ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ. Β. Κουμούσης Καθηγητής ΕΜΠ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ. Β. Κουμούσης Καθηγητής ΕΜΠ"

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ Β. Κουμούσης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 1998

2 Εισαγωγή Ορισμένες αρχές, πού ονομάζονται ενεργειακές αρχές ή παραλλακτικές αρχές (vritionl principles), παίζουν βασικό ρόλο στη μελέτη των κατασκευών και πιο γενικά στη μελέτη των παραμορφώσιμων σωμάτων. Τέτοιες είναι ή αρχή των υνατών έργων, η αρχή της ελάχιστης υναμικής ενέργειας, ή αρχή του Hmilton για τη υναμική κ.ά. Το βασικό πλεονέκτημα των ενεργειακών αρχών και μεθόων είναι ότι ανάγουν το πρόβλημα της στατικής και υναμικής ισορροπίας των παραμορφώσιμων σωμάτων από ιανυσματικό πρόβλήμα (σύνθεση υνάμεων ροπών) σε πρόβλημα βαθμωτών μεγεθών έργο εσωτερικών και εξωτερικών υνάμεων. Η μαθηματική ιατύπωση των αρχών αυτών οηγεί στην αναζήτηση μίας ή περισσοτέρων αγνώστων συναρτήσεων, μίας ή περισσοτέρων μεταβλητών πού κάνουν στάσιμη την τιμή (μέγιστο, ελάχιστο ή σαγματικό σημείο) ενός συγκεκριμένου ολοκληρώματος. Το ολοκλήρωμα αυτό γενικά είναι μιά συνάρτηση των αγνώστων συναρτήσεων και των παραγώγων τους και ονομάζεται συναρτησιακό ή συναρτησιοειές, (π.χ. ή υναμική ενέργεια είναι ένα συναρτησιακό του οποίου η τιμή εξαρτάται από την εκλογή των συναρτήσεων ( x x, x ), ( i 1,,3 ) i, 1 3 ) και ανήκει σε μιά οικογένεια αποεκτών μετατοπίσεων που ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Η αρχή της ελάχιστης υναμικής ενέργειας ορίζει ότι οι συναρτήσεις εκείνες πού κάνουν ελάχιστη την τιμή του συναρτησιακού αποτελούν τις πραγματικές μετατοπίσεις του σώματος. Η περιοχή των μαθηματικών πού ασχολείται με την εύρεση των στάσιμων τιμών ενός συναρτησιακού υπό τη μορφή ορισμένου ολοκληρώματος ονομάζεται Λογισμός των Μεταβολών (clcls of vritions). Όπως στη μελέτη των ακρότατων συναρτήσεων μίας ή περισσοτέρων μεταβλητών μας ενιαφέρει να ιατυπώσουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες τις οποίες ικανοποιούν τα σημεία στα οποία οι συναρτήσεις λαμβάνουν τις μέγιστες ή ελάχιστες τιμές τους, έτσι και στο Λογισμό των Μεταβολών επιιώκουμε να ιατυπώσουμε αναγκαίες και ικανές συνθήκες πού πρέπει να πληρούν οι συναρτήσεις γιά να λάβει το συναρτησιακό τις στάσιμες τιμές του. Η φύση του στάσιμου σημείου (μέγιστο, ελάχιστο ή σαγματικό σημείο) καθορίζεται συνήθως από το φυσικό πρόβλημα.

3 Ο συνήθης τρόπος ιατύπωσης των ιαφορικών εξισώσεων που ιέπουν τη συμπεριφορά ενός φορέα είναι η αποκοπή σε τυχαία θέση ενός απειροστού τμήματος του σώματος επί του οποίου εφαρμόζονται οι εξωτερικές και εσωτερικές υνάμεις καθώς και η μεταβολή τους για στοιχειώη επαύξηση. Επί του απειροστού τμήματος εφαρμόζονται οι απαιτήσεις στατικής ή υναμικής ισορροπίας. Οι εσωτερικές υνάμεις προσιορίζονται από ορισμούς αλλά και παραοχές που αναφέρονται στο πείο των μετακινήσεων. Με τον τρόπο αυτό ιατυπώνονται οι ιαφορικές εξισώσεις που ιέπουν το πρόβλημα. Η γενική λύση των ιαφορικών εξισώσεων ανάλογα με την τάξη τους περιέχουν και άγνωστες σταθερές ολοκλήρωσης οι οποίες προσιορίζονται από τις αρχικές ή/και συνοριακές συνθήκες. Με τη μέθοο αυτή η ιατύπωση των συνοριακών συνθηκών προκύπτει από τη φύση του προβλήματος. Πολλές φορές η ιατύπωση των συνοριακών συνθηκών με βάση την φυσική συμπεριφορά συμβαίνει να μην είναι συμβατή με τις παραοχές του προβλήματος και να ισουναμεί με απώλειες ενέργειας. Προκύπτει έτσι η ανάγκη προσφυγής σε μια μεθοολογία που να παράγει αφενός τις ιαφορικές εξισώσεις του προβλήματος αλλά παράλληλα και το σύνολο των αποεκτών συνοριακών συνθηκών ή αρχικών συνθηκών που είναι ενεργειακά συμβατές με τις παραοχές της συγκεκριμένης θεώρησης. Τη μεθοολογία αυτή προσφέρει ο Λογισμός των Μεταβολών. Στις απλές θεωρίες της Αντοχής των Υλικών, (όπως η τεχνική θεωρία κάμψεως της οκού κλπ.) η πρώτη μέθοος ίει χωρίς υσκολίες τα σωστά αποτελέσματα, αλλά σε συνθετότερες θεωρίες της αντοχής των υλικών με αποκορύφωμα τις θεωρίες κελυφών η παραγωγή των συνεπών συνοριακών συνθηκών είναι αύνατη με βάση την φυσική εποπτεία. Στις περιπτώσεις αυτές ο λογισμός των μεταβολών αποεικνύεται το αλάνθαστο συστηματικό μέσο για την παραγωγή των ιαφορικών εξισώσεων και του συνόλου των αποεκτών συνοριακών συνθηκών. Χαρακτηριστικό παράειγμα είναι ότι από τις περίπου πενήντα θεωρίες κελυφών που είχαν ιατυπωθεί στη εκαετία του 196 λιγότερες από επτά ήσαν συμβατές με τις παραοχές τους. Τέλος οι ενεργειακές μέθοοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν αποτελεσματικά και στην εύρεση προσεγγιστικών λύσεων. Η μέθοος Ryleigh-Ritz, Glerkin και η μέθοος των πεπερασμένων στοιχείων είναι ύο πολύ ιαεομένες ενεργειακές μέθοοι γιά την εύρεση προσεγγιστικών λύσεων. 3

4 Στάσιμες Τιμές Συναρτήσεως μιας Μεταβλητής Από την ανάλυση γνωρίζουμε τα παρακάτω. Λέμε ότι. μιά συνάρτηση μίας ανεξάρτητης μεταβλητής y f(x) ιάστημα πού περιέχει το σημείο και ισχύει έχει σχετικό μέγιστο ένα σημείο x c όταν υπάρχει ένα ανοικτό x c στο όποίο η f (x) γιά όλες τις τιμές είναι ορισμένη f ( c) f ( x) για όλες τις τιμές του x στο ιάστημα αυτό. Επίσης λέμε ότι μιά συνάρτηση μίας ανεξάρτητης μεταβλητής y f (x) έχει σχετικό ελάχιστο σ ένα σημείο x, όταν υπάρχει ένα ανοικτό ιάστημα πού περιέχει το σημείο x στο οποίο η f (x) είναι ορισμένη και ισχύει f ( ) f ( x) γιά όλες τις τιμές του x στο ιάστημα αυτό. Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f (x) η όποία έχει συνεχείς παραγώγους οποιασήποτε τάξεως στη γειτονιά ενός σημείου x x για την οποία θέλουμε να ιατυπώσουμε τις συνθήκες για τις οποίες η συνάρτηση αυτή έχει μέγιστο ή ελάχιστο στο σημείο αυτό. Τη συνάρτηση αυτή αναπτύσσουμε σε σειρά Tylor γύρω από το σημείο x x, οπότε έχουμε: 3 f ( x) 1 f ( x) 1 f ( x) 3 f ( x) f ( x ) x x ( x x ) ( ) ( )... x x x x 3 x x x x! 3! (1) Τη ιαφορά ( x x ) μπορούμε να τη ιαλέξουμε όσο μικρή θέλουμε ώστε η ιαφορά των συναρτήσεων να μπορεί να εκφραστεί με επιθυμητή ακρίβεια ως: f ( x) f ( x) f ( x ) x x ( x x ) () Για να είναι η τιμή f ( x ) σχετικό μέγιστο, είναι αναγκαίο η ιαφορά f x) f ( x ) να ( είναι ένας μη θετικός αριθμός για όλες τις τιμές του x στη γειτονιά του x. Επειή η ιαφορά ( x x) μπορεί να είναι οτιήποτε ηλ. θετική, μηέν ή αρνητική, προκύπτει ότι η τιμή της πρώτης παραγώγου στο σημείο x θα πρέπει να είναι μηενική και συνεπώς η αναγκαία συνθήκη για να είναι η τιμή f ( x ) σχετικό μέγιστο είναι: 4

5 f ( x) xx (3) Με την ίια λογική προκύπτει ότι η παραπάνω σχέση αποτελεί αναγκαία συνθήκη για να είναι η f ( x ) σχετικό ελάχιστο. Αντικαθιστώντας την σχέση (3) στην (1) προκύπτει: 3 1 f ( x) 1 f ( x) 3 f ( x) f ( x ) ( ) ( )... x x x x 3 x x x x! 3! (4) Μπορούμε επίσης να επιλέξουμε τη ιαφορά x x ) αρκετά μικρή ώστε για οποιαήποτε ( επιθυμητή ακρίβεια η παραπάνω σχέση να προσεγγίζεται από την ακόλουθη: 1 f ( x) f ( x) x! f ( x ) ( x x x ) (5) Για να είναι η f ( x ) σχετικό μέγιστο είναι αναγκαίο η ιαφορά f x) f ( x ) να είναι ( αρνητική για κάθε σημείο x στη γειτονιά του x. Έτσι για να ισχύει η σχέση (5) είναι φανερό ότι η εύτερη παράγωγος στο σημείο όρος ( x x ) είναι πάντα θετικός, ηλ: x θα πρέπει να είναι αρνητική καθόσον ο f ( x) xx < (6) Όμοια από την σχέση (5) γίνεται φανερό ότι για να είναι η τιμή f ( x ) σχετικό ελάχιστο θα πρέπει να ισχύει: f ( x) xx > (7) 5

6 Αν τώρα υπάρχουν τιμές του x που μηενίζουν την πρώτη και εύτερη παράγωγο τότε η ανάπτυξη κατά Tylor θα πρέπει να προσεγγιστεί για επιθυμητή ακρίβεια από την τρίτη παράγωγο στο σημείο x από την σχέση: 1 f ( x) f ( x) x 3! 3 3 f ( x ) ( x 3 x x ) (8) Στη περίπτωση αυτή το πρόσημο της ιαφοράς f x) f ( x ) είναι ιαφορετικό για ( x < x και x > x. Το σημείο αυτό ονομάζουμε σημείο καμπής ή σαγματικό σημείο. Βασικό λήμμα του λογισμού των μεταβολών Αν G (x) είναι μια συνεχής συνάρτηση στο ανοικτό ιάστημα (, ) και ικανοποιεί τη σχέση: G x) η( x) ( (9) για κάθε συνάρτηση η(x), η οποία είναι συνεχής και μηενίζεται στα σημεία x τότε στο ιάστημα < x < θα πρέπει να ισχύει: x και G( x) (1) Cornt R. n Hilert D. Methos of Mthemticl Physics. Vol. I Interscience Plishers, Inc. New York, 1953, pg

7 Στάσιμη Τιμή Συναρτησιακού μιας Συναρτήσεως μιας Μεταβλητής Θα λέμε ότι ένα σύνολο συναρτήσεων μιας μεταβλητής ~ ( x ) είναι αποεκτό στο ιάστημα < x < όταν οι συναρτήσεις αυτές έχουν τις ακόλουθες ιιότητες: α) Έχουν συνεχείς παραγώγους ευτέρας τάξεως στο ανοικτό ιάστημα (, ) ) Λαμβάνουν εομένες τιμές στα σημεία x και x Δηλαή ~ ( ) ~ και ( ) ~ ~ (11) Ένας απλός τρόπος να παράγουμε ένα αποεκτό σύνολο συναρτήσεων ~ ( x ) είναι να προσθέσουμε σε μια αποεκτή συνάρτηση (x) ένα μικρό πολλαπλάσιο μιας αυθαίρετης συναρτήσεως η( x ) στο ιάστημα < x < η οποία έχει συνεχείς παραγώγους ευτέρας τάξεως σ αυτό και μηενίζεται στα σημεία x και x. Δηλαή ~ ( x) ( x) εη( x ) (1) ( ) η( ) η (1) Είναι φανερό ότι για μιά εομένη συνάρτηση η(x) στη σχέση (1) η συνάρτηση ~ ( x ) αντιπροσωπεύει μια μονοπαραμετρική οικογένεια αποεκτών συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Οι αποεκτές συναρτήσεις ~ ( x ) που λαμβάνονται από την σχέση (1) για ιάφορες απειροστές τιμές του ε ονομάζονται μεταβολές της συναρτήσεως (x). Επομένως σε κάθε σημείο μέγεθος. x οι μεταβολές της συναρτήσεως ιαφέρουν κατά ένα απειροστό 7

8 Στη παράγραφο αυτή θα θεωρήσουμε συναρτησιακά μιας μόνο συναρτήσεως μιας ανεξάρτητης μεταβλητής με εομένες τιμές στα άκρα που έχουν την ακόλουθη μορφή: I x ~, ~ ' (, ) (13) όπου ~ είναι μιά συνάρτηση του x πού ανήκει σε ένα σύνολο αποεκτών συναρτήσεων και ~ η παράγωγός της. Η συνάρτηση των συναρτήσεων έχει συνεχείς εύτερες παραγώγους ως προς τις τρεις μεταβλητές ~, ~ ' x,. Είναι φανερό ότι η τιμή του I εξαρτάται από την εκλογή της συνάρτησης ~ ( x ). Θα εχθούμε ότι μέσα στο σύνολο των αποεκτών συναρτήσεων υπάρχει μία συνάρτηση η οποία κάνει τη τιμή του I στάσιμη και ότι η συνάρτηση αυτή, χωρίς να βλάπτεται η γενικότητα, είναι η εομένη συνάρτηση η(x) που κάνει στάσιμη την τιμή του συναρτησιακού από το σύνολο των συναρτήσεων (1) θέτοντας το ε ίσο με μηέν. (x). Έτσι για οποιαήποτε I λαμβάνεται Εάν ηλώσουμε με I ~ την τιμή του I που αντιστοιχεί σε μιά συνάρτηση ~ ( x ) και χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (1) λαμβάνουμε: ~ ' I ( ε) ~, ~ ) ( x, ) ( x, εη, ' εη' (14) Για μια εομένη συνάρτηση ηκαι την ζητούμενη συνάρτηση, το ολοκλήρωμα στη σχέση (14) μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση της παραμέτρου ε. Με την παραοχή ότι η συνάρτηση I ~ () ε έχει συνεχείς παραγώγους οποιασήποτε τάξεως, μπορούμε να την αναπτύξουμε σε σειρά Tylor ως προς ε, γύρω από τη θέση ε. Κατά τον τρόπο αυτό προκύπτει: ~ ~ ~ I I ( ) I () ε ~ 1 I ε ε ε ε ε... (15) Με βάση τα όσα αναπτύχθηκαν για τα ακρότατα μιας συναρτήσεως μίας μεταβλητής, η συνάρτηση I ~ () ε λαμβάνει στάσιμη τιμή όταν: 8

9 ~ I ε ε (16) Η παραπάνω σχέση αποτελεί την αναγκαία συνθήκη για να έχει το συναρτησιακό I ~ ( ε) μέγιστη ή ελάχιστη τιμή σχετικά με τις τιμές που αντιστοιχούν στις συναρτήσεις ~ ( x ) οι οποίες παράγονται με βάση την σχέση (1) για μικρές τιμές του ε. Αντικείμενο του λογισμού των μεταβολών είναι η εύρεση των συνθηκών κάτω από τις οποίες το συναρτησιακό I ~ () ε ακολουθώντας την παρακάτω ιαικασία: λαμβάνει στάσιμη τιμή. Αυτό μπορεί να προκύψει Αντικαθιστώντας τη σχέση (l4) στην (16) λαμβάνουμε: ~ I ~ ~ ε ~ ~ ε ε ε ε ε ε (17) Από την σχέση (1) παραγωγίζοντας ως προς ε λαμβάνουμε: ~ ~ η, ε ε η (18) Επίσης ιαπιστώνοντας ότι για ε η συνάρτηση ~ και η ~ έχουμε: ~, ~ ε ε (19) Έτσι η σχέση (17) μπορεί να γραφεί: ~ I ε ~ η ~ η ε () Ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες τον εύτερο όρο του ολοκληρώματος της σχέσης () και χρησιμοποιώντας τη σχέση (18) λαμβάνουμε: 9

10 ) ( ) ( ~ η η ε ε x x I (1) Με τη βοήθεια του βασικού λήμματος του λογισμού των μεταβολών προκύπτει ότι: () Για συγκεκριμένο συναρτησιακό ),, ( x η σχέση () παράγει μιά ιαφορική εξίσωση ευτέρας τάξεως ως προς την άγνωστη συνάρτηση. Η εξίσωση () ονομάζεται εξίσωση Eler-Lgrnge. (x) 1

11 Στάσιμη Τιμή Συναρτησιακού μιας Συναρτήσεως μιας Μεταβλητής - μη προκαθορισμένες τιμές στα Συνοριακά Σημεία Στην προηγούμενη παράγραφο ασχοληθήκαμε με το πρόβλημα της ευρέσεως της ιαφορικής εξισώσεως, την οποία ικανοποιεί η συνάρτηση που κάνει την τιμή του συναρτησιακού I ( x, ~, ~ ) στάσιμη, όταν οι τιμές () και () είναι εομένες στα ακραία σημεία του ιαστήματος < x <. (x) Οι συνθήκες που και ορίζονται για την συνάρτηση x (x) στα ακραία σημεία x και ονομάζονται κινηματικές συνοριακές συνθήκες. Στην παράγραφο αυτή θα επεκτείνουμε την εφαρμογή του λογισμού των μεταβολών στο πρόβλημα της ευρέσεως ιαφορικής εξισώσεως για τη συνάρτηση συναρτησιακού της μορφής (13) με την ιαφορά ότι η τιμή στο ένα ή και στα ύο ακραία σημεία (x) που κάνει στάσιμη την τιμή ενός (x) x και x. μπορεί να λάβει οποιαήποτε Θεωρούμε ένα σύνολο αποεκτών συναρτήσεων με την ακόλουθη μορφή: ~ ( x) ( x) εη( x ) (3) όπου η(x) είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση με συνεχείς παραγώγους μέχρι και ευτέρας τάξεως και με τις τιμές η () και η () εομένες. Αντικαθιστώντας την σχέση (3) στην (13) και ακολουθώντας ανάλογη πορεία με αυτή πού ακολουθήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο λαμβάνουμε: ~ I ε ε η η ( x) ( x) (4) Η σχέση (4) πρέπει να ισχύει για οποιαήποτε εκλογή της συναρτήσεως συνέπεια για συναρτήσεις η(x) οι οποίες μηενίζονται στα άκρα η(x) κατά x και x. Για 11

12 τέτοια εκλογή της θα πρέπει να είναι: η(x) ο πρώτος όρος στο εξιό μέλος της σχέσεως (4) μηενίζεται, άρα η( x) (5) Από την τελευταία σχέση, χρησιμοποιώντας το βασικό λήμμα του λογισμού των μεταβολών, λαμβάνουμε την γνωστή εξίσωση Eler-Lgrnge (6) Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στην (4) λαμβάνουμε η( x) (7) Επειή η συνάρτηση η(x) είναι αυθαίρετη στα άκρα και, για να ισχύει πάντοτε η παραπάνω σχέση θα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: x (8) x (9) Οι συνθήκες (8, 9) στα άκρα ονομάζονται φυσικές συνοριακές συνθήκες. Η εξίσωση Eler- Lgrnge είναι για τη περίπτωση αυτή μιά συνήθης ιαφορική εξίσωση ευτέρας τάξεως ως προς την συνάρτηση (x) η γενική λύση της οποίας θα περιλαμβάνει ύο σταθερές ολοκληρώσεως οι οποίες θα υπολογίζονται από την ικανοποίηση των εομένων συνοριακών συνθηκών. 1

13 Σε μερικά προβλήματα οι συνοριακές συνθήκες είναι κινηματικές, ηλαή οι τιμές της συναρτήσεως (x) ίονται στα ακραία σημεία x και x. Σε άλλα προβλήματα οι συνοριακές συνθήκες είναι φυσικές, ηλαή η λύση της ιαφορικής εξίσωσης πρέπει να ικανοποιεί τις σχέσεις (8, 9). Τέλος σε άλλα προβλήματα οι συνοριακές συνθήκες μπορεί να είναι μικτές, ηλ. κινηματική συνθήκη στο ένα άκρο και φυσική συνθήκη στο άλλο. 13

14 Τελεστής έλτα Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε ένα πιο συνοπτικό τρόπο ιατύπωσης των προβλημάτων εύρεσης των ακραίων τιμών των συναρτησιακών με την εισαγωγή του τελεστή. Ορίζουμε τη μεταβολή της συναρτήσεως (x) ως εξής: ~ ( x) ( x) εη( x ) (3) Είναι φανερό ότι ο τελεστής παριστάνει μια αυθαίρετη μεταβολή της τιμής της (x) για μια ορισμένη τιμή του x. Παρατηρούμε ότι σε προβλήματα με κινηματικές συνοριακές συνθήκες; ηλαή σε προβλήματα που οι συναρτήσεις ~ ( x ) λαμβάνουν εομένες τιμές στα ακραία σημεία x και x η μεταβολή της (x) πρέπει να μηενίζεται στα σημεία αυτά. Σε προβλήματα με φυσικές συνοριακές συνθήκες οι συναρτήσεις ~ ( x ) λαμβάνουν αυθαίρετες τιμές στα ακραία σημεία μεταβολή της (x) εν μηενίζεται σε αυτά τα σημεία. x και x και κατά συνέπεια η Σχ.. Μεταβολή μιας συναρτήσεως 14

15 Στο Σχ. βλέπουμε την συνάρτηση (x) και μια αποεκτή συνάρτηση που κάνει ακρότατη την τιμή του συναρτησιακού ~ ( x ) που. αντιστοιχούν σε ένα πρόβλημα με κινηματικές συνοριακές συνθήκες. Σε ένα τυχόν σημείο x η μεταβολή ορίζεται ως η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των συναρτήσεων ~ ( x ) και (x). Θα προχωρήσουμε στον ορισμό της μεταβολής της παραγώγου και του ολοκληρώματος μιας συναρτήσεως ως εξής: ~ ~ x x x x ( ) x (31) ( ) ~ ~ (3) Είναι φανερό ότι ο τελεστής αντιμετατίθεται με τον ιαφορικό και ολοκληρωτικό τελεστή. Γενικώς μπορούμε να είξουμε ότι για αρκετά μικρές μεταβολές ο τελεστής συμπεριφέρεται σαν ιαφορικός τελεστής για παράειγμα θεωρούμε την μεταβολή της συναρτήσεως n. Εξ ορισμού έχουμε: n n n ( ) ( ) n1 O( ) n n n n n1 n( n 1) n ( )... n (33) όπου ο όρος O( ) αναφέρεται στους όρους που περιέχουν μεταβολές ευτέρας και μεγαλύτερης τάξεως. Έτσι για αρκετά μικρές μεταβολές έχουμε: n n n1 (34) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( x, ~, ~ ) η οποία έχει συνεχείς παραγώγους ευτέρας τάξεως ως προς τις μεταβλητές x, ~, ~. Χρησιμοποιώντας τον τελεστή και αναφερόμενοι στη σχέση (13) μπορούμε να γράψουμε τη συνάρτηση αυτή ως εξής: ( x, ~, ~ ) ( x,, ) (35) 15

16 Η μεταβολή της συνάρτησης σ ένα σημείο x ορίζεται ως εξής: ( x,, ) ( x,, ) (35) Σε οποιοήποτε σημείο x η συνάρτηση ( x,, ) μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Tylor γύρω από την και κατά συνέπεια θα έχουμε: ( x,, ) ( x,, ) O( ) (36) όπου O( ) περιλαμβάνει όλους τους όρους της σειράς ευτέρας και ανώτερης τάξης. Για μικρές μεταβολές η μεταβολή της ίεται από τη σχέση: ( 1) (37) και ονομάζεται πρώτη μεταβολή του. Θα επεκτείνουμε τον ορισμό της μεταβολής μιας συναρτήσεως στη μεταβολή ενός συναρτησιακού. Θα ορίσουμε την μεταβολή του συναρτησιακού I μιας συναρτήσεως (x) και της πρώτης παραγώγου της ως εξής: x,, ) ( x,, I ) ( (38) Αντικαθιστώντας τη σχέση ( 37 ) στην (38) λαμβάνουμε: I (1) I O( ) (39) Για αρκετά μικρές τιμές του και η μεταβολή του I γίνεται: 16

17 I I (1) (4) Η σχέση (4) ονομάζεται πρώτη μεταβολή του συναρτησιακού I. Με παραγοντική ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης προκύπτει: I I (1) (41) Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση κάνει το συναρτησιακό ακρότατο (ελάχιστο ή μέγιστο). Τότε είναι φανερό ότι και οι ύο όροι της σχέσεως θα πρέπει να μηενίζονται και επιπλέον η τιμή του εύτερου όρου θα πρέπει να μηενίζεται και στο σημείο (x) x και στο x. Δηλαή: (4) x (43) x (44) που αποτελούν την εξίσωση Eler-Lgrnge και τις φυσικές συνοριακές συνθήκες στα άκρα. Προκύπτει έτσι ότι η χρήση του τελεστή είναι ισούναμη με την ανάπτυξη των προηγούμενων παραγράφων είναι όμως σημαντικά απλούστερη στην ιατύπωση και ιαχείρισή της. 17

18 Γενικεύσεις Η μεταβολή μιας συναρτήσεως της περισσοτέρων μιας παραγώγων της π.χ. και της ευτερης παραγώγου, προκύπτει κατά ανάλογο τρόπο το ολικό ιαφορικό της συναρτήσεως ως εξής: (45) Η μεταβολή ενός συναρτησιακού της συναρτήσεως θα είναι: I (46) Η παραγοντική ολοκλήρωση καθενός από τους όρους ίει: (47) (48) και (49) Προσθέτοντας τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει: 18

19 I (5) Χρησιμοποιώντας το βασικό λήμμα του λογισμού των μεταβολών προκύπτουν αφενός η εξίσωση Eler-Lgrnge και αφετέρου οι φυσικές και κινηματικές συνθήκες του προβλήματος ως εξής: (51) Από τις ύο τελευταίες σχέσεις προκύπτει ότι στα σύνορα x και x x και x η η (5) 19

20 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΜΨΕΩΣ ΔΟΚΟΥ Για την ανάπτυξη της θεωρίας κάμψεως της οκού όπως και για κάθε θεωρία της αντοχής των υλικών, ξεκινάμε με τη θεώρηση ενός πείου μετακινήσεων που βασίζεται σε παραοχές που αποβλέπουν στην ικανοποιητική απόοση της κύριας καταπόνησης του σώματος. Το πείο μετακινήσεων για την οκό επιλέγεται ως εξής: 1 3 ( x) 1 w( x) s w( x) z (1) Είναι φανερό ότι όλες οι ελαστικές παραμορφώσεις που αναπτύσσονται με βάση το παραπάνω πείο μετακινήσεων είναι μηενικές εκτός της ε xx. Επιπλέον η καμπτική παραμόρφωση εκφράζεται συναρτήσει του x ηλ. της τεταγμένης του κεντροβαρικού άξονα της οκού. Σχ. 3 Αμφιέρειστη οκός με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο Το παραπάνω πείο μετακινήσεων εν είναι απαλλαγμένο λαθών ακόμα και στα πλαίσια της θεωρίας των μικρών παραμορφώσεων. Οι τάσεις στις πλαϊνές πλευρές της οκού όπου εν υπάρχουν φορτία αναμένονται μηενικές, όπως επίσης και στη κάτω παρειά. Αν θεωρήσουμε όμως ένα ομογενές ισότροπο ελαστικό υλικό με καταστατικό νόμο συμπεριφοράς το γενικευμένο νόμο του Hooke τότε από την μαθηματική θεωρία της ελαστικότητας έχουμε:

21 τ yy τ zz νe ε ( 1 ν )(1 ν ) xx () Για να μηενίσουμε τις τάσεις αυτές θα πρέπει να θεωρήσουμε ένα υλικό με λόγο Poisson ν. Επιπλέον το παραπάνω πείο μετακινήσεων ίνει μηενική ιατμητική τάση γεγονός που αντίκειται στην ισορροπία κατά τον κάθετο στον κεντροβαρικό άξονα της οκού. τ xy Η ολική υναμική ενέργεια της οκού ίνεται από την σχέση: I L EI w qw (3) περιλαμβάνει την ελαστική ενέργεια από ροπές κάμψεως και το έργο του εξωτερικού ομοιόμορφου φορτίου. Οι εξίσωση Eler-Lgrnge για το συγκεκριμένο συναρτησιακό είναι: w w w (4) όπου EI w qw οκού προκύπτει ως εξής: EI w qw ή ( ) και άρα η εξίσωση της ( EIw ) ( ) q (4) ή για σταθερό ΕΙ EIw IV q (5) Οι αποεκτές κινηματικές και φυσικές συνοριακές συνθήκες προκύπτουν ως εξής: 1

22 w ή EIw M (6) w w M ή Q (7) w w Δηλαή η κλίση της ελαστικής γραμμής ή η ροπή θα πρέπει να είναι μηενική και η βύθιση ή η τέμνουσα θα πρέπει να μηενίζεται στα άκρα. Από τους συνυασμούς των παραπάνω κινηματικών και φυσικών συνοριακών τιμών προκύπτουν τα ιάφορα προβλήματα της οκού.

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συναρτησιακού (functional).

Η έννοια του συναρτησιακού (functional). ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ (CALCULUS OF VARIATIONS) Η έννοια του συναρτησιακού (fnctionl). Ορισµός : Εάν σε κάθε συνάρτηση που ανήκει σε κάποιο χώρο συναρτήσεων A, αντιστοιχεί µέσω κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων

Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων Ο μηχανισμός της ταλάντωσης ενός μηχανικού συστήματος είναι η συνεχής ιακίνηση ενέργειας μεταξύ των ελαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής

ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής ΚΕΦ. 3 Γενικές αρχές της κυματικής 3.3- Συμπλήρωμα εαφίου 3.3: Το γενικό μεταβολικό πρόβλημα για συναρτη- 2 σιακό ολοκληρωτικού τύπου με C ολοκληρωτέα συνάρτηση, εξαρτώμενο από λεία καμπύλη με μεταβαλλόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 13-15 Εισαγωγή στις Παραµορφώσεις και Μετακινήσεις Τρίτη, 5, και Τετάρτη, 6 και Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

ΠEPIEXOMENA. σελ. iii ΠΡΟΛΟΓΟΣ KEΦAΛAIO 1 ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ,

ΠEPIEXOMENA. σελ. iii ΠΡΟΛΟΓΟΣ KEΦAΛAIO 1 ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ, v ΠEPIEXOMENA ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΠEPIEXOMENA iii v KEΦAΛAIO 1 ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ, ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή 1 1.2 H µέθοδος των τοµών 2 1.3 Ορισµός της τάσης 3 1.4 Ο τανυστής των τάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Επίλυση υπερστατικών φορέων Για την επίλυση των ισοστατικών φορέων (εύρεση αντιδράσεων και μεγεθών έντασης) αρκούν

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση 2ας. Προόδου & ιάλεξη 12 η. Τρίτη 5 Οκτωβρίου,,

Επίλυση 2ας. Προόδου & ιάλεξη 12 η. Τρίτη 5 Οκτωβρίου,, ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 12 η Επίλυση 2ας Προόδου & Εισαγωγή στις Παραµορφώσεις και Μετακινήσεις Τρίτη 5 Οκτωβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής και το πηνίο

Ο πυκνωτής και το πηνίο Πυκνωτής, ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο πυκνωτής και το πηνίο Αποτελείται από ύο οπλισµούς, µονωµένους µεταξύ τους, που µπορούν να αλληλεπιρούν. Κατά τη φόρτιση η πηγή µετακινεί φορτίο από τον ένα οπλισµό στον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Κ. Β. ΣΠΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής ΕΜΠ Πορεία επίλυσης. Ευρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 1-1 Η Επιστήµη της Αντοχής των Υλικών, 1-2 Γενικές παραδοχές, 1-3 Κατάταξη δυνάµεων, 1-4 Είδη στηρίξεων, 1-5 Μέθοδος τοµών, Παραδείγµατα, 1-6 Σχέσεις µεταξύ εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων, Παραδείγµατα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ-ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΛΑΙΣΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ-ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ-ΕΠΙΠΕΔΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Μ. Nεραντζάκη Αναπλ. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 Β5. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Πολυβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Δυσκαμψία 1. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: Επιβαλλόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν μια

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η Ανάλυση Ισοστατικών οκών και Πλαισίων Τρίτη,, 21, Τετάρτη,, 22 και Παρασκευή 24 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων

Μέθοδος των Δυνάμεων Μέθοδος των Δυνάμεων Εισαγωγή Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ07-2 Η Μέθοδος των Δυνάμεων ή Μέθοδος Ευκαμψίας είναι μία μέθοδος για την ανάλυση γραμμικά ελαστικών υπερστατικών φορέων. Ανκαιημέθοδοςμπορείναεφαρμοστείσεπολλάείδηφορέων

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Η εντατική κατάσταση στην οποία βρίσκεται μία δοκός, που υποβάλλεται σε εγκάρσια φόρτιση, λέγεται κάμψη. Αμφιέριστη δοκός Πρόβολος Κατά την καταπόνηση σε κάμψη αναπτύσσονται καμπτικές ροπές, οι

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 202 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ( η περίοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 6. Διαλέγουμε ως υπερστατικά μεγέθη τις κατακόρυφες αντιδράσεις στις τρεις αριστερές στηρίξεις.

ΑΣΚΗΣΗ 6. Διαλέγουμε ως υπερστατικά μεγέθη τις κατακόρυφες αντιδράσεις στις τρεις αριστερές στηρίξεις. Άσκηση 6 Μέθοδος των υνάμεων ΑΣΚΗΣΗ 6 ΕΟΜΕΝΑ: Για τη δοκό του σχήματος με ίσα ανοίγματα και ροπές αδρανείας σταθερές αλλά όχι ίδιες σε κάθε άνοιγμα, ζητείται να μορφωθεί το διάγραμμα ροπών κάμψεως. 6 mm

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α Β. Κουμούσης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 998 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... Ενεργειακές Αρχές της Μηχανικής... 5 Αρχή των Δυνατών Έργων... 5 Αρχή της Ελάχιστης Ολικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

20/10/2016. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Εργαστηριακές Σημειώσεις Κάμψη Ξυλινης Δοκού. Πανεπιστημιακός Υπότροφος

20/10/2016. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Εργαστηριακές Σημειώσεις Κάμψη Ξυλινης Δοκού. Πανεπιστημιακός Υπότροφος Εργαστηριακές Σημειώσεις Κάμψη Ξυλινης Δοκού Δρ. Σωτήρης Δέμης Πανεπιστημιακός Υπότροφος Τσιμεντοπολτός Περιλαμβάνονται διαγράμματα από τα βιβλία «Μηχανική των Υλικών» και «Δομικά Υλικά» του Αθανάσιου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ 1. Γενικά Με τη δοκιμή κάμψης ελέγχεται η αντοχή σε κάμψη δοκών από διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 1. Εισαγωγικές έννοιες... 17 1.1 Φορτία... 17 1.2 Η φέρουσα συμπεριφορά των βασικών υλικών... 22 1.2.1 Χάλυβας... 23 1.2.2 Σκυρόδεμα... 27 1.3 Η φέρουσα συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση Laplace Θεωρήματα Μοναδικότητας

Εξίσωση Laplace Θεωρήματα Μοναδικότητας Εξίσωση Laplace Θεωρήματα Μοναδικότητας Δομή Διάλεξης Εξίσωση Laplace πλεονεκτήματα μεθόδου επίλυσης της για εύρεση ηλεκτρικού δυναμικού Ιδιότητες λύσεων εξίσωσης Laplace σε 1, 2 και 3 διαστάσεις Θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης 5.1. Μορφές κάµψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης Η γενική κάµψη (ή κάµψη), κατά την οποία εµφανίζεται στο φορέα (π.χ. δοκό) καµπτική ροπή (Μ) και τέµνουσα δύναµη (Q) (Σχ. 5.1.α).

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Για τους βασικούς ορισμούς σχετικά με το κέντρο βάρους θα γίνεται αναφορά στην επόμενη εικόνα, η οποία απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή.

ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγή. 1 ΚΕΦ. 1. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.1. Εισαγωγή. Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια)

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια) Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια) ο Θεώρημα Castigliano Δ06- Το ο ΘεώρημαCastigliano αποτελεί μια μέθοδο υπολογισμού της μετακίνησης (μετάθεσης ή στροφής) ενός σημείου του φορέα είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων:

ΘΕΜΑ 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων: ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΘΕΜΑ Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα, Q (2.5 μονάδες) β) να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23) ( μονάδα) Δίνονται:

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Εισαγωγή Παραμορφώσεις Ισοστατικών Δοκών και Πλαισίων: Δ22-2 Οι κατασκευές, όταν υπόκεινται σε εξωτερική φόρτιση, αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙ Ακρότατα Δρ. Ιωάννης Ε. Λιβιέρης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. TEI Δυτικής Ελλάδας 2 Ακρότατα συνάρτησης Έστω συνάρτηση f A R 2 R και ένα σημείο P(x, y ) A. Η τιμή f(x, y )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ-ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ-ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ-ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Μ. Nεραντζάκη Αναπλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Διάφοροι τύποι ολόσωμων ισοστατικών πλαισίων Ισορροπία κόμβων ΣF x = 0 N 1 + N 2 cosθ + Q 2 sinθ N 3

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις : Η Εξίσωση Helmholtz Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή εξίσωση Helmholtz σε χωρικές διαστάσεις : ( + k Ψ ( r f( r ( k (6 Η εξίσωση αυτή συνοδεύεται (συνήθως από συνοριακές συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Καθ. Βλάσης Κουµούσης

Καθ. Βλάσης Κουµούσης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Κυλινδρικά Κελύφη Καµπτική Θεωρία Οι µεµβρανικές δυνάµεις που προσδιορίζει η µεµβρανική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 Εισαγωγή στο Μάθημα Μηχανική των Υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Εισαγωγή/ Μηχανική Υλικών 1 Χρονοδιάγραμμα 2017 Φεβρουάριος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ο προσδιορισµός των χαρακτηριστικών τιµών αντοχής του υλικού που ορίζονταιστηκάµψη, όπωςτοόριοδιαρροήςσεκάµψηκαιτοόριοαντοχής

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 A2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Τι είναι ένα δικτύωμα Είναι ένα σύστημα λεπτών,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 011 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η διάταξη εξαναγκασμένων ταλαντώσεων του σχολικού βιβλίου

Η διάταξη εξαναγκασμένων ταλαντώσεων του σχολικού βιβλίου Η ιάταξη εξαναγκασμένν ταλαντώσεν του σχολικού βιβλίου Εισαγγή Κατά την μαθηματική μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντσης με αρμονικό ιεγέρτη θερούμε ένα σώμα στο οποίο, εκτός από την ύναμη επαναφοράς Dx

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ03-2 Οι ενεργειακές μέθοδοι αποτελούν τη βάση για υπολογισμό των μετακινήσεων, καθώς η μετακίνηση εισέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Επίλυση Γραμμικής Διοφαντικής Εξίσωσης Έστω η εξίσωση x y, όπου,, ακέραιοι με και Αν αναζητούμε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης αυτής, ηλαή ζεύγη ακεραίων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1

Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1 Περιεχόµενα Εισαγωγή Σύµβολα Ε1-Ε9 Σ1-Σ10 Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1 2. Σύµβαση πρόσηµων 2.1 Συστήµατα αναφοράς 2.2 υνάµεις και ροπές 2.3 Tάσεις 2.4 Τέµνουσες δυνάµεις και καµπτικές

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2)

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2) Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πλαστική Κατάρρευση Υπερστατικής Δοκού Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Η Εξίσωση Δυνατών Εργων Θεωρήματα Πλαστικής Ανάλυσης Θεωρία Μηχανισμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

δ 2 s Το είναι η προσφορά από τον παίχτη ΙΙ στον παίχτη Ι. Παίρνει ο Ι y

δ 2 s Το είναι η προσφορά από τον παίχτη ΙΙ στον παίχτη Ι. Παίρνει ο Ι y Κεφάλαιο 1 Το τελευταίο που κάναµε ήταν µια ιαπραγµάτευση στην οποία υπάρχουν ύο παίκτες, κάνει ο ένας µια προσφορά, ο άλλος τη έχεται ή όχι. Αν εν την εχτεί κάνει αντιπροσφορά την οποία ο πρώτο παίχτης

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ άλυτων ΑΣΚΗΣΕΩΝ στην Αντοχή των Υλικών

ΛΥΣΕΙΣ άλυτων ΑΣΚΗΣΕΩΝ στην Αντοχή των Υλικών ΛΥΣΕΙΣ άλυτων ΑΣΚΗΣΕΩΝ στην Αντοχή των Υλικών Ασκήσεις για λύση Η ράβδος του σχήματος είναι ομοιόμορφα μεταβαλλόμενης κυκλικής 1 διατομής εφελκύεται αξονικά με δύναμη Ρ. Αν D d είναι οι διάμετροι των ακραίων

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Πειραματική Αντοχή των Υλικών Πείραμα Κάμψης

Μάθημα: Πειραματική Αντοχή των Υλικών Πείραμα Κάμψης Μάθημα: Πειραματική Αντοχή των Υλικών Πείραμα Κάμψης Κατασκευαστικός Τομέας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Περιεχόμενα Σχήμα 1 Α. Ασημακόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής και το πηνίο

Ο πυκνωτής και το πηνίο Πυκνωτής, ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο πυκνωτής και το πηνίο Αποτελείται από ύο οπλισµούς, µονωµένους µεταξύ τους, που µπορούν να αλληλεπιρούν. Κατά τη φόρτιση η πηγή µετακινεί φορτίο από τον ένα οπλισµό στον

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη μαθήματος Ι

Περίληψη μαθήματος Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΛΙΚΩΝ, ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ, ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ, ΑΠΘ Περίληψη μαθήματος Ι Τυπολόγιο μεθοδολογία στατικής Περίληψη Ι: Ισορροπία υλικού σημείου & στερεού σώματος, δικτυώματα,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Καθ. Βλάσης Κουµούσης

Καθ. Βλάσης Κουµούσης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Η καµπτική επιρροή αναµένεται να φθίνει σε κάποια κοντινή απόσταση από το σύνορο, δηµιουργώντας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Η.Ε. Ενότητα 4: Ανάλυση ροής φορτίου

Ανάλυση Σ.Η.Ε. Ενότητα 4: Ανάλυση ροής φορτίου Ανάλυση ΣΗΕ Ενότητα 4: Ανάλυση ροής φορτίου Νικόλαος Βοβός Γαβριήλ Γιαννακόπουλος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αειοότησης Το παρόν υλικό ιατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

1 η Επανάληψη ιαλέξεων

1 η Επανάληψη ιαλέξεων ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 η Επανάληψη ιαλέξεων Στατική Ανάλυση Ισοστατικών Φορέων Τρίτη,, 28 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk ΠΠΜ

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι επίλυσης υπερστατικών φορέων: Μέθοδοι των δυνάµεων Τρίτη, 16, Τετάρτη, 17, Παρασκευή 19 Τρίτη, 23, και Τετάρτη 24 Νοεµβρίου 2004 Πέτρος

Διαβάστε περισσότερα

Με βάση την ανίσωση ασφαλείας που εισάγαμε στα προηγούμενα, το ζητούμενο στο σχεδιασμό είναι να ικανοποιηθεί η εν λόγω ανίσωση:

Με βάση την ανίσωση ασφαλείας που εισάγαμε στα προηγούμενα, το ζητούμενο στο σχεδιασμό είναι να ικανοποιηθεί η εν λόγω ανίσωση: Με βάση την ανίσωση ασφαλείας που εισάγαμε στα προηγούμενα, το ζητούμενο στο σχεδιασμό είναι να ικανοποιηθεί η εν λόγω ανίσωση: S d R d Η εν λόγω ανίσωση εφαρμόζεται και ελέγχεται σε κάθε εντατικό μέγεθος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 A2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Τι είναι ένα δικτύωμα Είναι ένα σύστημα λεπτών,

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματική Αντοχή Υλικών Ενότητα:

Πειραματική Αντοχή Υλικών Ενότητα: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πειραματική Αντοχή Υλικών Ενότητα: Λυγισμός Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 17 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων:

ΑΣΚΗΣΗ 17 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων: ΑΣΚΗΣΗ 7 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q (2.5 μονάδες) β) να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23) ( μονάδα)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.. Εισαγωγή Αναφέρθηκε ήδη στο ο κεφάλαιο ότι η αναπαράσταση της ταλαντωτικής

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Διαμήκης Αντοχή Πλοίου- Ορθές τάσεις λόγω κάμψης

Ενότητα: Διαμήκης Αντοχή Πλοίου- Ορθές τάσεις λόγω κάμψης ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ Ενότητα: Διαμήκης Αντοχή Πλοίου- Ορθές τάσεις λόγω κάμψης Α. Θεοδουλίδης Η αντοχή του πλοίου Διαμήκης αντοχή Εγκάρσια αντοχή Τοπική αντοχή Ανάλυση του σύνθετου εντατικού πεδίου Πρωτεύουσες,

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 Εισαγωγή Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια της μεθόδου Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος

Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος Εισαγωγή Σεισμική Απόκριση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ16-2 Η κίνηση των στηρίξεων προκαλεί δυναμική καταπόνηση στην κατασκευή, έστω και αν δεν επενεργούν εξωτερικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κίνηση Brown Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κίνηση Brown Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κίνηση Brow Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση 5.. Κίνηση Brow Σε αυτό το κεφάλαιο θα επιχειρήσουμε να μεταφράσουμε σε συνεχή χρόνο τα αποτελέσματα που προέκυψαν κατά τη μελέτη μοντέλων ιακριτού

Διαβάστε περισσότερα

9. ΦΟΡΤΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΔΟΚΩΝ

9. ΦΟΡΤΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΔΟΚΩΝ 9. ΦΟΡΤΙ ΔΙΤΟΜΗΣ ΔΟΚΩ 9.1 ενικά Ο όρος φορτία σημαίνει είτε δυνάμεις είτε ροπές. Συνοψίζοντας αυτά που αναφέρθηκαν σε προηγούμενα κεφάλαια, μπορούμε να πούμε ότι δοκός είναι ένα σώμα με μεγάλο μήκος και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b) 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑπόστολου Κωνσταντινίδη ιαφραγµατική λειτουργία. Τόµος B

ΙΑπόστολου Κωνσταντινίδη ιαφραγµατική λειτουργία. Τόµος B Τόµος B 3.1.4 ιαφραγµατική λειτουργία Γενικά, αν υπάρχει εκκεντρότητα της φόρτισης ενός ορόφου, π.χ. από την οριζόντια ώθηση σεισµού, λόγω της ύπαρξης της πλάκας που στο επίπεδό της είναι πρακτικά άκαµπτη,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 015 3. Δοκοί (φορτία NQM) Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής με τα διάφορα είδη φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019 Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών ΜΕΜ 74 Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 9 Ζήτημα Α Α. Δείξτε ότι αν p, q πραγματιϰά πολυώνυμα ίδιου βαϑμού, τότε p q ϰαϑώς ±. Λύση. Αρϰεί να δείξουμε ότι για με αρϰετά μεγάλο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Να βρεθεί συνάρτηση f() σταθερής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Α. Θεοδουλίδης Η Μεθοδος των Πεπερασμένων στοιχείων Η Μέθοδος των ΠΣ είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 8. Για το φορέα του σχήματος να μορφωθούν τα διαγράμματα M, Q, N για ομοιόμορφο φορτίο και θερμοκρασιακή φόρτιση.

ΑΣΚΗΣΗ 8. Για το φορέα του σχήματος να μορφωθούν τα διαγράμματα M, Q, N για ομοιόμορφο φορτίο και θερμοκρασιακή φόρτιση. ΑΣΚΗΣΗ 8 ΕΟΜΕΝΑ: Για το φορέα του σχήματος να μορφωθούν τα διαγράμματα, Q, N για ομοιόμορφο φορτίο και θερμοκρασιακή φόρτιση. ίνονται: 50 KNm I/ A 0, T T 5 C 0 h 0,5m 5 C l l 0m T a t 5 C / C ΕΠΙΛΥΣΗ:

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 6 Οκτωβρίου 11 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 017 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

2 Περιεχόμενα. Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Περιεχόμενα Γράφημα της συνάρτησης f( ), αν p < 0 F( ) = f( ), αν 0 p και F( + p) = F( ), R (δηλ της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( ), 0 p στο R ) Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα