Κεφάλαιο 3 : Διαστολή Χρόνου και Συστολή Μήκους.

Transcript

1 Κεφάλαιο 3 : ιαστολή Χρόνο και Σστολή Μήκος. 3. Η σχετικότητα το χρόνο. Κατά την Νετώνειο Μηχανική ο χρόνος είναι απόλτος, ίδιος και ανεξάρτητος από το σύστημα αναφοράς. Σύμφωνα όμως με το δεύτερο αξίωμα το Einsein η ταχύτητα το φωτός έχει την ίδια τιμή, / ε 0 μ0 3 0 m/se, σε όλα τα αδρανειακά σστήματα αναφοράς. Ατό έχει σαν άμεσο αποτέλεσμα πως ο χρόνος πρέπει να είναι σχετικός: διαφορετικοί παρατηρητές σε καταστάσεις σχετικής κίνησης πρέπει να έχον διαφορετικές ιδέες ως προς τη μέτρηση το χρόνο και το χρονικού διαστήματος μεταξύ γεγονότων. Θεωρήστε το ιδεατό πείραμα το οποίο εικονίζεται στο σχήμα 3.. Σε μια στιγμή το κεντρικό φως C στο κινούμενο αγόνι ανάει. Λίγο χρόνο αργότερα σύμφωνα με τον παρατηρητή Β πο ρίσκεται στην αποάρα, το φως έχει φτάσει στο πίσω σημείο R το αγονιού αλλά δεν έχει φτάσει ακόμα στο μπροστινό σημείο F. Σύμφωνα με τον παρατηρητή Α ο οποίος είναι μέσα στο αγόνι, το φως φτάνει στα σημεία R και F, πο απέχον το ίδιο από το C τατόχρονα. Σχήμα 3.

2 ύο γεγονότα (η άφιξη το φωτός στο εμπρός και πίσω μέρος το ατοκινήτο) κρίνονται από τον Α ότι σμαίνον τατόχρονα και από τον Β ότι σμαίνον σε διαφορετικούς χρόνος. Προφανώς πρέπει να πάρχει μια διαφορά ως προς τον ίδιο τον χρόνο για τος δύο παρατηρητές. ύο σμάντα τα οποία είναι τατόχρονα σε ένα σύστημα αναφοράς, δεν είναι ένα γένει τατόχρονα σε ένα δεύτερο σύστημα το οποίο κινείται ως προς το πρώτο. Ατό σημαίνει πως ο τατοχρονισμός δεν είναι απόλτη έννοια. 3. Η ιαστολή το Χρόνο. Θεωρείστε δύο παρατηρητές, τον Ο και τον Ο ο οποίος ταξιδεύει με σταερή ταχύτητα ως προς τον O κατά μήκος το κοινού τος άξονα x x. Ας ποέσομε πως ο Ο παρατηρεί x 0. Το χρονικό διάστημα δύο γεγονότα Α και Β τα οποία σμαίνον στην ίδια έση - μεταξύ των δύο γεγονότων ονομάζεται ιδιοχρόνος ή χρόνος ηρεμίας. B A Θεωρείστε ότι τα ίδια δύο γεγονότα Α και Β παρατηρούνται από το παρατηρητή Ο. Ατός αναγκαστικά α προσδιορίσει πως τα δύο ατά γεγονότα λαμάνον χώρα σε διαφορετικές έσεις ( x 0) με το ως: ενώ το χρονικό διάστημα B - A το οποίο μετρά σχετίζεται - γ με γ, (3.) - Σύμφωνα λοιπόν με τον ακίνητο παρατηρητή Ο το κινούμενο ρολόι το Ο είναι ποιο αργό από το δικό το κατά έναν παράγοντα γ. Το φαινόμενο ατό είναι γνωστό ως διαστολή χρόνο. Στο παραπάνω παράδειγμα εωρήσαμε πως τα γεγονότα Α και Β σμαίνον στην ίδια x 0 για τον παρατηρητή Ο. Εάν εωρήσομε πως τα γεγονότα Α και Β γίνονται έση στην ίδια έση ( x 0) για τον παρατηρητή Ο τότε α καταλήξομε σε αντίστοιχα αποτελέσματα: ότι δηλαδή x 0 και γ. ηλαδή με απλά λόγια η διαστολή το χρόνο ισχύει και προς τις δύο κατεύνσεις πό παρόμοιες σνήκες. Το παραπάνω αποτελεί απόρροια της Αρχής της Αμοιαιότητας η οποία προκύπτει από την ισοδναμία των Αδρανειακών Σστημάτων (πρώτο αξίωμα το Einsein). Την Αρχή της Αμοιαιότητας μπορούμε να την εκφράσομε ως εξής: «Εάν δύο αδρανειακοί παρατηρητές Ο και Ο εκτελέσον το ίδιο πείραμα τότε η περιγραφή το Ο για το πείραμα το Ο είναι η ίδια με την περιγραφή το Ο για το πείραμα το Ο». Οι σνέπειες της Αρχής της Αμοιαιότητας είναι οι ακόλοες: 9

3 Οι αποστάσεις οι οποίες είναι κάετες στη διεύνση της κίνησης παραμένον οι ίδιες. Οι δύο παρατηρητές σμφωνούν για τη σχετική τος ταχύτητα (εκτός το διαφορετικού προσήμο). Γεγονότα τα οποία σμπίπτον στο χώρο και τον χρόνο σε ένα αδρανειακό σύστημα οφείλον να σμπίπτον σε όλα. ηλαδή εάν x 0, 0 τότε α έχομε και x 0, 0. Θεωρήστε για παράδειγμα την διάσπαση ενός πιονίο σε ένα μιόνιο και ένα νετρίνο το μιονίο. Όλοι οι παρατηρητές α σμφωνήσον πως τα φαινόμενα της καταστροφής το πιονίο και της δημιοργίας των νέων σωματίων σνέησαν στην ίδια έση τατόχρονα. Ένα τέτοιο γεγονός μπορούμε να πούμε πως είναι ένα μοναδικό γεγονός. 3.3 Η Σστολή το Μήκος. Σε αναλογία με τον ιδιοχρόνο μπορούμε να ορίσομε το ιδιομήκος ενός αντικειμένο ως το μήκος πο έχει στο σύστημα αναφοράς στο οποίο ηρεμεί. Θεωρείστε δύο παρατηρητές, τον Ο και τον Ο ο οποίος ταξιδεύει με σταερή ταχύτητα ως προς τον O κατά μήκος το κοινού τος άξονα x x. Θεωρήστε επίσης έναν χάρακα ο οποίος είναι τοποετημένος παράλληλα στον κοινό άξονα x x και ρίσκεται σε ακινησία ως προς τον κινούμενο παρατηρητή Ο. Ατό σημαίνει πως το ιδιομήκος το χάρακα είναι. Το μήκος το χάρακα πο μετρά ο παρατηρητής Ο δίνεται από την: - με γ, (3.) γ - Από την παραπάνω σμπεραίνομε πως όταν ένα αντικείμενο κινείται με ταχύτητα έχει μετρούμενο μήκος μικρότερο από το ιδιομήκος το κατά έναν παράγοντα - /. Το φαινόμενο ατό ονομάζεται σστολή το μήκος (σστολή orenz) και σμαίνει μόνο κατά την διεύνση της κίνησης. 0

4 3.4 Λμένα Προλήματα 3.4. Ο μέσος χρόνος ζωής μιονίων τα οποία κινούνται με ταχύτητα 0.95 είναι se. Υπολογίστε το μέσο χρόνο ζωής των μιονίων στο σύστημα αναφοράς τος. Ο μέσος χρόνος ζωής των μιονίων στο σύστημα αναφοράς τος είναι ο ιδιοχρόνος τος, άρα έχομε: γ ( 6 0 ) ( 0.95) se.7 0 se 3.4. Τα πιόνια έχον χρόνο ημίσιας ζωής /. 0 se. Μια δέσμη πιονίων γαίνει από έναν επιταχντή με ταχύτητα 0.. (α) Υπολογίστε κλασικά το διάστημα πο απαιτείται να διασπαστούν τα μισά πιόνια. () Υπολογίστε το ίδιο διάστημα εφαρμόζοντας την εωρία της σχετικότητας. (α) Στην κλασική φσική έχομε: s ( m/se)(. 0 se) 4.3m / () Ο χρόνος ημίσιας ζωής / ορίζεται στο σύστημα ηρεμίας των πιονίων. Στο σύστημα το εργαστηρίο τα πιόνια κινούνται με 0.. Για έναν ακίνητο παρατηρητή στο σύστημα το εργαστηρίο ο χρόνος ημισίας ζωής των πιονίων πρέπει να είναι αξημένος λόγω το φαινομένο της διαστολής το χρόνο και δίνεται από την: - / ( 0.) se se Έτσι στο σύστημα το εργαστηρίο τα πιόνια διανύον απόσταση ίση με: d ( m/se)( 3 0 se) 7.0m Μια και τα ρολόγια πο κινούνται το ένα σε σχέση με το άλλο δείχνον διαφορετικούς χρόνος, εισάγεται το εξής πρόλημα: Πως μπορεί κάποιος να ισχριστεί πως τα ρολόγια τα οποία ρίσκονται σε διαφορετικές έσεις στο ίδιο σύστημα αναφοράς είναι σγχρονισμένα, δηλαδή δείχνον την ίδια ένδειξη στον ίδιο χρόνο; Σκεφτείτε έναν τρόπο να σγχρονίζετε τα ρολόγια.

5 Η εωρία της σχετικότητας προσφέρει ένα πρακτικό ορισμό το σγχρονισμού, χρησιμοποιώντας παλμούς φωτός για να σνδέσει τα διάφορα ρολόγια. Θεωρήστε για παράδειγμα, ένα ρολόι C πο έχει ρμιστεί να εκπέμπει ένα φωτόνιο κατά την στιγμή πο δείχνει μηδέν (Σχήμα 3. (α)). Ένα άλλο ρολόι C, πανομοιότπης κατασκεής, ρίσκεται σε ηρεμία σχετικά με το C σε μια απόσταση d300m. Το ρολόι C έχει τεεί να δείχνει μse όταν δεχεί το φωτόνιο. Με ατόν τον τρόπο, αφού το φωτόνιο έχει μεταφέρει το μήνμα το από το C στο C, λέμε, εξ ορισμού πως τα δύο ρολόγια είναι σγχρονισμένα. Σχήμα 3. Η σνέπεια το παραπάνω ορισμού μπορεί να ελεγχεί με διάφορος τρόπος. Ένας τρόπος φαίνεται Σχήμα 3.(): Αν το ρολόι C εκπέμπει ένα φωτόνιο σε 3μse, το ρολόι C α πρέπει να δείχνει 4μse όταν δεχεί το φωτόνιο. Ένας άλλος τρόπος ελέγχο φαίνεται στο Σχήμα 3.(γ): Ο ανιχνετής D δέχεται τατόχρονα δύο φωτόνια. Τα ρολόγια είναι σύγχρονα εάν έδειχναν τις ίδιες ενδείξεις όταν εξέπεμψαν τα φωτόνια. Με τον παραπάνω τρόπο είναι δνατόν σε ένα σύστημα αναφοράς να σγχρονιστεί οποιοσδήποτε αριμός ρολογιών. Ο σγχρονισμός των ρολογιών είναι μια σχετική αρχή. Αποτελεί έμα σμφωνίας για παρατηρητές ακίνητος μεταξύ τος και έμα διαφωνίας για παρατηρητές πο κινούνται ο ένας σε σχέση με τον άλλο Θεωρείστε δύο παρατηρητές, τον Ο και τον Ο ο οποίος ταξιδεύει με σταερή ταχύτητα ως προς τον O κατά μήκος το κοινού τος άξονα x x. Ένας χάρακας σύμφωνα με τον παρατηρητή O σχηματίζει γωνία 30 με τον άξονα x. Σύμφωνα με το παρατηρητή O ο ίδιος χάρακας σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα x. Ποια είναι η ταχύτητα ;

6 3 Έστω το μήκος το χάρακα στο σύστημα το παρατηρητή Ο. Έχομε: os sin x y () Για τον παρατηρητή Ο έχομε: x x y y () Λαμάνοντας π όψη τις () και () έχομε: 30 an 45 an an an an os sin an x y x y 0.6 o o Ένα διαστημόπλοιο με ιδιομήκος 300m κάνει 0.750μse για να προσπεράσει έναν ακίνητο παρατηρητή πάνω στη Γη. Υπολογίστε την ταχύτητα το διαστημοπλοίο σύμφωνα με τον παρατηρητή πάνω στη Γη. Στο κινούμενο σύστημα το διαστημοπλοίο το μήκος το είναι 300m. Για τον ακίνητο παρατηρητή στη Γη έχομε: γ και se μ. Είναι όμως: γ γ γ Υψώνοντας στο τετράγωνο έχομε: / /

7 3.4.6 Ένα ατομικό ρολόι κινείται με ταχύτητα 000Km/h για μία.00h ώρα όπως ατή μετριέται με ένα ολόιδιο ρολόι πο ρίσκεται ακίνητο στην επιφάνεια της Γης. Εάν μετά το τέλος το ταξιδιού τα δύο ρολόγια σγκριούν ποια α είναι η διαφορά τος; Ποιο α πηγαίνει πίσω; Το ατομικό ρολόι κινείται με ταχύτητα 000 Km/h 77.m/seάρα : 77. m/se m/se () Για έναν παρατηρητή πάνω στη Γη h 3600se. Ισχύει όμως πως: γ γ - () Σε περιπτώσεις όπο << είναι πολύ χρήσιμα τα παρακάτω αναπτύγματα: Έτσι η () γίνεται: nse ( 0 ) ( 3600 se) 0.5( )( ) Το ρολόι πο κινείται α πηγαίνει.54 nse πίσω σε σχέση με το ρολόι πάνω στη Γη. nse 4

8 3.5 Προλήματα 3.5. Πόση πρέπει να είναι η ταχύτητα ενός διαστημοπλοίο το οποίο απομακρύνεται από την Γη έτσι ώστε οι αστροναύτες το να γερνούν στο μισό ρμό από ότι οι άνρωποι πάνω στη Γη; (Απάντηση: 0.66 ) 3.5. Ένα σωματίδιο κινείται στο σύστημα το εργαστηρίο με ταχύτητα 0. και διασπάται αφού διανύσει 3m. Ποιος είναι ο χρόνος ζωής το στο σύστημα ηρεμίας το; - (Απάντηση: se ) Ένας κύος στο σύστημα ηρεμίας το έχει όγκο V 000m. Ένας παρατηρητής Ο κινείται με ταχύτητα 0. κατά την διεύνση μιας ακμής το κύο. (α) Πόσος είναι ο όγκος το κύο σύμφωνα με τον παρατηρητή Ο. () Πόσος είναι ο όγκος το κύο σύμφωνα με τον παρατηρητή Ο εάν ατός κινείται με την ίδια ταχύτητα παράλληλα σε μια διαγώνιο μιας έδρας το κύο. 3 (Απάντηση: V 600m ) Ένα διαστημόπλοιο προσπερνά την Γη με ταχύτητα. Ένας αστροναύτης μέσα στο διαστημόπλοιο λέπει πως η Γη έχει ελλειπτικό σχήμα με τον μέγιστο άξονα της έλλειψης έξι φορές μεγαλύτερο από τον μικρό. Ποια η ταχύτητα το διαστημοπλοίο; (Απάντηση: 0.96 ) Το ορογώνιο τρίγωνο το οποίο εικονίζεται στο παρακάτω σχήμα ρίσκεται σε ηρεμία. Για έναν παρατηρητή ο οποίος κινείται παράλληλα προς την πλερά x με ταχύτητα το τρίγωνο έχει πλερές x και y, ποτείνοσα r και εσωτερική γωνία. (α) Γιατί ο κινούμενος παρατηρητής σμφωνεί με έναν ακίνητο ότι το τρίγωνο είναι ορογώνιο; () Αποδείξτε πως οι γωνίες και σνδέονται με την σχέση: an ( ) an ( ) (γ) Αποδείξτε πως τα r και r σνδέονται με την σχέση: r r - os ( ) 5

9 3.5.6 Ο οδηγός ενός νοικιασμένο σχετικιστικού ατοκινήτο επιστρέφει το ατοκίνητό το μετά από μία ώρα οδήγηση κατά την άποψη το. Ο πράκτορας πο το το νοίκιασε λέει πως το ατοκίνητο οδηγήηκε επί δύο ώρες. Με ποια ταχύτητα έτρεχε το ατοκίνητο; (Απάντηση: 0.66 ) Ένα τετράγωνο στο σύστημα ηρεμίας το έχει εμαδόν Ε400m. Ένας παρατηρητής κινείται παράλληλα σε μια διαγώνιό το με ταχύτητα 0.. Πόσο είναι το εμαδό το τετραγώνο σύμφωνα με ατόν τον παρατηρητή; (Απάντηση: E 40m ) Ένα μιόνιο δημιοργείται, από την αλληλεπίδραση ενός κοσμικού πρωτονίο με την ατμόσφαιρα, σε ύψος 0Km από την επιφάνεια της Γης. Πόση πρέπει να είναι η ταχύτητα το μιονίο ώστε να φτάσει μέχρι την επιφάνεια της Γης; Ο χρόνος ζωής των μιονίων στο σύστημα ηρεμίας τος είναι.μse. (Απάντηση: ) Ο Πέτρος και ο Παύλος είναι δίδμοι. Σε ηλικία 0 ετών ο Πέτρος μπαίνει σε ένα διαστημόπλοιο το οποίο κινείται με ταχύτητα 0. και πηγαίνει σε ένα κοντινό άστρο. Μόλις φτάνει σε ατό αμέσως ξεκινάει το ταξίδι της επιστροφής. Φτάνει στη Γη σε ηλικία ετών. (α) Ποια είναι η ηλικία το Παύλο την στιγμή της επιστροφής το Πέτρο () Σε ποια απόσταση από την Γη ρίσκεται ο αστέρας πο επισκέφηκε ο Πέτρος; 6 (Απάντηση: α) 3.3y ) m ) ύο παρατηρητές Α και Β στέκονται ο ένας σε απόσταση 50m από τον άλλο. Καώς μια ράδος μήκος m περνά δίπλα τος, ρίσκον ότι είναι απέναντι στα δύο άκρα της ράδο σγχρόνως. (α) ποια η ταχύτητα της ράδο; () Για έναν παρατηρητή στο σύστημα αναφοράς της ράδο πόσο απέχον οι Α και Β; (Απάντηση: α) 0.6 ) 5m ). 6

10 3.5. Ένα διαστημόπλοιο εκτοξεύεται από την Γη. Μετά από μια μικρή περίοδο επιτάχνσης αποκτά σταερή ταχύτητα ίση με 0.7. Οι πρηνικές μπαταρίες το παρέχον αρκετή ενέργεια ώστε να έχει σνεχώς σε λειτοργία τον πομπό με το οποίο στέλνει δεδομένα στη Γη. Οι μπαταρίες το έχον χρόνο ζωής 5 y μετρημένο στο σύστημα αναφοράς το. (α) Πόση είναι η διάρκεια ζωής των μπαταριών το σύμφωνα με έναν παρατηρητή πάνω στη Γη. () Σύμφωνα με έναν παρατηρητή πάνω στη Γη πόσο μακριά α ρίσκεται το διαστημόπλοιο όταν οι μπαταρίες το τελειώσον. (γ) Σύμφωνα με έναν παρατηρητή μέσα στο διαστημόπλοιο πόσο μακριά α ρίσκεται ατό από την Γη όταν οι μπαταρίες το τελειώσον.(δ) Για πόσο σνολικά χρόνο μετά την εκτόξεση το διαστημοπλοίο το κέντρο ελέγχο α λαμάνει δεδομένα από ατό; (Απάντηση: α) y ) 4.7l y γ) 0.5l y δ) 35.7y ) Τα ταξί ροκέτες το μέλλοντος κινούνται στο ηλιακό σύστημα με ταχύτητα ίση με το μισό της ταχύτητας το φωτός. Οι οδηγοί παίρνον 00 την ώρα όπως την μετρούν τα ταξίμετρα. Η ομοσπονδία των οδηγών ταξί ζητά όπως η πληρωμή να γίνεται με άση τον χρόνο της Γης και όχι τον χρόνο το ταξί. Αν γίνει δεκτό το αίτημά τος πόσο α αξηεί το κόμιστρο; Ένα μιόνιο με ενέργεια 0 GeV επιδέχεται ένα παράγοντα διαστολής χρόνο 95. Πόσο διαφέρει η ταχύτητα το μιονίο από την ταχύτητα το φωτός. 5 (Απάντηση: ) Τα ηλεκτρόνια σε μία τηλεόραση παλιάς τεχνολογίας επιταχύνονται στον καοδικό της σωλήνα σε μια ταχύτητα 0 m / se / 3. Όπως το μετράμε μέσα στο δωμάτιο, το μήκος το σωλήνα είναι 30 m. Ποιο το μήκος το σε ένα σύστημα αναφοράς το οποίο κινείται μαζί με το ηλεκτρόνιο με την τελική το ταχύτητα; (Απάντηση:. m ) Ακίνητα φορτισμένα πιόνια έχον ένα μέσο χρόνο ζωής ίσο με.6 0 se. Τα φορτισμένα πιόνια πο αναδύονται από ένα ορισμένο επιταχντή έχον ταχύτητα ( 0. ).4 0 m/ se. α) Πόσος είναι ο μέσος χρόνος ζωής των κινούμενων πιονίων πο μετράμε στο σύστημα το εργαστηρίο; ) Πόση είναι η μέση απόσταση πο διάνσαν τα πιόνια στο εργαστήριο πριν διασπαστούν; γ) Πόση είναι η μέση απόσταση από τον επιταχντή μέχρι τα σημεία διάσπασης στο σύστημα ηρεμίας των πιονίων; - (Απάντηση: α) se ) 0. 4m γ) 6. 4m ). 7

11 3.5.6 Ενώ ο Πέτρος παραμένει στη Γη, η δίδμη αδελφή το Βαράρα ταξιδεύει με 60% της ταχύτητας το φωτός μέχρι ένα γειτονικό άστρο και επιστρέφει πάλι στη Γη. Και οι δύο ήταν 0 χρονών όταν άρχισε το ταξίδι και ο Πέτρος είναι 40 χρονών όταν τελειώνει. α) Πόσων χρονών ήταν η Βαράρα όταν το διαστημόπλοιο της αντέστρεψε την πορεία το και κατεύνηκε προς τη Γη; ) Πόσων χρονών είναι στο τέλος το ταξιδιού;