Απλή Λύση Τασικού Πεδίου για Βαρυτικές και Σεισµικές Ωθήσεις Γαιών. Simple Stress Solution for Gravitational and Seismic Earth Pressures.

Transcript

1 Απλή Λύση Τασικού Πείου για Βαρυτικές και Σεισµικές Ωθήσεις Γαιών. Simple Stress Solution for Gravitational and Seismic Earth Pressures. ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ Γ. Πολιτικός Μηχανικός, Επικ. Καθηγητής Πανεπιστηµίου Πατρών ΠΑΠΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ Κ. Πολιτικός Μηχανικός, Επικ. Καθηγητής Πανεπιστηµίου Πατρών ΚΛΟΥΚΙΝΑΣ Π. Πολιτικός Μηχανικός, Μεταπτυχιακός Φοιτητής Πανεπιστηµίου Πατρών ΛΑΓΓΟΥΣΗΣ Μ. Σ. Πολιτικός Μηχανικός, Μεταπτυχιακός Ερευνητής, Northwestern University ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Παρουσιάζεται κλειστή αναλυτική λύση τασικού πείου για τον υπολογισµό αρυτικών και σεισµικών θήσεν σε τοίχους αντιστήριξης. Λαµάνονται υπ όψη: (1) το ίιον άρος και η γνία τριής του εάφους, () η κλίση του τοίχου, (3) η κλίση του πρανούς, (4) η τραχύτητα της ιεπιφάνειας τοίχου-εάφους, (5) επιφόρτιση στην επιφάνεια του εάφους και (6) οριζόντια και κατακόρυφη σεισµική επιτάχυνση. Συγκρίσεις µε εραιµένες λύσεις όπς αυτές τν Coulomb, Mononobe-Okabe, Chen και Sokolovskii παρουσιάζουν ικανοποιητική ακρίεια. Συγκριτικά µε τις παραπάν µεθόους, η προτεινόµενη λύση είναι µαθηµατικά απλούστερη και εν γένει ασφαλής, ηλαή υπερεκτιµά τις ενεργητικές θήσεις και υποεκτιµά τις παθητικές. ABSTRACT: A simple closed-form solution of the stress type is proposed for determining gravitational and seismic earth pressures on retaining walls. The solution takes into account: (1) the weight and friction angle of the soil, () wall inclination, (3) backfill inclination, (4) wall roughness, (5) surcharge at soil surface, (6) horiontal and vertical seismic acceleration. Comparison with established solutions, such as those of Coulomb, Mononobe-Okabe, Chen and Sokolovsκii show satisfactory agreement. Compared to existing methods, the proposed solution is mathematically simple and safe, that is, it overestimates pressures and underestimates the. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι κλασικές λύσεις τν Coulomb και Mononobe-Okabe χρησιµοποιούνται ευρύτατα για τον υπολογισµό εαφικών θήσεν λόγ αρυτικών και σεισµικών ράσεν αντίστοιχα. Είναι γνστό ότι και οι ύο λύσεις εµπίπτουν στη κατηγορία τν κινηµατικών µεθόν της οριακής ανάλυσης, οι οποίες είναι εγγενώς µήασφαλείς, ηλαή υποεκτιµούν τις ενεργητικές θήσεις και υπερεκτιµούν τις παθητικές. Οι µέθοοι αυτές ασίζονται σε κινηµατικώς αποεκτούς µηχανισµούς αστοχίας σε συνυασµό µε κατάλληλα κριτήρια αστοχίας και νόµους πλαστικής ροής οι οποίοι εφαρµόζονται σε προεπιλεγµένες επιφάνειες ιαρροής. Αντιθέτς, οι τάσεις στο εαφικό µέσο εν εξετάζονται και, συνεπώς, οι εξισώσεις ισορροπίας γενικώς εν ικανοποιούνται. H inclined backfill q rough () inclined wall cohesionless soil (φ, γ) k hγ k v γ Σχήµα 1: To υπό εξέτασιν πρόληµα. Figure 1: The problem under consideration. ψ γ Μια εύτερη κατηγορία µεθόν, οι λύσεις τασικού πείου τατικές λύσεις), χρησιµοποιούν πεία τάσεν τα οποία ικανοποιούν τις εξισώσεις ισορροπίας και τις συνοριακές συνθήκες τάσεν του προλήµατος, χρίς να 5ο Πανελλήνιο Συνέριο Γετεχνικής & Γεπεριαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006 1

2 παραιάζουν το κριτήριο αστοχίας σε κανένα σηµείο του µέσου. Λύσεις αυτού του τύπου είναι εγγενώς ασφαλείς, ηλαή υπερεκτιµούν τις ενεργητικές θήσεις και υποεκτιµούν τις παθητικές. Η πιο γνστή τέτοια εξίσση είναι αυτή του Rankine, η υνατότητα χρήσης της οποίας περιορίζεται από τις παραοχές του οριζόντιου πρανούς και του λείου, κατακόρυφου τοίχου. Εξαιτίας της υσκολίας στην κατασκευή κατάλληλν τασικών πείν, η πλειονότητα τν ιαθέσιµν κλειστών λύσεν οριακής ανάλυσης στη γετεχνική µηχανική είναι του κινηµατικού τύπου (Chen & Liu 1990). Απ όσο γνρίζουν οι συγγραφείς, λύσεις τασικού τύπου για σεισµικές θήσεις γαιών εν έχουν ηµοσιευθεί στο παρελθόν. Είναι γενικώς αποεκτό (Chen 1975, Atkinson 1981), ότι οι στατικές µέθοοι παραλέπουν την κινηµατική του προλήµατος (µηχανισµός αστοχίας, πλαστική ροή) και συνεπώς η συµιαστότητα τν µετατοπίσεν εν ικανοποιείται. Στο συγκεκριµένο πρόλήµα ο παραπάν ισχυρισµός εν ισχύει απόλυτα καθώς, για παράειγµα, το πρόσηµο τν ιατµητικών ράσεν στη ιεπιφάνεια τοίχουεάφους καθορίζεται µε κινηµατικά κριτήρια (Papantonopoulos & Ladanyi 1973). Επίσης, µεταλητές παράµετροι αντοχής στη ιεπιφάνεια τοίχου-εάφους µπορούν να χρησιµοποιηθούν για ιαφορετικές κινηµατικές συνθήκες στον τοίχο. Τέλος ιαφορετικοί νόµοι πλαστικής ροής µπορούν να συµπεριληφθούν έµµεσα στη λύση, µε χρήση κατάλληλν τροποποιηµένν παραµέτρν αντοχής (Davis 1968). Χρίς να αµφισητείται η χρησιµότητα και θερητική αξία τν προαναφερθεισών κινη- µατικών λύσεν, τα παρακάτ µειονεκτήµατα τους µπορούν να επισηµανθούν: (1) οι προλέψεις εν ρίσκονται στην πλευρά της ασφαλείας, () η ακρίεια (και ασφάλεια) τν αποτελεσµάτν µειώνεται ραµατικά στην περίπτση παθητικών θήσεν σε τραχείς τοίχους και µεγάλες γνίες τριής εάφους, (3) οι µαθηµατικές εκφράσεις είναι περίπλοκες και ύσκολο να επαληθευθούν αναλυτικά. Απαιτείται η εύρεση κρίσιµου µηχανισµού αστοχίας µε ιαικασία αριθµητικής ελτιστοποίησης (Chen 1975; Soubra 000). Με άση τα παραπάν γίνεται προφανές ότι η εξαγγή µιας εύχρηστης κλειστής λύσης τασικού πείου στο πρόληµα της σεισµικής ώθησης γαιών είναι εξαιρετικά χρήσιµη. Η προτεινόµενη λύση είναι αλγερικώς απλούστερη από τις αντίστοιχες κινηµατικές λύσεις και προσφέρει ικανοποιητική ακρίεια (µέσο σφάλµα µικρότερο του 10% περίπου) και αποτελέσµατα γενικώς προς την πλευρά της ασφάλειας. Πέρα από το καθαρά θερητικό ενιαφέρον της, η προτεινόµενη λύση µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την αξιολόγηση άλλν σχετικών λύσεν. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ: Το υπο εξέτασιν πρόληµα παρουσιάζεται στο Σχήµα 1: κεκλιµένο εαφικό πρανές µη συνεκτικού εάφους υποστηριζόµενο από κεκλιµένο τοίχο αρύτητας. Το σύστηµα ρίσκεται υπό συνθήκες επίπεης παραµόρφσης και υπόκειται σε ψευουναµική εαφική επιτάχυνση µεταλητής φοράς (± k h g) και (± k v g) στην οριζόντια και κατακόρυφη ιεύθυνση, αντίστοιχα. Οι παράµετροι του προλήµατος είναι: το ύψος Η και η κλίση του τοίχου, η τραχύτητα της ιεπιφάνειας τοίχου-εάφους, το ειικό άρος, γ και η γνία τριής φ του εάφους. Το πρανές φορτίζεται σε όλο του το µήκος µε επιφανειακή κατακόρυφη επιφόρτιση q. Η συνοχή του εάφους µπορεί να συµπεριληφθεί στη λύση, αλλά είναι ήσσονος σηµασίας στην πράξη. Τέλος, η συνολική αρυτική σεισµική φόρτιση ασκείται υπό γνία ψ από την κατακόρυφη, η οποία ίνεται από τη σχέση (Σχήµα 1): ± kh tanψ = (1) 1 ± k v Το θετικό πρόσηµο στον αριθµητή της εξίσσης 1 ηλώνει αρανειακή ράση προς την πλευρά του τοίχου (εαφική επιτάχυνση προς το επίχµα), η οποία αυξάνει την ενεργητική ώθηση. Αντίστροφα, το αρνητικό πρόσηµο ηλώνει αρανειακή ράση προς το πρανές, η οποία µειώνει την παθητική ώθηση. Για ψ = 0 το παραπάν πρόληµα ταυτίζεται µε το πρόληµα του Coulomb. Για την αποφυγή αστοχίας του πρανούς όταν η αρανειακή σεισµικής ράσης έχει φορά προς τον τοίχο, η γνία ψ εν µπορεί να υπεραίνει τη ιαφορά µεταξύ της γνίας τριής του εάφους και της κλίσης του πρανούς. Συνεπώς, ο παρακάτ περιορισµός οφείλει να ικανοποιείται: ψ < φ () Για την επίλυση του προλήµατος, το εαφικό µέσο χρίζεται σε ύο περιοχές (Σχήµατα και 3) : η πρώτη (περιοχή Α) εντοπίζεται κοντά 5ο Πανελλήνιο Συνέριο Γετεχνικής & Γεπεριαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006

3 στην επιφάνεια του εάφους, ενώ η εύτερη (περιοχή Β) κοντά στον τοίχο. Και στις υο περιοχές, το έαφος θερείται σε κατάσταση επικείµενης αστοχίας (ηλαή ότι ισορροπεί πολύ κοντά στην ιαρροή), όπς επίσης και η ιεπιφάνεια µεταξύ τοίχου και εάφους. Είναι γνστό (Sokolovskii 1965; Atkinson 1981) ότι λόγ τν ιαφορετικών κλίσεν πρανούς και τοίχου, και τν ιαφορετικών µηχανικών χαρατηριστικών εάφους και ιεπιφάνειας τοίχου-εάφους, οι ιευθύνσεις τν κυρίν τάσεν στις ύο περιοχές εν συµπίπτουν. Η ιαφορά τν κλίσεν εξαρτάται και από το είος της φόρτισης (ενεργητική ή παθητική κατάσταση), όπς φαίνεται στό Σχήµα 5. unit length H wall length L = H / cos w, τ w ) w, τ w ) ZONE B Σχήµα 3: Πείο τάσεν κοντά στον τοίχο (περιοχή Β). Figure 3: Stress field close to wall. soil surface q γ Στην περιοχή Β, η εντατική κατάσταση θερείται ότι µεταάλλεται γραµµικά µε το άθος, και είναι συµατή µε τη συνθήκη αστοχίας στη ιεπιφάνεια τοίχου-εάφους. Συνεπώς σε όλα τα επίπεα µε κλίση ς προς την κατακόρυφη ισχύει (Σχήµα 3): τ σ σ τ tan w = w (4) ZONE A Σχήµα : Πείο τάσεν κοντά στην επιφάνεια του εάφους (Περιοχή Α). Figure : Stress field close to soil surface. Για το γραµµοσκιασµένο έαφικό στοιχείο του Σχήµατος γίνεται η παραοχή ότι ρίσκεται σε συνθήκες απειροµήκους πρανούς, ηλαή ότι υπόκειται σε ίσες και αντιθετες ράσεις στις κατακόρυφες παρειές του και ισορροπεί µόνο από ράσεις κατά µήκος του κατακόρυφου άξονα. Βάσει αυτής της εύλογης υπόθεσης, οι τάσεις σ και τ στη άση του στοιχείου υπολογίζονται από τις σχέσεις: q cos σ = γ + cos (3α) όπου σ w και τ w η ορθή και ιατµητική ράση επί του τοίχου. Για την εξασφάλιση ισορροπίας στο εαφικό µέσο υοθετείται ριπίιο τάσεν µεταξύ τν ύο περιοχών µε κέντρο την κορυφή του τοίχου, στο εστερικό του οποίου οι κύριες τάσεις στρέφονται σταιακά κατά γνία θ AB. Η πρόσθετη αυτή συνθήκη γράφεται S B S e θ AB tanφ = A (5) όπου S A και S B το ηµιάθροισµα τν εντός του επιπέου κυρίν τάσεν στις περιοχές A και B αντίστοιχα (Σχήµα 4). Είναι γνστό ότι η εξίσση (5) είναι ακριής για γ=0 και προσεγγιστική για γ 0 (Atkinson 1981)..1 Ενεργητική Ώθηση χρίς Σεισµό q τ = γ + sin cos cos (3) Η συνολική ενεργητική ώθηση επί του τοίχου λόγ υνάµεν αρύτητας ίνεται από τη γνστή σχέση (Chen 1975): οι οποίες ισχύουν για στατικές συνθήκες (k h = k v = 0) και ηλώνουν ότι σηµεία στό ίιο άθος υπόκεινται στην ίια εντατική κατάσταση. PA 1 = K Aq q H + K Aγ γ H (6) 5ο Πανελλήνιο Συνέριο Γετεχνικής & Γεπεριαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006 3

4 Από τα Σχήµατα 4 και 5, είναι ζήτηµα τετριµµένν αλγερικών υπολογισµών να αποειχθεί ότι ο συντελεστής ενεργητικής ώθησης Κ Aγ και η γνία στροφής τν κυρίν επιπέν θ ΑΒ ίνονται από τις σχέσεις: K A γ ( ) cos cos = cos cos ( ) ( ) 1 sinφcos 1 + sinφcos 1 + και e θ tanφ AB (7) θ AB = 1 + (8) όπου 1 και οι οηθητικές γνίες Caquot,οι οποίες ορίζονται στο Σχήµα 4 και υπολογίζονται από τις σχέσεις 9 και 10 (Sokolovskii 1960, Atkinson 1981). sin sin 1 = sinφ (9) sin sin = sinφ (10) Ο υπολογισµός τν παθητικών θήσεν είναι ανάλογος και µπορεί να πραγµατοποιηθεί µε την οήθεια τν Σχηµάτν 4 και 5. Οι σχετικές λύσεις παρατίθενται σε άλλο άρθρο τν συγγραφέν (Mylonakis et al 006). π 1 + θ AB one A one B ΠΕΡΙΟΧΗ Α φ, τ ) case 1 1 S A 1 1+, τ ) case σ 1A soil surface + ACTIVE CASE π 1 ΠΕΡΙΟΧΗ Β φ wall plane w, τ w) S B + w, τ w) wall plane σ 1B Σχήµα 4: Κύκλοι Mohr ενεργών τάσεν και κλίσεις επιπέου µέγιστης κύριας τάσης στις περιοχές Α και Β. Figure 4: Mohr circles of effective stresses and inclinations of major principal plane in ones A and B. θ AB one A PASSIVE CASE Σχήµα 5: Περιστροφή του επιπέου της µέγιστης κύριας τάσης µεταξύ τν περιοχών Α και Β. Figure 5: Rotation of major principal plane between ones A and B. Στο πλαίσιο της προτεινόµενης λύσης είναι εύκολο να αποεχθεί ότι οι συντελεστές επιφόρτισης και ενεργητικής φόρτισης συνέονται µέσ της σχέσης: cos cos K Aq = K A γ (11) cos ( ) η οποία ταυτίζεται µε την κινηµατική λύση τν Chen & Liu (1990) για µηχανισµό αστοχίας τύπου Coulomb. 5ο Πανελλήνιο Συνέριο Γετεχνικής & Γεπεριαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006 4

5 Η επίραση της συνοχής του εαφικού υλικού µπορεί να συµπεριληφθεί προσεγγιστικώς στη λύση µε χρήση του θερήµατος του Caquot. Επειή το επίχµα συνήθς αποτελείται από µή συνεκτικά υλικά, η επίραση της συνοχής του εάφους είναι ήσσονος σηµασίας και εν εξετάζεται στην παρούσα εργασία. Ιιαίτερο ενιαφέρον παρουσιάζει η οριζόντια συνιστώσα της ενεργητικής ώθησης, η οποία προκύπτει από την γεµετρία του Σχήµατος 3: P P cos( + ) (1) AH = A Είναι προφανές ότι οι παραπάν εξισώσεις έιναι απλούστερες τν αντίστοιχν του Coulomb και υπολογίζονται χρίς την ανάγκη εύρεσης στάσιµης τιµής (κρίσιµου µηχανισµού αστοχίας), µέσ αριθµητικής ή αναλυτικής ελτιστοποίησης. Επίσης οι συντελεστές ενεργητικής ώθησης και επιφόρτισης προκύπτουν άµεσα από την λύση, χρίς να απαιτείται µεγιστοποίηση του αθροίσµατος της εξίσσης 6. Επιπλέον το σηµείο εφαρµογής της ώθησης επί του τοίχου ε ύψος Η/3 από τη άση) προκύπτει αίαστα από τη λύση όχι αξιµατικά όπς στη λύση Coulomb. Τέλος, αντίθετα µε τις σχέσεις Coulomb και Mononobe-Okabe, οι παραπάν εξισώσεις παρέχουν ασφαλείς, εν γένει, προλέψεις για τις εαφικές θήσεις. Σηµειώνεται ότι αφού εν παρέχεται µαθηµατική απόειξη ότι το µέσο ισορροπεί σε όλη τη µάζα του (π.χ., µέσα στο ριπίιο και κάτ απ τον τοίχο) και εν παραιάζει το κριτήριο αστοχίας σε κανένα σηµείο, η προτεινόµενη λύση εν µπορεί να εκληφθεί αυστηρώς ς άν ή κάτ όριο. Θα χρησιµοποιείται στη συνέχεια µόνο ς προσεγγιστικό όριο ή, απλώς, ς εκτιµήτρια της εαφικής ώθησης. Παρόλα αυτά, πολυάριθµες συγκρίσεις µε αριθµητικά εοµένα είχνουν ότι οι προλέψεις τις µεθόου είναι εν γένει ασφαλείς τόσο για τις ενεργητικές, όσο και για τις παθητικές θήσεις.. Ενεργητική Ώθηση µε Σεισµό Αναγνρίζοντας ότι η σταθερή σεισµική επιτάχυνση επιάλλει συνισταµένη ράση στο πρανές κεκλιµένη κατά γνία ψ ς προς την κατακόρυφη (Σχήµα 1), γίνεται αµέσς αντιληπτό ότι το ψευουναµικό πρόληµα εν ιαφέρει ουσιώς από το στατικό, και ότι η σεισµική λύση µπορεί να προκύψει από την λύση χρίς σεισµό µε απλή περιστροφή του συστήµατος συντεταγµένν κατά γνία ψ (Σχήµα 6). Σηµειώστε το ιαφορετικό ύψος τοίχου, γνία πρανούς, και κλίση τοίχου στην τροποποιηµένη γεµετρία. Η επισήµανση της παραπάν ιιότητας οµοιότητας αποίεται στον Briske (197) και αργότερα στον Arango (Seed & Whitman 1970) και οηγεί στις παρακάτ τροποποιηµένες παραµέτρους: = + ψ * (13) = + ψ * (14) ( ) H* = Hcos + ψ / cos (15) H * H ψ Σχήµα 6: Αναγγή του ψευουναµικού σεισµικού προλήµατος σε ισούναµο αρυτικό µε περιστροφή του συστήµατος αναφοράς. Figure 6: Similarity transformation of the pseudodynamic seismic problem to an equivalent gravitational problem, based on rotation of the principal axes. γ = γ (1 ± k )/ cosψ (16) * v q = q(1 ± k )/ cosψ (17) * v Αντίθετα οι παράµετροι αντοχής φ και είναι αναλλοίτοι στο µετασχηµατισµό. Η τελευταία από τις παραπάν εξίσώσεις ασίζεται στην παραοχή ότι η επιφανειακή επιφόρτιση αποκρίνεται στη σεισµική ιέγερση µε τον ίιο τρόπο όπς και η µάζα του πρανούς. Με άση τις παραπάν εξισώσεις, η συνολική ενεργητική ώθηση µε σεισµό µπορεί να υπολογίστεί άσει τν σχέσν (6) ές (11) ς: P * * * * * * AE = K Aq q H + K Aγ γ H (18) 1 ψ ψ 5ο Πανελλήνιο Συνέριο Γετεχνικής & Γεπεριαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006 5

6 όπου οι παράµετροι,, Η, γ και q έχουν αντικατασταθεί από τις αντίστοιχες τιµές που αντιστοιχούν στην τροποποιηµένη γεµετρία. Είναι προφανές ότι τα σύµολα * Aq K Aq K = ( *, *) (19) * Aγ Aγ K = K ( *, *) (0) εκφράζουν τους συντελεστές επιφόρτισης και ενεργητικής ώθησης για την τροποποιηµένη γεµετρία. Σηµειώστε ότι η οριζόντια συνιστώσα της ενεργητικής ώθησης µε σεισµό υπολογίζεται άσει της πραγµατικής γεµετρίας όπς και στην λύση χρίς σεισµό (εξ. 1) P P cos( + ) (1) AEH = AE.3 Σεισµική Συνιστώσα Ενεργητικής Ώθησης µε Σεισµό Ακολουθώντας τους Seed & Whitman (1970), η αµιγώς σεισµική συνιστώσα της ενεργητικής ώθησης υπολογίζεται από την ιαφορά: PAE = PAE PA () η οποία είναι µαθηµατικώς αποεκτή καθότι τα ιανύσµατα Ρ ΑΕ και Ρ Α είναι οµοαξονικά. Παρόλα αυτά, η φυσική σηµασία της ποσότητας P ΑΕ περιορίζεται από το γεγονός ότι το αρυτικό και σεισµικό πρόληµα έχουν ιαφορετικά πεία τάσεν και ιαφορετικούς µηχανισµούς αστοχίας. 3 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Στον Πίνακα 1 συγκρίνονται συντελεστές ενεργητικής και παθητικης ώθησης, για αρυτική ράση άση της παρούσας λύσης και εραιοµένν λύσεν της ιλιογραφίας. Τα αποτελέσµατα είναι γενικώς σε καλή συµφνία (µέγιστη απόκλιση 15% περίπου), µε εξαίρεση τις προλέψεις της µεθόου Coulomb για παθητικές θήσεις. Σηµειώστε τις φθίνουσες τιµές του Κ P σε κάθε στήλη καθώς κινούµαστε από πάν προς τα κάτ, και τις αύξουσες του Κ A. Στο σχήµα 7 συγκρίνονται αποτελέσµατα για ενεργητικές θήσεις αρύτητας σε κεκλιµένους τραχείς τοίχους συναρτήσει της γνίας του πρανούς. Οι συγκρίσεις είναι ικανοποιητικές (µέγιστο σφάλµα σχετικά µε Chen 3%) και επιεαιώνουν ότι η παρούσα λύση είναι εν γένει συντηρητική. Πίνακας 1: Σύγκριση προλέψεν για ενεργητικές και παθητικές θήσεις από ιάφορες µεθόους; =0 Table 1: Comparison of results for and earth pressures predicted by various methods; =0 a. Συντελεστής K A = 0 = 0 = 0 φ = 30 φ = 30 φ = 30 Coulomb Κινηµατική Λύση (Chen) Γραµµές ιαρροής (Sokolovskii) Προτεινόµενη τασική Λύση 1 K A = PA / γ H 0.33 b. Συντελεστής K P = 0 = 0 = 0 φ = 30 φ = 30 φ = 30 Coulomb Κινηµατική Λύση (Chen) Γραµµές ιαρροής (Sokolovskii) Προτεινόµενη τασική Λύση 1 K P= PP / γ H ο Πανελλήνιο Συνέριο Γετεχνικής & Γεπεριαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006 6

7 Coefficient of Active Earth Pressure, K A 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 PA = 0 o 0 o 0 o H K A = P A / (1/γ H ) φ = 45 o, φ / 3 Chen (1975) Caquot & Kerisel (1948) Proposed Static Limit Analysis 0, Slope Angle of Backfill, ο K AE = P AE / (1/ γ H ) 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, K AE = P AE / (1/γ H ) = = 0 o ; φ / k h = Kinematic Limit Analysis (Chen & Liu 1990) M - O Analysis Proposed Static Limit Analysis 0, Friction Angle, φ o Σχήµα 7: Σύγκριση προλέψεν για αρυτική ενεργητική ώθηση από ιάφορες µεθόους. Figure 7: Comparison of results for earth pressures predicted by various methods. Στο Σχήµα 8 συγκρίνονται αποτελέσµατα για συνολικές ενεργητικές θήσεις µε σεισµό, σε τραχύ τοίχο, συναρτήσει της γνίας τριής του εάφους. Οι προλέψεις τν τριών µεθόν πρακτικώς ταυτίζονται, µε πιθανή εξαίρεση την περίπτση για σεισµικό συντελεστή k h =0.3, για την οποία η προτεινόµενη µέθοος υπερεκτιµά τις ενεργητικές θήσεις ές και 3% περίπου. Ωθήσεις υπό σεισµική ράση εξετάζονται στο Σχήµα 9, για σεισµικό συντελεστή k h =0.3 και µηενική κατακόρυφη επιτάχυνση. Η προτεινόµενη λύση υπερεκτιµά τις ενεργητικές θήσεις µέχρι και 30% περίπου συγκριτικά µε τη µέθοο Mononobe-Okabe, ειικά για λείο τοίχο και µεγάλες γνίες τριής φ. Για τραχείς τοίχους οι προλέψεις τν ύο λύσεν πρακτικώς ταυτίζονται. Σχήµα 8: Σύγκριση αποτελεσµάτν για συνολική ενεργητική ώθηση µε σεισµό, από ιάφορες µεθόους. Figure 8: Comparison of results for earth pressures including earthquake, predicted by different analytical methods. F AE (Stress) F AE (M-O) 1,30 1,5 1,0 1,15 1,10 1,05 0 φ / φ / 3 1, Friction Angle, φ o = = 5 o Σχήµα 9: Σύγκριση συνολικών ενεργητικών θήσεν µε σεισµό από την προτεινόµενη µέθοο και τη µέθοο Mononobe-Okabe; = = 5 ο, tanψ=0.3 Figure 9: Comparison of results for earth pressures including earthquake loading by the proposed model and the Mononobe-Okabe solution; = = 5 ο, tanψ=0.3 Η αµιγώς σεισµική συνιστώσα της ενεργητικής ώθησης εξετάζεται στο Σχήµα 10 για τις ίιες 5ο Πανελλήνιο Συνέριο Γετεχνικής & Γεπεριαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006 7

8 παραµέτρους του προλήµατος. Είναι προφανές ότι για αυτή την παράµετρο το θεώρηµα του κάτ ορίου εν ισχύει, αφού τα ποσοστά ασφάλειας της αρυτικής λύσης είναι ιαφορετικά. Η παρούσα λύση υπερεκτιµά (ές και 60%) τη σεισµική ώθηση για λείο τοίχο και κατά περίπου 15% για τραχύ τοίχο. F AE (Stress) F AE (M-O) 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1, 1,1 0 φ / φ / 3 1, Friction Angle, φ o = = 5 o Σχήµα 10: Σύγκριση σεισµικής συνιστώσας, P AE =P AE -P A, της ενεργητικής ώθησης µε σεισµό από την προτεινόµενη µέθοο και τη µέθοο Mononobe-Okabe;= = 5 ο, tanψ=0.3 Figure 10: Comparison of results for the earthquake component of earth pressures, F AE =F AE -F A, by the proposed model and the Mononobe Okabe solution; = = 5 ο, tanψ=0.3 4 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Παρουσιάστηκε κλειστή λύση πείου τάσεν για τον υπολογισµό αρυτικών και σεισµικών θήσεν γαιών σε τοίχους αρύτητας. Η προτεινόµενη λύση επιλύει σύνθετες γεµετρίες και ιατυπώνεται µέσ απλούστερν µαθηµατικών σχέσεν από αυτές της µεθόου τν Mononobe-Okabe. Τα παρακάτ συµπεράσµατα προέκυψαν από τη µελέτη: 1) Η προτεινόµενη λύση είναι ασφαλής, ηλαή υπερεκτιµά τις ενεργητικές θήσεις και υποεκτιµά τις παθητικές. ) Το σεισµικό πρόληµα µπορεί να αντιµετπιστεί ς αρυτικό µε κατάλληλη περιστροφή του συστήµατος αναφοράς. 3) Τα αποτελέσµατα της µεθόου ρίσκονται σε καλή συµφνία µε πιο αυστηρές λύσεις. 4) Σε αντίθεση µε την συνολική εαφική ώθηση, η αµιγώς σεισµική συνιστώσα εν αντιστοιχεί σε άν ή κάτ όριο. Το ίιο ισχύει και για τις κινηµατικές λύσεις τν Mononobe και Okabe. 5 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Atkinson J. (1981). Foundations and slopes. McGraw Hill, London. Briske R. (197). Die Erdbebensicherheit von Bauwerken, Die Bautechnik, Vol 5, pp , , Caquot A. (1934). Equilibre des massifs a frottement interne. Paris, Gauthier-Villars Caquot A. and Kerisel L. (1948). Traite de mecanique des sols. Gauthier-Villars, Paris. Chen W.F. (1975) Limit analysis and soil plasticity. Developments in geotechnical engineering. Elsevier, Amsterdam. Chen W.F. & Liu X.L. (1990). Limit analysis in soil mechanics. Elsevier, Amsterdam. Davies T.G., Richards R., and Chen, K.H. (1986). Passive pressure during earthquake loading. Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, 11(4): Ebeling R. M., Morrison E. E., Whitman R. V. and Liam Finn W. D. (199). A Manual for Seismic Design of Waterfront Retaining Strutures. US Army Corps of Engineers. Kramer S. L. (1996). Geotechnical Earthquake Engineering. Prentice Hall. Mononobe N. & Matsuo O. (199). On the determination of earth pressure during earthquakes. Proceeding of the World Engineering Congress, vol 9, Tokyo, 199. p Mylonakis G., Papantonopoulos C., Kloukinas P., Langousis M.(006). An Alternative to the Mononobe-Okabe Equations for Seismic Earth Pressures, Submitted for publication. Okabe S. (194) General theory on earth pressure and seismic stability of retaining walls and dams. Journal of the Japanese Society of Civil Engineers, 10(6); Sokolovskii V.V. (1960). Statics of soil media. Butterworth, London. Soubra (000). Static and seismic earth pressure. Canadian Geotechnical Journal. 37: ο Πανελλήνιο Συνέριο Γετεχνικής & Γεπεριαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-/6/006 8