ΕΝΑ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΝΑ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ"

Transcript

1 ΕΝΑ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΑΡΕΤΗ ΠΑΠΑΔΟΓΙΑΝΝΑΚΗ- ΠΑΥΛΑΚΟΥ Μαθηματικός στο Καλλιτεχνικό Σχολείο Ηρακλείου (Γ. Γεννηματά Ηράκλειο Κρήτης- ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται μια πρόταση διδασκαλίας των μαγικών τετραγώνων σε μαθητές γυμνασίου, προσφέροντας στον εκπαιδευτικό και τους μαθητές την ευκαιρία να προσεγγίσουν τα Μαθηματικά με έναν καινούργιο και πολύπλευρο τρόπο. Η παρουσία των μαγικών τετραγώνων στην τέχνη, αλλά και παλαιότερα σε καθημερινές συνήθειες, καθώς και η απλότητά τους, δίνουν την δυνατότητα της πραγμάτωσης μιας διερευνητικής διαδικασίας από τους μαθητές, αφού φαντάζουν οικεία και ενδιαφέροντα, προσκαλώντας τον σε ένα παιχνίδι ανακάλυψης. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τι είναι τα Μαθηματικά; Δημιουργία ή ανακάλυψη; Υπάρχουν ανεξάρτητα από το ανθρώπινο μυαλό; Θα μπορούσαμε να τα προσεγγίσουμε ως την αναζήτηση κανονικότητας, πρόβλεψης του επόμενου βήματος, αναζήτηση και εξήγηση κανόνων που διέπουν τη φύση. Στο σχολείο διδάσκονται τα μαθηματικά, όπως και τα υπόλοιπα μαθήματα του ωρολογίου προγράμματος, με τέτοιο τρόπο που απουσιάζει η περιπέτεια της σκέψης και της φαντασίας του ανθρώπου στη συνεχή προσπάθειά του για την εξέλιξη του πολιτισμού του. Οι μαθητές (όπου στο κείμενο γίνεται χρήση του αρσενικού γένους, όπως σ αυτή την περίπτωση, εννοείται και το θηλυκό) δεν χρειάζονται πληροφόρηση-που στην εποχή μας τους κατακλύζει καθημερινά-αλλά εκπαίδευση. Η αναζήτηση της γνώσης είναι μια συναρπαστική ιστορία αναζήτησης. Βιώνοντας την περιπέτεια της γνώσης, γίνονται οι ίδιοι μέτοχοι αυτής της χιλιετούς ιστορίας κατανοώντας τη διαρκή κίνηση της ανθρώπινης νοημοσύνης που διαφοροποιείται και σημειώνει πρόοδο. ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η συμβολή των Μαθηματικών στην εξέλιξη της νοημοσύνης είναι καθοριστική. Διδασκόμαστε σαν μαθητές έννοιες, τύπους, μεθόδους επίλυσης ασκήσεων, θεωρήματα, σ ένα αυστηρό διδακτικό πλαίσιο

2 αποκομμένο από την αναγκαιότητα της ύπαρξης των Μαθηματικών, της περιγραφής της εξέλιξής τους και της χρησιμότητάς τους. Κατά τον Ζαν Πιαζέ, η πρώτη από τις προϋποθέσεις που αναμφίβολα ισχύουν για κάθε διανοητική εκπαίδευση, αλλά είναι ιδιαίτερα σημαντική για τη διδασκαλία στους διάφορους κλάδους των θετικών επιστημών, είναι η χρήση ενεργητικών μεθόδων που αποδίδουν μεγάλη σημασία στην αυθόρμητη έρευνα του παιδιού ή του εφήβου, και απαιτούν κάθε καινούργια αλήθεια ν ανακαλύπτεται ή τουλάχιστον να τίθεται εκ νέου από το μαθητή και όχι απλώς να του μεταδίδεται, έχοντας τον εκπαιδευτικό όχι έναν απλό ομιλητή που περιορίζεται στη μετάδοση έτοιμων γνώσεων, αλλά έναν αρωγό στη δική του έρευνα και προσπάθεια. Η ίδια η γλώσσα των Μαθηματικών με την αυστηρότητα της δομής της, την απόσταση της μαθηματικής έρευνας και τεχνολογίας από την καθημερινή ζωή, είναι υπεύθυνη για αντιδιαμετρικές στάσεις των ανθρώπων απέναντι στην επιστήμη των αριθμών και των σχημάτων. Χαρακτηριστικά ο μεγάλος μαθηματικός Ανρί Πουανκαρέ ( ) λέει: «Όταν η μαθηματική επιστήμη γίνεται αυστηρή, λαμβάνει έναν τεχνητό χαρακτήρα που εντυπωσιάζει τους πάντες. Λησμονεί τις ιστορικές ρίζες. Καταλαβαίνουμε πως είναι δυνατό ν απαντώνται τα ερωτήματα δεν καταλαβαίνουμε όμως πλέον πως και γιατί τίθονται». Η συμβολή της ιστορίας των Μαθηματικών στην κατανόηση του ρόλου τους στην κοινωνία είναι σημαντική, βοηθώντας επίσης στην καλλιέργεια θετικής στάσης των παιδιών απέναντι στα Μαθηματικά. ΤΟ ΜΑΓΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΩΣ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο Herbert J. Ryser στο βιβλίο του «Συνδυαστικά Μαθηματικά» παρουσιάζει το μαγικό τετράγωνο, γνωστό στην Κίνα αιώνες ήδη προ Χριστού, γράφοντας χαρακτηριστικά: «Πολλά από τα προβλήματα που μελετήθηκαν στο παρελθόν, επειδή παρουσίαζαν ψυχαγωγικό ή αισθητικό ενδιαφέρον, έχουν τεράστια αξία σήμερα στις θεωρητικές και εφαρμοσμένες επιστήμες. Η νέα τεχνολογία με τη ζωτική σημασία που δίνει στο διακριτό, έδωσε στα ψυχαγωγικά Μαθηματικά του παρελθόντος νέους σοβαρούς σκοπούς». Σχ.1

3 Θα παραθέσω αναλυτικά παρακάτω ένα σχέδιο μαθήματος που ήδη έχω διδάξει στη Β τάξη του Καλλιτεχνικού Σχολείου Ηρακλείου, τη σχολική χρονιά , και σε πιο συνοπτική μορφή, στα ειδικά προαιρετικά μαθήματα του τοπικού παραρτήματος της Ε. Μ. Ε. στο Ηράκλειο Κρήτης για την προετοιμασία των υποψηφίων των διαγωνισμών: ΘΑΛΗ, ΕΥΚΛΕΙΔΗ και ΑΡΧΙΜΗΔΗ, τη σχολική χρονιά Θέμα του είναι το μαγικό τετράγωνο. Πέρα από τις ασκήσεις εφαρμογής, όπου οι μαθητές καλούνται να επαναλάβουν αποκτημένες γνώσεις με στόχο την εμπέδωση και καλύτερη κατανόηση των γνώσεων αυτών, υπάρχουν τα προβλήματα. Ένας μαθητής αντιμετωπίζει ένα πρόβλημα όταν ζητάει μια λύση αλλά δεν υπάρχει προφανής τρόπος για να φτάσει στη λύση αυτή. Ο μεγάλος μαθηματικός- παιδαγωγός G. Polya υποστηρίζει ότι το να λύνει κανείς προβλήματα είναι μια πρακτική επιδεξιότητα όπως για παράδειγμα το κολύμπι. Αποκτούμε κάθε πρακτική επιδεξιότητα με τη μίμηση και την εξάσκηση. Όταν προσπαθείτε να λύσετε προβλήματα πρέπει να παρατηρείτε και να μιμείστε αυτό που οι άλλοι κάνουν όταν λύνουν προβλήματα και τελικά μαθαίνετε να λύνετε προβλήματα λύνοντάς τα. Τα Μαθηματικά θεωρούνται ως μέσο για την Σχ.2 καλλιέργεια, την εξάσκηση των ικανοτήτων επίλυσης προβλημάτων. Γι αυτό τον λόγο εξάλλου, υποστηρίζεται ότι η επίλυση προβλημάτων βρίσκεται στην καρδιά κάθε μαθηματικής δραστηριότητας. Στον περιορισμένο χρόνο του μαθήματος, στην πίεση της ύλης που πρέπει ο κάθε διδάσκοντας να ολοκληρώσει, η εικόνα που δίνεται στην τάξη όταν τίθεται ένα πρόβλημα είναι η άμεση λύση του. Ο χρόνος που απαιτείται, η προσπάθεια που καταβάλλεται, ο κόπος, τα λάθη αυτού που επιχειρεί να λύσει το πρόβλημα, απουσιάζουν, δίνοντας έτσι μια ψευδή εικόνα για την ίδια τη φύση του μαθήματος. Ο Ανρί Πουανκαρέ το 1908 έγραψε ότι στηρίζεται στην ασυνείδητη σκέψη για τις ανακαλύψεις του. Χαρακτηριστικά έγραψε: «Στο υποσυνείδητο βασιλεύει ένα είδος ελευθερίας, αν μπορεί κανείς ν αποκαλέσει έτσι την απουσία πειθαρχίας και την αταξία που γεννά το τυχαίο. Μόνο μέσα απ αυτήν την αταξία μπορούν ν αναδυθούν απροσδόκητοι συνδυασμοί». Ο Γάλλος ψυχολόγος Τουλούζ, αναλύοντας τη συμπεριφορά του μεγάλου μαθηματικού έφτασε στο συμπέρασμα ότι ο Πουανκαρέ είχε μάθει πότε ν αφήνει κατά μέρος ένα πρόβλημα, αφού «θεωρούσε ότι κατά τη διάρκεια των διαλειμμάτων το ασυνείδητό του συνεχίζει την επεξεργασία». Το

4 άτομο, επιφανειακά δεν ασχολείται με το πρόβλημα αλλά όπως λέμε κοιμάται επάνω στο πρόβλημα διανύει δηλαδή το στάδιο της επώασης. Η λέξη ευρετικές παράγεται από το ρήμα ευρίσκω και στη σύγχρονη διδακτική των Μαθηματικών σημαίνει στρατηγικές, μεθόδους ή συνήθειες οι οποίες είναι ανεξάρτητες από κάθε ειδικό θέμα ή τη φύση ενός συγκεκριμένου προβλήματος, και βοηθούν τον μαθητή να βρει ένα σωστό τρόπο για να προσεγγίσει, να κατανοήσει ένα πρόβλημα και να συνδυάσει αποτελεσματικά τις προγενέστερες γνώσεις του, μέχρι να φτάσει στη λύση του. Το πρόβλημα, που παρουσιάζεται στο σχέδιο διδασκαλίας, είναι ένα ανοικτό πρόβλημα. Τα χαρακτηριστικά του ανοικτού προβλήματος είναι η συνήθως σύντομη εκφώνησή του σε καθημερινή ή μαθηματική γλώσσα, που δεν προδίδει άμεσα τη λύση ούτε το μαθηματικό εργαλείο που θα χρησιμοποιηθεί, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι η λύση του βασίζεται σ έννοιες που οι μαθητές δεν είναι αρκετά εξοικειωμένοι. Τα ανοικτά προβλήματα θέτουν το μαθητή σε κατάσταση έρευνας, αναπτύσσοντας ικανότητες μεθοδολογίας και αναδεικνύοντας τις διαφορές ανάμεσά τους, διαφορές που συντελούν στην ποικιλία των ιδεών και μεθόδων κάνοντας την διδασκαλία βιωματική και επικοινωνιακή. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ - ΤΟ ΜΑΓΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Σχ.3 Αυτό το μάθημα προτείνεται να διδαχθεί σε τέσσερα μέρη. Τα δύο πρώτα μέρη γίνονται στο τέλος δύο διδακτικών ωρών προετοιμάζοντας τη τάξη για τα επόμενα δύο μέρη που καλύπτουν όλη την ώρα διδασκαλίας, στο πλαίσιο πάντα της διαθεματικότητας στο μάθημα των Μαθηματικών. Μέρος 1 ο Στη τάξη υπάρχει στον τοίχο Πίνακας Ανακοινώσεων Μαθηματικών όπου σε τακτά χρονικά διαστήματα αναρτώνται τόσο από τον διδάσκοντα όσο και από τους μαθητές υλικό με κύριο θέμα τα Μαθηματικά. Επίσης διατηρείται ένας φάκελος όπου φυλάσσεται το υλικό που εκτίθεται. Μπορούν ν αναρτηθούν βιογραφίες / φωτογραφίες μαθηματικών, ανέκδοτα και άρθρα από εφημερίδες, εργασίες παιδιών με θέματα από την τρέχουσα ύλη, παιχνίδια και διασκεδαστικά προβλήματα. Ο καθηγητής φέρνει στην τάξη φωτοτυπίες για να μοιραστούν ανά ομάδα στην τάξη και αναρτεί από μία στον Πίνακα Ανακοινώσεων για να παραμείνουν στη τάξη κατά τη διάρκεια της προτεινόμενης διδασκαλίας. Σχ.4

5 Ακολουθεί διάλογος με κύριο άξονα το συνοδευτικό σχόλιο ανά φωτοτυπία. Φωτοτυπίες 1. Έργο του M. C. ESCHER ( Επικάλυψη-Σχ.3 ) Έργο του Μ. C. ESCHER ( Ανέφικτο-Σχ.4 ) Έργο του LEONARDO DA VINCI (Άνθρωπος-Σχ.5 ) 2. Έργα του ALBRECHT DÜRER : «Melancolia I» ( 1514 ) και «Καλλιτέχνης που ζωγραφίζει ένα λαούτο» (Σχ.1,6). 3. ΜΑΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ (άρτιας και περιττής τάξης, πρώτων αριθμών, με ντόμινο, ομόκεντρα μαγικά τετράγωνα, Σχ.7,9,2,10,11) Συνοδευτικά σχόλια 1. Τα Μαθηματικά είναι κυρίως λογική και η τέχνη απευθύνεται στο συναίσθημα. Αυτό όμως δεν αποτέλεσε εμπόδιο για αρκετούς καλλιτέχνες όπως οι M. C. Escher, Salvador Dali, Leonardo da Vinci, να χρησιμοποιήσουν ψηφιδωτά, πολύεδρα, ανέφικτα σχήματα, ταινίες Moebius, fractals, στηριζόμενοι σε νόμους συμμετρίας, προοπτικής, τοπολογίας και σύγχρονων Σχ.5 γεωμετριών. 2. Ο Γερμανός ζωγράφος και χαράκτης Albrecht Dürer ( ) είναι ο καλλιτέχνης που προχώρησε περισσότερο από όλους σε μαθηματική σύλληψη, συνδυάζοντας σωστά την προοπτική με τη γεωμετρία. Στο έργο του «Καλλιτέχνης που ζωγραφίζει ένα λαούτο» δίνει ένα μάθημα Προβολικής Γεωμετρίας ενώ χρησιμοποιεί μαθηματικά αντικείμενα ως σύμβολα στο έργο του «Μελαγχολία I». Αυτό το τελευταίο θεωρείται η πιο σύνθετη δουλειά του Dürer. Η ποικιλία των μικρών λεπτομερειών στο χαρακτικό αναστάτωσαν τους μελετητές για αιώνες. Γιατί ο Dürer τοποθέτησε ένα μαγικό τετράγωνο πάνω δεξιά; Οι μελετητές πιστεύουν ότι το χαρακτικό δείχνει την Σχ.6

6 ανεπάρκεια της ανθρώπινης γνώσης στην επίτευξη της θαυμάσιας σοφίας ή της διεισδυτικότητας στα μυστικά της φύσης. 3. Ένα μαγικό τετράγωνο είναι ένα τετράγωνο χωρισμένο σε μικρότερα τετράγωνα που περιέχουν διαφορετικούς αριθμούς με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα των αριθμών να είναι πάντοτε το ίδιο σε κάθε στήλη, γραμμή και διαγώνιο. Το άθροισμα ονομάζεται μαγικός αριθμός ή σταθερά του τετραγώνου. Το πλήθος των μικρών τετραγώνων λέγεται απόλυτη τιμή του τετραγώνου. Το τετράγωνο λέγεται διαστάσεων 3x3 ή τάξεως 3 (περιττή τάξη, Σχ. ), διαστάσεων 4x4 ή τάξεως 4 (άρτια τάξη, Σχ. ) ανάλογα με τον αριθμό των μικρότερων τετραγώνων που έχει χωριστεί ανά γραμμή και στήλη. Αντίστοιχα έχουμε τετράγωνα ν ης τάξης. Εργασία. Να βρείτε πληροφορίες για την ιστορική αναδρομή των μαγικών τετραγώνων. Μέρος 2 ο Στην τάξη διαβάζεται η τελική ομαδική εργασία των μαθητών που δούλεψαν ανατρέχοντας σε σχετική βιβλιογραφία ή μέσα από το διαδίκτυο με θέμα την ιστορία των μαγικών τετραγώνων. Ενδεικτικά αναφέρω την παρακάτω ιστορική αναδρομή : Κανείς δεν γνωρίζει την προέλευση των μαγικών τετραγώνων. Η κατασκευή του σε παλιότερες εποχές αποτελούσε ενδιαφέρουσα απασχόληση για ανήσυχους ανθρώπους. Από τότε που οι αρχαίοι απέδωσαν μαγικές ιδιότητες σε μερικούς αριθμούς, ήταν πολύ φυσικό να προσδοθούν μαγικές ιδιότητες και σ αυτά. Καμωμένο το μαγικό τετράγωνο από ασήμι και κρεμασμένο στο λαιμό σε προφύλασε από την πανώλη, πίστευαν σε μερικές φυλές. Στην Ινδία το φορούσαν ως φυλακτό για προφύλαξη από σοβαρές ασθένειες. Αρχαίοι Πέρσες μάγοι οι οποίοι ειδικεύονταν και στην ιατρική υποστήριζαν ότι θεράπευαν ασθένειες με μαγικά τετράγωνα ακολουθώντας τον ιερό κανόνα Primum, non nocere (πρώτον, να μη βλάπτεις). Τα μαγικά τετράγωνα ήταν γνωστά τόσο στους Κινέζους από την εποχή του αυτοκράτορα Yu ( π. χ. ) όσο και στους Ινδούς. Τον 9 ο μ. Χ. αιώνα έγιναν γνωστά και στους Άραβες, διατηρώντας πάντα τον μυστικιστικό τους χαρακτήρα όπως περιγράφεται σε ινδικά και αραβικά κείμενα τουλάχιστον 1200 ετών. Τα αρχαιότερα μαγικά τετράγωνα βρίσκονται σ ένα κινεζικό κείμενο του 12 ου αιώνα π. Χ., που πρόσφατα έγινε δημοφιλές στο ευρύ κοινό της Δύσης το Ι Τζινγκ ή το βιβλίο των αλλαγών. Μπορεί να γράφτηκε από τον Ουόν ουάνγκ χωρίς να είναι στην πραγματικότητα ένα βιβλίο μαθηματικών, αλλά ένα βιβλίο που

7 χρησιμοποιούνταν από τους Κινέζους επί χιλιετίες για να μαντέψουν ποια πορεία δράσης έπρεπε να ακολουθήσουν σε σημαντικά θέματα. Κατά πάσα πιθανότητα το Ι-Τζινγκ περιέχει γνώση αρχαιότερη, ίχνη της οποίας συναντάμε στην κινεζική μυθολογία. Στο δυτικό κόσμο, τα μαγικά τετράγωνα μελετούνται ως μέρος των Διασκεδαστικών Μαθηματικών, χωρίς υπερφυσικές ιδιότητες, μια και το σημερινό ορθολογικό πνεύμα έχει υπερνικήσει τις δοξασίες του παρελθόντος. Ο Βυζαντινός λόγιος Εμμανουήλ Μοσχόπουλος ( ~ ~1315 ) φέρεται ως ο εισηγητής των μαγικών τετραγώνων στη Δύση, με το ολιγοσέλιδο σχετικό έργο του. Σκοπός του έργου του είναι η διατύπωση για πρώτη φορά κανόνων κατασκευής μαγικών τετραγώνων διαφόρων τάξεων, διατηρώντας τον όρο μαγικό μόνο στον τίτλο χωρίς ν αποδίδει πουθενά μαγικές ιδιότητες σ αυτά. Στη συνέχεια πολλοί ασχολήθηκαν μ αυτά μεταξύ των οποίων και διάσημοι μαθηματικοί όπως ο Μπασέ, ο Όυλερ, ο Φερμά. Σήμερα υπάρχει πολύ μεγάλη ποικιλία από γνωστά μαγικά τετράγωνα με διάφορες επιπλέον μαθηματικές ιδιότητες. Το μαγικό τετράγωνο είναι ένα αρχέτυπο τόσο πλούσιο σε νοήματα και μυστικισμό, όσο το Ι-Τζινγκ. Είναι μία μαθηματική και οπτική αναπαράσταση, ένα φυσικό origami, ένα αστροποβόλημα φωτός. Βιβλία Στη τάξη ο καθηγητής δείχνει στους μαθητές δύο βιβλία. Το πρώτο ανήκει στη κατηγορία των βιβλίων που μπορούν να διαβαστούν σε μια Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας με μαθητές Γυμνασίου. Είναι τα «ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Η ΑΛΙΚΗ ΣΤΗ ΧΩΡΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ» του Κάρλο Φραμπέτι, εκδόσεις Opera, όπου υπάρχει κεφάλαιο με τη συμπλήρωση του μαγικού τετραγώνου που θα ασχοληθούμε παρακάτω και εμείς. Το δεύτερο βιβλίο ανήκει στην κατηγορία των βιβλίων που περιέχουν μαθηματικούς γρίφους και προβλήματα. Είναι το «LEWIS CARROLL S GAMES AND PUZZLES» του Εdward Wakeling, εκδόσεις DOVER PUBLICATIONS, INC., NEW YORK, εμπνευσμένο από την «Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων» του Lewis Carroll. Στο βιβλίο αυτό μπορούμε να δούμε το μαγικό ταχυδρομικό τετράγωνο που επινόησε ο μαθηματικός και συγγραφέας L. Carroll χρησιμοποιώντας τα ταχυδρομικά τέλη της εποχής του. Φωτοτυπίες 1. Το μαγικό τετράγωνο του πίνακα «Melancolia Ι»(Σχ.7). Σχ.7 2. Το μαγικό τετράγωνο του Ισλάμ (Σχ.8)

8 Συνοδευτικά σχόλια 1. Οι μαθητές αναζητούν ιδιότητες του μαγικού τετραγώνου. Είναι άρτιας τάξης 4. Τα δύο κεντρικά νούμερα στην τελευταία σειρά διαβάζονται 1514 τη χρονιά που ο καλλιτέχνης έκανε το χαρακτικό. Το μαγικό άθροισμα είναι 34 όπως είναι και το άθροισμα των αριθμών στα ακριανά τετράγωνα (16,13,4,1) και του μικρού κεντρικού τετραγώνου (10,11,6,7). Το άθροισμα των εναπομείναντων αριθμών είναι το διπλάσιο του 34.Μπορείτε να βρείτε και άλλες ομάδες αριθμών με άθροισμα 34. Μετατρέποντας τους αριθμούς 1,2, 16 στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης, το μαγικό τετράγωνο αποκτά επιπλέον γοητευτικές ιδιότητες συμμετριών. 2. Στο Ισλάμ ο αριθμός 66 αντιστοιχεί στην αριθμητική αξία της λέξης Allah. Στο Ισλαμικό μαγικό τετράγωνο, που εκφράζει τον αριθμό 66 σε κάθε κατεύθυνση όταν τα γράμματα μετατραπούν σε αριθμούς, το πλέγμα του τετραγώνου είναι διαμορφωμένο από τα γράμματα της λέξης Allah. Ανοικτό πρόβλημα Σχ.8 Φτιάξτε το μαγικό τετράγωνο τάξεως 3 και τοποθετήστε στα τετραγωνάκια όλους τους αριθμούς από τον 1 έως και το 9. Μέρος 3 ο 1 ο βήμα: Ποιος είναι ο μαγικός αριθμός του μαγικού τετραγώνου; Πρώτα βρίσκουμε το άθροισμα από το 1 έως το 9. Εδώ μπορούμε να θυμίσουμε το κόλπο του μικρού Gauss για το γρήγορο υπολογισμό ενός (9 1)9 τέτοιου αθροίσματος = =45. 2 Δίνοντας τον ακόλουθο ορισμό: Αριθμητική πρόοδος είναι μία ακολουθία αριθμών που κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση πάντα του ίδιου αριθμού ω, μπορούμε να γενικεύσουμε: αν α ονομάσω τον πρώτο όρο μιας οποιαδήποτε αριθμητικής προόδου, β τον τελευταίο όρο και ν το πλήθος των όρων τότε το άθροισμα των όρων της δίνεται από τον τύπο: ( ). 2 Για να έχουμε και στις 3 γραμμές του τρίτης τάξεως πίνακα το ίδιο άθροισμα πρέπει ο μαγικός αριθμός να είναι 15, δηλαδή 45:3=15. Γενικεύοντας ο μαγικός αριθμός οποιουδήποτε μαγικού τετραγώνου είναι

9 το πηλίκο του συνολικού αθροίσματος των αριθμών που τοποθετώ δια του αριθμού της τάξης του. 2 ο α β γ βήμα: Το τετράγωνο έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων του και άξονες συμμετρίας τις δ κ ε μεσοκάθετες των πλευρών του και τις διαγώνιές του. Λόγω συμμετρίας ξεκινάμε την τοποθέτηση των αριθμών από το κεντρικό τετραγωνάκι. Αν τοποθετήσουμε τον αριθμό κ στη ζ η θ κεντρική θέση και το μαγικό τετράγωνο συμπληρωθεί όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, έχουμε: α+ κ+ θ= 15, δ+ κ+ ε= 15, ζ+ κ + γ= 15. Παρατηρούμε ότι α+δ+ζ=15 και θ+ε+γ=15. Προσθέτοντας λοιπόν κατά μέλη τις 3 παραπάνω ισότητες, παίρνουμε: 15+3κ+15=45, δηλ. 3κ=15, δηλ. κ=5. Άρα τοποθετούμε στο κεντρικό τετραγωνάκι τον αριθμό 5. Μπορούμε να γενικεύσουμε ότι για κάθε μαγικό τετράγωνο τάξεως 3, ο μαγικός αριθμός του είναι τριπλάσιος του αριθμού στην κεντρική θέση. Άραγε συμβαίνει το αντίστοιχο και στα υπόλοιπα μαγικά τετράγωνα περιττής τάξεως; 3 ο βήμα: Πως συνεχίζουμε; Ας εξετάσουμε που θα τοποθετήσουμε το μικρότερο αριθμό μας, το 1. Λόγω συμμετρίας του τετραγώνου υπάρχουν δύο δυνατότητες. Σε ένα γωνιακό τετραγωνάκι ή στο μεσαίο κάποιας πλευράς του. Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα εξετάσουμε μία μόνη θέση από κάθε περίπτωση. Θα κάνουμε την απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο. Δηλαδή, υποθέτοντας ότι η P δεν συνεπάγεται την Q, καταλήγουμε συνήθως σε κάτι άτοπο, οπότε είμαστε αναγκασμένοι να δεχτούμε ότι η P συνεπάγεται την Q. Υποθέτουμε λοιπόν ότι το 1 δεν μπορεί να μπει στο μεσαίο τετραγωνάκι κάποιας πλευράς. Το 1 επομένως μπαίνει σ ένα γωνιακό τετραγωνάκι, δηλαδή το 1 βρίσκεται σε τρία αθροίσματα των 15. Από τους αριθμούς που πρέπει να τοποθετήσουμε, μόνο δύο τριάδες που περιέχουν το 1 μας δίνουν άθροισμα 15, οι και Άτοπο, επομένως το 1 δεν μπορεί να μπει σε γωνιακό τετραγωνάκι. Άρα το 1 μπαίνει στο μεσαίο τετραγωνάκι μιας πλευράς. 4 ο βήμα: Τέλος με απλούς υπολογισμούς αθροισμάτων ανά γραμμή, στήλη και διαγώνιο βρίσκουμε τους υπόλοιπους αριθμούς που πρέπει να τοποθετηθούν στο μαγικό τετράγωνο, παίρνοντας μοναδική λύση ως προς τις συμπλήρωση των τριάδων. Ακολουθούν τα βήματα στα παρακάτω σχήματα: 1 5 9

10 Σχ.9 Παρατηρούμε ότι στο δεύτερο βήμα θα μπορούσαμε να εναλλάσσαμε τις θέσεις των 2 και 4, αλλά λόγω της αξονικής συμμετρίας του τετραγώνου κατά τις μεσοκαθέτους των πλευρών του, το μαγικό τετράγωνο που παίρνουμε δεν αποτελεί διαφορετική λύση. Οι μαθητές μπορούν να βρουν λόγω συμμετριών και άλλες λύσεις για το πρόβλημά μας, με περιστροφή ή αντιστροφή, όμως όλες είναι ίδιες. Τα διπλανά μαγικά τετράγωνα, είναι το ένα η εικόνα του άλλου μέσα στον καθρέπτη. Προτεινόμενη άσκηση Να συμπληρωθούν τα παρακάτω μαγικά τετράγωνα: 5 8 Μέρος 4 ο Προβλήματα 1. Στο διπλανό μαγικό τετράγωνο ο μαγικός αριθμός είναι 20 και οι δύο πρώτοι αριθμοί δίνονται. Μπορείτε να βρείτε τους υπόλοιπους; 2. Στο κάτω σχήμα δίνεται ένας πίνακας με 9 τετράγωνα στα α β γ δ 0 ε ζ η θ οποία έχουν τοποθετηθεί οι ακέραιοι αριθμοί α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ και 0 (μηδέν). Το άθροισμα των αριθμών κάθε οριζόντιας γραμμής, κάθε κατακόρυφης στήλης και κάθε διαγωνίου ισούται με κ. Να αποδείξετε ότι κ=0. (Διαγωνισμός «Ο Ευκλείδης» της Ε. Μ. Ε, 1999) 3. Σχηματίστε με τα παρακάτω 8 κομμάτια του ντόμινο ένα μαγικό τετράγωνο τάξεως

11 Ερώτημα Υπάρχει μαγικό τετράγωνο τάξεως 2; Υπόδειξη: Η απάντηση δίνεται με την μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο. Άλλοι τρόποι κατασκευής μαγικών τετραγώνων Με δεδομένο το μαγικό τετράγωνο που βρήκαμε σαν λύση στο πρόβλημά μας, μπορούμε να σχηματίσουμε και άλλα μαγικά τετράγωνα, αν για παράδειγμα αυξήσουμε όλους τους αριθμούς κατά ένα σταθερό αριθμό ή αν τους αντικαταστήσουμε με τους 9 αρχικούς περιττούς αριθμούς 1,,17. Δείτε τα σχήματα: Άλλος τρόπος είναι να διαλέξουμε έναν οποιοδήποτε αριθμό για να ξεκινήσουμε, π.χ. το 3 και μετά επιλέγουμε δύο άλλους αριθμούς, π.χ. το 2 και το 5(τυχαίους;), που θα προστεθούν στον αρχικό αριθμό σύμφωνα με την παρακάτω διαδικασία: Kατόπιν αντικαθιστούμε τους αριθμούς 1 μέχρι 9 του αρχικού μαγικού τετραγώνου με τη σειρά ,8,13,5,10,15,7,12,17. Το αποτέλεσμα είναι το διπλανό μαγικό τετράγωνο Ερώτημα Μπορούμε να συμπληρώσουμε ένα μαγικό τετράγωνο, όπως του προβλήματός μας, όταν για το κάθε βήμα χρησιμοποιήσουμε τη κίνηση του αλόγου στη σκακιέρα; Υπάρχουν άλλοι τρόποι να συμπληρωθεί; ΕΠΙΛΟΓΟΣ Ολοκληρώνοντας την εισαγωγική αυτή διδασκαλία για τα μαγικά τετράγωνα, προτείνουμε στους μαθητές την σχετική βιβλιογραφία που θα τους φανεί χρήσιμη στην περαιτέρω διερεύνηση του θέματος (π.χ. μέθοδος Μπασέ).

12 Σχ.10 ΒΙΒΛΙΑ - ΑΡΘΡΑ B. Bolt: Μαθηματικές Σπαζοκεφαλιές (Νο 1,2,3), Κάτοπτρο, 1991 C. Clawson: Ο Ταξιδευτής των Μαθηματικών, Κέδρος, 2005 C. Pickover: The Loom of God, Plenum Publishing Corporation, 1997 E. Wakeling: Lewis Carroll s Games and Puzzles, Dover, 1992 E. Sabato: Μια πολύπλοκη ύπαρξη, Εκδόσεις του 21 ου,1996 Γ. Κόταβας: Προσεγγίσεις της έννοιας του ανοιχτού προβλήματος στην διδασκαλία των Μαθηματικών, Ευκλείδης Νο 43, ΕΜΕ, 1995 Ζ. Πιαζέ: Το μέλλον της εκπαίδευσης, Υποδομή, 1979 G. Polya: Πώς να το λύσω, Σπηλιώτη Κ. Φραμπέτι: Καταραμένα Μαθηματικά, Opera, 2004 M. Tahan: Ο άνθρωπος που μετρούσε, Κάτοπτρο, 2002 M. Gardner: Το πανηγύρι των Μαθηματικών, Τροχαλία (β έκδοση) Μ. Θ. Δαυϊδόπουλος, Κ. Γ. Τολιόπουλος: το σαλιγκαρ και κι άλλα γριφώδη Μαθηματικά, Γκατζούλης Μπάμπης Τουμάσης: Σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών, Gutenberg, 1994 Σύγχρονες Διδακτικές Προσεγγίσεις για την Ανάπτυξη Κριτικής Δημιουργικής Σκέψης (για τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση), Ο. Ε. Π. Ε. Κ., 2007 Τα Μαθηματικά Κλειδί Ανάπτυξης, Πρακτικά 17 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, 2000 Διαθεματική προσέγγιση των Μαθηματικών στην Εκπαιδευτική πράξη, Ε. Μ. Ε. παράρτημα κεντρικής Μακεδονίας, Μαθηματική Εβδομάδα, 2007 Y. Perelman: Διασκεδαστικά Μαθηματικά (1 ο μέρος), Κάτοπτρο, 2000 ΑΡΕΤΗ ΠΑΠΑΔΟΓΙΑΝΝΑΚΗ- ΠΑΥΛΑΚΟΥ Μαθηματικός στο Καλλιτεχνικό Σχολείο Ηρακλείου Σχ.11

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΤΙΤΛΟΣ ΑΝΟΙΧΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΣΚΥΔΡΑΣ Ομάδα ανάπτυξης Μαρία Τσικαλοπούλου, Μαθηματικός Σ Κ Υ Δ Ρ Α / 2 0 1 5 Το αντικείμενο με το οποίο θα ασχοληθούμε είναι τα μαθηματικά της

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ

ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΜΙΣΟ ΚΑΙ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΟ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΡΙΑ ΤΣΙΚΑΛΟΠΟΥΛΟΥ,ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΟΛΕΙΟ Δημοτικό σχολείο Σκύδρας ΣΚΥΔΡΑ,2015 1. Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής Το αντικείμενο με το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ Θέμα Διδασκαλίας Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων (Κεφάλαιο 23 ο ) Σχολείο: 2 ο

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project

Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σχέδιο παρουσίασης των διδασκαλιών ή των project Σην παρουσίαση των διδασκαλιών ή των project μπορούμε να ακολουθήσουμε την φόρμα που παρουσιάζεται παρακάτω. Μια παρουσίαση σύντομη και μια λεπτομερής.

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΑΓΝΩΣΤΩΝ - ΣΚΙΑΘΟΣ, 7-11 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Μαθηµατικής Λογοτεχνίας

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΑΓΝΩΣΤΩΝ - ΣΚΙΑΘΟΣ, 7-11 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Μαθηµατικής Λογοτεχνίας ΥΠΟΘΕΣΗ ΡΙΜΑΝ (Η ΕΜΜΟΝΗ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ) του John Derbyshire (Εκδόσεις Τραυλός) Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ του Marcus du Sautoy (Εκδόσεις Τραυλός) Γενικά Υπόθεση Ρίµαν Όλες οι µη τετριµµένες

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας: Πρακτικές ιδέες για τη διδασκαλία ενός θεωρητικού μαθήματος

Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας: Πρακτικές ιδέες για τη διδασκαλία ενός θεωρητικού μαθήματος Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας: Πρακτικές ιδέες για τη διδασκαλία ενός θεωρητικού μαθήματος Πάσχου Αικατερίνη 1 katpas@sch.gr 1 Εκπαιδευτικός Πληροφορικής, 2 ο ΕΠΑ.Λ. Καρδίτσας Περίληψη Το μάθημα Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος

Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος Σχόλια και υποδείξεις για το Σχέδιο Μαθήματος Ακολούθως αναπτύσσονται ορισμένα διευκρινιστικά σχόλια για το Σχέδιο Μαθήματος. Αφετηρία για τον ακόλουθο σχολιασμό υπήρξαν οι σχετικές υποδείξεις που μας

Διαβάστε περισσότερα

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών

Γενική οργάνωση σεναρίου. 1. Προαπαιτούμενες γνώσεις και πρότερες γνώσεις των μαθητών Παράρτημα 1: Τεχνική έκθεση τεκμηρίωσης σεναρίου Το εκπαιδευτικό σενάριο που θα σχεδιαστεί πρέπει να συνοδεύεται από μια τεχνική έκθεση τεκμηρίωσής του. Η τεχνική αυτή έκθεση (με τη μορφή του παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΣΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΘΕΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ

ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΑΞΗ: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Μυκηναϊκός Πολιτισμός ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΚΑΛΛΙΑΔΟΥ ΜΑΡΙΑ ΘΕΜΑ: «Η καθημερινή ζωή στον Μυκηναϊκό Κόσμο» Οι μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΑΤΡΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ι. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΑΤΡΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ι. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΑΤΡΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ Ι. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Το μάθημα της Θεατρικής Αγωγής θα διδάσκεται από φέτος στην Ε και Στ Δημοτικού. Πρόκειται για μάθημα βιωματικού χαρακτήρα, με κύριο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν.

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι μόνος είναι απλά ένα όνειρο. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι με άλλους μαζί είναι πραγματικότητα. John Lennon Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως

Διαβάστε περισσότερα

[Ε-LEARNING ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΤΗΣ ΕΘΝΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ] learn-era.gr. Βασίλης Παλίλης

[Ε-LEARNING ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΤΗΣ ΕΘΝΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ] learn-era.gr. Βασίλης Παλίλης 2014 learn-era.gr Βασίλης Παλίλης [Ε-LEARNING ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΤΗΣ ΕΘΝΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ] Ενημερωτικό δελτίο για το e-μάθημα που αφορά τον Διαγωνισμό για την πρόσληψη υπαλλήλων της Εθνικής Τράπεζας της Ελλάδος.

Διαβάστε περισσότερα

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών

Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Νέες τάσεις στη διδακτική των Μαθηματικών Μέχρι πριν λίγα χρόνια ηαντίληψη που επικρατούσε ήταν ότι ημαθηματική γνώση είναι ένα αγαθό που έχει παραχθεί και καλούνται οι μαθητές να το καταναλώσουν αποστηθίζοντάς

Διαβάστε περισσότερα

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις Έργο: «Ένταξη παιδιών παλιννοστούντων και αλλοδαπών στο σχολείο - για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση (Γυμνάσιο)» Επιμορφωτικό Σεμινάριο Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικό σενάριο διδασκαλίας και μάθησης με την αξιοποίηση εκπαιδευτικού λογισμικού.

Εκπαιδευτικό σενάριο διδασκαλίας και μάθησης με την αξιοποίηση εκπαιδευτικού λογισμικού. Εκπαιδευτικό σενάριο διδασκαλίας και μάθησης με την αξιοποίηση εκπαιδευτικού λογισμικού. 1.ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Συγγραφέας: Μποζονέλου Κωνσταντίνα 1.1.Τίτλος διδακτικού σεναρίου Οι τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δραστηριότητα 8 ης εβδομάδας ΟΜΑΔΑΣ Α: Γ. Πολυμέρης, Χ. Ηλιούδη, Ν. Μαλλιαρός και Δ. Θεοτόκης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιγραφή Η συγκεκριμένη δραστηριότητα αποτελεί μια πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ Δημοτικού - Προγραμματίζω τον υπολογιστή. Σχέδιο Μαθήματος No 1 Εισαγωγή στο προγραμματιστικό περιβάλλον της EasyLogo

ΣΤ Δημοτικού - Προγραμματίζω τον υπολογιστή. Σχέδιο Μαθήματος No 1 Εισαγωγή στο προγραμματιστικό περιβάλλον της EasyLogo ΣΤ Δημοτικού - Προγραμματίζω τον υπολογιστή Σχέδιο Μαθήματος No 1 Εισαγωγή στο προγραμματιστικό περιβάλλον της EasyLogo Εμπλεκόμενες έννοιες «Γραφή» και άμεση εκτέλεση εντολής. Αποτέλεσμα εκτέλεσης εντολής.

Διαβάστε περισσότερα

(c) EΠΑΦΟΣ ΑΘΗΝΑ Νοέµβριος 2013 Απαγορεύεται η αντιγραφή του παρόντος χωρίς την έγγραφη άδεια της ΕΠΑΦΟΣ ΕΠΕ.

(c) EΠΑΦΟΣ ΑΘΗΝΑ Νοέµβριος 2013 Απαγορεύεται η αντιγραφή του παρόντος χωρίς την έγγραφη άδεια της ΕΠΑΦΟΣ ΕΠΕ. (c) EΠΑΦΟΣ ΑΘΗΝΑ Νοέµβριος 2013 Απαγορεύεται η αντιγραφή του παρόντος χωρίς την έγγραφη άδεια της ΕΠΑΦΟΣ ΕΠΕ. 2 4teachers Γρήγορος οδηγός χρήσης (Βασικά βήματα) Για να αρχίσεις κι εσύ να χρησιμοποιείς

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστημονική και καλλιτεχνική δημιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτική διαδικασία

Η επιστημονική και καλλιτεχνική δημιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτική διαδικασία Η επιστημονική και καλλιτεχνική δημιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτική διαδικασία Β. Δρακόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Ε.Κ.Π.Α. Σχολή Θετικών

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ: ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΑ

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ: ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:ΙΜΣΙΡΙΔΟΥ ΜΑΡΙΑ Α.Ε.Μ: 1986 ΕΞΑΜΗΝΟ: Ε ΘΕΜΑ: «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ» ΣΧΟΛΕΙΟ: 1 Ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΑΞΗ: Ε ΤΜΗΜΑ: Ε 2 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια "ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ" www.prooptikh.com 1. Οδηγίες για την αξιολόγηση των φιλολογικών μαθημάτων στο Γυμνάσιο

Φροντιστήρια ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ www.prooptikh.com 1. Οδηγίες για την αξιολόγηση των φιλολογικών μαθημάτων στο Γυμνάσιο Φροντιστήρια "ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ" www.prooptikh.com 1 Οδηγίες για την αξιολόγηση των φιλολογικών μαθημάτων στο Γυμνάσιο Η εξεταστέα ύλη του Γυμνασίου είναι τα 3/5 της ύλης που διδάχθηκε, με την προϋπόθεση ότι η

Διαβάστε περισσότερα

Ζωγραφίζοντας με τους αριθμούς - Η αναπαράσταση των εικόνων

Ζωγραφίζοντας με τους αριθμούς - Η αναπαράσταση των εικόνων 2η Δραστηριότητα Ζωγραφίζοντας με τους αριθμούς - Η αναπαράσταση των εικόνων Περίληψη Οι υπολογιστές απομνημονεύουν τα σχέδια, τις φωτογραφίες και άλλα σχήματα, χρησιμοποιώντας μόνον αριθμούς. Με την επόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΤΕΡΑ Προσέλευση νηπίων και αυθόρμητες δραστηριότητες στις οργανωμένες γωνιές της τάξης: Κολύμβηση/ Φυσική αγωγή:

ΕΥΤΕΡΑ Προσέλευση νηπίων και αυθόρμητες δραστηριότητες στις οργανωμένες γωνιές της τάξης: Κολύμβηση/ Φυσική αγωγή: ΕΥΤΕΡΑ * Προσέλευση νηπίων και αυθόρμητες δραστηριότητες στις οργανωμένες γωνιές της τάξης: Το ελεύθερο παιχνίδι είτε ατομικό, είτε ομαδικό σε ελκυστικά οργανωμένες γωνιές επιτρέπει στα παιδιά να αναπτύσσονται,

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑ ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΗΣ Α ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

Ο ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑ ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΗΣ Α ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Λεμονίδης Χ. (2007). Ο εκσυγχρονισμός των μαθηματικών περιεχομένων στα νέα βιβλία της Α και Γ τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Γέφυρες, 31:24-31. Ο ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑ ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΛΙΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΛΙΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΛΙΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Κέντρο και άξονας αυτών των μεθόδων διδασκαλίας είναι ο δάσκαλος. Αυτός είναι η αυθεντία μέσα στην τάξη που καθοδηγεί και προσφέρει. Γι αυτό οι μέθοδοι αυτές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ

ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (ΠΣ) Χρίστος Δούκας Αντιπρόεδρος του ΠΙ Οι Δ/τές ως προωθητές αλλαγών με κέντρο τη μάθηση Χαράσσουν τις κατευθύνσεις Σχεδιάσουν την εφαρμογή στη σχολική πραγματικότητα Αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Άρθρο 2. Διάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραμμάτων Γενικού Λυκείου

Άρθρο 2. Διάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραμμάτων Γενικού Λυκείου Άρθρο 2 Διάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραμμάτων Γενικού Λυκείου 1. Η Α Τάξη Ημερήσιου Γενικού Λυκείου αποτελεί τάξη αποκλειστικά γενικής παιδείας, στην οποία εφαρμόζεται πρόγραμμα μαθημάτων τριάντα πέντε

Διαβάστε περισσότερα

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo;

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Η Logo είναι μία από τις πολλές γλώσσες προγραμματισμού. Κάθε γλώσσα προγραμματισμού έχει σκοπό τη δημιουργία προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014. Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση

Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014. Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014 Δημήτρης Μπίρμπας ΠΠΛ Αγίων Αναργύρων Σοφία Παππά ΠΠΛ Ζάννειο Πειραιά Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΓΕΝΙΚΑ Βασικός στόχος είναι η ανατροφοδότηση της εκπαιδευτικής διαδικασίας και ο εντοπισμός των μαθησιακών ελλείψεων με σκοπό τη βελτίωση της παρεχόμενης σχολικής εκπαίδευσης. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΤΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Απευθύνεται: Σε κάθε εκπαιδευτικό που ενδιαφέρεται να βελτιώσει και να εκσυγχρονίσει τη διδασκαλία του/της. Στους/ις υποψήφιους/ες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΟ ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΝΕΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ποια μαθήματα διδάσκονται οι μαθητές της Α Λυκείου; Ποια από τα μαθήματα ανήκουν στους ίδιους κλάδους μαθημάτων; Ο παρακάτω πίνακας περιέχει όλους τους κλάδους των μαθημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ. http://sym.pblogs.gr

ΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ. http://sym.pblogs.gr ΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ http://sym.pblogs.gr «Το μάθημα των Φυσικών Επιστημών στο ημοτικό Σχολείο είναι η απάντησή μας στην ανάγκη του κάθε παιδιού να μάθει» (Jacobson) ΠΟΥ ΣΤΟΧΕΥΩ ΟΤΑΝ

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΙΣ Ι

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΙΣ Ι ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΙΣ Ι 1.Ελλιπής ή ατελής διδασκαλία της σύγχρονης γεωμετρίας στα λύκεια. 2.Ελάχιστες ώρες μαθηματικών και έλλειψη ολοκληρωμένης διδασκαλίας της σύγχρονης γεωμετρίας στις σχολές "οικοδόμων" μηχανικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ. Αξιολόγηση, Προαγωγή και Απόλυση Μαθητών Γενικού Λυκείου

ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ. Αξιολόγηση, Προαγωγή και Απόλυση Μαθητών Γενικού Λυκείου ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ Στους μαθητές που θα φοιτήσουν φέτος στην Α Λυκείου θα αρχίσει να εφαρμόζεται η νέα δομή του λυκείου. Για την εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση θα μετράει επιπλέον και ο μέσος όρος των

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

Παγκόσμια ημέρα παιδικού βιβλίου

Παγκόσμια ημέρα παιδικού βιβλίου Παγκόσμια ημέρα παιδικού βιβλίου Η ΗΜΕΡΑ Η Παγκόσμια Ημέρα Παιδικού Βιβλίου γιορτάζεται κάθε χρόνο στις 2 Απριλίου, την ημέρα που γεννήθηκε ο μεγάλος Δανός παραμυθάς Χανς Κρίστιαν Άντερσεν. Την καθιέρωσε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος και σύντομη περιγραφή των εκδηλώσεων της καλοκαιρινής εκστρατείας 2015. 1. Εδώ δεν είναι βιβλιοθήκη είναι πικνίκ στη χώρα των θαυμάτων

Τίτλος και σύντομη περιγραφή των εκδηλώσεων της καλοκαιρινής εκστρατείας 2015. 1. Εδώ δεν είναι βιβλιοθήκη είναι πικνίκ στη χώρα των θαυμάτων ΕΔΩ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ Τίτλος και σύντομη περιγραφή των εκδηλώσεων της καλοκαιρινής εκστρατείας 2015 1. Εδώ δεν είναι βιβλιοθήκη είναι πικνίκ στη χώρα των θαυμάτων Για μια εβδομάδα τα παιδιά θα μεταφερθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Dr. Anthony Montgomery Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής & Κοινωνικής Πολιτικής antmont@uom.gr Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Αυτό το μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

Το αδιέξοδο στην διδασκαλία της επιταχυνόμενης κίνησης φορτισμένων σωματιδίων μέσα σε Ο.Η.Π.

Το αδιέξοδο στην διδασκαλία της επιταχυνόμενης κίνησης φορτισμένων σωματιδίων μέσα σε Ο.Η.Π. Το αδιέξοδο στην διδασκαλία της επιταχυνόμενης κίνησης φορτισμένων σωματιδίων μέσα σε Ο.Η.Π. Προβληματισμός για το αδιέξοδο ή ένας αδιέξοδος προβληματισμός ; Όταν διδάσκω στην Β Λυκείου την επιταχυνόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Χάρτης Ιστοσελίδας. Υπηρεσίες Συνδέσεις Εγκύκλιοι Έντυπα Downloads

Χάρτης Ιστοσελίδας. Υπηρεσίες Συνδέσεις Εγκύκλιοι Έντυπα Downloads Το Υπουργείο Το Eκπαιδευτικό Σύστημα Πρόσβαση στη Γνώση Θρησκεύματα Μηχανή Αvαζήτησης Επικοινωνία Συχνές Ερωτήσεις Χάρτης Ιστοσελίδας Προκηρύξεις/ Νέα Διαγωνισμοί Συνέδρια/ Ημερίδες Εποπτευόμενοι Φορείς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαγγελματικές κάρτες

Επαγγελματικές κάρτες Επαγγελματικές κάρτες Αφροδίτη Οικονόμου Νηπιαγωγός afoikon@uth.gr Η παρουσίαση αναπτύχθηκε για την πλατφόρμα Ταξίδι στον γραμματισμό Θεματική: Τα επαγγέλματα των γονιών της τάξης μας ΤΙΤΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Γκαραγκάνη Αγγελική, kikigarag@gmail.com Φούκα Παρασκευή pfouka@sch.gr. 1. Τίτλος διδακτικού σεναρίου «Γνωρίζω τη Μινωϊκή Κρήτη»

Γκαραγκάνη Αγγελική, kikigarag@gmail.com Φούκα Παρασκευή pfouka@sch.gr. 1. Τίτλος διδακτικού σεναρίου «Γνωρίζω τη Μινωϊκή Κρήτη» 1. Τίτλος διδακτικού σεναρίου «Γνωρίζω τη Μινωϊκή Κρήτη» Κεφάλαιο: Μινωϊκός πολιτισµός (Ιστορία Γ ηµοτικού) Ενότητες: Το ανάκτορο της Κνωσού Καθηµερινή ζωή των Μινωϊτών Η τέχνη των Μινωϊτών 2. Εµπλεκόµενες

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου. Πρόγραμμα μαθημάτων Α τάξης

Α Λυκείου. Πρόγραμμα μαθημάτων Α τάξης Α Λυκείου Η Α Λυκείου είναι τάξη γενικής παιδείας και, συνεπώς, τα μαθήματα είναι κοινά για όλους τους μαθητές. Το εβδομαδιαίο πρόγραμμα είναι 35 ωρών και περιλαμβάνει τα μαθήματα που μέχρι τώρα υπήρχαν

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

«Λογισμικές εφαρμογές στην Επαγγελματική Εκπαίδευση. Το παράδειγμα του Τομέα Οχημάτων»

«Λογισμικές εφαρμογές στην Επαγγελματική Εκπαίδευση. Το παράδειγμα του Τομέα Οχημάτων» «Λογισμικές εφαρμογές στην Επαγγελματική Εκπαίδευση. Το παράδειγμα του Τομέα Οχημάτων» Ευστράτιος Ντουμανάκης Τεχνολόγος Οχημάτων, Εκπαιδευτικός, 12 ο Επαγγελματικό Λύκειο Θεσσαλονίκης entoum@sch.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟ ΜΟΥΣΕΙΟ ΤΩΝ ΜΥΚΗΝΩΝ. «Τα μυστικά ενός αγγείου»

ΣΤΟ ΜΟΥΣΕΙΟ ΤΩΝ ΜΥΚΗΝΩΝ. «Τα μυστικά ενός αγγείου» ΣΤΟ ΜΟΥΣΕΙΟ ΤΩΝ ΜΥΚΗΝΩΝ «Τα μυστικά ενός αγγείου» ΜΠΙΛΙΟΥΡΗ ΑΡΓΥΡΗ 2011 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΟΥΣΕΙΑΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ «ΤΑ ΜΥΣΤΙΚΑ ΕΝΟΣ ΑΓΓΕΙΟΥ» ΘΕΜΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Η παρούσα εργασία αποτελεί το θεωρητικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη:Ε Ονοματεπώνυμο:.. Σχολείο: Το ημερολόγιο Ο Πέτρος ζήτησε από το φίλο του Χρήστο να διαλέξει 4 αριθμούς από το διπλανό ημερολόγιο που να σχηματίζουν τετράγωνο (για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΟΜΕΤΡΗΤΗΣ ΒΑΣΙΚΗ ΣΥΣΚΕΥΗ ΣΤΗΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟΜΕΤΡΗΤΗ

ΧΡΟΝΟΜΕΤΡΗΤΗΣ ΒΑΣΙΚΗ ΣΥΣΚΕΥΗ ΣΤΗΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟΜΕΤΡΗΤΗ ο ΕΚΦΕ (Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ) Δ Δ/ΝΣΗΣ Δ. Ε. ΑΘΗΝΑΣ ΧΡΟΝΟΜΕΤΡΗΤΗΣ ΒΑΣΙΚΗ ΣΥΣΚΕΥΗ ΣΤΗΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟΜΕΤΡΗΤΗ Τι είναι ο χρονομετρητής ; Ο χρονομετρητής : αξιοποιείται στους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Παρουσίαση: Τεύκρος Μιχαηλίδης ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ Επικοινωνία info@thalesandfriends.org Ιστοσελίδα www.thalesandfriends.org Το τρίγωνο του Sierpinski Α Β Γ ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ 2 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ

ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ - ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ Γ' Ενιαίου Λυκείου (Μάθημα : Κατεύθυνσης) ΓΕΝΙΚΟΙ ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ Το μάθημα απευθύνεται σε μαθητές με ειδικό ενδιαφέρον για το ΕΛΕΥΘΕΡΟ-ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ( Εικαστική και Αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Α ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) EΣΠΕΡΙΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για την Πιλοτική Εφαρμογή των μαθημάτων και των Βιωματικών Δράσεων στο Γυμνάσιο

Οδηγίες για την Πιλοτική Εφαρμογή των μαθημάτων και των Βιωματικών Δράσεων στο Γυμνάσιο Οδηγίες για την Πιλοτική Εφαρμογή των μαθημάτων και των Βιωματικών Δράσεων στο Γυμνάσιο για τις ανάγκες της Πράξης «ΝΕΟ ΣΧΟΛΕΙΟ (Σχολείο 21ου αιώνα) Πιλοτική Εφαρμογή». Α. ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΠΙΛΟΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Το Πυθαγόρειο θεώρημα: μία διάσημη μαθηματική σχέση στον εργαστηριακό πάγκο της Φυσικής Παναγιώτης Μουρούζης Το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο συνήθως περιγράφεται φορμαλιστικά από μία σχέση της μορφής 2

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ:Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική Πούλιου Χριστίνα(5543) Κορρέ Πελαγία(5480) Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ:Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική Πούλιου Χριστίνα(5543) Κορρέ Πελαγία(5480) Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ:Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική Πούλιου Χριστίνα(55) Κορρέ Πελαγία(580) Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Εαρινό εξάμηνο 0 Ρέθυμνο, 5/6/0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ:. Εισαγωγή.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας

Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας Στο τρίτο άρθρο αυτής της σειράς, η οποία αποτελεί μια πρώτη, μικρή απάντηση στις ανάγκες των εκπαιδευτών του σεμιναρίου της 12 ης & 13 ης Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ: 22378101- Φαξ:22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΡΩΤΗ ΜΟΥ ΒΟΛΤΑ ΣΤΟ ΔΑΣΟΣ

Η ΠΡΩΤΗ ΜΟΥ ΒΟΛΤΑ ΣΤΟ ΔΑΣΟΣ 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ-ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 205 Η ΠΡΩΤΗ ΜΟΥ ΒΟΛΤΑ ΣΤΟ ΔΑΣΟΣ (Ένα παραμύθι από μεγάλα παιδιά) Παπαλουκά Κων/να Εκπαιδευτικός Β θμιας Εκπαίδευσης Νηπιοβρεφοκόμος Τσαγκουρνού Ελισάβετ Εκπαιδευτικός

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

2o Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας. «Ηλεκτρονική τάξη»

2o Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας. «Ηλεκτρονική τάξη» 2o Πανελλήνιο Εκπαιδευτικό Συνέδριο Ημαθίας ΠΡΑΚΤΙΚΑ «Ηλεκτρονική τάξη» Ζάφειρας Παναγιώτης 1 Μπίστα Πολυξένη 2, 1 Εκπαιδευτικός 1 ου Λυκείου Παπάγου Μαθηματικός με μεταπτυχιακή εξειδίκευση στη διδακτική

Διαβάστε περισσότερα

Προς τους κ. Γονείς των μαθητών/τριών μας Η ΓΑΛΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΣΤΟ ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

Προς τους κ. Γονείς των μαθητών/τριών μας Η ΓΑΛΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΣΤΟ ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Εκπαιδευτήριο «ΧΡΥΣΟΣΤΟΜΟΣ ΣΜΥΡΝΗΣ» σχολικό έτος 2014-2015 Αγαπητοί Γονείς, Προς τους κ. Γονείς των μαθητών/τριών μας Η ΓΑΛΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΣΤΟ ΛΕΟΝΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Με την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ Τρίγωνα - Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες και τις πλευρές - Ύψη τριγώνου Κανέλλα Κούτση ΚΣΕ 7ο

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα