Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4)

Transcript

1 -- Αριθµητική Ανάλυση και Περιβ. Υλοποίησης Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου (3 και 4) Θέµα 3 [6µ] Θεωρούµε ότι κατά την επίλυση ενός προβλήµατος προσέγγισης προέκυψε ένα γραµµικό σύστηµα Αxb, µε αγνώστους, όπου b[, ] και το µητρώο συντελεστών Α, µε Α R, είναι ένα σύνθετο διαγώνιο κατά µπλοκ µητρώο, αποτελούµενο από τα υποµητρώα Β, και D: B A D 3, όπου:, και 3 Απαντήσεις Θεμάτων Ιουνίου (3 & 4), X. A. Αλεξόπουλος. D.5 Το µπλοκ Β είναι 95 95, συµµετρικό και οι ακραίες ιδιοτιµές του είναι: λ max (Β)4.65 και λ min (Β).5. α) [µ] Χωρίς να κάνετε κανένα υπολογισµό απαντήστε: πως συσχετίζεται το λ max (Α) (µέγιστη ιδιοτιµή του Α), µε τα µέτρα Α και Α - ; Ως γνωστόν, για κάθε φυσική νόρµα ισχύει [βλ. σχέση 5.8, σελ. V-6, διδακτικό βιβλίο]. : A λi A, ή A ρ( A) A Εποµένως η παραπάνω ανισότητα ισχύει και για τη νόρµα. β) [5µ] Τα και D δεν είναι βέβαια συµµετρικά. Είναι όµως θετικά ορισµένα και γιατί; Κατόπιν αυτού, είναι το Α θετικά ορισµένο και γιατί;. Το συµµετρικό µέρος του µητρώου είναι S Sym( ) ( + ).5 3 Εξετάζουµε τις κύριες ορίζουσες (ισοδύναµα θα µπορούσαµε να εξετάσουµε τις ιδιοτιµές ή τους οδηγούς). Για να είναι το S θ.ο., αρκεί (και πρέπει) όλες οι κύριες υπο-ορίζουσες det(s i ) να είναι >. Πράγµατι είναι det(s ) det([3]) 3 >, det(s ) det([3 -.5; -.5 ]).75 >, det(s 3 ) det(s).5 > Συνεπώς το S είναι θ.ο., άρα και το είναι θ.ο.

2 -- Για το µητρώο είναι και. D.5 Τ..5 Τ Sym ( D) ( D+ D ) /.5.5 det( ) det([]). >, det( ) det() -.5 < Άρα, αφού det()< το δεν είναι θ.ο., εποµένως και το D δεν είναι θ.ο. Εξ άλλου το Β είναι θ.ο. ως συµµετρικό και µε θετικές ιδιοτιµές:.5 λ Όµως, για να είναι το Α θ.ο. θα πρέπει και τα τρία µπλοκ Β,, D, να είναι θ.ο. Πράγµατι, το x Ax γράφεται x Ax [v, u, w] [B ; ; D] [v, u, w] () v Bv + u u + w Dw και η συνθήκη x Ax>, x µπορεί να εξασφαλισθεί µόνον όταν ισχύει και w Dw >, w (αν π.χ. επιλέξουµε x[,,, -] Τ, είναι x Ax-.3). Εποµένως το Α δεν είναι θ.ο. Σηµείωση:. Απαντήσεις της µορφής «για να είναι τα, D θ.ο., αρκεί οι ιδιοτιµές των και D να είναι θετικές κ.λ.π.» είναι λανθασµένες και δεν βαθµολογούνται. Για τα µη συµµετρικά µητρώα, η παραπάνω πρόταση είναι λανθασµένη: είναι αναγκαία, άλλά όχι ικανή (βλ. βιβλίο κεφ. IV). Επίσης λανθασµένη είναι και η: «για να είναι τα, D θ.ο., αρκεί να έχουν θετικούς οδηγούς». Και αυτή ισχύει µόνον για συµµετρικά µητρώα. Π.χ., το µη συµµετρικό µητρώο Α[, ;, ] έχει θετικούς οδηγούς (, ), αλλά δεν είναι θ.ο.: [- ] Α [- ] Τ -7! Επαληθεύουµε παίρνοντας το συµµετρικό µέρος του Α: S(A+A )/ [, 5.5; 5.5, ]. Είναι det(s )>, ενώ det(s )det(s) <!. Βλ. (α) κριτήρια για θ.ο. µητρώα, Κεφ. IV, σελ. 3, Θ. 4.4., (β) Γενικό Κριτήριο για µη συµµετρικά θ.ο. µητρώα, ΙV- (δ) τεύχος Ασκήσεων και (γ) παραδείγµατα-ασκήσεις στις παραδόσεις του µαθήµατος. γ) [7µ]Υπολογίστε συστηµατικά τη νόρµα του Α, Α. (τυπική Ευκλείδεια νόρµα) Είναι ( ) max( ) max ( ) A ρ A A λ A A σ A όπου σ(α) ιδιάζουσα τιµή του Α. Οι ιδιοτιµές του Α, λόγω της διαγώνιας κατά µπλοκ δοµής του, είναι προφανώς οι ιδιοτιµές των Β, και D. Το ίδιο ισχύει και για τις ιδιάζουσες τιµές του, δηλ. τις ιδιοτιµές του Α Τ Α [βλ. Σηµείωση,()]. Εποµένως: Για το Β είναι: Για το είναι: ( A) ( ( B) ( ) ( D) ) maxσ max max σ, max σ, maxσ, ή: ( ) A max B,, D () σ(β) σ( B) ρ( B B) ρ( B ) ρ ( B) ρ( B) 4.65 Απαντήσεις Θεμάτων Ιουνίου (3 & 4), X. A. Αλεξόπουλος

3 Οι ιδιοτιµές του (ιδιάζουσες του ) είναι η λ 9 και οι ιδιοτιµές του µπλοκ [3, -5; -5, ]: det([3-λ, -5; -5, -λ] (3 - λ)( - λ) - 5 λ - 5λ λ λ3.7 Συνεπώς το φάσµα του είναι {4.93,.7, 9}, εποµένως ( ) maxσ Τέλος, για το D είναι:.4.5 D D.5.5 Οι ιδιοτιµές του D D (ιδιάζουσες του D) είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης det([.4-λ,.5;.5,.5-λ] (.4 - λ)(.5 - λ).5 λ -.9λ λ λ.8 Συνεπώς το φάσµα του D D είναι {.8,.8}, εποµένως ( D) D maxσ.8.3 Συνοψίζοντας, από την () έχουµε: ( ) A max B,, D max(4.65, 3.864,.3) 4.65 B Σηµείωση:. Απαντήσεις της µορφής «για να βρούµε το Α βρίσκουµε τις ιδιοτιµές των και D», είναι λανθασµένες και δεν βαθµολογούνται. Τα και D δεν είναι συµµετρικά, εποµένως οι ιδιοτιµές τους λ Τ Τ σ ρ( ), σ D ρ( D D) αντίστοιχα. δεν ταυτίζονται µε τις ιδιάζουσες τιµές ( ) ( ). Βλ. Παρατηρήσεις και σχετικά Λήµµατα που παρουσιάσθηκαν στις διαλέξεις. Αλλά διαπιστώνεται άµεσα: είναι Α Τ Α[ B Τ B,, ;, Τ, ; D Τ D], δηλ. οι ιδιάζουσες τιµές του Α, είναι αυτές των B,, D. δ) [5µ] Υπολογίστε επακριβώς το δείκτη κατάστασης Κ(Α) του Α ως προς την νόρµα.. Ο δείκτης κατάστασης σύµφωνα µε τη νόρµα είναι: max σ ( Α) Κ ( Α) min σ ( Α) Απαντήσεις Θεμάτων Ιουνίου (3 & 4), X. A. Αλεξόπουλος

4 -4- Από το ερώτηµα (γ) είναι ( A) Συνεπώς maxσ 4.65, και η µικρότερη ιδιάζουσα τιµή: min σ ( Α ) min(.5,.7,.8) Κ ( Α) 86.5 ε) [7µ] Έστω τώρα ότι κάποιος αλγόριθµος επίλυσης έδωσε µια προσεγγιστική λύση x [x ;x ] για την οποία γνωρίζουµε το υπόλοιπο του Β, (B) -3 [,,] Τ R 95 και x [-.999, ,.3343, 5, -8] Τ. Να υπολογίσετε αριθµητικά φράγµατα για το σχετικό σφάλµα της λύσης πάντα µε χρήση νόρµας [δεν λαµβάνεται υπ όψιν «γενική απάντηση» ]. Ως γνωστόν, το σχετικό σφάλµα δ ε / x της λύσης ενός γραµµικού συστήµατος φράσσεται µέσω του σχετικού υπολοίπου R ως εξής: K ( A) R δ K( A) R ο σχετικό υπόλοιπο δίνεται: R Aε A b x Ax b b Υπολογίζουµε το υπόλοιπο (esidual) : B y b x b z D w A b:95 By b:95 By ( B) :3 :3 ( ) b z b z b : D : D w b w ( D) Όπου τα διανύσµατα b :i ones(i,) (διάνυσµα µε i ) Προφανώς είναι [y ; z ; w ] x [x ; x ], και y x. Τα (B), () και (D) είναι τα υπόλοιπα των µητρώων Β,, D. o (B) δίνεται, ενώ τα (), (D) µπορούν να υπολογισθούν εφ όσον δίνονται τιµές για τα z και w : Υπολογίζουµε: z [-.999, ,.3343], w [5, -8] ( ) b:3 z ( D) b Dw : Αντικαθιστώντας λαµβάνουµε: Απαντήσεις Θεμάτων Ιουνίου (3 & 4), X. A. Αλεξόπουλος

5 -5- [ ] 3,,, 4.998,., -.3,, ( ) e-6 9e Είναι b. Εποµένως: R 4.999/ δ δ Σηµείωση Οι µεγάλες τιµές φράγµατος στην (), οφείλονται ακριβώς στην λανθασµένη προσέγγιση x που έδωσε ο αλγόριθµος επίλυσης (ο οποίος προφανώς εξόκειλε στη συγκεκριµένη περίπτωση ). Θέµα 4 [4µ].[6µ] Θεωρούµε το συµµετρικό µητρώο Β του Θέµατος 3, για το οποίο όµως είναι: λ min (Β).5 και λ max (Β) Τότε ποια µέθοδο οδήγησης θα επιλέγατε προκειµένου να λύσετε µε απαλοιφή ένα τετραγωνικό σύστηµα Βxc, και για ποιον ακριβώς λόγο; Εξηγείστε τη µέθοδο αυτή µε χρήση µετασχηµατισµών µητρώων. Απ [Συνοπτικά σχετικά µε το ερώτηµα: βλ. Σηµείωση, (), (4)] Το µητρώο B είναι συµµετρικό και θετικά ορισµένο και εµφανώς έχει δραµατικά κακή κατάσταση: Κ(Β) λ max /λ min ( )/.5 86!!! Εξ άλλου, τα θετικά ορισµένα µητρώα είναι γνωστό ότι έχουν την ιδιότητα να συγκεντρώνουν µεγάλες τιµές στην κύρια διαγώνιο. Συγκεκριµένα η κύρια διαγώνιος υπερέχει της δευτερεύουσας κ.ο.κ., και το µέγιστο κατ απόλυτη τιµή στοιχείο του Α εµφανίζεται στη διαγώνιό του: [βλ. Σηµείωση, (3)] max(diag(a)) max(abs(a)) Ταυτόχρονα, η διαίρεση µε µικρές τιµές οδηγών (ή πολ/σµός µε µεγάλους πολλαπλασιαστές) δηµιουργεί συσσώρευση σφαλµάτων στρογγύλευσης, απώλεια σ.ψ., και ως εκ τούτου προβλήµατα ευστάθειας. Από τα παραπάνω λοιπόν, για την αντιµετώπιση του προβλήµατος αυτού θα επιλέγαµε οδήγηση κατά µήκος της διαγωνίου. Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή, σε κάθε βήµα k της απαλοιφής επιλέγεται ως οδηγός d k το µεγαλύτερο κατ απόλυτο τιµή στοιχείο της κύριας διαγωνίου: ( ) d k max a ii k i min( m, n) Αυτό επιτυγχάνεται [βλ. Σηµείωση, ()] στα θ.ο. µητρώα µε συµµετρικές αντιµεταθέσεις γραµµών και στηλών. Σε κάθε βήµα το Α πολλαπλασιάζεται από αριστερά και δεξιά µε µεταθετικά µητρώα P i (αριστερά) και Q i (δεξιά), ώστε να παραχθεί το άνω τριγωνικό U: U Ε - P - Ε P Ε P Α Q Q Q - EAQ UQ - ΕΑ UQ - x EΑx Eb c Uy c Τελικά, λύνεται µε αλλαγή µεταβλητής το σύστηµα Uyc ως προς y. Το y είναι µετάθεση των συντεταγµένων του x: yq - xq x. Στο τέλος αναδιατάσσονται οι άγνωστοι: xqy. Σηµείωση Σχετικές αναφορές στο διδακτικό βιβλίο και άλλού: () Απαντήσεις Θεμάτων Ιουνίου (3 & 4), X. A. Αλεξόπουλος

6 -6-. Παρατήρηση 4.5., ΙV-3, Οδήγηση κατά την κύρια διαγώνιο,. Οδήγηση κατά µήκος της διαγωνίου, 3.3.,ΙΙΙ- ], , ΙV-7, ιδιότητες θ.ο. µητρώων, σχέσεις (4.4.4), (4.4,6). 4. ιαλέξεις του µαθήµατος, σχετική Άσκηση-συζήτηση.[µ] Θεωρούµε την αριθµητική επίλυση της εξίσωσης f(x) x 3 +x -x+. (α) [5] Εξηγείστε γιατί η εξίσωση αυτή έχει µια µόνον πραγµατική λύση. Είναι f (x)3x +x- και 8>. Ισχύει f (x) στα σηµεία x, x ( ± 7). Εποµένως είναι f (x) >, 3 για x x, x x, και f (x) <, x (x, x ). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-,x ] [x, + ) και γνησίως φθίνουσα στο [x, x ]. Επίσης ισχύει και f(x ) >, f(x ) >, συνεπώς υπάρχει µοναδική πραγµατική ρίζα, έστω ξ, και δύο µιγαδικές συζυγείς. (β) [5] Εντοπίστε ένα διάστηµα αρκούντως µικρό που περιέχει την πραγµατική λύση. Αν ξ η πραγµατική ρίζα, διαπιστώνουµε f(-3)f(-)-, άρα ξ (-3, -). Με µια ακόµα διχοτόµηση του διαστήµατος είναι f(-.5)f(-)-4.75, συνεπώς ξ (-.5, -). Ως αρχικό σηµείο για όποιον επαναληπτικό αλγόριθµο εφαρµοσθεί επιλέγεται το µέσον του διαστήµατος: x -(.5+)/ -.5. (γ) [7] Να εφαρµόσετε την επαναληπτική µέθοδο Newton Raphson για την προσέγγιση της παραπάνω λύσης µε ακρίβεια 3 σηµαντικών ψηφίων. Να γίνει απαραίτητα χρήση κριτηρίου σχετικού σφάλµατος [η απάντηση δεν βαθµολογείται διαφορετικά]. Πόσες επαναλήψεις χρειάστηκαν; [βλ. σχετικά Παραδείγµατα στο διδακτικό βιβλίο και στο τεύχος Ασκήσεων, στις διαλέξεις και Φροντιστήρια] Η επανάληψη Newton-Raphson x αρχικό σηµείο f x xn xn n f ( x ) ( n ),,,... n για τη δοθείσα συνάρτηση είναι: x.5 3 xn + xn x + xn x n 3 + x n xn n,,,... n () Υπολογίζουµε τις διαδοχικές επαναλήψεις της ακολουθίας (), εφαρµόζοντας εκτίµηση σχετικού σφάλµατος για τον προσδιορισµό της ακρίβειας κάθε προσέγγισης: Επανάληψη Εκτίμηση σχετικού σφάλματος Ακριβή σ.ψ. x k x k -x k- /x k- x (x -x )/x.88 < 5e- x (x -x )/x -.59e-4 < 5e-4 4 Εποµένως, µόλις στην η επανάληψη επιτεύχθηκε η προσέγγιση x µε ακρίβεια 4 σ.ψ. (ακόµα καλύτερη!). [Εκδοχή : f(x) x 3 -x +x+ : Η f(x) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R, αφού f (x)3x -4x+>, x R ( -8<). Επίσης είναι f()f(-)-4<, f()f(-.5)-.65<, οπότε λαµβάνουµε x -.5. Τελικά βρίσκουµε x µε ακρίβεια 3 σ.ψ. ή x µε ακρίβεια 4 σ.ψ. Απαντήσεις Θεμάτων Ιουνίου (3 & 4), X. A. Αλεξόπουλος

7 -7-3. [5] Μπορεί να εφαρµοσθεί η µέθοδος holeski στο συµµετρικό µέρος Sym() του µητρώου του Θέµατος 3 και γιατί; Αν ναι, υπολογίστε τυπικά τον παράγοντα holeski F. Απ [«Συµµετρικό Μέρος»: σε πληθώρα Παρ/των στο διδακτικό βιβλίο και στις διαλέξεις ] Στο Θέµα 3(β) διαπιστώσαµε ότι το συµµετρικό µέρος του 3.5 S Sym( ) ( + ).5 3 είναι θετικά ορισµένο. Συνεπώς δέχεται διάσπαση holeski. Την εφαρµόζουµε τυπικά, σύµφωνα µε τον αλγόριθµο Gout: Υπολογίζουµε: 3.5 l l l.5 FF l l l 3 l 33 l 33 l 3.73 l l -.5 l -.5/ , l + l l l 33 3 l l Εποµένως ο παράγων holeski F είναι:.73 F [3] Θεωρούµε τώρα το µητρώο G(/4), όπου το µητρώο του Θέµατος 3. Μπορεί το G να είναι µητρώο επανάληψης µιας συγκλίνουσας γενικής επαναληπτικής µεθόδου επίλυσης συστηµάτων, και γιατί; Υπολογίζουµε τις ιδιοτιµές του : Η λ 3 3 είναι προφανής, ενώ από το µπλοκ Η[3, -; -, ] υπολογίζουµε εύκολα τις υπόλοιπες: 3 λ det(η-λι) λ 4λ + λ λ 3.73, λ.679, λ 3 3 Εποµένως το φάσµα του G είναι {3.73/4,.679/4, 3/4}. Παρατηρούµε ότι η φασµατική ακτίνα είναι ρ(g)3.73/4<, εποµένως, σύµφωνα µε το γνωστό βασικό κριτήριο [βλ. Κεφ. VI], το G µπορεί να είναι µητρώο επανάληψης µιας συγκλίνουσας γενικής επαναληπτικής µεθόδου επίλυσης συστηµάτων (το G τείνει στο ). Σηµείωση: Αποδεκτή είναι και η απάντηση µε βάση το Θ. των κύκλων Geschgoin: οι ιδιοτιµές του βρίσκονται στην ένωση των κύκλων λ 3, λ - και λ - 3, απ όπου εξάγουµε: λ 4, - λ 3 ή / λ/4, -/4 λ/4 3/4 λ(g) < ρ(g) < Απαντήσεις Θεμάτων Ιουνίου (3 & 4), X. A. Αλεξόπουλος