4. STRUKTURNI BLOK DIJAGRAMI SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVQAWA

Transcript

1 48 4. STRUKTURNI BLOK DIJARAMI SISTEMA AUTOMATSKO UPRAVQAWA Jeda oblk matemat~kog modela tema predtavqa trktr blok djagram a kome pokazae glave promjeqve tema, veze zme th promjeqvh fkcje preoa kompoet tema. Svak elemeat l grpa elemeata e predtavqaj jedm blokom kome e prdr`je odgovaraj}a fkcja preoa. Ljama zme blokova e prkazj whove me obe terakcje. Strelce a ljama oza~avaj mjerove tokova gala formacja od jedog elemeta do drgog. Krgov predtavqaj matore - elemete koj formraj razlk l zbr dvje l v{e promjeqvh. Korte} avedeo predtavqawe te zaj} fkcj preoa vakog dam~kog elemeta veze a drgm elemetma e mo`e predtavt kompleta dam~k tem. Ovako predtavqe tem mo`e da formra relatvo lo`e trktr koja adr` v{e lokalh povrath prega ve} broj vawkh djelovawa. Ma kako bla lo`ea po~eta trktra mo`e e vet kokretm l~ajevma e eke oove trktre prklade za kokret potreb. Korte} oova pravla algebre fkcja preoa ove traformacje e mog jedotavo realzovat. U Y ± YU z t t ± t Sl.4. z z zttt Pravla algebre fkcja preoa jedotava jaa ama po eb pa }e amo bt avedea aredoj tabel bez poebh dokaza.

2 49 Tabela 4. Oova pravla algebre fkcja preoa Pravlo Po~et djagram Ekvvalet djagram Serjka veza Jeda~a Paralela veza ± ± ± Pomjerawe ta~ke graawa pred bloka Pomjerawe ta~ke graawa za bloka Pomjerawe matora bloka za ± z z ± ± z Pomjerawe matora pred bloka z ± ± z ± z Traformacja povrate prege m H ± H ± H Pomjerawe ta~ke graawa pred matora ± z ± ± z ± z Pomjerawe ta~ke graawa za matora ± ± z m z ± z Komtacja gala ± ± ± ± z z z z z ± ± z ± z ± z

3 50 U qede}m prmjerma korte} oove traformacje blok djagrama odredt fkcje preoa od laza R do zlaza Y za date teme. Prmjer 4. R E W U W Y H H H Sl.4.. Za tem a povratom pregom dat blok djagramom a Sl.4.. a oov defcje fkcje preoa vrjede relacje Y W E 4. R E W Y Y H Y 4. Y H Sl.4.. gdje je W - fkcja preoa drekte grae, H - fkcja preoa kola povrate prege. Blok oza~e kr`}em predtavlja dkrmator. To je elemeat kojm e formra razlka l zbr-mator dvj l v{e promjeljvh. Prema tome je gal gre{ke odre e a: E R - Y 4. Kombj} 4., dobja e: E R 4.4 WH W Y R 4.5 WH gdje je WH - fkcja povratog preoa tema. U l~aj da e rad o tem a poztvom povratom pregom {to je oza~eo a zakom "" a Sl.4.. dobja e: E -WH R Y W -WH R Dakle fkcja preoa tema zatvoreoj prez l.4... je: a fkcja preoa odo a gre{k E je: W Z Y R W WH E W E R WH.

4 5 Korte} gore zvedee relacje blok djagram a Sl.4.. e mo`e pojedotavt da e ogovaraj}e lokale povrate prege zme R E W Y W promjeqvh E U W H W H tako e zme U Y zamjee blokovma a odgovaraj}m fkcjama H preoa kao a l.4.4. Kako je fkcja preoa Sl.4.4. tema kojeg ~e v{e kakado erjk vezah elemeata jedaka prozvod fkcja preoa pojedh kompoet oda je fkcja preoa drekte grae R E WW Y kola a Sl.4.4. kao oa a Sl.4.5. Ovo za~ da je blok - WH WH djagram a Sl.4.4. ekvvaleta oom a Sl.4.5. Na kraj, korte} aprjed H zvedeo za fkcj preoa tema zatvoreoj prez Sl.4.5. dobjamo: W Z Y W W. R -W H W H W W H Prmjer 4. H R W W W Y H W 4 Sl.4.6. Na~ pojedotavqvawa blok djagrama je jedoza~a. Ovdje je zabra jeda a~ kojm e `el ltrovat potpak traformacja blok djagrama. H R W W W Y H H W 4 Sl 4 7

5 5 Traformacje a Sl prkazae potpo, pa je eophodo kometarat vak korak poebo. H R W W W H W Y H W 4 Sl.4.8 H R W W W H W Y H /W W 4 Sl.4.9 H R W W W W H Y H /W W 4 Sl.4.0

6 5 R W W W W H W W H W H H /W Y W 4 Sl.4. R W W W W H W W H Y H /W W 4 Sl.4. R WWW W WH WH WWH Y W 4 Sl.4. Na oov Sl.4. je jao da je fkcja preoa tema odre ea a : W Z Y 4 R W W W W -W W H W H W W H

7 54 5. FREKVENCIJSKE KARAKTERISTIKE Kao {to je pozato z Frjeove aalze, vak gal defa a vremekom terval [ t 0,t f ] e mo`e perod~o prod`t predtavt learom kombacjom h kompoet a frekvecjama 0,,,... gdje je 0 f, 0 f 0 f 0 f π / t f t 0 fdametala kr`a frekvecja. Kod learh tema je mog}e kombovat odzve a pojede kompoete a taj a~ dobt kpa odzv. Iz ovog razloga, pretpotavmo da a laz tema a fkcjom preoa djelje pobda oblka t A t ϕ, t 0 gdje A,, ϕ ampltda, kr`a frekvecja po~eta faza laza. Laplaova traformacja ovog laza je data a coϕ ϕ U A Komplek lk zlaza je odre e a Y U Ako pretpotavmo da je polom meoc fkcje preoa oblka A a a... a0, da ve le ovog poloma jedotrke bez gbtka op{tot daqh zvo ewa, mog}e je de tra zraza za Y razvt parcjale razlomke K Y gdje j, j le faktora, a koefcjet K,..., odre e prema K lm Y,,..., Prema tome, za koefcjet K e dobja odoo K lm j j Y lm j j ϕ π A j e A coϕ ϕ j j j K Ovdje je j j pa e mo`e predtavt oblk a koefcjet K kao j j e j arg j jarg j ϕ π A j e K Za koefcjet K e dobja kowgovao- kompleka vrjedot od K je racoala fkcja kompleke promjeqve, to jet K jarg j ϕ π A j e Uvr{tavawem ovoga zraz za komplek lk zlaza Y korte} verz Laplaov traformacj a kraj dobjamo zraz za odzv tema a harmojk pobd oblk

8 55 t jt t K e K e K e jt, t 0 Ovaj odzv e atoj od prelazh kompoet kompoete tacoarog tawa. Ako v polov fkcje preoa a egatvm realm djelom tabl tada dobjamo lm t Otda je tacoarom taw odzv dat a t lm t K K e t 0 jt e K t Uzmaj} obzr zraze za K K mamo t A j t arg j ϕ Dakle, tacoarom taw e dobja harmojk odzv te kr`e frekvecje koj ma laz t a tem a fkcjom preoa, ampltde odre ee a A A j po~ete faze ϕ arg j ϕ Potrebo je aglat da e ovakav odzv tacoarom taw dobja za tem koj ma ve polove a polo`ajem ljevoj polov kompleke -rav. Za zra~avawe zlaza tacoarom taw dovoqo je pozavat fkcj j j,0 koja e azva frekvecjkom fkcjom tema, a wez djagram komplekoj j rav ampltdko-fazom karaktertkom tema. Treba mat vd da e ova karaktertka dobja a oov pozavawa A j, 0 < ~j prkaz predtavqa ampltdk ϕ arg j, 0 < ~j prkaz predtavqa faz frekvecjk karaktertk. Za egatve vrjedot kr`e frekvecje ampltdo-faz djagram je metr~a odo a real o Sl.5.. Frekvecjka karaktertka e tako e mo`e predtavt oblk: j U jv. Za razlk od fkcja A, ϕ fkcje U, V emaj jaa fz~l mao glavom e korte za lak{e graf~ko predtavqawe j. jv p 0 e jt ± ϕ 0 U 0 0 U f 0 V 0 Α 0 Sl.5. 0

9 56 5. BODEOVI DIJARAMI Bodeov djagram e atoje od parova djagrama. Jeda od ovh djagrama prkazje zavot ampltdke, a drg faze karaktertke tema od kr`e frekvecje. Uob~ajeo e ove karaktertke prkazj fkcj log, gdje je baza logartma 0. Ovo omog}ava prkazvawe zavot poja~awa labqewa fazog pomjeraja tema {rokom opeg frekvecja. Dakle, jedca a apc ovh djagrma je dekada, koja za~ deetorotrk razlk dvj frekvecja, odoo za blo koje, za dekad ve}a frekvecja je 0, a za dekad mawa je 0.. Ampltdka logartamka karaktertka e mjer decbelma [ db], to jet L 0log j [ db] Ovo ma predot za vrlo velke za vrlo male vrjedot j, kada e korte odgovaraj}e aprokmacje za 0log j ~weca da e ampltdka logartamka karaktertka kakado povezah tema dobja jedotavm mrawem th karaktertka pojedh djelova. Faza karaktertka e mjer radjama l tepema. Softverk paket kao {to je MATLAB omog}avaj zra~avawe crtawe Bodeovh djagrama. Me tm, potoje jedotava pravla koja omog}avaj brzo kcrawe ovh djagrama. Za ovo je potrebo da fkcja preoa bde data faktorzovaom oblk, tj. kao qede}em l~aj Tada je m k K β α L 0log K 0k log m 0log β j 0logα j m π ϕ arg j arg K k arg β j arg α j Dakle, Bodeov djagram e dobjaj jedotavm mrawem djagrama za pojede faktore fkcj preoa. Om toga, za pojede faktore e korte aprokmacje koje e zvode a baz qede}h ~weca: o Za faktor K e dobja ampltdk djagram koj je horzotala lja a vo 0 log K [db], a za faz horzotala lja a vo - π [rad], K<0, odoo a 0[ rad], za K>0. Prmjer 5. K K j K U Re j K V Im j 0 V A U V K ϕ arctg U L 0 log A 0 log K 0 Ampltdo-faza frekvecjka karaktertka je data a Sl.5. a logartamke ampltdka faza a Sl.5..

10 57 jv L 0logK K U log 0 Sl.5. ϕ 0 log Sl.5. o Za faktor k ampltdk djagram je prava lja a trmom 0k [ db / dekad] koja prolaz kroz apc 0[ db ] a, dok je faz pomjeraj jedak π / rad. Promjer 5. k- k [ ] j j π U 0 V A ϕ L 0 log 0log Za k<0 karaktertke zgledaj kao a Sl.5.4 Sl.5.5. L jv -0 k [db/dec] log 0 U ϕ Prmjer 5. k U 0 0 j V Sl.5.4 j L 0 log 0log A 0 - k π/ π ϕ Sl.5.5 log

11 58 Za k>0 a Sl.5.6 Sl.5.7. predtavqe djagram ovh karaktertka. 0 jv 0 U L 0k db/dec log Sl ϕ kπ/ log Sl.5.7 o Faktor T k, T R odgovara ampltdk Bodeov djagram koj e mo`e aprokmrat a qede} a~: U opeg frekvecja kome je T << 0logTj 0log 0[ db], to jet za ke frekvecje NF, ovo je horzotala lja koj mo`emo azvat NF amptota. Kada je T >> k0logtj k0log T [ db], to jet za voke frekvecje VF, ovo je prava lja a trmom k0[ db / dekad] koja prejeca apc 0 [ db], a / T koj mo`emo azvat VF amptota. Kada je faktor a, aa j a, tada faz djagram odgovara gl komplekog broja a realm djelom - a, a magarm djelom jedakm a. Napomea: Kada je fkcja preoa oblka odoa dva poloma po komplekoj promjeqvom ~j koefcjet real, tada ako potoj faktor a, aa j a, tada potoj faktor a -j a. Dakle, ako e rad o faktorma koj odgovaraj kowgovao-komplekm lama, tada Bodeov ampltdk djagram za ovaj par faktora ma VF amptot a trmom k 40 log a [db], odoo - k 40log a [db] za l~aj kowgovao-komplekh polova fkcje preoa. Najve}a odtpawa amptotkh od ta~h djagrama e pojavqj a takozvam prelomm frekvecjama gdje e tvar prejecaj amptote amltdkh Bodeovh djagrama. Ako e zahtjevaj ta~je vrjedot frekvecjkh karaktertka za frekvecje okol prelomh, tada e mo`e zvr{t zra~avawe th karaktertka za pojede ~laove z zraza za L ϕ koj ajv{e doproe tm razlkama klad tm apravt odgovaraj}e korekcje. Drga mog}ot je da e korte dat zraz za ta~o zra~avawe djagrama za pojede frekvecje. Prmjer 5.4 T

12 59 ϕ arctgt T A T T V T U Tj j 0 0 log log T L Bodeov djagram dat a Sl.5.8. /T Sl db/dec Prmjer5.5 T ϕ arctgt T A T V U jt j T 0 0 log log T L Bodeov djagram dat a Sl.5.9.

13 60 /T 0 db/dec Sl.5.9 Prmjer 5.6 ς ς j j ς ϕ ς ς ς ς arctg A V U 0 0 log log ς L Za l~aj ζ0. Bodeov djagram dat a Sl logζ -40 db/dec Sl.5.0.

14 6 Napomea: Term emmalo faz e kort za takve teme koj maj le /l polove deoj -polrav. Ovo je jedotavo ltrovat a prmjer tema prvog reda dath fkcjama preoa a0 α a0, 0 > 0, α > 0 α a Oba tema maj jedake ampltdke frekvecjke karaktertke a0 j j α al m faze karaktertke razlkj odre ee prema arg j arctg arctg a0 α arg j π arctg arctg a0 α Dakle, za t vrjedot kr`e frekvecje drgom tem e dobja po apoltoj vrjedot ve}a faza karaktertka ego za prv tem a fkcjom preoa. Otda prozlaz ovaj term emmalo faz za ve teme koj maj le polove deoj polov - rav. 5. FILTRIRAWE Za jeda deal poja~ava~, frekvecjka karaktertka je data a j K,, to jet vaka frekvecjka kompoeta prolaz kroz tem a kotatm poja~awem bez fazog pomjeraja. Me tm, v fz~k tem re aj maj koa~ brz a kojom mog reagovat a ek pobd, pa otda ljed da j K,, e mo`e bt frekvecjka fkcja za reale teme. Drgm rje~ma, real tem razl~to fltrra prop{ta laze a razl~tm frekvecjama. U tom ml je ob~ajeo da e razlkj tr opega frekvecja: Prop opeg, kojem e ve frekvecjke kompoete prop{taj a prbl`o tm poja~awem labqewem a fazm pomjerajem koj je aprokmatvo proporcoala kr`oj frekvecj date kompoete Neprop opeg, kojem e ve frekvecjke kompoete e prop{taj, to jet kome je j zaemarqvo male vrjedot odo a frekvecjk ampltdk karaktertk z propog opega Prelaz opez, koj zme prethodo defah opega. Treba prmjett da jeda tem mo`e mat v{e proph eproph opega. Ove defcje e tradcoalo korte fltrma kao: fltar propk kh frekvecja NF, propk opega, epropk opega, propk vokh frekvecja VF. U tom ml e def{ vel~e: o ra~a frekvecja za koj je j / gdje e def{e a: - 0 za NF epropke opega - za VF fltre gr gr

15 6 - makmala vrjedot od j propom opeg, za propke opega. o Prop opeg B w, je mjera {re opega frekvecja. Stem koj ma kotat vrjedot ampltdke karaktertke za ve frekvecje e azva ve-prop fltar. Kao tp~a prmjer ovoga je tem ~tog vremekog ka{wewa. Stabla tem a racoalom fkcjom preoa oblk p p K p p je prmjer avedeog fltra Izobl~ewa kvaltet reprodkcje Kada tem ma edeal frekvecjk karaktertk ka`emo da t o zobl~ewa. Da b e opala razl~ta zobl~ewa koja re}emo prak, pomatrajmo gal ft dat a f t f A t ϕ Recmo da je ovakav oblk lazog djelovawa a ek tem. Ka`emo da tem kvalteto reprodkje ovaj gal ako e ampltde vh kompoete poja~avaj labe prbl`o za t faktor ako ve kompoete zaka{wee za to vrjeme. Ovo zahtjeva da bd zadovoqe lov: j,,..., f 0 arg j k0,,... f U ovom l~aj oblk gala a zlaz }e bt kao oog a laz amo zaka{we za k 0. Kada jeda od lova je pwe, oblk zlaza e razlkje od oblka ft, ka`emo da tem o zobl~ewa. Mog potojat ampltdka, faza l jeda drga zobl~ewa, ve} prema tome koj od aprjed avedeh lova pwe. Prema prethodm defcjama ma}emo zaemarqva zobl~ea ako ve frekvecje kompoet gala ft dobro tar propog opega tema. Treba prmjett da tem a ~tm vremekm ka{wewem e o zobl~ewa, dok ve prop fltar o amo faza zobl~ewa, koja zaemarqva a NF. U prmjerma acrtat ampltdo-faze frekvecjke karaktertke dam~kh elemeata dath fkcjama preoa. Prmjer 5.7 T T - Za j je j Rej ji mj j e Imj argj arctg Rej jargj, j Tj - -Tj - - jt T - T jt -. Tj - - -Tj T T T

16 6 0 /T Sl.5. jarctgt T e j-π arctgt j j -arctgt e π T e Prmjer 5.8 T - T

17 64 T 0 Sl.5.. Prmjer 5.9 T K T Fkcja preoa ma jeda pol koordatom po~etk. j ab: ρe θ, ρ 0, 0 θ π / jθ K - jθ lm ρ e lm jθ e ρ 0 ρ 0 ρ e Za j, 0 p p mamo - jπ/ - jπ/ lm j lm K e e 0 0 K π π - j - j lm j lm e 0 e b 0 j ρe jθ Sl.5. "" a σ j - j-j T -j T - T T - K T T T T - T j T T T lm j K[-T T - j ] 0

18 65 Imj 0, pr 0 T T Za,0 ] ] dobje e kowgovao kompleka vrjedot od j pr ~em je [ 0, [ pa je taj do krve metr~a odo a real o. R Prmjer 5.0 Sl.5.4 Nacrtat amltdo-faz ferkvecjk karaktertk letjelce ~ja je fkcja preoa v kδ T 0 T ξt gdje parametr letjelce polje 90 ekd leta, maj lede}e vrjedot: v k δ 4.0, T 0.4, T 0., ξ R je{ewe: Za j mamo v kδ T 0 j -j- T - jξt j [- T 4ξ T ] ξ ξ T 0 - T - T - j- T T 0T j kδ 4 5 T 4ξ T - T j U jv v U V Tabela U V

19 66 R Sl.5.5 U prmjerma acrtat logartamke ampldtke faze frekvecjke karaktertke za date fkcje preoa. Prmjer Uvr{tavaj} : j dobjamo Prelome ferkvecje : j j 0j j 0.005j ,, 0.5 4, Zbog pregledot e prepor~je crtawe logartamkh karaktertka terval kr`h ferkvecja d, g gdje je d za dekad mawa od ajmawe, a g ve}a od ajve}e prelome ferkvecje. Logartamka ampldtka karaktertka je data a : L 0 log j 0 log000 0 log.-0 log - 0 log 0.005, log 0 a faza karaktertka zrazom ϕ argj arctg0.5 - arctg0 - arctg - arctg Vd e da je kpa logartamka ampldtka karaktertka data mom karaktertka koje odgovaraj pojedm abrcma zraz za L: L 0 0 log000, L 0log 0.5, L -0log 0,

20 67 log log. L -0,L Whove amptotke logartamke karaktertke date a l.5.6 L 0 L L L L 4 Sl.5.6. Tabela ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Faze karaktertke koje odgovaraj abrcma zraz za ϕ ϕ arctg0.5, ϕ arctg0, ϕ arctg, ϕ 4 -arctg date tabelom 5. prkazae a Sl.5.7. ϕ ϕ ϕ ϕ 4 Sl.5.7. Djagram za L ϕ a l.5.8 dobje abrawem odgovaraj}h ordata. L ϕ Sl.5.8.

21 68 Prmjer 5. k T T T gdje je k0. -, T 5, T 0., T 0.0. Logartamke karaktertke odre ee qede}m zrazma L 0 log k 0 log T 0 log 0 log T 0log T. ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 4 80 arctgt arctgt arctgt. Prema zraz za ϕ tabel 5. date vrjedot faze za pojede ~laove. Na oov tabele 5. zraza za L acrtae tra`ee karaktertke a Sl.5.9., Tabela ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ L ϕ Prmjer 5. T Sl.5.9. τ k T e, ς T T gdje je k00, T, T 0., T 0.0, τ0.0, ζ 0.. Stavmo L 0 log T ς T, L 0 log T,,

22 69 L 0 log T,, 5, 50, T T T oda je L 0 log k L L L. Po{to je ζ 0.<< zra~ajmo L 0 logς 4. T Tako e ako zmemo da je ϕ ς T ϕ ϕ π ϕ τ arctg 4, arctgt, arctgt T, mamo da je faza karaktertka odre ea a: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 4. Prema gorwm zrazma acrta odgovaraj} djagram, Sl.5.. L ϕ Sl CRTAWE FREKVENCIJSKIH KARAKTERISTIKA POMO]U MATLAB-A. Za ltracj potpka je dat zgled glavog prozora za jeda prmjer crtawa Bodeovh djagrama Sl Prvo je defaa fkcja preoa preko o{ewa koefcjeata poloma brojka b, a zatm azvka. Polom defa preko odgovaraj}h vektora. Prethodo je ra eo operacjama prdr`vawa. Ueeo je b[ ] ako ~ega e tpkom Eter potvr}je o. Na ekra e pje defa vektor da e mo`e provjert da l je o korekta da l takav kako mo `eqel. Ovo je prkazao a ekrao a: b Nako toga je defa vektor o{ewem: [ ] Nako aktvrawa tpke Eter potvr eo je da je o{ewe zvr{eo korekto. Ovo je a lc predtavqeo a: Sqede}a aredba def{e fkcj preoa elemeta/tema> tfb,.

23 70 Ueea fkcja preoa je predtavqea a toj lc. O~gledo, oa predtavqa kol~k poloma koj odgovaraj vektorma b. Elemet vektora odgovaraj koefcjetma poloma po red z ajv{ do aj`eg tepea po. Itrkcjom bodetfb, prkazj e Bodeov djagram frekvecjke fkcje koja odgovara fkcj preoa tfb,. Sl. 5.4 Na l~a a~ e ako qttfb, dobje Nkvtova ampltdo faza frekvecjka karaktertka elemeta/tema. Sv prethod korac t.