ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ
|
|
- Φίλιππος Θεοτόκης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ έκδοση DΥΝI-MDOFS_2016b
2 Copyright Ε.Μ.Π Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ002 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Πληροφορίες Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr,
3 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων ισορροπίας 4. Ιδιοπρόβλημα 5. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός
4 Εισαγωγή 1
5 1. Εισαγωγή μηχανικά συστήματα συνεχή σώματα με άπειρο πλήθος Β. Ε. ΔΥΣΚΟΛΗ η ανάλυση ταλαντώσεων με μερικές Δ.Ε. μηχανικά συστήματα... νόμος Νεύτωνα ενεργειακή αρχή Lagrange... συστήματα πολλών Β. Ε.
6 1. Εισαγωγή εντοπισμός n ιδιοσυχνοτήτων και ιδιοναυσμάτων αύξηση ιδιοσυχνοτήτων ορθογωνικές ιδιότητες ιδιοανυσμάτων σύνθετες εξισώσεις & δύσκολη επίλυση απλοποίηση επίλυσης
7 1. Εισαγωγή εντοπισμός ιδιοσυχνοτήτων & ιδιοναυσμάτων Μέθοδος Dunkerley Μέθοδος Rayleigh Μέθοδος Holzer Μέθοδος Jacobi Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός Μέθοδος συνάρτησης μεταφοράς Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Fourier
8 Ενεργειακή αρχή Lagrange 2
9 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά Νόμος Νεύτωνα εξισώσεις ισορροπίας και όπου η κινητική ενέργεια και η δυναμική ενέργεια επομένως όπου ενεργειακή μεταβλητή Lagrange
10 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά απλό μονοβάθμιο δυναμικό σύστημα x(t) m F(t) ενεργειακή αρχή Lagrange k c κινητική ενέργεια δυναμική ενέργεια 1 T = mx U= kx 2 ενέργεια που διαχέεται στον αποσβεστήρα 2 PC 1 = cx 2 2 ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα από την εξωτερική δύναμη Pt = Fx ενεργειακή μεταβλητή Lagrange L= T U
11 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά μαθηματική έκφραση της Ενεργειακής Αρχής Lagrange Παρατηρήσεις... q είναι ανεξάρτητη κινηματική μεταβλητή (βαθμός ελευθερίας) του συστήματος
12 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά αρχή Lagrange Παρατηρήσεις... νόμος Newton ΙΔΙΕΣ εξισώσεις ισορροπίας το δυναμικό σύστημα εμπλέκει πολλούς Β. Ε. απλούστερος τρόπος εφαρμογής εφαρμογή των εξισώσεων ισορροπίας δυνάμεων δύσκολη ή αδύνατη
13 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά Παρατηρήσεις... αρχή Lagrange ενεργειακές ποσότητες νόμος Newton δυνάμεις μόνο ενεργειακές ποσότητες (βαθμωτά μεγέθη) οι δυνάμεις διανυσματικά μεγέθη η συνολική ενέργεια του συστήματος είναι απλή πρόσθεση αυτών σύνθετες (?) διανυσματικές μεταξύ τους πράξεις (π.χ. εύκαμπτος ρομποτικός βραχίονας)
14 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά Παρατηρήσεις... ενεργειακές ποσότητες δυνάμεις σχετίζονται με μαθηματικές εκφράσεις τετραγωνικής μορφής το τελικό ενεργειακό αποτέλεσμα δεν επηρεάζεται από τη σειρά με την οποία αναγράφονται οι μετατοπίσεις σε μία μεταβολή η διαχείριση δυνάμεων απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή στην προσήμανσή τους
15 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά εμπλέκονται όλες οι μορφές ενέργειας και ισχύος που εμφανίζονται στα δυναμικά συστήματα εφαρμόζεται σε γραμμική και μη-γραμμικά μηχανικά συστήματα, σε υδραυλικά συστήματα, σε ηλεκτρικά συστήματα και συζευγμένα συστήματα αντιστοιχία φυσικών συστημάτων...
16 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης τετράεδρα κατάστασης...
17 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης κατάστρωση της εξίσωσης κίνησης ενός σύνθετου/συζευγμένου συστήματος σύζευξη μεταξύ δύο, διαφορετικής φύσεως, υποσυστημάτων τα υποσυστήματα διαθέτουν συγκεκριμένα τεχνολογικά στοιχεία μέσω των οποίων επιτρέπεται η ανταλλαγή ενέργειας ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΕΣ Ενισχυτές Αναστροφείς
18 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Ενισχυτές σθένος ροή η ισχύς διατηρείται επίσης, ισχύει F Fυ = Fυ = P = Τ F F1υ1 = F2υ2 F1υ 1 = Τ F 1 υ2 υ2 = υ1 T άρα... σταθερά ενίσχυσης
19 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Ενισχυτές
20 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Ενισχυτές μεταφορά ηλ. ενέργειας Ν 1 Ν 2 νόμος επαγωγής Faraday λόγος περιελίξεων Ν 1 /Ν 2
21 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Αναστροφείς σθένος ροή η ισχύς διατηρείται επίσης, ισχύει F Fυ = Fυ = P = Gυ F1υ1 = F2υ2 F1υ1 Gυ1υ 1 = F G = 2 υ2 1 άρα... σταθερά αναστροφέα
22 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : τετράεδρο κατάστασης Αναστροφείς Κ Κ Τ
23 2. Ενεργειακή αρχή Lagrange : Βασικά κατάστρωση της εξίσωσης κίνησης ενός σύνθετου/συζευγμένου συστήματος (π.χ. μηχανικό, ηλεκτρικό & υδραυλικό) γενικευμένη κινητική & δυναμική ενέργεια Β. Ε. θέσεις/γωνίες ηλεκτρικά φορτία όγκοι (μηχανικό) (ηλεκτρικό) (υδραυλικό)
24 Μητρωϊκή γραφή 3 εξισώσεων ισορροπίας
25 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά Νόμος Νεύτωνα εξισώσεις ισορροπίας σύστημα μεταφορικής κίνησης σύστημα περιστροφικής κίνησης σημείο 1 σημείο 2 σημείο i σημείο j σημείο n πολυβάθμιο μηχανικό σύστημα μεταφορικής κίνησης...
26 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά σχετική θέση ακροδεκτών επηρρεάζει τη φορά των αντίστοιχων δυνάμεων m i-1 m i m i m i+1
27 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά Διάγραμμα ελευθέρου σώματος i + εφαρμογή νόμου Νεύτωνα για...
28 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά... για... οι εξισώσεις κίνησης μπορούν να γραφούν για: i=1 & αρχική μετατόπιση x o =0 και i=n & αρχική μετατόπιση x n+1 =0 υποθέσεις...
29 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά όλες οι προηγούμενες εξισώσεις κίνησης μπορούν να γραφούν σε μητρωϊκή μορφή: μητρώο μάζας μητρώο απόσβεσης μητρώο δυσκαμψίας μητρώο μάζας συμμετρικό
30 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά μητρώο απόσβεσης συμμετρικό μητρώο δυσκαμψίας συμμετρικό
31 και Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά διάνυσμα μετατόπισης... διάνυσμα ταχύτητας... διάνυσμα επιτάχυνσης... διάνυσμα δύναμης...
32 3. Μητρωϊκή γραφή εξισώσεων κίνησης: Βασικά γενική μορφή... και...
33 Ιδιοπρόβλημα 3
34 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά μηχανικό σύστημα πολλών Β. Ε. χωρίς απόσβεση... σημείο 1 σημείο 2 σημείο i σημείο j σημείο n όπου... x i η μετατόπιση της μάζας m i και F i η δύναμη που ασκείται στη μάζα m i κατά την κατεύθυνση του x i εξισώσεις κίνησης με ενεργειακή αρχή Lagrange...
35 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά εξισώσεις κίνησης με ενεργειακή αρχή Lagrange... και ❶ και... q x i υπολογισμός κινητικής & δυναμικής ενέργειας...
36 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά η δυναμική ενέργεια του i ελατηρίου: η συνολική δυναμική ενέργεια: και... η συνολική δυναμική ενέργεια σε μητρωϊκή μορφή... όπου... μητρώο δυσκαμψίας... διάνυσμα μετατόπισης...
37 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ομοίως, η κινητική ενέργεια της i μάζας: η συνολική κινητική ενέργεια: η συνολική κινητική ενέργεια σε μητρωϊκή μορφή... όπου... διάνυσμα ταχύτητας... μητρώο μάζας...
38 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά υπολογισμός χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση δ (Kronecker) εάν και εάν... και λαμβάνωντας υπόψη θεωρία πινάκων & τη συμμετρία του [m] διάνυσμα γραμμή i γραμμή του πίνακα [m] διάνυσμα στήλη
39 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά έπειτα η παράγωγος... ❷ [m] ανεξάρτητο του χρόνου... υπολογισμός Η κινητική ενέργεια είναι συνάρτηση της ταχύτητας... ❸
40 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά υπολογισμός χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση δ (Kronecker)... και λαμβάνωντας υπόψη τη συμμετρία του [k] ❹ διάνυσμα γραμμή i γραμμή του πίνακα [k]
41 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ❶ ❷ ❸ ❹ οπότε η για, και δυσχερέστερη κατάσταση (μη αποσβενόμενο σύστημα) ❺ η ΛΥΣΗ της ❺ θεωρούμε πως είναι της μορφής: ❻ όπου... σταθερά και συνάρτηση του χρόνου t
42 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ο λόγος... είναι ανεξάρτητος του χρόνου σύγχρονη κίνηση όλων των συντεταγμένων η ταλάντωση του συστήματος δεν αλλάζει μορφή κατά την κίνηση η ταλάντωση του συστήματος αλλάζει πλάτος η διαμόρφωση του πλάτους ταλάντωσης του συστήματος καθορίζεται από το διάνυσμα διάνυσμα ιδιομορφών (mode shapes)
43 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ❺ ❻ από και εναλλακτικός τρόπος γραφής ανεξάρτητος του δείκτη i ανεξάρτητος του χρόνου t...
44 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά... και οι 2 όροι ΠΡΕΠΕΙ να είναι ίσοι με μια σταθερά (έστω ω 2 για αρμονική λύση, διαφορετικά εκθετική λύση) ❼ ή σε μητρωϊκή μορφή... ❽ έτσι, η ΛΥΣΗ της ❼ είναι της μορφής: όπου... και σταθερές ❾ πλάτος φάση
45 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ΕΡΜΗΝΕΙΑ... ❽ όλες οι συντεταγμένες (σημεία) μπορούν να εκτελέσουν αρμονική ταλάντωση με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω και γωνία φάσης φ η ω φέρει περιορισμούς γιατί πρέπει να ικανοποιεί την ❽ ❽ : ένα σύνολο από n γραμμικές ομογενείς εξισώσεις με αγνώστους... τετριμένη λύση... μη τετριμένη λύση...
46 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ΟΡΙΣΜΟΙ... ❽ ιδιοπρόβλημα (eigenvalue problem) ιδιοτιμή (eigenvalue) φυσική συχνότητα (natural frequency) χαρακτηριστικό πολυώνυμο (characteristic equation) ΛΥΣΗ n τιμές της ω 2 πραγματικές & θετικές εάν τα μητρώα [m] & [k] είναι συμμετρικά & θετικά ορισμένα
47 3. Ιδιοπρόβλημα: Βασικά ΒΑΣΙΚΗ ΛΥΣΗ... ❽ ορίζεται *... βασικό ιδιοπρόβλημα όπου... και... ο μοναδιαίος πίνακας δυναμικό μητρώο (dynamical matrix) για μη τετριμένη λύση ΠΡΕΠΕΙ...
48 Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός 4
49 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων ορισμοί... τα διανύσματα και είναι ορθογωνικά εάν ισχύει: τα διάνυσμα είναι κανονικό εάν ισχύει: τα διανύσματα και είναι ορθο-κανονικά εάν ισχύουν...
50 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων Ιδιοπρόβλημα... κάθε φυσική συχνότητα ω i ή ω j και τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα ικανοποιούν... & * συμμετρία [m] & [k] * ( - )...
51 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων... με ανάλογη διαδικασία... & ορθογωνικά για όμως, όταν i = j γενικευμένη μάζα & γενικευμένη στιβαρότητα για κάθε i B.E (mode)
52 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων εναλλακτική μορφή... πίνακας ιδιοανυσμάτων (modal matrix) i=1 ιδιοάνυσμα i=n ιδιοάνυσμα
53 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Ιδιότητες ορθοκανονικότητας ιδιοανυσμάτων κανονικοποίηση (normalization) πίνακα ιδιοανυσμάτων... ώστε να ισχύει... οπότε... ❶ και... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ... εάν το ιδιοάνυσμα ικανοποιεί την ❶ ορθοκανονικό συναρτήσει του [m]
54 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Θεώρημα διεύρυνσης (expansion theorem) τα ιδιoανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (λόγω ορθογωνικότητας) αποτελούν βάση n-διάστατου χώρου * * κάθε διάνυσμα του n-διάστατου χώρου εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός της βάσης σταθερά *... όπου γενικευμένη μάζα για κάθε i ιδιοκατάσταση (mode) κανονικοποιημένο
55 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά εξισώσεις κίνησης πολυβάθμιου συστήματος δίχως απόσβεση υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων ❷ επίλυση ιδιοπροβλήματος υπολογισμός φυσικών συχνοτήτων... υπολογισμός ιδιοανυσμάτων...
56 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά διανυσματική λύση της ❷ βάσει θεωρήματος διεύρυνσης... όπου... και ως γραμμικός συνδυασμός ιδοανυσμάτων (normal modes) οι γενικευμένοι βαθμοί ελευθερίας (principal coordinates ή modal participation coefficients ) ο ιδιοανυσματικός πίνακας αποτελούμενος από διανύσματα ιδιομορφών (modal matrix)... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ο ιδιοανυσματικός πίνακας [Χ] συμβολίζεται και... [Φ] ❸
57 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά [Χ] ανεξάρτητος του χρόνου, οπότε... και... ❸ ❹ ❷ * κανονικοποίηση βάσει ❺ ορίζεται... ❺ το διάνυσμα γενικευμένων δυνάμεων διέγερσης
58 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά δηλ. ένα σύνολο n Δ.Ε. 2 ης τάξης... εξίσωση κίνησης συστήματος 1 Β.Ε. δίχως απόσβεση γενική λύση αρχικές γενικευμένες μεταβλητές
59 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά... όπου οι αρχικές γενικευμένες μετατοπίσεις & ταχύτητες υπολογίζονται από: όπου... και φυσικά μεγέθη εφόσον, υπολογισθούν οι γενικευμένες μετατοπίσεις οι φυσικές μετατοπίσεις υπολογίζονται από ❸
60 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά... φυσική ερμηνεία m k 1
61 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i... έστω σύστημα 2 Β.Ε. δίχως απόσβεση... ο ιδιοανυσματικός πίνακας [Χ] συμβολίζεται και... [Φ] απόκριση βάσει ιδιοανυσματικού μετασχηματισμού... 2 x1( t) Φ11 Φ12 q1( t) x( t) = Φ iqi( t) =Φ 1q1( t) +Φ2q2( t) = i= 1 x2( t ) Φ 21 Φ 22 q2( t) Φ Φ x 1 2 Φ q λύση του γραμμικού συστήματος... q ( ) Φ ( ) x ( t) x ( t) = = q1 = Φ11 Φ12 Φ11Φ22 Φ12Φ21 det ( Φ) ( ) ( ) x t x t [ Φ Φ ] x t Φ Φ Φ x t Φ Φ... και
62 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i και... q ( ) ( ) x ( t) x ( t) = = q2 = Φ11 Φ12 Φ11Φ22 Φ12Φ21 det ( Φ) ( ) ( ) Φ x t x t [ Φ Φ ] Φ x t Φ Φ x t Φ Φ άρα οι γενικευμένες μετατοπίσεις είναι... ισχύει (γραμμική άλγεβρα) για τον αντίστροφο... ( A ) όπου για n=2 ισχύει... A adj ( A) Φ22 Φ12 q1( t ) Φ21 Φ11 x1( t) = q ( t) det ( ) Φ x ( t) 2 2 n n a b d b = c d = c a adj A ( n n) ( A ) 1 = det n n αλγεβρικό συμπλήρωμα ορίζουσα
63 M 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i... Φ22 Φ12 Φ Φ q ( t) x ( t) q ( t ) det ( Φ) x ( t) adj( Φ) = =Φ 2 2 Φ 1 ( ) q t ιδιοανυσματικός πίνακας x ❻ απόκριση
64 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i από τις ιδιότητες ορθογωνιότητας των ιδιοανυσμάτων ως προς το μητρώο μάζας για κάθε i Β.Ε. m =Φ M Φ T T ii i i m 0 [ ] 11 T T T gen 0 m 22 T Φ Φ M gen όμως... σύστημα 2 Β.Ε. * Φ = Φ Φ M Φ Φ M =Φ M Φ 1 1 Φ11 Φ12 Φ11 Φ12.5 Φ 11 Φ12 Φ.6 Φ21 Φ 22 Φ21 Φ 22 Φ21 Φ22 det Φ ( A ) adj ( ) ( ) 1 M gen ( A ) Φ Φ = Φ = Φ M ΦΦ 1 T Φ Φ Φ Φ 1 Φ Φ Φ Φ Φ Φ + Φ Φ ΦΦ = = det ( Φ ) det Φ Φ Φ Φ ( Φ) Φ21Φ22 Φ22Φ21 Φ21Φ 12 + Φ22Φ11 ( ) ( ) ( ) 1 det Φ 0 det Φ 1 0 det ( Φ) 0 det ( Φ) det Φ ΦΦ = = ΦΦ = I 2 0 I 2
65 Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i 1 T 1 1 T MgenΦ =Φ M ΦΦ MgenΦ =Φ M ❻ 1 T MgenΦ xt ( ) =Φ Mxt ( ) T ( ) ( ) I 2 * ( ) xt Mgen xt Mxt M qt Mxt 1 ( ) T ( ) ( ) T Φ =Φ ( ) gen =Φ q m 0 q ( t) Φ Φ =Φ = ( ) ( t) Φ Φ Φ1 Φ Mgenq t Mx t Mx t 0 m 22 q [ Φ Φ ] T m11 0 q1( t ) T Φ m ( ) q1 t Φ 1 = Mx( t) Mx( t) T 0 m 22 q2( t ) [ ] 0 m = Φ Φ 22 q2( t) Φ2 T Φ2 T
66 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Εναλλακτικός υπολογισμός q i ( ) ( ) ( ) ( ) T ( ) ( ) T ( ) ( ) T m11q1 t Φ 1 Mx t m11q1 t =Φ1 Mx t T = mq T ii i ( t) =Φi Mx( t) m22q2 t Φ 2 Mx t m22q2 t =Φ2 Mx t 1 T qi( t) = Φ i Mxt ( ), i= 1, 2 mii... ισχύει για ένα οποιοδήποτε δυναμικό σύστημα n Β.Ε.
67 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά εξισώσεις κίνησης πολυβάθμιου συστήματος με απόσβεση υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων και έστω... (Rayleigh)... σταθερές... και *
68 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά... κανονικοποίηση δηλ. ένα σύνολο n Δ.Ε. 2 ης τάξης όπου... και...
69 4. Ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός: Βασικά εξίσωση κίνησης συστήματος 1 Β.Ε. με απόσβεση γενική λύση... όπου...
70 ΑΝΑΦΟΡΕΣ - ΒΙΒΛΙΑ MULTIPLE DEGREE-OF-FREEDOM EXAMPLE
71 Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών Δρ. Αντωνιάδης Ι..... Δρ. Γιακόπουλος Χ....
ΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 19 έκδοση DΥΝI-EXC19-2017a Copyright Ε.Μ.Π. - 2017 Σχολή
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 7 έκδοση DΥΝI-EXC07-06b Copyright Ε.Μ.Π. - 06 Σχολή
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 8. έκδοση DΥΝI-EXC b
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 8 έκδοση DΥΝI-EXC08-016b Copyright Ε.Μ.Π. - 016 Σχολή
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Cprigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 0. Με επιφύλαξη παντός
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE έκδοση DΥΝI-TFLT_016b
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 22 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης
Δυναμική Μηχανών I 9 1 Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Ύλη Δυναμικής Μηχανών
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 13. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 13 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Iδιότητες Ιδιοανυσμάτων Συστήματα χωρίς απόσβεση Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Συστήματα χωρίς απόσβεση
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι
Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 1.1- Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 015.
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 7.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 7. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 opyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΣΒΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ έκδοση DΥΝI-VIS_2017a
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - Β. - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 06. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ έκδοση DΥΝI-INTDYN_2016b Copyright
Διαβάστε περισσότεραΠολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)
Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια) Ελεύθερη Ταλάντωση Xωρίς Απόσβεση Πολυβάθμια Συστήματα: Δ0- Για ένα πολυβάθμιο σύστημα που ταλαντώνεται ελεύθερα χωρίς απόσβεση, λόγω μόνο επιβαλλόμενων αρχικών μετατοπίσεων
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 12. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 12 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Απόκριση Συστημάτων N Β.Ε. Σε αρχικές συνθήκες Συστήματα χωρίς απόσβεση Εισαγωγή στην ιδιοανυσματική ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 8.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 8. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Copyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - opyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος.
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Ιδιοανυσματική Ανάλυση
Δυναμική Μηχανών I 6 3 Ιδιοανυσματική Ανάλυση 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Ιδιοανυσματική
Διαβάστε περισσότεραΠολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)
Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια) Ορθογωνικότητα Ιδιομορφών Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-2 Μία από τις σπουδαιότερες ιδιότητες των ιδιομορφών είναι η ορθογωνικότητα τους ως προς τα μητρώα μάζας [m] και ακαμψίας
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 19.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55
ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.. Εισαγωγή Αναφέρθηκε ήδη στο ο κεφάλαιο ότι η αναπαράσταση της ταλαντωτικής
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73
ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ -A.1 - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 Copyright ΕΜΠ
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά
Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές
Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών 6 1 σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 11: ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα : ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά
Διαβάστε περισσότεραΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93
ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 14. έκδοση DΥΝI-EXC b
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 14 έκδοση DΥΝI-EXC14-016b Copyright Ε.Μ.Π. - 016 Σχολή
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 15.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 15.1 - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 010.
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές
Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Ιδιομορφές
Δυναμική Μηχανών I 6 2 Ιδιομορφές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Ιδιομορφές σε Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 7 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Επανάληψη 1 ου μέρους μαθήματος: Μοντελοποίηση & Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Εισαγωγή 2 ου μέρους μαθήματος:
Διαβάστε περισσότερα7. Δυναμική Ανάλυση ΠΒΣ
ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 7. Δυναμική Ανάλυση ΠΒΣ Χειμερινό εξάμηνο 2016 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1 Θέματα Εισαγωγή στα πολυβάθμια συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 11. έκδοση ΕΧ b
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 11 έκδοση ΕΧ11-2015b Copyright Ε.Μ.Π. - 2015 Σχολή Μηχανολόγων
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 10: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (-ΒΕ) Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 6. έκδοση ΕΧ b
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 6 έκδοση ΕΧ06-2015b Coyright Ε.Μ.Π. - 2015 Σχολή Μηχανολόγων
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 9. έκδοση ΕΧ b
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 9 έκδοση ΕΧ9-215b Copyright Ε.Μ.Π. - 215 Σχολή Μηχανολόγων
Διαβάστε περισσότεραΣυζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα
ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. q Οι δυο ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι ίδιες με τις ιδιοσυχνότητες
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου
Δυναμική Μηχανών I 8 1 Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες
Διαβάστε περισσότεραΓενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 2. έκδοση ΕΧ b
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 2 έκδοση ΕΧ02-2015b Copyright Ε.Μ.Π. - 2015 Σχολή Μηχανολόγων
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 1. έκδοση ΕΧ b
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 1 έκδοση ΕΧ01-2015b Copyright Ε.Μ.Π. - 2015 Σχολή Μηχανολόγων
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 4. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Ν Βαθμών Ελευθερίας Μηχανικά δυναμικά συστήματα πολλών Β.Ε. Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ FOURIER
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ FOURIER έκδοση DΥΝI-FAN_2016b
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 7.1 - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 Copyright ΕΜΠ
Διαβάστε περισσότεραΜηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 21.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη
Διαβάστε περισσότεραβ. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι : Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = π rad) Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν π) Α = [Α 1 ² + Α 2
1) Ένα κινητό εκτελεί συγχρόνως δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την θέση ισορροπίας με εξισώσεις : x 1 = 3 ημ [(2 π) t] και x 2 = 4 ημ [(2 π) t + φ], (S.I.).
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 5. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 5 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών- Ηλεκτρικών-Υδραυλικών-Θερμικών Συστημάτων Επανάληψη: Εξισώσεις Lagrange σε συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 2 Χειμερινό Εξάμηνο 213 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/214, 12. Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας Απαγορεύεται η παρουσία & χρήση κινητού!
Διαβάστε περισσότεραυναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : 2010-2011 Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 13.
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 3. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 opyrigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων
ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ
ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΖΑΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ-ΑΠΟΣΒΕΣΤΗΡΑ Μ. Σφακιωτάκης mfak@taff.teicrete.gr Χειµερινό Οκτώβριος εξάµηνο 2010-11 2017 Σύστηµα Μάζας-Ελατηρίου-Αποσβεστήρα
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική
Δυναμική Μηχανών I 2 2 Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 3. έκδοση ΕΧ b
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 3 έκδοση ΕΧ03-2015b Copyright Ε.Μ.Π. - 2015 Σχολή Μηχανολόγων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων
Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής 5 1 Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή
Διαβάστε περισσότεραΣΥΜΜΕΤΟΧΗ Ι ΙΟΜΟΡΦΩΝ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ Ι ΙΟΜΟΡΦΩΝ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ υναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων Μετακινήσεις στη μέθοδο επαλληλίας των ιδιομορφών,
Διαβάστε περισσότεραΔυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος
Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Κ. Κυριακόπουλος Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η Δυναµική Περιβάλλον u Ροµποτική Δυναµική q,!q Ροµποτική Κινηµατική Θέση, Προσανατολισµός και αλληλεπίδραση Η δυναµική ασχολείται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 10//10/01 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας 1 Kg βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης 45º. Μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΣφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ έκδοση DΥΝI-FVDOFS-06b
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 17 Μαρτίου 2017 1 Βασικά μεγέθη Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών Κατασκευαστικός Τομέας ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ Αργύρης Δέντσορας, Καθηγητής ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ (1/2) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Οι βασικές έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ.. Οι βασικές έννοιες Η ταλαντωτική κίνηση είναι κίνηση που επαναλαμβάνεται στον χρόνο. Οι ταλαντώσεις ενός η περισσοτέρων μερών μιας μηχανής η ενός μηχανισμού
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση
Δυναμική Μηχανών I 3 2 Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 1. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Εισαγωγή στην Δυναμική Μηχανών Φιλοσοφία του μαθήματος Περίληψη του μαθήματος Αντικείμενο Εφαρμογές Δυναμικής
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι. Όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος θα αναρτάται στην ιστοσελίδα: http://courseware.mech.ntua.gr/ml23065/
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Δρ. Ιωάννης Αντωνιάδης, Αν.Καθηγητής Τομέας Μηχανολογικών Κατασκευών και Αυτομάτου Ελέγχου Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών Διευθυντής Γραφείο: Κτήριο (Ε), 3 ος όροφος,
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς
Δυναμική Μηχανών I 7 2 Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Αναπαραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότεραΠολυβάθμια Συστήματα ( ) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση
Πολυβάθμια Συστήματα ( ) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Πολυβάθμια Συστήματα: Απόκριση σε Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Δ23-2 Η εξίσωση κίνησης ενός πολυβάθμιου συστήματος υπό τη δράση εξωτερικού φορτίου {p(t)} είναι
Διαβάστε περισσότεραΜικρές ταλαντώσεις Συζευγμένες ταλαντώσεις
Μικρές ταλαντώσεις Συζευγμένες ταλαντώσεις q Ταλαντώσεις εμφανίζονται παντού Ø Μικρές ταλαντώσεις γύρω από θέση ισορροπίας Ø Εμφανίζονται σε πολλά προβλήματα κβαντοµηχανικής Ø Έχουμε ήδη συναντήσει σε
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων
Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Προσέγγιση Galerkin
Δυναμική Μηχανών I 8 2 Προσέγγιση Galerkin Χειμερινό Εξάμηνο 214 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, ΕΜΠ Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D. 215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΧΩΡΙΚΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 14: Στατική μη-γραμμική Ανάλυση (Pushover Analysis) Πολυωρόφων
Κεφάλαιο : Στατική μη-γραμμική Ανάλυση (Pshover Analyss) Πολυωρόφων Επίπεδων Πλαισίων Μαθηματική Διατύπωση Ως προοίμιο για τη μαθηματική διατύπωση της στατικής μη-γραμμικής (υπερωθητικής) ανάλυσης (pshover
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότεραΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 8. - opyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 202. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. ll rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΦΥΣΙΚΗ, Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ*
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΦΥΣΙΚΗ, Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ* διατυπώνουν τον ορισμό του μαγνητικού πεδίου διατυπώνουν και να εφαρμόζουν τον ορισμό της έντασης του μαγνητικού πεδίου διατυπώνουν
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών και Υδραυλικών Συστημάτων
Δυναμική Μηχανών I Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών και Υδραυλικών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D. Περιεχόμενα Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών Συστημάτων Μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την
Διαβάστε περισσότεραE = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,
Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,
Διαβάστε περισσότεραΘέση και Προσανατολισμός
Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 004 Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μανόλης Παπαδρακάκης Καθηγητής ΕΜΠ Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών 008-009 Μητρωικές Μέθοδοι Μετατοπίσεων και Δυνάμεων Ανάλυσης Κατασκευών
Διαβάστε περισσότεραΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών Κατασκευαστικός Τομέας ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Αργύρης Δέντσορας, Αναπληρωτής Καθηγητής ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εισαγωγή Σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΠαραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί
Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα
Διαβάστε περισσότεραΠολυβάθμια Συστήματα
Πολυβάθμια Συστήματα Εισαγωγή Πολυβάθμια Συστήματα: Δ19-2 Η βασική προϋπόθεση για την προσομοίωση μίας κατασκευής ως μονοβάθμιο ταλαντωτή είναι πως η μάζα, ο μηχανισμός απόσβεσης και η ακαμψία μπορούν
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογή της γενικής λύσης
Εφαρμογή της γενικής λύσης Να βρεθούν οι χαρακτηριστικές συχνότητες του συστήματος ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 1 x 1 x m 1 m k 1 k 1 k 3 Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: U = 1 kx 1 + 1 k 1 ( x x 1 ) + 1 kx
Διαβάστε περισσότερα1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι
Διαβάστε περισσότερα= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις
1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 19.1 - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 1. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότερα