Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.

Transcript

1 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

2 Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 1. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα

3 Εκπαιδευτική Ενότητα 3 η (Σύντοµες Σηµειώσεις) Ανάλυση κίνησης µηχανισµών µε τη βοήθεια του οµογενούς µετασχηµατισµού 3. Γενικά Έστω ένας απλός µηχανισµός, αποτελούµενος από δύο µέλη, µεταξύ των οποίων, εξ ορισµού, υπάρχει κινηµατική συνεργασία. Κατά τη λειτουργία του µηχανισµού, τα µέλη αυτά κινούνται, µεταβάλλοντας τη µεταξύ τους σχετική θέση. Για να είναι δυνατή η κινηµατική περιγραφή του µηχανισµού, άρα και η γραφή των εξισώσεων κίνησης του µηχανισµού, απαιτείται ένας αυστηρός µαθηµατικός τρόπος περιγραφής της θέσης του ενός µέλους ως προς το άλλο. Με άλλα λόγια, απαιτείται ένας µαθηµατικός τρόπος περιγραφής της κινηµατικής συµπεριφοράς αυτών των δύο συνεργαζοµένων µελών (ζεύγος µελών). Στην πλέον γενική περίπτωση, ένας µηχανισµός αποτελείται από πολλά µέλη, συνεπώς είναι δυνατόν να εµφανίζονται πολλές δυάδες συνεργαζοµένων µελών. Ως εκ τούτου, ο προαναφερθείς µαθηµατικός τρόπος περιγραφής της κινηµατικής συµπεριφοράς πρέπει να είναι συστηµατικός, δηλαδή να είναι δυνατόν να εφαρµοσθεί πανοµοιότυπα σε οποιοδήποτε ζεύγος συνεργαζοµένων µελών και για οποιοδήποτε πλήθος ζευγών. Προς αυτήν την κατεύθυνση έχουν αναπτυχθεί διάφορες προσεγγίσεις, στοιχείο-κλειδί στις οποίες αποτελεί µία βασική γνώση (θεωρητικό υπόβαθρο) από τη γραµµική άλγεβρα: η µητρωϊκή γραφή µίας (οιασδήποτε) κίνησης στον 3 χώρο ως σύνθεση µίας περιστροφής και µίας µεταφοράς. Γι αυτό το σκοπό, χρησιµοποιούνται οι εξής έννοιες: Αναπαράσταση θέσης: πρόκειται για τη µητρωϊκή έκφραση, η οποία περιγράφει τη µεταφορά στον 3 χώρο (χωρική µεταφορά) ενός συστήµατος συντεταγµένων (τελεστής µεταφοράς ή πίνακας µεταφοράς). Αναπαράσταση προσανατολισµού: πρόκειται για τη µητρωϊκή έκφραση, η οποία περιγράφει τη στροφή στον 3 χώρο (χωρική στροφή) ενός συστήµατος συντεταγµένων (τελεστής στροφής ή πίνακας στροφής) Οµογενής αναπαράσταση: πρόκειται για µία συνεπτυγµένη µητρωϊκή έκφραση, στην οποία περιγράφεται, στον ίδιο πίνακα, ο τελεστής µεταφοράς και ο τελεστής στροφής. Στην παρούσα, λοιπόν, Εκπαιδευτική Ενότητα παρατίθεται το προαναφερθέν απαιτούµενο θεωρητικό υπόβαθρο. Ειδικότερα, εξετάζεται η οµογενής αναπαράσταση πρώτα στις δύο διαστάσεις (χώρος R ) και στη συνέχεια στις τρεις διαστάσεις (χώρος 4 R ). Παρατήρηση Στην παρούσα Εκπαιδευτική Ενότητα, όπως και στις υπόλοιπες, έχουν υιοθετηθεί οι ακόλουθες συµβάσεις στη γραφή: ΣΣ: Σύστηµα Συντεταγµένων/Αναφοράς, π.χ. ΣΣ{ }: Σύστηµα Συντεταγµένων { } A : διάνυσµα ως προς το ΣΣ{ A } (συµβολισµός: περισπωµένη κάτω από κεφαλαίο, πλάγιο P γράµµα) D : πίνακας / τελεστής (συµβολισµός: παύλα κάτω από κεφαλαίο, έντονο γράµµα)

4 3.1. Οµογενής Αναπαράσταση στις δύο διαστάσεις Αναπαράσταση θέσης στις δύο διαστάσεις Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: 11-1 Έστω ότι ΣΣ{ } είναι ένα γνωστό Σύστηµα Συντεταγµένων O x (βλ. Σχήµα.1). Το διάνυσµα θέσης ενός σηµείου P ως προς το ΣΣ{ } είναι: r x = Έστω ένα άλλο Σύστηµα Συντεταγµένων, για παράδειγµα το αδρανειακό σύστηµα ΣΣ{ }, το οποίο έχει διαφορετική θέση αρχής αξόνων αλλά τον ίδιο προσανατολισµό µε το ΣΣ{ }, όπως φαίνεται στο Σχήµα.1. Ίδιος προσανατολισµός σηµαίνει ότι οι θετικοί ηµι-άξονες του ΣΣ{ } έχουν την ίδια διεύθυνση και φορά µε τους αντίστοιχους θετικούς ηµι-άξονες του ΣΣ{ }. Κάτι τέτοιο συµβαίνει όταν το ΣΣ{ } προέρχεται από χωρική µεταφορά του ΣΣ{ }. (1) Σχήµα 3.1: Μεταφορά Συστήµατος Συντεταγµένων Το διάνυσµα θέσης r της αρχής των αξόνων του ΣΣ{ }, εκπεφρασµένο στο ΣΣ{ }, ισούται µε: r x = Ακριβώς επειδή τα ΣΣ{ } και ΣΣ{ } έχουν τον ίδιο προσανατολισµό, επιτρέπεται η πρόσθεση των διανυσµάτων θέσης r και r, η οποία δίδει το διάνυσµα θέσης r του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }: x x x + x r = r + r = r + = + (3) Η πρώτη γραµµή του πίνακα της Εξ.(3) είναι δυνατόν να γραφεί και µε τον ακόλουθο τρόπο: x x + x = 1 x+ 1 x = 1 x + 1 x+ = 1 x+ + x 1= [ 1 x ] (4) 1 Κατ αντιστοιχία, η δεύτερη γραµµή του πίνακα της Εξ.(3) γράφεται ως εξής: ()

5 x + = = 1 + x+ 1 = x = [ 1 ] 1 Ο συνδυασµός των Εξ.(3, 4, 5) δίδει: x x + x 1 x + 1 x+ 1 x r = = 1 x 1 = Ισοδύναµα, η Εξ.(6) γράφεται και ως εξής: x 1 x r = 1 1 T, : 3 Παρατηρώντας την Εξ.(7) διαπιστώνουµε ότι: το διάνυσµα θέσης r (διάνυσµα θέσης του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }), γράφεται ως ένα µητρώο διάστασης 3 1, το διάνυσµα θέσης r προκύπτει από τον πολλαπλασιασµό ενός πίνακα διάστασης 3 (έστω τελεστής T A, ) επί το διάνυσµα θέσης r, το διάνυσµα θέσης r (διάνυσµα θέσης του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }), γράφεται ως r :3 1 ένα µητρώο διάστασης 1. Από τις ανωτέρω παρατηρήσεις, προκύπτει ότι: ο τελεστής T,, όπως αυτός εµφανίζεται στην Εξ.(7), δεν είναι τετραγωνικός και τα διανύσµατα θέσης, αν και περιγράφουν το ίδιο σηµείο P, γράφονται ως µητρώα διαφορετικής διάστασης. Ωστόσο, µε πολύ απλό τρόπο, είναι δυνατή η γραφή του τελεστή T, ως πίνακα διάστασης 3 3 και του διανύσµατος θέσης r ως πίνακα διάστασης 3 1, αρκεί, να συµπληρώσουµε κατάλληλα τους δύο αυτούς πίνακες µε και 1. Ειδικότερα, για να αποκτήσει το διάνυσµα θέσης r την ίδια διάσταση µε εκείνην του διανύσµατος θέσης r, αρκεί να γράψουµε το διάνυσµα θέσης r ως πίνακα διάστασης 3 1 µοναδιαία ποσότητα: x x r = 1 και στο κελί [ ] (5) (6) (7) 3,1 να εισαγάγουµε τη Εισάγοντας την Εξ.(8) στην Εξ.(7) και για να είναι δυνατή η εκτέλεση του πολλαπλασιασµού T r,, θα πρέπει ο τελεστής T, να γραφεί ως πίνακας διάστασης 3 3, στην τελευταία γραµµή του οποίου όλα τα στοιχεία θα είναι µηδενικά, εκτός του στοιχείου [ 3,3 ], το οποίο θα πρέπει να ισούται µε τη µονάδα: (8)

6 T, 1 x 1 x = 1 1 (9) 1 3 Συνδυάζοντας τις ανωτέρω εξισώσεις, προκύπτει ότι η Εξ.(9) γράφεται και ως εξής: x 1 x x r = T, r 1 = 1 1 1, 3 3 r :3 1 T :3 3 r :3 1 Το βασικό πλεονέκτηµα της Εξ.(1), σε σύγκριση µε την Εξ.(8), είναι ότι ο τελεστής T, έχει εκφρασθεί ως τετραγωνικός πίνακας, ο οποίος είναι αντιστρέψιµος. Συνοψίζοντας, έστω ότι ένα ΣΣ{ } προέρχεται από την µεταφορά ενός ΣΣ{ } στο επίπεδο ( χώρος) και γνωρίζουµε το διάνυσµα θέσης r της αρχής των αξόνων του ΣΣ{ } ως προς το ΣΣ{ }, τότε, εάν γνωρίζουµε το διάνυσµα θέσης r ενός σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }, το διάνυσµα θέσης r του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ } ισούται µε: r = T r (11) όπου ο πίνακας T, ονοµάζεται τελεστής µεταφοράς και ισούται µε: 1 x T, = 1 (1) 1 Η φυσική σηµασία του τελεστή µεταφοράς T, απαντά στο ερώτηµα πώς πρέπει να µεταφερθεί το ΣΣ{ } στο επίπεδο ( χώρο) ώστε αυτό να συµπέσει µε το ΣΣ{ };. Με τη µορφή της Εξ.(1), εφαρµόζεται σε διάνυσµα, το οποίο είναι εκπεφρασµένο στο ΣΣ{ }, και το αποτέλεσµα της εφαρµογής είναι η έκφραση του εν λόγω διανύσµατος ως προς το ΣΣ{ }, υπό την αυστηρή προϋπόθεση ότι τα ΣΣ{ } και ΣΣ{ } έχουν τον ίδιο προσανατολισµό. Ισοδύναµα, ο τελεστής µεταφοράς T, εκφράζει την άθροιση δύο διανυσµάτων θέσης: του διανύσµατος θέσης r της αρχής των αξόνων του ΣΣ{ } ως προς το ΣΣ{ } και του διανύσµατος θέσης r ενός σηµείου ως προς το ΣΣ{ }., (1) Αναπαράσταση προσανατολισµού στις δύο διαστάσεις Σε συνέχεια της προηγούµενης ενότητας, έστω ότι είναι γνωστό το διάνυσµα θέσης ενός σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }: x r = (13) Επίσης, έστω ένα ΣΣ{ }, το οποίο έχει ίδιο z άξονα, ίδια αρχή αξόνων µε το ΣΣ{ }, αλλά διαφορετικό προσανατολισµό από εκείνον του ΣΣ{ } (βλ. Σχήµα.). Αυτό σηµαίνει ότι οι

7 θετικοί ηµι-άξονες του ΣΣ{ } δεν έχουν την ίδια διεύθυνση µε τους αντίστοιχους θετικούς ηµι-άξονες του ΣΣ{ }. Κάτι τέτοιο συµβαίνει όταν το ΣΣ{ } προέρχεται από περιστροφή του ΣΣ{ } γύρω από τον z άξονα κατά γωνία ϑ. Σχήµα 3.: Ανθωρολογιακή Στροφή Συστήµατος Συντεταγµένων στο επίπεδο Από τη γεωµετρία του Σχήµατος 3., προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: x = L L = x csϑ sinϑ (14) x1 x = L L = x sinϑ+ csϑ (15) 1 ιατυπώνοντας τις Εξ.(14,15) µε µητρωϊκή γραφή, προκύπτει: x x csϑ sinϑ csϑ sinϑ x r = = x sinϑ csϑ = sinϑ csϑ + r : 1 R : r : 1 Η Εξ.(16), είναι δυνατόν, εισάγοντας µηδενικές και µοναδιαίες τιµές σε κατάλληλές θέσεις των εµπλεκοµένων µητρώων, να λάβει την ακόλουθη (ισοδύναµη) έκφραση:, x csϑ sinϑ x sinϑ csϑ = r :3 1 R :3 1, :3 3 r Συνοπτικά, η Εξ.(17) γράφεται ως εξής: r = R, r (18) όπου r είναι το διάνυσµα θέσης ενός σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }, r είναι το διάνυσµα θέσης του ιδίου σηµείου P ως προς το ΣΣ{ } και R, είναι ένας τελεστής (τελεστής στροφής), όπου: csϑ sinϑ R, = sinϑ csϑ (19) 1 Ο τελεστής στροφής R, περιλαµβάνει τέσσερα στοιχεία, τα οποία, εν γένει, είναι µη- µηδενικά και εκφράζουν συνηµίτονα κατεύθυνσης. Η Εξ.(19) είναι αντίστοιχη της Εξ.(1). Η φυσική σηµασία του τελεστή στροφής R, απαντά στο ερώτηµα πώς πρέπει να περιστραφεί (16) (17)

8 το ΣΣ{ } στο επίπεδο και περί της αρχής των αξόνων του ώστε αυτό (το ΣΣ{ }) να συµπέσει µε το ΣΣ{ };. Με τη µορφή της Εξ.(19), εφαρµόζεται σε διάνυσµα, το οποίο είναι εκπεφρασµένο στο ΣΣ{ } και το αποτέλεσµα της εφαρµογής είναι η έκφραση του εν λόγω διανύσµατος ως προς το ΣΣ{ } Οµογενής αναπαράσταση στις δύο διαστάσεις Σε συνέχεια των δύο προηγουµένων ενοτήτων, έστω το καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων ΣΣ{ } (αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ή καθολικό σύστηµα αναφοράς ή χωρόδετο σύστηµα αναφοράς). Επίσης, έστω ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων ΣΣ{ } (σωµατοπαγές σύστηµα αναφοράς ή τοπικό σύστηµα αναφοράς ή σωµατόδετο σύστηµα αναφοράς), το οποίο προκύπτει από µία µεταφορά του ΣΣ{ } στο επίπεδο και από µία στροφή του ΣΣ{ } στο επίπεδο. Επίσης, έστω ότι είναι γνωστό το διάνυσµα θέσης r ενός σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }: x r = () Τέλος, έστω ότι αναζητούµε την γραφή του διανύσµατος θέσης του προαναφερθέντος σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }. Στην προκειµένη περίπτωση, καθίσταται φανερό ότι το ΣΣ{ } προκύπτει από το ΣΣ{ } µέσα από τη σύνθεση µίας στροφής στο επίπεδο µε µία µεταφορά στο επίπεδο (σε αντίθεση µε τις προηγούµενες δύο ενότητες, στις οποίες το ΣΣ{ } προέκυπτε από το ΣΣ{ } είτε µε µία µεταφορά στο επίπεδο είτε µε µία στροφή στο επίπεδο). Προφανώς, για την περιγραφή της στροφής στο επίπεδο θα χρησιµοποιηθεί ο τελεστής στροφής (βλ. Εξ.(19)), ενώ για την περιγραφή της µεταφοράς στο επίπεδο θα χρησιµοποιηθεί ο τελεστής µεταφοράς (βλ. Εξ.(1)). Ένα εύλογο ερώτηµα που τίθεται είναι: µε ποια σειρά πρέπει να χρησιµοποιηθούν αυτοί οι δύο τελεστές;. Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό προκύπτει µέσα από την προσεκτική εξέταση του τρόπου µε τον οποίο λειτουργούν οι δύο τελεστές. Όπως έχει αναφερθεί στην ενότητα Αναπαράσταση θέσεως, ο τελεστής µεταφοράς T, εκφράζει την άθροιση δύο διανυσµάτων θέσης: του διανύσµατος θέσης r του σωµατοπαγούς ΣΣ{ } ως προς το αδρανειακό ΣΣ{ } και του διανύσµατος θέσης r ενός σηµείου ως προς το σωµατοπαγές ΣΣ{ }. Μία τέτοιου είδους διανυσµατική άθροιση επιτρέπεται τότε και µόνον τότε, όταν τα αθροιζόµενα διανύσµατα ανήκουν είτε στο ίδιο σύστηµα αναφοράς είτε σε διαφορετικά συστήµατα αναφοράς αλλά υπό την αυστηρή προϋπόθεση ότι αυτά (τα συστήµατα αναφοράς) έχουν τον ίδιο προσανατολισµό. Στην πλέον γενική περίπτωση, τα ΣΣ{ } και ΣΣ{ } δεν έχουν τον ίδιο προσανατολισµό, εποµένως δεν επιτρέπεται η εφαρµογή του τελεστή µεταφοράς T, στο διάνυσµα θέσεως r. Ωστόσο, εάν εφαρµοσθεί ο τελεστής στροφής R, στο διάνυσµα r, τότε (βλ. Εξ.(38)) προκύπτει το διάνυσµα R r, το οποίο είναι εκπεφρασµένο ως προς το ΣΣ{ }. Σε αυτό το διάνυσµα, είναι πλέον (, ) δυνατή η εφαρµογή του τελεστή µεταφοράς T,, δηλαδή ισχύει:

9 r = T R ( r),, Εισάγοντας τις Εξ.(1,19) στην Εξ.(1), προκύπτει: 1 x cs sin x r ϑ ϑ = T, ( R, r ) = 1 sinϑ csϑ () Εφαρµόζοντας την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού τετραγωνικών πινάκων, και εκτελώντας πράξεις, προκύπτει: 1 x cs sin x r ϑ ϑ = T, ( R, r ) = 1 sinϑ csϑ x csϑ sinϑ x x sinϑ csϑ = r :3 1 H :3 1, :3 3 r Σύµφωνα µε την Εξ.(3), το διάνυσµα θέσης r προκύπτει εάν εφαρµοσθεί στο διάνυσµα r ο τελεστής: csϑ sinϑ x H, = sinϑ csϑ (4) 1 Όπως φαίνεται και από την Εξ.(4), ο τελεστής H, είναι ένας πίνακας διάστασης 3 3, στον οποίο αναγνωρίζουµε ότι ο τετραγωνικός υποπίνακας από το κελί, ( 1,1) κελί, (, ) H ( ) έως και το κελί ( ) (1) (3) H έως και το H αντιστοιχεί στο µητρώο στροφής, ενώ ο υποπίνακας-στήλη από το κελί, 1,3 H,,3 αντιστοιχεί στο διάνυσµα θέσης r. Με άλλα λόγια, ο τελεστής H, εµπεριέχει και τη στροφή και τη µεταφορά. Ο συνδυασµός των Εξ.(3,4) δίδει: r = H, r (5) Η Εξ.(5) καλείται οµογενής αναπαράσταση του διανύσµατος r ως προς το ΣΣ{ }. Η φυσική ερµηνεία του τελεστή H, απαντά στο ερώτηµα ποιος είναι εκείνος ο συνδυασµός χωρικής µεταφοράς και χωρικής στροφής ώστε το ΣΣ{ } να συµπέσει µε το ΣΣ{ };. Εφαρµόζεται σε διάνυσµα, το οποίο είναι εκπεφρασµένο στο ΣΣ{ }, και το αποτέλεσµα της εφαρµογής είναι η έκφραση του εν λόγω διανύσµατος ως προς το ΣΣ{ }. 3.. Οµογενής Αναπαράσταση στις τρεις διαστάσεις Επαναλαµβάνοντας και προεκτείνοντας κατάλληλα τους συλλογισµούς, οι οποίοι παρουσιάσθηκαν στην προηγούµενη ενότητα, προκύπτει η οµογενής αναπαράσταση στις τρεις διαστάσεις, η οποία περιγράφει την µεταφορά και στροφή στο χώρο ενός συστήµατος συντεταγµένων, όπως φαίνεται στο Σχήµα

10 Σχήµα 3.3: Μεταφορά και στροφή στο χώρος συστήµατος συντεταγµένων Ειδικότερα: ο τελεστής µεταφοράς προκύπτει ίσος µε: 1 x 1 T, = (6) 1 z 1 ο τελεστής στροφής προκύπτει ίσος µε: nx x ax n a R, = (7) nz z az 1 ο πίνακας του οµογενή µετασχηµατισµού προκύπτει ίσος µε: nx x ax x n a H, = (8) nz z az z 1 Όπως φαίνεται και από την Εξ.(8), ο τελεστής H, είναι ένας πίνακας διάστασης 4 4, στον οποίο αναγνωρίζουµε ότι ο τετραγωνικός υποπίνακας από το κελί, ( 1,1) κελί, ( 3,3) H ( ) έως και το κελί ( ) H έως και το H αντιστοιχεί στο µητρώο στροφής, ενώ ο υποπίνακας-στήλη από το κελί, 1, 4 H, 3, 4 αντιστοιχεί στο διάνυσµα θέσης r. Με άλλα λόγια, ο τελεστής H, εµπεριέχει και τη στροφή και τη µεταφορά. Κατ αντιστοιχία της Εξ.(5), ισχύει: r = H, r (9) Η Εξ.(9) καλείται οµογενής αναπαράσταση του διανύσµατος r ως προς το ΣΣ{ }. Η φυσική ερµηνεία του τελεστή H, απαντά στο ερώτηµα ποιος είναι εκείνος ο συνδυασµός χωρικής µεταφοράς και χωρικής στροφής ώστε το ΣΣ{ } να συµπέσει µε το ΣΣ{ };

11 Εφαρµόζεται σε διάνυσµα, το οποίο είναι εκπεφρασµένο στο ΣΣ{ }, και το αποτέλεσµα της εφαρµογής είναι η έκφραση του εν λόγω διανύσµατος ως προς το ΣΣ{ } Ειδικές περιπτώσεις χωρικής περιστροφής Εν γένει, η περιστροφή ενός Συστήµατος Συντεταγµένων είναι χωρική, δηλαδή 3 πραγµατοποιείται στον R, και περιγράφεται από µητρώο της εξής µορφής: ( x, x) (, x) ( z, x) (, ) (, ) (, ) ( x, z) (, z) ( z, z) angle e e angle e e angle e e nx x ax R= n a = angle e e angle e e angle e e x z nz z a z angle e e angle e e angle e e Το µητρώο στροφής R περιλαµβάνει εννέα στοιχεία, τα οποία, εν γένει, είναι µη-µηδενικά και εκφράζουν συνηµίτονα κατεύθυνσης (γωνίες µεταξύ των µοναδιαίων διανυσµάτων επί των αξόνων του ΣΣ{ } και του ΣΣ{ }). Το µητρώο αυτό λαµβάνει µία ιδιαίτερα απλή µορφή, όταν η περιστροφή του ΣΣ{ } πραγµατοποιείται γύρω από κάποιον άξονά του, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.4. (3) (α) (β) (γ) Σχήµα 3.4: Στροφή Συστήµατος Συντεταγµένων γύρω από άξονά του: (α) περί τον x άξονα, (β) περί τον άξονα και (γ) περί τον z άξονα. Στο Σχήµα 3.4 ακολουθείται η σύµβαση βάσει της οποίας το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα περιστροφής είναι κάθετο στο επίπεδο της σελίδας και µε φορά από τη σελίδα προς τον αναγνώστη. Με αυτόν τον προσανατολισµό του άξονα περιστροφής, η απεικονιζόµενη γωνία περιστροφής ϑ διαγράφεται ανθωρολογιακά, σύµφωνα µε τον κανόνα της δεξιάς χειρός, όπως σηµειώνεται στο Σχήµα 3.4. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στην περίπτωση της περιστροφής περί τον άξονα, ώστε να ικανοποιείται η προαναφερθείσα σύµβαση (βλ. Σχήµα 3.4(β)) Στροφή περί του x άξονα Ο x άξονας του ΣΣ{ } συµπίπτει µε τον x άξονα του ΣΣ{ } και ισχύουν τα ακόλουθα: τα διανύσµατα βάσης A ḛ και ḛ συµπίπτουν x x τα διανύσµατα βάσης A ḛ και A ḛ είναι κάθετα στο διάνυσµα βάσης ḛ z τα διανύσµατα βάσης ḛ και ḛ είναι κάθετα στο διάνυσµα βάσης A ḛ Συνεπώς ισχύει: z x x

12 π π A A A (, ) (, ) (, ) angle ex ex angle e ex angle ez e x A A A π π angle( ex, e) angle( e, e) angle( ez, e) = ϑ + ϑ (31) A A A angle( ex, ez) angle( e, ez) angle( ez, ez) π π ϑ ϑ Εισάγοντας τις ανωτέρω τιµές στην Εξ.(7), προκύπτει: 1 csϑ sinϑ R, = (3) sinϑ csϑ Στροφή περί του άξονα Ο άξονας του ΣΣ{ } συµπίπτει µε τον άξονα του ΣΣ{ A } και ισχύουν τα ακόλουθα: τα διανύσµατα βάσης A ḛ και ḛ συµπίπτουν τα διανύσµατα βάσης A ḛ και A ḛ είναι κάθετα στο διάνυσµα βάσης ḛ x z τα διανύσµατα βάσης ḛ και ḛ είναι κάθετα στο διάνυσµα βάσης A ḛ Συνεπώς ισχύει: x z π π A A A ϑ ϑ (, ) (, ) (, ) angle ex ex angle e ex angle ez e x A A A π π angle( ex, e) angle( e, e) angle( ez, e) = (33) A A A angle( ex, ez) angle( e, ez) angle( ez, ez) π π + ϑ ϑ Εισάγοντας τις ανωτέρω τιµές στην Εξ.(7), προκύπτει: csϑ sinϑ 1 R, = (34) sinϑ csϑ Στροφή περί του z άξονα Ο z άξονας του ΣΣ{ } συµπίπτει µε τον z άξονα του ΣΣ{ A } και ισχύουν τα ακόλουθα: τα διανύσµατα βάσης A ḛ και ḛ συµπίπτουν z z τα διανύσµατα βάσης A ḛ και A ḛ είναι κάθετα στο διάνυσµα βάσης ḛ x τα διανύσµατα βάσης ḛ και ḛ είναι κάθετα στο διάνυσµα βάσης A ḛ Συνεπώς ισχύει: x z z

13 π π A A A ϑ + ϑ (, ) (, ) (, ) angle ex ex angle e ex angle ez e x A A A π π angle( ex, e) angle( e, e) angle( ez, e) = ϑ ϑ (35) A A A angle( ex, ez) angle( e, ez) angle( ez, ez) π π Εισάγοντας τις ανωτέρω τιµές στην Εξ.(7), προκύπτει: csϑ sinϑ sinϑ csϑ R, = (36) Σύνθεση οµογενών αναπαραστάσεων Έστω το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΣΣ{ } και τα σωµατοπαγή συστήµατα αναφοράς ΣΣ{} 1, ΣΣ{ },, ΣΣ{ v } και έστω ότι ισχύουν τα ακόλουθα: Η µετάβαση από το ΣΣ{ } στο ΣΣ{} 1 περιγράφεται από τον οµογενή µετασχηµατισµό H,1, ο οποίος θεωρείται ότι είναι γνωστός. Η µετάβαση από το ΣΣ{} 1 στο ΣΣ{ } περιγράφεται από τον οµογενή µετασχηµατισµό H 1,, ο οποίος θεωρείται ότι είναι γνωστός... Η µετάβαση από το ΣΣ{ v 1} στο ΣΣ{ v } περιγράφεται από τον οµογενή µετασχηµατισµό H ( ν 1 ), ν, ο οποίος θεωρείται ότι είναι γνωστός. Επίσης, έστω ότι ζητείται το διάνυσµα θέσεως r ενός σηµείου P ως προς το αδρανειακό σύστηµα ΣΣ{ }, όταν είναι γνωστό το διάνυσµα θέσεως r v του σηµείου αυτού ως προς το σωµατοπαγές σύστηµα ΣΣ{ v }. Με άλλα λόγια, ζητείται ο τελεστής H, v για τον οποίο ισχύει: r = H r, v v Για να υπολογισθεί ο τελεστής H, v ακολουθείται η εξής πορεία σκέψης: Εφαρµόζοντας τον τελεστή H,1 στο διάνυσµα r 1 προκύπτει το διάνυσµα θέσεως του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ }: r = H r (38) Εφαρµόζοντας τον τελεστή H 1, στο διάνυσµα r προκύπτει το διάνυσµα θέσεως του σηµείου P ως προς το ΣΣ{} 1 :,1 1 r = H r 1 1,.. Εφαρµόζοντας τον τελεστή H v, v 1 στο διάνυσµα rv 1 προκύπτει το διάνυσµα θέσεως του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ v } : (37) (39)

14 r = H r v v, v 1 v 1 Εφαρµόζοντας τον τελεστή H v 1, v στο διάνυσµα r v προκύπτει το διάνυσµα θέσεως του σηµείου P ως προς το ΣΣ{ v 1} : r = H v 1 v 1, v rv (41) Εισάγοντας την Εξ.(41) στην Εξ.(4) και εφαρµόζοντας την επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού πινάκων, προκύπτει: rv = Hv 1, v ( Hv 1, v rv) = Hv 1, v Hv 1, v rv = ( Hv 1, v Hv 1, v ) rv (4) Επαναλαµβάνοντας την ίδια διαδικασία για όλες τις µεταβάσεις, τελικά προκύπτει: r = H H H... H H r = H H H... H H r (43) ( ( ( ( )))) ( ),1 1,,3 v, v 1 v 1, v v,1 1,,3 v, v 1 v 1, v v Εποµένως, ο ζητούµενος τελεστής H, v ισούται µε:, v,1 1,,3 v, v 1 v 1, v (4) H = H H H... H H (44) 3.5. Παράδειγµα: Ανυψωτική διάταξη Έστω η ανυψωτική διάταξη του Σχήµατος 3.5α. Ζητείται η εξίσωση κίνησης της ανηρτηµένης µάζας (έστω σηµείο P ), όταν η διάταξη εκτελεί µόνον πορεία. ίδεται το µήκος του συρµατοσχοίνου ανάρτησης L. (α) (β) Σχήµα 3.5: Ανυψωτική διάταξη και µονογραµµική απεικόνιση αυτής Λύση Στο Σχήµα 3.5β παρουσιάζεται η µονογραµµική απεικόνιση της εξεταζόµενης διάταξης. Καθώς το φορείο εκτελεί πορεία και αποµακρύνεται κατά u από το κατακόρυφο στέλεχος της διάταξης, το συρµατόσχοινο µε την ανηρτηµένη µάζα P, λόγω αδρανείας, εκτρέπεται από την κατακόρυφη διεύθυνση κατά γωνία ϕ. Η θέση P είναι δυνατόν να υπολογισθεί είτε διανυσµατικά (βλ. Σχήµα 3.6α) είτε µε τη βοήθεια του οµογενούς µετασχηµατισµού (βλ. Σχήµα 3.6β), επιλογή η οποία και παρουσιάζεται στις επόµενες παραγράφους. Ειδικότερα, εφαρµόζονται τα εξής βήµατα: Ορισµός αδρανειακού συστήµατος αναφοράς xo (ΣΣ{ }): Ο ορισµός του συστήµατος xo είναι αυθαίρετος. Στο Σχήµα 3.5β απεικονίζεται µία δυνατή (και βολική ) επιλογή. Ορισµός σωµατοπαγούς συστήµατος αναφοράς x1o 1 1 (ΣΣ{} 1 ): Ένας τρόπος ορισµού του συστήµατος x1o 1 1 απεικονίζεται στο Σχήµα 3.6β

15 (α) (β) Σχήµα 3.6: Προσδιορισµός της θέσης P : (α) διανυσµατικά και (β) µε τη βοήθεια του οµογενούς µετασχηµατισµού Μετάβαση από το ΣΣ{ } στο ΣΣ{} 1 Η µετάβαση από το αδρανειακό σύστηµα Ι στο σωµατοπαγές σύστηµα 1, εν γένει, περιλαµβάνει µία µεταφορά και µία στροφή. Στην προκειµένη περίπτωση, ισχύουν τα ακόλουθα: T O O = u h (µε µπλέ χρώµα σηµειώνονται οι Μεταφορά: κατά το διάνυσµα ( ) [ ] συνιστώσες της µεταφοράς): Στροφή: στη θέση O 1 και κατά γωνία u h T,1 = (45) 1 ϕ περί τον z άξονα του σωµατοπαγούς συστήµατος ΣΣ{} 1, ο οποίος, στην προκειµένη περίπτωση, είναι παράλληλος µε τον z άξονα του αδρανειακού συστήµατος ΣΣ{ } (µε κόκκινο χρώµα σηµειώνονται οι συνιστώσες της στροφής): csϕ1 sinϕ1 sinϕ1 csϕ1 R,1 = (46) 1 1 Πίνακας Οµογενούς Μετασχηµατισµού: (προκύπτει από τη σύνθεση των τελεστών µεταφοράς και στροφής): csϕ1 sinϕ1 u sinϕ1 csϕ1 h H,1 = (47) 1 1 ιάνυσµα θέσης r σηµείου P ως προς ΣΣ{} 1 :

16 l r = (48) 1 Το διάνυσµα θέσης r του σηµείου P ως προς ΣΣ{ } βρίσκεται µέσω της οµογενούς αναπαράστασης του διανύσµατος r ως προς το ΣΣ{ }: r = H r (49) Ο συνδυασµός των Εξ.(47,48,49) δίδει: x csϕ1 sinϕ1 u l x l csϕ1+ u sinϕ1 csϕ1 h l sinϕ1 h + r = H, r = = z 1 z Από τη γεωµετρία της κατασκευής (βλ. Σχήµα 3.6β), ισχύει: π ϕ1 = + ϕ Ο συνδυασµός των Εξ.(5,51) δίδει: π π π l cs ϕ u + + cs cs ( ) x = l u x l u x + ϕ + = ϕ + π π π = l sin + ϕ + h = l sin ϕ h l sin ( ϕ) h z + + = + 1 z = z = 1 ( ϕ) ( ϕ) x = l sin + u x = l sinϕ+ u = l cs + h = l csϕ+ h z = z = Η Εξ.(5) περιγράφει, ως προς ΣΣ{ }, τον τρόπο κίνησης του σηµείου P., (5) (51) (5) 3.6. Τριαρθρωτή κινηµατική αλυσίδα Έστω η τριαρθρωτή κλειστή κινηµατική αλυσίδα του Σχήµατος 3.7α και έστω ότι ζητείται η κινηµατική περιγραφή της (εξισώσεις κίνησης). H συγκεκριµένη αλυσίδα διαθέτει: 3 µέλη: (ΑΒ), (C), (AC) 3 αρθρώσεις (κινηµατικό ζεύγος µε 1 Β.Ε.): A,, C Σύµφωνα µε τον τύπο του Kutzbach, ισχύει: ( ) ( ) F = 3 n 1 f f = F = (53) 1 Συνεπώς, η συγκεκριµένη αλυσίδα είναι στερεά κατασκευή. Για να µεταπέσει σε µηχανισµό, θα πρέπει να αναιρεθεί ένα µέλος, π.χ. το µέλος (AC), όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.7β. Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση κίνησης του µηχανισµού είναι δυνατόν να βρεθεί από τη διανυσµατική σχέση, η οποία περιγράφει την εν λόγω αλυσίδα. Πιο συγκεκριµένα, επειδή η αλυσίδα είναι συνεχής, ισχύει: A + C + CA = A + C = CA AC = A + C (54) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

17 Για τον υπολογισµό του αριστερού µέλους της Εξ.(54), ορίζεται (αυθαίρετα) ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων xo, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.7γ. (α) (β) (γ) Σχήµα 3.7: Τριαρθωτή κατασκευή: (α) µε 3 µέλη, (β) µε αναίρεση ενός µέλος και (γ) έχοντας ορίσει αδρανειακό σύστηµα αναφοράς Ως προς το x O, το διάνυσµα ( AC) εκφράζει τη θέση του σηµείου C, οπότε ισχύει: C u = 1 (55) Σχήµα 3.8: Ορισµός σωµατοπαγών συστηµάτων αναφοράς: (α) x1o 1 1 και (β) xo Για τον υπολογισµό του δεξιού µέλους της Εξ.(54), εφαρµόζονται τα εξής βήµατα: Ορισµός του σωµατοπαγούς συστήµατος αναφοράς x1o 1 1 και µετάβαση από το αδρανειακό σύστηµα Ι στο σωµατοπαγές σύστηµα 1 Ο ορισµός του σωµατοπαγούς συστήµατος αναφοράς x1o 1 1 φαίνεται στο Σχήµα 3.8α. Η µετάβαση από το αδρανειακό σύστηµα Ι στο σωµατοπαγές σύστηµα 1, εν γένει, περιλαµβάνει µία µεταφορά και µία στροφή. Στην προκειµένη περίπτωση, ισχύουν τα ακόλουθα: Μεταφορά: δεν υπάρχει µεταφορά (µε µπλέ χρώµα σηµειώνονται οι συνιστώσες της µεταφοράς) T,1 = (56)

18 Στροφή: στη θέση O και κατά γωνία ϕ 1 περί τον z άξονα του σωµατοπαγούς συστήµατος 1, ο οποίος εδώ ταυτίζεται µε τον z άξονα του αδρανειακού συστήµατος Ι (µε κόκκινο χρώµα σηµειώνονται οι συνιστώσες της στροφής) csϕ1 sinϕ1 sinϕ1 csϕ1 R,1 = (57) 1 1 Οµογενής Μετασχηµατισµός (προκύπτει από τη σύνθεση των τελεστών µεταφοράς και στροφής): csϕ1 sinϕ1 sinϕ1 csϕ1 H,1 = (58) 1 1 Ορισµός του σωµατοπαγούς συστήµατος αναφοράς xo και µετάβαση από το σωµατοπαγές σύστηµα 1 στο σωµατοπαγές σύστηµα. Ο ορισµός του σωµατοπαγούς συστήµατος αναφοράς xo φαίνεται στο Σχήµα 3.8β. Η µετάβαση από το σωµατοπαγές σύστηµα 1 στο σωµατοπαγές σύστηµα, εν γένει, περιλαµβάνει µία µεταφορά και µία στροφή. Στην προκειµένη περίπτωση, ισχύουν τα ακόλουθα: T Μεταφορά: κατά το διάνυσµα ( O1O ) = [ r 1] r T 1, = (59) 1 Στροφή: στη θέση O, κατά γωνία ϕ περί τον z άξονα του σωµατοπαγούς συστήµατος csϕ sinϕ sinϕ csϕ R 1, = (6) 1 1 Οµογενής Μετασχηµατισµός: csϕ sinϕ r sinϕ csϕ H 1, = (61) 1 1 Ορισµός του διανύσµατος θέσης του σηµείου C ως προς το σύστηµα xo Ως προς το xo, η θέση του σηµείου C περιγράφεται ως εξής:

19 l C = 1 Τελικά, το δεξί µέλος της Εξ.(54) περιγράφεται ως εξής: A + C = H H C ( ) ( ),1 1, Από τις Εξ.(54,55,63) προκύπτει: u csϕ1 sinϕ1 csϕ sinϕ r l sinϕ1 csϕ1 sinϕ csϕ ( AC) = ( A) + ( C) C = H,1H1, C = u csϕ1 csϕ sinϕ1 sinϕ csϕ1 sinϕ sinϕ1 csϕ r csϕ1 l sinϕ1 csϕ csϕ1 sinϕ sinϕ1 sinϕ csϕ1 sinϕ r sinϕ = ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u cs ϕ1 ϕ sin ϕ1+ ϕ r csϕ1 l u l cs ϕ1+ ϕ + r csϕ1 sin ϕ1+ ϕ cs ϕ1+ ϕ r sinϕ1 l sin ϕ1+ ϕ + r sinϕ1 = = ( ) ( ϕ + ϕ ) u= l cs ϕ1+ ϕ + r csϕ1 = l sin 1 + r sinϕ1 = 1= 1 Από τη γεωµετρία του τριαρθρωτού µηχανισµού (βλ.σχήµα 3.9), ισχύει: ϑ = ϕ 1 1 π + ϑ = ϕ ϑ + ϑ + ϑ = π 1 3 (6) (63) (64) (65) Σχήµα 3.9: Γεωµετρία τριαρθρωτού µηχανισµού Από την Εξ.(65) προκύπτει: ϕ1+ ϕ = π + ϑ1 + ϑ (66) ϑ1 + ϑ = π ϑ3 (67)

20 Με βάση τις Εξ.(66,67), ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( ) Μηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: 11-1 ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) cs ϕ + ϕ = cs π + ϑ + ϑ = cs π + π ϑ = cs π ϑ = cs ϑ = csϑ (68) sin ϕ + ϕ = sin π + ϑ + ϑ = sin π + π ϑ = sin π ϑ = sin ϑ = sinϑ (69) Εισάγοντας τις Εξ.(68,69) στην Εξ.(64), προκύπτει: u= l csϑ3+ r csϑ1 l sinϑ3 r sinϑ = 1 (7) = 1= 1 Οι δύο τελευταίες εξισώσεις ικανοποιούνται ταυτοτικά και διαγράφονται. Συνεπώς, η κίνηση ενός τριαρθρωτού µηχανισµού περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: u= l csϑ3+ r csϑ1 (71) l sinϑ = r sinϑ 3 1 Παρατηρήσεις: Οι Εξ.(71) προκύπτουν και εποπτικά από το Σχήµα 3.9. Ωστόσο, σε πιο σύνθετους µηχανισµούς, ο ανωτέρω εκτεθείς συστηµατικός τρόπος είναι πολύ πιο πρακτικός. Οι εξισώσεις κίνησης προέκυψαν αξιοποιώντας τη διανυσµατική εξίσωση (Εξ.54), η οποία περιγράφει την εξεταζόµενη κινηµατική αλυσίδα. Στην προκειµένη περίπτωση, θα ήταν δυνατόν να χρησιµοποιήσουµε την Εξ.(54) στη µορφή A + C + CA =. Τότε, θα έπρεπε να ορισθεί ένα ακόµα σωµατοπαγές ( ) ( ) ( ) σύστηµα, το σύστηµα x3o3 3, µε O3 C. Ωστόσο, σε αυτήν την περίπτωση θα έπρεπε να εφαρµοσθεί ένας ακόµη οµογενής µετασχηµατισµός, κάτι που επιβαρύνει το υπολογιστικό κόστος και δυσχεραίνει τις πράξεις. Συνεπώς, διαµορφώνουµε κατά την κρίση µας τη διανυσµατική εξίσωση της εκάστοτε εξεταζοµένης κινηµατικής αλυσίδας (εδώ, την Εξ.(54)), έτσι ώστε, να αποφεύγουµε σύνθετους υπολογισµούς καθώς εφαρµόζουµε διαδοχικά οµογενείς µετασχηµατισµούς