r dr r r r r r r T F B B r r 2 r

Transcript

1 Ο ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ. Γενικές αρχές. Η αντιληπτική µας ικανότητα το Φσικού Χώρο, µας οδηεί στον προσδιορισµό των σηµείων το, µέσω τριών ανεξαρτήτων παραµέτρων. Είναι, λοιπόν, αποδεκτή η απεικόνισή το, από έναν τρισδιάστατο πραµατικό σσχετισµένο (ffine Εκλείδειο χώρο (λέπε ενότητα Γεωµετρικές Εφαρµοές, ο οποίος προφανώς λοποιείται από τον R (µε ένα π.χ καρτεσιανό σύστηµα σντεταµένων. Εισάοµε ακόµα µία παράµετρο R, και, δεχόµεθα (µια και έτσι αντιλαµανόµεθα τον φσικό χώρο ότι όλα τα σηµεία το R, χαρακτηρίζονται από την ίδια τιµή της παραµέτρο. Καλούµε ατήν την τιµή της παρόν. Εξ ορισµού, σνεπώς, τον φσικό χώρο τον αντιλαµανόµεθα ως παρόν. Ένα σηµείο το R R η θέση το οποίο προσδιορίζεται από τις παραµέτρος π.χ. (,,, (Καρτεσιανό σύστηµα αναφοράς Κ καλείται εονός. Η ικανότητα πο ο άνθρωπος διαθέτει να ανακαλεί και να αναπαριστά (κατά το δνατόν τον φσικό χώρο ια διάφορες τιµές το, µας δίδει την δνατότητα να νοούµε το παρελθόν και το µέλλον. Ένα λικό σηµείο m λέµε ότι κινείται αν µεταάλει την θέση το, µέσα στο αντιληπτικό πεδίο το παρατηρητού. Η κίνηση ατή, είναι δνατόν να περιραφή ως εξής: α Ο παρατηρητής παραµένει στην θέση (,,, και καταράφει δύο θέσεις το m, τις (,,, και (,,, στο σύστηµα Κ. Το m κινείται αν και µόνον αν. Με δ σµολίζοµε το διάστηµα κατά µήκος το οποίο κινήθηκε το m. Με δ σµολίζοµε την απόσταση το m από τον παρατηρητή όταν ερίσκεται στην θέση, και µε δ την αντίστοιχη απόσταση το m όταν ερίσκεται στην θέση. Εφ όσον δ < δ, λέµε ότι το m αποµακρύνεται από τον παρατηρητή. Εφ όσον δ > δ, λέµε ότι το m πλησιάζει τον παρατηρητή. Εφ όσον δ δ, λέµε ότι το m στρέφεται ως προς τον παρατηρητή. Το m παραµένει στην θέση (,,, και ο παρατηρητής καταράφει δύο διαφορετικές θέσεις το m στο σύστηµα K, τις ' ' ' ' ' ' (,,, και ' ' ' ' (,,,. Για να έχοµε περιραφή το ιδίο φαινοµένο, θα πρέπει δ δ, το αποµακρύνεται πρέπει να αντικατασταθεί µε το πλησιάζει, και το στρέφεται, µε το στρέφεται κατ αντίστροφη φορά. Τις µετρήσεις ατές τις χαρακτηρίζοµε λέοντας ότι το µήκος δ παραµένει αναλλοίωτο ως προς τις µετρήσεις µας στα σστήµατα Κ και K, οι µετρήσεις στο K µεταάλλονται κατά vin τρόπο ως προς τις µετρήσεις πο ίνονται στο σύστηµα Κ, ενώ οι µετρήσεις στο σύστηµα Κ µεταάλλονται κατά nvien τρόπο ως προς τις µετρήσεις πο ίνονται στο σύστηµα K. Ο χώρος, τέλος, ποτίθεται ότι είναι οµοενής και ισότροπος. Τούτο σηµαίνει ότι σε κάθε σηµείο το, και προς κάθε διεύθνση, τα εονότα εξελίσσονται κατά τον ίδιο τρόπο. Χώρος Χρόνος Κίνηση στον Νεύτωνα. (Βλέπε Nen's Vies n Spe, Time, nd Min (Snfd Enlpedi... Οι Νόµοι το Νεύτωνος. ος. Ένα σώµα µάζης m κινείται µε σταθερή ταχύτητα, εφ όσον επ ατού ασκείται µηδενική δύναµης. ος Η αλλαή της κίνησης το σώµατος είναι ανάλοος της ασκούµενης δύναµης. ος Οι δνάµεις δράσεως και αντιδράσεως έχον µηδενικό άθροισµα. Η έννοιες της µάζας, και της κίνησης είναι θεµελιώδεις. Ο Νεύτων τις αντιλαµάνεται ως εξής:. Η ποσότης ύλης πο περιέχεται σε ένα σώµα, µετράται από την πκνότητα και τον όκο το. Ατή ορίζεται ως µάζα το σώµατος. Είναι νωστή και ως άρος το σώµατος. Το εονός ότι η µάζα είναι ανάλοος το

2 άρος έχει καθιερωθεί µε πολλά και πολύ ακριή πειράµατα.. Η ποσότητα κίνησης ενός σώµατος, µετράται από την ταχύτητα το και την µάζα το. (Για τον Νεύτωνα, κίνηση ορµή. Η αδρανειακή δύναµης της ύλης, είναι εκείνη, την οποία εµφανίζει κάθε σώµα ως αντίσταση στην µεταολή της κινητικής το καταστάσεως είτε ατό ρίσκεται σε στάση, είτε κινείται εθύραµµα και οµαλά. 4. Μία εξωτερική δύναµης είναι µία ενέρεια πο ίνεται πάνω σε ένα σώµα, απολέποντας στην µεταολή της κινητικής το καταστάσεως. 5. Σε κάθε δράση, (δηλαδή δύναµη, πο δρα σε κάποιο σώµα Α λόω το Β αντιστοιχεί µία ίση και αντίθετη αντίδραση (δηλαδή δύναµη, πο δρα στο σώµα Β Αρχή της ισοδναµίας. Κατά τον Νεύτωνα, οι δνάµεις πο επηρεάζον την κίνηση ενός σώµατος, είναι δύο ειδών: α Αδρανειακές, πο προκύπτον από επιταχύνσεις v v v ( F m και, αρτικές ( F m g, πο προκύπτον από την ύπαρξη και άλλων g σωµάτων. Οι δνάµεις ατές είναι ισοδύναµες ( m /m. Η ισοδναµία ατή είχε διαπιστωθεί πειραµατικά από τον Γαλιλαίο, και επιεαιώνεται µε ακρίεια R. H Dike (964.. Μετασχηµατισµοί το Γαλιλαίο. Θεωρούµε τα δύο καρτεσιανά σστήµατα αναφοράς Κ και K και ποθέτοµε ότι το K κινείται παραλλήλως προς εατό κατά µήκος ενός εθράµµο τµήµατος µε σταθερή ταχύτητα. Η Νετώνεια Μηχανική ποθέτει ότι ένα εονός καταράφεται στα σστήµατα Κ και K κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να έχοµε τις σχέσεις,,, ( ή ( ( v, όπο η αρχική θέση το σστήµατος K. Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο το Νεύτωνα, αν p mv η ορµή το λικού σηµείο m η δύναµη dp d F m F, µια και d d v,, m, σταθερά και. Το διάστηµα πο διανύει ένα κινητό από το σηµείο στο σηµείο µε σταθερή ταχύτητα v είναι ανάλοο το χρόνο, πο απαιτείται. Είναι, λοιπόν, στο σύστηµα Κ, δ ( ( ( ( µε ανάλοη σχέση εκφρασµένη στο σύστηµα K και, επειδή η παράµετρος τατίζεται στα δύο σστήµατα, έχοµε το αναλλοίωτο το µήκος δ. Έστω ότι το K κινείται µε σταθερή ταχύτητα v i κατά µήκος το άξονα O και παραλλήλως προς εατό. είναι η ταχύτητα το σστήµατος K, όπως ατή µετράται στο σύστηµα Κ. Ένα λικό σηµείο m κινείται κατά µήκος το άξονα O µε ταχύτητα, όπως ατή µετράται στο σύστηµα K, u. Σύµφωνα µε τον µετασχηµατισµό (, η ταχύτητα το m όπως µετράται από το σύστηµα Κ, είναι u u, ή u u. Ο Γαλιλαίος µελέτησε πειραµατικά την πτώση των σωµάτων και κατέληξε στο σµπέρασµα ότι όλα τα σώµατα, ανεξαρτήτως µάζης, πίπτον κατακόρφα µε την d ατή επιτάχνση g. Είναι, δηλαδή, g. Εισάοµε την έννοια το δναµικού d du d du U g, οπότε και g. Άρα και. d d d g

3 Η κινητική ενέρεια Τ το λικού σηµείο m όταν µετακινείται από το σηµείο Α στο σηµείο Β, πό την επίδραση δύναµης F, ορίζεται από την σχέση T F d. Είναι, d d d d d F d d, µια και F m ( ος νόµος το Νεύτωνα. d d d d d m d d m d d d d Άρα, και F d d. Αν το µέτρο της ταχύτητας v το λικού d d d d m σηµείο m, είναι και, F d d, δηλαδή, T m(. Στην περίπτωση, πο το F d είναι ολικό διαφορικό κάποιας σναρτήσεως U U(, έχοµε, τότε, τελικά, ότι m U m U. Ο Νεύτων χρησιµοποίησε ως σνάρτηση U k την U, µια και είχε ως πειραµατικό δεδοµένο, ότι η επιτάχνση ενός λικού σώµατος m, πο ρίσκεται σε πτώση προς το σώµα Μ, είναι αντιστρόφως ανάλοος d k το τετραώνο της αποστάσεως το m, από το Μ. ηλαδή, ότι. d U U U Πράµατι, ι ατήν την U, ισχύει ότι du k d d d k U d µε, k k U, οπότε, και F e, k mm, e µοναδιαίο διάνσµα κατά µήκος το. (Ατός είναι ο νόµος της πακοσµίο έλξεως.. Μετασχηµατισµοί το Len. Ζητάµε να ρούµε τος πιο ενικούς ορθοώνιος µετασχηµατισµούς από το Κ στο K, οι οποίοι θα διατηρούν την έκφραση δ ( ( ( ( ( αναλλοίωτη, όπο σταθερά (η ταχύτης το φωτός, όταν το σύστηµα K κινείται µε ταχύτητα v ως προς το σύστηµα Κ. Η σχέση ( προκύπτει από την παρατήρηση ενός σφαιρικού οπτικού κύµατος, πο µεταδίδεται µε την ταχύτητα, η οποία είναι η ατή και στα δύο σστήµατα. Η σχέση, πο σνδέει την έκφραση ( στα σστήµατα Κ και K, θα είναι της µορφής f (, v λόω της οµοένειας το χώρο. Επειδή θέλοµε να µη εξαρτάται από την διεύθνση το v, (το ισότροπο το χώρο καταλήοµε στην f (,. Επίσης νωρίζοµε ότι στο σύστηµα Κ όπως και στο σύστηµα K, η ( λααίνει τατόχρονα την τιµή. Υποχρεωτικά, σνεπώς, έχοµε ότι δ k( δ k( δ. Τελικά, λοιπόν, η ( ράφεται και s, όπο i, και είναι η έκφραση πο θα πρέπει να είναι αναλλοίωτος ως προς τος πιο ενικούς ορθοώνιος ραµµικούς µετασχηµατισµούς πο ψάχνοµε. Ο ορθοώνιος µετασχηµατισµός πο ψάχνοµε, είναι ο

4 µε, (σνθήκες ορθοωνιότητας δ, 4 παραπάνω πίνακα, b b δ, i, j i j ij i, j i j ij όπο i το διάνσµα ραµµή το b i το διάνσµα κολώνα, δ ij το δ το Kneke. Υποθέτοµε ότι έχοµε κίνηση µόνο κατά µήκος το Ο άξονα. Είναι, τότε, 4 Λόω ορθοωνιότητας είναι, 4, 4, 4, 4 ως επίσης και και Έχοµε i. Όταν η αρχή το σστήµατος K σµπέσει µε ατήν το Κ,, άρα 4 i απ όπο 4 - i. Η (σταθερή ταχύτητα κατά µήκος το O άξονα είναι d d 4 4 i. Άρα και i i ( σταθερά. 4 Η σχέση 4 δίδει την ( 4 ή ή (, ή. Επειδή >, ± ια τιµές >, σνεπώς, µόνο την >. Είναι, λοιπόν, (, οπότε και (i 4, ή Εύκολα, τώρα, πολοίζοµε και τα στοιχεία Ο µετασχηµατισµός ( είναι, λοιπόν, ο 4 i και 4 i..

5 5 ( ( ( i - i i i ( - i - i - Όπο. Με αντίστροφο τον ( ( Οι µετασχηµατισµοί ατοί ράφονται και στην µορφή, µε, και (4 Ένα µήκος δ, πο ρίσκεται κατά µήκος το O άξονα, όταν το µετράµε στο σύστηµα Κ έχει µέτρο δ. Το ίδιο µήκος όταν µετράται στο σύστηµα K έχει µήκος ( ( ( δ. Εφ όσον η µέτρηση των σντεταµένων των άκρων ίνεται την ίδια στιµή, το µήκος πο µετράµε έχει την έκφραση ( δ δ (5. Για τα χρονικά διαστήµατα έχοµε, ( ( -. (6 Οι αντίστροφες σχέσεις των (4 και (5 είναι ( d d d και d d d. (7

6 6 d Η ταχύτητα u στο K σύστηµα ορίζεται ως u. Όµως, φ d (,, φ(,, µε, φ(, ( και φ (,. - - Είναι, φ ( ( ( φ (. φ φ Άρα, d d d ( dd (8 Επίσης, φ φ. φ φ Άρα, d d d d d. (9 Είναι, λοιπόν, d d d u u u u ( d / d d ( / (d / d u / u / 4. Ο χώρος το Minkski. Πρόκειται ια τον σσχετισµένο (ffine χώρο (λέπε ενότητα Γεωµετρικές Εφαρµοές R ir εφοδιασµένο µε την µετρική ds d d d d ( όπο i. Στον χώρο ατόν, θεωρούµε δύο σστήµατα αναφοράς Κ και K : K K O O Το K {O, (,,, } και το K {O, (,,, }.

7 7 Η διαστολή το χρόνο. Υποθέτοµε ότι, το K κινείται παραλλήλως προς εατό κατά µήκος το άξονα O το σστήµατος Κ, µε σταθερή ταχύτητα. (Προσοχή! Η πόθεση ατή, οσιαστικά δέχεται την δνατότητα παράλληλης µεταφοράς στον χώρο. Το πως ίνεται ατή η παράλληλος µεταφορά, καθορίζει και την εωµετρία το χώρο, ως επίσης και κάθε άλλη έννοια, πο εµπεριέχει διαστήµατα δ. Π.χ. το δναµικό U ενός λικού σηµείο. Ένα φωτεινό σήµα εκπέµπεται από την θέση ( προς την θέση (, δ, όπο πάρχει κάτοπτρο, και επιστρέφει στην θέση Α. Οι χρονικές στιµές και σηµατοδοτούν την έλεση το φωτεινού σήµατος στις θέσεις Α και Β αντίστοιχα. Ένας παρατηρητής, πο ρίσκεται στο σηµείο Α µετρά στο δ σύστηµα Κ, χρόνο. Τα σηµεία, κινούνται και ατά µε ταχύτητα ως προς το Κ. Στο σύστηµα K, ο χρόνος πο µετράται από το Κ δίδεται από την σχέση ( (, - λέπε (6, ή δ δ δ <. ( Επειδή, <, <, είναι και. είναι τα χρονικά διαστήµατα πο µετράµε στο ακίνητο σύστηµα Κ. είναι τα αντίστοιχα χρονικά διαστήµατα στο σύστηµα K, όπως µετρώνται από το σύστηµα Κ. Παρατηρούµε, ότι το ένα λεπτό στο σύστηµα K, µετράται κατά πολύ µεαλύτερο (ανάλοα µε το πόσο η ταχύτητα πλησιάζει την ταχύτητα στο σύστηµα Κ. Άρα, ένας ταξιδιώτης, πο είναι στο σύστηµα K, και έχει σ ατό χρόνο παραµονής π.χ. ένα έτος, από το σύστηµα Κ θα έχει µετρηθεί πολλαπλάσιος ο χρόνος παραµονής το. Πειραµατικά δεδοµένα. Στοιχειώδη σωµατίδια παραόµενα στο εραστήριο (µικρή ταχύτης έχον ελάχιστο χρόνο ζωής. Όµως σωµατίδια ατού το τύπο ρίσκονται στις κοσµικές ακτίνες (µέιστος χρόνος ζωής µεάλη ταχύτης. Η σστολή των µηκών. Θεωρούµε και πάλι τα σστήµατα Κ και K. Θα δούµε πως φαίνεται το µήκος δ το σστήµατος K, από το σύστηµα Κ. Έχοµε ότι, δ ( δ (προηούµενη σχέση (5. Άρα, το δ < δ, ια >. Προσοχή! Στην πραµατικότητα, το µήκος δεν µεταάλλεται. Απλά, αλλάζει µέσα στον χώρο Minkski η προοπτική κάτω από την οποία εµείς, στο σύστηµα Κ, το αντιλαµανόµεθα. Η ταχύτητα. Αν µε σµολίζοµε την ροή το χρόνο στο σύστηµα Κ και µε την ροή το χρόνο στο σύστηµα K, ια ένα κινούµενο λικό σηµείο m έχοµε αντίστοιχα ταχύτητες v και v, πο σνδέονται µε τις σχέσεις

8 8 d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d i d d d d d d Την ταχύτητα v το m στον χώρο Minkski, την αναλύοµε σε δύο σνιστώσες: α Την χωρική σνιστώσα (διάνσµα v v q i q j qk (,, i και την χρονική σνιστώσα. Η ορµή p mv αναλύεται και ατή σε ένα χωρικό και ένα χρονικό µέρος. Για το d χωρικό µέρος της ορµής έχοµε p mv, ή dτ d d mv d mv p ή και d d d d mv p (. d dp Υποθέτοµε ότι, ο δεύτερος νόµος το Νεύτωνος F ισχύει στον χώρο το d Minkski. Για να σµπίπτει η δύναµη F στον χώρο Minkski, µε την δύναµη F πο ορίσαµε στην, θα πρέπει, έχει την έκφραση F p m. Η σχέση m, οπότε η F στον χώρο Minkski οποίο σχετίζεται η µάζα m στον χώρο Minkski, µε την µάζα m στον Η σχέση ( δίδει ια την δύναµη την έκφραση d mv d m m dv F v. d d d Παρατηρούµε ότι, εν R, F m m dv, όπως πρέπει. d Η κινητική ενέρεια το λικού σηµείο m στον m δείχνει τον τρόπο µε τον R. R είναι αντίστοιχη στον χώρο Minkski θα είναι m T m T ( ( m T m. Η.

9 9 Η κινητική ενέρεια το λικού σηµείο m στον χώρο Minkski είναι το άθροισµα της κινητικής ενέρειας T m το m στον χώρο R, και µιας εσωτερικής ενέρειας m