XXVII. PREDAVANJE VIII. TEOREMI MREŽA

Transcript

1 V. Teorem mreža XXV. PEDVNJE Prmea eorema mreža. Teorem zamee: ogračea, r ača aza eorema. Prmer prmee eorema zamee. Teorem uperpozce. Ogračee a prl odzv. Neul poče uve ao evvale omer apo ru zvor. Prmer prmee: Mllmaov eorem. Teorem recpročo. az eorema. ecpročo oovh edoprlazh dvoprlazh elemeaa mreže. Blaeral eleme mreže. laeral eleme mreže. Nerecpročo graora. Opća vova recpročh mreža zvedea pomoću Tellegeovog eorema. Jedao preoh admaca mpedaca. Jedao preoh omera apoa rue. Krer za prava zor poua. Prmer prmee. V. TEOEM MEŽ Teorem mreža u eplc az o em vovma mreža oa e mplco alaze zapaa u edadžama KZN-a KZS-a aalzrae mreže. Teoreme mreža e reamo ao e u eo mrež morau reš edadže mreže, dale ao rea odred vale ole apoa rua vh elemeaa mreže. Prava moć eorema mreža ogleda e u lučaevma ada e u eo ložeo mrež raž eo poeo rešee, recmo val ol apoa rue amo edog elemea mreže. S pomoću eorema mreža, u mogm e avm lučaevma ložea mreža može ve a o edoavu mrežu čme opada rud ao eveuale pogreše pr rešavau oh delova mreže, rezula oh a oao e ererau. 7. TEOEM ZMJENE 7. SKZ TEOEM Mog prolem u eleroehc vode e a aalzu dvau međuoo povezah edoprlaza. Teorem zamee čeo poedoavlue aalzu ovao voreh mreža. Sa M c ozačmo mrežu doveu povezvaem dvau edoprlaza M M prema lc 7.. Mreže (edoprlaz) M M' u mreže po vol,. mogu leare, eleare, vreme promelve l epromelve. Jeda ogračea oa e poavlau a mreže M c u ( ) M u( ) M Sl. 7. Mreža M c ao e od dva edoprlaza M M po vol. a) da mreža M c ma edozačo rešee, ) da ema međudelovaa zmeđu lo oeg elemea u M lo om elemeom u M'. To zač da e me, prmerce, eda amo dvoamoog raformaora u M a drug u M' l da upravlača graa eog zavog zvora ude u M a upravlaa graa u M' l orao. M a) ) M c) ( ) M _ u( ) u( ) Sl. 7. Tr mogućo praza mreže M c. a) Zamea edoprlaza M' rum uvorom. ) Zamea edoprlaza M' apom uvorom. c) Zamea edoprlaza M' elemeom mreže araere u ( ). 7. PMJE a) mrež heme poa prema lc 7.a odrede val ol rue apoog zvora ao e poza val ol rue duvea (). Teorem zamee može e aza u r verze:. o e rua () edoprlaza M' pozaa, edoprlaz M' može e zame rum uvorom ().. o e apo u () edoprlaza M' poza, edoprlaz M' može e zame apom uvorom u ().. o u apo u () rua () edoprlaza M' poza, edoprlaz M' može e zame lo om elemeom mreže dečom u - araerom.? 7V Sl. 7. a) Zadaa mreža prvog reda.

2 4 7. Teorem zamee ešee: Zameom duvea rum uvorom (), zadaa mreža prvog reda prevara e u oporu mrežu, la 7., za ou vrede ledeće edadže mreže r r 7 a) u C u odale prozlaz da e raže zo val ol rue apoog zvora -r r 4 ) u Sl. 7.4 a) Zadaa mreža. ) Zadaa mreža ao poedoavlea.? 7V Sl. 7. ) Zadaa mreža ao opora mreža. ) mrež heme poa prema lc 7.4a odrede val ol rue roz opor. ešee: ladu zložem u poglavlu.5 prozlaz da e graa C može odpo er e poea paralelo erom pou apoh zvora u r. Taođer u eru a rum zvorom alaz e apo zvor u oeg rea rao po. No, ru zvor e određue ruu roz opor e ga možemo odpo. ladu eoremom zamee uduć da zamo ruu () apoe r ao r a zavm apom zvorma, o ove zave apoe zvore možemo zame oporma oporo r odoo r. Prozlaz da e u r r 8. TEOEM SPEPOZCJE 8. SKZ TEOEM (H.Helmholz, 85.) azmormo learu mrežu M u oo od reua 0 delue ezavh apoh zvora u ), u ( ), ( ( ), (... u ( ) e ezavh ruh zvora ),... ( ). Nea e y() prl odzv mreže M zog delovaa vh ezavh zvora ea e y u () prl odzv ao u mrež delue amo u (), e ea e y () prl odzv mreže M ao u mrež delue amo (). Tada u ladu eoremom uperpozce vred da e za 0 y ( ) y u ( ) y ( ) Ogračee a prl odzv e o. Popu odzv e leara fuca pocaa do prl odzv o e, poglavle 7.. Međum, upravo eorem uperpozce am omogućava da doemo oovu relacu zmeđu razh vra odzva u learm mrežama,. da e popu odzv eda zrou prlog loodog odzva. Name, lood odzv e može erprera ao poea luča omerog prlog odzva ao e eleme mreže u oma e do reua počea promaraa, recmo reua 0, uladšea eerga, hvae ao omace pavh elemeaa ez uladšee eerge odgovaraućh omerh apoh odoo ruh ezavh zvora, ao e o već oašeo u poglavlma 9..! Prl odzv mreže o e poledca delovaa vh ezavh zvora eda e zrou prlh odzva oe prouzroovao va ezav zvor am za ee ao delovao u mrež za o vreme. Sva ezav apo zvor o e e promara rao e paa, a va ezav ru zvor e preda. Semo e da e va apo zvor poopće ra po a va ru zvor poopće pred, poglavle.5. u C C u u( 0) 0 u( 0)0 0 Sl. 8. Traformaca reavh elemeaa. ( ) 0 0 ( 0)0

3 V. Teorem mreža 5 Napomea: Orae pozoro a o da e u poglavlu 9. poazao uproo,. da e u omerm rugovma prl odzv može erprera ao poea luča loodog odzva. Oe vrde u oče, ve ov o ome šo am e pre pozao! VŽNO: a) Neule počee uvee,. uladšeu eergu, rea hva ao delovae evvaleh omerh ezavh apoh odoo ruh zvora a mrvu mrežu. Poče uve u rezula delovaa vaog vea a mrežu do počea promaraa ee poave ( 0). ) Zav zvor e predavlau delovae vaog vea a mrežu e oga oau edru u aalz mreža meodom uperpozce. c) Teorem uperpozce mplcra da u learo mrež ema erace (međudelovaa) zmeđu odzva aalh ao rezula delovaa razlčh pocaa. 8. PMJE: MMNOV TEOEM (J. Mllma, 940.) Doar prmer prmee eorema uperpozce e u poupu doaza Mllmaovog eorema. Ova eorem aza u frevecom područu zrče da e u mrež u oo apoh zvora delue a par arca ', la 8., apo h arca () da zrazom gde e () aplaceov raforma apoa -e grae a Y () e admaca -e grae. Y Y Y Y ( ) ( ) ( ) Sl. 8. Mreža a ou e odo Mllmaov eorem. Y o rao pomo ve apoe zvore om zvora u -o gra, ao e o prazao a lc 8., vred će da e odoo ( ) 0 ; Y Y ; [ ] Y Y 0 ; Prozlaz da e Y Y ( ) Y ( ) ( ) Y Y ( ) Y ( ) ' Sl. 8. z doaz Mllmaovog eorema. Y Y No, u ladu eoremom uperpozce, apo a arcama ' će zog delovaa vh zvora eda Y Y ' šo zrče Mllmaov eorem. 9. TEOEM ECPOČNOST 9. SKZ TEOEM Nea mreža e recproča ao zameom mea pocaa odzva, odzv pre pole zamee mea oau eda. "Zamea mea" zač da e poca odzv uve odoe a varale (apo l rua) razlčh graa. doazvau da e ea mreža recproča uža u dva poua. Ozačmo a x () poca o delue a prlazu, la 9., a a y () odzv o e poavlue a prlazu u prvom pouu. Taođer, ozačmo a x ( ) poca o delue a prlazu a a y ( ) odzv o e poavlue a prlazu u drugom pouu.

4 6 9. Teorem recpročo Prv pou x( ) y( ) Sl. 9. Doazvae recpročo. Drug pou y( ) x( ) ladu uvedem ozaama eorem recpročo e može aza a ova ač: Mreža e recproča ao zog x ) x ( ) prozlaz da e y ) y ( ). ( očmo u čecu da a mrežu delue amo eda poca, šo zač da e mreža pre provede prvog ao drugog poua la "mrva". Napomea: Poam recpročo luča e u mogm prmeama. Želmo l, prmerce, ovar elefou lu zmeđu mea B, oda e ova očgledo mora aoa od recpročh ompoeaa ao preo gala od prema B o eda preou gala od B prema! 9. ECPOČNOST EEMENT MEŽE 9.. Opor ( Poažmo da e va lear vreme epromelv opor recproč eleme mreže. u vrhu provedmo dva poua ao e poazao a lc 9.. o apoe u u hvamo ao pocae, a rue ao odzve, vred će u u u u u u () alogm e poupom lao poazue da e va lear vreme promelv opor recproč eleme mreže. Zalučuemo da e va lear opor,. opor za o vred Ohmov zao, recproč eleme mreže. No, vovo learo e amo dovola uve recpročo, al e uža uve! Name, z ame defce recpročo (zamea mea pocaa odzva!) prozlaz da će va elear opor eparo merče araere recproč eleme mreže. Opor eparo merčom araerom, dale v lear opor do elearh opora, azvau e laeral opor. Sva laeral opor uedo e recproč eleme mreže. Opor za oe vovo laeralo e vred zovu e elaeral opor l češće ulaeral opor. Veća poluvodčh učh vela e v ezav apo ru zvor prpadau među ulaerale opore e oga u recproč eleme mreža. aavu aalze ograč ćemo e amo a leare vreme epromelve opore. 9.. eav eleme "Ohmov zao" vred u frevecom područu za leare vreme epromelve apacee duvee. Za -u grau u oo e alaz l lear vreme epromelv apace l duve vred će da e () šo zač da u lear vreme epromelv reav eleme recproč eleme mreže. alogo zalučvau z prehodog odeča prozlaz da u elear laeral reav eleme aođer recproč eleme mreže. aavu aalze ećemo razmara ove elemee mreže ego ćemo e ograč amo a leare reave elemee. Prv pou Drug pou 9.. Dvoprlaz a) ear dvoamo raformaor u u Prepoavmo da e u -o -o gra mreže alaze amo learog raformaora. frevecom područu ouve relace glae Sl. 9. Doazvae recpročo learog vreme epromelvog opora. odale ao e u u očgledo prozlaz da e, čme e doazao da e lear vreme epromelv opor recproč eleme mreže. o e lear vreme epromelv opor alaz u -o gra mreže će u, al u, odale prozlaz da za opor ao recproč eleme mreže vred da e M odoo vred da e M M M ()

5 V. Teorem mreža 7 Prepoavmo l adale zoropo meda (poglavle 5) o će M M M e e edadža () vod a (4) Fzalo gledao, prepoava o zoropo meda e uvar prepoava o recpročo, uduć da e u zoropom medu za raformaor veedo e l poca aru a amo u -o gra l a amo u -o gra. Zog oga e edao (4) uve recpročo learog dvoamoog raformaora. 9. OPĆ SVOJSTV ECPOČNH MEŽ aavu raž ćemo opća vova recpročh mreža aavleh od learh vreme epromelvh opora, apacea, duvea, mage vezah duvea (raformaora) dealh raformaora. Oal eleme mreže u dopuše. Pr ražvau općh voava recpročh mreža upore ćemo Tellegeov eorem aza u frevecom područu. ecproča mreža ea e ao od graa, me da e u vao gra alaz po eda eleme. Na prlaze poe u edoprlaz, la 9.4. Za deal raformaor zog ouvh relaca ; 0 M r prozlaz da e ) ear zav zvor 0 (5) Sl. 9.4 Doazvae recpročo oršeem Tellegeovog eorema. Prema Tellegeovom eoremu za dve mreže og grafa vred da e 0 (6a) ear zav zvor u model elerčh dvoprlazh aprava od oh upravlaa varala ov o upravlačo, al ora e vred. S oga lear zav zvor u recproč eleme mreže. O ome vše u poglavlu 4! c) Graor Poažmo da graor e recproč eleme mreže. u vrhu provedmo dva poua ao e poazao a l. 9.. o rue hvamo ao pocae, a apoe u u ao odzve, vred će u prvom pouu, u ladu ouvm relacama graora, zraz (4.8) u r odoo 0 (6) vm graama mreže alaze e recproč eleme, za oe vred edao (), odoo za celu mrežu da e šo uvršeo u edadže (6) dae uve o vred za lo ou recproču mrežu Prv pou Drug pou (7) r r u u u u Na oov edadže (7) možemo do r oova vova vae recproče mreže. To u a) edao preoh admaca Sl. 9. Doazvae erecpročo graora. a u drugom pouu će u r vdmo da uz dovamo da e u u, dale graor e recproč eleme mreže. ) edao preoh mpedaca Y ) Y ( ) (8) ( Z ) Z ( ) (9) (

6 8 9. Teorem recpročo c) edao preoog omera apoa rue ad a) Jedao preoh admaca dovamo ao provedemo dva poua prema lc 9.5. Očgledo e 0, šo uvršeo u (7) dae ) ( ) (0) ( šo e a drug ač az edao (9). ad c) Jedao preoog omera apoa rua dovamo ao provedemo dva poua prema lc 9.7. Očgledo e 0, šo uvršeo u (7) dae [ ] ( ) 0 Sl. 9.5 Pou oma e doazue edao preoh admaca. odoo šo e a drug ač az edao (8). ad ) Jedao preoh mpedaca dovamo ao provedemo dva poua prema lc 9.6. Sl. 9.6 Pou oma e doazue edao preoh mpedaca. Očgledo e 0, šo uvršeo u (7) dae [ ] [ ( )] M r Sl. 9.7 Pou oma e doazue edao preoh omera apoa rue. odoo šo e a drug ač az edao (0). VŽNO: Zameom mea pocaa odzva ruura mreže e e me prome! Semo e da e va apo zvor poopće ra po, a va ru zvor poopće pred. Zog oga e parov poua u dopuše er e ma pvale razlče mreže, ao e o poazao a prmeru a le 9.8. prvom pouu mreža e, ruuro gledao, rao poea a prlazu, a preua a prlazu. Tao dovea mreža, ozačmo e a, u drugom e pouu promeea u eu drugu mrežu, ozačmo e a, uduć da e u drugom pouu mreža, ruuro gledao, rao poea a prlazu, a preua a prlazu. M r M r odoo Sl.9.8 z epromeeu uuaru ruuru zorom ovog para poua puu e uvar dve razlče mreže!

7 V. Teorem mreža 9 Orae pozoro a o da e u prehodo opaa r para poua, u vaom od parova poua ruura mreže oala epromeea! 9.4 PMJE Teorem recpročo čeo o olašava aalzu mreža. Poažmo o a dva araerča prmera. a) Na oporo mrež prema lc 9.9 oa e ao od edog pozaog opora čer opora epozae oporo provedea u dva merea. prvom mereu, la 9.9a, zmerea e rua 4 0,, do e ) o e a mrežu heme poa prema lc 9.0a are od reua 0 poca () 0, rua roz opor e valog ola e. Odrede val ol rue roz opor, u mrež heme poa prema lc 9.0, δ ao e od reua 0 are poca u( ) e. Pozaa e oporo opora, a oal paramer mreže u poza. C a) 0 C? a) u 4 ) 0 Sl. 9.0 Zadae heme poa mreža. ) Sl. 9.9 Pou a zadao oporo mrež. u drugom mereu zmerea rua 0,. Odrede oporo opora! ešee: Mreža e recproča, a zada e prolem vod a varau eorema recpročo prazau a lc 9.6. Na oov prvog merea prozlaz da e u Na oov drugog merea prozlaz da e Buduć da e u 0., zog recpročo mreže vred da e u u. Dale, odoo 0. 5Ω ešee: Opažamo da u oe mreže po ruur edae. ladu varaom eorema recpročo prazaom a lc 9.7 vred da e odoo [ ) ] [ ( ) ] [ u( ) ] [ ( )] ( 0 ) ( δ e e rua roz opor u frevecom područu daa zrazom δ ( δ )( ) δ δ 0 odoo u vremeom područu 0 δ ) ( e δ e ). δ ( 0