Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται ολικά ακρότατα της f.

Transcript

1 1 Ερώτηση: Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, αύξουσα, φθίνουσα, γνησίως μονότονη Mία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x 1, x 2 Δ με x 1 <x 2 ισχύει: f(x 1 )<f(x 2 ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x 1, x 2 Δ με x 1 <x 2 ισχύει f(x 1 )>f(x 2 ) Μια συνάρτηση f λέγεται, ( απλώς χωρίς «γνησίως»): αύξουσα σ ' ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε x 1, x 2 Δ με x 1 <x 2 ισχύει: f(x 1 ) f(x 2 ) φθίνουσα σ' ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε x 1, x 2 Δ με x 1 <x 2 ισχύει: f(x 1 ) f(x 2 ) Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ τότε λέμε ότι είναι γνησίως μονότονη.στο Δ Ενώ αν η f είναι αύξουσα ή φθίνουσα στο Δ τότε λέμε ότι η f είναι μονότονη στο Δ Αν η f είναι ορισμένη σε διάστημα και είναι γνησίως μονότονη σε αυτό τότε θα λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη ( χωρίς το «στο Δ») Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο x o (ολικό) μέγιστο, το f(x o ), όταν f(x) f(x o ) για κάθε xϵa Παρουσιάζει στο x o (ολικό) ελάχιστο, το f(x o ), όταν f(x) f(x o ) για κάθε xϵa Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται ολικά ακρότατα της f.

2 2 Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις f(x)= ii. g(x)= i. f(x)= Για να ορίζεται η f με f(x)= πρέπει x+1 0 x -1 άρα D f =[-1,+ ) έστω x 1, x 2 [-1,+ ) με x 1 <x 2 τότε -1 x 1 <x x 1 +1<x x 1 +1<x 2 +1 Παρατήρηση 1. Επειδή 2 f(x) άρα το 2 είναι ένα κάτω φράγμα της f 2. Επειδή f(-1)=2 f(x) για κάθε xϵa μας βεβαιώνει ότι το f(-1)=2 με x 0 =-1 Α είναι ελάχιστο f(x 1 )<f(x 2 ) άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο D f =[-1,+ ) (ή απλά η f είναι γνησίως αύξουσα ) για κάθε x A ισχύει 2 f(x) άρα το 2 είναι ένα κάτω φράγμα της f Eίναι f(x)= 2 =2 =0x+1=0x=-1 και f(- 1)=2 άρα η f στο x 0 =-1 Α παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο της το f(-1)=2 ii. g(x)= Για να ορίζεται η g με g(x)= πρέπει 9-3x 09 x x άρα D f =(-, ] έστω x 1, x 2,3] με x 1 <x 2 τότε x 1 <x 2-3x 1 >-3x x 1 >9-3x x 1 >9-3x 2 0 (x 1 )< (x 2 )

3 3 η g είναι είναι γνησίως αύξουσα και για κάθε x A ισχύει g(x) 2 Επειδή g(x)= 2 2 =09-3x=0x=3 άρα g(x) g(3) για κάθε x A δηλαδή η g στο x 0 =3 Α παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο το g(3)=2 Παρατήρηση Επειδή (x) άρα το 2 είναι ένα άνω φράγμα της g Oμως (3)=2 με 3 Α και (x) = (3) μας εξασφαλίζει, ότι το (3)=2 είναι μέγιστο Αν f: R R για την οποία για κάθε xϵ R ισχύει, Να εξετάζεται αν η f είναι γνησίως μονότονη Για κάθε xϵ R ισχύει, Οπότε για x=1 f(1)=0 για x=2 f(2)=0 Άρα f(2)=f(1) οπότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη

4 4 Για να λύσουμε την εξίσωση Α(x)=Β(x), μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος Α(x)-Β(x)=0 και ΜΕΘΟΔΟΣ Α : παραγωντοποιούμε την παράσταση Α(x)-Β(x) με κανόνες παραγωντοποίησης ή με σχήμα χόρνερ και εξισώνουμε τον κάθε παράγοντα ίσο με το μηδεν αν η εξίσωση δεν λύνετε με την παραπάνω μέθοδο τότε ΜΕΘΟΔΟΣ Β: Θέτουμε f(x)= Α(x)-Β(x) και μελετάμε την f ως προς την μονοτονία και αν η f είναι γνησίως μονότονη συμπεραίνουμε ότι θα έχει μία το πολύ ρίζα την οποία θα βρίσκουμε με δοκιμές. Αν η συνάρτηση η f δεν είναι γνησίως μονότονη θα μάθουμε άλλη μεθοδο επίλυσης στα επόμενα μαθήματα Ανάλογα εργαζόμαστε για την λύση της ανίσωσης f(x)<0 ή f(x)>0 και όταν βρούμε με δοκιμές την ρίζα (έστω ρ) τότε η ανίσωση γίνεται f(x)<0 f(x)< f(ρ) κλπ Δίνεται η συνάρτηση f, f(x)=x 5 +3x 3-4 i. Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R ii. ii. Να λυθεί η εξίσωση x 5 =4-3x 3 i. H f σαν πολυωνυμική έχει Π.Ο το D f =R οπότε για κάθε x 1,x 2 R με x 1 <x 2 ισχύει Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε άρα η f είναι γν.αύξουσα στο R ii. Η εξίσωση x 5 =4-3x 3 ισοδύναμα γράφεται x 5 +3x 3-4=0f(x)=0 όμως η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα θα έχει το πολύ μία ρίζα και επειδή f(1)=0 συμπεραίνουμε ότι x=1 είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x)=0, άρα και της x 5 =4-3x 3

5 5 Να λυθεί η εξίσωση 1-e x =x 3 Είναι 1-e x =x 3 1-e x -x 3 =0 ή e x +x 3-1=0 (συμφέρει η e x +x 3-1=0 που έχει θετικούς όρους) Ορίζουμε την συνάρτηση f με f(x)=e x +x 3-1 x R οπότε για κάθε x 1,x 2 R με x 1 <x 2 ισχύει Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε άρα η f είναι γν. αύξουσα στο R, οπότε η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μία ρίζα στο R και επειδή f(0)=1+0-1=0 συμπεραίνουμε ότι η ρίζα αυτή είναι η μοναδική Έστω f, με f(x) +5 α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα β. Να λύσετε την ανίσωση f(x)>4 γ. Να λύσετε την ανίσωση >-1 α. H f ορίζεται για x>0 άρα D f =(0,+ ) με f(x)= +5 οπότε για κάθε x 1,x 2 D f με x 1 <x 2 ισχύει Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε

6 6 άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο R β. Η ανίσωση f(x)>4 ισοδύναμα γράφεται f(x)>f(1)x<1 (επειδή η f γνησ.φθίνουσα) γ. η ανίσωση >-1 για 0<x ισοδύμα γράφεται >-1+5 >+4 f(x)>f(1) x<1 (η f γν. φθίν) Όμως 0<x άρα 0<x<1 Αν f: R R, γνησίως φθίνουσα, για την οποία για κάθε xϵ R ισχύει, i. Να λυθεί η εξίσωση f(x)=0 ii. Να λυθεί η εξίσωση f( )=0 iii. Να λυθεί η ανίσωση f( )>0 Από υπόθεση έχουμε ϵ Οπότε για x=0 είναι Άρα f(4)=0(ι) i. Η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον μία λύση την x=4 ( από f(4)=0(ι)) Από υπόθεση όμως f: R R, γνησίως φθίνουσα άρα έχει το πολύ μία ρίζα Επομένως η ρίζα x=4 είναι μοναδική δηλαδή f(x)=0x=4 i. Από (i) ερώτημα x=4 είναι μοναδική δηλαδή f(x)=0, οπότε f( )=0 x=4 ή x=1

7 7 ii. Είναι οπότε η f( )>0 ισοδύναμα γίνεται iii. f( )>0 f( )>f(4) >4 <0 Αν f: R R, γνησίως φθίνουσα, για την οποία για κάθε xϵ R ισχύει, Να λυθεί η εξίσωση f(x)=0 Να λυθεί η εξίσωση f( -x)=0 Να λυθεί η ανίσωση f( )>0 Αν f: R R, γνησίως φθίνουσα, για την οποία για κάθε xϵ R ισχύει, Να λυθεί η εξίσωση f(x)=-1 Να λυθεί η εξίσωση f( -x-1)=-1 Να λυθεί η ανίσωση f( )<-1

8 8 8 7 ο ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΗΜ. ΜΙΤΟΓΛΟΥ 8. Αν είναι γνωστό (ή μπορώ να βρώ) ότι η f είναι γνησίως μονότονη και θέλω να λύσω μία ανίσωση της μορφής f(g(x))<f(h(x)) τότε θα εφαρμόζω την ισοδυναμία f(g(x))<f(h(x)) g(x)<h(x) αν η f γνησίως αύξουσα f(g(x))<f(h(x)) g(x)>h(x) αν η f γνησίως φθίνουσα Έστω f με f(x) +5 α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα β. Να λύσετε την ανίσωση H f ορίζεται για x 0 άρα D f =R* με οπότε για κάθε x 1,x 2 D f με x 1 <x 2 ισχύει Με πρόσθεση κατά μελη έχουμε άρα η f είναι γν.φθίνουσα στο R β. για κάθε x D f =R-{0,-2} ισχύει. ` x x -x

9 9,,, Δίνεται η συνάρτηση f, f(x)=x 5 +x 3 +1 i. Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R ii. Να λυθεί η ανίσωση x 5 +x 3-40>0 iii. Να λυθεί η ανίσωση f(f(f(x)))<f(3) H f σαν πολυωνυμική έχει Π.Ο το D f =R οπότε για κάθε x 1,x 2 R με x 1 <x 2 ισχύει Με πρόσθεση κατά μελη έχουμε άρα η f είναι γν.αύξουσα στο R iii. η ανίσωση x 5 +x 3-40>0 ισοδύναμα γράφεται x 5 +x 3 >40 x 5 +x 3 +1>41f(x)>f(2)x>2 iv. η ανίσωση f(f(f(x)))<f(3) ισοδύναμα γράφεται f(f(f(x)))<f(3) f(f(x))<3 f(f(x))<f(1) f(x)<1f(x)<f(0)x<0 βρίσκουμε τιμές τιμές f π.χ f(0)= =1 f(1)= =3 f(2)= =32+8+1=41

10 10 Έστω f: R R, με f(x)= x 5 +x+2 α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β. Να Λυθούν i. x 5 +x+2 =0 ii. x 5 +x-2>0 iii. f(f(f(x)))<f(2) iv. x 5 +x+3<(2x-3) 2 +2x Α. H f σαν πολυωνυμική έχει Π.Ο το D f =R οπότε για κάθε x 1,x 2 R με x 1 <x 2 ισχύει Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε άρα η f είναι γν.αύξουσα στο R β. i. η εξίσωση x 5 +x+2 =0 είναι ισοδύναμη με την f(x)=0 όμως η f από α ερώτημα είναι γνησίως αύξουσα άρα έχει το πολύ μια ρίζα στο R και f(-1)=0 άρα το x o =-1 θα είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 ii. η ανίσωση x 5 +x-2>0 ισοδύναμα γράφεται x 5 +x>2 x 5 +x+2>2+2 x 5 +x+2>4f(x)>f(1)x>1(η f γν.αυξ) iii. η ανίσωση f(f(f(x)))<f(2) ισοδύναμα γράφεται f(f(f(x)))<f(2) f(f(x))<2 f(f(x))<f(0) f(x)<0f(x)<f(- 1)x<-1 (η f γν.αυξ) iv. x<2x-3 x>3 (η f γν.αυξ)

11 11 Αν η f είναι γνησίως αύξουσα Δ με f(x)>0 για κάθε xϵ Δ, να δείξετε ότι και η g(x) = είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ 2 Δίνεται η f(x)= i. Nα μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία ii. Να λύσετε την ανίσωση Aν η f είναι γνησίως μονότονη και η C f διέρχεται από τα σημεία Α(2,3) και Β(5,9) τότε : Α. η f είναι γνησίως αύξουσα Β. Να λύσετε την ανίσωση f(2+f(x))<9 Aν η f είναι γνησίως μονότονη και η C f τέμνει την ευθεία ε: y=2x-1 στα σημεία με τετμημένη x 1 =2 και x 2 =5 διέρχεται από τα σημεία Α(2,4) και Β(3,1) τότε : Α. η f είναι γνησίως αύξουσα Β. Να λύσετε την ανίσωση f(2+f(x))<9 4 Aν f(x)= να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία στο (-1,+ ) Β να συγκρίνεται τους αριθμούς,