Ιωάννης Γ. Ψυχογιός, Δημήτριος Χατζηαβραμίδης Σχολή Χημικών Μηχανικών, Ε.Μ.Π., Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Αθήνα

Transcript

1 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ LATTICE BOLTZMANN ΚΟΝΤΑ ΣΤΟ ΚΑΤΩΦΛΙ ΔΙΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ Ιωάννης Γ. Ψυχογιός, Δημήτριος Χατζηαβραμίδης Σχολή Χημικών Μηχανικών, Ε.Μ.Π., Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Αθήνα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η μέθοδος lattice Boltzann αποτελεί μια εναλλακτική προσέγγιση για την προσομοίωση ροών επιλύοντας έμμεσα τις εξισώσεις διατήρησης μάζας και Navier Stokes με χρήση ενός απλοποιημένου κινητικού σχήματος. Μεταξύ των πεδίων στα οποία η μέθοδος έχει σημειώσει ιδιαίτερη επιτυχία είναι οι ροές ρευστών σε πορώδη μέσα, κυρίως γιατί εύκολα μπορεί να υλοποιηθεί η συνθήκη μη ολίσθησης επάνω στην στερεή επιφάνεια. Απ' όσο μπορούμε να γνωρίζουμε η μέθοδος μέχρι σήμερα δεν έχει εφαρμοσθεί σε ροές σε πορώδη μέσα στα οποία το πορώδες προσεγγίζει την κρίσιμη τιμή του. Για να ελέγξουμε τη δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιήσαμε ένα μοντέλο τυχαία τοποθετημένων αλληλοεπικαλυπτόμενων σφαιρών (Swiss cheease model), για το οποίο ο κρίσιμος εκθέτης διαπερατότητας έχει εκτιμηθεί με ακρίβεια από τους Halperin et. al. με χρήση μεθόδων της θεωρίας διαγωγιμότητας (percolation theory). Διαπιστώσαμε ότι η μέθοδος lattice Boltzmann προσεγγίζει ικανοποιητικά τις προβλέψεις της θεωρίας διαγωγιμότητας σχετικά με την εκθετική εξάρτηση της διαπερατότητας του πορώδους μέσου, για ένα εύρος πορωδών κοντά στο κρίσιμο πορώδες, ωστόσο αποκλίνει από την αναμενόμενη συμπεριφορά όσο προσεγγίζουμε το σημείο ασυνέχειας του κενού χώρου. Διαπιστώσαμε ότι η συμπεριφορά αυτή είναι αποτέλεσμα των διαγώνιων σωματιδιακών ταχυτήτων του κινητικού σχήματος οι οποίες δημιουργούν φαινόμενες ροές σε συγκεκριμένου τύπου κόμβους του πλέγματος και οι οποίες γίνονται κυρίαρχες όσο προσεγγίζουμε το κρίσιμο πορώδες. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα πλαίσια της μεθόδου lattice Boltzmann [1] η βασική μεταβλητή ενδιαφέροντος είναι η συνάρτηση κατανομής ταχύτητας ενός σωματιδίου f i (x, t), 0 i N η οποία εκφράζει το πλήθος των σωματιδίων τα οποία εχουν ταχύτητα e i στη θέση x του χώρου κατά τη χρονική στιγμή t. Δοθείσας της f i η πυκνότητα και η ταχύτητα του υπό θεώρηση ρευστού υπολογίζονται από τις εξισώσεις: ρ (,) x t = fi (,) x t (1) 1 ux (,) t = fi(,) xt e ρ(,) x t i Το σύνολο των σωματιδιακών ταχυτήτων {e i 0 i N} πρέπει να εκλεγεί κατάλληλα ώστε το κινητικό μοντέλο να έχει την απαιτούμενη συμμετρία ώστε να αναπαράγει ορθά τις συμμετρίες και τα αναλλοίωτα των μακροσκοπικών εξισώσεων διατήρησης της μάζας και της γραμμικής ορμής. Για τις τρείς διαστάσεις ένα σύνολο ταχυτήτων που πληροί τις ανωτέρω προϋποθέσεις αποτελείται από δεκαεννέα διακριτές ταχύτητες, τις: i i (2)

2 (0,0,0) c, i = 0 e i = (( ± 1,0,0),(0, ± 1,0),(0,0, ± 1)) c,1 i 6 (3) (( ± 1, ± 1,0),( ± 1,0, ± 1),(0, ± 1, ± 1)) c,7 i 18 όπου c Δx / Δt η ταχύτητας του φωτός του πλέγματος. Τα διανύσματα {e i 1 i 6} χαρακτηρίζονται ως σύνδεσμοι κλάσης Ι, ενώ τα διανύσματα {e i 7 i 18} ως σύνδεσμοι κλάσης ΙΙ. Η συνάρτηση κατανομής ταχύτητας εξελίσσεται βάσει της διακριτής εξίσωσης Boltzmann, η οποία απουσία εξωτερικών δυνάμεων έχει τη μορφή [2]: fx ( + ei tt, + t) = fx (,) t Ωx (,) t (4) όπου Ω(x, t) ο διακριτοποιημένος τελεστής κρούσης Boltzmann και: ( + tt, + t) [ f( + tt, + t),, f ( + tt, + t) ] T f x e x e x e (5) i 0 0 [ ] T 0 1 όπου ο υπεδρείκτης T δηλώνει ανάστροφο πίνακα. N fx (,) t f (,), xt f (,), xt, f (,) x t (6) N N ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΧΡΟΝΩΝ ΧΑΛΑΡΩΣΗΣ MRT Στα πλαίσια του μοντέλου MRT (Multiple Relaxation Times) ο Ω προσεγγίζεται από την εξίσωση [2, 3]: ( eq) Ωx 1 (,) t = M S mx (,) t m (,) x t (7) όπου Μ είναι ένας (Ν + 1) (Ν + 1) πίνακας και S ο πίνακας χαλάρωσης. Ο πίνακας M μετασχηματίζει γραμμικά τη συνάρτηση κατανομής στις ροπές m της ταχύτητας, δηλαδή: όπου M 1 ο αντίστροφος του M και: 1 m = Mf f = M m (8) [ m (,), t m (,), t, m (,) t ] T m x x x (9) 0 1 N T m ( eq) ( eq) ( eq) ( eq) m0, m1,, m N (10) Για το πλέγμα D3Q19 οι 19 ροπές είναι κατά σειρά [2, 3]: m 0 = Δρ η διακύμανση της πυκνότητας, m 1 = e η ροπή που σχετίζεται με την κινητική ενέργεια, m 2 = ε η ροπή που σχετίζεται με το τετράγωνο της κινητικής ενέργειας, m 3,5,7 = j x,y,z οι συνιστώσες της ορμής j = (j x, j y, j z ) = ρ 0 u, m 4,6,8 = q x,y,z ροπές σχετιζόμενες με τη ροή θερμότητας q = (q x, q y, q z ), m 9 = 3p xx, m 11 = p ww και m 13,14,15 = p xy,yz,zx ροπές σχετιζόμενες με τα στοιχεία του δυαδικού τάσης, m 10 = 3p xx και m 12 = 3p ww είναι ροπές τέταρτης τάξης και m 16,17,18 = m x,y,z ροπές τρίτης τάξης. Η ποσότητα ρ 0 είναι η μέση πυκνότητα του συστήματος. Η αναλυτική μορφή του πίνακα M δίνετε στη βιβλιογραφία [2], ενώ ο πίνακας χαλάρωσης S είναι διαγώνιος με [3]: S = diag(0, s, s,0, s,0, s,0, s, s, s, s, s, s, s, s, s, s, s ) (11) e ε q q q ν π ν π ν ν ν ω ω ω όπου s e, s ε, s q, s v, s π και s ω είναι οι ρυθμοί χαλάρωσης, που αποτελούν ελεύθερες παραμέτρους του μοντέλου. Οι ροπές ισορροπίας είναι συναρτήσεις των διατηρούμενων

3 ποσοτήτων (μάζα και γραμμική ορμή, για την περίπτωση άθερμου ρευστού) και για το πλέγμα D3Q19 ισχύουν [3]: ( eq) 19 ( eq) ωε ( eq) 2 m1 = 11 ρ + j j m2 = ωε ρ + j j m4,6,8 = jxyz,, ρ ρ m = (3 j j j) m = ω m m = ( j j ) ( eq) 2 ( eq) ( eq) ( eq) x 10 xx 9 11 y z ρ0 ρ0 1 1 m = ω m m = j j m = j j ( eq) ( eq) ( eq) ( eq) 12 xx x z 14 y z ρ0 ρ0 1 m = j j m = m = m ( eq) ( eq) ( eq) ( eq) 15 z x ρ0 Οι D. d Humieres et. al. [2] μέσω γραμμικής ανάλυσης ευστάθειας για το πλέγμα D3Q19 έχουν προτείνει τις ακόλουθες αριστοποιημένες τιμές (για τους τέσσερις, από τους συνολικά έξι ρυθμούς χαλάρωσης): s e = 1.19, s ε = s π = 1.4 και s q = 1.2. Με τις επιλογές αυτές απομένουν μόνο δυο ελεύθεροι ρυθμοί χαλάρωσης (ο s v και ο s ω ), λόγω του οποίου το μοντέλο χαρακτηρίζεται ως TRT (Two Relaxation Times). Ο ρυθμός χαλάρωσης s v σχετίζεται με το κινηματικό ιξώδες του ρευστού μέσω της εξίσωσης: με τον προφανή περιορισμό ότι s v < v = cs t sv 2 = 0 (12) (13) ΚΑΤΩΦΛΙ ΔΙΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΑΠΛΟ ΚΥΒΙΚΟ ΠΛΕΓΜΑ ΣΦΑΙΡΩΝ Αποτελεί βασικό ζητούμενο της θεωρίας διαγωγιμότητας η εύρεση της τιμής του κρίσιμου πορώδους (critical porosity) δοθείσας μιας πορώδους δομής. Ωστόσο, σε μια απλή κυβική (simple cubic) δομή σφαιρών, εντελώς γεωμετρικά, μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του κρίσιμου πορώδους. (α) (β) Σχήμα 1. α) Στοίβαξη στοιχειωδών κυψελίδων απλού κυβικού πλέγματος στο κρίσιμο σημείο, β) Τοπολογία του κενού χώρου της στοιχειώδους κυψελίδας του απλού κυβικού πλέγματος στο κρίσιμο πορώδες, όπου φαίνεται ξεκάθαρα η ασυνέχεια του πορώδους χώρου. Η οριακή περίπτωση όπου ο κενός χώρος γίνεται ασυνεχής φαίνεται στο Σχήμα 1. Το κρίσιμο πορώδες της δομής είναι [10]:

4 φ c, sc 8 3(8 5 2) = π (14) 12 2 Με βάση την τιμή αυτή σε ολόκληρή την περιοχή πορωδών ϕ η διαπερατότητα του μέσου είναι μηδενική. Αρχικά θα ελέγξουμε κατά πόσο ο κώδικας μας μπορεί να αναπαράγει αυτή τη συμπεριφορά. Για την προσομοίωση του προβλήματος χρησιμοποιήσαμε το μοντέλο MRT επάνω στο πλέγμα D3Q19. Το υπολογιστικό πλέγμα αποτελείται από d 3 κόμβους, όπου d = 129. Στο κέντρο του πλέγματος τοποθετούμε μια σφαίρα, η αρχική ακτίνα της οποία είναι R = 90. Για κάθε επόμενη προσομοίωση η ακτίνα της σφαίρας αυξάνεται κατά 0.5 ή 1.0. Για όλες τις περιπτώσεις των ψηφιοποιημένων δομών που δημιουργήσαμε επιλέξαμε η ακτίνα της σφαίρας να είναι ακέραιος ή μισός ακέραιος αριθμός. Οδηγηθήκαμε σε αυτή την επιλογή γιατί διαπιστώσαμε ότι έτσι περιορίζεται το σφάλμα ψηφιοποίησης των σφαιρών σε σχέση με την περίπτωση όπου είχαμε επιλέξει ως ακτίνες πραγματικούς αριθμούς. Όταν R = 90 το πορώδες της δομής είναι περίπου 0.108, ενώ όταν η ακτίνα της σφαίρας γίνει R = 98 το πορώδες είναι περίπου Για κάθε μια από αυτές τις δομές υπολογίσαμε την διαπερατότητα της. Σχήμα 2. Μεταβολή της διαπερατότητας k συναρτήσει του πορώδους κοντά στο κρίσιμο σημείο. Το άλμα της καμπύλης σηματοδοτεί τη μετάβαση του κενού χώρου από συνεχή σε ασυνεχή. Στο Σχήμα 2 φαίνεται η γραφική παράσταση της διαπερατότητας k του πορώδους μέσου συναρτήσει του πορώδους. Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι η προσομοίωση εκτιμά ότι η διαπερατότητα μηδενίζεται σε κάποιο πορώδες μεταξύ του και 0.039, τιμή η οποία είναι ελαφρά μεγαλύτερη από την αναμενόμενη βάσει της εξίσωσης (14). Φυσικά δεν θα ανέμενε κάποιος ότι σε ένα τόσο ευαίσθητο πρόβλημα θα μπορούσε να λάβει ιδιαίτερα ακριβή εκτίμηση, με δεδομένο ότι ότι χρησιμοποιείται μια ψηφιοποιημένη δομή για την αναπαράσταση της σφαίρας. Άλλωστε δεν θεωρούμε ότι η μέθοδος lattice Boltzmann αποτελεί τεχνική για την εκτίμηση του κατωφλιού διαγωγιμότητας. Σε κάθε περίπτωση, η συμπεριφορά που σκιαγραφεί η καμπύλη του Σχήματος 2 είναι αυτή που προβλέπει η θεωρία διαγωγιμότητας. Συγκεκριμένα, η θεωρία διαγωγιμότητας προβλέπει ότι σε πορώδη κοντά την κρίσιμη τιμή η διαπερατότητα του πορώδους μέσου μεταβάλλεται μέσω μιας σχέσης της μορφής [5]: k ( φ φ ) e c [ φ φ + ] (15) c c

5 όπου e c ο κρίσιμος εκθέτης διαπερατότητας (permeability critical exponent). Σημειωτέον ότι επειδή μελετάμε περίπτωση συνεχούς percolation (continuum percolation) η τιμή του κρίσιμου εκθέτη δεν είναι παγκόσμια [5, 6] ή τουλάχιστον αυτή είναι η κυρίαρχη τάση που υπάρχει στη σύγχρονη βιβλιογραφία. Επειδή δεν είναι δυνατόν κάποιος να γνωρίζει πότε βρίσκεται κοντά στο κρίσιμο πορώδες όπου ισχύει η εξίσωση (15) πρέπει να δοκιμάσουμε από ποιό πορώδες και κάτω εμφανίζεται ακριβής γραμμική συσχέτιση μεταξύ του ln k και του ln (ϕ ϕ c ). Ο καλύτερος συντελεστής γραμμικής προσαρμογής που βρήκαμε προκύπτει αν πάρουμε πορώδη στην περιοχή ϕ 0.071, η δε ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης φαίνεται στο Σχήμα 3. Σχήμα 3. Λογάριθμος της διαπερατότητας συναρτήσει του λογαρίθμου της απόκλισης του πορώδους από την κρίσιμη του τιμή. Τα σημεία αντιστοιχούν σε αποτελέσματα της προσομοίωσης, ενώ η συνεχής γραμμή είναι η ευθείας γραμμικής παλινδρόμησης τους. ΣΥΣΤΟΙΧΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΛΛΗΛΟΕΠΙΚΑΛΥΠΤΟΜΕΝΩΝ ΣΦΑΙΡΩΝ Θεωρούμε ένα κενό κυβικό κουτί ακμής d. Χρησιμοποιώντας μια γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθμών παράγουμε τρείς ψευδοτυχαίους αριθμούς x c, y c, z c (0, d 1) οι οποίοι αντιστοιχούν στις συντεταγμένες του κέντρου μια σφαίρας ακτίνας R. Αν το κέντρο της σφαίρας βρίσκεται στην περιοχή [R, d R] [R, d R] [R, d R] η σφαίρα τοποθετείται ως έχει και ακολουθεί η τοποθέτηση επόμενης σφαίρας. Σχήμα 4. Διδιάστατη προβολή για την επιβολή περιοδικής συνοριακής συνθήκης κατά τον άξονα x για την περίπτωση όπου το κέντρο Κ της σφαίρας βρίσκεται εκτός του ορθογωνίου ΑΒΓΔ.

6 Αν κάποιο/α από τα x c, y c, z c βρίσκεται εκτός του διαστήματος [R, d R] τότε ένα τμήμα της σφαίρας αποκόπτεται από τα τοιχώματα του κουτιού. Σε αυτή την περίπτωση δημιουργούνται οι κατά x, y και z περιοδικές εικόνες της, ανάλογα με το ποιό/α από τα x c, y c, z c βρίσκεται εκτός του διαστήματος [R, d R]. Τα τμήματα των περιοδικών σφαιρών τα οποία βρίσκονται εσωτερικά του κουτιού διατηρούνται, ενώ τα υπόλοιπα τμήματα αποκόπτονται. Στο Σχήμα 4 φαίνεται αυτή η διαδικασία για την διεύθυνση x. Με τον αλγόριθμο αυτό αρχικά τοποθετούμε 270 σφαίρες ακτίνας R = 11 σε μια κυψελίδα ακμής d = 80. Εν συνεχεία ακολουθούν άλλα έντεκα στάδια επανατοποθέτησης σφαιρών, σε καθένα εκ των οποίων προστίθενται 40 επιπλέον σφαίρες με την ίδια ακτίνα. Με τον τρόπο αυτό δημιουργείται ένα στιγμιότυπο (realization) δομών r j = {s ij 1 i 12}, όπου το δείγμα s 1j αποτελείται από 270 σφαίρες, το δείγμα s 2j από 310 σφαίρες κ.ο.κ. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία δημιουργούνται άλλα εννέα στιγμιότυπα. Τυπικά δείγματα που κατασκευάσθηκαν με αυτή την διαδικασία φαίνονται στο Σχήμα 5. Ουσιαστικά η διαδικασία αυτή προσομοιώνει το μοντέλο του Ελβετικού τυριού (Swiss cheese model) [ή μοντέλο τυχαίων κενών (random void model)] όπου σε ένα αγώγιμο υλικό τοποθετούνται τυχαία μη αγώγιμα σφαιρικά αντικείμενα [6, 7]. Όταν το μοντέλο αυτό χρησιμοποιείται για να προσομοιώσει ένα πορώδες μέσο δημιουργείται μια σύγχυση σχετικά με την έννοια του κενούˮ, αφού στο μοντέλο του Ελβετικού τυριού η έννοια αναφέρεται στην μη αγώγιμη φάση, ενώ σε ένα πορώδες μέσο στην αγώγιμη. Ωστόσο το ουσιώδες είναι ότι και στις δυο περιπτώσεις έχουμε μια αγώγιμη φάση εντός της οποίας τοποθετούνται τυχαία σφαιρικά αντικείμενα μιας μη αγώγιμης φάσης. Ακολουθώντας αυτή την προσέγγιση η έννοια του πορώδους εξακολουθεί να χρησιμοποιείται με τη συνήθη ερμηνεία της σε ένα πορώδες μέσο. (α) (β) (γ) Σχήμα 5. Τυπικές δομές τυχαία τοποθετημένων αλληλοεπικαλυπτόμενων σφαιρών με κοινή ακτίνα 11 lu σε κυβικό κουτί ακμής 80 lu. α) Στερεά μήτρα σε πορώδες 0.39, β) Κενός χώρος σε πορώδες 0.39 (συνεχής), γ) Κενός χώρος σε πορώδες (ασυνεχής). Το μέσο πορώδες των δειγμάτων που αποτελούνται από συγκεκριμένο πλήθος σφαιρών εκτιμάται από την δειγματική μέση τιμή: 10 1 φi = φij,1 i 12 (16) 10 j = 1 όπου i ο αύξων αριθμός του δείγματος και j ο αύξων αριθμός του στιγμιοτύπου. Όμοια, η μέση διαπερατότητα των δειγμάτων με πορώδες ϕ j εκτιμάται ως:

7 10 1 ki = kij,1 i 12 (17) 10 j = 1 Είναι γνωστό ότι σε μια δομή τυχαίων αλληλοεπικαλυπτόμενων σφαιρών ο πορώδης χώρος γίνετε ασυνεχής όταν ϕ c 0.03 [8, 9]. Στο Σχήμα 6 φαίνεται η μεταβολή της μέσης διαπερατότητας συναρτήσει του μέσου πορώδους. Παρατηρούμε ότι η μέση διαπερατότητα δεν μηδενίζεται ακόμα και για πορώδη μικρότερα από το κρίσιμο. Μάλιστα παρατηρούμε ότι για πορώδη μικρότερα από περίπου 0.05 η διαπερατότητα αποκτά πρακτικά σταθερή τιμή της τάξης του lu 2. Η συμπεριφορά αυτή είναι εντελώς διαφορετική από την περίπτωση του Σχήματος 2, όπου η διαπερατότητα πρακτικά μηδενίζεται σε πορώδη μικρότερα από περίπου 0.04 (με την τιμή lu 2 ουσιαστικά να αποτελεί σφάλμα αριθμητικής αναπαράστασης). Έχουμε επαληθεύσει μέσω προσομοίωσης ότι ο μη μηδενισμός της διαπερατότητας συνεχίζεται ακόμα και σε πορώδη μικρότερα του 0.01, οπότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η μέθοδος lattice Boltzmann δεν μπορεί να αναπαράγει τον μηδενισμό της διαπερατότητας σε πορώδη μικρότερα ή ίσα από το κρίσιμο, για την περίπτωση των τυχαίων αλληλοεπικαλυπτόμενων σφαιρών. Σχήμα 6. Μεταβολή της μέσης διαπερατότητας συναρτήσει του μέσου πορώδους για τη ροή σε δομή τυχαία τοποθετημένων αλληλοεπικαλυπτόμενων σφαιρών. Υπάρχουν (τουλάχιστον) δύο λόγοι που πιστεύουμε ότι οδηγούν σε αυτή τη συμπεριφορά. Ο πρώτος σχετίζεται με την ψηφιοποιημένη δομή και επιδράσεις λόγω πεπερασμένου μεγέθους της (finite size effects). Ο δεύτερος σχετίζεται αποκλειστικά με την μέθοδο lattice Boltzmann και τις πλεγματικές ταχύτητες κλάσης ΙΙ. Για να σκιαγραφήσουμε το πρόβλημα ας θεωρήσουμε μια διδιάστατη γεωμετρία και το πλέγμα D2Q9. Αναφερόμαστε στο Σχήμα 7 όπου έχουμε σχεδιάσει ένα σκαρίφημα διδιάστατης ψηφιοποιημένης γεωμετρίας και εστιάζουμε την προσοχή μας στην περιοχή εντός του εστιγμένου κύκλου. Οι δυο στερεές επιφάνειες εφάπτονταιˮ και φυσιολογικά το ρευστό δεν μπορεί να κινηθεί από τον κόμβο Α στον κόμβο Β. Ωστόσο, επειδή και οι δυο κόμβοι είναι κόμβοι ρευστού και συνδέονται διά μέσω του συνδέσμου 7 το βήμα διάδοσης δεν έχει απολύτως κανένα λόγο να μην προωθήσει το ψευδοσωματίδιο ρευστού από τον κόμβο Α στον κόμβο Β. Συνέπεια αυτού είναι ότι δημιουργείται τοπικά μια φαινόμενη συνιστώσα της ταχύτητας η οποία δεν θα έπρεπε να υφίστατο.

8 Σχήμα 7. Διαφυγή ρευστού μεταξύ στερεών κόμβων με μία κοινή κορυφή διά μέσω διαγώνιου συνδέσμου στο πλέγμα D2Q9. Καθώς το πορώδες του μέσου μειώνεται είναι φανερό ότι αυξάνει και το πλήθος των κόμβων που δημιουργούν φαινόμενες ροές, οι οποίες αρχίζουν να γίνονται συγκρίσιμες με την πραγματική ροή. Σε πορώδη πολύ κοντά στο κρίσιμο ή μικρότερα οι φαινόμενες ροές κυριαρχούν και στην πραγματικότητα από κάποια τιμή πορώδους και κάτω υπολογίζει κανείς μια μη μηδενική φαινόμενη ταχύτητα η οποία οφείλεται αποκλειστικά στις ροές αυτές. Πιστεύουμε ότι αυτός είναι ο λόγος που στο διάγραμμα του Σχήματος 6 η μέση διαπερατότητα εμφανίζει σταθερή μη μηδενική τιμή για πορώδη μικρότερα από περίπου Η συμπεριφορά αυτή δεν εμφανίζεται στην περίπτωση ροής σε απλό κυβικό πλέγμα σφαιρών, διότι η γεωμετρία είναι τέτοια που στο κρίσιμο σημείο οι εναπομείναντες ρευστοί κόμβοι είναι αδύνατο να επικοινωνήσουν μεταξύ τους. Αντίστοιχα ισχύουν για τις τρείς διαστάσεις, στην περίπτωση όπου μεταξύ δυο κόμβων ρευστού υπάρχουν δυο κόμβοι στερεού οι οποίοι έχουν μια κοινή ακμή (Σχήμα 8.α). Προφανώς όσο μεγαλύτερο πλήθος συνδέσμων κλάσης ΙΙ έχει ένα πλέγμα τόσο εντονότερο πρόβλημα δημιουργείται σε τέτοιου είδους κόμβους. Για παράδειγμα το πλέγμα D3Q19 έχει δώδεκα συνδέσμους κλάσης ΙΙ, ενώ το πλέγμα D3Q15 έχει οκτώ και κατά συνέπεια για έναν συγκεκριμένο κόμβο το πλέγμα D3Q19 θα εμφανίζει μεγαλύτερες φαινόμενες ταχύτητες απ ότι το πλέγμα D3Q15. Τέλος, για δεδομένο πλέγμα το μέγεθος των φαινόμενων ροών σε έναν κόμβο εξαρτάται και από την τοπική γεωμετρία του πορώδους χώρου. Για παράδειγμα, στο πλέγμα D2Q9 κάθε κόμβος ρευστού που βρίσκεται μεταξύ δύο κόμβων στερεού οι οποίοι έχουν μια κοινή κορυφή μπορεί να έχει το πολύ δυο γειτονικούς κόμβους ρευστού με τους οποίους συνδέεται διά μέσω κάποιου συνδέσμου κλάσης ΙΙ (Σχήμα 8.β). Στις τρείς διαστάσεις υπάρχουν περισσότερες δυνατότητες και πάλι ανάλογα με το πλήθος των συνδέσμων κλάσης ΙΙ του πλέγματος. (α) (β) Σχήμα 8. α) Διαφυγή ρευστού μεταξύ στερεών κόμβων με μία κοινή ακμή διά μέσω διαγώνιου συνδέσμου στις τρείς διαστάσεις, β) Δυνατές περιπτώσεις επικοινωνίας κόμβων ρευστού που βρίσκονται μεταξύ κόμβων στερεού οι οποίοι έχουν μια κοινή κορυφή για το πλέγμα D2Q9.

9 Σχήμα 9. Μεταβολή του λογαρίθμου της μέσης διαπερατότητας συναρτήσει του λογαρίθμου της απόκλισης του μέσου πορώδους από την κρίσιμη τιμή του. Τα σημεία αποτελούν αποτελέσματα της προσομοίωσης, ενώ η συνεχής γραμμή είναι η ευθεία παλινδρόμησης τους. Προχωράμε τώρα στο να ελέγξουμε κατά πόσο τα αποτελέσματα της προσομοίωσης ικανοποιούν την εξίσωση (15). Στο Σχήμα 9 φαίνεται η γραφική παράσταση του λογαρίθμου της μέσης διαπερατότητας συναρτήσει του λογαρίθμου της απόκλισης του μέσου πορώδους από το κρίσιμο πορώδες (για όλους τους υπολογισμούς έχουμε θεωρήσει ότι ϕ c = 0.03). Σημειώνουμε ότι για την κατασκευή του διαγράμματος του Σχήματος 9 έχουν θεωρηθεί πορώδη στην περιοχή ϕ Το άνω (δεξιό) άκρο αυτού του διαστήματος οριοθετείται τόσο από τα αποτελέσματα της προσομοίωσης (τα οποία για πορώδη μεγαλύτερα από περίπου αποκλίνουν από τη γραμμική προσαρμογή), όσο και από τα όρια ισχύος της εξίσωσης (15), η οποία είναι έγκυρη όταν ϕ ϕ c +. Το κάτω (αριστερό) όριο οριοθετείται από όσα αναφέραμε προηγούμενα, ότι δηλαδή για πορώδη μικρότερα από περίπου 0.05 τα αποτελέσματα της προσομοίωσης δεν θεωρούνται αξιόπιστα, λόγω των φαινόμενων ροών. Όπως φαίνεται και από το Σχήμα 9 η προσαρμογή είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική, με τον συντελεστή γραμμικής προσαρμογής να είναι ίσος με Η ευθεία παλινδρόμησης να έχει κλίση ίση με 4.03, που αποτελεί και την εκτίμηση του κρίσιμου εκθέτη διαπερατότητας e c. Με δεδομένο ότι για το μοντέλο του Ελβετικού τυριού ο κρίσιμος εκθέτης διαπερατότητας έχει τιμή περίπου ίση με 5 / = 4.4 (όπου ο παράγοντας 1.9 αντιστοιχεί στο πλεγματικό percolation και ο 5 / 2 αποτελεί την αύξηση του κρίσιμου εκθέτη για την περίπτωση του συνεχούς percolation) [6] είναι εμφανές ότι η εκτίμηση της προσομοίωσης είναι ιδιαίτερα καλή. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιήσαμε ένα μοντέλο πολλαπλών χρόνων χαλάρωσης για να αξιολογήσουμε τη δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου lattice Boltzmann για προσομοίωση ροών σε πορώδη μέσα, το πορώδες των οποίων προσεγγίζει την κρίσιμη του τιμή. Διαπιστώσαμε ότι η μέθοδος προσεγγίζει ικανοποιητικά τις προβλέψεις της θεωρίας διαγωγιμότητας σχετικά με την εκθετική εξάρτηση της διαπερατότητας του πορώδους μέσου, για ένα εύρος πορωδών κοντά στο κρίσιμο πορώδες, ωστόσο αποτυγχάνει να αναπαράγει το μηδενισμό της διαπερατότητας για πορώδη μικρότερα ή ίσα με την κρίσιμη τιμή. Εξηγήσαμε ότι η συμπεριφορά αυτή θα πρέπει να αποδοθεί στις φαινόμενες ροές που δημιουργούνται λόγω των διαγώνιων σωματιδιακών ταχυτήτων και γίνονται κυρίαρχες όσο προσεγγίσουμε το σημείο ασυνέχειας του κενού χώρου.

10 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Chen S., Doolen G. D., Lattice Boltzmann method for fluid flows, Annu. Rev. Fluid Mech. 30 (4), (1998) [2] D. d Humieres, I. Ginzburg, M. Krafczyk, P. Lallemand, L. S. Luo, Multiple relaxation time lattice Boltzmann models in three dimensions, Philos. Trans. R. Soc. Lond. A (2002) [3] Huidan Yu, Li Shi Luo, Sharath S. Girimaji, LES of turbulent square jet flow using an MRT lattice Boltzmann model, Comput. Fluids (2006) [4] [5] Muhammad Sahimi, Applications of percolation theory, Taylor & Francis (1994) [6] B. I. Halperin, Shechao Feng, Differences between lattice and continuum percolation transport exponents, Phys. Rev. Lett (1985) [7] Jacob Rubinstein, S. Torquato, Flow in random porous media: mathematical formulation, variational principles, and rigorous bounds, J. Fluid Mech (1889) [8] Yi Y. B., Void percolation and conduction of overlapping ellipsoids, Phys. Rev. E 74 (3) (2006) [9] Rintoul M. D., Precise determination of the void percolation threshold for two distributions of overlapping spheres, Phys. Rev. E 62 (6) (2000) [10] Ιωάννης Γ. Ψυχογιός, Προσομοίωση ροής με τη μέθοδο lattice Boltzmann, Διδακτορική διατριβή, Σχολή Χημικών Μηχανικών Ε.Μ.Π. (2012)