ΕΝΑ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΝΑ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ"

Transcript

1 ΕΝΑ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΑΡΕΤΗ ΠΑΠΑΔΟΓΙΑΝΝΑΚΗ- ΠΑΥΛΑΚΟΥ Μαθηματικός στο Καλλιτεχνικό Σχολείο Ηρακλείου (Γ. Γεννηματά Ηράκλειο Κρήτης- ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται μια πρόταση διδασκαλίας των μαγικών τετραγώνων σε μαθητές γυμνασίου, προσφέροντας στον εκπαιδευτικό και τους μαθητές την ευκαιρία να προσεγγίσουν τα Μαθηματικά με έναν καινούργιο και πολύπλευρο τρόπο. Η παρουσία των μαγικών τετραγώνων στην τέχνη, αλλά και παλαιότερα σε καθημερινές συνήθειες, καθώς και η απλότητά τους, δίνουν την δυνατότητα της πραγμάτωσης μιας διερευνητικής διαδικασίας από τους μαθητές, αφού φαντάζουν οικεία και ενδιαφέροντα, προσκαλώντας τον σε ένα παιχνίδι ανακάλυψης. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τι είναι τα Μαθηματικά; Δημιουργία ή ανακάλυψη; Υπάρχουν ανεξάρτητα από το ανθρώπινο μυαλό; Θα μπορούσαμε να τα προσεγγίσουμε ως την αναζήτηση κανονικότητας, πρόβλεψης του επόμενου βήματος, αναζήτηση και εξήγηση κανόνων που διέπουν τη φύση. Στο σχολείο διδάσκονται τα μαθηματικά, όπως και τα υπόλοιπα μαθήματα του ωρολογίου προγράμματος, με τέτοιο τρόπο που απουσιάζει η περιπέτεια της σκέψης και της φαντασίας του ανθρώπου στη συνεχή προσπάθειά του για την εξέλιξη του πολιτισμού του. Οι μαθητές (όπου στο κείμενο γίνεται χρήση του αρσενικού γένους, όπως σ αυτή την περίπτωση, εννοείται και το θηλυκό) δεν χρειάζονται πληροφόρηση-που στην εποχή μας τους κατακλύζει καθημερινά-αλλά εκπαίδευση. Η αναζήτηση της γνώσης είναι μια συναρπαστική ιστορία αναζήτησης. Βιώνοντας την περιπέτεια της γνώσης, γίνονται οι ίδιοι μέτοχοι αυτής της χιλιετούς ιστορίας κατανοώντας τη διαρκή κίνηση της ανθρώπινης νοημοσύνης που διαφοροποιείται και σημειώνει πρόοδο. ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η συμβολή των Μαθηματικών στην εξέλιξη της νοημοσύνης είναι καθοριστική. Διδασκόμαστε σαν μαθητές έννοιες, τύπους, μεθόδους επίλυσης ασκήσεων, θεωρήματα, σ ένα αυστηρό διδακτικό πλαίσιο

2 αποκομμένο από την αναγκαιότητα της ύπαρξης των Μαθηματικών, της περιγραφής της εξέλιξής τους και της χρησιμότητάς τους. Κατά τον Ζαν Πιαζέ, η πρώτη από τις προϋποθέσεις που αναμφίβολα ισχύουν για κάθε διανοητική εκπαίδευση, αλλά είναι ιδιαίτερα σημαντική για τη διδασκαλία στους διάφορους κλάδους των θετικών επιστημών, είναι η χρήση ενεργητικών μεθόδων που αποδίδουν μεγάλη σημασία στην αυθόρμητη έρευνα του παιδιού ή του εφήβου, και απαιτούν κάθε καινούργια αλήθεια ν ανακαλύπτεται ή τουλάχιστον να τίθεται εκ νέου από το μαθητή και όχι απλώς να του μεταδίδεται, έχοντας τον εκπαιδευτικό όχι έναν απλό ομιλητή που περιορίζεται στη μετάδοση έτοιμων γνώσεων, αλλά έναν αρωγό στη δική του έρευνα και προσπάθεια. Η ίδια η γλώσσα των Μαθηματικών με την αυστηρότητα της δομής της, την απόσταση της μαθηματικής έρευνας και τεχνολογίας από την καθημερινή ζωή, είναι υπεύθυνη για αντιδιαμετρικές στάσεις των ανθρώπων απέναντι στην επιστήμη των αριθμών και των σχημάτων. Χαρακτηριστικά ο μεγάλος μαθηματικός Ανρί Πουανκαρέ ( ) λέει: «Όταν η μαθηματική επιστήμη γίνεται αυστηρή, λαμβάνει έναν τεχνητό χαρακτήρα που εντυπωσιάζει τους πάντες. Λησμονεί τις ιστορικές ρίζες. Καταλαβαίνουμε πως είναι δυνατό ν απαντώνται τα ερωτήματα δεν καταλαβαίνουμε όμως πλέον πως και γιατί τίθονται». Η συμβολή της ιστορίας των Μαθηματικών στην κατανόηση του ρόλου τους στην κοινωνία είναι σημαντική, βοηθώντας επίσης στην καλλιέργεια θετικής στάσης των παιδιών απέναντι στα Μαθηματικά. ΤΟ ΜΑΓΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΩΣ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο Herbert J. Ryser στο βιβλίο του «Συνδυαστικά Μαθηματικά» παρουσιάζει το μαγικό τετράγωνο, γνωστό στην Κίνα αιώνες ήδη προ Χριστού, γράφοντας χαρακτηριστικά: «Πολλά από τα προβλήματα που μελετήθηκαν στο παρελθόν, επειδή παρουσίαζαν ψυχαγωγικό ή αισθητικό ενδιαφέρον, έχουν τεράστια αξία σήμερα στις θεωρητικές και εφαρμοσμένες επιστήμες. Η νέα τεχνολογία με τη ζωτική σημασία που δίνει στο διακριτό, έδωσε στα ψυχαγωγικά Μαθηματικά του παρελθόντος νέους σοβαρούς σκοπούς». Σχ.1

3 Θα παραθέσω αναλυτικά παρακάτω ένα σχέδιο μαθήματος που ήδη έχω διδάξει στη Β τάξη του Καλλιτεχνικού Σχολείου Ηρακλείου, τη σχολική χρονιά , και σε πιο συνοπτική μορφή, στα ειδικά προαιρετικά μαθήματα του τοπικού παραρτήματος της Ε. Μ. Ε. στο Ηράκλειο Κρήτης για την προετοιμασία των υποψηφίων των διαγωνισμών: ΘΑΛΗ, ΕΥΚΛΕΙΔΗ και ΑΡΧΙΜΗΔΗ, τη σχολική χρονιά Θέμα του είναι το μαγικό τετράγωνο. Πέρα από τις ασκήσεις εφαρμογής, όπου οι μαθητές καλούνται να επαναλάβουν αποκτημένες γνώσεις με στόχο την εμπέδωση και καλύτερη κατανόηση των γνώσεων αυτών, υπάρχουν τα προβλήματα. Ένας μαθητής αντιμετωπίζει ένα πρόβλημα όταν ζητάει μια λύση αλλά δεν υπάρχει προφανής τρόπος για να φτάσει στη λύση αυτή. Ο μεγάλος μαθηματικός- παιδαγωγός G. Polya υποστηρίζει ότι το να λύνει κανείς προβλήματα είναι μια πρακτική επιδεξιότητα όπως για παράδειγμα το κολύμπι. Αποκτούμε κάθε πρακτική επιδεξιότητα με τη μίμηση και την εξάσκηση. Όταν προσπαθείτε να λύσετε προβλήματα πρέπει να παρατηρείτε και να μιμείστε αυτό που οι άλλοι κάνουν όταν λύνουν προβλήματα και τελικά μαθαίνετε να λύνετε προβλήματα λύνοντάς τα. Τα Μαθηματικά θεωρούνται ως μέσο για την Σχ.2 καλλιέργεια, την εξάσκηση των ικανοτήτων επίλυσης προβλημάτων. Γι αυτό τον λόγο εξάλλου, υποστηρίζεται ότι η επίλυση προβλημάτων βρίσκεται στην καρδιά κάθε μαθηματικής δραστηριότητας. Στον περιορισμένο χρόνο του μαθήματος, στην πίεση της ύλης που πρέπει ο κάθε διδάσκοντας να ολοκληρώσει, η εικόνα που δίνεται στην τάξη όταν τίθεται ένα πρόβλημα είναι η άμεση λύση του. Ο χρόνος που απαιτείται, η προσπάθεια που καταβάλλεται, ο κόπος, τα λάθη αυτού που επιχειρεί να λύσει το πρόβλημα, απουσιάζουν, δίνοντας έτσι μια ψευδή εικόνα για την ίδια τη φύση του μαθήματος. Ο Ανρί Πουανκαρέ το 1908 έγραψε ότι στηρίζεται στην ασυνείδητη σκέψη για τις ανακαλύψεις του. Χαρακτηριστικά έγραψε: «Στο υποσυνείδητο βασιλεύει ένα είδος ελευθερίας, αν μπορεί κανείς ν αποκαλέσει έτσι την απουσία πειθαρχίας και την αταξία που γεννά το τυχαίο. Μόνο μέσα απ αυτήν την αταξία μπορούν ν αναδυθούν απροσδόκητοι συνδυασμοί». Ο Γάλλος ψυχολόγος Τουλούζ, αναλύοντας τη συμπεριφορά του μεγάλου μαθηματικού έφτασε στο συμπέρασμα ότι ο Πουανκαρέ είχε μάθει πότε ν αφήνει κατά μέρος ένα πρόβλημα, αφού «θεωρούσε ότι κατά τη διάρκεια των διαλειμμάτων το ασυνείδητό του συνεχίζει την επεξεργασία». Το

4 άτομο, επιφανειακά δεν ασχολείται με το πρόβλημα αλλά όπως λέμε κοιμάται επάνω στο πρόβλημα διανύει δηλαδή το στάδιο της επώασης. Η λέξη ευρετικές παράγεται από το ρήμα ευρίσκω και στη σύγχρονη διδακτική των Μαθηματικών σημαίνει στρατηγικές, μεθόδους ή συνήθειες οι οποίες είναι ανεξάρτητες από κάθε ειδικό θέμα ή τη φύση ενός συγκεκριμένου προβλήματος, και βοηθούν τον μαθητή να βρει ένα σωστό τρόπο για να προσεγγίσει, να κατανοήσει ένα πρόβλημα και να συνδυάσει αποτελεσματικά τις προγενέστερες γνώσεις του, μέχρι να φτάσει στη λύση του. Το πρόβλημα, που παρουσιάζεται στο σχέδιο διδασκαλίας, είναι ένα ανοικτό πρόβλημα. Τα χαρακτηριστικά του ανοικτού προβλήματος είναι η συνήθως σύντομη εκφώνησή του σε καθημερινή ή μαθηματική γλώσσα, που δεν προδίδει άμεσα τη λύση ούτε το μαθηματικό εργαλείο που θα χρησιμοποιηθεί, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι η λύση του βασίζεται σ έννοιες που οι μαθητές δεν είναι αρκετά εξοικειωμένοι. Τα ανοικτά προβλήματα θέτουν το μαθητή σε κατάσταση έρευνας, αναπτύσσοντας ικανότητες μεθοδολογίας και αναδεικνύοντας τις διαφορές ανάμεσά τους, διαφορές που συντελούν στην ποικιλία των ιδεών και μεθόδων κάνοντας την διδασκαλία βιωματική και επικοινωνιακή. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ - ΤΟ ΜΑΓΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Σχ.3 Αυτό το μάθημα προτείνεται να διδαχθεί σε τέσσερα μέρη. Τα δύο πρώτα μέρη γίνονται στο τέλος δύο διδακτικών ωρών προετοιμάζοντας τη τάξη για τα επόμενα δύο μέρη που καλύπτουν όλη την ώρα διδασκαλίας, στο πλαίσιο πάντα της διαθεματικότητας στο μάθημα των Μαθηματικών. Μέρος 1 ο Στη τάξη υπάρχει στον τοίχο Πίνακας Ανακοινώσεων Μαθηματικών όπου σε τακτά χρονικά διαστήματα αναρτώνται τόσο από τον διδάσκοντα όσο και από τους μαθητές υλικό με κύριο θέμα τα Μαθηματικά. Επίσης διατηρείται ένας φάκελος όπου φυλάσσεται το υλικό που εκτίθεται. Μπορούν ν αναρτηθούν βιογραφίες / φωτογραφίες μαθηματικών, ανέκδοτα και άρθρα από εφημερίδες, εργασίες παιδιών με θέματα από την τρέχουσα ύλη, παιχνίδια και διασκεδαστικά προβλήματα. Ο καθηγητής φέρνει στην τάξη φωτοτυπίες για να μοιραστούν ανά ομάδα στην τάξη και αναρτεί από μία στον Πίνακα Ανακοινώσεων για να παραμείνουν στη τάξη κατά τη διάρκεια της προτεινόμενης διδασκαλίας. Σχ.4

5 Ακολουθεί διάλογος με κύριο άξονα το συνοδευτικό σχόλιο ανά φωτοτυπία. Φωτοτυπίες 1. Έργο του M. C. ESCHER ( Επικάλυψη-Σχ.3 ) Έργο του Μ. C. ESCHER ( Ανέφικτο-Σχ.4 ) Έργο του LEONARDO DA VINCI (Άνθρωπος-Σχ.5 ) 2. Έργα του ALBRECHT DÜRER : «Melancolia I» ( 1514 ) και «Καλλιτέχνης που ζωγραφίζει ένα λαούτο» (Σχ.1,6). 3. ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ (άρτιας και περιττής τάξης, πρώτων αριθμών, με ντόμινο, ομόκεντρα μαγικά τετράγωνα, Σχ.7,9,2,10,11) Συνοδευτικά σχόλια 1. Τα Μαθηματικά είναι κυρίως λογική και η τέχνη απευθύνεται στο συναίσθημα. Αυτό όμως δεν αποτέλεσε εμπόδιο για αρκετούς καλλιτέχνες όπως οι M. C. Escher, Salvador Dali, Leonardo da Vinci, να χρησιμοποιήσουν ψηφιδωτά, πολύεδρα, ανέφικτα σχήματα, ταινίες Moebius, fractals, στηριζόμενοι σε νόμους συμμετρίας, προοπτικής, τοπολογίας και σύγχρονων Σχ.5 γεωμετριών. 2. Ο Γερμανός ζωγράφος και χαράκτης Albrecht Dürer ( ) είναι ο καλλιτέχνης που προχώρησε περισσότερο από όλους σε μαθηματική σύλληψη, συνδυάζοντας σωστά την προοπτική με τη γεωμετρία. Στο έργο του «Καλλιτέχνης που ζωγραφίζει ένα λαούτο» δίνει ένα μάθημα Προβολικής Γεωμετρίας ενώ χρησιμοποιεί μαθηματικά αντικείμενα ως σύμβολα στο έργο του «Μελαγχολία I». Αυτό το τελευταίο θεωρείται η πιο σύνθετη δουλειά του Dürer. Η ποικιλία των μικρών λεπτομερειών στο χαρακτικό αναστάτωσαν τους μελετητές για αιώνες. Γιατί ο Dürer τοποθέτησε ένα μαγικό τετράγωνο πάνω δεξιά; Οι μελετητές πιστεύουν ότι το χαρακτικό δείχνει την Σχ.6

6 ανεπάρκεια της ανθρώπινης γνώσης στην επίτευξη της θαυμάσιας σοφίας ή της διεισδυτικότητας στα μυστικά της φύσης. 3. Ένα μαγικό τετράγωνο είναι ένα τετράγωνο χωρισμένο σε μικρότερα τετράγωνα που περιέχουν διαφορετικούς αριθμούς με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα των αριθμών να είναι πάντοτε το ίδιο σε κάθε στήλη, γραμμή και διαγώνιο. Το άθροισμα ονομάζεται μαγικός αριθμός ή σταθερά του τετραγώνου. Το πλήθος των μικρών τετραγώνων λέγεται απόλυτη τιμή του τετραγώνου. Το τετράγωνο λέγεται διαστάσεων 3x3 ή τάξεως 3 (περιττή τάξη, Σχ. ), διαστάσεων 4x4 ή τάξεως 4 (άρτια τάξη, Σχ. ) ανάλογα με τον αριθμό των μικρότερων τετραγώνων που έχει χωριστεί ανά γραμμή και στήλη. Αντίστοιχα έχουμε τετράγωνα ν ης τάξης. Εργασία. Να βρείτε πληροφορίες για την ιστορική αναδρομή των μαγικών τετραγώνων. Μέρος 2 ο Στην τάξη διαβάζεται η τελική ομαδική εργασία των μαθητών που δούλεψαν ανατρέχοντας σε σχετική βιβλιογραφία ή μέσα από το διαδίκτυο με θέμα την ιστορία των μαγικών τετραγώνων. Ενδεικτικά αναφέρω την παρακάτω ιστορική αναδρομή : Κανείς δεν γνωρίζει την προέλευση των μαγικών τετραγώνων. Η κατασκευή του σε παλιότερες εποχές αποτελούσε ενδιαφέρουσα απασχόληση για ανήσυχους ανθρώπους. Από τότε που οι αρχαίοι απέδωσαν μαγικές ιδιότητες σε μερικούς αριθμούς, ήταν πολύ φυσικό να προσδοθούν μαγικές ιδιότητες και σ αυτά. Καμωμένο το μαγικό τετράγωνο από ασήμι και κρεμασμένο στο λαιμό σε προφύλασε από την πανώλη, πίστευαν σε μερικές φυλές. Στην Ινδία το φορούσαν ως φυλακτό για προφύλαξη από σοβαρές ασθένειες. Αρχαίοι Πέρσες μάγοι οι οποίοι ειδικεύονταν και στην ιατρική υποστήριζαν ότι θεράπευαν ασθένειες με μαγικά τετράγωνα ακολουθώντας τον ιερό κανόνα Primum, non nocere (πρώτον, να μη βλάπτεις). Τα μαγικά τετράγωνα ήταν γνωστά τόσο στους Κινέζους από την εποχή του αυτοκράτορα Yu ( π. χ. ) όσο και στους Ινδούς. Τον 9 ο μ. Χ. αιώνα έγιναν γνωστά και στους Άραβες, διατηρώντας πάντα τον μυστικιστικό τους χαρακτήρα όπως περιγράφεται σε ινδικά και αραβικά κείμενα τουλάχιστον 1200 ετών. Τα αρχαιότερα μαγικά τετράγωνα βρίσκονται σ ένα κινεζικό κείμενο του 12 ου αιώνα π. Χ., που πρόσφατα έγινε δημοφιλές στο ευρύ κοινό της Δύσης το Ι Τζινγκ ή το βιβλίο των αλλαγών. Μπορεί να γράφτηκε από τον Ουόν ουάνγκ χωρίς να είναι στην πραγματικότητα ένα βιβλίο μαθηματικών, αλλά ένα βιβλίο που

7 χρησιμοποιούνταν από τους Κινέζους επί χιλιετίες για να μαντέψουν ποια πορεία δράσης έπρεπε να ακολουθήσουν σε σημαντικά θέματα. Κατά πάσα πιθανότητα το Ι-Τζινγκ περιέχει γνώση αρχαιότερη, ίχνη της οποίας συναντάμε στην κινεζική μυθολογία. Στο δυτικό κόσμο, τα μαγικά τετράγωνα μελετούνται ως μέρος των Διασκεδαστικών Μαθηματικών, χωρίς υπερφυσικές ιδιότητες, μια και το σημερινό ορθολογικό πνεύμα έχει υπερνικήσει τις δοξασίες του παρελθόντος. Ο Βυζαντινός λόγιος Εμμανουήλ Μοσχόπουλος ( ~ ~1315 ) φέρεται ως ο εισηγητής των μαγικών τετραγώνων στη Δύση, με το ολιγοσέλιδο σχετικό έργο του. Σκοπός του έργου του είναι η διατύπωση για πρώτη φορά κανόνων κατασκευής μαγικών τετραγώνων διαφόρων τάξεων, διατηρώντας τον όρο μαγικό μόνο στον τίτλο χωρίς ν αποδίδει πουθενά μαγικές ιδιότητες σ αυτά. Στη συνέχεια πολλοί ασχολήθηκαν μ αυτά μεταξύ των οποίων και διάσημοι μαθηματικοί όπως ο Μπασέ, ο Όυλερ, ο Φερμά. Σήμερα υπάρχει πολύ μεγάλη ποικιλία από γνωστά μαγικά τετράγωνα με διάφορες επιπλέον μαθηματικές ιδιότητες. Το μαγικό τετράγωνο είναι ένα αρχέτυπο τόσο πλούσιο σε νοήματα και μυστικισμό, όσο το Ι-Τζινγκ. Είναι μία μαθηματική και οπτική αναπαράσταση, ένα φυσικό origami, ένα αστροποβόλημα φωτός. Βιβλία Στη τάξη ο καθηγητής δείχνει στους μαθητές δύο βιβλία. Το πρώτο ανήκει στη κατηγορία των βιβλίων που μπορούν να διαβαστούν σε μια Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας με μαθητές Γυμνασίου. Είναι τα «ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Η ΑΛΙΚΗ ΣΤΗ ΧΩΡΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ» του Κάρλο Φραμπέτι, εκδόσεις Opera, όπου υπάρχει κεφάλαιο με τη συμπλήρωση του μαγικού τετραγώνου που θα ασχοληθούμε παρακάτω και εμείς. Το δεύτερο βιβλίο ανήκει στην κατηγορία των βιβλίων που περιέχουν μαθηματικούς γρίφους και προβλήματα. Είναι το «LEWIS CARROLL S GAMES AND PUZZLES» του Εdward Wakeling, εκδόσεις DOVER PUBLICATIONS, INC., NEW YORK, εμπνευσμένο από την «Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων» του Lewis Carroll. Στο βιβλίο αυτό μπορούμε να δούμε το μαγικό ταχυδρομικό τετράγωνο που επινόησε ο μαθηματικός και συγγραφέας L. Carroll χρησιμοποιώντας τα ταχυδρομικά τέλη της εποχής του. Φωτοτυπίες 1. Το μαγικό τετράγωνο του πίνακα «Melancolia Ι»(Σχ.7). Σχ.7 2. Το μαγικό τετράγωνο του Ισλάμ (Σχ.8)

8 Συνοδευτικά σχόλια 1. Οι μαθητές αναζητούν ιδιότητες του μαγικού τετραγώνου. Είναι άρτιας τάξης 4. Τα δύο κεντρικά νούμερα στην τελευταία σειρά διαβάζονται 1514 τη χρονιά που ο καλλιτέχνης έκανε το χαρακτικό. Το μαγικό άθροισμα είναι 34 όπως είναι και το άθροισμα των αριθμών στα ακριανά τετράγωνα (16,13,4,1) και του μικρού κεντρικού τετραγώνου (10,11,6,7). Το άθροισμα των εναπομείναντων αριθμών είναι το διπλάσιο του 34.Μπορείτε να βρείτε και άλλες ομάδες αριθμών με άθροισμα 34. Μετατρέποντας τους αριθμούς 1,2, 16 στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης, το μαγικό τετράγωνο αποκτά επιπλέον γοητευτικές ιδιότητες συμμετριών. 2. Στο Ισλάμ ο αριθμός 66 αντιστοιχεί στην αριθμητική αξία της λέξης Allah. Στο Ισλαμικό μαγικό τετράγωνο, που εκφράζει τον αριθμό 66 σε κάθε κατεύθυνση όταν τα γράμματα μετατραπούν σε αριθμούς, το πλέγμα του τετραγώνου είναι διαμορφωμένο από τα γράμματα της λέξης Allah. Ανοικτό πρόβλημα Σχ.8 Φτιάξτε το μαγικό τετράγωνο τάξεως 3 και τοποθετήστε στα τετραγωνάκια όλους τους αριθμούς από τον 1 έως και το 9. Μέρος 3 ο 1 ο βήμα: Ποιος είναι ο μαγικός αριθμός του μαγικού τετραγώνου; Πρώτα βρίσκουμε το άθροισμα από το 1 έως το 9. Εδώ μπορούμε να θυμίσουμε το κόλπο του μικρού Gauss για το γρήγορο υπολογισμό ενός (9 1)9 τέτοιου αθροίσματος = =45. 2 Δίνοντας τον ακόλουθο ορισμό: Αριθμητική πρόοδος είναι μία ακολουθία αριθμών που κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση πάντα του ίδιου αριθμού ω, μπορούμε να γενικεύσουμε: αν α ονομάσω τον πρώτο όρο μιας οποιαδήποτε αριθμητικής προόδου, β τον τελευταίο όρο και ν το πλήθος των όρων τότε το άθροισμα των όρων της δίνεται από τον τύπο: ( ). 2 Για να έχουμε και στις 3 γραμμές του τρίτης τάξεως πίνακα το ίδιο άθροισμα πρέπει ο μαγικός αριθμός να είναι 15, δηλαδή 45:3=15. Γενικεύοντας ο μαγικός αριθμός οποιουδήποτε μαγικού τετραγώνου είναι

9 το πηλίκο του συνολικού αθροίσματος των αριθμών που τοποθετώ δια του αριθμού της τάξης του. 2 ο α β γ βήμα: Το τετράγωνο έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων του και άξονες συμμετρίας τις δ κ ε μεσοκάθετες των πλευρών του και τις διαγώνιές του. Λόγω συμμετρίας ξεκινάμε την τοποθέτηση των αριθμών από το κεντρικό τετραγωνάκι. Αν τοποθετήσουμε τον αριθμό κ στη ζ η θ κεντρική θέση και το μαγικό τετράγωνο συμπληρωθεί όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, έχουμε: α+ κ+ θ= 15, δ+ κ+ ε= 15, ζ+ κ + γ= 15. Παρατηρούμε ότι α+δ+ζ=15 και θ+ε+γ=15. Προσθέτοντας λοιπόν κατά μέλη τις 3 παραπάνω ισότητες, παίρνουμε: 15+3κ+15=45, δηλ. 3κ=15, δηλ. κ=5. Άρα τοποθετούμε στο κεντρικό τετραγωνάκι τον αριθμό 5. Μπορούμε να γενικεύσουμε ότι για κάθε μαγικό τετράγωνο τάξεως 3, ο μαγικός αριθμός του είναι τριπλάσιος του αριθμού στην κεντρική θέση. Άραγε συμβαίνει το αντίστοιχο και στα υπόλοιπα μαγικά τετράγωνα περιττής τάξεως; 3 ο βήμα: Πως συνεχίζουμε; Ας εξετάσουμε που θα τοποθετήσουμε το μικρότερο αριθμό μας, το 1. Λόγω συμμετρίας του τετραγώνου υπάρχουν δύο δυνατότητες. Σε ένα γωνιακό τετραγωνάκι ή στο μεσαίο κάποιας πλευράς του. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα εξετάσουμε μία μόνη θέση από κάθε περίπτωση. Θα κάνουμε την απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο. Δηλαδή, υποθέτοντας ότι η P δεν συνεπάγεται την Q, καταλήγουμε συνήθως σε κάτι άτοπο, οπότε είμαστε αναγκασμένοι να δεχτούμε ότι η P συνεπάγεται την Q. Υποθέτουμε λοιπόν ότι το 1 δεν μπορεί να μπει στο μεσαίο τετραγωνάκι κάποιας πλευράς. Το 1 επομένως μπαίνει σ ένα γωνιακό τετραγωνάκι, δηλαδή το 1 βρίσκεται σε τρία αθροίσματα των 15. Από τους αριθμούς που πρέπει να τοποθετήσουμε, μόνο δύο τριάδες που περιέχουν το 1 μας δίνουν άθροισμα 15, οι και Άτοπο, επομένως το 1 δεν μπορεί να μπει σε γωνιακό τετραγωνάκι. Άρα το 1 μπαίνει στο μεσαίο τετραγωνάκι μιας πλευράς. 4 ο βήμα: Τέλος με απλούς υπολογισμούς αθροισμάτων ανά γραμμή, στήλη και διαγώνιο βρίσκουμε τους υπόλοιπους αριθμούς που πρέπει να τοποθετηθούν στο μαγικό τετράγωνο, παίρνοντας μοναδική λύση ως προς τις συμπλήρωση των τριάδων. Ακολουθούν τα βήματα στα παρακάτω σχήματα: 1 5 9

10 Σχ.9 Παρατηρούμε ότι στο δεύτερο βήμα θα μπορούσαμε να εναλλάσσαμε τις θέσεις των 2 και 4, αλλά λόγω της αξονικής συμμετρίας του τετραγώνου κατά τις μεσοκαθέτους των πλευρών του, το μαγικό τετράγωνο που παίρνουμε δεν αποτελεί διαφορετική λύση. Οι μαθητές μπορούν να βρουν λόγω συμμετριών και άλλες λύσεις για το πρόβλημά μας, με περιστροφή ή αντιστροφή, όμως όλες είναι ίδιες. Τα διπλανά μαγικά τετράγωνα, είναι το ένα η εικόνα του άλλου μέσα στον καθρέπτη. Προτεινόμενη άσκηση Να συμπληρωθούν τα παρακάτω μαγικά τετράγωνα: 5 8 Μέρος 4 ο Προβλήματα 1. Στο διπλανό μαγικό τετράγωνο ο μαγικός αριθμός είναι 20 και οι δύο πρώτοι αριθμοί δίνονται. Μπορείτε να βρείτε τους υπόλοιπους; 2. Στο κάτω σχήμα δίνεται ένας πίνακας με 9 τετράγωνα στα α β γ δ 0 ε ζ η θ οποία έχουν τοποθετηθεί οι ακέραιοι αριθμοί α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ και 0 (μηδέν). Το άθροισμα των αριθμών κάθε οριζόντιας γραμμής, κάθε κατακόρυφης στήλης και κάθε διαγωνίου ισούται με κ. Να αποδείξετε ότι κ=0. (Διαγωνισμός «Ο Ευκλείδης» της Ε. Μ. Ε, 1999) 3. Σχηματίστε με τα παρακάτω 8 κομμάτια του ντόμινο ένα μαγικό τετράγωνο τάξεως

11 Ερώτημα Υπάρχει μαγικό τετράγωνο τάξεως 2; Υπόδειξη: Η απάντηση δίνεται με την μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Άλλοι τρόποι κατασκευής μαγικών τετραγώνων Με δεδομένο το μαγικό τετράγωνο που βρήκαμε σαν λύση στο πρόβλημά μας, μπορούμε να σχηματίσουμε και άλλα μαγικά τετράγωνα, αν για παράδειγμα αυξήσουμε όλους τους αριθμούς κατά ένα σταθερό αριθμό ή αν τους αντικαταστήσουμε με τους 9 αρχικούς περιττούς αριθμούς 1,,17. Δείτε τα σχήματα: Άλλος τρόπος είναι να διαλέξουμε έναν οποιοδήποτε αριθμό για να ξεκινήσουμε, π.χ. το 3 και μετά επιλέγουμε δύο άλλους αριθμούς, π.χ. το 2 και το 5(τυχαίους;), που θα προστεθούν στον αρχικό αριθμό σύμφωνα με την παρακάτω διαδικασία: Kατόπιν αντικαθιστούμε τους αριθμούς 1 μέχρι 9 του αρχικού μαγικού τετραγώνου με τη σειρά ,8,13,5,10,15,7,12,17. Το αποτέλεσμα είναι το διπλανό μαγικό τετράγωνο Ερώτημα Μπορούμε να συμπληρώσουμε ένα μαγικό τετράγωνο, όπως του προβλήματός μας, όταν για το κάθε βήμα χρησιμοποιήσουμε τη κίνηση του αλόγου στη σκακιέρα; Υπάρχουν άλλοι τρόποι να συμπληρωθεί; ΕΠΙΛΟΓΟΣ Ολοκληρώνοντας την εισαγωγική αυτή διδασκαλία για τα μαγικά τετράγωνα, προτείνουμε στους μαθητές την σχετική βιβλιογραφία που θα τους φανεί χρήσιμη στην περαιτέρω διερεύνηση του θέματος (π.χ. μέθοδος Μπασέ).

12 Σχ.10 ΒΙΒΛΙΑ - ΑΡΘΡΑ B. Bolt: Μαθηματικές Σπαζοκεφαλιές (Νο 1,2,3), Κάτοπτρο, 1991 C. Clawson: Ο Ταξιδευτής των Μαθηματικών, Κέδρος, 2005 C. Pickover: The Loom of God, Plenum Publishing Corporation, 1997 E. Wakeling: Lewis Carroll s Games and Puzzles, Dover, 1992 E. Sabato: Μια πολύπλοκη ύπαρξη, Εκδόσεις του 21 ου,1996 Γ. Κόταβας: Προσεγγίσεις της έννοιας του ανοιχτού προβλήματος στην διδασκαλία των Μαθηματικών, Ευκλείδης Νο 43, ΕΜΕ, 1995 Ζ. Πιαζέ: Το μέλλον της εκπαίδευσης, Υποδομή, 1979 G. Polya: Πώς να το λύσω, Σπηλιώτη Κ. Φραμπέτι: Καταραμένα Μαθηματικά, Opera, 2004 M. Tahan: Ο άνθρωπος που μετρούσε, Κάτοπτρο, 2002 M. Gardner: Το πανηγύρι των Μαθηματικών, Τροχαλία (β έκδοση) Μ. Θ. Δαυϊδόπουλος, Κ. Γ. Τολιόπουλος: το σαλιγκαρ και κι άλλα γριφώδη Μαθηματικά, Γκατζούλης Μπάμπης Τουμάσης: Σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών, Gutenberg, 1994 Σύγχρονες Διδακτικές Προσεγγίσεις για την Ανάπτυξη Κριτικής Δημιουργικής Σκέψης (για τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση), Ο. Ε. Π. Ε. Κ., 2007 Τα Μαθηματικά Κλειδί Ανάπτυξης, Πρακτικά 17 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, 2000 Διαθεματική προσέγγιση των Μαθηματικών στην Εκπαιδευτική πράξη, Ε. Μ. Ε. παράρτημα κεντρικής Μακεδονίας, Μαθηματική Εβδομάδα, 2007 Y. Perelman: Διασκεδαστικά Μαθηματικά (1 ο μέρος), Κάτοπτρο, 2000 ΑΡΕΤΗ ΠΑΠΑΔΟΓΙΑΝΝΑΚΗ- ΠΑΥΛΑΚΟΥ Μαθηματικός στο Καλλιτεχνικό Σχολείο Ηρακλείου Σχ.11

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΣΚΥΔΡΑΣ Ομάδα ανάπτυξης Μαρία Τσικαλοπούλου, Μαθηματικός Σ Κ Υ Δ Ρ Α / 2 0 1 5 Το αντικείμενο με το οποίο θα ασχοληθούμε είναι τα μαθηματικά της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ σχολικού συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας drizosdim@yahoo.gr Εισαγωγή Σύντομη ιστορική αναδρομή Το

Διαβάστε περισσότερα

Η ανάλυση της κριτικής διδασκαλίας. Περιεχόμενο ή διαδικασία? Βασικό δίλημμα κάθε εκπαιδευτικού. Περιεχόμενο - η γνώση ως μετάδοση πληροφορίας

Η ανάλυση της κριτικής διδασκαλίας. Περιεχόμενο ή διαδικασία? Βασικό δίλημμα κάθε εκπαιδευτικού. Περιεχόμενο - η γνώση ως μετάδοση πληροφορίας Η ανάλυση της κριτικής διδασκαλίας Περιεχόμενο ή διαδικασία? Βασικό δίλημμα κάθε εκπαιδευτικού Περιεχόμενο - η γνώση ως μετάδοση πληροφορίας Διαδικασία η γνώση ως ανάπτυξη υψηλών νοητικών λειτουργιών (

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σην παρουσίαση των διδασκαλιών ή των project μπορούμε να ακολουθήσουμε την φόρμα που παρουσιάζεται παρακάτω. Μια παρουσίαση σύντομη και μια λεπτομερής.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΡΙΑ ΤΣΙΚΑΛΟΠΟΥΛΟΥ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΟΛΕΙΟ - ΣΚΥΔΡΑ,2015 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής Το αντικείμενο με το οποίο θα ασχοληθούμε είναι τα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΡΙΑ ΤΣΙΚΑΛΟΠΟΥΛΟΥ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΟΛΕΙΟ Δημοτικό σχολείο Σκύδρας ΣΚΥΔΡΑ,2015 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής Το αντικείμενο με το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Μαθηματικών

Διδακτική των Μαθηματικών Διδακτική των Μαθηματικών Ονοματεπώνυμο : Μαμτζέλλη Χρυσούλα Τάξη : Γ Δημοτικού Κεφάλαιο 43 : Η συμμετρία Πρόκειται για ένα εισαγωγικό μάθημα στην αξονική συμμετρία. Οι μαθητές θα μάθουν πότε δύο σχήματα

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά

Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά Καργιωτάκης Γιώργος, Μπελίτσου Νατάσσα Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά στις τάξεις Β, Δ και Ε (μιας διδακτικής ώρας). ΣΤΟΧΟΣ ΒΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟ- ΧΡΟΝΟΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ Αρχική αξιολόγηση επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Και οι απαντήσεις τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Και οι απαντήσεις τους Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στο «παλιό» και στο «σύγχρονο» μάθημα των Μαθηματικών; Στο μάθημα παλαιού τύπου η γνώση παρουσιάζεται στο μαθητή από τον διδάσκοντα

Διαβάστε περισσότερα

H Συμβολή της Υπολογιστικής Σκέψης στην Προετοιμασία του Αυριανού Πολίτη

H Συμβολή της Υπολογιστικής Σκέψης στην Προετοιμασία του Αυριανού Πολίτη H Συμβολή της Υπολογιστικής Σκέψης στην Προετοιμασία του Αυριανού Πολίτη Κοτίνη Ι., Τζελέπη Σ. Σχ. Σύμβουλοι Κ. Μακεδονίας στην οικονομία, στη τέχνη, στην επιστήμη, στις ανθρωπιστικές και κοινωνικές επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ-Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ-19 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΧΟΛΕΙΟ: 2 ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ Θέμα Διδασκαλίας Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων (Κεφάλαιο 23 ο ) Σχολείο: 2 ο

Διαβάστε περισσότερα

3 βήματα για την ένταξη των ΤΠΕ: 1. Εμπλουτισμός 2. Δραστηριότητα 3. Σενάριο Πέτρος Κλιάπης-Όλγα Κασσώτη Επιμόρφωση εκπαιδευτικών

3 βήματα για την ένταξη των ΤΠΕ: 1. Εμπλουτισμός 2. Δραστηριότητα 3. Σενάριο Πέτρος Κλιάπης-Όλγα Κασσώτη Επιμόρφωση εκπαιδευτικών 3 βήματα για την ένταξη των ΤΠΕ: 1. Εμπλουτισμός 2. Δραστηριότητα 3. Σενάριο Πέτρος Κλιάπης-Όλγα Κασσώτη Επιμόρφωση εκπαιδευτικών Παρουσίαση βασισμένη στο κείμενο: «Προδιαγραφές ψηφιακής διαμόρφωσης των

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Πληροφορική. Διδακτική Αξιοποίηση του Διαδικτύου για τη Μελέτη και την Αυτο-αξιολόγηση των Μαθητών.

Μαθηματικά και Πληροφορική. Διδακτική Αξιοποίηση του Διαδικτύου για τη Μελέτη και την Αυτο-αξιολόγηση των Μαθητών. Μαθηματικά και Πληροφορική. Διδακτική Αξιοποίηση του Διαδικτύου για τη Μελέτη και την Αυτο-αξιολόγηση των Μαθητών. Α. Πέρδος 1, I. Σαράφης, Χ. Τίκβα 3 1 Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί perdos@kalamari.gr

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την 1 ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την παλαιότερη γνώση τους, σημειώνουν λεπτομέρειες, παρακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Μαθηματικά A Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007 Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση ΌΧΙ απομνημόνευση Αξιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά

Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά Καργιωτάκης Γιώργος, Μπελίτσου Νατάσσα Προτεινόμενη δομή σχεδίου μαθήματος για τα Μαθηματικά στις τάξεις Β, Δ και Ε (μιας διδακτικής ώρας). ΣΤΟΧΟΣ ΒΗΜΑΤΑ ΥΛΙΚΟ- ΧΡΟΝΟΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ Αρχική αξιολόγηση επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη"

Σχέδιο Μαθήματος - Ευθεία Απόδειξη Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη" ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Τίτλος Ενότητας: Μέθοδοι Απόδειξης - Ευθεία απόδειξη Ώρες Διδασκαλίας: 1. Σκοποί Να κατανοήσουν οι μαθητές την διαδικασία της ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση)

Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Εκπαιδευτικό πολυμεσικό σύστημα διδασκαλίας των μαθηματικών (Εφαρμογή στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση) Γ. Γρηγορίου, Γ. Πλευρίτης Περίληψη Η έρευνα μας βρίσκεται στα πρώτα στάδια ανάπτυξης της. Αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1 Πίνακες πολλαπλασιασμού Το Βεδικό τετράγωνο Στάμη Τσικοπούλου Σ τα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην αριθμητική ένας πίνακας πολλαπλασιασμού (ή αλλιώς ένας πυθαγόρειος πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά.

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. Γ. Οι μαθητές και τα Μαθηματικά. Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. ΠΙΝΑΚΑΣ 55 Στάση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής Διδακτική της Πληροφορικής ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ανδρέας Σ. Ανδρέου (Αναπλ. Καθηγητής ΤΕΠΑΚ - Συντονιστής) Μάριος Μιλτιάδου, Μιχάλης Τορτούρης (ΕΜΕ Πληροφορικής) Νίκος Ζάγκουλος, Σωκράτης Μυλωνάς (Σύμβουλοι Πληροφορικής)

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΟΜΙΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015

ΠΡΟΤΑΣΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΟΜΙΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο ΠΡΟΤΑΣΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΟΜΙΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 «Τα Μαθηµατικά µέσα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Δεδομένα Συχνότητα Μέτρα θέσης Μέτρα διασποράς Στοχαστικά μαθηματικά διαφέρουν από τα κλασσικά μαθηματικά διότι τα φαινόμενα δεν είναι αιτιοκρατικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗς

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗς ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗς ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΣΚΥΔΡΑΣ Ομάδα ανάπτυξης Μαρία Τσικαλοπούλου, Μαθηματικός Σ Κ Υ Δ Ρ Α / 2 0 1 5 Το αντικείμενο με το οποίο θα ασχοληθούμε είναι τα μαθηματικά της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2005 Μαγικά Τετράγωνα: ανακαλύπτοντας την ιστορία και την μαγεία τους. Τα μαγικά τετράγωνα από καιρό θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Άξονες περιγραφής σεναρίου για το ανοικτό θέμα του κλάδου ΠΕ02

Άξονες περιγραφής σεναρίου για το ανοικτό θέμα του κλάδου ΠΕ02 Άξονες περιγραφής σεναρίου για το ανοικτό θέμα του κλάδου ΠΕ02 Ι. Εισαγωγή Το σενάριο είναι κατά βάση ένα σχέδιο μαθήματος, αυτό που πάντα έχει στο μυαλό του ο εκπαιδευτικός πριν μπει στην τάξη να διδάξει.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΠΡΑΚΤΙΚΗ IV ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Κ. ΧΡΗΣΤΟΥ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ: Μ. ΣΤΡΙΛΙΓΚΑ ΘΕΜΑ: Η ΚΑΛΥΤΕΡΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διαγράμματα. Νίκος Σκουλίδης, Σημειώσεις Φυσικής Α` Γυμνασίου, , Διαγράμματα_1_0.docx

Διαγράμματα. Νίκος Σκουλίδης, Σημειώσεις Φυσικής Α` Γυμνασίου, , Διαγράμματα_1_0.docx Διαγράμματα Στα περισσότερα από τα Φύλλα Εργασίας που εργαστήκατε και συμπληρώσατε, είχατε να σχεδιάσετε και ένα διάγραμμα. Ίσως ήταν η πρώτη φορά που ασχοληθήκατε με αυτό το αντικείμενο και να σας φάνηκε

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική πρόταση 2 1 : Οι μετακινήσεις ανθρώπων σε άλλες περιοχές της γης κατά την Αρχαϊκή Εποχή

Διδακτική πρόταση 2 1 : Οι μετακινήσεις ανθρώπων σε άλλες περιοχές της γης κατά την Αρχαϊκή Εποχή Διδακτική πρόταση 2 1 : Οι μετακινήσεις ανθρώπων σε άλλες περιοχές της γης κατά την Αρχαϊκή Εποχή Ερώτημα-κλειδί 2 Οι άνθρωποι της Αρχαϊκής Εποχής μετακινούνταν για τους ίδιους λόγους και με τον ίδιο τρόπο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Ομάδα Γ Βότσης Ευστάθιος Γιαζιτσής Παντελής Σπαής Αλέξανδρος Τάτσης Γεώργιος Προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι αρχάριοι προγραμματιστές Εισαγωγή Προβλήματα Δυσκολίες Διδακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης

Μαθηματικά Β Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Μαθηματικά Β Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης Ο μαθητής σε μια σύγχρονη τάξη μαθηματικών: Δεν αντιμετωπίζεται ως αποδέκτης μαθηματικών πληροφοριών, αλλά κατασκευάζει δυναμικά τη μαθηματική γνώση μέσα από κατάλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it. Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού Νοέμβρης 2012 Χρύσω Αθανασίου (Σύμβουλος Μαθηματικών ) Ελένη Δεληγιάννη (Συγγραφική Ομάδα) Άντρη Μάρκου (Σύμβουλος Μαθηματικών) Ελένη Μιχαηλίδου (Σύμβουλος Μαθηματικών)

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικός προγραμματισμός για τη διδασκαλία των Μαθηματικών

Ενδεικτικός προγραμματισμός για τη διδασκαλία των Μαθηματικών Αγγελόπουλος Ηρακλής - Γκούντας Ευάγγελος Σχολικοί Σύμβουλοι Ενδεικτικός προγραμματισμός για τη διδασκαλία των Μαθηματικών της Γ δημοτικού Α. Συνοπτικός πίνακας των μηνών διδασκαλίας οποιουδήποτε έτους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ: ΣΤ. Προτείνεται να μην αξιοποιηθούν διδακτικά από το Βιβλίο Μαθητή τα παρακάτω: 1 ο σελ. 7, 4 η άσκηση, σελ. 8, 2 ο πρόβλημα

ΤΑΞΗ: ΣΤ. Προτείνεται να μην αξιοποιηθούν διδακτικά από το Βιβλίο Μαθητή τα παρακάτω: 1 ο σελ. 7, 4 η άσκηση, σελ. 8, 2 ο πρόβλημα ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ: Βιβλίο μαθητή, Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού, 2015, ένα τεύχος Τετράδιο εργασιών, Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού, 2015, α τεύχος Τετράδιο εργασιών, Μαθηματικά ΣΤ Δημοτικού, 2015, β τεύχος Τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά Προβλήματα Μαθηματικών Γυμνασίου. στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Ενδεικτικά Προβλήματα Μαθηματικών Γυμνασίου. στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Δημήτρης Ντρίζος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Tα προβλήματα που συμπεριλάβαμε στο παρόν σημείωμα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ. Σκεπτικό της δραστηριότητας Βασική ιδέα του σεναρίου

ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ. Σκεπτικό της δραστηριότητας Βασική ιδέα του σεναρίου ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Τίτλος: Ο Σωκράτης και η εποχή του Συγγραφέας: Καλλιόπη Στυλιανή Κοντιζά Γνωστικό Αντικείμενο: Ανθολόγιο Φιλοσοφικών Κειμένων Τάξη: Γ Γυμνασίου Κείμενο: Κεφάλαιο 3 ο : Σωκράτης και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Y404. ΔΙΜΕΠΑ: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΕΜ: 3734 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ

ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΑΞΗ: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Μυκηναϊκός Πολιτισμός ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΚΑΛΛΙΑΔΟΥ ΜΑΡΙΑ ΘΕΜΑ: «Η καθημερινή ζωή στον Μυκηναϊκό Κόσμο» Οι μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ Ή ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Με τις ερωτήσεις του τύπου αυτού καλείται ο εξεταζόμενος να επιλέξει την ορθή απάντηση από περιορισμένο αριθμό προτεινόμενων απαντήσεων ή να συσχετίσει μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητικές Εργασίες. Μέθοδος Project στις Ερευνητικές Εργασίες

Ερευνητικές Εργασίες. Μέθοδος Project στις Ερευνητικές Εργασίες Ερευνητικές Εργασίες Μέθοδος Project στις Ερευνητικές Εργασίες Δομή παρουσίασης Θεωρητική παρουσίαση της Μεθόδου Project Εφαρμογές της μεθόδου Project Στάδια-σταθμοί υλοποίησης project Θεωρητική παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στην Access Κεφάλαιο 2 Χειρισμός πινάκων... 27

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στην Access Κεφάλαιο 2 Χειρισμός πινάκων... 27 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στην Access... 9 Γνωριμία με την Access... 12 Δημιουργία βάσης δεδομένων... 22 Άνοιγμα και κλείσιμο βάσης δεδομένων... 24 Ερωτήσεις ανακεφαλαίωσης... 25 Πρακτική εξάσκηση...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Σκοπός του Μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Θεμελίωση μιας λύσης ενός προβλήματος από μια πολύπλευρη (multi-faceted) και διαθεματική (multi-disciplinary)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΛΟΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ - Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ (ενδεικτικά)

ΠΙΛΟΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ - Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ (ενδεικτικά) ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ Διεξαγωγή μικρής έρευνας στο Γυμνάσιο Β' Γυμνασίου Διδάσκουσα: Ασπράκη Γαβριέλλα Νεοελληνική Γλώσσα email: gabby.aspraki@gmail.com ΠΙΛΟΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ - Η

Διαβάστε περισσότερα

1 1η ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

1 1η ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ 1 1η ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ ΤΙΤΛΟΣ Η Ρωμαϊκή αυτοκρατορία μεταμορφώνεται ΤΑΞΗ ΣΤ ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ Μια διδακτική ώρα(45 λεπτά) ΕΜΠΛΕΚΩΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ενότητα: Εκπαιδευτικό υλικό και σχολικό εγχειρίδιο Διδάσκων: Κατσαρού Ελένη ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΠΠΣ. ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ

ΔΕΠΠΣ. ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΔΕΠΠΣ ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών ΔΕΠΠΣ Φ.Ε.Κ., 303/13-03-03, τεύχος Β Φ.Ε.Κ., 304/13-03-03, τεύχος Β Ποιοι λόγοι οδήγησαν στην σύνταξη των ΔΕΠΠΣ Γενικότερες ανάγκες

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος-Προσέγγιση- Διδακτικός σχεδιασμός. A. Xατζηδάκη, Π.Τ.Δ.Ε. Παν/μιο Κρήτης

Μέθοδος-Προσέγγιση- Διδακτικός σχεδιασμός. A. Xατζηδάκη, Π.Τ.Δ.Ε. Παν/μιο Κρήτης Μέθοδος-Προσέγγιση- Διδακτικός σχεδιασμός A. Xατζηδάκη, Π.Τ.Δ.Ε. Παν/μιο Κρήτης 1. MΕΘΟΔΟΣ Ο όρος μέθοδος, έτσι όπως χρησιμοποιείται στην Εφαρμοσμένη Γλωσσολογία, έχει ποικίλες σημασίες. Διαφοροποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές)

Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές) Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές) Ενδεικτικές τεχνικές διδασκαλίας: 1. Εισήγηση ή διάλεξη ή Μονολογική Παρουσίαση 2. Συζήτηση ή διάλογος 3. Ερωταποκρίσεις 4. Χιονοστιβάδα 5. Καταιγισμός Ιδεών 6. Επίδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 2015 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: ΓΡΙΒΑ ΕΛΕΝΗ 5/2/2015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αυτό το portfolio φτιάχτηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ε Δημοτικού

Μαθηματικά Ε Δημοτικού Μαθηματικά Ε Δημοτικού Πέτρος Κλιάπης 2014 Πέτρος Κλιάπης 12η Περιφέρεια Θεσσαλονίκης Το σύγχρονο μαθησιακό περιβάλλον των Μαθηματικών Ενεργή συμμετοχή των παιδιών Μάθηση μέσα από δραστηριότητες Κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για τη διδασκαλία µαθηµάτων Πληροφορικής του Ενιαίου Λυκείου

Οδηγίες για τη διδασκαλία µαθηµάτων Πληροφορικής του Ενιαίου Λυκείου Οδηγίες για τη διδασκαλία µαθηµάτων Πληροφορικής του Ενιαίου Λυκείου Εγγραφο Γ2/4769/4-9-1998 ΣΧΕΤ. 2794/23-6-98 έγγραφο του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Σας αποστέλλουµε οδηγίες για τη διδασκαλία των µαθηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ. ΜΟΙΡΑΖΟΜΑΣΤΕ ΙΔΕΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΞΕΚΙΝΗΜΑ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΧΡΟΝΙΑΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ. ΜΟΙΡΑΖΟΜΑΣΤΕ ΙΔΕΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΞΕΚΙΝΗΜΑ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΧΡΟΝΙΑΣ 1 η ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ (ΑΛΛΗΛΟ-)ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ. ΜΟΙΡΑΖΟΜΑΣΤΕ ΙΔΕΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΞΕΚΙΝΗΜΑ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΧΡΟΝΙΑΣ 2012-2013. Διοργάνωση: Σχολική Σύμβουλος Φιλολόγων Β. Καλοκύρη Παρασκευή 14 - Σάββατο

Διαβάστε περισσότερα

Ένα παιχνίδι των πολυγώνων

Ένα παιχνίδι των πολυγώνων Ένα παιχνίδι των πολυγώνων Το παιγνίδι αυτό, αναπτύχθηκε στα πλαίσια του μαθήματος πληροφορικής της Γ τάξης, στην ενότητα που αφορά στο σχεδιασμό πολυγώνων, απ όλα τα παιδιά, της Γ τάξης του σχολείου μας.

Διαβάστε περισσότερα

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Μέχρι πριν λίγα χρόνια ηαντίληψη που επικρατούσε ήταν ότι ημαθηματική γνώση είναι ένα αγαθό που έχει παραχθεί και καλούνται οι μαθητές να το καταναλώσουν αποστηθίζοντάς

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις Έργο: «Ένταξη παιδιών παλιννοστούντων και αλλοδαπών στο σχολείο - για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση (Γυμνάσιο)» Επιμορφωτικό Σεμινάριο Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές

Διαβάστε περισσότερα

Η καθημερινή ζωή και η εκπαίδευση στην αρχαία Αθήνα. Το γνωστικό αντικείμενο του σεναρίου αφορά στο μάθημα της ιστορίας

Η καθημερινή ζωή και η εκπαίδευση στην αρχαία Αθήνα. Το γνωστικό αντικείμενο του σεναρίου αφορά στο μάθημα της ιστορίας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ 1. ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ 1.1. Τίτλος διδακτικού σεναρίου Η καθημερινή ζωή και η εκπαίδευση στην αρχαία Αθήνα 1.2. Εμπλεκόμενες γνωστικές περιοχές Το γνωστικό αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ. Μαρία Νέζη Σχολική Σύμβουλος Πειραιά

ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ. Μαρία Νέζη Σχολική Σύμβουλος Πειραιά ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Μαρία Νέζη Σχολική Σύμβουλος Πειραιά 15-9-2016 Βασικές αρχές Oδηγιών Τι διδάσκουμε; Πώς διδάσκουμε; Τι θέλουμε να πετύχουμε;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΕΤΗ ΚΑΜΠΟΥΡΟΛΙΑ. Δασκάλα Τμήματος Ένταξης Μαράσλειο Διδασκαλείο ΕΑΕ

ΑΡΕΤΗ ΚΑΜΠΟΥΡΟΛΙΑ. Δασκάλα Τμήματος Ένταξης Μαράσλειο Διδασκαλείο ΕΑΕ ΑΡΕΤΗ ΚΑΜΠΟΥΡΟΛΙΑ Δασκάλα Τμήματος Ένταξης Μαράσλειο Διδασκαλείο ΕΑΕ Οι αποτελεσματικοί εκπαιδευτικοί γνωρίζουν: - Τους μαθητές - Το γνωστικό αντικείμενο - Τις θεωρίες μάθησης - Αποτελεσματικές πρακτικές

Διαβάστε περισσότερα

Πορεία της εργασίας. Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος και να χρησιμοποιούν όρους όπως ψηλό-χαμηλό, μακρύ-κοντό, και πλατύ-στενό.

Πορεία της εργασίας. Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος και να χρησιμοποιούν όρους όπως ψηλό-χαμηλό, μακρύ-κοντό, και πλατύ-στενό. 1 η περίοδος Ενότητα 2η: Πρόσθεση και ανάλυση αριθμών μέχρι το 5 Στόχοι της ενότητας: Μετά το τέλος της ενότητας οι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί να: Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου

Σταυρούλα Πατσιομίτου Αριστοτέλους Μεταφυσικά 1078 α 30 Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Σ υνδέονται τα Μαθηματικά με την Αισθητική, με την Τέχνη, με την Τεχνολογία. Πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε την Ιστορία τους;

Διαβάστε περισσότερα