ΕΝΑ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΝΑ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ"

Transcript

1 ΕΝΑ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΑΡΕΤΗ ΠΑΠΑΔΟΓΙΑΝΝΑΚΗ- ΠΑΥΛΑΚΟΥ Μαθηματικός στο Καλλιτεχνικό Σχολείο Ηρακλείου (Γ. Γεννηματά Ηράκλειο Κρήτης- ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται μια πρόταση διδασκαλίας των μαγικών τετραγώνων σε μαθητές γυμνασίου, προσφέροντας στον εκπαιδευτικό και τους μαθητές την ευκαιρία να προσεγγίσουν τα Μαθηματικά με έναν καινούργιο και πολύπλευρο τρόπο. Η παρουσία των μαγικών τετραγώνων στην τέχνη, αλλά και παλαιότερα σε καθημερινές συνήθειες, καθώς και η απλότητά τους, δίνουν την δυνατότητα της πραγμάτωσης μιας διερευνητικής διαδικασίας από τους μαθητές, αφού φαντάζουν οικεία και ενδιαφέροντα, προσκαλώντας τον σε ένα παιχνίδι ανακάλυψης. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τι είναι τα Μαθηματικά; Δημιουργία ή ανακάλυψη; Υπάρχουν ανεξάρτητα από το ανθρώπινο μυαλό; Θα μπορούσαμε να τα προσεγγίσουμε ως την αναζήτηση κανονικότητας, πρόβλεψης του επόμενου βήματος, αναζήτηση και εξήγηση κανόνων που διέπουν τη φύση. Στο σχολείο διδάσκονται τα μαθηματικά, όπως και τα υπόλοιπα μαθήματα του ωρολογίου προγράμματος, με τέτοιο τρόπο που απουσιάζει η περιπέτεια της σκέψης και της φαντασίας του ανθρώπου στη συνεχή προσπάθειά του για την εξέλιξη του πολιτισμού του. Οι μαθητές (όπου στο κείμενο γίνεται χρήση του αρσενικού γένους, όπως σ αυτή την περίπτωση, εννοείται και το θηλυκό) δεν χρειάζονται πληροφόρηση-που στην εποχή μας τους κατακλύζει καθημερινά-αλλά εκπαίδευση. Η αναζήτηση της γνώσης είναι μια συναρπαστική ιστορία αναζήτησης. Βιώνοντας την περιπέτεια της γνώσης, γίνονται οι ίδιοι μέτοχοι αυτής της χιλιετούς ιστορίας κατανοώντας τη διαρκή κίνηση της ανθρώπινης νοημοσύνης που διαφοροποιείται και σημειώνει πρόοδο. ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η συμβολή των Μαθηματικών στην εξέλιξη της νοημοσύνης είναι καθοριστική. Διδασκόμαστε σαν μαθητές έννοιες, τύπους, μεθόδους επίλυσης ασκήσεων, θεωρήματα, σ ένα αυστηρό διδακτικό πλαίσιο

2 αποκομμένο από την αναγκαιότητα της ύπαρξης των Μαθηματικών, της περιγραφής της εξέλιξής τους και της χρησιμότητάς τους. Κατά τον Ζαν Πιαζέ, η πρώτη από τις προϋποθέσεις που αναμφίβολα ισχύουν για κάθε διανοητική εκπαίδευση, αλλά είναι ιδιαίτερα σημαντική για τη διδασκαλία στους διάφορους κλάδους των θετικών επιστημών, είναι η χρήση ενεργητικών μεθόδων που αποδίδουν μεγάλη σημασία στην αυθόρμητη έρευνα του παιδιού ή του εφήβου, και απαιτούν κάθε καινούργια αλήθεια ν ανακαλύπτεται ή τουλάχιστον να τίθεται εκ νέου από το μαθητή και όχι απλώς να του μεταδίδεται, έχοντας τον εκπαιδευτικό όχι έναν απλό ομιλητή που περιορίζεται στη μετάδοση έτοιμων γνώσεων, αλλά έναν αρωγό στη δική του έρευνα και προσπάθεια. Η ίδια η γλώσσα των Μαθηματικών με την αυστηρότητα της δομής της, την απόσταση της μαθηματικής έρευνας και τεχνολογίας από την καθημερινή ζωή, είναι υπεύθυνη για αντιδιαμετρικές στάσεις των ανθρώπων απέναντι στην επιστήμη των αριθμών και των σχημάτων. Χαρακτηριστικά ο μεγάλος μαθηματικός Ανρί Πουανκαρέ ( ) λέει: «Όταν η μαθηματική επιστήμη γίνεται αυστηρή, λαμβάνει έναν τεχνητό χαρακτήρα που εντυπωσιάζει τους πάντες. Λησμονεί τις ιστορικές ρίζες. Καταλαβαίνουμε πως είναι δυνατό ν απαντώνται τα ερωτήματα δεν καταλαβαίνουμε όμως πλέον πως και γιατί τίθονται». Η συμβολή της ιστορίας των Μαθηματικών στην κατανόηση του ρόλου τους στην κοινωνία είναι σημαντική, βοηθώντας επίσης στην καλλιέργεια θετικής στάσης των παιδιών απέναντι στα Μαθηματικά. ΤΟ ΜΑΓΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΩΣ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο Herbert J. Ryser στο βιβλίο του «Συνδυαστικά Μαθηματικά» παρουσιάζει το μαγικό τετράγωνο, γνωστό στην Κίνα αιώνες ήδη προ Χριστού, γράφοντας χαρακτηριστικά: «Πολλά από τα προβλήματα που μελετήθηκαν στο παρελθόν, επειδή παρουσίαζαν ψυχαγωγικό ή αισθητικό ενδιαφέρον, έχουν τεράστια αξία σήμερα στις θεωρητικές και εφαρμοσμένες επιστήμες. Η νέα τεχνολογία με τη ζωτική σημασία που δίνει στο διακριτό, έδωσε στα ψυχαγωγικά Μαθηματικά του παρελθόντος νέους σοβαρούς σκοπούς». Σχ.1

3 Θα παραθέσω αναλυτικά παρακάτω ένα σχέδιο μαθήματος που ήδη έχω διδάξει στη Β τάξη του Καλλιτεχνικού Σχολείου Ηρακλείου, τη σχολική χρονιά , και σε πιο συνοπτική μορφή, στα ειδικά προαιρετικά μαθήματα του τοπικού παραρτήματος της Ε. Μ. Ε. στο Ηράκλειο Κρήτης για την προετοιμασία των υποψηφίων των διαγωνισμών: ΘΑΛΗ, ΕΥΚΛΕΙΔΗ και ΑΡΧΙΜΗΔΗ, τη σχολική χρονιά Θέμα του είναι το μαγικό τετράγωνο. Πέρα από τις ασκήσεις εφαρμογής, όπου οι μαθητές καλούνται να επαναλάβουν αποκτημένες γνώσεις με στόχο την εμπέδωση και καλύτερη κατανόηση των γνώσεων αυτών, υπάρχουν τα προβλήματα. Ένας μαθητής αντιμετωπίζει ένα πρόβλημα όταν ζητάει μια λύση αλλά δεν υπάρχει προφανής τρόπος για να φτάσει στη λύση αυτή. Ο μεγάλος μαθηματικός- παιδαγωγός G. Polya υποστηρίζει ότι το να λύνει κανείς προβλήματα είναι μια πρακτική επιδεξιότητα όπως για παράδειγμα το κολύμπι. Αποκτούμε κάθε πρακτική επιδεξιότητα με τη μίμηση και την εξάσκηση. Όταν προσπαθείτε να λύσετε προβλήματα πρέπει να παρατηρείτε και να μιμείστε αυτό που οι άλλοι κάνουν όταν λύνουν προβλήματα και τελικά μαθαίνετε να λύνετε προβλήματα λύνοντάς τα. Τα Μαθηματικά θεωρούνται ως μέσο για την Σχ.2 καλλιέργεια, την εξάσκηση των ικανοτήτων επίλυσης προβλημάτων. Γι αυτό τον λόγο εξάλλου, υποστηρίζεται ότι η επίλυση προβλημάτων βρίσκεται στην καρδιά κάθε μαθηματικής δραστηριότητας. Στον περιορισμένο χρόνο του μαθήματος, στην πίεση της ύλης που πρέπει ο κάθε διδάσκοντας να ολοκληρώσει, η εικόνα που δίνεται στην τάξη όταν τίθεται ένα πρόβλημα είναι η άμεση λύση του. Ο χρόνος που απαιτείται, η προσπάθεια που καταβάλλεται, ο κόπος, τα λάθη αυτού που επιχειρεί να λύσει το πρόβλημα, απουσιάζουν, δίνοντας έτσι μια ψευδή εικόνα για την ίδια τη φύση του μαθήματος. Ο Ανρί Πουανκαρέ το 1908 έγραψε ότι στηρίζεται στην ασυνείδητη σκέψη για τις ανακαλύψεις του. Χαρακτηριστικά έγραψε: «Στο υποσυνείδητο βασιλεύει ένα είδος ελευθερίας, αν μπορεί κανείς ν αποκαλέσει έτσι την απουσία πειθαρχίας και την αταξία που γεννά το τυχαίο. Μόνο μέσα απ αυτήν την αταξία μπορούν ν αναδυθούν απροσδόκητοι συνδυασμοί». Ο Γάλλος ψυχολόγος Τουλούζ, αναλύοντας τη συμπεριφορά του μεγάλου μαθηματικού έφτασε στο συμπέρασμα ότι ο Πουανκαρέ είχε μάθει πότε ν αφήνει κατά μέρος ένα πρόβλημα, αφού «θεωρούσε ότι κατά τη διάρκεια των διαλειμμάτων το ασυνείδητό του συνεχίζει την επεξεργασία». Το

4 άτομο, επιφανειακά δεν ασχολείται με το πρόβλημα αλλά όπως λέμε κοιμάται επάνω στο πρόβλημα διανύει δηλαδή το στάδιο της επώασης. Η λέξη ευρετικές παράγεται από το ρήμα ευρίσκω και στη σύγχρονη διδακτική των Μαθηματικών σημαίνει στρατηγικές, μεθόδους ή συνήθειες οι οποίες είναι ανεξάρτητες από κάθε ειδικό θέμα ή τη φύση ενός συγκεκριμένου προβλήματος, και βοηθούν τον μαθητή να βρει ένα σωστό τρόπο για να προσεγγίσει, να κατανοήσει ένα πρόβλημα και να συνδυάσει αποτελεσματικά τις προγενέστερες γνώσεις του, μέχρι να φτάσει στη λύση του. Το πρόβλημα, που παρουσιάζεται στο σχέδιο διδασκαλίας, είναι ένα ανοικτό πρόβλημα. Τα χαρακτηριστικά του ανοικτού προβλήματος είναι η συνήθως σύντομη εκφώνησή του σε καθημερινή ή μαθηματική γλώσσα, που δεν προδίδει άμεσα τη λύση ούτε το μαθηματικό εργαλείο που θα χρησιμοποιηθεί, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι η λύση του βασίζεται σ έννοιες που οι μαθητές δεν είναι αρκετά εξοικειωμένοι. Τα ανοικτά προβλήματα θέτουν το μαθητή σε κατάσταση έρευνας, αναπτύσσοντας ικανότητες μεθοδολογίας και αναδεικνύοντας τις διαφορές ανάμεσά τους, διαφορές που συντελούν στην ποικιλία των ιδεών και μεθόδων κάνοντας την διδασκαλία βιωματική και επικοινωνιακή. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ - ΤΟ ΜΑΓΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Σχ.3 Αυτό το μάθημα προτείνεται να διδαχθεί σε τέσσερα μέρη. Τα δύο πρώτα μέρη γίνονται στο τέλος δύο διδακτικών ωρών προετοιμάζοντας τη τάξη για τα επόμενα δύο μέρη που καλύπτουν όλη την ώρα διδασκαλίας, στο πλαίσιο πάντα της διαθεματικότητας στο μάθημα των Μαθηματικών. Μέρος 1 ο Στη τάξη υπάρχει στον τοίχο Πίνακας Ανακοινώσεων Μαθηματικών όπου σε τακτά χρονικά διαστήματα αναρτώνται τόσο από τον διδάσκοντα όσο και από τους μαθητές υλικό με κύριο θέμα τα Μαθηματικά. Επίσης διατηρείται ένας φάκελος όπου φυλάσσεται το υλικό που εκτίθεται. Μπορούν ν αναρτηθούν βιογραφίες / φωτογραφίες μαθηματικών, ανέκδοτα και άρθρα από εφημερίδες, εργασίες παιδιών με θέματα από την τρέχουσα ύλη, παιχνίδια και διασκεδαστικά προβλήματα. Ο καθηγητής φέρνει στην τάξη φωτοτυπίες για να μοιραστούν ανά ομάδα στην τάξη και αναρτεί από μία στον Πίνακα Ανακοινώσεων για να παραμείνουν στη τάξη κατά τη διάρκεια της προτεινόμενης διδασκαλίας. Σχ.4

5 Ακολουθεί διάλογος με κύριο άξονα το συνοδευτικό σχόλιο ανά φωτοτυπία. Φωτοτυπίες 1. Έργο του M. C. ESCHER ( Επικάλυψη-Σχ.3 ) Έργο του Μ. C. ESCHER ( Ανέφικτο-Σχ.4 ) Έργο του LEONARDO DA VINCI (Άνθρωπος-Σχ.5 ) 2. Έργα του ALBRECHT DÜRER : «Melancolia I» ( 1514 ) και «Καλλιτέχνης που ζωγραφίζει ένα λαούτο» (Σχ.1,6). 3. ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ (άρτιας και περιττής τάξης, πρώτων αριθμών, με ντόμινο, ομόκεντρα μαγικά τετράγωνα, Σχ.7,9,2,10,11) Συνοδευτικά σχόλια 1. Τα Μαθηματικά είναι κυρίως λογική και η τέχνη απευθύνεται στο συναίσθημα. Αυτό όμως δεν αποτέλεσε εμπόδιο για αρκετούς καλλιτέχνες όπως οι M. C. Escher, Salvador Dali, Leonardo da Vinci, να χρησιμοποιήσουν ψηφιδωτά, πολύεδρα, ανέφικτα σχήματα, ταινίες Moebius, fractals, στηριζόμενοι σε νόμους συμμετρίας, προοπτικής, τοπολογίας και σύγχρονων Σχ.5 γεωμετριών. 2. Ο Γερμανός ζωγράφος και χαράκτης Albrecht Dürer ( ) είναι ο καλλιτέχνης που προχώρησε περισσότερο από όλους σε μαθηματική σύλληψη, συνδυάζοντας σωστά την προοπτική με τη γεωμετρία. Στο έργο του «Καλλιτέχνης που ζωγραφίζει ένα λαούτο» δίνει ένα μάθημα Προβολικής Γεωμετρίας ενώ χρησιμοποιεί μαθηματικά αντικείμενα ως σύμβολα στο έργο του «Μελαγχολία I». Αυτό το τελευταίο θεωρείται η πιο σύνθετη δουλειά του Dürer. Η ποικιλία των μικρών λεπτομερειών στο χαρακτικό αναστάτωσαν τους μελετητές για αιώνες. Γιατί ο Dürer τοποθέτησε ένα μαγικό τετράγωνο πάνω δεξιά; Οι μελετητές πιστεύουν ότι το χαρακτικό δείχνει την Σχ.6

6 ανεπάρκεια της ανθρώπινης γνώσης στην επίτευξη της θαυμάσιας σοφίας ή της διεισδυτικότητας στα μυστικά της φύσης. 3. Ένα μαγικό τετράγωνο είναι ένα τετράγωνο χωρισμένο σε μικρότερα τετράγωνα που περιέχουν διαφορετικούς αριθμούς με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα των αριθμών να είναι πάντοτε το ίδιο σε κάθε στήλη, γραμμή και διαγώνιο. Το άθροισμα ονομάζεται μαγικός αριθμός ή σταθερά του τετραγώνου. Το πλήθος των μικρών τετραγώνων λέγεται απόλυτη τιμή του τετραγώνου. Το τετράγωνο λέγεται διαστάσεων 3x3 ή τάξεως 3 (περιττή τάξη, Σχ. ), διαστάσεων 4x4 ή τάξεως 4 (άρτια τάξη, Σχ. ) ανάλογα με τον αριθμό των μικρότερων τετραγώνων που έχει χωριστεί ανά γραμμή και στήλη. Αντίστοιχα έχουμε τετράγωνα ν ης τάξης. Εργασία. Να βρείτε πληροφορίες για την ιστορική αναδρομή των μαγικών τετραγώνων. Μέρος 2 ο Στην τάξη διαβάζεται η τελική ομαδική εργασία των μαθητών που δούλεψαν ανατρέχοντας σε σχετική βιβλιογραφία ή μέσα από το διαδίκτυο με θέμα την ιστορία των μαγικών τετραγώνων. Ενδεικτικά αναφέρω την παρακάτω ιστορική αναδρομή : Κανείς δεν γνωρίζει την προέλευση των μαγικών τετραγώνων. Η κατασκευή του σε παλιότερες εποχές αποτελούσε ενδιαφέρουσα απασχόληση για ανήσυχους ανθρώπους. Από τότε που οι αρχαίοι απέδωσαν μαγικές ιδιότητες σε μερικούς αριθμούς, ήταν πολύ φυσικό να προσδοθούν μαγικές ιδιότητες και σ αυτά. Καμωμένο το μαγικό τετράγωνο από ασήμι και κρεμασμένο στο λαιμό σε προφύλασε από την πανώλη, πίστευαν σε μερικές φυλές. Στην Ινδία το φορούσαν ως φυλακτό για προφύλαξη από σοβαρές ασθένειες. Αρχαίοι Πέρσες μάγοι οι οποίοι ειδικεύονταν και στην ιατρική υποστήριζαν ότι θεράπευαν ασθένειες με μαγικά τετράγωνα ακολουθώντας τον ιερό κανόνα Primum, non nocere (πρώτον, να μη βλάπτεις). Τα μαγικά τετράγωνα ήταν γνωστά τόσο στους Κινέζους από την εποχή του αυτοκράτορα Yu ( π. χ. ) όσο και στους Ινδούς. Τον 9 ο μ. Χ. αιώνα έγιναν γνωστά και στους Άραβες, διατηρώντας πάντα τον μυστικιστικό τους χαρακτήρα όπως περιγράφεται σε ινδικά και αραβικά κείμενα τουλάχιστον 1200 ετών. Τα αρχαιότερα μαγικά τετράγωνα βρίσκονται σ ένα κινεζικό κείμενο του 12 ου αιώνα π. Χ., που πρόσφατα έγινε δημοφιλές στο ευρύ κοινό της Δύσης το Ι Τζινγκ ή το βιβλίο των αλλαγών. Μπορεί να γράφτηκε από τον Ουόν ουάνγκ χωρίς να είναι στην πραγματικότητα ένα βιβλίο μαθηματικών, αλλά ένα βιβλίο που

7 χρησιμοποιούνταν από τους Κινέζους επί χιλιετίες για να μαντέψουν ποια πορεία δράσης έπρεπε να ακολουθήσουν σε σημαντικά θέματα. Κατά πάσα πιθανότητα το Ι-Τζινγκ περιέχει γνώση αρχαιότερη, ίχνη της οποίας συναντάμε στην κινεζική μυθολογία. Στο δυτικό κόσμο, τα μαγικά τετράγωνα μελετούνται ως μέρος των Διασκεδαστικών Μαθηματικών, χωρίς υπερφυσικές ιδιότητες, μια και το σημερινό ορθολογικό πνεύμα έχει υπερνικήσει τις δοξασίες του παρελθόντος. Ο Βυζαντινός λόγιος Εμμανουήλ Μοσχόπουλος ( ~ ~1315 ) φέρεται ως ο εισηγητής των μαγικών τετραγώνων στη Δύση, με το ολιγοσέλιδο σχετικό έργο του. Σκοπός του έργου του είναι η διατύπωση για πρώτη φορά κανόνων κατασκευής μαγικών τετραγώνων διαφόρων τάξεων, διατηρώντας τον όρο μαγικό μόνο στον τίτλο χωρίς ν αποδίδει πουθενά μαγικές ιδιότητες σ αυτά. Στη συνέχεια πολλοί ασχολήθηκαν μ αυτά μεταξύ των οποίων και διάσημοι μαθηματικοί όπως ο Μπασέ, ο Όυλερ, ο Φερμά. Σήμερα υπάρχει πολύ μεγάλη ποικιλία από γνωστά μαγικά τετράγωνα με διάφορες επιπλέον μαθηματικές ιδιότητες. Το μαγικό τετράγωνο είναι ένα αρχέτυπο τόσο πλούσιο σε νοήματα και μυστικισμό, όσο το Ι-Τζινγκ. Είναι μία μαθηματική και οπτική αναπαράσταση, ένα φυσικό origami, ένα αστροποβόλημα φωτός. Βιβλία Στη τάξη ο καθηγητής δείχνει στους μαθητές δύο βιβλία. Το πρώτο ανήκει στη κατηγορία των βιβλίων που μπορούν να διαβαστούν σε μια Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας με μαθητές Γυμνασίου. Είναι τα «ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Η ΑΛΙΚΗ ΣΤΗ ΧΩΡΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ» του Κάρλο Φραμπέτι, εκδόσεις Opera, όπου υπάρχει κεφάλαιο με τη συμπλήρωση του μαγικού τετραγώνου που θα ασχοληθούμε παρακάτω και εμείς. Το δεύτερο βιβλίο ανήκει στην κατηγορία των βιβλίων που περιέχουν μαθηματικούς γρίφους και προβλήματα. Είναι το «LEWIS CARROLL S GAMES AND PUZZLES» του Εdward Wakeling, εκδόσεις DOVER PUBLICATIONS, INC., NEW YORK, εμπνευσμένο από την «Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων» του Lewis Carroll. Στο βιβλίο αυτό μπορούμε να δούμε το μαγικό ταχυδρομικό τετράγωνο που επινόησε ο μαθηματικός και συγγραφέας L. Carroll χρησιμοποιώντας τα ταχυδρομικά τέλη της εποχής του. Φωτοτυπίες 1. Το μαγικό τετράγωνο του πίνακα «Melancolia Ι»(Σχ.7). Σχ.7 2. Το μαγικό τετράγωνο του Ισλάμ (Σχ.8)

8 Συνοδευτικά σχόλια 1. Οι μαθητές αναζητούν ιδιότητες του μαγικού τετραγώνου. Είναι άρτιας τάξης 4. Τα δύο κεντρικά νούμερα στην τελευταία σειρά διαβάζονται 1514 τη χρονιά που ο καλλιτέχνης έκανε το χαρακτικό. Το μαγικό άθροισμα είναι 34 όπως είναι και το άθροισμα των αριθμών στα ακριανά τετράγωνα (16,13,4,1) και του μικρού κεντρικού τετραγώνου (10,11,6,7). Το άθροισμα των εναπομείναντων αριθμών είναι το διπλάσιο του 34.Μπορείτε να βρείτε και άλλες ομάδες αριθμών με άθροισμα 34. Μετατρέποντας τους αριθμούς 1,2, 16 στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης, το μαγικό τετράγωνο αποκτά επιπλέον γοητευτικές ιδιότητες συμμετριών. 2. Στο Ισλάμ ο αριθμός 66 αντιστοιχεί στην αριθμητική αξία της λέξης Allah. Στο Ισλαμικό μαγικό τετράγωνο, που εκφράζει τον αριθμό 66 σε κάθε κατεύθυνση όταν τα γράμματα μετατραπούν σε αριθμούς, το πλέγμα του τετραγώνου είναι διαμορφωμένο από τα γράμματα της λέξης Allah. Ανοικτό πρόβλημα Σχ.8 Φτιάξτε το μαγικό τετράγωνο τάξεως 3 και τοποθετήστε στα τετραγωνάκια όλους τους αριθμούς από τον 1 έως και το 9. Μέρος 3 ο 1 ο βήμα: Ποιος είναι ο μαγικός αριθμός του μαγικού τετραγώνου; Πρώτα βρίσκουμε το άθροισμα από το 1 έως το 9. Εδώ μπορούμε να θυμίσουμε το κόλπο του μικρού Gauss για το γρήγορο υπολογισμό ενός (9 1)9 τέτοιου αθροίσματος = =45. 2 Δίνοντας τον ακόλουθο ορισμό: Αριθμητική πρόοδος είναι μία ακολουθία αριθμών που κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση πάντα του ίδιου αριθμού ω, μπορούμε να γενικεύσουμε: αν α ονομάσω τον πρώτο όρο μιας οποιαδήποτε αριθμητικής προόδου, β τον τελευταίο όρο και ν το πλήθος των όρων τότε το άθροισμα των όρων της δίνεται από τον τύπο: ( ). 2 Για να έχουμε και στις 3 γραμμές του τρίτης τάξεως πίνακα το ίδιο άθροισμα πρέπει ο μαγικός αριθμός να είναι 15, δηλαδή 45:3=15. Γενικεύοντας ο μαγικός αριθμός οποιουδήποτε μαγικού τετραγώνου είναι

9 το πηλίκο του συνολικού αθροίσματος των αριθμών που τοποθετώ δια του αριθμού της τάξης του. 2 ο α β γ βήμα: Το τετράγωνο έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων του και άξονες συμμετρίας τις δ κ ε μεσοκάθετες των πλευρών του και τις διαγώνιές του. Λόγω συμμετρίας ξεκινάμε την τοποθέτηση των αριθμών από το κεντρικό τετραγωνάκι. Αν τοποθετήσουμε τον αριθμό κ στη ζ η θ κεντρική θέση και το μαγικό τετράγωνο συμπληρωθεί όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, έχουμε: α+ κ+ θ= 15, δ+ κ+ ε= 15, ζ+ κ + γ= 15. Παρατηρούμε ότι α+δ+ζ=15 και θ+ε+γ=15. Προσθέτοντας λοιπόν κατά μέλη τις 3 παραπάνω ισότητες, παίρνουμε: 15+3κ+15=45, δηλ. 3κ=15, δηλ. κ=5. Άρα τοποθετούμε στο κεντρικό τετραγωνάκι τον αριθμό 5. Μπορούμε να γενικεύσουμε ότι για κάθε μαγικό τετράγωνο τάξεως 3, ο μαγικός αριθμός του είναι τριπλάσιος του αριθμού στην κεντρική θέση. Άραγε συμβαίνει το αντίστοιχο και στα υπόλοιπα μαγικά τετράγωνα περιττής τάξεως; 3 ο βήμα: Πως συνεχίζουμε; Ας εξετάσουμε που θα τοποθετήσουμε το μικρότερο αριθμό μας, το 1. Λόγω συμμετρίας του τετραγώνου υπάρχουν δύο δυνατότητες. Σε ένα γωνιακό τετραγωνάκι ή στο μεσαίο κάποιας πλευράς του. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα εξετάσουμε μία μόνη θέση από κάθε περίπτωση. Θα κάνουμε την απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο. Δηλαδή, υποθέτοντας ότι η P δεν συνεπάγεται την Q, καταλήγουμε συνήθως σε κάτι άτοπο, οπότε είμαστε αναγκασμένοι να δεχτούμε ότι η P συνεπάγεται την Q. Υποθέτουμε λοιπόν ότι το 1 δεν μπορεί να μπει στο μεσαίο τετραγωνάκι κάποιας πλευράς. Το 1 επομένως μπαίνει σ ένα γωνιακό τετραγωνάκι, δηλαδή το 1 βρίσκεται σε τρία αθροίσματα των 15. Από τους αριθμούς που πρέπει να τοποθετήσουμε, μόνο δύο τριάδες που περιέχουν το 1 μας δίνουν άθροισμα 15, οι και Άτοπο, επομένως το 1 δεν μπορεί να μπει σε γωνιακό τετραγωνάκι. Άρα το 1 μπαίνει στο μεσαίο τετραγωνάκι μιας πλευράς. 4 ο βήμα: Τέλος με απλούς υπολογισμούς αθροισμάτων ανά γραμμή, στήλη και διαγώνιο βρίσκουμε τους υπόλοιπους αριθμούς που πρέπει να τοποθετηθούν στο μαγικό τετράγωνο, παίρνοντας μοναδική λύση ως προς τις συμπλήρωση των τριάδων. Ακολουθούν τα βήματα στα παρακάτω σχήματα: 1 5 9

10 Σχ.9 Παρατηρούμε ότι στο δεύτερο βήμα θα μπορούσαμε να εναλλάσσαμε τις θέσεις των 2 και 4, αλλά λόγω της αξονικής συμμετρίας του τετραγώνου κατά τις μεσοκαθέτους των πλευρών του, το μαγικό τετράγωνο που παίρνουμε δεν αποτελεί διαφορετική λύση. Οι μαθητές μπορούν να βρουν λόγω συμμετριών και άλλες λύσεις για το πρόβλημά μας, με περιστροφή ή αντιστροφή, όμως όλες είναι ίδιες. Τα διπλανά μαγικά τετράγωνα, είναι το ένα η εικόνα του άλλου μέσα στον καθρέπτη. Προτεινόμενη άσκηση Να συμπληρωθούν τα παρακάτω μαγικά τετράγωνα: 5 8 Μέρος 4 ο Προβλήματα 1. Στο διπλανό μαγικό τετράγωνο ο μαγικός αριθμός είναι 20 και οι δύο πρώτοι αριθμοί δίνονται. Μπορείτε να βρείτε τους υπόλοιπους; 2. Στο κάτω σχήμα δίνεται ένας πίνακας με 9 τετράγωνα στα α β γ δ 0 ε ζ η θ οποία έχουν τοποθετηθεί οι ακέραιοι αριθμοί α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ και 0 (μηδέν). Το άθροισμα των αριθμών κάθε οριζόντιας γραμμής, κάθε κατακόρυφης στήλης και κάθε διαγωνίου ισούται με κ. Να αποδείξετε ότι κ=0. (Διαγωνισμός «Ο Ευκλείδης» της Ε. Μ. Ε, 1999) 3. Σχηματίστε με τα παρακάτω 8 κομμάτια του ντόμινο ένα μαγικό τετράγωνο τάξεως

11 Ερώτημα Υπάρχει μαγικό τετράγωνο τάξεως 2; Υπόδειξη: Η απάντηση δίνεται με την μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Άλλοι τρόποι κατασκευής μαγικών τετραγώνων Με δεδομένο το μαγικό τετράγωνο που βρήκαμε σαν λύση στο πρόβλημά μας, μπορούμε να σχηματίσουμε και άλλα μαγικά τετράγωνα, αν για παράδειγμα αυξήσουμε όλους τους αριθμούς κατά ένα σταθερό αριθμό ή αν τους αντικαταστήσουμε με τους 9 αρχικούς περιττούς αριθμούς 1,,17. Δείτε τα σχήματα: Άλλος τρόπος είναι να διαλέξουμε έναν οποιοδήποτε αριθμό για να ξεκινήσουμε, π.χ. το 3 και μετά επιλέγουμε δύο άλλους αριθμούς, π.χ. το 2 και το 5(τυχαίους;), που θα προστεθούν στον αρχικό αριθμό σύμφωνα με την παρακάτω διαδικασία: Kατόπιν αντικαθιστούμε τους αριθμούς 1 μέχρι 9 του αρχικού μαγικού τετραγώνου με τη σειρά ,8,13,5,10,15,7,12,17. Το αποτέλεσμα είναι το διπλανό μαγικό τετράγωνο Ερώτημα Μπορούμε να συμπληρώσουμε ένα μαγικό τετράγωνο, όπως του προβλήματός μας, όταν για το κάθε βήμα χρησιμοποιήσουμε τη κίνηση του αλόγου στη σκακιέρα; Υπάρχουν άλλοι τρόποι να συμπληρωθεί; ΕΠΙΛΟΓΟΣ Ολοκληρώνοντας την εισαγωγική αυτή διδασκαλία για τα μαγικά τετράγωνα, προτείνουμε στους μαθητές την σχετική βιβλιογραφία που θα τους φανεί χρήσιμη στην περαιτέρω διερεύνηση του θέματος (π.χ. μέθοδος Μπασέ).

12 Σχ.10 ΒΙΒΛΙΑ - ΑΡΘΡΑ B. Bolt: Μαθηματικές Σπαζοκεφαλιές (Νο 1,2,3), Κάτοπτρο, 1991 C. Clawson: Ο Ταξιδευτής των Μαθηματικών, Κέδρος, 2005 C. Pickover: The Loom of God, Plenum Publishing Corporation, 1997 E. Wakeling: Lewis Carroll s Games and Puzzles, Dover, 1992 E. Sabato: Μια πολύπλοκη ύπαρξη, Εκδόσεις του 21 ου,1996 Γ. Κόταβας: Προσεγγίσεις της έννοιας του ανοιχτού προβλήματος στην διδασκαλία των Μαθηματικών, Ευκλείδης Νο 43, ΕΜΕ, 1995 Ζ. Πιαζέ: Το μέλλον της εκπαίδευσης, Υποδομή, 1979 G. Polya: Πώς να το λύσω, Σπηλιώτη Κ. Φραμπέτι: Καταραμένα Μαθηματικά, Opera, 2004 M. Tahan: Ο άνθρωπος που μετρούσε, Κάτοπτρο, 2002 M. Gardner: Το πανηγύρι των Μαθηματικών, Τροχαλία (β έκδοση) Μ. Θ. Δαυϊδόπουλος, Κ. Γ. Τολιόπουλος: το σαλιγκαρ και κι άλλα γριφώδη Μαθηματικά, Γκατζούλης Μπάμπης Τουμάσης: Σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών, Gutenberg, 1994 Σύγχρονες Διδακτικές Προσεγγίσεις για την Ανάπτυξη Κριτικής Δημιουργικής Σκέψης (για τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση), Ο. Ε. Π. Ε. Κ., 2007 Τα Μαθηματικά Κλειδί Ανάπτυξης, Πρακτικά 17 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, 2000 Διαθεματική προσέγγιση των Μαθηματικών στην Εκπαιδευτική πράξη, Ε. Μ. Ε. παράρτημα κεντρικής Μακεδονίας, Μαθηματική Εβδομάδα, 2007 Y. Perelman: Διασκεδαστικά Μαθηματικά (1 ο μέρος), Κάτοπτρο, 2000 ΑΡΕΤΗ ΠΑΠΑΔΟΓΙΑΝΝΑΚΗ- ΠΑΥΛΑΚΟΥ Μαθηματικός στο Καλλιτεχνικό Σχολείο Ηρακλείου Σχ.11

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΣΚΥΔΡΑΣ Ομάδα ανάπτυξης Μαρία Τσικαλοπούλου, Μαθηματικός Σ Κ Υ Δ Ρ Α / 2 0 1 5 Το αντικείμενο με το οποίο θα ασχοληθούμε είναι τα μαθηματικά της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σην παρουσίαση των διδασκαλιών ή των project μπορούμε να ακολουθήσουμε την φόρμα που παρουσιάζεται παρακάτω. Μια παρουσίαση σύντομη και μια λεπτομερής.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΡΙΑ ΤΣΙΚΑΛΟΠΟΥΛΟΥ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΟΛΕΙΟ - ΣΚΥΔΡΑ,2015 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής Το αντικείμενο με το οποίο θα ασχοληθούμε είναι τα

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Μαθηματικών

Διδακτική των Μαθηματικών Διδακτική των Μαθηματικών Ονοματεπώνυμο : Μαμτζέλλη Χρυσούλα Τάξη : Γ Δημοτικού Κεφάλαιο 43 : Η συμμετρία Πρόκειται για ένα εισαγωγικό μάθημα στην αξονική συμμετρία. Οι μαθητές θα μάθουν πότε δύο σχήματα

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΡΙΑ ΤΣΙΚΑΛΟΠΟΥΛΟΥ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΟΛΕΙΟ Δημοτικό σχολείο Σκύδρας ΣΚΥΔΡΑ,2015 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής Το αντικείμενο με το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την 1 ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την παλαιότερη γνώση τους, σημειώνουν λεπτομέρειες, παρακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ Θέμα Διδασκαλίας Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων (Κεφάλαιο 23 ο ) Σχολείο: 2 ο

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1 Πίνακες πολλαπλασιασμού Το Βεδικό τετράγωνο Στάμη Τσικοπούλου Σ τα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην αριθμητική ένας πίνακας πολλαπλασιασμού (ή αλλιώς ένας πυθαγόρειος πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Άξονες περιγραφής σεναρίου για το ανοικτό θέμα του κλάδου ΠΕ02

Άξονες περιγραφής σεναρίου για το ανοικτό θέμα του κλάδου ΠΕ02 Άξονες περιγραφής σεναρίου για το ανοικτό θέμα του κλάδου ΠΕ02 Ι. Εισαγωγή Το σενάριο είναι κατά βάση ένα σχέδιο μαθήματος, αυτό που πάντα έχει στο μυαλό του ο εκπαιδευτικός πριν μπει στην τάξη να διδάξει.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Μαθηματικά Β Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Ο μαθητής σε μια σύγχρονη τάξη μαθηματικών: Δεν αντιμετωπίζεται ως αποδέκτης μαθηματικών πληροφοριών, αλλά κατασκευάζει δυναμικά τη μαθηματική γνώση μέσα από κατάλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Ομάδα Γ Βότσης Ευστάθιος Γιαζιτσής Παντελής Σπαής Αλέξανδρος Τάτσης Γεώργιος Προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι αρχάριοι προγραμματιστές Εισαγωγή Προβλήματα Δυσκολίες Διδακτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ε Δημοτικού

Μαθηματικά Ε Δημοτικού Μαθηματικά Ε Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης 2014 Πέτρος Κλιάπης 12η Περιφέρεια Θεσσαλονίκης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ IV ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Κ. ΧΡΗΣΤΟΥ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ: Μ. ΣΤΡΙΛΙΓΚΑ ΘΕΜΑ: Η ΚΑΛΥΤΕΡΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2005 Μαγικά Τετράγωνα: ανακαλύπτοντας την ιστορία και την μαγεία τους. Τα μαγικά τετράγωνα από καιρό θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΟΜΙΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015

ΠΡΟΤΑΣΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΟΜΙΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο ΠΡΟΤΑΣΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΟΜΙΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 «Τα Μαθηµατικά µέσα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά.

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. Γ. Οι μαθητές και τα Μαθηματικά. Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. ΠΙΝΑΚΑΣ 55 Στάση

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΠΠΣ. ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ

ΔΕΠΠΣ. ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΔΕΠΠΣ ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών ΔΕΠΠΣ Φ.Ε.Κ., 303/13-03-03, τεύχος Β Φ.Ε.Κ., 304/13-03-03, τεύχος Β Ποιοι λόγοι οδήγησαν στην σύνταξη των ΔΕΠΠΣ Γενικότερες ανάγκες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικός προγραμματισμός για τη διδασκαλία των Μαθηματικών

Ενδεικτικός προγραμματισμός για τη διδασκαλία των Μαθηματικών Αγγελόπουλος Ηρακλής - Γκούντας Ευάγγελος Σχολικοί Σύμβουλοι Ενδεικτικός προγραμματισμός για τη διδασκαλία των Μαθηματικών της Γ δημοτικού Α. Συνοπτικός πίνακας των μηνών διδασκαλίας οποιουδήποτε έτους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΣΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ

ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΑΞΗ: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Μυκηναϊκός Πολιτισμός ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΚΑΛΛΙΑΔΟΥ ΜΑΡΙΑ ΘΕΜΑ: «Η καθημερινή ζωή στον Μυκηναϊκό Κόσμο» Οι μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Αξονική συµµετρία» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 2015 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: ΓΡΙΒΑ ΕΛΕΝΗ 5/2/2015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αυτό το portfolio φτιάχτηκε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Θεμελίωση μιας λύσης ενός προβλήματος από μια πολύπλευρη (multi-faceted) και διαθεματική (multi-disciplinary)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές)

Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές) Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές) Ενδεικτικές τεχνικές διδασκαλίας: 1. Εισήγηση ή διάλεξη ή Μονολογική Παρουσίαση 2. Συζήτηση ή διάλογος 3. Ερωταποκρίσεις 4. Χιονοστιβάδα 5. Καταιγισμός Ιδεών 6. Επίδειξη

Διαβάστε περισσότερα

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις Έργο: «Ένταξη παιδιών παλιννοστούντων και αλλοδαπών στο σχολείο - για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση (Γυμνάσιο)» Επιμορφωτικό Σεμινάριο Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές

Διαβάστε περισσότερα

Πορεία της εργασίας. Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος και να χρησιμοποιούν όρους όπως ψηλό-χαμηλό, μακρύ-κοντό, και πλατύ-στενό.

Πορεία της εργασίας. Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος και να χρησιμοποιούν όρους όπως ψηλό-χαμηλό, μακρύ-κοντό, και πλατύ-στενό. 1 η περίοδος Ενότητα 2η: Πρόσθεση και ανάλυση αριθμών μέχρι το 5 Στόχοι της ενότητας: Μετά το τέλος της ενότητας οι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί να: Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΕΤΗ ΚΑΜΠΟΥΡΟΛΙΑ. Δασκάλα Τμήματος Ένταξης Μαράσλειο Διδασκαλείο ΕΑΕ

ΑΡΕΤΗ ΚΑΜΠΟΥΡΟΛΙΑ. Δασκάλα Τμήματος Ένταξης Μαράσλειο Διδασκαλείο ΕΑΕ ΑΡΕΤΗ ΚΑΜΠΟΥΡΟΛΙΑ Δασκάλα Τμήματος Ένταξης Μαράσλειο Διδασκαλείο ΕΑΕ Οι αποτελεσματικοί εκπαιδευτικοί γνωρίζουν: - Τους μαθητές - Το γνωστικό αντικείμενο - Τις θεωρίες μάθησης - Αποτελεσματικές πρακτικές

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννης Αγιοργιωτάκης Μαθηματικός στο Σ.Δ.Ε. Αλεξανδρούπολης. Παρουσίαση. Τίτλος Το παιχνίδι της προπαίδειας.

Γιάννης Αγιοργιωτάκης Μαθηματικός στο Σ.Δ.Ε. Αλεξανδρούπολης. Παρουσίαση. Τίτλος Το παιχνίδι της προπαίδειας. Παρουσίαση Γιάννης Αγιοργιωτάκης Μαθηματικός στο Σ.Δ.Ε. Αλεξανδρούπολης Τίτλος Το παιχνίδι της προπαίδειας. Σκοποί και Στόχοι 1. Να απομνημονεύσουν οι εκπαιδευόμενοι τον Πυθαγόρειο πίνακα του πολλαπλασιασμού..

Διαβάστε περισσότερα

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Σκοπός του Μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δραστηριότητα 8 ης εβδομάδας ΟΜΑΔΑΣ Α: Γ. Πολυμέρης, Χ. Ηλιούδη, Ν. Μαλλιαρός και Δ. Θεοτόκης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιγραφή Η συγκεκριμένη δραστηριότητα αποτελεί μια πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές

Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Φοιτητής: Σκαρπέντζος Γεώργιος Καθηγήτρια: Κολέζα Ευγενία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βασικές θεωρίες σχεδιασμού της διδασκαλίας Δραστηριότητες και κατανόηση εννοιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ

ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ Οι Δ/τές ως προωθητές αλλαγών με κέντρο τη μάθηση Χαράσσουν τις κατευθύνσεις Σχεδιάσουν την εφαρμογή στη σχολική πραγματικότητα Αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Μέχρι πριν λίγα χρόνια ηαντίληψη που επικρατούσε ήταν ότι ημαθηματική γνώση είναι ένα αγαθό που έχει παραχθεί και καλούνται οι μαθητές να το καταναλώσουν αποστηθίζοντάς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΛΟΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ - Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ (ενδεικτικά)

ΠΙΛΟΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ - Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ (ενδεικτικά) ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ Διεξαγωγή μικρής έρευνας στο Γυμνάσιο Β' Γυμνασίου Διδάσκουσα: Ασπράκη Γαβριέλλα Νεοελληνική Γλώσσα email: gabby.aspraki@gmail.com ΠΙΛΟΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ - Η

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος

Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος Ακολούθως αναπτύσσονται ορισμένα διευκρινιστικά σχόλια για το Σχέδιο Μαθήματος. Αφετηρία για τον ακόλουθο σχολιασμό υπήρξαν οι σχετικές υποδείξεις που μας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης Περιεχόμενα Δομές δεδομένων 37. Δομές δεδομένων (θεωρητικά στοιχεία)...11 38. Εισαγωγή στους μονοδιάστατους πίνακες...16 39. Βασικές επεξεργασίες στους μονοδιάστατους πίνακες...25 40. Ασκήσεις στους μονοδιάστατους

Διαβάστε περισσότερα

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Πέντε Προτάσεις Αντιμετώπισης των υσκολιών στην Ανάγνωση

Πέντε Προτάσεις Αντιμετώπισης των υσκολιών στην Ανάγνωση Πέντε Προτάσεις Αντιμετώπισης των υσκολιών στην Ανάγνωση Tο φαινόμενο της ανάγνωσης προσεγγίζεται ως ολική διαδικασία, δηλαδή ως λεξιλόγιο, ως προφορική έκφραση και ως κατανόηση. ημήτρης Γουλής Πρώτη Πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

Άρθρο 2. Διάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραμμάτων Γενικού Λυκείου

Άρθρο 2. Διάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραμμάτων Γενικού Λυκείου Άρθρο 2 Διάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραμμάτων Γενικού Λυκείου 1. Η Α Τάξη Ημερήσιου Γενικού Λυκείου αποτελεί τάξη αποκλειστικά γενικής παιδείας, στην οποία εφαρμόζεται πρόγραμμα μαθημάτων τριάντα πέντε

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Χρυσή Κ. Καραπαναγιώτη Τμήμα Χημείας Αντικείμενο και Αναγκαιότητα Μετασχηματισμός της φυσικοεπιστημονικής γνώσης στη σχολική της εκδοχή.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΒΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΒΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΒΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Μόνο με το αίσθημα μπορείς να διδάξεις. Αν καθήσεις στην έδρα η ποίηση θα φύγει από το παράθυρο. «Κώστας Μόντης» Βασικές αρχές: 1) Το λογοτεχνικό

Διαβάστε περισσότερα

Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014. Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση

Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014. Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014 Δημήτρης Μπίρμπας ΠΠΛ Αγίων Αναργύρων Σοφία Παππά ΠΠΛ Ζάννειο Πειραιά Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση

Διαβάστε περισσότερα

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007 1 / 15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-122) Διάλεξη 1 Εισαγωγή (ΨΥΧ-122) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 1 Εισαγωγή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικό σημείωμα ΠΗΓΑΣΟΣ 1984

Εισαγωγικό σημείωμα ΠΗΓΑΣΟΣ 1984 Εισαγωγικό σημείωμα Τα Φροντιστήρια Πανελλαδικών Εξετάσεων ΠΗΓΑΣΟΣ ιδρύθηκαν το 1984 από τον Κωνσταντίνο Λαμπρόπουλο και εδρεύουν στα Βόρεια προάστια επί της οδού Θέμιδος 1 στην πλατεία του ηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση του Εκπαιδευτικού Προγράμματος. Εκπαίδευση μέσα από την Τέχνη. [Αξιολόγηση των 5 πιλοτικών τμημάτων]

Αξιολόγηση του Εκπαιδευτικού Προγράμματος. Εκπαίδευση μέσα από την Τέχνη. [Αξιολόγηση των 5 πιλοτικών τμημάτων] Αξιολόγηση του Εκπαιδευτικού Προγράμματος Εκπαίδευση μέσα από την Τέχνη [Αξιολόγηση των 5 πιλοτικών τμημάτων] 1. Είστε ικανοποιημένος/η από το Πρόγραμμα; Μ. Ο. απαντήσεων: 4,7 Ικανοποιήθηκαν σε απόλυτο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης

Μαθηματικά Γ Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Μαθηματικά Γ Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση της προϋπάρχουσας

Διαβάστε περισσότερα

από ευχάριστες δραστηριότητες, όπως εκείνες της προανάγνωσης,, ενώ παράλληλα συνειδητοποιούν το φωνημικό χαρακτήρα της γλώσσας και διακρίνουν τα

από ευχάριστες δραστηριότητες, όπως εκείνες της προανάγνωσης,, ενώ παράλληλα συνειδητοποιούν το φωνημικό χαρακτήρα της γλώσσας και διακρίνουν τα ΔΕΥΤΕΡΑ Προσέλευση νηπίων και αυθόρμητες δραστηριότητες στις οργανωμένες γωνιές της τάξης. Το ελεύθερο παιχνίδι είτε ατομικό,είτε ομαδικό σε ελκυστικά οργανωμένες γωνιές επιτρέπει στα παιδιά να χρησιμοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών Παράρτημα 1: Τεχνική έκθεση τεκμηρίωσης σεναρίου Το εκπαιδευτικό σενάριο που θα σχεδιαστεί πρέπει να συνοδεύεται από μια τεχνική έκθεση τεκμηρίωσής του. Η τεχνική αυτή έκθεση (με τη μορφή του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Αριθμητικά συστήματα 123, 231, 312 Τι σημαίνουν; Τι δίνει αξία σε κάθε ίδιο ψηφίο; Ποια είναι η αξία του κάθε ψηφίου; Αριθμητικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΚΡΙΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΡΓΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΚΡΙΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΡΓΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟΤΗΤΑΣ, ΚΡΙΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΡΓΑΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Οι τρεις διαστάσεις της μάθησης Αλέξης Κόκκος Ο Knud Illeris, ο σημαντικότερος ίσως θεωρητικός της μάθησης σήμερα, στο κείμενό του «Μια

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΜΟΥΣΕΙΟ ΤΩΝ ΜΥΚΗΝΩΝ. «Τα μυστικά ενός αγγείου»

ΣΤΟ ΜΟΥΣΕΙΟ ΤΩΝ ΜΥΚΗΝΩΝ. «Τα μυστικά ενός αγγείου» ΣΤΟ ΜΟΥΣΕΙΟ ΤΩΝ ΜΥΚΗΝΩΝ «Τα μυστικά ενός αγγείου» ΜΠΙΛΙΟΥΡΗ ΑΡΓΥΡΗ 2011 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΟΥΣΕΙΑΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ «ΤΑ ΜΥΣΤΙΚΑ ΕΝΟΣ ΑΓΓΕΙΟΥ» ΘΕΜΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Η παρούσα εργασία αποτελεί το θεωρητικό

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριμία με τα παιδιά: [π.χ. πλήθος παιδιών, κατανομή ανά φύλο/εθνότητα, αναλογία προνήπια/νήπια, κανόνες τάξης, καθημερινές ρουτίνες]

Γνωριμία με τα παιδιά: [π.χ. πλήθος παιδιών, κατανομή ανά φύλο/εθνότητα, αναλογία προνήπια/νήπια, κανόνες τάξης, καθημερινές ρουτίνες] ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Παρατήρηση 1: κουλτούρες πρακτικής μαθηματικών Σχολείο, Τάξη, Παιδιά Γνωριμία με το σχολείο: Που βρίσκεται; Πώς θα το περιγράφατε; [π.χ. περιοχή, κοινότητα, πλήθος παιδιών (φύλο, εθνότητα), κοινωνικο-οικονομικό

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ -ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ -ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Σχέδιο Διδασκαλίας Τάξη: Β Γυμνασίου Μάθημα: Νεοελληνική Γλώσσα Θέμα: Η συνοχή ενός ευρύτερου Κειμένου Διάρκεια: Μία περίοδος Στην τέταρτη ενότητα ο προγραμματισμός προβλέπει έξι περιόδους. Η συγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Dr. Anthony Montgomery Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής & Κοινωνικής Πολιτικής antmont@uom.gr Ποιός είναι ο σκοπός του μαθήματος μας? Στο τέλος του σημερινού μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας: Πρακτικές ιδέες για τη διδασκαλία ενός θεωρητικού μαθήματος

Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας: Πρακτικές ιδέες για τη διδασκαλία ενός θεωρητικού μαθήματος Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας: Πρακτικές ιδέες για τη διδασκαλία ενός θεωρητικού μαθήματος Πάσχου Αικατερίνη 1 katpas@sch.gr 1 Εκπαιδευτικός Πληροφορικής, 2 ο ΕΠΑ.Λ. Καρδίτσας Περίληψη Το μάθημα Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΑΓΝΩΣΤΩΝ - ΣΚΙΑΘΟΣ, 7-11 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Μαθηµατικής Λογοτεχνίας

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΑΓΝΩΣΤΩΝ - ΣΚΙΑΘΟΣ, 7-11 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Μαθηµατικής Λογοτεχνίας ΥΠΟΘΕΣΗ ΡΙΜΑΝ (Η ΕΜΜΟΝΗ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ) του John Derbyshire (Εκδόσεις Τραυλός) Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ του Marcus du Sautoy (Εκδόσεις Τραυλός) Γενικά Υπόθεση Ρίµαν Όλες οι µη τετριµµένες

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή Μαθησιακών Στόχων και Κριτηρίων Επιτυχίας: Αξιολόγηση για Μάθηση στην Πράξη

Κατασκευή Μαθησιακών Στόχων και Κριτηρίων Επιτυχίας: Αξιολόγηση για Μάθηση στην Πράξη Κατασκευή Μαθησιακών Στόχων και Κριτηρίων Επιτυχίας: Αξιολόγηση για Μάθηση στην Πράξη Μαργαρίτα Χριστοφορίδου 25 Απριλίου 2015 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΗΜΕΡΙΔΑ «ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ- ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΑΣΕΙΣ-ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα