Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ"

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος του β (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: α > β ) όταν η διαφορά α-β είναι θετικός αριθμός δηλαδή: α > β όταν α β > 0 Αντίστοιχα εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μικρότερος του β (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: α < β ) ό- ταν η διαφορά α-β είναι αρνητικός αριθμός δηλαδή: α < β όταν α β < 0 Αντίστοιχα εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι ίσος με τον β (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: α = β ) όταν η διαφορά α-β είναι ίση με το μηδέν δηλαδή: α = β όταν α β = 0 ΑΜΕΣΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΣΜΩΝ Από τους παραπάνω ορισμούς προκύπτει ότι για να συγκρίνουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β,βρίσκουμε το πρόσημο της διαφοράς α β οπότε: αν α β > αν α β < αν α β 0, τοτε 0, τοτε α = 0, τοτε α α > β < β Β. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ Έστω α, β,γ πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Αν στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή: = β Αν α > β, τοτε α ± γ > β ± γ

2 30 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες της ί- διας φοράς τότε προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δηλαδή: α > β Αν τοτε α + γ > β + δ γ > δ Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με έναν θετικό αριθμό, η φορά της ανισότητας που προκύπτει δεν αλλάζει. Δηλαδή: α > β Αν τοτε α.γ > β.γ η α : γ > β : γ γ > 0 Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με α- ντίθετη φορά. Δηλαδή: α > β Αν τοτε α.γ < β.γ η α : γ < β : γ γ < 0 Από τις παραπάνω ιδιότητες προκύπτει και η μεταβατική ιδιότητα α > β Αν τοτε α > γ β > γ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες που έχουν την ίδια φορά και θετικά μέλη, τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά, Δηλαδή: α > β Αν τοτε α.γ > β.δ α,β, γ,δ θετικοί πραγματικοί αριθμοί γ > δ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού α είναι μη αρνητικός α- ριθμός, δηλαδή. α 0. Αν για πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει α + β = 0, τότε α = 0 ή β = Δεν αφαιρούμε ή διαιρούμε κατά μέλη ανισότητες, γιατί μπορεί να προκύψει λανθασμένο συμπέρασμα. Γ. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΕΝΑ ΑΓΝΩΣΤΟ Για να λύσουμε μια ανίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της διάταξης όπως θα δούμε στις ασκήσεις που ακολουθούν.

3 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 31 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες : α) Αν α > 6, τότε α > 4. β) Αν α > β, τότε α < β. γ) Αν α < 0, τότε α > 0. δ) Αν 3 x > 1, τότε x > 4 x y ε) Αν >, τότε x > y. 4 4 στ) Αν x > 0, τότε x + 5 > 0. ζ) Αν α > 6 και β > 4, τότε α + β >. η) Αν x > και y > 3, τότε x y > 6. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η α είναι σωστή (Σ) γιατί αν αφαιρέσουμε και από τα δύο μέλη το προκύπτει το συμπέρασμα που αναφέρεται παραπάνω. Η β είναι σωστή (Σ) γιατί αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με το -1 προκύπτει το συμπέρασμα που αναφέρεται παραπάνω. Η γ είναι σωστή (Σ) γιατί πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το -1. Η δ είναι λάθος (Λ) γιατί αν διαιρέσουμε με αρνητικό αριθμό τα μέλη μιας ανισότητας αυτή αλλάζει φορά, άρα θα έπρεπε να είναι x < 4 Η ε είναι λάθος (Λ) γιατί αν πολλαπλασιάσουμε με αρνητικό αριθμό τα μέλη μιας ανισότητας αυτή αλλάζει φορά, άρα θα έπρεπε να είναι x < y. Η στ είναι Σωστή (Σ) γιατί αν προσθέσαμε το 5 και στα δύο μέλη x + 5 > 5 ή x+5>5>0 ισχύει. Η ζ είναι σωστή (Σ) γιατί προσθέτουμε δύο ομόστροφες ανισότητες κατά μέλη. Η η είναι σωστή (Σ) γιατί ξέρουμε ότι οι x,y είναι θετικοί αριθμοί και ε- φαρμόζουμε την ιδιότητα: α > β Αν τοτε α.γ > β.δ γ > δ α,β, γ,δ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να συμπληρώσετε τα κενά μ ένα από τα σύμβολα >, <,,, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. α) Αν α > 3, τότε α β) Αν α < β και β < γ, τότε α.γ. α γ) Αν α > 0 και β < 0, τότε 0. δ) Αν γ < 0 και α γ β γ,τότε α β β. ε) Αν α 0, τότε α 0. στ) Αν α 0 και β 0, τότε α + β.0.

4 3 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Αν α > 3, τότε α 3 > 0. β) Αν α < β και β < γ, τότε α <γ. γ) Αν α > 0 και β < 0, τότε β α <0. δ) Αν γ < 0 και α γ β γ,τότε α β. ε) Αν α 0, τότε α > 0. στ) Αν α 0 και β 0, τότε α + β Ποιες ιδιότητες της διάταξης χρησιμοποιούμε, ώστε από την ανίσωση 3 x 4 < 7 να γράψουμε 3 x < και από την ανίσωση 3 x < 11 να 11 γράψουμε x < ; 3 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Την ιδιότητα που μας επιτρέπει στα μέλη μιάς ανίσωσης να προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό. Συγκεκριμένα προσθέτουμε τον αριθμό 4 και έχουμε : 3x 4 < 7 ή 3x 4 +4< 7+4 ή 3x <11.Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε την ιδιότητα που μας επιτρέπει να πολλαπλασιάζουμε τα μέλη μίας ανίσωσης επί ένα θετικό αριθμό χωρίς να αλλάξει φορά. Συγκεκριμένα πολλαπλασιάζουμε επί τον αριθμό >0 και έχουμε : 3x< 11 ή x < Με ποιες ιδιότητες της διάταξης από την ανισότητα x >3 προκύπτουν οι παρακάτω ανισότητες ; α) x + 4 > 7 β) x > 1 γ) 5x > 15 δ) 6x < 18 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Με την ιδιότητα που μας επιτρέπει στα μέλη μιάς ανίσωσης να προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό. Συγκεκριμένα προσθέτουμε τον αριθμό 4 και έχουμε : x >3 ή x+4>3+4 ή x +4 >7 β) Με την ιδιότητα που μας επιτρέπει στα μέλη μιάς ανίσωσης να προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό. Συγκεκριμένα προσθέτουμε τον αριθμό και έχουμε : x >3 ή x >3 ή x > 1 γ) Με την ιδιότητα που μας επιτρέπει να πολλαπλασιάζουμε τα μέλη μιάς ανίσωσης επί τον ίδιο θετικό αριθμό. Συγκεκριμένα πολλαπλασιάζουμε επί τον αριθμό 5 και έχουμε : x >3 ή 5x >5 3 ή 5x > 15 δ) Με την ιδιότητα που μας επιτρέπει να πολλαπλασιάζουμε τα μέλη μιάς ανίσωσης επί τον ίδιο αρνητικό αριθμό και αλλάζει φορά. Συγκεκριμένα πολλαπλασιάζουμε επί τον αριθμό 6 και έχουμε : x >3 ή 6 x < 6 3 ή 6x < 18

5 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Αν α > 1 και β > 3, τότε ποιες από τις παρακάτω ανισότητες προκύπτουν από τις ιδιότητες της διάταξης ; α) α + β > 15 β) α β > 9 γ) α β > 36 δ) β α > 4 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Με δοσμένο ότι α > 1 και β > 3, από ιδιότητες της διάταξης προκύπτουν οι : α) α + β > 15. Με πρόσθεση κατά μέλη των ανισοτήτων αυτών. β) Επειδή δεν αφαιρούμε ανισότητες κατά μέλη, η ανισότητα α-β>1-3 ή α- β>9 δεν προκύπτει από τις ιδιότητες της διάταξης. γ) α β > 36. Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των ανισοτήτων αυτών επειδή οι αριθμοί αυτοί είναι θετικοί. δ) Επειδή η διαίρεση ανισοτήτων κατά μέλη δεν επιτρέπεται η παραπάνω ανισότητα δεν προκύπτει από τις ιδιότητες της διάταξης. α γ 6. Ένας μαθητής γνωρίζει ότι για να είναι =, αρκεί να ισχύει β δ α γ α δ = β γ. Βασιζόμενος σ αυτό σκέφτηκε ότι για να ισχύει >, β δ αρκεί να αποδείξει ότι α δ > β γ. Η σκέψη που έκανε είναι σωστή; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η σκέψη που έκανε δεν είναι σωστή γιατί δεν έλαβε υπόψη του τα πρόσημα των αριθμών αυτών. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Αν ισχύει 3 (α β) > (α + β), τότε να αποδείξετε ότι α > 5β. 3 (α β) > (α + β) 3α 3β > α + β ή 3α α > β + 3β ή α > 5β Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα. Μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος τα α και στο δεύτερο μέλος τα β και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων ΑΣΚΗΣΗ Ποιες ιδιότητες της διάταξης πρέπει να εφαρμόσουμε στην ανισότητα x > 6 για να αποδείξουμε τις παρακάτω ανισότητες; α) 5x 30 < 0 β) 3x + 18 > 0 γ) (x + 4) > 4.

6 34 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ α) Αρχικά με πολλαπλασιασμό των μελών της επί τον αρνητικό αριθμό 5 έχουμε : 5x < 30, και στην συνέχεια με πρόσθεση και στα δύο μέλη της, του αριθμού 30 οπότε έχουμε : 5x 30 < ή 5x 30 < 0 β) Αρχικά με πολλαπλασιασμό των μελών της επί τον θετικό αριθμό 3 έχουμε : 3x > 18, και στην συνέχεια με πρόσθεση και στα δύο μέλη της, του αριθμού 18 οπότε έχουμε : 3x +18> ή 3x + 18 > 0 γ) Αρχικά με πρόσθεση και στα δύο μέλη της, του αριθμού 4 οπότε έχουμε : x+4 > 6+4 ή x+4 > και στην συνέχεια με πολλαπλασιασμού των μελλών της επί τον θετικό αριθμό οπότε έχουμε : ( x+4) > ( ) ή ( x+4) > 4 ΑΣΚΗΣΗ 3 Αν < α < 6, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι αριθμοί α) α β) α 5 γ) 1 3 α. α) Προσθέτοντας στα μέλη της < α < 6 τον αριθμό έχουμε : <α < 6 ή 0 < α < 4. Άρα ο αριθμός α βρίσκεται μεταξύ του 0 και του 4 β) Αρχικά πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της < α < 6 επί τον αριθμό και έχουμε : < α < 6 ή 4 < α <1. Προσθέτουμε στη συνέχεια στα μέλη της τον αριθμό 5 και έχουμε : 4 5< α 5<1 5 ή 1< α 5< 7. Άρα ο αριθμός α 5 βρίσκεται ανάμεσα στους 1 και 7. γ) Αρχικά πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της < α < 6 επί τον αρνητικό αριθμό 3 και έχουμε : 3 > 3 α > 3 6 ή 6 > 3α > 18. Προσθέτουμε στη συνέχεια στα μέλη της τον αριθμό 1 και έχουμε : 1 6 >1 3α >1 18 ή 5 >1 3α > 17. Άρα ο αριθμός 1 3 α βρίσκεται ανάμεσα στους 17 και 5. ΑΣΚΗΣΗ 4 Αν α < β, τότε να αποδείξετε ότι α + β α + β α) 5α 3 < 5β 3 β) α + 4 > β + 4 γ) α < δ) < β.. α) Αρχικά με πολλαπλασιασμό των μελών της α < β επί τον θετικό αριθμό 5 έχουμε : 5α < 5β. Προσθέτουμε στη συνέχεια στα μέλη της τον αριθμό 3 και προκύπτει : 5α 3< 5β 3.

7 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 35 β) Αρχικά με πολλαπλασιασμό των μελλών της α < β επί τον αρνητικό αριθμό έχουμε : α > β. Προσθέτουμε στη συνέχεια στα μέλη της τον αριθμό +4 και προκύπτει : α +4 > β +4 γ) Προσθέτουμε στα μέλη της α < β τον αριθμό α και έχουμε : α+α <α + β ή α < α+β. Διαιρούμε στη συνέχεια τα μέλη της α α + β α + β α < α+β δια του οπότε : < ή α <. δ) Προσθέτουμε στα μέλη της α < β τον αριθμό β και έχουμε : α+β <β + β ή α+β < β. Διαιρούμε στη συνέχεια τα μέλη της α + β β α + β α +β < β δια του οπότε : < ή < β. ΑΣΚΗΣΗ 5 Αν 1 < x < 3 και < y < 5, να αποδείξετε ότι α) 3 < x + y < 8 β) 4 < x + y < 11 γ) 4 < x y < 1. α) Προσθέτουμε τις δύο δοσμένες ανισώσεις κατά μέλη και έχουμε : 1 < x < 3 < y < 5 3< x+y <8 β) Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης 1 < x < 3 επί και έχουμε : < x < 6. Προσθέτουμε στη συνέχεια κατά μέλη τις ανισώσεις όπως παρακάτω φαίνεται : < x < 6 < y < 5 4 <x+y<11 γ) Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης επί τον αρνητικό αριθμό 1 και έχουμε : 1 > 1 y > 1 5 ή > y> 5 ή 5 < y <. Προσθέτουμε τώρα κατά μέλη τις ανισώσεις όπως παρακάτω φαίνεται : 1 < x < 3 5 < y < 4< x y < 1 ΑΣΚΗΣΗ 6 Αν x > και y > 3, τότε να αποδείξετε ότι α) x y > 6 β) ( x ) ( y 3 ) > 0 γ) ( x + )y > 1. «Αν ανοίξετε το βιβλίο σας, το γινόμενο των δύο αντικριστών σελίδων μέσα στις οποίες είναι γραμμένες οι ασκήσεις, είναι 506»..

8 36 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Μπορείτε να βρείτε σε ποιες σελίδες είναι γραμμένες οι ασκήσεις ; α) Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δύο δοσμένες ανισώσεις έχουμε :xy >6 β) Είναι : x > ή x > 0 y > 3 y 3 > 0 Επειδή οι αριθμοί x και y 3 είναι θετικοί όπως φαίνεται παραπάνω, θα είναι θετικός αριθμός και το γινόμενό τους. Άρα ( x ) ( y 3 ) > 0. γ) Προσθέτουμε στα μέλη της ανίσωσης x > τον αριθμό οπότε προκύπτει : x + > + ή x + > 4. Πολλαπλασιάζουμε στη συνέχεια κατά μέλη τις ανισώσεις όπως παρακάτω φαίνεται : x + > 4 y > 3 (x+y)y > 1 ΑΣΚΗΣΗ 7 Αν α, β θετικοί αριθμοί με α > β, τότε να αποδείξετε ότι α > β.. 1 ος Τρόπος Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης α > β επί τον θετικό αριθμό α και έχουμε : α α >α β ή α >αβ. Παρόμοια πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της α > β επί τον θετικό αριθμό β έχουμε α β>β β ή αβ>β Είναι λοιπόν α >αβ και αβ>β οπότε από την μεταβατική ιδιότητα προκύπτει ότι α > β ος Τρόπος Είναι α >β ή α β > 0. Επειδή οι αριθμοί α και β είναι θετικοί θα είναι και το άθροισμά τους θετικός αριθμός.είναι λοιπόν α + β > 0. Τότε όμως και το γινόμενο (α + β)(α β) είναι θετικός αριθμός, ως γινόμενο θετικών αριθμών. Επομένως (α + β)(α β) > 0 ή α β > 0 ή α > β ΑΣΚΗΣΗ 8 Να αποδείξετε ότι α) Αν α > 1, τότε α > α β) Αν x >, τότε x 3 > x. α) Ο αριθμός α είναι θετικός αφού είναι α > 1. Πολλαπλασιάζοντας τα

9 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 37 μέλη της ανίσωσης α > 1 επί τον θετικό αριθμό α, έχουμε α α >α 1 ή α > α β) Επειδή ότι ο αριθμός x είναι θετικός, πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της x > επί τον x έχουμε : x x > x ή x 3 > x. ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν α > β και α, β ομόσημοι, τότε να αποδείξετε ότι 1 1 <. α β Αφού οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι, τότε και το γινόμενό τους είναι θετικός αριθμός. Έχουμε λοιπόν αβ > 0, οπότε και ο αντίστροφός του αβ 1 είναι θετικός αριθμός. Πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ανίσωσης α > β επί τον θετικό α ριθμό έχουμε : α > β ή > ή <. αβ αβ αβ β α α β ΑΣΚΗΣΗ 10 Αν x > 3 και y <, τότε να αποδείξετε ότι α) ( x 3 ) ( y ) < 0 β) x y + 6 < x + 3 y. α) Από τις σχέσεις : x > 3 προκύπτει ότι : x 3 > 0 y < y < 0 Αφού οι αριθμοί x 3 και y είναι ετερόσημοι, το γινόμενό τους είναι αρνητικός οπότε ( x 3 ) ( y ) < 0 β) Είναι τώρα (x 3 )( y ) < 0 ή xy x 3y +6 < 0 ή xy +6 <x +3y ΑΣΚΗΣΗ 11 Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y, να αποδείξετε ότι α) x +1 x β) ( x + y) 4 x y γ) x + y +1 y. Σε κάθε περίπτωση να βρείτε πότε ισχύει η ισότητα. α) Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x 1 είναι x 1 0. Επομένως ο αριθμός (x 1) είναι θετικός και μόνο στην περίπτωση x = 1 θα είναι μηδέν. Άρα για οποιονδήποτε x θα έχουμε : (x 1) 0 ή x x +1 0 ή x +1 x β) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x και y με x y είναι

10 38 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ x y 0. Επομένως ο αριθμός (x y) είναι θετικός και μόνο στην περίπτωση x = y θα είναι μηδέν. Άρα για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x και y θα έχουμε : (x y) 0 ή x xy +y 0 ή x +y xy γ) Είδαμε παραπάνω ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x και y έχουμε : (x y) 0. Προσθέτοντας στα μέλη της (x y) 0 τον αριθμό 1 έχουμε (x y) Ο αριθμός (x y) +1 ως μεγαλύτερος ή το πολύ ίσος με τον 1 είναι θετικός.άρα (x y) +1 > 0 ή x xy +y +1 > 0 ή x +y +1 > xy ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδείξετε ότι 1 1 α) αν x > 0, τότε x + β) αν x < 0, τότε x + x x α) Αν x > 0 τότε x 1 0 και μόνο στην περίπτωση x = 1 θα είναι μηδέν. Επομένως είναι (x 1) 0. Άρα έχουμε : x x +1 0 ή x +1 x. Διαιρούμε τα μέλη της x +1 x διά του θετικού αριθμού x και έχουμε : ή + ή x + x + 1 x x 1 1 x x x x x β) Αν x < 0 τότε x +1 0 και μόνο στην περίπτωση x = 1 θα είναι μηδέν. Επομένως είναι (x + 1) 0. Άρα έχουμε : x + x +1 0 ή x +1 x. Διαιρούμε τα μέλη της x +1 x διά του αρνητικού x + 1 x x 1 1 αριθμού x και έχουμε : ή + ή x + x x x x x ΑΣΚΗΣΗ 13 Να βρείτε το φυσικό αριθμό που είναι μεταξύ των αριθμών 114 και 135 και ο οποίος, όταν διαιρεθεί με το 15, δίνει υπόλοιπο 6. Εάν συμβολίσουμε με κ τον αναζητούμενο αριθμό τότε :114 < κ < 135.Από την ταυτότητα της αλγοριθμικής διαίρεσης προκύπτει ότι : κ = 15ν + 6.Άρα 114 < 15ν +6 < 135 ή < 15ν < ή < 15ν < 19 ή < ν < ή 7, < ν < 8,6. Επειδή ν φυσικός, είναι ν = 8. Άρα ο κ = = 16.

11 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 39 ΑΣΚΗΣΗ 14 Η τιμή ενός παντελονιού κυμαίνεται από 30 έως 35 ευρώ και μιας μπλούζας από έως 5 ευρώ. Αν κάποιος θέλει ν αγοράσει παντελόνια και 3 μπλούζες, τότε μεταξύ ποιών αριθμών θα κυμαίνεται το ποσό που πρέπει να πληρώσει ; Εάν συμβολίσουμε με x την τιμή του παντελονιού και y την τιμή της μπλούζας τότε 30 < x <35 και < y <5.Επομένως για την αγορά παντελονιών και 3 μπλουζών,πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της πρώτης ανίσωσης επί και της δεύτερης επί 3 έχουμε : 60 < x < < 3y < 75 Προσθέτοντας τις ανισώσεις αυτές κατά μέλη έχουμε: 16< x+3y <145 Το απαιτούμενο χρηματικό ποσό πρέπει να κυμαίνεται μεταξύ 16 και 145 ευρώ. ΑΣΚΗΣΗ 15 Μ ένα πούλμαν ταξιδεύουν 51 άτομα (ο οδηγός και 50 επιβάτες). Αν το βάρος κάθε ατόμου κυμαίνεται μεταξύ 60 Κg και 100 Κg, οι αποσκευές κάθε επιβάτη ζυγίζουν από 4 Κg έως και 15 Κg και το πούλμαν έχει α- πόβαρο 13,5 t, τότε να εκτιμήσετε το συνολικό βάρος του πούλμαν. Είναι δυνατόν το πούλμαν να διασχίσει μια γέφυρα επαρχιακού δρόμου που το ανώτατο επιτρεπόμενο βάρος διέλευσης είναι 0 t ; Εάν συμβολίσουμε με x το συνολικό βάρος των επιβατών τότε πρέπει :51 60 < x < ή 3060 < x < Αντίστοιχα το συνολικό βάρος των αποσκευών αν συμβολισθεί y πρέπει 51 4 < y < ή 04 < y < 765. Για να βρούμε μεταξύ ποιων ορίων θα κυμαίνεται το βάρος των επιβατών και των αποσκευών τους προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες 3060 < x < < y < < x+y <5865, ή 3,64t < x+y < 5,865t. Εάν στα μέλη αυτής της ανίσωσης προσθέσουμε το απόβαρο του αυτοκινήτου, τότε θα βρούμε τα όρια μέσα στα οποία θα βρίσκεται το συνολικό βάρος. Είναι λοιπόν 3,64t +13,5 < x + y + 13,5 < 5,865t +13,5 ή 16,514t < x + y + 13,5t < 19,115t.Μπορεί λοιπόν να διασχίσει το πούλμαν την γέφυρα.

12 40 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΑΣΚΗΣΗ 16 Να λύσετε τις ανισώσεις α) 11-3 x < 7 x +1 β) x 9 > 5 x + 6 γ) 4 (3x 5) > 3 (4x +5) 3 4x 3x 6 x x x 1 x + 4 δ) > ε) x < στ) 1 x + < α) 11-3 x < 7 x +1 ή 3 x 7x< ή 10x< 10 ή x > ή x > β) x 9 > 5 x + 6 ή x 5x >6+9 ή 3x >15 ή x < ή x < 5 3 γ) 4 (3x 5) > 3 (4x +5) ή 1x 0 > 1x +15 ή 1x 1x >15 +0 ή 0x >35 η οποία είναι αδύνατη. δ) Επειδή το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών είναι το 10, πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης επί 10 και έχουμε : 3 4x 3x 6 x > 10 ή (3 4x) 3x > 5(6 x) ή 6 8x 3x > x ή 8x 3x +5x >30 6 ή 6x > 4 ή x < ή x < 4 6 ε) Επειδή το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών είναι το 6, πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης επί και έχουμε : x x 6 6x < 6 ή x +1 6x <(3 x) ή x +1 6x <6 4x ή 6 3 x 6x+4x <6 1 ή 0x <5 η οποία είναι ταυτότητα και ισχύει για κάθε x 1 x + 4 x x + 4 στ) 1 x + < ή 1 <. Επειδή το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών είναι το 6, πολλαπλασιάζουμε τους όρους της ανίσωσης επί 6 και έχουμε : < 6 ή 6 3x < x + 4 ή x x x x < 4 6+ ή 4x < 0 ή x > ή x > 0. 4 ΑΣΚΗΣΗ 17 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων

13 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 41 7x 1< 8 + 6x 4x + 3 < 9 + 5x α) β) γ) 3x > x 10 1 x < x + 7 x x + 5 < + x > x Επιλύουμε κάθε μία των ανισώσεων και βρίσκουμε τις κοινές λύσεις εάν υπάρχουν. α) Επίλυση της : 7x 1<8+6x ή 7x 6x<8+1 ή x < 9 8 Επίλυση της : 3x >x 10 ή 3x x > 10 + ή x > 8 ή x > ή x > 4 Επομένως η κοινή λύση των ανισώσεων είναι : 4 < x <9 β) Επίλυση της :4x +3 <9+5x ή 4x 5x <9 3 ή 1x <6 ή x > 6 Επίλυση της : 1 x <x+7 ή x x<+7 1 ή 3x <6 ή x > ή x > 6 ή x > Επομένως η κοινή λύση των ανισώσεων είναι : x > γ) Επίλυση της : x + 5 < x +. Επειδή το ΕΚΠ είναι το πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης επί και έχουμε. x x + 5 < + ή 4x +10 < x +4 ή 4x x < 4 10 ή 3x < 6 ή 6 x < ή x <- 3 x -1 1 x -1 1 Επίλυση της : +1> x + ή > 6 x + 6 ή 3 (x 1) + 6 > 3 3 6x + ή 3x > 6x + ή 3x 6x > ή 3x > 1 ή x < 1 1 ή x < 3 3 Επομένως η κοινή λύση των ανισώσεων είναι : x < - ΑΣΚΗΣΗ 18 x 31 x+1 31 Να βρεθεί θετικός ακέραιος αριθμός x ώστε < και > x+1 40 x+ 40 Επειδή x θετικός και οι αριθμοί x +1 και x + είναι θετικοί.

14 4 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ x 3 Επίλυση της : < 1. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης x+1 40 επί το ΕΚΠ των παρονομαστών που είναι ο θετικός αριθμός 40(x+1) και έχουμε : x 40(x+1) x + 1 < 40(x+1) 31 ή 40x < 31(x+1) ή 40x < 31x +31 ή 40x x < 31 ή 9x < 31 ή x < 9 x+1 31 Επίλυση της : >. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης x+ 40 επί το ΕΚΠ των παρονομαστών που είναι ο θετικός αριθμός 40(x+) και έχουμε : x (x+) > 40(x+) ή 40(x+1) > 31(x+) ή 40x + 40 >31x +6 ή x x 31x > 6 40 ή 9x > 18 ή x > ή x >. 9 Παρατηρούμε ότι η κοινή λύση των δύο αυτών ανισώσεων είναι < x 31 <. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ο μοναδικός ακέραιος αριθμός που 9 βρίσκεται ανάμεσα στους αριθμούς και 31 είναι ο αριθμός 3. 9

15 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 43 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1. Αν α β, να λύσετε τις εξισώσεις α) (x + α) (x + β) = β α x + α x + β α β) = 1 β α β α) (x + α) (x + β) = β α x +αx + α (x +βx + β ) = β α x +αx + α x βx β = β α αx βx = β + β α α (α β)x = (β α ). Αφού α β είναι α β 0 επομένως ( β α ) α β (α β)(α+ β) x = = = = (α + β) (α - β) α - β α β x + α x + β α β) = 1. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης επί β α β το ΕΚΠ των παρονομαστών που είναι ο αριθμός αβ και έχουμε : x + α x + β α αβ αβ = αβ αβ 1 β α β α(x + α) β(x + β) = α αβ αx + α βx β = α αβ αx βx = α αβ α +β (α β)x = β αβ (α β)x = β(β α). Αφού α β είναι α β 0 επομένως. - β(α - β) β(α β ) x = = = β α β α β. Δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ ( Α =90 0 ) και ΒΓΔ ( Β =90 0 ). Να βρείτε τις τιμές των x, y του διπλανού σχήματος.

16 44 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε : (x+1) + x = (x+). Επιλύουμε την εξίσωση αυτή και έχουμε : x +x +1 +x = x +4x+ 4 x + x +1 + x x 4x 4 = 0 x + x +1 + x x 4x 4 = 0 x x 3 = 0. Είναι α =1, β =, γ = 3 και Δ = β 4αγ = ( ) 4 1 ( 3) = 4 +1 = 16. ( ) ± 16 ± 4 Επομένως : x = =. Άρα : x = = = 3 η οποία είναι δεκτή, ή x = = = 1<0 η οποία απορρίπτεται. Τότε ΑΒ = 3, ΑΓ = 3+1 = 4 και ΒΓ = 3+ = 5 Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΔ με εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε : 5 +(y+) = (3y ) 5 + 4y + 8y + 4 = 9y 1y + 4 4y 9y +8y + 1y = 0 5y +0y + 5 = 0 Είναι α = 5, β = 0, γ = 5 και Δ = β 4αγ = 0 4 ( 5) 5 = = ± ± 30 Επομένως : y = =. Άρα ( 5) y = = = 1 < 0 η οποία απορρίπτεται, ή y = = = 5 >0 η οποία είναι δεκτή Τότε ΒΔ = 5 + = 1 και ΓΔ = 3 5 = Το γινόμενο δύο θετικών διαδοχικών ακεραίων, αν διαιρεθεί με το ά- θροισμά τους, δίνει πηλίκο 7 και υπόλοιπο 3. Να βρείτε τους αριθμούς. Εάν x και x +1 είναι οι δύο θετικοί ακέραιοι, τότε το γινόμενό τους είναι x(x+1) και το άθροισμά τους x+x+1 = x +1.

17 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 45 Επομένως προκύπτει η εξίσωση. x(x+1) = 7 (x +1) + 3 ή x +x = 14x ή x + x 14x 30 = 0 ή x 13x 30 = 0 Είναι α = 1,β = 13, γ = 30 και Δ = β 4αγ = ( 13) 4 1 ( 30) = = 89. ( 13) ± ± 17 Επομένως : x = =. Άρα x = = = 15 >0 η οποία είναι δεκτή ή x = = = <0 η οποία απορρίπτεται. Οι ζητούμενοι ακέραιοι είναι οι x = 15 και x = = Να λύσετε τις εξισώσεις, για οποιαδήποτε τιμή του αριθμού α με α 0. x x α 3α 1 6x α) + = β) + = x α x + α x α x αx x + αx x α α ) Επειδή το ΕΚΠ των παρονομαστών των όρων της εξίσωσης είναι το x α = ( x+α)(x α) πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης επί το ΕΚΠ και έχουμε. x x α ( x + α)(x α) + ( x + α)(x α) = ( x + α)(x α) x α x + α ( x + α)(x α) ( x + α)x + (x α)x = α x +αx + x αx α = 0 3x αx α = 0 Η διακρίνουσα είναι : Δ = ( α) 4 3 ( α ) = α + 4α = 5α ( α) ± 5α α ± 5α Επομένως : x = =. Άρα 3 6 α + 5α 6α α 5α α x = = = α ή x = =. Η λύση x=α απορρίπτεται β) Επειδή το ΕΚΠ των παρονομαστών των όρων της εξίσωσης μετά την παραγοντοποίησή τους είναι το x( x+α)(x α), πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της εξίσωσης επί το ΕΚΠ και έχουμε. 3α 1 x( x + α)(x α) + x( x + α)(x α) = x(x α) x(x + α) 6x = x( x + α)(x α) (x α)(x + α) 3α(x +α) + (x α) = 6x

18 46 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 3αx + 3α + x α = 6x 6x +(3α +1)x +3α α = 0 Η διακρίνουσα είναι : Δ = (3α+1) 4 ( 6) (3α α) = = 9α + 6α α 4α = 81α 18α + 1 = (9α 1). (3α + 1) ± (9α -1) (3α + 1) ± (9α 1) Επομένως : x = =. Άρα. (-6) -1 (3α + 1) + (9α 1) 3α 1+ 9α 1 6α 3α 1 x = = = = ή (3α + 1) (9α 1) 3α 1 9α + 1 1α x = = = = α, η οποία απορρίπτεται Αν μια λύση της εξίσωσης x + (λ 5) x + λ = 0 είναι ο αριθμός 1, να βρείτε την άλλη λύση. Αφού ο αριθμός 1 είναι λύση της εξίσωσης, τότε αυτός την επαληθεύει, επομένως θέτοντας όπου λ = 1 έχουμε : 1 + (λ 5) 1 +λ = 0 ή 1 + λ 5 +λ = 0 ή λ 4 = 0 ή λ = 4 ή λ =. Άρα η εξίσωση γράφεται : x 3x + = 0 μετά την αντικατάσταση του λ με την τιμή. Επιλύοντας τώρα την εξίσωση x 3x + = 0 βρίσκουμε τις ρίζες της.είναι Δ = ( 3) 4 1 = 9 8 = 1 και έχουμε : ( 3) ± 1 3 ± x = =. Άρα x = = = 1 ή x = = =.Επομένως η άλλη ρίζα της εξίσωσης είναι x =. 6. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = x x 13 x 15.Nα λύσετε την εξίσωση Ρ (x) = 0, αν είναι γνωστό ότι το x 3 είναι παράγοντας του πολυωνύμου Ρ (x). Αφού το x 3 είναι παράγοντας του πολυωνύμου Ρ (x), αυτό σημαίνει ότι το x 3 διαιρεί το Ρ (x). Κάνουμε την διαίρεση και έχουμε : x x 13 x 15 x 3 x 3 + 3x x + 6x x 13x 15 6x +18x 5x 15 5x +15

19 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 47 0 Επομένως έχουμε : Ρ (x) = x x 13 x 15 = (x 3)( x + 6x + 5) και η εξίσωση Ρ (x) = 0, γράφεται : (x 3)( x + 6x + 5) = 0.Από την ε- ξίσωση αυτή προκύπτουν οι εξισώσεις : x 3 = 0 και x + 6x + 5 = 0 Από την x 3 = 0 έχουμε την τιμή x = 3. Επιλύοντας την x + 6x + 5 = 0 έχουμε : Δ = = 36 0 = 16 και 6 ± 16 6 ± x = =. Άρα x = = = 1ή x = = Να βρείτε δύο διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς, τέτοιους ώστε το ά- θροισμα των αντιστρόφων τους αυξημένο κατά τον αντίστροφο του γινομένου τους να είναι ίσο με 1. Εάν συμβολίσουμε με x και x+1 τους ζητούμενους ακέραιους αριθμούς τότε πρέπει : + + = 1 επειδή το ΕΚΠ των παρονο x x + 1 x(x + 1) μαστών των όρων της εξίσωσης είναι x(x+1) κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και έχουμε : x(x + 1) + x(x + 1) + x(x + 1) = 1 x(x + 1) x x + 1 x(x + 1) x+1 +x +1 = x +x ή x +x+x x+ = 0 ή x +x+ = 0 Είναι α = 1, β = 1, γ = και Δ = 1 4 ( 1) = 1+8 = 9, επομένως x = 1± 9 1± =. Άρα x = = = 1 ή x = = =. ( 1) Οι ζητούμενοι ακέραιοι είναι οι αριθμοί και 3 που προκύπτουν από την ρίζα x =. Από την ρίζα x = 1 δεν προκύπτει λύση του προβλήματος αφού ο επόμενος ακέραιος του 1 είναι ο αριθμός μηδέν (0) ο οποίος δεν έχει αντίστροφο. 8. Να βρείτε τις διαστάσεις ενός οικοπέδου σχήματος ορθογωνίου, αν είναι γνωστό ότι οι πλευρές του διαφέρουν κατά m και το εμβαδόν του οικοπέδου είναι 399 m. Εάν συμβολίσουμε με x και x + τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου οικοπέδου, τότε πρέπει : x(x+) = 399. Επιλύουμε την εξίσωση αυτή και έχουμε :

20 48 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ x +x 399 = 0 Είναι : α = 1, β =, γ = 399 και Δ = 4 1 ( 399) = = ± 1600 ± 40 Επομένως : x = =. Άρα x = = = 19 > 0 δεκτή ή x = = = 1< 0 απορρίπτεται. Επομένως οι διαστάσεις του οικοπέδου είναι 19m και 1 1 1m. 9. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Â = 90 0 ) και το ύψος του Α Δ. Αν είναι Α Δ = x,β Δ = x + 9 και Γ Δ = 3, να υπολογίσετε τον αριθμό x. Από την ομοιότητα των τριγώνων ΔΑΒ και ΔΑΓ έχουμε : Α Δ Γ Δ x 3 = ή = ή x = 3 (x+9) ή x = 6x + 7 ή x 6x 7 = 0 Β Δ Α Δ x + 9 x. Είναι α = 1, β = 6, γ = 7 και Δ = ( 6) 4 1 ( 7) = = ( 6) ± ± Άρα x = =. Τότε : x = = = 9 > 0 δεκτή ή x = = = 3 < 0 η οποία απορρίπτεται Να συγκρίνετε τους αριθμούς (1 + α) (1 + β) και 1 + α + β. Παίρνουμε την διαφορά ( 1 + α)( 1+ β) ( 1+ α + β) = αβ Διακρίνοντας περιπτώσεις έχουμε: Αν αβ>0, Δηλαδή α, β ομόσημοι,τότε ( 1 + α)( 1+ β) > 1+ α + β. Αν αβ<0,τότε ( 1 + α)( 1+ β) < 1+ α + β. αβ=0, Δηλαδή α=0 ή β=0,τότε ( 1 + α)( 1+ β) = 1+ α + β.

21 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ α) Να αποδείξετε ότι (α β) + (β γ) + (γ α) = (α + β + γ α β β γ γα ). β) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ ισχύει α + β + γ = α β + β γ + γα, να αποδείξετε ότι α = β = γ. α) Κάνουμε πράξεις στην παράσταση και έχουμε : (α β) + (β γ) + (γ α) = = α αβ + β + β βγ + γ + γ γα + α = α + β + γ αβ βγ γα = = (α + β + γ α β β γ γα ). β) Είναι : α + β + γ = α β + β γ + γα ή α + β + γ α β β γ γα = 0.Επομένως και το διπλάσιο της ποσότητας αυτής ισούται με μηδέν. Άρα και : (α + β + γ α β β γ γα ) = 0. Τότε όμως σύμφωνα με το πρώτο ερώτημα της άσκησής μας είναι : (α β) + (β γ) + (γ α) = (α + β + γ α β β γ γα ) = 0 έχουμε δηλ. για τους αριθμούς α, β, γ ότι : (α β) + (β γ) + (γ α) = 0. Για να είναι όμως το άθροισμα των μη αρνητικών αριθμών (α β), (β γ), (γ α) ίσο με το μηδέν πρέπει καθένας από αυτούς να ισούται με μηδέν. Άρα (α β) = 0, (β γ) = 0 και (γ α) = 0.Επομένως πρέπει :α β= 0, β γ = 0 και γ α = 0 ή α = β, β = γ και γ = α, δηλαδή α = β = γ Να αποδείξετε ότι > για κάθε θετικό ν(ν + ) (ν + 1)(ν + ) ν(ν + 1) ακέραιο ν. Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα παρατηρώντας ότι το ΕΚΠ των παρονομαστών είναι ν(ν+1)(ν+) και αρκεί να δείξουμε ότι : 4 1 > 0 ή ν(ν + ) (ν + 1)(ν + ) ν(ν + 1) 4(ν + 1) 1ν (ν + ) > 0 ή ν(ν + 1)(ν + ) ν(ν + 1)(ν + ) ν(ν + 1)(ν + ) 4(ν + 1) - ν - (ν + ) > 0 ή ν(ν + 1)(ν + ) 4ν ν - ν - 4 ν(ν + 1)(ν + ) > 0 ν ή > 0 ν(ν + 1)(ν + )

22 50 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ το οποίο ισχύει αφού ν θετικός. 13. Αν α, β, γ μήκη πλευρών τριγώνου, να αποδείξετε ότι α) α + β > γ α β. β) α + β < γ + α β. γ) α + β + γ < α β + β γ + γα α) Αρχικά παρατηρούμε ότι α, β, γ είναι θετικοί ως μήκη πλευρών τριγώνου. Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε : α + β > γ. Επειδή δε μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη ομόστροφες ανισώσεις αν τα μέλη τους είναι θετικοί αριθμοί, από την ανίσωση α + β > γ θεωρώντας ότι πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη την ανίσωση αυτήν επί τον ε- αυτό της προκύπτει (α + β) > γ ή α + αβ + β >γ ή α + β > γ αβ. β) Παρόμοια από την τριγωνική ανισότητα έχουμε : α β < γ ή β α < γ ανάλογα με το ποιος από τους α, β είναι μεγαλύτερος από τον άλλο. Σε κάθε όμως περίπτωση, οποιαδήποτε από τις σχέσεις αυτές και αν ισχύει, επειδή τα τετράγωνα δύο αντιθέτων είναι ίσα μεταξύ τους, δηλ. (α β) = (β α) τελικά έχουμε (α β) < γ ή α αβ + β < γ ή α + β < γ +αβ. γ) Επαναλαμβάνοντας την σχέση αυτή κυκλικά έχουμε : α + β < γ + αβ β + γ < α + βγ προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις και έχουμε : γ + α < β + γα α +β + γ < α + β + γ +αβ + βγ + αγ ή α + β + γ α β γ < αβ + βγ + αγ ή α + β + γ < α β + β γ + γα 14. Να διατάξετε τους θετικούς αριθμούς α, β, γ από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο, αν ισχύει 005 α = 006 β = 007 γ. α 006 α Από την 005 α = 006 β προκύπτει ότι : = >1 ή > 1 και ε- β 005 β πειδή ο β είναι θετικός αριθμός πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της ανίσωσης αυτής επί τον θετικό αριθμό β και έχουμε : β β α >1 β ή α > β.

23 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 51 Παρόμοια από την 006 β = 007 γ προκύπτει ότι : β 007 β = >1 ή > 1 γ 006 γ ή πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ανίσωσης αυτής επί γ έχουμε : γ γ β > 1 γ ή β > γ.επομένως είναι : α > β > γ. 15. Αν α > 4, να αποδείξετε ότι η εξίσωση (α +1) x (3α ) x + α + 1 = 0 έχει δύο λύσεις άνισες. Βρίσκουμε την διακρίνουσα της εξίσωσης η οποία είναι : Δ = [ (3α )] 4 (α +1) (α +1) = (3α ) 4 (α +1) = 9α 1α+ 4 4(α +α +1) = = 9α 1α + 4 4α 8α 4 = 5α 0α = 5α(α 4) το ο- ποίο είναι θετικός αριθμός ως γινόμενο των θετικών αριθμών 5α και α 4. Αφού Δ >0 η παραπάνω εξίσωση έχει δύο λύσεις άνισες. 16. Nα υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, που ικανοποιούν τη σχέση α +β +γ α 4β 6γ + 14 = 0.(Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε. 1995). Η παραπάνω σχέση α + β + γ α 4β 6γ + 14 = 0 γράφεται : (α α +1) + (β 4β + 4) + (γ 6γ + 9) = 0 ή (α 1) + (β ) + (γ 3) = 0.Για να είναι όμως το άθροισμα των τριών μη αρνητικών αριθμών (α 1), (β ) και (γ 3) ίσο με το μηδέν πρέπει ο καθένας από αυτούς να είναι μηδέν επομένως : (α 1) = 0 ή α 1 = 0 ή α = 1, (β ) = 0 ή β = 0 ή β = και (γ 3) ή γ 3 = 0 ή γ = Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης Α = α 10 α β + 7β 8 β + 8. Για ποιες τιμές των α, β η παράσταση Α γίνεται ελάχιστη; (Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε. 001). Η δοσμένη παράσταση Α = α 10 α β + 7β 8 β + 8 γράφεται : Α = α 10αβ + 5β + β 8 β + 8 = α α (5β) +(5β) + (β 4 β + 4) = =(α 5β) + (β ). Επειδή οι αριθμοί (α 5β), (β ) είναι μη αρνητικοί η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση Α είναι το μηδέν. Τότε όμως πρέπει να είναι : (α 5β) = 0 ή α 5β = 0 ή α = 5β και (β ) = 0 ή (β ) = 0 ή β = 0 ή β =. Τότε όμως τελικά α = 5 = 10 και β =

24 5 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 18. Ο καθηγητής : x 19 x 17 x 15 x 13 Να λυθεί η εξίσωση = Ο μαθητής : Κύριε, αυτή η εξίσωση ούτε μέχρι το 00 δεν λύνεται. Εσείς μπορείτε να λύσετε την εξίσωση ; Υπόδειξη : Παρατηρήστε ότι x 19 x x 00 = = + 1, κ.τ.λ Εφαρμόζοντας την υπόδειξη και για τους υπόλοιπους όρους (κλάσματα ) της εξίσωσης έχουμε : x 17 x x 00 = = x 15 x x 00 = = x 13 x x 00 = = Επομένως η εξίσωση γράφεται : x 00 x 00 x 00 x x 00 x 00 x 00 x = 4 ή x 00 x 00 x 00 x = 4 4 = 0 ή (x 00)( ) = = 4 ή 1 Επειδή το κλάσμα είναι αριθμός διάφορος του μηδενός πρέπει x 00 = 0 ή x = 00

25 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 53 Σταυρόλεξο Να λύσετε το σταυρόλεξο Οριζόντια 1. Είναι η εξίσωση αx + βx + γ = 0 με α 0.. Ορίζεται μεταξύ πραγματικών αριθμών. 3. H εξίσωση αυτή επαληθεύεται για κάθε τιμή του αγνώστου. 4. Ο αριθμός είναι.. της εξίσωσης x 5x + 6 = Είναι η λύση της εξίσωσης (x 1) = Η επίλυση μιας εξίσωσης ου βαθμού γίνεται και με τετραγώνου. 7. Η εξίσωση αυτή περιέχει κλάσμα με άγνωστο στον παρονομαστή. Κάθετα 1. Το πρόσημό της καθορίζει το πλήθος των λύσεων μιας εξίσωσης ου βαθμού.. Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 μεβ 4αγ > 0 έχει. λύσεις. 3. Ιδιότητα που ισχύει και στη διάταξη πραγματικών αριθμών. 4. Η εξίσωση α x + β = 0 με α 0 έχει λύση. 5. Λέγεται και ρίζα μιας εξίσωσης. 6. Είναι η εξίσωση 0x = 7.

26 54 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 3 1 Μ Δ Ε Υ Τ Ε Ρ Ο Β Α Θ Μ Ι Α Ι Τ Ι Δ Α Δ Ι Α Τ Α Ξ Η Α Υ Κ Υ Β Ν Ρ Ο 3 Α Ο Ρ Ι Σ Τ Η Α Ι Τ 5 Τ Ν 4 Ρ Ι Ζ Α 5 Δ Ι Π Λ Η Ο Κ Υ 6 Σ Υ Μ Π Λ Η Ρ Ω Σ Η Σ Σ Η 7 Κ Λ Α Σ Μ Α Τ Ι Κ Η

27 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 55 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Α ΤΡΙΜΗΝΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : Α. 1. Ποια είναι η μορφή που έχει μια δευτεροβάθμια εξίσωση και ποιος είναι ο τύπος που μας δίνει τις λύσεις της εξίσωσης αυτής;. Πότε μια δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο, μία, καμιά λύση; Β. Βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 1 και γινόμενο 104. ΘΕΜΑ Ο : Να λύσετε τις εξισώσεις: x + 1 β + βx =. β β =. x x 3 x + 1 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΧΕΙΡΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ Α ΤΡΙΜΗΝΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : Α. 1. Ποιες εξισώσεις ονομάζουμε κλασματικές;. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν σε μια κλασματική εξίσωση και γιατί; 10 Β Το άθροισμα ενός αριθμού και του αντίστροφου του είναι,να βρεθεί 3 ο αριθμός. ΘΕΜΑ Ο : Να λυθούν οι εξισώσεις: i) x( x 9) = 4( x 9) 3 ii) x 4x 5x = 0

28 56 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 3 Ο Κεφάλαιο ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ 1. Ονομάζουμε εξίσωση 1 ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε... που έχει την μορφή... με Ονομάζουμε λύση ή ρίζα μιας εξίσωσης τον... που... την εξίσωση. 3. Ονομάζουμε επίλυση μιας εξίσωσης την διαδικασία για να βρούμε την... της εξίσωσης. 4. Ονομάζουμε γραμμική εξίσωση (1 ου βαθμού) με δύο αγνώστους κάθε... που έχει την μορφή... με... 0 και Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε... που έχει την μορφή... με Οι λύσεις της εξίσωσης αx +βx+γ = 0 με α 0 δίνονται από τον τύπο... με προϋπόθεση ότι Η παράσταση β -4αγ ονομάζεται... και συμβολίζεται με α) Αν Δ = 0 η εξίσωση έχει την.... β) Αν Δ < 0 η εξίσωση είναι Ονομάζουμε κλασματική εξίσωση κάθε εξίσωση που έχει... στο.... ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ 1. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι λύση της εξίσωσης 5(x 10) = x Ποιο από τα παρακάτω ζεύγη αριθμών είναι λύση της γραμμικής εξίσωσης x+4y = 0. ( 0,6) ( 1,4) ( 3,4) ( 4,3) 3. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι λύση της εξίσωσης 3x -5x- = Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι λύση της εξίσωσης x +8x-1 = Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι λύση της εξίσωσης: 3x 1 3x + 4 = x x x x 3 4 1

29 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 57 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 3 Ο Κεφάλαιο ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ Η ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ- ΛΑΘΟΣ» Από τις παρακάτω προτάσεις μερικές είναι σωστές και μερικές λάθος. Βάλτε σε κύκλο το Σ για τις σωστές και το Λ για τις λανθασμένες. 1. Σε μια εξίσωση αx = β (1 ου βαθμού) α α) Αν α 0 η εξίσωση έχει μοναδική λύση την x = β Σ Λ β) Αν α 0 και β 0 η εξίσωση είναι αδύνατη Σ Λ γ) Αν α = 0 και β = 0 η εξίσωση είναι ταυτότητα Σ Λ. Σε μια εξίσωση αx +βx+γ = 0 ( ου βαθμού) α) Αν Δ > 0 τότε η εξίσωση έχει ρίζα μόνο την β) Αν Δ = 0 τότε η εξίσωση έχει ρίζα μόνο την x x β + Δ α β α = Σ Λ = Σ Λ γ) Αν Δ<0 τότε η εξίσωση είναι αόριστη Σ Λ 3. Αν α.β = 0 τότε α = 0 ή β = 0 Σ Λ 4. Για να είναι η εξίσωση αx +βx+γ = 0 ου βαθμού πρέπει α 0 Σ Λ 5. Η εξίσωση x x + x = είναι κλασματική Σ Λ

30 58 ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 3 Ο Κεφάλαιο ΤΕΣΤ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Η ΣΥΖΕΥΞΗΣ Να ενώσετε κάθε μια από τις παρακάτω εξισώσεις που βρίσκονται αριστερά με τις αντίστοιχες λύσεις τους που βρίσκονται δεξιά. (x 1)(x 7) = 0 (0,1/6) 6x x = 0 ( 0,1) (x+3)(x 4) = 1 (1,7) x 8x 84 = 0 ( 4,5) z 5 = z 5 (0, 8) x 4 ( 6, 14) 4 = 0 x + 5 x + 4x x = x = x x 3 x

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας της Αʹ τάξης του Γενικού Λυκείου, που θα διδάσκεται από το σχολικό έτος 00-0. Είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

2. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 193. 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Με την βοήθεια των εξισώσεων δευτέρου βαθμού λύνουμε πολλά προβλήματα της καθημερινής ζωής και διαφόρων επιστημών.

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1.

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1. Α. ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: α.α.α = 5 : = (-).(-) - = (-0,) 5.(-0,5) 5 = α -.(α ) -.α. Υπολογίστε τις παραστάσεις (i) (ii) (-).(-0,5) - (iii) (0,) : (-0). Να γίνουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Άλγεβρα Α Λυκείου, Κεφάλαιο ο ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές

Διαβάστε περισσότερα

Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης),

Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης), ΜΕΡΟΣ Α 1.7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 19 1. 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Διαίρεση πολυωνύμων Αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ (διαιρετέος) και δ (διαιρέτης) με δ και κάνουμε τη διαίρεση Δ : δ, τότε βρίσκουμε δύο άλλους

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. μια εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα