LĂCAȘURI DE CULT CTITORITE DE SFINȚII ÎMPĂRAȚI CONSTANTIN ȘI ELENA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "LĂCAȘURI DE CULT CTITORITE DE SFINȚII ÎMPĂRAȚI CONSTANTIN ȘI ELENA"

Transcript

1 LĂCAȘURI DE CULT CTITORITE DE SFINȚII ÎMPĂRAȚI CONSTANTIN ȘI ELENA Preot dr. Ionel Popescu Sfintele Evanghelii şi cartea Faptele Apostolilor menţionează că, în veacul apostolic, Apostolii, ucenicii Domnului nostru Iisus Hristos şi primii creştini, se închinau în templul din Ierusalim, în sinagogile din localităţile unde propovăduiau vestea cea bună şi chiar în casele particulare, cum a fost, de pildă, cea a sfântului evanghelist Marcu din Cetatea Sfântă, unde s-a ţinut Cina cea de Taină şi s-a pogorât Duhul Sfânt (Fapte I, 13-14). De reţinut este însă faptul că frângerea pâinii sau Sfânta Euharistie, adică Liturghia, avea loc totdeauna în casele particulare ale unor creştini, aşa cum menţionează cartea Apostolilor (II, 46; XX, 7-8) şi epistolele pauline (Romani, XVI, 3, 5; I Corinteni, XVI, 9 şi 15; Filimon 2; Coloseni IV, 15 ş.a.). Unele servicii religioase erau oficiate chiar în cimitire şi, aşa cum se ştie, în catacombe, cele mai multe fiind în Roma şi în Italia, dar şi în nordul Africii, în Siria, în Asia Mică (Capadocia), în Mesopotamia, în Dalmaţia, în Galia, în Spania sau în alte locuri ferite de ochii păgânilor 1. Primele biserici creştine au fost construite pe la sfârşitul secolului al II-lea, în jurul anului 200, acestea fiind, deja, destul de răspândite 2. Unul dintre cercetătorii care s-au ocupat de împăratul Constantin cel Mare 3 menţionează că, după victoria împotriva lui Maxentiu, chiar la nord de Roma, la podul Milvianus (Podul Vulturului), peste Tibru (312), Constantin a devenit creştin convins chiar dacă mai puţin instruit. A restituit imediat proprietăţile confiscate de la creştini, i-a scutit de taxe pe preoţii acestora şi a început să ridice biserici. Situaţia a cunoscut o substanţială îmbunătăţire imediat după semnarea cunoscutului edict de la Milano, când construirea de lăcaşuri de 1 Pr. prof.dr. Ioan Rămureanu, pr.prof.dr. Milan Şesan, pr.prof.dr. Teodor Bodogae, Istoria bisericească universală, vol.i, ed. a III-a, Ed. Institutului Biblic şi de Misiune al Bisericii Ortodoxe Române, Bucureşti, 1987, Pr.prof.dr. Ene Branişte, Liturgica generală cu noţiuni de artă bisericească, Ed. Institutului Biblic şi de Misiune al Bisericii Ortodoxe Române, Bucureşti, 1985, p Warren Treadgold, O istorie a statului şi a societăţii bizantine, vol. I, ( ), Institutul European, 2004, p

2 cult creştine a luat un mare avânt 4. Primele dintre acestea au fost edificate în noua capitală ridicată în Bizanţ, Constantinopol, care a devenit rapid oraşul creştinilor (Christopolis), oraşul ocrotit de Dumnezeu, care are ca sfânt protector pe primul dintre sfinţi, Fecioara Maria 5. În acest scop, împăratul a lansat un adevărat program de construire de biserici 6, care i-a dat posibilitatea de a începe, practic, de la zero, ridicarea, într-un oraş predominant creştin, a trei mari biserici, Hagia Sofia (Sfânta Înţelepciune), Hagia Eirene (Sfânta Pace) şi Sfinţii Apostoli. Autorul citat precizează că arhitecţii lui Constantin trebuiau să creeze un cu totul alt tip de clădire, o biserică menită să adăpostească un număr mare de credincioşi. Ei s-au orientat după modelul unei clădiri laice, bazilica romană, o sală cu o boltă înaltă, culoare şi galerii, care era utilizată pentru adunări publice 7. Asemenea bazilici au fost dăruite de Împăratul Constantin cel Mare creştinilor care, în urma unor mici modificări şi amenajări, le-au transformat în lăcaşuri de cult, păstrându-le vechea formă, dar cu sensul schimbat: bazilica împăratului pământesc a devenit Bασίλєιος όικος, lăcaşul împăratului ceresc, casa lui Dumnezeu şi locul sfânt de adunare şi rugăciune al creştinilor 8. Cu timpul, pe lângă bazilicile de origine păgână transformate în biserici şi adaptate astfel pentru nevoile cultului creştin, s-au construit şi bazilici creştine, anume destinate ca lăcaşuri de cult, care imitau, ca formă, pe cele mai vechi, de origine păgână. Planul şi forma de construcţie a bazilicilor păgâne notează preotul profesor Ene Branişte a slujit multă vreme drept model pentru construcţia noilor biserici creştine, dând naştere stilului basilical (numit uneori şi stilul vechi creştin), în arhitectura bisericească 9. Revenind acum, la împăratul Constantin cel Mare, trebuie subliniat că programul de construire de biserici pe care l-a gândit a fost pus în aplicare, cel puţin în Ţara Sfântă, datorită participării directe a sfintei sale mame, împărăteasa Elena. Despre ea, istoricul Eusebiu de Cezareea scria că în biserica lui Dumnezeu putea fi văzută oricând, casele de rugăciune le înzestra cu daruri minunate şi nu dădea uitării nici măcar lăcaşurile aflate în cele mai neînsemnate cetăţi. Merită cu adevărat să vezi cum umbla femeia aceasta extraordinară, înveşmântată simplu şi modest în mijlocul poporului înghesuit în jurul ei şi cum îşi arăta evlavia faţă de Dumnezeu prin tot soiul de fapte bineplăcute lui Ion Barnea, Octavian Iliescu, Constantin cel Mare, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1982, p. 79). 5 Stelian Brezeanu, O istorie a Bizanţului, Ed. Merana, Bucureşti, 2004, p Rowena Loverance, Imperiul Bizantin, trad. din lb. engleză Dana Nistor, Oradea, 2008, p Ibidem 8 Branişte, p Ibidem, p Legat de particularităţile stilului bisericilor bizantine, a se vedea: Louis Brehier, La civilization byzantine, Editions Albin Michel, Paris, 1950 et 1970, p Eusebiu de Cezareea, Viaţa împăratului Constantin şi alte scrieri, Ed. Basilica a Patriarhiei Române, Bucureşti, 2012, p. 190.

3 Tot Eusebiu de Cezareea menţionează că sfântul împărat a făcut să fie demn de o deosebită cinstire şi oraşul care îi poartă numele (Constantinopol, n.n.) care a ajuns să strălucească în temeiul numeroaselor lui lăcaşuri de rugăciune, cu biserici mari închinate mucenicilor şi cu alte clădiri minunate pe care le-a zidit în afara cetăţii, cât şi chiar în inima ei. Prin ele, Constantin înţelegea să aducă datorata cinstire amintirii acelora şi să-şi pună oraşul sub ocrotirea Dumnezeului lor 11. Construcţia bisericii Hagia Sofia (Înţelepciunea Divină sau Sfânta Înţelepciune) din Constantinopol, cu destinaţie de biserică palatină şi episcopală 12, a început din anul 326, dar sfinţirea ei a fost făcută abia la 15 februarie 360, sub Constanţiu al II-lea 13. Ea a fost ridicată pe latura de nord a pieţei centrale din Constantinopol, numită Augusteion, după numele de Augusta, purtat de împărăteasa Elena, şi era prima construcţie creştină monumentală, destinată să fie mamă şi cap tuturor bisericilor din cetate şi din lume 14. Acest lăcaş de cult era o bazilică cu cinci nave, cu galerii, un atrium în vest şi o absidă în est. În exterior avea forma unui dreptunghi alungit, iar în interior formă de cruce, pe care i-o dădeau şirurile de coloane care împărţeau interiorul 15. Din păcate, a fost grav afectată de un incendiu, în anul 404, după care a fost resfinţită de împăratul Teodosie al II-lea, în anul 415. În timpul revoltei Nika, din anul 532, a fost distrusă complet, dar împăratul Justinian a ridicat în locul ei o altă biserică grandioasă care a rămas până azi cel mai important monument al arhitecturii bizantine 16. Biserica Hagia Eirene (Sfânta Pace) închinată Sfântului Duh ca Pacea lui Dumnezeu 17, era aşezată în apropiere de Sfânta Sofia şi a fost distrusă tot în timpul revoltei Nika, din anul 532. Împăratul Justinian a reclădit-o, dar a fost afectată de un cutremur, în secolul al VIII-lea. Tot atunci a fost şi refăcută, dar nu mai seamănă foarte mult cu cea originală 18. Nicolae Iorga afirmă că această biserică face parte din rândul lăcaşurilor de cult care se remarcă prin progrese importante în tehnica cupolei, suprapuse tipului basilical 19, tehnică ce a fost ilustrată în chip desăvârşit de arhitecţii Anthemius din Tralles şi Isidor din Milet, în vremea împăratului Justinian. 11 Ibidem, p Barnea, Iliescu, p Hans A. Pohlsander, Împăratul Constantin, trad. de Mirella Acsente, Ed. Artemis, Bucureşti, 2007, p Prof.dr. Iosif Constantin Drăgan, Imperiul romano-trac, Ed. Europa Nova, Bucureşti, 2000, p. 17 şi Branişte, p Pohlsander, p Treadgold, p Ibidem. 19 Nicolae Iorga, Istoria vieţii bizantine. Imperiul şi civilizaţia după izvoare, trad. de Maria Holban, Ed. Enciclopedică Română, Bucureşti, 1974, p. 81.

4 Biserica Sfinţii Apostoli a fost construită pe cea mai înaltă colină a oraşului Constantinopol (cea de-a patra), era vizibilă din Bosfor 20 şi a fost acoperită de jos până sus cu pietre de toate culorile, iar partea ei de deasupra a împărţit-o în fâşii înguste şi a poleit-o în întregime cu aur. Ea a fost proiectată în formă de cruce 21 şi era înconjurată de o curte foarte mare, mărginită pe cele patru laturi ale ei de patru porticuri care închideau între ele şi curtea şi biserica 22. Împodobită cu strălucite mozaicuri 23 şi închinată Sfinţilor Apostoli, biserica a fost aleasă de împărat ca loc de veci, devenind astfel martyrium intra muros 24. Constantin era convins că, procedând astfel, va avea parte şi dincolo de moarte de rugăciunile ce aveau să se aducă acolo spre cinstirea acelora (a Apostolilor, n.n.) şi că printr-un asemenea act avea să-şi atragă din partea lor un foarte temeinic ajutor pentru suflet 25. Înăuntrul bisericii împăratul a poruncit să fie ridicat un altar înconjurat de douăsprezece sarcofage şi de coloane sfinţite pentru cinstirea şi pomenirea cetei Apostolilor 26. Aceste monumente aveau însă o pură funcţie simbolică, întrucât biserica nu adăpostea încă moaştele niciunui apostol. În centrul mormintelor destinate apostolilor era sarcofagul împăratului considerat al treisprezecelea apostol, mai mare decât celelalte 27. Imediat după ce a fost proclamat împărat, Constantin a mers la Constantinopol pentru a supraveghea funeraliile tatălui său, pe care l-a îngropat în biserica închinată Sfinţilor Apostoli. Constantin cel Mare a murit în ziua de Rusalii, 22 mai 337, după ce a primit botezul în vila sa din Akyran, lângă Nicomidia, şi a fost înmormântat în biserica Sfinţilor Apostoli, clădită de el 28. Astăzi, pe locul unde se afla biserica Sfinţilor Apostoli, se înalţă moscheea Fatih sau moscheea lui Mahomed al II-lea, Cuceritorul 29. Cele trei biserici din Constantinopol: Hagia Sofia, Hagia Eirene şi Sfinţii Apostoli nu erau numai cele mai mari din capitala Imperiului bizantin, ci şi cele mai importante, însă, din păcate, nu au supravieţuit vicisitudinilor istoriei. Tot în Constantinopol, împăratului Constantin cel Mare i se mai atribuie ctitorirea bisericilor Sfinţilor Serghie şi Vach, Sfântului Gheorghe, Sfântului Mihail, care va fi refăcută de Justinian, ca şi biserica de la Sigma, apoi, una, a Sfântului Agatonicus, una, a Sfântului Procopie şi una, a Sfântului Acatius. 20 Pohlsander, p Loverance, p. 12; Branişte, p Eusebiu, p Nicolae Bunescu, Istoria imperiului bizantin, vol. I, Ed. Anastasia, Bucureşti, 2000, p Barnea, Iliescu, p Ibidem, p Ibidem. 27 Împăraţi romani, 55 de portrete de la Caesar la Justinian, editate de Manfred Clauss, trad. din lb. germană, şi note de Adolf Ambruster, Ed. Enciclopedică, Bucureşti, 2001, p Bănescu, op. cit. p , apud. J. Bidez, La vie de l empereur Julien, Paris, Les Belles Lettres, 1930, p ; Eusebiu Pohlsander, p. 104.

5 Împăratul Constantin mai este considerat ctitorul bisericilor Sfântul Filimon şi Sfântul Eudoxiu, iar Sfânta Elena ar fi întemeiat bisericile Sfântul Teodor, Sfântul Carp şi Sfântul Babilas 30. Inspirat şi ajutat în mare parte de maica sa, Sfânta împărăteasă Elena, împăratul iniţiază şi patronează construcţia unor splendide şi celebre biserici 31, în mai multe oraşe, precum Aquileila, unde a fost ridicată o bazilică dublă, din care a mai rămas, până azi, doar biserica din sud. Pe pardoseala de mozaic, datată în anul 325, se găsesc o serie de portrete care e posibil să-l reprezinte pe Constantin şi pe unii membri ai familiei imperiale. La Trier (Augusta Treverorum), fosta capitală a părţii occidentale a Imperiului, în timpul lui Constantin a fost construită o dublă bazilică creştină, al cărei plan aminteşte de unele bazilici din Ţara Sfântă 32. În Nicomidia, împăratul a cerut să fie construită o biserică impunătoare şi magnifică, la Antiohia, probabil în incinta palatului imperial de pe râul Oronte 33, s-a ridicat marele Octogon sau Biserica de aur, o biserică de neasemuită mărime şi frumuseţe, străjuită, din toate părţile, de ziduri puternice, în mijlocul cărora lăcaşul însuşi, de formă octogonală, se înălţa, neînchipuit de semeţ, înconjurat, de jur împrejur, cu încăperi, unele, la nivelul pământului, altele, deasupra lui. Şi acest lăcaş a fost înzestrat de Constantin cu mult aur, cu risipă de bronz şi cu tot felul de alte materii preţioase 34. Începută în anul 327, biserica a fost sfinţită în anul 341. Acest important monument, supranumit, pentru bogăţia decorului său, Domus Aurea, nu este cunoscut decât din descrieri sumare şi dintr-un mozaic pavimentar descoperit într-o vilă din apropierea oraşului Antiohia. Despre el se afirmă că a fost modelul cunoscutului San Vitale din Ravena şi al altor biserici de acelaşi tip 35. La Cirta, capitala Nicomidiei, rebotezată Constantina, în onoarea împăratului, Constantin a finanţat ridicarea unei biserici mari şi impunătoare, închinată Mântuitorului său, care a fost terminată în anul 329 şi, fiind luată de secta donatiştilor, a fost ridicată imediat alta, tot pe cheltuiala sa 36. O biserică foarte mare şi impunătoare închinată Mântuitorului a dăruit Constantin capitalei Bithyniei, provincie din Asia Mică, dar şi oraşelor mai însemnate din celelalte provincii, consemnează istoriograful său 37 Eusebiu de Cezareea. Spre pildă, la Heliopolis, în Fenicia, unde în numele Afroditei multă lume nu făcea decât să se dedea plăcerilor celor mai neînfrânate, împăratul a luat măsuri pentru ca cetatea să primească în dar o biserică a lui 30 Iorga, p Branişte, p Barnea, Iliescu, p Eusebiu, p Barnea, Iliescu, p Pohlsander, p ; Eusebiu, p Eusebiu, p

6 Dumnezeu, cu preoţi şi diaconi, precum şi un episcop sfinţit Dumnezeului Celui Preaînalt, pentru a-i călăuzi 38. Împăratul Diocleţian a mutat capitala Imperiului roman la Nicomidia, aşa că Roma şi-a pierdut statutul de capitală unică a acestuia şi a rămas un oraş preponderent păgân, în care templele, monumentele, senatul şi aristocraţia cunoşteau şi păstrau vechea religie 39. Cu toate acestea, civita aeterna, nu a fost neglijată de împăratul Constantin, care a construit acolo mai multe monumente, printre care şi câteva biserici. Astfel, bisericile San Giovanni (Sfântul Ioan), în Laterano, şi San Pietro, în Vaticano (spre a se deosebi de San Pietro in Vincoli), au fost construite la cererea şi cu sprijinul împăratului. Biserica San Giovanni este cel dintâi lăcaş de cult creştin de tip bazilical înălţat de Constantin 40, construit pe locul cărămizilor militare aflate lângă palatul Laterani, demolate din ordinul împăratului, şi s-a numit, iniţial, Basilica Salvatorius sau Basilica Constantiniană, ulterior, Basilica di San Giovanni in Laterano. Acesta a fost singurul lăcaş bisericesc din capitala imperiului unde se botezau catehumenii, până la sfârşitul anilor 300. Lucrările de construcţie la această clădire monumentală de 98x56 metri, cu o navă centrală, nave laterale duble, absidă şi acoperiş de lemn, au început, probabil, în anul 313. Lângă biserică a fost construit marele baptisteriu octogonal, cunoscut şi sub numele de baptisteriul lui Constantin, ce avea să servească drept model pentru alte construcţii asemănătoare 41. Acest baptisteriu a fost construit de împărat în anul 315 şi este unul dintre cele mai vechi edificii creştine din Roma, precum şi cel mai vechi baptisteriu al întregii creştinătăţi. El a servit ca model pentru baptisteriile construite ulterior, printre care şi baptisteriile bizantine din Ravena. Unele legende medievale susţin că împăratul Constantin ar fi fost botezat aici de către papa Silvestru 42. Biserica Sfântul Ioan din Laterano a fost reconstruită în secolele X, XVIII şi XIX (nemaipăstrând nimic din forma iniţială) 43 şi a rămas marea biserică-mamă a întregii creştinătăţi occidentale, depăşind, în importanţă, Biserica Sfântului Petru 44. Lucrările la vechea San Pietro (pentru a o deosebi de noua construcţie) au început între anii 315 şi 319 şi s-au încheiat în jurul anului 329. Aceasta era mai mare decât Sfântul Ioan (lungimea ei era de 120 de metri), avea un plan diferit şi este socotită, cronologic, prima bazilică martyrium, în adevăratul sens al cuvântului 45. Ca elemente suplimentare apar un atrium închis, un nartex şi un transept, colonadele interioare fiind formate din 96 de coloane. În centrul 38 Ibidem, p Rămureanu, Şesan, Bodogae, p Barnea, Iliescu, p Pohlsander, p Branişte, p Pohlsander, p Barnea, Iliescu, p. 80.

7 transeptului se afla martyrium-ul, capela Sfântul Petru, întrucât biserica a fost ridicată peste mormântul Apostolului. Sfinţii împăraţi Constantin şi Elena au aşezat, peste mormântul Sfântului Petru, o cruce imensă, de aur, a cărei existenţă este confirmată de descoperirile ulterioare 46. Pe Via Appia, deasupra catacombei Sfântul Sebastian, împăratul Constantin a ridicat bazilica Apostolorum, numită aşa deoarece se credea că, în timpul persecuţiilor creştine, fuseseră aduse aici moaştele Apostolilor Petru şi Pavel, iar pe Via Labicana, astăzi Via Casilina, la aproximativ 3-4 km de Porta Maggiore, vechea Porta Labicana, a construit o biserică închinată sfinţilor martiri Marcellinus şi Petru. Legată de biserică era o rotondă boltită, pe care împăratul voia să o facă mausoleu, pentru el şi pentru familia sa. Biserica nu mai există, pe locul ei fiind construită mai târziu oalta, însă, din mausoleu, au rămas resturi de construcţie, cunoscute sub numele de Tor Pignattara, de la urcioarele de lut (pignatte) din structura sa. În acest mausoleu a fost aşezat, o vreme, sarcofagul de porfir al împărătesei Elena, aflat acum în sala a Croce Grece din muzeul Pio Clementino, la Vatican 47. O altă biserică, numită Sfântul Pavel (San Paolo fuori de mura), zidită de împăratul Constantin în afara oraşului Roma, pe Via Ostiense, peste mormântul apostolului Pavel 48, a ars în incendiul din 1823 şi a fost refăcută ulterior, după vechiul plan 49. Acelaşi împărat a mai ridicat un mic mausoleu imperial, la Roma, pe Via Nomentana, care adăpostea sarcofagul de porfir al fiicei sale Constantina, decedată în , din care se păstrează câteva fresce, expresie a artei picturale bizantine din acea perioadă 51. Tot la Roma au fost construite, în timpul împăratului Constantin cel Mare,bazilicile-martyrium, de dimensiuni mult mai modeste, cu câte trei nave, peste mormintele Sfinţilor Laurenţiu şi Agnese 52. Din programul de ridicare a unor lăcaşuri creştine de cult au făcut parte şi Locurile Sfinte, Israelul de azi, împăratul Constantin fiind direct interesat să identifice şi să marcheze cu biserici locurile asociate cu viaţa lui Iisus 53. Numărul lor va creşte, cu timpul, încât, la sfârşitul veacului al IV-lea, vom întâlni acolo, în toate punctele mai importante, lăcaşuri sfinte (bazilici, paraclise, mănăstiri), care au atras, apoi, foarte mulţi pelerini Ibidem 47 Ibidem, p Barnea, Iliescu, p Branişte, p Barnea, Iliescu, p Iorga, p Barnea, Iliescu, p Loverance, p Pr. prof. dr. Vasile Muntean, Istoria creştină generală, vol. I, (ab initio-1054), Ed. Institutului Biblic şi de Misiune al Bisericii Ortodoxe Române, Bucureşti, 2008, p. 147.

8 La solicitarea patriarhului Ierusalimului, Macarie, împăratul a aprobat lucrările de decopertare pe Golgota, desfăşurate sub supravegherea împărătesei Elena, pentru a descoperi stânca şi Sfânta Cruce pe care a fost răstignit Domnul nostru Iisus Hristos. Istoricul Eusebiu de Cezareea notează că, luându-se deoparte strat după strat, a început să apară pământul aflat în fundul săpăturii şi s-a ivit preasfânta dovadă a aducătoarei de mântuire Învieri, peştera întru toate sfântă 55. Peste acest loc, împăratul a poruncit să fie ridicat un sălaş de închinare vrednic de numele lui Dumnezeu, bogat şi de o strălucire împărătească 56. Într-o scrisoare trimisă patriarhului Macarie, împăratul şi-a exprimat dorinţa ca, pe locul Golgotei, salvat de ruşinoasa împovărare idolească 57, să fie ridicată o biserică, încât până şi cele mai mândre zidiri din oraşele noastre să fie umbrite de frumuseţea ei 58. Tot istoricul citat menţionează că biserica ridicată pe Golgota era o construcţie cu totul neobişnuită, nespus de înaltă, foarte lungă şi foarte lată, pe dinăuntru acoperită cu plăci de marmură, colorată felurit; pe dinafară, zidurile făcute din piatră lustruită, pretutindeni desăvârşit îmbinată sclipeau în neasemuita lor frumuseţe, întru nimic mai prejos decât marmura [ ]. Sus, acoperişul era pe dinafară acoperit cu plumb (ca un scut îndreptat împotriva ploilor de iarnă), iar pe dinăuntru se înfăţişa sub forma unei suprafeţe sculptate şi căptuşite cu lemn, interiorul fiind <<pretutindeni poleit cu aur strălucitor>> 59. Biserica Sfântului Mormânt sau a Învierii Domnului, mărturie impunătoare a mântuitoarei Învieri, a fost înzestrată de împărat cu nenumărate şi minunate daruri făcute din aur, argint şi din pietre nestemate 60 şi a fost inaugurată în anul 335, în prezenţa lui Constantin 61. Bazilica Învierii Domnului era construită din piatră cioplită, avea cinci nave, acoperiş în şarpantă şi pereţii interiori placaţi cu marmură colorată. Spre est, unde se afla intrarea, era un atrium cu patru portice. Spre vest, se continua cu un alt atrium care făcea legătura cu rotonda care închidea grota cu mormântul Domnului Hristos. Din păcate, acest ansamblu arhitectural a dispărut, din el păstrându-se doar câteva coloane şi un fragment din zidul rotondei 62. Pe Muntele Măslinilor, de unde Mântuitorul Iisus Hristos s-a înălţat la ceruri, împăratul Constantin şi mama sa Elena au înălţat o altă biserică, în 55 Eusebiu, p Ibidem. 57 Golgota s-a aflat timp de 200 ani sub clădirile unui templu închinat zeiţei Venus (Afrodita), dărâmat din ordinul împăratului Constantin cel Mare, cf. Pr.dr. Ionel Popescu, Ecouri perene de lumină şi credinţă din Ţara Sfântă, Ed. Învierea, Timişoara, 2009, p Eusebiu, p Ibidem, p. 187; a se vedea şi pr. David Pristavu, Drumul Crucii şi Biserica Sfântului Mormânt, Ierusalim, Eusebiu, p

9 vârf, sus deci în partea cea mai înaltă a muntelui 63, după anul 325, în care se găsea o icoană monumentală a Înălţării Domnului la cer 64, care nu se mai păstrează. Săpăturile arheologice efectuate pe Muntele Măslinilor au confirmat existenţa unei bazilici mari acolo, împodobită cu strălucite mozaicuri pavimentare. Lăcaşul de cult avea un atrium dreptunghiular cu portice pe cele patru laturi, un naos cu cinci nave şi un sanctuar poligonal cu cinci laturi exterioare, flancat de două pastoforii 65. Ceva mai jos, pe locul unde se află azi biserica Dominus Flevit ( Domnul a plâns sau Dintr-o lacrimă ), Sfinţii Împăraţi au ridicat un alt lăcaş de cult şi acesta dispărut 66. În prima jumătate a secolului al IV-lea (330), a fost ridicată şi Biserica Naşterii Domnului din Betlehem, tot cu sprijinul împăratului Constantin şi cu purtarea de grijă a împărătesei Elena, distrusă în timpul revoltei samaritene din secolul al VI-lea şi refăcută de împăratul Iustinian, în anul Săpăturile arheologice efectuate aici au evidenţiat faptul că biserica ridicată peste peştera Naşterii Domnului era de plan octogonal, având un acoperiş în formă de boltă sau piramidal. Ansamblul arhitectonic se compunea din martyrionul octogonal şi o bazilică cu cinci nave şi atrium cu patru portice, în care se adăposteau cei care veneau să coboare în peştera existentă în interiorul construcţiei octogonale 68. În sudul Betlehemului, la stejarul ce se cheamă Mamvri, de pe meleagurile Palestinei, a dat poruncă (împăratul Constantin, n.n.) să se înalţe şi acolo o casă de rugăciune Dumnezeului Care se făcuse arătat atunci, vrednică de universala şi apostolica Biserică [ ], lăcaş cât mai frumos, potrivit vechimii şi însemnătăţii înseşi a locului. 69 Săpăturile arheologice au demonstrat că Mamvri este identic cu localitatea Ramet-el-Chalil. Biserica ridicată aici, mai mult largă decât lungă, era împărţită în trei nave, cu presbiteriul flancat de două pastoforii pătrate, după moda siriană, în interiorul unei mari incinte dreptunghiulare 70. Pe Tabor, muntele Schimbării la Faţă, Sfinţii Împăraţi au ridicat, de asemenea, o biserică, în jurul căreia a înflorit viaţa monahală. Din păcate lăcaşul a fost dărâmat în timpul invaziilor perşilor, arabilor şi otomanilor, astăzi putând fi văzute doar ruinele scoase la iveală de arheologi 71. La Nazaret şi Cana Galileii au fost înălţate de împăratul Constantin şi mama sa Elena alte două biserici creştine, ale căror fundaţii au fost descoperite de 63 Wilhelm Nyssen, Începuturile picturii bizantine, Ed. IMBOR, Bucureşti, 1975, p Ibidem, p Popescu, p Eusebiu, p Părintele Godfrey, p Ibidem, p

10 arheologi. În naosul bisericii catolice din Cana se mai păstrează, încă, o porţiune de pardoseală din mozaic, ce datează din secolul al IV-lea 72. Pe ţărmul de vest al lacului Ghenizaret sau al Mării Galileii, împărăteasa Elena a ctitorit o biserică pe locul unde se crede că a avut loc una din cele două minuni ale înmulţirii pâinii şi peştilor. Cercetările arheologice de la Et-Tabga au scos la lumină ruinele unei bazilici cu trei nave şi cu planul în formă de T, extrem de importantă pentru răspândirea în timp şi spaţiu a bazilicii cu transept, singura de acest tip pe teritoriul Israelului 73. Sfinţii Împăraţi şi întocmai cu Apostolii, Constantin şi Elena, s-au îngrijit ca toate aşezămintele creştine ctitorite de ei să fie bogat înzestrate 74, împăratul însuşi dăruindu-le pământuri şi grâu pentru întreţinerea săracilor, a orfanilor şi a femeilor năpăstuite de soartă 75. În concluzie, Sfinţii Împăraţi Constantin şi Elena au ctitorit numeroase biserici în Constantinopol, în Roma, în Asia Mică şi la Locurile Sfinte din Israel, unele clădiri fiind cu adevărat monumentale în comparaţie cu bisericuţele şi cu paraclisele creştinilor din secolele anterioare. Arhitecţii imperiali s-au folosit atât de planuri longitudinale, cât şi de centrale, cele din urmă pentru scopuri memoriale, şi au scris primul capitol în istoria arhitecturii eclesiastice 76. Odată cu aceasta, au luat avânt pictura, sculptura, broderia şi arta bisericească, în general, dezvoltată de urmaşii lui Constantin cel Mare la conducerea Imperiului bizantin, între care s-a remarcat, îndeosebi, împăratul Iustinian cel Mare ( ). 72 Pohlsander, p Ibidem, p Pohlsander, p Ibidem, p Pohlsander, p. 93.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui - Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Personal Scrisori. Scrisori - Adresa. Κυρ. Ιωάννου Οδ. Δωριέων 34 Τ.Κ 8068, Λάρνακα

Personal Scrisori. Scrisori - Adresa. Κυρ. Ιωάννου Οδ. Δωριέων 34 Τ.Κ 8068, Λάρνακα - Adresa Κυρ. Ιωάννου Οδ. Δωριέων 34 Τ.Κ 8068, Λάρνακα Κυρ. Ιωάννου Οδ. Δωριέων 34 Τ.Κ 8068, Λάρνακα Formatul românesc de adresă: Strada, numărul străzii, eventual blocul, scara şi numărul apartamentului

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος

Ακαδημαϊκός Λόγος Κύριο Μέρος - Επίδειξη Συμφωνίας În linii mari sunt de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου Cineva este de acord cu...deoarece... Επίδειξη γενικής συμφωνίας με άποψη άλλου D'une façon générale,

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

COMENTARIU LA FAPTELE APOSTOLILOR

COMENTARIU LA FAPTELE APOSTOLILOR 3 SFÂNTUL IOAN GUR DE AUR COMENTARIU LA FAPTELE APOSTOLILOR vol. I Traducere din limba greac\ veche, introducere [i note Ierom. LAVRENTIE CARP Carte tip\rit\ cu binecuvântarea ~naltpreasfin]itului TEOFAN

Διαβάστε περισσότερα

Πού μπορώ να βρω τη φόρμα για ; Unde pot găsi un formular pentru? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα

Πού μπορώ να βρω τη φόρμα για ; Unde pot găsi un formular pentru? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα - Γενικά Πού μπορώ να βρω τη φόρμα για ; Unde pot găsi un formular pentru? Για να ρωτήσετε που μπορείτε να βρείτε μια φόρμα Πότε εκδόθηκε το [έγγραφο] σας; Για να ρωτήσετε πότε έχει εκδοθεί ένα έγγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

-lucrare de licenńă-

-lucrare de licenńă- ...(Denumirea actuală a Ministerului EducaŃiei)... UNIVERSITATEA TEHNICĂ DIN CLUJ-NAPOCA CENTRUL UNIVERSITAR NORD DIN BAIA MARE FACULTATEA DE LITERE DEPARTAMENTUL DE ŞTIINłE SOCIO-UMANE, TEOLOGIE, ARTE

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

页面

页面 订单 - 配售 Εξετάζουμε την αγορά...luăm în considerare posibi 正式, 试探性 Είμαστε στην ευχάριστη Suntem θέση να încântați δώσουμε την să plasăm παραγγελία μας στην εταιρεία comandă σας pentru... για... Θα θέλαμε

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Personal Urări. Urări - Nuntă. Urări - Logodna. Συγχαρητήρια. Σας ευχόμαστε όλη την ευτυχία του κόσμου. Pentru a felicita un cuplu recent căsătorit

Personal Urări. Urări - Nuntă. Urări - Logodna. Συγχαρητήρια. Σας ευχόμαστε όλη την ευτυχία του κόσμου. Pentru a felicita un cuplu recent căsătorit - Nuntă Συγχαρητήρια. Σας ευχόμαστε όλη την ευτυχία του κόσμου. Pentru a felicita un cuplu recent căsătorit Θερμά συγχαρητήρια για τους δυο σας αυτήν την ημέρα του γάμου σας. Pentru a felicita un cuplu

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

I X A B e ic rm te e m te is S

I X A B e ic rm te e m te is S Sisteme termice BAXI Modele: De ce? Deoarece reprezinta o solutie completa care usureaza realizarea instalatiei si ofera garantia utilizarii unor echipamente de top. Adaptabilitate la nevoile clientilor

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenților în vederea asigurării de șanse egale

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenților în vederea asigurării de șanse egale Investește în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operațional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educația și formarea profesională în sprijinul creșterii

Διαβάστε περισσότερα

cercului circumscris triunghiului ABE.

cercului circumscris triunghiului ABE. Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Ediția a IV-a 2012-2013 Problema 1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia (x 2 + y 2 ) 3 = (x 3 y 3 ) 2. Soluţie. Ecuaţia se scrie echivalent x

Διαβάστε περισσότερα

Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Informează dacă există comisioane bancare la retragere numerar într-o anumită țară

Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Informează dacă există comisioane bancare la retragere numerar într-o anumită țară - General Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Informează dacă există comisioane bancare la retragere numerar într-o

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Conice şi cercuri tangente

Conice şi cercuri tangente Conice şi cercuri tangente Ioan POP 1 Abstract It proves how to obtain the non-degenerate conics, ellipse, hyperbola and parabola, of some basic tangent problems Keywords: circle, ellipse, hyperbola, parabola

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Ταξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Παράκληση για βοήθεια. Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά

Ταξίδι Γενικά. Γενικά - Τα απαραίτητα. Γενικά - Συνομιλία. Παράκληση για βοήθεια. Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά - Τα απαραίτητα Mă puteți ajuta, vă rog? Παράκληση για βοήθεια Vorbiți în engleză? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά Vorbiți _(limba)_? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά ορισμένη γλώσσα Nu vorbesc _(limba)_.

Διαβάστε περισσότερα

Reflexia şi refracţia luminii.

Reflexia şi refracţia luminii. Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular

Διαβάστε περισσότερα

SIGURANŢE CILINDRICE

SIGURANŢE CILINDRICE SIGURANŢE CILINDRICE SIGURANŢE CILINDRICE CH Curent nominal Caracteristici de declanşare 1-100A gg, am Aplicaţie: Siguranţele cilindrice reprezintă cea mai sigură protecţie a circuitelor electrice de control

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care

Διαβάστε περισσότερα