Κεφάλαιο 3 ο Στρωματοποιημένη Δειγματοληψία (ΣτΔ)

Transcript

1 Κεφάλαιο ο Στρωματοποιημένη Δειγματοληψία (ΣτΔ Σύνοψη Στο ο Κεφάλαιο παρουσιάζεται η Στρωμματοποιημένη Δειγματοληψία (ΣτΔ που είναι και το είδος της δειγματοληψίας με την πιο συχνή χρήση κύρια σε εφαρμογές δημοσκοπήσεων εμπορικών ή πολιτικών. Αφού οριστούν τα βασικά και οι συμβολισμοί των εννοιών αυτών εξετάζονται οι δύο βασικές μορφές της ΣτΔ αναλογική και βέλτιστης επιλογής δείγματος και προτείνονται για τη μέση τιμή δύο εκτιμήτριες Γραμμικός ή Αριθμητικός μέσος και Γεωμετρικός μέσος και εξετάζεται η συμπεριφορά τους (υποεκτίμηση υπερεκτίμηση κ.λπ.. Γίνεται εκτενής παρουσίαση του προβλήματος του μεγέθους του δείγματος σε πληθυσμό και στα στρώματα και με παραδείγματα. Σημαντικό μέρος καταλαμβάνει η βέλτιστη επιλογή του δείγματος με κριτήρια: α το κόστος και β τη διασπορά της εκτιμήτριας της μέσης τιμής. Έπεται μία παράγραφος με εκτιμήσεις ποσοστών στη ΣτΔ και με τις δίτιμες μεταβλητές γενικά. Οι βιβλιογραφικές αναφορές ελληνικές και αγγλικές ακολουθούν. Το Κεφάλαιο κλείνει με τα αντίστοιχα λυμένα παραδείγματα. Προαπαιτούμενη γνώση Η μόνη προαπαιτούμενη γνώση είναι η σχετική με τις τυχαίες δειγματοληψίες και τα πολύ βασικά αντικείμενα και έννοιες της Στατιστικής και των Πιθανοτήτων που παρουσιάζονται κυρίως στα δύο προηγούμενα κεφάλαια του παρόντος βιβλίου αλλά και στη βιβλιογραφία του κεφαλαίου αυτού... Ορισμοί εννοιών - Σύμβολα Πολλές είναι οι περιπτώσεις πληθυσμών που ως προς την εξεταζόμενη τυχαία μεταβλητή (τμ Χ δεν παρουσιάζουν ομοιογένεια. Ομοιογένεια έχουμε αν η διασπορά της τμ Χ παραμένει σταθερή (ή περίπου σταθερή με μικρές διαφοροποιήσεις από οποιαδήποτε περιοχή του πληθυσμού και αν έχουμε παρατηρήσεις. Οι έντονες διαφοροποιήσεις δημιουργούν διαστρωματώσεις στον πληθυσμό που είναι συνήθως αυτονόητες. Για παράδειγμα αν η τμ Χ περιγράφει την πίεση του αίματος στα άτομα κάποιου πληθυσμού Π τότε θα προκύπτουν καλύτερα αποτελέσματα αν χωρίσουμε τα μέλη του πληθυσμού με βάση την ηλικία σε 4 έως 5 μη επικαλυπτόμενες ομάδες οι οποίες από εδώ και στο εξής θα ονομάζονται στρώματα. Στο κάθε στρώμα αναμένεται να έχουμε παρόμοιες τιμές της Χ δηλαδή μικρή διασπορά και μάλιστα πολύ μικρότερη από τη διασπορά που θα έχουμε αν «δούμε» τον πληθυσμό ως ένα στρώμα. Ο πληθυσμός χωρίζεται σε πολλές περιπτώσεις κατά αυθαίρετο τρόπο σε στρώματα και η τελική απόφαση για τη δημιουργία στρωμάτων βασίζεται πάρα πολύ και στην πείρα ή την άποψη των ερευνητών ως προς τη φύση και τη συμπεριφορά της τμ Χ. Τα στρώματα (υποπληθυσμοί στα οποία χωρίζεται ένας πληθυσμός Π είναι σε πλήθος Μ και είναι ξένα μεταξύ τους σύνολα. Κάθε στρώμα λέμε ότι έχει μέγεθος N i i και βαρύτητα (βάρος ή βαρύνουσα Ni σημασία i. Για τον εκάστοτε πληθυσμό ισχύει φυσικά το N Ni N. i Σε κάθε ώµα στρώμα κάνοκάνουμε χωριστά ΑΤΔ και το αντιμετωπίζουμε ως ανεξάρτητο πληθυσμό. Τα στοιχεία που συλλέγονται από όλα τα στρώματα συναποτελούν το όλο δείγμα για τη μελέτη. Το μέρος δείγµατος του δείγματος που προκύπτει από το i-οστό στρώμα έχει μέγεθος i και το όλο δείγμα δείγµα έχει μέγεθος µέγεθος όπου i. Το αντίστοιχο βάρος του στρώματος στο δείγμα συμβολίζεται με wi i.... H τµ Χ πα i i H τμ Χ παίρνει τιμές Χ ληθυσµού Π σε κάποιο ι i Ν απεικονίζοντας τα Ν στοιχεία του πληθυσμού Π σε κάποιο σύνολο τιμών (συνήθως υποσύνολο του συνόλου R των πραγματικών αριθμών. Ως προς τις τιμές αυτές και τις βασικές παραμέτρους της τμ Χ έχουμε τους παρακάτω συμβολισμούς που βοηθούν στο να αποδοθεί καλύτερα η όλη εικόνα μετά τη δημιουργία των Μ στρωμάτων στον πληθυσμό Π: Χ j: : Η τιμή της j-μονάδας του -στρώματος X : Η μέση τιμή της τμ Χ στο -στρώμα

2 X : : Το άθροισμα των τιμών της τμ Χ στο -στρώμα : Η διασπορά της τμ Χ -στρώμα όπου οι δείκτες και j μεταβάλλονται ως: και j N. Όλα τα παραπάνω ισχύουν για τον πληθυσμό. Για το δείγμα μεγέθους ισχύουν τα παρακάτω αντίστοιχα σύμβολα για τα Μ στρώματά του: i i x j: : Η τιμή της j-μονάδας του -στρώματος και j x : Η μέση τιμή της τμ Χ στο -στρώμα του δείγματος x : Το άθροισμα των τιμών της τμ Χ στο -στρώμα του δείγματος s : Η διασπορά της τμ Χ -στρώμα του δείγματος. Στην περίπτωση του δείγματος οι δείκτες και j παίρνουν τιμές και j.. Ενδιαφέρον έχει ο ορισμός των παραμετρικών ποσοτήτων που αναφέρθηκαν παραπάνω με χρήση ποσοτικών σχέσεων:. Μέση τιµή τιμή της τµ τμ Χ στο -στρώµα -στρώμα ττου πληθυσμού X N X N i i και µέση μέση τιµή τιμή της τµ τμ Χ στο -στρώµ -στρώμα του δείγματος x x. i i. Διασπορά της τµ τμ Χ στο στο -στρώµα -στρώμα το του πληθυσμού N ( Xi X N i και διασπορά της τµ τμ Χ στο -στρώµα -στρώμα του δείγµατ δείγματος s x x ( i i. Οι τυπικές αποκλίσεις για για τον τον πληθυσμού πληθυσµού και και το δείγμα και για όλα τα στρώματα είναι και s s αντίστοιχα.. Συντελεστής Μεταβλητότητας της τμ Χ στο -στρώμα του πληθυσμού όπου Cv X και συντελεστής µεταβλητότ μεταβλητότητας της τμ Χ στο -στρώμα του δείγματος s Cv. x Σημειώνεται ότι οι τιμές της τμ Χ πρέπει να είναι όλες θετικές για να είναι δυνατός ο ορισμός του συντελεστή μεταβλητότητας. Αν είναι αρνητικές όλες γίνεται τότε χρήση της απόλυτης τιμής. Αν είναι κάποιες θετικές και κάποιες αρνητικές τότε ο συντελεστής μεταβλητότητας δεν πρέπει να χρησιμοποιείται γιατί η μέση τιμή στον παρονομαστή παίρνει ανεξέλεγκτα μικρές έως πολύ μικρές τιμές και αλλοιώνεται ο χαρακτήρας της παραμέτρου αυτής. Η συμπεριφορά της παραμέτρου γίνεται τότε προβληματική και η παράμετρος χάνει τη λειτουργικότητά της. Ορισμός..: Μία στρωματοποιημένη δειγματοληψία ονομάζεται αναλογική όταν ισχύει: w Μ. Όλες οι περιπτώσεις στρωματοποιημένης δειγματοληψίας που δεν εμπίπτουν στην περίπτωση του ορισμού.. είναι οι μη αναλογικές και είναι διαφόρων ειδών. Μερικές από αυτές ανήκουν σε μία ομάδα που ονομάζονται ΣτΔ βέλτιστης επιλογής γιατί αυτές οι δειγματοληψίες γίνονται με τέτοιες τεχνικές ώστε να βελτιστοποιείται κάποια ποσότητα σχετιζόμενη με την τμ Χ όπως διασπορά οικονομικό κόστος χρόνος διεξαγωγής της δειγματοληψίας κ.λπ. Σημείωση: Από τη σχέση ορισμού της αναλογικής ΣτΔ δηλαδή την w Μ προκύπτουν τα ακόλουθα:

3 N w f f N N N δηλαδή τα δειγµατοληπτικά κλάσµατα είναι τα δηλαδή τα δειγματοληπτικά κλάσματα είναι τα ίδια σε όλα τα στρώματα όταν έχουμε αναλογική ΣτΔ και όλα ίσα και με το δειγματοληπτικό κλάσμα του πληθυσμού. Αυτή η ισότητα δεν ισχύει σε καμία άλλη μορφή ΣτΔ... Εκτιμήσεις Οι δύο βασικές εκτιμήτριες μέσης τιμής Οι τιμές των διαφόρων παραμέτρων του πληθυσμού Π προσδιορίζονται με απογραφή. Συνήθως όμως έχουμε εκτιμήσεις τους. Εκτιμώνται μέσα από δειγματοληψία με βάση δηλαδή τα δεδομένα που προκύπτουν από εκείνα τα άτομα του Π που εκλέχτηκαν στο δείγμα. Η εκτίμηση γίνεται πάντα και με τη βοήθεια συναρτήσεων που μας δίνουν κάθε φορά τις κατάλληλες τιμές που αντιστοιχούν σε μία παράμετρο της τμ Χ. Με την εκτίμηση δεν έχουμε την τιμή της παραμέτρου ακριβώς αλλά μία άλλη που είναι πολύ κοντά στην τιμή αυτή και που βγαίνει μέσα από κάποια γνωστή κάθε φορά διαδικασία. Το ίδιο το αποτέλεσμα της εκτίμησης ονομάζεται επίσης εκτίμηση. Ορισμός..: Η συνάρτηση και γενικότερα κάθε εργαλείο που μας δίνει την εκτίμηση της τιμής μιας παραμέτρου Α της τμ Χ ονομάζεται τιµ εκτιμήτρια συνάρτηση ή απλά εκτιμήτρια της παραμέτρου Α (eiator. Συνηθίζεται να συμβολίζεται με Â.. Σημείωση..: Για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τις έννοιες «εκτίμηση» και «εκτιμήτρια» βλ. Κεφάλαιο ο (παράγραφοι... Σημαντικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η εκτίμηση της μέσης τιμής της τμ Χ που μελετούμε. Στη ΣτΔ πιο σημαντικές και διαδεδομένες μορφές εκτιμήτριας είναι αυτές των οποίων η αναλυτική έκφραση παραπέμπει στο γεγονός ότι στις διαδικασίες ΣτΔ υπάρχουν τα στρώματα-υποπληθυσμοί και παίζουν μάλιστα τον κυρίαρχο ρόλο. Στην εκτίμηση της μέσης τιμής της τμ Χ δηλαδή υπεισέρχονται οι αντίστοιχες μέσες τιμές που προέρχονται από τα στρώματα ως παράμετροι της όλης έκφρασης. Σημαντικό ρόλο παίζει επίσης και το βάρος w του κάθε στρώματος. Το βάρος αυτό λοιπόν τελικά προσαρτάται στη μέση τιμή που προέρχεται από το εκάστοτε στρώμα και γίνεται ουσιαστικά το δικό της βάρος. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η γενική μορφή της εκτιμήτριας της μέσης µορφή τιμής της δίνεται εκτιµήτριας από την της παρακάτω µέσης τι έκφραση: X µ ( x x... x; w w... w. (.. τή µορφή υλοποιείται γενικά µε Η γενική αυτή μορφή υλοποιείται γενικά με πολλούς τρόπους αλλά δύο είναι οι επικρατέστεροι τρόποι έκφρασης ο γραμμικός και ο γεωμετρικός ήτοι ο X w x + w x... w x w x (.. και ο w w w w X x x x x (.. αντίστοιχα. Θα μελετήσουμε με κάποιες λεπτομέρειες τους δύο αυτούς τρόπους έκφρασης της εκτιμήτριας της μέσης τιμής στη ΣτΔ. Η εκτιμήτρια (.. παρουσιάζει μεγαλύτερο ενδιαφέρον και είναι πιο εύχρηστη. Συγκεντρώνει επίσης και κάποιες «καλές» ιδιότητες των εκτιμητριών όπως αναφέρονται και στο ο Κεφάλαιο π.χ. αμεροληψία όταν η ΣτΔ είναι αναλογική. Σχετικό είναι και το παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα..: Στην αναλογική (roortioal ΣτΔ η γραμμική εκτιμήτρια της μέσης τιμής (.. είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της μέσης τιμής. Απόδειξη Στην αναλογική ΣτΔ τα βάρη των στρωμάτων στο δείγμα είναι ίσα με τα αντίστοιχα βάρη των στρωμάτων στον ίδιο τον πληθυσμό. Έχουμε δηλαδή τη σχέση w... οπότε η εκτιμήτρια (.. παίρνει τη μορφή X x + x... x x Επίσης από την ΑΤΔ που έχουµε σε κάθε στρώµα

4 Επίσης από την ΑΤΔ που έχουμε σε κάθε στρώμα προκύπτει ότι Ex X... και άρα τελικά έχουμε EX E x Ex X X. Από το Θεώρημα.. και το Θεώρημα.. (κεφ. ο προκύπτει εύκολα το εξής πόρισμα σχετικό με το άθροισμα της τμ Χ και την εκτίμησή του στην ΣτΔ: Πόρισμα..: Στην αναλογική (roortioal ΣτΔ η εκτιμήτρια X X του αθροίσματος της τμ Χ είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του αθροίσματος X X. Απόδειξη Από το Θεώρημα... του κεφ. και επειδή σε κάθε στρώμα έχουμε ΑΤΔ προκύπτει X N x για όλα τα... και άρα EX N Ex N X X. Παίρνουμε τη μέση τιμή µή της εκτιμήτριας εκτιµήτ του αθροίσματος και προκύπτει και το πόρισμα αποδείχτηκε. Σημειώνουμε ότι γενικά δεν έχουμε πάντα αναλογική ΣτΔ. Στη γενική περίπτωση δηλαδή δεν ισχύει w Αυτό Αυτό έχει ως έχει αποτέλεσµα ως αποτέλεσμα να έχουµε να έχουμε στη γενική στη γενική περίπτω περίπτωση τη σχέση: EX E w x w Ex w X X X σχέση που υποδηλώνει την ύπαρξη µεροληψίας μεροληψίας (bias. Η εκτιμήτρια (.. όταν δεν έχουμε αναλογική ΣτΔ ονομάζεται συχνά στη βιβλιογραφία «γενική» εκτιμήτρια (Φαρμάκης 009 α. Η γενική εκτιμήτρια δεν είναι μόνο της μορφής (.. που στηρίζεται στο μέγεθος των στρωμάτων του δείγματος (βάρη. Η γενικότερη μορφή της μη αναλογικής εκτιμήτριας δίνεται στη σχέση (..4 όπου λ είναι κατάλληλοι συντελεστές είναι κατάλληλοι συντελεστές X λ x + λ x... λ x λ x µε λ (..4 Σημειώνεται μάλιστα Σηµειώνεται ότι κάθε φορά µάλιστα αντιμετωπίζουμε ότι κάθε φορά και διαφορετική αντιµετωπίζουµε ποιότητα κ και συμπεριφορά των συντελεστών λ (ανάλογα και με τη φύση του προβλήματος που μελετούμε. Οι συντελεστές λ ενσωματώνουν πληροφορία σχετική με το κόστος (οικονομικό χρονικό κ.λπ. ή/και τη διασπορά της τμ Χ κατά στρώματα πάντα. Όταν έχουμε τη μορφή (..4 επιδιώκεται η σύνθεση του δείγματος με μεγέθη κατά στρώματα ώστε να βελτιστοποιείται κάποια ποσότητα κάθε φορά. Έχουμε δηλαδή την ΣτΔ με «βέλτιστη επιλογή» (δείγματος. Η ποσότητα που βελτιστοποιείται είναι ή οικονομικής φύσης ή η διασπορά της εκτιμήτριας της μέσης τιμής. Περισσότερα θα εξεταστούν σε επόμενη παράγραφο. Στο σημείο αυτό θα εξεταστεί η διασπορά της εκτιμήτριας της μέσης τιμής της αναλογικής ΣτΔ. Η διασπορά μιας εκτιμήτριας αποτελεί δείκτη για την ποιότητά της καθώς όσο μικρότερη είναι η διασπορά της εκτιμήτριας τόσο καλύτερη είναι η ποιότητά της και τόσο αυξάνει η αξιοπιστία και άρα και το αξιοποιήσιμό της. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι είναι σημαντικό για κάποια πρακτικά για κάθε εκτιμήτρια να γνωρίζουμε τη διασπορά της. Σχετικό με τη διασπορά της εκτιμήτριας της μέσης τιμής κατά την αναλογική ΣτΔ είναι το επόμενο θεώρημα. Θεώρημα..: Η εκτιμήτρια της μέσης τιμής κατά την αναλογική ΣτΔ (.. έχει διασπορά που δίνεται από τη από σχέση: τη σχέση: f Var( X Var( x ή εναλλακτικά από τη σχέση f Var( X Var( x V ( x όπου

5 ή εναλλακτικά από τη σχέση f Var ( X Var ( x V ( x f Var( X Var( x V ( x όπου όπου όπου όπου f f f f N N f f..... Απόδειξη Απόδειξη NN NN Απόδειξη τον τον ορισµό ορισµό της της εκτιµήτριας εκτιµήτριας έχουµε έχουµε Απόδειξη τον ορισµό της εκτιµήτριας έχουµε N Από Από X τον τον ορισμό x ορισµό της της εκτιμήτριας εκτιµήτ x µε µε ας έχουμε έχουµε N [0] [0] X x X x µε N [0]... οπότε οπότε είναι είναι x x με N [0]... οπότε είναι N Var Var ( X οπότε είναι Var Var ( x Var Var ( x + i i j j Cov Cov ( xi i x. j είναι i< j< j Var( X Var( x Var( x + i< j< i j Cov( xi x. j Η Var ανεξαρτησία ανεξαρτησία X Var( των των x ΑΤΔ ΑΤΔ που που Var γίνονται γίνονται i ( x + σε σε < j< κάθε κάθε στρώµα στρώµα i j Cov κατά κατά ( xi x την την j. ΣτΔ ΣτΔ οδηγεί οδηγεί στο στο συµπέρασµα συµπέρασµα ότι ότι Η Cov Cov ανεξαρτησία ( xi των ΑΤΔ που γίνονται σε κάθε i< j< στρώµα κατά την ΣτΔ οδηγεί στο συµπέρασµα ότι x j 0 για για κάθε κάθε i j. Η Cov Λαµβάνοντας Λαµβάνοντας ανεξαρτησία Η ( xi x j 0 για υπόψη υπόψη των κάθε το το ΑΤΔ i Θεώρηµα Θεώρηµα που jπου. που γίνονται.... του του σε σε κάθε ου ου κάθε κεφαλαίου κεφαλαίου στρώμα στρώµα έχουµε έχουµε κατά κατά την την ΣτΔ οδηγεί στο συμπέρασμα ότι Cov Λαµβάνοντας ( xi j 0 υπόψη για f κάθε το Θεώρηµα i j... του ου κεφαλαίου έχουµε Λαµβάνοντας Λαµβάνοντας Λαμβάνοντας Var υπ f υπόψη Θεώρηµ το µε Θεώρηµα Θεώρημα.. του ου κεφαλαίου έχουμε έ Var( x f µε f Var( x Var( x µε f f µε f f N f. N N. N N. Προκύπτει Προκύπτει δηλαδή δηλαδή ότι ότι N. Προκύπτει δηλαδή ότι f Var Var ( X Προκύπτει Var Var ( x δηλαδή ότι Var Var ( x ότι f. Var( X Var( x ( Var x. Εναλλακτικά Εναλλακτικά f Var( X Var ( x Var( x Εναλλακτικά f N f f Var Var ( X Εναλλακτικά εναλλακτικά ( f N f f Var X N f N N f οπότε οπότε f Var( X οπότε N οπότε f f Var Var ( X V ( x οπότε f f Var( X V ( x f f Var( X V ( x f f Var( X V ( x Η έκφραση έκφραση του του θεωρήµατος θεωρήµατος.... υπάρχει υπάρχει συχνά συχνά στη στη βιβλιογραφία βιβλιογραφία και και µε µε την την παρακάτω παρακάτω µορφή µορφή βλέπε βλέπε Η και και έκφραση Φαρµάκης Φαρµάκης του (009 (009 θεωρήµατος α κεφ. κεφ. ο.. : υπάρχει συχνά στη βιβλιογραφία και µε την παρακάτω µορφή βλέπε Η έκφραση και Η Φαρµάκης έκφραση του θεωρήματος (009 του θεωρήµατος α.. υπάρχει.. συχνά υπάρχει στη συχνά βιβλιογραφία στη βιβλιογραφία και με την παρακάτω και µε την μορφή παρακάτω (Φαρμάκης βλέπε 009και α : Φαρµάκης (009 α κεφ. ο µορφή : κεφ. ο : Var Var ( X Var Var ( x Var Var ( x N ( N Var( X Var( x Var( x N N ( N Var( X Var( x Αυτή Αυτή η έκφραση έκφραση και και το το πόρισµα πόρισµα Var.... ( xοδηγούν N N ( στο στο επόµενο επόµενο N πόρισµα. N Αυτή η έκφραση και το πόρισµα.. οδηγούν στο επόµενο πόρισµα. Αυτή Αυτή η έκφραση έκφραση και και το το πόρισµα πόρισμα.... οδηγούν οδηγούν στο στο επόµενο επόμενο πόρισµα. πόρισμα. Πόρισµα Πόρισµα..:..: Στην Στην αναλογική αναλογική ΣτΔ ΣτΔ η εκτιµήτρια εκτιµήτρια X Πόρισμα Πόρισµα..: Στην αναλογική ΣτΔ η εκτιμήτρια εκτιµήτρια X Πόρισµα..: Στην αναλογική ΣτΔ η εκτιµήτρια X X του του αθροίσµατος αθροίσµατος της της τµ τµ Χ έχει έχει διασπορά διασπορά ίση ίση X του αθροίσµατος αθροίσματος της τµ τμ Χ Χ έχει διασπορά ίση ίση µε µε με X του αθροίσµατος της τµ Χ έχει διασπορά ίση µε µε Var Var ( X N Var Var ( x N ( N. Var( X N Var( x ( N N Var( X. Απόδειξη: Απόδειξη: N Var( x N ( N. Απόδειξη: Ισχύει Ισχύει ότι ότι Ισχύει ότι Ισχύει Απόδειξη: ότι Ισχύει Var ότι Var( X Var( X Var ( s t Var X Var X Var ( N x N Var Var ( x ( s t Var X X Var( X ( ( N x N Var( x s t Var X Var X Var( N x καθώς καθώς οι οι ΑΤΔ ΑΤΔ στα στα Μ στρώµατα στρώµατα του του πληθυσµού πληθυσµού γίνονται γίνονται παράλληλα παράλληλα N Var και και ( ανεξάρτητα ανεξάρτητα x η κάθε κάθε µία µία από από αυτές αυτές οπότε οπότε καθώς οι οι οι συνδιασπορές συνδιασπορές ΑΤΔ στα Μ στρώµατα στρώματα είναι είναι µηδενικές. µηδενικές. του πληθυσμού πληθυσµού Λαµβάνοντας Λαµβάνοντας γίνονται υπόψη υπόψη παράλληλα το το Θεώρηµα Θεώρηµα και ανεξάρτητα.... προκύπτει προκύπτει η η κάθε ότι ότι μία µία από από αυτές αυτές καθώς οι οι ΑΤΔ στα Μ στρώµατα µηδενικές. του Λαµβάνοντας πληθυσµού οπότε γίνονται παράλληλα το Θεώρηµα και ανεξάρτητα η ότι κάθε µία από αυτές οι συνδιασπορές είναι μηδενικές. Λαμβάνοντας υπόψη το Θεώρημα.. προκύπτει ότι Var( Xοπότε οι N συνδιασπορές Var( X είναι µηδενικές. N ( N Var( X Λαµβάνοντας N Var( X N ( N υπόψη το Θεώρηµα.. προκύπτει ότι ( Var X N Var( X N ( N και το θεώρηµα και το θεώρηµα αποδείχτηκε. αποδείχτηκε. και το θεώρηµα θεώρημα αποδείχτηκε. Ορισµός Ορισμός..:..: Η Η ποσότητα Ορισµός..: Η ποσότητα είναι η σταθμισμένη η σταθµισµένη διασπορά διασπορά στον στον πληθυσμό πληθυσµό Π που Π χωρίστη- που είναι η σταθµισµένη διασπορά στον πληθυσµό Π που Ορισµός..: Η ποσότητα είναι η σταθµισµένη διασπορά στον πληθυσµό Π που χωρίστηκε χωρίστηκε σε Μ σε στρώµατα Μ σε στρώματα Μ στρώµατα και και στα στα οποία και οποία στα η η διασπορά οποία η διασπορά της τµ Χ είναι της τµ τμ Χ είναι.... Είναι µια µορφή.... Είναι μια µια μορφή µορφή μέσης τιμής µέσης τιµής µέσης της χωρίστηκε τιµής διασποράς της διασποράς σε στον στον Μ πληθυσμό στρώµατα πληθυσµό στον πληθυσµό και όταν όταν στα ξέρουμε ξέρουµε οποία όταν τις η ξέρουµε τις διασπορά διασπορές τις της στα διασπορές τµ στα στρώματα Χ στρώµατα είναι στα και στρώµατα τα και βάρη... τα των βάρη και στρωμάτων. τα των. Είναι βάρη µια των µορφή στρωµάτων. στρωµάτων. µέσης Το Θεώρημα τιµής της.. διασποράς βοηθά στο στον να οριστεί πληθυσµό για τη όταν μέση ξέρουµε τιμή του τις πληθυσμού διασπορές διάστημα στα στρώµατα εμπιστοσύνης και τα βάρη (δ.ε. των στρωµάτων. Το Θεώρηµα Το Θεώρηµα.. βοηθά.. στο βοηθά να οριστεί στο να για οριστεί τη µέση για τη τιµή µέση του τιµή πληθυσµού του πληθυσµού διάστηµα διάστηµα εµπιστοσύνης εµπιστοσύνης (δ.ε. 00(-α% (δ.ε. 00(-α% π.χ. 95% Το π.χ. Θεώρηµα α % Αρχικά α βοηθά αντιµετωπίζεται Αρχικά στο αντιµετωπίζεται να οριστεί η ανάγκη για η τη να ανάγκη µέση εκτιµήσουµε να εκτιµήσουµε του την πληθυσµού ποσότητα την ποσότητα διάστηµα V( x Vεµπιστοσύνης ( x από την έκφραση από την (δ.ε. έκφραση 00(-α% π.χ. 95% α0.05. Αρχικά αντιµετωπίζεται η ανάγκη να εκτιµήσουµε την ποσότητα V( x

6 στοσύνης 00(-α% π.χ. 95% α0.05. Αρχικά αντιμετωπίζεται η ανάγκη να εκτιμήσουμε την ποσότητα V( x από την έκφραση κφραση f V( x s (..5 όπου αντικαταστάθηκαν οι διασπορές ικαταστάθηκαν στα στρώματα οι του διασπορές πληθυσμού σ από τις διασπορές στα στρώματα του δείγματος. Ήδη από το ο κεφάλαιο γνωρίζουμε ότι Es δηλαδή ότι η δειγματική διασπορά είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της αντίστοιχης πληθυσμιακής. ής. Αυτό Αυτό ισχύει ι και στην ΣτΔ μεταξύ των αντίστοιχων στρωμάτων δείγματος και πληθυσμού καθώς στα στρώματα του πληθυσμού διενεργείται ΑΤΔ και αυτά αντιμετωπίζονται ως ανεξάρτητοι πληθυσμοί (υποπληθυσμοί. Μετά τα προηγούμενα Μετά τα μπορούμε προηγούµενα γράψουμε µπορούµε τη να μαθηματική γράψουµε έκφραση τη µαθηµατική για το δ.ε. έκφρ 00(-α% την f { x ± za / V( x } x ± za / s (..6 Η σχέση (..6 είναι (..6 πολύ είναι χρήσιμη πολύ χρήσιµη για τη μελέτη για τη των µελέτη τμ στη των ΣτΔ. τµ στη Βοηθάει ΣτΔ. Βοηθάει να βγουν χρήσιμα συμπεράσματα σε πολλές περιπτώσεις μελέτης τυχαίων μεταβλητών. Μία πολύ χρήσιμη εφαρμογή του είναι η συμβολή του στον υπολογισμό του μεγέθους του «επαρκώς μεγάλου δείγματος» μέσα από την υιοθέτηση του «μέγιστου επιτρεπτού σφάλματος εκτίμησης» (μ.ε.σ.ε.. Το μ.ε.σ.ε.d αναφέρεται ουσιαστικά στην επιδιωκόμενη ακρίβεια ως προς την εκτίμηση της μέσης τιμής της υπό μελέτη τμ Χ. Ο προσδιορισμός του μεγέθους του «επαρκώς μεγάλου δείγματος» ξεκινάει με την επίλυση ως προς το μέγεθος το µέγεθος της ανισοεξίσωσης της ανίσοεξίσωσης f za/ s d ή καλύτερα και πρακτικότερα της ερα και πρακτικότερα της f za / d (..7 Η επίλυση της (..7 ως προς οδηγεί ση υση στο της της αποτέλεσμα (..7 (..7 ως ως προς (Φαρμάκης προς ο 009 α : N d + N s z a / (..8 8 µπορεί να γραφεί και σ Η (..8 μπορεί να γραφεί και σε άλλες παραλλαγές που κυκλοφορούν στη βιβλιογραφία (Thoso 99. Η (..8 υπολογίζει πόσο πρέπει να είναι το ελάχιστο μέγεθος ενός δείγματος επαρκώς μεγάλου σύμφωνα με προϋποθέσεις διασποράς απαιτήσεις ακρίβειας και παραδοχές στάθμης σημαντικότητας. Ο υπολογισμός γίνεται με άμεσο τρόπο από τη σχέση N + d N + s z a / 0 (..9 [x] είναι το ακέραιο µέρος του πρ όπου [x] είναι το ακέραιο μέρος του πραγματικού αριθμού x και ισούται με τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που δεν ξεπερνάει τον x π.χ. το [.45] ενώ ισχύει φυσικά [-.45]-4 κ.λπ. Σημειώνεται ότι η σχέση (..9 αναφέρεται στο μέγεθος του επαρκώς μεγάλου δείγματος με βάση απαιτήσεις ακρίβειας ως προς τη μέση τιμή της τμ Χ. Βασιζόμαστε δηλαδή σε ιδιότητες που αφορούν την εκτιμήτρια (... Αν όμως ουµε θέλουμε να βρού να βρούμε το επαρκώς μεγάλο δείγμα με βάση απαιτήσεις ακρίβειας προσδιορισμού του αθροίσματος X X από τη δειγματική εκτιμήτρια x N x τότε η σχέση (..9 μετασχηματίζεται στην

7 N 0. + d + N s z a/ (..0 Ενδιαφέρον έχει να δει κανείς τη σχέση (..9 και από κάποια άλλη σκοπιά. Αν ν διαιρέσουµε διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή με το μέγεθος του πληθυσμού Ν και υιοθετήσουμε το συμβολισμό s z a / Θ d 99 & Φαρμάκης 009 β τότε έχουμε την παρακάτω Φαρµάκης ενδιαφέρουσα (009 τότε μορφή της χέσης σχέσης (..9 ( N Θ (Thoso (.. η σειρά της η (.. µας Με τη σειρά της η (.. μας πληροφορεί ότι το μέγεθος του επαρκώς μεγάλου δείγματος είναι συνάρτηση: Αύξουσα (ασθενώς ως προς το μέγεθος Ν του πληθυσμού. Φθίνουσα ως προς το μ.ε.σ.ε. d των απαιτήσεων αιτήσ για ακρίβεια. Αύξουσα ως προς τη (μέση διασπορά. Φθίνουσα ως προς την στάθμη σημαντικότητας α. Παρατηρείται μία αύξουσα τάση του 0 σε συνάρτηση με το Ν. Αυτή η τάση πάει να εξαφανιστεί καθώς το μέγεθος του πληθυσμού αυξάνεται. Για να φανεί αυτή η ασθενώς αύξουσα τάση του μεγέθους του δείγματος σε σχέση με το μέγεθος Ν του εκάστοτε πληθυσμού υπολογίζονται οι τιμές του 0 για διάφορες τιμές του Ν διατηρώντας σταθερές τις τιμές των υπόλοιπων παραμέτρων των σχέσεων (..9 και (... ον Στον πίνακα πίνακα που που α ακολουθεί παρατίθενται οι s z τιμές που προκύπτουν όταν z a/.96 s 9 d και επομένως a / Θ d.696. Στην τρίτη γραμμή σµού µπήκε στο του παρακάτω πίνακα.. φαίνεται τι ποσοστό (% του πληθυσμού μπήκε στο δείγμα και τι πορεία ακολουθεί και αυτό (φθίνουσα. Αυτή είναι άλλωστε η αιτία που τα μεγέθη του πληθυσμού θεωρήθηκαν (προς διευκόλυνση δυνάμεις του 0. Ν % 76%.8%.0% 0.% 0.0% 0.00%.0000% Πίνακας.. Στον παραπάνω πίνακα παρατηρούμε ότι πρακτικά μετά από κάποια τιμή του μεγέθους του πληθυσμού Ν το ελάχιστο επαρκώς μεγάλο δείγμα έχει σταθερό μέγεθος 0 το οποίο στο παρόν παράδειγμα είναι οριακό 0. Το οριακό μέγεθος αυτό είναι συνάρτηση των παραμέτρων z a/ s και d ή πιο σύντομα της παραμέτρου Θ. Στην προκειμένη περίπτωση δηλαδή ισχύει το 0 (Θ.696[.696]+[Θ]+ πράγμα που είναι προφανές αν κοιτάξει κανείς προσεκτικά τη σχέση (... Κοιτώντας προσεκτικά και την ποσότητα Θ μπορεί να δεί ο παρατηρητής ότι η ποσότητα Θ είναι ο λόγος δύο ποσών που μετρούν «μεταβλητότητα» (με την ευρεία έννοια. Η μία μεταβλητότητα είναι η τυπική απόκλιση (μέση και η άλλη είναι το μ.ε.σ.ε. που είναι πάλι μια παρεκτροπή (διαφορετικότητα της δειγματικής από την πραγματική (πληθυσμιακή μέση τιμή. Υπάρχουν πολλο πολλοί τρόποι «ανάγνωσης» των σχέσεων (..9 και (.. και της παραμέτρου s z Θ a / d παραπέµπει σε πα Η σχέση (.. π.χ. συνδέεται με την εξίσωση των λεπτών φακών πράγμα που παραπέ-

8 μπει σε παρομοίωση του δείγματος (και της δειγματοληψίας γενικότερα με λεπτό φακό (και τη διαθλαστική λειτουργία του (Farakis 006. Υπάρχουν φυσικά κι άλλες συσχετίσεις της (.. με παλιότερα αντικείμενα διαφόρων κλάδων των Μαθηματικών και των Φυσικών επιστημών. Σημειώνουμε εδώ πάντως ότι στην (.. η ποσότητα Θ είναι ποσοτικά κυρίαρχη ειδικά όσο αυξάνει νει η τιμή η τιµή του του Ν. ΝΤόσο κυρίαρχη ώστε η σχέση (.. να μπορεί στο οριακά να μετασχηματιστεί απόλυτα σε. [ Θ] +. 0 ακό συµπέρασµ Από τον Πίνακα.. βγαίνει και ένα άλλο σημαντικό και για πολλούς ίσως εντυπωσιακό συμπέρασμα. Δεν υπάρχει κάποιο ελάχιστο ποσοστό του πληθυσμού που πρέπει να ενταχθεί στο δείγμα (στην ΣτΔ ώστε το δείγμα να είναι επαρκώς μεγάλο. Για τις αυτές απαιτήσεις ακρίβειας και μεταβλητότητας το ελάχιστο ποσοστό του πληθυσμού που μπαίνει στο δείγμα φθίνει συνεχώς καθώς αυξάνει το μέγεθος του πληθυσμού και δεν μένει σταθερό. Αυτό το συμπέρασμα ισχύει ήδη για την ΑΤΔ (κεφ. ο. Μετά την παραπάνω ανάλυση με βάση την εκτιμήτρια της σχέσης (.. περνάμε τώρα στην ανάλυση με βάση ανάλυση τη γεωμετρική µε βάση εκτιμήτρια τη γεωµετρική της εκ σχέσης (.. την w w w X x x x x w για την πληρέστερη και σφαιρικότερη περιγραφή και κατανόηση της λειτουργίας των εκτιμητριών της μέσης τιμής της τμ Χ. Βασική (πρώτη παρατήρηση είναι ότι γεωμετρική εκτιμήτρια δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε κάθε περίπτωση τμ Χ. Λειτουργεί ομαλά μόνο για εκείνες τις τμ που παίρνουν θετικές τιμές ώστε να μπορούν να υπάρξουν οι δυνάμεις των τιμών (και των μέσων τιμών της τμ Χ. Αυτό εκφράζεται συνήθως με το ισοδύναμο «να μπορούν να συνυπάρξουν η τμ Χ και ο λογάριθμός της λογχ ή o lx. Αυτό κάνει περιορισμένο τον ορίζοντα δράσης της γεωμετρικής εκτιμήτριας. Μία πρόταση που θα μας χρειαστεί είναι το θεώρημα που συγκρίνει τους δύο μέσους όρους Αριθμητικό και Γεωμετρικό. Η πρόταση είναι ευρύτατα γνωστή και θα δοθεί η απόδειξή της παράλληλα με σχολιασμό. Θεώρημα..: Δίνονται οι θετικοί αριθμοί Α Α Α Α ν. Ο αριθμητικός μέσος τους δεν είναι μικρότερος του µικρότερος γεωμετρικού του του γεωµετρικού μέσου. Ήτοι του µ / ν ν ν ν A A ν A ν Απόδειξη (αποδίδεται στον Polya Απόδειξη (αποδίδεται στον Polya Είναι πολύ εύκολο να διαπιστωθεί η ισχύς του θεωρήματος για μικρές τιμές του ν. Ειδικά για ν έχουμε ( A A 0 οπότε οπότε έχουµε έχουμε ( ( A + A A A 0 και άρα A + A A A. Δηλαδή Δηλαδή Αριθμητικός μέσος Γεωμετρικός μέσος (ό.έ.δ. Για την απόδειξη του τοθεωρήματος για > χρειάζεται να μελετηθεί πρώτα η πραγματική συνάρτηση (εκθετική x f( x e x και οι δύο πρώτες παράγωγοί της ήτοι: x fʹ ( x e x fʹ ʹ ( x e > 0 R x. x f( x e x είναι κυρτή σε όλα τα σημεία Το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου δηλώνει ότι η της πραγματικής ευθείας. Η επίλυση της εξίσωσης fʹ ( x 0 συνεπάγεται x και είναι σημείο ελαχίστου λόγω του πρόσημου της β παραγώγου. Είναι

9 ειδικότερα f ( x f( 0 i. ωτέρω συνεπάγονται ότι ι Όλα τα ανωτέρω συνεπάγονται ότι ισχύει x και άρα ισχύει η σχέση f( x e x 0 R x x e x x R x e x x R x e x x R Ακολούθως θεωρούµε θεωρούμε τους θετικούς αριθμούς A A A και τον αριθμητικό μέσο τους µ A + A + + A.... Λόγω της (.. έχουμε την ανισότητα i και i Ai i 0 A i µ µ e e i A µ i A i µ Ai e ήτοι µ i (.. και και το το θεώρηµα θεώρημα απο αποδείχτηκε στη γενική περίπτωση. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα.. για τους θετικούς αριθμούς ν Α ν Α ν A που είναι τέτοιοι ώστε ν ν προκύπτει ότι ν ν ν ν ν ν w i i και w θέτοντας i Ai A w i νi i / i i wi wi Ai Ai i i Μετά τα παραπάνω έχουµε άµεση συνέπεια το ακόλουθο πόρισµα η απόδειξη του οποίου προκύπτει συνδυάζοντας Μετά παραπάνω τα παραπάνω έχουμε άμεση αποτελέσµατα συνέπεια και το τη ακόλουθο σχέση (... πόρισμα η απόδειξη του οποίου προκύπτει συνδυάζοντας τα παραπάνω αποτελέσματα και τη σχέση (... Πόρισµα..: Η γεωµετρική εκτιµήτρια της µέσης τιµής της τµ Χ της σχέσης (.. Πόρισµα Πόρισμα..: Η γεωμετρική γεωµετρ εκτιμήτρια της μέσης τιμής της τμ Χ της σχέσης (.. w w w w X x x w w w w X x x x x x x είναι είναι υποεκτιμήτρια υποεκτιµήτρια της της μέσης µέσης τιμής τιµής X X της της τμ τµ Χ. Χ. Σημείωση Σηµείωση..:..: Το Το ίσον ίσον στις στις παραπάνω παραπάνω ανισοϊσότητες ανισοϊσότητες ισχύει ισχύει όταν όταν ισχύει ισχύει η ισότητα η ισότητα στην στην ανισότητα ανισότητα του του αριθμητικού αριθµητικού γεωμετρικού γεωµετρικού μέσου µέσου γεγονός γεγονός που που συμβαίνει συµβαίνει όταν όταν όλες όλες οι τιμές-αριθμοί οι τιµές-αριθµοί είναι είναι ίσοι ίση μεταξύ µεταξύ τους τους απολύτως. Σε κάθε άλλη περίπτωση ισχύει η ανισότητα. απολύτως. Σε κάθε άλλη περίπτωση ισχύει η ανισότητα. Σημείωση Σηµείωση..:..: Η υποεκτίμηση Η υποεκτίµηση είναι είναι εντονότερη εντονότερη όσο περισσότερο όσο περισσότερο αυξάνει αυξάνει το εύρος το διακύμανσης εύρος διακύµανσης των τιμών των της τιµών τμ Χ. της Θα τµ το Χ. δούμε Θα το αυτό δούµε με τρεις αυτό αριθμητικές µε τρεις αριθµητικές εφαρμογές. εφαρµογές. η εφαρµογή: εφαρμογή: Δίνονται οι αριθμοί αριθµοί Α ΑΑ 5 5 και και Α Α0 0 με µε αντίστοιχες βαρύτητες w 0. w 0. w 0.49 w 0.49 και και w 0.9. w 0.9. Οι Οι μέσοι µέσοι γραμμικοί γραµµικοί και και γεωμετρικοί γεωµετρικοί όροι όροι είναι είναι αντίστοιχα i w με A wi Ai 5.57 και i Γ Ai 5. µε λόγο i i 5.57 η εφαρµογή: Δίνονται οι ο αριθµοί Α 5 Α 40 και Α 00 µε τις ίδιες βαρύτητες που χρησιµοποιήθηκαν στην η εφαρμογή: προηγούµενη Δίνονται εφαρµογή οι αριθμοί ήτοι Αw 5 0. Α 40 w 0.49 και Ακαι 00 w 0.9. με τις ίδιες βαρύτητες που χρησιμοποιήθηκαν στην Οι προηγούμενη µέσοι όροι είναι εφαρμογή αντίστοιχα ήτοι w 0. w 0.49 και w 0.9. Οι μέσοι όροι είναι αντίστοιχα w i A wi Ai 5.90 και i Γ Ai 4.05 µε λόγο i i η εφαρµογή: Δίνονται οι βαρύτητες των 4 στρωµάτων ενός πληθυσµού και και καταγράφονται οι µέσες τιµές ανά στρώµα 0 τµ Χ λ λ 0. Για καθεµία από τις 0 τµ υπολογίστηκαν:

10 w A 5.90 και A i i i Γ w A i 4.05 i i με λόγο η εφαρµογή: Δίνονται ο αρύτητες των 4 στρωµ ός πληθυσµού η εφαρμογή: Δίνονται οι βαρύτητες των 4 στρωμάτων ενός πληθυσμού και και καταγράφονται οι μέσες τιμές ανά στρώμα 0 τμ Χ λ λ 0. Για καθεμία από τις 0 τμ υπολογίστηκαν: Αριθμητικός Μέσος. Γεωμετρικός Μέσος. Λόγος Γεωμετρικού προς Αριθμητικό Μέσο. Διασπορά των τεσσάρων μέσων τιμών των στρωμάτων (σταθμισμένη. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον Πίνακα... Ο λόγος γεωμετρικού προς αριθμητικό μέσο είναι μικρότερος της μονάδας εκτός από την πρώτη περίπτωση όπου όλες οι μέσες τιμές της αντίστοιχης τμ Χ είναι ίσες μεταξύ τους (6. Μία αρνητική γραμμικότητα συνδέει τον λόγο αριθμητικού προς γεωμετρικό μέσο με την τυπική απόκλιση των τιμών των Χ. Συντελεστής γραμμικής συσχέτισης r και άρα συντελεστής προσδιορισμού r 0.70 ήτοι το 70% των μεταβολών του λόγου των δύο μέσων οφείλεται στις μεταβολές της τυπικής απόκλισης Αριθμητ. Μέσος Γεωμετρ. Μέσος Λόγος Μέσων Διασπορά X X X X X X X X X X Πίνακας.. Μετά από όλα τα παραπάνω για τις δύο εκτιμήτριες της μέσης τιμής της τμ Χ συμπληρώνεται σωστά η εικόνα με την εισαγωγή της εκτιμήτριας της της διασποράς στη στη ΣτΔ. ΣτΔ. N Στην ΑΤΔ έχουμε τη διασπορά ( X i X της τμ Χ στον πληθυσμό με εκτιμήτρια τη δια- σπορά ( N i N s xi x της ίδιας τμ στο δείγμα. Η εκτιμήτρια είναι και αμερόληπτη (ubiased. i Στη ΣτΔ έχουμε τα ανάλογα συμπεράσματα. Εδώ όμως δεν υπάρχει λόγος να βρούμε αλλά και να χρησιμοποιούμε χρησιµοποιούµε τη διασπορά τ του πληθυσμού. Έχουμε τη μέση διασπορά (σταθμισμένη που τη βρίσκουµε που τη βρίσκουμε μέσα από τα στρώματα και αυτή είναι το λειτουργικό μέγεθος της διασποράς της τμ Χ στον πληθυσμό. Εκτιμήτρια της μέσης διασποράς στον στον πληθυσμό π είναι η μέση διασπορά στο δείγμα που ορίζεται με ανάλογο τρόπο ως η διασπορά s s ηθυσµιακής µέσης (τα βάρη είναι του πληθυσμού και θα αποδείξουμε ότι είναι s x

11 αμερόληπτη εκτιμήτρια της πληθυσμιακής μέσης διασποράς. Θεώρημα..7: Δίνεται η τμ Χ και πληθυσμός Π με Μ στρώματα. Παίρνουμε με ΣτΔ ένα τυχαίο δείγμα από τον πληθυσμό. µό. Η µέση Η μέση δι διασπορά του δείγματος εκτιμάει αμερόληπτα τη μέση διασπορά του πληθυσμού ήτοι έχουμε Es. Απόδειξη Στη ΣτΔ παίρνουμε από κάθε στρώμα το αντίστοιχο μέρος του δείγματος με ΑΤΔ ενεργώντας σε κάθε στρώμα ανεξάρτητα από τα άλλα στρώματα. στρώµατα. Θεωρώντας με µετη διαδικασία αυτή το κάθε στρώμα πληθυσμό έχουμε τη σχέση αμεροληψίας Es.... Παίρνουµε Παίρνουμε στη στη συνέχεια συνέχεια συνέχεια τη μέση τη τιμή τη µέση της µέση μέσης τιµ τιµ δειγματικής διασποράς όπου έχουμε Es E s Es Σηµειώνεται ότι η τυπική απόκλιση στο δείγµα δε και το θεώρημα αποδείχτηκε. Σημειώνεται ότι η τυπική απόκλιση στο δείγμα δεν είναι εν γένει αμερόληπτη εκτιμήτρια ήτρια της της αντίστοιχης τυπικής απόκλισης στον πληθυσμό. Το ίδιο συμβαίνει και με τη μέση τυπική απόκλιση s s της τμ Χ στο δείγμα. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου η s s είναι υποεκτιμήτρια οεκτιµήτρ της αντίστοιχης παραμέτρου του πληθυσμού και υπάρχουν επίσης άλλα παραδείγματα όπου η s s είναι υπερεκτιμήτρια της αντίστοιχης παραμέτρου... Βέλτιστη Επιλογή Δείγματος Στη ΣτΔ είναι πάντα ένα σημαντικό ζήτημα το να απαντηθεί το ερώτημα: «Πώς θα γίνει η εκπροσώπηση των στρωμάτων του πληθυσμού στο δείγμα;» Τις περισσότερες φορές με αβίαστο τρόπο η απάντηση είναι ότι θα γίνει με τη χρήση της αναλογικής (roortioal δειγματοληψίας. Αυτή η μέθοδος εξετάστηκε στην προηγούμενη παράγραφο και θα αναφερθούμε σ αυτήν εν μέρει και στην παρούσα παράγραφο. Το κύριο όμως αντικείμενο της παραγράφου αυτής είναι η μελέτη δημιουργίας δείγματος μέσα από βέλτιστη επιλογή του δείγματος (otiizatio. Η επιλογή του βέλτιστου δείγματος γίνεται πάντα με βάση κάποια ποσότητα και τη βελτιστοποίηση της τιμής της π.χ. την ελαχιστοποίηση του οικονομικού κόστους ή την ελαχιστοποίηση της διασποράς της μέσης τιμής της εκάστοτε εκτιμήτριας. Είναι πολύ συνηθισμένο στις διάφορες δειγματοληψίες να λαμβάνεται σοβαρά υπόψη ο παράγοντας του κόστους. Υπάρχει το οικονομικό κόστος (κυρίως οι διάφοροι χρονικοί περιορισμοί (χρονικό κόστος κ.λπ. Γίνεται δε η προσπάθεια να μειωθεί το εκάστοτε κόστος στα στρώματα όσο το δυνατόν περισσότερο και έπειτα μεταβαίνουμε στη βελτιστοποίηση του συνολικού κόστους που περιλαμβάνει το κόστος στα στρώματα και τα πάγια έξοδα. Σημειώνεται ότι ένα μέγεθος προς βελτιστοποίηση είναι και το ίδιο το μέγεθος του επαρκώς μεγάλου δείγματος που εξετάστηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Στην περίπτωση αυτή οι πόροι των οποίων θα βελτιστοποιηθεί η χρήση είναι οι μονάδες του πληθυσμού που θα συμπεριλάβουμε στο δείγμα (ελαχιστοποίηση. Στη διαδικασία αυτή οι μονάδες ενσωματώνονται στο δείγμα ενώ παράλληλα τηρούνται κάποιες προδιαγραφές σχετικά με το δείγμα και τα στατιστικά που θα προκύψουν από αυτό για την εκτίμηση παραμέτρων του πληθυσμού. Σε άλλες περιπτώσεις έχουμε στόχο να βελτιστοποιήσουμε την ποιότητα κάποιας εκτιμήτριας για παράδειγμα της μέσης τιμής. Μία αρετή («καλή ιδιότητα» μιας εκτιμήτριας είναι μεταξύ των άλλων η ελάχιστη (δυνατή διασπορά της εκτιμήτριας. Όσο μεγαλύτερη είναι η διασπορά τόσο χειροτερεύει η ποιότητα της εκτιμήτριας και μειώνεται η αξιοπιστία των εκτιμήσεων που μας παρέχει. Το πρόβλημα έχει την εξής κλασική εικόνα: Δίνεται ο πληθυσμός Π με Μ στρώματα μεγέθους Ν και θέλουμε µε να πάρουμε ένα δείγμα μεγέθους παίρνοντας από το εκάστοτε -στρώμα άτομα του πληθυσμού. Άρα. Σε κάθε έρευνα αντιμετωπίζεται ένα από τα παρακάτω δύο ερωτήματα:. Έχοντας γνωστό και σταθερό το συνολικό κόστος C της δειγματοληπτικής έρευνας να βρεθεί η βέλτιστη σύνθεση του δείγματος ως προς τους αντιπροσώπους του κάθε στρώματος ώστε να έχουμε

12 να έχουµε την ελάχιστη δ την ελάχιστη διασπορά της εκτιμήτριας δηλαδή της Var( x V ( x ( f. Έχοντας γνωστή και σταθερή την ελάχιστ. Έχοντας γνωστή και σταθερή την ελάχιστη διασπορά της εκτιμήτριας τη Var( x V ( x να βρεθεί η βέλτιστη σύνθεση του δείγματος ως προς τους αντιπροσώπους του κάθε ου κάθε στρώματος στρώµατώστε να έχουμε το ελάχιστο συνολικό κόστος C της δειγματοληπτικής έρευνας. Φυσικά κάθε φορά αντιμετωπίζουμε μόνον ένα ερώτημα από τα δύο ερωτήματα. Ως προς το κόστος και την αναλυτική του ς έκφραση το κόστος έχουμε και την τα εξής: 0 C c + c r (.. ναι όπου είναι c 0 : τα γενικά έξοδα της έρευνας c : τα έξοδα της έρευνας ανά μονάδα στο -στρώμα Μ : το μέγεθος του -στρώματος Μ r: ο εκθέτης αυτός είναι συνήθως μονάδα. Μόνο σε σπάνιες θεωρητικές κυρίως περιπτώσεις είναι διάφορος της μονάδας ο εκθέτης αλλά και πάλι έχει τιμή πολύ κοντά στη μονάδα.. Ως προς τη διασπορά της μέσης ς τιμής τη διασπορά της εκτιμήτριας της µέσης έχουμε: τιµής της εκτιµ Var( x V ( x ( f (.. κρότερη είναι αυτή η διασπορά τόσο καλ Όσο μικρότερη είναι αυτή η διασπορά τόσο καλύτερη είναι η ποιότητα της εκτιμήτριας της μέσης τιμής. Από τη σχέση (.. προκύπτει πολύ εύκολα η r 0 C c c C και από την (.. µετά μετά από μερικές πράξεις φτάνουμε στη σχέση V( x + V. N Επειδή είναι σταθερές οι ποσότητες c 0 και ππάντα και μια μόνο από τις δύο ποσότητες C και N ελαχιστοποίησ V( x V είναι σταθερή ενώ επιδιώκεται η ελαχιστοποίηση της άλλης το όλο πρόβλημα μπορεί να εκφραστεί πλέον ως: ως: πλέον «Να ελαχιστοποιηθεί η ποσότητα (γινόμενο V C με κατάλληλη επιλογή των μεγεθών... στο δείγμα όταν μία από τις δύο ταν ποσότητες µία από τις Cδύο και ι ποσότητες V στ στη σχέση C και (.. V στη είναι σχέσταθερή και δεδομένη» δοµένη» Q (... V C µε (.. Πρακτικά ζητούμε την ελαχιστοποίηση της ποσότητας r V C Q (... c. (..4 µας οδηγεί να θεωρήσουµε την ανισότητα των Cauchy-chwarz π Αυτό μας οδηγεί να θεωρήσουμε την ανισότητα των Cauchy-chwarz που γράφεται ως εξής q q q R +... (..5 και όπου το ίσον ου ισχύει το ίσον όταν ισχύει έχουμε όταν την έχουµε ισχύ την της ισχύ σχέσης της σχέσης λ R q Επιστρέφουµε τώρα στην (..4 κα

13 Επιστρέφουµε Επιστρέφουμε τώρα στην (..4 και υιοθετώντας τον συμβολισμό r q c... έχουµε την ανάλογη έκφραση της ανισότητας ων Ca έχουμε την ανάλογη έκφραση της ανισότητας των Cauchy-chwarz r r c c (..6 ου το ίσον (ελαχιστοποίηση της επίµαχης ποσότητας το και όπου το ίσον (ελαχιστοποίηση της επίμαχης ποσότητας του ου μέλους της ανισότητας Cauchy-chwarz ισχύει όταν έχουμε λ R +... q c Η σχέση Η σχέση (..6 (..6 µας μας δίνει δίνει και και την την ελάχιστη ελάχιστη τιµ τιμή που θα πάρει το (προς ελαχιστοποίηση γινόμενο V C και που είναι r V C c και θα συµβεί συμβεί (µόνο μόνον όταν ισχύει συµβεί ότι(µόνο όταν ισχύει ότι λ R +... c (..7 Λύνοντας τη σχέση (αναλογία ας (..7 τη σχέση ως προς (αναλογία (..7 ως προς προκύπτει ότι το μέγεθος κάθε υποσυνόλου του δείγματος προσδιορίζεται από μία από τις παρακάτω δύο σχέσεις: λ R +... c λ Όταν όταν r είναι διάφορο της μονάδας µονάδας και λ R +... c λ όταν είναι r που είναι και η πιθανότερη και όταν είναι r που είναι και η πιθανότερη και καθημερινά αντιμετωπιζόμενη περίπτωση εκθέτη. Το όλο δείγµα δείγμα έχει προφανώς µέγεθος μέγεθος λ R λ c + που µας βοηθάει να έχουµε τα βάρη που μας βοηθάει να έχουμε τα βάρη c w.... c 8 υποδεικνύει ότι αν ξέρουµε τα µεγέθη (..8 Η (..8 υποδεικνύει ότι αν ξέρουμε τα μεγέθη c και το μέγεθος του δείγματος τότε μπορούμε να γνωρίζουμε τα μεγέθη των στρωμάτων ουµε τα µεγέθη στο δείγμα: των στρωµάτων στο δείγµ c... c 9 σηµαίνει ότι:..9

14 H (..9 σημαίνει ότι: «Με τιμή εκθέτη r το μέγεθος του δείγματος στο στρώμα είναι ανάλογο με το βάρος του στρώματος στον πληθυσμό ανάλογο με την τυπική απόκλιση της τμ Χ στον πληθυσμό και αντίστροφα ανάλογο προς την τετραγωνική ρίζα του κόστους ανά μονάδα στο εκάστοτε στρώμα του πληθυσμού». Εάν ο εκθέτης r δεν είναι εκθέτης ίσος με r τη δεν μονάδα είναι ίσος τότε µε οι τη σχέσεις µονάδα (..8 τότε και οι σχέσει (..9 γίνονται: c w... c (..0 και c... c (.. αντίστοιχα. οιχα. Το μέγεθος του δείγματος προσδιορίζεται με διάφορους τρόπους και έχει κάθε φορά σχέση με τις διάφορες παραμέτρους του προβλήματος που αντιμετωπίζουμε καθώς και με το ποια από τις δύο αρχικές συνθήκες βελτιστοποίησης (Α και (Β ισχύει. Επιχειρούμε τώρα να αποδείξουμε τα παραπάνω με μία άλλη μέθοδο που ονομάζεται «μέθοδος (βελτιστοποίησης με τη χρήση πολλαπλασιαστών Lagrage». Θεωρούμε τη συνάρτηση (ο εκθέτης r των πληθών στην εξίσωση κόστους είναι μονάδα: Φ (... Varx + λ c0 + c (.. διώκεται η εύρεση της ελάχιστης τιµής Φ. Για να το και επιδιώκεται η εύρεση της ελάχιστης τιμής Φ i. Για να το πετύχουμε αυτό μηδενίζουμε τις τιμές των παραγώγων ως προς ως προς τα τα ήτοι ήλύνουμε το σύστημα των Μ εξισώσεων: Φ 0... που δίνει λύση το ισοδύναμο ισοδύναµο λ c 0... οπότε είναι και οπότε είναι και... ανά στρώμα. λ c Το όλο δείγµα έχει µέγεθος Το όλο δείγμα δείγµα έχει μέγεθος µέγεθος... λ c και η διαίρεση κατά µέλη των δύο τελευταίων ε και η διαίρεση κατά μέλη των δύο τελευταίων εξισώσεων δίνει την τελική έκφραση των μεγεθών των στρωμάτων στο δείγματος

15 (.. Εύκολα διαπιστώνεται ότι οι δύο σχέσεις (..9 και (.. είναι ισοδύναμες. Οι δύο μέθοδοι κατέληξαν στο ίδιο συμπέρασμα. Η δομή του δείγματος όπως προβλέπουν (ισοδύναμα οι σχέσεις (..9 και (.. δίνει την ελάχιστη τιμή ελάχιστη της συνάρτησης τιµή της συνάρτησης Φ (... Varx + λ c + c 0 διότι η συνάρτηση είναι κυρτή ως προς τα διότι η συνάρτηση είναι κυρτή ως προς τα... όπως προκύπτει από το πρόσημο των δευτέρων παραγώγων της Φ ως προς τα Φ > (..4 πό την όλη ανωτέρω ανάλυση της διαδικ Από την όλη ανωτέρω ανάλυση της διαδικασίας σχεδιασμού της δομής του δείγματος στην ΣτΔ προκύπτει ότι: Το μέγεθος του -στρώματος του δείγματος που έχει μέγεθος αυξάνει σύμφωνα με τα εξής τρία μεγέθη που αναφέρονται στον πληθυσμό: Ανάλογα με το βάρος του στρώματος του πληθυσμού (ή του μεγέθους N Ανάλογα με την τυπική απόκλιση της τμ Χ στο αντίστοιχο στρώμα του πληθυσμού. Αντίστροφα προς την τετραγωνική ρίζα του οικονομικού κόστους της έρευνας ανά άτομο του εκάστοτε στρώματος (οικονομικό κόστος παρατήρησης και μελέτης για την έρευνα. Αν το κόστος είναι σταθερό ανά άτομο σε όλα τα στρώματα τότε το μέγεθος του εκάστοτε στρώματος στο δείγμα εξαρτάται και αυξάνει ανάλογα μόνο με το βάρος του στρώματος και την τυπική απόκλιση της τμ Χ που μελετούμε. Αν είναι και η τυπική απόκλιση σταθερή (και το κόστος τότε το μέγεθος του κάθε στρώματος στο δείγμα αυξάνει ανάλογα (roortioally μόνο με το βάρος (μέγεθος του στρώματος του πληθυσμού. Έχουμε τότε δηλαδή την αναλογική ΣτΔ η οποία με τον τρόπο αυτό προκύπτει ως μία μερική και πολύ ειδική μορφή βέλτιστης επιλογής του δείγματος στην ΣτΔ. Σημείωση..: Στην περίπτωση της βέλτιστης επιλογής υπάρχει περίπτωση να προκύψει μέγεθος στρώματος στο δείγμα μεγαλύτερο από το μέγεθος του αντίστοιχου στρώματος στον πληθυσμό δηλαδή να έχουμε για κάποιο τη σχέση μεταξύ των μεγεθών >N. Αυτό το αποτέλεσμα αναμένεται να προκύψει σε μικρό στρώμα όταν η διασπορά εκεί είναι δυσανάλογα μεγάλη ή όταν το κατά παρατήρηση κόστος είναι πολύ (δυσανάλογα μικρό ή όταν συμβούν και τα δύο μαζί. Μπορεί μάλιστα να συμβεί και σε περισσότερα από ένα στρώματα του ίδιου πληθυσμού. Σε μια τέτοια περίπτωση χρειάζεται να κάνουμε χειρισμό που θεραπεύει μερικώς το πρόβλημα. Ο χειρισμός περιλαμβάνει τα εξής: ο Παίρνουμε N σε όλα τα στρώματα όπου εμφανίζεται το πρόβλημα. ο Για όλα τα υπόλοιπα στρώματα που τα βλέπουμε ως έναν (νέο πληθυσμό παίρνουμε μεγέθη στο δείγμα k k ck k ( g k... G k k c (..5 k όπου το g είναι το άθροισμα g είναι των το μεγεθών άθροισµα των των στρωμάτων µεγεθών που των είχαν στρωµάτων το πρόβλημα π και αυτά είναι σε πλήθος G (Το G είναι συνήθως ή. Επίσης τα βάρη των υπολοίπων -G στρωμάτων δεν είναι τα αρχικά αλλά επαναπροσδιορίζονται με βάση τη δομή του νέου πληθυσμού που έχει απομείνει. Όλα αυτά γίνονται πιο κατανοητά μέσα από παραδείγματα σαν αυτό που ακολουθεί. Σε καθένα από τα δύο στάδια χρησιμοποιείται και

16 κάποιος πίνακας σύμφωνα με την κατάσταση που διαμορφώνεται και τις εκάστοτε ανάγκες. Παράδειγμα.. Ο πληθυσμός Π είναι Δήμος με 5 Δημοτικές Ενότητες και αντίστοιχο πλήθος κατοίκων και 400 αντίστοιχα. Γίνεται μελέτη της τμ Χ ύψος της ακίνητης περιουσίας σε χιλιάδες όπως αυτή δηλώθηκε στο δελτίο Ε9 της εφορίας και με βάση τις αντικειμενικές αξίες ακινήτων. Υπάρχουν εκτιμήσεις για τη διασπορά της Χ στα 5 στρώματα και οι αντίστοιχες διασπορές είναι της τάξης και 969 αντίστοιχα. Εκτιμήθηκαν διάφορες παράμετροι του προβλήματος και αποφασίστηκε τελικά το δείγμα να είναι μεγέθους 600 άτομα. Δίνεται επιπλέον πληροφορία ότι το κόστος στα 5 στρώματα-ενότητες (οικισμοί είναι και 4 αντίστοιχα και ανά άτομο στο εκάστοτε στρώμα. Να σχεδιαστεί αυτό το δείγμα για ΣτΔ στον πληθυσμό αυτό με τα 5 στρώματα. Λύση Τοποθετούμε τα δεδομένα στον πίνακα.. για τη διευκόλυνση της μελέτης και του σχεδιασμού του δείγματος: 4 5 Σύνολα Ν c σε /c (τελικό (* 599.r Πίνακας.. Ήδη παρατηρούμε ότι στο δείγμα το 5 ο στρώμα προβλέπεται να έχει μέγεθος ίσο με 5 40>400N 5 δηλαδή το 5 ο στρώμα του δείγματος είναι σε μέγεθος μεγαλύτερο από αυτό του πληθυσμού (!. Αυτό όμως δεν μπορεί να υλοποιηθεί. Χρειάζεται εδώ μία ειδική αντιμετώπιση του προβλήματος. Ακολουθείται μια διαδικασία με τρία βήματα: Ορίζουμε άτομα δηλαδή όλο το 5 ο στρώμα του πληθυσμού μπαίνει στο δείγμα όπως θα ήταν αν είχαμε απογραφή. Ελέγχουμε μήπως αυτό συμβαίνει και με άλλο στρώμα και διαπιστώνουμε πως δεν συμβαίνει. Άρα στη σχέση (..5 είναι g400 και -g00 άτομα και ο νέος πληθυσμός που προκύπτει περιέχει άτομα. Από αυτόν τον πληθυσμό θα πάρουμε το δείγμα των 00 ατόμων (υπόλοιπο. Αν το φαινόμενο που παρατηρείται στο 5 ο στρώμα ίσχυε και για άλλο ή και για άλλα στρώματα θα κάναμε το ίδιο για όλα. Ο υπόλοιπος πληθυσμός μετά την αφαίρεση των στρωμάτων με αυτή τη συμπεριφορά θα μας δώσει τη βέλτιστη επιλογή του δείγματος. Δημιουργούμε το υπόλοιπο δείγμα των 00 ατόμων με τη βοήθεια του επόμενου Πίνακα..: 4 Σύνολα Ν

17 c σε /c (τελικό Πίνακας.. Η τελευταία γραμμή είναι τα μεγέθη των τεσσάρων στρωμάτων στο δείγμα ενώ το 5 ο στρώμα του δείγματος είναι το 5 ο στρώμα του πληθυσμού με μέγεθος Η διασπορά Η διασπορά της εκτιμήτριας της μέσης τιμής που αντιστοιχεί στο δείγμα αυτής της δομής είναι V( x 0.0 με εφαρμογή της (.. στα 4 στρώματα που απομένουν. Σημειώνεται Σηµειώνεται ότι η διασπορά της εκτιμήτριας της μέσης τιμής που αντιστοιχεί στο δείγμα της ΣτΔ αναλογικής δομής είναι >. Η δομή αυτή εμφανίζεται στη 0 η και τελευταία γραμμή του Πίνακα.. για να διευκολύνονται τυχόν συγκρίσεις. Η 8 η γραμμή του Πίνακα.. προκύπτει διαιρώντας τα στοιχεία της 7 ης γραμμής με το άθροισμά τους.68 και πολλαπλασιάζοντας με το 00 που είναι το μέγεθος του δείγματος για τα 4 πρώτα στρώματα. Για παράδειγμα το πρώτο στοιχείο της 8 ης γραμμής προκύπτει ως εξής (0.4459/.68x Τα στοιχεία της 8 ης γραμμής δεν είναι φυσικά ακέραιοι ενώ τέτοια μορφή θα θέλαμε να έχουμε για την έκφραση των μεγεθών των στρωμάτων στο δείγμα. Για να πάρουμε το τελικό αποτέλεσμα σε ακέραια μορφή παίρνουμε τα ακέραια μέρη των στοιχείων της 8 ης γραμμής του Πίνακα... Βρίσκουμε το άθροισμα των ακεραίων μερών των στοιχείων της 8 ης γραμμής και το αφαιρούμε από το 00. Βρέθηκε αποτέλεσμα. Τα τελικά μεγέθη των στρωμάτων στο δείγμα είναι αρχικά αυτό το ακέραιο μέρος. Απλά κατανέμουμε τις δύο μονάδες στα στρώματα που εμφανίζουν (ιεραρχικά μεγαλύτερα κλασματικά μέρη. Εν προκειμένω ήταν το ο στρώμα (0.9 και το ο στρώμα (0.54. Στην 9 η γραμμή του Πίνακα.. το τελικό αποτέλεσμα δείχνει να είναι αποτέλεσμα μετά από στρογγύλευση στην ακέραια μονάδα των στοιχείων της 8 ης γραμμής αλλά φυσικά δεν είναι έτσι ακριβώς. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου αυτά τα δύο αποτελέσματα διαφέρουν σε μερικά στρώματα κατά μία μονάδα. Το δείγμα τελικά θα έχει 5 στρώματα με μεγέθη και άτομα. Σημειώνουμε ότι τέτοιες καταστάσεις όπου ένα δείγμα ενσωματώνει (κατά τη βέλτιστη επιλογή ολόκληρο στρώμα του πληθυσμού είναι πολύ σπάνιες. Ακόμη πιο σπάνιες είναι οι περιπτώσεις όπου τα στρώματα που ενσωματώνονται είναι ή. Στον Πίνακα.. η 9 η γραμμή έχει ως στοιχεία τα ακέραια μέρη της αντίστοιχης 8 ης γραμμής και το άθροισμα βγήκε 599 αντί 600. Δεν έγινε διόρθωση μιας μονάδας επειδή τα αποτελέσματα αυτά θα εγκαταλείπονταν μιας και θα κρατιόταν μόνο το και θα πηγαίναμε στο επόμενο στάδιο της διαδικασίας με τον επόμενο Πίνακα.. όπου τα αποτελέσματα είναι ελαφρώς διαφορετικότερα και προκύπτουν από διαδικασία όμοια μεν αλλά με πληθυσμό που θα έχει λιγότερα στρώματα κατά ένα τουλάχιστον εδώ στο παράδειγμα. Στη βέλτιστη επιλογή δείγματος το μέγεθος του δείγματος δεν είναι αρχικά γνωστό και αποτελεί αντικείμενο υπολογισμών που στηρίζονται στις δύο συνθήκες (Α και (Β που τέθηκαν στην αρχή της παραγράφου. Οι συνθήκες αυτές αναφέρονται στις δύο ποσότητες κόστος και διασπορά εκ των οποίων κάθε φορά ή μία είναι γνωστή και σταθερή ενώ η άλλη ελαχιστοποιείται. Αν ισχύει Αν η ισχύει (Α δηλαδή η (Α δηλαδή έχουμε έχουµε κόστος κόστος σταθερό τότε αντικαθιστούμε στην (.. την ποσότητα c... c από που την (.. έχουμε και από µετά την (... από µερικές Μετά πράξεις από μερικές έχου πράξεις έχουμε προσδιορίσει το μέγεθος του δείγματος

18 .. και µετά από µερικές πρ C c c r ι η (Β τότε αντικαθιστούµε πάλ (..6 Αν ισχύει η (Β τότε αντικαθιστούµε αντικαθιστούμε πάλι τις ποσότητες c... c στην στην (.. και και μετά µετά από από μερικές µερικές πράξεις πράξεις (λίγο (λίγο πιο πολύπλοκες από την προηγούμενη περίπτωση έχουμε προσδιορίσει και πάλι το μέγεθος του δείγματος ή συντομότερα ότερα c V( x r r ( c + N. (..7 r r ( c c V( x + N (..8 δεν ισχύουν οι υποθέσεις (Α ή (Β τότε συν Τέλος αν δεν ισχύουν οι υποθέσεις (Α ή (Β τότε συνήθως ισχύει κάτι σχετικό με διάφορες μορφές κόστους όπως είναι οι χρονικοί ή οι γεωγραφικοί και άλλοι περιορισμοί (που είναι ουσιαστικά κρυπτοοικονομικοί περιορισμοί έχουν δηλαδή στο τέλος την ίδια ή πολύ παραπλήσια συμπεριφορά και επίπτωση με τους οικονομικούς περιορισμούς. Σε τέτοιες περιπτώσεις αναλύουμε με βάση αυτούς τους περιορισμούς το πρόβλημα του προσδιορισμού του μεγέθους του δείγματος. Παράδειγμα.. Ο πληθυσμός Π είναι οι μαθητές Λυκείου μιας πόλης που έχει Μ5 Λύκεια με πλήθος παιδιών αντίστοιχα Ν 500 Ν 40 Ν 400 Ν 4 60 και Ν 5 0. Θέλουμε να μελετήσουμε την επίδοση των μαθητών στα Μαθηματικά. Επειδή το κάθε Λύκειο είναι και σε διαφορετική συνοικία και υπάρχουν σημαντικές κοινωνικές και οικονομικές διαφορές μεταξύ των διαφόρων συνοικιών θεωρείται σωστό να δούμε το κάθε Λύκειο ως ένα στρώμα του όλου πληθυσμού των μαθητών της πόλης αυτής. Η Η τµ τμ Υ Υ «επίδοση των των µαθητών μαθητών στα Μαθηματικά» εκτιμάται ότι έχει διασπορές που αντιστοιχούν στα πέντε στρώματα του πληθυσμού. Η µελέτη Η μελέτη κοστίζει κοστίζει ανά ανά µαθητή μαθητή για για τα τρ τα τρία πρώτα Λύκεια-στρώματα και ανά μαθητή για τα δύο επόμενα. Είναι γνωστή και σταθερή η διασπορά της εκτιμήτριας της μέσης τιμής V( y Να σχεδιαστεί ένα δείγμα για να γίνει ΣτΔ στον πληθυσμό αυτό.. Να υπολογιστεί η δαπάνη για την έρευνα.

19 Λύση Τοποθετούμε τα δεδομένα σχετικά με τον πληθυσμό στον παρακάτω Πίνακα..: 4 5 Σύνολα N c / c c c Πίνακας.. Πίνακας.. Η πρώτη γραμμή αφορά τους αύξοντες αριθμούς των Λυκείων-στρωμάτων. Οι επόμενες 5 γραμμές περιέχουν τα βασικά μεγέθη των στρωμάτων του πληθυσμού ήτοι μέγεθος στρώματος (πλήθος ατόμων διασπορά βάρος του στρώματος τυπική απόκλιση και τέλος το ανά μονάδα κόστος της μελέτης στο εκάστοτε στρώμα. Υπολογίστηκαν ουσιαστικά μόνο τα δεδομένα του Πίνακα από τη 7 η γραμμή και μετά. Στην τελευταία στήλη έχουμε τα αθροίσματα όπου αυτά έχουν νόημα. Τα μεγέθη των στρωμάτων του δείγματος βγήκαν από το ακέραιο μέρος της ποσότητας που μας δίνει η σχέση (... Χρησιμοποιήσαμε την (.. επειδή ο εκθέτης στην (.. είναι r. Δόθηκε η αύξηση του + στο ο ο και 4 ο στρώμα λόγω του κλασματικού υπολοίπου στο κάθε στρώμα ώστε να έχουμε άθροισμα των μεγεθών των στρωμάτων του δείγματος ίσο με 75 όπως προκύπτει από την εφαρμογή της (..7 με r (γνωστή και σταθερή η διασπορά της εκτιμήτριας της μέσης τιμής. Το μέσο κόστος ανά δειγματική μονάδα προκύπτει από τις δύο τελευταίες γραμμές του Πίνακα.. ίσο με 76 /75 παρατηρήσεις.467 ανά παρατήρηση. Παράδειγμα.. Ο πληθυσμός Π είναι οι μαθητές Λυκείου μιας πόλης που έχει Μ5 Λύκεια με πλήθος παιδιών αντίστοιχα Ν 500 Ν 40 Ν 400 Ν 4 60 και Ν 5 0. Θέλουμε να μελετήσουμε την επίδοση των μαθητών στα Μαθηματικά με τη βοήθεια της τμ Y. Υπάρχει ο περιορισμός το κόστος να είναι το πολύ 00. Τα γενικά έξοδα είναι 5. Κατά τα άλλα ισχύουν όλα τα δεδομένα του παραδείγματος.. και τα ζητούμενα είναι:. Να σχεδιαστεί ένα δείγμα για να γίνει ΣτΔ και να υπολογιστεί ειδικά το μέγεθος του δείγματος αυτού.. Να υπολογιστεί η διασπορά της εκτιμήτριας της μέσης τιμής της τμ Y η V( y. Λύση Θα κάνουμε χρήση ενός πίνακα όπως είναι και ο Πίνακας.. του προηγούμενου παραδείγματος. Είναι ο Πίνακας..4: 4 5 Σύνολα N