ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Transcript

1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Παναγιώτης Κόκκας Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Φσικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 8

2

3 Εισαγωγή: Οι σημειώσεις ατές απεθύνονται στος δετεροετείς φοιτητές το Τμήματος Φσικής στα πλαίσια το μαθήματος Σύγχρονη Φσική Ι το χειμερινού εξαμήνο. Παρέχον ένα σημαντικό οήθημα για το μέρος το μαθήματος πο αφορά στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας. Καλύπτον ένα μέρος της θεωρίας η οποία δεν περιλαμάνεται στο διδακτικό ιλίο και περιέχον έναν μεγάλο αριθμό λμένων και άλτων προλημάτων πο έχον στόχο να οηθήσον τον φοιτητή στη μελέτη το. Σημειώνομε πως σε καμιά περίπτωση δεν αντικαθιστούν το διδακτικό σύγγραμμα ούτε αντικαθιστούν τις παραδόσεις το μαθήματος. Αναλτικότερα στο Κεφάλαιο περιλαμάνονται προλήματα πο αφορούν τος μετασχηματισμούς το Γαλιλαίο ενώ στο Κεφάλαιο παροσιάζεται η Αρχή της Σχετικότητας το Einsein. Στο Κεφάλαιο 3 παροσιάζονται οι σνέπειες της αρχής της Σχετικότητας πο αφορούν στη Διαστολή το Χρόνο και στη Σστολή το Μήκος ενώ στο Κεφάλαιο 4 παροσιάζονται οι μετασχηματισμοί Lorenz. Στο Κεφάλαιο 5 παροσιάζονται προλήματα πο αφορούν στο φαινόμενο Doppler, τα Διαστήματα, το Χωρόχρονο και τις Κοσμικές γραμμές. Στο Κεφάλαιο 6 παροσιάζονται προλήματα πο αφορούν στην Σχετικιστική μάζα, ενέργεια και ορμή. Τέλος στο Κεφάλαιο 7 παροσιάζονται στοιχεία πο αφορούν τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με το μάθημα μπορείτε να απεθνθείτε στην ηλεκτρονική σελίδα hp://alpha.physis.oi.gr/web_kokkas_rel/relaiviy.hm Σεπτέμριος 8 Π. Κόκκας 3

4 4

5 Κεφάλαιο : Μετασχηματισμοί Γαλιλαίο.. Γεγονότα, σστήματα αναφοράς και η αρχή της Νετώνειας Σχετικότητας. Ως φσικό γεγονός ορίζεται ένα σμάν το οποίο λαμάνει χώρα σε ένα σημείο το χώρο μια σγκεκριμένη χρονική στιγμή. Το γεγονός καθορίζεται πλήρως από ένα παρατηρητή, ο οποίος ρίσκεται σε ένα σύστημα σντεταγμένων, με τέσσερεις σντεταγμένες: τρεις χωρικές σντεταγμένες της θέσης (, y,z) πο μετράνε την απόσταση το γεγονότος από την αρχή των αξόνων και μία χρονική σντεταγμένη την οποία ο παρατηρητής καταγράφει με το ρολόι το. Ένα σταθερό σύστημα σντεταγμένων (, y,z,) άσει το οποίο περιγράφομε ένα φσικό γεγονός ονομάζεται Σύστημα Αναφοράς. Ένα σύστημα αναφοράς στο οποίο ισχύει ο πρώτος νόμος το Νεύτωνα ονομάζεται Αδρανειακό Σύστημα Αναφοράς. Σύμφωνα με την αρχή της Νετώνειας Σχετικότητας (αρχή της σχετικότητας το Γαλιλαίο), όλοι οι νόμοι της μηχανικής είναι ίδιοι (αναλλοίωτοι) σε όλα τα αδρανειακά σστήματα αναφοράς.. Οι μετασχηματισμοί το Γαλιλαίο Θεωρείστε δύο παρατηρητές τον Ο και τον Ο ο οποίος ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα ως προς τον O κατά μήκος το κοινού τος άξονα, όπως φαίνεται στο σχήμα.. Και οι δύο παρατηρητές είναι εφοδιασμένοι με ένα μέτρο ώστε να μετρούν αποστάσεις και ένα ρολόι ώστε να μετρούν τον χρόνο. Υποθέτομε πως οι δύο παρατηρητές ρθμίζον τα ρολόγια τος έτσι ώστε όταν ο ένας περνά δίπλα από τον άλλον για τα ρολόγια τος να δείχνον. Τότε ένα φσικό γεγονός P θα περιγράφεται από τις σντεταγμένες (, y,z,) ως, y,z, ως προς τον Ο. προς τον Ο και από τις σντεταγμένες ( ) 5

6 Σχήμα. Οι σντεταγμένες μετρήσεις (, y,z,) και (, y,z, ) τον Μετασχηματισμό Σντεταγμένων το Γαλιλαίο. σνδέονται μεταξύ τος με y y z z (.) Διαφορίζοντας τος παραπάνω μετασχηματισμούς ως προς τον χρόνο προκύπτον οι παρακάτω Μετασχηματισμοί Ταχύτητας το Γαλιλαίο: y z y z (.) Διαφορίζοντας τος μετασχηματισμούς ταχύτητας ως προς τον χρόνο προκύπτον οι παρακάτω Μετασχηματισμοί Επιτάχνσης το Γαλιλαίο: a a a y z a a y a z (.3) Η χωρική και χρονική απόσταση μεταξύ δύο γεγονότων μπορεί να δηλωθεί με Δ, Δy, Δz, Δ, όπο Δ -, Δy y - y, κτλ. Οι μετασχηματισμοί το Γαλιλαίο πο σνδέον τις αποστάσεις δύο γεγονότων είναι οι ακόλοθοι: 6

7 Δ Δ Δ Δy Δy Δz Δz Δ Δ (.4) Αν και οι εξισώσεις (.4) μοιάζον πολύ με τις εξισώσεις (.) στην πραγματικότητα είναι κάπως πιο γενικές. Απαιτούν μονάχα ότι οι, y και z άξονες είναι παράλληλοι προς τος, y και z άξονες αντίστοιχα, και ότι η σχετική κίνηση των σστημάτων αναφοράς είναι κατά την διεύθνση. Οι άξονες και δεν χρειάζεται να ρίσκονται στην ίδια εθεία. Ούτε και είναι αναγκαίο οι αρχές των δύο σστημάτων σντεταγμένων να περάσον η μία από την άλλη κατά μία ορισμένη στιγμή..3 Το αναλλοίωτο μιας εξίσωσης Το αναλλοίωτο μιας εξίσωσης η οποία περιγράφει έναν φσικό νόμο σημαίνει πως η εξίσωση έχει την ίδια μορφή (μαθηματικό τύπο) όταν καθορίζεται από δύο διαφορετικούς παρατηρητές. Στην κλασική θεωρία οι χωρικές και χρονικές μετρήσεις δύο παρατηρητών σσχετίζονται μέσω των μετασχηματισμών το Γαλιλαίο. Έτσι εάν μια εξίσωση καθορίζεται με ένα σγκεκριμένο μαθηματικό τύπο από ένα παρατηρητή, μπορούμε να εφαρμόσομε τος μετασχηματισμούς το Γαλιλαίο και να πολογίσομε τον μαθηματικό της τύπο για τον άλλο παρατηρητή. Εάν οι δύο μαθηματικοί τύποι έχον την ίδια μορφή τότε λέμε πως η εξίσωση είναι αναλλοίωτη (και κατά σνέπεια ο φσικός νόμος πο εκφράζει είναι αντίστοιχα αναλλοίωτος) κάτω από τος μετασχηματισμούς Γαλιλαίο. Για παράδειγμα ο ος νόμος το Νεύτωνα γράφεται για τον πρώτο παρατηρητή ως: r r r r F ma ενώ για τον δεύτερο ως: F ma, κατά σνέπεια είναι αναλλοίωτος κάτω από τος μετασχηματισμούς Γαλιλαίο. Όλοι οι νόμοι της μηχανικής είναι αναλλοίωτοι κάτω από τος μετασχηματισμούς Γαλιλαίο (για παράδειγμα δες τα προλήματα.4.4,.4.5,.5.3 και.5.5). Δεν ισχύει όμως το ίδιο για τον ηλεκτρομαγνητισμό (για παράδειγμα πρόλημα.5.6). 7

8 .4 Λμένα Προλήματα.4. Ένας κνηγός στο έδαφος προολεί προς την ορειοανατολική κατεύθνση και χτπάει ένα ελάφι 35m μακριά το. Η σφαίρα ταξιδεύει με ταχύτητα 7m/se. Τη στιγμή πο η σφαίρα φεύγει από το όπλο το κνηγού ένα αεροπλάνο πετάει ακριώς από πάνω το σε ύψος 5km και κατεθύνεται ανατολικά με ταχύτητα 7m/se. Όταν η σφαίρα χτπά το ελάφι, ποιες είναι οι σντεταγμένες όπως προσδιορίζονται από ένα παρατηρητή στο αεροπλάνο; Χρησιμοποιώντας τος μετασχηματισμούς το Γαλιλαίο έχομε: 35 m.5 se 7 m/se - y y z z - h - 5m -5m ( 35m) os(45 ) - ( 7m/se) ( 35m) sin(45 ) 47.48m.5se 6.48m.4. Ένα ραδιενεργό λικό, το οποίο ρίσκεται σε ηρεμία στο σύστημα το εργαστηρίο, εκπέμπει δύο ηλεκτρόνια σε αντίθετες διεθύνσεις. Το ένα ηλεκτρόνιο κινείται με ταχύτητα.6 και το άλλο με ταχύτητα.7 ως προς έναν παρατηρητή ακίνητο στο σύστημα το εργαστηρίο. Ποια θα είναι η ταχύτητα το ενός ηλεκτρονίο ως προς το άλλο σύμφωνα με τος κλασικούς μετασχηματισμούς της ταχύτητας; Ας ποθέσομε ότι ο παρατηρητής Ο είναι ο ακίνητος παρατηρητής στο σύστημα το εργαστηρίο και ο παρατηρητής Ο είναι ακίνητος ως προς το ηλεκτρόνιο το οποίο κινείται προς την θετική κατεύθνση με ταχύτητα.6. Σύμφωνα με τος μετασχηματισμούς ταχύτητας το Γαλιλαίο έχομε: Ατό το πρόλημα αποδεικνύει ότι σύμφωνα με τος κλασικούς μετασχηματισμούς της ταχύτητας είναι δνατές ταχύτητες μεγαλύτερες από ατή το φωτός, πράγμα τα οποίο δεν είναι σύμφωνο με την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας..4.3 Ένα αγόνι μήκος L κινείται κατά την διεύθνση το άξονα των με ταχύτητα v. Ένας άνθρωπος περπατά από το μπροστινό μέρος το αγονιού στο πίσω μέσα σε χρόνο T. Ποια είναι η μέση ταχύτητά το στο σύστημα αναφοράς το τραίνο και ποια στο σύστημα αναφοράς το εδάφος; Ποια απόσταση έχει διανύσει ως προς το σύστημα το εδάφος; Στο σύστημα αναφοράς το τραίνο μπορούμε να γράψομε: 8

9 L,,, T, Δ -L, Δ T Στο σύστημα το τραίνο η μέση σνιστώσα της ταχύτητας το ανθρώπο είναι: Δ Δ L T Εφαρμόζοντας τος μετασχηματισμούς το Γαλιλαίο ρίσκομε για το σύστημα αναφοράς το εδάφος: Δ Δ Δ -L T Δ Δ T Δ Δ L T.4.4 Δύο σώματα κινούνται και σγκρούονται μετωπικά κατά τον άξονα των. Το πρώτο σώμα έχει μάζα m 3kgr και ταχύτητα 4m/se ενώ το δεύτερο έχει μάζα m kgr και ταχύτητα -3m/se. Μετά την σύγκροση ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς το * έδαφος ρίσκει πως το δεύτερο σώμα κινείται με ταχύτητα 3m/se. (α) Υπολογίστε την * ταχύτητα το πρώτο σώματος μετά την σύγκροση καθώς και την αρχική και τελική ορμή το σστήματος. () Ένας δεύτερος παρατηρητής κινείται με ταχύτητα v m/se ως προς το έδαφος. Πόση είναι η ορμή σύμφωνα με ατόν πριν και μετά την σύγκροση; (α) Λόγω της αρχής διατήρησης της ορμής έχομε: Αρχική Ορμή Σστήματος Τελική Ορμή Σστήματος m * m m m * Με αντικατάσταση των τιμών ρίσκομε ότι : v * m/se και 9kgr m/se p ολ () Χρησιμοποιώντας τος μετασχηματισμούς Γαλιλαίο ρίσκομε: v v 3m/se - m/se -5m/se * * * v * v 4m/se - m/se m/se - m/se 3m/se - m/se m/se m/se m/se 9

10 ( Αρχική Ορμή) m m kgr m/s * * ( Τελική Ορμή) m m kgr m/s Παρατηρούμε πως ο δεύτερος παρατηρητής μετρά διαφορετική ολική ορμή αλλά και γιατόν ισχύει ο νόμος της διατήρησης της ορμής..4.5 Θεωρείστε ένα σώμα με μάζα m το οποίο είναι προσδεδεμένο σε ένα ελατήριο σταθεράς k. Το σώμα κινείται σε μια οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριές. Να δείξετε ότι οι εξισώσεις κίνησής το είναι οι ίδιες όσον αφορά ένα παρατηρητή ο οποίος είναι ακίνητος σε σχέση με την επιφάνεια και έναν παρατηρητή ο οποίος κινείται με ταχύτητα v κατά μήκος της διεύθνσης το ελατηρίο. Η εξίσωση κίνησης το σώματος για τον ακίνητο παρατηρητή είναι F ma, ή d - k( - ) m () d Για να πολογίσομε την εξίσωση κίνησης το σώματος για τον κινούμενο παρατηρητή χρησιμοποιούμε τος μετασχηματισμούς Γαλιλαίο από τος οποίος έχομε: d d d d Αντικαθιστώντας τις παραπάνω στην () έχομε: d - k( - ) m () d Οι εξισώσεις () και () έχον την ίδια μορφή, πράγμα πο σημαίνει πως η εξίσωση κίνησης είναι αναλλοίωτη κάτω από τος μετασχηματισμούς Γαλιλαίο.

11 .5 Προλήματα.5. Γενικεύστε τις εξισώσεις μετασχηματισμού το Γαλιλαίο, ώστε να σμπεριλάετε την περίπτωση μιας αθαίρετης διεύθνσης κίνησης το κινούμενο σστήματος αναφοράς και επίσης την δνατότητα ότι οι δύο αρχές σντεταγμένων δεν σμπίπτον για. Σμπτύξτε τρεις από τις εξισώσεις ατές σε μια ανσματική εξίσωση..5. Ένας παρατηρητής ρίσκεται μέσα σε μια άρκα και κινείται ανατολικά με ταχύτητα 5 m/se. Την στιγμή κατά την οποία η άρκα περνάει μπροστά από έναν ακίνητο παρατηρητή ο οποίος ρίσκεται στην όχθη, ατός ρίχνει μια πέτρα με κατεύθνση τον ορά. Η πέτρα πέφτει στο νερό 6 se αργότερα σε απόσταση 3 m από την όχθη. Να ρείτε τις σντεταγμένες το σημείο της πτώσης της πέτρας στο νερό σύμφωνα με τον παρατηρητή πάνω στη άρκα. (Απάντηση: (,y,z,)( 3 m, 3 m, m, 6 se))..5.3 Μία μπάλα άρος kgr κινείται προς τον ορά με ταχύτητα 3 m/se και σγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με μια δεύτερη ίδια μπάλα η οποία ρίσκεται σε ηρεμία. Υπολογίστε (α) στο σύστημα το εργαστηρίο και () ως προς ένα παρατηρητή ο οποίος κινείται όρεια με ταχύτητα.5 m/se, την ορμή και την ολική κινητική ενέργεια το σστήματος πριν και μετά την σύγκροση. (Απάντηση: (α) p 3kgr m/se E 4.5J () p kgr m/se E.5J ) o κιν o κιν.5.4 Ένα καμπριολέ ατοκίνητο κινείται με ταχύτητα 3m/se. Ένα αγόρι μέσα στο ατοκίνητο ρίχνει μια μπάλα προς τα πάνω με ταχύτητα 7m/se. Να γράψετε την εξίσωση κίνησης της μπάλας σύμφωνα με τον (α) με το αγόρι και () με έναν ακίνητο ως προς τον δρόμο παρατηρητή. Δίνεται gm/se. (Απάντηση: (α) y 7 5 z, () y z ).5.5 Το σωμάτιο έλκεται από το σωμάτιο με μια δύναμη F r η οποία εξαρτάται μόνο από r r την μετατόπιση ( ) μεταξύ των δύο σωματίων. Ο δεύτερος νόμος το Νεύτωνα εφαρμοζόμενος στο σωμάτιο μπορεί να γραφεί ως: r F r r r ( r - r ) m a Δείξτε ότι η παραπάνω εξίσωση είναι αναλλοίωτη κάτω από τος μετασχηματισμούς το Γαλιλαίο.

12 .5.6 Δείξτε ότι η ηλεκτρομαγνητική κματική εξίσωση, φ φ φ y z φ δεν είναι αναλλοίωτη κάτω από τος μετασχηματισμούς το Γαλιλαίο..5.7 Ένα σύστημα αναφοράς με καρτεσιανούς άξονες, y, z είναι ακίνητο. Ένα άλλο σύστημα με καρτεσιανούς άξονες, y, z κινείται κατά την θετική κατεύθνση το με σταθερή επιτάχνση a. Κατά την χρονική στιγμή, οι άξονες των δύο σστημάτων σμπίπτον και η ταχύτητα το δετέρο σστήματος σε σχέση με το πρώτο είναι. Να γράψετε εξισώσεις μετασχηματισμού ανάλογες με ατές το μετασχηματισμού το Γαλιλαίο για τη θέση, ταχύτητα και επιτάχνση.

13 Κεφάλαιο : Η Αρχή της Σχετικότητας το Einsein.. Ο απόλτος χώρος και ο αιθέρας. Ας ποθέσομε ότι ένας παρατηρητής μετρά την ταχύτητα ενός φωτεινού σήματος και 8 την ρίσκει ίση με 3 m/se. Σύμφωνα με τος μετασχηματισμούς ταχύτητας το Γαλιλαίο κάθε διαφορετικός παρατηρητής ο οποίος κινείται σε σχέση με τον πρώτο παρατηρητή μετρά διαφορετική ταχύτητα διάδοσης για το ίδιο φωτεινό σήμα. Το ερώτημα πο τίθεται είναι τι καθορίζει το σγκεκριμένο σύστημα στο οποίο οι ακίνητοι προς ατό παρατηρητές μετρούν την ταχύτητα διάδοσης των φωτεινών σημάτων ίση ακριώς με 8 3 m/se. Πριν τον Einsein πήρχε γενικά η πεποίθηση πως μόνο για τον παραπάνω προνομιούχο παρατηρητή ίσχαν οι εξισώσεις το Mawell. Οι εξισώσεις το Mawell περιγράφον την θεωρία το ηλεκτρομαγνητισμού και προλέπον πως τα ηλεκτρομαγνητικά 8 κύματα ταξιδεύον με ταχύτητα / ε μ 3 m/se. Ο χώρος σε σχέση με τον οποίο ο παραπάνω προνομιούχος παρατηρητής ρίσκεται σε ακινησία ονομαζόταν απόλτος χώρος και πήρχε η πεποίθηση πως διαχέεται από ένα μέσο με εξαιρετικά μικρή σμπιεστότητα και άπειρη σκληρότητα τον αιθέρα. Εάν πήρχε ο αιθέρας, τότε ένας παρατηρητής πάνω στη Γη κινούμενος μαζί της διαμέσο το αιθέρα, θα έπρεπε να αντιλαμάνεται την ύπαρξή το. Το 887 οι Mihelson και Morley πραγματοποιώντας ένα ιστορικό πείραμα δεν ρήκαν καμία ένδειξη για την ύπαρξη το ποτιθέμενο αιθέρα.. Η Αρχή της Σχετικότητας. Ο Einsein απέρριψε την ιδέα της ύπαρξης το αιθέρα. Στην πρώτη το δημοσίεση για την σχετικότητα το 95, έγραψε: Η εισαγωγή ενός φωτοόλο αιθέρα θα αποδειχθεί περιττή διότι η άποψη πο θα αναπτχθεί εδώ δεν χρειάζεται ένα απόλτα ακίνητο χώρο πο να έχει ειδικές ιδιότητες. Η πρωτοποριακή ιδέα το Einsein, την οποία ο ίδιος αποκάλεσε Αρχή της Σχετικότητας, είναι ότι όλα τα αδρανειακά σστήματα αναφοράς πρέπει να είναι ισοδύναμα. Τα δύο αξιώματα της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας είναι τα ακόλοθα: 3

14 Όλοι οι νόμοι της φσικής είναι οι ίδιοι (αναλλοίωτοι) σε όλα τα αδρανειακά σστήματα αναφοράς. 8 Η ταχύτητα το φωτός έχει την ίδια τιμή, / ε μ 3 m/se, σε όλα τα αδρανειακά σστήματα αναφοράς..3 Λμένα Προλήματα.3. Μία ράδος κινείται από τα αριστερά προς τα δεξιά. Όταν το αριστερό άκρο της ράδο περνάει μπροστά από μια φωτογραφική μηχανή, γίνεται η λήψη μιας φωτογραφίας της ράδο μαζί με έναν ακίνητο χάρακα πο μετρά αποστάσεις. Στη φωτογραφία φαίνεται πως το αριστερό άκρο της ράδο ρίσκεται στην ίδια εθεία με το μηδέν το χάρακα ενώ το δεξί της άκρο στα.9 m. Εάν η ράδος κινείται με ταχύτητα.8 σε σχέση με την φωτογραφική μηχανή, πολογίστε το πραγματικό μήκος της ράδο. Σχήμα. Για να αποτπωθεί το οπτικό σήμα το οποίο προέρχεται από το δεξί άκρο της ράδο στην φωτογραφία πρέπει να ξεκίνησε από το σημείο.9m το χάρακα σε πρώιμο χρόνο ίσο με: Δ Δ.9m 8 3 m/se 3 9 se Κατά την διάρκεια ατού το χρονικού διαστήματος το αριστερό άκρο της ράδο προωθήθηκε κατά διάστημα ίσο με (Σχήμα.): Δs Δ 8 9 (.8 3 m/se) ( 3 se).7m Έτσι το φσικό μήκος της ράδο θα είναι L.9m.7m.6m. Ατό το απλό παράδειγμα δείχνει πως μια φωτογραφία ενός κινούμενο αντικείμενο δεν δίνει το σωστό το μήκος. Στο σγκεκριμένο παράδειγμα είναι ως ένας ακίνητος παρατηρητής στη θέση της φωτογραφικής μηχανής να μετρά μικρότερο μήκος για την κινούμενη ράδο. 4

15 .3. Στο παρακάτω σχήμα. εικονίζεται ένα σμολόμετρο Mihelson Morley προσανατολισμένο έτσι ώστε ο ένας ραχίονάς το ( L A ) να είναι παράλληλος με την διεύθνση κίνησης το ποτιθέμενο αιθέρα. Δείξτε ότι εάν η διάταξη στραφεί κατά 9, θα έχομε μετατόπιση ( /) θα είναι: ΔN κροσσών σμολής, όπο ο αριθμός Δ N σε πρώτη τάξη ως προς ΔN λ ( L ) A L B Σχήμα. Στον ραχίονα L A, ο χρόνος πο χρειάζεται η φωτεινή δέσμη να πάει από το ημιδιαπερατό κάτοπτρο στον καθρέπτη Α και πίσω είναι: L - L A A A () - L / A ( / ) Στον ραχίονα L B η ταχύτητα διάδοσης το φωτεινού σήματος προκύπτει από την διανσματική πρόσθεση της ταχύτητας το φωτός με την ταχύτητα κίνησης το αιθέρα και είναι ίση με. Έτσι ο χρόνος πο χρειάζεται η φωτεινή δέσμη να πάει από το ημιδιαπερατό κάτοπτρο στον καθρέπτη Β και πίσω είναι: 5

16 L B B B () - L / ( / ) Υποθέτοντας πως / <<, οι χρόνοι A και B αναπτύσσονται σε όρος πρώτης τάξης ως προς ( /) ως εξής: και L A A, L B B (3) Δ ( L L ) L L A B A B A B (4) 3 3 Εάν η διάταξη στραφεί κατά 9 οι ραχίονες L A και L B εναλλάσσονται και η νέα χρονική διαφορά Δ θα είναι: Δ ( L L ) L A B A B A B (5) 3 3 Έτσι θα παρατηρήσομε μετατόπιση Δ Δ Δ T L Δ N κροσσών σμολής με: ( Δ Δ ) ( L L ) A B N (6) λ λ.4 Προλήματα.4. Υποθέστε ότι η ταχύτητα της Γης μέσα στον αιθέρα είναι ίση την ταχύτητα περιφοράς 4 της γύρω από τον Ήλιο, δηλαδή. Θεωρήστε μια διάταξη Mihelson Morley με μήκος ραχιόνων m, όπο ο ένας ραχίονας είναι παράλληλος με την διεύθνση κίνησης της Γης μέσα στον αιθέρα. Υπολογίστε την χρονική διαφορά των δύο φωτεινών δεσμών. 6 (Απάντηση: Δ 3.33 se ).4. Στο πείραμα των Mihelson Morley χρησιμοποιήθηκε ένα σμολόμετρο με μήκος ραχιόνων m και φωτεινή πηγή Νατρίο με λ 59nm. Το πείραμα είχε την ικανότητα να διακρίνει μετατοπίσεις κροσσών ίσες με.5 κροσσούς. Ποιο είναι το άνω όριο πο θέτει στην ταχύτητα της Γης μέσα στον αιθέρα ένα αρνητικό αποτέλεσμα στο πείραμα; 3-5 (Απάντηση: 3.47 m/se.6 ). 6

17 .4.3 Ένας πειραματικός αποφασίζει να χρησιμοποιήσει φως laser πο ανακλάται από το φεγγάρι για να ελέγξει για μια επίδραση το ανέμο το αιθέρα. Όταν το τηλεσκόπιο είναι στη θέση Α και το φεγγάρι στη θέση M (λέπε παρακάτω σχήμα), μετρά με ακρίεια το χρόνο το μετ επιστροφής ταξιδιού ενός παλμού φωτός laser. Περίπο μια εδομάδα αργότερα, όταν το τηλεσκόπιο είναι στο Β και το φεγγάρι στο Μ, μετρά πάλι το χρόνο το μετ επιστροφής ταξιδιού. Υποθέστε πως ο φανταστικός άνεμος το αιθέρα κινείται κατά την 4 διεύθνση πο δείχνεται με ταχύτητα. Για εκολία ποθέστε ότι οι αποστάσεις Μ και Μ είναι ίδιες. (α) Ποιος είναι κατά προσέγγιση ο χρόνος το μετ επιστροφής ταξιδιού για το φως πο ανακλάται από το φεγγάρι; () Ποια είναι κατά προσέγγιση η διαφορά στος χρόνος των ταξιδιών μετ επιστροφής για τις δύο μετρήσεις; 7

18 Κεφάλαιο 3 : Διαστολή Χρόνο και Σστολή Μήκος. 3. Η σχετικότητα το χρόνο. Κατά την Νετώνειο Μηχανική ο χρόνος είναι απόλτος, ίδιος και ανεξάρτητος από το σύστημα αναφοράς. Σύμφωνα όμως με το δεύτερο αξίωμα το Einsein η ταχύτητα το φωτός 8 έχει την ίδια τιμή, / ε μ 3 m/se, σε όλα τα αδρανειακά σστήματα αναφοράς. Ατό έχει σαν άμεσο αποτέλεσμα πως ο χρόνος πρέπει να είναι σχετικός: διαφορετικοί παρατηρητές σε καταστάσεις σχετικής κίνησης πρέπει να έχον διαφορετικές ιδέες ως προς τη μέτρηση το χρόνο και το χρονικού διαστήματος μεταξύ γεγονότων. Θεωρήστε το ιδεατό πείραμα το οποίο εικονίζεται στο σχήμα 3.. Σε μια στιγμή το κεντρικό φως C στο κινούμενο αγόνι ανάει. Λίγο χρόνο αργότερα σύμφωνα με τον παρατηρητή Β πο ρίσκεται στην αποάθρα, το φως έχει φτάσει στο πίσω σημείο R το αγονιού αλλά δεν έχει φτάσει ακόμα στο μπροστινό σημείο F. Σύμφωνα με τον παρατηρητή Α ο οποίος είναι μέσα στο αγόνι, το φως φτάνει στα σημεία R και F, πο απέχον το ίδιο από το C τατόχρονα. Σχήμα 3. 8

19 Δύο γεγονότα (η άφιξη το φωτός στο εμπρός και πίσω μέρος το ατοκινήτο) κρίνονται από τον Α ότι σμαίνον τατόχρονα και από τον Β ότι σμαίνον σε διαφορετικούς χρόνος. Προφανώς πρέπει να πάρχει μια διαφορά ως προς τον ίδιο τον χρόνο για τος δύο παρατηρητές. Δύο σμάντα τα οποία είναι τατόχρονα σε ένα σύστημα αναφοράς, δεν είναι ένα γένει τατόχρονα σε ένα δεύτερο σύστημα το οποίο κινείται ως προς το πρώτο. Ατό σημαίνει πως ο τατοχρονισμός δεν είναι απόλτη έννοια. 3. Η Διαστολή το Χρόνο. Θεωρείστε δύο παρατηρητές, τον Ο και τον Ο ο οποίος ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα ως προς τον O κατά μήκος το κοινού τος άξονα. Ας ποθέσομε πως ο Ο παρατηρεί Δ. Το χρονικό διάστημα δύο γεγονότα Α και Β τα οποία σμαίνον στην ίδια θέση ( ) Δ - μεταξύ των δύο γεγονότων ονομάζεται ιδιοχρόνος ή χρόνος ηρεμίας. B A Θεωρείστε ότι τα ίδια δύο γεγονότα Α και Β παρατηρούνται από το παρατηρητή Ο. Ατός αναγκαστικά θα προσδιορίσει πως τα δύο ατά γεγονότα λαμάνον χώρα σε διαφορετικές θέσεις ( ) με το Δ ως: Δ ενώ το χρονικό διάστημα Δ B - A το οποίο μετρά σχετίζεται Δ Δ - γδ με γ, (3.) - Σύμφωνα λοιπόν με τον ακίνητο παρατηρητή Ο το κινούμενο ρολόι το Ο είναι ποιο αργό από το δικό το κατά έναν παράγοντα γ. Το φαινόμενο ατό είναι γνωστό ως διαστολή χρόνο. Στο παραπάνω παράδειγμα θεωρήσαμε πως τα γεγονότα Α και Β σμαίνον στην ίδια Δ για τον παρατηρητή Ο. Εάν θεωρήσομε πως τα γεγονότα Α και Β γίνονται θέση ( ) στην ίδια θέση ( Δ ) για τον παρατηρητή Ο τότε θα καταλήξομε σε αντίστοιχα αποτελέσματα: ότι δηλαδή Δ και Δ γ Δ. Δηλαδή με απλά λόγια η διαστολή το χρόνο ισχύει και προς τις δύο κατεθύνσεις πό παρόμοιες σνθήκες. Το παραπάνω αποτελεί απόρροια της Αρχής της Αμοιαιότητας η οποία προκύπτει από την ισοδναμία των Αδρανειακών Σστημάτων (πρώτο αξίωμα το Einsein). Την Αρχή της Αμοιαιότητας μπορούμε να την εκφράσομε ως εξής: «Εάν δύο αδρανειακοί παρατηρητές Ο και Ο εκτελέσον το ίδιο πείραμα τότε η περιγραφή το Ο για το πείραμα το Ο είναι η ίδια με την περιγραφή το Ο για το πείραμα το Ο». Οι σνέπειες της Αρχής της Αμοιαιότητας είναι οι ακόλοθες: 9

20 Οι αποστάσεις οι οποίες είναι κάθετες στη διεύθνση της κίνησης παραμένον οι ίδιες. Οι δύο παρατηρητές σμφωνούν για τη σχετική τος ταχύτητα (εκτός το διαφορετικού προσήμο). Γεγονότα τα οποία σμπίπτον στο χώρο και τον χρόνο σε ένα αδρανειακό σύστημα οφείλον να σμπίπτον σε όλα. Δηλαδή εάν Δ, Δ τότε θα έχομε και Δ, Δ. Θεωρήστε για παράδειγμα την διάσπαση ενός πιονίο σε ένα μιόνιο και ένα νετρίνο το μιονίο. Όλοι οι παρατηρητές θα σμφωνήσον πως τα φαινόμενα της καταστροφής το πιονίο και της δημιοργίας των νέων σωματίων σνέησαν στην ίδια θέση τατόχρονα. Ένα τέτοιο γεγονός μπορούμε να πούμε πως είναι ένα μοναδικό γεγονός. 3.3 Η Σστολή το Μήκος. Σε αναλογία με τον ιδιοχρόνο μπορούμε να ορίσομε το ιδιομήκος ενός αντικειμένο ως το μήκος πο έχει στο σύστημα αναφοράς στο οποίο ηρεμεί. Θεωρείστε δύο παρατηρητές, τον Ο και τον Ο ο οποίος ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα ως προς τον O κατά μήκος το κοινού τος άξονα. Θεωρήστε επίσης έναν χάρακα ο οποίος είναι τοποθετημένος παράλληλα στον κοινό άξονα και ρίσκεται σε ακινησία ως προς τον κινούμενο παρατηρητή Ο. Ατό σημαίνει πως το ιδιομήκος το χάρακα είναι L. Το μήκος L το χάρακα πο μετρά ο παρατηρητής Ο δίνεται από την: L L - με γ, (3.) γ - L Από την παραπάνω σμπεραίνομε πως όταν ένα αντικείμενο κινείται με ταχύτητα έχει μετρούμενο μήκος μικρότερο από το ιδιομήκος το κατά έναν παράγοντα - /. Το φαινόμενο ατό ονομάζεται σστολή το μήκος (σστολή Lorenz) και σμαίνει μόνο κατά την διεύθνση της κίνησης.

21 3.4 Λμένα Προλήματα 3.4. Ο μέσος χρόνος ζωής μιονίων τα οποία κινούνται με ταχύτητα.95 είναι 6 6 se. Υπολογίστε το μέσο χρόνο ζωής των μιονίων στο σύστημα αναφοράς τος. Ο μέσος χρόνος ζωής των μιονίων στο σύστημα αναφοράς τος είναι ο ιδιοχρόνος τος, άρα έχομε: Δ γ Δ Δ Δ ( 6 ) (.95) se.87 se Τα πιόνια έχον χρόνο ημίσιας ζωής /.8 se. Μια δέσμη πιονίων γαίνει από έναν επιταχντή με ταχύτητα.8. (α) Υπολογίστε κλασικά το διάστημα πο απαιτείται να διασπαστούν τα μισά πιόνια. () Υπολογίστε το ίδιο διάστημα εφαρμόζοντας την θεωρία της σχετικότητας. (α) Στην κλασική φσική έχομε: s 8 8 (.8 3 m/se)(.8 se) 4.3m / () Ο χρόνος ημίσιας ζωής / ορίζεται στο σύστημα ηρεμίας των πιονίων. Στο σύστημα το εργαστηρίο τα πιόνια κινούνται με.8. Για έναν ακίνητο παρατηρητή στο σύστημα το εργαστηρίο ο χρόνος ημισίας ζωής των πιονίων πρέπει να είναι αξημένος λόγω το φαινομένο της διαστολής το χρόνο και δίνεται από την: Δ Δ - / (.8) se 3-8 se Έτσι στο σύστημα το εργαστηρίο τα πιόνια διανύον απόσταση ίση με: d Δ 8 8 (.8 3 m/se)( 3 se) 7.m Μια και τα ρολόγια πο κινούνται το ένα σε σχέση με το άλλο δείχνον διαφορετικούς χρόνος, εισάγεται το εξής πρόλημα: Πως μπορεί κάποιος να ισχριστεί πως τα ρολόγια τα οποία ρίσκονται σε διαφορετικές θέσεις στο ίδιο σύστημα αναφοράς είναι σγχρονισμένα, δηλαδή δείχνον την ίδια ένδειξη στον ίδιο χρόνο; Σκεφτείτε έναν τρόπο να σγχρονίζετε τα ρολόγια.

22 Η θεωρία της σχετικότητας προσφέρει ένα πρακτικό ορισμό το σγχρονισμού, χρησιμοποιώντας παλμούς φωτός για να σνδέσει τα διάφορα ρολόγια. Θεωρήστε για παράδειγμα, ένα ρολόι C πο έχει ρθμιστεί να εκπέμπει ένα φωτόνιο κατά την στιγμή πο δείχνει μηδέν (Σχήμα 3. (α)). Ένα άλλο ρολόι C, πανομοιότπης κατασκεής, ρίσκεται σε ηρεμία σχετικά με το C σε μια απόσταση d3m. Το ρολόι C έχει τεθεί να δείχνει μse όταν δεχθεί το φωτόνιο. Με ατόν τον τρόπο, αφού το φωτόνιο έχει μεταφέρει το μήνμα το από το C στο C, λέμε, εξ ορισμού πως τα δύο ρολόγια είναι σγχρονισμένα. Σχήμα 3. Η σνέπεια το παραπάνω ορισμού μπορεί να ελεγχθεί με διάφορος τρόπος. Ένας τρόπος φαίνεται Σχήμα 3.(): Αν το ρολόι C εκπέμπει ένα φωτόνιο σε 3μse, το ρολόι C θα πρέπει να δείχνει 4μse όταν δεχθεί το φωτόνιο. Ένας άλλος τρόπος ελέγχο φαίνεται στο Σχήμα 3.(γ): Ο ανιχνετής D δέχεται τατόχρονα δύο φωτόνια. Τα ρολόγια είναι σύγχρονα εάν έδειχναν τις ίδιες ενδείξεις όταν εξέπεμψαν τα φωτόνια. Με τον παραπάνω τρόπο είναι δνατόν σε ένα σύστημα αναφοράς να σγχρονιστεί οποιοσδήποτε αριθμός ρολογιών. Ο σγχρονισμός των ρολογιών είναι μια σχετική αρχή. Αποτελεί θέμα σμφωνίας για παρατηρητές ακίνητος μεταξύ τος και θέμα διαφωνίας για παρατηρητές πο κινούνται ο ένας σε σχέση με τον άλλο Θεωρείστε δύο παρατηρητές, τον Ο και τον Ο ο οποίος ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα ως προς τον O κατά μήκος το κοινού τος άξονα. Ένας χάρακας σύμφωνα με τον παρατηρητή O σχηματίζει γωνία 3 με τον άξονα. Σύμφωνα με το παρατηρητή O ο ίδιος χάρακας σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα. Ποια είναι η ταχύτητα ;

23 3 Έστω L το μήκος το χάρακα στο σύστημα το παρατηρητή Ο. Έχομε: ( ) ( ) θ θ os L L sin L L y () Για τον παρατηρητή Ο έχομε: y y L L L L () Λαμάνοντας π όψη τις () και () έχομε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 an 45 an an an an os L sin L L L L L an y y.86 θ θ θ θ θ θ o o Ένα διαστημόπλοιο με ιδιομήκος 3m κάνει.75μse για να προσπεράσει έναν ακίνητο παρατηρητή πάνω στη Γη. Υπολογίστε την ταχύτητα το διαστημοπλοίο σύμφωνα με τον παρατηρητή πάνω στη Γη. Στο κινούμενο σύστημα το διαστημοπλοίο το μήκος το είναι 3m L. Για τον ακίνητο παρατηρητή στη Γη έχομε: γ L L και se.75 μ Δ. Είναι όμως: γ γ γ Δ Δ Δ Δ Δ L L L L L Υψώνοντας στο τετράγωνο έχομε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / Δ Δ Δ L L L

24 3.4.6 Ένα ατομικό ρολόι κινείται με ταχύτητα Km/h για μία.h ώρα όπως ατή μετριέται με ένα ολόιδιο ρολόι πο ρίσκεται ακίνητο στην επιφάνεια της Γης. Εάν μετά το τέλος το ταξιδιού τα δύο ρολόγια σγκριθούν ποια θα είναι η διαφορά τος; Ποιο θα πηγαίνει πίσω; Το ατομικό ρολόι κινείται με ταχύτητα Km/h 77.8m/seάρα : 77.8 m/se 8 3 m/se () Για έναν παρατηρητή πάνω στη Γη Δ h 36se. Ισχύει όμως πως: Δ γ Δ γδ Δ Δ - () Σε περιπτώσεις όπο << είναι πολύ χρήσιμα τα παρακάτω αναπτύγματα: - - Έτσι η () γίνεται: Δ Δ - Δ Δ - Δ Δ Δ - Δ.54 nse ( ) ( 36 se).5( )( 36 ) Το ρολόι πο κινείται θα πηγαίνει.54 nse πίσω σε σχέση με το ρολόι πάνω στη Γη. nse 4

25 3.5 Προλήματα 3.5. Πόση πρέπει να είναι η ταχύτητα ενός διαστημοπλοίο το οποίο απομακρύνεται από την Γη έτσι ώστε οι αστροναύτες το να γερνούν στο μισό ρθμό από ότι οι άνθρωποι πάνω στη Γη; (Απάντηση:.866 ) 3.5. Ένα σωματίδιο κινείται στο σύστημα το εργαστηρίο με ταχύτητα.8 και διασπάται αφού διανύσει 3m. Ποιος είναι ο χρόνος ζωής το στο σύστημα ηρεμίας το; -8 (Απάντηση:.75 se ) Ένας κύος στο σύστημα ηρεμίας το έχει όγκο V m. Ένας παρατηρητής Ο κινείται με ταχύτητα.8 κατά την διεύθνση μιας ακμής το κύο. (α) Πόσος είναι ο όγκος το κύο σύμφωνα με τον παρατηρητή Ο. () Πόσος είναι ο όγκος το κύο σύμφωνα με τον παρατηρητή Ο εάν ατός κινείται με την ίδια ταχύτητα παράλληλα σε μια διαγώνιο μιας έδρας το κύο. 3 (Απάντηση: V 6m ) Ένα διαστημόπλοιο προσπερνά την Γη με ταχύτητα. Ένας αστροναύτης μέσα στο διαστημόπλοιο λέπει πως η Γη έχει ελλειπτικό σχήμα με τον μέγιστο άξονα της έλλειψης έξι φορές μεγαλύτερο από τον μικρό. Ποια η ταχύτητα το διαστημοπλοίο; (Απάντηση:.986 ) Το ορθογώνιο τρίγωνο το οποίο εικονίζεται στο παρακάτω σχήμα ρίσκεται σε ηρεμία. Για έναν παρατηρητή ο οποίος κινείται παράλληλα προς την πλερά με ταχύτητα το τρίγωνο έχει πλερές και y, ποτείνοσα r και εσωτερική γωνία θ. (α) Γιατί ο κινούμενος παρατηρητής σμφωνεί με έναν ακίνητο ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο; () Αποδείξτε πως οι γωνίες θ και θ σνδέονται με την σχέση: an ( θ ) an ( θ ) (γ) Αποδείξτε πως τα r και r σνδέονται με την σχέση: r r - os ( θ ) 5

26 3.5.6 Ο οδηγός ενός νοικιασμένο σχετικιστικού ατοκινήτο επιστρέφει το ατοκίνητό το μετά από μία ώρα οδήγηση κατά την άποψη το. Ο πράκτορας πο το το νοίκιασε λέει πως το ατοκίνητο οδηγήθηκε επί δύο ώρες. Με ποια ταχύτητα έτρεχε το ατοκίνητο; (Απάντηση:.866 ) Ένα τετράγωνο στο σύστημα ηρεμίας το έχει εμαδόν Ε4m. Ένας παρατηρητής κινείται παράλληλα σε μια διαγώνιό το με ταχύτητα.8. Πόσο είναι το εμαδό το τετραγώνο σύμφωνα με ατόν τον παρατηρητή; (Απάντηση: E 4m ) Ένα μιόνιο δημιοργείται, από την αλληλεπίδραση ενός κοσμικού πρωτονίο με την ατμόσφαιρα, σε ύψος Km από την επιφάνεια της Γης. Πόση πρέπει να είναι η ταχύτητα το μιονίο ώστε να φτάσει μέχρι την επιφάνεια της Γης; Ο χρόνος ζωής των μιονίων στο σύστημα ηρεμίας τος είναι.μse. (Απάντηση:.9978 ) Ο Πέτρος και ο Παύλος είναι δίδμοι. Σε ηλικία ετών ο Πέτρος μπαίνει σε ένα διαστημόπλοιο το οποίο κινείται με ταχύτητα.8 και πηγαίνει σε ένα κοντινό άστρο. Μόλις φτάνει σε ατό αμέσως ξεκινάει το ταξίδι της επιστροφής. Φτάνει στη Γη σε ηλικία 8 ετών. (α) Ποια είναι η ηλικία το Παύλο την στιγμή της επιστροφής το Πέτρο () Σε ποια απόσταση από την Γη ρίσκεται ο αστέρας πο επισκέφθηκε ο Πέτρος; 6 (Απάντηση: α) 3.3y ) m ) Δύο παρατηρητές Α και Β στέκονται ο ένας σε απόσταση 5m από τον άλλο. Καθώς μια ράδος μήκος m περνά δίπλα τος, ρίσκον ότι είναι απέναντι στα δύο άκρα της ράδο σγχρόνως. (α) ποια η ταχύτητα της ράδο; () Για έναν παρατηρητή στο σύστημα αναφοράς της ράδο πόσο απέχον οι Α και Β; (Απάντηση: α).886 ) 5m ). 6

27 3.5. Ένα διαστημόπλοιο εκτοξεύεται από την Γη. Μετά από μια μικρή περίοδο επιτάχνσης αποκτά σταθερή ταχύτητα ίση με.7. Οι πρηνικές μπαταρίες το παρέχον αρκετή ενέργεια ώστε να έχει σνεχώς σε λειτοργία τον πομπό με το οποίο στέλνει δεδομένα στη Γη. Οι μπαταρίες το έχον χρόνο ζωής 5 y μετρημένο στο σύστημα αναφοράς το. (α) Πόση είναι η διάρκεια ζωής των μπαταριών το σύμφωνα με έναν παρατηρητή πάνω στη Γη. () Σύμφωνα με έναν παρατηρητή πάνω στη Γη πόσο μακριά θα ρίσκεται το διαστημόπλοιο όταν οι μπαταρίες το τελειώσον. (γ) Σύμφωνα με έναν παρατηρητή μέσα στο διαστημόπλοιο πόσο μακριά θα ρίσκεται ατό από την Γη όταν οι μπαταρίες το τελειώσον.(δ) Για πόσο σνολικά χρόνο μετά την εκτόξεση το διαστημοπλοίο το κέντρο ελέγχο θα λαμάνει δεδομένα από ατό; (Απάντηση: α) y ) 4.7l y γ).5l y δ) 35.7y ) Τα ταξί ροκέτες το μέλλοντος κινούνται στο ηλιακό σύστημα με ταχύτητα ίση με το μισό της ταχύτητας το φωτός. Οι οδηγοί παίρνον την ώρα όπως την μετρούν τα ταξίμετρα. Η ομοσπονδία των οδηγών ταξί ζητά όπως η πληρωμή να γίνεται με άση τον χρόνο της Γης και όχι τον χρόνο το ταξί. Αν γίνει δεκτό το αίτημά τος πόσο θα αξηθεί το κόμιστρο; Ένα μιόνιο με ενέργεια GeV επιδέχεται ένα παράγοντα διαστολής χρόνο 95. Πόσο διαφέρει η ταχύτητα το μιονίο από την ταχύτητα το φωτός. 5 (Απάντηση: ) Τα ηλεκτρόνια σε μία τηλεόραση παλιάς τεχνολογίας επιταχύνονται στον καθοδικό της σωλήνα σε μια ταχύτητα 8 m / se / 3. Όπως το μετράμε μέσα στο δωμάτιο, το μήκος το σωλήνα είναι 3 m. Ποιο το μήκος το σε ένα σύστημα αναφοράς το οποίο κινείται μαζί με το ηλεκτρόνιο με την τελική το ταχύτητα; (Απάντηση: 8.8 m ) Ακίνητα φορτισμένα πιόνια έχον ένα μέσο χρόνο ζωής ίσο με.6 se. Τα φορτισμένα πιόνια πο αναδύονται από ένα ορισμένο επιταχντή έχον ταχύτητα (.8 ) 8.4 m/ se. α) Πόσος είναι ο μέσος χρόνος ζωής των κινούμενων πιονίων πο μετράμε στο σύστημα το εργαστηρίο; ) Πόση είναι η μέση απόσταση πο διάνσαν τα πιόνια στο εργαστήριο πριν διασπαστούν; γ) Πόση είναι η μέση απόσταση από τον επιταχντή μέχρι τα σημεία διάσπασης στο σύστημα ηρεμίας των πιονίων; -8 (Απάντηση: α) 4.33 se ). 4m γ) 6. 4m ). 7

28 3.5.6 Ενώ ο Πέτρος παραμένει στη Γη, η δίδμη αδελφή το Βαράρα ταξιδεύει με 6% της ταχύτητας το φωτός μέχρι ένα γειτονικό άστρο και επιστρέφει πάλι στη Γη. Και οι δύο ήταν χρονών όταν άρχισε το ταξίδι και ο Πέτρος είναι 4 χρονών όταν τελειώνει. α) Πόσων χρονών ήταν η Βαράρα όταν το διαστημόπλοιο της αντέστρεψε την πορεία το και κατεθύνθηκε προς τη Γη; ) Πόσων χρονών είναι στο τέλος το ταξιδιού; 8

29 9 Κεφάλαιο 4 : Οι μετασχηματισμοί Lorenz. 4. Οι μετασχηματισμοί Lorenz Περιγραφή ενός γεγονότος. Θεωρείστε δύο παρατηρητές, τον Ο και τον Ο ο οποίος ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα ως προς τον O κατά μήκος το κοινού τος άξονα. Έστω P ένα γεγονός με σντεταγμένες ( ) y,z,, στο σύστημα S (όπο ο Ο είναι ακίνητος) και με σντεταγμένες ( ), y,z, στο σύστημα S (όπο ο Ο είναι ακίνητος). Οι σντεταγμένες ( ) y,z,, και ( ), y,z, σνδέονται μεταξύ τος με τον Μετασχηματισμό Σντεταγμένων Lorenz: ( ) S S - z z y y - γ γ (4.) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Lorenz πο σνδέει τις σντεταγμένες ( ), y,z, με τις ( ) y,z,, είναι: ( ) S S - z z y y - γ γ (4.)

30 4. Οι μετασχηματισμοί Lorenz Περιγραφή ζεύγος γεγονότων. Έστω ένα γεγονός P με σντεταγμένες (, y,z, ) σντεταγμένες (, y,z, ) σντεταγμένες (, y,z, ) και (, y,z, ) στο σύστημα S και με στο σύστημα S και ένα δεύτερο ξεχωριστό γεγονός P με αντίστοιχα. Μπορούμε να ορίσομε την απόσταση των δύο γεγονότων ως Δ -, Δ -, Δ y y - y κτλ. Τα ( Δ, Δy, Δz, Δ) και ( Δ, Δy, Δz, Δ ) σνδέονται μεταξύ τος με τον Μετασχηματισμό Lorenz ως: Δ Δ Δ γ ( Δ Δ ) - Δy Δy Δz Δz Δ Δ Δ γ Δ Δ - S S (4.3) Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Lorenz πο σνδέει τα (, Δy, Δz, Δ ) ( Δ, Δy, Δz, Δ) είναι: Δ με τα Δ Δ Δ γ ( Δ Δ) - Δy Δy Δz Δz Δ Δ Δ γ Δ Δ - S S (4.4) 4.3 Ο μετασχηματισμός Lorenz ταχτήτων. Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο τις σχέσεις (4.) και (4.) προκύπτον οι παρακάτω εξισώσεις μετασχηματισμών ταχύτητας κατά Lorenz. 3

31 3 S S z z y y γ γ (4.5) Και ο αντίστροφος μετασχηματισμός: S S z z y y γ γ (4.6) Προσοχή: Σε προλήματα τα οποία αφορούν ταχύτητες πάρχον τρία αντικείμενα τα οποία εμπλέκονται: οι δύο παρατηρητές Ο και Ο και ένα σώμα Σ. Το σώμα Σ έχει τις εξής δύο ταχύτητες: την ταχύτητα ( ) z y,, ως προς τον παρατηρητή O και την ταχύτητα ( ) z y,, ως προς τον παρατηρητή O. Η ποσότητα η οποία εμφανίζεται στις παραπάνω σχέσεις αναφέρεται στην ταχύτητα το Ο ως προς τον Ο. Μερικές άμεσες σνέπειες των Μετασχηματισμών Lorenz είναι οι ακόλοθες: Ορίζον ως φσικό όριο στην ταχύτητα το. Για > ό όρος ( ) / γίνεται φανταστικός αριθμός. Εισάγον μία νέα έννοια: την ανάμειξη το χώρο με τον χρόνο. Ατό οδηγεί ατόματα στην ιδέα το τετραδιάστατο χωροχρόνο.

32 Στην περίπτωση όπο << οι μετασχηματισμοί Lorenz τατίζονται με τος μετασχηματισμούς το Γαλιλαίο. Υπακούον δηλαδή την Αρχή της Αντιστοιχίας σύμφωνα με την οποία κάθε νέα θεωρία της Φσικής οφείλει να επαληθεύει τα αποτελέσματα στο κλασικό όριο. 4.4 Λμένα Προλήματα 4.4. Η διαστολή το χρόνο και η σστολή το μήκος πο εξετάσαμε στο κεφάλαιο 3 αποτελούν ειδικές περιπτώσεις της γενικής σχέσης των μετρήσεων χώρο και χρόνο μεταξύ δύο αδρανειακών παρατηρητών και προέρχονται από το δεύτερο αξίωμα το Einsein πο απαιτεί σταθερή. Να δείξετε πως η διαστολή το χρόνο και η σστολή το μήκος μπορούν να προκύψον από τις εξισώσεις μετασχηματισμού Lorenz. Η διαστολή το χρόνο: Στο κινούμενο σύστημα S έχομε πως Δ. Από τις εξισώσεις (4.3) ρίσκομε πως: Δ Δ Δ γ Δ Δ γδ - Η οποία εκφράζει την σχέση για την διαστολή το χρόνο (εξίσωση 3.). Η σστολή το μήκος: Στο ακίνητο σύστημα S έχομε πως Δ. Από τις εξισώσεις (4.3) ρίσκομε πως: Δ Δ Δ - γ ( Δ Δ) γδ Δ Δ γ Η οποία εκφράζει την σχέση για την σστολή των μηκών (εξίσωση 3.) Δείξτε με ένα απλό παράδειγμα πως με άση τος μετασχηματισμούς Lorenz προκύπτει άμεσα η σχετικότητα το τατόχρονο. 3

33 Θεωρήστε ένα τραίνο το οποίο κινείται με ταχύτητα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 4.. Θεωρήστε τα ρολόγια και ακίνητα ως προς το έδαφος και τα ρολόγια 3 και 4 ακίνητα στο σύστημα το τραίνο. Το πέρασμα το ρολογιού 3 δίπλα από το ρολόι και το ρολογιού 4 δίπλα από το ρολόι είναι τατόχρονα γεγονότα σύμφωνα με τον παρατηρητή το εδάφος και άρα Δ. Σύμφωνα με την τελεταία εξίσωση των σχέσεων (4.3) έχομε: Δ Δ Δ γ Δ Δ Δ Δ - () Σχήμα 4. Το τελεταίο αποτέλεσμα ορίζει την σχετικότητα το τατόχρονο. Γεγονότα τα οποία οι παρατηρητές το εδάφος κρίνον πως σμαίνον τατόχρονα ( Δ ), οι παρατηρητές το τραίνο κρίνον ότι σμαίνον με μια διαφορά χρόνο Δ η οποία εξαρτάται από την απόστασή τος στο χώρο. Το αρνητικό πρόσημο στην παραπάνω σχέση () σημαίνει πως από τα δύο γεγονότα τα οποία ο εξωτερικός παρατηρητής έκρινε πως ήταν τατόχρονα, το ένα πο σμαίνει στο μπροστινό μέρος το τραίνο σμαίνει νωρίτερα σύμφωνα με τα ρολόγια το τραίνο, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.. Είναι επίσης φανερό από το παραπάνω σχήμα πως οι παρατηρητές το εδάφος θεωρούν πως τα ρολόγια το τραίνο όχι μόνο προχωρούν αργά αλλά είναι επίσης και ασγχρόνιστα. Τέλος σημειώνομε σύμφωνα με τος μετασχηματισμούς Lorenz, γεγονότα τα οποία σμπίπτον και ως προς τον χώρο και τον χρόνο σε ένα σύστημα αναφοράς ( Δ Δ ) σμπίπτον επίσης ως προς τον χώρο και τον χρόνο σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αναφοράς Δ Δ. ( ) 33

34 4.4.3 Δείξτε ότι οι εξισώσεις το αντίστροφο μετασχηματισμού Lorenz δίνον επίσης το αποτέλεσμα Δ Δ στο προηγούμενο πρόλημα. Στο σχήμα 4. το πέρασμα το ρολογιού 3 δίπλα από το ρολόι και το ρολογιού 4 δίπλα από το ρολόι είναι τατόχρονα γεγονότα σύμφωνα με τον παρατηρητή το εδάφος και άρα Δ. Έτσι η πρώτη και η τέταρτη εξίσωση των σχέσεων (4.4) γίνονται: Δ γ ( Δ Δ) Δ γδ Δ γ Δ Δ Δ γ Δ Εάν απαλείψομε από τις παραπάνω δύο σχέσεις το Δ Δ. Δ έχομε το αποτέλεσμα Ένα τραίνο κινείται όπως στο παρακάτω σχήμα 4. με ταχύτητα. Ένα φωτόνιο ξεκινά από το πίσω μέρος το αγονιού και φτάνει στο μπροστινό. (α) Υπολογίστε και σγκρίνετε τος χρόνος πτήσης το φωτονίο για έναν παρατηρητή πάνω στο τραίνο και έναν παρατηρητή πο ρίσκεται ακίνητος στην αποάθρα. () Κάντε τος πολογισμούς σας και για την περίπτωση πο το φωτόνιο ξεκινά από το μπροστινό μέρος το τραίνο και καταλήγει στο πίσω. Σχήμα 4. (α) Σύμφωνα με τον παρατηρητή στο τρένο είναι: 34

35 Δ - L Δ L Δ () Σύμφωνα με τον παρατηρητή στην αποάθρα είναι: Δ Δ Δ - L L - L - ( ) L () Από τις () και () προκύπτει πως Δ > Δ. () Σύμφωνα με τον παρατηρητή στο τρένο είναι: Δ - L Δ L Δ (3) Σύμφωνα με τον παρατηρητή στην αποάθρα είναι: Δ Δ Δ - L L - L - ( ) L (4) Από τις (3) και (4) προκύπτει πως Δ < Δ. Σνδάζοντας τα αποτελέσματα των ερωτημάτων (α) και () σμπεραίνομε πως η διάρκεια ενός ανισότοπο φαινομένο εξαρτάται από την αρχική και την τελική θέση το φαινομένο Ένας αστροναύτης από το πίσω μέρος το διαστημοπλοίο το ρίχνει μια σφαίρα προς ένα στόχο πο ρίσκεται στο μπροστινό μέρος. Το διαστημόπλοιο έχει μήκος L6m και η σφαίρα κινείται με ταχύτητα.8 όπως ατά μετρούνται από τον αστροναύτη. (α) Βρείτε τον χρόνο πο χρειάζεται η σφαίρα να φτάσει στο στόχο όπως τον μετράει ο αστροναύτης. () Εάν το διαστημόπλοιο κινείται με ταχύτητα.6 σε σχέση με την Γη ρείτε τον χρόνο πτήσης της σφαίρας σύμφωνα με έναν παρατηρητή πάνω στη Γη. (γ) Ποια η ταχύτητα της σφαίρας σύμφωνα με τον παρατηρητή πάνω στη Γή; (α) Σύμφωνα με τον αστροναύτη είναι: L Δ 6 m m/se -7 se 35

36 () Σύμφωνα με τον παρατηρητή στη Γη είναι: Δ Δ Δ - Δ L se 3 (.6) (.6)( 6 m) 8 m/se se (γ) Σύμφωνα με τον παρατηρητή στη Γη είναι: Υποθέστε ότι ένας παρατηρητής Ο προσδιορίζει ότι δύο γεγονότα απέχον χωρικά m και σμαίνον σε χρονική διαφορά se. Ποιος είναι ο ιδιοχρόνος μεταξύ των δύο ατών γεγονότων; Υπάρχει ένας δεύτερος παρατηρητής Ο, ο οποίος κινείται με σταθερή ταχύτητα σε σχέση με τον Ο, και πο παρατηρεί πως τα δύο γεγονότα λαμάνον χώρα στην ίδια χωρική θέση, δηλαδή Δ. Τότε ο ιδιοχρόνος μεταξύ των δύο γεγονότων είναι το χρονικό διάστημα Δ σύμφωνα με τον Ο. Έχομε: Δ Δ Δ - 8 ( 3.6 m) ( se) m/se.6 και Δ Δ Δ - ( se) mse 8 3 m/se - (.6).6 se Η ταχύτητα ενός διαστημοπλοίο σε σχέση με ένα διαστημικό σταθμό είναι.8, και οι παρατηρητές Ο και Ο στο διαστημόπλοιο και τον διαστημικό σταθμό, αντίστοιχα, σγχρονίζον τα ρολόγια τος έτσι ώστε όταν. Υποθέστε ότι ο O παρατηρεί το ρολόι το Ο με ένα τηλεσκόπιο. Τι ώρα λέπει σε ατό όταν το δικό το δείχνει 3 se; 36

37 Ας ορίσομε το γεγονός Α ως την εκπομπή ενός φωτεινού σήματος από τον παρατηρητή Ο και ως γεγονός Β την λήψη το φωτεινού σήματος από τον παρατηρητή Ο. Το πρόλημα ανάγεται στον πολογισμό το χρόνο A. Από τις εξισώσεις (4.) έχομε: A A A A A - (.8) - A A - - ( ) A.6 8 (.8 3 m/se) (.8) A 8 ( 4 m/se) A () Το φωτεινό σήμα ταξιδεύει προς την αρνητική διεύθνση με ταχύτητα, έτσι έχομε: B A ( - ) - - () Αντικαθιστώντας τις () στην () έχομε: B A 8 8 A ( 4 m/se) -( 3 ) 3 se - se - A A.6 Προσοχή: Το πρόλημα ατό δείχνει την διαφορά μεταξύ το παρατηρώ ένα γεγονός και το πολογίζω τις σντεταγμένες το ίδιο γεγονότος. Με πόδειγμα το παραπάνω προσπαθήστε να λύσετε το πρόλημα Το διαστημόπλοιο Α ταξιδεύει προς τα δεξιά και το διαστημόπλοιο Β προς τα αριστερά με ταχύτητες.8 και.6 ως προς τη Γη, αντίστοιχα. Ποια η ταχύτητα το διαστημοπλοίο Α σε σχέση με το Β; Θεωρούμε την εξής αντιστοιχία: o παρατηρητής Ο αντιστοιχεί στην Γη, ο παρατηρητής Ο στο διαστημόπλοιο Β και στο κινούμενο σώμα αντιστοιχεί στο διαστημόπλοιο Α. Έχομε: (.8) (.6) (.6)(.8).946 Μπορούμε επίσης να θεωρήσομε την εξής αντιστοιχία: o παρατηρητής Ο αντιστοιχεί στο διαστημόπλοιο Α, ο παρατηρητής Ο στο διαστημόπλοιο Β και στο κινούμενο σώμα αντιστοιχεί η Γη. Σε ατή την περίπτωση έχομε: 37

38 (.8) ( / )(.8) Η τελεταία απάντηση σμφωνεί με την πρώτη. Το αρνητικό πρόσημο εμφανίζεται γιατί η ταχύτητα είναι η ταχύτητα το Ο σε σχέση με τον Ο, δηλαδή η ταχύτητα το Β ως προς το Α Λύστε το προηγούμενο πρόλημα θεωρώντας πως το διαστημόπλοιο Α ταξιδεύει με ταχύτητα.8 στην διεύθνση y σε σχέση με την Γη. (Το διαστημόπλοιο Β ταξιδεύει πάντα με ταχύτητα.6 στην διεύθνση σε σχέση με την Γη). Θεωρούμε την εξής αντιστοιχία: Ο παρατηρητής Ο αντιστοιχεί στην Γη, ο παρατηρητής Ο στο διαστημόπλοιο Β και στο κινούμενο σώμα αντιστοιχεί στο διαστημόπλοιο Α. Έχομε: y y ( / ) ( / ) ( / ) ( ) (.6) (.8) (.6).6.64 Άρα: (.6) (.64).88 y και an.64.6 y o ( ϕ ).7 ϕ Δείξτε ότι η ποσότητα: Δ - Δ Δy Δz είναι αναλλοίωτη κάτω από τος μετασχηματισμούς Lorenz. Χρησιμοποιώντας τος μετασχηματισμούς Lorenz έχομε: 38

39 39 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Δ Δ Δ Δ / Δ / Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ / - - z z y y / - / - 4 Αντικαθιστώντας τις παραπάνω στην ποσότητα ρίσκομε πως: z y - z y - Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ

40 4.5 Προλήματα 4.5. Το τραίνο πο εικονίζεται στο σχήμα 4. σνεχίζει την πορεία το προς τα μπροστά. Τη στιγμή πο το ρολόι 3 στο πίσω μέρος το αγονιού περνά μπροστά από το ρολόι το εδάφος, ρείτε τι δείχνον τα δύο ατά ρολόγια. Θεωρείστε L την απόσταση των ρολογιών και. L L (Απάντηση: Ένδειξη ρολογιού, Ένδειξη ρολογιού 3 ) 4.5. Ένας παρατηρητής Ο παρατηρεί πως δύο γεγονότα σμαίνον τατόχρονα και σε χωρική απόσταση 6 Km. Ένας δεύτερος παρατηρητής Ο κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς τον Ο και παρατηρεί πως τα δύο γεγονότα λαμάνον χώρα σε απόσταση Κm το ένα μακριά από το άλλο. Πόση είναι η χρονική διαφορά των δύο γεγονότων σύμφωνα με τον Ο ; -3 (Απάντηση: se ) Η ράδος Α μήκος ενός μέτρο, κινείται με την μισή ταχύτητα το φωτός και περνά τη ράδο το ενός μέτρο Β η οποία είναι ακίνητη στο εργαστήριο (λέπε παρακάτω σχήμα). Τη χρονική στιγμή, στο εργαστήριο, πο η αρχή της κινούμενης ράδο σμπίπτει με την αρχή της ακίνητης ράδο, πού, σύμφωνα με τον παρατηρητή στο εργαστήριο, ρίσκεται το τέλος της κινούμενης ράδο; (Απάντηση:.34 m ) Ένα φανταστικό σχετικιστικό αγόνι τραίνο, όταν είναι ακίνητο, έχει μήκος 4m. Για να μετρήσον το μήκος το καθώς κινείται με 99% της ταχύτητας το φωτός, οι παρατηρητές το εδάφος σημειώνον τη θέση της αρχής το αγονιού σε μια δεδομένη χρονική στιγμή και τη θέση το τέλος το κατά την ίδια χρονική στιγμή. (α) Δείξτε ότι οι παρατηρητές πο ρίσκονται πάνω στο τραίνο θεωρούν ότι πέρασαν 46 nse μεταξύ των δύο ατών μετρήσεων. () Ποιο είναι το μήκος το κινούμενο αγονιού πο μετρούν οι παρατηρητές στο έδαφος Ένα διαστημόπλοιο με μήκος 9m ταξιδεύει με ταχύτητα.8 ως προς το έδαφος. Καθώς η μύτη το διαστημοπλοίο περνά μπροστά από έναν ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος, ένα φωτόνιο εκπέμπεται από την μύτη το διαστημοπλοίο προς την ορά το. Πόσο χρόνο 4

41 κάνει το φωτόνιο να φτάσει στην ορά (α) σύμφωνα με έναν ακίνητο παρατηρητή μέσα στο διαστημόπλοιο και () σύμφωνα με τον παρατηρητή στο έδαφος; -7-7 (Απάντηση: (α) 3 se () se ) Στο προηγούμενο πρόλημα: Πότε η ορά το διαστημοπλοίο περνά μπροστά από τον παρατηρητή στο έδαφος (α) σύμφωνα με τον ακίνητο παρατηρητή μέσα στο διαστημόπλοιο και () σύμφωνα με τον παρατηρητή στο έδαφος; -7-7 (Απάντηση: (α) 3.75 se ().5 se ) Αναφερόμενοι στο λμένο πρόλημα : Εάν αντίστοιχα ο O παρατηρεί το ρολόι το Ο με ένα τηλεσκόπιο, τι ώρα λέπει σε ατό όταν και το δικό το δείχνει 3 se; (Απάντηση: se ) Ένας κόκκινος λαμπτήρας ανάει στη θέση Α με σντεταγμένες A 3 m και -9 A se, και ένας μπλε λαμπτήρας ανάει στη θέση Β με σντεταγμένες B 5 m -9 και B 9 se, όπως καθορίζονται από έναν ακίνητο παρατηρητή Ο. Ένας παρατηρητής Ο κινείται με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος το κοινού άξονα. Σύμφωνα με τον Ο οι δύο λαμπτήρες ανάον στην ίδια χωρική θέση. (α) Βρείτε την σχετική ταχύτητα των δύο παρατηρητών. () Βρείτε την κοινή χωρική θέση των λαμπτήρων σύμφωνα με τον Ο (γ) Σε ποια χρονική στιγμή ανάει το κόκκινο φως σύμφωνα με τον Ο. 8-8 (Απάντηση: (α).5 m/se () 4.97 m (γ) -.33 se ) Δύο πίδακες ύλης εκτοξεύονται από το κέντρο ενός ραδιογαλαξία σε αντίθετες κατεθύνσεις. Η ταχύτητα των δύο πιδάκων σε σχέση με τον γαλαξία είναι.75. Υπολογίστε την ταχύτητα το ενός πίδακα σε σχέση με τον άλλο. (Απάντηση: (α).96 ) 4.5. Ένα διαστημόπλοιο έχει μήκος 5 m και κινείται με ταχύτητα.6 σε σχέση με μια διαστημική αποάθρα. Καθώς η ορά το διαστημοπλοίο περνάει μπροστά από ένα ακίνητο παρατηρητή πάνω στην διαστημική αποάθρα, ατός ανάει μια δέσμη φωτός προς την κατεύθνση το μπροστινού μέρος το διαστημοπλοίο. (α) Σε ποια απόσταση από την αποάθρα θα ρίσκεται το μπροστινό μέρος το διαστημοπλοίο όταν το φως φτάσει σε ατό; () Πόσος χρόνος θα έχει παρέλθει μεταξύ της εκπομπής και της άφιξης το φωτός σε σχέση με τον παρατηρητή στην αποάθρα; (γ) Πόσος χρόνος θα έχει παρέλθει μεταξύ της εκπομπής και της άφιξης το φωτός σε σχέση με έναν παρατηρητή ο οποίος ρίσκεται στο μπροστινό μέρος το διαστημοπλοίο; (Απάντηση: (α) 3 m () -6-6 se (γ).5 se ) 4

42 4.5. Ένα φως φάρο σε ένα ορισμένο πλανήτη ανάει μια φορά κάθε ένα μse όπως μετριέται με τα ρολόγια το πλανήτη ατού. Στο σύστημα αναφοράς ενός στόλο περαστικών Αρειανών το φως κινείται κατά 4m μεταξύ διαδοχικών εκπομπών το φάρο. (α) Ποια είναι η ταχύτητα το στόλο σε σχέση με τον πλανήτη; () Ποιος είναι ο χρόνος πο μετρούν οι Αρειανοί μεταξύ διαδοχικών εκπομπών; (Απάντηση: (α).8 () Δ.66 μse ) 4.5. Ένα σωματίδιο κινείται με ταχύτητα.8 σχηματίζοντας γωνία 3 με το άξονα των, σύμφωνα με έναν παρατηρητή Ο. Ποια είναι η ταχύτητα το σωματιδίο σύμφωνα με έναν δεύτερο παρατηρητή Ο, ο οποίος κινείται με ταχύτητα.6 κατά μήκος το κοινού άξονα ; o (Απάντηση:.94 ϕ 3.9 ) Ένας παρατηρητής Ο κινείται κατά μήκος το άξονα με ταχύτητα / σε σχέση με τον ακίνητο παρατηρητή Ο. Ο παρατηρητής Ο διαπιστώνει πως ένα σωματίδιο κινείται στην διεύθνση y με ταχύτητα / 3. Υπολογίστε την ταχύτητα το σωματιδίο σε σχέση με τον Ο. o (Απάντηση: / / ϕ 35 ) Μια ροκέτα πο πηγαίνει από την Γη στον Δία περνά δίπλα από τον Άρη με μια σχετική ταχύτητα.4. Οι πειραματικοί πο ρίσκονται μέσα στη ροκέτα παρατηρούν δύο άλλα άγνωστα διαστημόπλοια, πο το ένα κινείται προς τον Δία και το άλλο προς την Γη, αμφότερα με ταχύτητα.8 σχετικά με την ροκέτα. Ποια ταχύτητα έχον τα δύο διαστημόπλοια σύμφωνα με τος κατοίκος το Άρη; Θεωρήστε έναν ραδιενεργό πρήνα ο οποίος κινείται με σταθερή ταχύτητα.5 σχετικά με το σύστημα το εργαστηρίο. (α) Ο πρήνας εκπέμπει ένα ηλεκτρόνιο με ταχύτητα.9 σε σχέση με ατόν κατά την διεύθνση της κίνησής το. Υπολογίστε την ταχύτητα το ηλεκτρονίο στο σύστημα το εργαστηρίο. () Υποθέστε πως ο πρήνας εκπέμπει το ηλεκτρόνιο με ταχύτητα.9 σε σχέση με ατόν κάθετα στην διεύθνση της κίνησής το. Υπολογίστε ξανά την ταχύτητα το ηλεκτρονίο στο σύστημα το εργαστηρίο. o (Απάντηση: (α).966 ().96 ϕ 57.3 ) Σε χρόνο ο παρατηρητής Ο εκπέμπει ένα φωτόνιο σε μια διεύθνση 6 σε σχέση με το άξονα. Ένας δεύτερος παρατηρητής Ο ταξιδεύει με ταχύτητα.6 κατά μήκος το κοινού άξονα. Ποια η γωνία πο σχηματίζει το φωτόνιο με τον άξονα ; (Απάντηση: an( ϕ ) 6. 9 ) 4

43 4.5.7 Η ταχύτητα το φωτός στο ακίνητο νερό είναι /n, όπο ο δείκτης διάθλασης στο νερό είναι n 4/3. Ο Fizea, το 85, ρήκε πως η ταχύτητα (σε σχέση με το σύστημα το εργαστηρίο) το φωτός σε νερό το οποίο κινείται με ταχύτητα V (σε σχέση με το σύστημα το εργαστηρίο) μπορεί να εκφραστεί ως: n kv Όπο ο σντελεστής k μετρήθηκε από τον ίδιο να είναι k. 44. Υπολογίστε την τιμή το k σύμφωνα με τος μετασχηματισμούς Lorenz. (Απάντηση: (α) k. 438, χρησιμοποιήστε την προσέγγιση V n V ) n Η εξίσωση ενός σφαιρικού κύματος φωτός το οποίο ξεκινά από την αρχή των αξόνων είναι: y z - Δείξτε, χρησιμοποιώντας τος μετασχηματισμούς Lorenz, ότι ο κινούμενος παρατηρητής Ο θα διαπιστώσει πως ο ίδιος παλμός φωτός είναι και για ατόν σφαιρικός Δείξτε ότι η ηλεκτρομαγνητική κματική εξίσωση, φ φ φ y z φ είναι αναλλοίωτη κάτω από τος μετασχηματισμούς Lorenz Αναπτύξτε την πρώτη και την τέταρτη σχέση των εξισώσεων (4.3) σε δναμοσειρές ως προς μέχρι όρος τρίτης τάξης. Αναγνωρίστε τος όρος πο δίνον το μετασχηματισμό το Γαλιλαίο και τος όρος πο δίνον την κύρια διόρθωση στον μετασχηματισμό το Γαλιλαίο. Υπόδειξη: Για την ανάπτξη ως προς χρησιμοποιείστε την / 3 ( )

44 Κεφάλαιο 5 : Το φαινόμενο Doppler. Διαστήματα, χωρόχρονος και κοσμικές γραμμές. 5. Το φαινόμενο Doppler. Η ασική εξίσωση ενός διαδιδόμενο ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι: λf (5.) όπο η ταχύτητα διάδοσης, λ το μήκος κύματος και f η σχνότητα. Περιμένομε πως διαφορετικοί παρατηρητές θα μετρήσον διαφορετικό μήκος κύματος και σχνότητα, αλλά τέτοια ώστε το γινόμενό τος λ f να παραμένει ίσο με για όλος τος παρατηρητές. Θεωρήστε μια πηγή ηλεκτρομαγνητικών κμάτων η οποία κινείται σε σχέση με έναν ακίνητο παρατηρητή Ο, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.. Η πηγή εκπέμπει αλληλοχία παλμών περιόδο T και σχνότητας f / T. Σχήμα 5. Λόγω το φαινομένο της διαστολής το χρόνο ο παρατηρητής Ο μετρά την ίδια περίοδο ως T γt. Ας ποθέσομε ότι την χρονική στιγμή η πηγή εκπέμπει τον πρώτο παλμό, ενώ κατά την χρονική στιγμή T εκπέμπει τον δεύτερο. Στον ίδιο χρόνο ο πρώτος παλμός θα έχει κινηθεί κατά διάστημα T. Το μήκος κύματος ορίζεται ως η απόσταση δύο διαδοχικών παλμών στον χρόνο T. Άρα έχομε: ( θ ) T ( os( θ )) γt λ T os (5.) f f (5.3) λ ( os( θ )) γt os( θ ) 44

45 Διακρίνομε τρεις απλές περιπτώσεις:. Για θ η πηγή και ο παρατηρητής πλησιάζον. Από την (5.3) έχομε πως f f (5.4) Επειδή f > f λ < λ το φαινόμενο είναι γνωστό ως Κανή Μετατόπιση.. Για θ 8 η πηγή και ο παρατηρητής απομακρύνονται. Από την (5.3) έχομε πως f f (5.5) Επειδή f < f λ > λ το φαινόμενο είναι γνωστό ως Ερθρή Μετατόπιση. 3. Για θ 9 από την (5.3) προκύπτει πως έχομε πάλι ερθρή μετατόπιση. f f δηλαδή < f λ > λ f, 5. Διαστήματα και χωρόχρονος. Οι μετασχηματισμοί Lorenz δίνον μια λογική εξήγηση για τη σχετικότητα της παρατηρήσεως. Περιέχον όμως και μια απροσδόκητη πρόταση αναλλοίωτο. Όπως έχομε αποδείξει στο πρόλημα 4.4. η ποσότητα: ( ) - ( Δ) ( Δy) ( Δ z ) Δ (5.6) είναι αναλλοίωτη κάτω από τος μετασχηματισμούς Lorenz. Ο παραπάνω σνδασμός των μετρήσεων το μήκος και το χρόνο είναι κάτι για το οποίο σμφωνούν οι παρατηρητές άσχετα εάν διαφωνούν για το μήκος και τον χρόνο ξεχωριστά. Είναι φσικό να προσδώσομε σημασία σε μια αναλλοίωτη ποσότητα. Ο σνδασμός ατός ονομάζεται τετράγωνο το διαστήματος και σμολίζεται με I : ( Δ) - ( Δ) ( Δy) ( Δ ) I z (5.7) ( Δ ) - ( Δ ) ( Δy ) ( Δ ) I z (5.8) Μεταξύ δύο τατόχρονων γεγονότων σε ένα σύστημα αναφοράς, το διάστημα είναι ανάλογο προς την απόσταση στο χώρο των γεγονότων ατών. Σε ατό το σύστημα αναφοράς είναι Δ άρα: ( Δ) ( Δy) ( Δ ) ( χωρικη ) I - z αποσταση (5.9) 45