ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ

Transcript

1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ έκδοση DΥΝI-MDOFS_2016b

2 Copyright Ε.Μ.Π Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ002 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Πληροφορίες Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr,

3 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων ισορροπίας 4. Ιδιοπρόβλημα 5. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός

4 Εισαγωγή 1

5 1. Εισαγωγή μηχανικά συστήματα συνεχή σώματα με άπειρο πλήθος Β. Ε. ΔΥΣΚΟΛΗ η ανάλυση ταλαντώσεων με μερικές Δ.Ε. μηχανικά συστήματα... νόμος Νεύτωνα ενεργειακή αρχή Lagrange... συστήματα πολλών Β. Ε.

6 1. Εισαγωγή εντοπισμός n ιδιοσυχνοτήτων και ιδιοναυσμάτων αύξηση ιδιοσυχνοτήτων ορθογωνικές ιδιότητες ιδιοανυσμάτων σύνθετες εξισώσεις & δύσκολη επίλυση απλοποίηση επίλυσης

7 1. Εισαγωγή εντοπισμός ιδιοσυχνοτήτων & ιδιοναυσμάτων Μέθοδος Dunkerley Μέθοδος Rayleigh Μέθοδος Holzer Μέθοδος Jacobi Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός Μέθοδος συνάρτησης μεταφοράς Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Fourier

8 Ενεργειακή αρχή Lagrange 2

9 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά Νόμος Νεύτωνα εξισώσεις ισορροπίας και όπου η κινητική ενέργεια και η δυναμική ενέργεια επομένως όπου ενεργειακή μεταβλητή Lagrange

10 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά απλό μονοβάθμιο δυναμικό σύστημα x(t) m F(t) ενεργειακή αρχή Lagrange k c κινητική ενέργεια δυναμική ενέργεια 1 T = mx U= kx 2 ενέργεια που διαχέεται στον αποσβεστήρα 2 PC 1 = cx 2 2 ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα από την εξωτερική δύναμη Pt = Fx ενεργειακή μεταβλητή Lagrange L= T U

11 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά μαθηματική έκφραση της Ενεργειακής Αρχής Lagrange Παρατηρήσεις... q είναι ανεξάρτητη κινηματική μεταβλητή (βαθμός ελευθερίας) του συστήματος

12 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά αρχή Lagrange Παρατηρήσεις... νόμος Newton ΙΔΙΕΣ εξισώσεις ισορροπίας το δυναμικό σύστημα εμπλέκει πολλούς Β. Ε. απλούστερος τρόπος εφαρμογής εφαρμογή των εξισώσεων ισορροπίας δυνάμεων δύσκολη ή αδύνατη

13 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά Παρατηρήσεις... αρχή Lagrange ενεργειακές ποσότητες νόμος Newton δυνάμεις μόνο ενεργειακές ποσότητες (βαθμωτά μεγέθη) οι δυνάμεις διανυσματικά μεγέθη η συνολική ενέργεια του συστήματος είναι απλή πρόσθεση αυτών σύνθετες (?) διανυσματικές μεταξύ τους πράξεις (π.χ. εύκαμπτος ρομποτικός βραχίονας)

14 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά Παρατηρήσεις... ενεργειακές ποσότητες δυνάμεις σχετίζονται με μαθηματικές εκφράσεις τετραγωνικής μορφής το τελικό ενεργειακό αποτέλεσμα δεν επηρεάζεται από τη σειρά με την οποία αναγράφονται οι μετατοπίσεις σε μία μεταβολή η διαχείριση δυνάμεων απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή στην προσήμανσή τους

15 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά εμπλέκονται όλες οι μορφές ενέργειας και ισχύος που εμφανίζονται στα δυναμικά συστήματα εφαρμόζεται σε γραμμική και μη-γραμμικά μηχανικά συστήματα, σε υδραυλικά συστήματα, σε ηλεκτρικά συστήματα και συζευγμένα συστήματα αντιστοιχία φυσικών συστημάτων...

16 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης τετράεδρα κατάστασης...

17 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης κατάστρωση της εξίσωσης κίνησης ενός σύνθετου/συζευγμένου συστήματος σύζευξη μεταξύ δύο, διαφορετικής φύσεως, υποσυστημάτων τα υποσυστήματα διαθέτουν συγκεκριμένα τεχνολογικά στοιχεία μέσω των οποίων επιτρέπεται η ανταλλαγή ενέργειας ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ Ενισχυτές Αναστροφείς

18 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Ενισχυτές σθένος ροή η ισχύς διατηρείται επίσης, ισχύει F Fυ = Fυ = P = Τ F F1υ1 = F2υ2 F1υ 1 = Τ F 1 υ2 υ2 = υ1 T άρα... σταθερά ενίσχυσης

19 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Ενισχυτές

20 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Ενισχυτές μεταφορά ηλ. ενέργειας Ν 1 Ν 2 νόμος επαγωγής Faraday λόγος περιελίξεων Ν 1 /Ν 2

21 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Αναστροφείς σθένος ροή η ισχύς διατηρείται επίσης, ισχύει F Fυ = Fυ = P = Gυ F1υ1 = F2υ2 F1υ1 Gυ1υ 1 = F G = 2 υ2 1 άρα... σταθερά αναστροφέα

22 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Αναστροφείς Κ Κ Τ

23 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά κατάστρωση της εξίσωσης κίνησης ενός σύνθετου/συζευγμένου συστήματος (π.χ. μηχανικό, ηλεκτρικό & υδραυλικό) γενικευμένη κινητική & δυναμική ενέργεια Β. Ε. θέσεις/γωνίες ηλεκτρικά φορτία όγκοι (μηχανικό) (ηλεκτρικό) (υδραυλικό)

24 Μητρωϊκή γραφή 3 εξισώσεων ισορροπίας

25 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά Νόμος Νεύτωνα εξισώσεις ισορροπίας σύστημα μεταφορικής κίνησης σύστημα περιστροφικής κίνησης σημείο 1 σημείο 2 σημείο i σημείο j σημείο n πολυβάθμιο μηχανικό σύστημα μεταφορικής κίνησης...

26 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά σχετική θέση ακροδεκτών επηρρεάζει τη φορά των αντίστοιχων δυνάμεων m i-1 m i m i m i+1

27 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά Διάγραμμα ελευθέρου σώματος i + εφαρμογή νόμου Νεύτωνα για...

28 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά... για... οι εξισώσεις κίνησης μπορούν να γραφούν για: i=1 & αρχική μετατόπιση x o =0 και i=n & αρχική μετατόπιση x n+1 =0 υποθέσεις...

29 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά όλες οι προηγούμενες εξισώσεις κίνησης μπορούν να γραφούν σε μητρωϊκή μορφή: μητρώο μάζας μητρώο απόσβεσης μητρώο δυσκαμψίας μητρώο μάζας συμμετρικό

30 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά μητρώο απόσβεσης συμμετρικό μητρώο δυσκαμψίας συμμετρικό

31 και Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά διάνυσμα μετατόπισης... διάνυσμα ταχύτητας... διάνυσμα επιτάχυνσης... διάνυσμα δύναμης...

32 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά γενική μορφή... και...

33 Ιδιοπρόβλημα 3

34 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά μηχανικό σύστημα πολλών Β. Ε. χωρίς απόσβεση... σημείο 1 σημείο 2 σημείο i σημείο j σημείο n όπου... x i η μετατόπιση της μάζας m i και F i η δύναμη που ασκείται στη μάζα m i κατά την κατεύθυνση του x i εξισώσεις κίνησης με ενεργειακή αρχή Lagrange...

35 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά εξισώσεις κίνησης με ενεργειακή αρχή Lagrange... και ❶ και... q x i υπολογισμός κινητικής & δυναμικής ενέργειας...

36 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά η δυναμική ενέργεια του i ελατηρίου: η συνολική δυναμική ενέργεια: και... η συνολική δυναμική ενέργεια σε μητρωϊκή μορφή... όπου... μητρώο δυσκαμψίας... διάνυσμα μετατόπισης...

37 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ομοίως, η κινητική ενέργεια της i μάζας: η συνολική κινητική ενέργεια: η συνολική κινητική ενέργεια σε μητρωϊκή μορφή... όπου... διάνυσμα ταχύτητας... μητρώο μάζας...

38 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά υπολογισμός χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση δ (Kronecker) εάν και εάν... και λαμβάνωντας υπόψη θεωρία πινάκων & τη συμμετρία του [m] διάνυσμα γραμμή i γραμμή του πίνακα [m] διάνυσμα στήλη

39 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά έπειτα η παράγωγος... ❷ [m] ανεξάρτητο του χρόνου... υπολογισμός Η κινητική ενέργεια είναι συνάρτηση της ταχύτητας... ❸

40 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά υπολογισμός χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση δ (Kronecker)... και λαμβάνωντας υπόψη τη συμμετρία του [k] ❹ διάνυσμα γραμμή i γραμμή του πίνακα [k]

41 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ❶ ❷ ❸ ❹ οπότε η για, και δυσχερέστερη κατάσταση (μη αποσβενόμενο σύστημα) ❺ η ΛΥΣΗ της ❺ θεωρούμε πως είναι της μορφής: ❻ όπου... σταθερά και συνάρτηση του χρόνου t

42 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ο λόγος... είναι ανεξάρτητος του χρόνου σύγχρονη κίνηση όλων των συντεταγμένων η ταλάντωση του συστήματος δεν αλλάζει μορφή κατά την κίνηση η ταλάντωση του συστήματος αλλάζει πλάτος η διαμόρφωση του πλάτους ταλάντωσης του συστήματος καθορίζεται από το διάνυσμα διάνυσμα ιδιομορφών (mode shapes)

43 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ❺ ❻ από και εναλλακτικός τρόπος γραφής ανεξάρτητος του δείκτη i ανεξάρτητος του χρόνου t...

44 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά... και οι 2 όροι ΠΡΕΠΕΙ να είναι ίσοι με μια σταθερά (έστω ω 2 για αρμονική λύση, διαφορετικά εκθετική λύση) ❼ ή σε μητρωϊκή μορφή... ❽ έτσι, η ΛΥΣΗ της ❼ είναι της μορφής: όπου... και σταθερές ❾ πλάτος φάση

45 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ΕΡΜΗΝΕΙΑ... ❽ όλες οι συντεταγμένες (σημεία) μπορούν να εκτελέσουν αρμονική ταλάντωση με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και γωνία φάσης φ η ω φέρει περιορισμούς γιατί πρέπει να ικανοποιεί την ❽ ❽ : ένα σύνολο από n γραμμικές ομογενείς εξισώσεις με αγνώστους... τετριμένη λύση... μη τετριμένη λύση...

46 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ΟΡΙΣΜΟΙ... ❽ ιδιοπρόβλημα (eigenvalue problem) ιδιοτιμή (eigenvalue) φυσική συχνότητα (natural frequency) χαρακτηριστικό πολυώνυμο (characteristic equation) ΛΥΣΗ n τιμές της ω 2 πραγματικές & θετικές εάν τα μητρώα [m] & [k] είναι συμμετρικά & θετικά ορισμένα

47 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ΒΑΣΙΚΗ ΛΥΣΗ... ❽ ορίζεται *... βασικό ιδιοπρόβλημα όπου... και... ο μοναδιαίος πίνακας δυναμικό μητρώο (dynamical matrix) για μη τετριμένη λύση ΠΡΕΠΕΙ...

48 Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός 4

49 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων ορισμοί... τα διανύσματα και είναι ορθογωνικά εάν ισχύει: τα διάνυσμα είναι κανονικό εάν ισχύει: τα διανύσματα και είναι ορθο-κανονικά εάν ισχύουν...

50 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων Ιδιοπρόβλημα... κάθε φυσική συχνότητα ω i ή ω j και τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα ικανοποιούν... & * συμμετρία [m] & [k] * ( - )...

51 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων... με ανάλογη διαδικασία... & ορθογωνικά για όμως, όταν i = j γενικευμένη μάζα & γενικευμένη στιβαρότητα για κάθε i B.E (mode)

52 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων εναλλακτική μορφή... πίνακας ιδιοανυσμάτων (modal matrix) i=1 ιδιοάνυσμα i=n ιδιοάνυσμα

53 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων κανονικοποίηση (normalization) πίνακα ιδιοανυσμάτων... ώστε να ισχύει... οπότε... ❶ και... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ... εάν το ιδιοάνυσμα ικανοποιεί την ❶ ορθοκανονικό συναρτήσει του [m]

54 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Θεώρημα διεύρυνσης (expansion theorem) τα ιδιoανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (λόγω ορθογωνικότητας) αποτελούν βάση n-διάστατου χώρου * * κάθε διάνυσμα του n-διάστατου χώρου εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός της βάσης σταθερά *... όπου γενικευμένη μάζα για κάθε i ιδιοκατάσταση (mode) κανονικοποιημένο

55 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά εξισώσεις κίνησης πολυβάθμιου συστήματος δίχως απόσβεση υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων ❷ επίλυση ιδιοπροβλήματος υπολογισμός φυσικών συχνοτήτων... υπολογισμός ιδιοανυσμάτων...

56 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά διανυσματική λύση της ❷ βάσει θεωρήματος διεύρυνσης... όπου... και ως γραμμικός συνδυασμός ιδοανυσμάτων (normal modes) οι γενικευμένοι βαθμοί ελευθερίας (principal coordinates ή modal participation coefficients ) ο ιδιοανυσματικός πίνακας αποτελούμενος από διανύσματα ιδιομορφών (modal matrix)... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ο ιδιοανυσματικός πίνακας [Χ] συμβολίζεται και... [Φ] ❸

57 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά [Χ] ανεξάρτητος του χρόνου, οπότε... και... ❸ ❹ ❷ * κανονικοποίηση βάσει ❺ ορίζεται... ❺ το διάνυσμα γενικευμένων δυνάμεων διέγερσης

58 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά δηλ. ένα σύνολο n Δ.Ε. 2 ης τάξης... εξίσωση κίνησης συστήματος 1 Β.Ε. δίχως απόσβεση γενική λύση αρχικές γενικευμένες μεταβλητές

59 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά... όπου οι αρχικές γενικευμένες μετατοπίσεις & ταχύτητες υπολογίζονται από: όπου... και φυσικά μεγέθη εφόσον, υπολογισθούν οι γενικευμένες μετατοπίσεις οι φυσικές μετατοπίσεις υπολογίζονται από ❸

60 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά... φυσική ερμηνεία m k 1

61 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i... έστω σύστημα 2 Β.Ε. δίχως απόσβεση... ο ιδιοανυσματικός πίνακας [Χ] συμβολίζεται και... [Φ] απόκριση βάσει ιδιοανυσματικού μετασχηματισμού... 2 x1( t) Φ11 Φ12 q1( t) x( t) = Φ iqi( t) =Φ 1q1( t) +Φ2q2( t) = i= 1 x2( t ) Φ 21 Φ 22 q2( t) Φ Φ x 1 2 Φ q λύση του γραμμικού συστήματος... q ( ) Φ ( ) x ( t) x ( t) = = q1 = Φ11 Φ12 Φ11Φ22 Φ12Φ21 det ( Φ) ( ) ( ) x t x t [ Φ Φ ] x t Φ Φ Φ x t Φ Φ... και

62 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i και... q ( ) ( ) x ( t) x ( t) = = q2 = Φ11 Φ12 Φ11Φ22 Φ12Φ21 det ( Φ) ( ) ( ) Φ x t x t [ Φ Φ ] Φ x t Φ Φ x t Φ Φ άρα οι γενικευμένες μετατοπίσεις είναι... ισχύει (γραμμική άλγεβρα) για τον αντίστροφο... ( A ) όπου για n=2 ισχύει... A adj ( A) Φ22 Φ12 q1( t ) Φ21 Φ11 x1( t) = q ( t) det ( ) Φ x ( t) 2 2 n n a b d b = c d = c a adj A ( n n) ( A ) 1 = det n n αλγεβρικό συμπλήρωμα ορίζουσα

63 M 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i... Φ22 Φ12 Φ Φ q ( t) x ( t) q ( t ) det ( Φ) x ( t) adj( Φ) = =Φ 2 2 Φ 1 ( ) q t ιδιοανυσματικός πίνακας x ❻ απόκριση

64 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i από τις ιδιότητες ορθογωνιότητας των ιδιοανυσμάτων ως προς το μητρώο μάζας για κάθε i Β.Ε. m =Φ M Φ T T ii i i m 0 [ ] 11 T T T gen 0 m 22 T Φ Φ M gen όμως... σύστημα 2 Β.Ε. * Φ = Φ Φ M Φ Φ M =Φ M Φ 1 1 Φ11 Φ12 Φ11 Φ12.5 Φ 11 Φ12 Φ.6 Φ21 Φ 22 Φ21 Φ 22 Φ21 Φ22 det Φ ( A ) adj ( ) ( ) 1 M gen ( A ) Φ Φ = Φ = Φ M ΦΦ 1 T Φ Φ Φ Φ 1 Φ Φ Φ Φ Φ Φ + Φ Φ ΦΦ = = det ( Φ ) det Φ Φ Φ Φ ( Φ) Φ21Φ22 Φ22Φ21 Φ21Φ 12 + Φ22Φ11 ( ) ( ) ( ) 1 det Φ 0 det Φ 1 0 det ( Φ) 0 det ( Φ) det Φ ΦΦ = = ΦΦ = I 2 0 I 2

65 Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i 1 T 1 1 T MgenΦ =Φ M ΦΦ MgenΦ =Φ M ❻ 1 T MgenΦ xt ( ) =Φ Mxt ( ) T ( ) ( ) I 2 * ( ) xt Mgen xt Mxt M qt Mxt 1 ( ) T ( ) ( ) T Φ =Φ ( ) gen =Φ q m 0 q ( t) Φ Φ =Φ = ( ) ( t) Φ Φ Φ1 Φ Mgenq t Mx t Mx t 0 m 22 q [ Φ Φ ] T m11 0 q1( t ) T Φ m ( ) q1 t Φ 1 = Mx( t) Mx( t) T 0 m 22 q2( t ) [ ] 0 m = Φ Φ 22 q2( t) Φ2 T Φ2 T

66 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i ( ) ( ) ( ) ( ) T ( ) ( ) T ( ) ( ) T m11q1 t Φ 1 Mx t m11q1 t =Φ1 Mx t T = mq T ii i ( t) =Φi Mx( t) m22q2 t Φ 2 Mx t m22q2 t =Φ2 Mx t 1 T qi( t) = Φ i Mxt ( ), i= 1, 2 mii... ισχύει για ένα οποιοδήποτε δυναμικό σύστημα n Β.Ε.

67 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά εξισώσεις κίνησης πολυβάθμιου συστήματος με απόσβεση υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων και έστω... (Rayleigh)... σταθερές... και *

68 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά... κανονικοποίηση δηλ. ένα σύνολο n Δ.Ε. 2 ης τάξης όπου... και...

69 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά εξίσωση κίνησης συστήματος 1 Β.Ε. με απόσβεση γενική λύση... όπου...

70 ΑΝΑΦΟΡΕΣ - ΒΙΒΛΙΑ MULTIPLE DEGREE-OF-FREEDOM EXAMPLE

71 Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών Δρ. Αντωνιάδης Ι..... Δρ. Γιακόπουλος Χ....