Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3."

Transcript

1 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

2 Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 1. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα

3 Εκπαιδευτική Ενότητα 3 η (Σύντοµες Σηµειώσεις) Ανάλυση κίνησης µηχανισµών µε τη βοήθεια του οµογενούς µετασχηµατισµού 3. Γενικά Έστω ένας απλός µηχανισµός, αποτελούµενος από δύο µέλη, µεταξύ των οποίων, εξ ορισµού, υπάρχει κινηµατική συνεργασία. Κατά τη λειτουργία του µηχανισµού, τα µέλη αυτά κινούνται, µεταβάλλοντας τη µεταξύ τους σχετική θέση. Για να είναι δυνατή η κινηµατική περιγραφή του µηχανισµού, άρα και η γραφή των εξισώσεων κίνησης του µηχανισµού, απαιτείται ένας αυστηρός µαθηµατικός τρόπος περιγραφής της θέσης του ενός µέλους ως προς το άλλο. Με άλλα λόγια, απαιτείται ένας µαθηµατικός τρόπος περιγραφής της κινηµατικής συµπεριφοράς αυτών των δύο συνεργαζοµένων µελών (ζεύγος µελών). Στην πλέον γενική περίπτωση, ένας µηχανισµός αποτελείται από πολλά µέλη, συνεπώς είναι δυνατόν να εµφανίζονται πολλές δυάδες συνεργαζοµένων µελών. Ως εκ τούτου, ο προαναφερθείς µαθηµατικός τρόπος περιγραφής της κινηµατικής συµπεριφοράς πρέπει να είναι συστηµατικός, δηλαδή να είναι δυνατόν να εφαρµοσθεί πανοµοιότυπα σε οποιοδήποτε ζεύγος συνεργαζοµένων µελών και για οποιοδήποτε πλήθος ζευγών. Προς αυτήν την κατεύθυνση έχουν αναπτυχθεί διάφορες προσεγγίσεις, στοιχείο-κλειδί στις οποίες αποτελεί µία βασική γνώση (θεωρητικό υπόβαθρο) από τη γραµµική άλγεβρα: η µητρωϊκή γραφή µίας (οιασδήποτε) κίνησης στον 3 χώρο ως σύνθεση µίας περιστροφής και µίας µεταφοράς. Γι αυτό το σκοπό, χρησιµοποιούνται οι εξής έννοιες: Αναπαράσταση θέσης: πρόκειται για τη µητρωϊκή έκφραση, η οποία περιγράφει τη µεταφορά στον 3 χώρο (χωρική µεταφορά) ενός συστήµατος συντεταγµένων (τελεστής µεταφοράς ή πίνακας µεταφοράς). Αναπαράσταση προσανατολισµού: πρόκειται για τη µητρωϊκή έκφραση, η οποία περιγράφει τη στροφή στον 3 χώρο (χωρική στροφή) ενός συστήµατος συντεταγµένων (τελεστής στροφής ή πίνακας στροφής) Οµογενής αναπαράσταση: πρόκειται για µία συνεπτυγµένη µητρωϊκή έκφραση, στην οποία περιγράφεται, στον ίδιο πίνακα, ο τελεστής µεταφοράς και ο τελεστής στροφής. Στην παρούσα, λοιπόν, Εκπαιδευτική Ενότητα παρατίθεται το προαναφερθέν απαιτούµενο θεωρητικό υπόβαθρο. Ειδικότερα, εξετάζεται η οµογενής αναπαράσταση πρώτα στις δύο διαστάσεις (χώρος R ) και στη συνέχεια στις τρεις διαστάσεις (χώρος 4 R ). Παρατήρηση Στην παρούσα Εκπαιδευτική Ενότητα, όπως και στις υπόλοιπες, έχουν υιοθετηθεί οι ακόλουθες συµβάσεις στη γραφή: ΣΣ: Σύστηµα Συντεταγµένων/Αναφοράς, π.χ. ΣΣ{ }: Σύστηµα Συντεταγµένων { } A : διάνυσµα ως προς το ΣΣ{ A } (συµβολισµός: περισπωµένη κάτω από κεφαλαίο, πλάγιο P γράµµα) D : πίνακας / τελεστής (συµβολισµός: παύλα κάτω από κεφαλαίο, έντονο γράµµα)

4 3.1. Οµογενής Αναπαράσταση στις δύο διαστάσεις Αναπαράσταση θέσης στις δύο διαστάσεις Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: 11-1 Έστω ότι ΣΣ{ } είναι ένα γνωστό Σύστηµα Συντεταγµένων O x (βλ. Σχήµα.1). Το διάνυσµα θέσης ενός σηµείου P ως προς το ΣΣ{ } είναι: r x = Έστω ένα άλλο Σύστηµα Συντεταγµένων, για παράδειγµα το αδρανειακό σύστηµα ΣΣ{ }, το οποίο έχει διαφορετική θέση αρχής αξόνων αλλά τον ίδιο προσανατολισµό µε το ΣΣ{ }, όπως φαίνεται στο Σχήµα.1. Ίδιος προσανατολισµός σηµαίνει ότι οι θετικοί ηµι-άξονες του ΣΣ{ } έχουν την ίδια διεύθυνση και φορά µε τους αντίστοιχους θετικούς ηµι-άξονες του ΣΣ{ }. Κάτι τέτοιο συµβαίνει όταν το ΣΣ{ } προέρχεται από χωρική µεταφορά του ΣΣ{ }. (1) Σχήµα 3.1: Μεταφορά Συστήµατος Συντεταγµένων Το διάνυσµα θέσης r της αρχής των αξόνων του ΣΣ{ }, εκπεφρασµένο στο ΣΣ{ }, ισούται µε: r x = Ακριβώς επειδή τα ΣΣ{ } και ΣΣ{ } έχουν τον ίδιο προσανατολισµό, επιτρέπεται η πρόσθεση των διανυσµάτων θέσης r και r, η οποία δίδει το διάνυσµα θέσης r του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }: x x x + x r = r + r = r + = + (3) Η πρώτη γραµµή του πίνακα της Εξ.(3) είναι δυνατόν να γραφεί και µε τον ακόλουθο τρόπο: x x + x = 1 x+ 1 x = 1 x + 1 x+ = 1 x+ + x 1= [ 1 x ] (4) 1 Κατ αντιστοιχία, η δεύτερη γραµµή του πίνακα της Εξ.(3) γράφεται ως εξής: ()

5 x + = = 1 + x+ 1 = x = [ 1 ] 1 Ο συνδυασµός των Εξ.(3, 4, 5) δίδει: x x + x 1 x + 1 x+ 1 x r = = 1 x 1 = Ισοδύναµα, η Εξ.(6) γράφεται και ως εξής: x 1 x r = 1 1 T, : 3 Παρατηρώντας την Εξ.(7) διαπιστώνουµε ότι: το διάνυσµα θέσης r (διάνυσµα θέσης του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }), γράφεται ως ένα µητρώο διάστασης 3 1, το διάνυσµα θέσης r προκύπτει από τον πολλαπλασιασµό ενός πίνακα διάστασης 3 (έστω τελεστής T A, ) επί το διάνυσµα θέσης r, το διάνυσµα θέσης r (διάνυσµα θέσης του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }), γράφεται ως r :3 1 ένα µητρώο διάστασης 1. Από τις ανωτέρω παρατηρήσεις, προκύπτει ότι: ο τελεστής T,, όπως αυτός εµφανίζεται στην Εξ.(7), δεν είναι τετραγωνικός και τα διανύσµατα θέσης, αν και περιγράφουν το ίδιο σηµείο P, γράφονται ως µητρώα διαφορετικής διάστασης. Ωστόσο, µε πολύ απλό τρόπο, είναι δυνατή η γραφή του τελεστή T, ως πίνακα διάστασης 3 3 και του διανύσµατος θέσης r ως πίνακα διάστασης 3 1, αρκεί, να συµπληρώσουµε κατάλληλα τους δύο αυτούς πίνακες µε και 1. Ειδικότερα, για να αποκτήσει το διάνυσµα θέσης r την ίδια διάσταση µε εκείνην του διανύσµατος θέσης r, αρκεί να γράψουµε το διάνυσµα θέσης r ως πίνακα διάστασης 3 1 µοναδιαία ποσότητα: x x r = 1 και στο κελί [ ] (5) (6) (7) 3,1 να εισαγάγουµε τη Εισάγοντας την Εξ.(8) στην Εξ.(7) και για να είναι δυνατή η εκτέλεση του πολλαπλασιασµού T r,, θα πρέπει ο τελεστής T, να γραφεί ως πίνακας διάστασης 3 3, στην τελευταία γραµµή του οποίου όλα τα στοιχεία θα είναι µηδενικά, εκτός του στοιχείου [ 3,3 ], το οποίο θα πρέπει να ισούται µε τη µονάδα: (8)

6 T, 1 x 1 x = 1 1 (9) 1 3 Συνδυάζοντας τις ανωτέρω εξισώσεις, προκύπτει ότι η Εξ.(9) γράφεται και ως εξής: x 1 x x r = T, r 1 = 1 1 1, 3 3 r :3 1 T :3 3 r :3 1 Το βασικό πλεονέκτηµα της Εξ.(1), σε σύγκριση µε την Εξ.(8), είναι ότι ο τελεστής T, έχει εκφρασθεί ως τετραγωνικός πίνακας, ο οποίος είναι αντιστρέψιµος. Συνοψίζοντας, έστω ότι ένα ΣΣ{ } προέρχεται από την µεταφορά ενός ΣΣ{ } στο επίπεδο ( χώρος) και γνωρίζουµε το διάνυσµα θέσης r της αρχής των αξόνων του ΣΣ{ } ως προς το ΣΣ{ }, τότε, εάν γνωρίζουµε το διάνυσµα θέσης r ενός σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }, το διάνυσµα θέσης r του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ } ισούται µε: r = T r (11) όπου ο πίνακας T, ονοµάζεται τελεστής µεταφοράς και ισούται µε: 1 x T, = 1 (1) 1 Η φυσική σηµασία του τελεστή µεταφοράς T, απαντά στο ερώτηµα πώς πρέπει να µεταφερθεί το ΣΣ{ } στο επίπεδο ( χώρο) ώστε αυτό να συµπέσει µε το ΣΣ{ };. Με τη µορφή της Εξ.(1), εφαρµόζεται σε διάνυσµα, το οποίο είναι εκπεφρασµένο στο ΣΣ{ }, και το αποτέλεσµα της εφαρµογής είναι η έκφραση του εν λόγω διανύσµατος ως προς το ΣΣ{ }, υπό την αυστηρή προϋπόθεση ότι τα ΣΣ{ } και ΣΣ{ } έχουν τον ίδιο προσανατολισµό. Ισοδύναµα, ο τελεστής µεταφοράς T, εκφράζει την άθροιση δύο διανυσµάτων θέσης: του διανύσµατος θέσης r της αρχής των αξόνων του ΣΣ{ } ως προς το ΣΣ{ } και του διανύσµατος θέσης r ενός σηµείου ως προς το ΣΣ{ }., (1) Αναπαράσταση προσανατολισµού στις δύο διαστάσεις Σε συνέχεια της προηγούµενης ενότητας, έστω ότι είναι γνωστό το διάνυσµα θέσης ενός σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }: x r = (13) Επίσης, έστω ένα ΣΣ{ }, το οποίο έχει ίδιο z άξονα, ίδια αρχή αξόνων µε το ΣΣ{ }, αλλά διαφορετικό προσανατολισµό από εκείνον του ΣΣ{ } (βλ. Σχήµα.). Αυτό σηµαίνει ότι οι

7 θετικοί ηµι-άξονες του ΣΣ{ } δεν έχουν την ίδια διεύθυνση µε τους αντίστοιχους θετικούς ηµι-άξονες του ΣΣ{ }. Κάτι τέτοιο συµβαίνει όταν το ΣΣ{ } προέρχεται από περιστροφή του ΣΣ{ } γύρω από τον z άξονα κατά γωνία ϑ. Σχήµα 3.: Ανθωρολογιακή Στροφή Συστήµατος Συντεταγµένων στο επίπεδο Από τη γεωµετρία του Σχήµατος 3., προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: x = L L = x csϑ sinϑ (14) x1 x = L L = x sinϑ+ csϑ (15) 1 ιατυπώνοντας τις Εξ.(14,15) µε µητρωϊκή γραφή, προκύπτει: x x csϑ sinϑ csϑ sinϑ x r = = x sinϑ csϑ = sinϑ csϑ + r : 1 R : r : 1 Η Εξ.(16), είναι δυνατόν, εισάγοντας µηδενικές και µοναδιαίες τιµές σε κατάλληλές θέσεις των εµπλεκοµένων µητρώων, να λάβει την ακόλουθη (ισοδύναµη) έκφραση:, x csϑ sinϑ x sinϑ csϑ = r :3 1 R :3 1, :3 3 r Συνοπτικά, η Εξ.(17) γράφεται ως εξής: r = R, r (18) όπου r είναι το διάνυσµα θέσης ενός σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }, r είναι το διάνυσµα θέσης του ιδίου σηµείου P ως προς το ΣΣ{ } και R, είναι ένας τελεστής (τελεστής στροφής), όπου: csϑ sinϑ R, = sinϑ csϑ (19) 1 Ο τελεστής στροφής R, περιλαµβάνει τέσσερα στοιχεία, τα οποία, εν γένει, είναι µη- µηδενικά και εκφράζουν συνηµίτονα κατεύθυνσης. Η Εξ.(19) είναι αντίστοιχη της Εξ.(1). Η φυσική σηµασία του τελεστή στροφής R, απαντά στο ερώτηµα πώς πρέπει να περιστραφεί (16) (17)

8 το ΣΣ{ } στο επίπεδο και περί της αρχής των αξόνων του ώστε αυτό (το ΣΣ{ }) να συµπέσει µε το ΣΣ{ };. Με τη µορφή της Εξ.(19), εφαρµόζεται σε διάνυσµα, το οποίο είναι εκπεφρασµένο στο ΣΣ{ } και το αποτέλεσµα της εφαρµογής είναι η έκφραση του εν λόγω διανύσµατος ως προς το ΣΣ{ } Οµογενής αναπαράσταση στις δύο διαστάσεις Σε συνέχεια των δύο προηγουµένων ενοτήτων, έστω το καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων ΣΣ{ } (αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ή καθολικό σύστηµα αναφοράς ή χωρόδετο σύστηµα αναφοράς). Επίσης, έστω ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων ΣΣ{ } (σωµατοπαγές σύστηµα αναφοράς ή τοπικό σύστηµα αναφοράς ή σωµατόδετο σύστηµα αναφοράς), το οποίο προκύπτει από µία µεταφορά του ΣΣ{ } στο επίπεδο και από µία στροφή του ΣΣ{ } στο επίπεδο. Επίσης, έστω ότι είναι γνωστό το διάνυσµα θέσης r ενός σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }: x r = () Τέλος, έστω ότι αναζητούµε την γραφή του διανύσµατος θέσης του προαναφερθέντος σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }. Στην προκειµένη περίπτωση, καθίσταται φανερό ότι το ΣΣ{ } προκύπτει από το ΣΣ{ } µέσα από τη σύνθεση µίας στροφής στο επίπεδο µε µία µεταφορά στο επίπεδο (σε αντίθεση µε τις προηγούµενες δύο ενότητες, στις οποίες το ΣΣ{ } προέκυπτε από το ΣΣ{ } είτε µε µία µεταφορά στο επίπεδο είτε µε µία στροφή στο επίπεδο). Προφανώς, για την περιγραφή της στροφής στο επίπεδο θα χρησιµοποιηθεί ο τελεστής στροφής (βλ. Εξ.(19)), ενώ για την περιγραφή της µεταφοράς στο επίπεδο θα χρησιµοποιηθεί ο τελεστής µεταφοράς (βλ. Εξ.(1)). Ένα εύλογο ερώτηµα που τίθεται είναι: µε ποια σειρά πρέπει να χρησιµοποιηθούν αυτοί οι δύο τελεστές;. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό προκύπτει µέσα από την προσεκτική εξέταση του τρόπου µε τον οποίο λειτουργούν οι δύο τελεστές. Όπως έχει αναφερθεί στην ενότητα Αναπαράσταση θέσεως, ο τελεστής µεταφοράς T, εκφράζει την άθροιση δύο διανυσµάτων θέσης: του διανύσµατος θέσης r του σωµατοπαγούς ΣΣ{ } ως προς το αδρανειακό ΣΣ{ } και του διανύσµατος θέσης r ενός σηµείου ως προς το σωµατοπαγές ΣΣ{ }. Μία τέτοιου είδους διανυσµατική άθροιση επιτρέπεται τότε και µόνον τότε, όταν τα αθροιζόµενα διανύσµατα ανήκουν είτε στο ίδιο σύστηµα αναφοράς είτε σε διαφορετικά συστήµατα αναφοράς αλλά υπό την αυστηρή προϋπόθεση ότι αυτά (τα συστήµατα αναφοράς) έχουν τον ίδιο προσανατολισµό. Στην πλέον γενική περίπτωση, τα ΣΣ{ } και ΣΣ{ } δεν έχουν τον ίδιο προσανατολισµό, εποµένως δεν επιτρέπεται η εφαρµογή του τελεστή µεταφοράς T, στο διάνυσµα θέσεως r. Ωστόσο, εάν εφαρµοσθεί ο τελεστής στροφής R, στο διάνυσµα r, τότε (βλ. Εξ.(38)) προκύπτει το διάνυσµα R r, το οποίο είναι εκπεφρασµένο ως προς το ΣΣ{ }. Σε αυτό το διάνυσµα, είναι πλέον (, ) δυνατή η εφαρµογή του τελεστή µεταφοράς T,, δηλαδή ισχύει:

9 r = T R ( r),, Εισάγοντας τις Εξ.(1,19) στην Εξ.(1), προκύπτει: 1 x cs sin x r ϑ ϑ = T, ( R, r ) = 1 sinϑ csϑ () Εφαρµόζοντας την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού τετραγωνικών πινάκων, και εκτελώντας πράξεις, προκύπτει: 1 x cs sin x r ϑ ϑ = T, ( R, r ) = 1 sinϑ csϑ x csϑ sinϑ x x sinϑ csϑ = r :3 1 H :3 1, :3 3 r Σύµφωνα µε την Εξ.(3), το διάνυσµα θέσης r προκύπτει εάν εφαρµοσθεί στο διάνυσµα r ο τελεστής: csϑ sinϑ x H, = sinϑ csϑ (4) 1 Όπως φαίνεται και από την Εξ.(4), ο τελεστής H, είναι ένας πίνακας διάστασης 3 3, στον οποίο αναγνωρίζουµε ότι ο τετραγωνικός υποπίνακας από το κελί, ( 1,1) κελί, (, ) H ( ) έως και το κελί ( ) (1) (3) H έως και το H αντιστοιχεί στο µητρώο στροφής, ενώ ο υποπίνακας-στήλη από το κελί, 1,3 H,,3 αντιστοιχεί στο διάνυσµα θέσης r. Με άλλα λόγια, ο τελεστής H, εµπεριέχει και τη στροφή και τη µεταφορά. Ο συνδυασµός των Εξ.(3,4) δίδει: r = H, r (5) Η Εξ.(5) καλείται οµογενής αναπαράσταση του διανύσµατος r ως προς το ΣΣ{ }. Η φυσική ερµηνεία του τελεστή H, απαντά στο ερώτηµα ποιος είναι εκείνος ο συνδυασµός χωρικής µεταφοράς και χωρικής στροφής ώστε το ΣΣ{ } να συµπέσει µε το ΣΣ{ };. Εφαρµόζεται σε διάνυσµα, το οποίο είναι εκπεφρασµένο στο ΣΣ{ }, και το αποτέλεσµα της εφαρµογής είναι η έκφραση του εν λόγω διανύσµατος ως προς το ΣΣ{ }. 3.. Οµογενής Αναπαράσταση στις τρεις διαστάσεις Επαναλαµβάνοντας και προεκτείνοντας κατάλληλα τους συλλογισµούς, οι οποίοι παρουσιάσθηκαν στην προηγούµενη ενότητα, προκύπτει η οµογενής αναπαράσταση στις τρεις διαστάσεις, η οποία περιγράφει την µεταφορά και στροφή στο χώρο ενός συστήµατος συντεταγµένων, όπως φαίνεται στο Σχήµα

10 Σχήµα 3.3: Μεταφορά και στροφή στο χώρος συστήµατος συντεταγµένων Ειδικότερα: ο τελεστής µεταφοράς προκύπτει ίσος µε: 1 x 1 T, = (6) 1 z 1 ο τελεστής στροφής προκύπτει ίσος µε: nx x ax n a R, = (7) nz z az 1 ο πίνακας του οµογενή µετασχηµατισµού προκύπτει ίσος µε: nx x ax x n a H, = (8) nz z az z 1 Όπως φαίνεται και από την Εξ.(8), ο τελεστής H, είναι ένας πίνακας διάστασης 4 4, στον οποίο αναγνωρίζουµε ότι ο τετραγωνικός υποπίνακας από το κελί, ( 1,1) κελί, ( 3,3) H ( ) έως και το κελί ( ) H έως και το H αντιστοιχεί στο µητρώο στροφής, ενώ ο υποπίνακας-στήλη από το κελί, 1, 4 H, 3, 4 αντιστοιχεί στο διάνυσµα θέσης r. Με άλλα λόγια, ο τελεστής H, εµπεριέχει και τη στροφή και τη µεταφορά. Κατ αντιστοιχία της Εξ.(5), ισχύει: r = H, r (9) Η Εξ.(9) καλείται οµογενής αναπαράσταση του διανύσµατος r ως προς το ΣΣ{ }. Η φυσική ερµηνεία του τελεστή H, απαντά στο ερώτηµα ποιος είναι εκείνος ο συνδυασµός χωρικής µεταφοράς και χωρικής στροφής ώστε το ΣΣ{ } να συµπέσει µε το ΣΣ{ };

11 Εφαρµόζεται σε διάνυσµα, το οποίο είναι εκπεφρασµένο στο ΣΣ{ }, και το αποτέλεσµα της εφαρµογής είναι η έκφραση του εν λόγω διανύσµατος ως προς το ΣΣ{ } Ειδικές περιπτώσεις χωρικής περιστροφής Εν γένει, η περιστροφή ενός Συστήµατος Συντεταγµένων είναι χωρική, δηλαδή 3 πραγµατοποιείται στον R, και περιγράφεται από µητρώο της εξής µορφής: ( x, x) (, x) ( z, x) (, ) (, ) (, ) ( x, z) (, z) ( z, z) angle e e angle e e angle e e nx x ax R= n a = angle e e angle e e angle e e x z nz z a z angle e e angle e e angle e e Το µητρώο στροφής R περιλαµβάνει εννέα στοιχεία, τα οποία, εν γένει, είναι µη-µηδενικά και εκφράζουν συνηµίτονα κατεύθυνσης (γωνίες µεταξύ των µοναδιαίων διανυσµάτων επί των αξόνων του ΣΣ{ } και του ΣΣ{ }). Το µητρώο αυτό λαµβάνει µία ιδιαίτερα απλή µορφή, όταν η περιστροφή του ΣΣ{ } πραγµατοποιείται γύρω από κάποιον άξονά του, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.4. (3) (α) (β) (γ) Σχήµα 3.4: Στροφή Συστήµατος Συντεταγµένων γύρω από άξονά του: (α) περί τον x άξονα, (β) περί τον άξονα και (γ) περί τον z άξονα. Στο Σχήµα 3.4 ακολουθείται η σύµβαση βάσει της οποίας το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα περιστροφής είναι κάθετο στο επίπεδο της σελίδας και µε φορά από τη σελίδα προς τον αναγνώστη. Με αυτόν τον προσανατολισµό του άξονα περιστροφής, η απεικονιζόµενη γωνία περιστροφής ϑ διαγράφεται ανθωρολογιακά, σύµφωνα µε τον κανόνα της δεξιάς χειρός, όπως σηµειώνεται στο Σχήµα 3.4. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στην περίπτωση της περιστροφής περί τον άξονα, ώστε να ικανοποιείται η προαναφερθείσα σύµβαση (βλ. Σχήµα 3.4(β)) Στροφή περί του x άξονα Ο x άξονας του ΣΣ{ } συµπίπτει µε τον x άξονα του ΣΣ{ } και ισχύουν τα ακόλουθα: τα διανύσµατα βάσης A ḛ και ḛ συµπίπτουν x x τα διανύσµατα βάσης A ḛ και A ḛ είναι κάθετα στο διάνυσµα βάσης ḛ z τα διανύσµατα βάσης ḛ και ḛ είναι κάθετα στο διάνυσµα βάσης A ḛ Συνεπώς ισχύει: z x x

12 π π A A A (, ) (, ) (, ) angle ex ex angle e ex angle ez e x A A A π π angle( ex, e) angle( e, e) angle( ez, e) = ϑ + ϑ (31) A A A angle( ex, ez) angle( e, ez) angle( ez, ez) π π ϑ ϑ Εισάγοντας τις ανωτέρω τιµές στην Εξ.(7), προκύπτει: 1 csϑ sinϑ R, = (3) sinϑ csϑ Στροφή περί του άξονα Ο άξονας του ΣΣ{ } συµπίπτει µε τον άξονα του ΣΣ{ A } και ισχύουν τα ακόλουθα: τα διανύσµατα βάσης A ḛ και ḛ συµπίπτουν τα διανύσµατα βάσης A ḛ και A ḛ είναι κάθετα στο διάνυσµα βάσης ḛ x z τα διανύσµατα βάσης ḛ και ḛ είναι κάθετα στο διάνυσµα βάσης A ḛ Συνεπώς ισχύει: x z π π A A A ϑ ϑ (, ) (, ) (, ) angle ex ex angle e ex angle ez e x A A A π π angle( ex, e) angle( e, e) angle( ez, e) = (33) A A A angle( ex, ez) angle( e, ez) angle( ez, ez) π π + ϑ ϑ Εισάγοντας τις ανωτέρω τιµές στην Εξ.(7), προκύπτει: csϑ sinϑ 1 R, = (34) sinϑ csϑ Στροφή περί του z άξονα Ο z άξονας του ΣΣ{ } συµπίπτει µε τον z άξονα του ΣΣ{ A } και ισχύουν τα ακόλουθα: τα διανύσµατα βάσης A ḛ και ḛ συµπίπτουν z z τα διανύσµατα βάσης A ḛ και A ḛ είναι κάθετα στο διάνυσµα βάσης ḛ x τα διανύσµατα βάσης ḛ και ḛ είναι κάθετα στο διάνυσµα βάσης A ḛ Συνεπώς ισχύει: x z z

13 π π A A A ϑ + ϑ (, ) (, ) (, ) angle ex ex angle e ex angle ez e x A A A π π angle( ex, e) angle( e, e) angle( ez, e) = ϑ ϑ (35) A A A angle( ex, ez) angle( e, ez) angle( ez, ez) π π Εισάγοντας τις ανωτέρω τιµές στην Εξ.(7), προκύπτει: csϑ sinϑ sinϑ csϑ R, = (36) Σύνθεση οµογενών αναπαραστάσεων Έστω το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΣΣ{ } και τα σωµατοπαγή συστήµατα αναφοράς ΣΣ{} 1, ΣΣ{ },, ΣΣ{ v } και έστω ότι ισχύουν τα ακόλουθα: Η µετάβαση από το ΣΣ{ } στο ΣΣ{} 1 περιγράφεται από τον οµογενή µετασχηµατισµό H,1, ο οποίος θεωρείται ότι είναι γνωστός. Η µετάβαση από το ΣΣ{} 1 στο ΣΣ{ } περιγράφεται από τον οµογενή µετασχηµατισµό H 1,, ο οποίος θεωρείται ότι είναι γνωστός... Η µετάβαση από το ΣΣ{ v 1} στο ΣΣ{ v } περιγράφεται από τον οµογενή µετασχηµατισµό H ( ν 1 ), ν, ο οποίος θεωρείται ότι είναι γνωστός. Επίσης, έστω ότι ζητείται το διάνυσµα θέσεως r ενός σηµείου P ως προς το αδρανειακό σύστηµα ΣΣ{ }, όταν είναι γνωστό το διάνυσµα θέσεως r v του σηµείου αυτού ως προς το σωµατοπαγές σύστηµα ΣΣ{ v }. Με άλλα λόγια, ζητείται ο τελεστής H, v για τον οποίο ισχύει: r = H r, v v Για να υπολογισθεί ο τελεστής H, v ακολουθείται η εξής πορεία σκέψης: Εφαρµόζοντας τον τελεστή H,1 στο διάνυσµα r 1 προκύπτει το διάνυσµα θέσεως του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }: r = H r (38) Εφαρµόζοντας τον τελεστή H 1, στο διάνυσµα r προκύπτει το διάνυσµα θέσεως του σηµείου P ως προς το ΣΣ{} 1 :,1 1 r = H r 1 1,.. Εφαρµόζοντας τον τελεστή H v, v 1 στο διάνυσµα rv 1 προκύπτει το διάνυσµα θέσεως του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ v } : (37) (39)

14 r = H r v v, v 1 v 1 Εφαρµόζοντας τον τελεστή H v 1, v στο διάνυσµα r v προκύπτει το διάνυσµα θέσεως του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ v 1} : r = H v 1 v 1, v rv (41) Εισάγοντας την Εξ.(41) στην Εξ.(4) και εφαρµόζοντας την επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων, προκύπτει: rv = Hv 1, v ( Hv 1, v rv) = Hv 1, v Hv 1, v rv = ( Hv 1, v Hv 1, v ) rv (4) Επαναλαµβάνοντας την ίδια διαδικασία για όλες τις µεταβάσεις, τελικά προκύπτει: r = H H H... H H r = H H H... H H r (43) ( ( ( ( )))) ( ),1 1,,3 v, v 1 v 1, v v,1 1,,3 v, v 1 v 1, v v Εποµένως, ο ζητούµενος τελεστής H, v ισούται µε:, v,1 1,,3 v, v 1 v 1, v (4) H = H H H... H H (44) 3.5. Παράδειγµα: Ανυψωτική διάταξη Έστω η ανυψωτική διάταξη του Σχήµατος 3.5α. Ζητείται η εξίσωση κίνησης της ανηρτηµένης µάζας (έστω σηµείο P ), όταν η διάταξη εκτελεί µόνον πορεία. ίδεται το µήκος του συρµατοσχοίνου ανάρτησης L. (α) (β) Σχήµα 3.5: Ανυψωτική διάταξη και µονογραµµική απεικόνιση αυτής Λύση Στο Σχήµα 3.5β παρουσιάζεται η µονογραµµική απεικόνιση της εξεταζόµενης διάταξης. Καθώς το φορείο εκτελεί πορεία και αποµακρύνεται κατά u από το κατακόρυφο στέλεχος της διάταξης, το συρµατόσχοινο µε την ανηρτηµένη µάζα P, λόγω αδρανείας, εκτρέπεται από την κατακόρυφη διεύθυνση κατά γωνία ϕ. Η θέση P είναι δυνατόν να υπολογισθεί είτε διανυσµατικά (βλ. Σχήµα 3.6α) είτε µε τη βοήθεια του οµογενούς µετασχηµατισµού (βλ. Σχήµα 3.6β), επιλογή η οποία και παρουσιάζεται στις επόµενες παραγράφους. Ειδικότερα, εφαρµόζονται τα εξής βήµατα: Ορισµός αδρανειακού συστήµατος αναφοράς xo (ΣΣ{ }): Ο ορισµός του συστήµατος xo είναι αυθαίρετος. Στο Σχήµα 3.5β απεικονίζεται µία δυνατή (και βολική ) επιλογή. Ορισµός σωµατοπαγούς συστήµατος αναφοράς x1o 1 1 (ΣΣ{} 1 ): Ένας τρόπος ορισµού του συστήµατος x1o 1 1 απεικονίζεται στο Σχήµα 3.6β

15 (α) (β) Σχήµα 3.6: Προσδιορισµός της θέσης P : (α) διανυσµατικά και (β) µε τη βοήθεια του οµογενούς µετασχηµατισµού Μετάβαση από το ΣΣ{ } στο ΣΣ{} 1 Η µετάβαση από το αδρανειακό σύστηµα Ι στο σωµατοπαγές σύστηµα 1, εν γένει, περιλαµβάνει µία µεταφορά και µία στροφή. Στην προκειµένη περίπτωση, ισχύουν τα ακόλουθα: T O O = u h (µε µπλέ χρώµα σηµειώνονται οι Μεταφορά: κατά το διάνυσµα ( ) [ ] συνιστώσες της µεταφοράς): Στροφή: στη θέση O 1 και κατά γωνία u h T,1 = (45) 1 ϕ περί τον z άξονα του σωµατοπαγούς συστήµατος ΣΣ{} 1, ο οποίος, στην προκειµένη περίπτωση, είναι παράλληλος µε τον z άξονα του αδρανειακού συστήµατος ΣΣ{ } (µε κόκκινο χρώµα σηµειώνονται οι συνιστώσες της στροφής): csϕ1 sinϕ1 sinϕ1 csϕ1 R,1 = (46) 1 1 Πίνακας Οµογενούς Μετασχηµατισµού: (προκύπτει από τη σύνθεση των τελεστών µεταφοράς και στροφής): csϕ1 sinϕ1 u sinϕ1 csϕ1 h H,1 = (47) 1 1 ιάνυσµα θέσης r σηµείου P ως προς ΣΣ{} 1 :

16 l r = (48) 1 Το διάνυσµα θέσης r του σηµείου P ως προς ΣΣ{ } βρίσκεται µέσω της οµογενούς αναπαράστασης του διανύσµατος r ως προς το ΣΣ{ }: r = H r (49) Ο συνδυασµός των Εξ.(47,48,49) δίδει: x csϕ1 sinϕ1 u l x l csϕ1+ u sinϕ1 csϕ1 h l sinϕ1 h + r = H, r = = z 1 z Από τη γεωµετρία της κατασκευής (βλ. Σχήµα 3.6β), ισχύει: π ϕ1 = + ϕ Ο συνδυασµός των Εξ.(5,51) δίδει: π π π l cs ϕ u + + cs cs ( ) x = l u x l u x + ϕ + = ϕ + π π π = l sin + ϕ + h = l sin ϕ h l sin ( ϕ) h z + + = + 1 z = z = 1 ( ϕ) ( ϕ) x = l sin + u x = l sinϕ+ u = l cs + h = l csϕ+ h z = z = Η Εξ.(5) περιγράφει, ως προς ΣΣ{ }, τον τρόπο κίνησης του σηµείου P., (5) (51) (5) 3.6. Τριαρθρωτή κινηµατική αλυσίδα Έστω η τριαρθρωτή κλειστή κινηµατική αλυσίδα του Σχήµατος 3.7α και έστω ότι ζητείται η κινηµατική περιγραφή της (εξισώσεις κίνησης). H συγκεκριµένη αλυσίδα διαθέτει: 3 µέλη: (ΑΒ), (C), (AC) 3 αρθρώσεις (κινηµατικό ζεύγος µε 1 Β.Ε.): A,, C Σύµφωνα µε τον τύπο του Kutzbach, ισχύει: ( ) ( ) F = 3 n 1 f f = F = (53) 1 Συνεπώς, η συγκεκριµένη αλυσίδα είναι στερεά κατασκευή. Για να µεταπέσει σε µηχανισµό, θα πρέπει να αναιρεθεί ένα µέλος, π.χ. το µέλος (AC), όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.7β. Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση κίνησης του µηχανισµού είναι δυνατόν να βρεθεί από τη διανυσµατική σχέση, η οποία περιγράφει την εν λόγω αλυσίδα. Πιο συγκεκριµένα, επειδή η αλυσίδα είναι συνεχής, ισχύει: A + C + CA = A + C = CA AC = A + C (54) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

17 Για τον υπολογισµό του αριστερού µέλους της Εξ.(54), ορίζεται (αυθαίρετα) ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων xo, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.7γ. (α) (β) (γ) Σχήµα 3.7: Τριαρθωτή κατασκευή: (α) µε 3 µέλη, (β) µε αναίρεση ενός µέλος και (γ) έχοντας ορίσει αδρανειακό σύστηµα αναφοράς Ως προς το x O, το διάνυσµα ( AC) εκφράζει τη θέση του σηµείου C, οπότε ισχύει: C u = 1 (55) Σχήµα 3.8: Ορισµός σωµατοπαγών συστηµάτων αναφοράς: (α) x1o 1 1 και (β) xo Για τον υπολογισµό του δεξιού µέλους της Εξ.(54), εφαρµόζονται τα εξής βήµατα: Ορισµός του σωµατοπαγούς συστήµατος αναφοράς x1o 1 1 και µετάβαση από το αδρανειακό σύστηµα Ι στο σωµατοπαγές σύστηµα 1 Ο ορισµός του σωµατοπαγούς συστήµατος αναφοράς x1o 1 1 φαίνεται στο Σχήµα 3.8α. Η µετάβαση από το αδρανειακό σύστηµα Ι στο σωµατοπαγές σύστηµα 1, εν γένει, περιλαµβάνει µία µεταφορά και µία στροφή. Στην προκειµένη περίπτωση, ισχύουν τα ακόλουθα: Μεταφορά: δεν υπάρχει µεταφορά (µε µπλέ χρώµα σηµειώνονται οι συνιστώσες της µεταφοράς) T,1 = (56)

18 Στροφή: στη θέση O και κατά γωνία ϕ 1 περί τον z άξονα του σωµατοπαγούς συστήµατος 1, ο οποίος εδώ ταυτίζεται µε τον z άξονα του αδρανειακού συστήµατος Ι (µε κόκκινο χρώµα σηµειώνονται οι συνιστώσες της στροφής) csϕ1 sinϕ1 sinϕ1 csϕ1 R,1 = (57) 1 1 Οµογενής Μετασχηµατισµός (προκύπτει από τη σύνθεση των τελεστών µεταφοράς και στροφής): csϕ1 sinϕ1 sinϕ1 csϕ1 H,1 = (58) 1 1 Ορισµός του σωµατοπαγούς συστήµατος αναφοράς xo και µετάβαση από το σωµατοπαγές σύστηµα 1 στο σωµατοπαγές σύστηµα. Ο ορισµός του σωµατοπαγούς συστήµατος αναφοράς xo φαίνεται στο Σχήµα 3.8β. Η µετάβαση από το σωµατοπαγές σύστηµα 1 στο σωµατοπαγές σύστηµα, εν γένει, περιλαµβάνει µία µεταφορά και µία στροφή. Στην προκειµένη περίπτωση, ισχύουν τα ακόλουθα: T Μεταφορά: κατά το διάνυσµα ( O1O ) = [ r 1] r T 1, = (59) 1 Στροφή: στη θέση O, κατά γωνία ϕ περί τον z άξονα του σωµατοπαγούς συστήµατος csϕ sinϕ sinϕ csϕ R 1, = (6) 1 1 Οµογενής Μετασχηµατισµός: csϕ sinϕ r sinϕ csϕ H 1, = (61) 1 1 Ορισµός του διανύσµατος θέσης του σηµείου C ως προς το σύστηµα xo Ως προς το xo, η θέση του σηµείου C περιγράφεται ως εξής:

19 l C = 1 Τελικά, το δεξί µέλος της Εξ.(54) περιγράφεται ως εξής: A + C = H H C ( ) ( ),1 1, Από τις Εξ.(54,55,63) προκύπτει: u csϕ1 sinϕ1 csϕ sinϕ r l sinϕ1 csϕ1 sinϕ csϕ ( AC) = ( A) + ( C) C = H,1H1, C = u csϕ1 csϕ sinϕ1 sinϕ csϕ1 sinϕ sinϕ1 csϕ r csϕ1 l sinϕ1 csϕ csϕ1 sinϕ sinϕ1 sinϕ csϕ1 sinϕ r sinϕ = ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u cs ϕ1 ϕ sin ϕ1+ ϕ r csϕ1 l u l cs ϕ1+ ϕ + r csϕ1 sin ϕ1+ ϕ cs ϕ1+ ϕ r sinϕ1 l sin ϕ1+ ϕ + r sinϕ1 = = ( ) ( ϕ + ϕ ) u= l cs ϕ1+ ϕ + r csϕ1 = l sin 1 + r sinϕ1 = 1= 1 Από τη γεωµετρία του τριαρθρωτού µηχανισµού (βλ.σχήµα 3.9), ισχύει: ϑ = ϕ 1 1 π + ϑ = ϕ ϑ + ϑ + ϑ = π 1 3 (6) (63) (64) (65) Σχήµα 3.9: Γεωµετρία τριαρθρωτού µηχανισµού Από την Εξ.(65) προκύπτει: ϕ1+ ϕ = π + ϑ1 + ϑ (66) ϑ1 + ϑ = π ϑ3 (67)

20 Με βάση τις Εξ.(66,67), ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( ) Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: 11-1 ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) cs ϕ + ϕ = cs π + ϑ + ϑ = cs π + π ϑ = cs π ϑ = cs ϑ = csϑ (68) sin ϕ + ϕ = sin π + ϑ + ϑ = sin π + π ϑ = sin π ϑ = sin ϑ = sinϑ (69) Εισάγοντας τις Εξ.(68,69) στην Εξ.(64), προκύπτει: u= l csϑ3+ r csϑ1 l sinϑ3 r sinϑ = 1 (7) = 1= 1 Οι δύο τελευταίες εξισώσεις ικανοποιούνται ταυτοτικά και διαγράφονται. Συνεπώς, η κίνηση ενός τριαρθρωτού µηχανισµού περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: u= l csϑ3+ r csϑ1 (71) l sinϑ = r sinϑ 3 1 Παρατηρήσεις: Οι Εξ.(71) προκύπτουν και εποπτικά από το Σχήµα 3.9. Ωστόσο, σε πιο σύνθετους µηχανισµούς, ο ανωτέρω εκτεθείς συστηµατικός τρόπος είναι πολύ πιο πρακτικός. Οι εξισώσεις κίνησης προέκυψαν αξιοποιώντας τη διανυσµατική εξίσωση (Εξ.54), η οποία περιγράφει την εξεταζόµενη κινηµατική αλυσίδα. Στην προκειµένη περίπτωση, θα ήταν δυνατόν να χρησιµοποιήσουµε την Εξ.(54) στη µορφή A + C + CA =. Τότε, θα έπρεπε να ορισθεί ένα ακόµα σωµατοπαγές ( ) ( ) ( ) σύστηµα, το σύστηµα x3o3 3, µε O3 C. Ωστόσο, σε αυτήν την περίπτωση θα έπρεπε να εφαρµοσθεί ένας ακόµη οµογενής µετασχηµατισµός, κάτι που επιβαρύνει το υπολογιστικό κόστος και δυσχεραίνει τις πράξεις. Συνεπώς, διαµορφώνουµε κατά την κρίση µας τη διανυσµατική εξίσωση της εκάστοτε εξεταζοµένης κινηµατικής αλυσίδας (εδώ, την Εξ.(54)), έτσι ώστε, να αποφεύγουµε σύνθετους υπολογισµούς καθώς εφαρµόζουµε διαδοχικά οµογενείς µετασχηµατισµούς

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ -A.1 - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 Copyright ΕΜΠ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης

Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μάθηµα 3 ο Αναπαράσταση θέσης στο επίπεδο (2 ) και στο χώρο (3 ) Οµογενής Μετασχηµατισµός Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης Μεταφορά αξόνων σε 2 X Ι Ο Ι Y Ι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 5. - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 04-05 opyight ΕΜΠ - Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 8. - opyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 202. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. ll rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 7.1 - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 Copyright ΕΜΠ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 19.1 - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 1. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέση και Προσανατολισμός

Θέση και Προσανατολισμός Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 1.1- Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 015.

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 17.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 17. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 7. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyrigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 19.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 19. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a

ΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 19 έκδοση DΥΝI-EXC19-2017a Copyright Ε.Μ.Π. - 2017 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - Β. - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 06. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ. Ενότητα 5 η : Παραδείγµατα 3 µηχανισµών. χώρο (3 )

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ. Ενότητα 5 η : Παραδείγµατα 3 µηχανισµών. χώρο (3 ) ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Ενότητα 5 η Παραδείγµατα µηχανισµών στο χώρο (3 ) Παράδειγµα 1 ο : Ροµποτικός βραχίονας RPPRR R: revolute pair P: prismatic pair Βραχίονας Τηλεσκοπικός βραχίονας

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Νίκος Βλάσσης Τµήµα Μηχανικών Παραγωγής και ιοίκησης Πολυτεχνείο Κρητης Ροµποτική, 9ο εξάµηνο ΜΠ, 2007 Ροµπότ SCR 1 Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μετασχηματισμών

Θεωρία μετασχηματισμών Μήτρα Μετασχηματισμού Η γεωμετρία ενός αντικειμένου μπορεί να παρουσιαστεί από ένα σύνολο σημείων κατανεμημένων σε διάφορα επίπεδα. Έτσι λοιπόν ένα πλήθος δεδομένων για κάποιο αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του

Ροµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του Ροµποτική Ο χειρισµός αντικειµένων και εργαλείων από ένα ροµποτικό βραχίονα σηµαίνει ότι το ροµπότ πρέπει να είναι ικανό να τοποθετεί και να προσανατολίζει κατάλληλα το άκρο του στο χώρο εργασίας π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : 8-9-, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 15.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 15. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 15.1 - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 010.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - opyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 21.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 21. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές Περιγραφές και Ομογενείς Μετασχηματισμοί

Χωρικές Περιγραφές και Ομογενείς Μετασχηματισμοί Χωρικές Περιγραφές και Ομογενείς Μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ.. Εισαγωγή Η λειτουργία των ρομποτικών χειριστών είναι συνυφασμένη με τη μετακίνηση υλικών και εργαλείων μέσα στο χώρο με τη βοήθεια κάποιου μηχανισμού

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Την Κινηµατική (µελετάει την κίνηση των σωµάτων χωρίς να ενδιαφέρεται για τις δυνάµεις που ενεργούν στα σώµατα)

ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. Την Κινηµατική (µελετάει την κίνηση των σωµάτων χωρίς να ενδιαφέρεται για τις δυνάµεις που ενεργούν στα σώµατα) ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΕΙ / Λ, ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΒΙΟΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Η Μηχανική, εκτός απο θεωρητικός, είναι και εφηρµοσµένος κλάδος της Φυσικής. Αποτελεί την ραχοκοκαλιά της σύγχρονης Μηχανολογίας και διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ. Ενότητα 2 η Βαθµοί Ελευθερίας Στερεού Σώµατος & Κινηµατικοί Περιορισµοί

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ. Ενότητα 2 η Βαθµοί Ελευθερίας Στερεού Σώµατος & Κινηµατικοί Περιορισµοί ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ Ενότητα 2 η Βαθµοί Ελευθερίας Στερεού Σώµατος & Κινηµατικοί Περιορισµοί Αναπαράσταση µηχανισµού Η µονογραµµική απεικόνιση χρησιµοποιείται για την απλοποιηµένη

Διαβάστε περισσότερα

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ Τίτλος Μαθήματος ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ - ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ Καθηγητής Δρ.Δ.Σαγρής ΣΕΡΡΕΣ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b

ΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 7 έκδοση DΥΝI-EXC07-06b Copyright Ε.Μ.Π. - 06 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή

Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή 6 Εντάξεις δικτύων GPS 6.1 Εισαγωγή Oι απόλυτες (X, Y, Z ή σχετικές (ΔX, ΔY, ΔZ θέσεις των σηµείων, έτσι όπως προσδιορίζονται από τις µετρήσεις GPS, αναφέρονται στο γεωκεντρικό σύστηµα WGS 84 (Wrld Gedetic

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)

Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations) Μετασχηματισμοί Δ Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling trnformtion) Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδα Ασκήσεων #1-Λύσεις

Οµάδα Ασκήσεων #1-Λύσεις Οµάδα Ασκήσεων #-Λύσεις Πρόβληµα # (α) (β) Τουλάχιστον Β.Ε. (Βαθµοί Ελευθερίας) χρειάζονται για αυθαίρετη τοποθέτηση στο χώρο (x,y,z) και επιπλέον Β.Ε. απαιτούνται για αυθαίρετο προσανατολισµό (στη δεδοµένη

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 8.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 8. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 8. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Copyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (29/8/2001) (3), (4), όπου, (5),, (6), (9), όπου,

Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (29/8/2001) (3), (4), όπου, (5),, (6), (9), όπου, Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (9/8/1) Θέμα 1: (1), (), (3), (4), όπου, (5),, (6), (7), (8), (9), όπου, (1), (11) ενέργεια [ ], όλες οι συνιστώσες της στροφορμής [ ], (1), (13), (κυματ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κινηματική των Ταλαντώσεων

Κεφάλαιο 1: Κινηματική των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων. Φαινομενολογικός ορισμός ταλαντώσεων Μεταβολές σε φυσικά φαινόμενα που χαρακτηρίζονται από μια κανονική επανάληψη κατά ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

ΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΙΣΚΟΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ ΣΤΡΕΦΜΕΝΙ ΙΣΚΙ & ΠΕΡΙ ΣΤΡΦΡΜΗΣ Ένας οµογενής και συµπαγής δίσκος µάζας m και ακτίνας =,2m στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του µε γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω =1 ra/sec.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου

Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ

3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή και τη µελέτη του δυναµικού µοντέλου ενός ροµποτικού βραχίονα. Το δυναµικό µοντέλο συνίσταται στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων

2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων 2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Σύνοψη του σημερινού μαθήματος 1 Εισαγωγή 2 Επανάληψη 3 Συσχετισμένοι 4 Γραμμικοί

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική Δυναμική Μηχανών I 2 2 Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i,

p& i m p mi i m Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα i, Κινητική Ενέργεια Κινητήρων Περνάµε τώρα στη συνεισφορά κινητικής ενέργειας λόγω της κίνησης & ϑ m του κινητήρα που κινεί την άρθρωση µε q& και, προφανώς όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, ευρίσκεται στον

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α! Κινηµατική άποψη

ΜΕΡΟΣ Α! Κινηµατική άποψη ΜΕΡΟΣ Α Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα που κινείται στον χώρο, ενώ ένα σηµείο του Ο είναι διαρκώς ακίνητο ως προς το αδρανειακό σύττηµα από το οποίο εξετάζεται. Η θέση του στερεού καθορίζεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ

cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 33 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Νοε 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-33 Νοε 2014 1 / 11 Μετασχηματισμοί του επιπέδου Πολλοί μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 2.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 2. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Γραμμική Άλγεβρα Ι, Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή

Διαβάστε περισσότερα

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΧΩΡΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος Καθηγήτρια 1 Σημαντική σημείωση Δεδομένου ότι θα διδαχθεί

Διαβάστε περισσότερα

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}.

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 4 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 26/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 4 26/2/2014 1 / 12 Υποσύνολα ενός διανυσματικού χώρου. Πότε είναι ένα υποσύνολο X ενός

Διαβάστε περισσότερα

5/3/2010. A. Στη δηµιουργία του στερεοσκοπικού µοντέλουέ B. Στη συσχέτισή του µε το γεωδαιτικό σύστηµα

5/3/2010. A. Στη δηµιουργία του στερεοσκοπικού µοντέλουέ B. Στη συσχέτισή του µε το γεωδαιτικό σύστηµα 5/3/ Για να είναι δυνατή η επεξεργασία στα φωτογραµµετρικά όργανα χρειάζεται κάποιο στάδιο προετοιµασίας του ζεύγους των εικόνων. Η προετοιµασία αυτή αφορά: A. Στη δηµιουργία του στερεοσκοπικού µοντέλουέ.

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ

ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Simplici: Αυτό πραγματικά δεν μπορώ να το κατανοήσω Salviati: Θα το κατανοήσεις όταν σου δείξω που βρίσκεται το σφάλμα σου ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Ο Γαλιλαίος,

Διαβάστε περισσότερα

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η παράγωγος μιας συνάρτησης = f() σε ένα σημείο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης (ή τον παράγωγο αριθμό) στο σημείο 0. β) Γραφικά, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12

Γραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διαλέξεις #-# Σύνθεση Δ Μετασχηματισμών Ομογενείς Συντεταγμένες Παραδείγματα Μετασχηματισμών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Σύνθεση ομοεπιπέδων δυνάμεων

Κεφάλαιο 6: Σύνθεση ομοεπιπέδων δυνάμεων Κεφάλαιο 6: Σύνθεση ομοεπιπέδων δυνάμεων Σύνοψη Πειραματικός προσδιορισμός της δύναμης, η οποία εξισορροπεί δύο ομοεπίπεδες δυνάμεις και σύγκρισή της με τη συνισταμένη τους που υπολογίζεται αριθμητικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο E1 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Στο Κεφάλαιο αυτό Ε1 γίνεται μια πολύ απλή εισαγωγή στους Καρτεσιανούς τανυστές, δηλαδή στους τανυστές σε Καρτεσιανά

Διαβάστε περισσότερα