Εισαγωγή στην ανάλυση

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στην ανάλυση"

Transcript

1 Εισαγωγή στην ανάλυση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Έστω Α ένα υποσύνολο του και Α. Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, ονομάζουμε μια διαδικασία με την οποία σε κάθε στοιχείο μόνο πραγματικό αριθμό y. Α αντιστοιχίζεται σε ένα Το y ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με (). Για να εκφράσουμε την διαδικασία αυτή,γράφουμε : :Α Το γράμμα,που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή,ενώ το y λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή. Το πεδίο ορισμού Α της συμβολίζεται και με D Το σύνολο που έχει για στοιχεία τις τιμές της σε όλα τα Α,λέγεται σύνολο τιμών της και συμβολίζεται με (A).Eίναι δηλαδή : (Α) y / y (), Α. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Μια συνάρτηση ορίζεται όταν δοθούν : το πεδίο ορισμού και η τιμή της () για κάθε δοθεί ο τύπος της τότε θα θεωρούμε πεδίο ορισμού πραγματικών αριθμών, ώστε η () να είναι πραγματικός αριθμός. Α.Αν σε μια συνάρτηση το σύνολο των. Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, λέγεται το σύνολο των σημείων Μ(, y)για τα οποία ισχύει y ().Συνήθως την συμβολίζουμε με C οπότε: C (, y)/ y (), Α 3. Όταν δίνεται : A δεν έπεται ότι το σύνολο τιμών της είναι το.

2 Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : Πρέπει και 3 άρα το πεδίο ορισμού της είναι το A R,3 ΓΕΝΙΚΑ: 5 6 A Αν το πεδίο ορισμού είναι το Π A R /Π 0. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : Πρέπει ή 6 4 Επομένως το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο A, 6, ΓΕΝΙΚΑ: Αν ν A το πεδίο ορισμού είναι το Α R /A 0 3. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης n : Πρέπει 0 0 ή A,, Οπότε το πεδίο ορισμού είναι ΓΕΝΙΚΑ: Αν na το πεδίο ορισμού είναι το A R /A 0 4. Σε ποιο διάστημα η γραφική παράσταση της συνάρτησης, όπου n 3 βρίσκεται κάτω από τον άξονα ' ; : Πρέπει 0 n 3 0 n 3 n δηλαδή στο διάστημα 3,4 η C βρίσκεται κάτω από τον άξονα '

3 ΓΕΝΙΚΑ : Α) Για να βρούμε σε ποια διαστήματα ή σε ποιο διάστημα η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον ', λύνουμε την ανίσωση ()>0 Β) ) Για να βρούμε σε ποια διαστήματα ή σε ποιο διάστημα η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον ', λύνουμε την ανίσωση ()<0. Γ) Για να βρούμε σε ποια σημεία η γραφική παράσταση της τέμνει τον ' λύνουμε την εξίσωση ()=0. Δ) Για να βρούμε πότε η C είναι πάνω από την Cg λύνουμε την ανίσωση ()> g() Ε) Για να βρούμε τα σημεία τομής των C και Cg λύνουμε το σύστημα y () () g() () y g() y g() και από την () βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής. ΓΕΝΙΚA : H συνάρτηση ()=ln ορίζεται όταν >0 ενώ η ()= e ορίζεται στο R Συνοψίζοντας από τα παραπάνω για το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης υπενθυμίζουμε τα εξής : Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις ορίζονται στο R Α)Οι ρητές συναρτήσεις ορίζονται στο R εκτός από τις τιμές της μεταβλητής που μηδενίζουν τον παρανομαστή. Β)Όταν ο τύπος μιας συνάρτησης έχει ριζικό πρέπει το υπόρριζο να είναι θετική ποσότητα ή μηδέν. Γ)Οι εκθετικές συναρτήσεις ορίζονται στο R Δ)Οι λογαριθμικές συναρτήσεις ορίζονται για θετικές ποσότητες. Ε)Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημ, συν () ε, () σ ορίζονται στο R. Ενώ οι συναρτήσεις 3 4 ορίζονται στο R εκτός από τα εκείνα για τα οποία ισχύει συν=0 και ημ=0 αντίστοιχα. Ασκήσεις. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων n α) n n6 β) g n n e. Αν, R να δείξετε ότι : ln[ ] 0, R e

4 3. Να βρείτε τα α,β και σημεία τομής της συνάρτησης α β n με τους άξονες δεδομένου ότι η C περνά από τα σημεία, και e,. 4. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων α. β. 3 6 e δ. n ε. n n στ. n e γ. 5 6 z. 5. Nα βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων α) n n3 β) 8 γ) 4 e δ) 3 ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Δίνονται οι συναρτήσεις : A R και g : B R. Οι και g λέγονται ίσες και γράφουμε g αν και μόνο αν Α = Β και () g() για κάθε A. Παράδειγμα Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις () ημ και g() ημ συν είναι ίσες Οι και g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α= R. Για κάθε () ημ συν ημ συν ημ συν ημ συν g() Οι και g λέγονται ίσες σε ένα σύνολο Ε αν () Παράδειγμα Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις () 4 g() για κάθε Α. και g() είναι ίσες. Αν όχι να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο του R ώστε να είναι ίσες. Επειδή A R και Ag R οι συναρτήσεις και g δεν είναι ίσες.

5 Περιορίζουμε την g() στο σύνολο Ε R Επειδή όμως για κάθε : 4 () g() είναι g στο σύνολο Ε R Πράξεις συναρτήσεων Έστω οι συναρτήσεις :Α, g : Β. Τότε Η συνάρτηση. g ορίζεται με πεδίο ορισμού το A B και τύπο g () g(). g ορίζεται με πεδίο ορισμού το A B και τύπο g () g(). g ορίζεται με πεδίο ορισμού το A B και τύπο g () g(). g ορίζεται με πεδίο ορισμού το Α A B /g() 0 και τύπο Παράδειγμα ( () g )() g(). Δίνονται οι συναρτήσεις () και g() - να οριστεί η συνάρτηση h g Είναι A και A g [,]. Οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h είναι h g A A A g() 0 [,] g() 0 () g() 0 ή οπότε από την (): A h (,) Για κάθε Α ο τύπος της συνάρτησης h είναι h h() () g().

6 Παράδειγμα Δίνονται οι συναρτήσεις n, g i) Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των και g ii) Να οριστούν οι συναρτήσεις g και g / : i) Για να ορίζεται η πρέπει: 0 0 e οπότε η έχει πεδίο ορισμού το A R 0 Για να ορίζεται η g πρέπει: e 0 e 0 το συνεπώς το πεδίο ορισμού της g είναι πάλι A R 0 ii) Το πεδίο ορισμού της g Η συνάρτηση g είναι το A R 0 g g ενώ ο τύπος της είναι n e έχει πεδίο ορισμού το Α εκτός από τις ρίζες της εξίσωσης 0 n 0 Οπότε το πεδίο ορισμού της g της είναι είναι το σύνολο B R 0, ενώ ο τύπος g g() ( )() () (e ) n ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ Έστω μια συνάρτηση : A R. Αν για κάθε, ( ) ( ) τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο Α (σχ. ) ( ) ( ) τότε η είναι αύξουσα στο Α (σχ. ) A με ισχύει ( ) ( ) τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο Α (σχ. 3) ( ) ( ) τότε η είναι φθίνουσα στο Α (σχ. 4)

7 Παρατήρηση :. Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης τέμνει τον άξονα χ χ το πολύ σε ένα σημείο ή ισοδύναμα η εξίσωση ()=0 έχει το πολύ μια λύση στο πεδίο ορισμού της. Αν για, Α με ( ) ( ) έπεται, τότε δεν έπεται ότι η είναι γνησίως αύξουσα. Παραδείγματα. Δίνεται η συνάρτηση () ln( ) 3. Να μελετηθεί η μονοτονία της. i) Το πεδίο ορισμού της είναι το Α (, ) Για κάθε, (, ) με ln( ) ln( ) 3 3 ln( ) 3 ln( ) 3 ( ) ( ) Δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ).. Δίνεται η συνάρτηση () 3. Να μελετηθεί η μονοτονία της. Το πεδίο ορισμού της είναι το Α [, ) Για κάθε, [, ) με 3 3 ( ) ( ) Δηλαδή η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ). Γενικός τρόπος: Θεωρούμε, πράξεις φτάνουμε σε ( ) ( ) ή ( ) ( ). Α με και με επιτρεπτές 3.Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης () ln και στη συνέχεια να λυθεί η ανίσωση: ln

8 Το πεδίο ορισμού της είναι το Α (0, ) Για κάθε, (0, ) με ln ln ( ) ( ) ln ln Η ανίσωση γράφεται : ln ln ln ln ( ) () 0 Για να λύσουμε μια ανίσωση Α()>B() προσπαθούμε να την φέρουμε στην μορφή (α()) (β()) οπότε αν η είναι γνησίως αύξουσα έχουμε α() β() την οποία λύνουμε,ενώ αν η είναι γνησίως φθίνουσα έχουμε α() β() την οποία λύνουμε. 4. Έστω και g δυο συναρτήσεις ορισμένες στο, γνησίως αύξουσες με () 0, g() 0 i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο R. ii) Να λυθεί η ανίσωση : ()g( ) ( )g() () i) Έστω, με τότε ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g( ) g( ) 0 g( ) g( ) g( ) g( ) g( ) g( ) ( ) ( ) g g δηλαδή η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο R. ii) Είναι g()g( ) 0 οπότε η () γράφεται

9 ()g( ) ( )g() () ( ) /g 0 0 ή g()g( ) g()g( ) g() g( ) 5. Δίνεται η συνάρτηση () 5 ln. α) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης β) Να λυθεί η ανίσωση ( ) () α) Για κάθε, (0, ) με είναι: 5ln 5ln 5ln 5ln ( ) ( ) δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα στο (0, ). β) H () ισοδύναμα γράφεται: ( ) () 0 0 (προφανώς ()=). 6. α) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης () α,, 0 α β) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε να ισχύει : λ λ α α λ λ, α (0,). α)θα μελετήσουμε την μονοτονία της. α α αρα α α ( ) ( ) δηλαδή η είναι γνησίως φθίνουσα στο R. β) Είναι λ λ λ λ α α λ λ α λ α (λ ) (λ ) (λ ) λ λ λ λ 0 0 λ.

10 Ασκήσεις (Εισαγωγή στην ανάλυση). Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις () 4 και g() είναι ίσες.. Να εξετάσετε για τα παρακάτω ζεύγη των συναρτήσεων αν g. Αν g να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο g. α) () ln( ) ln( ) β) () και g() ln 3 και g() γ) () ln, g() ln( ) ln( ) 3. Δίνονται οι συναρτήσεις () ( α) α α3 (α ) και g(), α. Να βρεθεί η τιμή του α ώστε οι συναρτήσεις,g να είναι ίσες. 4. α) Δίνονται οι συναρτήσεις () e Να οριστούν οι συναρτήσεις g,. g και g() e β) Δίνονται οι συναρτήσεις (),g() Να οριστούν οι συναρτήσεις g, / g, g / 5. Να γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων α) () β) (), 0, 0 γ) () ln ln, 0 3 δ) () 3, 3

11 6.Να μελετηθεί η μονοτονία των συναρτήσεων α) () ln( ),g() ( ),,h(), 0 7. Δίνεται η συνάρτηση () e α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα β)να λυθεί η ανίσωση e e 0 8. Έστω η συνάρτηση () e - α) Να δείξετε ότι η () είναι γνησίως αύξουσα στο R β)βρείτε το πρόσημο της γ) Να βρεθεί ο λ ώστε λ e λ 0 9. Δίνεται η συνάρτηση () ln( ) α)να μελετηθεί η μονοτονία της β)να βρεθεί το διάστημα των τιμών του όπου η C βρίσκεται πάνω από τον άξονα γ) Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών z, αν ισχύει: ln z z 0.Δίνεται η συνάρτηση () e i) Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία ii) Να λυθεί η ανίσωση λ λ e e λ λ 4 0 () λ.. Έστω,g : R R δύο συναρτήσεις όπου η είναι γνησίως αύξουσα, η g γνησίως φθίνουσα και () 0 ενώ g() 0. ι) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο R. ιι) Να λυθεί η ανίσωση () g( ) ( ) g(). Έστω η συνάρτηση () ln( )

12 i) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα και να λυθεί η ανίσωση () 0 z ii) Αν z C και z z ln z να δείξετε ότι Re(z) 0 Σύνθεση συναρτήσεων Έστω οι συναρτήσεις : A R, g : B R. Ονομάζουμε σύνθεση της με την g και τη συμβολίζουμε με g () g(()) g τη συνάρτηση με τύπο Το πεδίο ορισμού της g αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το () ανήκει στο πεδίου ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο A ' A /() B. Είναι φανερό ότι η συνάρτηση g ορίζεται αν A'. Ο ρόλος της φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Παρατηρήσεις:.Αν (A) B τότε A A.Αν (A) B τότε δεν ορίζεται η 3.Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το A ' A /() B Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το A' B/g() A Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το A ' A /() A 4.α) Δεν ισχύει g g

13 β) Αν ορίζεται η συνάρτηση (g h) τότε ορίζεται και η συνάρτηση ( g) h και μάλιστα (g h)=( g) h.. Δίνονται οι συναρτήσεις Να βρεθεί η συνάρτηση g. Παραδείγματα,, () 4 Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το B / 3 0 [ 3, ). Θεωρούμε το σύνολο: A' A /() B / 4 3 Είναι: και g() 3. ή 3 άρα A ' [3, ). Η g ορίζεται στο Α με: g () g(()) () οπότε [3, ). Δίνονται οι συναρτήσεις () και g() ώστε: ( g)() ln 3, >0. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης g. ( g)() ln 3 (g()) ln 3 g() ln 3 g() ln 4 3. Έστω οι συναρτήσεις () ln( ),g(). Να βρείτε τις συναρτήσεις ι) g ii) i)η έχει πεδίο ορισμού το Α =(, ) ενώ η g έχει πεδίο ορισμού το Β=(,0] Η g έχει πεδίο ορισμού το Α / Α,() Β /,ln( ) 0

14 Είναι ln( ) 0,οπότε Α (,].Για κάθε Α (g )() g(()) g(ln( )) ln( ) ιι) Η έχει πεδίο ορισμού το Α / Α,() Α /,ln( ) Είναι ln( ) e e,οπότε Α ( e, ).Για κάθε Α ( )() (()) (ln( )) ln(ln( ) ) 4. Δίνονται οι συναρτήσεις I() και οι τιμές του α ώστε οι συναρτήσεις A. α (), α. Να βρεθούν και I να είναι ίσες στο σύνολο Έστω ότι υπάρχει α ώστε : I για κάθε A. Τότε: α() α α (()) α() () α () (α ) (4 α ) α 0 α 0 και 4 α 0 α Θα δείξουμε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το. Πράγματι A ' A / () A και () και 5. Έστω η συνάρτηση : ώστε να ισχύει: Να δείξετε ότι α) (4 3) 4 3(), β) () γ) η δεν είναι γνησίως μονότονη (()) 4 3 (),

15 α) Θέτουμε όπου το () οπότε έχουμε : () ((())) 4 3() (4 3) 4 3() β)από το α) ερ. για = έχουμε: () 4 3() () γ) Υποθέτουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη π.χ. γνησίως αύξουσα, τότε: ( ) ( ) (( )) (( )) (ΑΤΟΠΟ) Όμοια αν υποθέσουμε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. Προσοχή Όταν δίνεται η σχέση (())=Α() () και δεν γνωρίζουμε τον τύπο της (), τότε θέτουμε στην (), οπότε έχουμε: ((()))=Α(()) () (A())= Α(()) κ.λ.π () όπου το Ασκήσεις στη σύνθεση. Έστω οι συναρτήσεις (),g() ln( ). Να βρεθούν οι συναρτήσεις i) g ii) g.. Δίνονται οι συναρτήσεις συναρτήσεις i) g g ii) g. () e, g() 3. Να βρεθούν οι 3. Να βρείτε συνάρτηση τέτοια ώστε να ισχύει i) ( g)() 4 3 αν g(). ii)( g)() αν g() ln 4. Να βρείτε συνάρτηση τέτοια ώστε να ισχύει (g )() ημ αν g() 3 5. Αν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το [0,] να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

16 συνάρτησης g() ( ) (ln ) (e ) 6. Έστω () ln( ) και g() e. Να βρεθεί η g. 7.Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση () α β, α,β 0 ώστε ( )() 9 8 για κάθε. 8. Δίνονται οι συναρτήσεις () e e και g() ln. Να δείξετε ότι (g )() στο R. 9. Να γραφούν οι συναρτήσεις: i) () ημ(ln ) ii) g() ln iii) ως σύνθεση δύο ή περισσότερων συναρτήσεων. h() 0. Αν,g : R R περιττές συναρτήσεις και η σύνθεσή τους ορίζεται στο, να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι περιττή..έστω η συνάρτηση : R R ώστε : (()) () για κάθε. Να δείξετε ότι ( ) () () για κάθε και στη συνέχεια να βρεθεί το ()..Έστω οι συναρτήσεις, g : R R i) Αν, g γνησίως αύξουσες και οι δύο ή γνησίως φθίνουσες και οι δύο, να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. ii) Να εξετάσετε αν υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση : R ( )() e για κάθε. R ώστε 3.Αν η είναι γνησίως αύξουσα και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο να λύσετε την ανίσωση: ( g)( ) ( g)( 4). 4. Έστω οι συναρτήσεις () e και g() g() e, ι) να δείξετε ότι g(0) 0

17 ιι) να δείξετε ότι οι και g είναι γνησίως αύξουσες ιιι) να λύσετε την ανίσωση g(()) 0 Ένα προς Ένα και Αντίστροφη Ορισμός: Μία συνάρτηση : A ισχύει η συνεπαγωγή ( ) ( ). R λέγεται - όταν για κάθε, Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι: Μία συνάρτηση : A συνεπαγωγή αν ( ) ( ) τότε. Παρατηρήσεις: R λέγεται - όταν για κάθε, Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α A με A ισχύει η. Αν η είναι «-» τότε η εξίσωση () y έχει το πολύ μία λύση στο Α και ειδικότερα η εξίσωση () 0 έχει το πολύ μία ρίζα στο Α. Αν το y ανήκει στο σύνολο τιμών της τότε η εξίσωση () λύση στο Α. y έχει ακριβώς μία. Αν η είναι «-» η C τέμνει τον άξονα το πολύ σε ένα σημείο. 3. Αν η δεν είναι «-» τότε υπάρχουν ώστε ( ) ( ) ή ισοδύναμα υπάρχει ευθεία παράλληλη στον άξονα η οποία τέμνει την C σε δύο τουλάχιστον σημεία. 4. Αν η είναι «-» τότε κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα τέμνει την C το πολύ σε ένα σημείο. 5. Αν η είναι γνησίως μονότονη τότε είναι και «-» (όχι αντίστροφα). 6. Αν η είναι «-» τότε και η είναι «-»

18 7. Tα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και δεν βρίσκονται κατ ανάγκη στην ευθεία y.για να τα βρούμε λύνουμε το σύστημα y () (y) Α (Α) Ορισμός Έστω μια συνάρτηση : A Αντίστροφη Συνάρτηση: R.Αν υποθέσουμε ότι η είναι -, τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, (A), της υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει () y. Επομένως ορίζεται μια συμβολίζεται με : (A) με την οποία κάθε y () y (Προσοχή: η συνάρτηση που ονομάζεται αντίστροφη της και, όπου (A) αντιστοιχίζεται μοναδικό A για το οποίο δεν είναι η ) Από τον τρόπο που ορίστηκε η Α. Έχει πεδίο ορισμού το (A) Β. Έχει σύνολο τιμών το Α Γ. Ισχύει: Ισχύουν οι σχέσεις: () y (y) προκύπτει ότι : για κάθε A και y (A) (()), A και ( (y)) y, y (A).

19 Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y. Αυτό σημαίνει ότι αν η γραφική παράσταση της τέμνει την ευθεία y = σ ένα σημείο Κ, τότε και η γραφική παράσταση της την ευθεία y = στο Κ. τέμνει Για παράδειγμα η συνάρτηση () e μάθαμε ότι έχει αντίστροφη την () ln. Παρατήρηση :. Οι εξισώσεις () και οι Α (Α). () έχουν τις ίδιες λύσεις στο σύνολο. Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων C και C δεν βρίσκονται κατ ανάγκη στην ευθεία y =. Παραδείγματα. Δίνεται η συνάρτηση () 3 3. α) Να δείξετε ότι η είναι ένα προς ένα β) Να βρεθεί η αντίστροφή της. α) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο A 3,. Έστω, ( ) ( ) δηλαδή η είναι «-» συνεπώς υπάρχει η αντίστροφη της. β) Θα βρούμε το πεδίο ορισμού και τον τύπο της αντίστροφης A με

20 3 (y ) 3 (y ) () y 3 y 3 y y y (y ) y οπότε το σύνολο τιμών της είναι το (A), θεωρία είναι το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. Άρα :, με () 3 ( ). 3 3 (y ) 3 το οποίο από την. Να βρεθεί η συνάρτηση όταν 3 () 5 4. Εξετάζουμε αν η είναι «-». Έστω, με ( ) ( ) άρα η είναι «-». y 4 3 y 4 5 y () y 5 4 y 5 y 4 3 y 4 οπότε (A) Επομένως : () 3 3 y 4 5 y 4 y 4 y Μία συνάρτηση : R R έχει την ιδιότητα 003 ( )() 3() () για κάθε.να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι «-». Έστω, με ( ) ( ) τότε: (( )) (( )) (( )) 3( ) (( )) 3( ) 3( ) 3( ) 5 ()

21 4. Δίνονται οι συναρτήσεις,g : R R με (()) 5 9 και g() () 3,. Να δείξετε ότι (3) 3 και ότι η g δεν αντιστρέφεται. i) Από τη σχέση (()) 5 9 έχουμε ((())) () 5() 9 ( 5 9) () 5() 9 και για =3 έχουμε (3) (3) 5(3) 9 (3) (3) 5(3) 9 ((3) 3) 0 (3) 3 ii) Είναι g() () 3.Οπότε g(3) 9 3(3) 3 3 g(0) g(3) g(0) 3 Άρα η g δεν είναι «-» και κατά συνέπεια δεν αντιστρέφεται. 5. Έστω μια συνάρτηση : R R με σύνολο τιμών το,γνησίως μονότονη της οποίας η γραφική της παράσταση περνά από τα σημεία Α(5,9) και Β(,3). i) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii) Να λυθεί η εξίσωση (3 ( )) 9 i) Αφού η είναι γνησίως μονότονη,θα είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. Επειδή η γραφική της παράσταση περνά από τα σημεία Β(,3) έχουμε (5) 9 και () 3. Είναι 5 () (5) συνεπώς η είναι γνησίως αύξουσα. ii) (3 ( )) (5) 3 ( ) 5 ( ) ( ) (3) 3 ή 3 Α(5,9) και Ασκήσεις στην «-» και «αντίστροφη συνάρτηση». Έστω η συνάρτηση () ( ),.

22 Α)Να δείξετε ότι είναι «-» και να βρεθεί η. Β)Να βρεθούν τα κοινά σημεία των C,C με την ευθεία y =.. Δίνεται η συνάρτηση () ln. Να δείξετε ότι υπάρχει η να βρεθεί. και 3. Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι «-» και να βρεθούν οι αντίστροφες όπου υπάρχουν 3 i) () ln( ) ii) g() iii) h() 4. Δίνεται η συνάρτηση 5. Έστω οι συναρτήσεις () ln( e ). Να βρεθεί η e () και e g() e i) Να βρεθεί η ii) Να βρεθεί η g. 6. Δίνεται η συνάρτηση () e i) Να δείξετε ότι η είναι «-» ii) Να λυθεί η εξίσωση: () 4 7. Έστω μια συνάρτηση : με σύνολο τιμών το για την οποία ισχύει ( )() () (). α) Να δείξετε ότι υπάρχει η β) Αν () 4να βρεθεί η (8) και ότι () (() ), 8. Έστω μια συνάρτηση : και σύνολο τιμών το, για την οποία υποθέτουμε ότι 3 () () () για κάθε. Να δείξετε ότι η είναι «-» έπειτα να βρείτε τον τύπο της.

23 9. Έστω μια συνάρτηση : R R με σύνολο τιμών το για την οποία ισχύει 3 (()) () 3 () για κάθε. α) Να δείξετε ότι η είναι «-» β) Να βρεθεί η συναρτήσει της. 0. Έστω οι συναρτήσεις, g : R R ώστε 3 g(g()) g() ( ) για κάθε και η είναι «-». Να δείξετε ότι η g είναι «-»..Έστω μια συνάρτηση : R ( )() () κάθε. R με σύνολο τιμών το ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι α) η είναι «-» β) () (), γ) να βρεθεί το () και να δείξετε ότι η 3 g() () δεν είναι «-».. Έστω η συνάρτηση : R R με () ln e ln( e ) i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της και να την βρείτε ii) Αν g() ( g)() g() ln να βρεθεί η. g και να λυθεί η εξίσωση 3. Έστω μια συνάρτηση : R R γνησίως μονότονη με σύνολο τιμών το, της οποίας η γραφική της παράσταση περνά από τα σημεία Α(5,9) και Β(,3). i) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii) Να λυθεί η εξίσωση: (3 ( )) 9 iii) Να λυθεί η ανίσωση: (6 ( )) 5 4. Έστω μια συνάρτηση : (0, ) όπου

24 (y) () (y) (), y 0 Να δείξετε ότι i) () 0 ii) (), 0 iii) αν η () 0 έχει μοναδική λύση την να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη..έστω οι συναρτήσεις,g : R Επανάληψη α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι «-» R ώστε : (g()) 4 9 () β) Αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα γ) Αν οι και g ίσες με σύνολο τιμών το να εκφράσετε την της. συναρτήσει. Έστω η συνάρτηση : R R ώστε ( )() 9 8 () i) Να δείξετε ότι η είναι «-» ii) (9 8) 9() 8, iii) Να βρεθεί το () iv) Αν () α β, α 0 να βρεθούν οι τιμές των α,β. 3. Έστω η συνάρτηση : R R ώστε ( )() (),. Να δείξετε ότι i) η είναι - ii) Η δεν είναι γνησίως μονότονη iii) η είναι περιττή iv) (0) Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση στο με σύνολο τιμών το. Αν η C περνά από τα σημεία Α(3,0), Β(7,8) να λυθεί η ανίσωση : 3 (4 ( )) Έστω συνάρτηση : (0, ) με () (y) y (), y (0, ) Έστω ακόμη ότι η εξίσωση () 0 έχει μοναδική λύση την. i) Να δείξετε ότι η είναι «-»

25 ii) Να λυθεί η εξίσωση: () ( 3) ( ) ( ), >0. 6. Eστω η συνάρτηση : με σύνολο τιμών το και την ιδιότητα ( )() (). Να δείξετε ότι α) ( ) (), β) η αντιστρέφεται γ) () ( ) δ) η δεν είναι γνησίως μονότονη 7. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση : τέτοια ώστε 3 () () για κάθε και σύνολο τιμών το α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα β) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα γ) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης g() (α ),α και στη συνέχεια να λυθεί η ανίσωση 6 4 (α ) (α ). 8. Έστω η συνάρτηση : με την ιδιότητα : ( y) () (y),, y και η εξίσωση () 0 έχει μια μόνο λύση. α) Βρείτε το (0) β) Να δείξετε ότι η είναι περιττή γ) ( y) () (y),, y δ) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται ε) Αν η έχει σύνολο τιμών το να δείξετε ότι : ( y) () (y),, y στ) Αν () 0 για κάθε 0 i) να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. ii) να λύσετε την ανίσωση : (e ) (3 ) (e ) 9. Δίνεται η συνάρτηση : 0,() 0 με την ιδιότητα (y) ()(y),, y 0.Η γραφική παράσταση της τέμνει την y το πολύ σε ένα σημείο.αν η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα την να δείξετε ότι α) () β) η είναι - () γ) η συνάρτηση g() έχει αντίστροφη 0. α) Να βρεθεί η αντίστροφη σχέση της συνάρτησης () 3

26 β)να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και.. Δίνεται η συνάρτηση () ln( ) α) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρεθεί η αντίστροφη β) Να λυθεί η εξίσωση ( ) 3. Έστω η συνάρτηση : με σύνολο τιμών το και την ιδιότητα: (()), α) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και () (), β) Η C δεν έχει κοινά σημεία με την ευθεία y 3. Δίνονται οι συναρτήσεις, g :, ( ) και ( g )(), Να δείξετε ότι α) η αντιστρέφεται στο β) ισχύει () () g(), 4. Έστω η συνάρτηση : (0, ) για την οποία ισχύουν () 0 και (()) () για κάθε 0 α) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται () β) Αν η έχει σύνολο τιμών το (0, ),να δείξετε ότι για κάθε Αν η συνάρτηση : είναι γνησίως αύξουσα στο και ισχύει () για κάθε,να αποδείξετε ότι () για κάθε. 6. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει (()) () για κάθε. Να δείξετε ότι α) Υπάρχει η αντίστροφη της β) (0) 0 γ) Αν ( ) τότε () () και () για κάθε.

27 Ερωτήσεις. Αν η έχει πεδίο ορισμού το Α τότε το σύνολο τιμών είναι το (Α).... Έστω :Α, g : Β τότε α) το πεδίο ορισμού των g, είναι αντίστοιχα g. β)πότε λέμε ότι = g ; γ) Αν α,β Α α β (α) (β) ; δ) Πότε λέμε ότι η αντιστρέφεται ; ε) Πότε λέμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα; 3.Είναι Σωστό να πούμε i) g g ιι)αν η δεν είναι γνησίως αύξουσα τότε είναι γνησίως φθίνουσα ιιι) Αν η δεν είναι γνησίως αύξουσα τότε υπάρχουν, Α,με ( ) ( ) iv)αν η είναι γνησίως μονότονη τότε η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα χ χ το πολύ σε ένα σημείο v) Αν η είναι γνησίως μονότονη, τότε η γραφική παράσταση της είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της ευθεία y., ως προς την vi) Αν η δεν αντιστρέφεται,τότε η δεν είναι γνησίως μονότονη vii) Tα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και βρίσκονται στην ευθεία y. 4. Είναι Σ ή Λ οι παρακάτω προτάσεις ; Έστω :Α,g : Β α)αν = g τότε Α = Β

28 () β) () g g() για κάθε Α Β γ)αν η είναι - είναι και γνησίως μονότονη δ)αν η γραφική παράσταση της,η οποία είναι -,τέμνει την y= στο σημείο Κ τότε και η γραφική παράσταση της ε)αν η g είναι -,τότε και η g είναι - περνά από το Κ ζ) Αν η g είναι -,τότε g() y g (y), Β, y g(β) η)αν ορίζεται η ( g) h,τότε ορίζεται η (g h) και ισχύει ( g) h (g h) θ)το πεδίο ορισμού της είναι το (Α) ι)αν,g είναι - τότε g είναι - κ)αν είναι - τότε για κάθε, Α ισχύει : ( ) ( )

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ 2 (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις)

ΟΡΙΣΜΟΣ 2 (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις) ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ) ΟΡΙΣΜΟΣ (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις) Μια συνάρτηση : A είναι συνάρτηση -,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΜΑΘΗΜΑΤΑ Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (o Γ Λυκείου).Να βρεθούν οι τιμές των α, β R ώστε: Α) τα σημεία (, ),(, ) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης α +β. Β)τα σημεία ( 0, ),( e, ) να ανήκουν στην γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικές έννοιες των συναρτήσεων. ΣΤ.1 (6.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) ΣΤ.2 (6.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου)

ΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικές έννοιες των συναρτήσεων. ΣΤ.1 (6.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) ΣΤ.2 (6.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) ΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικές έννοιες των συναρτήσεων ΣΤ. (6. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της συνάρτησης ΣΤ. (6. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Γραφική παράσταση συνάρτησης ΣΤ.3 (6.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η

Διαβάστε περισσότερα

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) f(x) = 1 x. ii) f(x) = 2ln(x 2) 1 = (, 1] 1 x

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) f(x) = 1 x. ii) f(x) = 2ln(x 2) 1 = (, 1] 1 x . Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 56 57 A µάδας. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) () = ii) () = ln( ) iii) () = e + iv) () = ( ), i)

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Ισότητα - Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση. Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκεια - Τοσίτσεια Σχολεία

Συναρτήσεις. Ισότητα - Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση. Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκεια - Τοσίτσεια Σχολεία Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκεια - Τοσίτσεια Σχολεία Maθηματικά Γ Λυκείου Συναρτήσεις Ισότητα - Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση.. Α.Αλβέρτος, Δ.Βαμπούλης, Χ.Βραχνός, Φ.Γκάγκαρη,

Διαβάστε περισσότερα

5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5.3. Αντίστροφη συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση f : A.Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι - τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών f (A) της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το διάγραµµα Α. B. Γ.. Ε. 7 . * Από τα παρακάτω διαγράµµατα δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης το διάγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) 1 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g γα τις οποίες ισχύει: f()+1=g()+e (Η C f κάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις ΘΕΜΑ Α Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας ωρών στις Συναρτήσεις 0 9-05 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).. Αν η συνάρτηση f είναι -, είναι και γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

x y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}.

x y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 3. Μια μπάλα πέφτει από την κορυφή ενός πυργου. Το ύψος στο οποίο βρίσκετε μετά από t sec δίνεται από τη συνάρτηση f () x 75 3

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 3. Μια μπάλα πέφτει από την κορυφή ενός πυργου. Το ύψος στο οποίο βρίσκετε μετά από t sec δίνεται από τη συνάρτηση f () x 75 3 ΦΥΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν τα Πεδία Ορισμων συναρτήσεων: i) f () 4 f () i f () 4 f () 6 5 v) f () 9 vi) f () v f () log() vi f () 4, i) f () 8, Να βρεθούν επίσης οι τιμές : n f ( 4),( f ),( f0),(),(0),(

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης 1 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g με f() = 3e + 10 + 1 και g() = 015 + 015 196 α) Να προσδιορίσετε το είδος μονοτονίας των f, g β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις 07 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = 4 6 6 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) v) 5 f() log vi) f() = 4 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι) Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)

Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ) Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη, απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό Θετικών Σπουδών ή Σπουδών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 6//26 ΕΩΣ 3//26 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Κυριακή 3 Οκτωβρίου 26 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α v v Α. Έστω το πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

α) ( ) β) ( ) γ) ( ) δ) ( ) ( ) β) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ( )

α) ( ) β) ( ) γ) ( ) δ) ( ) ( ) β) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ( ) Συναρτήςεισ Όριο Συνέχεια Πεδίο οριςμού ςυνάρτηςησ 1) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των ςυναρτήςεων α) β) γ) δ) 2) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των ςυναρτήςεων α) β) γ) δ) 3) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης Συνάρτηση από το σύνολο Α στο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο x του Α, αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αρκεί να βρούμε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι πράξεις που αναγράφονται στο τύπο

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) = ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ Μονοτονία Συνάρτησης Έστω οι συναρτήσεις f, g, h, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στα επόμενα σχήματα («Σχήμα», «Σχήμα», «Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2012

ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΘΕΜΑ Α. Λ Λ Λ Σ - Σ - Λ ΜΟΝΑΔΕΣ Β. α) Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει ( ) g( ). ΜΟΝΑΔΕΣ β) Μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ 1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ). 1 5 Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις.. i) Η f έχει πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ H Έννοια της Συνάρτησης H έννοια του συνόλου Ορισμός: Σύνολο είναι κάθε συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x.

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x. Κεφάλαιο - Συναρτήσεις I Πεδίο ορισµού συνάρτησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ίνονται οι συναρτήσεις: f( ) = +, (ii) f( ) = Να βρεθούν τα f( 0 ), f( ), f( ), f( α ), f( α+ β), f( α 5) ( ) ( ) f + h f, h Να

Διαβάστε περισσότερα

Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ. Μελέτη βασικών συναρτήσεων. Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.2 (7.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) 2

Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ. Μελέτη βασικών συναρτήσεων. Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.2 (7.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) 2 Ζ ΕΝΟΤΗΤΑ Μελέτη βασικών συναρτήσεων Ζ.1 (7.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx Ζ. (7. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Μελέτη της συνάρτησης f x α x Ζ.3 (7.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου)

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα