Διακριτά Μαθηματικά. Εξεταστέα ύλη. Ιανουάριος και Σεπτέμβριος 2016

Transcript

1 Διακριτά Μαθηματικά Εξεταστέα ύλη Ιανουάριος και Σεπτέμβριος 2016

2 Διακριτά Μαθηματικά Λογική, Αποδείξεις, Σύνολα, Συναρτήσεις

3 Λογική δήλωση σημασία κανόνες λογικής: διαχωρίζουν τα επιχειρήματα σε έγκυρα και άκυρα Η λογική έχει καθοριστική σημασία στην κατανόηση της (μαθηματικής) σκέψης

4 Πρόταση Μια φράση που δηλώνει κάτι Μπορεί να είναι είτε αληθής είτε ψευδής αλλά όχι και τα δύο μαζί Αποτελεί βασικό κατασκευαστικό στοιχείο της λογικής

5 Πρόταση Μια φράση που δηλώνει κάτι Μπορεί να είναι είτε αληθής είτε ψευδής αλλά όχι και τα δύο μαζί Αποτελεί βασικό κατασκευαστικό στοιχείο της λογικής Η Αθήνα είναι πρωτεύουσα της Ελλάδας ΑΛΗΘΗΣ (TRUE T) Η Πάτρα είναι πρωτεύουσα της Ελλάδας ΨΕΥΔΗΣ (FALSE F) 1+1=2 ΑΛΗΘΗΣ (TRUE T) 2+2=3 ΨΕΥΔΗΣ (FALSE F)

6 Πρόταση Μια φράση που δηλώνει κάτι Μπορεί να είναι είτε αληθής είτε ψευδής αλλά όχι και τα δύο μαζί Αποτελεί βασικό κατασκευαστικό στοιχείο της λογικής Η Αθήνα είναι πρωτεύουσα της Ελλάδας ΑΛΗΘΗΣ (TRUE T) Η Πάτρα είναι πρωτεύουσα της Ελλάδας ΨΕΥΔΗΣ (FALSE F) 1+1=2 ΑΛΗΘΗΣ (TRUE T) 2+2=3 ΨΕΥΔΗΣ (FALSE F) Τι ώρα είναι; Διάβασέ το με προσοχή. x+1=2 x+y=z Οι φράσεις αυτές ΔΕΝ είναι προτάσεις γιατί είτε δε δηλώνουν κάτι είτε αυτό που δηλώνουν δεν είναι αληθές ή ψευδές

7 Προτασιακή λογική Προτασιακός λογισμός Τομέας της λογικής που ασχολείται με προτάσεις Αναπτύχθηκε συστηματικά από τον Αριστοτέλη Μαθηματικές φράσεις ή σύνθετες προτάσεις κατασκευάζονται από συνδυασμό μιας ή περισσότερων προτάσεων με χρήση λογικών τελεστών George Boole [1854]: Οι νόμοι της σκέψης Image source:

8 Λογικοί τελεστές: άρνηση Έστω p πρόταση. Άρνηση της p: η δήλωση «Δεν πρόκειται για την περίπτωση ότι η p» Συμβολίζεται p: όχι p Π.χ., p: Σήμερα είναι Παρασκευή p: Σήμερα ΔΕΝ είναι Παρασκευή

9 Λογικοί τελεστές: σύζευξη Έστω p και q προτάσεις. Σύζευξη των p και q: πρόταση που είναι αληθής όταν και η p και η q είναι αληθείς, διαφορετικά είναι ψευδής Συμβολίζεται p Λ q: p και q Π.χ., p: Σήμερα είναι Παρασκευή q: Σήμερα βρέχει pλq: Σήμερα είναι Παρασκευή ΚΑΙ σήμερα βρέχει

10 Λογικοί τελεστές: διάζευξη Έστω p και q προτάσεις. Διάζευξη των p και q: πρόταση που είναι ψευδής όταν και η p και η q είναι ψευδείς, διαφορετικά είναι αληθής Συμβολίζεται pvq: p ή q Π.χ., p: Όσοι δήλωσαν μαθηματικά μπορούν να παρακολουθήσουν το μάθημα q: Όσοι δήλωσαν επιστήμη των υπολογιστών μπορούν να παρακολουθήσουν το μάθημα pvq: Όσοι δήλωσαν μαθηματικά (p) Ή επιστήμη των υπολογιστών (q) μπορούν να παρακολουθούν το μάθημα

11 Λογικοί τελεστές: αποκλειστική διάζευξη Έστω p και q προτάσεις. Αποκλειστική Διάζευξη ή αποκλειστικό Ή των p και q: πρόταση που είναι αληθής όταν μόνο μία από τις p και q είναι αληθής, διαφορετικά είναι ψευδής Συμβολίζεται p q: είτε p είτε q Π.χ., p: Όσοι δήλωσαν μαθηματικά μπορούν να παρακολουθήσουν το μάθημα q: Όσοι δήλωσαν επιστήμη των υπολογιστών μπορούν να παρακολουθήσουν το μάθημα p q: Όσοι δήλωσαν ΕΙΤΕ μαθηματικά ΕΙΤΕ επιστήμη των υπολογιστών (ΑΛΛΑ ΟΧΙ ΚΑΙ ΤΑ ΔΥΟ) μπορούν να παρακολουθούν το μάθημα

12 Συνεπαγωγές Έστω p και q προτάσεις. Συνεπαγωγή p q: πρόταση που είναι ψευδής όταν η p είναι αληθής και η q ψευδής, διαφορετικά είναι αληθής p: υπόθεση ή προϋπόθεση q: συμπέρασμα ή συνέπεια Δισυποθετική p q: πρόταση που είναι αληθής όταν η p και η q έχουν τις ίδιες τιμές αλήθειας, διαφορετικά είναι ψευδής

13 Συνεπαγωγές: παραδείγματα p q Αν p τότε q Αν εκλεγώ θα μειώσω τους φόρους Αν σήμερα είναι Παρασκευή, τότε 2+3=5 Η τοπική ομάδα κερδίζει όταν βρέχει ή αλλιώς Αν βρέχει τότε η τοπική ομάδα κερδίζει Αντιθετοαντίστροφη Αν ΔΕΝ κερδίζει η τοπική ομάδα τότε ΔΕΝ βρέχει Αντίστροφη Ανητοπικήομάδακερδίζειτότε βρέχει Αντιθετική Αν Δεν βρέχει τότεητοπικήομάδαδενκερδίζει p q Μπορείς να μπεις στο αεροπλάνο αν και μόνον αν αγοράσεις εισιτήριο

14 Προτεραιότητα λογικών τελεστών

15 Ταυτολογία, Αντιλογία, Ενδεχόμενο Ταυτολογία: σύνθετη πρόταση που είναι πάντα αληθής ανεξάρτητα από τις τιμές αλήθειας των προτάσεων που υπάρχουν σε αυτήν Αντιλογία ή Αντίφαση: σύνθετη πρόταση που είναι πάντα ψευδής Ενδεχόμενο: πρόταση που δεν είναι ούτε ταυτολογία ούτε αντίφαση Παράδειγμα ταυτολογίας και αντιλογίας:

16 Λογικά ισοδύναμες προτάσεις Οι προτάσεις p και q είναι λογικά ισοδύναμες αν η p q είναι ταυτολογία Συμβολίζουμε p q

17 Λογικά ισοδύναμες προτάσεις Οι προτάσεις p και q είναι λογικά ισοδύναμες αν η p q είναι ταυτολογία Συμβολίζουμε p q

18 Λογικά ισοδύναμες προτάσεις Οι προτάσεις p και q είναι λογικά ισοδύναμες αν η p q είναι ταυτολογία Συμβολίζουμε p q

19 Κατηγορήματα Π1: Το x είναι μεγαλύτερο από 3 Το x είναι το υποκείμενο της πρότασης Π1 «μεγαλύτερο του 3»: κατηγόρημα Συμβολίζουμε την πρόταση Π1 ως P(x), όπου P είναι το κατηγόρημα Ποιες είναι οι τιμές αλήθειας των P(4) (αληθής) και P(2) (ψευδής) ;

20 Κατηγορήματα Π2: Q(x,y): x=y+3 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της Q(1,2); ψευδής Ποια είναι η τιμή αλήθειας της Q(3,0); αληθής Π3: R(x,y,z): x+y=z Ποια είναι η τιμή αλήθειας της R(1,2,3); αληθής Ποια είναι η τιμή αλήθειας της R(0,0,1); ψευδής

21 Ποσοτικοποιήσεις Καθολική ποσοτικοποίηση της P(x) είναι η πρόταση: H P(x) είναι αληθής για όλες τις τιμές του x στο πεδίο ορισμού : καθολικός ποσοδείκτης xp(x): για κάθε xp(x) Υπαρξιακή ποσοτικοποίηση της P(x) είναι η πρόταση: Υπάρχει στοιχείο x στο πεδίο ορισμού έτσι ώστε η P(x) να είναι αληθής : υπαρξιακός ποσοδείκτης xp(x): υπάρχει τουλάχιστον ένα x έτσι ώστε η P(x) ήγια κάποιο x P(x)

22 Ποσοτικοποιήσεις: καθολικός ποσοδείκτης Καθολικός ποσοδείκτης, : «για κάθε» x P(x) P(x): x+1>x Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x P(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι πραγματικοί αριθμοί;(αληθής) Q(x): x<2 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x Q(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι πραγματικοί αριθμοί; (ψευδής) R(x): x 2 <10 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x R(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι θετικοί ακέραιοι που δεν υπερβαίνουν το 4; (ψευδής) Τ(x): ο x έχει 2 γονείς Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x Τ(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι όλοι οι άνθρωποι; (αληθής) Κ(x): x 2 x Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x K(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί; (ψευδής) Όλοι οι ακέραιοι; (αληθής) L(x): x 2 >0 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x L(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι ακέραιοι; (ψευδής)

23 Ποσοτικοποιήσεις: αντιπαράδειγμα Καθολικός ποσοδείκτης, : «για κάθε» x P(x) P(x): x+1>x Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x P(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι πραγματικοί αριθμοί;(αληθής) Q(x): x<2 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x Q(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι πραγματικοί αριθμοί; (ψευδής) R(x): x 2 <10 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x R(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι θετικοί ακέραιοι που δεν υπερβαίνουν το 4; (ψευδής) Τ(x): ο x έχει 2 γονείς Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x Τ(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι όλοι οι άνθρωποι; (αληθής) Κ(x): x 2 x Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x K(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί; (ψευδής) Όλοι οι ακέραιοι; (αληθής) L(x): x 2 >0 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x L(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι ακέραιοι; (ψευδής)

24 Ποσοτικοποιήσεις: υπαρξιακός ποσοδείκτης Υπαρξιακός ποσοδείκτης, : «υπάρχει» x P(x) P(x): x>3 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x P(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι πραγματικοί αριθμοί;(αληθής) Q(x): x=x+1 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x Q(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι πραγματικοί αριθμοί; (ψευδής) R(x): x 2 >10 Ποια είναι η τιμή αλήθειας της ποσοτικοποίησης x R(x) όταν το πεδίο ορισμού είναι οι θετικοί ακέραιοι που δεν υπερβαίνουν το 4; (αληθής)

25 Καθολικός και υπαρξιακός ποσοδείκτης

26 Άρνηση ποσοτικοποιήσεων Υπάρχει φοιτητής στην τάξη που έχει διδαχθεί μαθηματικά Q(x): Ο φοιτητήςx έχει διδαχθεί μαθηματικά, xq(x) Άρνηση: Κάθε φοιτητής στην τάξη δεν έχει διδαχθεί μαθηματικά, x Q(x) Κάθε φοιτητής στην τάξη έχει διδαχθεί μαθηματικά P(x): Ο φοιτητήςx έχει διδαχθεί μαθηματικά, xp(x) Άρνηση: Υπάρχει φοιτητής που δεν έχει διδαχθεί μαθηματικά, x P(x)

27 Άρνηση ποσοτικοποιήσεων: παραδείγματα Ποιες είναι οι αρνήσεις των δηλώσεων Υπάρχει έντιμος πολιτικός Όλοι οι πολιτικοί είναι ανέντιμοι Όλοι οι Έλληνες τρώνε σάντουιτς Υπάρχει Έλληνας που δεν τρώει σάντουιτς x(x 2 >x) x (x 2 x) x(x 2 =2) x (x 2 2)

28 Σύνολα: χρησιμότητα Χρησιμοποιούνται για να ομαδοποιούν μεταξύ τους αντικείμενα Τα αντικείμενα σε ένα σύνολο έχουν παρόμοιες ιδιότητες Αποτελούν μέσο μελέτης παρόμοιων συλλογών με οργανωμένο τρόπο

29 Σύνολα: ορισμός Σύνολο: μη διαταγμένη συλλογή αντικειμένων (π.χ., Α) αντικείμενα ενός συνόλου: στοιχεία ή μέλη του συνόλου (π.χ., Α= {a,b,c,d}) Συμβολίζουμε b A για να δηλώσουμε ότι το b είναι στοιχείο του συνόλου Α Συμβολίζουμε f A για να δηλώσουμε ότι το f ΔΕΝ είναι στοιχείο του συνόλου Α

30 Σύνολα: περιγραφή Τα σύνολα περιγράφονται Με καταγραφή των στοιχείων τους {a,b,c,d} Σύνολο φωνηέντων αγγλικού αλφαβήτου: V={a,e,i,o,u} Σύνολο περιττών θετικών ακεραίων που είναι μικρότεροι του 10: Ο={1,3,5,7,9} Σύνολα μπορεί να περιέχουν και φαινομενικά μη συσχετιζόμενα στοιχεία: {α,2,evi,patras} Σύνολο θετικών ακεραίων που είναι μικτότεροι από 100: {1,2,3,,99} δεν καταγράφουμε όλα τα στοιχεία όταν είναι φανερή η γενική μορφή τους Ν={0,1,2,3, }: σύνολο φυσικών αριθμών Ζ={ 2, 1,0,1,2, }: σύνολο ακεραίων αριθμών Ζ + ={0,1,2, }: σύνολο θετικών ακεραίων αριθμών Q={p/q p Z, q Z, q 0}: σύνολο ρητών αριθμών R: σύνολο πραγματικών αριθμών Με συμβολισμό κατασκευής συνόλου, δηλ., με αναφορά κάποιας κοινής ιδιότητας των στοιχείων Ο={x ο x είναι περιττός θετικός ακέραιος μικρότερος του 10} R={x ο x είναι πραγματικός αριθμός}

31 Σύνολα: ιδιότητες Δύο σύνολα είναι ίσα αν και μόνον αν έχουν τα ίδια στοιχεία Τα σύνολα {1,3,5} και {3,5,1} είναι ίσα Δεν έχει σημασία η σειρά καταγραφής των στοιχείων ενός συνόλου Κενό: σύνολο χωρίς στοιχεία, {}, Μοναδιαίο: σύνολο με ένα στοιχείο, π.χ., {α}, { } Σύνολο Α είναι υποσύνολο ενός συνόλου Β (συμβολίζουμε Α Β) αν και μόνον αν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β Κάθε σύνολο έχει δύο (τετριμμένα) υποσύνολα: τον εαυτό του και το κενό σύνολο ( ) Σύνολο Α είναι γνήσιο υποσύνολο ενός συνόλου Β (συμβολίζουμε Α Β) όταν το Α είναι υποσύνολο του Β και επιπλέον Α Β

32 Σύνολα: πληθάριθμος Σ: σύνολο Το Σ περιέχει n ξεχωριστά στοιχεία n: μη αρνητικός ακέραιος το σύνολο Σ είναι πεπερασμένο και ο αριθμός n είναι ο πληθικός αριθμός ή πληθάριθμος συμβολίζεται με Σ του συνόλου Σ Σ : πλήθος στοιχείων του Σ Α: σύνολο περιττών θετικών ακέραιων που είναι μικρότεροι του 10 Α =5 Σ: σύνολο γραμμάτων ελληνικού αλφαβήτου Σ =24 S: σύνολο γραμμάτων αγγλικού αλφαβήτου S =26 =0 Ένα σύνολο είναι άπειρο αν ΔΕΝ είναι πεπερασμένο

33 Δυναμοσύνολο Δυναμοσύνολο συνόλου Α είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Α και συμβολίζεται με P(A) (P από Powerset = Δυναμοσύνολο) Β={0,1,2} P(B)={,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}} P( )={ } P({ })={,{ }} Αν Α =n P(A) =2 n Γιατί; Κάθε ένα από τα n στοιχεία του Α μπορεί είτε να μετέχει είτε να μη μετέχει σε κάποιο υποσύνολο

34 Καρτεσιανά γινόμενα Όταν μας ενδιαφέρει η σειρά των n στοιχείων σε μια συλλογή τότε έχουμε μια διατεταγμένη ομάδα n στοιχείων (α1,α2,,αn) Δύο διατεταγμένες ομάδες n στοιχείων είναι ίσες αν και μόνον αν κάθε αντίστοιχο ζευγάρι στοιχείων τους είναι ίσο (α1,α2,,αn)=(b1,b2,,bn) αν και μόνον αν αi=bi για i=1,2,,n Καρτεσιανό γινόμενο των σύνολων Α και Β, ΑxΒ είναιτοσύνολοτων διατεταγμένων ζευγών (α,b) με α Ακαιb Β ΑXB={(α,b) α Α b Β} A το σύνολο των φοιτητών του Τμήματος Β το σύνολο των μαθημάτων που προσφέρονται στο Τμήμα Το καρτεσιανό γινόμενο AxB περιέχει όλα τα διατεταγμένα ζεύγη της μορφής (α,b) όπου α είναι κάποιο άτομο που φοιτά στο Τμήμα και b κάποιο προσφερόμενο μάθημα Α={1,2} Β={a,b,c} AxB={(1,a),(1,b), (1,c),(2,a), (2,b),(2,c),} AxB BxA εκτός αν Α= ήβ= ήα=β Ένα υποσύνολο R του ΑxΒ ονομάζεται σχέση απότοσύνολοαστοσύνολοβ R={(α,0),(α,1),(b,1),(c,0),(c,3)} είναι σχέση από το σύνολο {α,b,c} στο σύνολο {0,1,2,3}

35 Πράξεις με σύνολα: Ένωση ΈστωότιταΑκαιΒείναισύνολα. Η ένωση των συνόλων Α και Β συμβολίζεται με Α Β και είναι το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν είτε στο Α ή στο Β ή και στα δύο. Ένα στοιχείο x ανήκει στην ένωση των Α και Β αν και μόνον αν x A ή x B. Δηλαδή: Α Β={x x AV x B}. Α Β Είναι σκιασμένη η Α Β Η ένωση των συνόλων {1,3,5} και {1,2,3} είναι το σύνολο {1,3} δηλ. {1,3,5} {1,2,3}={1,2,3,5}.

36 Πράξεις με σύνολα: Τομή ΈστωότιταΑκαιΒείναισύνολα. Η τομή των συνόλων Α και Β συμβολίζεται με Α Βκαιείναιτοσύνολοπουπεριέχει τα στοιχεία που ανήκουν και στο Α και στο Β. Ένα στοιχείο x ανήκειστηντομήτωνακαιβανκαιμόνονανx A και x B. Δηλαδή: Α Β={x x A Λ x B}. Α Β Είναι σκιασμένη η Α Β Η τομή των συνόλων {1,3,5} και {1,2,3} είναι το σύνολο {1,3} δηλ. {1,3,5} {1,2,3}={1,3}.

37 Πράξεις με σύνολα: Τομή Δύο σύνολα λέγονται ξένα μεταξύ τους όταν η τομή τους είναι το κενό σύνολο Δηλ., όταν δεν έχουν κοινά στοιχεία Α={1,3,5,7,9} και Β={2,4,6,8,10} Α Β= άρα Α και Β ξένα μεταξύ τους Α Β = Α + Β Α Β Η γενίκευση σε ενώσεις αυθαίρετου πλήθους συνόλων ονομάζεται αρχή Εγκλεισμού Αποκλεισμού

38 Πράξεις με σύνολα: Διαφορά ΈστωότιταΑκαιΒείναισύνολα. Η διαφορά των συνόλων Α και Β συμβολίζεται με Α Β και είναι το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία που βρίσκονται στο Α αλλά όχι στο Β. Η διαφορά των Α και Β ονομάζεται και συμπλήρωμα του Β ως προς το Α. Ένα στοιχείο x ανήκει στη διαφορά των Α και Β αν και μόνον αν x A και x B. Δηλαδή: Α Β={x x A Λ x B}. Α Β Είναι σκιασμένη η Α Β Ηδιαφοράτων{1,3,5} και {1,2,3} είναι το σύνολο {5} δηλ. {1,3,5} {1,2,3}={5}. Αυτή είναι διαφορετική από τη διαφορά των {1,2,3} και {1,3,5} που είναι το σύνολο {2}

39 Πράξεις με σύνολα: Συμπλήρωμα Έστω ότι U είναι το γενικό σύνολο. Το συμπλήρωμα του συνόλου Α συμβολίζεται με Ā και είναι το συμπλήρωμα του Α ως προς το σύνολο U. Δηλ., το συμπλήρωμα του συνόλου Α είναι η διαφορά U A. Ένα στοιχείο x ανήκει στο Ā αν και μόνον αν x A. Δηλαδή: Ā={x x Α}. U Α Είναι σκιασμένo το Ā Έστω Α={a,e,i,o,u} και το γενικό σύνολο είναι το σύνολο των γραμμάτων του αγγλικού Αλφαβήτου. Τότε Ā={b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x,y,z}.

40 Πράξεις με σύνολα: Συμπλήρωμα Έστω ότι U είναι το γενικό σύνολο. Το συμπλήρωμα του συνόλου Α συμβολίζεται με Ā και είναι το συμπλήρωμα του Α ως προς το σύνολο U. Δηλ., το συμπλήρωμα του συνόλου Α είναι η διαφορά U A. Ένα στοιχείο x ανήκει στο Ā αν και μόνον αν x A. Δηλαδή: Ā={x x Α}. U Α Είναι σκιασμένo το Ā ΈστωΑτοσύνολοτωνθετικώνακεραίωνπουείναιμεγαλύτεροιτου10 και το γενικό σύνολο είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων. Τότε Ā={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

41 Ασκήσεις

42 Συναρτήσεις: ιδέα Σε κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αναθέτουμε ένα συγκεκριμένο στοιχείο ενός συνόλου Β (μπορεί να είναι Α=Β) Π.χ., ανάθεση βαθμών σε φοιτητές Γιώργος Κωνσταντίνα Κατερίνα Σταύρος 8 Κώστας Η ανάθεση αυτή αποτελεί παράδειγμα συνάρτησης 9

43 Συναρτήσεις: ορισμός ΈστωότιταΑκαιΒείναισύνολα. Συνάρτηση f από το Α στο Β είναι ανάθεση ενός μόνο στοιχείου του Β σε κάθε στοιχείο του Α. Γράφουμε f(α)=b αν b είναι το μοναδικό στοιχείο του Β που έχει ανατεθεί από τη συνάρτηση f στο στοιχείο α του Α. Αν η f είναι συνάρτηση από το Α στο Β γράφουμε f: A B α b=f(α) Ησυνάρτησηf απεικονίζειτοσύνολοαστοσύνολοβ

44 Συναρτήσεις: ορισμός Αν η f είναι συνάρτηση από το Α στο Β λέμε ότι το Α είναι το πεδίο ορισμού της f και το Β είναι το σύνολο τιμών της f. Αν f(α)=b λέμε ότι το b είναι εικόνα του α και το α είναι πρότυπο του b. Το πεδίο τιμών της f είναι το σύνολο όλων των εικόνων των στοιχείων του Α. Αν η f είναι συνάρτηση από το Α στο Β λέμε ότι η f απεικονίζει το Α στο Β α b=f(α) Ησυνάρτησηf απεικονίζειτοσύνολοαστοσύνολοβ

45 Παράδειγμα Έστω ότι f είναι η συνάρτηση που αναθέτει τα τελευταία 2 bits μιας Συμβολοσειράς bit μήκους 2 ή παραπάνω στη συμβολοσειρά αυτή. Τότε το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο όλων των συμβολοσειρών bit μήκους 2 ή παραπάνω και το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο {00,01,10,11}.

46 Συναρτήσεις ένα προς ένα Διαφορετικά στοιχεία του πεδίου ορισμού έχουν διαφορετικές εικόνες Μια συνάρτηση f είναι ένα προς ένα αν και μόνον αν f(x) f(y) αν x y Ησυνάρτησηf(x)=x+1 είναι ένα προς ένα αφού f(x+1) f(y+1) όταν x y Η παρακάτω συνάρτηση είναι ένα προς ένα α β γ δ

47 Συναρτήσεις επί Χρησιμοποιείται όλο το πεδίο ορισμού τους Μια συνάρτηση f από το σύνολο Α στο σύνολο Β είναι επί αν και μόνον αν για κάθε στοιχείο b Β υπάρχει στοιχείο α Αμεf(α)=b α β γ δ 1 2 3

48 Αντιστοιχίες Μια συνάρτηση f αντιστοιχία αν είναι και έναπρος ένα και επί α β γ 1 α 2 β 3 γ 4 δ α β γ δ 1 α 2 β 3 γ 4 δ α β γ

49 Ασκήσεις (Ι) Μόνο η (a)

50 Ασκήσεις (ΙV)

51 Βασικές τεχνικές απαρίθμησης Ο κανόνας γινομένου Έστω ότι μία διαδικασία μπορεί να διασπαστεί σε ακολουθία δύο εργασιών. Αν υπάρχουν n 1 τρόποι να γίνει ηπρώτηεργασίακαιn 2 τρόποι να γίνει η δεύτερη εργασία μετά την εκτέλεση της πρώτης εργασίας, τότε υπάρχουν n 1 n 2 τρόποι εκτέλεσης της διαδικασίας Ο κανόνας αθροίσματος Αν μια εργασία μπορεί να εκτελεστεί με n 1 τρόπους και μια δεύτερη εργασία με n 2 τρόπους και αν αυτές οι εργασίες δεν μπορούν να εκτελεστούν ταυτόχρονα, τότε υπάρχουν n 1 +n 2 τρόποι εκτέλεσης μιας από τις εργασίες αυτές

52 Κανόνας γινομένου 3 επιλογές 2 επιλογές Συνολικά: 3 x 2 = 6 επιλογές ντυσίματος

53 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 1 Τα καθίσματα σε ένα αμφιθέατρο πρόκειται να ονομαστούν με ένα γράμμα του λατινικού αλφαβήτου που θα ακολουθείται από έναν μη μηδενικό θετικό ακέραιο όχι μεγαλύτερο από το 100. Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος καθισμάτων που μπορούν να ονομαστούν με διαφορετικό τρόπο; Γράμμα Θετικός ακέραιος εκδοχές 100 εκδοχές Συνολικά: 26 * 100 = 2600 εκδοχές

54 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 2 Πόσεςδιαφορετικέςακολουθίεςbit με μήκος 7; Θέση 7 Θέση 6 Θέση 5 Θέση 4 Θέση 3 Θέση 2 Θέση 1 2 εκδοχές Συνολικά: 2*2*2*2*2*2*2 = 2 7 = 128 εκδοχές

55 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 3 Πόσες διαφορετικές πινακίδες αυτοκινήτων υπάρχουν αν κάθε πινακίδα περιέχει 3 (λατινικά) γράμματα ακολουθούμενα από 3 ψηφία (και δεν υπάρχουν απαγορευμένες ακολουθίες γραμμάτων); Γράμματα Αριθμοί 26 εκδοχές 10 εκδοχές Συνολικά: 26*26*26*10*10*10 = 26 3 *10 3 = εκδοχές

56 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 4 Πόσες συναρτήσεις υπάρχουν από σύνολο με m στοιχεία σε σύνολο με n στοιχεία; Πεδίο ορισμού με m στοιχεία Σύνολο τιμών με n στοιχεία Συνάρτηση: Σε κάθε ένα από τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου, πρέπει να αντιστοιχηθεί 1 στοιχείο του «πορτοκαλί» συνόλου Για κάθε ένα από τα m στοιχεία του «πράσινου» συνόλου υπάρχουν n πιθανές εικόνες Συνολικά: n*n* *n (m φορές) = n m εκδοχές

57 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 4* Πόσες συναρτήσεις υπάρχουν από σύνολο με 3 στοιχεία σε σύνολο με 5 στοιχεία; Πεδίο ορισμού με 3 στοιχεία Σύνολο τιμών με 5 στοιχεία Συνάρτηση: Σε κάθε ένα από τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου, πρέπει να αντιστοιχηθεί 1 στοιχείο του «πορτοκαλί» συνόλου Για κάθε ένα από τα 3 στοιχεία του «πράσινου» συνόλου υπάρχουν 5 πιθανές εικόνες Συνολικά: 5*5*5 = 5 3 = 125 εκδοχές

58 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 5 Πόσες συναρτήσεις ένα προς ένα υπάρχουν από σύνολο με m στοιχεία σε σύνολο με n στοιχεία; Πεδίο ορισμού με m στοιχεία Σύνολο τιμών με n στοιχεία Συνάρτηση ένα-προς-ένα: Σε κάθε ένα από τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου, πρέπει να αντιστοιχηθεί 1 μοναδικό στοιχείο του «πορτοκαλί» συνόλου Αν τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου > στοιχεία του «πορτοκαλί» συνόλου δε μπορεί να οριστεί συνάρτηση ένα-προς-ένα από το «πράσινο» στο «πορτοκαλί» σύνολο Διαφορετικά, γιατοπρώτοαπόταm στοιχεία υπάρχουν n εκδοχές, για το δεύτερο από τα m στοιχεία υπάρχουν n-1 εκδοχές,, για το m-στό στοιχείο υπάρχουν n-m+1 εκδοχές Συνολικά: n*(n-1)*(n-2) *(n-m+1) εκδοχές

59 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 5* Πόσες συναρτήσεις ένα προς ένα υπάρχουν από σύνολο με 3 στοιχεία σε σύνολο με 5 στοιχεία; Πεδίο ορισμού με 3 στοιχεία Σύνολο τιμών με 5 στοιχεία Συνάρτηση ένα-προς-ένα: Σε κάθε ένα από τα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου, πρέπει να αντιστοιχηθεί 1 μοναδικό στοιχείο του «πορτοκαλί» συνόλου Tα στοιχεία του «πράσινου» συνόλου < στοιχεία του «πορτοκαλί» συνόλου μπορεί να οριστεί συνάρτηση ένα-προς-ένα από το «πράσινο» στο «πορτοκαλί» σύνολο Για το πρώτο από τα 3 στοιχεία υπάρχουν 5 εκδοχές, για το δεύτερο από τα 3 στοιχεία υπάρχουν 4 εκδοχές, γιατοτρίτοαπότα3 στοιχεία υπάρχουν 3 εκδοχές Συνολικά: 5*4*3 = 60 εκδοχές

60 Κανόνας γινομένου: παράδειγμα 7 Με χρήση του κανόνα γινομένου, δείξτε ότι το πλήθος διαφορετικών υποσυνόλων πεπερασμένου συνόλου S είναι 2 S αυθαίρετο υποσύνολο συνόλου S Σύνολο S Για κάθε στοιχείο του S υπάρχουν 2 εκδοχές: Να περιλαμβάνεται ή να μην περιλαμβάνεται σε κάθε υποσύνολο που φτιάχνουμε Συνολικά: 2*2* *2 ( S φορές) = 2 S εκδοχές

61 Κανόνας αθροίσματος 3 επιλογές 2 επιλογές Συνολικά: = 5 επιλογές ρούχου

62 Κανόνας αθροίσματος: παράδειγμα 1 Υποθέστε ότι επιλέγεται είτε ένα μέλος ΔΕΠ είτε ένας τελειόφοιτος φοιτητής ενός Τμήματος για να εκπροσωπηθεί το Τμήμα σε Επιτροπή. Πόσες επιλογές υπάρχουν για τον εκπρόσωπο αυτόν όταν υπάρχουν 37 μέλη ΔΕΠ και 83 τελειόφοιτοι φοιτητές στο Τμήμα; Image source: k nevrok.dra.sch.gr,

63 Κανόνας αθροίσματος: παράδειγμα 2 Υποθέστε ότι πρέπει να επιλέξετε ένα project από ένας από 3 διαθέσιμους καταλόγους, Α, Β και Γ, καθένας από τους οποίους περιέχει 23, 15 και 19 εργασίες, αντίστοιχα. Από πόσες εργασίες μπορείτε να επιλέξετε συνολικά; 23 εργασίες 15 εργασίες 19 εργασίες Συνολικά: = 57 εκδοχές Image source:

64 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 1 Σε μία βιβλιοθήκη, οι διαθέσιμες αίθουσες λαμβάνουν ετικέτες που είναι συμβολοσειρές με έναν ή δύο αλφαριθμητικούς χαρακτήρες Αλφαριθμητικοί χαρακτήρες: τα 26 γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (κεφαλαία και μικρά θεωρούνται ίδια) και τα 10 ψηφία Κάθε συμβολοσειρά ετικέτας πρέπει να ξεκινάει με γράμμα Κάθε συμβολοσειρά ετικέτας για τις αίθουσες πρέπει να είναι διαφορετική από 5 συγκεκριμένες ετικέτες των 2 χαρακτήρων που έχουν αποδοθεί σε γραφεία διοίκησης Πόσες διαφορετικές ετικέτες υπάρχουν διαθέσιμες; 26 * 36 = 936 διαφορετικές εκδοχές 26 διαφορετικές εκδοχές 5 ετικέτες είναι δεσμευμένες Συνολικά: = 957 εκδοχές

65 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 3 Πόσοιακέραιοιυπάρχουνμεταξύτου100 και του 199 οι οποίοι έχουν διαφορετικά ψηφία; Πόσοι από αυτούς τους ακεραίους είναι περιττοί; Οι ζητούμενοι αριθμοί αποτελούνται από 3 θέσεις στις οποίες το πρώτο ψηφίο είναι 1 και τα άλλα 2 προκύπτουν από τις διατάξεις 2 ψηφίων από τα 9 διαθέσιμα (δε συμπεριλαμβάνουμε το ψηφίο 1 που έχει ήδη χρησιμοποιηθεί): P(9,2)=9*8=72 Οι περιττοί αριθμοί θα καταλήγουν σε 3,5,7,9 (αφού έχουν διαφορετικά ψηφία και το 1 αποκλείεται) Για κάθε μία από αυτές τις επιλογές υπάρχουν 8 επιλογές για το μεσαίο ψηφίο Επομένως, συνολικά υπάρχουν 4*8=32 περιττοί ακέραιοι με διαφορετικά ψηφία μεταξύ 100 και 199

66 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 4 Πόσους περιττούς ακέραιους μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία 1,2,3,4,5 οι οποίοι έχουν 4 ψηφία και τα ψηφία αυτά είναι διαφορετικά μεταξύ τους; Οι ζητούμενοι 4 ψήφιοι ακέραιοι πρέπει να έχουν 1 ή 3 ή 5 στη δεξιότερη θέση 4 ψήφιοι με 1 στη δεξιότερη θέση: 4*3*2=24 4 ψήφιοι με 3 στη δεξιότερη θέση: 4*3*2=24 4 ψήφιοι με 5 στη δεξιότερη θέση: 4*3*2=24 Επομένως, συνολικά 3*24=72 αριθμοί

67 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 6 Τα γράμματα Α,Β,Γ,Δ χρησιμοποιούνται για να σχηματιστούν λέξεις μήκους 3. (α) Πόσες λέξεις περιέχουν το γράμμα Α επιτρεπομένων επαναλήψεων; (β) Πόσες λέξεις αρχίζουν με Α επιτρεπομένων επαναλήψεων; (α) Όλες οι πιθανές λέξεις με 3 γράμματα από τα Α,Β,Γ,Δ είναι4 3. Αυτές που δεν περιέχουν κανένα Α είναι 3 3. Επομένως, οι ζητούμενες προκύπτουν από τη διαφορά τους: =64 27=37 λέξεις (β) Το αριστερότερο γράμμα είναι Α. Οπότε ζητάμε λέξεις 2 γραμμάτων που σχηματίζονται από τα 4 δοσμένα γράμματα: 4 2 =16 λέξεις

68 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 7 Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί του δεκαδικού συστήματος δεν έχουν δύο ψηφία ίδια; Για να είναι τετραψήφιος κάποιος αριθμός δεν πρέπει να έχει 0 στην αριστερότερη θέση, στην οποία μπορεί να βρίσκεται ένα από τα εναπομείναντα 9 ψηφία (1,,9) Άρα, το πλήθος των ζητούμενων αριθμών είναι: 9*9*8*7=4.536

69 Συνδυασμός κανόνων γινομένου και αθροίσματος: παράδειγμα 9 Έχουμε 24 αριθμημένες (διαφορετικές) πράσινες μπάλες και 24 αριθμημένες κόκκινες μπάλες. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε μία πράσινη και μία κόκκινη μπάλα; Πράσινη μπάλα μπορούμε να διαλέξουμε με 24 τρόπους Κόκκινη μπάλα μπορούμε να διαλέξουμε με 24 τρόπους Για να συμβαίνουν και τα δύο μαζί υπάρχουν 24*24=576 διαφορετικοί τρόποι (κανόνας γινομένου)

70 Αρχή Εγκλεισμού Αποκλεισμού Όταν δύο εργασίες μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα, ΔΕ μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον κανόνα αθροίσματος για να απαριθμούμε τους τρόπους εκτέλεσης μιας από τις 2 εργασίες Πόσες συμβολοσειρές bit με μήκος 8 είτε αρχίζουν από 1 είτε τελειώνουν σε 00; Ενδιαφέρομαι για 8 bit συμβολοσειρές που αρχίζουν με 1: 2 7 που τελειώνουν σε 00: 2 6 που αρχίζουν με 1 και τελειώνουν σε 00: 2 5 ΠΡΟΣΕΧΩ ΝΑ ΜΗ ΔΙΠΛΟΜΕΤΡΑΩ Αυτές τις έχω μετρήσει 2 φορές από μία σε καθεμία από τις προηγούμενες κατηγορίες πρέπει να απομακρύνω τη μία φορά Συνολικά, οι ζητούμενες συμβολοσειρές είναι: = =160

71 Ασκήσεις (Ι) 18*325= =

72 Ασκήσεις (ΙΙ) έξι 6*7= =

73 Ασκήσεις (ΙΙΙ) 5*10 2 =500 3*9= =

74 Αρχή Περιστεριώνα: ιδέα Αν υπάρχουν περισσότερα περιστέρια (k+1) από φωλιές (k), τότε υπάρχει τουλάχιστον μία φωλιά με τουλάχιστον δύο περιστέρια Αν k+1 ή περισσότερα αντικείμενα τοποθετηθούν σε k κουτιά, τότε τουλάχιστον ένα κουτί θα περιέχει τουλάχιστον δύο αντικείμενα Ονομάζεται και Αρχή του Dirichlet (19 ος αιώνας) Image source:

75 Αρχή Περιστεριώνα: διατύπωση f όχι ένα-προς-ένα

76 Παράδειγμα 1 Σε οποιαδήποτε ομάδα με 367 ανθρώπους υπάρχουν τουλάχιστον 2 που έχουν γεννηθεί την ίδια μέρα οι 367 άνθρωποι f οι 366 δυνατές ημέρες γέννησης όχι ένα-προς-ένα

77 Παράδειγμα 2 Σε οποιαδήποτε ομάδα 27 λέξεων στα αγγλικά υπάρχουν τουλάχιστον 2 που αρχίζουν με το ίδιο γράμμα οι 27 αγγλικές λέξεις f τα 26 γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου όχι ένα-προς-ένα

78 Παράδειγμα 3 Πόσοι φοιτητές θα πρέπει να υπάρχουν σε μία τάξη για να εξασφαλιστεί ότι τουλάχιστον 2 θα πάρουν τον ίδιο βαθμό στην τελική εξέταση, αν η βαθμολογία είναι από 0 έως 100; Χρειαζόμαστε τουλάχιστον 101+1=102 φοιτητές f οι 101 δυνατές βαθμολογίες όχι ένα-προς-ένα

79 Ασκήσεις (Ι) 1. Σε οποιοδήποτε σύνολο 6 μαθημάτων, θα πρέπει να υπάρχουν 2 που πραγματοποιούνται την ίδια μέρα (δε γίνονται μαθήματα Σαββατοκύριακα) 3. Ένα συρτάρι περιέχει 12 καφέ και 12 μαύρες κάλτσες και κάποιος διαλέγει τυχαία κάλτσες στο σκοτάδι Πόσες κάλτσες πρέπει να πάρει για να έχει σίγουρα ζευγάρι του ίδιου χρώματος; 3 Πόσες τουλάχιστον κάλτσες πρέπει να πάρει για να έχει σίγουρα 2 μαύρες κάλτσες; 12+2=14

80 Μεταθέσεις (permutations) Μετάθεση διακεκριμένων στοιχείων ενός συνόλου = Ανακάτεμα κάποιων ή όλων των στοιχείων του συνόλου S={1,2,3} Μεταθέσεις των στοιχείων του S 3,1,2 1,3,2 K={a,b,c,d,e,f} Μεταθέσεις των στοιχείων του K c,a,e a,d,f,b,e

81 Μεταθέσεις Πλήθος μεταθέσεων r στοιχείων ενός συνόλου με n στοιχεία: P(n,r)=n*(n 1)*(n 2)* *(n r+1) Απόδειξη Το 1 ο στοιχείο της μετάθεσης μπορεί να επιλεχθεί με n τρόπους αφού στο σύνολο υπάρχουν n στοιχεία Το 2 ο στοιχείο της μετάθεσης μπορεί να επιλεχθεί με n 1 τρόπους αφού στο σύνολο υπάρχουν πλέον n 1 στοιχεία (έχουμε ήδη επιλέξει κάποιο από τα n για την 1 η θέση) Το r στο στοιχείο της μετάθεσης μπορεί να επιλεχθεί με n (r 1) τρόπους αφού στο σύνολο υπάρχουν πλέον n (r 1) στοιχεία (έχουμε ήδη επιλέξει r 1 από τα n για τις r 1 προηγούμενες θέσεις) με χρήση του κανόνα του γινομένου, ο συνολικός αριθμός των μεταθέσεων είναι πράγματι P(n,r)=n*(n 1)*(n 2)* *(n r+1) = n!/(n r)! Παρατηρήστε ότι P(n,n)=n!

82 Παράδειγμα Με πόσους τρόπους μπορούμε να βάλουμε σε σειρά 3 φοιτητές από ένα σύνολο 5 φοιτητών; Για την 1 η θέση 5 επιλογές Για τη 2 η θέση 4 επιλογές Για την 3 η θέση 3 επιλογές Συνολικά: 5*4*3=60 επιλογές Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε και τους 5 φοιτητές σε σειρά; Για την 1 η θέση 5 επιλογές Για τη 2 η θέση 4 επιλογές Για την 3 η θέση 3 επιλογές Για τη 4 η θέση 2 επιλογές Για την 5 η θέση 1 επιλογή Συνολικά: 5*4*3*2*1=5!=120 επιλογές

83 Παράδειγμα Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε πρώτο, δεύτεροκαιτρίτονικητήαπόσύνολο100 (διαφορετικών) ατόμων που συμμετέχουν σε έναν διαγωνισμό; 1 η επιλογή = νικητής 1 2 η επιλογή = νικητής 2 3 η επιλογή = νικητής 3 έχει σημασία η σειρά με την οποία επιλέγονται τα 3 άτομα Μας ζητείται να απαριθμήσουμε το πλήθος των μεταθέσεων 3 στοιχείων από 100 P(100,3)=100*99*98=

84 Παράδειγμα Σε έναν αγώνα δρόμου συμμετέχουν 8 δρομείς. Ο νικητής παίρνει χρυσό μετάλλιο, ο δεύτερος παίρνει αργυρό μετάλλιο και ο τρίτος χάλκινο μετάλλιο. Πόσοι διαφορετικοί τρόπου απονομής των μεταλλίων υπάρχουν, αν μπορούν να εμφανιστούν όλα τα δυνατά αποτελέσματα και δεν υπάρχουν ισοπαλίες; Από τους 8 δρομείς τελικά 3 θα πάρουν μετάλλιο μας ζητείται να διαλέξουμε και να βάλουμε σε σειρά (δηλ., να διατάξουμε) 3 από τα 8 στοιχεία του συνόλου των δρομέων P(8,3)=8*7*6=336

85 Ένας επισκέπτης επιθυμεί να επισκεφθεί τις 8 περιοχές ενός αρχαιολογικού χώρου. Πρέπει να ξεκινήσει από μία συγκεκριμένη περιοχή, αλλά μπορεί να επισκεφθεί τις υπόλοιπες 7 περιοχές με όποια σειρά θέλει. Πόσες διαφορετικές διαδρομές μπορεί να χρησιμοποιήσει ο επισκέπτης κατά την περιήγηση στον αρχαιολογικό χώρο; Επειδή η πρώτη περιοχή είναι καθορισμένη, οι υπόλοιπες 7 μπορούν να διαταχθούν με αυθαίρετο τρόπο μας ζητείται να ανακατέψουμε (δηλ., να διατάξουμε) τα 7 στοιχεία του συνόλου των περιοχών P(7,7)=7!=7*6*5*4*3*2*1=5.040 διαδρομές

86 Παράδειγμα Πόσες μεταθέσεις των γραμμάτων ABCDEFGH περιέχουν τη συμβολοσειρά ABC; Επειδή τα γράμματα A, B και C θέλουμε να εμφανίζονται όλα μαζί με συγκεκριμένη σειρά, υποθέτουμε ότι η συμβολοσειρά ABC είναι ολόκληρη 1 νέος χαρακτήρας μας ζητείται να ανακατέψουμε (δηλ., να διατάξουμε) τα 6 στοιχεία του συνόλου των χαρακτήρων P(6,6)=6!=6*5*4*3*2*1=720 μεταθέσεις των γραμμάτων ABCDEFGH στις οποίες τα ABC εμφανίζονται ομαδοποιημένα

87 Συνδυασμοί (combinations) Συνδυασμός r στοιχείων ενός συνόλου = αδιάτακτη (δηλ., χωρίς να μετράει η σειρά) επιλογή r στοιχείων του συνόλου αυτού S={1,2,3} Συνδυασμός κάποιων στοιχείων του S 3,1 (1,3 είναι το ίδιο) 1,2 1 K={a,b,c,d,e,f} Συνδυασμός κάποιων στοιχείων του Κ c,a,e (=a,e,c=c,e,a= ) a,d,f,b,e

88 Συνδυασμοί Πλήθος συνδυασμών r στοιχείων ενός συνόλου με n στοιχεία (0 r n): n C( n, r) = = r n! r!( n r)! Συνδυασμοί 2 στοιχείωναπότοσύνολο{a,b,c,d} είναι: C(4,2)=6 {a,b},{a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}

89 Συνδυασμοί Πλήθος συνδυασμών r στοιχείων ενός συνόλου με n στοιχεία (0 r n): n n! C( n, r) = = r r!( n r)! Απόδειξη Οι μεταθέσεις r στοιχείων του συνόλου με n στοιχεία, P(n,r) λαμβάνονται από τους συνδυασμούς των στοιχείων αυτών C(n,r) τη μετάθεση των στοιχείων των συνδυασμών αυτών P(r,r) C( n, r) = P( n, r) P( r, r) = ( n n! r)! r! = n! r!( n r)!

90 Συνδυασμοί vs Μεταθέσεις Συνδυασμοί: λίγοι δε μετράει η σειρά Μεταθέσεις: πολλές μετράει η σειρά

91 Συνδυασμοί: χρήσιμη ιδιότητα n,r μη αρνητικοί ακέραιοι με r n C(n,r)=C(n,n r) Απόδειξη (με άλγεβρα, δηλ., με πράξεις) C( n, r) = n! r!( n r)! C( n, n r) = ( n r)! n! = n! [ n ( n r) ]! ( n r)! r!

92 Συνδυασμοί: χρήσιμη ιδιότητα n,r μη αρνητικοί ακέραιοι με r n C(n,r)=C(n,n r) Απόδειξη (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Έχω διαθέσιμα r καπέλα για να τα δώσω σε n άτομα C(n,r): πλήθος τρόπων να επιλέξω τα r άτομα από τα n στα οποία θα δώσω καπέλα Μα αυτό είναι ίδιο με το να επιλέξω σε ποια n r άτομα από τα n δε θα δώσω καπέλο: C(n,n r)

93 Παράδειγμα Με πόσους τρόπους διαλέξω 5 χαρτιά από μια τράπουλα των 52 φύλλων; C(52,5)=52!/5!*47!= Με πόσους τρόπους διαλέξω 47 χαρτιά από μια τράπουλα των 52 φύλλων; C(52,47)=52!/5!*47!= =C(52,5) ΓΙΑΤΙ;

94 Παράδειγμα Πόσοι τρόποι υπάρχουν για επιλογή 5 παικτών από 10 μελή ομάδα τέννις για να πάνε σε άλλο πανεπιστήμιο για αγώνες; Δε με νοιάζει ποιοι 5 θα είναι C(10,5)=10!/5!*5!=252

95 Παράδειγμα Για αποστολή στον Άρη έχουν εκπαιδευτεί 30 άτομα σαν αστροναύτες. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για την επιλογή 6 μελούς πληρώματος; Δε με νοιάζει ποιοι 6 θα είναι C(30,6)=30!/6!*24!=

96 Παράδειγμα Πόσες συμβολοσειρές bit με μήκος n περιέχουν ακριβώς r άσσους; Δε με νοιάζει σε ποιες θέσεις θα είναι τα r bits C(n,r)=n!/r!*(n r)!

97 Παράδειγμα Πόσοι τρόποι υπάρχουν για επιλογή ομάδας διακριτών μαθηματικών, αν η επιτροπή αποτελείται από 3 κορίτσια και 4 αγόρια, και υπάρχουν 9 κορίτσια και 11 αγόρια που επιθυμούν να συμμετάσχουν; Δε με νοιάζει ποια θα είναι τα άτομα αρκεί να είναι 3 κορίτσια και 4 αγόρια 3 κορίτσια από 9 επιλέγω με C(9,3)=9!/3!*6! 4 αγόρια από 11 επιλέγω με C(11,4)=11!/4!*7! Επομένως, συνολικά υπάρχουν C(9,3)*C(11,4)= τρόποι

98 Άσκηση Να καταγραφούν όλες οι μεταθέσεις των {a,b,c} abc, acb, bca, bac, cab, cba

99 Άσκηση Πόσες διαφορετικές μεταθέσεις των στοιχείων του συνόλου {a, b, c, d, e, f, g} υπάρχουν; 7*6*5*4*3*2*1=7!

100 Άσκηση Πόσες μεταθέσεις του {a,b,c,d,e,f,g} τελειώνουν με a; Κρατάω σταθερό το τελευταίο σύμβολο (a) και μεταθέτω τα υπόλοιπα 6 Αυτό γίνεται με 6!=6*5*4*3*2*1=720 τρόπους

101 Άσκηση Να βρεθεί η τιμή των ποσοτήτων P(6,3)=6*5*4=120 P(6,5)=6*5*4*3*2=720 P(8,1)=8 P(8,5)=8*7*6*5*4=6720 P(8,8)=8!=8*7*6*5*4*3*2*1=40320 P(10,9)=10*9*8*7*6*5*4*3*2=

102 Άσκηση Να βρεθεί το πλήθος των μεταθέσεων 5 στοιχείων από σύνολο με 9 στοιχεία Με πόσους τρόπους μπορώ να επιλέξω 5 στοιχεία από 9; 9!/5!*4!=6*7*8*9/4*3*2*1= 126 Με πόσους τρόπους μπορώ να «ανακατέψω»5 στοιχεία; 5!=5*4*3*2*1=120 Άρα, συνολικά 126*120=15120 μεταθέσεις

103 Άσκηση Μεπόσεςδιαφορετικέςσειρέςμπορούννα τερματίσουν 5 δρομείς όταν δεν επιτρέπονται ισοπαλίες; 5*4*3*2*1=5!

104 Άσκηση Πόσες δυνατότητες υπάρχουν για την 1 η, 2 η και 3 η θέση σε αγώνες ιπποδρόμου με 12 άλογα αν είναι δυνατές όλες οι σειρές τερματισμού; 12*11*10=1320

105 Άσκηση Υπάρχουν 6 υποψήφιοι βουλευτές σε έναν νομό. Με πόσες διαφορετικές σειρές μπορούν να τυπωθούν τα ονόματά τους σε ένα ψηφοδέλτιο; 6*5*4*3*2*1=6!

106 Άσκηση Πόσες δυαδικές συμβολοσειρές με μήκος 10 περιέχουν τέσσερα 1 C(10,4)=10!/4!6!=7*8*9*10/4*3*2*1=210 το πολύ τέσσερα 1 C(10,4)+C(10,3)+C(10,2)+C(10,1)+C(10,0)= =386 τουλάχιστον τέσσερα 1 C(10,4)+C(10,5)+C(10,6)+C(10,7)+C(10,8)+C(10,9)+C(10,10)= =848 ίσο πλήθος 0 και 1 C(10,5)=252

107 Άσκηση Με πόσους τρόπους μπορεί να επιλεχθεί σύνολο 5 γραμμάτων από το λατινικό αλφάβητο; C(26,5)=26!/5!*21!=26*25*24*23*22/5*4*3*2*1=65780

108 Άσκηση Πόσα υποσύνολα με παραπάνω από 2 στοιχεία έχει σύνολο με 100 στοιχεία; Σύνολο με 100 στοιχεία έχει υποσύνολα Μέσα σε αυτά περιέχονται: 1 υποσύνολο με 0 στοιχεία (το κενό) 100 υποσύνολα με 1 στοιχείο C(100,2)=100!/2!*98!=100*99/2=4950 υποσύνολα με 2 στοιχεία Άρα το ζητούμενο πλήθος υποσυνόλων είναι: =

109 Άσκηση Ένα νόμισμα πετάγεται 10 φορέςστιςοποίεςτο αποτέλεσμα είναι κορώνα ή γράμματα. Πόσα δυνατά αποτελέσματα: υπάρχουν συνολικά; 2 10 περιέχουν ακριβώς δύο κορώνες; C(10,2)=10!/2!*8!=10*9/1*2=45 περιέχουν το πολύ τρεις κορώνες; C(10,0)+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3)= =176 περιέχουν το ίδιο πλήθος από κορώνες και γράμματα; C(10,5)=252

110 Άσκηση Πόσες μεταθέσεις των γραμμάτων ABCDEFG περιέχουν: τη συμβολοσειρά BCD; 5!=5*4*3*2*1=120 τη συμβολοσειρά CFGA; 4!=4*3*2*1=24 τις συμβολοσειρές BA και GF; 5!=120 τις συμβολοσειρές ABC και DE; 4!=24 τις συμβολοσειρές ABC και DEF; 3!=3*2*1=6 τις συμβολοσειρές CBE και BED; Καμία (δεγίνεταιταίδιαγράμματαναεπαναλαμβάνονταιδύοφορές στη μετάθεση)

111 Άσκηση Ένας σύλλογος έχει 25 μέλη Πόσοι τρόποι υπάρχουν για την επιλογή 4 μελώντου συλλόγου για την εκτελεστική επιτροπή; C(25,4)=25!/4!*21!=25*24*23*22/4*3*2*1=25*23*22=12650 Πόσοι τρόποι υπάρχουν για την επιλογή προέδρου, αντιπροέδρου, γραμματέα και ταμία του συλλόγου; Τώρα μας ενδιαφέρει η σειρά: 25*24*23*22=303600

112 Άσκηση Έστω ότι ένας τομέας σχολής έχει 10 άνδρες και 15 γυναίκες. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για σχηματισμό επιτροπής με 6 μέλη αν θα πρέπει να έχει το ίδιο πλήθος ανδρών και γυναικών; C(10,3)*C(15,3)=54600

113 Άσκηση Πόσεςδυαδικέςσυμβολοσειρέςπεριέχουν ακριβώς οκτώ 0 και δέκα 1 αν κάθε 0 θα πρέπει να ακολουθείται από 1; Φτιάχνω 8 ζευγάρια 01 Η τελική λέξη θα έχει 10 θέσεις: 8 που θα περιέχουν 01 και 2 που θα περιέχουν 1 Τοποθετώ τους δύο 1 στις 10 διαθέσιμες θέσεις με C(10,2)=45 πιθανούς τρόπους

114 Άσκηση Πόσοι τρόποι υπάρχουν για την επιλογή 12 χωρών στα Ηνωμένα Έθνη για ένα συμβούλιο αν τα 3 μέλη επιλέγονται από μια ομάδα 45 κρατών, τα 4 μέλη επιλέγονται από μια ομάδα 57 κρατών και τα άλλα μέλη επιλέγονται από τις υπόλοιπες 69 χώρες; C(45,3)*C(57,4)*C(69,5)

115 Άσκηση Πόσες πινακίδες κυκλοφορίας με 3 γράμματα που ακολουθούνται από 3 ψηφία δεν περιέχουν γράμμα ή ψηφίο δύο φορές; 26*25*24*10*9*8=

116 Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί εμφανίζονται σα συντελεστές στο ανάπτυγμα δυνάμεων διωνυμικών εκφράσεων όπως η (α+b) n

117 Διώνυμο Ανάπτυγμα διωνύμου Αλγεβρική παράσταση με 2 όρους λέγεται διώνυμο 1+x x+y s+t Υψώνοντας το διώνυμο σε κάποια ακέραια δύναμη n λαμβάνω πολυώνυμο βαθμού n (1+x) n (x+y) n (s+t) n Κάνοντας τις πράξεις (δηλ., αναπτύσσοντας) λαμβάνω άθροισμα που λέγεται ανάπτυγμα διωνύμου

118 Ανάπτυγμα διωνύμου (1+x) 2 =(1+x)*(1+x)= 1+x+x+x 2 =1+2x+x 2 =1x 0 +2x 1 +1x 2 Για να σχηματίσω δυνάμεις του x, διαλέγω παρενθέσεις 1x 0 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x 0 ; Με 1 τρόπο: διαλέγοντας καμία παρένθεση Διαλέγω 0 από 2 παρενθέσεις με C(2,0) τρόπους 2x 1 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x 1 ; Με 2 τρόπους: διαλέγοντας τη μπλε παρένθεση ήτηνπράσινη παρένθεση Διαλέγω 1 από 2 παρενθέσεις με C(2,1) τρόπους 1x 2 : Με πόσους τρόπους μπορώ να παρενθέσεις για να σχηματίσω το x 2 ; Με 1 τρόπο: διαλέγοντας και τη μπλε παρένθεση και την πράσινη παρένθεση Διαλέγω 2 από 2 παρενθέσεις με C(2,2) τρόπους (C(2,2) = C(2,0))

119 Ανάπτυγμα διωνύμου (1+x) 3 = (1+x)*(1+x)*(1+x)= (1+2x+x 2 )*(1+x)= 1+x+2x+2x 2 +x 2 +x 3 = 1+3x+3x 2 +x 3 = 1x 0 +3x 1 +3x 2 +1x 3 Γιανασχηματίσωδυνάμειςτουx, διαλέγω παρενθέσεις 1x 0 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x 0 ; Με 1 τρόπο: διαλέγοντας καμία παρένθεση Διαλέγω 0 από 3 παρενθέσεις με C(3,0) τρόπους 3x 1 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x 1 ; Με 3 τρόπους: διαλέγοντας τη μπλε παρένθεση ήτηνπράσινη παρένθεση ήτηνκαφέ παρένθεση Διαλέγω 1 από 3 παρενθέσεις με C(3,1) τρόπους 3x 2 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x 2 ; Με 3 τρόπους: διαλέγοντας τη μπλε και την πράσινη παρένθεση ή διαλέγοντας τη μπλε και την καφέ παρένθεση ή διαλέγοντας την πράσινη και την καφέ παρένθεση Διαλέγω 2 από 3 παρενθέσεις με C(3,2) τρόπους (C(3,2) = C(3,1)) 1x 3 : Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω παρενθέσεις για να σχηματίσω το x 3 ; Με 1 τρόπο: διαλέγοντας και τη μπλε παρένθεση και την πράσινη παρένθεση και την καφέ παρένθεση Διαλέγω 3 από 3 παρενθέσεις με C(3,3) τρόπους (C(3,3) = C(3,0))

120 Ανάπτυγμα διωνύμου

121 Ανάπτυγμα διωνύμου

122 Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα Ποιος είναι ο συντελεστής του x 3 στο ανάπτυγμα του (1+x) 4 ; C(4,3)=4!/3!*1!=4 Ποιος είναι ο συντελεστής του x 4 στο ανάπτυγμα του (1+x) 4 ; C(4,4)=1 Ποιος είναι ο συντελεστής του x 2 στο ανάπτυγμα του (1+x) 4 ; C(4,2)=4!/2!*2!=6 Κάνοντας τις πράξεις: (1+x) 4 =1+4x+6x 2 +4x 3 +x 4

123 Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα Ποιος είναι ο συντελεστής του x 3 στο ανάπτυγμα του (1+x) 6 ; C(6,3)=6!/3!*3!=20 Ποιος είναι ο συντελεστής του x 4 στο ανάπτυγμα του (1+x) 6 ; C(6,4)=6!/4!*2!=15 Ποιος είναι ο συντελεστής του x 2 στο ανάπτυγμα του (1+x) 6 ; C(6,2)=C(6,4)=15 Ποιος είναι ο συντελεστής του x 5 στο ανάπτυγμα του (1+x) 6 ; C(6,5)=C(6,1)=6 Κάνοντας τις πράξεις: (1+x) 6 =1+6x+15x 2 +20x 3 +15x 4 +6x 5 +x 6

124 Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα Ποιος είναι ο συντελεστής του x 2 y στο ανάπτυγμα του (x+y) 3 ; Μπορώ να σχηματίσω το x 2 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 2 από τις 3 παρενθέσεις του (x+y) 3 C(3,2)=C(3,1)=3 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ μπορώ να θέσω την ερώτηση για το y Μπορώ να σχηματίσω το y μεόσουςτρόπουςμπορώνα διαλέξω 1 από τις 3 παρενθέσεις του (x+y) 3 C(3,1)=3 Κάνοντας τις πράξεις: (x+y) 6 =x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3

125 Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα Ποιος είναι ο συντελεστής του x 3 στο ανάπτυγμα του (x+y) 3 ; Μπορώ να σχηματίσω το x 3 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 3 από τις 3 παρενθέσεις του (x+y) 3 C(3,3)=1 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ μπορώ να θέσω την ερώτηση για το y Μπορώ να σχηματίσω το y 0 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 0 από τις 3 παρενθέσεις του (x+y) 3 C(3,0)=1 Κάνοντας τις πράξεις: (x+y) 6 =x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3

126 Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα Ποιο είναι το ανάπτυγμα του (x+y) 4 ; Οσυντελεστήςτουόρουx 0 y 4 είναι C(4,0)=1 Οσυντελεστήςτουόρουx 1 y 3 είναι C(4,1)=4 Οσυντελεστήςτουόρουx 2 y 2 είναι C(4,2)=4!/2!*2!=6 Οσυντελεστήςτουόρουx 3 y 1 είναι C(4,3)=C(4,1)=4 Οσυντελεστήςτουόρουx 4 y 0 είναι C(4,4)=C(4,0)=1 Άρα: (x+y) 4 = C(4,0)*x 0 y 4 + C(4,1)*x 1 y 3 + C(4,2)*x 2 y 2 + C(4,3)*x 3 y 1 + C(4,4)*x 4 y 0 = 1*x 0 y 4 + 4*x 1 y 3 + 6*x 2 y 2 + 4*x 3 y 1 + 1*x 4 y 0 = y 4 + 4xy 3 + 6x 2 y 2 + 4x 3 y+ x 4

127 Διωνυμικοί συντελεστές: παραδείγματα Ποιος είναι ο συντελεστής του x 12 y 13 στο ανάπτυγμα του (x+y) 25 ; Μπορώ να σχηματίσω το x 12 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 12 από τις 25 παρενθέσεις του (x+y) 25 C(25,12)=25!/12!*13!= ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ μπορώ να θέσω την ερώτηση για το y Μπορώ να σχηματίσω το y 13 με όσους τρόπους μπορώ να διαλέξω 13 από τις 25 παρενθέσεις του (x+y) 3 C(25,13)=C(25,12)

128 Ιδιότητες διωνυμικών συντελεστών Τρόποι για να διαλέξω k από n αντικείμενα = Τρόποι για να διαλέξω n k από n αντικείμενα C(n,r): πλήθος τρόπων να επιλέξω τα r άτομα από τα n στα οποία θα δώσω καπέλα Μα αυτό είναι ίδιο με το να επιλέξω σε ποια n r άτομα από τα n δε θα δώσω καπέλο: C(n,n r)

129 Ιδιότητες διωνυμικών συντελεστών Ταυτότητα του Pascal Πλήθος υποσυνόλων μεγέθους k ενός συνόλου Τ με n+1 στοιχεία Πώς σχηματίζονται αυτά τα υποσύνολα; Διαλέγω αυθαίρετο στοιχείο α του T Τα υποσύνολα του Τ με k στοιχεία μπορεί: να περιέχουν το α: οπότε διαλέγω k-1 στοιχεία από n+1-1 διαθέσιμα (αφού ήδη γνωρίζω ότι το α είναι στοιχείο των υποσυνόλων αυτών, διαλέγω τα υπόλοιπα k-1 στοιχεία τους από τα n+1-1 στοιχεία που μένουν εκτός του α) να μην περιέχουν το α: οπότε διαλέγω k στοιχεία από n+1-1 διαθέσιμα (αφού ήδη γνωρίζω ότι το α ΔΕΝ είναι στοιχείο των υποσυνόλων αυτών, διαλέγω και τα k στοιχεία τους από n στοιχεία εκτός του α)

130 Ιδιότητες διωνυμικών συντελεστών Ταυτότητα του Pascal = 5

131 Τρίγωνο του Pascal Αναδρομικός τύπος υπολογισμού διωνυμικών συντελεστών n n 1 n 1 n + = k 1 k k 1 αν 0 < k < n διαφορετικά

132 Τρίγωνο του Pascal: λειτουργία = V

133 Τρίγωνο του Pascal: λειτουργία Στο περίγραμμα μόνο Τρόποι να επιλέξω 0,1,2 από αυτά = V

134 Ασκήσεις (1) Πόσοιόροιυπάρχουνστοανάπτυγμα(x+y) 100 ; Οι όροι προκύπτουν περιέχουν το x υψωμένο σε κάθε δυνατή δύναμη από 0 έως και 100 στο ανάπτυγμα υπάρχουν 101 όροι

135 Ασκήσεις (4)

136 Ασκήσεις (5) C(9,0) C(9,1) C(9,2) C(9,3) C(9,4) C(9,5) (C(9,6) C(9,7) C(9,8) C(9,9) C(9,0) C(9,1) C(9,2) C(9,3) C(9,4) C(9,4) (C(9,3) C(9,2) C(9,1) C(9,0)

137 Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων

138 Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς) ή να διαλέξουμε και να βάλουμε σε σειρά (διατάξεις) διακριτά (=διαφορετικά) αντικείμενα που μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν το πολύ 1 φορά Τι γίνεται όταν υπάρχουν πολλά αντίγραφα των αντικειμένων που διαλέγουμε (συνδυάζουμε) ή διαλέγουμε και βάζουμε στη σειρά (διατάσσουμε); Τι γίνεται όταν καλούμαστε να απαριθμήσουμε συνδυασμούς ή διατάξεις στοιχείων που ΔΕΝ είναι διακριτά; Π.χ., με πόσους τρόπους μπορούν να αναδιαταχθούν τα γράμματα της λέξης SUCCESS;

139 Μεταθέσεις r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Πόσες λέξεις μήκους n μπορούμε να φτιάξουμε με σύμβολα του αγγλικού αλφαβήτου; Για κάθεμία απότις n θέσεις υπάρχουν 26 επιλογές (αφού δεν υπάρχουν περιορισμοί) 26*26* *26=26 n λέξεις Γενικεύοντας: αν έχω διαθέσιμα n αντικείμενα οι διαφορετικές λέξεις μήκους r που μπορώ να φτιάξω (ότανδενυπάρχουνπεριορισμοί όταν επιτρέπονται οι επαναλήψεις) είναι: n*n* *n=n r

140 Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Δίνεται συρτάρι ταμείου που περιέχει χαρτονομίσματα 1$, 2$, 5$, 10$, 20$, 50$, 100$ Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω (δε με νοιάζει η σειρά) 5 χαρτονομίσματα από το συρτάρι αυτό, όταν: Δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ χαρτονομισμάτων του ίδιου είδους Στο συρτάρι υπάρχουν τουλάχιστον 5 χαρτονομίσματα από κάθε είδος 100$ 50$ 20$ 10$ 5$ 2$ 1$

141 Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Να κάποιοι πιθανοί τρόποι να διαλέξω

142 Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Να κάποιοι πιθανοί τρόποι να διαλέξω

143 Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Να κάποιοι πιθανοί τρόποι να διαλέξω Χωρίσματα που ορίζουν διαφορετικές θέσεις στο συρτάρι Ένδειξη για το ότι διάλεξα χαρτονόμισμα απόαυτήτηθέσητουσυρταριού

144 Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις 100$ 50$ 20$ 10$ 5$ 2$ 1$ Χρειαζόμαστε 6 χωρίσματα για να ορίσουμε τις διαφορετικές θέσεις του συρταριού Στην αρχή ή στο τέλος ή ανάμεσά τους πρέπει να εμφανίσουμε 5 * * * * * Η ερώτηση γίνεται: με πόσους τρόπους μπορώ να ανακατέψω 11 αντικείμενα (6 χωρίσματα και 5 ενδείξεις *); Ή ισοδύναμα: με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 5 από τις 11 διαθέσιμες θέσεις που θα «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; Με C(11,5) τρόπους!!!

145 Συνδυασμοί r από n στοιχείων όταν επιτρέπονται επαναλήψεις 100$ 50$ 20$ 10$ 5$ 2$ 1$ Συμπέρασμα: το πλήθος των τρόπων να διαλέξω r από n στοιχεία όταν επιτρέπονται επαναλήψεις είναι C(n+r 1,r)

146 Παραδείγματα (I) Βρισκόμαστε σε ζαχαροπλαστείο με 4 διαφορετικά είδη γλυκισμάτων Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε 6 γλυκίσματα; Δε μας ενδιαφέρει η σειρά επιλογής Δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ γλυκισμάτων του ίδιου είδους Ουσιαστικά, θέλω να μετρήσω τους συνδυασμούς με επανάληψη 6 από 4 αντικειμένων Χρειάζομαι 3 «χωρίσματα»(= 4 1) για να ορίσω θέσεις για τα 4 αντικείμενα και διαθέτω 6 ενδείξεις * για τα γλυκίσματα που θα διαλέξω Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 6 από τις 6+3=9 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; C(9,6) Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 3 από τις 6+3=9 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα χωρίσματα; C(9,3) C(9,3)=C(9,6)=9!/(6!*3!)=9*8*7/3*2*1=3*4*7=84

147 Παραδείγματα (II) Μπορώναβρίσκωτοπλήθος λύσεων κάποιων γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας την ιδέα απαρίθμησης συνδυασμών r από n αντικειμένων με επανάληψη ΠΩΣ; Πόσεςλύσειςέχειηεξίσωσηx1+x2+x3=11, όπου x1,x2,x3 είναι μη αρνητικοί ακέραιοι; Λύση της εξίσωσης = επιλογή 11 από 3 αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναλήψεις Σαν να θέλω να «μοιράσω» τις 11 μονάδες σε 3 θέσεις Θέλω 2 χωρίσματαγιαναορίσωτις3 θέσεις και διαθέτω 11 ενδείξεις * Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 11 από τις 11+2=13 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; C(13,11) Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 2 από τις 11+2=13 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα χωρίσματα; C(13,2) C(13,11)=C(13,2)=13!/(11!*2!)=13*12/2=13*6=78 τρόπους

148 Σύνοψη ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω και να βάλω σε σειρά (δηλαδή να διατάξω) r από n στοιχεία; Επιτρέπονται επαναλήψεις στοιχείων; Όχι Ναι n*(n 1)*(n 2)* *(n r+1) n*n* *n=n r ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω r από n στοιχεία; Επιτρέπονται επαναλήψεις στοιχείων; Όχι C(n,r) Ναι C(n+r 1,r)

149 «Μπάλες σε κουτιά» ( Balls to Bins )

150 «Μπάλες σε κουτιά» Θα δούμε και πώς μετράμε τους τρόπους τοποθέτησης αντικειμένων σε κουτιά Π.χ., πώς μπορούν να μοιραστούν τα φύλλα μιας τράπουλαςστουςπαίκτεςενόςπαιχνιδιού Π.χ., πώς μπορούν να χρονοπρογραμματιστούν διαφορετικές εργασίες σε επεξεργαστές (scheduling);

151 «Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες είναι ίδιες και τα κουτιά ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω r από n αντικείμενα με επανάληψη; C(n+r 1,r) Με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω r μπάλες που δεν ξεχωρίζουν σε n διαφορετικά κουτιά; C(n+r 1,r)

152 «Μπάλες σε κουτιά» όταν οι μπάλες είναι ίδιες και τα κουτιά ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω r από n αντικείμενα με επανάληψη; C(n+r 1,r) Με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω r μπάλεςπουδενξεχωρίζουνσεn διαφορετικά κουτιά;c(n+r 1,r) Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω n 1 από τις n 1+r θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα χωρίσματα; C(n+r 1,n 1) Με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω r από τις n 1+r θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; C(n+r 1,r) (= C(n+r 1,n 1) ) r ενδείξεις * n-1 χωρίσματα για να ορίσω τα n κουτιά

153 Παράδειγμα Με πόσους τρόπους μπορώ να τοποθετήσω 10 όμοιες μπάλες σε 8 διαφορετικά κουτιά; Θέλω 7 χωρίσματα για να ορίσω τις 8 θέσεις και διαθέτω 10 ενδείξεις * για τις μπάλες: με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 10 από τις 10+7=17 θέσεις που θα «φιλοξενήσουν» τις ενδείξεις *; C(17,10) με πόσους τρόπους μπορώ να διαλέξω τις 7 από τις 10+7=17 θέσεις που θα «φιλοξενήσουν» τα χωρίσματα; C(17,7) C(17,7) = C(17,10) = 17!/(10!*7!) = τρόποι

154 Διατάξεις με ομάδες αντικειμένων που δεν ξεχωρίζουν Πόσες διαφορετικές λέξεις προκύπτουν με ανακάτεμα (δηλ., μετάθεση) των γραμμάτων της λέξης SUCCESS; ΗλέξηSUCCESS περιέχει 7 γράμματα 7! Λέξεις ΛΑΘΟΣ ΓΙΑΤΙ; Οι 3 εμφανίσεις του S δεν αντιστοιχούν σε διαφορετικά γράμματα αλλά στο ίδιο!! Οι 2 εμφανίσεις του C δεν αντιστοιχούν σε διαφορετικά γράμματα αλλά στο ίδιο!! ΣΩΣΤΗ προσέγγιση: Θέλω να «γεμίσω»7 θέσεις και διαθέτω 7 κάρτες: 3 ίδιες κάρτες που γράφουν S 2 ίδιες κάρτες που γράφουν C 1 κάρτα που γράφει U 1 κάρτα που γράφει Ε Διαλέγω 3 από τις 7 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα S με C(7,3) τρόπους Διαλέγω 2 από τις 4 θέσεις που έμειναν για να «φιλοξενήσουν» τα C με C(4,2) τρόπους Διαλέγω 1 από τις 2 θέσεις που έμειναν για να «φιλοξενήσει» το U με C(2,1) τρόπους και η θέση που μένει «φιλοξενεί»(αναγκαστικά) το Ε που μένει οι διαφορετικές λέξεις είναι:

155 Διατάξεις με ομάδες αντικειμένων που δεν ξεχωρίζουν Πόσες διαφορετικές λέξεις προκύπτουν με ανακάτεμα (δηλ., μετάθεση) των γραμμάτων της λέξης SUCCESS; ΗλέξηSUCCESS περιέχει 7 γράμματα 7! Λέξεις ΛΑΘΟΣ ΓΙΑΤΙ; Οι 3 εμφανίσεις του S δεν αντιστοιχούν σε διαφορετικά γράμματα αλλά στο ίδιο!! Οι 2 εμφανίσεις του C δεν αντιστοιχούν σε διαφορετικά γράμματα αλλά στο ίδιο!! ΣΩΣΤΗ προσέγγιση: Θέλω να «γεμίσω»7 θέσεις και διαθέτω 7 κάρτες: 3 ίδιες κάρτες που γράφουν S 2 ίδιες κάρτες που γράφουν C 1 κάρτα που γράφει U 1 κάρτα που γράφει Ε Διαλέγω 3 από τις 7 θέσεις για να «φιλοξενήσουν» τα S με C(7,3) τρόπους Διαλέγω 2 από τις 4 θέσεις που έμειναν για να «φιλοξενήσουν» τα C με C(4,2) τρόπους Διαλέγω 1 από τις 2 θέσεις που έμειναν για να «φιλοξενήσει» το U με C(2,1) τρόπους και η θέση που μένει «φιλοξενεί»(αναγκαστικά) το Ε που μένει οι διαφορετικές λέξεις είναι:

156 Διατάξεις με ομάδες αντικειμένων που δεν ξεχωρίζουν Δεδομένο: Συλλογή n αντικειμένων όπου υπάρχουν n1 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος 1 n2 αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος 2 nk αντικείμενα που δεν ξεχωρίζουν από το είδος k Ζητούμενο: Με πόσους τρόπους μπορώ να ανακατέψω τα n αντικείμενα αυτής της συλλογής;

157 «Μπάλες σε κουτιά» όταν και οι μπάλες και τα κουτιά ξεχωρίζουν Είδαμεότιοιτρόποινακατανείμουμεr μπάλες που δεν ξεχωρίζουν σε n κουτιά που ξεχωρίζουν είναι C(n+r 1,r) Τι γίνεται αν και οι μπάλες ξεχωρίζουν; Ποιο είναι τότε το πλήθος των τρόπων τοποθέτησής τους στα κουτιά;

158 «Μπάλες σε κουτιά» όταν και οι μπάλες και τα κουτιά ξεχωρίζουν Με πόσους τρόπους μπορώ να μοιράσω από 5 φύλλα σε 4 παίκτες από μιατράπουλαμε52 φύλλα; Και οι 4 παίκτες και τα 52 φύλλα ξεχωρίζουν Φανταστείτε: Παίκτες & αχρησιμοποίητα φύλλα κουτιά και Φύλλα μπάλες Μοιράζω φύλλα σε παίκτες ρίχνω μπάλες σε κουτιά Ο πρώτος παίκτης μπορεί να πάρει 5 φύλλα με C(52,5) τρόπους Ο δεύτερος παίκτης μπορεί να πάρει 5 φύλλα με C(47,5) τρόπους Ο τρίτος παίκτης μπορεί να πάρει 5 φύλλα με C(42,5) τρόπους» Ο τέταρτος παίκτης μπορεί να πάρει 5 φύλλα με C(37,5) τρόπους και μένουν 32 φύλλα που δε χρησιμοποιήθηκαν Συνολικά, οιζητούμενοιτρόποιείναι:

159 Σύνοψη «Μπάλες σε κουτιά» Τα κουτιά ξεχωρίζουν Οι μπάλες δεν ξεχωρίζουν Οι μπάλες ξεχωρίζουν C(n+r 1,r)

160 Ασκήσεις

161 Με πόσους τρόπους μπορούν να διαταχθούν 5 αντικείμενα από σύνολο με 3 αντικείμενα όταν επιτρέπονται οι επαναλήψεις; Θέση 1 Θέση 2 Θέση 3 Θέση 4 Θέση 5 3 επιλογές 3 επιλογές 3 επιλογές Συνολικά: 3*3*3*3*3=3 5 τρόποι

162 Με πόσους τρόπους μπορούν να διαταχθούν 5 αντικείμενα από σύνολο με 5 αντικείμενα όταν επιτρέπονται οι επαναλήψεις; Θέση 1 Θέση 2 Θέση 3 Θέση 4 Θέση 5 5 επιλογές 5 επιλογές 5 επιλογές Συνολικά: 5*5*5*5*5=5 5 τρόποι

163 Πόσες λέξεις των 6 γραμμάτων υπάρχουν (όταν χρησιμοποιούμε το λατινικό αλφάβητο); Θέση 1 Θέση 2 Θέση 3 Θέση 4 Θέση 5 Θέση 6 26 επιλογές 26 επιλογές 26 επιλογές Συνολικά: 26 6 τρόποι

164 Κάθε μέρα διαλέγετε για φαγητό ένα σάντουιτς. Υπάρχουν 6 είδη σάντουιτς. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν για να διαλέξετε φαγητό για τις 7 μέρες της εβδομάδας, αν έχει σημασία η σειρά επιλογής των σάντουιτς; Μέρα 1 Μέρα 2 Μέρα 3 Μέρα 4 Μέρα 5 Μέρα 6 Μέρα 6 6 επιλογές 6 επιλογές 6 επιλογές Συνολικά: 6 7 τρόποι

165 Πόσοι τρόποι υπάρχουν για ανάθεση 3 εργασιών σε 5 εργαζόμενους αν σε κάθε εργαζόμενο μπορούν να δοθούν περισσότερες από 1 εργασίες; Εργασία 1 Εργασία 2 Εργασία 3 5 επιλογές 5 επιλογές 5 επιλογές Συνολικά: 5*5*5=5 3 τρόποι

166 Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 3 από σύνολο με 5 στοιχεία όταν επιτρέπονται επαναλήψεις; Έχουμε 5 τύπους στοιχείων δηλαδή 5 θέσεις Για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 4 χωρίσματα * * * Θέλουμε να διαλέξουμε 3 στοιχεία Αντιστοιχίζουμε κάθε στοιχείο σε ένα * οπότεέχουμεκαι3 * Έχουμε επομένως 7 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 4 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(7,4)) είτε (ισοδύναμα) τις 3 που θα φιλοξενήσουν * (C(7,3)) Οι ζητούμενοι τρόποι είναι: C(7,4)=C(7,3)=35

167 Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 5 από σύνολο με 3 στοιχεία όταν επιτρέπονται επαναλήψεις; Έχουμε 3 τύπους στοιχείων δηλαδή 3 θέσεις Για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 2 χωρίσματα * * * Θέλουμε να διαλέξουμε 5 στοιχεία Αντιστοιχίζουμε κάθε στοιχείο σε ένα * οπότεέχουμεκαι5 * Έχουμε επομένως 7 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 2 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(7,2)) είτε (ισοδύναμα) τις 5 που θα φιλοξενήσουν * (C(7,5)) Οι ζητούμενοι τρόποι είναι: C(7,2)=C(7,5)=21

168 Πόσοι τρόποι υπάρχουν για επιλογή 12 ντόνατς από τις 21 ποικιλίες ενός καταστήματος; Έχουμε 21 τύπους στοιχείων δηλαδή 21 θέσεις Για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 20 χωρίσματα * * * Θέλουμε να διαλέξουμε 12 στοιχεία Αντιστοιχίζουμε κάθε στοιχείο σε ένα * οπότεέχουμεκαι12 * Έχουμε επομένως 32 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 20 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(32,20)) είτε (ισοδύναμα) τις 12 που θα φιλοξενήσουν * (C(32,12)) Οι ζητούμενοι τρόποι είναι: C(32,20)=C(32,12)

169 Πόσοι τρόποι υπάρχουν για επιλογή 8 κερμάτων από κουμπαρά που περιέχει 100 ίδια κέρματα του 1 λεπτού και 80 ίδια κέρματα των 5 λεπτών; Έχουμε 2 είδη κερμάτων δηλ. 2 διαφορετικές θέσεις - για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 1 χώρισμα Πρέπει να επιλέξουμε 8 κέρματα φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 1+8=9 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τη 1 που θα φιλοξενήσει το χώρισμα (C(9,1)) είτε (ισοδύναμα) τις 8 που θα φιλοξενήσουν * (C(9,8)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(9,1)= C(9,8)=9

170 Πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς κερμάτων 1, 5, 10, 25, 50 λεπτών μπορεί να έχει ένας κουμπαράς αν περιέχει 20 κέρματα; Έχουμε 5 είδη κερμάτων δηλ. 5 διαφορετικές θέσεις - για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 4 χωρίσματα Πρέπει να επιλέξουμε 20 κέρματα φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε 4+20=24 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 4 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(24,4)) είτε (ισοδύναμα) τις 20 που θα φιλοξενήσουν * (C(24,20)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(24,4)= C(24,20)

171 Ένας εκδότης έχει αντίγραφα ενός βιβλίου. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για αποθήκευση αυτών των (ίδιων) βιβλίων σε 3 αποθήκες; Έχουμε 3 διαφορετικές θέσεις - για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 2 χωρίσματα Έχουμε ίδια αντίγραφα φανταστείτε τα σαν * Άρα έχουμε =3002 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 2 που θα φιλοξενήσουν τα 2 χωρίσματα (C(3002,2)) είτε (ισοδύναμα) τις 3000 που θα φιλοξενήσουν * (C(3002,3000)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(3002,2)= C(3002,3000)=3001*1501=

172 Πόσες λύσεις της εξίσωσης x1+x2+x3+x4=17 υπάρχουν όπου xi, i=1,,4 είναι μη αρνητικός ακέραιος; Έχουμε 4 θέσεις στις οποίες πρέπει να κατανείμουμε 17 μονάδες Με πόσους τρόπου γίνεται αυτό; Για να ορίσουμε τις 4 θέσεις χρειαζόμαστε 3 χωρίσματα Φανταζόμαστε τις 17 μονάδες σαν 17 * Άρα έχουμε 3+17=20 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 3 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(20,3)) είτε (ισοδύναμα) τις 17 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(20,17)) Συνολικά, το πλήθος των ζητούμενων λύσεων είναι C(20,3)=C(20,17)=1140

173 Πόσες λέξεις των 10 τριαδικών ψηφίων (0,1 ή 2) υπάρχουν που περιέχουν 2 «0», 3 «1» και 5 «2»; Διαλέγουμε τις 2 από τις 10 θέσεις που θα φιλοξενήσουν «0»: C(10,2) τρόποι Από τις 8 θέσεις που μένουν, διαλέγουμε τις 3 που θα φιλοξενήσουν «1»: C(8,3) τρόποι Οι 5 θέσεις που απομένουν αναγκαστικά θα φιλοξενήσουν τα «2» ΆρασυνολικάμπορούμενασχηματίσουμεC(10,2) * C(8,3) =2.520 λέξεις

174 Με πόσους τρόπους μπορούμε να κατανείμουμε 6 ίδιες μπάλες σε 9 διαφορετικά κουτιά; Τα 9 κουτιά είναι 9 θέσεις που για να τις ορίσουμε χρειαζόμαστε 8 χωρίσματα Φανταζόμαστε τις 6 ίδιεςμπάλεςσαν* Άρα έχουμε 8+6=14 θέσεις από τις οποίες θέλουμε να διαλέξουμε είτε τις 8 που θα φιλοξενήσουν τα χωρίσματα (C(14,8)) είτε (ισοδύναμα) τις 6 που θα φιλοξενήσουν τα * (C(14,6)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(14,8)=C(14,6)=3.003

175 Με πόσους τρόπους μπορούμε να κατανείμουμε 12 διαφορετικές μπάλες σε 6 διαφορετικά κουτιά ώστε σε κάθε κουτί να είναι τοποθετημένα 2 αντικείμενα; Διαλέγουμε τις 2 μπάλες για το πρώτο κουτί με C(12,2) τρόπους Μετά, διαλέγουμε από τις 10 μπάλες μου μένουν 2 για το δεύτερο κουτί με C(10,2) τρόπους Μετά, διαλέγουμε από τις 8 μπάλες μου μένουν 2 για το τρίτο κουτί με C(8,2) τρόπους Μετά, διαλέγουμε από τις 6 μπάλες μου μένουν 2 για το τέταρτο κουτί με C(6,2) τρόπους Μετά, διαλέγουμε από τις 4 μπάλες μου μένουν 2 για το πέμπτο κουτί με C(4,2) τρόπους Οι 2 μπάλες που μένουν τοποθετούνται αναγκαστικά στο έκτο κουτί Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(12,2)*C(10,2)*C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)=

176 Στοτελικόδιαγώνισμαγιαταμάθημαυπάρχουν10 ερωτήσεις. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για ανάθεση βαθμολογίας στις ερωτήσεις αν το άθροισμα της βαθμολογίας είναι 100 μονάδες και κάθε ερώτηση λαμβάνει τουλάχιστον 5 μονάδες; Σε κάθε ερώτηση i αναθέτουμε xi μονάδες όπου i=1,2,,10 Πρέπει x1+x2+ +x10=100 με τον περιορισμό xi 5 Επομένως, για να ικανοποιήσουμε τον περιορισμό, αναθέτουμε 5 μονάδες σε κάθε μία από τις 10 ερωτήσεις και μένουν =50 μονάδες τις οποίες πρέπει να κατανείμουμε σε 10 ερωτήσεις Με πόσους τρόπους γίνεται αυτό; Φανταζόμαστε τις 10 ερωτήσεις σαν θέσεις χρειαζόμαστε 9 χωρίσματα για να τις ορίσουμε Φανταζόμαστε τις 50 μονάδες που μένουν σαν * Άρα έχουμε 9+50 θέσεις από τις οποίες πρέπει να διαλέξουμε είτε τις 9 που θα φιλοξενήσουν χωρίσματα (C(59,9)) είτε τις 50 που θα φιλοξενήσουν * (C(59,50)) Συνολικά, οι ζητούμενοι τρόποι είναι C(59,9)=C(59,50)