Funkcije više varijabli

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Funkcije više varijabli"

Transcript

1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija

2 Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja koje se može postaviti za realnu funkciju dvije varijable jest pitanje domene, tj. utvrđivanje područja u ravnini R 2 na kojem je funkcija definirana. Često se pritom i skicira skup svih točaka domene u koordinatnom sustavu, jer sam eksplicitni zapis za domenu ne govori previše. Funkcije koje ćemo mi promatrati kompozicije su nekoliko elementarnih funkcija, npr. korjenovanja, potenciranja, logaritamskih funkcija te trigonometrijskih i njima inverznih arkus funkcija. Stoga ćemo se ukratko podsjetiti koje su domene tih funkcija. Pritom ćemo te funkcije promatrati kao funkcije jedne varijable. Naime, bitno je da se uoči uvjet koji mora vrijediti na argument funkcije koju promatramo, bila ta funkcija jedne ili više varijabli. Rješavanjem svih uvjeta dolazimo do domene zadane funkcije. (1) f(x) = x. Uvjet kojeg postavljamo je da je x 0, odakle i dolazimo do domene D(f) = [0, >. Uvjet pamtimo kao "podkorijenski izraz je nenegativan". (2) f(x) = 1 x. Jedini uvjet kojeg treba postaviti je x 0, pa je D(f) = R \ {0}. Općenito, funkcije potenciranja s pozitivnim cjelobrojnim potencijama f(x) = x k, k N nemaju uvjeta na domenu, pa je u tom slučaju domena čitav R, dok funkcije potenciranja s negativnim potencijama f(x) = x k, k Z imaju uvjet da je x 0 (zbog razlomka, jer npr. x 5 = 1 x = ( 1 5 x )5 ). Dakle, svu pažnju kod funkcija potenciranja cjelobrojnim potencijama treba usmjeriti samo na funkciju f(x) = 1 x. Uvjet kojeg pamtimo glasi: "razlomak je različit od nule". 1

3 (3) f(x) = log a x. Uvjet glasi: x > 0. Međutim, može se dogoditi da je zadana funkcija u kojoj logaritamska baza ovisi o funkcijskoj varijabli, kao npr. f(x) = log x x 2. U tom slučaju (što se baze tiče) moramo poštivati činjenicu da je baza strogo veća od nule i različita od jedinice, pa imamo uvjete x > 0, x 1. Dakle, kod logaritamske funkcije postoje dva uvjeta, koja pamtimo kao "argument je strogo pozitivan" i "baza je strogo pozitivna i različlita od jedinice". Dalje, poznati je da eksponencijalna funkcija kao inverzna funkcija logaritamske funkcije nema uvjeta na domenu, tj. da je za f(x) = a x (uz a > 0 i a 1!) domena jednaka čitavom R. (4) Kod trigonometrijskih funkcija, poznato je da funkcije sin x i cos x imaju za domenu čitav skup realnih brojeva, pa uvjeta na domenu nema. Međutim, kod funkcija tan x i cot x moramo obratiti pažnju na definiciju ovih funkcija, tj. na nazivnike: tan x = sin x cos x cos x, cot x = sin x, pa ćemo zbog (2) imati kod funkcije tan x uvjet cos x 0, a kod cot x uvjet sin x 0. (5) Kod arkus funkcija poznati su uvjeti na domenu koji je određuju. Nas će u zadacima zanimati samo funkcije arcsin x i arccos x. Za obje ove funkcije znamo da je domena dana s D(f) = [ 1, 1], tj. uvjet na x glasi x 1. Dakle, uvjet na izraz koji se nalazi pod arcsin ili arccos funkcijom možemo pamtiti kao "argument je po apsolutnoj vrijednosti manji ili jednak 1 ". Riješimo nekoliko primjera, ali sada određujući domenu funkcije dvije varijable. Primjer 1 Odredite domenu funkcije f(x, y) = x + 1 x + y i rješenje predočite grafički u ravnini. Rješenje: Najprije zbog "vanjskog" korijena moramo postaviti uvjet: (1) x + 1 x + y 0, a potom zbog "vanjskog" korijena (2) x + y 0. Prvi uvjet se rješava po slučajevima. Najprije napišimo x + y x+1. Imamo (a) ako je x + 1 < 0 (tj. x < 1), nejednažba nema rješenja (jer je s lijeve strane nenegativan, a s desne strane negativan broj). (b) ako je x (tj. x 1), možemo kvadrirati nejednadžbu, jer su obje strane pozitivne. Dobivamo x + y x 2 + 2x + 1, odnosno y x 2 + x + 1. Radi se o području odozgo omeđenom parabolom y = x 2 + x + 1 (a uključuje i samu parabolu). Rješenje prvog uvjeta možemo ukratko napisati kao y x 2 + x + 1 za x 1. Rješavamo drugi uvjet. Imamo y x, što grafički možemo predstaviti područjem ravnine omeđenim odozdo pravcem s jednadžbom y = x (područje uključuje i sam pravac). Konačno rješenje se dobiva presijecanjem područja dobivenih rješavanjem oba uvjeta. Kako u drugom uvjetu nema rješenja za x < 1, to "lijevo" od pravca x = 1 nema niti jedne točke iz domene. Međutim, za x 1 ("desno" od pravca x = 1) imamo uvjet y x 2 + x + 1, ali i uvjet y x, pa je domena skup svih točaka koje se nalaze "ispod" parabole y = x 2 + x + 1, a "iznad" pravca y = x (uključujući i te dvije krivulje). Pažljivim crtanjem i računom vidi se da se ove dvije krivulje sijeku upravo u točki s x koordinatom jednakom 1, pa rješenje izgleda kao na slici (vidi str. 3.). 2

4 Slika 1.1: Grafički prikaz domene funkcije f Primjer 2 Odredite domenu funkcije f(x, y) = (1 x2 )(1 y 2 ) xy i rješenje predočite grafički u ravnini. Rješenje: Kao i u prtehodnom primjeru, ovdje možemo postaviti dva uvjeta: (1) (1 x 2 )(1 y 2 ) xy 0, vezano uz "vanjski" korijen i (2) (1 x 2 )(1 y 2 ) 0, vezano uz "unutarnji" korijen. Riješimo najprije prvi uvjet: (1 x2 )(1 y 2 ) xy, imamo diskusiju: (a) Ako je xy < 0, s lijeve strane nejednadžbe imamo korijen (koji je uvijek nenegativan), a s desne strane strogo negativan broj, pa je u ovom slučaju nejednakost očito zadovoljena. No, rješavali smo u skupu xy < 0, što riješeno daje točke drugog (x < 0, y > 0) i četvrtog kvadranta (x > 0, y < 0). Točke koje leže na koordinatnim osima su zbog stroge nejednakosti isključene. (b) Ako je xy 0, obje su strane nejednadžbe nenegativne, pa možemo kvadrirati nejednadžbu. Dobivamo nakon sređivanja x 2 + y 2 1, pa se radi o krugu sa središtem u ishodištu i radijusom 1. Preciznije, u skup točaka koje čine rješenje uključena je i sama kružnica. Kako smo ovaj slučaj rješavali u skupu točaka koje zadovoljavaju nejednadžbu xy 0, vrijednit će to u prvom (x 0, y 0) i trećem (x 0, y 0) kvadrantu (ovog puta uključivši i točke koje leže na koordinatnim osima). Riješimo sada drugi uvjet. Ako nejednadžbu zapišemo u obliku (a) 1 x 2 0 i 1 y 2 0, što daje x 1 i y 1. Rješenje je dano kao {(x, y) 1 x 1, 1 y 1}, što je kvadrat stranice 2 sa središtem (presjecištem dijagonala) u ishodištu. Stranice su uključene. (b) 1 x 2 0 i 1 y 2 0, što daje x 1 i y 1. Rješenje je dano kao {(x, y) x 1 ili x 1, y 1 ili y 1}. Unija dva skupa dobivena pod (a) i (b) je rješenje drugog uvjeta. Konačno rješenje prvog uvjeta dano je kao dio unutar jedinične kružnice u prvom i trećem kvadrantu, odnosno kao cijeli drugi i četvrti kvadrant. Međutim, to rješenje moramo presjeći s rješenjem drugog uvjeta da dobijemo konačno 3

5 rješenje. Ono je na donjoj slici označeno svjetlosivo, uz napomenu da su sve rubne točke tog područja dio rješenja. Tamnosivi dio dolazi od rješenja prvog uvjeta i služi samo za orijentaciju. Slika 1.2: Grafički prikaz domene funkcije f Zadatak 3 Odredite domenu funkcije f: (1) f(x, y) = 2x + y + x 3 (2) f(x, y) = x + 2 x + y + 1 (3) f(x, y) = x + y x (4) f(x, y) = (x 2 + y 2 4)(9 x 2 y 2 ) ( Primjer 4 Odredite domenu funkcije f(x, y) = ln xy x y ). 1 Rješenje: Rješavamo dva uvjeta: (1) xy x y 1 > 0 xy x y > 1 xy x y > 1 (zbog logaritma) xy (2) x y 0 (zbog korijena) (3) x y (zbog nazivnika). Očito prvi uvjet uključuje i drugi, pa je dovoljno riješiti samo njega. Imamo dvije mogućnosti: (a) ako je x y > 0 množenjem s nazivnikom znak nejednakosti se ne mijenja, pa imamo xy > x y, tj. y(x + 1) > x. Ako je x + 1 > 0, dijeljenjem s tim izrazom dobivamo y > x x+1. Ako je x + 1 < 0, dijeljenjem dobivamo y < x x+1. (b) ako je x y < 0 dobivamo xy < x y, tj. y(x + 1) < x. Ako je x + 1 > 0, imamo y < x x x+1, dok za x + 1 < 0 imamo y > x+1. Još treba vidjeti što je s opcijom x = 1. Uvrštenjem u početnu nejednadžbu dobivamo y 1 y > y > 0 1 y > 0 y < 1. Pokušajte ovako izračunatu domenu funkcije prikazati u ravnini! Zadatak 5 Odredite domenu funkcije f: 4

6 (1) f(x, y) = ln (1 y + x 3) (2) f(x, y) = ln ( x 2 + y 2 4 y + x) (3) f(x, y) = ln (1 x y 2x) Primjer 6 Odredite domenu funkcije f(x, y) = sin(x 2 + y 2 ) + ln(4 x) + ln(4 y). Rješenje: Imamo sljedeće uvjete: (1) sin(x 2 + y 2 ) 0, zbog korijena (2) 4 x > 0, zbog logaritma (3) 4 y > o, zbog logaritma Uzimajući u obzir uvjete (2) i (3), rješavamo prvi uvjet: sin(x 2 + y 2 ) 0 (x 2 + y 2 ) [0, π] + 2kπ gdje k Z Tu je očito riječ o kružnim vijencima odgovarajućih radijusa, međutim, zbog uvjeta (2) i (3), uzimamo samo one unutar kvadranta oneđenog s x = 4, y = 4 Slika 1.3: Grafički prikaz domene funkcije f Primjer 7 Odredite D(f) funkcije f(x, y) = 1 log 2 x y i rješenje predočite grafički. Rješenje: U ovom zadatku osim diskusije po argumentu logaritamske i korjenske funkcije moramo uvjete postavljati i vezano uz bazu logaritamske funkcije, jer je ona ovisna o varijabli x. Imamo sljedeće uvjete: (1) 1 log 2 x y 0, zbog korijena (2) y > 0, zbog logaritma (3) x > 0 i x 1, zbog logaritma 5

7 Uzimajući u obzir uvjete (2) i (3), rješavamo prvi uvjet: log 2 x y 1 log x y 1 1 log x y 1 Sada moramo napraviti diskusiju po bazi: (a) ako je 0 < x < 1, logaritamska funkcija je padajuća, pa djelovanjem inverzne funkcije na gornje dvije nejednadžbe mijenjamo znak nejednakosti: x 1 y x. (b) ako je x > 1, logaritamska funkcija je rastuća, pa djelovanjem inverzne funkcije na gornje dvije nejednadžbe znak nejednakosti ostaje isti: x 1 y x. Zbog drugog i trećeg uvjeta radimo samo u prvom kvadrantu, i to isključivši zbog stroge nejednakosti točke koje se nalaze na koordinatnim osima, kao i bez pravca x = 1 (zbog baze). Opcije pod (a) i (b) govore da i u dijelu ravnine omeđenom pravcima x = 0 i x = 1, ali i onom omeđenom slijeva pravcem x = 1 rješenje predstavlja područje koje se nalazi između pravca y = x i y = 1 x. Rješenje uključuje i ove krivulje, a grafički je predstavljeno sljedećom slikom: Slika 1.4: Grafički prikaz domene funkcije f Zadatak 8 Odredite domenu funkcije f: (1) f(x, y) = log 2 y x 9 (2) f(x, y) = log x+y (x y 1) (3) f(x, y) = ln (y + x 2 ) ln (x y 2 ) (4) f(x, y) = x 2 9y 2 + ln ( x 2 + 9y 2 + 1) (5) f(x, y) = (6) f(x, y) = 8x 6y+x2 +y 2 log (xy) x 2 +y 2 4 x+y + ln (x 2 4) 6

8 Primjer 9 Pokažite da je domena funkcije f(x, y) = arcsin x+y+2 x+y+1 + 3x y + 2 prazna. Rješenje: Koristimo činjenicu da je domena arcsin funkcije dana s [ 1, 1], što ovdje postaje jedan od uvjeta koje moramo postaviti: (1) 1 x+y+2 x+y+1 1, zbog arcsin funkcije (2) 3x + 2 0, zbog korijena (3) 3y + 2 0, zbog korijena. Drugi i treći uvjet je lako riješiti, dobivamo x 2 3, y 2 3. Riješimo sada prvi uvjet: 1 x+y+2 x+y x+y x+y Vidimo da je x+y+1 0, što znači da imamo x+y +1 < 0, tj. y < x 1. Zbog toga pri množenju s nazivnikom prva nejednadžba mijenja znak nejednakosti, pa imamo 2(x + y + 1) 1 x + y y x 3 2. Dakle, konačno rješenje predstavlja područje određeno četirima nejednadžbama: y x 3 2, y < x 1, x 2 3, y 2 3. Iz treće nejednaždbe imamo x 2 3, što uvrštanjem u prvu daje y = 5 6 < 2 3, što je u suprotnosti sa zadnjom nejednadžbom. Odavdje slijedi tvrdnja: D(f) =. Do istog zaključka možete doći ako skicirate presjeke poluravnina koje predstavljaju rješenja gornjih nejednadžbi. Primjer 10 Odredite domenu funkcije f(x, y) = ln [π 2 4 arccos 2 x y ]. Rješenje: Postavljamo uvjete: (1) π 2 4 arccos 2 x y > 0, zbog logaritamske funkcije (2) 1 x y 1, zbog arccos funkcije. Rješavamo prvi uvjet: π 2 4 arccos 2 x y > 0 4 arccos 2 x y > π2 arccos 2 x y < ( π 2 )2 arccos x y < π 2 π 2 < arccos x y < π 2 S obzirom na to da je skup vrijednosti arccos funkcije dan s 0 arccos x y π, to je nejednakost π 2 < arccos x y uvijek zadovoljena. Međutim, moramo uzeti u obzir uvjet 0 arccos x y, pa sada imamo 7

9 0 arccos x y < π 2, što invertiranjem daje cos 0 x y > cos π 2 1 x y > 0. Vidimo sada da je ovaj sustav nejednadžbi "jači" od onog danom uvjetom (2), kojeg stoga nećemo niti rješavati. Rješavamo dakle do kraja uvjet (1), tj. njegove dvije nejednadžbe: (a) 0 < x y : radi se o točkama prvog (x > 0 i y > 0) i trećeg kvadranta (x < 0 i y < 0), isključivši točke koje se nalaze na koordinatnim osima (zbog stroge nejednakosti). (b) x y 1: ako je y < 0 imamo x y, a za y > 0 je x y. Dakle, ako se radi o trećem kvadrantu, rješenje predstavljaju točke koje zadovoljavaju nejednadžbu y x, a ako se radi o prvom kvadrantu, rješenje su sve točke koje zadovoljavaju nejednadžbu y x. Konačno rješenje možemo zapisati ovako: D(f) = {(x, y) x < 0, y < 0, y x} {(x, y) x > 0, y > 0, y x}. Napomena: Prema svim "parnim" korijenima postupamo kao s drugim korijenom, tj. zahtijevamo da argument bude nenegativan. ako se radi o neparnim korijenima, ne postavljamo uvjete, tj. argument je proizvoljan realan broj. Zadatak 11 Odredite domenu funkcije f: (1) f(x, y) = log 2 (x 2 + y 2 9) arccos x 2 2 (2) f(x, y) = arcsin [ 1 ( ) ] 2 x y x+y (3) f(x, y) = ln(4x 2 + 9y 2 1) + arcsin (x+y)2 1 (x+y) 2 +1 ( (4) f(x, y) = ln x y ) + arccos x 3y x+y 1.2 Parcijalne derivacije Parcijalne derivacije prvog reda Definicija Neka je f(x, y) funkcija dvije varijable. Ako y držimo konstantnim (npr. y = y 0 ), a x varijabilnim, onda možemo promatrati f(x, y 0 ) kao funkciju varijable x. Ako je ta funkcija diferencijabilna u x = x 0, onda vrijednost derivacije te funkcije označavamo s f x (x 0, y 0 ) i zovemo je parcijalna derivacija funkcije f po varijabli x u točki (x 0, y 0 ). Ponekad se piše i f x (x 0,y 0)f(x, y) ili f x f(x 0, y 0 ). Analogno definiramo i parcijalnu derivaciju funkcije f po varijabli y u točki (x 0, y 0 ), u oznaci f y (x 0, y 0 ), f y (x 0,y 0)f(x, y) ili f y f(x 0, y 0 ). Ako parcijalna derivacija funkcije f po varijabli x postoji za sve fiksne y = y 0 u svim točkama x = x 0 (x 0 i y 0 su takvi da je (x 0, y 0 ) iz domene funkcije 8

10 f), onda funkciju f f x danu s (x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) zovemo parcijalna derivacija funkcije f po varijabli x, u oznaci f x ili f x. Analogno definiramo i parcijalnu derivaciju funkcije f po varijabli y, u oznaci f y ili f y. Ove derivacije zovemo jednim imenom parcijalne derivacije prvog reda funkcije f ili skraćeno prve parcijalne derivacije funkcije f. Primjer 1 Izračunajte f x i f y funkcije f(x, y) = x 3 y + 2x 3 y 2, te nađite f x (1, 4) i f y (1, 1). Rješenje: Da bismo našli parcijalnu derivaciju funkcije f po varijabli x, promatramo gornju funkciju kao funkciju varijable x, dok varijablu y shvaćamo kao konstantu. Imamo f x (x, y) = 3x 2 + 6x 2 y 2 f y (x, y) = 1 + 4x 3 y. Da bismo izračunali vrijednost parcijalne derivacije po x ili po y u točki (1, 1), potrebno je samo uvrstiti ove vrijednosti u izraz za f x i f y, redom. Imamo f x (1, 4) = = 99 f y (1, 1) = ( 1) = 5. Pavilo za derivaciju kompozicije funkcija vrijedi i ovdje, kao što se može vidjeti u sljedećem primjeru: Primjer 2 Izračunajte f x i f y funkcije f(x, y) = arctan y x. Rješenje: Računamo: f x (x, y) = ( y f x( y x )2 x ) = 1 x 2 +y 2 x 2 y x 2 = x2 x 2 + y 2 y x 2 = y x 2 + y 2 f y (x, y) = ( y f y( y x )2 x ) = 1 1 x 2 +y 2 x = x 2 x2 x 2 + y 2 1 x = x x 2 + y 2. Zadatak 3 Izračunajte f x i f y sljedećih funkcija: (1) f(x, y) = 5x 3 y 2 9 (2) f(x, y) = e x 2y (3) f(x, y) = arcsin xy 2 (4) f(x, y) = x 4 sin xy 3 (5) f(x, y) = sin e x y (6) f(x, y) = 1 x 2 y 2 (7) f(x, y) = x 3 ln 1 + xy 3 5 (8) f(x, y) = 3x 5 y 7x 3 y 9

11 (9) f(x, y) = x+y x y (10) f(x, y) = y 3 2 tan 1 x y. Zadatak 4 Izračunajte vrijednosti f x i f y funkcije f(x, y) u danim točkama: (1) f(x, y) = 9 x 2 7y 3 u (3, 1) (2) f(x, y) = x 2 e xy u (1, 1) (3) f(x, y) = x 2 + 4y 2 u (1, 2) (4) f(x, y) = x 2 cos xy u ( 1 2, π) Parcijalne derivacije drugog reda S obzirom da su parcijalne derivacije po x i po y (ako postoje) i same funkcije, možemo (uz neka ograničenja koja nas ovdje neće zanimati) izračunavati njihove parcijalne derivacije, bilo po x bilo po y: Preciznije, za danu diferencijabilnu funkciju f i njene parcijalne derivacije (ako su one opet diferencijabilne funkcije) možemo računati: (1) parcijalnu derivaciju po x funkcije f x oznaka f xx ili 2 f x 2 (2) parcijalnu derivaciju po y funkcije f x oznaka f yx ili (3) parcijalnu derivaciju po x funkcije f y oznaka f xy ili 2 f y x 2 f x y (4) parcijalnu derivaciju po y funkcije f y oznaka f yy ili 2 f y 2. Ove derivacije zovemo jednim imenom parcijalne derivacije drugog reda funkcije f ili skraćeno druge parcijalne derivacije funkcije f. Napomena: Naravno, moguće je računati parcijalne derivacije drugih parcijalnih derivacija (tzv. parcijalne derivacije trećeg reda), pa i nastaviti ovaj postupak na računanje parcijalnih derivacija još viših redova. Međutim, nas to ovdje neće zanimati. Primjer 1 Izračunajte parcijalne derivacije drugog reda funkcije f(x, y) = x 2 y 3 + x 4 y. Rješenje: Najprije treba izračunati parcijalne derivacije prvog reda: f x (x, y) = 2xy 3 + 4x 3 y f y (x, y) = 3x 2 y 2 + x 4. Sada možemo izračunati sve četiri parcijalne derivacije: f xx (x, y) = 2y x 2 y f xy (x, y) = 6xy 2 + 4x 3 f yx (x, y) = 6xy 2 + 4x 3 f yy (x, y) = 6x 2 y. 10

12 Napomena: Primijetite da je u prethodnom primjeru f xy (x, y) = f yx (x, y), što je upravo tvrdnja Schwarzovog teorema. Naime, za dovoljno "lijepe" funkcije imat ćemo uvijek jednakost između "miješanih" parcijalnih derivacija, pa će u praksi biti dovoljno izračunati samo tri od četiri moguće parcijalne derivacije drugog reda. Zadatak 2 Ponovite zadatke 3 i 4, ali sada računajući sve parcijalne derivacije drugog reda. Uvjerite se u ispravnost tvrdnje Schwarzovog teorema na ovim primjerima! Parcijalne derivacije implicitno zadanih funkcija Često u praksi nailazimo na funkcije kod kojih nije moguće eksplicitno izraziti funkcijsko pravilo u terminima obiju varijabli. Npr. kod funkcije f(x, y) zadane implicitno s x 2 +f(x, y) sin(xyf(x, y)) = 0 nije moguće eksplicitno izraziti f(x, y) kao funkciju u varijablama x i y. U takvim izrazima često označavamo z := f(x, y) pa gornji izraz poprima oblik x 2 + z sin(xyz) = 0. Sada formalno ovaj izraz shvaćamo kao funkciju F (x, y, z) tri varijable x, y i z, iako je jasno da je z ovdje zapravo funkcija u varijablama x i y. Nas će prije svega zanimati kako u takvim izrazima naći parcijalne derivacije prvog reda i potom izračunati vrijednosti tih derivacija u zadanoj točki. U našim oznakama to znači da želimo pronaći z x i z y. Pri računanju parcijalnih derivacija vrijedi sljedeće pravilo: z x = F x F z, z y = F y F z. Primjer 1 Izračunajte prve parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) zadane implicitno s xz 2 + x 2 + 2x + y = 0. Rješenje: U našem slučaju je F (x, y, z) = xz 2 + x 2 + 2x + y 2 + 4, pa je F x (x, y, z) = z 2 + 2x + 2 F y (x, y, z) = 2y F z (x, y, z) = 2xz. Sada je prema gornjoj formuli f x (x, y) = z2 +2x+2 2xz f y (x, y) = 2y 2xz = y xz. Zadatak 2 Izračunajte prve parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) zadane implicitno s: (1) (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 = 1 (2) ln(2x 2 + y z 3 ) = x (3) x 2 + z sin xyz = 0 (4) e xy sinh z z 2 x + 1 = 0. Primjer 3 Izračunajte z yx (0, 0) ako je z = 11 x+y x+yz+2.

13 Rješenje: Iako na prvi pogled tako ne izgleda, z = f(x, y) je implicitno zadana kao funkcija u varijablama x i y. Sređivanjem dobivamo: z(x + yz + 2) = x + y zx + yz 2 + 2z x y = 0. Dakle, F (x, y, z) := zx + yz 2 + 2z x y, pa imamo F x (x, y, z) = z 1 F z (x, y, z) = x + 2yz + 2. Stoga je z x = z 1 x+2yz+2. Sada treba naći drugu derivaciju z yx. Da bismo je izračunali, trebat će nam i z y : F y (x, y, z) = z 2 1, pa je z y = z2 1 x+2yz+2. Nama će trebati z y (0, 0). Ako je x = y = 0, onda uvrštavanjem u početni izraz za z = f(x, y) imamo z = 0, pa je z y (0, 0) = 1 2. Sada računamo z yx (1, 1), što je parcijalna derivacija po varijabli y funkcije z x. No, kako z x nije eksplicitno izražena kao funkcija po x i y, već se s desne strane izraza za z x pojavljuje i sam z, morat ćemo pažljivo derivirati, shvaćajući z kao funkciju u varijabli y (jer parcijalno deriviramo po y). To znači da će se u izrazu za z yx pojaviti z y, kojeg smo gore već izračunali u točki (0, 0). Imamo: z yx = zy(x+2yz+2) (z 1)(2z+2yzy) (x+2yz+2) 2. Za točku (0, 0) (tj. x = 0, y = 0, z = 0, z y (0, 0) = 1 2 ) je z yx (0, 0) = ( 1) 0 2 2, tj. z xy (0, 0) = 1 4. Zadatak 4 Izračunajte druge parcijalne derivacije funkcije z = z(x, y) u točki T (1, 0) zadane implicitno s x 2 2x + z 2 4z + 1 = 0, z > 0. 12

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2. Ivana Baranović Miroslav Jerković

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2. Ivana Baranović Miroslav Jerković VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Poglavlje Integral. Neodreženi integral Neka je zadana funkcija f : (a, b) R: Funkcija F : (a, b) R za koju je F () = f() za svaki (a, b) naziva se

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

VVR,EF Zagreb. November 24, 2009 November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,

Διαβάστε περισσότερα

Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla

Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 9 Lokalni ekstremi funkcije više varijabla Poglavlje 1 Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla Denicija 1.0.1 Za funkciju f dviju varijabli

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA

5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

Domena kompozicije funkcija

Domena kompozicije funkcija Domena kompozicije funkcija Petar Žugec Fizički odsjek Prirodoslovno-matematičkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu Kompozicija dviju funkcija fx) i gx) u oznaci f g)x) definirana je na način: f g)x) fgx))

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE Matematika 6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE U nekom algebarskom, geometrijskom ili izikalnom zadatku mogu se pojaviti dvije vrste veličina; veličine koje imaju uvijek istu vrijednost i veličine koje mogu

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........

Διαβάστε περισσότερα

Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli

Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Franka Miriam Brückler f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. Dakle, za svaki par (x, y) u domeni

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Obi ne diferencijalne jednadºbe

Obi ne diferencijalne jednadºbe VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1. reda Obi ne diferencijalne jednadºbe Uvodni pojmovi Diferencijalne jednadºbe su jednadºbe oblika: f(,

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.

Διαβάστε περισσότερα

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije September 5, 008 Brojevna kružnica. Mjerenje kuteva pretpostavimo da se po kružnici jediničnog radijusa pomaknemo za kut t u smjeru suprotnom od kazaljke na satu II T(t) O t I

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija

Koordinatni sustav u ravnini. Funkcija Koordinatni sustav u ravnini Koordinatni sustav u ravnini Funkcija 4. 1. Koordinatni sustav u ravnini..................... Uvod U drugom smo poglavlju opisali koordinatni sustav na pravcu. Pridruživanjem

Διαβάστε περισσότερα

1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi

1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi 1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi Rješavanje nelinearnih jednadžbi sastoji se od dva bitna koraka: nalaženja intervala u kojem se nalazi nultočka (analizom toka), što je teži dio posla, nalaženja nultočke

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA 2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza 2.4.1.1 Riješeni

Διαβάστε περισσότερα