ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

Transcript

1 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

2 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 1. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα

3 Eπανάληψη (Σύντοµες Σηµειώσεις) Γενικά Συνοπτικά, κατά τη διάρκεια του µαθήµατος εξετάσθηκαν τα ακόλουθα: - Ορισµός µηχανισµού και διαφορές από µηχανές - Ορισµός κινηµατικών περιορισµών και υπολογισµός Βαθµών Ελευθερίας σε ένα µηχανισµό - Αναπαράσταση θέσεως στις και στις 3 µε τη χρήση του οµογενούς µετασχηµατισµού - Περιγραφή της εξίσωσης θέσεως ενός αρθρωτού µηχανισµού µε τη χρήση του οµογενούς µετασχηµατισµού - Αναλυτικός (αλγεβρικός) και διανυσµατικός προσδιορισµός ταχυτήτων σε αρθρωτούς µηχανισµούς - Αναλυτικός (αλγεβρικός) και διανυσµατικός προσδιορισµός επιταχύνσεων σε µηχανισµούς - Κατασκευή διαγράµµατος ταχυτήτων και διαγράµµατος επιταχύνσεων σε αρθρωτούς µηχανισµούς - Υπολογισµός του Συντελεστού Αναλογίας (Mechanical Advantage) σε µηχανισµούς µε τη χρήση της Αρχής ιατήρησης της Ισχύος - Στατική ανάλυση αρθρωτών µηχανισµών - υναµική ανάλυση αρθρωτών µηχανισµών µε τη χρήση της Αρχής του D Alembert - Υπολογισµός των εξισώσεων κίνησης µηχανισµών µε την χρήση της Ενεργειακής Αρχής Lagrange - Μελέτη διαφόρων παραδειγµάτων, όπως µηχανισµός στροφάλου-διωστήρος στις, µηχανισµός στροφάλου-διωστήρος στις 3, αρθρωτός µηχανισµός 4 µελών, σύνδεσµος Cardan, ροµποτικός βραχίονας RPPRR, γερανός µε βραχίονα, κ.α. Υπολογισµός Βαθµών Ελευθερίας επίπεδου µηχανισµού Οι Βαθµοί Ελευθερίας (ΒΕ), δηλαδή το πλήθος των ανεξαρτήτων κινηµατικών µεταβλητών, ενός επίπεδου µηχανισµού υπολογίζονται µε τη βοήθεια του τύπου Kutzbach: F = 3 n 1 f f όπου F : n : f : 1 ( ) 1 πλήθος (ΒΕ) του µηχανισµού πλήθος µελών (σε αυτά, προσµετρούνται η βάση και τυχόν πλάκες) πλήθος συνδέσεων µε (1-ΒΕ) f : πλήθος συνδέσεων µε (-ΒΕ) (ανωτέρας τάξεως) Προσοχή χρειάζεται στα εξής σηµεία: - Μία σύνδεση ενδεχοµένως να είναι πολλαπλή (π.χ. και περιστροφική άρθρωση και πρισµατική άρθρωση). - Η πλάκα είναι στερεό σώµα και δεν πρέπει να αντιµετωπίζεται ως σύνολο αρθρωµένων µεταξύ τους ράβδων, οι οποίες εκτείνονται κατά µήκος του περιγράµµατος της πλάκας. Κάτι τέτοιο επιτρέπεται µόνον για τις τριγωνικές πλάκες

4 - Σε µία σύνδεση ανωτέρας τάξεως δεν προσµετρούµε ως µέλος εκείνο το στοιχείο που παρεµβάλλεται µεταξύ των συνεργαζοµένων καµπυλών (επιφανειών). Μία τέτοια τυπική περίπτωση αποτελεί ένας τροχός, προσαρµοσµένος στο άκρο ενός µέλους και δυνάµενος να κινηθεί επί επίπεδης επιφάνειας. Είτε ο τροχός περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του είτε ο τροχός είναι µπλοκαρισµένος, η κινηµατική κατάσταση του µηχανισµού στον οποίο ανήκει ο τροχός δεν µεταβάλλεται. Γι αυτό και δεν προσµετρούµε τον τροχό ως µέλος, ούτε και τη δυνατότητα περιστροφής του γύρω από τον άξονά του ως Βαθµό Ελευθερίας του µηχανισµού. Παράδειγµα Για την απεικονιζόµενη διάταξη: Α) Να αναγνωρισθούν τα είδη κινηµατικής σύζευξης σε κάθε µία από τις θέσεις σύνδεσης. Β) Να υπολογισθεί (αναλυτικά και αιτιολογηµένα) το πλήθος των βαθµών ελευθερίας. Γ) Να βρεθεί εάν πρόκειται για υπερστατική κατασκευή ή στερεό σώµα ή µηχανισµό. Σχήµα 1: Εξεταζόµενη διάταξη Οι θέσεις σύνδεσης είναι οι: Α, B, C, D. Θέση A: περιστροφική άρθρωση µεταξύ µέλους (ΑΒ) και βάσης Θέση Β: περιστροφική άρθρωση µεταξύ µέλους (ΑΒ) και (ΒD) KAI περιστροφική άρθρωση µεταξύ µέλους (ΑΒ) και (ΒC) ( ΙΠΛΗ άρθρωση) Θέση C: σύνδεση ανωτέρας τάξεως µεταξύ µέλους (BC) και βάσης Θέση D: περιστροφική άρθρωση µεταξύ µέλους (ΒD) και εµβόλου D KAI πρισµατική άρθρωση µεταξύ εµβόλου (D) και βάσης ( ΙΠΛΗ άρθρωση) Για τον τύπο του Kutzbach: n = 3 µέλη (ΑΒ, BC, BD) + 1 βάση + 1 έµβολο = 5 Πλήθος συνδέσεων µε (1-ΒΕ): A,B,B,D,D, άρα f =5 1 Πλήθος συνδέσεων µε (-ΒΕ) (ανωτέρας τάξεως): C, άρα f =1 Με αντικατάσταση στον τύπο του Kutzbach, προκύπτει: F = 3 n 1 f f = = 1 1 1= 1 ( ) ( ) 1 Άρα, η εξεταζόµενο διάταξη διαθέτει F=1 Βαθµό Ελευθερίας. Επειδή F>, η εξεταζόµενη διάταξη είναι µηχανισµός. Παρατήρηση: Εάν προέκυπτε F=, τότε η εξεταζόµενη διάταξη θα ήταν στερεό και ισοστατικό σώµα. Εάν προέκυπτε F<, τότε η εξεταζόµενη διάταξη θα ήταν υπερστατική κατασκευή

5 Αναπαράσταση θέσεως µε τη χρήση του οµογενούς µετασχηµατισµού Έστω το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΣΣ{ I } και το τοπικό σύστηµα αναφοράς ΣΣ{ B }, το οποίο προκύπτει από µία µεταφορά του ΣΣ{ I } και από µία στροφή του ΣΣ{ I }. Επίσης, έστω σηµείο ενδιαφέροντος P, µε γνωστό διάνυσµα θέσης r B ως προς το ΣΣ{ B }, και έστω ότι αναζητούµε την γραφή του διανύσµατος θέσης του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ I }. Ισχύει: r = H r όπου ο τελεστής H I, B είναι ο πίνακας του οµογενούς µετασχηµατισµού. Στις, το διάνυσµα θέσης r B ενός σηµείου P ως προς το ΣΣ{ B } είναι: I I, B xb rb = y B και ο πίνακας του οµογενούς µετασχηµατισµού είναι: H I, B cosϑ sinϑ xo = sinϑ cosϑ y o 1 Ο τετραγωνικός υποπίνακας από H I, B( 1,1) έως και I, B(, ) ο υποπίνακας-στήλη από H ( ) έως και ( ) B H είναι το µητρώο στροφής, ενώ I, B 1,3 H I, B,3 είναι το διάνυσµα θέσης r o. Στις 3, ο πίνακας του οµογενή µετασχηµατισµού προκύπτει ίσος µε: nx ox ax xo ny oy ay y o H I, B = nz oz az zo 1 Ο τετραγωνικός υποπίνακας από H ( ) έως και ( ) I B, 1,1 nx ox ax R= ny oy a y nz oz a z ενώ ο υποπίνακας-στήλη από H ( ) έως και ( ) I B, 1, 4 Υπάρχουν τρεις ειδικές περιπτώσεις στροφής: Στροφή περί του x άξονα Στροφή περί του y άξονα 1 R I, B = cosϑ sinϑ sinϑ cosϑ R I, B cosϑ sinϑ = 1 sinϑ cosϑ H I, B 3,3 είναι το µητρώο στροφής: H I, B 3, 4 είναι το διάνυσµα θέσης r o

6 Στροφή περί του z άξονα cosϑ sinϑ R I, B = sinϑ cosϑ 1 Σχετικά µε την σύνθεση οµογενών αναπαραστάσεων, ισχύει: H = H H H... H H όπου ΣΣ{ } I, v I,1 1,,3 v, v 1 v 1, v I είναι το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς και ΣΣ{} 1, ΣΣ{ },, ΣΣ{ v } είναι τοπικά συστήµατα αναφοράς, ενώ ο οµογενής µετασχηµατισµός H I,1, περιγράφει τη µετάβαση από το ΣΣ{ I } στο ΣΣ{} 1, ο οµογενής µετασχηµατισµός H 1,, περιγράφει τη µετάβαση από το ΣΣ{} 1 στο ΣΣ{ } και εν γένει ο οµογενής µετασχηµατισµός H ( ν 1 ), ν περιγράφει τη µετάβαση από το ΣΣ{ v 1} στο ΣΣ{ v }. Εξίσωση θέσεως αρθρωτού µηχανισµού Με κατάλληλη χρήση του οµογενούς µετασχηµατισµού, είναι δυνατή η κατάστρωση της εξίσωσης θέσεως ενός αρθρωτού µηχανισµού. Τυπικά παραδείγµατα είναι οι κλειστές κινηµατικές αλυσίδες µε 3 µέλη και µε 4 µέλη. (α) (β) Σχήµα : (α) Κλειστή κινηµατική αλυσίδα (ABCA) µε 3 µέλη και (β) κλειστή κινηµατική αλυσίδα (ABCDA) µε 4 µέλη Οι εξισώσεις θέσεως της κλειστής κινηµατικής αλυσίδας µε 3 µέλη (βλ. Σχήµα α) είναι: AC = AB cosϑ + BC cosϑ ( ) ( ) ( ) ( AB) sinϑ = ( BC) sin 1 3 ϑ 1 3 Οι εξισώσεις θέσεως της κλειστής κινηµατικής αλυσίδας µε 4 µέλη (βλ. Σχήµα β) είναι: l = l cos ϑ + ϑ + ϑ + l cos ϑ + ϑ + l cos ϑ ( ) ( ) ( ) ( ϑ ϑ ϑ ) ( ϑ ϑ ) ( ϑ ) = l sin l sin + + l sin Αναλυτικός (αλγεβρικός) υπολογισµός ταχύτητας Προκύπτει από τη χρονική παραγώγιση των εξισώσεων θέσεως του µηχανισµού. Αναλυτικός (αλγεβρικός) υπολογισµός επιτάχυνσης Προκύπτει από τη χρονική παραγώγιση των εξισώσεων ταχύτητας του µηχανισµού

7 ιανυσµατικός υπολογισµός ταχύτητας Έστω µηχανισµός και έστω αδρανειακό σύστηµα αναφοράς I, το οποίο επιλέγουµε αυθαίρετα. Έστω σηµείο Ρ του µηχανισµού και έστω τοπικό σύστηµα αναφοράς loc, το οποίο, επίσης, επιλέγουµε αυθαίρετα. Σε έναν αρθρωτό µηχανισµό, είναι συνήθης πρακτική ο ορισµός ενός τοπικού συστήµατος συντεταγµένων σε κάθε µέλος του µηχανισµού. Η ταχύτητα του σηµείου P υπολογίζεται διανυσµατικά από την εξίσωση: υp, I = υloc, I + υp, loc+ ω rp, loc όπου : είναι η ταχύτητα του σηµείου Ρ ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς I P, I υ υloc, I : είναι η γραµµική ταχύτητα του τοπικού συστήµατος αναφοράς loc ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς I (λόγω µεταφοράς του τοπικού συστήµατος αναφοράς loc ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς I ) P, loc υ ω : rp, loc : είναι η γραµµική ταχύτητα του σηµείου Ρ ως προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς loc (λόγω µετακίνησης του Ρ ως προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς loc ) είναι η γωνιακή ταχύτητα του σηµείου Ρ ως προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς loc (λόγω περιστροφής του Ρ ως προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς loc ) : είναι το διάνυσµα θέσεως του σηµείου Ρ ως προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς loc r P, : εφαπτοµενική συνιστώσα ταχύτητας loc ω Παρατήρηση: Εάν το σηµείο ενδιαφέροντος Ρ ανήκει σε µέλος, το µήκος του οποίου δεν µεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της λειτουργίας του µηχανισµού, τότε ισχύει υ P, loc. Σε = αντίθετη περίπτωση, ισχύει υp, loc. Τυπικές περιπτώσεις δυνατότητας (όχι υποχρεωτικά) µεταβολής µήκους ενός µέλους µηχανισµού είναι ο τηλεσκοπικός βραχίονας και το συρµατόσχοινο ανάρτησης βάρους σε έναν γερανό (π.χ. κατά την ανύψωση βάρους). ιανυσµατικός υπολογισµός επιτάχυνσης Για το προαναφερθέν σηµείο Ρ, η επιτάχυνση υπολογίζεται διανυσµατικά από την εξίσωση: ( r ) ap, I = aloc, I + ap, loc+ ω υp, loc+ ω rp, loc+ ω ω P, loc όπου : είναι η επιτάχυνση του σηµείου Ρ ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς I P, I a aloc, I : είναι η γραµµική επιτάχυνση του τοπικού συστήµατος αναφοράς loc ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς I (λόγω µεταφοράς του τοπικού συστήµατος αναφοράς loc ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς I ) P, loc a : είναι η γραµµική επιτάχυνση του σηµείου Ρ ως προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς (λόγω µετακίνησης του Ρ ως προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς loc ) υ : είναι η επιτάχυνση Coriolis P, loc ω r P, ω loc ω ω : ω : είναι η εφαπτοµενική συνιστώσα της επιτάχυνσης ( r, ) P loc : είναι η κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης (κεντροµόλος) είναι η γωνιακή ταχύτητα του σηµείου Ρ ως προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς loc (λόγω περιστροφής του Ρ ως προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς loc )

8 rp, loc : είναι το διάνυσµα θέσεως του σηµείου Ρ ως προς το τοπικό σύστηµα αναφοράς loc Παρατήρηση: Εάν το σηµείο ενδιαφέροντος Ρ ανήκει σε µέλος, το µήκος του οποίου δεν µεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της λειτουργίας του µηχανισµού, τότε ισχύει υ P, loc, άρα = µηδενίζεται και η επιτάχυνση Coriolis. Σε αντίθετη περίπτωση, ισχύει υp, loc και υπάρχει συνεισφορά από την επιτάχυνση Coriolis. Παράδειγµα: Μηχανισµός Στροφάλου - ιωστήρα Εµβόλου Για τον µηχανισµό Στροφάλου - ιωστήρα Εµβόλου (βλ. Σχήµα 3) στο xy-επίπεδο, να βρεθούν: (Α) οι εξισώσεις θέσεως, (Β) οι εξισώσεις ταχύτητας (πρώτα αναλυτικά (αλγεβρικά) και κατόπιν διανυσµατικά), (Γ) οι εξισώσεις επιτάχυνσης (πρώτα αναλυτικά (αλγεβρικά) και κατόπιν διανυσµατικά) και να αναγνωρισθούν οι επί µέρους όροι (π.χ. Coriolis, εφαπτοµενική, κοκ). Επίσης: ( ) να κατασκευασθούν τα διαγράµµατα ταχύτητας και επιτάχυνσης για το µέλος (ΑΒ). ίδονται: (AB), (BC): σταθερά µήκη, είσοδος: γωνία θ, έξοδος: γωνία φ Σχήµα 3: Μηχανισµός Στροφάλου - ιωστήρα Εµβόλου στο xy-επίπεδο (απεικονίζεται και το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς x Ι O Ι y Ι ) Υπολογισµός εξισώσεων θέσεως Ο µηχανισµός Στροφάλου - ιωστήρα Εµβόλου προκύπτει από την κλειστή κινηµατική αλυσίδα µε 3 µέλη (βλ. Σχήµα α), εάν το τµήµα (AC) αφαιρεθεί και θεωρηθεί ως µεταβλητή απόσταση u (βλ. Σχήµα 3). Συνεπώς, οι εξισώσεις θέσεως του εξεταζοµένου µηχανισµού προκύπτουν µε κατάλληλη προσαρµογή των εξισώσεων θέσεως της κλειστής κινηµατικής αλυσίδας µε 3 µέλη. Ειδικότερα, ισχύει: Οι εξισώσεις θέσεως της κλειστής κινηµατικής αλυσίδας µε 3 µέλη (βλ. Σχήµα α) είναι: ( AC) = ( AB) cosϑ1 + ( BC) cosϑ3 (Ε1) AB sinϑ = BC sinϑ ( ) ( ) 1 3 Αντικαταστάσεις: (AB)->r, (BC) -> l, (AC)->u, θ 1 ->θ, θ 3 ->φ Τελικά, οι ζητούµενες εξισώσεις θέσεως προκύπτουν ίσες µε: u= r cosθ + l cosϕ r sinθ = l sinϕ Υπολογισµός εξισώσεων ταχύτητας (αλγεβρικά) (Ε)

9 Προκύπτουν µε χρονική παραγώγιση των εξισώσεων (Ε1): u = r θ sinϑ ϕ sinϕ r θ cosθ = ϕ cosϕ (Ε3) Παρατήρηση: τα µήκη (AB), (BC) είναι σταθερά, άρα δεν συµµετέχουν στην παραγώγιση. Υπολογισµός εξισώσεων επιτάχυνσης (αλγεβρικά) Προκύπτουν µε χρονική παραγώγιση των εξισώσεων (Ε3): u = r θ sinϑ r θ cosϑ ϕ sinϕ ϕ cosϕ r θ cosϑ r θ sinϑ ϕ cosϕ+ ϕ sinϕ = (Ε4) Υπολογισµός εξισώσεων ταχύτητας (διανυσµατικά) Για το σηµείο Β: Ορίζουµε τοπικό σύστηµα x 1 O 1 y 1, (σύστηµα {loc}) παράλληλο ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς και µε αρχή αξόνων στη θέση Α (βλ. Σχήµα 4). Σχήµα 4: Ορισµός τοπικού συστήµατος x 1 O 1 y 1 Η ταχύτητα στο σηµείο Β, ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, ισούται µε: υb, I = υloc, I + υb, loc+ ω rb, loc (Ε5) όπου υ loc, I = (διότι η αρχή αξόνων του τοπικού συστήµατος συµπίπτει µε το ακλόνητο σηµείο Α) υ B, loc = (διότι η απόσταση του σηµείου Β από το σηµείο Α είναι σταθερή κατά τη λειτουργία του µηχανισµού, δηλαδή το σηµείο Β ούτε προσεγγίζει ούτε αποµακρύνεται από το σηµείο Α) ω= θ T [ θ θ ] διότι το σηµείο Β περιστρέφεται γύρω από το Α µε γωνιακή ταχύτητα θ, άξονα περιστροφής κάθετο στο επίπεδο του χαρτιού (z-άξονας) και φορά ανθωρολογιακή r, cos sin T B loc = r r διάνυσµα θέσεως του σηµείου Β ως προς το τοπικό σύστηµα x 1 O 1 y 1 i j k ω rb, loc = θ = i ( r θ sinθ) j( r θ cosθ) + k( ) r cosθ r sinθ

10 r θ sinθ ω rb, loc = r θ cosθ Αντικαθιστώντας όλα τα ανωτέρω στην εξίσωση (Ε5), προκύπτει: r θ sinθ r θ sinθ υb, I = + + r θ cosθ υb, I = r θ cosθ (Ε6) (Ε7) Για το σηµείο C: Επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία, όπως και για το σηµείο Β. Ορίζουµε τοπικό σύστηµα x O y, (σύστηµα {loc}) παράλληλο ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς και µε αρχή αξόνων στη θέση Β (βλ. Σχήµα 5). Σχήµα 5: Ορισµός τοπικού συστήµατος x O y Η ταχύτητα στο σηµείο C, ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, ισούται µε: υc, I = υloc, I + υc, loc+ ω rc, loc (Ε8) όπου υloc, I = υ A, I (διότι η αρχή αξόνων του τοπικού συστήµατος x O y συµπίπτει µε το σηµείο Β, η ταχύτητα του οποίου υπολογίσθηκε στην προηγούµενη ενότητα) υ C, loc = (διότι η απόσταση του σηµείου C από το σηµείο B είναι σταθερή κατά τη λειτουργία του µηχανισµού, δηλαδή το σηµείο C ούτε προσεγγίζει ούτε αποµακρύνεται από το σηµείο B) [ ϕ] ω= T [ ϕ ϕ ] διότι το σηµείο C περιστρέφεται γύρω από το B µε γωνιακή ταχύτητα ϕ, άξονα περιστροφής κάθετο στο επίπεδο του χαρτιού (z-άξονας) και φορά ωρολογιακή r, cos sin T c loc = l l διάνυσµα θέσεως του σηµείου C ως προς το τοπικό σύστηµα x O y i j k ω rc, loc = ϕ = i ( ϕ sinϕ) j( + ϕ cosϕ) + k( ) l cosϕ l sinϕ ω r C, loc ϕ sinϕ = ϕ cosϕ (Ε9)

11 Αντικαθιστώντας όλα τα ανωτέρω στην εξίσωση (Ε8), προκύπτει: r θ sinθ ϕ sinϕ r θ sinθ ϕ sinϕ υc, I = + r θ cosθ lϕ cosϕ + υc, I = r θ cosθ ϕ cosϕ (Ε1) Από το Σχήµα 3, προκύπτει ότι: - η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας στο σηµείο C ισούται µε u - η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας στο σηµείο C είναι µηδενική, διότι στο σηµείο C η υπάρχουσα πρισµατική άρθρωση εµποδίζει κατακόρυφες µετακινήσεις Με βάση αυτές τις παρατηρήσεις, η εξίσωση (Ε1) γράφεται και ως εξής: r θ sinθ ϕ sinϕ u rθ sinθ lϕ sinϕ υc, I rθ cosθ lϕ cosϕ = + + = (Ε11) rθ cosθ lϕ cosϕ Παρατήρηση: Οι εξισώσεις (Ε3) και (Ε11) ταυτίζονται, ως αναµενόταν. Υπολογισµός εξισώσεων επιτάχυνσης (διανυσµατικά) Για το σηµείο Β: Με βάση το ήδη ορισθέν τοπικό σύστηµα x 1 O 1 y 1, η επιτάχυνση στο σηµείο Β, ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, ισούται µε: ( r ) ab, I = aloc, I + ab, loc+ ω υb, loc+ ω rb, loc+ ω ω B, loc (Ε1) όπου a loc, I = (διότι η αρχή αξόνων του τοπικού συστήµατος συµπίπτει µε το ακλόνητο σηµείο Α) a B, loc = (διότι η απόσταση του σηµείου Β από το σηµείο Α είναι σταθερή κατά τη λειτουργία του µηχανισµού) ω υ B, loc = η επιτάχυνση Coriolis είναι µηδενική διότι υ B, loc = (βλ. ενότητα για ταχύτητα στο σηµείο Β) [ θ θ ] r, cos sin T B loc = r r διάνυσµα θέσεως του σηµείου Β ως προς το τοπικό σύστηµα x 1 O 1 y 1 T ω= θ (βλ. ενότητα για ταχύτητα στο σηµείο Β) r B, ω loc : είναι η εφαπτοµενική συνιστώσα της επιτάχυνσης i j k ω rb, loc = θ = i ( r θ sinθ) j( r θ cosθ) + k( ) r cosθ r sinθ ( r, ) B loc ω ω r θ sinθ ω rb, loc = rθ cosθ : είναι η κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης (κεντροµόλος) (Ε13)

12 r θ sinθ i j k ω ( ω rb, loc) = ω r θ cosθ = θ r θ sinθ r θ cosθ ω ( ω rb, loc) = i( r θ cosθ) j( + r θ sinθ) + k( ) r θ cosθ ω ( ω rb, loc) = r θ sinθ Αντικαθιστώντας όλα τα ανωτέρω στην εξίσωση (Ε1), προκύπτει: r θ sinθ r θ cosθ r θ sinθ r θ cosθ ab, I = r θ cosθ + r θ sinθ ab, I = r θ cosθ r θ sinθ (Ε14) (Ε15) Για το σηµείο Γ: Επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία, όπως και για το σηµείο Β. Με βάση το ήδη ορισθέν τοπικό σύστηµα x O y, η επιτάχυνση στο σηµείο C, ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, ισούται µε: ( r ) ac, I = aloc, I + ac, loc+ ω υc, loc+ ω rc, loc+ ω ω C, loc (Ε16) όπου aloc, I = ab, I (διότι η αρχή αξόνων του τοπικού συστήµατος x O y συµπίπτει µε το σηµείο Β, η επιτάχυνση του οποίου υπολογίσθηκε στην προηγούµενη ενότητα) a C, loc = (διότι η απόσταση του σηµείου C από το σηµείο B είναι σταθερή κατά τη λειτουργία του µηχανισµού) ω υ C, loc = η επιτάχυνση Coriolis είναι µηδενική διότι υ C, loc = (βλ. ενότητα για ταχύτητα στο σηµείο C) [ ϕ ϕ ] r, cos sin T c loc = l l διάνυσµα θέσεως του σηµείου C ως προς το τοπικό σύστηµα x O y T ω= [ ϕ] (βλ. ενότητα για ταχύτητα στο σηµείο C) r C, ω loc : είναι η εφαπτοµενική συνιστώσα της επιτάχυνσης i j k ω rc, loc = ϕ = i ( ϕ sinϕ) j( + ϕ cosϕ) + k( ) l cosϕ l sinϕ ( r, ) C loc ω ω ω r C, loc ϕ sinϕ = ϕ cosϕ : είναι η κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης (κεντροµόλος) (Ε17)

13 ϕ sinϕ i j k ω ( ω rc, loc) = ω ϕ cosϕ = ϕ ϕ sinϕ ϕ cosϕ ω ( ω rc, loc) = i ( ϕ cosϕ) j( ϕ sinϕ) + k( ) ϕ cosϕ ω ( ω rb, loc) = ϕ sinϕ (Ε18) Αντικαθιστώντας όλα τα ανωτέρω στην εξίσωση (Ε16), προκύπτει: r θ sinθ r θ cosθ ϕ sinϕ ϕ cosϕ ac, I = r θ cosθ r θ sinθ lϕ cosϕ ϕ sinϕ r θ sinθ r θ cosθ ϕ sinϕ ϕ cosϕ ac, I = r θ cosθ r θ sinθ ϕ cosϕ+ ϕ sinϕ (Ε19) Σε συνέχεια των παρατηρήσεων επί του Σχήµατος 3, προκύπτει ότι: - η οριζόντια συνιστώσα της επιτάχυνσης στο σηµείο C ισούται µε u - η κατακόρυφη συνιστώσα της επιτάχυνσης στο σηµείο C είναι µηδενική, διότι στο σηµείο C η υπάρχουσα πρισµατική άρθρωση εµποδίζει κατακόρυφες µετακινήσεις Με βάση αυτές τις παρατηρήσεις, η εξίσωση (Ε19) γράφεται και ως εξής: u r θ sinθ r θ cosθ ϕ sinϕ ϕ cosϕ = (Ε) r θ cosθ r θ sinθ ϕ cosϕ+ ϕ sinϕ Παρατήρηση: Οι εξισώσεις (Ε4) και (Ε) ταυτίζονται, ως αναµενόταν. ιάγραµµα ταχύτητας και επιτάχυνσης για το µέλος (ΑΒ) Το σηµείο Α είναι ακλόνητο, άρα διαθέτει µηδενική ταχύτητα και επιτάχυνση. Από τον υπολογισµό της ταχύτητας στο σηµείο Β, προκύπτει ότι το σηµείο Β εµφανίζει µόνο εφαπτοµενική συνιστώσα ταχύτητας ίση µε r θ sinθ υb, I = ( υb, I) = r θ cosθ εϕαπτ (Ε1) Από τον υπολογισµό της επιτάχυνσης στο σηµείο Β, προκύπτει ότι το σηµείο Β εµφανίζει µόνο εφαπτοµενική συνιστώσα ταχύτητας ίση µε r θ sinθ ( ab, I) = r θ cosθ εϕαπτ (Ε) και κάθετη (κεντροµόλο) συνιστώσα ταχύτητας ίση µε

14 r θ cosθ ( ab, I) = r θ sinθ κεντροµ (Ε3) Βάσει αυτών των πληροφοριών, τα διαγράµµατα ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι αυτά που απεικονίζονται στο Σχήµα 6. (α) (β) Σχήµα 6: ιάγραµµα (α) ταχύτητας και (β) επιτάχυνσης για το µέλος (ΑΒ) Συντελεστής Αναλογίας (Mechanical Advantage) Με τη βοήθεια των µηχανισµών, είναι δυνατός ο πολλαπλασιασµός ή υπο-πολλαπλασιασµός ενός εξωτερικά ασκουµένου αιτίου (δύναµης ή ροπής). Eάν F in είναι η είσοδος (εξωτερικά ασκούµενο αίτιο) σε έναν µηχανισµό και F out είναι η έξοδος (το, ασκούµενο από τον µηχανισµό, αποτέλεσµα), τότε ο Συντελεστής Αναλογίας (Mechanical Advantage) ορίζεται ως: F out ( MA) = (Ε4) Fin Για τον υπολογισµό του λόγου (ΜΑ), είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί η Αρχή ιατήρησης της Ισχύος, η οποία ισχύει για συντηρητικά συστήµατα (δηλαδή για συστήµατα µε µηδενικές απώλειες). Σύµφωνα µε την εν λόγω αρχή, ισχύει: P = P (Ε5) in όπου P in και P out είναι η ισχύς εισόδου και η ισχύς εξόδου του µηχανισµού. Υπενθυµίζεται ότι στην περίπτωση περιστρεφόµενης κίνησης, η ισχύς ορίζεται ως: P= Mω (Ε6) όπου M είναι η αναπτυσσόµενη ροπή και ω είναι η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα. Επίσης, στην περίπτωση ευθύγραµµης κίνησης, η ισχύς ορίζεται ως: P= Fiυ (Ε7) όπου είναι η αναπτυσσόµενη δύναµη, είναι η ταχύτητα του σηµείου εφαρµογής της F υ δύναµης, ενώ το σύµβολο i δηλώνει την πράξη του εσωτερικού γινοµένου. F Παρατήρηση: Από την εξίσωση (Ε7) προκύπτει ότι σε µία δύναµη, η οποία κινεί το σηµείο εφαρµογής της κάθετα ως προς τη διεύθυνσή της, αντιστοιχεί µηδενική ισχύς. out

15 Ενεργειακή Αρχή Lagrange Για τη µελέτη ενός (οποιουδήποτε) µηχανισµού, χρειάζεται η καταγραφή των εξισώσεων ισορροπίας του. Προς τούτο, είναι δυνατόν να εφαρµόσουµε τον πρώτο νόµο του Νεύτωνα. Ωστόσο, σε πολυβάθµια δυναµικά συστήµατα, αυτή είναι µία διαδικασία αρκετά επίπονη και δύσκολη. Αντί, λοιπόν, της Νευτώνειας προσέγγισης, προτιµούµε την ενεργειακή προσέγγιση κατά Lagrange, η οποία χαρακτηρίζεται από τρία σηµαντικά πλεονεκτήµατα: 1. Αποτελεί την πλέον γενική ενεργειακή διατύπωση, στην οποία εµπλέκονται όλες οι µορφές ενέργειας και ισχύος που εµφανίζονται στα δυναµικά συστήµατα (δυναµική ενέργεια, κινητική ενέργεια, διάχυση ισχύος και εξωτερική ισχύς του συστήµατος). Συνεπώς, εφαρµόζεται σε όλες, ανεξαιρέτως, τις περιπτώσεις, όπως σε γραµµικά και µηγραµµικά µηχανικά συστήµατα, σε υδραυλικά συστήµατα, σε ηλεκτρικά συστήµατα καθώς και σε συνδυασµούς αυτών (συζευγµένα συστήµατα).. Εµπλέκει µόνο ενεργειακές ποσότητες, οι οποίες αποτελούν βαθµωτά µεγέθη. Η συνολική ενέργεια του συστήµατος δεν είναι τίποτε άλλο παρά απλή πρόσθεση αυτών των βαθµωτών µεγεθών. Αντιθέτως, οι δυνάµεις, ως διανυσµατικά µεγέθη, απαιτούν διανυσµατικές µεταξύ τους πράξεις, οι οποίες, σε ορισµένες περιπτώσεις (π.χ. εύκαµπτος ροµποτικός βραχίονας) είναι, σαφώς, πιο σύνθετες. 3. Οι ενεργειακές ποσότητες σχετίζονται µε µαθηµατικές εκφράσεις τετραγωνικής µορφής, συνεπώς το τελικό ενεργειακό αποτέλεσµα δεν επηρεάζεται από τη σειρά µε την οποία αναγράφονται οι µετατοπίσεις σε µία µεταβολή. Αντιθέτως, η διαχείριση δυνάµεων απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή στην προσήµανσή τους. ιευκρινίζεται, ότι µε την Ενεργειακή Αρχή Lagrange καταλήγουµε στις εξισώσεις ισορροπίας του συστήµατος, δηλαδή στις Νευτώνειες εξισώσεις ισορροπίας, µε έναν πολύ απλό και πρακτικό τρόπο. Η µαθηµατική έκφραση της Ενεργειακής Αρχής Lagrange είναι: L L PC Pt + = t q q q q (Ε8) Όρος αδράνειας (αντιστοιχεί σε δυνάµεις αδρανείας F m ) Όρος ελαστικότητος (αντιστοιχεί σε δυνάµεις ελατηρίου F ) k Όρος διάχυσης (αντιστοιχεί σε δυνάµεις απόσβεσης F c ) Όρος διέγερσης (αντιστοιχεί σε εξωτερικές δυνάµεις F ) όπου q είναι ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή (Βαθµός Ελευθερίας) του συστήµατος, ως P C συµβολίζεται η ενέργεια, η οποία διαχέεται λόγω της απόσβεσης του συστήµατος, ως P t συµβολίζεται η ισχύς που προσφέρεται στο σύστηµα από τις εξωτερικές δυνάµεις και ως L συµβολίζεται η αποκαλούµενη ενεργειακή µεταβλητή Lagrange. Εξ ορισµού, ισχύει: L= T U (Ε9)

16 όπου ως T συµβολίζεται η κινητική ενέργεια του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στις µάζες του συστήµατος, ενώ ως U συµβολίζεται η δυναµική ενέργεια, η οποία συσσωρεύεται στα ελατήρια του συστήµατος. Η εξίσωση (Ε.8) γράφεται τόσες φορές, όσες είναι οι ανεξάρτητες µεταβλητές q που διαθέτει το σύστηµα. Ισοδύναµα, η εξίσωση (Ε8) γράφεται τόσες φορές, όσοι είναι οι Βαθµοί Ελευθερίας του εξεταζοµένου συστήµατος. Παράδειγµα Έστω η τροχαλία του Σχήµατος 7, µαζικής ροπής αδρανείας Ι, εξωτερικής ακτίνας R, εσωτερικής ακτίνας r και αµελητέας µάζας. Ασκώντας (προς τα κάτω) µία κατακόρυφη δύναµη F, επιτυγχάνεται η κατακόρυφη ανύψωση της µάζας m, η οποία είναι ανηρτηµένη µέσω αβαρούς και µη-ελαστικού σχοινιού. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης της εξεταζόµενης τροχαλίας, εφαρµόζοντας την Ενεργειακή Αρχή Lagrange και θεωρώντας αµελητέες τις όποιες τριβές. Σχήµα 7: Εξεταζόµενη τροχαλία Έστω ότι u είναι η µετατόπιση του σηµείου εφαρµογής της δύναµης F και έστω ότι µε h συµβολίζεται η κατακόρυφη ανύψωση της µάζας m. Η κινητική ενέργεια του εξεταζόµενου συστήµατος (συσσωρεύεται σε στοιχεία αδρανείας του συστήµατος) ισούται µε: T =.5m h +.5 Iθ (Ε3) Η δυναµική ενέργεια του εξεταζόµενου συστήµατος (συσσωρεύεται είτε ως ενέργεια παραµόρφωσης σε παραµορφώσιµα στοχεία, π.χ. ελατήρια, είτε ως ενέργεια εξ αιτίας του βαρυτικού πεδίου) ισούται µε: U = m g h (Ε31) Η προσφερόµενη στο σύστηµα ισχύς (οφείλεται στο εξωτερικά ασκούµενο αίτιο) ισούται µε: Pt = F u (Ε3) Η διαχεόµενη (καταστρεφόµενη) στο σύστηµα ισχύς (ενέργεια διαχέεται είτε σε στοιχεία απόσβεσης είτε λόγω τριβών) είναι µηδενική, διότι στο σύστηµα δεν υπάρχουν στοιχεία απόσβεσης ή τριβές: P c = (Ε33) Τα εµπλεκόµενα κινηµατικά µεγέθη είναι η κατακόρυφη µετατόπιση h της µάζας Μ, η κατακόρυφη µετατόπιση u της δύναµης F και η γωνία θ της τροχαλίας. Ωστόσο, η γεωµετρία

17 της τροχαλίας υπαγορεύει το συσχετισµό µεταξύ των µεγεθών u,θ και h,θ. Ειδικότερα, ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: h= rθ (Ε34) και u= Rθ (Ε35) Συνεπώς, εµφανίζονται 3 κινηµατικά µεγέθη (u,h,θ) και εξίσωσης συσχέτισης αυτών των µεγεθών. Εποµένως, το σύστηµα εµφανίζει 3-=1 ανεξάρτητο κινηµατικό µέγεθος. Ισοδύναµα, το εξεταζόµενο σύστηµα διαθέτει 1 Βαθµό Ελευθερίας. Μπορούµε να επιλέξουµε αυθαίρετα ένα από τα προαναφερθέντα κινηµατικά µεγέθη ως Βαθµό Ελευθερίας (ΒΕ). Έστω ότι επιλέγουµε τη γωνία θ ως (ΒΕ). Τότε θα ισχύει: ( ) θ θ θ ( ) T =.5m r +.5 I =.5 mr + I U = m g rθ Pt = F Rθ (Ε36) (Ε37) (Ε38) Εφαρµόζοντας την Ενεργειακή Αρχή Lagrange για τον (ΒΕ) q= θ, η ενεργειακή µεταβλητή Lagrange L του συστήµατος προκύπτει ίση µε: L= T U =.5 θ ( mr + I) m g rθ (Ε39) Συνεπώς, ισχύουν και τα ακόλουθα: L = ( mr + I) θ θ (Ε4) d L d = (( mr ) ) + I θ = ( mr + I) θ dt θ dt (Ε41) L = m g r θ (Ε4) P C = θ (Ε43) P t = F R θ (Ε44) Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (Ε8), προκύπτει: mr + I θ + m g r= F R (Ε45) ( ) Η εξίσωση (Ε45) αποτελεί την εξίσωση κίνησης του εξεταζοµένου συστήµατος. Ταυτίζεται, δε, µε την εξίσωση ισορροπίας ροπών του συστήµατος. Παρατήρηση: Εάν η µάζα M τρ της τροχαλίας δεν είναι αµελητέα, τότε, θεωρώντας ότι η τροχαλία βρίσκεται σε ένα σταθερό ύψος Η ως προς το επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας, η δυναµική ενέργεια του συστήµατος καθίσταται ίση µε: U = m g h+ Mτρ g H (Ε46) Ωστόσο, επειδή το ύψος Η είναι χρονικά σταθερό και ανεξάρτητο της γωνίας θ, ο όρος Mτρ g H αποτελεί µία σταθερά στη µεταβλητή Lagrange L του συστήµατος, συνεπώς δεν συµµετέχει στις παραγωγίσεις (βλ. Ε4,Ε41,Ε4), άρα, τελικά, δεν συµµετέχει και στην εξίσωση κίνησης του συστήµατος

18 Εφαρµογή: Γερανός µε φορείο κινούµενο επί σταθερού βραχίονα Έστω η διάταξη του Σχήµατος 8, στην οποία ένα φορείο µάζας Μ κινείται οριζόντια και προς τα δεξιά, επί βραχίονα, ο οποίος βρίσκεται σε σταθερό ύψος h. Από το κέντρο βάρους του φορείου αναρτάται αβαρές και µη-ελαστικό συρµατόσχοινο, στο ελεύθερο άκρο Ρ του οποίου είναι σταθερά προσδεδεµένη µάζα m. Ζητείται η εξίσωση κίνησης του εξεταζοµένου συστήµατος, χρησιµοποιώντας την Ενεργειακή Αρχή Lagrange, θεωρώντας ότι κατά την κίνηση του φορείου το µήκος L του συρµατοσχοίνου παραµένει σταθερό (δηλαδή, η κίνηση του φορείου δεν συνοδεύεται µε ταυτόχρονη ανύψωση ή απόθεση της µάζας m) και αµελώντας τις τριβές. Σχήµα 8: Γερανός µε φορείο κινούµενο επί σταθερού βραχίονα Η κινητική ενέργεια του εξεταζόµενου συστήµατος ισούται µε: (Ε47) T =.5 M u +.5m x +.5m y Η δυναµική ενέργεια του εξεταζόµενου συστήµατος ισούται µε (έστω επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας για Y I =): U = M g h+ m g y (Ε48) Η προσφερόµενη στο σύστηµα ισχύς (οφείλεται στο εξωτερικό αίτιο F το οποίο θέτει σε κίνηση το φορείο) ισούται µε: Pt = F u (Ε49) Η διαχεόµενη στο σύστηµα ισχύς είναι µηδενική, διότι στο σύστηµα δεν υπάρχουν στοιχεία απόσβεσης ή τριβές: P c = (Ε5) Στις εξισώσεις (Ε47-Ε5), τα εµπλεκόµενα κινηµατικά µεγέθη είναι οι µεταβλητές u, x και y. Ωστόσο, από την Ενότητα 3 (Short notes) των Εκπαιδευτικών Σηµειώσεων, είναι γνωστό ότι οι εξισώσεις θέσεως του σηµείου Ρ είναι: x= u l sinϕ x = u ϕ cosϕ y= h l cosϕ y = (Ε51) ϕ sinϕ Συνεπώς, συνολικά εµπλέκονται 4 κινηµατικά µεγέθη (u,x,y,φ) και εξίσωσης συσχέτισης αυτών των µεγεθών. Εποµένως, το σύστηµα εµφανίζει 4-= Βαθµούς Ελευθερίας. Μπορούµε να επιλέξουµε αυθαίρετα δύο από τα προαναφερθέντα κινηµατικά µεγέθη. Έστω

19 ότι επιλέγουµε την οριζόντια µετατόπιση u και τη γωνία φ. Σε αυτήν την περίπτωση, οι εξισώσεις (Ε47-Ε5) γράφονται ως εξής: Κινητική ενέργεια εξεταζόµενου συστήµατος: ( ϕ ϕ) ( ϕ ϕ).5.5 cos.5 sin T = M u + m u l + m l (Ε5) υναµική ενέργεια εξεταζόµενου συστήµατος: Προσφερόµενη ισχύς: ιαχεόµενη ισχύς: ( cos ) U = M g h+ m g h l ϕ (Ε53) Pt = F u (Ε54) P c = (Ε55) Για την εύρεση των εξισώσεων κίνησης του εξεταζοµένου συστήµατος, θα πρέπει να εφαρµοσθεί η Ενεργειακή Αρχή Lagrange L L Pc Pt + = t q q q q δύο φορές (µία για τη µεταβλητή u και µία για τη µεταβλητή φ). Ειδικότερα, θα ισχύει: Α. Για την ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή q= u Για τον αδρανειακό όρο: ( ) L q= u L T U = = q u u {(.5 M u.5m( u ϕ cosϕ) ( ) ) ( ( ))}.5m ϕ sinϕ M g h m g h l cosϕ (Ε56) = u L = M u + m( u ϕ cosϕ) (Ε57) u Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο, προκύπτει: L = ( M u + m( u ϕ cosϕ) ) = M u + mu m ϕ cosϕ + m ϕ sinϕ (Ε58) t u t Για τον όρο ελαστικότητας: L q= u L ( T U) = = (Ε59) q u u Για τον όρο διάχυσης: PC q= u PC = (Ε6) q u Για τον όρο διέγερσης: Pt q= u Pt Pt = { F u } = F (Ε61) q u u u Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (Ε56) µε τις εξισώσεις (Ε58-Ε61), προκύπτει: M u + mu m ϕ cosϕ+ m ϕ sinϕ = F (Ε6)

20 Β. Για την ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή q= ϕ Για τον αδρανειακό όρο: L q= ϕ L ( T U) = = q ϕ ϕ {(.5 M u.5m( u ϕ cosϕ) ( ) ) ( ( ))}.5m ϕ sinϕ M g h m g h l cosϕ = = ϕ ( m( u ϕ cosϕ)( l cosϕ) m( ϕ sinϕ)( l sinϕ) ) = + = = mlu cosϕ+ ml ϕ cos ϕ+ ml ϕ sin ϕ = ( ( )) = mlu cosϕ+ ml ϕ cos ϕ+ sin ϕ = mlu cosϕ+ ml ϕ L = mlu cosϕ+ ml ϕ ϕ Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο, προκύπτει: L = mlu cos + mlu sin + ml t ϕ Για τον όρο ελαστικότητας: L q= ϕ L ( T U) = = q ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ {(.5 M u.5m( u ϕ cosϕ) ( ) ) ( ( ))}.5m ϕ sinϕ M g h m g h l cosϕ = = ϕ ( m( u ϕ cosϕ)( ϕ sinϕ) m( ϕ sinϕ)( ϕ cosϕ) ) m g( l sinϕ) ( ) = + = = mluϕ sinϕ ml ϕ sinϕ cosϕ+ ml ϕ sinϕ cosϕ m g l sinϕ (Ε63) (Ε64) L = mlu ϕ sinϕ m g l sinϕ (Ε65) ϕ Για τον όρο διάχυσης: PC q= ϕ PC = (Ε66) q ϕ Για τον όρο διέγερσης: Pt q= ϕ Pt Pt = { F u } = (Ε67) q ϕ ϕ ϕ Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (Ε56) µε τις εξισώσεις (Ε64-Ε67), προκύπτει: mlu cosϕ+ mlu ϕ sinϕ+ ml ϕ+ mlu ϕ sinϕ m g l sinϕ = mlu + mlu + ml m g l = cosϕ ϕ sinϕ ϕ sinϕ (Ε68) Οι εξισώσεις (Ε6) και (Ε68) αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης του εξεταζοµένου συστήµατος. Παρατήρηση: Εάν κατά την κίνηση του φορείου, πραγµατοποιείται ταυτόχρονα και ανύψωση του φορτίου, τότε η ποσότητα L (µήκος συρµατοσχοίνου) µεταβάλλεται µε το χρόνο (άρα συµµετέχει στις χρονικές παραγωγίσεις)