= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θέµα α) (µ) Θεωρούµε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουλίου 3 (διάρκεια: 3 ώρες και 3 λ) ιαβάστε προσεκτικά και απαντήστε αιτιολογηµένα στα παρακάτω 5 Θέµατα V z z 3 {( ) R + } και ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3 W z z 3 {( ) R + + } υποχώρους του R 3 ) Βρείτε µία βάση και την διάσταση του V ) Βρείτε µία βάση και την διάσταση του W ) Βρείτε µία βάση και την διάσταση για την τοµή W V Ισχύουν οι σχέσεις W+V R 3 W V R 3 ; β) (µ) Θεωρούµε το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο στον R 4 και U sp{( ) ()} υπόχωρο του R 4 ) Βρείτε µια βάση και τη διάσταση του U ) Βρείτε µια ορθοκανονική βάση του U ) Να βρεθεί η ορθή προβολή του τυχόντος διανύσµατος w ( 3 4 ) του R 4 στον U ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) ) Η εξίσωση + z ισοδυναµεί µε + z οπότε το τυχόν διάνυσµα του V γράφεται ( + z z) ( ) + ( z z) ( ) + z() Συνεπώς µία βάση του V είναι το Β {( ) ( )} καθώς από την τελευταία σχέση έχουµε άµεσα την γραµµική ανεξαρτησία του Β Η διάσταση είναι ) Παρόµοια µία βάση του W είναι το σύνολο {( -) (-)} και η διάσταση του W είναι 3 ) Για την τοµή: W V {( z) R + z και + + z } Μία βάση βρίσκεται από την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του πίνακα συντελεστών του γραµµικού οµογενούς συστήµατος που ορίζει τα 4 στοιχεία της τοµής: και είναι {( 4-3 ) } Η διάσταση 3 3 είναι Επειδή dm (W +V)dm W +dmv- dm (W V)+-3 W +V R 3 επειδή όµως W V {} δεν είναι ευθύ το άθροισµα β) ) α διανύσµατα που παράγουν τον U u ( ) u ( ) είναι γραµµικά ανεξάρτητα καθώς ( ) + ( ) ( ) ( + + ) () Συνεπώς µια βάση του U είναι το σύνολο { u u } ) Στην βάση { u u } εφαρµόζουµε τη µέθοδο Grm-Shmdt (τυπολόγιο) και βρίσκουµε µία ορθογώνια βάση ως εξής (χρησιµοποιούµε ότι u u και ) u u 4 : u v v u ( ) v u v ( ) ( ) και διαιρώντας µε τα µέτρα 4 v v v ( ) () έχουµε µία ορθοκανονική βάση του U : Β{ } v v ) Για την ορθή προβολή u του w ( 3 4) στον U έχουµε: < w > ( + 3 4) s s s < w > ( ) s οπότε u s + s ( ) + () s + s s + s s + s s + s ( )

2 Θέµα α) (µ) Θεωρούµε τον γραµµικό µετασχηµατισµό f ( z) ( + z + + z + ) του R 3 ) Γράψτε τον πίνακα αναπαράστασης Α του f ως προς την συνήθη βάση του R 3 ) Βρείτε βάση και διάσταση για τον πυρήνα Kerf και την εικόνα Imf ) Βρείτε την τιµή της ορίζουσας του πίνακα Α v) Ισχύει ότι R 3 Kerf Imf ; / β) (µ) ίνεται ο πίνακας Α / ) Βρείτε διαγώνιο πίνακα και αντιστρέψιµο πίνακα Ρ ώστε Α Ρ Ρ ) Βρείτε τον Α για κάθε φυσικό αριθµό ) Ποιά είναι τα όρια των ακολουθιών των στοιχείων του πίνακα Α καθώς ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) / 3 A Βρίσκουµε την ΑΚΜ: A 3 / 3 / 3 3 Από την ΑΚΜ του Α έχουµε: Aφού για τις λύσεις του συστήµατος ΑΧ έχουµε Χ ( - z/3 z /3 z) z ( - 3) /3 µία βάση για τον πυρήνα Kerf είναι το µονοσύνολο { (- 3)} και dm Kerf Aφού τα οδηγά στοιχεία στην ΑΚΜ του Α βρίσκονται στην η και η στήλη µία βάση για την εικόνα Imf : είναι { ( ) (- ) } και dm Imf Καθώς ο πυρήνας είναι µη µηδενικός η ορίζουσα του Α είναι µηδέν Γνωρίζουµε (και άµεσα επαληθεύουµε) ότι dmr 3 dm Kerf + dm Imf Καθώς ο πυρήνας είναι µονοδιάστατος για να ισχύει ότι R 3 Kerf Imf πρέπει και αρκεί το στοιχείο της παραπάνω βάσης του πυρήνα (- 3) να µην ανήκει στην Imf Από την ΑΚΜ του πίνακα µε δύο πρώτες στήλες τις συντεταγµένες των στοιχείων της βάσης της εικόνας και τρίτη στήλη τις συντεταγµένες του στοιχείου της βάσης του πυρήνα συµπεραίνουµε ότι η παραπάνω βάση του πυρήνα περιέχεται στην εικόνα Συνεπώς ο πυρήνας είναι υπόχωρος της εικόνας και ο R 3 δεν γράφεται ως ευθύ άθροισµα του πυρήνα και της εικόνας της f β) / ) Για τον πίνακα A το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι: / / λ det (/ λ )( λ ) / λ λ / / ( λ )( λ+ / ) µε ρίζες (ιδιοτιµές του Α): -/ / λ / / Για λ : A Ι βάση ιδιοχώρου / / Για την ιδιοτιµή λ -/: A+Ι/ (ήδη σε ΑΚΜ) βάση ιδιοχώρου / / Για τις δυνάµεις Α καθώς A P P µε P P 3 / ( / ) A P P ( / ) 3 3 ( / ) + ( / ) ( / ) που όταν θεωρήσουµε τα όρια των στοιχείων καθώς τείνει στο άπειρο 3 ( / ) + ( / ) τείνει στον πίνακα 3 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

3 Θέµα 3 3α) (8µ) Υπολογίστε τα όρια των επόµενων ακολουθιών (ενδεχοµένως µε χρήση κανόνα Hôptl για το όριο της αντίστοιχης πραγµατικής συνάρτησης): () () + () + + l (v) d + 3β) (µ) Εξετάστε τη σύγκλιση των παρακάτω σειρών (για κάθε τιµή του πραγµατικού σε περίπτωση δυναµοσειράς): () ΑΠΑΝΤΗΣΗ + 5 () + () (v) α) () e e + + e + () Ακολουθία θετικών όρων < άρα η είναι µηδενική ( + ) ( + ) + () l (v) d Επειδή + + l lm + + l ( + ) ( + ) άρα και lm d από τον κανόνα Hôptl έχουµε: 3β) () + 5 Με κριτήριο λόγου ( + ) ( + ) έχουµε ότι η σειρά συγκλίνει για < δηλαδή < 5 και αποκλίνει για >5 Αρα συγκλίνει για όλα τα στο ανοικτό διάστηµα 5 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

4 (-55) και αποκλίνει για όλα τα στα διαστήµατα (- 5) και (5 + ) Εξετάζουµε στα άκρα του διαστήµατος [-5 5]: αν 5 τότε η σειρά γίνεται + και αποκλίνει (απειρίζεται θετικά) και αν 5 τότε η σειρά γίνεται + και αποκλίνει (ταλαντώνεται ) Τελικό συµπέρασµα: συγκλίνει για στο διάστηµα (-55) και αποκλίνει παντού αλλού () + εναλλάσσουσα σειρά Η ακολουθία είναι φθίνουσα αφού < < + < < + < + Αρα εφαρµόζοντας το κριτήριο etz η σειρά συγκλίνει Επιπλέον () έχουµε είναι σειρά θετικών όρων Ο γενικός όρος + + 5/ 5/ + + 3/ + + 3/ 5/ + + συγκρίνεται µε τον 3/ : + + Αρα από κριτήριο σύγκρισης αφού η σειρά συγκλίνει ως p-σειρά µε p> η αρχική σειρά συγκλίνει 3/ (v) : η σειρά συγκλίνει ως γεωµετρική µε λόγο ½ Η σειρά αποκλίνει (αρµονική ή p-σειρά µε p) Άρα η αρχική αποκλίνει ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

5 Θέµα α) (µ) ίνεται η συνάρτηση f 6 5 )Υπολογίστε τις παραγώγους ης και ης τάξης της f και βρείτε τα διαστήµατα όπου διατηρούν πρόσηµο ) Βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η f : είναι αύξουσα είναι φθίνουσα στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ) Βρείτε όλα τα σηµεία: µηδενισµού ακροτάτων τιµών (τοπικών ολικών) καµπής της f v) Βρείτε τα όρια lm f lm + f και το σύνολο τιµών της f v) είξτε ότι η εξίσωση f ( ) έχει ακριβώς µία (πραγµατική) λύση στο διάστηµα [ ] 3 (Σηµείωση: δεν ζητείται εύρεση της λύσης αυτής) 4β) (8µ) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα ) ) π s( ) d για κάθε φυσικό + e d ΑΠΑΝΤΗΣΗ 4α) ) Υπολογίζουµε τις παραγώγους της f 6 5 : f 3 3 f 5 και παραγοντοποιούµε για να προσδιορίσουµε σηµεία µηδενισµού και πρόσηµα: f (6 5 ) f 3 ( ) f 3 (4 5 ) Σχηµατίζουµε τον παρακάτω πίνακα προσήµων: 4/5 6/ f f + f σκ από τον οποίο συµπεραίνουµε ότι: + σκ + f() τµ + ) η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (- ] είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [ +) στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο διάστηµα [ 4/5] και στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στα διαστήµατα (- ] και [4/5 +) ) η f µηδενίζεται στα σηµεία και 6/5 παίρνει ολικό (και τοπικό) µέγιστο την τιµή στο και παρουσιάζει σηµεία καµπής για και 4/5 6 6 v) lm f lm ( 5) ( +)( 5) Παρόµοια lm + f lm + ( 5) ( +)( 5) Από τα όρια αυτά την συνέχεια της f της παραπάνω µονοτονίας και του ολικού µεγίστου συµπεραίνουµε ότι το σύνολο τιµών της f είναι το διάστηµα (- ] 6 6 v) Στο διάστηµα [] η f ως γνησίως αύξουσα είναι - Αρα αν υπάρχει λύση της εξίσωσης αυτή θα είναι µοναδική Επιπλέον f() και f() οπότε λόγω συνεχείας και καθώς < /3 < υπάρχει στο ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

6 διάστηµα () όπου η f παίρνει την τιµή /3 Ετσι συµπεραίνουµε ότι η εξίσωση f ( ) έχει 3 5 µοναδική λύση µεταξύ και β) ) os os os os s d d d + os d os s + Αρα για το ζητούµενο ορισµένο ολοκλήρωµα χουµε π os s π os( π ) s( π ) π s d + + () ) Το αόριστο ολοκλήρωµα υπολογίζεται ως εξής: Οπότε π e d µε την αντικατάσταση για [ ) u du u u + e d e e du e + C e + C + e d lm lm lm + e d + e + e e ( lm e ) + ( ) u du d ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

7 Θέµα 5 5α) (6µ) ύο µηχανές Α Β παράγουν τα ίδια προϊόντα Οι παραγόµενες ποσότητες προϊόντων είναι ίσες για τις δύο µηχανές Είναι όµως γνωστό από προηγούµενη πείρα ότι το % της παράγωγής της Α είναι ελαττωµατικά προϊόντα ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για την Β είναι 5% Αν πάρουµε ένα προϊόν µε τυχαίο τρόπο να βρεθεί η πιθανότητα: ) να είναι ελαττωµατικό ) να προέρχεται από την Α αν γνωρίζουµε ότι είναι ελαττωµατικό 5β) (4 µονάδες) Ο χρόνος ζωής σε έτη µιας µηχανής ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή έτη και τυπική απόκλιση έτη ) Ποιά η πιθανότητα η διάρκεια ζωής να είναι µεταξύ 8 ετών και ετών ; ) Ποιά η πιθανότητα η διάρκεια ζωής να είναι τουλάχιστον 5 έτη ; ) Ποιά είναι η τιµή q ώστε το γεγονός «η διάρκεια ζωής µιας µηχανής υπερβαίνει την τιµή q» έχει πιθανότητα ίση προς 9 ; v) Ποιά είναι η πιθανότητα από 4 µηχανές οι το πολύ να έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 5 έτη; (Σηµείωση: δεν απαιτείται να υπολογίσετε το τελικό αριθµητικό αποτέλεσµα) ίνονται: Φ() 843 Φ(5) 9938 Φ(8) 9 5α) Συµβολισµός: E το ενδεχόµενο ένα προϊόν να είναι ελαττωµατικό A το ενδεχόµενο ένα προϊόν να προέρχεται από την µηχανή Α B το ενδεχόµενο ένα προϊόν να προέρχεται από την µηχανή Β Έχουµε P( A ) 5 P( B ) 5 και υπολογίζουµε: ) Εχουµε την διαµέριση E ( E A) ( E B) οπότε P( E) P( E A) + P( E B) P( E A) P( A) + P( E B) P( B) ) Για να βρούµε την πιθανότητα P( A E ) εφαρµόζουµε τον τύπο του Bes και έχουµε: P( E A) P( A) () (5) P( A E) P( E) β) Σύµφωνα µε την εκφώνηση ο χρόνος ζωής σε έτη της µηχανής είναι µια τυχαία µεταβλητή X η οποία ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ και σ Συνεπώς η τυποποιηµένη X τυχαία µεταβλητή Z ακολουθεί την τυπική κανονική κατανοµή N () : ) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να είναι µεταξύ 8 έτη και έτη είναι 8 X P(8 X ) P P( Z ) Φ() Φ( ) Φ() [ Φ ()] Φ() ) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να είναι τουλάχιστον 5 έτη είναι X 5 P( X 5) P P( Z 5) P( Z < 5) [ P( Z < 5)] P( Z < 5) Φ (5) 9938 ) Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής µιας µηχανής να υπερβεί τα q έτη είναι X q q q q P( X q) P P Z P Z > > > Φ q q Θέλουµε P( X > q) 9 δηλαδή Φ 9 Φ το οποίο ισοδύναµα δίνει q q q Φ 9 Φ Φ(8) 8 q+ 56 q 744 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

8 v) Εστω Y ο αριθµός των µηχανών (από τις 4) οι οποίες θα έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 5 έτη Τότε η τυχαία µεταβλητή Y ακολουθεί την διωνυµική κατανοµή µε 4 δοκιµές (συσκευές) πιθανότητα επιτυχίας (να έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 5 έτη) p P( X 5) 9938 (ερώτηµα ) και πιθανότητα αποτυχίας q p ηλαδή Y ~ B( p) B(49938) Έτσι για P( Y ) p q p ( p) Η πιθανότητα να έχουµε το πολύ επιτυχίες σε 4 δοκιµές ισούται προς P( Y ) P( Y ) P( Y ) P( Y ) p ( p) p ( p) p ( p) ΤΕΛΟΣ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΠΛΗ - -3

9 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ο ανάστροφος πίνακας ενός m πίνακα A [ j ] σηµειώνεται µε A [ j ] (δηλαδή οι γραµµές γίνονται στήλες και αντίστροφα) Ιδιότητες: ( A ) A ( A+ B) A + B ( λ A) λ A λ R ( AB) B A Ένας m πίνακας A [ j ] ονοµάζεται συµµετρικός όταν ισχύει j δηλ A A j Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα A [ j ] (όταν υπάρχει) συµβολίζεται µε ισχύει AA AA I Ιδιότητες: Αν Α Β αντιστρέψιµοι πίνακες A A A A A και ( AB) B A ( A ) ( A ) Z Ανάπτυγµα ple της ορίζουσας τετραγωνικού πίνακα A [ j ] ως προς την γραµµή ή την j στήλη: det( A) A A A j j M M M όπου A ( ) + j M και j j M η ελάσσων ορίζουσα του j j-στοιχείου Ιδιότητες ορίζουσας ενός πίνακα A : det( A ) det( A) det( λ A) λ det( A) λ R det( AB) det( A)det( B) det det Z \{} A [ A ] A αντιστρέψιµος det( A) τότε A dj( A) det( A) όπου dj( A) ο ανάστροφος του πίνακα µε στοιχεία τα αλγεβρικά συµπληρώµατα των στοιχείων του A Ένα µη κενό υποσύνολο U του πραγµατικού διανυσµατικού χώρου V είναι υπόχωρος του δχ V αν και µόνο αν λ R και u u U ισχύει u + λ u U Τα διανύσµατα v v K v είναι γραµµικά ανεξάρτητα όταν λ v +λ v + +λ v λ λ λ Ένα σύνολο { v v K v } του δχ V είναι µία βάση του V αν και µόνο αν I τα διανύσµατα v v K v είναι γραµµικά ανεξάρτητα IΙ Ο δχ Vπαράγεται από τα v v K v και τότε η διάσταση του V είναι dmv Αν Β{ u u K u } (διατεταγµένη) βάση του V και V τότε u µε µοναδικά R Η στήλη [ ] λέγεται στήλη συντεταγµένων του ως προς την B και συµβολίζεται µε [ ] B Έστω Vένας πεπερασµένης διάστασης δχ και U W υπόχωροι του V Τότε ισχύει: dm( U + W ) dmu + dmw dm( U W ) Για το ευθύ άθροισµα των υποχώρων U W V του δχ Vισχύει V U W ( V U + W και U W { } ) ( V U+ W και dmv dmu + dmw ) Εσωτερικό γινόµενο Ένα εσωτερικό γινόµενο στον R είναι µία συνάρτηση που σε κάθε ζεύγος ( ) R R αντιστοιχεί ένα πραγµατικό αριθµό o µε τις ιδιότητες: ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ -3 Ι ( + λ ) o z ( o z) + λ( o z ) z R λ R ΙΙ o o R και o ΙΙΙ o o µέτρο του διανύσµατος ορίζεται από τον τύπο o Η γωνία ω [ π ] των R \{ } ορίζεται από τον τύπο: osω o Τα διανύσµατα R λέγονται κάθετα (ή ορθογώνια) αν και µόνο αν o Για το εσωτερικό γινόµενο και το µέτρο των διανυσµάτων R ισχύουν οι ιδιότητες: Ι o + + ΙΙ + + ΙIΙ λ λ λ R IV o (Cuh-Shwrz) Προβολή p διανύσµατος στη διεύθυνση του είναι o p Το ορθογώνιο συµπλήρωµα ενός υπόχωρου E R είναι ο υπόχωρος { : E} E R Επιπλέον E E R ( E ) E Μία βάση u u K u R ονοµάζεται ορθοκανονική αν και µόνο αν τα διανύσµατα είναι ανά δύο κάθετα και µοναδιαία (δηλ u o u j για j και u ) Αν ξ ξ K ξ είναι βάση του διανύσµατα η ξ και R τα ξ o η ξ o η ξ o η η ξ η η η j j j j j j j η o η η o η η jo η j για j 3 K είναι κάθετα µεταξύ τους τα δε διανύσµατα η u η η u η η K u η αποτελούν ορθοκανονική βάση του R Ο πραγµατικός πίνακας A µε την ιδιότητα A A A A I ή ισοδύναµα A Αν Α ορθογώνιος τότε ως προς το σύνηθες εσωτερικό γινόµενο ισχύουν: I Οι στήλες του (και οι γραµµές του) αποτελούν A ονοµάζεται ορθογώνιος ορθοκανονική βάση του R II det A III A IV Ao A o V Αντίστροφος ορθογωνίου και γινόµενο ορθογώνιων πινάκων είναι ορθογώνιος πίνακας Γραµµικές απεικονίσεις (µετασχηµατισµοί) Μία απεικόνιση f : U V ( U V πραγµατικοί διανυσµατικοί χώροι) ονοµάζεται γραµµική όταν f ( + λ ) f + λ f ( ) U και λ R (Αν U Vλέγεται και γραµ µετασχηµατισµός του U ) Το σύνολο er f { U : f } U ονοµάζεται πυρήνας της f και είναι υπόχωρος του U Το σύνολο Im f { V : f U } V λέγεται εικόνα της f και είναι υπόχωρος του V Η f : U V λέγεται ένα-προς-ένα (-) αν U f f Η f : U V λέγεται επί αν f ( U ) V Για τη γραµµική απεικόνιση f : U V ισχύουν: Ι dmu dm er f + dm Im f ΙΙ Η f είναι - αν και µόνο αν er f { } ΙΙΙ Αν Β { u u K u } διατεταγµένη βάση του Uκαι Β { v v K v m } διατεταγµένη βάση του V από τις ισότητες f ( u ) v + v + + v m m f ( u ) v + v + + v M m m f ( u ) v + v + + v m m ορίζεται ο m πίνακας αναπαράστασης της f A M M M m m m f ( ) για κάθε U και A[ ] [ ] B B Αν για τους διανυσµατικούς χώρους ισχύει dmu dmv τότε για τη γραµµική απεικόνιση f : U V οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες Ι f αντιστρέψιµη (υπάρχει η II f είναι - III er f { } f ) IV f είναι επί Ιδιοτιµές Ιδιοδιανύσµατα πίνακα Για έναν πίνακα A οι ιδιοτιµές λτου πίνακα είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου λ λ p( λ) det M M M λ λ + λ + + λ+ Αν ο A είναι τριγωνικός ή διαγώνιος τότε οι ιδιοτιµές του είναι τα διαγώνια στοιχεία του Για κάθε ιδιοτιµή λ K τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα είναι οι µη-µηδενικές λύσεις [ K ] του οµογενούς συστήµατος ( λ ) ( λ ) + + M ( λ ) Για τις ιδιοτιµές του A ισχύουν: det A λ λ λ και tra λ + λ + + λ όπου οι αντίστοιχοι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύµου p( λ ) Αν λ ιδιοτιµή και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα του A τότε λ είναι ιδιοποσά του A Οι ιδιοτιµές πραγµατικού συµµετρικού πίνακα είναι αριθµοί πραγµατικοί τα δε ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι κάθετα Ο πίνακας A λέγεται διαγωνοποιήσιµος όταν είναι όµοιος µε διαγώνιο πίνακα D δηλ όταν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος ώστε A PDP Ο διαγώνιος πίνακας D έχει διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιµές του A και ο P είναι πίνακας µε στήλες αντίστοιχα ιδιο- διανύσµατα που αποτελούν βάση του R Ο πίνακας Α διαγωνοποιείται όταν: Για κάθε ιδιοτιµή αλγεβρικής πολλαπλότητας υπάρχουν ακριβώς γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα ή αλλιώς η γεωµετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής ισούται µε την αλγεβρική της πολλαπλότητα (και αντιστρόφως) Εχει διακεκριµένες ιδιοτιµές Είναι συµµετρικός πραγµατικός ότε υπάρχει ορθογώνιος πίνακας Q τέτοιος ώστε

10 A Q dg( λ λ K λ ) Q Αν f ( λ ) είναι πολυώνυµο τότε ( λ λ λ ) f ( A) P f ( D) P Pdg f f K f P Για κάθε τετραγωνικό πίνακα A ισχύει p( A) A + A + + A+ I O Αν υ( λ ) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου f ( λ ) δια του χαρακτηριστικού πολυωνύµου p( λ ) τότε f ( A) υ( A) Τετραγωνικές µορφές Το πολυώνυµο των πραγµατικών µεταβλητών K της µορφής F A όπου [ ] K και A συµµετρικός πίνακας ονοµάζεται τετραγωνική µορφή Αν A Qdg( λ λ K λ ) Q τότε η F( ) µετασχηµατίζεται στη διαγώνια µορφή F( ) λ + λ + + λ όπου [ K ] Αν λ λ λ > ( < ) Q K η F λέγεται θετικά (αρνητικά) ορισµένη αν λ λ K λ ( ) λέγεται θετικά (αρνητικά) ηµιορισµένη ενώ σε κάθε άλλο συνδυασµό προσήµων των λ ονοµάζεται αόριστη ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A R f : A R ή f A Γραφική παράσταση συνάρτησης f C σηµείο M ( ) τουεπ / δου : f f { } Συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο A f ( ) < f ( ) A µε < Συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο A f ( ) > f ( ) A µε < Άνω φραγµένη συνάρτηση f : A R Υπάρχει αριθµός s (άνω φράγµα της f ) µε την ιδιότητα: f s A (Ανάλογα ορίζεται η κάτω φραγµένη) Φραγµένη λέγεται η συνάρτηση αν είναι άνω και κάτω φραγµένη - συνάρτηση f : A R Για οποιαδήποτε f ( ) f ( ) A αν τότε ισοδύναµα: αν f ( ) f ( ) τότε Σύνθεση της f : A R µε την g : B R ( go f ) g( f ) A για τα οποία f B Αντίστροφη συνάρτηση µιας - συνάρτησης f είναι η f : f ( A) A που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο f ( A) στο µοναδικό για το οποίο ισχύει f δηλ f f Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Όριο συνάρτησης στο - Πλευρικά όρια lm f ( ) l lm f lm f l + Κριτήριο παρεµβολής: Αν g f h κοντά στο και lm h lm g l τότε lm f l Η ιδιότητα αυτή ισχύει και στην περίπτωση που + s lm Συνέχεια os lm ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ -3 Η συνάρτηση f : A Rείναι συνεχής στο A αν lm f f ( ) Παράγωγος συνάρτησης ( A ( ) R) Η συνάρτηση f : A Rείναι παραγωγίσιµη στο σηµείο A αν υπάρχει το όριο lm f f f ( ) R Η εφαπτοµένη ευθεία της C στο σηµείο f ( f ( )) είναι f f ( ) Αν f είναι παραγωγίσιµη τότε f συνεχής Αν f δεν είναι συνεχής τότε f δεν είναι παραγωγίσιµη Ιδιότητες παραγώγων: Αν f g παραγωγίσιµες f f R ( f ± g ) ( f ) ± ( g ) f g f g + f g f f g f g g ( ) g g Aν επιπλέον f και f αντιστρέψιµη τότε η αντίστροφη f είναι παραγωγίσιµη και ( f ) f Η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης f ( g) είναι ( f ( g) ) df ( g) df ( g) dg d dg d Παράγωγοι συνήθων συναρτήσεων ( )' R ( )' R ( s ) ' os ( t ) ' os ' s os ( )' e e ( )' l l ' > ( rs ) ' ( rt ) ' + Κανόνας l Hosptl Πρώτη διατύπωση: Αν f g και f g υπάρχουν και g τότε f f f lm lm g g g εύτερη διατύπωση : Αν f ( ) g( ) µε f g διαφορίσιµες στο ( ) g εκτός πιθανώς του ( ) τότε f f lm lm g g και Ο κανόνας ξαναχρησιµοποιείται αν ισχύουν οι ίδιες συνθήκες και για τις παραγώγους των f g( ) ± Οι απροσδιόριστες µορφές m µπορούν να µετατραπούν ως εξής / / f g : g f ± : fg / f / g / g/ f : f g / fg Οι απροσδιόριστες µορφές µετατρέπονται µε βάση τη σχέση lm ( l ) lm f g g f ( ) e > + f g e g f l Εφαρµογές των παραγώγων στην σχεδίαση της γραφικής παράστασης C της f : A R Από πρώτη παράγωγο Αν f > I A τότε η f γνησίως αύξουσα Αν f < I A τότε η f γνησίως φθίνουσα Αν f για κάποιο Aκαι υπάρχει ε> : f > ε < < και f < < < +ε τότε το είναι σηµείο τοπικού µεγίστου Ανάλογα για σηµείο τοπ ελαχίστου Από δεύτερη παράγωγο Αν f > I A τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω στο διάστηµα Ι Αν f < I A τότε η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστηµα Ι Αν υπάρχει ε> µε f > για ε < < και f < για < < +ε (ή αντίστροφα) τότε το είναι σηµείο καµπής α) Αν f και f > τότε το είναι σηµείο τοπικού ελαχίστου β) Αν f και f < τότε το είναι σηµείο τοπικού µεγίστου Ασύµπτωτες Κάθετη ασύµπτωτη η ευθεία R αν lm f ± ή lm f ± Οριζόντια ασύµπτωτη η ευθεία R αν lm f ή lm f Πλάγια ασύµπτωτη της C στο ± η ευθεία f + αν ( f ) f lm ± f lm lm( f ) ± ± R και R Σηµαντικά θεωρήµατα Έστω συνάρτηση f : [ ] R Bolzo: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] και f f < τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) τέτοιο ώστε f ( ) Ενδιάµεσης τιµής: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] και f f τότε για κάθε αριθµό ρ µεταξύ των f ( ) και f ( ) υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ) τέτοιο ώστε f ( ) ρ Μέγιστης - ελάχιστης τιµής: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] τότε η f είναι φραγµένη στο [ ] Επιπλέον υπάρχουν [ ] έτσι ώστε f ( ) f f [ ] Θεώρηµα µέσης τιµής (ΘΜΤ): Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ] και παραγωγίσιµη στο ( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) f f τέτοιο ώστε : f ( ξ) Rolle: Αν η f είναι συνεχής στο [ ] παραγωγίσιµη στο ( ) και f f τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) τέτοιο ώστε : f ( ξ ) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο ( ) και f ( ) τότε f Cuh: Αν οι f g( ) είναι ορισµένες και συνεχείς στο [ ] διαφορίσιµες στο ( ) και g ( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον f f f ένα ( ) : g g g Drou: Αν f παραγωγίσιµη στο [ ] µε f > f και R µε f < < f τότε υπάρχει ξ ( ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) (παρόµοια αν f < f )

11 Εφαρµογή του ΘΜΤ για την προσέγγιση ρίζας Αν η εξίσωση f έχει ρίζα µε f παραγωγίσιµη στο [ h + h] f ' < m< [ h h] αυθαίρετο [ h h] και + τότε για + η ακολουθία f ( ) συγκλίνει στη ρίζα Ορισµένο ολοκλήρωµα Κάθε συνεχής f είναι ολοκληρώσιµη f d f d f d f d+ f d + + f d f d f g d f d g d f g f d g d ΘΜΤ: f συνεχής τότε για κάποιο ξ [ ] f d f ( ξ)( ) Αόριστο ολοκλήρωµα ή αντιπαράγωγος (παράγουσα) F + f d F + f Ιδιότητες df f + ( + ) + f h d f d h d Μεθοδολογίες Ολοκλήρωσης Αντικατάσταση g( t) f ( g( t)) g '( t) dt f d Παραγoντική Ολοκλήρωση f g d f g f g d Πίνακας Ολοκληρωµάτων d + + d + R { } + d l + os d s + s d os + d t + r t + + d s + rs + e d e + f d l f + f Θεµελιώδη θεωρήµατα Ολοκληρωτικού Λογισµού Ι Αν η f είναι ολοκληρώσιµη στο διάστηµα [ ] και F είναι ένα αόριστο ολοκλήρωµα της f τότε f d F F ΙΙ Αν η f είναι συνεχής στο διάστηµα [ ] df d τότε f ( t) dt f d d Γενικευµένα Ολοκληρώµατα + (α είδους) lm f d f d + ή lm f d f d (β είδους) lm + ε ( ιδιόµορφο σηµείο) f d f d ε + ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ -3 lm + f d f d e + e ( ιδιόµορφο σηµείο) (γ είδους) συνδυασµός α β είδους e lm + lm f d f d f d e e + e µε < < ( ιδιόµορφα σηµεία) + lm + lm f d f d f d + e lm + lm + f d f d f d ( ιδιόµορφο σηµείο) + e lm + lm + + f d f d f d e + e ( ιδιόµορφο σηµείο) + Εσωτερικό ιδιόµορφο σηµείο ( ) e lm + lm + + f d f d f d e e + e η πρωτεύουσα τιµή του Cuh e f d lm f d f d + e + + e ( ιδιόµορφο σηµείο) Ο µετασχηµατισµός ple µίας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f : [ +) R είναι + t { f ( t)} e f ( t) dt για κάθε τιµή του για την οποία το παραπάνω γενικευµένο ολοκλήρωµα συγκλίνει Εφαρµογές Ολοκληρωµάτων E f d f S + f d E f + f d o π Vo π f d E f f d Vo π f f d ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ Ακολουθία είναι συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο των θετικών ακέραιων αριθµών Συµβολισµός: Πρόοδοι Αριθµητική: + +ω α + ω [ + ω] Άθροισµα όρων απ: S Γεωµετρική: + λ ή λ λ Άθροισµα πρώτων όρων γπ: S λ λ Γεωµετρικός µέσος: Αν είναι 3 διαδοχικοί όροι γπ τότε Σηµαντικά όρια ακολουθιών Το R παραµένει σταθερό καθώς το (στους τύπους που υπάρχει ) lm lm lm < l lm lm! lm > lm + e lm! Φραγµένες ακολουθίες άνω φραγµένη: υπάρχει M R: M N κάτω φραγµένη : υπάρχει m R: m N Φραγµένη: συγχρόνως άνω και κάτω φραγµένη δηλ υπάρχουν m M R : m M N Μια ακολουθία απολύτως φραγµένη είναι φραγµένη και αντιστρόφως Μία φραγµένη ακολουθία δεν συγκλίνει κατ ανάγκη Μονότονες ακολουθίες Μία ακολουθία Nονοµάζεται αύξουσα αν ισχύει + N φθίνουσα αν ισχύει + N µονότονη αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα Μονότονες και φραγµένες ακολουθίες- Σύγκλιση Μία µονότονη ακολουθία δε συγκλίνει κατ ανάγκη Κάθε µονότονη και φραγµένη ακολουθία είναι συγκλίνουσα στο R Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγµένη Αν lmβ και β Nτότε lm Αν lm + / λ < τότε lm Ειδικές Κατηγορίες Σειρών α) Γεωµετρικές Σειρές: r αν r < : συγκλίνει Άθροισµα: r αν r : απειρίζεται θετικά αν r : κυµαίνεται το όριό της δεν υπάρχει β) p-σειρές: ς( p ) p αν p> : συγκλίνει αν p : αποκλίνει γ) Τηλεσκοπικές : + Συγκλίνει αν και µόνο αν υπάρχει το όριο lm Άθροισµα: lm δ) Εναλλάσσουσες Σειρές: ( ) < για όλα τα > ή ε) Αναπτύγµατα lor: Αν η συνάρτηση f και οι πρώτες τις παράγωγοι συνεχείς στο [ ] και αν η διαφορίσιµη στο ( ) () () f f f είναι τότε για ( ) f είναι ξ ισχύει () () f f f f + ( ) + ( ) +!! f + ( ) + R! ( + ) f ( ξ) + R είναι το υπόλοιπο ( + )! όπου της πολυωνυµικής προσέγγισης -βαθµού Όταν τότε το ανάπτυγµα ονοµάζεται και ανάπτυγµα Mlur Συνήθεις σειρές lor ( ) για R e !! s + + ( ) + 3! 5! (+ )! 4 os + + ( ) +! 4!!

12 και για -< < 3 + l( + ) + + ( ) rt + + ( ) ε) Σειρές Fourer: Έστω f :[ ] Rπου επεκτείνεται περιοδικά Η σειρά Fourer της f δίνεται από π π f ~ ( os + s ) όπου f d π f os d K π f s d K Κριτήρια σύγκλισης σειρών Ι Αν lm τότε η σειρά δεν συγκλίνει ΙΙ α) Αν οι σειρές συγκλίνουν τότε για κάθε λ R συγκλίνει ( + λ ) + λ β) Αν συγκλίνει και δεν συγκλίνει τότε ( + ) δεν συγκλίνει ΙIΙ Αν η σειρά συγκλίνει τότε η συγκλίνει Το αντίστροφο δεν ισχύει ΙV (Απλό κριτήριο σύγκρισης) Έστω αν συγκλίνει τότε συγκλίνει αν δεν συγκλίνει τότε δεν συγκλίνει V (Γενικευµένο κριτήριο σύγκρισης) Έστω < lm > Τότε οι σειρές και είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν ταυτόχρονα VI (Κριτήριο λόγου - d Alemert) Έστω για και lm + λ Τότε: αν λ< τότε η αν λ> τότε η συγκλίνει δεν συγκλίνει αν λ τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε VIΙ (Κριτήριο ρίζας - Cuh) Έστω > και lm λ αν λ< τότε η αν λ> τότε η συγκλίνει δεν συγκλίνει αν λ τότε δεν µπορούµε να απαντήσουµε VIIΙ (Κριτήριο etz) Έστω ( ) Αν η ακολουθία ( ) είναι θετική φθίνουσα και lm τότε η σειρά συγκλίνει IX (Κριτήριο ολοκληρώµατος) Αν η ολοκληρώσιµη συνάρτηση f :[ +) R είναι θετική και + I f d φθίνουσα τότε και S f συγχρόνως συγκλίνουν ή αποκλίνουν και αν συγκλίνουν ισχύει: I < S< I+ f () ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΛΗ -3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ! Συνδυασµοί : Cr r r! ( r)! P( A B) εσµευµένη Πιθανότητα P ( A / B) P( B) Ανεξάρτητα ενδεχόµενα: ( A B) ( A) ( B) Αν A Aj P P P j και A A A Ω Ολική Πιθανότητα: P( B ) P( A )P( B / A ) + + P( A )P( B / A ) P( A )P( B / A ) Τύπος Bes: P( A / B) P( B) Τυχαία µεταβλητή (τµ) είναι µια συνάρτηση X µε πεδίο ορισµού το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος και πεδίο τιµών ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών Η µέση τιµή µίας τµ συµβολίζεται µε E( X ) ή µε µ X και δίνεται από: E( X ) f για τις διακριτές τµ και από: E( X ) f d για τις συνεχείς τµ όπου f ( ) η συνάρτηση πιθανότητας (σπ) (περίπτωση διακριτής τµ) ή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ) (περίπτωση συνεχούς τµ) H διασπορά για τις διακριτές τµ δίνεται από: vr( X ) E ( X µ ) ( µ ) f και για τις συνεχείς τµ από: vr( X ) E ( X µ ) ( µ ) f d Ισχύει: vr( X ) E X ( E[ X] ) Η τυπική απόκλιση µιας τµ Χ συµβολίζεται µε σ και είναι η (θετική) τετραγωνική ρίζα της X διασποράς της Χ δηλαδή: σ vr( X ) Έστω X τµ (διακριτή ή συνεχής) Εάν ορίσω άλλη τυχαία µεταβλητή Y X + τότε ισχύει: E( Y ) E( X + ) E( X ) + Vr Y Vr X Vr X Κατανοµές τυχαίων µεταβλητών ιωνυµική: B( p) : f p ( p) ( + ) E( X ) p Vr( X ) p( p) Posso λ λ P λ : f e! E( X ) λ Vr( X ) λ Γεωµετρική: p p G( p) : f αλλιώς E( X ) / p Vr( X ) ( p) / p Αρνητική διωνυµική: ν ν f p ( p) ν ν + ν E( X ) ν / p Υπεργεωµετρική: Vr( X ) ν ( p) / p X N N f N m( N ) N+ N N N E( X ) N Οµοιόµορφη: U ( ) N N N N N N Vr( X ) f αλλού E( X ) ( + ) / Vr X ( ) / Κανονική ( ) < < E( X ) µ Εκθετική E( X ) / N µ σ : Vr( X ) σ f e σ π e E : f αλλού Vr( X ) / µ σ Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα Αν X X X ανεξάρτητες µε E( X ) µ Vr( X ) σ τότε X ~ N ( µ σ ) 3 ( X µ ) ~ Ν () ή σ Χρήσιµες ταυτότητες και σχέσεις: ( + ) r r r ( ± ) ± + ( ± ) ± ± ± ( ± )( m + ) 3 ( )( ) 3 ( + ) + > 3 Βασικοί τριγωνοµετρικοί τύποι ( R ) s s( ) os os( ) s s + os t os s( ± ) s os ± s os os( ± ) os os m s s t t ± t ± m t t ( ) s s os t + t t os os s os t + t t t t + θ os θ ± m s ± s s os + os + os os os + os os s s s() os( π / ) os() s( π / ) s( π / 6) os( π / 3) / π π π π 3 s os s os C z + R Σύνολο µιγαδικών { } Συζυγής: z z Αντίστροφος: z z z Μέτρο µιγαδικού αριθµού: r z + και r z z z Τριγωνοµετρική µορφή µιγαδικού z r (osθ+ s θ ) όπου θ πρωτεύον όρισµα Θεώρηµα De Movre ( os( θ) s( θ) ) θ z r e r + ακέραιος Οι διακεκριµένες ρίζες της εξίσωσης z N (που λέγονται και -οστές ρίζες του z ) δίνονται από τον τύπο θ+ π θ+ π z r os + s K

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα