ΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b

Transcript

1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 7 έκδοση DΥΝI-EXC07-06b

2 Copyright Ε.Μ.Π Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ00 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Πληροφορίες Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr,

3 Άσκηση 7: Εκφώνηση δυναμικό σύστημα Β.Ε. αμελητέα βαρυτική επίδραση... k x k x k m m m m x (0) x (0) 3 όμοια ελατήρια σταθεράς m = m = μάζες και 4 x (0) k = x x αρχικά μετατοπίζεται μόνο η μάζα και ( ) ( ) ( ) x 0 = x 0 = x 0 = 0 m κατά x ( 0 ) = ελεύθερη ταλάντωση? απόκριση συστήματος xt ( )

4 το σύστημα χαρακτηρίζεται από ανεξάρτητες κινηματικές μεταβλητές (Β.E.) x x m την μετατόπιση της μάζας m και την μετατόπιση της μάζας ( ) cos( ωt) xt = Φ γενική μορφή της απόκρισης πλάτος των ταλαντώσεων συχνότητες ταλάντωσης (ιδιοσυχνότητες) ( ωi M K) + Φ i = 0 ( ω M K i ) det + = 0 υπολογισμός μητρώων μητρώο μάζας μητρώο δυσκαμψίας Ενεργειακή Αρχή Lagrange

5 x x Ενεργειακή Αρχή Lagrange k m k m k x (0) L L PC Pt + = t x x x x ❶ κινητική ενέργεια T = mυ + mυ T = m x + m x δυναμική ενέργεια U = k x + k x + k x U = kx + k x x + kx k= k= k3= k ( ) ( ) ( ) ( ) k k k3 το σύστημα δεν διαθέτει στοιχεία απόσβεσης δεν διαχέεται ενέργεια P C = 0

6 στο σύστημα δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις δεν προσφέρεται ενέργεια στο σύστημα από εξωτερική πηγή ισχύς του συστήματος μηδενική ενεργειακή μεταβλητή Lagrange... P t = 0 ( ) L = T U = mx + mx kx + k x x + kx για την ελεύθερη κινηματική μεταβλητή... q= x για τον αδρανειακό όρο: ( ) L q x T U = L ( ) q x x x = = m x + m x kx + k x x + kx L L = mx = mx x x x

7 d L d = mx = mx dt x dt παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο... ( ) για τον όρο ελαστικότητας... ( ) L q= x L T U mx mx kx k ( x x) kx q x x x = = L = kx + k ( x x) + kx = { kx+ k ( x x ) } x x L = kx + k ( x x ) = kx kx x για τον όρο διάχυσης... PC q= x P C PC = ( 0) = 0 q x x x

8 Pt Pt Pt = 0 = 0 q x x x q= x για τον όρο διέγερσης... ( ) οπότε η ❶ γίνεται... m x + kx kx = 0 ❷

9 για την ελεύθερη κινηματική μεταβλητή... q= x για τον αδρανειακό όρο: ( ) L q x T U = L mx mx kx k ( x x) kx q x x x = = L L = m x = m x x x x παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο... d L d = ( m x ) = m x dt x dt για τον όρο ελαστικότητας... ( ) L q= x L T U ( ) q x x x = = m x + m x kx + k x x + kx L = k ( x x) + kx = k ( x x )( ) + kx x x

10 ... για τον όρο ελαστικότητας L = k( x x ) + kx = kx + kx x για τον όρο διάχυσης... PC q= x P C PC = ( 0) = 0 q x x x για τον όρο διέγερσης... Pt q= x P t Pt = ( 0) = 0 q x x x οπότε η ❶ γίνεται... m x kx + kx = 0 ❸

11 χρησιμοποιώντας μητρωϊκή γραφή, οι ❷ και ❸ γράφονται και ως εξής... x x [ m 0] + [ k k] = { 0} m x+ kx kx = 0 x x m x kx+ kx = 0 x x [ 0 m ] + [ k k] = { 0 } x x m 0 x k k x 0 0 m + x = k k x 0 M x K x F αριθμητική αντικατάσταση 4 0 x x x = x 0 ❹

12 το ομογενές σύστημα της ❹ έχει μη-τετριμμένη λύση όταν ισχύει... ( ) ( ) i i ωi M K λim K det 0 det 0 ❹ ω = λ Εξ.(4) + = + = 4 0 4λ + det λ 0 det = = λ + διακρίνουσα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ( ) = β αγ = = = οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ( ) 0 7. λ ω β ± 0 ± 5 ± = =.5375 λ = = = α 4 8 λ= ω=

13 ... οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ω = ±.5375= ±.4668 ω = ± = ± M K και θετικά (ημι)ορισμένα ω 0 i αποδεκτές μόνον οι θετικές ρίζες ω =.4668 ω = ταξινομώντας τις λύσεις κατά αύξουσα τιμή... ω = ω =.4668

14 ω ω οι ιδιοτιμές (ιδιοσυχνότητες) & του εξεταζομένου δυναμικού συστήματος αντικαθίστανται στην ( ωi M K) ( Eξ ) ( ωm K) 0 Εξ.6 + Φ i = Φ 0 + Φ = ( ) = Φ Φ, Φ Φ = Φ =Φ.654 = Φ, 0 Φ Φ = 0 Φ =.654 Φ ω Φ = Φ Φ = Φ δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους όμοιες εξισώσεις οι εξισώσεις ενός ομογενούς συστήματος δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους (το πλήθος των ανεξαρτήτων εξισώσεων είναι μικρότερο από το πλήθος των εξισώσεων του συστήματος) τουλάχιστον μία μεταβλητή του συστήματος δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένη Φ επιλέγουμε αυθαίρετα μία από αυτές ως ελεύθερη μεταβλητή ( )

15 ... οπότε Φ Φ C, C Φ Φ Φ = const= C Φ = = = Φ Φ = * οποιοσδήποτε μη-μηδενικός πραγματικός αριθμός... Φ Φ Φ = = C = ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ...

16 ομοίως για... ω Φ 0 + Φ = ( ) =.54 + Φ 0 ( Eξ ) ( ωm K) 0 Εξ Φ Φ Φ = Φ =Φ 0.54 = Φ 0 Φ 0.54 Φ = 0 Φ = 0.54 Φ Φ = Φ Φ = Φ δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ελεύθερη μεταβλητή οπότε... C = Φ Φ * C, C... Φ Φ Φ = const= C Φ = = = Φ Φ = οποιοσδήποτε μη-μηδενικός πραγματικός αριθμός... Φ Φ = = Φ

17 φυσική σημασία των αριθμητικών τιμών των ιδιοτιμών & η φυσική σημασία αριθμητικών τιμών και προσήμων των ιδιοανυσμάτων Φ Φ Φ = = εάν το σύστημα ταλαντωθεί με συχνότητα ω το πλάτος ταλάντωσης της μάζας m θα είναι αυτής της φοράς (διότι > 0 ) με το πλάτος ταλάντωσης της μάζας m και 0,6056 φορές μεγαλύτερο (?), δηλαδή ισχύει... Φ Φ = = Φ εάν το σύστημα ταλαντωθεί με συχνότητα ω το πλάτος ταλάντωσης της μάζας m θα είναι αντιθέτου φοράς (διότι < 0 ) από το πλάτος ταλάντωσης της μάζας m και 6,6056 φορές μεγαλύτερο, δηλαδή ισχύει...

18 εποπτική παράσταση των ιδιοανυσμάτων ταλάντωση με συχνότητα ω Φ Φ Φ = = ταλάντωση με συχνότητα ω Φ Φ = = Φ +

19 το σύστημα διαθέτει Β.Ε. ιδιοσυχνότητες στην απόκριση του συστήματος & στην απόκριση της κάθε μάζας κάθε μάζα θα πραγματοποιεί ταυτόχρονα ταλαντώσεις... μία με συχνότητα ω & μία με συχνότητα ω ( ) = cos( ω ) + sin ( ω ) + cos( ω ) + sin ( ω ) x t A t B t A t B t πλάτος ταλάντωσης µ άζας m λόγωω πλάτος ταλάντωσης µ άζας m λόγωω ❺ ( ) = cos( ω ) + sin ( ω ) ( ) + cos( ω ) + sin ( ω ) ( ) x t A t B t A t B t Φ Φ ένα σύστημα με Ν Β.Ε. έχει Ν αρχικές συνθήκες (αρχική μετατόπιση και αρχική ταχύτητα για κάθε έναν Β.Ε.) το εξεταζόμενο σύστημα έχει 4 αρχικές συνθήκες και 4 άγνωστους συντελεστές (Α, Α, Β & Β )

20 x ( 0 ) = x ( 0) = 0 ( 0) = cos( ω 0) + sin ( ω ) + A cos( ω 0) + B sin ( ω t) x A B t x A B t x ❺ ( 0) = cos( ω 0) + sin ( ω ) ( ) + Acos( ω 0) + Bsin ( ωt ) ( ) ( ) ( ) 0 = x 0 = 0 A + A = A A = επίλυση του συστήματος A = = = A = ❻ και...

21 και... A = = = A = ❼ η πρώτη χρονική παράγωγός των ❺... ( ) = ω sin ( ω ) + ω cos( ω ) ω sin ( ω ) + ω cos( ω ) ( ) = ω sin ( ω ) + ω cos( ω ) ( ) + ω sin ( ω ) + ω cos( ω ) ( ) x t A t B t A t B t x t A t B t A t B t x ( ) x ( ) 0 = 0 = 0 x ( 0) = ω A sin ( ωt) + ω B cos( ωt) ω A sin ( ω t) + ω B cos( ω t) x ( 0) = ωasin ( ωt) + ωbcos( ω 0) ( ) + ωasin ( ωt ) + ωbcos( ω 0) ( )... αρχικές συνθήκες x ( ) ( ) ω B + ω B = B B = ω B ω B = B B = 0 0 = 0 = ω x 0 = 0 ω=.4668

22 0.5904B+.4668B = B 9.689B = 0... η ορίζουσα του ομογενούς συστήματος D = = ( 9.689) = = μοναδική λύση B = B = 0 ❽ επομένως από η απόκριση της μάζας m η απόκριση της μάζας m ❺, ❻, ❼ και ❽ ( ) = cos( ω ) cos( ω ) x t t t ( ) ( ) cos( ω ) ( ) cos( ω ) x ( t) cos( ωt) cos( ω t) x t = t + t =

23 η απόκριση του συστήματος σε μητρωϊκή γραφή ( ) ( t) ( t) x = = + ( ω ) cos( ω ) xt cos t t x ❾ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ... η ταλάντωση της μάζας m προκύπτει από την υπέρθεση της ταλάντωσης της μάζας m με συχνότητα ω και της ταλάντωσης της μάζας m με συχνότητα ω η ταλάντωση της μάζας m προκύπτει από την υπέρθεση της ταλάντωσης της μάζας m με συχνότητα ω και της ταλάντωσης της μάζας m με συχνότητα ω η απόκριση του εξεταζομένου συστήματος ισούται με την υπέρθεση των ταλαντώσεων των δύο μαζών m και m με δύο φυσικές συχνότητες ω και ω ο τρόπος ταλάντωσης ενός δυναμικού συστήματος περιγράφεται ως συνδυασμός κάθε μίας ιδιοσυχνότητας του συστήματος και του αντιστοίχου ιδιοανύσματος

24 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ... Ως διέγερση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε η επιβολή αρχικής μετατόπισης στη μάζα m. Ωστόσο, από τις τελικές εξισώσεις κίνησης του συστήματος ( ❾ ), η ταλάντωση λόγω της ης φυσικής συχνότητας του συστήματος δεν συμμετέχει ουσιαστικά στην κίνηση (ταλάντωση) του σημείου διέγερσης είναι δυνατόν, εάν επιλέξουμε κατάλληλα το σημείο διέγερσης και τον τρόπο διέγερσης του συστήματος, αυτό να ταλαντωθεί με τρόπο, στον οποίο οι συντελεστές της συχνότητας ω στην να είναι εκ ταυτότητος μηδενικοί ❾

25 ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός... ιδιότητες ορθοκανονικότητας των ιδιοανυσμάτων υπολογισμός ω γενικευμένη δυσκαμψία k.3944 =Φ KΦ = [ ] = [ ] = T γενικευμένη μάζα m =Φ MΦ = [ ] = [ ] = T λόγος γενικευμένης δυσκαμψίας προς γενικευμένη μάζα k m.5 = = = ω 4.367

26 υπολογισμός ω γενικευμένη δυσκαμψία k =Φ KΦ = [ ] = [ ] = T γενικευμένη μάζα m =Φ MΦ = [ ] = [ ] = T λόγος γενικευμένης δυσκαμψίας προς γενικευμένη μάζα k m 0.48 = =.54 = ω

27 Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών Δρ. Αντωνιάδης Ι..... Δρ. Γιακόπουλος Χ....