Συμπλεκτικές Απεικονίσες στο Πρόβλημα των Τριών Σωμάτων

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΔΟΥΛΤΣΙΝΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΑΕΜ: 840 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Συμπλεκτικές Απεικονίσες στο Πρόβλημα των Τριών Σωμάτων Μελέτη στο Σύστημα Συντονισμού 3: με τον Δία ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Κ. ΤΣΙΓΑΝΗΣ Οκτώβριος 00

2 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΔΟΥΛΤΣΙΝΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΑΕΜ 840 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Συμπλεκτκές Απεικονίσες στο Πρόβλημα των Τριών Σωμάτων Μελέτη στο Σύστημα Συντονισμών 3: με τον Δία ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Κ. ΤΣΙΓΑΝΗΣ Οκτώβριος 00

3 Περίληψη Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η κατασκευή μιας συμπλεκτικής απεικόνισης μέσω των εξισώσεων Hamilto και η εφαρμογή της στην μελέτη του περιορισμένου επίπεδου προβλήματος τριών σωμάτων. Ξεκινώντας από κάποιες βασικές έννοιες της Oυράνιας Mηχανικής θα κατασκευάσουμε ένα μοντέλο για την μελέτη της κίνησης των αστεροειδών που βρίσκονται στην κύρια ζώνη και πολύ κοντά στον συντονισμό 3: με τον Δία εφαρμόζοντας τα παραπάνω. Έπειτα θα σπάσουμε την συμπλεκτική δομή της απεικόνισης, εφαρμόζοντας στο σύστημα μία εξωτερική μη συντηρητική δύναμη που αντιστοιχεί στο φαινόμενο Υarkovsky. Εξετάζουμε και στα δύο προβληματα την χρονική εξέλιξη της τροχιάς των δυνητικών αστεροειδών.

4 Αbstract Τhe aim of this thesis is the develomet of a comlex maig of the Hamiltoia equatios of motio ad its alicatio o the study of the laar restricted three body roblem. We start with some basic Celestial Mechaics riciles, ad we the costruct a model to describe the MEAs (Mai Belt Asteroids) motio ear the 3: resoace with Juiter. The we erturb the roblem by isertig a o coservative force that is due to the Yarkovksy effect ad study the evolutio of the same asteroids we used to costruct the maig model

5 Περιεχόμενα. Πρόβλημα σωμάτων. Οι νόμοι της κίνησης.. Πρόβλημα σωμάτων.... Η Μηχανική Hamilto.4 Lagrage 4 Hamilto 4 a. Ολοκληρώματα της κίνησης.5 b. Αγκύλη Poiso..6 c. Συμπλεκτικός φορμαλισμός της Μηχανικής Hamilto 6 d. Η συμπλεκτική συνθήκη...7 e. Κριτήρια κανονικών μετασχηματισμών...7 f. Κανονικοί μετασχηματισμοί Γενέτειρα συνάρτηση..7 g. Ευστάθεια σημείων ισορροπίας σε αυτόνομα Χαμιλτονιανά. συστήματα.9 3. Η συνάρτηση διαταραχής.. Παρελκτική συνάρτηση.. Ανάπτυγμα με την χρήση πολυωνύμων Legedre.. Ανάπτυγμα ως προς τα στοιχεία της τροχιάς..3 Η χρήση της συνάρτησης διαταραχής.4 Τα ορίσματα της συνάρτησης διαταραχής Αιώνιοι συντονισμοί (SRs) και συντονισμοί μέσης κίνησης (MMRs) 6 5. Διαταραγμένες τροχιές..7

6 Φαινόμενο Yarkovsky 8 6. Συμπλεκτική απεικόνιση..9 Κυκλικό επίπεδο πρόβλημα 0 Ελλειπτικό επίπεδο πρόβλημα 0 Αναλυτικό μοντέλο συντονισμού μέσης κίνησης..0 Περιοδικές τροχιές.3 Η συμπλεκτική απεικόνιση 4 Κατασκευή της συμπλεκτικής απεικόνισης...5 Searatrix 6 Μελέτη του συντονισμού 3:.7 7. Άρση συμπλεκτικότητας.φαινόμενο Yarkovsky.35 Αστεροειδείς με α>.5au.37 Αστεροειδείς με α<.5au.38 Αστεροειδείς με α.5au.40 8.Συμπεράσματα...4 Παράρτημα Α.4 Παράρτημα Β.47 Παράρτημα Γ 49 Παράρτημα Δ.50 Βιβλιογραφία Liks 5

7

8 . Πρόβλημα δύο σωμάτων Οι νόμοι της κίνησης Η κίνηση των ουράνιων σωμάτων πραγματοποιείται και περιγράφεται με την θεώρηση ενός πεδίου κεντρικών δυνάμεων, του πεδίου βαρύτητας, και κατ επέκταση με την βοήθεια των βαρυτικών αλληλεπιδράσεων. Ο νόμος που περιγράφει την βαρυτική αλληλεπίδραση διατυπώθηκε από τον Isaak Newto και ονομάζεται Νόμος της Παγκόσμιας Έλξης. Σύμφωνα με αυτόν, η ελκτική δύναμη που ασκείται μεταξύ δύο υλικών σημείων είναι ανάλογη των μαζών τους και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της μεταξύ τους απόστασης ενώ ενεργεί πάνω στην ευθεία που συνδέει τα δυο σημεία. Έτσι, η δύναμη που ασκεί το ένα σώμα στο άλλο περιγράφεται από την σχέση: r Gmm F e r. r όπου: G η σταθερά της παγκόσμιας έλξης όπου στο S.I. η τιμή της είναι ίση με x 0 m kg s (ή Nm kg ) και e r η διανυσματική μονάδα στην διεύθυνση που ενώνει τα σώματα και με φορά από το πρώτο σώμα στο δεύτερο. Στο βιβλίου του Priciia, Volume I (687), απέδειξε πως μόνο δύο είδη κεντρικών δυνάμεων θα μπορούσαν να εξηγήσουν επαρκώς τις ελλειπτικές τροχιές που ακολουθούν οι πλανήτες. Η πρώτη αντιστοιχεί σε μία γραμμική δύναμη με κατεύθυνση προς το κέντρο της έλλειψης, ενώ η δεύτερη σε μία δύναμη αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης του σώματος από την μία εστία της έλλειψης. Έτσι, σύμφωνα με τον Νόμο της Παγκόσμιας Έλξης, ο Johaes Keler, διατύπωσε τους εξής νόμους που περιγράφουν την κίνηση των πλανητών:. οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές με τον Ήλιο στην μία εστία της έλλειψης. το εμβαδόν που διαγράφει το διάνυσμα θέσης του πλανήτη ως προς τον Ήλιο είναι ανάλογο του χρόνου (σταθερή εμβαδική ταχύτητα da cost. ) dt 3. τα τετράγωνα του χρόνου περιφοράς των πλανητών γύρω από τον Ήλιο είναι ανάλογα των κύβων των μεγάλων ημιαξόνων τους (αρμονικός νόμος) χρησιμοποιώντας την προσέγγιση M su >> m, με m την μάζα του πλανήτη, που οδηγεί στην θεώρηση ότι ο Ήλιος είναι ακίνητος και ο πλανήτης κινείται στο πεδίο ελκτικών κεντρικών δυνάμεων που δημιουργεί ο Ήλιος. Με βάση τα παραπάνω, παρατηρούμε ότι οι Νόμοι του Νεύτωνα (που προσεγγίζουν από δυναμική σκοπιά την κίνηση) και σε συνδυασμό με τον Νόμο της Παγκόσμιας Έλξης ( F ~, που είναι η μόνη «δύναμη» που μπορεί να τοποθετήσει r το κέντρο των δυνάμεων στην μία εστία της έλλειψης), ερμηνεύεται η κινηματική θεωρία η οποία έδωσε τους τρεις παραπάνω νόμους χωρίς να εξηγεί το «γιατί». Πρόβλημα σωμάτων Λαμβάνοντας υπ όψη όλα τα παραπάνω, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το πρόβλημα των δύο σωμάτων ή αλλιώς πρόβλημα του Keler, είναι το πιο απλό,

9 ολοκληρώσιμο πρόβλημα της δυναμικής του Ηλιακού συστήματος. Ουσιαστικά, πραγματεύεται την αλληλεπίδραση δύο σημειακών μαζών των οποίων η κίνηση διέπεται από τον Νόμο της Παγκόσμιας Έλξης. Όμως το σύστημα των δύο σωμάτων δεν είναι, στην πραγματικότητα, απομονωμένο, αλλά μπορεί η πληθώρα σωμάτων σημειακών μαζών διαφόρων μεγεθών να το επηρεάσει βαρυτικά. Ο πιο απλός τρόπος για να κρατήσουμε την απλότητα στον τρόπο λύσης και να έχουμε κατά το δυνατόν ακριβέστερο το αποτέλεσμα, είναι να αντιμετωπίσουμε όλα τα γύρω σώματα ως διαταραχές που εισάγονται στο πρόβλημα των δύο σωμάτων, αλλά πρέπει για τις μάζες τους να ισχύει m << M. i su Θεωρούμε δύο υλικά σημεία Σ και Σ με μάζες m και m αντίστοιχα, τα οποία εξασκούν δυνάμεις το ένα στο άλλο που υπακούν στο τρίτο αξίωμα του Νεύτωνα. Για να μελετήσουμε την κίνηση των δύο σημείων θεωρούμε αδρανειακό σύστημα και έστω R v και R v τα διανύσματα θέσεως των Σ και Σ, ως προς ακίνητο σημείο Ο. Το κέντρο μάζας του συστήματος ορίζεται από το διάνυσμα θέσεως R v ως προς το Ο και σύμφωνα με τον τύπο: N v miri v i rκ N. m i προκύπτει: v v v mr mr R.3 m m Σύμφωνα με γνωστό θεώρημα του διανυσματικού λογισμού, το σημείο Κ βρίσκεται στην ευθεία που συνδέει τα Σ και Σ, μεταξύ των σημείων αυτών. Ορίζουμε επίσης το διάνυσμα σχετικής θέσης του Σ ως προς το Σ : v v v r R R..4 Η θέση του συστήματος των δύο σωμάτων Σ και Σ προσδιορίζεται αν δοθούν τα διανύσματα R v και R v ή αν δοθεί το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας R v και το διάνυσμα r v της σχετικής θέσης του Σ ως προς το Σ, λόγω των σχέσεων: v v m v R R r.5 m m v v m v R R r.6 m m v v v Από τις.4 και.5 προκύπτουν τα διανύσματα r ΚΣ R R και v v v r ΚΣ R R των σχετικών θέσεων των Σ και Σ ως προς το κέντρο μάζας, v m v v m v r r και r r..7 m m m m Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει r / r m / m, δηλαδή, το κέντρο μάζας του συστήματος είναι πλησιέστερα στο σώμα με τη μεγαλύτερη μάζα και τα rv και r v είναι συγγραμμικά. i

10 Αν F v είναι η δύναμη που εξασκεί το Σ στο Σ και F v η δύναμη που εξασκεί το Σ στο Σ έχουμε σύμφωνα με το τρίτο αξίωμα του Νεύτωνα, v v F F..8 Αν επί πλέον F v και F v είναι εξωτερικές δυνάμεις που εξασκούνται στα Σ και Σ, η κίνησή τους καθορίζεται από το δεύτερο αξίωμα του Νεύτωνα: mr & v v v F F.9 mr & v v v F F Θα βρούμε ένα ισοδύναμο σύστημα διαφορικών εξισώσεων για τα διανύσματα r v και R v. Για τον σκοπό αυτό προσθέτουμε κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις και με την βοήθεια του τύπου.3 για το κέντρο μάζας και της σχέσης.8, προκύπτει η διαφορική εξίσωση: ( m m ) R & v v F.0 v v v όπου F F F, η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων. Η εξίσωση αυτή δίνει την κίνηση του κέντρου μάζας του συστήματος των δύο σωμάτων. Από τα παραπάνω και σε συνδυασμό τον Νόμο της Παγκόσμιας Έλξης προκύπτει η εξίσωση της σχετικής κίνησης: v & r r v μ r 0. 3 με μ G ( m m ), η οποία δεν επιδέχεται αναλυτική λύση ως προς τον χρόνο. Με την βοήθεια των τριών ολοκληρωμάτων της κίνησης μπορούμε, επίσης να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα. Έτσι, χρησιμοποιώντας: N mim j. Το ολοκλήρωμα της ενέργειας (χωρίς τριβές): E mi vi G. i rij v. Το ολοκληρώματα της ορμής: P mr &v mr &v.3 v v v v v 3. Το ολοκλήρωμα της στροφορμής: L R xp R xp.4 όπου, στα ολοκληρώματα της ορμής και τις στροφορμής δεν δρουν εξωτερικές δυνάμεις, και περιγράφουν την κίνηση ως προς το κέντρο μάζας (μιας και το θεωρούμε κέντρο του συστήματος αναφοράς που χρησιμοποιούμε), προκύπτει προσεγγιστικά η σχέση.. 3

11 . Η μηχανική Hamilto. Lagrage Οι εξισώσεις που ισχύουν για οποιοδήποτε σύστημα στο οποίο υπάρχουν μόνο ολόνομοι δεσμοί, ονομάζονται εξισώσεις Lagrage και είναι εκφρασμένες ως προς τις γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος. Η λύση τους δίνει την κίνηση του συστήματος στον χώρο μορφής του. Ένα από τα σημαντικότερα πλεονεκτήματα των εξισώσεων αυτών είναι ότι σ αυτές δεν εμφανίζονται οι αντιδράσεις των δεσμών, οι οποίες είναι άγνωστες και έτσι απλουστεύεται η μελέτη του προβλήματος. Στα συστήματα που θα μελετήσουμε θεωρούμε ότι όλοι οι δεσμοί είναι ολόνομοι, δηλαδή, είναι περιρισμοί στην κίνηση, οι οποίοι εκφράζονται με την μορφή εξισώσεων που περιέχουν τις συντεταγμένες θέσεως των υλικών σημείων του συστήματος και τον χρόνο. Οι εξισώσεις Lagrage αποτελούν ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων δευτέρου βαθμού ως προς τις γενικευμένες συντεταγμένες q,...,qn, όπου είναι το πλήθος των βαθμών ελευθερίας του συστήματος., και είναι της μορφής: d T T Q j με ( j,..., ),. dt q & j q j με T N m i i υ την κινητική ενέργεια του συστήματος, i ενώ ισχύουν μόνο για την περίπτωση που οι δεσμοί είναι ολόνομοι, γιατί, μόνο σε αυτήν την περίπτωση οι δυνατές μετατοπίσεις του συστήματος εκφρασμένες συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων, δ qi, είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Στην περίπτωση που η δύναμη F που δρά στο σύστημα προέρχεται από δυναμικό, V V ( x, y, z, x,..., z ),. τότε κάνουμε χρήση της συνάρτησης Lagrage, που είναι συνάρτηση των γενικευμένων ταχυτήτων και του χρόνου, L L( q,..., q, q&,..., q&, t).3 L T V και οι εξισώσεις Lagrage παίρνουν τελικά την μορφή: d L L 0 με ( j,..., ).4 dt q& j q j Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση του Lagrage καθορίζει τις διαφορικές εξισώσεις της κίνησης και κατ επέκταση ορίζει το σύστημα.. Hamilto Πέρα από το σύστημα που ορίζεται από τις εξισώσεις Lagrage, μπορούμε να βρούμε ένα νέο σύστημα διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την κίνηση του συστήματος. Οι εξισώσεις αυτές είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης ως προς τις γενικευμένες μεταβλητές q i, i, όπου είναι το πλήθος των βαθμών ελευθερίας και ονομάζονται εξισώσεις Hamilto ή κανονικές εξισώσεις. Οι εξισώσεις αυτές είναι 4

12 ισοδύναμες με τις εξισώσεις Lagrage, αλλά παρουσιάζουν περισσότερα πλεονεκτήματα ως προς αυτές. Τις εξισώσεις του Hamilto μπορούμε να τις βρούμε ξεκινώντας από τις εξισώσεις του Lagrage, οι οποίες προκύπτουν από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα και την αρχή του D Alembert. Αποδεικνύεται όμως ότι οι η Μηχανική Hamilto μπορεί να θεμελιωθεί και ανεξάρτητα από την Μηχανική Lagrage, με την βοήθεια μίας αρχής μεταβολών, που ονομάζεται τροποποιημένη αρχή Hamilto (βλ. παράρτημα). Με βάση τα παραπάνω, ορίζουμε την συνάρτηση Hamilto: H H ( q j, j, t) q& i i L( q j, q& i ( j ), t).5 Διαφορίζοντας τις.5 α και.5 β και συγκρίνοντας τες, διαπιστώνουμε ότι το σύστημα των εξισώσεων Lagrage είναι ισοδύναμο με το σύστημα εξισώσεων πρώτης τάξης: H q& i i.6 H & i qi που ονομάζονται εξισώσεις του Hamilto. Επίσης ισχύει η σχέση: L H.7 t t Όταν η συνάρτηση του Hamilto δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο το σύστημα ονομάζεται αυτόνομο. Η κατάσταση ενός αυτόνομου συστήματος παριστάνεται κάθε χρονική στιγμή από ένα σημείο ενός χώρου διαστάσεων με συντεταγμένες q i, i, που ονομάζεται χώρος φάσεων, ενώ οι διαδοχικές καταστάσεις του συστήματος παριστάνονται από μία συνεχή καμπύλη του χώρου των φάσεων που ονομάζεται φασική καμπύλη ή φασική τροχιά. Όταν όμως το σύστημα δεν είναι αυτόνομο, δηλαδή ισχύει: H 0.8 t ο αντίστοιχος χώρος καταστάσεων είναι ο () διάστατος χώρος με συντεταγμένες ( q,, t) i i. α. Ολοκληρώματα της κίνησης Αποδεικνύεται ότι, στα αυτόνομα συστήματα, η ολική ενέργεια διατηρείται και είναι ίση με: H T V.9 Όταν η συνάρτηση Hamilto δεν εξαρτάται από κάποια γενικευμένη συντεταγμένη q k, δηλαδή ισχύει: H 0.0 q k η qk ονομάζεται αγνοήσιμη ή κυκλική συντεταγμένη, οι εξισώσεις του Hamilto για ik δίνουν: & k 0.. Συνεπώς, αν κάποια γενικευμένη συντεταγμένη είναι αγνοήσιμη, η συζυγής γενικευμένη ορμή είναι ολοκλήρωμα της κίνησης. 5

13 β. Αγκύλη Poisso Ορίζουμε ως αγκύλη Poisso δύο δυναμικών μεταβλητών Α και Β την παράσταση: A B A B [ A, B]. qi i i qi. Η αγκύλη Poisso είναι μία δυναμική μεταβλητή. Οι πιο σημαντικές ιδιότητες που ικανοποιεί είναι οι παρακάτω:. αντισυμμετρία: [ A, B] [ B, A].3. γραμμικότητα: [ λa μb, C] λ[ A, C] μ[ B, C] [ A, λb μc] λ[ A, B] μ[ A, C].4 για λ, μ σταθερές 3. ταυτότητα του Jacobi: [ A,[ B, C]] [ B,[ C, A]] [ C,[ A, B]] 0.5 c. Συμπλεκτικός φορμαλισμός της Μηχανικής Hamilto Παρατηρούμε ότι οι εξισώσεις Hamilto συστήματος βαθμών ελευθερίας μπορούν να γραφτούν υπό την μορφή: H q& i δ ij j και.6 H & i δ ij q ή υπό μορφή πινάκων: H q& 0 δ i ij q j.7 & δ i ij 0 H j Αν μετονομάσουμε τις συντεταγμένες του χώρου των φάσεων ως εξής: α η qα a για.8 α η a < α οι εξισώσεις.7 γράφονται: αβ H & ηα Ω.9 β η όπου, α, β, και Ω αβ είναι τα στοιχεία του x πίνακα 0 I Ω.0 I 0 όπου, 0 είναι ο μηδενικός και Ι ο μοναδιαίος πίνακας με στοιχεία 0 ij 0 και Ι ij δ ij (i, j, ) αντίστοιχα. Ο πίνακας Ω ονομάζεται πίνακας της συμπλεκτικής δομής και έχει τις παρακάτω ιδιότητες:. Ω Τ - Ω ή Ω αβ -Ω βα αντισυμμετρικός. Ω - -Ω j 6

14 3. Ω Τ Ω - ορθογώνιος 4. det Ω d. Η συμπλεκτική συνθήκη Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι κανονικός ο μετασχηματισμός ~ α ~ α β η η ( η, t). είναι οι συναρτήσεις στα δεξιά μέλη των παραπάνω να επαληθεύουν τις σχέσεις α αβ [ ~ η, ~ η β ] Ω.. Ας είναι: α α ~ η Μ β.3 β η το αβ-στοιχείο του Ιακωβιανού πίνακα του μετασχηματισμού.. Οι σχέσεις. γράφονται: α γδ β αβ Μ γ Ω Μ δ Ω.4 ή υπό μορφή πινάκων: ΜΩΜ Τ Ω..5 Η παραπάνω σχέση ονομάζεται συμπλεκτική συνθήκη και οι πίνακες που την επαληθεύουν ονομάζονται συμπλεκτικοί πίνακες. Συνεπώς, ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι κανονικός ένας μετασχηματισμός της μορφής., είναι ο Ιακωβιανός πίνακας των νέων μεταβλητών ως προς τις παλιές να είναι συμπλεκτικός πίνακας. e. Κριτήρια κανονικών μετασχηματισμών Αποδεικνύεται ότι οι σχέσεις: α αβ [ ~ η, ~ η β ] Ω.6 αποτελούν το πρώτο κριτήριο για το αν ένας ανεξάρτητος του χρόνου μετασχηματισμός της μορφής ~ α ~ α β η η ( η ).7 α α όπου η οι παλιές και ~ η οι νέες συντεταγμένες του χώρου των φάσεων, είναι κανονικός. Μπορεί να αποδειχθεί επίσης ότι το ίδιο κριτήριο ισχύει για εξαρτημένους του χρόνου μετασχηματισμούς της μορφής ~ α ~ α β η η ( η, t)..8 Το δεύτερο κριτήριο επιβάλλει σε έναν μετασχηματισμό, για να είναι κανονικός, να διατηρεί αναλλοίωτη την αγκύλη Poisso δύο δυναμικών μεταβλητών, δηλαδή: ~ ~ γδ A B ~ ~ [ A, B] η Ω [, ] ~ ~ γ δ η η ~ A B..9 η Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί και το αντίστροφο, δηλαδή, αν ένας μετασχηματισμός της μορφής.8 διατηρεί αναλλοίωτη την αγκύλη Poisso οποιονδήποτε δύο δυναμικών μεταβλητών, τότε είναι κανονικός. f. Κανονικοί μετασχηματισμοί Γενέτειρα συνάρτηση 7

15 Στην περίπτωση που κριθεί συμφέρουσα για την περιγραφή του συστήματος μια επιλογή νέων γενικευμένων συντεταγμένων Q i, (π.χ. αλλαγή Καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, σφαιρικές ή κυλινδρικές συντεταγμένες κτλ) τότε η μετάβαση από τις παλιές γενικευμένες συντεταγμένες q i στις καινούριες Q i γίνεται με την βοήθεια σχέσεων της μορφής Qi Qi ( q j, t).30 Οι συναρτήσεις στο δεξί μέλος της.30 πρέπει να είναι ανεξάρτητες, δηλαδή Qi det 0,.3 q j ώστε οι νέες γενικευμένες συντεταγμένες να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, συνεπώς οι σχέσεις.30 αντιστρέφονται σε σχέσεις της μορφής qi qi ( Q j, t)..3 Στην Μηχανική Hamilto, όπου οι γενικευμένες ορμές θεωρούνται ανεξάρτητες από τις γενικευμένες συντεταγμένες, είναι επιτρεπτή μία μεγαλύτερη κατηγορία μετασχηματισμών, που περιγράφονται από αντιστρέψιμες σχέσεις της μορφής Qi Qi ( q j, j, t)..33 Pi Pi ( q j, j, t) Οι σχέσεις αυτές είναι μετασχηματισμοί του χώρου των φάσεων του συστήματος. Σε αυτές, οι νέες γενικευμένες συντεταγμένες Q i δεν εξαρτώνται μόνο από τις q i, αλλά και από τις γενικευμένες ορμές i. Αν επιθυμούμε η κίνηση και στις νέες μεταβλητές να περιγράφεται από διαφορικές εξισώσεις της ίδιας μορφής με τις παλιές, θα πρέπει από το σύνολο των μετασχηματισμών της μορφής.33, να περιοριστούμε σε εκείνους μόνο που αφήνουν αναλλοίωτη τη μορφή αυτή. Οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων του χώρου των φάσεων της μορφής.33, για τους οποίους υπάρχει η συνάρτηση H ' H '( Qi, Pi, t), τέτοια ώστε οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης να μετασχηματίζονται στις εξισώσεις: H Q& ' i Pi.34 H P& ' i Qi ονομάζονται κανονικοί μετασχηματισμοί. Η συνάρτηση H ', που παίζει τον ρόλο της συνάρτησης Hamilto για τις νέες γενικευμένες συντεταγμένες και ορμές, ενδέχεται να μην είναι ακριβώς η H, εκφρασμένη ως συνάρτηση των Q i, P i. Ξεκινώντας από τη αρχή των μεταβολών, μπορούμε εύκολα να καταλήξουμε σε μία αυθαίρετη συνάρτηση G των συντεταγμένων του χώρου των φάσεων και του χρόνου, δηλαδή σε μία δυναμική μεταβλητή που μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει ανεξάρτητων μεταβλητών από τις 4 διαθέσιμες q i, i, Q i, P i. Για κάθε εκλογή της συνάρτησης G, μπορούμε να βρούμε μία συνάρτηση F, που συνδέεται με την G και ονομάζεται γενέτειρα συνάρτηση, και που μας οδηγεί στην κατασκευή ενός κανονικού μετασχηματισμού και κατ επέκταση μίας νέας συνάρτησης Hamilto μέσω της σχέσης: Fk H ' H και k, t 8

16 Αν η γενέτειρα συνάρτηση δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο, τότε, η νέα Χαμιλτονιανή θα ισούται αριθμητικά με την παλιά και ο μετασχηματισμός θα είναι ανεξάρτητος του χρόνου. Οι τέσσερις τύποι κατασκευής κανονικών μετασχηματισμών, που πρέπει να σημειώσουμε ότι δεν είναι οι μοναδικοί, φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Γενέτειρα συνάρτηση Μετασχηματισμός Συνθήκη F F( qi, Qi, t) F i F, Pi F det qi Qi q i Q j 0 F F ( qi, Pi, t) F i F, Qi F det qi Pi q i P j 0 F3 F3( qi, Qi, t) F qi 3 F 3, Pi F3 det i Qi i Q j 0 F4 F4 ( qi, Qi, t) F qi 4 F 4, Qi F4 det i Pi q i P j 0 g. Ευστάθεια σημείων ισορροπίας σε αυτόνομα Χαμιλτονιανά συστήματα Έστω ότι οι εξισώσεις του Hamilto.9 ενός συστήματος βαθμών ελευθερίας επιδέχονται την λύση: α η η α β cost.36 Οι σχέσεις με την παραπάνω μορφή προσδιορίζουν ένα σημείο του χώρου των φάσεων που ονομάζεται σημείο ισορροπίας και είναι ιδιάζον σημείο του διανυσματικού πεδίου Hamilto εφόσον, α β αβ H & η & α η a 0 H ( η0 ) Ω 0.37 β η 0 όπου, o δείκτης 0 δηλώνει ότι η αντίστοιχη παράσταση υπολογίζεται στο σημείο α ισορροπίας η 0. Από την.37 βλέπουμε ότι, αφού ο πίνακας Ω είναι ομαλός πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: H 0.38 β η συνεπώς, τα σημεία ισορροπίας Χαμιλτονιανού συστήματος μπορούν να βρεθούν επιλύοντας ως προς η α το αλγεβρικό σύστημα των εξισώσεων.38. Θεωρούμε μία κίνηση του συστήματος στη γειτονιά του σημείου ισορροπίας: α α α η ( t) η0 ξ ( t).39 α όπου οι διαταραχές ξ υποθέτουμε ότι είναι μικρές, τουλάχιστον για μικρά χρονικά διαστήματα. Η διαταραγμένη κίνηση.39 επαληθεύει τις εξισώσεις.9. Αν αντικαταστήσουμε τις.39 και αναπτύξουμε τις.9 γύρω από το σημείο ισορροπίας, παραλείποντας όρους ου και ανώτερου βαθμού ως προς τις διαταραχές, παίρνουμε το γραμμικό σύστημα: & α αβ H γ ξ Ω ξ β γ η η.40 0 Οι.40 ονομάζονται εξισώσεις μεταβολών γύρω από το σημείο ισορροπίας και μπορούν να γραφούν υπό την μορφή: 9

17 ξ Αξ..4 Ο πίνακας Α είναι Χαμιλτονιανός και ίσος με: AΩS.4 όπου, Ω είναι ο πίνακας της συμπλεκτικής δομής και S είναι ο συμμετρικός πίνακας με στοιχεία: H S a β..43 α β η η H Επειδή οι ποσότητες είναι υπολογισμένες στο σημείο ισορροπίας.36 ο η α η β 0 πίνακας S και συνεπώς ο Α, είναι σταθεροί πίνακες. Το σημείο ισορροπίας είναι γραμμικά ευσταθές αν και μόνο αν όλες οι λύσεις των εξισώσεων μεταβολών είναι περατωμένες. Ο πίνακας Ζ(t)ex(At).44 είναι θεμελιώδης πίνακας λύσεων των.40, για τον οποίο ισχύει Ζ(0)Ι.45 και κάθε λύση των εξισώσεων μεταβολών δίνεται από την σχέση: ξ(t)z(t)ξ(t)..46 Συνεπώς το σημείο ισορροπίας.36 είναι γραμμικά ευσταθές αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α έχουν πραγματικό μέρος αρνητικό ή μηδέν. Από το είδος των ιδιοτιμών μ του Χαμιλτονιανού πίνακα Α προκύπτει και το είδος των σημείων ισορροπίας. Η χαρακτηριστική εξίσωση του Α είναι det A-μI Αλλά, λόγω της.4 έχουμε: det A-μI det AμI..48 Αν λοιπόν η μ είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α και η μ θα είναι επίσης ιδιοτιμή, δηλαδή, οι Χαμιλτονιανοί πίνακες έχουν ιδιοτιμές ανά ζεύγη αντίθετες. Αν μια ιδιοτιμή έχει πραγματικό μέρος αρνητικό, θα υπάρχει η αντίθετή της με πραγματικό μέρος θετικό. Άρα, δεν είναι δυνατό στα Χαμιλτονιανά συστήματα να έχουμε ασυμπτωτικά ευσταθή (ή ασταθή) σημεία ισορροπίας. Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι το.36 σημείο ισορροπίας γραμμικά ευσταθές είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α να έχουν όλες πραγματικό μέρος ίσο με το μηδέν. Τότε το αντίστοιχο σημείο ισορροπίας είναι κεντρικό σημείο. Αφού ο πίνακας Α είναι πραγματικός, κάθε μιγαδική ιδιοτιμή του πίνακα Α μ a iβ.49 οφείλει να συνοδεύεται από άλλες τρεις, τις: μ a iβ μ a iβ Η ύπαρξη μιας τέτοιας τετράδας ιδοτιμών ονομάζεται μιγαδική αστάθεια. Στα συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας, ο πίνακας Α έχει δύο μόνο ιδιοτιμές, συνεπώς δεν είναι δυνατό να έχουμε μιγαδική αστάθεια. Σε τέτοια συστήματα, αν εξαιρέσουμε την περίπτωση μηδενικών ιδιοτιμών, είναι δυνατές μόνο οι παρακάτω περιπτώσεις μ iα μ μ iα και.5 μ α μ μ α 0 μ a iβ

18 όπου α πραγματικός αριθμός. Στην πρώτη περίπτωση το σημείο ισορροπίας είναι ένα ευσταθές κεντρικό σημείο και ονομάζεται ελλειπτικό σημείο, ενώ στη δεύτερη περίπτωση είναι ασταθές και ονομάζεται υπερβολικό σημείο. 3. Η συνάρτηση διαταραχής Η συνάρτηση Hamilto που περιγράφει την σχετική κίνηση δύο σωμάτων στο αδιατάρακτο πρόβλημα των δύο σωμάτων, εκφρασμένη σε μεταβλητές δράσης γωνίας και ως προς ηλιοκεντρικό σύστημα αναφοράς είναι: υ GM su H keler 3. r και σε αυτήν την περίπτωση, που το πρόβλημα είναι ολοκληρώσιμο, η τιμή της ταυτίζεται με το ολοκλήρωμα της ενέργειας. Παρελκτική συνάρτηση Αν θέλουμε να μελετήσουμε την κίνηση ενός τρίτου σώματος κάτω από την βαρυτική επίδραση δύο άλλων σωμάτων, τότε το πρόβλημα γίνεται μη ολοκληρώσιμο. Αν αναλύσουμε τις επιταχύνσεις που δρουν πάνω στα σώματα και αν η κίνησή τους κυβερνάται από ένα κεντρικό, πρωτεύον, σώμα, τότε οι τροχιές των δύο μικρότερων σωμάτων μοιάζουν με κωνικές τομές με μικρές όμως αποκλίσεις λόγω αμοιβαίων βαρυτικών διαταραχών. Οι αποκλίσεις αυτές μπορούν να υπολογιστούν και εισάγονται στην παραπάνω Χαμιλτονιανή με την μορφή της συνάρτησης διαταραχής. Αυτό που συμβαίνει, στην περίπτωση που μελετάμε, είναι ότι το τρίτο σώμα προσθέτει στο σύστημα επιπλέον όρους επιτάχυνσης (λόγω αμοιβαίων βαρυτικών διαταραχών ανάμεσα σε αυτό και το σώμα που περιφέρεται γύρω από την πρωτεύουσα μάζα). Αυτές οι επιπρόσθετες επιταχύνσεις των δευτερευόντων σωμάτων σε σχέση με το πρωτεύον, μπορούν να προκύψουν από την κλίση του δυναμικού διαταραχής, ή όπως ονομάζεται, της συνάρτησης διαταραχής. Ας θεωρήσουμε ότι οι δύο δευτερεύουσες σημειακές μάζες είναι οι m και m και έχουν διανύσματα θέσης r και r, αντίστοιχα, σε σχέση με το κέντρο μάζας, και ότι πάντοτε θα ισχύει r < r'. Με βάση αυτά, η συνάρτηση διαταραχής, ή αλλιώς, παρελκτική συνάρτηση, εύκολα προκύπτει ίση με: v v r r' R Gm' v v 3 3. r ' r r Όπου, ο κυρίαρχος (πρώτος) όρος ονομάζεται άμεσος όρος, ενώ ο δεύτερος που προέρχεται (και κατά συνέπεια εξαρτάται) από την επιλογή της αρχής του συστήματος συντεταγμένων καλείται έμμεσος όρος. Αν επιλέγαμε να χρησιμοποιήσουμε το κέντρο μάζας του συστήματος, ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων, τότε δεν θα εμφανιζόταν ο έμμεσος όρος. Έτσι, η νέα Χαμιλτονιανή είναι ίση με: v v υ GM su r r ' H Gm' v v H keler R r r r' r' Παρόμοιες είναι και οι εξισώσεις που προκύπτουν για το εξωτερικό δευτερεύον σώμα:

19 και H υ GM r v v r r ' ' Gm v v 3.4 r r' r R 3 Gm v v r ' r v v r r ' 3 H r su keler R'. 3.5 Ανάπτυγμα με την χρήση Πολυωνύμων Legedre Επειδή στην μελέτη μας, η Χαμιλτονιανή είναι εκφρασμένη ως προς τα στοιχεία της τροχιάς και όχι ως προς τις καρτεσιανές συντεταγμένες (π.χ. διανύσματα θέσης (r v, r v '), θα πρέπει να εκφράσουμε και την συνάρτηση διαταραχής ως προς αυτά. Ο καλύτερος τρόπος για να γίνει αυτό σωστά είναι με την βοήθεια των πολυωνύμων Legedre. Θεωρούμε την διάταξη που παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα όπου r v, r v ' είναι τα διανύσματα θέσης των m και m, αντίστοιχα. Έστω ψ η γωνία που σχηματίζεται από τα διανύσματα θέσης. Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε: r v ' r v r r' rr'cosψ 3.6 που ισοδυναμεί με την r r v v cosψ 3.7 r ' r r' r' r' Η τελευταία μπορεί να αναπτυχθεί σε πολυώνυμα Legedre, ώστε: r v v Pl (cosψ ) 3.8 r ' r r' l 0 r' όπου P 0 (cosψ ), P (cosψ ) cosψ, P (cosψ ) (3cos ψ ) κοκ. Επειδή vv r r ' rr'cosψ rr' P (cosψ ), η συνάρτηση διαταραχής για το εσωτερικό δευτερεύον σώμα μπορεί να γραφτεί: μ' R r' l l r r' l P (cosψ ) όπου μ ' Gm'. 3.9

20 όπου ο όρος P (cos ) παραλείπεται γιατί δεν εξαρτάται από το r, και εδώ ενδιαφερόμαστε μόνο για την κλίση της R ως προς τις συντεταγμένες του εσωτερικού δευτερεύοντος σώματος. Εύκολα, προκύπτει ότι το ανάπτυγμα της R ως προς τα στοιχεία της τροχιάς ( α, e, i, ϖ, Ω, λ) για το σώμα m είναι της μορφής: 0 ψ R μ' S ( α, α', e, e', i, i' ) cosφ. 3.0 Εδώ το φ είναι ο επιτρεπτός γραμμικός συνδυασμός με γενική μορφή: φ j λ' jλ j3ϖ ' j4ϖ j5ω ' j6ω 3. όπου τα j i ( i,..,6) είναι ακέραιοι και επειδή όλες οι γωνίες στο όρισμα του συνημιτόνου είναι μήκη, ισχύουν οι κανόνες του D Alembert: 6 ji 0 i 3. j5 j6 ρ όπου ρ ακέραιος. Η ιδιότητα αυτή προκύπτει από την αζιμουθιακή σταθερότητα του πρωτεύοντος σώματος. Γνωρίζοντας την ακριβή μορφή της συνάρτησης S και τους επιτρεπτούς συνδυασμούς των γωνιών φ, μπορούμε να διακρίνουμε εκείνους τους όρους που συμβάλλουν τα μέγιστα στις εξισώσεις κίνησης και αντιστρόφως, εκείνους που μπορούν να παραληφθούν. Το πρόβλημ απλοποιείται περαιτέρω αν θεωρήσουμε ότι οι τροχιές των δύο μαζών είναι συνεπίπεδες και αν αγνοήσουμε τους όρους που προκύπτουν από την κλίση του επιπέδου. Έτσι, η γωνία ψ θα ισούται με την διαφορά των αληθών μηκών, ψ ( f ' ϖ ') ( f ϖ ) 3.3 όπου f, f ' συμβολίζουν τις αληθείς ανωμαλίες των m, m' αντίστοιχα. Έπειτα από τριγωνομετρικούς υπολογισμούς για το cosψ και ανάπτυγμα των όρων του με την βοήθεια πολυωνύμων Legedre, καταλήγουμε σε μία πολύπλοκη σχέση, από την οποία μας ενδιαφέρει και απομονώνουμε μόνο το ακτινικά εξαρτώμενο μέρος, το οποίο ενσωματώνουμε στην συνάρτηση διαταραχής, οπότε αυτή γίνεται: l l μ' ' α (cosψ ) ' l a r R P 3.4 a l r' a όπου a α a' < 3.5 είναι ο λόγος των μεγάλων ημιαξόνων των μαζών m,m'. Ανάπτυγμα ως προς τα στοιχεία της τροχιάς Λόγω της πολυπλοκότητας του αναπτύγματος σε σειρά, είναι συνήθης ο διαχωρισμός των άμεσων και των έμμεσων μερών της συνάρτησης διαταραχής. Με βάση τον ορισμό της μπορούμε να γράψουμε: μ' μ' R R D αr E a' a' 3.6 μ' μ' R ' R D R I a' a' α και 3

21 όπου R R R E I D a' v v r ' r r a a' r' r' a a' r cosψ cosψ Στις σχέσεις αυτές η R D προέρχεται από το άμεσο μέρος της συνάρτησης διαταραχής, η R E από το έμμεσο μέρος εξαιτίας μιας εσωτερικής διαταραχής και η R I από το έμμεσο μέρος εξαιτίας μιας εξωτερικής διαταραχής. Από τις παραπάνω σχέσεις είναι προφανές ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα ανάπτυγμα της R D για να πάρουμε το άμεσο μέρος της R, ή της R. Ξεκινώντας από την σχέση R D [ r r' rr'cosψ ] Δ a' 3.9 μετά από μετατροπές των κατρτεσιανών συντεταγμένων σε στοιχεία της τροχιάς (μέσω των ανάλογων μετασχηματισμών) και με την βοήθεια των αναπτυγμάτων Legedre που αναφέραμε παραπάνω, των αναπτυγμάτων σε σειρά Taylor κάποιον ( ) στοιχείων και των συντελεστών Lalace b j s ( a), που είναι έμμεσες συναρτήσεις του α, όπου s i / καταλήγουμε σε μία σχέση για το άμεσο μέρος της συνάρτησης διαταραχής που εξαρτάται από τα στοιχεία της τροχιάς και είναι της μορφής ι i i ( )! ' ' l i r r a a l k lk R D ε ε ',,, cos ( θ θ ') Ψ x Ai j k lk j 3.0 i 0 ( i!) a a' j l 0 l! k 0 k όπου r r' ε, ε ' a a' Ψ cosψ cos( θ θ '). 3. m (i ) j m (i ) j A i, j, m, Dm, a' b ( α) a a a' b ( α) i m i a a Το ανάπτυγμα των έμμεσων μερών είναι πιο απλό και γίνεται με την βοήθεια των σειρών που λαμβάνουμε για το cosψ και σε αυτά δεν εμπλέκονται οι συντελεστές Lalace. Η χρήση της συνάρτησης διαταραχής Τα πλήρη αναπτύγματα των R D, R E, R I περιέχουν έναν άπειρο αριθμό ορισμάτων των συνημιτόνων. Στην πράξη όμως, ενδιαφερόμαστε για συγκεκριμένα ορίσματα συνημιτόνων και μπορούμε να αγνοήσουμε όλα τα υπόλοιπα. Για να το κάνουμε αυτό βασιζόμαστε στην αρχή του averagig κατά την οποία υποθέτουμε ότι όλοι οι ασήμαντοι όροι θα αντιστοιχούν σε πολύ μικρή περίοδο και συνεπώς, η επίδρασή τους θα είναι μηδενική σε σχέση με την κίνηση μεγαλύτερης περιόδου. Έτσι μας επιτρέπεται να απομονώσουμε όρους στην συνάρτηση διαταραχής που είναι κατάλληλοι για ένα συγκεκριμένο πρόβλημα και να αγνοήσουμε τους υπόλοιπους. 4

22 Προχωρούμε έτσι από την θεώρηση μίας σειράς άπειρων όρων της πλήρους συνάρτησης διαταραχής R, σε μία πεπερασμένη σειρά της averaged συνάρτησης διαταραχής, <R >. Τα ορίσματα της συνάρτησης διαταραχής Ουσιαστικά, εδώ θα δούμε την φυσική σημασία του αναπτύγματος της συνάρτησης διαταραχής. Μέχρι στιγμής, έχουμε εκφράσει το δυναμικό της διαταραχής ως μία σειρά που περιέχει έναν άπειρο αριθμό επιτρεπτών συνδυασμών γωνιών. Πρέπει όμως να ξέρουμε ποιες γωνίες είναι σημαντικές για το εκάστοτε πρόβλημα, ή ποιοι από τους άπειρους όρους στο ανάπτυγμα είναι σημαντικοί και ποιοι μπορούν να αγνοηθούν. Η γνώση μας πάνω σε αυτό εξαρτάται, κατά κύριο λόγο, από τον μεγάλο ημιάξονα της τροχιάς που διαταράσσεται. Έτσι, μπορούμε να κατατάξουμε όλα τα ορίσματα εξετάζοντας τις συχνότητες ή τις περιόδους που συνδέονται με τα ορίσματα των συνημιτόνων στο ανάπτυγμα. Κάθε όρισμα συνημιτόνου περιέχει έναν γραμμικό συνδυασμό των γωνιών λ, λ', ϖ, ϖ ', Ω, Ω'. Γνωρίζουμε ότι στο αδιατάρακτο πρόβλημα τα μήκη αυξάνουν γραμμικά με ρυθμούς και αντίστοιχα. Αντιθέτως, όλες οι άλλες γωνίες υφίστανται πολύ αργές μεταβολές. Έτσι, όταν εξετάζουμε το διαταραγμένο σύστημα τα λ και λ είναι οι ποσότητες που μεταβάλλονται γρήγορα, ενώ όλες οι άλλες ποσότητες υπόκεινται σε αργές μεταβολές. Συνεπώς, όσα έγκυρα ορίσματα δεν περιέχουν τα λ και λ μεταβάλλονται αργά. Τα ορίσματα αυτά είναι η αιτία εμφάνισης χαρακτηριστικών ή μεγάλης περιόδου όρων (secular terms). Αυτό δεν σημαίνει αυτομάτως ότι όλοι οι υπόλοιποι όροι είναι μικρής περιόδου. Αν θεωρήσουμε ένα όρισμα της μορφής 3. με λ ' ' t ε ' και λ t ε 3. όπου τα οι γωνίες ε και ε αντιστοιχούν στο μέσο εποχικό μήκος (δηλαδή, το μέσο μήκος της μάζας m από τη στιγμή (σημείο) που αρχίζει η μέτρηση του χρόνο). τότε j λ ' jλ ( j' j) t cost και έτσι, αν οι μεγάλοι ημιάξονες είναι τέτοιο ώστε j ' j 0, 3.3 το όρισμα αυτό θα έχει επίσης μεγαλύτερη περίοδο από κάθε άλλη τροχιά. Η παραπάνω εξίσωση ικανοποιείται μόνο αν υπάρχει ισομετρία ανάμεσα στις δύο μέσες κινήσεις των περιόδων των τροχιών. Οι όροι αυτοί οδηγούν στην εμφάνιση των όρων συντονισμού (resoat terms) στο ανάπτυγμα, για τους οποίους ισχύει, κατ αναλογία με την 3.3 και αν λάβουμε υπ όψη μας τους μεγάλους ημιάξονες των τροχιών, η συνθήκη: ( j / j ) 3 ' a. 3.4 a Εξαιτίας της εξάρτησης από τους μεγάλους ημιάξονες, οι όροι αυτοί έχουν τοπικό χαρακτήρα. Ενώ ένας συγκεκριμένος συνδυασμός γωνιών μπορεί να μεταβάλλεται αργά σε μία συγκεκριμένη τιμή του μεγάλου ημιάξονα του διαταραγμένου σώματος, ο ίδιος συνδυασμός μπορεί να μεταβάλλεται γρήγορα σε έναν άλλο ημιάξονα. Σε αντίθεση με τους όρους αυτούς, οι όροι μεγάλης περιόδου μπορεί να θεωρηθεί ότι έχουν καθολικό χαρακτήρα. Όποιο όρισμα δεν ανήκει σε καμία από τις παραπάνω κατηγορίες θεωρείται η αιτία για τους όρους μικρής περιόδου. Στην πράξη, η εφαρμογή της αρχής του averagig στην συνάρτηση διαταραχής μας επιτρέπει να αγνοήσουμε τον άπειρο αριθμό των όρων μικρής περιόδου του αναπτύγματος και να δεχτούμε τοι η 5

23 δυναμική του συστήματος διακατέχεται από όρους μεγάλης περιόδου και από όρους συντονισμού. 4. Αιώνιοι συντονισμοί (SRs) και συντονισμοί μέσης κίνησης (MMRs) Οι αστεροειδείς μπορούν να εμφανίσουν χαοτική κίνηση σαν αποτέλεσμα συντονισμένων διαταραχών που προκαλούνται από τους μεγαλύτερους πλανήτες. Οι αιώνιοι συντονισμοί (SRs) συμβαίνουν όταν μία από τις συχνότητες μετάπτωσης ενός αστεροειδούς (σε σχέση με τα ϖ και Ω) γίνεται ίση με έναν γραμμικό συνδυασμό των ιδίων συχνοτήτων της κίνησης ( gi, si, i,..., N, N o αριθμός των πλανητών) του πλανητικού συστήματος, με ανάλογους συντελεστές. Το εύρος της δύναμης των εξαναγκασμένων όρων μειώνεται καθώς ο βαθμός των συντελεστών του γραμμικού συνδυασμού αυξάνει κάτι που ταυτίζεται με την αύξηση της τάξης του συντονισμού. Έτσι, οι ισχυρότεροι συντονισμοί είναι οι πρώτης τάξης συντονισμοί για τους οποίους ισχύει ϖ& k g k, Ω & k sk. Από την άλλη οι συντονισμοί μέσης κίνησης (MMRs), λαμβάνουν χώρα όταν η μέση κίνηση ενός αστεροειδούς γίνεται ίση με έναν γραμμικό συνδυασμό των μέσων κινήσεων των πλανητών που προκαλούν την διαταραχή, με ανάλογους συντελεστές. Οι κύριοι MMRs ενός αστεροειδούς είναι χαμηλής τάξης σε σχέση με τον Δία, που είναι και η ισχυρότερη πηγή διαταραχών. Τόσο οι SRs όσο και οι MMRs χαμηλής τάξης είναι γνωστό ότι προκαλούν ταχεία χαοτική μετακίνηση των τροχιών των αστεροειδών σε χρονική κλίμακα εκατομμυρίων ετών. Η εξέλιξη των τροχιών χαρακτηρίζεται από μεγάλου εύρους μεταβολές στην εκκεντρότητα, οι οποίες μπορούν να θέσουν έναν αστεροειδή σε τροχιά που να τέμνει αυτές των πλανητών. Έτσι, δεν μας εκπλήσσει το γεγονός ότι η χαμηλής τάξης συντονισμοί σχετίζονται με τα όρια και με τα περίφημα διάκενα Kirkwood της κατανομής των αστεροειδών στην κύρια ζώνη. Πέρα από αυτούς τους συντονισμούς που σχεδόν δεν φιλοξενούν αστεροειδείς, υπάρχει ένα άπειρο πλήθος MMRs που διαπερνούν την κύρια ζώνη αστεροειδών. Ένας μεγάλος αριθμός αστεροειδών κινείται μέσα (ή πολύ κοντά) σε μεσαίας ή υψηλής τάξης MMRs με τον Δία, καθώς και μέσα στους MMRs τριών σωμάτων της μορφής: q J r S / M 0 όπου J η μέση κίνηση του Δία, S / M η μέση κίνηση του Κρόνου/ Άρη και, q, r ακέραιοι. Πρέπει να σημειωθεί ότι κάθε ένας από αυτούς τους συντονισμούς είναι στην πραγματικότητα ένα multilet από σχεδόν συντονισμένες αρμονικές, που βρίσκονται πολύ κοντά στην μέση κίνηση (και συνεπώς στον μεγάλο ημιάξονα). Αυτή είναι μία άμεση συνέπεια του γεγονότος ότι το πρόβλημα του Keler είναι εκφυλισμένο. Έτσι, ακόμα και αν διαφορετικοί MMRs βρίσκονται πολύ μακριά (ο ένας από τον άλλο) μπορεί να υπάρξει αλληλεπικάλυψη συντονισμών (δηλαδή χάος) μέσα σε ένα multilet ΜΜR. Η συνύπαρξη των αιώνιων και των συντονισμών μέσης κίνησης στην ζώνη αστεροειδών, οδηγεί σε έναν ιδιαίτερο διαχωρισμό του χώρου των φάσεων, τέτοιο ώστε οι χαμηλής εκκεντρότητας περιοχές να συνδέονται με αυτές υψηλής εκκεντρότητας μέσω ομοκλινικών τροχιών. Αυτή η διαταραγμένη διαχείριση της κίνησης στον συντονισμό μέσης κίνησης 3:, σύμφωνα με την προσέγγιση του Wisdom, προκύπτει ότι πρόκειται για έναν πολύ αποτελεσματικό μηχανισμό που 6

24 προκαλεί χάος και οδηγεί σε μεγάλα άλματα της εκκεντρότητας. Στην πραγματικότητα, σύμφωνα με αποτελέσματα αριθμητικών μελετών, αυτός είναι ο κυρίαρχος μηχανισμός, όσον αφορά την ταχεία χαοτική μετακίνηση στους χαμηλής τάξης MMRs. Αντίθετα, οι SRs δεν εμφανίζονται σε περιοχές μικρής εκκεντρότητας των μεσαίας/ υψηλής τάξης MMRs. Σαν συνέπεια, οι αστεροειδείς που βρίσκονται σε MMRs υψηλής τάξης δεν υποβάλλονται σε μεγάλες μεταβολές στην εκκεντρότητα (ή 8 στην κλίση i), σε χρονικές κλίμακες τάξης 0 yrs. Μπορεί να αποδειχθεί ότι οι μεσαίας/ υψηλής τάξης MMRs σχετίζονται με την χαοτική κίνηση. Ποιο σημαντικό είναι το γεγονός ότι οι αριθμητικές προσομοιώσεις δείχνουν πως αυτό το δίκτυο των MMRs παράγει μία βραδεία και μακροσκοπική μεταβολή στα ελεύθερα στοιχεία της τροχιάς των αστεροειδών. Το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό ως χαοτική κίνηση. 5. Διαταραγμένες τροχιές Είδαμε παραπάνω, ότι τα στοιχεία της τροχιάς είναι σταθερά και μονοσήμαντα ορισμένα από την εκάστοτε θέση και ταχύτητα του σώματος που εκτελεί την τροχιά αυτή. Όμως, αν ασκηθεί κάποια εξωτερική δύναμη στο σώμα, η τροχιά που θα ακολουθήσει δεν θα παραμείνει κλειστή (περιοδική) και θα μεταβληθεί το ελλειπτικό σχήμα της. Αυτό έχει ως συνέπεια, την αναίρεση των σταθερών τιμών των α και e στο πρόβλημα. Παρόλα αυτά, για δεδομένο χρόνο t 0 τα διανύσματα της στιγμιαίας ταχύτητας και θέσης του σώματος, μπορούν να ορίσουν ένα νέο σετ στοιχείων, της τροχιάς που θα ακολουθούσε το σώμα αν εκείνη την στιγμή έπαυε η δράση της δύναμης (το σώμα θα συνέχιζε την κίνηση πάνω στην εφαπτόμενη στιγμιαία έλλειψη της αρχικής τροχιάς). Για την κατανόηση του φαινομένου θα ακολουθήσουμε την μέθοδο Gauss. Αρχικά θεωρούμε μία διαταρακτική δύναμη v γ ρ (επιτάχυνση). Έπειτα, επιλέγουμε ένα σύστημα αναφοράς τέτοιο ώστε: το διάνυσμα, R v, να είναι η προέκταση της στιγμιαίας ακτίνας, το δεύτερο διάνυσμα, S v, να εφάπτεται στην τροχιά και το τρίτο διάνυσμα, v ω, να είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από τα δύο προηγούμενα. Έτσι, η δύναμη μπορεί να αναλυθεί σε τρεις συνιστώσες : v v v v γ ρ γ R R γ ss γ ωω. 5. Με την βοήθεια της κινητικής ενέργειας που έχει το σώμα την δεδομένη στιγμή, μπορούμε να υπολογίσουμε τον ρυθμό μεταβολής της ειδικής μηχανικής ενέργειας, ο οποίος προκύπτει ίσος με: dc dt v v γ ρ υ 5. 7

25 Στην αδιατάρακτη περίπτωση, από την σχέση που μας δίνει την ειδική μηχανική ενέργεια προκύπτει ότι: da a dc. 5.3 dt μ dt Από την σχέση για την ειδική στροφορμή προκύπτει: a r' esi f a και rf ' ( ecos f ) 5.4 e e οπότε από τις 5., 5.3, 5.4 έχουμε, εκφρασμένη σε στοιχεία τις τροχιάς: da dt μ 3 v a ( ) [ Resi f S ( e cos f )] e Από την σχέση αυτή που αντιστοιχεί στον ρυθμό μεταβολής του μεγάλου ημιάξονα της τροχιάς, παρατηρούμε ότι μόνο οι δυνάμεις που δρουν στο επίπεδο της τροχιάς μπορούν να μεταβάλλουν το α. Αποδεικνύεται πως και στην περίπτωση της εκκεντρότητας μόνο δυνάμεις που δρουν στο επίπεδο της τροχιάς μπορούν να αλλάξουν την τιμή της. Εδώ, πρέπει να σημειώσουμε ότι η βαρυτική δύναμη δεν επιδρά στην διαταραχή, και αυτό γιατί η ροπή της είναι μηδενική). v 5.5 Φαινόμενο Yarkovsky Πέρα από τις βαρυτικές διαταραχές, οι μικροί αστεροειδείς (με διάμετρο μικρότερη των 0km περίπου) υπόκεινται και σε μία άλλη, μη συντηρητική δύναμη θερμικής φύσεως, γνωστή ως φαινόμενο Yarkovsky. Το φαινόμενο αυτό αναφέρεται σε μία δύναμη ανάκρουσης που δρα στους περιστρεφόμενους αστεροειδείς. Το φάσμα της υπέρυθρης ακτινοβολίας που λαμβάνουμε από ένα σώμα σχετίζεται με την κατανομή των θερμοκρασιών στο τμήμα της επιφάνειάς του που είναι ορατό από τον παρατηρητή. Οι παράγοντες από τους οποίος εξαρτάται η κατανομή αυτή είναι για την επιφάνεια ενός αστεροειδούς είναι, η απόστασή του από τον Ήλιο, η λευκαύγεια, η κλίση του διανύσματος τις ιδιοστροφορμής (si), ο ρυθμός περιστροφής και ένα πλήθος θερμικών ιδιοτήτων του υλικού που συνιστά τον αστεροειδή, όπως η θερμική αδράνεια. Επειδή οι αστεροειδείς δεν είναι ιδανικά σώματα, η θερμική τους αδράνεια είναι μη μηδενική.. Έτσι, η κατανομή των θερμοκρασιών στην επιφάνειά του παύει να είναι συμμετρική σε σχέση με την διεύθυνση του Ήλιου. Αυτό σημαίνει η ορμή που έχουν/ απάγουν τα φωτόνια (της θερμικής ακτινοβολίας) που εκπέμπονται στο υπέρυθρο έχει μία συνιστώσα εφαπτομενικό του διανύσματος της τροχιακής ταχύτητας του σώματος. Αυτό προκαλεί την μείωση ή την αύξηση της τροχιακής ενέργειας του αστεροειδούς, κάτι που εξαρτάται από τον προσανατολισμό του διανύσματος του si σε σχέση με αυτό των εκπεμπόμενων φωτονίων. Ή, πιο απλα, ένας αστεροειδής απορροφά κατά την ακτινική συνιστώσα την θερμική ακτινοβολία από τον Ήλιο. Ομως, επειδή η θερμική τους αγωγιμότητα της επιφάνειας τους δεν είναι άπιερη, η επανεκπομπή της 8

26 ακτινοβολίας γίνεται μετα από ορισμένο χρονικό διάστημα. Εντός του διαστήματος αυτού, ο αστεροειδής έχει ήδη περιστραφει κατά μία γωνία ω, οπότε, την στιγμή που επανεκπέμπεται η ακτινοβολία εμφανίζεται και μία εφαπτομένική συνιστώσα η οποία είναι ικανη να μεταβάλλει την τιμή του μεγάλου ημιάξονα της τροχιάς ενός αστεροειδούς. Αυτό είναι γνωστό ως φαινόμενο Yarkovksy και, για μέσες τιμές των o θερμικών παραμέτρων και ε 0 προκαλεί μία πολύ αργή μεταβολή του μεγάλου ημιάξονα των τροχιών των αστεροειδών σε μία χρονική κλίμακα της τάξης 0 4 AU/Myr για έναν αστεροειδή της κύριας ζώνης σε απόσταση.5 AU από τον Ήλιο. Το φαινόμενο Yarkovsky είναι υπεύθυνο για την αργή αλλά συνεχή μετακίνηση των μικρών αστεροειδών και μετεωροειδών από την ζώνη της δημιουργίας τους σε χαοτικές περιοχές εντός των συντονισμών που μπορούν να τους μεταφέρουν σε παραγήινες τροχιές. Συνοπτικά, έχουμε απορρόφηση και επανεκπομπή της ηλιακής ακτινοβολίας από τους αστεροειδείς προς διαφορετικές διευθύνσεις. Το εφαπτομενικό κομμάτι της δύναμης αυτής οδηγεί στην ακτινική μετανάστευση και κατ επέκταση αιώνιες μεταβολές στον μεγάλο ημιάξονα. Ο συνδυασμός της χαοτικής διάχυσης και της ακτινικής μετανάστευσης οδηγούν σε πολύ περίπλοκη κίνηση για τους μικρούς αστεροειδείς, εφόσον μπορούν να διαπεράσουν πολλούς MMRs υψηλής τάξης κατά την κίνησή τους εντός της ζώνης αστεροειδών. Ο συνδυασμός αυτός μπορεί να εξηγήσει την ύπαρξη συγκεκριμένων συντονισμών ομάδων αστεροειδών, που αποτελούνται από αστεροειδείς σε πολύ ασταθείς τροχιές. 6. Συμπλεκτική απεικόνιση Για να περιγράψουμε την κίνηση των αστεροειδών κοντά στον συντονισμό μέσης κίνησης 3: με τον Δία είναι θεμιτό να κατασκευάσουμε ένα μοντέλο απεικόνισης. Προσπαθούμε η τοπολογία του χώρου των φάσεων αυτής της απεικόνισης να είναι όσο το δυνατόν ρεαλιστική, ώστε να περιγράφει σωστά το πραγματικό σύστημα που είναι το περιορισμένο ελλειπτικό πρόβλημα τριών σωμάτων, με τον Ήλιο και τον Δία σαν πρωτεύοντα σώματα. Πρόκειται για ένα μη ολοκληρώσιμο δυναμικό σύστημα δύο βαθμών ελευθερίας (για την επίπεδη κίνηση), που εξαρτάται περιοδικά από τον χρόνο, και μπορούμε να πούμε ότι μοιάζει κατά πολύ με ένα σύστημα τριών βαθμών ελευθερίας. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την μελέτη της συντονισμένης κίνησης στο ελλειπτικό πρόβλημα, πέρα από τις άμεσες αριθμητικές ολοκληρώσεις, είναι η μέθοδος του averagig και η κατασκευή μοντέλων απεικόνισης. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η averaged Χαμιλτονιανή προκύπτει κρατώντας τους όρους πρώτης και δεύτερης τάξης ως προς την εκκεντρότητα, στο ανάπτυγμα Taylor. Η μέθοδος της απεικόνισης, που προκύπτει μέσω αριθμητικών ολοκληρώσεων των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την κίνηση του συστήματος, είναι και η πιο διαδεδομένη για την μελέτη των ιδιοτήτων ενός μη ολοκληρώσιμου συστήματος και ιδιαίτερα συστημάτων δύο βαθμών ελευθερίας. Στην παρούσα εργασία θα αναπτύξουμε την μέθοδο του Χατζηδημηρίου ώστε να φτιάξουμε ένα μοντέλο απεικόνισης, που να ισχύει στην περιοχή κοντά στον 3: συντονισμό μέσης κίνησης για το περιορισμένο ελλειπτικό πρόβλημα. Η βασική ιδέα πίσω από την μέθοδο που θα ακολουθήσουμε είναι, αντί να λύσουμε προσεγγιστικά της εξισώσεις κίνησης για να καταλήξουμε σε μία απεικόνιση, να βρούμε την averaged Χαμιλτονιανή κοντά στον συντονισμό και να τη χρησιμοποιήσουμε, ώστε 9

27 να καταλήξουμε σε μία συμπλεκτική απεικόνιση, για το περιορισμένο ελλειπτικό πρόβλημα τριών σωμάτων που να είναι κοντά στην πραγματικότητα. Έπειτα, θα μελετήσουμε την χρονική εξέλιξη των τροχιών των αστεροειδών στην περιοχή αυτού του συντονισμού, με την βοήθεια της απεικόνισης που φτιάξαμε. Αν θεωρήσουμε το κυκλικό πρόβλημα, (κυκλική τροχιά του Δία), η διαταραχή που εισάγεται στο ολοκληρώσιμο σύστημα (Ήλιου αστεροειδή) είναι της τάξης της μάζας του Δία. Προσθέτοντας σε αυτό την ελλειπτικότητα της τροχιάς του Δία, ανάγουμε το πρόβλημα σε αυτό του περιορισμένου ελλειπτικού προβλήματος των τριών σωμάτων και η επιπλέον διαταραχή είναι της τάξης του μe όπου e είναι η εκκεντρότητα του Δία. Στο τελευταίο μέρος της εργασίας θα σπάσουμε την συμπλεκτική δομή, προσθέτοντας μία μη συντηρητική δύναμη που επηρεάζει τον μεγάλο ημιάξονα της τροχιάς των αστεροειδών, αλλά παράλληλα δεν είναι τόσο ισχυρή όσο το δυναμκό στο συντονισμό, ώστε να κυριαρχεί στην εξέλιξη της εκάστοτε τροχιάς. Κυκλικό επίπεδο πρόβλημα Πρόκειται για μία ειδική, αν όχι ιδανική περίπτωση του περιορισμένου προβλήματος τριών σωμάτων. Σε αυτό, τόσο ο πρωτεύοντας πλανήτης, όσο και ο αστεροειδείς κινούνται στο ίδιο επίπεδο, ενώ η τροχιά του πλανήτη είναι κυκλική. Λόγω αυτού, η e 0 και δεν μπορούν να οριστούν οι μεταβλητές i, Ω, i, Ω και, όπως προαναφέραμε, το σύστημα έχει δύο βαθμούς ελευθερίας. Επίσης, επειδή η εκκεντρότητα είναι ίση με το μηδέν, ισχύει: r α σταθερά, άρα ο α δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο και συνεπώς, το σύστημα είναι αυτόνομο. Ελλειπτικό επίπεδο πρόβλημα Στην περίπτωση αυτή και ο αστεροειδής και ο πλανήτης κινούνται μεν στο ίδιο επίπεδο, αλλά ο πλανήτης ακολουθεί ελλειπτική τροχιά, αυξάνοντας έτσι την πολυπλοκότητα του προβλήματος και καθιστώντας το μη αυτόνομο. Επειδή, πλέον e /0, η θέση του Δία ταλαντώνεται πάνω στον άξονα των x με περίοδο ίση με π. Το ίδιο μπορεί να συμβαίνει και με τους αστεροειδείς, αλλά, στην γενική περίπτωση, οι περιοδικές τροχιές που εμφανίζονται στο κυκλικό πρόβλημα και στις μικρές εκκεντρότητες δεν μπορούν να συνεχιστούν στο ελλειπτικό, καθώς αυξάνει η εκκεντρότητα e, γιατί η περίοδός τους παύει να είναι ίση με π. Από την άλλη, για μια δεδομένη τιμή της εκκεντρότητας του Δία διάφορης του μηδενός, μπορεί να υπάρξει μία μεμονωμένη περιοδική τροχιά στο ελλειπτικό πρόβλημα. Αναλυτικό μοντέλο συντονισμού μέσης κίνησης Με βάση το περιορισμένο πρόβλημα των δύο σωμάτων, όπου ο Δίας ακολουθεί μία καθορισμένη ελλειπτική τροχιά που υπακούει στους νόμους του Keler και ο αστεροειδής υπόκειται στις βαρυτικές δυνάμεις του Δία και του Ήλιου. Η Χαμιλτονιανή ανά μονάδα μάζας που περιγράφει το σύστημα στον χώρο των δράσεων είναι: v v υ GM r r' H Gm v v 3 6. r r ' r r' όπου, τα r v, r v ' είναι τα διανύσματα θέσης του αστεροειδή και του Δία αντίστοιχα (στο πλαίσιο του Ηλιοκεντρικού συστήματος) υ είναι το μέτρο της ταχύτητας του αστεροειδούς ως προς το Ηλιοκεντρικό σύστημα, Μ η μάζα του Ήλιου, m ' η μάζα 0

28 του Δία και G η σταθερά της παγκόσμιας έλξης. Ορίζουμε σύστημα μονάδων στο οποίο ισχύει G a' M m' κάτι που δίνει ' για την μέση κίνηση του Δία. Ορίζουμε επίσης την αναλογία μ m' και θέτουμε μ μ M m'. Με την βοήθεια του αναπτύγματος της συνάρτησης διαταραχής ως προς τα στοιχεία της τροχιάς, η Χαμιλτονιανή παίρνει την μορφή: H μr( a, e, i, λ, ϖ, Ω; λ') 6. a όπου, ( a, e, i, λ, ϖ, Ω; λ' ) είναι τα στοιχεία της τροχιάς του αστεροειδούς και λ ' ' t είναι το μέσο μήκος του Δία (και t ο χρόνος). Συνήθως, όμως, στο μοντέλο αυτό, δεν χρησιμοποιούμε ως μεταβλητές τα στοιχεία της τροχιάς, αλλά τις τροποποιημένες μεταβλητές Delauay, οι οποίες προκύπτουν από τα στοιχεία Delauay, που αποτελούν σύνολο κανονικών μεταβλητών. λ Λ μa γ ϖ ζ Ω και Γ μa( e ) Ζ μ a e ( cosi) ) όπου, για μικρές τιμές των e και i, Γ Λe / και Ζ Λi /. Εισάγοντας και την συζυγή ορμή του λ ', Λ', η αυτόνομη Χαμιτλτονιανή γίνεται: μ H ' Λ' μr( Λ, Γ, Ζ, λ, γ, ζ ; ') Λ λ. 6.4 Η συνάρτηση διαταραχής εξαρτάται από τα σταθερά στοιχεία της τροχιάς του Δία. Αν ορίσουμε ως επίπεδο αναφοράς το επίπεδο της τροχιάς του Δία, τότε όλοι οι όροι στην R που εξαρτώνται από το i ' εξαφανίζονται. Επίσης, για να απλοποιήσουμε περαιτέρω το σύστημα, θέτουμε ϖ ' 0, που ισούται με την μέτρηση του μήκους του περικέντρου του αστεροειδούς σε σχέση με την γραμμή των αψίδων του Δία. Ο συντονισμός μέσης κίνησης που θέλουμε να μελετήσουμε είναι εσωτερικός της τροχιάς του Δία και είναι της μορφής k:(kq) όπου (k, q) είναι θετικοί ακέραιοι και q είναι η τάξη του συντονισμού. Η συνθήκη για την ύπαρξη του συντονισμού είναι: k ( k q) ' και η θέση του δίνεται κατά (πολύ καλή προσέγγιση) από τον τρίτο νόμο του Keler k a ' μ 3 res a. 6.6 k q Κοντά σε αυτόν τον συντονισμό, όλοι οι όροι του αναπτύγματος Fourier της R που περιέχουν τον συνδυασμό k λ ( k q) λ' θα προκαλέσουν συντονισμένες διαταραχές με χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου πολύ μεγαλύτερη της περιόδου περιφοράς. Έτσι, επικαλούμενοι την αρχή του averagig, μπορούμε να απαλείψουμε όλους τους όρους που περιέχουν τις ταχέως μεταβαλλόμενες γωνίες και να περιορίσουμε το ανάπτυγμα σε συντονισμένους και αιώνιους όρους (που δεν περιέχουν τα μέσα μήκη). Αν συνυπολογίσουμε το γεγονός ότι οι συντελεστές του αναπτύγματος Fourier είναι δυναμοσειρές στις μικρές τιμές των e και s si( i / ) i /, μπορούμε να περιορίσουμε κι άλλο το ανάπτυγμα κρατώντας όρους μέχρι δεύτερου βαθμού ως προς e και s. Η Χαμιλτονιανή τότε γίνεται: 3 6.3

29 μ H Λ μ C k, q,, r ' Λ' μ k, q,, r [ c ( Λ) Γ c e' Γ cos( γ ) c ( Λ) Ζ] ( Λ, Γ, Ζ; e' ) cos [ kλ ( k q) λ' γ rζ ] Ο πρώτος όρος της παραπάνω αντιστοιχεί στην Χαμιλτονιανή του αδιατάρακτου προβλήματος δύο σωμάτων και οι δύο επόμενοι είναι αιώνιοι όροι. Οι συντελεστές c i στο αιώνιο μέρος και C k, q,, r στο μέρος της πολύδομης ομάδας συντονισμού είναι έμμεσες συναρτήσεις του α. Το μέρος της πολύδομης ομάδας συντονισμού είναι ουσιαστικά ένα πολλαπλό άθροισμα διαφορετικών αρμονικών που ικανοποιούν τους κανόνες D Alembert. Η σταθερά C της κάθε αρμονικής είναι στην πραγματικότητα μία δυναμοσειρά του Γ ή Ζ, των οποίων η χαμηλότερη τάξη έχει ένα εκθετικό που ισούται με την σταθερά του γ (ή του ζ) στο όρισμα του συνημιτόνου, δηλαδή Γ r (ή Ζ ). Εδώ μπορούμε να ορίσουμε και την γωνία συντονισμού ψ k λ ( k q) λ' και να ολοκληρώσουμε τον κανονικό μετασχηματισμό παράγοντας μία γενέτειρα συνάρτηση δεύτερου τύπου F [ kλ ( k q) λ' ] Ψ λ' Ψ ' γφ ζθ, 6.8 η οποία ορίζει ένα νέο σετ κανονικών μεταβλητών ψ kλ ( k q) λ' Λ kψ ψ ' λ' Λ ' Ψ' ( k q) Ψ και 6.9 φ γ Γ Φ θ ζ Ζ Θ και μετασχηματίζει την Χαμιλτονιανή στην μ H ' Ψ' '( k q) Ψ μ[ c Φ c e' Φ cos( φ) c Θ] 3 k Ψ. 6.0 μ C ( Ψ, Θ, Φ; e') cosψ φ rθ k, q,, r k, q,, r [ ] Επειδή η ψ ' είναι αμελητέα, η Ψ ' είναι σταθερή και μπορεί να παραληφθεί από την Χαμιλτονιανή. Μπορούμε να βρούμε το σταθερό σημείο του αιώνιου μέρους, το οποίο αντιστοιχεί στα e και i όταν αυτά είναι ίσα με τα εξαναγκασμένα στοιχεία της τροχιάς (forced elemets). Αν εφαρμόσουμε έναν κανονικό μετασχηματισμό γύρω από αυτό το σημείο, μπορούμε να ορίσουμε τα γραμμικά ελεύθερα στοιχεία (free ή roer elemets) της τροχιάς ( ϖ f,ω f,e f, i f ) και τις αντίστοιχες κανονικές μεταβλητές (φ,θ ; Φ, Θ). Η πλήρης Χαμιλτονιανή με τις νέες μεταβλητές θα είναι η 6.: μ H '( k q) Ψ μd Φ μd Θ μ Dk q r ( Ψ, Θ, Φ; e') cos[ ψ φ rθ ] 3,,, k Ψ k, q,, r όπου,, είναι οι νέοι συντελεστές τις Η. Τέλος, αναπτύσσουμε την Η(Ψ) σε d i D k, q,, r σειρά Fourier γύρω από το ακριβές σημείο του συντονισμού Ψ res k μares, κρατώντας όρους μέχρι δεύτερης τάξης στο μέρος που αντιστοιχεί στην Η του αδιατάρακτου προβλήματος και μόνο τον σταθερό όρο στην Ο(μ) διαταραχή. Η τελική μορφή της Χαμιλτονιανής του συντονισμού μέσης κίνησης είναι: H βj μdφ μd3θ μ Dk, q,, r ( Θ, Φ; e') cos[ ψ φ rθ ], 6. k, q,, r όπου, J Ψ Ψ (η νέα συζυγής ορμή της ψ) res 3 6.7

30 k β 3. a res Επειδή μας ενδιαφέρει η μελέτη του επίπεδου ελλειπτικού προβλήματος, μπορούμε να απαλείψουμε όλους τους όρους που εξαρτώνται από τα θ και Θ στην παραπάνω Χαμιλτονιανή, απλοποιώντας έτσι περαιτέρω το πρόβλημα. H D βj μdφ μ Dk, q,, r ( Φ; e') cos[ ψ φ] 6.3 k, q,, r η οποία μπορεί να γραφεί και ~ ~ H D βj μdφ μd( φ, Φ)cos( ψ Q( φ, Φ)) 6.4 όπου ~ ~ D A B, Q ta ( B / A) και A D k, q,, r cos( φ ), B D k, q,, r si( φ ) k, q,, r k, q,, r Η εξίσωση 6.4 είναι η Χαμιλτονιανή ενός εκκρεμούς (ψ, J) του οποίου το πλάτος και η συχνότητα διαφοροποιούνται ανάλογα με τα (φ, Φ). Στην περίπτωση που μελετάμε, του 3: (k, q) συντονισμού, η 6.3 θα γίνει: q / q H β J μdφ μ f ( ares ) Φ e' cos( ψ φ) όπου, με βάση τα σημερινά δεδομένα ισχύουν τα εξής για τους συντελεστές:. e ' μ a res AU 4. β μ d { 0}:.678x0 6. μf ( a q ) e' { }: res { Περιοδικές τροχιές }: Η συνθήκη για την ύπαρξη συντονισμού στο περιορισμένο ελλειπτικό πρόβλημα τριών σωμάτων είναι της μορφής: ψ & & φ 0, 6.6 αν ικανοποιείται η παραπάνω συνθήκη και μηδενίζονται οι συχνότητες των ψ και φ, έχουμε ένα ζεύγος ισορροπίας της averaged Χαμιλτονιανής (ευσταθές και ασταθές) που αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος περιοδικών τροχιών του πλήρους προβλήματος. Το σημείο του επιπέδου (α, e) που αντιστοιχεί στα σταθερά σημεία αποτελεί τον αιώνιο κόμβο στον χώρο των φάσεων για όλες τις αρμονικές του συντονισμού. Η ύπαρξη συντονισμένων περιοδικών τροχιών έχει πολύ σημαντικές συνέπειες στην εξέλιξη της τροχιάς ενός αστεροειδούς. Ο λόγος είναι ότι τα σταθερά σημεία καθορίζουν την τοπολογία του χώρου των φάσεων και οδηγούν τις τροχιές στην περιοχή του συντονισμού. Η συνάρτηση Η που μελετάμε περιέχει ένα μόνο συντονισμό, που αντιστοιχεί σε μία απλή περιοδική τροχιά, και άρα είναι ολοκληρώσιμη. Οι τροχιές αντιστοιχούν στην ίδια την τιμή της Η. Είναι φανερό ότι η 3

31 τοπολογία του επιπέδου (h, k) είναι ιδιόμορφη. Ο ομοκλινικός βρόγχος ενώνει την ασταθή με την ευσταθή πολλαπλότητα του ασταθούς σημείου και περιβάλλει το ευσταθές σημείο, διαμερίζοντας το επίπεδο σε τρεις περιοχές που στην ολοκληρώσιμη προσέγγιση δεν επικοινωνούν:. εσωτερικής περιστροφής της φ. εξωτερικής περιστροφής της φ 3. νησίδα λίκνησης της φ. σχ. 6.: Ο ομοκλινικός βρόγχος που περνάει από το ασταθές σημείο ισορροπίας διαμερίζει το επίπεδο (h, k) σε τρεις περιοχές διαφορετικής συμπεριφοράς της φ. Η ανάπτυξη της χαοτικής κίνησης γύρω από την ομοκλινική τροχιά έχει ως συνέπεια την σύνδεση των τριών περιοχών. Συγκεκριμένα, μία τροχιά που κινείται αρχικά στην πρώτη περιοχή και έχει μικρή τιμή εκκεντρότητας μπορεί να μεταπηδήσει στις περιοχές μεγάλης εκκεντρότητας, περιφερόμενη με χαοτικό τρόπο γύρω από τη νησίδα λίκνισης της φ. Οι μεταβολές της e είναι ανάλογες με τον συντονισμό και 5 συμβαίνουν σε χρονικά διαστήματα της τάξης των 0 ετών. Έτσι, η ύπαρξη συντονισμένων περιοδικών τροχιών συνεπάγεται την εμφάνιση ενός μηχανισμού αιώνιας αστάθειας των e και ωω στην περιοχή του συντονισμού. Αυτή η διαλλειπτική (itermittet) συμπεριφορά της εκκεντρότητας έχει παρατηρηθεί στην περιοχή του συντονισμού 3:. Η συμπλεκτική απεικόνιση Σύμφωνα με τον Χατζηδημητρίου, για να είναι το μοντέλο της απεικόνισης ρεαλιστικό θα πρέπει να έχει την ίδια τοπολογία με, τόσο ποιοτικά, όσο και ποσοτικά με την απεικόνιση Poicare του πραγματικού συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι η απεικόνιση θα πρέπει να έχει όλα τα σταθερά σημεία, με τη σωστή θέση και 4

32 ευστάθεια, όπως η τομή Poicare του πραγματικού συστήματος. Απέδειξε ότι, οι προϋποθέσεις που θα πρέπει να πληρούνται για την κατασκευή της απεικόνισης είναι οι ακόλουθες: να είναι συμπλεκτική να έχει όλα τα σταθερά σημεία που αντιστοιχούν στις οικογένειες περιοδικών τροχιών κοντά σε συντονισμούς του περιορισμένου προβλήματος τα παραπάνω σταθερά σημεία να έχουν τους σωστούς δείκτες ευστάθειας. Κατασκευή της συμπλεκτικής απεικόνισης Η Χαμιλτονιανή που χρησιμοποιούμε κατά τον συμπλεκτική απεικόνιση είναι της μορφής H H 0 ( S, N) μ H( σ, S, N) μe' H ( σ, S, ν, N), 6.7 όπου ( μ) 3 H o ( N S) ( N S) H FS b S N cos σ G cos( σ ν ) D cos( σ ν ) e' K cos ν H GS όπου, ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στο αδιατάρακτο πρόβλημα, ο δεύτερος στο κυκλικό, ο τρίτος στο ελλειπτικό περιορισμένο πρόβλημα τριών σωμάτων και (b, F, G, D, K, e ) σταθερές. Οι μεταβλητές είναι: S N ( e ) ( 3 e ) μ a σ ( 3λ' λ) ω μ α ν ( 3λ' λ) ' Για την κατασκευή όμως την συμπλεκτικής απεικόνισης μέσω της συνάρτησης Hamilto είναι απαραίτητη η χρήση μίας γενέτειρας συνάρτησης. Από τις τέσσερις περιπτώσεις που αναφέρονται στο δεύτερο κεφάλαιο, πιο κατάλληλη κρίνεται για το παρόν πρόβλημα είναι η γενέτειρα συνάρτηση δεύτερου τύπου η οποία θα μας οδηγήσει στον σωστό κανονικό μετασχηματισμό. Η ιδιαιτερότητα του προβλήματος μας είναι ότι οι μετασχηματισμοί αυτοί εμπίπτουν στην κατηγορία των απειροστών κανονικών μετασχηματισμών. Αυτό σημαίνει πως οι νέες μεταβλητές προκύπτουν από τις παλιές, αλλά προστίθεται και ένας επιπλέον όρος που εξαρτάται από το χρονικό βήμα. Αυτό οδηγεί στην γενέτειρα: ω W σ S v N TH ( S, σ, N, v ) 6.9 Η συμπλεκτική απεικόνιση δίνεται από τις εξισώσεις W H W H S S T σ σ T σ σ S S 6.0 W H W H N N T v v T v v φ N Παρατηρούμε ότι οι παραπάνω μεταβλητές παρόλο που διαφέρουν από αυτές που χρησιμοποιούμε στην παρούσα εργασία, μπορούν να μετασχηματιστούν σε αυτές με απλές πράξεις, ώστε να διατηρηθεί η μορφή της συνάρτησης Hamilto. Έτσι μεταβλητές δράσης γωνίας που χρησιμοποιούμε, όπως φαίνεται και από την 6.6, είναι οι: 5

33 6 res a res a J ae μ μ μ Ψ Ψ Φ 3λ' λ ψ ϖ φ 6. η αντίστοιχη Χαμιλτονιανή θα γίνει: ),,, ( ' ),, ( ), ( 0 J H e J H J H H ψ φ μ φ μ Φ Φ Φ 6. και, σύμφωνα με το παραπάνω πρότυπο, η γενέτειρα συνάρτηση είναι: Φ Φ Φ Φ q q res e a f d J J J W 0 / ) cos( ' ) ( ),,, ( φ ψ μ μ β τ φ ψ φ ψ 6.3 όπου με δείκτη είναι οι παλιές μεταβλητές, ενώ με δείκτη οι νέες. Αυτό συμβαίνει γιατί, αν επιλέξουμε να μην προσθέσουμε τον χρονοεξαρτημένο όρο, καταλήγουμε σε έναν ταυτοτικό μετασχηματισμό. Έτσι, η διαταραγμένη απεικόνιση προκύπτει από τις εξισώσεις: 0 0 / 0 / ) cos( ' ) ( ) si( ' ) ( ) si( ' ) ( Φ Φ Φ Φ Φ Φ q q res q q res q q res J W e a f d W e a f J W J e a f W τβ ψ φ ψ φ ψ μ μ τ φ φ φ ψ τμ ψ φ ψ τμ φ. 6.4 Η απεικόνιση αυτή είναι έμμεση και συμπλεκτική από την κατασκευή της. Το τ αντιστοιχεί στην περίοδο της περιοδικής τροχιάς του Δία στο περιορισμένο πρόβλημα τριών σωμάτων και είναι ίσο με π. Επίσης, ταυτίζεται με έναν συμπλεκτικό ολοκληρωτή πρώτης τάξης που αναπτύχθηκε (Yoshida, 99). Λόγω της φύσης του, κατά την πορεία μας από την averaged Χαμιλτονιανή στην απεικόνιση, επανακτούμε τον βαθμό ελευθερίας του συστήματος που χάνεται κατά την διαδικασία του averagig. Searatrix Με τον όρο searatrix εννοούμε μία (κλειστή) καμπύλη στον χώρο των φάσεων, η οποία τον διαχωρίζει σε δύο περιοχές με τελείως διαφορετικές ιδιότητες. Στην περίπτωση του απλού εκκρεμούς, (ταυτίζεται με τις ασύμπτωτες του διαγράμματος φάσης, οι οποίες καμπυλώνονται λόγω της μη γραμμικότητας του συστήματος και τέμνονται στο ασταθές σημείο ισορροπίας του) εντός της searatrix βρίσκεται η περιοχή της ταλάντωσης, ενώ εκτός, η περιοχή της περιστροφής. Η ενέργεια πάνω στην searatrix ενός συντονισμού μέσης κίνησης μπορεί να υπολογιστεί με την βοήθεια της προσέγγισης του εξαναγκασμένου ταλαντωτή. Αν υποθέσουμε ότι η συχνότητα και κατ επέκταση, η περίοδος που επιβάλλεται στο σύστημα είναι βραδύτερη σε σχέση με τον ρυθμό λίκνισης του συστήματος, τότε, μπορούμε να θεωρήσουμε πως σε έναν κύκλο του ψ ο βραδύς βαθμός ελευθερίας (φ, Φ) είναι παγωμένος, δηλαδή τα φ και Φ παραμένουν σταθερά. Στην περίπτωση αυτή, η Χαμιλτονιανή περιγράφει την κίνηση του απλού εκκρεμούς. Αυτό το ταχέως εξελισσόμενο υποσύστημα έχει δύο σημεία ισορροπίας, ένα ασταθές στο

34 ~ ~ ( ψ Q*, J ) (0,0) και ένα ευσταθές στο ( ψ Q *, J ) ( π,0). Η τιμή της Η πάνω στην searatrix θα είναι: ~ h sx H φ, Φ ;0,0) μd Φ μd( φ, ) 6.5 ( * * * * Φ* σχ 6.: Σχηματική απεικόνιση της searatrix στην περίπτωση του απλού αρμονικού ταλαντωτή Η συνολική μελέτη της δυναμικής του χώρου των φάσεων της 6.4 μπορεί να γίνει αν πάρουμε τομές επιφάνειες του χώρου για διαφορετικές τιμές h sx H στην ~ ψ Q * π. Από μελέτες που έχουν γίνει, προκύπτει ότι η χαοτική περιοχή στην επιφάνεια της τομής σχεδόν συμπίπτει με την περιοχή που καλύπτει η searatrix του εκκρεμούς. Για την ακρίβεια, όλες οι τροχιές που βρίσκονται κοντά στην searatrix και την τέμνουν κάποια στιγμή είναι χαοτικές. Μελέτη του συντονισμού 3: Η μελέτη της κίνησης των αστεροειδών κοντά στον συντονισμό 3: έγινε με την χρήση της συμπλεκτικής μεθόδου που περιγράψαμε παραπάνω. Προσομοιώσαμε δοκιμαστικά σώματα μηδενικής μάζας με αρχικές συνθήκες που καλύπτουν την περιοχή au του μεγάλου ημιάξονα και τις μικρές εκκεντρότητες 0 < e < 0. 3 (από τις οποίες προκύπτουν οι μεταβλητές δράσης στο σύστημα). Η προσομοίωση 7 έλαβε χώρα για χρονική κλίμακα της τάξης των 0 ετών. Ξεκινήσαμε φτιάχνοντας ένα πρόβλημα το οποίο υπολογίζει τις αρχικές συνθήκες (πιθανές αρχικές θέσεις ενός αστεροειδούς), στην περιοχή του συντονισμού 3:. Οι αρχικές τιμές του μεγάλου ημιάξονα της τροχιάς κυμαίνονται στο διάστημα.466au έως.5338au και της εκκεντρότητας στο 0 έως 0.3 ενώ οι αρχικές τιμές των γωνιών φ και ψ είναι: φ0 ή π και ψπ-φπ. Από αυτές και μέσω των σχέσεων: 7

35 8 res a res a J ae μ μ μ Ψ Ψ Φ 6.6 ορίσαμε τις αρχικές τιμές των δράσεων (Φ,J) και των γωνιών (φ,ψ) της συνάρτησης Hamilto του συστήματος για τον εν λόγω συντονισμό. Χρησιμοποιώντας αυτές τις αρχικές συνθήκες βρήκαμε τις τιμές των B A Q D,, ~, ~ μέσω των: ) / ( ta ~, ~ A B Q B A D και r q k r q D k A,,,,,, ) cos( φ, r q k r q D k B,,,,,, ) si( φ όπου το 0,, και r q k D,,,, είναι συνδυασμός των σταθερών που αναφέρονται παραπάνω για την κάθε τιμή του. Έπειτα χρησιμοποιήσαμε την: ), ( ~ ;0,0), ( * * * * * Φ Φ Φ φ μ μ φ D d H h sx 6.7 για να υπολογίσουμε την τιμή της ενέργειας στο ευσταθές σημείο ισορροπίας για κάθε σετ αρχικών συνθηκών. Συγκρίναμε την τιμή για κάθε σετ με την τιμή που δίνεται από την εξίσωση: )), ( ~ )cos(, ( ~ Φ Φ Φ φ ψ φ μ μ β Q D d J H D 6.8 για το αντίστοιχο σετ αρχικών συνθηκών. Για την ακρίβεια, ζητήσαμε η διαφορά τους να είναι τις τάξης του 4 0 ώστε οι δύο τιμές να είναι πολύ κοντά. Στην περίπτωση που ίσχυε αυτό για την εκάστοτε τροχιά, χρησιμοποιήσαμε την τιμή της Χαμιλτονιανής για να βρούμε τις νέες συντεταγμένες για α και e που αντιστοιχούν σε αυτές του ίχνους της searatrix για κάθε τροχιά, πάνω σε ένα διάγραμμα α - e. Έπειτα, χρησιμοποιήσαμε την μέθοδο του Χατζηδημητρίου, για όλα τα σετ αρχικών συνθηκών, ώστε να δούμε την χρονική εξέλιξη της εκάστοτε τροχιάς του αστεροειδούς. 0 0 / 0 / ) cos( ' ) ( ) si( ' ) ( ) si( ' ) ( Φ Φ Φ Φ Φ Φ q q res q q res q q res J W e a f d W e a f J W J e a f W τβ ψ φ ψ φ ψ μ μ τ φ φ φ ψ τμ ψ φ ψ τμ φ 6.9 Παρατηρούμε ότι η τρίτη και η τέταρτη εξίσωση λύνονται άμεσα, το ίδιο και η δεύτερη, αφού πρώτα την αντιστράψουμε. Η πρώτη εξίσση όμως δεν μπορεί να λυθεί άμεσα. Γι αυτό και χρησιμοποιούμε μια προσεγγιστική μέθοδο, Newto Rahso, για την επίλυσή της. Αρχικά, φέρουμε την εξίσωση σε μορφή συνάρτησης ) ( Φ f : q q res e a f f Φ Φ Φ Φ 0 / ) si( ' ) ( ) ( φ ψ τμ 6.30 και ζητάμε να βρούμε την ρίζα της. Για να το κάνουμε αυτό, μας χρειάζεται και η πρώτη παράγωγος της 6.30 ως προς τον χρόνο: Φ Φ q ares f dt df 0 ) / ( ) si( ) ( ) ( φ ψ τμ 6.3 Η ιδέα πίσω από την Newto Rahso είναι η εξής. Θεωρούμε ένα σημείο πάνω στον άξονα x το οποίο πίστευουμε ότι είναι η ρίζα της ) (x f. Φέρουμε κάθετη από

36 τον x μέχρι το σημείο που τέμνονται η ευθεία την καμπύλη της συνάρτησης και στο σημείο τομής φέρουμε την εφαπτομένη της καμπύλης. Προεκτείνουμε, έπειτα, την εφαπτομένη, μέχρι να συναντήσει τον άξονα x. Αυτό είναι το σημείο από το οποίο ξεκινάμε και πάλι την διαδικασία που περιγράψαμε παραπάνω, μέχρι το σημείο πάνω στον x να φτάσει κοντά στην ρίζα της εξίσωσης (ανάλογα με την ακρίβεια που θέλουμε να έχει η προσέγγισή μας). Αυτό σημαίνει ότι η Newto Rahso συγκλίνει σε μία τιμή, που είναι η ζητούμενη ρίζα. Η ακρίβεια που ζητήσαμε κατά 4 την λύση του προβήματος ήταν της τάξης του 0. Αφού βρούμε την τιμή της Φ, την χρησιμοποιούμε για να λύσουμε τις υπόλοιπες τρείς εξισώσεις. Στο τέλος κάθε χρονικού βήματος προκύπτει ένα νέο σετ γωνιών και δράσεων, το όποιο, σύμφωνα και με την φύση της συμπλεκτικής απεικόνισης χρησιμοποιούμε ως αρχικές συνθήκες για το επόμενο χρονικό βήμα. 7 Όπως αναφέραμε και στην αρχή, αφήσαμε κάθε τροχιά να εξελιχθεί για 0 χρόνια, 6 δηλαδή για 0 χρονικά βήματα, μιας και το βήμα που χρησιμοποιήσαμε αντιστοιχεί σε μία περίοδο του Δία (,86yr). Κατά την χρονική εξέλιξη κάθε τροχιάς καταγράψαμε τις μεταβολές που υφίσταται, στην εκκεντρότητα, στον μεγάλο ημιάξονα, και στις γωνίες φ και ψ. Ταυτόχρονα, υπολογίσαμε και τον μέσο όρο του α και της e για κάθε τροχιά. Του α, απλά προσθέτωντας όλες τις τιμές που προέκυψαν για κάθε τροχιά και διαιρώντας τες με τον αριθμό των χρονικών βημάτων. Για το e, χωρίσαμε το χρονικό διάστημα στην μέση, βρήκαμε τον μέσο όρο για το πρώτο μίσο και για το δεύτερο μισό και 3 συγκρίναμε τις τιμές τους. Παρατηρησαμε διαφορές τάξης από 0 7 έως 0. Με βάση τις μέσες τιμές για τα α και e κατατάξαμε τους αστεροειδείς σε ομάδες. I. Αν το α< a res ή α> a res και η διακύμανση στην τιμή της εκκεντρότητας είναι 7 της τάξης του 0, τότε η τροχιά αυτή βρίσκεται αρχικά εκτός του συντονισμού. II. Αν το α ares και η διακύμανση στην τιμή της εκκεντρότητας είναι της τάξης 7 του 0, τότε η τροχιά βρίσκεται αρχικά εντός του συντονισμού. III. Αν το α ares και η διακύμανση στην τιμή της εκκεντρότητας είναι της τάξης 3 του 0, τότε η τροχιά αυτή βρισκεται αρχικά στην χαοτική περιοχή. Με βάση τα παραπάνω, και χρησιμοποιώντας και το ίχνος της searatrix για κάθε τροχιά, καταλήξαμε στο παρακάτω διάγραμμα για τις τροχιές ενός αστεροειδούς σύμφωνα με τις αρχικές συνθήκες τους. Τα κενά που παρατηρούνται σε χαμηλές εκκεντρότητες και κοντά στο res a, στο σχ.3 αντιστοιχούν σε αρχικές συνθήκες για τις οποίες δεν μπορέσαμε να λύσουμε το σύστημα και αυτό γιατί δεν υπήρχε σύγκλιση στην Newto Rahso. Αυτό πιθανώς συμβαίνει, λόγω της προσέγγιση ςπου κάνουμε στο ανάπτυγμα Taylor της Η(Ψ), όπου κρατάμε όρους μέχρι δεύτερης τάξης ως προς την εκκεντρότητα. 9

37 σχ 6.3: «Χάρτης» των αρχικών συνθηκών της κάθε τροχιάς που θα μελετήσουμε, σε σχέση με την θέση της searatrix στο επίπεδο α-e. Το διάγραμμα αυτό θα χρησιμεύσει ως οδηγός για την επιλογή των ομάδων των τροχιών που θα παρακολουθήσουμε για να δούμε την επίδραση του φαινομένου Yarkovsky. Πέρα από την κατασκευή του παραπάνω διαγράμματος, μελετήσαμε την χρονική εξέλιξη των τροχιών των αστεροειδών που βρίσκονται στην περιοχή του συντονισμού 3:. Αυτό που παρατηρήσαμε ήταν διαφορετικές συμπεριφορές ανάλογα με τις αρχικές συνθήκες τις τροχιάς, που σχετίζονται με την τοπολογία του χώρου των δράσεων του συντονισμού. Στο πρώτο διάγραμμα βλέπουμε ένα χαρακτηριστικό τμήμα της χρονικής εξέλιξης της εκκεντρότητας μίας τροχιάς που ξεκινάει εντός του συντονισμού, 30

38 σχ 6.4: Διάγραμμα e-t τροχιάς εντός του συντονισμού Παρατηρούμε την κατά προσέγγιση περιοδική ταλάντωση της εκκεντρότητας γύρω από μία μέση τιμή. Το ίδιο συμβαίνει και στο διάγραμμα μεγάλου ημιάξονα χρόνου της ίδιας τροχιάς, απ όπου βλέπουμε μία μικρή περιοχή χαρακτηριστική της χρονικής εξέλιξης. σχ 6.5: Διάγραμμα α-t τροχιάς εντός του συντονισμού, όπου το α είναι σε AU/5.03 Λόγω της φύσης του συντονισμού μέσης κίνησης 3:, που είναι ένας από τους πιο ισχυρούς συντονισμούς με τον Δία, αν ο αστεροειδής βρίσκεται σε εκκεντρότητα κοντά στο e0.3 και πολύ κοντά στο a res είναι δυνατόν να αυξήσει τόσο στην εκκεντρότητά του, ώστε η τροχιά του να τέμνει αυτή του Άρη, όπως φαίνεται από το παρακάτω διάγραμμα. 3

39 σχ 6.6: Διάγραμμα e-t τροχιάς εντός του συντονισμού, πολύ κοντά στο a res Όταν επιλέγουμε τροχιές κοντά στην searatrix, έχουμε περισσότερες πιθανότητες αυτές να είναι χαοτικές, όπως φαίνεται από το διάγραμμα 6.3 Μία αντιπροσωπευτική χαοτική τροχιά μας δίνει τα παρακάτω διαγράμματα για την εξέλιξη της εκκεντρότητας της γωνίας ψ Q ~ σε σχέση με τον χρόνο. σχ 6.7: Διάγραμμα e-t χαοτικής τροχιάς 3

40 σχ 6.8: Διάγραμμα (ψ-q)-t χαοτικής τροχιάς Από το παραπάνω φαίνεται καθαρά η χαοτική κίνηση του αστεροειδούς γύρω από το ευσταθές σημείο ισορροπίας. Στο επόμενο παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη της γωνίας φ για άλλη χαοτική τροχιά, στην οποία όμως φαίνεται καθαρά τόσο η νησίδα λίκνισης της φ, όσο και η διαλλειπτική συμπεριφορά της εκκεντρότητας στον χώρο των φάσεων. σχ 6.9: Διάγραμμα φ-t χαοτικής τροχιάς Αξίζει να δούμε δύο ακόμα διαγράμματα, από τα οποία επίσης φαίνεται καθαρά το είδος της κίνησης ενός αστεροειδούς. Στο πρώτο, ο αστεροειδής βρίσκεται εντός του συντονισμού και στο δεύτερο, εκτελεί χαοτική τροχιά. 33

41 σχ 6.0: Διάγραμμα α-(ψ-q) τροχιάς εντός του συντονισμού σχ 6.: Διάγραμμα α-(ψ-q) χαοτικής τροχιάς Πρέπει να σημειώσουμε ότι αν στα παραπάνω διαγράμματα απομονώναμε την περίπτωση που η γωνία αυξάνει ή την περίπτωση που η γωνία μειώνεται, θα βλέπαμε μόνο τον έναν από τους δύο κλάδους. 34

42 7. Άρση συμπλεκτικότητας. Φαινόμενο Yarkovsky Έχοντας κατασκευάσει και μελετήσει, με την βοήθεια του συμπλεκτικού φορμαλισμού, την απεικόνιση που αντιπροσωπεύει τον 3: συντονισμό μέσης κίνησης, αποφασίζουμε να σπάσουμε την συμπλεκτική δομή. Αυτό επιτυγχάνεται με την πρόσθεσή μιας μη συντηρητικής δύναμης στο περιορισμένο ελλειπτικό πρόβλημα των τριών σωμάτων. Ένα φαινόμενο που μπορεί να δώσει μια τέτοιο είδους δύναμη είναι το φαινόμενο Yarkovsky. Στο πέμπτο κεφάλαιο είδαμε πώς μπορεί το φαινόμενο αυτό να επηρεάσει την κίνηση των αστεροειδών. Θεωρητικά, δεν μπορούμε να προσθέσουμε έναν μη συντηρητικό όρο στην συμπλεκτική απεινόνιση, γιατί, η μέθοδος αυτή ισχύει μόνο στην περίπτωση που το σύστημα είναι διατηρητικό. Παρόλα αυτά, επειδή η μεταβολή που προκαλεί το φαινόμενο αυτό είναι πολύ αργή, είναι δυνατόν να προσθέσουμε τον όρο αυτό. Όπως προείπαμε, η δύναμη που εισάγει το εν λόγω φαινόμενο εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του κάθε αστεροειδούς. Πέρα από τις ιδιότητες του υλικού της επιφάνειας του κάθε αστεροειδή, η ένταση του φαινομένου επηρεάζεται από τα δυναμικά χαρακτηριστικά του σώματος, όπως το μήκος του μεγάλου ημιάξονα και η εκκεντρότητα της τροχιάς τους, ο προσανατολισμός του διανύσματος της ιδιοπεριστροφής τους και, το κυριότερο, η διάμετρός τους. Αν θέλαμε να αναπαράγουμε το πραγματικό πρόβλημα, ο όρος που θα προσθέταμε στον φορμαλισμό θα ήταν πολύπλοκος και θα περιελάμβανε όλα τα χαρακτηριστικά που επηρεάζουν την δύναμη αυτή. Επειδή, όμως, θέλουμε να μελετήσουμε το πώς το φαινόμενο αυτό επηρεάζει την ακτινική μετατόπιση των αστεροειδών, περιοριζόμαστε μόνο στο κύριο μέρος του όρου, που μπορεί να μας δώσει την απαιτούμενη μεταβολή, και έχει διαστάσεις ταχύτητας: 4.7x0 a& AU y 7. D Myrs όπου D η διάμετρος του αστεροειδούς σε km. Επίσης, θεωρήσαμε ότι όσοι αστεροειδείς βρίσκονται πριν το a res έχουν κλίση άξονα περιστροφής ίση με 0 ο σε σχέση με το επίπεδο αναφοράς και όσοι βρίσκονται μετά από το a res έχουν κλίση 80 ο, έτσι ώστε, οι πρώτοι να κινούνται προς μεγαλύτερες τιμές του α λόγω του ημερήσιου φαινομένου Yarkovsky και οι δεύτεροι προς μικρότερες, και ότι έχουν σταθερή περίοδο περιστροφής. Τα παραπάνω οδηγούν σε μη ρεαλιστικά αποτελέσματα για την χρονική κλίμακα της δυναμικής εξέλιξης των αστεροειδών, αλλά θα τους επιτρέψει να εξελιχθούν μέσα στον υπό μελέτη συντονισμό. Για να εισάγουμε το φαινόμενο Yarkovsky στον φορμαλισμό, πρέπει πρώτα να γράψουμε τον όρο της ταχύτητας στο σύστημα μεταβλητών δράσης γωνίας που χρησιμοποιούμε. Παρατηρούμε ότι η μεταβλητή που επηρεάζεται άμεσα από το α είναι η δράση J. Ξεκινάμε από την σχέση J Ψ Ψrse μ a Ψres 7. Επειδή θέλουμε την μεταβολή του α, παραγωγίζουμε την 7. ως προς τον χρόνο J & μ a& 7.3 μa όπου a & a& και μ a Ψ J Ψres y 35

43 και η 7.3 θα γίνει: J & μ a& y. 7.4 ( J Ψres ) Ο όρος στον οποίο καταλήξαμε θα προστεθεί στην συμπλεκτική απεικόνιση στην εξίσωση που μας δίνει την νέα μεταβλητή J και όχι στην γενέτειρα συνάρτηση. Έτσι, το σύστημα των τεσσάρων εξισώσεων που θα λύσουμε τώρα είναι: q W / q Φ Φ τμ f ( ares ) Φ e' si( ψ φ ) φ 0 q W / q J J τμ f ( ares ) Φ e' si( ψ φ ) J& ψ q W q φ ( ) ' cos( ) φ τ μd μ f ares Φ e ψ φ Φ 0 W ψ ψ τβj φ Έπειτα, επιλέγουμε περιοχές αρχικών συνθηκών από το σχ 6.3, αριστερά και δεξιά της searatrix, τέτοιες ώστε να προλαβαίνει να φανεί η επιρροή του φαινομένου 7 Yarkovsky εντός της χρονικής κλίμακας των 0 ετών, όπως επίσης και περιοχές εντός του συντονισμού. Όπως αναφέραμε, η εφαπτομενική ταχύτητα του αστεροειδούς λόγω του φαινομένου εξαρτάται από την διάμετρο. Γι αυτό επιλέγουμε να μελετήσουμε, τόσο ταχείς, με διάμετρο D0.km, όσο και βραδείς αστεροειδείς, με Dkm, για να δούμε πόσο σημαντικό ρόλο στην κίνηση διαδραματίζει το χαρακτηριστικό αυτό. Γνωρίζουμε από άλλες μελέτες ότι όσο μεγαλύτερη είναι η διάμετρος ενός αστεροειδούς, τόσο μικρή είναι η ταχύτητα περιστροφής του. Επίσης, ότι η συμπεριφορά των αστεροειδών που αναμένεται να συναντήσουμε εξαρτάται από την αρχική τους θέση σε σχέση με τον συντονισμό. Οι αστεροειδείς που βρίσκονται πριν τον συντονισμό αναμένεται να μειώσουν την εκκεντρότητά τους, αυξάνοντας ταυτόχρονα την τιμή του μεγάλου ημιάξονα της τροχιάς τους. Το αντίστροφο ισχύει για τους αστεροειδείς που βρίσκονται μετά τον συντονισμό. Αυτό συμβαίνει γιατί το σύστημα που μελετάμε είναι περιοδικό και η χρονική μεταβολή της νέας Χαμιλτονιανής γίνεται σε χρόνους πολύ βραδύτερους σε σύγκριση με την περίοδο του συστήματος, οπότε, η μεταβολή του καλείται αδιαβατική. Σημειώνουμε ότι αν μεταφέρουμε την Χαμιλτονιανή στον χώρο των φάσεων, τότε, η σχεδόν (λόγω της μεταβολής της ενέργειας) κλειστή διαδρομή που ακολουθεί ο αστεροειδής ονομάζεται αδιαβατικό αναλλοίωτο. 36

44 Αστεροειδείς με α>.5au Ξεκινάμε την μελέτη με τις αρχικές θέσεις των αστεροειδών μετά τον συντονισμό. Στην πρώτη περίπτωση (σχ. 7. και σχ. 7.) ο αστεροειδείς διασχίζει τον συντονισμό και η αλλαγή στην τιμή του e και του α είναι απότομη, και κατά την προβλεπόμενη φορά. Στην δεύτερη (σχ. 7.3) ο αστεροειδής παγιδεύεται στην χαοτική περιοχή, και κάποια στιγμή η εκκεντρότητά της τροχιάς του γίνεται μεγαλύτερη του 0.4, και τότε και τέμνει την τροχιά του Άρη. Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι πλέον έχει εγκαταλείψει την ζώνη των αστεροειδών. Επιτρέψαμε όμως το στο σύστημα να εξελιχθεί χρονικά και παρατηρήσαμε ότι, αν η τροχιά του αστεροειδούς δεν επηρεαζόταν από το βαρυτικό δυναμικό του Άρη (καθώς περνάει από κοντά του) και των άλλων πλανητών, μετά από ένα μικρό χρονικό διάστημα για τους ταχείς αστεροειδείς (και μεγάλο, αντίστοιχα για τους βραδείς), μπορεί να εξέλθει από τον συντονισμό, έχοντας αυξήσει την εκκεντρότητά του και μειώσει την τιμή του α. σχ 7.: Τυπική χρονική εξέλιξη των α, e αστεροειδούς, με αρχική θέση μετά τον συντονισμό, όταν αυτός περνάει σε περιοχές μεγαλύτερης εκκεντρότητας 37

45 σχ 7.: Χρονική εξέλιξη των α, e αστεροειδούς, με αρχική θέση μετά τον συντονισμό, υπό την προϋπόθεση ότι αυτός δεν επηρεάζεται από καμία άλλη δύναμη Αυτό που παρατηρήσαμε μελετώντας την χρονική εξέλιξη τεσσάρων ομάδων τροχιών, που προκύπτουν από τους συνδυασμούς των (φ,d)(0, 0.),(0, ), (π, 0.), (π, ), είναι ότι στην περίπτωση των γρήγορων αστεροειδών, ανεξαρτήτως της αρχικής γωνίας φ, το 70% περίπου περνάει στην περιοχή με α<.5au, ενώ το υπόλοιπο 30% περίπου καταλήγει σε τροχιές που τέμνουν αυτήν του Άρη. Από την άλλη, (και πάλι η φ δεν διαδραματίζει σημαντικό ρόλο) για τους αργούς αστεροειδείς, το ποσοστό αυτών που περνάν σε μικρότερες τιμές α μειώνεται κατά 5%, και αντίστοιχα αυξάνεται αυτών που εγκαταλείπουν την ζώνη των αστεροειδών. Παρατηρούμε επίσης ότι το μεγαλύτερο ποσοστό των αστεροειδών που εγκαταλείπουν την ζώνη, έχει ξεκινήσει είτε από πολύ μικρές (e<0.05), ή από μεγάλες εκκεντρότητες (e>0.8). Αστεροειδείς με α<.5au Στην περίπτωση αυτή, οι αστεροειδείς βρίσκονται αρχικά προ του συντονισμού. Τα σχ αντιστοιχούν σε ταχείς αστεροειδείς και η αρχική γωνία φ είναι ίση με π. Τόσο το μέγεθος του αστεροειδούς, όσο και η γωνία, αυξάνουν το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να γίνει εμφανής η συμπεριφορά του αστεροειδούς κατά την κίνησή του στην ζώνη και προς τον συντονισμό. Στα παρακάτω διαγράμματα φαίνονται καθαρά οι τρεις συμπεριφορές που μπορούν να εμφανίσουν αυτού το είδους οι αστεροειδείς. Στο σχ 7.4, ο αστεροειδής διασχίζει ταχύτατα τον συντονισμό και κατά την έξοδό του, αυξάνεται η τιμή του α, ενώ μειώνεται αυτή της e, όπως είναι αναμενόμενο. Στα σχ 7.5 και 7.6, είναι φανερό ότι ο αστεροειδής παγιδεύεται στον συντονισμό κάτι που οδηγεί σε μικρή γραμμική αύξηση της μέσης τιμής της εκκεντρότητάς του, και τέλος, στο σχ 7.7 έχουμε την περίπτωση της εξόδου του αστεροειδούς από την ζώνη. Όπως και στην αντίστοιχη περίπτωση για α>.5au, αφήσαμε το σύστημα να εξελιχθεί χρονικά για να δούμε που θα κατέληγε ο αστεροειδής αν δεν επηρεαζόταν από το βαρυτικό δυναμικό του Άρη. 38

46 σχ 7.3: Τυπική χρονική εξέλιξη των α, e αστεροειδούς, με αρχική θέση προ του συντονισμού, όταν αυτός περνάει σε περιοχές μικρότερης εκκεντρότητας σχ 7.4: Χρονική εξέλιξη αστεροειδούς που παγιδεύεται εντός του συντονισμού. Η αύξηση της μέσης τιμής της εκκεντρότητας είναι φανερή. σχ 7.5: Χρονική εξέλιξη των α και e για Mars crosser Το ίδιο μοτίβο ακολουθούν και οι βραδείς αστεροειδής. Λόγω όμως της ταχύτητάς τους, ο χρόνος για την εμφάνιση της συμπεριφοράς του φαινομένου, είναι κατά μέσο όρο τριπλάσιος αυτού που χρειάζονται οι ταχείς αστεροειδείς. Στην περίπτωση αυτή, τα ποσοστά των αστεροειδών που εμφανίζουν μία από τις τρεις συμπεριφορές, εξαρτώνται αισθητά από τον συνδυασμό των (φ,d)(0,0.), 39

47 (0,), (π,0.), (π,). Τα ποσοστά ανάλογα με τον συνδυασμό των (φ,d) συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα D(km) Διασχίζουν τον συντονισμό (%) Παγιδεύονται στον συντονισμό (%) Εγκαταλείπουν την ζώνη των αστεροειδών (%) φ Φπ Παρατηρούμε ότι και στις τέσσερις περιπτώσεις προτιμάται είτε η έξοδος από την ζώνη των αστεροειδών ή η έξοδος από την πλευρά με μεγαλύτερο α. Αυτό γιατί το δυναμικό του συντονισμού, σε συνδυασμό με το φαινόμεο Yarkovsky, πιέζει τον αστεροειδή να αυξήσει την μέση τιμή της εκκεντρότητάς του και τελικά να εγκαταλείψει την ζώνη των αστεροειδών, ακολουθώντας την φορά της αδιαβατικής αναλλοίωτης. Αστεροειδείς με α.5au Τελευταία αφήσαμε την περίπτωση όπου οι αστεροειδείς ξεκινούν την κίνησή τους εντός των ορίων του συντονισμού. Εδώ, οι ταχείς αστεροειδείς, επειδή επηρεάζονται σχεδόν μόνο από το δυναμικό του συντονισμού, παραμένουν εντός αυτού μέχρι η τιμή της εκκεντρότητάς τους να αγγίξει την τιμή 0.4, οπότε και να αναγκαστούν να εγκαταλείψουν την κύρια ζώνη την αστεροειδών. σχ. 7.5: Χρονική εξέλιξη αστεροειδούς με αρχικές συνθήκες α και e εντός του συντονισμού. Παρόμοια συμπεριφορά εμφανίζουν και οι βραδείς αστεροειδείς. Η διαφορά είναι ότι, στη μεν περίπτωση που η φ0, επειδή το δυναμικό είναι πολύ ισχυρό, καταφέρνει να διαφύγει μόνο το % των αστεροειδών, ενώ στην περίπτωση που η φπ, το ποσοστό αυτών που εγκαταλείπουν τον συντονισμό αυξάνεται κατά μία τάξη μεγέθους και αφορά σους αστεροειδείς που ξεκινούν από μεγάλες εκκεντρότητες (e>0.). Και εδώ, το δυναμικό του συντονισμού είναι αυτό που μεταβάλλει την τιμή της εκκεντρότητας και η συμβολή του φαινομένου Yarkovsky είναι αμεληταία. 40

48 8. Συμπεράσματα a. Στο διάγραμμα που παρουσιάζεται ο χώρος α e, παρατηρούμε κάποια κενά, σε μικρές εκκεντρότητες και πολύ κοντά στο κένρο του συντονισμού. Αυτά οφείλονται στο ότι η Newto Rahso δεν συγκλίνει για ορισμένα σετ αρχικών συνθηκών. Αυτό μπορεί να οφείλεται στο ότι κρατήσαμε όρους μέχρι δεύτερης τάξης ως προς J στο ανάπτυγμα Taylor της Χαμιλτονιανής. b. Χρησιμοποιώντας την μέθοδο του Χατζηδημητρίου, παρατηρήσαμε ότι τόσο η περιοχή του συντονσμού, όσο και η χαοτική περιοχή οριζόνται επιτυχώς. c. Εισάγωντας την διαταραχή που προκαλεί το φαινόμενο Yarkovsky, είδαμε ότι η χρονική εξέλιξη των αστεροιειδών που βρίσκονται στην περιοχή του συντονισμού 3:, είναι αυτή που προβλέπεται από την θεωρία και ότι τα αποτελέσματα συμφωνούν και με άλλες, ανεξάρτητες, μελέτες. d. Στο διάστημα των 35 εκατομυρρίων ετών για το οποίο μελετήσαμε τις τροχιές των αστεροειδών, όταν αυτές επηρεάζονται από το φαινόμενο Yarkovsky, παρατηρήσαμε ότι ακόμα και αν αρχικά ο αστεροειδής βρίσκεται εντός του συντονισμού και σε μικρή τιμή εκκεντρότητας, με την πάροδο του χρόνου η μέση τιμή της e θα αυξηθεί τόσο (e<0.4), ώστε ο αστεροειδής να εγκατελειψει την κύρια ζώνη. Αν αναλογιστούμε ότι η ηλικία της ζώνης υπολογίζεται περί τα 45 εκατομμύρια χρόνια σχεδόν όλοι οι αστεροειδής που βρίσκονται (ή που θα βρεθούν, είτε λόγω αυτού του φαινομένου ή άλλων που μπορούν να επηρεάσουν την κίνησή των αστεροειδών) εντός του συντονισμού 3:, κάποια στιγμή θα την εγκαταλείψουν. e. Παρατηρήσαμε επίσης ότι όλοι οι αστεροειδείς που βρίσκονται στην περιοχή του συντονισμού 3:, που είναι ο πιο ισχυρός συντονισμός στη ζώνη, είτε θα τον διαπεράσουν είτε, ακόμα και αν παγιδευτούν εντός του, θα εγκαταλείψουν την κύρια ζώνη των αστεροειδών. Αυτό συνεπάγεται ότι το φαινόμενο Yarkovsky μπορεί να είναι υπεύθυνο για το διάκενο Kirkwood που εμφανίζεται στις.5au. 4

49 Παράρτημα Α Στοιχεία τροχιάς θέση στο επίπεδο τομές. Οι λύσεις της εξίσωσης σχετικής κίνησης, αποδεικνύεται ότι είναι κωνικές Πιο συγκεκριμένα, η γενική λύση της εξίσωσης, σε πολική μορφή, θα είναι: h / μ h r r ecos( θ ϖ ) v θ ϖ μ( ecosv) όπου, η παράμετρος τομής e η εκκεντρότητα v αληθής ανωμαλία (μη γραμμική συνάρτηση του χρόνου) ϖ μήκος του περιηλίου Οι τέσσερις δυνατές κωνικές τομές είναι:. Κύκλος e 0 a. Έλλειψη 0 < e < a( e ) 3. Παραβολή e q 4. Υπερβολή e > a( e ) όπου α είναι ο μεγάλος ημιάξονας της τομής. α. Όσον αφορά το πρόβλημα των δύο σωμάτων, η πορεία ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο είναι ελλειπτική και κλειστή στον αδρανειακό χώρο. Συνεπώς, στην εργασία αυτή, θα ασχοληθούμε με τις ελλειπτικές κινήσεις. Στην περίπτωση αυτή, a e και οι ποσότητες α και e συνδέονται μέσω της σχέσης: ( ) ( e ) β a, α. όπου β είναι ο μικρός ημιάξονας της έλλειψης. Έτσι, προκύπτει: a( e ) r. α.3 ecos( θ ϖ ) 4

50 Στην ουράνια μηχανική, όταν θέλουμε να αναφερθούμε σε οποιαδήποτε γωνία που μετριέται σε σχέση με μια σταθερή ευθεία αναφοράς στον αδρανειακό χώρο, χρησιμοποιούμε τον όρο μήκος. Έτσι, η γωνία θ f ϖ καλείται αληθές μήκος, ενώ οι γωνίες ϖ και f, ονομάζονται αντίστοιχα μήκος του περικέντρου (και σχηματίζεται από την γραμμή των αψίδων, που είναι η ευθεία που ενώνει τις δύο εστίες και στις κεντρικές δυνάμεις έχει σταθερό προσανατολισμό, και τον άξονα θ0) και αληθής ανωμαλία. Χάριν ευκολίας, όταν θέλουμε να αναφερθούμε στη θέση ενός σώματος χρησιμοποιούμε την f και όχι κάποια διεύθυνση αναφοράς. Από την παραπάνω εξίσωση παρατηρούμε ότι η για θ ϖ π προκύπτει η μέγιστη απόσταση της μάζας m από την m να είναι r a a( e), ενώ για θ ϖ προκύπτει η ελάχιστη απόσταση των δυο μαζών ίση με rπ a( e). Αυτά τα στοιχεία της τροχιάς ονομάζονται αντίστοιχα απόκεντρο και περίκεντρο της τροχιάς, ενώ οι αντίστοιχες τιμές της ταχύτητας τα σημεία αυτά προκύπτουν εύκολα από το e e ολοκλήρωμα της στροφορμής και είναι υ α α και υ π α. e e Επειδή, όπως αναφέρεται και παραπάνω, η γωνία v είναι μη γραμμική συνάρτηση του χρόνου για e 0, ενώ κατά την μελέτη του συστήματος μας 43

51 ενδιαφέρει να βρίσκουμε την θέση ενός σώματος για δεδομένη χρονική στιγμή. Στην ιδανική περίπτωση θα κάναμε χρήση μιας γωνίας που δεν είναι μόνο περιοδική με περίοδο π, αλλά και γραμμική συνάρτηση του χρόνου. Με την βοήθεια του ορισμού π της μέσης κίνησης, ορίζουμε την μέση ανωμαλία: T M ( t τ ) α.4 όπου τ είναι ο χρόνος διάβασης του περικέντρου και αντιστοιχεί στην χρονική στιγμή t 0 όταν το σώμα περνάει από το περίκεντρο. Παρόλο που η μέση ανωμαλία έχει διαστάσεις γωνίας και αυξάνει γραμμικά με τον χρόνο ανάλογα με την μέση κίνηση, δεν έχει απλή γεωμετρική εξήγηση. Παρόλο που η Μ δεν δέχεται απλή γεωμετρική εξήγηση, μπορεί να σχετιστεί με μία γωνία που έχει. Αν θεωρήσουμε έναν περιγεγραμμένο κύκλο ακτίνας α, που είναι ομόκεντρος με μία ελλειπτική τροχιά, μεγάλου ημιάξονα α και εκκεντρότητας e και λάβουμε την προβολή της στιγμιαίας θέσης του σώματος στην τροχιά, πάνω στον κύκλο, τότε η γωνιά που σχηματίζεται από την γραμμή των αψίδων και την ευθεία που ενώνει την προβολή του σημείου στον κύκλο με το κέντρο του κύκλου, ονομάζεται έκκεντρη ανωμαλία, Ε. Συνεπώς, η Ε0 αντιστοιχεί σε f 0 και η Επ σε f π. Ξεκινώντας από την εξίσωση της έλλειψης σε καρτεσιανές συντεταγμένες: x y α.5 α β.5 και αντικαθιστώντας x a cos E (.8 α) και y β si E y a e si E (.8 β), έπειτα από πράξεις, προκύπτει: de dt ecos E. α.6 Ολοκληρώνοντας την παραπάνω εξίσωση, παίρνουμε την εξίσωση του Keler, ή υπερβατική εξίσωση, η οποία έχει την μορφή: M E esi E, α.7 και με την βοήθεια της μπορούμε για οποιαδήποτε δεδομένη χρονική στιγμή (σε συνδυασμό με τις.7,.8 α,.8 β) να: α) υπολογίσουμε τη Μ, β) λύσουμε την.30 ως προς Ε και γ) να βρούμε τα f και r. Μέχρι στιγμής έχουμε ορίσει το αληθές μήκος (θ), την αληθή ανωμαλία ( f ), την μέση ανωμαλία (Μ), την έκκεντρη ανωμαλία (Ε) και το μήκος του περικέντρου (ϖ ). Για να ολοκληρώσουμε το σύνολο των μεταβλητών που μπορούν να προσδιορίσουν την θέση του σώματος, πρέπει να ορίσουμε και το μέσο μήκος (λ) μέσω της σχέσης: λ Μ ϖ α.8 άρα, το λ είναι μία γραμμική συνάρτηση του χρόνου, και εφόσον προκύπτει από το μέσο μήκος, δεν έχει γεωμετρική ερμηνεία, με εξαίρεση την περίπτωση της κυκλικής τροχιάς. Επιβάλλεται να τονίσουμε ότι όλα τα μήκη (θ, ϖ, λ) ορίζονται με βάση μία κοινή τυχαία ευθεία (διεύθυνση) αναφοράς. Στοιχεία τροχιάς θέση στον χώρο Στην περίπτωση που θέλουμε να μελετήσουμε την κίνηση ενός σώματος στον χώρο (3D) και όχι στο επίπεδο (D), δεν αρκούν οι παραπάνω συντεταγμένες. Έτσι, στην γενική περίπτωση, το επίπεδο της τροχιάς σχηματίζει μία γωνία με το επίπεδο 44

52 της εκλειπτικής (αναφοράς), η οποία ονομάζεται κλίση του επιπέδου της τροχιάς, i. Η ευθεία πάνω στην οποία τέμνονται τα επίπεδα τροχιάς και εκλειπτικής ονομάζεται γραμμή την συνδέσμων. Το κοινό σημείο των δύο επιπέδων όπου η τροχιά τέμνει το επίπεδο αναφοράς καθώς το σώμα κινείται από κάτω προς τα πάνω, ονομάζεται αναβιβάζων σύνδεσμος, Α, ενώ το αντιδιαμετρικό του, καταβιβάζων σύνδεσμος, Κ. Η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ της διεύθυνσης αναφοράς και την ακτίνα που οδηγεί στον αναβιβάζων σύνδεσμο, ονομάζεται μήκος του αναβιβάζοντος συνδέσμου, Ω, ενώ η ω είναι η γωνία του περικέντρου με την ακτίνα που οδηγεί στο στον αναβιβάζων σύνδεσμο. Η κλίση του επιπέδου της τροχιάς είναι πάντα εντός των γωνιών o o o 0 i 80. Αν i 90 τότε η κίνηση είναι rograde, ενώ στην αντίθετη περίπτωση είναι retrograde. Στο όριο του i 0, το επίπεδο της τροχιάς ταυτίζεται με το επίπεδο της εκλειπτικής και τότε ισχύει η σχέση: ϖ Ω ω α.9 που δίνει το μήκος του περικέντρου. Αν θέλουμε να περιγράψουμε την κίνηση ενός σώματος, χρησιμοποιούμε τα στοιχεία της τροχιάς, παρόλο που δεν αποτελούν σύνολο κανονικών μεταβλητών, (και όχι τις καρτεσιανές συντεταγμένες (x,y,z) σε συνδυασμό με τις συζυγείς ορμές) γιατί μένουν αναλλοίωτα με τον χρόνο στο πρόβλημα των δύο σωμάτων. Αυτό γίνεται με την χρήση των στοιχείων Delauay, που αποτελούν μεταβλητές δράσης γωνίας και ορίζονται ανάλογα με τον συντονισμό. Τελικά, τα στοιχεία που καθορίζουν μία ελλειπτική τροχιά είναι τα εξής: i) ο μεγάλος ημιάξονας της έλλειψης, α, ii) η εκκεντρότητα, e, iii) η κλίση ως προς την εκλειπτική, i, iv) το μήκος του αναβιβάζοντος συνδέσμου, Ω, v) το μήκος του περιηλίου, ϖ και vi) το μέσο μήκος, λ. Τα δύο πρώτα στοιχεία καθορίζουν το μέγεθος και το σχήμα της τροχιάς, τα επόμενα τρία την θέση της τροχιάς και τον προσανατολισμό της στον χώρο και το τελευταίο την θέση του σώματος πάνω στην έλλειψη για οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Από τα έξι παραπάνω στοιχεία της τροχιάς, 45