= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θέµα α) (µ) Θεωρούµε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουλίου 3 (διάρκεια: 3 ώρες και 3 λ) ιαβάστε προσεκτικά και απαντήστε αιτιολογηµένα στα παρακάτω 5 Θέµατα V z z 3 {( ) R + } και ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3 W z z 3 {( ) R + + } υποχώρους του R 3 ) Βρείτε µία βάση και την διάσταση του V ) Βρείτε µία βάση και την διάσταση του W ) Βρείτε µία βάση και την διάσταση για την τοµή W V Ισχύουν οι σχέσεις W+V R 3 W V R 3 ; β) (µ) Θεωρούµε το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο στον R 4 και U sp{( ) ()} υπόχωρο του R 4 ) Βρείτε µια βάση και τη διάσταση του U ) Βρείτε µια ορθοκανονική βάση του U ) Να βρεθεί η ορθή προβολή του τυχόντος διανύσµατος w ( 3 4 ) του R 4 στον U ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) ) Η εξίσωση + z ισοδυναµεί µε + z οπότε το τυχόν διάνυσµα του V γράφεται ( + z z) ( ) + ( z z) ( ) + z() Συνεπώς µία βάση του V είναι το Β {( ) ( )} καθώς από την τελευταία σχέση έχουµε άµεσα την γραµµική ανεξαρτησία του Β Η διάσταση είναι ) Παρόµοια µία βάση του W είναι το σύνολο {( -) (-)} και η διάσταση του W είναι 3 ) Για την τοµή: W V {( z) R + z και + + z } Μία βάση βρίσκεται από την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του πίνακα συντελεστών του γραµµικού οµογενούς συστήµατος που ορίζει τα 4 στοιχεία της τοµής: και είναι {( 4-3 ) } Η διάσταση 3 3 είναι Επειδή dm (W +V)dm W +dmv- dm (W V)+-3 W +V R 3 επειδή όµως W V {} δεν είναι ευθύ το άθροισµα β) ) α διανύσµατα που παράγουν τον U u ( ) u ( ) είναι γραµµικά ανεξάρτητα καθώς ( ) + ( ) ( ) ( + + ) () Συνεπώς µια βάση του U είναι το σύνολο { u u } ) Στην βάση { u u } εφαρµόζουµε τη µέθοδο Grm-Shmdt (τυπολόγιο) και βρίσκουµε µία ορθογώνια βάση ως εξής (χρησιµοποιούµε ότι u u και ) u u 4 : u v v u ( ) v u v ( ) ( ) και διαιρώντας µε τα µέτρα 4 v v v ( ) () έχουµε µία ορθοκανονική βάση του U : Β{ } v v ) Για την ορθή προβολή u του w ( 3 4) στον U έχουµε: < w > ( + 3 4) s s s < w > ( ) s οπότε u s + s ( ) + () s + s s + s s + s s + s ( )

2 Θέµα α) (µ) Θεωρούµε τον γραµµικό µετασχηµατισµό f ( z) ( + z + + z + ) του R 3 ) Γράψτε τον πίνακα αναπαράστασης Α του f ως προς την συνήθη βάση του R 3 ) Βρείτε βάση και διάσταση για τον πυρήνα Kerf και την εικόνα Imf ) Βρείτε την τιµή της ορίζουσας του πίνακα Α v) Ισχύει ότι R 3 Kerf Imf ; / β) (µ) ίνεται ο πίνακας Α / ) Βρείτε διαγώνιο πίνακα και αντιστρέψιµο πίνακα Ρ ώστε Α Ρ Ρ ) Βρείτε τον Α για κάθε φυσικό αριθµό ) Ποιά είναι τα όρια των ακολουθιών των στοιχείων του πίνακα Α καθώς ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) / 3 A Βρίσκουµε την ΑΚΜ: A 3 / 3 / 3 3 Από την ΑΚΜ του Α έχουµε: Aφού για τις λύσεις του συστήµατος ΑΧ έχουµε Χ ( - z/3 z /3 z) z ( - 3) /3 µία βάση για τον πυρήνα Kerf είναι το µονοσύνολο { (- 3)} και dm Kerf Aφού τα οδηγά στοιχεία στην ΑΚΜ του Α βρίσκονται στην η και η στήλη µία βάση για την εικόνα Imf : είναι { ( ) (- ) } και dm Imf Καθώς ο πυρήνας είναι µη µηδενικός η ορίζουσα του Α είναι µηδέν Γνωρίζουµε (και άµεσα επαληθεύουµε) ότι dmr 3 dm Kerf + dm Imf Καθώς ο πυρήνας είναι µονοδιάστατος για να ισχύει ότι R 3 Kerf Imf πρέπει και αρκεί το στοιχείο της παραπάνω βάσης του πυρήνα (- 3) να µην ανήκει στην Imf Από την ΑΚΜ του πίνακα µε δύο πρώτες στήλες τις συντεταγµένες των στοιχείων της βάσης της εικόνας και τρίτη στήλη τις συντεταγµένες του στοιχείου της βάσης του πυρήνα συµπεραίνουµε ότι η παραπάνω βάση του πυρήνα περιέχεται στην εικόνα Συνεπώς ο πυρήνας είναι υπόχωρος της εικόνας και ο R 3 δεν γράφεται ως ευθύ άθροισµα του πυρήνα και της εικόνας της f β) / ) Για τον πίνακα A το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι: / / λ det (/ λ )( λ ) / λ λ / / ( λ )( λ+ / ) µε ρίζες (ιδιοτιµές του Α): -/ / λ / / Για λ : A Ι βάση ιδιοχώρου / / Για την ιδιοτιµή λ -/: A+Ι/ (ήδη σε ΑΚΜ) βάση ιδιοχώρου / / Για τις δυνάµεις Α καθώς A P P µε P P 3 / ( / ) A P P ( / ) 3 3 ( / ) + ( / ) ( / ) που όταν θεωρήσουµε τα όρια των στοιχείων καθώς τείνει στο άπειρο 3 ( / ) + ( / ) τείνει στον πίνακα 3 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

3 Θέµα 3 3α) (8µ) Υπολογίστε τα όρια των επόµενων ακολουθιών (ενδεχοµένως µε χρήση κανόνα Hôptl για το όριο της αντίστοιχης πραγµατικής συνάρτησης): () () + () + + l (v) d + 3β) (µ) Εξετάστε τη σύγκλιση των παρακάτω σειρών (για κάθε τιµή του πραγµατικού σε περίπτωση δυναµοσειράς): () ΑΠΑΝΤΗΣΗ + 5 () + () (v) α) () e e + + e + () Ακολουθία θετικών όρων < άρα η είναι µηδενική ( + ) ( + ) + () l (v) d Επειδή + + l lm + + l ( + ) ( + ) άρα και lm d από τον κανόνα Hôptl έχουµε: 3β) () + 5 Με κριτήριο λόγου ( + ) ( + ) έχουµε ότι η σειρά συγκλίνει για < δηλαδή < 5 και αποκλίνει για >5 Αρα συγκλίνει για όλα τα στο ανοικτό διάστηµα 5 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

4 (-55) και αποκλίνει για όλα τα στα διαστήµατα (- 5) και (5 + ) Εξετάζουµε στα άκρα του διαστήµατος [-5 5]: αν 5 τότε η σειρά γίνεται + και αποκλίνει (απειρίζεται θετικά) και αν 5 τότε η σειρά γίνεται + και αποκλίνει (ταλαντώνεται ) Τελικό συµπέρασµα: συγκλίνει για στο διάστηµα (-55) και αποκλίνει παντού αλλού () + εναλλάσσουσα σειρά Η ακολουθία είναι φθίνουσα αφού < < + < < + < + Αρα εφαρµόζοντας το κριτήριο etz η σειρά συγκλίνει Επιπλέον () έχουµε είναι σειρά θετικών όρων Ο γενικός όρος + + 5/ 5/ + + 3/ + + 3/ 5/ + + συγκρίνεται µε τον 3/ : + + Αρα από κριτήριο σύγκρισης αφού η σειρά συγκλίνει ως p-σειρά µε p> η αρχική σειρά συγκλίνει 3/ (v) : η σειρά συγκλίνει ως γεωµετρική µε λόγο ½ Η σειρά αποκλίνει (αρµονική ή p-σειρά µε p) Άρα η αρχική αποκλίνει ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

5 Θέµα α) (µ) ίνεται η συνάρτηση f 6 5 )Υπολογίστε τις παραγώγους ης και ης τάξης της f και βρείτε τα διαστήµατα όπου διατηρούν πρόσηµο ) Βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η f : είναι αύξουσα είναι φθίνουσα στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ) Βρείτε όλα τα σηµεία: µηδενισµού ακροτάτων τιµών (τοπικών ολικών) καµπής της f v) Βρείτε τα όρια lm f lm + f και το σύνολο τιµών της f v) είξτε ότι η εξίσωση f ( ) έχει ακριβώς µία (πραγµατική) λύση στο διάστηµα [ ] 3 (Σηµείωση: δεν ζητείται εύρεση της λύσης αυτής) 4β) (8µ) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα ) ) π s( ) d για κάθε φυσικό + e d ΑΠΑΝΤΗΣΗ 4α) ) Υπολογίζουµε τις παραγώγους της f 6 5 : f 3 3 f 5 και παραγοντοποιούµε για να προσδιορίσουµε σηµεία µηδενισµού και πρόσηµα: f (6 5 ) f 3 ( ) f 3 (4 5 ) Σχηµατίζουµε τον παρακάτω πίνακα προσήµων: 4/5 6/ f f + f σκ από τον οποίο συµπεραίνουµε ότι: + σκ + f() τµ + ) η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (- ] είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [ +) στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο διάστηµα [ 4/5] και στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στα διαστήµατα (- ] και [4/5 +) ) η f µηδενίζεται στα σηµεία και 6/5 παίρνει ολικό (και τοπικό) µέγιστο την τιµή στο και παρουσιάζει σηµεία καµπής για και 4/5 6 6 v) lm f lm ( 5) ( +)( 5) Παρόµοια lm + f lm + ( 5) ( +)( 5) Από τα όρια αυτά την συνέχεια της f της παραπάνω µονοτονίας και του ολικού µεγίστου συµπεραίνουµε ότι το σύνολο τιµών της f είναι το διάστηµα (- ] 6 6 v) Στο διάστηµα [] η f ως γνησίως αύξουσα είναι - Αρα αν υπάρχει λύση της εξίσωσης αυτή θα είναι µοναδική Επιπλέον f() και f() οπότε λόγω συνεχείας και καθώς < /3 < υπάρχει στο ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

6 διάστηµα () όπου η f παίρνει την τιµή /3 Ετσι συµπεραίνουµε ότι η εξίσωση f ( ) έχει 3 5 µοναδική λύση µεταξύ και β) ) os os os os s d d d + os d os s + Αρα για το ζητούµενο ορισµένο ολοκλήρωµα χουµε π os s π os( π ) s( π ) π s d + + () ) Το αόριστο ολοκλήρωµα υπολογίζεται ως εξής: Οπότε π e d µε την αντικατάσταση για [ ) u du u u + e d e e du e + C e + C + e d lm lm lm + e d + e + e e ( lm e ) + ( ) u du d ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

7 Θέµα 5 5α) (6µ) ύο µηχανές Α Β παράγουν τα ίδια προϊόντα Οι παραγόµενες ποσότητες προϊόντων είναι ίσες για τις δύο µηχανές Είναι όµως γνωστό από προηγούµενη πείρα ότι το % της παράγωγής της Α είναι ελαττωµατικά προϊόντα ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για την Β είναι 5% Αν πάρουµε ένα προϊόν µε τυχαίο τρόπο να βρεθεί η πιθανότητα: ) να είναι ελαττωµατικό ) να προέρχεται από την Α αν γνωρίζουµε ότι είναι ελαττωµατικό 5β) (4 µονάδες) Ο χρόνος ζωής σε έτη µιας µηχανής ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή έτη και τυπική απόκλιση έτη ) Ποιά η πιθανότητα η διάρκεια ζωής να είναι µεταξύ 8 ετών και ετών ; ) Ποιά η πιθανότητα η διάρκεια ζωής να είναι τουλάχιστον 5 έτη ; ) Ποιά είναι η τιµή q ώστε το γεγονός «η διάρκεια ζωής µιας µηχανής υπερβαίνει την τιµή q» έχει πιθανότητα ίση προς 9 ; v) Ποιά είναι η πιθανότητα από 4 µηχανές οι το πολύ να έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 5 έτη; (Σηµείωση: δεν απαιτείται να υπολογίσετε το τελικό αριθµητικό αποτέλεσµα) ίνονται: Φ() 843 Φ(5) 9938 Φ(8) 9 5α) Συµβολισµός: E το ενδεχόµενο ένα προϊόν να είναι ελαττωµατικό A το ενδεχόµενο ένα προϊόν να προέρχεται από την µηχανή Α B το ενδεχόµενο ένα προϊόν να προέρχεται από την µηχανή Β Έχουµε P( A ) 5 P( B ) 5 και υπολογίζουµε: ) Εχουµε την διαµέριση E ( E A) ( E B) οπότε P( E) P( E A) + P( E B) P( E A) P( A) + P( E B) P( B) ) Για να βρούµε την πιθανότητα P( A E ) εφαρµόζουµε τον τύπο του Bes και έχουµε: P( E A) P( A) () (5) P( A E) P( E) β) Σύµφωνα µε την εκφώνηση ο χρόνος ζωής σε έτη της µηχανής είναι µια τυχαία µεταβλητή X η οποία ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ και σ Συνεπώς η τυποποιηµένη X τυχαία µεταβλητή Z ακολουθεί την τυπική κανονική κατανοµή N () : ) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να είναι µεταξύ 8 έτη και έτη είναι 8 X P(8 X ) P P( Z ) Φ() Φ( ) Φ() [ Φ ()] Φ() ) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να είναι τουλάχιστον 5 έτη είναι X 5 P( X 5) P P( Z 5) P( Z < 5) [ P( Z < 5)] P( Z < 5) Φ (5) 9938 ) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να υπερβεί τα q έτη είναι X q q q q P( X q) P P Z P Z > > > Φ q q Θέλουµε P( X > q) 9 δηλαδή Φ 9 Φ το οποίο ισοδύναµα δίνει q q q Φ 9 Φ Φ(8) 8 q+ 56 q 744 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

8 v) Εστω Y ο αριθµός των µηχανών (από τις 4) οι οποίες θα έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 5 έτη Τότε η τυχαία µεταβλητή Y ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή µε 4 δοκιµές (συσκευές) πιθανότητα επιτυχίας (να έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 5 έτη) p P( X 5) 9938 (ερώτηµα ) και πιθανότητα αποτυχίας q p ηλαδή Y ~ B( p) B(49938) Έτσι για P( Y ) p q p ( p) Η πιθανότητα να έχουµε το πολύ επιτυχίες σε 4 δοκιµές ισούται προς P( Y ) P( Y ) P( Y ) P( Y ) p ( p) p ( p) p ( p) ΤΕΛΟΣ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

9 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ο ανάστροφος πίνακας ενός m πίνακα A [ j ] σηµειώνεται µε A [ j ] (δηλαδή οι γραµµές γίνονται στήλες και αντίστροφα) Ιδιότητες: ( A ) A ( A+ B) A + B ( λ A) λ A λ R ( AB) B A Ένας m πίνακας A [ j ] ονοµάζεται συµµετρικός όταν ισχύει j δηλ A A j Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα A [ j ] (όταν υπάρχει) συµβολίζεται µε ισχύει AA AA I Ιδιότητες: Αν Α Β αντιστρέψιµοι πίνακες A A A A A και ( AB) B A ( A ) ( A ) Z Ανάπτυγµα ple της ορίζουσας τετραγωνικού πίνακα A [ j ] ως προς την γραµµή ή την j στήλη: det( A) A A A j j M M M όπου A ( ) + j M και j j M η ελάσσων ορίζουσα του j j-στοιχείου Ιδιότητες ορίζουσας ενός πίνακα A : det( A ) det( A) det( λ A) λ det( A) λ R det( AB) det( A)det( B) det det Z \{} A [ A ] A αντιστρέψιµος det( A) τότε A dj( A) det( A) όπου dj( A) ο ανάστροφος του πίνακα µε στοιχεία τα αλγεβρικά συµπληρώµατα των στοιχείων του A Ένα µη κενό υποσύνολο U του πραγµατικού διανυσµατικού χώρου V είναι υπόχωρος του δχ V αν και µόνο αν λ R και u u U ισχύει u + λ u U Τα διανύσµατα v v K v είναι γραµµικά ανεξάρτητα όταν λ v +λ v + +λ v λ λ λ Ένα σύνολο { v v K v } του δχ V είναι µία βάση του V αν και µόνο αν I τα διανύσµατα v v K v είναι γραµµικά ανεξάρτητα IΙ Ο δχ Vπαράγεται από τα v v K v και τότε η διάσταση του V είναι dmv Αν Β{ u u K u } (διατεταγµένη) βάση του V και V τότε u µε µοναδικά R Η στήλη [ ] λέγεται στήλη συντεταγµένων του ως προς την B και συµβολίζεται µε [ ] B Έστω Vένας πεπερασµένης διάστασης δχ και U W υπόχωροι του V Τότε ισχύει: dm( U + W ) dmu + dmw dm( U W ) Για το ευθύ άθροισµα των υποχώρων U W V του δχ Vισχύει V U W ( V U + W και U W { } ) ( V U+ W και dmv dmu + dmw ) Εσωτερικό γινόµενο Ένα εσωτερικό γινόµενο στον R είναι µία συνάρτηση που σε κάθε ζεύγος ( ) R R αντιστοιχεί ένα πραγµατικό αριθµό o µε τις ιδιότητες: ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ -3 Ι ( + λ ) o z ( o z) + λ( o z ) z R λ R ΙΙ o o R και o ΙΙΙ o o µέτρο του διανύσµατος ορίζεται από τον τύπο o Η γωνία ω [ π ] των R \{ } ορίζεται από τον τύπο: osω o Τα διανύσµατα R λέγονται κάθετα (ή ορθογώνια) αν και µόνο αν o Για το εσωτερικό γινόµενο και το µέτρο των διανυσµάτων R ισχύουν οι ιδιότητες: Ι o + + ΙΙ + + ΙIΙ λ λ λ R IV o (Cuh-Shwrz) Προβολή p διανύσµατος στη διεύθυνση του είναι o p Το ορθογώνιο συµπλήρωµα ενός υπόχωρου E R είναι ο υπόχωρος { : E} E R Επιπλέον E E R ( E ) E Μία βάση u u K u R ονοµάζεται ορθοκανονική αν και µόνο αν τα διανύσµατα είναι ανά δύο κάθετα και µοναδιαία (δηλ u o u j για j και u ) Αν ξ ξ K ξ είναι βάση του διανύσµατα η ξ και R τα ξ o η ξ o η ξ o η η ξ η η η j j j j j j j η o η η o η η jo η j για j 3 K είναι κάθετα µεταξύ τους τα δε διανύσµατα η u η η u η η K u η αποτελούν ορθοκανονική βάση του R Ο πραγµατικός πίνακας A µε την ιδιότητα A A A A I ή ισοδύναµα A Αν Α ορθογώνιος τότε ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο ισχύουν: I Οι στήλες του (και οι γραµµές του) αποτελούν A ονοµάζεται ορθογώνιος ορθοκανονική βάση του R II det A III A IV Ao A o V Αντίστροφος ορθογωνίου και γινόµενο ορθογώνιων πινάκων είναι ορθογώνιος πίνακας Γραµµικές απεικονίσεις (µετασχηµατισµοί) Μία απεικόνιση f : U V ( U V πραγµατικοί διανυσµατικοί χώροι) ονοµάζεται γραµµική όταν f ( + λ ) f + λ f ( ) U και λ R (Αν U Vλέγεται και γραµ µετασχηµατισµός του U ) Το σύνολο er f { U : f } U ονοµάζεται πυρήνας της f και είναι υπόχωρος του U Το σύνολο Im f { V : f U } V λέγεται εικόνα της f και είναι υπόχωρος του V Η f : U V λέγεται ένα-προς-ένα (-) αν U f f Η f : U V λέγεται επί αν f ( U ) V Για τη γραµµική απεικόνιση f : U V ισχύουν: Ι dmu dm er f + dm Im f ΙΙ Η f είναι - αν και µόνο αν er f { } ΙΙΙ Αν Β { u u K u } διατεταγµένη βάση του Uκαι Β { v v K v m } διατεταγµένη βάση του V από τις ισότητες f ( u ) v + v + + v m m f ( u ) v + v + + v M m m f ( u ) v + v + + v m m ορίζεται ο m πίνακας αναπαράστασης της f A M M M m m m f ( ) για κάθε U και A[ ] [ ] B B Αν για τους διανυσµατικούς χώρους ισχύει dmu dmv τότε για τη γραµµική απεικόνιση f : U V οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες Ι f αντιστρέψιµη (υπάρχει η II f είναι - III er f { } f ) IV f είναι επί Ιδιοτιµές Ιδιοδιανύσµατα πίνακα Για έναν πίνακα A οι ιδιοτιµές λτου πίνακα είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου λ λ p( λ) det M M M λ λ + λ + + λ+ Αν ο A είναι τριγωνικός ή διαγώνιος τότε οι ιδιοτιµές του είναι τα διαγώνια στοιχεία του Για κάθε ιδιοτιµή λ K τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι οι µη-µηδενικές λύσεις [ K ] του οµογενούς συστήµατος ( λ ) ( λ ) + + M ( λ ) Για τις ιδιοτιµές του A ισχύουν: det A λ λ λ και tra λ + λ + + λ όπου οι αντίστοιχοι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύµου p( λ ) Αν λ ιδιοτιµή και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα του A τότε λ είναι ιδιοποσά του A Οι ιδιοτιµές πραγµατικού συµµετρικού πίνακα είναι αριθµοί πραγµατικοί τα δε ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι κάθετα Ο πίνακας A λέγεται διαγωνοποιήσιµος όταν είναι όµοιος µε διαγώνιο πίνακα D δηλ όταν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος ώστε A PDP Ο διαγώνιος πίνακας D έχει διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιµές του A και ο P είναι πίνακας µε στήλες αντίστοιχα ιδιο- διανύσµατα που αποτελούν βάση του R Ο πίνακας Α διαγωνοποιείται όταν: Για κάθε ιδιοτιµή αλγεβρικής πολλαπλότητας υπάρχουν ακριβώς γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα ή αλλιώς η γεωµετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής ισούται µε την αλγεβρική της πολλαπλότητα (και αντιστρόφως) Εχει διακεκριµένες ιδιοτιµές Είναι συµµετρικός πραγµατικός ότε υπάρχει ορθογώνιος πίνακας Q τέτοιος ώστε

10 A Q dg( λ λ K λ ) Q Αν f ( λ ) είναι πολυώνυµο τότε ( λ λ λ ) f ( A) P f ( D) P Pdg f f K f P Για κάθε τετραγωνικό πίνακα A ισχύει p( A) A + A + + A+ I O Αν υ( λ ) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου f ( λ ) δια του χαρακτηριστικού πολυωνύµου p( λ ) τότε f ( A) υ( A) Τετραγωνικές µορφές Το πολυώνυµο των πραγµατικών µεταβλητών K της µορφής F A όπου [ ] K και A συµµετρικός πίνακας ονοµάζεται τετραγωνική µορφή Αν A Qdg( λ λ K λ ) Q τότε η F( ) µετασχηµατίζεται στη διαγώνια µορφή F( ) λ + λ + + λ όπου [ K ] Αν λ λ λ > ( < ) Q K η F λέγεται θετικά (αρνητικά) ορισµένη αν λ λ K λ ( ) λέγεται θετικά (αρνητικά) ηµιορισµένη ενώ σε κάθε άλλο συνδυασµό προσήµων των λ ονοµάζεται αόριστη ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A R f : A R ή f A Γραφική παράσταση συνάρτησης f C σηµείο M ( ) τουεπ / δου : f f { } Συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο A f ( ) < f ( ) A µε < Συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο A f ( ) > f ( ) A µε < Άνω φραγµένη συνάρτηση f : A R Υπάρχει αριθµός s (άνω φράγµα της f ) µε την ιδιότητα: f s A (Ανάλογα ορίζεται η κάτω φραγµένη) Φραγµένη λέγεται η συνάρτηση αν είναι άνω και κάτω φραγµένη - συνάρτηση f : A R Για οποιαδήποτε f ( ) f ( ) A αν τότε ισοδύναµα: αν f ( ) f ( ) τότε Σύνθεση της f : A R µε την g : B R ( go f ) g( f ) A για τα οποία f B Αντίστροφη συνάρτηση µιας - συνάρτησης f είναι η f : f ( A) A που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο f ( A) στο µοναδικό για το οποίο ισχύει f δηλ f f Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Όριο συνάρτησης στο - Πλευρικά όρια lm f ( ) l lm f lm f l + Κριτήριο παρεµβολής: Αν g f h κοντά στο και lm h lm g l τότε lm f l Η ιδιότητα αυτή ισχύει και στην περίπτωση που + s lm Συνέχεια os lm ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ -3 Η συνάρτηση f : A Rείναι συνεχής στο A αν lm f f ( ) Παράγωγος συνάρτησης ( A ( ) R) Η συνάρτηση f : A Rείναι παραγωγίσιµη στο σηµείο A αν υπάρχει το όριο lm f f f ( ) R Η εφαπτοµένη ευθεία της C στο σηµείο f ( f ( )) είναι f f ( ) Αν f είναι παραγωγίσιµη τότε f συνεχής Αν f δεν είναι συνεχής τότε f δεν είναι παραγωγίσιµη Ιδιότητες παραγώγων: Αν f g παραγωγίσιµες f f R ( f ± g ) ( f ) ± ( g ) f g f g + f g f f g f g g ( ) g g Aν επιπλέον f και f αντιστρέψιµη τότε η αντίστροφη f είναι παραγωγίσιµη και ( f ) f Η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης f ( g) είναι ( f ( g) ) df ( g) df ( g) dg d dg d Παράγωγοι συνήθων συναρτήσεων ( )' R ( )' R ( s ) ' os ( t ) ' os ' s os ( )' e e ( )' l l ' > ( rs ) ' ( rt ) ' + Κανόνας l Hosptl Πρώτη διατύπωση: Αν f g και f g υπάρχουν και g τότε f f f lm lm g g g εύτερη διατύπωση : Αν f ( ) g( ) µε f g διαφορίσιµες στο ( ) g εκτός πιθανώς του ( ) τότε f f lm lm g g και Ο κανόνας ξαναχρησιµοποιείται αν ισχύουν οι ίδιες συνθήκες και για τις παραγώγους των f g( ) ± Οι απροσδιόριστες µορφές m µπορούν να µετατραπούν ως εξής / / f g : g f ± : fg / f / g / g/ f : f g / fg Οι απροσδιόριστες µορφές µετατρέπονται µε βάση τη σχέση lm ( l ) lm f g g f ( ) e > + f g e g f l Εφαρµογές των παραγώγων στην σχεδίαση της γραφικής παράστασης C της f : A R Από πρώτη παράγωγο Αν f > I A τότε η f γνησίως αύξουσα Αν f < I A τότε η f γνησίως φθίνουσα Αν f για κάποιο Aκαι υπάρχει ε> : f > ε < < και f < < < +ε τότε το είναι σηµείο τοπικού µεγίστου Ανάλογα για σηµείο τοπ ελαχίστου Από δεύτερη παράγωγο Αν f > I A τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω στο διάστηµα Ι Αν f < I A τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστηµα Ι Αν υπάρχει ε> µε f > για ε < < και f < για < < +ε (ή αντίστροφα) τότε το είναι σηµείο καµπής α) Αν f και f > τότε το είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου β) Αν f και f < τότε το είναι σηµείο τοπικού µεγίστου Ασύµπτωτες Κάθετη ασύµπτωτη η ευθεία R αν lm f ± ή lm f ± Οριζόντια ασύµπτωτη η ευθεία R αν lm f ή lm f Πλάγια ασύµπτωτη της C στο ± η ευθεία f + αν ( f ) f lm ± f lm lm( f ) ± ± R και R Σηµαντικά θεωρήµατα Έστω συνάρτηση f : [ ] R Bolzo: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] και f f < τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) τέτοιο ώστε f ( ) Ενδιάµεσης τιµής: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] και f f τότε για κάθε αριθµό ρ µεταξύ των f ( ) και f ( ) υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) τέτοιο ώστε f ( ) ρ Μέγιστης - ελάχιστης τιµής: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] τότε η f είναι φραγµένη στο [ ] Επιπλέον υπάρχουν [ ] έτσι ώστε f ( ) f f [ ] Θεώρηµα µέσης τιµής (ΘΜΤ): Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ] και παραγωγίσιµη στο ( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) f f τέτοιο ώστε : f ( ξ) Rolle: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] παραγωγίσιµη στο ( ) και f f τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) τέτοιο ώστε : f ( ξ ) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο ( ) και f ( ) τότε f Cuh: Αν οι f g( ) είναι ορισµένες και συνεχείς στο [ ] διαφορίσιµες στο ( ) και g ( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον f f f ένα ( ) : g g g Drou: Αν f παραγωγίσιµη στο [ ] µε f > f και R µε f < < f τότε υπάρχει ξ ( ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) (παρόµοια αν f < f )

11 Εφαρµογή του ΘΜΤ για την προσέγγιση ρίζας Αν η εξίσωση f έχει ρίζα µε f παραγωγίσιµη στο [ h + h] f ' < m< [ h h] αυθαίρετο [ h h] και + τότε για + η ακολουθία f ( ) συγκλίνει στη ρίζα Ορισµένο ολοκλήρωµα Κάθε συνεχής f είναι ολοκληρώσιµη f d f d f d f d+ f d + + f d f d f g d f d g d f g f d g d ΘΜΤ: f συνεχής τότε για κάποιο ξ [ ] f d f ( ξ)( ) Αόριστο ολοκλήρωµα ή αντιπαράγωγος (παράγουσα) F + f d F + f Ιδιότητες df f + ( + ) + f h d f d h d Μεθοδολογίες Ολοκλήρωσης Αντικατάσταση g( t) f ( g( t)) g '( t) dt f d Παραγoντική Ολοκλήρωση f g d f g f g d Πίνακας Ολοκληρωµάτων d + + d + R { } + d l + os d s + s d os + d t + r t + + d s + rs + e d e + f d l f + f Θεµελιώδη θεωρήµατα Ολοκληρωτικού Λογισµού Ι Αν η f είναι ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [ ] και F είναι ένα αόριστο ολοκλήρωµα της f τότε f d F F ΙΙ Αν η f είναι συνεχής στο διάστηµα [ ] df d τότε f ( t) dt f d d Γενικευµένα Ολοκληρώµατα + (α είδους) lm f d f d + ή lm f d f d (β είδους) lm + ε ( ιδιόµορφο σηµείο) f d f d ε + ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ -3 lm + f d f d e + e ( ιδιόµορφο σηµείο) (γ είδους) συνδυασµός α β είδους e lm + lm f d f d f d e e + e µε < < ( ιδιόµορφα σηµεία) + lm + lm f d f d f d + e lm + lm + f d f d f d ( ιδιόµορφο σηµείο) + e lm + lm + + f d f d f d e + e ( ιδιόµορφο σηµείο) + Εσωτερικό ιδιόµορφο σηµείο ( ) e lm + lm + + f d f d f d e e + e η πρωτεύουσα τιµή του Cuh e f d lm f d f d + e + + e ( ιδιόµορφο σηµείο) Ο µετασχηµατισµός ple µίας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f : [ +) R είναι + t { f ( t)} e f ( t) dt για κάθε τιµή του για την οποία το παραπάνω γενικευµένο ολοκλήρωµα συγκλίνει Εφαρµογές Ολοκληρωµάτων E f d f S + f d E f + f d o π Vo π f d E f f d Vo π f f d ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ Ακολουθία είναι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο των θετικών ακέραιων αριθµών Συµβολισµός: Πρόοδοι Αριθµητική: + +ω α + ω [ + ω] Άθροισµα όρων απ: S Γεωµετρική: + λ ή λ λ Άθροισµα πρώτων όρων γπ: S λ λ Γεωµετρικός µέσος: Αν είναι 3 διαδοχικοί όροι γπ τότε Σηµαντικά όρια ακολουθιών Το R παραµένει σταθερό καθώς το (στους τύπους που υπάρχει ) lm lm lm < l lm lm! lm > lm + e lm! Φραγµένες ακολουθίες άνω φραγµένη: υπάρχει M R: M N κάτω φραγµένη : υπάρχει m R: m N Φραγµένη: συγχρόνως άνω και κάτω φραγµένη δηλ υπάρχουν m M R : m M N Μια ακολουθία απολύτως φραγµένη είναι φραγµένη και αντιστρόφως Μία φραγµένη ακολουθία δεν συγκλίνει κατ ανάγκη Μονότονες ακολουθίες Μία ακολουθία Nονοµάζεται αύξουσα αν ισχύει + N φθίνουσα αν ισχύει + N µονότονη αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα Μονότονες και φραγµένες ακολουθίες- Σύγκλιση Μία µονότονη ακολουθία δε συγκλίνει κατ ανάγκη Κάθε µονότονη και φραγµένη ακολουθία είναι συγκλίνουσα στο R Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγµένη Αν lmβ και β Nτότε lm Αν lm + / λ < τότε lm Ειδικές Κατηγορίες Σειρών α) Γεωµετρικές Σειρές: r αν r < : συγκλίνει Άθροισµα: r αν r : απειρίζεται θετικά αν r : κυµαίνεται το όριό της δεν υπάρχει β) p-σειρές: ς( p ) p αν p> : συγκλίνει αν p : αποκλίνει γ) Τηλεσκοπικές : + Συγκλίνει αν και µόνο αν υπάρχει το όριο lm Άθροισµα: lm δ) Εναλλάσσουσες Σειρές: ( ) < για όλα τα > ή ε) Αναπτύγµατα lor: Αν η συνάρτηση f και οι πρώτες τις παράγωγοι συνεχείς στο [ ] και αν η διαφορίσιµη στο ( ) () () f f f είναι τότε για ( ) f είναι ξ ισχύει () () f f f f + ( ) + ( ) +!! f + ( ) + R! ( + ) f ( ξ) + R είναι το υπόλοιπο ( + )! όπου της πολυωνυµικής προσέγγισης -βαθµού Όταν τότε το ανάπτυγµα ονοµάζεται και ανάπτυγµα Mlur Συνήθεις σειρές lor ( ) για R e !! s + + ( ) + 3! 5! (+ )! 4 os + + ( ) +! 4!!

12 και για -< < 3 + l( + ) + + ( ) rt + + ( ) ε) Σειρές Fourer: Έστω f :[ ] Rπου επεκτείνεται περιοδικά Η σειρά Fourer της f δίνεται από π π f ~ ( os + s ) όπου f d π f os d K π f s d K Κριτήρια σύγκλισης σειρών Ι Αν lm τότε η σειρά δεν συγκλίνει ΙΙ α) Αν οι σειρές συγκλίνουν τότε για κάθε λ R συγκλίνει ( + λ ) + λ β) Αν συγκλίνει και δεν συγκλίνει τότε ( + ) δεν συγκλίνει ΙIΙ Αν η σειρά συγκλίνει τότε η συγκλίνει Το αντίστροφο δεν ισχύει ΙV (Απλό κριτήριο σύγκρισης) Έστω αν συγκλίνει τότε συγκλίνει αν δεν συγκλίνει τότε δεν συγκλίνει V (Γενικευµένο κριτήριο σύγκρισης) Έστω < lm > Τότε οι σειρές και είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν ταυτόχρονα VI (Κριτήριο λόγου - d Alemert) Έστω για και lm + λ Τότε: αν λ< τότε η αν λ> τότε η συγκλίνει δεν συγκλίνει αν λ τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε VIΙ (Κριτήριο ρίζας - Cuh) Έστω > και lm λ αν λ< τότε η αν λ> τότε η συγκλίνει δεν συγκλίνει αν λ τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε VIIΙ (Κριτήριο etz) Έστω ( ) Αν η ακολουθία ( ) είναι θετική φθίνουσα και lm τότε η σειρά συγκλίνει IX (Κριτήριο ολοκληρώµατος) Αν η ολοκληρώσιµη συνάρτηση f :[ +) R είναι θετική και + I f d φθίνουσα τότε και S f συγχρόνως συγκλίνουν ή αποκλίνουν και αν συγκλίνουν ισχύει: I < S< I+ f () ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ -3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ! Συνδυασµοί : Cr r r! ( r)! P( A B) εσµευµένη Πιθανότητα P ( A / B) P( B) Ανεξάρτητα ενδεχόµενα: ( A B) ( A) ( B) Αν A Aj P P P j και A A A Ω Ολική Πιθανότητα: P( B ) P( A )P( B / A ) + + P( A )P( B / A ) P( A )P( B / A ) Τύπος Bes: P( A / B) P( B) Τυχαία µεταβλητή (τµ) είναι µια συνάρτηση X µε πεδίο ορισµού το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος και πεδίο τιµών ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών Η µέση τιµή µίας τµ συµβολίζεται µε E( X ) ή µε µ X και δίνεται από: E( X ) f για τις διακριτές τµ και από: E( X ) f d για τις συνεχείς τµ όπου f ( ) η συνάρτηση πιθανότητας (σπ) (περίπτωση διακριτής τµ) ή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ) (περίπτωση συνεχούς τµ) H διασπορά για τις διακριτές τµ δίνεται από: vr( X ) E ( X µ ) ( µ ) f και για τις συνεχείς τµ από: vr( X ) E ( X µ ) ( µ ) f d Ισχύει: vr( X ) E X ( E[ X] ) Η τυπική απόκλιση µιας τµ Χ συµβολίζεται µε σ και είναι η (θετική) τετραγωνική ρίζα της X διασποράς της Χ δηλαδή: σ vr( X ) Έστω X τµ (διακριτή ή συνεχής) Εάν ορίσω άλλη τυχαία µεταβλητή Y X + τότε ισχύει: E( Y ) E( X + ) E( X ) + Vr Y Vr X Vr X Κατανοµές τυχαίων µεταβλητών ιωνυµική: B( p) : f p ( p) ( + ) E( X ) p Vr( X ) p( p) Posso λ λ P λ : f e! E( X ) λ Vr( X ) λ Γεωµετρική: p p G( p) : f αλλιώς E( X ) / p Vr( X ) ( p) / p Αρνητική διωνυµική: ν ν f p ( p) ν ν + ν E( X ) ν / p Υπεργεωµετρική: Vr( X ) ν ( p) / p X N N f N m( N ) N+ N N N E( X ) N Οµοιόµορφη: U ( ) N N N N N N Vr( X ) f αλλού E( X ) ( + ) / Vr X ( ) / Κανονική ( ) < < E( X ) µ Εκθετική E( X ) / N µ σ : Vr( X ) σ f e σ π e E : f αλλού Vr( X ) / µ σ Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Αν X X X ανεξάρτητες µε E( X ) µ Vr( X ) σ τότε X ~ N ( µ σ ) 3 ( X µ ) ~ Ν () ή σ Χρήσιµες ταυτότητες και σχέσεις: ( + ) r r r ( ± ) ± + ( ± ) ± ± ± ( ± )( m + ) 3 ( )( ) 3 ( + ) + > 3 Βασικοί τριγωνοµετρικοί τύποι ( R ) s s( ) os os( ) s s + os t os s( ± ) s os ± s os os( ± ) os os m s s t t ± t ± m t t ( ) s s os t + t t os os s os t + t t t t + θ os θ ± m s ± s s os + os + os os os + os os s s s() os( π / ) os() s( π / ) s( π / 6) os( π / 3) / π π π π 3 s os s os C z + R Σύνολο µιγαδικών { } Συζυγής: z z Αντίστροφος: z z z Μέτρο µιγαδικού αριθµού: r z + και r z z z Τριγωνοµετρική µορφή µιγαδικού z r (osθ+ s θ ) όπου θ πρωτεύον όρισµα Θεώρηµα De Movre ( os( θ) s( θ) ) θ z r e r + ακέραιος Οι διακεκριµένες ρίζες της εξίσωσης z N (που λέγονται και -οστές ρίζες του z ) δίνονται από τον τύπο θ+ π θ+ π z r os + s K

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ.

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία σελ. 73 σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία σελ. 5 σχολικού βιβλίου. Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Για το Θέμα Α: Ορισμοί. Συλλογή Από. Πανελλήνιες Επαναληπτικές Ομογενών

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Για το Θέμα Α: Ορισμοί. Συλλογή Από. Πανελλήνιες Επαναληπτικές Ομογενών Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Για το Θέμα Α: Ορισμοί Συλλογή Από Πανελλήνιες Επαναληπτικές Ομογενών 2014.Π 1. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σε διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Πότε λέµε ότι

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα