Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα"

Transcript

1 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β) ii Συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον ισχύουν : = = lim f x f α και lim f x f β + x α x β Θεώρημα Bolzano (ΘΒ) Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] Αν: η f είναι συνεχής στο [α,β] και f (α) f (β) < x, f x = τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον αβ τέτοιο ώστε δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f( x) = στο (α,β) Γεωμετρική ερμηνεία Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x x σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη x μεταξύ των α και β (σχ1) Παρατηρήσεις - Σχόλια 1 Το αντίστροφο του θεωρήματος BOLZANO δεν ισχύει γενικά δηλαδή η ύπαρξη ρίζας δεν εξασφαλίζει την συνέχεια της f στο [α,β] ούτε ότι οι τιμές f (α), f (β) είναι ετερόσημες Το θεώρημα Bolzano εξασφαλίζει την ύπαρξη ρίζας της f (x) = αλλά δεν την προσδιορίζει 3 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σ' αυτό τότε είναι θετική (σx) ή αρνητική (σx3) για κάθε x (διατηρεί πρόσημο)

2 11 Συνέχεια συνάρτησης Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ'ένα διάστημα Δ τότε μεταξύ δυο διαδοχικών ριζών της διατηρεί το πρόσημο (σχ4) 4 Το θεώρημα εξασφαλίζει την ύπαρξη μιάς τουλάχιστον λύσης της f( x) = Μπορεί όμως να υπάρχουν και περισσότερες (σχ 1) 5 Εάν οι προϋποθέσεις του Θ Bolzano δεν ισχύουν, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε αν η εξίσωση f( x) = έχει ή δεν έχει λύση Αυτό φαίνεται στα επόμενα σχήματα Θεώρημα Έστω συνάρτηση f συνεχής στο ( α,β ) για την οποία ισχύει im f ( x) im f ( x) < + x α x β Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστο x ( α, β) ώστε f x =

3 Συνέχεια συνάρτησης 113 Σχόλιο : Η ύπαρξη του α, β με f x = ισχύει καί στις περιπτώσεις : x στο α im f ( x ) =+, im f ( x) = (σχ 1) β + x α x β im f x =+, im f x < (σχ ) + x α x β γ im f ( x ) =, im f ( x) =+ (σχ 3) δ + x α x β imf x =, imf x > (σχ 4) + x α x β

4 114 Συνέχεια συνάρτησης 3 Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (ΘΕΤ) Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] Αν ισχύουν ότι: η f είναι συνεχής στο [α,β] και f α f β τότε για κάθε αριθμό n μεταξύ των f(α), f(β) υπάρχει ένα τουλάχι- x α,β f x = n στον τέτοιο ώστε Γεωμετρική ερμηνεία Η ευθεία y = n όπου n μεταξύ των f ( α ), f ( β ) τέμνει τη γραφική παράσταση της f τουλάχιστον σε ένα σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β Παρατηρήσεις - Σχόλια Αν f συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και x,x 1 τότε η f παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f ( x1) και f ( x ) Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα (Αν η f είναι σταθερή συνεχής ή μη τότε το f(δ) είναι μονοσύνολο) 4 Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β] τότε η f παίρνει στο [α,β] μέγιστη τιμή Μ και ελάχιστη x,x α,β m= f x και M = f x οπότε: τιμή m, δηλαδή υπάρχουν [ ] τέτοια ώστε 1 = =, για κάθε x [ α,β] m f x f x f x M 1 1 Σχόλια Παρατηρήσεις Αν η f είναι συνεχής μη σταθερή συνάρτηση ορισμένη στο Δ = [α,β] τότε το σύνολο τιμών της είναι το f(δ) =[m,μ] όπου m, η ελάχιστη και Μ, η μέγιστη τιμή της Αν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ α, β ], τότε f ([ α, β] ) f ( α ), f ( β) αν είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [ α, β ] τότε f ([ α, β] ) = f ( β ), f ( α) =, ενώ

5 Συνέχεια συνάρτησης 115 Ευρεση συνόλου τιμών Όπως ήδη αναφέρθηκε στο πρώτο σχόλιο είναι φανερό ότι το σύνολο τιμών μιάς συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε κλειστό [ α, β ] είναι το f ( α ),f( β) f β,f α αν η f είναι φθίνουσα αν η f είναι αύξουσα και Αν η f είναι συνεχής στο ανοιχτό ( α,β ) τότε το σύνολο τιμών της στη περίπτωση που είναι ( + ) x α x β γνησίως αύξουσα είναι f ( A) im f ( x ), im f ( x) φθίνουσα είναι f( A) = imf( x ), imf( x) = ενώ στη περίπτωση που είναι γνησίως ( + x β x α ) Αν τέλος η f είναι συνεχής και ορισμένη στα [ α,β ) ή ( α,β ] τότε (αν f γνησίως αύξουσα) το + x β x α Ενώ (αν f γνησίως φθίνουσα) το σύνολο τιμών της είναι f( A) = ( imf( x ),f( α) ή x β f ( β,imf ) ( x + )) x α σύνολο τιμών της είναι : f ( A) = f( α, ) imf( x ) ή f( Α) = imf( x, ) fβ ( Β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία Μέθοδος 1 Ασκήσεις που ζητείται η ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας εξίσωσης σε ανοικτό διάστημα (α,β) Τότε: α Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών ( αν υπάρχουν ) β Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1 o μέλος γ Θέτουμε το 1 o μέλος ίσο με μια συνάρτηση δ Ελέγχουμε τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano για τη συνάρτηση που θεωρήσαμε Για την μοναδικότητα της ρίζας εφόσον ζητείται: Αποδεικνύουμε ή ότι είναι 1-1 ή ότι είναι γνησίως μονότονη ή εργαζόμαστε με απαγωγή σε άτοπο Παράδειγμα x + 4 x + 3 Να δειχθεί ότι η εξίσωση : + = () 1 έχει μία τουλάχιστον ρίζα x 3 x 4 στο διάστημα ( 3, 4 ) Η (1) για x 4 και x 3 x + 4 x 4 + x + 3 x 3 = 4 3 γράφεται :

6 116 Συνέχεια συνάρτησης 4 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x) ( x 4)( x 4) ( x 3)( x 3) ισχύουν : Είναι συνεχής στο [ 3, 4] και = + + +, για την οποία f 3 f 4 = = < Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x που ανήκει στο ()() ( 3, 4) τέτοιο ώστε : f x = Επειδή η (1) είναι ισοδύναμη με την f( x) = για x 4και x 3 θα έχει και αυτή μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( 3, 4 ) Κατηγορία Μέθοδος Ασκήσεις που ζητείται η ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας μιας εξίσωσης σε κλειστό διάστημα [α,β] Τότε : Επαναλαμβάνουμε τα βήματα α,β,γ, της μεθόδου 1 Αν στο βήμα δ προκύπτει f ( α) f( β) τότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: αν f (α) f (β) <, τότε υπάρχει από ΘΒ ένα τουλάχιστον x ( α,β) ώστε ( ) αν f ( α) f( β) f x = =, τότε f (α) = οπότε x o =α ή f (β) = οπότε x o = β αν δεν υπάρχουν αντίθετοι περιορισμοί x α,β f x = Οπότε,τελικά υπάρχει ένα τουλάχιστον [ ] ώστε Παράδειγμα Να δείξετε ότι η εξίσωση : κάθε λ [,4] 3 x + 3x λ = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [,1 ], για 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f με f( x) = x + 3x λ Η f είναι συνεχής στο [,1] ως πολυωνυμική και είναι λ 4 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : f f1= λ 4 λ, διότι 1 Αν f f( 1) <, τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x που ανήκει στο (,1) [,1] τέτοιο ώστε : f( x ) = Αν f f( 1) =, τότε : f = ή f() 1 =, που σημαίνει ότι η ρίζα της f θα είναι το ή το 1 Απο τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x που ανήκει στο [,1] τέτοιο ώστε : f( x ) =, δηλαδή η αρχική εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [,1 ]

7 Συνέχεια συνάρτησης 117 Κατηγορία Μέθοδος 3 α Ασκήσεις που ζητείται η ύπαρξη σημείου τομής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με τον άξονα x x, τότε εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση που δίνεται β Ασκήσεις που ζητείται η ύπαρξη σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων δυο συναρτήσεων f,g, τότε εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στη συνάρτηση h με τύπο : h (x) = f (x) - g (x) Παράδειγμα 3 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο x + f x = x+ 3 Να δειχθεί ότι η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα x x σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα ( - 1, ) Η f είναι συνεχής στο διάστημα [ - 1, ] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων Επίσης είναι f( 1) f < Οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x που ανήκει στο ( - 1, ) τέτοιο ώστε f( x ) =, δηλαδή η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x x σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη x στο διάστημα ( - 1, ) Παράδειγμα 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με τύπους f( x) = x και g( x) = συνx Να δειχθεί ότι οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ένα τουλάχιστον σημείο τομής με τετμημένη στο διάστημα π, 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση h με τύπο h( x) = x συνx π Η h είναι συνεχής στο, 4 ως διαφορά συνεχών και επιπλέον είναι π π h h = 4 4 π Οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x που ανήκει στο, 4 τέτοιο ώστε : h( x) = x συνx = x = συνx Αυτό σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με π τετμημένη στο διάστημα, 4 Κατηγορία Μέθοδος 4 Σε ασκήσεις που ζητείται η ύπαρξη περισσοτέρων από μίας ριζών μιας εξίσωσης, σε διάστημα Δ: χωρίζουμε το διάστημα σε κατάλληλα υποδιαστήματα και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano σε κάθε ένα απ' αυτά τα διαστήματα

8 118 Συνέχεια συνάρτησης Παράδειγμα 5 3 Να δειχθεί ότι η εξίσωση x +3x =1έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα ( - 1, 1 ) 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f( x) = x + 3x 1 η οποία είναι συνεχής στο [ -1, ] ως πολυωνυμική και ισχύει f( 1) f = 1< Οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x 1 που ανήκει στο ( -1, ) τέτοιο ώστε : f( x1) = (1) Επίσης η f είναι συνεχής και στο διάστημα [, 1 ] ως πολυωνυμική και ισχύει f f( 1) = 3< Οπότε, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x που ανήκει στο (,1 ) τέτοιο ώστε : f( x ) = () Απο τις (1) και () συμπεραίνουμε ότι η εξίσωση που δόθηκε έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα ( - 1, 1 ) Κατηγορία Μέθοδος 5 Ασκήσεις στις οποίες δίνεται η συνέχεια συνάρτησης, έστω f, σε ανοικτό διάστημα της μορφής (α,β) όπου α,β R, και ισχύει : lim f ( x) lim f ( x) < + x α x β Τότε : Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες ορίου και διάταξης συμπεραίνουμε,ότι υπάρχουν δύο τιμές κ και λ στις περιοχές των α,β αντίστοιχα για τις οποίες ισχύει f(κ) f(λ)< και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο διάστημα [κ,λ] (α,β) Παράδειγμα 6 x Θεωρούμε τη συνάρτηση f με f( x ) = xe +lnx- Να δειχθεί ότι η εξίσωση μία τουλάχιστον ρίζα στο (, 1 ) Το πεδίο ορισμού της f είναι το lim f x = lim xe x + ln x = Συνεπώς υπάρχει k (,1 ):f( k), + και ισχύει : + + x x f x = έχει 1 < και επίσης είναι f() 1 = 1e + ln1 = e > Η f είναι συνεχής στο [ k, 1 ], άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x στο ( k, 1 ) ( άρα και στο (,1) ) τέτοιο ώστε f( x ) = Κατηγορία Μέθοδος 6 Ο τρόπος με τον οποίο αντιμετωπίζουμε ασκήσεις που αφορούν το πρόσημο συνεχούς συνάρτησης υπαγορεύεται από τις επόμενες δύο προτάσεις Πρόταση 1 Αν για την συνεχή συνάρτηση f σε διάστημα Δ είναι f( x) για κάθε x Δ τότε η f διατηρεί το πρόσημο των τιμών της στο Δ

9 Συνέχεια συνάρτησης 119 Απόδειξη Έστω ότι η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο Τότε υπάρχουν κ, λ Δ με κ < λ ώστε f ( κ) f( λ) < Από το Θ Bolzano η f θα έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ( κ,λ ) που είναι άτοπο αφού f( x), για κάθε x Δ Πρόταση Το πρόσημο συνεχούς συνάρτησης μεταξύ δύο διαδοχικών της ριζών είναι σταθερό Η απόδειξη είναι όμοια με την πρόταση 1 Παράδειγμα 7 Αν η f είναι συνεχής στο R με f ( 3) = 4 και 5 4 f ( α) 5 x + 6x 3x + 4 Να δείξετε ότι im =+ x 3 f ( α) x + x Είναι im x 3 f ( α) x + x 9 συνεχής στο R και f ( 3) 4 f α 5 x 6x 3x 4 = κάθε x R άρα f ( α) f x, για κάθε x R f ( α) f α 5 im x =+ Διότι αφού η f είναι x = < και f( x) για κάθε x R < και θα είναι f ( α) f α 5 f α 5 < οπότε ο λόγος > f x < για Παράδειγμα 8 Για την f που είναι συνεχής στο R γνωρίζουμε ότι έχει τρεις ακριβώς ρίζες -1,, 5 και επίσης f( ) = 4, f = 3 και f( 4) = 1, Να βρεθεί το πρόσημο της f Το πρόσημο της f φαίνεται στον διπλανό πίνακα f 6 = 3 Κατηγορία Μέθοδος 7 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται η ύπαρξη x που πληρεί μια συνθήκη Θεωρούμε κατάλληλη συνάρτηση h η οποία υποδηλώνεται από τη ζητούμενη συνθήκη σε κατάλληλο κλειστό διάστημα Η ισχύς του ΘΒ για την h εξασφαλίζει την ύπαρξη του x που αναζητάμε

10 1 Συνέχεια συνάρτησης Παράδειγμα 9 Έστω οι συναρτήσεις f, g, συνεχείς στο [ α,β ] και g( x) για τα x [ α,β] υπάρχει ξ ( α,β) : f ξ = (1) g ξ ξ α ξ β Από την (1) έχουμε με απαλοιφή: Να δείξετε ότι f ( ξ)( ξ α)( ξ β) = g( ξ)( ξ β) + g( ξ)( ξ α) () Θεωρούμε την συνάρτηση h( x) = f( x)( x α)( x β) g( x)( x β) g( x)( x α) Η h είναι συνεχής στο [ α,β] ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων στο [ α,β ] και των ( x α, ) ( x β) που είναι επίσης συνεχείς h( α) = g( α)( α β) h( β) = g( β)( β α) = g( β) ( α β) Άρα h ( α) h( β) = g( α) g( β)( α β) < διότι ( α β) > και αφού g συνεχής στο [ α,β] και g( x) Από Θ Bolzano υπάρχει ξ ( α,β) τέτοιο ώστε οι (1), () είναι ισοδύναμες Παράδειγμα 1 g α,g β είναι ομόσημοι οπότε η g διατηρεί σταθερό πρόσημο Έστω f :[ α,α] [ α,α] συνεχής Να δειχτεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [ ] Έστω h( x) = f( x) x ορισμένη στο [ α,α] Ισχύουν επίσης: h( α) = f ( α) + α ( 1 ) h( α) = f ( α) α h ξ = άρα και f ξ = g ξ ξ α ξ β αφού x α, α ώστε f x = x Η h είναι συνεχής Επειδή το σύνολο τιμών της f είναι το [ α,α] για κάθε x [ α,α] ισχύει α f α α α f α α α f x α οπότε Από αυτές και τις (1), () φαίνεται ότι h( α) και h ( α) Οπότε (α) Εάν h( α) h( α) <, από το Θ Bolzano υπάρχει x ( α, α ) ώστε h ( x ) h α h α =

11 Συνέχεια συνάρτησης 11 h α = ή h α =, οπότε x (β) Εάν h( α) h( α) = τότε = α ή x Από (α), (β) λοιπόν αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x [ α,α] h( x ) = f( x ) x = f( x ) = x Παράδειγμα 11 Έστω f συνεχής στο [ 1, ] με f() 1 f = Να δείξετε ότι υπάρχει 3 1 θ 1, ώστε f ( θ) = f θ + 1 Πρέπει 1 θ+ οπότε ο θ είναι μικρότερος ή ίσος του Έστω g: 1, R με g( x) = f ( x) f x + 3 Η g είναι συνεχής στο 1, και ισχύει : = α ώστε: g() 1 = f() 1 f και g = f f = f f() 1 (υπόθεση) 3 3 Άρα g1 () g = f f1 () 3 3 (α) Αν g1 () g < τότε από το Θ Bolzano υπάρχει θ 1, ώστε g( θ) = 3 (β) Αν g1 () g = 3 τότε g1 () = ή g = άρα το θ είναι το 1 ή το 3 3 Από (α), (β) φαίνεται ότι υπάρχει θ 1, 1 g θ = f θ = f θ + με Κατηγορία Μέθοδος 8 Ασκήσεις που ζητείται η εύρεση του συνόλου τιμών μιας συνάρτησης που είναι συνεχής και γνησίως μονότονη κατά διαστήματα Τότε: Βρίσκουμε το σύνολο τιμών στα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη Η ένωσή τους μας δίνει το σύνολο τιμών της συνάρτησης Παράδειγμα 1 Για την συνάρτηση f γνωρίζουμε τον διπλανό πίνακα και im f ( x ) =, im f ( x) =+, imf ( x) =+ x x 1 f = 4, x + + x 1 im f x = 1 Να βρείτε το σύνολο τιμών της f

12 1 Συνέχεια συνάρτησης Για τα x (, 1) το σύνολο τιμών της f είναι B1 (, ) Για τα x ( 1,) το σύνολο τιμών της f είναι B ( 4, ) Για τα x [, + ) το σύνολο τιμών της f είναι B = 3 [ 4,1) Άρα το σύνολο τιμών της f είναι B B B = [ 4, + ) Κατηγορία Μέθοδος 9 Εφαρμογές των θεωρημάτων - Ενδιάμεσης τιμής - Μέγιστης και ελάχιστης τιμής Παράδειγμα = + = + Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ α,β ] και έστω x, x,, x [ α,β] ξ [ α,β] τέτοιο ώστε f ( ξ) 1 v f x f x f x 1 v = Η f ως συνεχής στο [ α,β ] έχει ελάχιστη τιμή μ και μέγιστη Μ Άρα ( 1 ) μ f x M μ f x M μ f x M Αφού ο αριθμός v + + f x f x 1 v v v Να δείξετε ότι υπάρχει είναι μεταξύ ελάχιστης (μ) και μέγιστης (Μ) τιμής συνεχούς συνάρτησης θα ανήκει στο σύνολο τιμών της και συνεπώς θα υπάρχει ξ [ α,β] f ξ + + f x f x 1 v = v ώστε Παρατήρηση: Αν η f σταθερή στο [ α,β ] τότε η ζητούμενη προς απόδειξη σχέση ισχύει για κάθε ξ [ α,β] Παράδειγμα 14 Έστω συνεχής συνάρτηση f:[α,β] R Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α,β) τέτοιο ώστε : f ( ξ) Προσθέτουμε και έχουμε: ( 1) ( v) f( x ) + + f( x ) + νf ( β) μf α = μ+ ν vμ f x + + f x vm μ με μ, ν > 1 v v M

13 Συνέχεια συνάρτησης 13 Η f ως συνεχής στο [α,β] έχει ελάχιστη και μέγιστη τιμή, έστω m και Μ αντίστοιχα m f α M Τότε : και επειδή μ, ν > m f( β) M Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε : μm μf α μm 1 νm νf β νm + νf ( β) μf α ( μ+ ν) m μf( α) + νf( β) ( μ+ ν) Μ m Μ μ+ ν Αν m < M τότε σύμφωνα με το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών υπάρχει + νf ( β) μf α ξ ( α,β) τέτοιο ώστε : f ( ξ) = μ+ ν Αν m = M τότε η f είναι σταθερή και το ξ μπορεί να είναι ένα οποιοδήποτε σημείο του διαστήματος [α,β] Παράδειγμα 15 x Δίνεται η συνάρτηση f με f( x) = lnx+ e και πεδίο ορισμού το (,1] i Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f x ii Να δειχθεί ότι η εξίσωση ln x + e = έχει μία ακριβώς ρίζα στο διάστημα (,1) i H f είναι συνεχής στο (,1] διότι είναι άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Επίσης είναι γνησίως αύξουσα στο (,1] διότι για κάθε x,x 1 (,1] με x1 < xισχύει ln x x < ln x 1 x και e < e, οπότε με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε : 1 x1 x ln x1+ e < ln x + e f x1 < f x που σημαίνει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,1] x 1 lim f x = lim ln x + e = και f() 1 = ln1+ e = + e= e Επειδή + + x x το σύνολο τιμών της f είναι : f( A) = ( lim f( x ),f( 1 ) = (,e] + x ii Το ανήκει στο πεδίο τιμών της f Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x (,1] ισχύει : f( x ) = και επειδή x 1έπεται ότι x (,1) άρα το x είναι μοναδικό Γ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Να αποδειχθεί ότι εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano στη συνάρτηση : 3x + x + 1, x f ( x) = στο διάστημα [-,1] x 3x + 1, < x 1 (3) τέτοιο ώστε να Όμως η f είναι γνησίως αύξουσα

14 14 Συνέχεια συνάρτησης Η f είναι συνεχής στο [, ) (,1] σαν πολυωνυμική Επειδή im f ( x) = 1 = im f ( x) = f, η είναι συνεχής και στο x = + x x f = 9 και f() 1 1 Άρα εφαρμόζεται το Θ Bolzano στο διάστημα [-,1] Άρα είναι συνεχής στο [,1] Ισχύει f f 1 = 9< = οπότε Άσκηση Να δειχτεί ότι η εξίσωση 3συνx-x-= έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο π π -, π π Έστω f ( x) = 3συνx x ορισμένη στα διαστήματα, και, π Η f είναι συνεχής στα, και π, και ισχύουν : π π 4 π π 4 f f = 1< ενώ f f = 1 < π Άρα υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, και μια τουλάχιστον ρίζα στο, π π π Τελικά υπάρχουν δύο τουλάχιστον ρίζες στο, Άσκηση 3 Έστω f :[ α,β] R με α f ( x) β τέτοια ώστε για κάθε x, y [ α,β] f( x) -f( y) κx-y, με κ (,1) i Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο [ α,β ] ii Δείξτε ότι υπάρχει μοναδικός [ ] i Για y = x τυχαίο έχουμε: x α, β ώστε f x = x f( x) f( x) x x x x f( x) f( x) x x Εφαρμόζοντας το κριτήριο παρεμβολής έχουμε imf( x) = f( x ) x x είναι συνεχής στο x [ α,β] δηλαδή συνεχής στο [ α,β] ii Έστω g( x) = f( x) x ορισμένη στο [ α,β ] και συνεχής Επειδή g( α) g( β) ( f( α) α) ( f( β) β) κ κ κ να ισχύει Άρα προκύπτει ότι η f = (από την υπόθεση), σύμφωνα με το Θ Bolzano

15 Συνέχεια συνάρτησης 15 x α,β ώστε g x = f x = x Η μοναδικότητα του x θα εξασφαλιστεί από την μονοτονία της g g( x1) g( x) f( x1) x1 f( x) + x f( x1) f( x) Είναι λ = = = 1 1 x x x x x x θα υπάρχει [ ] Από τη δοθείσα είναι: f( x1) f( x) f( x1) f( x) f( x1) f( x) κ κ κ κ 1 1 κ 1 x x x x x x g x1 g x Όμως κ< 1 κ 1< άρα x1 x < δηλαδή η g είναι γνησίως φθίνουσα Σχόλιο Μια άλλη απόδειξη της μοναδικότητας είναι η εξής: f ρ ρ f ρ = ρ Έστω ότι υπάρχουν δύο αριθμοί ρ 1, ρ με την ιδιότητα = και Τότε η σχέση για x = ρ1 και y = ρ γίνεται: f ρ f ρ κ ρ ρ 1 1 ρ ρ κ ρ ρ κ που είναι άτοπο από την υπόθεση Άρα υπάρχει ακριβώς ένα () x τέτοιο ώστε f( x ) = x Άσκηση 4 f x = x 3x+ h x για κάθε x R όπου h είναι συνεχής συνάρτηση στο R Έστω Αν οι αριθμοί 1, είναι διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης f( x) =, να αποδειχθεί ότι h1 () h Έστω h1 () h < Επειδή η h είναι και συνεχής συνάρτηση h στο [ 1, ] και πληρεί τις προυποθέσεις του Θ Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον x ( 1, ) ώστε h( x) = Τότε όμως f( x) = ( x 3x + ) h( x) f( x) = Άρα το x ( 1,) είναι ρίζα της f, άτοπο αφού η f έχει τους 1, διαδοχικές ρίζες Οπότε δεν ισχύει η h1 () h < και συνεπώς ισχύει h1 () h Άσκηση 5 Έστω συναρτήσεις f και g ορισμένες και συνεχείς στο διάστημα [α,β] με σύνολο τιμών το [α,β] και α διάφορο του μηδενός

16 16 Συνέχεια συνάρτησης Αν είναι γνωστό ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο ξ α,β βf ξ + αg ξ = ξα+ β [α,β], να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε Θεωρούμε τη συνάρτηση h( x) βf ( x) αg( x) x( α β) = + +, που είναι συνεχής στο [α,β] ως άθροισμα συνεχών Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] και το σύνολο τιμών της είναι το [α,β] θα είναι f ( α) = α και f( β) = β (1) Eπειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [α,β] και το σύνολο τιμών της είναι το [α,β] θα είναι g( α) = β και g( β) = α () Είναι: h ( α) = βf( α) + αg( α) α( α+ β) ()( = ) βα+ αβ α( α+ β) = α( β α) 1, 1, () = + + = + ( + ) = ( ) h β βf β αg β β α β β α β α β α β α Οπότε h α h β = α β α α β α = α β α < Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α,β) h( ξ ) = βf ( ξ) + αg( ξ) = ξ( α+ β) Άσκηση 6 Έστω f:r συνεχής με 3 R f x = x + αx + β και α+ β< 1 με β > Να δειχτεί ότι η εξίσωση f( x) = έχει τρεις ακριβώς ρίζες στο R Η f είναι συνεχής στο R Ισχύουν : f = β >, f ( 1) = 1+ α + β <, και x x x x Από το πρώτο όριο, υπάρχει x1 1 ώστε f ( x1) x < ώστε f ( x ) < Στα διαστήματα [ x,, ] [,1, ] [ 1,x ] im f x im x και im f x im x 3 3 = = + = = + + τέτοιο ώστε > > και από το δεύτερο όριο υπάρχει 1, η f πληρεί τις προϋποθέσεις του Bolzano άρα υπάρχουν τρεις τουλάχιστον ρίζες, μια σε κάθε ένα από τα διαστήματα Επειδή όμως η f είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού, έχει το πολύ τρεις πραγματικές ρίζες Τελικά οι ρίζες είναι ακριβώς τρεις Άσκηση 7 3 Να δειχθεί ότι η εξίσωση x + λx = με λ > έχει μόνο μια πραγματική ρίζα 3 Έστω f ( x) = x + λx ορισμένη στο [, ] (εδώ δεν αναφέρεται το διάστημα, οπότε το βρίσκουμε κάνοντας δοκιμές)

17 Συνέχεια συνάρτησης 17 Η f είναι συνεχής στο [, ] και f f = ( λ + 6) < Άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον x (, ) ώστε f ( x ) = Επειδή όμως η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR, η ρίζα είναι μοναδική Σημείωση : Για την μονοτονία της f έχουμε : f( x ) f x = x + x x + x + λ > x x1 (τριώνυμο με αρνητική Διακρίνουσα) Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα Άσκηση 8 κ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x -x+1=με κ >1 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, 1) κ Έστω P( x) = x x+ 1 Παραγοντοποιούμε το πολυώνυμο και έχουμε: κ κ κ 1 P x = x x+ 1= x x x+ 1= x x 1 x 1 = κ κ 3 = x x 1 x + x + + x+ 1 x 1 = κ 1 κ ( x 1)( x x x x 1 ) () 1 = κ 1 κ Θεωρούμε την συνάρτηση π με π( x) = x + x + + x 1 η οποία είναι συνεχής στο [,1] με π = 1 και () π 1 = = κ = κ 1 > (από την υπόθεση) κ 1 Από το Θ Bolzano υπάρχει x (,1) ώστε ( ) στο (,1) Άσκηση 9 π x = Άρα η (1) έχει μια τουλάχιστον ρίζα Έστω f συνεχής στο [α,β] με α < β και x 1,x,,xv [ α,β] v( v+1) Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ [ α,β ] ώστε f ( ξ ) = f ( x ) + f ( x ) + + v f ( x ) 1 v Η f είναι συνεχής στο [ α,β ], οπότε παρουσιάζει ελάχιστη και μέγιστη τιμή m, M αντίστοιχα Δηλαδή: m f( x1) M, m f ( x ) M, 3m 3f ( x ) 3M,, vm vf ( x ) vm Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω ανισώσεων έχουμε: v v+ 1 v v+ 1 m f ( x1) + f ( x ) + + v f ( x v) M ( 1) ( v) v( v+ 1) f x f x v f x m M 3 v

18 18 Συνέχεια συνάρτησης Από το Θ ενδιάμεσων τιμών θα υπάρχει ξ στο διάστημα [ α, β ] ώστε ( 1) ( v) ( + ) f x + + v f x v v + 1 f ( ξ ) = f ξ = f x + f x + + v f x v v 1 Άσκηση 1 Έστω κ,λ,μ R με κ και μ + μλ+κμ < Να δειχθεί ότι 1 v Έστω f ( x) = κx + λx + μ με κ ορισμένη και συνεχής στο [,1 ] Είναι f f( 1) = μ( κ+ λ+ μ) = κμ + λμ+ μ < Άρα θα υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα x της f στο Άρα Δ λ 4κμ λ 4κμ () 1 λ > 4κμ,1 Οπότε κx + λx + μ = λ Αν ήταν Δ = τότε η f( x) = θα είχε διπλή ρίζα άρα f( x) = κ x+ κ 1 λ Αλλά τότε f f( 1) = ( κ+ λ), άτοπο Άρα από την (1) ισχύει 16 κ Άσκηση 11 Έστω f:r R, συνεχής συνάρτηση με f() 3 + f() 5 + f() 7 = (1) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f( x) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα λ > 4κμ Αν f () 3 = ήf() 5 = ή f() 7 = τότε είναι προφανές το ζητούμενο Αν f() 3 f() 5 f() 7, δηλαδή κανένας απο τους όρους του γινομένου δεν είναι, προκύπτει απο την (1) ότι δύο τουλάχιστον απο τους f() 3,f() 5,f() 7 είναι ετερόσημοι Έτσι αν f() 3 f() 5 < προκύπτει απο το θεώρημα του Bolzano ότι η εξίσωση f( x) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( 3, 5 ) f 3 f 7 <, προκύπτει πάλι απο το θεώρημα του Bolzano Ομοίως αν f() 5 f() 7 < ή () () ότι η εξίσωση f( x) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διαστήμα ( 5, 7 ) ή ( 3, 7 ) αντίστοιχα Άσκηση 1 x Έστω f: [,1] R με f ( x) = x Να βρεθεί το σύνολο των τιμών της f και να ορίσετε την f

19 Συνέχεια συνάρτησης 19 Η f είναι συνεχής στο [,1 ] και γνησίως αύξουσα στο [,1 ](αποδεικνύεται με τον λόγο μεταβολής) 1 Άρα f ( A) = f( ), f( 1) =, 11 Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και 1-1, 1 1 οπότε ορίζεται η f :, 1 R 11 Για την εύρεση του τύπου της f λύνουμε την εξίσωση x y = ως προς x Έχουμε y f 1 y = με y [,1) x y Άσκηση 13 Έστω f :[ α,β] Ζ συνεχής με α < β, α,β R Να δειχθεί ότι η f είναι σταθερή Έστω ότι η f δεν είναι σταθερή άρα θα υπάρχουν δύο αριθμοί κ,λ [ α,β] με κ<λ ώστε f ( κ) f( λ) Επειδή η f είναι συνεχής στο[ κ,λ ], από το Θ ενδιάμεσων τιμών η f παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f ( κ, ) f( λ ) οι οποίοι είναι ακέραιοι λόγω του πεδίου τιμών Μεταξύ όμως δύο ακεραίων αριθμών υπάρχουν και ρητοί και άρρητοι Άρα θα υπάρχει ( κ,λ) τέτοιο ώστε το f( x ) να μην είναι ακέραιος Αυτό είναι άτοπο γιατί το σύνολο x τιμών είναι το Z Δ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 3x 1, x 1 = x + 1, x > 1 i Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη συνέχεια 1 Δίνεται η συνάρτηση f με f( x) ii Να δειχθεί ότι υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της f( x) = στο ( Υπ: i Εξετάστε την συνέχεια στο x 1, = και δείξτε ότι είναι συνεχής στο R, ii Εφαρμόστε το ΘΒ στο [, ]) Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση f στο διάστημα [,8] για την οποία ισχύουν : f = 1, f =, f( 4) =, f( 6) = 4, f( 8) = 1 i Να βρείτε πόσες τουλάχιστον φορές η γραφική παράσταση της f θα τέμνει τον άξονα x x στο διάστημα (, 8 ) ii Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα [,] και [4,6] και γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [,4] και [6,8] να βρείτε πόσες ρίζες θα έχει η εξίσωση f( x) = (Υπ: i Εφαρμόστε το ΘΒ στα [, ], [,4 ], [ 4,6 ], [ 6,8 ] Απ: i 4 τουλάχιστον φορές ii Ακριβώς 4)

20 13 Συνέχεια συνάρτησης 3 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] με f ξ f β + f α τέτοιο ώστε : = ξ α β α f α Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α,β) (Υπ:Βλέπε Μέθοδος 1 Εφαρμόστε το Θ Β στην συνάρτηση h( x) = f( x)( β α) ( x α) ( f( β) + f( α) ) στο [ α,β ]) 4 Να δείξετε ότι κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα Να δειχθεί ότι η εξίσωση = έχει μια τουλάχιστο ρίζα σε x 1 x x 3 x v καθένα από τα διαστήματα ( 1, ), (,3 ),( v 1, v) (Υπ:Κάνετε απαλοιφή παρανομαστών και εφαρμόστε το ΘΒ σε καθένα από τα διαστήματα [ 1, ], [,3 ],, [ ν 1,ν] ) 4 6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x + ( κ+ λ 5) x+ 1= έχει μια τουλάχιστο ρίζα στο εάν κ+ λ = 1 (Υπ:Εφαρμόστε ΘΒ στο [,1 ] και δείξτε ότι f f() 1 < με τη βοήθεια της σχέσης κ+ λ= 1) 7 Έστω f :[ α,α] R συνεχής με x + f ( x) = α για κάθε x [ α,α] διατηρεί πρόσημο στο ( α,α),1, Να δείξετε ότι η f (Υπ:Παρατηρήστε ότι f( x) = όταν x =± α : Υποθέστε ότι δεν διατηρεί πρόσημο στο ( α,α) και καταλήξτε σε άτοπο) f x = x + συν x + ημ x παίρνει την τιμή 4 8 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 3 π 5π για κάποιο x (, 1) 9 Να δειχθεί ότι η εξίσωση (Υπ:Παρατηρήστε ότι f( ) < 4< f( 1) και εφαρμόστε ΘΕΤ) 3 x 3x 1, + = έχει δύο μόνο ρίζες στο διάστημα (Υπ:Δείξτε ότι έχει μια τουλάχιστον ρίζα στα διαστήματα (,), (,1 ), ( 1, ) οπότε αφού είναι 3 ου βαθμού θα έχει δύο ακριβώς ρίζες στο (, )) 1 Να δειχθεί ότι η εξίσωση + = x n x x nx 1, e έχει μια τουλάχιστο ρίζα στο (Υπ:Εφαρμόστε ΘΒ στο [ ] 1, e για την h x = x n x + x nx ) 11 Έστω f, g συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α,β] με : α f ( x) β και α g( x) β

21 Συνέχεια συνάρτησης 131 Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο x [ α,β] τέτοιο ώστε : fog x + gof x = x (Υπ:Θεωρήστε την h( x) = fog( x) + gof ( x) x = fog( x) x + gof ( x) x και εφαρμόστε το Θ Bolzano στο [ α,β ] Προσέξτε τις περιπτώσεις x = α ή x = β ) 1 Έστω f, g συνεχείς στο R με f( x) g( x) και έστω ότι υπάρχουν α,β R ώστε f ( α) = α και g( β) = βνα αποδειχθεί ότι υπάρχει R ώστε f ( γ) g γ + γ = γ (Υπ:Θεωρήστε τη συνάρτηση h( x) = f( x) + g( x) x και εργαστείτε όπως στη μέθοδο) 13 Έστω f, g συνεχείς στο [ α,β ] και η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α( α,β ) και Β( β,α )Αν ισχύει για κάθε x R ότι α < g( x) < β, να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις f και g έχουν ένα τουλάχιστο κοινό σημείο (Υπ:Παρατηρήστε f ( α) 14 Έστω η συνάρτηση = β και f ( β) = α Αρκεί να δείξετε ότι f( x ) = g( x ) και εφαρμόστε το Θεώρημα του Bolzano στο [ α,β ]) f x = x 3 nx x+ Να εξεταστεί αν ο αριθμός, είναι τιμή της συνάρτησης (Υπ:Θεώρημα Bolzano σε διάστημα [ 3,θ ] Αρκεί f ( θ) > (πχ θ = e )) 15 Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [,α] με f () = f (α) i Να δειχθεί ότι η ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: α h x = f x f x+ είναι συνεχής στο α, α f x f = x+ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα α, α (Υπ:i Αν x, τότε α α x +,α άρα h( x ) καλά ορισμένη και συνεχής α ii Εφαρμόστε το Θ Bolzano για την h( x ) στο, ) 16 Έστω f, g συνεχείς συναρτήσεις στο [,1 ], η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,1 ] και g( x) 1 για κάθε x [,1] Να δείξετε ότι υπάρχει ξ [,1] ώστε f( g( ξ) ) + g( ξ) = f( ξ) + ξ (Υπ:Θεωρήστε την h( x) = f( g( x) ) + g( x) f( x) x και εφαρμόστε το Θ Bolzano στο [,1 ]) 17 Έστω η συνάρτηση f περιττή και συνεχής στο [ π, π] Να δείξετε ότι υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της f( x) = στο [ π, π] (Υπ: Εφαρμόστε Θ Bolzano στο [ π,π] f x = f x ) λαμβάνοντας υπ όψιν ότι αφού f περιττή

22 13 Συνέχεια συνάρτησης 18 Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [ 3,3] Να δείξετε ότι αν f() 1 > και για κάθε x (,) ισχύει x + 5f ( x) = 8 τότε για κάθε x (,) είναι f( x) > (Υπ: Δείξτε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (,) και αφού f() 1 > τότε f( x) > για κάθε x ( 3,3) ) 19 Να βρείτε το σύνολο τιμών της f ( x) = ημx+ 1, π x, 6 π Aπ: f, = [ 1,) 6 Αν f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [,1 ] και f = 1, f() 1 = να δείξετε ότι υπάρχει f f f f x,1 τέτοιο ώστε f( x ) = (Υπ: Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,1 ] τότε f < f( x) < f( 1) 1< f( x) < Εφαρμόστε f f f f ΘΕΤ αφού δείξετε ότι 1< < ) 4 1 Αν η f συνεχής στο [ 1, 3 ] να δείξετε ότι υπάρχει x [ ] 1,3 τέτοιο ώστε: f() 1 + f + 3f() 3 f( x ) = 6 (Υπ:Εφαρμόστε ΘΕΤ στο [ 1,3 ] λαμβάνοντας υπ όψιν ότι αφού η f είναι συνεχής στο [ 1,3] έχει ελάχιστη τιμή m και μέγιστη Μ) Η ανάβαση από μια ομάδα προσκόπων στην κορυφή ενός βουνού κ από πόλη Π που βρίσκεται στους πρόποδες του βουνού γίνεται μια μέρα από τις 8: έως τις 16: Η κατάβαση γίνεται την άλλη μέρα τις ίδιες ώρες και από το ίδιο μονοπάτι Να δείξετε ότι υπάρχει μια χρονική στιγμή t που η ομάδα βρίσκεται στο ίδιο σημείο κατά την ανάβαση και κατά την κατάβαση (Υπ:Θεωρήστε s () () 1 t,s t τις συναρτήσεις θέσης κατά την ανάβαση και την κατάβαση αντίστοιχα και εφαρμόστε Θ Bolzano στην συνάρτηση h() t = s() () 1 t s t στο [ 8,16 ] Λάβετε υπ όψιν σας ότι οι συναρτήσεις θέσεις είναι συνεχείς εξ ορισμού Λάβετε υπ όψιν σας επίσης ότι s 1 16 = s 8 και s () 8 = s ( 16) ) 1 Ε ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Έστω f συνεχής στο [ α,β ] με f ( α ) + f ( β ) = α + β Να δειχτεί ότι υπάρχει x ( α,β ) ώστε = f x -β f x -α x -α x -β

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες)

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες) A ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) 1 Σκοποί Στόχοι α Σκοποί: Οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x0 (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x0)=ξ. Μονάδες 15

τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x0 (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x0)=ξ. Μονάδες 15 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΘΕΜΑ o Α Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και f(α)f(β), τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρία, Μεθοδολογία και Ασκήσεις Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης Αθήνα Περιεχόμενα ΕΝΟΤΗΤΑ η:... ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... ΕΝΟΤΗΤΑ η: ΟΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ -3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (o Γ Λυκείου).Να βρεθούν οι τιμές των α, β R ώστε: Α) τα σημεία (, ),(, ) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης α +β. Β)τα σημεία ( 0, ),( e, ) να ανήκουν στην γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) = ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΟΡΙΟ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος 31. e 3 = 0. e + e 3, x R.

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος 31. e 3 = 0. e + e 3, x R. ΜΑΘΗΜΑ.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις Εξισώσεις Θεωρητικές Συνέχεια του µαθήµατος ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε την εξίσωση Η εξίσωση γράφεται e + e e 0 Προφανής ρίζα Θεωρούµε τη συνάρτηση f()

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πρακτικές και καινοτομίες στην εκπαίδευση και στην έρευνα. Χρόνης Χ. Παναγιώτης pachronis@gmail.com Περίληψη Στόχος της εργασίας αυτής είναι να καταδείξει

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι) Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα