w = v και θεωρούμε το ακόλουθο βοηθητικό πρόβλημα v (x) =w(x), x [0,L], v(0) = v(l) =0. Εύκολα βλέπουμε τώρα ότι η R h v όπως ορίστηκε στην (6.9) είναι η λύση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων από τον χώρο V h. Τότε, σύμφωνα με το Θεώρημα 4.2, έχουμε ότι ισχύει η ζητούμενη (6.10). Λήμμα 6.2. Έστω u C 2 ([0,L] [0,T]) η λύση του (6.1) και R h u(,t), t [0,T], η ελλειπτική προβολή της u που ορίζεται από την (6.9). Τότε υπάρχει σταθερά C, τέτοια ώστε R h u(,t) u(,t) + (R h u) t (,t) u t (,t) Ch 2, t [0,T]. (6.11) Απόδειξη. Από τον ορισμό της R h (6.9) και το γεγονός ότι u C 2 ([0,L] [0,T]) μπορούμε να δούμε ότι R h u t =(R h u) t. Πράγματι, ((R h u t ) x,χ )=((u t ) x,χ )=( t (u x),χ )= t (u x,χ ) = t ((R hu) x,χ )=( t ((R hu) x ),χ )=((R h u) t ) x,χ ). Επομένως, λόγω του Λήμματος 6.1, παίρνουμε την επιθυμητή (6.11).
5 6.1. ΗΜΙΔΙΑΚΡΙΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 107 Θεώρημα 6.2. Έστω u C 2 ([0,L] [0,T]) η λύση της (6.1) με g C 2 [0,L] και u h η λύση της (6.4) με g h = R h g. Τότε, υπάρχει σταθερά C, ανεξάρτητη του h, τέτοια ώστε max u h(,t) u(,t) Ch 2. (6.12) 0 t T Απόδειξη. Έστω W (x, t) =R h u(x, t). Συμβολίζουμε με ρ(t) =W (,t) u(,t) και ϑ(t) =u h (,t) W (,t), οπότε u h (,t) u(,t)=ϑ(t) +ρ(t). Λόγω του Λήμματος 6.1, έχουμε ότι ρ(t) Ch 2. (6.13) Στη συνέχεια, μπορούμε να δούμε ότι η ϑ ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση (ϑ t (t),χ)+(ϑ x (t),χ ) =(u h,t (,t),χ)+(u h,x (,t),χ ) (W t (,t),χ) (W x (,t),χ ) =(u t (,t),χ)+(u x (,t),χ ) (W t (,t),χ) (W x (,t),χ ) = (ρ t (t),χ)+(u x (,t) W x (,t),χ )= (ρ t (t),χ). Επομένως (ϑ t (t),χ)+(ϑ x (t),χ )= (ρ t (t),χ). (6.14) Επιλέγοντας τώρα χ = ϑ(t), έχουμε (ϑ t (t),ϑ(t)) + ϑ x (t) 2 = (ρ t (t),ϑ(t)). (6.15) Επειδή 1 d 2 dt ϑ(t) 2 =(ϑ t (t),ϑ(t)),η(6.15) γίνεται οπότε d dt ϑ(t) ϑ(t) ρ t(t) ϑ(t), (6.16) Ολοκληρώνοντας στη συνέχεια στο [0,t], παίρνουμε d dt ϑ(t) ρ t(t). (6.17) ϑ(t) ϑ(0) + t 0 ρ t (s) ds. (6.18) Η ζητούμενη σχέση τώρα έπεται άμεσα από το γεγονός ότι θ(0) = 0, την (6.13) και το Λήμμα 6.2.
6 108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΕΞΙΣΩΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ: ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 6.2 Πεπλεγμένη μέθοδος του Euler Θα θεωρήσουμε τώρα ένα πλήρως διακριτό σχήμα, διακριτοποιώντας και ως προς τον χρόνο το ημιδιακριτό σχήμα (6.4) με την πεπλεγμένη μέθοδο του Εuler. Για έναν φυσικό αριθμό M 1 θέτουμε = T /M και t j = j, j =0,...,M, μια διαμέριση του [0,T]. Θεωρούμε λοιπόν τις προσεγγίσεις U n V h, n =1,...,M, τέτοιες ώστε ( U n U n 1,χ)+((U n ),χ )=0, χ V h, U 0 = g h, (6.19) όπου g h V h μια προσέγγιση της g. Η(6.19) γράφεται ισοδύναμα ως (U n,χ)+((u n ),χ )=(U n 1,χ), χ V h, U 0 = g h. (6.20) Αν θεωρήσουμε ως βάση του V h τις συναρτήσεις {φ j } N j=1, τότε οι προσεγγίσεις U n του (6.20) γράφονται ως γραμμικός συνδυασμός των φ j ως N U n (x) = αj n φ j (x), j=0 x [0,L]. Επιλέγοντας τώρα χ = φ i, i =1,...,N, στην (6.20) παρατηρούμε ότι οδηγούμαστε σε ένα γραμμικό σύστημα της μορφής (M + S)α n = Mα n 1, όπου M και S είναι οι πίνακες της (6.6) και α j διανύσματα με συνιστώσες α j = (α j 1,...,αj N )T, j =0,...,N. Είναι απλό να δούμε ότι ο πίνακας M + S είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος και, άρα, αντιστρέφεται. Επομένως, α n =(M + S) 1 Mα n 1. (6.21) Άρα, ξεκινώντας από τη γνωστή προσέγγιση U 0 = g h της g, όπου γνωρίζουμε το διάνυσμα α 0, μπορούμε χρησιμοποιώντας την (6.21) να προσδιορίσουμε αναδρομικά τα α n και κατ επέκταση την προσέγγιση U n της u(,t n ). Στη συνέχεια, θα δείξουμε την ευστάθεια της μεθόδου (6.19). Θεώρημα 6.3. Έστω ότι οι U n V h, n =0,...,M, ικανοποιούν την (6.19). Τότε max U n U 0. (6.22) 0 n M
7 6.2. ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ EULER 109 Απόδειξη. Επιλέγουμε χ = U n στην (6.19), οπότε λαμβάνουμε Επομένως, έχουμε ( U n U n 1,U n )+ (U n ) 2 =0. (6.23) Άρα U n 2 (U n 1,U n ) U n 1 U n. U n U n 1, από όπου προκύπτει η ζητούμενη σχέση (6.22). Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε τη σύγκλιση της πεπλεγμένης μεθόδου του Euler. Θεώρημα 6.4. Έστω u C 2 ([0,L] [0,T]) η λύση της (6.1) με g C 2 [0,L] και U n V h, n =0,...,M, ικανοποιούν την (6.19) με U 0 = R h g. Τότε υπάρχει σταθερά C, ανεξάρτητη των και h, τέτοια ώστε max U n u(,t n ) C( + h 2 ). (6.24) 0 n M Απόδειξη. Θέτουμε ρ n = W (,t n ) u(,t n ) και ϑ n = U n W (,t n ), οπότε U n u(,t n )=ϑ n + ρ n. Λόγω του Λήμματος 6.2, έχουμε ότι max 0 n M ρn Ch 2. (6.25) Στη συνέχεια, μπορούμε να δούμε ότι η ϑ n ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση όπου ω n = ω n 1 + ωn 2 και ( ϑn ϑ n 1,χ)+((ϑ n ),χ )= (ω n,χ), χ V h, (6.26) ω1 n = ρn ρ n 1, ω2 n = un u n 1 u n t, με u n = u(,t n ) και u n t = u(,t n ). Πράγματι έχουμε ( ϑn ϑ n 1,χ)+((ϑ n ),χ ) = ( R hu n R h u n 1,χ) ((R h u n ),χ ) = ( ρn ρ n 1,χ) ( un u n 1,χ) ((u n ) x,χ )
8 110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΕΞΙΣΩΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ: ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ = ( ρn ρ n 1,χ) ( un u n 1,χ)+(u n t,χ) = (ω1 n + ω2 n,χ). Στη συνέχεια, θα δείξουμε ότι ω1 n Ch 2 και ω2 n C. Εύκολα βλέπουμε ότι οπότε λόγω της (6.13) ω n 1 = 1 t n t n 1 ρ(t) dt, ω n 1 1 t n Επίσης, λόγω του αναπτύγματος Taylor έχουμε Συνεπώς ω n 2 = un u n 1 Άρα, συνδυάζοντας τις (6.27), (6.28), παίρνουμε t n 1 ρ(t) dt Ch 2. (6.27) t n u n t = 1 (t t n 1 )u tt (,t) dt. t n 1 ω n 2 C. (6.28) ω n C( + h 2 ), n =1,...,M. (6.29) Επιλέγοντας τώρα χ = ϑ n στην (6.26), λαμβάνουμε ϑ n 2 + (ϑ n ) 2 =(ϑ n 1,ϑ n ) (ω n,ϑ n ) ( ϑ n 1 + ω n ) ϑ n. Οπότε από την οποία παίρνουμε την ϑ n ϑ 0 + ϑ n ϑ n 1 + ω n, n j=1 ω j ϑ 0 + M max 0 j M ωj. Συνεπώς, λόγω των (6.25), (6.29) και του γεγονότος ότι ϑ(0) = 0, έχουμε ότι ισχύει η ζητούμενη σχέση.
9 6.3. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ CRANK NICOLSON Μέθοδος των Cran Nicolson Στη συνέχεια, θα θεωρήσουμε ένα πλήρως διακριτό σχήμα, διακριτοποιώντας και ως προς τον χρόνο το ημιδιακριτό σχήμα (6.4) με την μέθοδο των Cran Nicolson. Θέτουμε και πάλι = T /M και t j = j, j =0,...,M, μια διαμέριση του [0,T]. Θεωρούμε λοιπόν τις προσεγγίσεις U n V h, n =1,...,M, τέτοιες ώστε ( U n U n 1,χ)+((U n 1/2 ),χ )=0, χ V h, U 0 = g h, (6.30) όπου g h V h μια προσέγγιση της g και U n 1/2 = 1 2 (U n + U n 1 ).Η(6.30) γράφεται και ως εξής (U n,χ)+ 2 ((U n ),χ )=(U n 1,χ) 2 ((U n 1 ),χ ), χ V h, U 0 = g h. (6.31) Με ανάλογο τρόπο όπως και για την πεπλεγμένη μέθοδο του Euler στην προηγούμενη παράγραφο, η (6.31) είναι ισοδύναμη με ένα γραμμικό σύστημα της μορφής (M + 2 S)αn =(M 2 S)αn 1, όπου M και S είναι οι πίνακες της (6.6) και α j διανύσματα με συνιστώσες α j = (α j 1,...,αj N )T, j =0,...,N. Εύκολα βλέπουμε ότι ο πίνακας M + 2 S είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος και, άρα, αντιστρέφεται. Επομένως, α n =(M + 2 S) 1 (M 2 S)αn 1. (6.32) Συνεπώς, επειδή γνωρίζουμε το διάνυσμα α 0, χρησιμοποιώντας την (6.32) μπορούμε να προσδιορίσουμε αναδρομικά τα α n και κατ επέκταση την προσέγγιση U n της u(,t n ). Στη συνέχεια, θα δείξουμε την ευστάθεια της μεθόδου (6.30). Θεώρημα 6.5. Έστω ότι οι U n V h, n =0,...,M, ικανοποιούν την (6.30). Τότε Απόδειξη. Επιλέγουμε χ = U n 1/2 στην (6.30). Οπότε max U n U 0. (6.33) 0 n M ( U n U n 1,U n 1/2 )+ (U n 1/2 ) 2 =0. (6.34)
10 112 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΕΞΙΣΩΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ: ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Επομένως, έχουμε ότι από όπου εύκολα βλέπουμε ότι δηλαδή τη ζητούμενη ανισότητα. (U n U n 1,U n + U n 1 ) 0, U n 2 U n 1 2 U 0 2, Θεώρημα 6.6. Έστω u C 4 ([0,L] [0,T]) η λύση της (6.1) με g C 2 [0,L] και U n V h, n =0,...,M, ικανοποιούν την (6.30) με U 0 = R h g. Τότε, υπάρχει σταθερά C, ανεξάρτητη των και h, τέτοια ώστε max U n u(,t n ) C( 2 + h 2 ). (6.35) 0 n M Απόδειξη. Θέτουμε και πάλι ρ n = W (,t n ) u(,t n ) και ϑ n = U n W (,t n ), οπότε U n u(,t n )=ϑ n + ρ n. Λόγω της (6.25) αρκεί να εκτιμήσουμε την ϑ n. Μπορούμε να δούμε ότι το ϑ n ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση ( ϑn ϑ n 1,χ)+((ϑ n 1/2 ),χ )= (ω n,χ), χ V h, (6.36) όπου ω n = ω n 1 + ωn 2 + ωn 3 και Πράγματι έχουμε ω1 n = ρn ρ n 1, ω2 n = un u n 1 u t (,t n 1/2 ), ω3 n = u xx (,t n 1/2 ) u n 1/2 xx. ( ϑn ϑ n 1,χ)+((ϑ n 1/2 ),χ ) = ( R hu n R h u n 1,χ) ((R h u n 1/2 ),χ ) = ( ρn ρ n 1 = ( ρn ρ n 1 = ( ρn ρ n 1,χ) ( un u n 1,χ) (u n 1/2 x,χ ),χ) ( un u n 1,χ) ( un u n 1 (u t (,t n 1/2 ),χ)+(u n 1/2 xx,χ),χ)+(u n 1/2 xx,χ),χ)+(u t (,t n 1/2 ),χ)
11 6.3. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ CRANK NICOLSON 113 = ( ρn ρ n 1,χ) ( un u n 1,χ)+(u t (,t n 1/2 ),χ) (u xx (,t n 1/2 ),χ)+(u n 1/2 xx,χ) = (ω1 n + ω2 n + ω3 n,χ). Από την (6.27) έχουμε ότι ω n 1 Ch2. Επίσης, λόγω του αναπτύγματος Taylor έχουμε ω2 n = un u n 1 u t (,t n 1/2 ) t n 1/2 t n =(2) 1 (t t n 1 ) 2 u ttt (t) dt +(2) 1 t n 1 t n 1/2 (t t n ) 2 u ttt (t) dt, από όπου προκύπτει ότι ω n 2 C2. Τέλος, χρησιμοποιώντας και πάλι το ανάπτυγμα Taylor, έχουμε 2ω n 3 = 2(u xx (,t n 1/2 ) (u xx ) n 1/2 ) = t n 1/2 t n 1 (t t n 1 )u xxtt (t) dt + t n t n 1/2 (t t n )u xxtt (t) dt. Συνεπώς ω n 3 C2. Συνδυάζοντας τις παραπάνω εκτιμήσεις, λαμβάνουμε Οπότε ω n C( 2 + h 2 ). (6.37) Επιλέγοντας τώρα χ = ϑ n 1/2 στην (6.36), παίρνουμε ϑ n 2 ϑ n (ϑ n 1/2 ) 2 = (ω n,ϑ n + ϑ n 1 ) ω n ( ϑ n + ϑ n 1 ). ( ϑ n ϑ n 1 )( ϑ n + ϑ n 1 ) ω n ( ϑ n + ϑ n 1 ), από την οποία παίρνουμε Συνεπώς, έχουμε ϑ n ϑ 0 + ( ϑ n ϑ n 1 + ω n. n j=1 ω j ϑ 0 + M max 0 j M ωj. Επομένως, λόγω των (6.25), (6.37) και του γεγονότος ότι ϑ(0) = 0, έχουμε ότι ισχύει η επιθυμητή σχέση (6.35).
12 114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΕΞΙΣΩΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ: ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 6.4 Άμεση μέθοδος του Euler Στη συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε την άμεση μέθοδο του Euler για τη διακριτοποίηση ως προς τον χρόνο της (6.4). Θέτουμε και πάλι = T /M και t j = j, j =0,...,M, μια διαμέριση του [0,T]. Θεωρούμε λοιπόν τις προσεγγίσεις U n V h, n =1,...,M, τέτοιες ώστε ( U n U n 1,χ)+((U n 1 ),χ )=0, χ V h, U 0 = g h, (6.38) όπου g h V h μια προσέγγιση της g. Η(6.38) γράφεται τώρα ως (U n,χ)=(u n 1,χ) ((U n 1 ),χ ), χ V h, U 0 = g h. (6.39) Με όμοιο τρόπο όπως και προηγουμένως η (6.39) είναι ισοδύναμη με ένα γραμμικό σύστημα της μορφής Mα n =(M S)α n 1, όπου M και S είναι οι πίνακες της (6.6) και α j διανύσματα με συνιστώσες α j = (α j 1,...,αj N )T, j =0,...,N. Επειδή ο πίνακας M είναι αντιστέψιμος, έχουμε α n = M 1 (M S)α n 1. (6.40) Συνεπώς, επειδή γνωρίζουμε το διάνυσμα α 0, χρησιμοποιώντας την (6.40), μπορούμε να προσδιορίσουμε αναδρομικά τα α n και κατ επέκταση την προσέγγιση U n της u(,t n ). Σε αυτό το σημείο και για να δείξουμε την ευστάθεια της μεθόδου (6.38), θα χρειαστεί να υποθέσουμε την ακόλουθη σχέση την οποία πρέπει να πληρούν οι συναρτήσεις του χώρου V h. Υποθέτουμε λοιπόν ότι υπάρχει σταθερά C 1 ανεξάρτητη του h, τέτοια ώστε χ C 1 h 1 χ, χ V h. (6.41) Η ανισότητα (6.41) καλείται αντίστροφη ανισότητα. Στην περίπτωση που V h είναι οι συνεχείς κατά τμήματα γραμμικές συναρτήσεις σε έναν ομοιόμορφο διαμερισμό, τότε ικανοποιείται η (6.41), βλ. Άσκηση 6.3. Στη συνέχεια, θα δείξουμε την ευστάθεια της μεθόδου (6.38). Θεώρημα 6.7. Έστω ότι οι U n V h, n =0,...,M, ικανοποιούν τη (6.38) και ότι ο V h ικανοποιεί τη (6.41). Τότε, αν h 2 2, όπου C 1 είναι η σταθερά στην (6.41), έχουμε C 2 1 max U n U 0. (6.42) 0 n M
13 6.4. ΑΜΕΣΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ EULER 115 Απόδειξη. Επιλέγουμε χ = U n 1 στην (6.38), οπότε (U n,u n 1 ) U n (U n 1 ) =0. (6.43) Επίσης, εύκολα μπορούμε να δούμε ότι 2(U n,u n 1 )= U n 2 + U n 1 2 U n U n 1 2. Επομένως, η (6.43) γίνεται 1 2 ( U n 2 U n 1 2 U n U n 1 2 )+ (U n 1 ) =0. (6.44) Επίσης, αν επιλέξουμε χ = U n U n 1 στην (6.38), έχουμε U n U n 1 2 ((U n 1 ), (U n ) (U n 1 ) )=0. (6.45) Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy Schwarz και την (6.41), η (6.45) δίνει Επομένως, λαμβάνουμε U n U n 1 2 (U n 1 ) (U n ) (U n 1 ) C 1 h (U n 1 ) U n U n 1. U n U n 1 C 1 h (U n 1 ). (6.46) Αν χρησιμοποιήσουμε τώρα την (6.46) στην (6.44), παίρνουμε U n 2 U n 1 2 (C1 2 h 2 2) (U n 1 ). (6.47) Συνεπώς, λόγω της υπόθεσης C , η(6.47) δίνει τη ζητούμενη σχέση h2 (6.42). Θεώρημα 6.8. Έστω u C 2 ([0,L] [0,T]) η λύση της (6.1) με g C 2 [0,L] και U n V h, n =0,...,M, ικανοποιούν την (6.38) με U 0 = R h g και ο V h την (6.41). Τότε, αν h 2 2, όπου C 1 είναι η σταθερά στην (6.41), έχουμε ότι υπάρχει C 2 1 σταθερά C, ανεξάρτητη των και h, τέτοια ώστε max U n u(,t n ) C( + h 2 ). (6.48) 0 n M
14 116 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΕΞΙΣΩΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ: ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Απόδειξη. Γράφουμε και πάλι U n u(,t n )=ϑ n +ρ n με ρ n = W (,t n ) u(,t n ) και ϑ n = U n W (,t n ). Όπως και προηγουμένως, λόγω της (6.25), αρκεί να εκτιμήσουμε την ϑ n. Μπορούμε να δούμε ότι το ϑ n ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση ( ϑn ϑ n 1,χ)+((ϑ n 1 ),χ )= (ω n,χ), χ V h, (6.49) όπου ω n = ω n 1 + ωn 2 και ω1 n = ρn ρ n 1, ω2 n = un u n 1 u n 1 t. Παρόμοια, όπως και στο Θεώρημα 6.4, έχουμε ( ϑn ϑ n 1,χ)+((ϑ n 1 ),χ ) = ( R hu n R h u n 1,χ) ((R h u n 1 ),χ ),χ) ( un u n 1,χ) ((u n 1 ) x,χ ),χ) ( un u n 1 = ( ρn ρ n 1 = ( ρn ρ n 1 = (ω n 1 + ω n 2,χ),,χ)+(u n 1 t,χ) Από την (6.27) έχουμε ότι ω n 1 Ch2. Επίσης, λόγω του αναπτύγματος Taylor, παίρνουμε ω n 2 = un u n 1 Συνεπώς, λαμβάνουμε Άρα, συνδυάζοντας τις (6.27) και (6.50), έχουμε t n u n 1 t = 1 (t t n )u tt (,t) dt. t n 1 ω n 2 C. (6.50) ω n C( + h 2 ), n =1,...,M. (6.51) Στη συνέχεια, θα ακολουθήσουμε τα βήματα της απόδειξης του Θεωρήματος 6.7. Επομένως, επιλέγουμε χ = ϑ n 1 στην (6.49) και λαμβάνουμε (ϑ n,ϑ n 1 ) ϑ n (ϑ n 1 ) 2 = (ω n,ϑ n 1 ) ω n ϑ n 1. (6.52)
15 6.4. ΑΜΕΣΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ EULER 117 Επειδή η(6.52) γίνεται 2(ϑ n,ϑ n 1 )= ϑ n 2 + ϑ n 1 2 ϑ n ϑ n ( ϑn 2 ϑ n 1 2 ϑ n ϑ n 1 2 )+ (ϑ n 1 ) 2 ω n ϑ n 1. (6.53) Στη συνέχεια, επιλέγοντας χ = ϑ n ϑ n 1 στην (6.49), έχουμε ϑ n ϑ n 1 2 ((ϑ n 1 ), (ϑ n ) (ϑ n 1 ) )= (ω n,ϑ n ϑ n 1 ). (6.54) Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy Schwarz και την (6.41), η (6.54) δίνει ϑ n ϑ n 1 2 (ϑ n 1 ) (ϑ n ) (ϑ n 1 ) + ω n ϑ n ϑ n 1 C 1 h (ϑn 1 ) ϑ n ϑ n 1 + ω n ϑ n ϑ n 1. Επομένως, λαμβάνουμε ϑ n ϑ n 1 C 1 h (ϑn 1 ) + ω n. Στη συνέχεια, υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη της προηγούμενης ανισότητας παίρνουμε ϑ n ϑ n 1 2 C1 2 2 h 2 (ϑn 1 ) ω n C 1 h (ϑn 1 ) ω n. (6.55) Χρησιμοποιώντας τώρα την (6.55) στην (6.53) παίρνουμε ϑ n 2 ϑ n 1 2 (C1 2 h 2 2) (ϑn 1 ) ω n C 1 h (ϑn 1 ) ω n +2 ω n ϑ n 1. Στη συνέχεια, λόγω της υπόθεσης C , παίρνουμε h2 ϑ n 2 ϑ n ω n 2 +2C 1 2 h (ϑn 1 ) ω n +2 ω n ϑ n 1. (6.56) Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι για κάθε ϵ > 0 ισχύει η ανισότητα 2ab (ϵa) 2 + (1/ϵ)b 2 με a, b R. Έτσι, επειδή 1, υπάρχουν σταθερές c και C, τέτοιες ώστε από την (6.56) έχουμε ϑ n 2 (1 + c) ϑ n C ω n 2. (6.57)
16 118 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΕΞΙΣΩΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ: ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Αν θέσουμε ω = max 0 n M ω n, από την (6.57) προκύπτει τώρα n 1 ϑ n 2 (1 + c) n ϑ C (1 + c) j ω n 2 M 1 e cn ϑ C ω 2 j=0 j=0 e cj e cn ϑ C ω 2 ecm 1 e c 1 e ct ϑ C c ω2. Συνεπώς, λόγω της (6.51) έχουμε ϑ n 2 C ϑ C( + h 2 ) 2. Επομένως, λόγω της (6.25) και του γεγονότος ότι ϑ(0) = 0, έχουμε ότι ισχύει η επιθυμητή σχέση (6.48). 6.5 Άλλες μέθοδοι και προβλήματα Μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων για προβλήματα παραβολικών εξισώσεων με συνορικακές συνθήκες τύπου Dirichlet ή και με άλλες συνοριακές συνθήκες όπως π.χ. τύπου Neumann, αναλύονται με παρόμοιο τρόπο όπως με αυτά που παρουσιάσαμε σε αυτό το κεφάλαιο. Για τη μελέτη αυτών των αριθμητικών μεθόδων καθώς και για μία πιο λεπτομερή παρουσίαση των αποτελεσμάτων αυτού του κεφαλαίου, παραπέμπουμε τον αναγνώστη στα (Ακρίβης & Δουγαλής, 2005 Ακρίβης, 2005 Johnson, 1987 Larsson & Thomée, 2009 Morton & Mayers, 2005 Striwerda, 2004). 6.6 Ασκήσεις 6.1. Θεωρούμε το πρόβλημα u t (x, t) =u xx (x, t)+f(x, t), u(0,t)=u(l, t) =0, u(x, 0) = g(x), x [0,L], t [0,T], t [0,T], x [0,L], (6.58) όπου L>0, f,g C[0,L]. Διατυπώστε και αποδείξτε τα θεωρήματα ευστάθειας και σύγκλισης για τις μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιώντας για τη διακριτοποίηση ως προς τον χρόνο την πεπλεγμένη μέθοδο του Euler και τη μέθοδο Cran Nicolson.
17 Βιβλιογραφία Θεωρούμε το πρόβλημα u t (x, t) =u xx (x, t), u x (0,t)=u x (L, t) =0, u(x, 0) = g(x), x [0,L], t [0,T], t [0,T], x [0,L], (6.59) όπου L > 0, g C[0,L]. Διατυπώστε τις μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιώντας για τη διακριτοποίηση ως προς τον χρόνο τη πεπλεγμένη μέθοδο του Euler, τη μέθοδο Cran Nicolson και την άμεση μέθοδο του Euler Έστω N N, h = L/(N + 1), και x i = ih, i =0,...,N +1, ένας διαμερισμός του [0,L]. Τότε για τη συνάρτηση x x 0, x 0 x x 1, h v(x) = x 2 x, x 1 x x 2, h 0, διαφορετικά, έχουμε v 3 h 1 v. Βιβλιογραφία Ακρίβης, Γ. (2005). Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων. Λευκωσία, Κύπρος. (Πανεπιστημιακές Σημειώσεις). Ακρίβης, Γ., & Δουγαλής, Β. (2005). Αριθμητικές Μέθοδοι για Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις. Ιωάννινα. (Πανεπιστημιακές Σημειώσεις). Ακρίβης, Γ., & Δουγαλής, Β. (2015). Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο. Johnson, C. (1987). Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Cambridge University Press, Cambridge. Larsson, S., & Thomée, V. (2009). Partial differential equations with numerical methods (Vol. 45). Springer-Verlag, Berlin. Morton, K. W., & Mayers, D. F. (2005). Numerical solution of partial differential equations (Second ed.). Cambridge University Press, Cambridge. Striwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations (Second ed.). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA.
Πεπερασμένα στοιχεία στις πολλές διαστάσεις
Κεφάλαιο 10 Πεπερασμένα στοιχεία στις πολλές διαστάσεις Σε αυτή την παράγραφο θα μελετήσουμε τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για τη διακριτοποίηση μιας διαφορικής εξίσωσης στις πολλές διαστάσεις. Πιο
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων
Κεφάλαιο 4 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα δύο σημείων Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι μια τεχνική για την κατασκευή προσεγγιστικών λύσεων μερικών και ολοκληρωτικών διαφορικών
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα δύο σημείων. Κεφάλαιο Διακριτοποίηση
Κεφάλαιο 3 Πρόβλημα δύο σημείων Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μεθόδο πεπερασμένων διαφορών για προβλήματα Σ.Δ.Ε. δεύτερης τάξεως, τα οποία καλούνται και προβλήματα δύο σημείων. Ο λόγος που θα ασχοληθούμε
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις
Κεφάλαιο 9 Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή ελλειπτική εξίσωση, στις δύο διαστάσεις. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων διαφορών
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας
Κεφάλαιο 5 Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών για την εξίσωση θερμότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή παραβολική εξίσωση, την εξίσωση της θερμότητας, στη μια διάσταση ως προς τον χώρο. Θα κατασκευάσουμε
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες διαφορές
Κεφάλαιο 2 Πεπερασμένες διαφορές Αυτό το κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στο αντικείμενο των πεπερασμένων διαφορών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Θα εισαγάγουμε ποσότητες που προκύπτουν από διαφορές
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες Διαφορές.
Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις
Κεφάλαιο Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις και τα αντίστοιχα προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών που θα συναντήσουμε στα επόμενα κεφάλαια. Επίσης, θα δούμε ορισμένες ιδιότητες και
Διαβάστε περισσότεραΗ ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN
Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΛΑΝΔΡΑΚΗ ΓΑΡΥΦΑΛΙΑ Επιβλέπων καθηγητής : Μακριδάκης Χαράλαμπος Περιεχόμενα Εισαγωγή Κεφάλαιο 1. Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN 1.1 Προκαταρκτικά 1.2
Διαβάστε περισσότεραMEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * *
MEM 253 Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * 1 Ένα πρόβλημα-μοντέλο Ροή θερμότητας σε ένα ομογενές μέσο. Ζητούμε μια συνάρτηση x [0, 1] και t 0 τέτοια ώστε u(x, t) ορισμένη για u t u(0, t) u(x, 0) = u xx, 0 < x
Διαβάστε περισσότερα2. Η μέθοδος του Euler
2. Η μέθοδος του Euler Ασκήσεις 2.5 Έστω a = t 0 < t 1 < < t N = b ένας διαμερισμός του [a, b]. Υποθέστε ότι ο διαμερισμός είναι ημιομοιόμορφος, ότι υπάρχει δηλαδή θετική σταθερά µ, ανεξάρτητη του N, τέτοια
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 14, 30 Απριλίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο (Ευκλείδειοι χώροι) 2. Βέλτιστες προσεγγίσεις
Διαβάστε περισσότερα1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό
1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και
Διαβάστε περισσότεραΕξίσωση μεταφοράς. Κεφάλαιο Μέθοδοι upwind και downwind
Κεφάλαιο 7 Εξίσωση μεταφοράς Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, την εξίσωση μεταφοράς, στη μια διάσταση ως προς τον χώρο και ως προς τον χρόνο. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 07, 2 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες. Η ανάλυση Cholesky 2. Νόρμες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26
Διαβάστε περισσότεραa n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 2. Σύντομες Λύσεις
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Quiz 2 Σύντομες Λύσεις Άσκηση 1. Βρείτε μία βάση και τη διάσταση, για τους διανυσματικούς χώρους M 3
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 09, 9 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Επαναληπτικές μέθοδοι 2. Θεωρία γενικών επαναληπτικών μεθόδων 3. Σύγκλιση
Διαβάστε περισσότεραApì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
Διαβάστε περισσότεραEukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata
EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0: Εισαγωγή
Κεφάλαιο : Εισαγωγή Διαφορικές εξισώσεις Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αλλά και οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) εμφανίζονται παντού στις επιστήμες από τη μηχανική μέχρι τη βιολογία Τις περισσότερες
Διαβάστε περισσότερα1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότερα= lim. e 1. e 2. = lim. 2t 3
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ, 6/06/017 Θέμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f(0, 0) = 0 και f(x, y) = x3 + y 3 x + y αν (x, y) (0, 0). (i) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (ii) Αν u
Διαβάστε περισσότεραf x 0 για κάθε x και f 1
06 4.2 Το Λήμμα του Uysoh το Λήμμα της εμφύτευσης και το θεώρημα μετρικοποίησης του Uysoh. Ο κύριος στόχος αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεμελιώδους αποτελέσματος γνωστού ως το Λήμμα του Uysoh.
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 3. Σύντομες Λύσεις
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Quiz Σύντομες Λύσεις Άσκηση. Δείξτε ότι η απεικόνιση u, v = u v + 5u v, όπου u = (u, u ), v = (v, v ),
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότερα> ln 1 + ln ln n = ln(1 2 3 n) = ln(n!).
η Διάλεξη: Άρρητοι αριθμοί Το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι το Q = { m n : m Z, n N}. αριθμός που δεν είναι ρητός λέγεται άρρητος. Ενας πραγματικός Ασκηση: Αποδείξτε ότι το άθροισμα και το γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία
33 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Ο εφαπτόμενος χώρος Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 33 34 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3: Οι εκδοχές p και hp της ΜΠΣ στη 1- διάσταση
Κεφάλαιο 3: Οι εκδοχές και της ΜΠΣ στη - διάσταση Μέχρι τώρα είδαμε την εκδοχή της ΜΠΣ (με γραμμικά πολυώνυμα βάσης) στην οποία η σύγκλιση επιτυγχάνεται με την εκλέπτυνση του πλέγματος δηλ 0 Κατά τη δεκαετία
Διαβάστε περισσότεραf(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)
Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:
KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[
Διαβάστε περισσότεραΓεώργιος Ακρίβης. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
Γεώργιος Ακρίβης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Γ. Α. (akrivis@cse.uoi.gr) Προβλήματα δοκιμής στην ΑΑ 19 Απριλίου 018 1 / 7 Προβλήματα δοκιμής Πρόκειται για απλές συνήθεις
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ. H ( Ω ). Αυτό επιβάλλει τη χρήση C πεπερασμένων. C ( Ω )). Άλλες προσεγγίσεις που αποφεύγουν τη χρήση C πεπερασμένων
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις οι οποίες προκύπτουν στη Μαθηματική Μοντελοποίηση πολλών φυσικών, χημικών, βιολογικών φαινομένων και σε ποικίλες θεματικές περιοχές όπως η Δυναμική των Ρευστών,
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους
Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραII. Συναρτήσεις. math-gr
II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαβάστε περισσότερα21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn
Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Αα) Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ 5 Έστω Α ένα υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραf(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).
Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:
Διαβάστε περισσότεραΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014
ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο
Διαβάστε περισσότεραu x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β 9 Ιουνίου, 07 Θ. αʹ) Αν το G είναι ένας τόπος, δηλαδή ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο στο
Διαβάστε περισσότερα(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής
Διαβάστε περισσότεραj=1 x n (i) x s (i) < ε.
Κεφάλαιο 5 Πληρότητα 5.1 Πλήρεις μετρικοί χώροι Ορισμός 5.1.1 (πλήρης μετρικός χώρος). Ενας μετρικός χώρος (X, ρ) λέγεται πλήρης (complete) αν κάθε ρ βασική ακολουθία (x n ) στον X είναι ρ συγκλίνουσα.
Διαβάστε περισσότεραΚλασική Ηλεκτροδυναμική Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραv y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 ΘΕΜΑ 1 Δίνεται ο πίνακας: 1) Να
Διαβάστε περισσότερα{F W t } 0 t T = σ(w k (s), s t, 1 k) L 2 ([0, T ])
Αναλυτικές και Αριθμητικές Λύσεις Υπερβολικών Στοχαστικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων μέσω του αναπτύγματος σε Wiener Chaos Ε. Α. Καλπινέλλη Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Σεπτέμβριος 2011 Εισαγωγή Μέσω
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (
Διαβάστε περισσότεραSugkèntrwsh tou mètrou sthn omˆda twn metajèsewn
Sugkèntrwsh tou mètrou sthn omˆda twn metajèsewn H mèjodoc thc kurt c j khc Συμβολίζουμε με την ομάδα των μεταθέσεων του συνόλου {, 2,..., N}, εφοδιασμένη με το συμμετρικό μέτρο πιθανότητας P N. Για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΓεώργιος Ακρίβης. Προσωπικά στοιχεία. Εκπαίδευση. Ακαδημαϊκές Θέσεις. Ηράκλειο. Country, Ισπανία. Λευκωσία, Κύπρος. Rennes, Γαλλία.
Γεώργιος Ακρίβης Προσωπικά στοιχεία Έτος γέννησης 1950 Τόπος γέννησης Χρυσοβίτσα Ιωαννίνων Εκπαίδευση 1968 1973,, Ιωάννινα. Μαθηματικά 1977 1983,, Μόναχο, Γερμανία. Μαθηματικά, Αριθμητική Ανάλυση Ακαδημαϊκές
Διαβάστε περισσότερα13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης
3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν
Διαβάστε περισσότεραh(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i
Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,
Διαβάστε περισσότεραΤο Θεώρημα Stone - Weierstrass
Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα πραγματικών συναρτήσεων
Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις
Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις - διαστάσεις Στις -διαστάσεις, η περιγραφή της εκδοχής hp της ΜΠΣ είναι αρκετά πολύπλοκη. Στο παρόν κεφάλαιο θα δούμε κάποια στοιχεία της, ξεκινώντας με
Διαβάστε περισσότεραM. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =
Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές
Διαβάστε περισσότεραV. Διαφορικός Λογισμός. math-gr
V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν
Διαβάστε περισσότερα6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι
36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται
Διαβάστε περισσότερα,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).
ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους
Διαβάστε περισσότεραX u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v
Κεφάλαιο 6 Το Θαυμαστό Θεώρημα Σύνοψη Στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύουμε ένα από τα δύο κεντρικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών το άλλο είναι το Θεώρημα των auss-bonnet. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό ως
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας
Διαβάστε περισσότεραx < A y f(x) < B f(y).
Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Ασκήσεις στα Κεφάλαια 5 & 6 1. Αυτή είναι ουσιαστικά η Άσκηση 5.2 (σελ. 119), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, < καλά διατεταγμένο σύνολο και έστω στοιχείο a A. Αποδείξτε
Διαβάστε περισσότεραAριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου
Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΜελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων σε Χώρους Sobolev
ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Γενικό τμήμα-τομέας Εφαρμοσμένων και Υπολογιστικών Μαθηματικών Διπλωματική εργασία Μελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων σε Χώρους Sobolev Λιαντράκη Σοφία Επιβλέπων καθηγητής: Κανδυλάκης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου ) Δίνεται ο πίνακας Α= 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 1998 Α 4 1 4) Δίνεται ο πίνακας Α= 0 1 0 0 3 α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. Είναι ο πίνακας Α διαγωνοποιήσιμος ; β) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων
7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 26/10/2017. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκσεις - 26/0/207 Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της
Διαβάστε περισσότεραΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n
Διαβάστε περισσότεραΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018 Αντικείμενο του μαθήματος είναι η μελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Μερική Διαφορική Εξίσωση θα συμβολίζουμε με (ΜΔΕ). Η ιστοσελίδα
Διαβάστε περισσότεραJe rhma John L mma Dvoretzky-Rogers
Kefˆlaio 2 Je rhma Joh L mma Dvoretzky-Rogers 2.1 Elleiyoeidèc mègistou ìgkou eìc kurtoô s matoc Ορισμός 2.1.1. Ελλειψοειδές στον R είναι ένα κυρτό σώμα της μορφής { } (2.1.1) E = x R x, v i 2 : 1, όπου
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 08, 5 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Νόρμες πινάκων 2. Δείκτης κατάστασης πίνακα 3. Αριθμητική κινητής
Διαβάστε περισσότερα1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης
ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη
Διαβάστε περισσότερα