ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f

Transcript

1 ΤΕΣΤ Α ΟΜΑΔΑ Ι Θεωρούμε την συνάρτηση: f() = pln(+ ) για, με p>. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή η κοίλη. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου p για τις οποίες η μέγιστη τιμή της βρίσκεται στο =.. Η συνάρτηση είναι κοίλη ως άθροισμα της κοίλης ln(+ ), της κοίλης (αρνητική κυρτής) και της γραμμικής. Εναλλακτικά: η η p p παράγωγος είναι αρνητική: f () =, f = < ) + (+ ). Το ma κοίλης συνάρτησης είναι πρόβλημα ΚΠ και η λύση θα είναι στο αριστερό σύνορο: = f () p p Θεωρούμε την συνάρτηση: f() = p για, με p>. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή η κοίλη. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου p για τις οποίες η μέγιστη τιμή της βρίσκεται στο =. Η συνάρτηση είναι κυρτή ως άθροισμα της κυρτής (αρνητική κοίλης) και της γραμμικής p. / / / Εναλλακτικά, η η παράγωγος είναι θετική: f() = p f () = p, f () = > 4. Το μέγιστο κυρτής είναι οπωσδήποτε συνοριακό: { ή }. (Το στάσιμο, αν υπάρχει, είναι ελάχιστο) Θα βρίσκεται στο δεξιό σύνορο = f() f() p p /. Θεωρούμε την συνάρτηση: / f() = p με {p> }, στο θετικό διάστημα:. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή ή κοίλη. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της /. Είναι κοίλη ως άθροισμα της κοίλης: p, με την γραμμική: w. / / / Εναλλακτικά, έχει αρνητική η παράγωγο: f() = p f () = p, f () = p < 4. Έχουμε πρόβλημα Κυρτού Προγραμματισμού, και το μέγιστο θα βρίσκεται στο στάσιμο, αν υπάρχει: p p p p f () = = = = = >, έχει πάντοτε λύση στο θετικό διάστημα 4 Η μέγιστη τιμή θα είναι: p p p f = f( ) = p = p = 4 4

2 4 Θεωρούμε την συνάρτηση f() = ln. Να βρεθεί η παραβολική της προσέγγιση στο =. Να εκτιμηθεί η τιμή του ln(.9). f() = ln =, f () = / =, f () = / = = = = f παρ() = f() + f ()( ) + f ()( ) = + ( ) ( ) = ( ) ( ). ln(.9) (.9 ) (.9 ) =. (.) / =. (.) / =..5=.5 (Η γραμμική επέκταση δίνει για τον λογάριθμο στο.9 την τιμή -.. Η πραγματική τιμή είναι μικρότερη διότι η συνάρτηση είναι κοίλη όπως φαίνεται στο γράφημα, και όπως δίνει η παραβολική επέκταση.) 5 Θεωρούμε την συνάρτηση: f() = min{, } για. Να υπολογιστούν η η και η η παράγωγος. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή ή κοίλη. Ως μεγαλύτερη δύναμη, το είναι στην αρχή μικρότερο από το και στη συνέχεια μεγαλύτερο, μετά το σημείο τομής: = =. Επομένως: για για 9 για < f() = min{, } = f =, f () = για για για > (Η η παράγωγος έχει βηματική ασυνέχεια στο =, και επομένως η η δεν ορίζεται σαυτό το σημείο.). Το κάθε τμήμα είναι κυρτό αλλά η συνολική συνάρτηση δεν είναι κυρτή διότι στο σημείο ένωσης = η η παράγωγος δεν μεγαλώνει, αντίθετα μικραίνει: f ( ) = < = f ( + ) 6 ΟΜΑΔΑ ΙΙ To y είναι συνάρτηση του με τιμές {y= 4, y = 6} όταν {=, = 4}. Να εκτιμηθούν τα παρακάτω: dy. Ο (οριακός) ρυθμός μεταβολής του y ως προς : m= Dy= (παράγωγος) d dy / y. H ελαστικότητα μεταβολής του y ως προς : ε= Ey= d / dy / y. Ο σχετικός ρυθμός μεταβολής του y ως προς : r= Ry= d. Έχουμε: Δ= = 4 =, Δy= y y= 6 4= Δy y y m = = = Δ. Δy / y (y y ) / y (y y ) ε = = = =.5 Δ / ( ) / y ( ) 4. Δy / y (y y ) / y (y y ) r = = = = =.5 Δ ( ) y ( ) 4 4., ln y ln y ln6 ln 4 ln / ln ε = = = ln ln ln 4 ln ln ln ή ln y ln y ln6 ln 4 ln / = = ( ) 4 ή r (Ως αρχικές τιμές, αντί των {, y } μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα ενδιάμεσα (+ ) /, (y+ y ) / }

3 7 Tα {, y} συνδέονται μεταξύ τους, όπου η ελαστικότητα του y ως προς είναι ελαττωθεί κατά %, να εκτιμηθεί πόσο θα μεταβληθούν τα μεγέθη:.. u= y /. Οι εκτιμήσεις των μεταβολών δίνονται από τα διαφορικά.. Έχουμε:. y= y() % dy = (E y)(%d) = ( )(%d) %d= / =.66%, αύξηση. u= y/ %du = % dy % d= ( / ) = 8 / =.66%, ποσοστιαία μεταβολή λόγου Εy=. Αν το y (Αντί της ποσοστιαίας μεταβολής του λόγου μπορούμε να υπολογίσουμε πρώτα την ελαστικότητα του λόγου ως προς : Εu= Ey E= = 4. Επομένως: % du = (E u)(%d) = ( 4)( / ) = 8 / =.66% 8 Οι θετικές μεταβλητές {, y } συνδέονται με την εξίσωση: + y=.. Να βρεθούν τα σημεία ανελαστικότητας του y ως προς.. Να βρεθούν τα σημεία ελαστικότητας του ως προς y. 9 y A Θεωρούμε την εξίσωση:. Είναι τα σημεία της ευθείας μεταξύ Α και του ενδιάμεσου σημείου ισποελαστικότητας Β όπου η κλίση της ευθείας είναι μικρότερη σε μέτρο από την κλίση της ακτίνας. Επομένως θα είναι τα σημεία στο διάστημα:. Συμπίπτουν με τα σημεία του. / / + y =, στη θετική περιοχή: {, y }. Να γίνει το γράφημά της. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά το σημείο ισοελαστικότητας του y ως προς 4 Ey < B. Είναι της γνωστής μορφής: ρ ρ y c + = με ρ<. Παραγωγίζοντας πλεγμένα ως προς την συνάρτηση y= y(), βρίσκουμε: / + y y / = y = / y = y / / / / / / / / / / y y ε= = = = y= / y y y όπου πήραμε ε= διότι η συνάρτηση y() είναι φθίνουσα στη θετική περιοχή. Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση, βρίσκουμε o σημείο: / / / + y = = { =, y= } Εναλλακτικά μπορούμε να βρούμε πρώτα την συνάρτηση και μετά να παραγωγίσουμε: / / / + y = y = ( )

4 Οι μεταβλητές {, y} συνδέονται με μια εξίσωση. Για = έχουμε y= 5. Να εκτιμηθεί η τιμή του y όταν =, αν η ελαστικότητα του ως προς y είναι ε =. Μπορούμε να δουλέψουμε είτε με μεταβολές και παραγώγους, είτε με ποσοστιαίες μεταβολές και ελαστικότητες. Το μεταβλήθηκε κατά Δ= d= =. To y θα μεταβληθεί κατά Δy dy= y d= y Αρκεί να εκτιμήσουμε την παράγωγο y. Από την ελαστικότητα του ως προς y βρίσκουμε: y y y 5 Εy= = = y = = =.5 y Επομένως το y θα μεταβληθεί περίπου κατά Δy y Δ = (.5)() =.5, και η τιμή του θα είναι περίπου: 5.5= 4.5. Το μεταβλήθηκε κατά %Δ= Δ / = () / = %. To y θα μεταβληθεί κατά %Δy %dy= Ey(%d) = (%Δ) = = % E Επομένως το y θα μεταβληθεί κατά Δy όπου: Δy ( )(5) %Δy= Δy =.5, όπως και προηγουμένως y y ΟΜΑΔΑ ΙΙΙ Στο επίπεδο των (,y) θεωρούμε τα δύο σημεία A : ( =, y = ), A : (=, y= 8). Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα δύο σημεία. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου στa / της απόστασης από το A στο A y y y y y 8. Η εξίσωση της ευθείας είναι: = = y = ( ) y=. Το σημείο στα / της απόστασης από το A στο A, θα είναι ο συνδυασμός τους με συντελεστές: (s = /, s = / ) Επομένως θα έχει τις συντεταγμένες: 7 8 /= s+ s= + =, y/ = sy + sy = + 8= = 6, που ικανοποιούν την εξίσωση 4

5 Στο επίπεδο των {= e +, y= + } (,y) θεωρούμε την παραμετρική καμπύλη:. Να βρεθεί η εξίσωση και το γράφημα της τροχιάς στο επίπεδο των (,y). Να υπολογιστεί η παράγωγος του ως προς y στο σημείο με =. Λύνουμε την η εξίσωση ως προς και αντικαθιστούμε στη η : e e ln( ) = + = = και y= ln( ) + Είναι ο λογάριθμος μετατοπισμένος δεξιά κατά και επάνω κατά, με θετική φορά προς πάνω δεξιά, διότι τα (,y) αυξάνουν με το. Εναλλακτικά μπορούμε να λύσουμε την η ως προς και να αντικαταστήσουμε στην η : y y y= + = y και e = + e = y = ln( ) y= ln( ) +. Ο τύπος σχετιζόμενων ρυθμών μας δίνει για την παράγωγο: d ɺ d / d e dy yɺ dy / d = = = = e = = Εναλλακτικά, βρίσκουμε το σημείο: = (= e+, y= ), και παραγωγίζουμε στην εξίσωση: y= ln( ) + y = = e+ = = = e e y Η συνάρτηση f() είναι ορισμένη στο θετικό διάστημα, και έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος.. Να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας. Να γίνουν στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τα γραφήματα των συναρτήσεων Οριακής τιμής:mf() = f (), Μέσης τιμής: Af() = f() /. Το σημείο ισοελαστικότητας είναι στο όπου η ακτίνα συμπίπτει με την εφαπτόμενη.. Η οριακή τιμή Mf() δίνεται από την κλίση της εφαπτομένης. Αρχίζει από τιμή περίπου μηδενική ή λίγο θετική, και αυξάνει συνεχώς. Η μέση τιμή Af() δίνεται από την κλίση της ακτίνας. Αρχικά είναι άπειρη Mf() και φθίνει συνεχώς μέχρι το όπου συμπίπτει με την οριακή τιμή. Μετά Af() είναι αύξουσα αλλά μικρότερη από την οριακή. Παρατήρηση. Η μέση τιμή μικραίνει όταν η οριακή τιμή είναι μικρότερη, και μεγαλώνει όταν η οριακή τιμή είναι μεγαλύτερη, με ελάχιστο στο σημείο ισοελαστικότητας όπου συμπίπτουν. e 5

6 4 Θεωρούμε μια συνάρτηση f() της οποίας η παράγωγος f () έχει το παραπλεύρως γράφημα. Να γίνει το γράφημά της f() με αρχική τιμή: f() =. Να εντοπιστεί το σημείο μέγιστης τιμής της συνάρτησης f(). Αρχίζοντας με την τιμή: f() =, συνάρτηση f() είναι: α) Όσον αφορά μονοτονία, φθίνουσα μέχρι το που η παράγωγος είναι αρνητική. Στη συνέχεια αύξουσα μέχρι το α που η παράγωγος είναι θετική. Το όπου αλλάζει το πρόσημο της παραφώγου από αρνητικό σε θετικό είναι τοπικό ελάχιστο. β) Όσον αφορά κυρτότητα, είναι κυρτή μέχρι το που η παράγωγος είναι αύξουσα. Στη συνέχεια κοίλη διότι η παράγωγος είναι φθίνουσα. Το όπου αλλάζει γνήσια η κυρτότητα είναι σημείο καμπής.. Η συνάρτηση έχει δύο τοπικά μέγιστα, στα συνοριακά σημεία και α. Η τιμή στο είναι μεγαλύτερη διότι η συνάρτηση f() προκύπτει από την f () με ολοκλήρωση, και σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα, έχουμε: α =προσημασμένο εμβαδό μεταξύ καμπύλης f () f(α) f() = f ()d= E + E Ε Ε α και του άξονα Το αρνητικό εμβαδό E μέχρι το είναι μεγαλύτερο από το θετικό εμβαδό E μεταξύ των {,α}, οπότε το παραπάνω ολοκλήρωμα είναι αρνητικό: E+ E < f(α) f() < f(α) < f() Επομένως = είναι το σημείο μέγιστης τιμής f() =. Η συνάρτηση έχει αρνητικές τιμές. 5 Η συνάρτηση y ( =, y = ) : = y() ορίζεται πλεγμένα με την εξίσωση. Η η παράγωγος και η γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης. Η η παράγωγος. Το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση. Παραγωγίζοντας πλεγμένα, βρίσκουμε: (+ y ) = + y y y= = + y = y = / y = y + y ( ) = ( ) / γρ. Παραγωγίζοντας εκ νέου πλεγμένα, βρίσκουμε: (+ y y ) = (yy ) y + y y = 6( / ) + y = y = / y=,y = /. Μπορούμε να λύσουμε πρώτα την εξίσωση ως προς + y =. Να βρεθούν στο σημείο / y : y = ( ) και μετά να παραγωγίσουμε.. Μπορούμε να υπολογίσουμε πρώτα τις παραγώγους της αντίστροφης: = (y) + y = = y και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους για τις παραγώγους αντίστροφων συναρτήσεων. 6

7 6 Να υπολογιστούν:. Tο όριο του ln όταν. Tο ολοκλήρωμα ln d. ΟΜΑΔΑ IV ln (ln ) /. Με κανόνα L Hopial: ln = = = / (/ ) /. Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες: διότι: 7 f () = f() = / g() = ln g () = / ln d= (ln ) / d= = / 4 4 ln = (ln ) = όταν Να σκιαγραφηθεί και να υπολογιστεί το εμβαδό της περιοχής μεταξύ του γραφήματος της / συνάρτησης f() = min{, } για, και του άξονα.. f() = /. αν αν + + / / f()d = d + d = / = / ( ) =.5 8 Να σκιαγραφηθεί και να υπολογιστεί το εμβαδό της περιοχής μεταξύ της καμπύλης: των θετικών ημιαξόνων.. Η καμπύλη δίνεται από την ανεστραμμένη παραβολή ως προς τον άξονα: = y + y= y(y ). Ολοκληρώνουμε ως προς τον y άξονα στο διάστημα y : (y)dy = ( y + y)dy= y / + y / = / + / = / 6 Παρατήρηση. Θα μπορούσαμε να βάλουμε τον y άξονα οριζόντιο 7 = y + y και 9 Να σκιαγραφηθεί και να υπολογιστεί το εμβαδό μεταξύ της καμπύλης (+ )(y+ ) = 4 και των θετικών ημιαξόνων.. Είναι η υπερβολή y= 4μετατοπισμένη οριζοντίως κατά και κατακόρυφα κατά. Κόβει τους θετικούς ημιάξονες στα σημεία: = και y= αντίστοιχα. 4. (+ )(y+ ) = 4 y= στο διάστημα: + 4 4ln( ) 4ln + = + = y

8 Θεωρούμε τις δύο συναρτήσεις: f() =, g() = /. Να γίνουν τα γραφήματα τους στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, στη θετική περιοχή: {, y }. Να υπολογιστεί το εμβαδό της περιοχής μεταξύ των δύο καμπύλων και του θετικού y ημιάξονα. Έχουμε ένα φθίνων εκθετικό με βάση και μια σταθερή συνάρτηση με τιμή / Τέμνονται στο σημείο: = / ln= ln =, όπου λύσαμε παίρνοντας λογαρίθμους. Για ολοκλήρωση, μετατρέπουμε στη νεπέρια βάση e, και βρίσκουμε: ln ln = (e ) = e Το εμβαδό δίνεται από το ολοκλήρωμα: ln ln E = [f() g()]d = [e / ]d e = = + = ln ln ln ln / 8