I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

Transcript

1 I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 4.8. Taloroa Maclaroa orla a kcje še projeljh Sjeto se ajprje Taloroe orle a kcje jede ease projelje. Neka je pr. a eko teral J deraa kcja Ft eka oa a to teral a se ode do og reda. Uo ksra tačk t J. Tada kao što ao rjed t t t t t t t t F t F t F' t F' ' t F t F t θ t t..8.!!!! Ako odje stao t t t oda je t t F 't F 't d Ft t t F ''t F ''t d Ft M t t F t F t d Ft t t F t θ t t d Ft θ t. Napoeo da je jek < θ <. Na taj ač prethod orl.8. ožeo psat oblk gdje je < θ < t t t. df t d F t F t! F t d! F t d! F t θ t! U oako oblk dobt ćeo Taloro orl a kcje še projeljh. Opet ćeo jedostaost rad posatrat ajprje kcje dje aaso projelje. Neka je oblast D R deraa kcja. Uo tačk D. Pretpostao da ekoj okol U U te tačke kcja a se ode do og reda akljčo da s t od eprekde kcje U. Neka s dalje tak broje da tačka prpada okol U šta še da dž koja spaja tačke takođe prpada okol U. sl..8.. Sada t [ ] tačka prpada poetoj dž. Ako je t oda se ta tačka poklapa sa. Kad t raste od do oda se oa tačka kreće od do. U sako slčaj oa tačka prpada oblast deraost kcje. Prea toe ožeo posatrat kcj de.. U Sl..8.. F t t t..8. Kako kcja a se ode do -og reda akljčo kako s t od eprekd to odah akljčjeo da kcja F t a [ ] a se ode do -og reda akljčo da s t od eprekd. Na kcj F t ožeo prjet Taloro orl a kcje jede ease projelje. Vrjed tj. F F F'!! F F F F' ' F! '! F' '! F! F F!! Iračajo sada ode F ' F ''... F F. θ D < θ < θ < θ <..8.3

2 43 S obro a decj.8. kcje Ft to po pral a od složee kcje ao F 't ' t t t t ' ' t t t t ' ' t t ' t t. Dakle F 't ' t t ' t t..8.4 Ako odje stao t dobjeo F ' ' '. Derecraje po t.8.4 dobjeo F ''t '' t t '' t t '' t t. Staljajć da je t dobjeo F '' '' '' ''. Stao još da je d d pa ćeo at: F ' d F '' d. Ako oako astao postpat dalje dobt ćeo da rjed: F k d k k... F k θ d k θ θ. Os toga očto da rjed F F. Kad se oo rsto.8.3 ao d d d d θ!!!! θ Forla.8.5 oe se Taloroa orla a kcje dje easo projelje. Napšo o orl slčaj kada je tj.. Iao da je..8.5 ' θ θ d ' θ θ d.8.6 gdje je < θ <. Forla.8.6 oe se Lagrageoa orla a kcje dje easo projelje koja je specjala slčaj Lagrageoe orle a kcje od projeljh koj so orlsal dokaal... Slčo orl.8.5 rjed a kcje še projeljh. Precje aalogo se dokaje da rjed sljedeća teorea kojoj se daje Taloroa orla a real kcj realh projeljh sa ostatko Lagrageoo oblk. Teorea.8.. Taloroa teorea. Neka je C A R tj. eka s s parcjal od -og reda kcje eprekd s tačkaa skpa A R gdje je A otore skp Ekldoo prostor R eka - deoal seget [a a h] co prpada skp A. Tada postoj reala broj θ taka da je gdje je a h a h k k! R a h h! h k a R a h h h a θ *. ** Doka: Posatrajo kcj ϕ : [ ] K K R dera rao ϕ t a t h. Prea prala a račaaje oda složee kcje dobjeo ϕ C [ ] da je ϕ 't h a t h h a t h at ϕ ''t h h a t h h h a t h općeto a sak k {... } k ao: ϕ k t h h a t h. Prjejjć a kcj ϕ a seget [ ] Taloro orl

3 44 sa Lagrageo ostatko a kcje jede projelje akljčjeo da postoj θ taka da aže orle * **. Te je doka teoree arše. Ako se doka prethode teoree korst Taloroa orla sa ostatko eko drgo oblk dobje se Taloroa orla a kcje še projeljh sa odgoarajć ostatko. Ako je pr. C A R a A oda až orla * sa ostatko R a h Peaoo oblk R a h o h h.... Glaa III : PRIMJENE DIFERENCIJALNOG RAČUNA FUNKCIJA VIŠE PROMJENLJIVIH 3.. Ekstree rjedost kcja dj še projeljh 3... Lokal ekstre kcja še projeljh Poja lokalog ekstrea se a reale kcje še projeljh dera aalogo slčaj kcja jede projelje. Decja 3... Neka je kcja reala kcja od realh projeljh deraa ekoj okol U tačke R. Ako je a sak U spjeo odoso < a / tj. odoso < a / kažeo da kcja a tačk lokal aks odoso strogo lokal aks jedak. Slčo se dera strog lokal. Stroge lokale akse e jed eo oeo strog lokal ekstrea. Prjeto da s lokal ekstre prea ooj decj jek postgt trašj tačkaa doea kcje. T. rbe ekstree raatrao a kraj oog paragraa. Kao kod kcja jede projelje a derecjable kcje postoj jedostaa eophoda slo a postojaje lokalog ekstrea. Sta 3... Neka je kcja od realh projeljh deraa okol tačke A : a... a R eka a od po arget tačk A. Ako kcja tačk A a lokal ekstre oda je A Posljedca 3... Ako je kcja... deraa ekoj okol tačke A : a... a kojoj a ekstre ako a pre parcjale ode po sako od sojh argeata tačk A oda je ' A... ' A. Doka: Neka je Ka δ kgla kojoj je deraa kcja a koj až X A odoso X A a se X :.... Za proolj {... } posatrajo kcj g : a δ a δ R dera rao g a... a a... a A a... a a a δ a δ. Ta kcja a lokal ekstre tačak a pa je g'a A. Utrašje tačke doea kcje koja s s je parcjal od prog reda jedak l aaj se stacoar tačkaa te kcje. Zaprao poja stacoare tačke odo odje sljedećo decjo..

4 45 Decja 3... Za tačk A kažeo da je stacoara tačka reale kcje... od realh projeljh ako je kcja derecjabla tačk A ako je ' A ' A... ' A l ako je derecjal kcje a tačk A detčk jedak l tj. ako je d X A. Zakljčte sa ekaletost datoj decj! Sljedećo teoreo dat s potreb slo postojaja lokalog ekstrea derecjable kcje. Teorea 3... Ako je reala kcja še realh projeljh derecjabla tačk A ako a tačk A lokal ekstre oda je tačka A stacoara tačka kcje. Doka: I derecjablost kcje tačk A sljed da postoje je koač parcjal od po s argeta tačk A. Kako je tačka A tačka ekstrea to s prea prethodoj posljedc 3... od po s argeta tačk A jedak l. I sega aprjed kaaog sljed da je tačka A po decj stacoara tačka. O je teorea 3... dokaaa. Napoeo da a alažeje tačaka lokalog ekstrea derecjable kcje a adaoj oblast treba ać stacoare tačke th kcja toj oblast jer je prea dokaaoj teore lokal ekstre derecjable kcje ogć jedo t tačkaa. Ako oblast deraost kcje postoje tačke koja je derecjabla tada t tačkaa kcja ože at lokal ekstre to slčaj sptjeo prraštaj kcje. Tako a prjer kcja je derecjabla tačk a očto a toj tačk. Tačka kojoj je d tj. stacoara krtča tačka e ora bt tačka ekstrea tj. slo d je doolja a egstecj ekstrea eć pr. t. sedlasta tačka slčaj kcje dj realh projeljh aalogo preojoj tačk kcje jede projelje. Takođe ekstre ože da postoj tačk ako parcjal od bar jeda od jh e postoj toj tačk tj. ako e postoj d. Stacoare tačke se og dobt sstea jedača U stacoaroj tačk kcje tageta raa a porš je paralela sa ra a jedač. Naedo teoree o doolj sloa postojaja lokalog ekstrea. Neka kcja : D K D R K R 3.. a eprekde parcjale ode prog drgog reda ekoj okol stacoare tačke... D. Oačo sa a k rjedost oda '' tačk a k k.... Tada je bog '' k eprekdost drgh parcjalh oda a k a k. Forrajo s k k k a k 3.. gdje s... reale projelje. Nje teško akljčt da je ra 3.. hoogea kcja stepea hoogeost a aa se kadrato oro projeljh....

5 46 No a orlsaje dooljh sloa a postojaje lokalog ekstrea odoso a sptaje aka derecjala d * j kors s a ek pojo reltat leare algebre o kadrat oraa. j Reala kcja projeljh j Φ h... h : j a jh h j ajh j oe se kadrata ora projeljh h... h. Matrca A Φ [ ] oe se atrca kadrate ore Φ. Za t atrc jek ožeo pretpostt da je setrča tj. da je aj a j a se j. Za or Φ se kaže da je poto egato poldeta ako a se h : h... h R až Φ h... h odoso Φ h... h. Oa je poto egato deta ako a se h až Φ h... h > odoso Φ h... h <. Najad ora Φ je projeljog aka ako postoje h h... h k k... k R tak da je Φ h... h > Φ k... k <. h j aj j Prjer 3... Kadrata ora Φ h h h 3 h 5 h h 3 h h h h 3 h h 3 h h h 3 h h h 3 je poto deta jer je Φ h h h 3 > a h h h 3. Fora Φ h h h 3 h h h 3 h h h h 3 h h 3 h h h 3 je poto poldeta al e deta jer ože bt Φ h h h 3 kad s s h h h 3 jedak l. Za sptaje detost kadrate ore learoj algebr se dokaje sljedeć Slestero ** krterj. Sta 3... Neka je a a L a A Φ a a L a M M M a a K a setrča atrca kadrate ore Φ : R R eka s a a A a A... A det A Φ 3..3 a a je gla or. Da b ora Φ bla poto deta eophodo je dooljo da s t gla or pot: A > A >... A >. Da b ora Φ bla egato deta potreboo je dooljo da t or aječo jejaj ak s t da je A < : A < A > A 3 <.... * Da b derecjal d aj j gdje je aj predstaljao poto određe kadrat or j j potrebo je dooljo da or a glaoj djagoal atrce [ a ] j j bd pot. Da b derecjal d predstaljao egato det kadrat or potrebo je dooljo da or a glaoj djagoal atrce [ ] aj j aječo jejaj ak s t da je a <. U ek slčajea ak od d je očgleda. ** J. J. Slester eglesk ateatčar.

6 Prjer 3... Fora Φ prjera 3... a atrc 5 glae ore jedake redo 9 9. Fora Φ a atrc sa deterato jedako l. 47 Za ođeje dokaa teoree o doolj sloa lokalog ekstrea korsa je sljedeća pooća trdja. Lea 3... Neka je A R otore skp a j : A R eprekda kcja a j... take da je. Ako je a ek a A a j a j a se A. Za A eka je Φ kadrata ora sa atrco [ ] j j a kadrata ora Φ a poto deta oda postoj r > tako da je a sak kgle Ka r ora Φ deta. Doka: Reale kcje A... A derae pooć raa a a A a A a a... A det [a j ] eprekde s a A. Prea Slesteroo krterj pote detost ore Φ a sljed da s broje A a A a... A a pot. Zbog eprekdost kcja A postoj pota broj r taka da s broje A A... A takođe pot a Ka r. To ač da je ora Φ poto deta. Te je doka lee 3... arše. poto Forlšo sada ajalje teore koja daje doolje sloe a postojaje strogog lokalog ekstrea kcje še projeljh. Teorea 3... Neka je A R otore skp A C A pr če je... stacoara tačka kcje tj. d ; eka je Φ kadrata ora čja je atrca j j Tada: ako je kadrata ora Φ poto deta tj. ako s s gla or A A... A pot oda kcja a strog lokal tačk ; ako je kadrata ora Φ egato deta tj. ako gla or A A... A aječo jejaj ak s t da je A < oda kcja a strog lokal aks tačk ; 3 ako je kadrata ora Φ projeljog aka kcja tačk ea lokal ekstre. Doka: Ako s spjee date pretpostake prea prethodoj le postoj broj r > taka da je a se K r poto deta kadrata ora čja je atrca. Za proolja taka deoal seget j j [ ] prpada kgl K r pa se a ralk ože prjet Taloroa orla sa Lagrageo ostatko a. Zbog stacoarost tačke oa a oblk: j j θ θ j j < θ <. Drg rječa ta ralka je kadrata ora projeljh... sa setrčo atrco θ. j j

7 48 Kako ektor θ prpada takođe kgl K r to je ta kadrata ora poto deta što ač da je > a se K r \ { }. Dakle tačk je strog lokal kcje. Dooljo je prjet dokaa trdj pod a kcj. 3 Ako je kadrata ora Φ sa atrco 3..4 projeljog aka oda postoje ektor h h... h k k... k R tak da je Φ h... h > Φ k... k < h k Za proolja ρ > odredo tačke ρ ρ a koje je očgledo ρ. h k Napšo sada Taloro orl a kcj tačk sa Peao ostatko a rjedost argeta odoso j ρ h ρ k [ Φ h... h o ] ρ [ Φ k... k o ] ρ. j j j o ρ h j j h h j o Kako elče Φ h... h Φ k... k e ase od ρ to je a oso 3..4 a dooljo al ρ > < što ač da sakoj okol tačke kcja a rjedost kako aje tako eće od. Te je dokaao da ta kcja tačk ea lokal ekstre. Ako predac brojea glah ora A A... A adaoj tačk... popraj blo koj drkčj kobacj odos a prethode dje teoree 3.. oda... je tačka lokalog ekstrea kcje.... Prjer a Saka od kcja a jedste stacoar tačk toj tačk karakterstč kadrat or detčk jedak l dakle poto egato poldet al e det. Pra od th kcja ea lokal ekstre jer prooljoj okol te tačke postoje ektor tak da je < <. Fkcja eđt tačk a lokla apsolt jedak. b Odredo tačke lokalh esktrea kcje 3 λ 3 3 gdje je λ reala paraetar. Rješaajć sste jedača λ 3 dobjeo da je jeda stacoara tačka oe kcje se slčaj λ kada s stacoare se tačke oblka R. Zbog λ a j toj tačk 3 j karakterstča kadrata ora a oblk Φ h h h 3 λ h h h 3. Za λ > ta ora je očgledo poto deta kcja tačk a lokal. Za λ < ta ora je projeljog aka a prjer tada je Φ > Φ < pa kcja toj tačk ea lokal ekstre. Ako je λ sakoj od tačaka ora Φ je poldeta o kcja t pak a e sao lokal jedak jer je 3 3 a se 3 R 3. U prjera se ajčešće pojaljj kcje dj projeljh pa ćeo aest orlacj teoree 3... a taj slčaj. 3

8 49 Posljedca 3... Neka je A otorea skp R a b A da pta eprekdo derecjabla kcja a A a b a b. Oačo a b r a b s a b t. Tada : ako je r > rt s > kcja tačk a b a strog lokal ; ako je r < rt s > kcja tačk a b a strog lokal aks ; 3 ako je rt s < kcja tačk a b ea lokal ekstre. Doka: Trđeja eposredo sljede teoree 3... Dokažo trđeje 3 tj. dokažo da je slčaj rt s < kadrata ora Φ h k r h s h k t k projeljog aka. Posatrajo ajprje slčaj r. Tada je Φ h k [ rh sk rt s k ] r pa s bog rt s < broje Φ r Φ s r r rt s ralčtog aka. Ako je r tada sloa rt s < sljed da je s. Neka je h k dooljo alo tako da ra s h t k a st ak kao ra s h. Tada rjedost kadrate ore Φ h k k s h t k aj ralčte ake a k > odoso k < te je oo slčaj ta kadrata ora projeljog aka. Te je arše doka posljedce Ako jeda od brojea A A... A glah ora atrce kadrate ore Φ j koja predstalja derecjal d... popr rjedost la oda je ogće prjet krterj teoree 3.. ego oako slčaj se korst predak drgog derecjala kao što sljed: Teorea Neka je kcja... deraa a eprekde parcjale ode drgog reda ekoj okol tačke :.... Neka je dalje tačka stacoara tačka kcje tj. d. Tada: a ako je d > a d > d oda je ; b ako je d < a d > oda je a ; c ako d jeja predak oda je ekstre kcje ; d ako je d l ako jeda od sloa a b c je spje tada se e ože šta reć o prrod stacoare tačke eć je potrebo dodato sptaje a oso decje ekstrea l pooć derecjala trećeg l šeg reda aproksacje kcje Taloro poloo šeg reda. Tako pr. a kcj : e e ožeo prjet teore 3... eć teore a stacoar tačk jer je A A A 3 8 al je d d 4 d d tj. d jeja predak pa tačka je tačka lokalog ekstrea adae kcje. Pooo a kraj da se se ložeo odos sao a t. trašje lokale ekstree kcja še projeljh. Prlko određaja apsolth ekstrea takh kcja eophodo je ajedo sa trašj stacoar tačkaa sptat tačke grace doea. Za tako sptaje je često korsa tehka određaja t. sloog ekstrea o kojoj lažeo posebo paragra. S drge strae eđt ako se traže sao apsolt ekstre eke ckje a ogračeo atoreo skp prjeo Weerstrassoe teoree ože se potpo bjeć sptaje karaktera stacoarh tačaka. U to slčaj raatrao sljedeć prjer. Prjer Nađo ajeć ajaj rjedost kcje : [ ] R adae rao 3.

9 Rješeje : Sste jedača a tar kadrata da rješeja: 3 8. Dalje je pa se kao potecjale tačke adae kcje ekstrea dobj stacoare tačke kcja jede projelje koje s a rb datog kadrata : kao tjeea kadrata. Zadaa kcja je eprekda a kadrat [ ] je atore ograče skp pa a je dostže soj ajaj ajeć rjedost. No oe og bt sao eđ rjedosta kcje ađeh tačaka. Međ sa je ajaja ajeća 4 pa s to traže ekstre kcje a [ ]. Zadatak 3... Odredt ekstree kcje adae orlo a : a. Rješeje: Zadaa kcja je deraa a R očto eprekda a R \ { } jer je jea restrkcja g : g. sl. 3.. eleetara kcja pa je eprekda gdje je R \{} deraa. No tačk kcja je prekda jer k k l l k * k k sljed da les * as od k pa doj les Nadalje je ' l ' e postoj. a ' l l ' ako je prekda tačk. Otda sljed da adaa kcja a koače određee parcjale ode ' ' okol proolje tačke R \ { } t od s eprekde kcje pa je derecjabla R \ { } a oso teoree o doolj sloa derecjablost. No tačk ako a koače ode ' ' adaa kcja je derecjabla jer ako b bla derecjabla oda b rjedlo ' ' ω *' gdje je lω ω. Međt *' sljed a oaj les e postoj jer je lω l l 3 k lω l. Dakle je stacoara tačka od 3 k k te a stacoare tačke ± R\{}. Bdć da rjed 3 '' 3 3 '' 3 '' 3 ''

10 a se tj. da je '' ± '' ± '' ± '' ± R\{} odoso da je r t s tačkaa ± to ptaje ekstrea treba rješt pooć decje eposredo l pooć derecjala trećeg l šeg reda. No očgledo rjed ± ± R pa je a R \ { }. Kako je još to akljčjeo da adaa kcja a estrog apsolt / total estrog apsolt aks a a. U tačk adaa kcja ea ekstre jer pr. a parabol čja je jedača rjed < < Sl tj. e postoj okola U tačke kojoj prraštaj e jeja ak. Zadatak 3... Odredte ekstree rjedost kcje R R adae orlo s s s [ π]. Zadatak Odredte ekstree rjedost kcje adae orlo: a l ; b... 3 > ;.... Reltat. a a. b.... ad. 9.3 d g kj [H. Fatkć V. Dragčeć Derecjal rač kcja dj še projeljh Sjetlost Sarajeo 99]. a Preslkaaje kcje R R. Jacobja reglaro preslkaaje Vektorsk kcj od realh projeljh deral so kao preslkaaje : X Y X R Y R. Oo preslkaaje adalje ćeo oblježaat sa. U lteratr se često korste oake. Neka je gdje je E oblast R E R. : E R 3.. Napoeo da bdć da s R R etrčk prostor odos a Ekldo etrk to se poja grače rjedost ektorske kcje tačk dera po Cachj l Hee a kako ao oe dje decje s ekalete.

11 5 Neka je tačka golaja oblast E. Za preslkaaje kažeo da a grač rjedost jedak l tačk ako je spje jeda od da ekaleta sloa: Za proolja E \{ } a N koj koergra ka tačk odgoarajć rjedost preslkaaja koergra ka l decja po Hee. Za proolj okol Vl postoj okola U tačke taka da je Vl a sak o E U decja po Cachj. Teorea 3... Da b preslkaaje... alo grač rjedost l l... l R potrebo je dooljo da až jedakost: l l. Doka oe teoree se asa a teore o koergecj oa deoalo Ekldoo prostor. Posljedca 3... Preslkaaje a tačk E grač rjedost... oda sao oda ako je l a. Drg rječa preslkaaje... je eprekdo tačk oda sao oda kada s toj tačk eprekde se jegoe kopoete a kao reale kcje od realh projeljh. Decja 3... Neka je preslkaaje derao rao 3.. tačka E. Za preslkaaje kažeo da je derecjablo tačk kada je saka jegoa kopoeta a derecjabla kcja tačk. I decje 3.. derecjablost kcje tačk sljed da je tada a : d ω gdje je pa je d ω ω M M L M M L M. Otda sljed da se prraštaj kcje tačk ože apsat oblk d L ω pr če je ektor kcja eprekda tačk ω jedaka l tačk a je learo preslkaaje prostora R L prostor R koe odgoara atrca L M M L 3.. koja se često aa potp l total od preslkaaja tačk. Matrca 3.. aa se atrco Ostrogradskog - Jacobja preslkaaja tačk. Za slčaj deterata atrce 3.. oblježaa se D D l......

12 aa se Jacobja * preslkaaja tačk. 53 Posatrao preslkaaje često se pše oblk : kao sste od kcja od argeata M Teorea 3... Ako je preslkaaje 3..3 ajao jedoačo eprekdo a oblast E oda je slka prostog lka koj se sadrž E prost lk. Doka: Na prosto lk adao rao t t... t t [α β ] koordate t s eprekde kcje argeta t a seget [α β ]. Kako s po pretpostac teoree kcje a... eprekde a oblast E to s kcje t eprekde kao eprekde kcje eprekdh kcja. Za t t ao da je t t jer je t po pretpostac prost lk. Sada tačkaa odgoaraj dje ralčte tačke prostora R jer je po pretposatc preslkaaje adao rao 3..3 ajao jedoačo. Sljed po decj prostog lka da je lk ada rao t t... t t [α β ] prost lk. O je doka teoree arše. Posljedca oe teoree glas: Posljedca 3... Prosta atorea kra preslkaa se prost atore kr. Decja 3... Za preslkaaje adao rao 3..3 koe je kažeo da je reglaro a oblast E R ako kcje... aj a oblast E eprekde pre ode po s argeta ako je jego Jakobja ralčt od le a oblast E. I date decje poja reglarog preslkaaja sljed tačost sljedećh trdj: Trdja 3... Reglaro preslkaaje a oblast E je eprekdo a toj oblast. Doka: Zasta eprekdost parcjalh oda kcja... a oblast E sljed jhoa derecjablost a oblast E. Vd teore koja predstalja doolja slo derecjablost a real kcj še realh projeljh. I derecjablost kcja a... a oblast E sljed kako ao jhoa eprekdost a toj oblast pa je preslkaaje eprekdo jer s eprekde se projekcje. O je trdja dokaaa. Trdja 3... aka a toj oblast. Jacobja reglaro g preslkaaja a oblast E je kcja kostatog Doka: Zasta decje poja reglarog preslkaaja a oblast E sljed da je Jacobja eprekda kcja a oblast E koja je ralčta od le pa ako b djea tačkaa oblast E Jacobja ao sprote po ak rjedost tada b o prea teore o eđrjedost bo jedak l bar jedoj tačk oblast E što je proto pretpostac. Važ sljedeća teorea koj aodo be dokaa: Teorea Ako je preslkaaje reglaro preslkaaje a oblast E oda je oo ajao jedoačo ekoj dooljo aloj okol proolje tačke oblast E. Napoeo da je reglarost preslkaaja doolja al e potreba slo da b preslkaaje alo osob lokalog ajao jedoačog preslkaaja. Zaprao a eprekdo * Carl Gsta Jacob Jacob jeačk ateatčar.

13 derecjabl kcj... parcjal od k eprekd deraoj a eko otoreo skp S R Jacobja J X garatra da je dato preslkaaje ajao jedoačo ekoj okol tačke X S te da otda a goort o jeoj eroj kcj 54 ograče a t okol ožeo. Prea toe pod aede sloa postojaje ere kcje je osgrao sao lokalo. Ujerćeo se ared adaca da era kcja e ora postojat a a S čak pod pretpostako da je Jacobja J X a sako X S tj. da reglaro preslkaaje a S e ora bt ajao jedoačo a skp S pr. ako je e cos e s oda je reglaro a S R al je ajao jedoačo preslkaaje sa R a T S R \ { } pa e postoj Takođe ako je S pr. ako je jedoačo preslkaaje sa R 3 tj. postoj a T. ajao jedoačo a S to e ora ačt da je reglaro preslkaaje a 3 oda je ajao R pa je reglaro a R ; kcje R. a R jer postoj jedsteo rješeje 3 D J D a R al aj eprekde parcjale ode prooljog reda 3 a s eprekd a R kopoete je derecjabla a Prjer 3... Preslkat oblast S { : 4} preslkaaje r cos ϕ r s ϕ. Rješeje: Skp S je atorea oblast dostrko poeaa! ra sl Zajeo r cos ϕ r s ϕ relacja 4 postaje r 4 tj. r l r. Za preslkaaje rjed da s r ϕ r ϕ eprekd da je D r ϕ cosϕ r sϕ J r ϕ r D r ϕ sϕ r cosϕ r ϕ tj. dato preslkaaje je reglaro. Postoj ero preslkaaje k r ϕ k ±... koje preslkaa obostrao jedoačo oblast S a oblast k Sr ϕ {r ϕ : r kπ ϕ < k π} preslkaaje ' k k ±... koje preslkaa obostrao jedoačo S ' k {r ϕ : r kπ ϕ < k π}. Sr ϕ Vdo da se oblast 4 preslkaa preslkaaje r cos ϕ r s ϕ a dje trake S {r ϕ : r } S {r ϕ : r } rϕ - ra tj. dato preslkaaje e preslkaa obostrao jedoačo oblast S a skp sl S S S ako je J r ϕ a S. Međt dato preslkaaje preslkaa obostrao jedoačo oblast S a blo koj od skpoa ' k S ϕ k ±... k r Sr ϕ Za r ϕ polare koordate se občo aj sljedeć teral jejaja: r < ϕ < π l π ϕ < π če se spostalja obostrao jedoača korespodecja eđ tačaka ra polarh koordata r ϕ skljčjć pol koj ea određe polar gao. Dakle dato preslkaaje adato sa r cos ϕ r s ϕ preslkaa obostrao jedoačo oblast S a oblast { r ϕ : r ϕ < π } sl a S rϕ

14 55 ϕ ϕ 4 S S S π r S rϕ r Sl S Sl Iplcte kcje Neka je adao preslkaaje F : X Y Z gdje je X R Y R Z R pr če skp Z sadrž etral eleet prostora R. Posatrajo ektorsk kcj ada rao F pr če je X Y Z. Oaj ektorskoj jedač odgoara sste jedača: F... ;... F... ;... M F... ; Pretpostao da postoje epra skpo E X E Y tak da a X jedače adae rao 3.3. aj jedsteo rješeje E. Tada se ože derat preslkaaje koje sako eleet X prdržje o rjedost rješeje jedača adah rao : E E E koja a X predstalja U oo slčaj jedače 3.3. određj kao preslkaaje koje skp E preod skp E koe odgoara sste kcja: M Sste 3.3. apsa ektorsko oblk glas. Očgledo da preslkaaje a sojsto da je F ; X Decja Fkcje koje s adae posredsto jedača l ssteo jedača aaj se kcjaa ada plcto l plcto ada kcjaa. Teorea Sta o postojaj jedsteost plcth kcja. Ako sste jedača ada rao 3.3. ekoj oblast E kojoj prpada tačka... ;... ; koja se aa početa tačka adooljaa sljedeće sloe : kcje F... s eprekde aj eprekde ode po argeta... ; rjedost Jacobjaa D F... F D... početoj tačk ralčta je od le ; početa tačka adooljaa sste jedača ada rao 3.3. tj.

15 56 F a... oda dooljo aloj okol tačke postoj jedste sste eprekdh kcja oblka 3.3. koj adooljaa sste jedača ada rao 3.3. kao počete sloe :.... Važ sljedeća teorea: Teorea Teorea o derecjablost plcth kcja. Neka s adoolje s slo teore o postojaj plcth kcja. Tada : ako je saka kcja F... koja se pojaljje a ljeoj stra sstea 3.3. derecjabla tačk oda je saka kcja sstea 3.3. derecjabla tačk ; ako je saka kcja F... koja se pojaljje a ljeoj stra sstea 3.3. derecjabla okol tačke oda je saka kcja sstea 3.3. derecjabla ekoj okol tačke ; 3 ako saka kcja F... koja se pojaljje a ljeoj stra sstea 3.3. a ekoj okol tačke eprekde ode k-tog reda po s argeta oda saka kcja sstea 3.3. ekoj okol tačke a eprekde ode k-tog reda. Pretpostao sada da s adoolje s doolj slo pod koja prethode teoree aže. Tada a alažeje oda derecraje plcth kcja ao sljedeće postpke:. Neka s kcje adae rao 3.3. adae plcto ssteo jedača Tada rštaaje raa kcja adah rao 3.3. ljee strae jedača 3.3. dobjeo složee kcje: F... ; a... koje s jedake l ekoj okol tačke što sljed pretpostake da s kcje adae rao 3.3. adae plcto ssteo Iod složeh kcja po argeta... s takođe jedak l poetoj okol. Da b ašl ode kcja adah rao 3.3. po arget k k treba derecrat sak od kcja po arget k po pral a tražeje oda složeh kcja. Tako dobjeo sste: F F F F... k k k k M F F F F.... k k k k Sste jedača je sste learh jedača po traže oda:... k k. k Deterata sstea je Jacobja D F... F D... koj je ralčt od le jer s spje slo teoree o postojaj plcth kcja pa tražee ode ožeo ać sstea jedača Derecraje jedača sstea po arget l l dobje se opet sste learh jedača po drg oda:... kk kk kk deterata sstea oako dobjeh jedoača je opet Jacobja ada rao Oaj proces astopog derecraja jedača daje ogćost alažeja oda prooljog reda kcja adah plcto.. Za alažeje derecjala plcth kcja korsto opet kcje adae rao koje s detčk jedale l ekoj okol tačke pa je toj tačk df df... df. Otda sljed da je

16 F F F F d... d d... d F F F F d d d d M Sste je sste learh jedača po derecjala d... d. Deterata sstea je Jacobja Posatrajo sada ajjedostaj slčaj kada projelje realcj F * aj reale rjedost tj. postao ptaje o egstecj plcte kcje jede reale projelje koja a reale rjedost. Doolj slo a "lokalo" postojaje take kcje dat s sljedećo teoreo: Teorea Neka s eko otoreo skp A R koe prpada tačka a b adoolje sljedeć slo : F : D K D R K R je eprekda a skp A D; F F Fa b ; 3 parcjal od postoj eprekda je a A; 4 a b. Tada postoj okola W U V tačke a b gdje je U { R : a < α } V { R : b < < β } jedoačo određea eprekda kcja : U V taka da je a b F a se U. Doka: Pretpostao određeost rad da je F F a b >. Zbog eprekdost kcje postoj okola tačke a b kojoj je F b β >. Za t A okol ožeo et da je praogaok [a α aα ] [b β b β ] koj se sadrž tar datog otoreog skpa A. Posatrajo kcj Fa jede b projelje [b β b β ]. Kako je F a > b β to ta kcja strogo raste pa s obro da je Fa b to je Fa b β < Fa b β >. Zbog eprekdost sae kcje F akljčjeo da a α a α a a α a α odgoarajće realcje aže ekoj okol tačke α tj. da postoj broj α < α α taka da je a se [a α a α ] spjeo F b β < < F b β. Ako sada a sak taka ksra posatrao kcj F kao real kcj projelje dera a seget [b β b β ] dobjeo da je to strogo rastća eprekda kcja koja a rjedost ralčtog aka a krajea tog segeta. Dakle postoj jedsteo određea rjedost b β b β taka da je F. Pr to je jaso a b jer je b jeda rjedost b β b β a koj je Fa. Dokažo da je oako deraa kcja : U V gdje je U a α a α V b β b β eprekda. S obro da a sak tačk U aže st slo a kcj F kao a tačk a to je dooljo dokaat eprekdost kcje tačk a. Za dat ε < ε < β poaljajć prethod postpak abero δ < δ < α tako da a se a koje je a < δ postoj sao jedo a koje je b < ε F ; a to će ažt. No tada je a b < ε a a < δ što ač da je kcja eprekda tačk a. Te je doka teoree arše. Dopćeo aede teore o egstecj plcte kcje stao koj opsje eka jea sojsta. 57

17 Sta Neka pored sloa - 4 teoree kcja adooljaa slo 5 parcjal od F postoj eprekda je a A tj. eka F C A. Tada je kcja opsaa teore eprekdo derecjabla tj. C U a U až ' F. F Ako je F C p A a ek p N oda je C p U. Teorea sta lako se prošrj a slčaj plcto derae kcje še projeljh... adao jedačo F... što je opet sao specjal slčaj teorea Prjer Dat je sste jedača Nać: a d d ; b d d π. Rješeje: Neka je Jacobja kcja F F s s F F 58. * s s D F F J cos s cos s ctg cos D s s s je detčk jedaka l. Prea toe postoje kcje koje adooljaaj sste *. Zato a ssla tražt derecjale kcja. a Za određaje derecjala d d derecrajo *: s d d d d cos s d s cos d Ako rješo oaj sste po d d dobjeo d d. cos s d s cos d cos cos s cos cos s d d. cos cos cos cos d d c Reltat. d [cos s d d cos s d ] d π Zadatak Dat je sste jedača e e.. 8 π d d. a Pokažte da dat sste jedača dera derecjable kcje a koje je. b Pokažte da je d d d d d. 3 3

18 3.4. Uslo ea ekstre 59 Neka s ϕ... ϕ k glatke kcje derae a oblast E R. Može se posatrat adatak: Isptat a ekstre kcj a skp E E koj je dera jedačaa ϕ... ϕ k 3.4. a koje se aaj jedačaa ee. Dakle clj je ać lokale ekstree kcje e a jeo cjelo doe E ego a skp E koj je dera sloa Decja Fkcja pr postojaj jedača ee a slo l ea aks tačk E koja adooljaa jedače 3.4. ako postoj okola tačke taka da je tačkaa te okole koje adooljaaj jedače U opšte slčaj adatak tražeja sloog ekstrea orlše se a sljedeć ač: Nać ekstre kcje... a porš adaoj paraetarsk t... t... t... t l a porš adaoj jedačaa ϕ ϕ k... k < Važ sljedeća teorea koj aodo be dokaa. Teorea Ako kcja... a porš adaoj jedakosta 3.4. ekoj jeoj tačk A a slo ekstre oda postoj k koecjeata λ... λ k posredsto kojh rjedost oda kcje tačk A s leare kobacje odgoarajćh parcjalh oda kcja ϕ... ϕ k : ϕ ϕk λ λ... k ϕ ϕk λ.... λk M Saka tačka A a... a koja adooljaa jedače aa se sloo stacoaro tačko kcje a datoj porš. Koecjet λ... λ k aaj se Lagrageo ltplkatora. Za alažeje sloh stacoarh tačaka prjejje se sljedeće Lagrageoo pralo: Forra se kcja Φ λ ϕ... λ k ϕ k sa eodređe koecejta λ... λ k. Forra se sste od k jedača: sa k epoath... λ... λ k. Φ'... Φ' ϕ... ϕk I aedeog sstea dobjeo koordate sloh stacoarh tačaka odgoarajće Lagrageoe ltplkatore. Tačke sloog ekstrea alae se eđ ađe slo stacoar tačkaa. Pretpostao da kcja kao kcje pooć kojh je adaa porš aj tačk A eprekde ode drgog reda. Tada: Ako je porš adaa paraetarsk oda se adatak sod a občo sptaje besloog

19 6 občog ekstrea kcje kao kcje paraetara. Kod alažeja sloog ekstrea ckje a porš adaoj jedačaa ϕ... k korsto sljedeće: I Φ a porš sljed da slo stacoar tačk A kcje ožeo satrat besloo stacoaro tačko kcje Φ a se detalje e postpka tražeja lokalh sloh ekstrea kcje še projeljh djet kj [H. Fatkć V. Dragčeć Derecjal rač kcja dj še projeljh Sjetlost Sarajeo 99] l [H. Fatkć Zbork problea odabrah oblast ateatke a žejere Soros ; Coros Sarajeo ] Treća glaa l kj [Mera Pašć Mateatka sa brko rješeh prjera adataka Merkr A.B.D. Zagreb 6] str Prjer Odredte ekstree kcje : a ada slo b a b. Rješeje: Forrajo pooć kcj F ;λ a λ b. Račao: F λ F λ. I sstea jedača: λ λ b * sljed λ tj. ± b. Zajeo e adooljaa jedač b b dobao ± b λ. Dakle λ ± b ± b je rješeje sseta * pa kcja a a eetalo sloe ekstree ± b ± b slo stacoar tačkaa S ± b ± b. Bdć da je F F F λ ; tj. AC B 4 4 Dobao d F d d d d d d. Oaj ra je pota a d d jedak l a d d al oe čjece e ožeo akljčt da je egstecja sloog ekstrea ejesa tj. da treba tražt derecjale šeg reda jer s easo projelje eae sloo b. I oog sloa se dobja d d tj. d U stacoar tačkaa S je pa je d d. Zato je d F d d 8 d > a d. Dakle kcja a ea ± b ± b b a tačkaa S a kroj b. d.

20 3.5. Apsolt ekstre realh kcja še realh projeljh 6 Odje ćeo kratko sao precrat pojoe apsoltog globalog totalog a aksa koje so okr teorje lokalh ekstrea raatral određeoj jer kro prjer kcje koja je eprekda a ogračeo atoreo podskp skpa R. Neka je data kcja : E K E R K R koja je eprekda a atoreoj oblast E. Decja Apsolt akso o kcje E R aa se jea ajeća ajaja rjedost E. Apsolt aks kcje aaj se je apsolt ekstrea. Za apsolte ekstree korste se oake: a { } E { }. E Zao da eprekda kcja a atoreoj oblast dostže soj ajeć ajaj rjedost. Oe rjedost kcja ože dostć kako trašjost E tako a jeoj grac. Ako se apsolt ekstre dostže trašjoj tačk oblast E oda je o storeeo lokal ekstre. Ako se apsolt ekstre dostže tačk koja prpada grac atoree oblast E tada je to tačka sloog ekstrea pr če s jedače ee jedače grace oblast E. Kao što so poel 3.. sptaje sloog ekstrea često je potrebo prlko određaja apsoltog totalog ekstrea eke kcje še projeljh derae ekoj ogračeoj atoreoj oblast. Pr toe tak slčajea občo ea potrebe a sptaje karaktera eetalh stacoarh tačaka eć sao treba račat rjedost posatrae kcje dobje stacoar tačkaa poredt h sa ekstrea te kcje a kotr jeog doea odsoo kotr oblast a kojoj se traže je total ekstre tj. sa rjedosta sloh ekstrea te kcje. Eo jedog takog prjera. Prjer Nađo ajeć ajaj rjedost kcje : R R 6 a skp A : { R : 5}. Rješeje: I. Parcjal od adae kcje 6 8 s 6 o s jedak l tačk 6 8 koja e prpada oblast A II. Kako je adaa kcja očgledo 6 8 eprekda a atoreoj ogračeoj oblast A to oa prea Weerstrassooj teore a ajaj Sl ajeć rjedost a skp A. Prea toe treba odredt ekstree rjedost kcje pr to slo. sl

21 6 III. Za Lagrageo kcj F ada rao F ; λ 6 λ 5 je F λ 6 F λ 5 F λ a 3 4 λ l 3 4 λ 3. Kako je to je tražea ajeća rjedost jedaka 5 a ajaja Zajea projeljh derecjal raa Tehka derecraja kcja še projeljh eksplcto plcto oblk a elk prje kod ajee projeljh ra derecjal raa. Prlko te ajee orao ode t raa ajet oda po o projelj slžeć se pralo a derecraje složeh kcja. Naest ćeo tr osoa slčaja.. Neka ra A F ' '' treba est oe projelje t gdje je t oa easo projelja oa kcja to pooć t g t Derecraje relacje 3.6. dobjeo ' ' ' t t t g t g Aalogo račaao ode šeg reda ''... Tako dobjeo da je A F t t ' tt ''.... Neka ra B F Treba est oe easo projelje pooć g. Tada parcjale ode alao jedača g g slo da je Jacobja D D. Dalj derecraje alao ode šeg reda. 3. Neka eko ra koj sadrž parcjale ode treba ajet easo projelje kcj sa o easo projelj oo kcjo pooć jedača g h Tada parcjale ode ožeo odredt :. h h g g h h g g 3.6.7

22 63 Dalj derecraje ožeo odredt ode šeg reda. Prjer U date derecjale rae edte easo projelj pooć dath ea: d d d d d d d d 4 3 a A ; t b A a s t. Rješeje: a I t sljed d d d d d d d d t d d t d d d d t t t d d t d d d t * d t 4 3 ** Na oso * ** t ada ra postaje d A. d b Reltat. A a. Prjer U date derecjale rae edte oe projelje t easo projelja kcja od t pooć dath ea: a A 4 '' ' e t e t ; b '' ' 3 t t. Rješeje: a Derecrajć relacje e t e t odeć rača da je sada složea kcja od t ; drekto posredo preko tj. da je t t dobao Odade je d ' d '' d d d d ' d t e t d e d d d d e t d t e d t e t d d. d. t t ' e e 3. Otda ra A postaje ako sređaja skraćaja sa e 4t : d d A 3. t e d d b Reltat. d d 8 3. Zadatak Trasoršte jedač t t ođeje sjee e t.