Modelovanje sistema automatskog upravljanja u prostoru stanja

Transcript

1 odelovaje tema atomatkog pravljaja protor taja. ocepcja protora taja atematčk model tema protor taja e predtavlja vd kpa derecjalh l derech jedača prvog reda. Ove jedače opj prošlo adašje bdće poašaje tema. U jedačama grš promeljve taja koje e deš kao mmala kp promeljvh pomatrao od vremea t t koj zajedo a zadatm lazom r određje taje tema bdćem vreme t t. ocept protora taja ma ekolko predot odo a klač prtp poebo ako e pomatra a apekta koršćeja dgtalh račara. Te predot :. Određvaje rešeja tema derecjalh jedača prvog reda je brže a dgtalom račar ego rešavaje odgovarajće derecjale jedače všeg reda.. Uprošćeo je matematčko opvaje koršćejem vektorke otacje.. Ukljčvaje početh lova tema je jedotavo.. ože da e prme a vremek promeljve eleare tohatčke dkrete teme. y ( y Objekat pravljaja r y m Slka Blok hema mltvarjablog tema Na lc je prkazaa jedotava blok-šema tema a otvoreom povratom pregom. Ulaze promeljve r e mog predtavt oblk lazog vektora odoo: (.. r Izlaze velče y y y m e mog predtavt a zlazm vektorom y ledećeg oblka: y y y (.. ym Vektor y kcje vremea pa e može reć da ( t y ( t predtavljaj -te kompoete odgovarajćh vektora tretk t. Sve mogće vredot koje vektor može zadobt za eko vreme t ( t o t T ormraj laz protor pomatraog objekta. Za početo taje objekta e matra taje početom tretk t. Izlaz vektor y je kcja laza početh lova. Ako e ovaj vektor pomatra vreme t ( to t T oda oba vektora možemo prkazat kao kcj vremea l t T y t. Ako e vede ov vektor koj ozačava vektor taja pomatraog ( ( T

2 tema da b o potao tvaro vektor taja mora bt pje lov da ormra kp jedača od vektora y jedozačo određje y za ( t ( t T. Tako ormra kp jedača e može apat a ledeć ač: ( t ( t (.. y( t g( t atematčk model tema razvjeoj otacj je: ( r ;t y g ( r ;t (.. ( r ;t y m g m ( r ;t gde (. g(. opštem lčaj eleare kcje a vektor je dmezje vektor je dmezje r vektor y je dmezje m. Ako je tem leara prethoda orma e može pat kao: ( t A ( t ( t B ( t ( t y( t C( t ( t D( t ( t (..5 Prva jedača z (.. l z (..5 e zove jedača taja a drga je jedača zlaza. Jedača taja tema je data ormaloj l ošjevoj orm tema derecjalh jedača prvog reda. U lčaj da e rad o tacoarom tem odoo o tem čj parametr otaj kotat tokom vremea razmatram lovma oda e prethoda matrča jedača taja matrča jedača zlaza mog pat kao: y ( t A( t B( t ( t C( t D( t Pr tome dmezje ovh matrca a kotatm koecjetma ledeće: (..6 matrca taja a A a matrca zlaza c C c m a a c cm matrca pravljaja b B b br br matrca laza/zlaza d D d m dr dmr Svak tem čje je poašaje mogće opat a koačm brojem promeljvh taja azva e tem a kocetram parametrma. Ovm e žel reć da vaka tačka razmatraom protor taja deše taje tema toj tačk jeoj eporedoj blz. Damčko poašaje ovakvh tema je mogće opat temom občh derecjalh jedača jer je vreme jeda ezava promeljva. Za razlk od prethodh tema potoj klaa tema kod kojh e kao ezava promeljva pored vremea pojavljje položaj protor. Damčko poašaje ovh tema e opje a temom parcjalh derecjalh jedača. Prlkom zbora promeljvh taja treba h brat tako da oe bd learo ezave. Nezave promeljve taja oe promeljve koje e e mog zrazt pomoć

3 preotalh promeljvh taja. Svaka promeljva taja e mora mat zčk terpretacj l mao. ao zčke promeljve e občo vajaj oe promeljve koje predtavljaj zčke promeljve odgovarajćh kladšta eergje. Iz ove čjece led da je broj promeljvh taja potreba da opše damk tema jedak l maj od broja eergetkh kladšta tem. Skladšte eergje prozvoljom tem predtavlja elemeat pooba da prm kladšt odgovarajć eergj. Tako a prmer ako je elemeat kodezator C jem odgovarajća eergja je apo kalem odgovara eergja C / a promeljva taja je / promeljva taja trja ma odgovara eergja v / promeljva taja brza v oprz odgovara eergja / promeljva taja pomeraj td. Damčke promee tema e mog objat prerapodelom traormacjom eergje zmeđ kladšta eergje po određem prrodm zakoma. Decja taja tema po R.E. alma- gla: Staje tema je matematčka trktra t t t koja koja adrž kp od ezavh promeljvh taja ( ( ( omogćava da e a baz pozath početh vredot ( za t t jedozačo opše odzv tema za t t. t gala laza tem Prmer. a Formrat matematck model protor taja za elektrco kolo a lc. b Ako e za zlaz velc voj trja kroz otpork R ormrat jedac zlaza. c Formrat jedac zlaza ako e za zlaze velce voje trje kroz zvore e e. C R e e Slka. Rešeje: a Prvo treba ozact reerete merove trja apoa:

4 . l c C R e e Slka. Sada e mog potavt jedace kol (po rhoovm zakoma: e d R R R e C R C R R C d C Dalje led: d RC d c e R ( RC dc e C R ( ao promeljve taja treba vojt promeljve koje e jedacama pojavljj a prvm zvodom ako je to kako mogce. Ocgledo je da ce ovde rešeje bt zbor C. Tako prethod tem jedaca potaje: d RC d C e R e R e C R c e e d C e e ( dc e C ( RC RC C ogce je ada ormrat jedace taja pr cem e za laze velce vajaj e e : d e d c C e C RC RC atrce taja pravljaja tema repektvo: A ; B C RC RC Napomea: Broj zavojca kodezatora RC kol odredje t broj promeljvh velca taja.

5 b Ako e kao zlaza velca voj trja kroz otpork dobja e jedaca zlaza: C d C ; e C R R e C C e R R R R e RC Re c Ako e za zlaze velce voje trje kroz zvore e e dobjaj e ledece jedace: C e R R Jedaca zlaza matrcoj orm je: e. C R R e Prmer. Za mehack tem prkaza a lc. ormrat matematck model protor taja. y D Slka. Rešeje. Jedaca kretaja mehackog tema je: d y dy D y d y D dy tj. : y Pr paj jedaca taja kort e pravlo po kome je red derecjale jedace jedak broj promeljvh taja. dy Za prv promeljv taja e vaja y. Tada je d dy Drga promeljva taja e vaja kao: 5

6 d y D dy D Tada je: y oaco za matematck model protor taja e dobja: D ; y [ ]... Odo zmeđ matematčkog modela tema vremekom komplekom dome Ako e razmatra mltvarjabl lear tem a kotatm koecjetma (tacoar tem jegova aalza e može vršt vremekom dome odoo protor taja l komplekom dome. U protor taja matematčk model tema je: ( t A( t B( t ( t ( (.. y( t C( t D U komplekom dome model mltvarjablog tema je zadat a: Y(W(U( (.. Ovde Y( U( komplek lkov odgovarajćh vektorkh promeljvh dok je W( matrca kcja preoa (mltvarjabla preoa kcja zmeđ pravljačkh promeljvh z U( zlazh promeljvh z Y(. Sada je ( w( wr ( ( ( ( w ( w W w wr (.. wm( wm( wmr ( gde je m dmezja vektora zlaza r je dmezja vektora laza a kcj preoa zmeđ prozvoljog -tog zlaza j-tog laza. wj( predtavlja Traormacja z vremekog komplek dome je jedozača jedotava. Prmeom aplaove traormacje a jedače taja zlaza z (.. z pretpotavk lth početh lova dobja e: X AX BU X Y ( ( ( ( ( I A BU( ( C( I A BU( DU( Y ( ( C ( I A B D U( (.. W (..5 Jedača (..5 predtavlja zraz za zračavaje mltvarjable matrce preoa tema. Traormacja z komplekog vremek dome je mogo teža z vše razloga. Prvo matematčk model protor taja adrž vše ormacja o tem ego kcja preoa što za poledc ma ejedozač traormacj. Drgo zmeđ mogo mogćh traormacja treba zabrat o koja obezbeđje ajmaj kp promeljvh taja korepodeth određeoj preooj kcj. Potoj vše potpaka za alažeje 6

7 takve l takvh (pošto h može bt vše kcja preoa mmale realzacje ek od jh će bt razmatra daljem tekt. Prmer. atematck model tema protor taja je d ; y [ ] Odredt kcj preoa tema. Rešeje. Fkcja preoa tema je odredea zrazom G( C[IA] - BD. [I-A] G( C[IA] - BD [ ] Prmer. atematck model tema protor taja je d Odredt kcj preoa tema. ; y [ - ].. Rešeje. Fkcja preoa tema je odredea zrazom G( C[IA] - BD. [I-A] G( C[IA] - BD [ - ]

8 .. atematčk model protor taja Prva kaoča orma (redo programraje opervabla kaoča orma Neka je data kcja preoa tema opšteg oblka (z pretpotavk a : Y( b b b b (.. U( a a a a Za lčaj da je red poloma brojoc m da važ lov m< tada koecjet b m b m b. Ako za koecjeat z meoc važ a tada je potrebo podelt ceo razlomak a a da b e potgao želje oblk kcje preoa. Sređvajem zraza (.. prmem verze aplaove traormacje dobja e: Y ( ( a a U( (b a b b b Y( (b b bu( b (a a a ay( y b {b a y [b a y b a y ( b a y ( ]} (.. Na oov poledje jedače e ormra gra toka gala za prv kaoč orm. b m b b b - - -m- y - -m -a - -a - -a -a -a -a -a m m Slka gra toka gala za prv kaoč orm 8

9 Neka promeljve velče taja deae kao zlaz z tegratora što e vd a lc Sada je mogće apat matematčk model tema matrčoj orm: a a a y [ ] [ b ]. b ab b ab b ab (.. (.. Drga kaoča orma (drekto programraje kotrolabla kaoča orma gra toka gala za ormraje matematčkog modela drgoj kaočoj orm može e dobt a dva ača. Prv ač je a oov graa toka gala za prv kaoč orm a drg je drektm programrajem. Prv ač. Na gra toka gala modela prvoj kaokoj orm potrebo je zvršt ledeće traormacje: Zamet meta laza zlaza. Obrt mer graa. Izabrat ov vektor promeljvh velča taja (za promeljve velče taja vajaj e zlaz z tegratora ormrat matematčk model. Drg ač (drekto programraje. Neka je data kcja preoa tema: Y( b b b b U( a a a (..5 Izraz za preo kcj može e traormat ledeć oblk: Y( a a a U( b b b b Uvođejem ove promeljve Z( mogće je prethod jedač zamet a ledeće dve jedače: U( Z( a a a (..6 Y( Z( b b b b (..7 Sada e za promeljve velče taja vajaj: X ( Z(; X ( Z( X (; X ( Z( X(; X ( Z( X (. Ako e matra da promeljve taja zlaz z tegratora mogće je ormrat gra toka gala za drg kaoč orm: 9

10 b m b m- b b a - -a- m m- b y -a m -a m -a -a -a Slka Gra toka gala za drg kaoč orm It gra toka gala b e mogao dobt a prv ač prmeom avedeh traormacja gra toka gala modela prvoj kaočoj orm. Na oov djagrama e ormra matrč model tema drgoj kaočoj orm: a a a a a y b b b b b b b b b b b( a a a a (..8 ( b a b (b a b (b a b (b a b b y [(b ab (b ab (b ab (b ab ] [ b] (..9

11 Ako tem e potoj drekta veza zmeđ laza zlaza a važ lov >m zraz (..9 potaje: y C [ b b b m ]. Prmer. Formrat matematck model protor taja: prvoj kaokoj orm (erjko programraje drgoj kaokoj orm (drekto programraje za tem cje je poašaje opao derecjalom jedacom Rešeje d y 8 d y dy 6 y d d d y / d - 8 d y d - dy - 6 y d y dy d - 8 dy - y [ - 6 y] - 8 y - y ( - 6 y y - 8 y - y ( - 6 y Gra toka gala za poledj jedac je prkaza a lc: / / y Na oov djagrama ajzgodje je kao koordate vektora taja vojt zlaze z tegratora (laz tegratore tada prv zvod promeljvh taja. Sada e mog apat ledec zraz: y d - 6y - 6 d - d - 8

12 Odoo matrcom oblk -8 d - -6 ; y [ ] Prv ac. Na oov graa toka gala prve kaoke orme e ormra gra toka gala drge kaoke orme tako što e promee merov vh graa a laz zlaz zamee meta. y Sada e mog apat ledec zraz: d d d y Odoo matrcom oblk d ; y [ ] Drg ac. Drektm programrajem. Formra e kcja preoa tema Y( U( 8 6 Z( Z( Y( ( Z( U( ( Promeljve taja e vajaj a ledec ac: X ( Z( X ( Z( X ( d 8 6 Z(

13 X ( d Z( X ( U( X ( 8X ( X ( 6 X ( d Y( Z( Z( Z( y U matrcom oblk je: d Odgovarajc gra toka gala je prkaza a lc ; y [ ] y Prmer. Formrat matematck model tema a dva laza dva zlaza protor taja ako m je damcko poašaje opao jedacama: y y y y y (y y Rešeje. Pole prmee aplaove traormacje a polaz tem jedaca dobja e: Y Y Y Y U Y Y Y U Y Y [Y (U Y ] Y (U Y Y Gra toka gala tema je prkaza a lc

14 - y - y - Na oov djagrama mog e pat jedace taja zlaza: y y y y y y y 6 y y Jedace taja zlaza matrcom oblk glae: 6 ; y..5. Jorda-ova kaoča orma Pr ormraj matematčkog modela oblk Jorda-ove kaoče orme tež e djagoalzacj matrce taja A. Djagoal orm matrce taja je mogće dobt amo lčaj kada v polov kcje preoa real prot. U protom može e otvart orma koja je amo blka djagoaloj. Prema tome potoje tr razlčte varjate ove kaoče orme od kojh će vaka bt poebo razmatraa. Prva varjata e javlja lčaj kada v polov kcje preoa real razlčt. Drg lčaj je kada e kcj preoa pojavljj real všetrk polov. Treća varjata e pojavljje lčaj kada e kcj preoa pojave kojgovao komplek polov. Slede op ovh kaočh orm.

15 I lčaj. Sv polov kcje preoa tema real prot. Neka je data kcja preoa tema aktorzovaom oblk: P( P( W( Q( ( ( ( (.5. Neka je tepe poloma P( maj od eka v kore poloma Q( real razlčt. Fkcja W( e može ako prmee Hevajdovog razvoja predtavt oblk zbra parcjalh razlomaka: W( (.5. Za prozvolja parcjal razlomak oblka važ: Y( U( Y(( U( / y y (.5. Na oov poledje jedače ormra e gra toka gala: y y Slka.5.. Gra toka gala zraza (.5. Gra toka gala za ormal Jorda-ov kaoč orm e dobja paralelm vezvajem egmeata oblka kao a lc.5.. što e može vdet a lc.5.. k k y k Slka.5.. Gra toka gala Jorda-ove kaoče orme 5

16 Promeljve velče taja određj e kao zlaz z tegratora. Nako toga je mogće ormrat matematčk model protor taja Jorda-ovoj kaočoj l ormaloj kaočoj orm: (.5. (.5.5 [ ]. k k k y II lčaj. Pojava realh všetrkh polova kcj preoa tema. Pomatra e aktorzova oblk kcje preoa: ( m r ( ( ( P( Q( P( W( (.5.6 U ovom prozvoljom oblk kcje preoa v polov real prot om pola koj je všetrkot reda m. Nako Hevajdovog razvoja preoa kcja e može predtavt zbrom parcjalh razlomaka oblka: r ( m r ( r r ( rm r ( rm ( ( W( (.5.7 Odgovarajć gra toka gala je prkaza a lc.5.. atematčk model protor taja a promeljvm velčama taja vojem kao a lc.5.. gla: rm rm r r r r r r rm rm r r (.5.8 6

17 y [ r r rm ] (.5.9 rm Prethod zraz predtavljaj Jorda-ov kaoč orm jedače taja jedače zlaza za lčaj tema a jedm všetrkm polom reda m. k k y rm r rm k rm k rm- rm- r r rm- r k r r k Slka.5.. Gra toka gala Jorda-ove kaoče orme 7

18 Prmer. Formrat matematck model protor taja Jorda-ovoj kaocoj orm za tem cje je poašaje opao derecjalom jedacom d y dy y d Rešeje. Formra e kcja preoa tema koja e odmah pše oblk me parcjalh razlomaka Y( U( Na oov poledje me ormra e gra toka gala tema prkaza a lc Promeljve taja zlaz z tegratora pa e mog pat ledece jedace d -6 d -5 y - 7 Odoo matrcom oblk d -6-5 ; y [ -7 ] -6-5 Prmer. Formrat matematck model protor taja Jorda-ovoj kaocoj orm za tem cje je poašaje opao derecjalom jedacom d y 6 dy 8 y d -7 8 d 6 Rešeje. Formra e kcja preoa tema koja e odmah pše oblk me parcjalh razlomaka Y( U( Na oov poledje me ormra e gra toka gala tema prkaza a lc y 8

19 - - - y - Promeljve taja zlaz z tegratora pa e mog pat ledece jedace d - d - y - - Odoo matrcom oblk d - - ; y [ - - ] Prmer. Formrat matematck model protor taja Jorda-ovoj kaocoj orm za tem cje je poašaje opao derecjalom jedacom d 5 y y y y 5 8d d d dy 6y 5 d d 85d 95d Rešeje. Formra e kcja preoa tema koja e odmah pše oblk me parcjalh razlomaka Y( U( ( ( Na oov poledje me ormra e gra toka gala tema prkaza a lc. Promeljve taja zlaz z tegratora pa e mog pat ledece jedace d - d - d - d 5-9

20 d 5-5 y 5 Odoo matrcom oblk - - d ; y [ ] y

21 earzacja elearh tema Poašaje realh damčkh tema e ajčešće opje elearm matematčkm modelom jer relacje zmeđ lazh velča velča taja velča zlaza takođe eleare. Utar vakog elearog procea potoje razlčte orme elearot. Razolkot oblka elearot dodato otežava potpak aalze ovakvh tema. Neleare mlacje ajčešće koršće potpak aalze elearh tema. Da b e potpak aalze a tm teze elearh tema pojedotavo vrš e jhova learzacja. earzacja je potpak zamee elearh matematčkh zraza a learm. Oov razloz za šrok prme learzacje : -za male varjacje taja tema oko rade tačke lear model je vrlo lča elearom. -lear matematčk model e rešavaj pomoć moćh merčkh račark podržah procedra koje pretežo z oblat leare algebre. -kort e prcp perpozcje koj omogćava jedtve geeralzova prtp aalz damke razlčth procea. -potpak aalze tablot kao kljče oobe vakog damčkog tema koja e zav od početh lova l poremećaja vod e a relatvo jedotav aalz karaktertčh vredot matrce taja tema. Potoj vše metoda learzacje elearh tema. Prva od ovh metoda je metoda harmojke learzacje. Harmojka learzacja e vrš rekvetom dome za j je karaktertčo da razmatra amo gal oove rekvecje dok e vš harmoc zaemarj. Drga metoda je metoda tattčke learzacje koja e vrš vremekom dome. U ovoj metod e realzova model zamejje ekvvaletm learm z pretpotavk da je tem podvrgt poremećajma koj maj ormal (Ga-ov rapodel. Treća metoda learzacje koja će ovde bt detaljo objašjea je metoda pertrbacje l metoda aprokmacje tagete. U ovoj metod elear zraz e zamejj learm okol rade tačke (radog režma koja ajčešće predtavlja tacoaro taje tema. Da b e ova metoda mogla kortt eophodo je da okol rade tačke relacje bd bar jedom derecjable odoo da maj jao određe taget a trajektorj radoj tačk. U matematčkom ml ovo zač da eleare relacje treba razvt Taylor-ov red pr čem e v vš člaov reda zaemarj. Naravo ovaj potpak je tačj što promee l pertrbacje taja oko rade tačke maje. Idej pertrbacoe learzacje je ajlakše objat dvodmezoalom protor gde e relacje zmeđ promeljvh mog gračk predtavt krvom tagetom datoj tačk. Ako e relacja zmeđ promeljvh ekog tema opše a elearom jedačom oblka ( pr tome deše rada tačka R ( (vd lk oda e ova jedača može razvt Taylor-ov red okol rade tačke R (. d d ( ( ( d! d

22 R d d d Slka. Gračk prkaz deje pertrbacoe learzacje Ako je learzacja ogračea a oblat okol rade tačke (male pertrbacje oda e kvadrat v otal člaov reda mog zaemart pa e z ( dobja d ( ( d odoo d k ( d Izraz ( pokazje lear zavot zmeđ vredot devjacja oko rade tačke (a e apolth vredot promeljvh. Gore zvede potpak e može radt za lčaj mltvarjablog elearog tema. Gračk prkaz tada je mogć jer e rad o trajektorj - hperpovrš hperprotor dok tageta ma orm tagete hper-rav. Ako e pretpotav da je matematčk model elearog damčkog tema dat a temom derecjalh jedača: ( ;t y g ( ;t r r ( ( ;t y g ( ;t r m m r oda e potpak learzacje može ltrovat a -toj derecjaloj jedač tog tema. Ako e prme potpak razvoja Taylor-ov red -te jedače oblka ( ( t ( t ( t ( t t (5 r dobja e ledeća jedača (6 z koje kljče člaov všeg reda. ( r (6 j j k k j k j k Pošto e learzacja vrš okol rade tačke koja je občo tacoara tačka može e vojt da važ. Jedača (6 e može tada pat ledećoj orm: (7 r r Uvođejem mee koecjeata oblka:

23 r ;k j ; k k b j j a (8 dobja e već dobro pozata orma jedača taja learog tema kojoj koecjet predtavljaj elemete matrce taja A matrce pravljaja B repektvo. j a k b Prema tome važ: ;B A U razvjeom oblk matrce A B glae: A r r r B Stem elearh algebarkh jedača koje opj zlaz tema može bt oblka: ( ( ( ( ( t t t t g t y (9 Ako e prme potpak razvoja Taylor-ov red zaemare člaov všeg reda za -t jedač zlaza tema ( dobja e zraz: j j j j g y y ( Jedača ( e može apat oblk: g g y y y ( oecjet oblka j g j c j ;m; elemet matrce zlaza tema C. Prema tome matrca zlaza tema je: g C Nako zvršee learzacje može e ormrat matrča orma matematčkog modela tema protor taja. ( ( ( t B t A t ; ( t C y ( oačo potrebo je još jedom aglat važot pravlog zbora rade tačke za koj e vrš learzacja. Ova čjeca dobja poeb važot ako e za da elear tem mog mat vše tacoarh taja pa rezltat aalze tema zbora rade tačke e e vod amo a alažeje tacoarog taja već zbora ajpovoljjeg međ ekolko mogćh. Prmer. Dat je matematčk model elearog tema atomatkog pravljaja:

24 e t t ; ; co l Izvršt learzacj elearog modela okol rade tačke zadate a. Rešeje:. co l e t t (t. Ovo je matematčk model elearog tema protor taja. Ako e zvrš learzacja okol tačke određee a dobja e learzova model: (. B A α δ δ δ A B - zaemare člaov Taylor-ovog reda. ( α lt t t ( co t t t ( e t ( A e t

25 B e t U okol tačke dobjaj e ledeće vredot matrca A B: A t (lt e l e t B t (lt e t co t t e t earzova model tema je: t (l t e t co t t t (l t e l t. Prmer atematčk model tema atomatkog pravljaja je dat ledećm temom derecjalh jedača drgog reda: θ θ θ r r r r k r r ( Izvršt learzacj okol rade tačke: ; ; ; ;r r ω θ θ. Rešeje: Ovakav tem je orm protora taja odoo e zadovoljava ošjev orm tema derecjalh jedača. Zato e vajaj ove promeljve taja a ledeć ač: r ; ; r θ ; θ Zameom ovh ozaka jedače ( dobja e ov tem jedača. (Zbog kraćeg paja daljem tekt će bt zotavljeo. 5

26 : : k : : ( Sada e prelaz a learzacj tema okol rade tačke: ; ; ; ; ω Oa je određea a oov rade tačke zadate potavc problema. k ( ( Sled zamea početh vredot zraze ( (: ω ω ω k A ; B Sada e može apat jedača taja tema matrčom oblk: ω ω ω k 6

27 Prmer Zadat je matematčk model elearog tema atomatkog pravljaja oblka: t ( t ( t ( e ; y Izvršt learzacj matematčkog modela okol rade tačke: co ;. l l Rešeje: Prema opštem obrac led: e e A A co l e l co l e co l l e B co l e co co l co l B 7

28 y C y y [ co ] C Sada e matematčk model tema može apat matrčom oblk protor taja: AB; yc. 8