3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο (-, ) και διέρχεται από το σημείο (-, 3) δ) έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α (, 3) και Β (- 3, 5) 5 ε) διέρχεται από τα σημεία (, ), (, ) και (, ) στ) διέρχεται από τα σημεία (3, ), (-, 3) και έχει κέντρο πάνω στην ευθεία y = 3 - ζ) έχει κέντρο το σημείο (8, - 6) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων η) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας 3 + y = 0 θ) έχει ακτίνα, εφάπτεται στον άξονα και διέρχεται από το σημείο (5, ) ι) έχει κέντρο το σημείο (- 3, ), εφάπτεται στον άξονα y y και διέρχεται από το σημείο (- 6, ) ια) έχει κέντρο το σημείο (3, 3) και εφάπτεται των αξόνων και y y ιβ) έχει κέντρο το σημείο (- 3, ) και εφάπτεται στην ευθεία - 3y + 5 = 0. Νρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο (, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3 + y + 6 = 0 και 3 + y - = Νρείτε την εξίσωση του κύκλου, ο οποίος είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο που σχηματίζει η ευθεία + y - 6 = 0 και οι άξονες και y y.. Δίνεται η ευθεία y = λ και ο κύκλος + y - + = 0. Νρεθεί η τιμή του λ ώστε η ευθεία: α) να τέμνει τον κύκλο β) να εφάπτεται του κύκλου γ) να μην έχει κοινά σημεία με τον κύκλο. 5. Νρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από το κέντρο του κύκλου - + y - 6 = 0 και είναι κάθετη στην ευθεία + y - 7 = Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου + y = που είναι παράλληλες στην ευθεία + y = 0. 57

2 3 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου + y = 9 που γράφονται από το σημείο (0, 6). 8. Νρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στην ευθεία y = και είναι ομόκεντρος του κύκλου + y - + y + = Δίνεται ο κύκλος + y - - = 0 και η ευθεία y = - 3. Να αποδείξετε ότι η ευθεία εφάπτεται του κύκλου και στη συνέχεια νρείτε το σημείο επαφής. 0. Δίνονται τα σημεία Α (, ), Β (, ) και Γ (3, ). α) Να αποδειχθεί ότι: γωνία ΒΑΓ = 90 β) Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α, Β και Γ.. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α (3α, 0), Β (0, 3α) και Γ (0, - 3α), α > 0. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο των σημείων Μ (, y) του επιπέδου που ικανοποιούν τις εξισώσεις συνθ - yημθ = συνθ και ημθ + yσυνθ = ημθ, θ R, βρίσκονται σε κύκλο. 3. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεία (ε): + y + = 0 και διέρχεται από τα σημεία Α (-, ) και Β (3, - ).. Να αποδειχθεί ότι οι κύκλοι C : ( - ) + y = και C : - + y = 0 εφάπτονται εσωτερικά. 5. Νρεθεί η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι ομόκεντροι οι κύκλοι C : + y + Α + B y + Γ = 0 και C : + y + Α + B y + Γ = Να αποδειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (, y) του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τα Α, Β, Γ με Α (, - ), Β (-, ), Γ (0, ) είναι σταθερό, είναι κύκλος με κέντρο το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. 7. Να δειχθεί ότι η εξίσωση + y + λ = 0 παριστάνει κύκλο για κάθε λ R*. Νρεθεί η γραμμή πάνω στην οποίρίσκονται τα κέντρα αυτών των κύκλων. 8. Θεωρούμε τον κύκλο C: + y + y = 0 και το σημείο Α (-, - ). Νρεθεί η εξίσωση ευθείας που ορίζει στον κύκλο χορδή, με μέσο το σημείο Α. 58

3 9. 0. Για ποιες τιμές του α R η εξίσωση +y - α + 9 = 0, παριστάνει κύκλο; Ποιος ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου του κύκλου; Για ποιές τιμές του α η ακτίνα του κύκλου είναι ακέραιος αριθμός; Δίνεται ο κύκλος C : (+) + (y - 3) = και η ευθεία ε : 3+y+λ = 0, λ R. i) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τιμές του λ για τις οποίες η ε εφάπτεται στον C. ii) Για την θετική από τις παραπάνω τιμές του λ, νρείτε το σημείο επαφής των ε και C.. Nρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο Μ(, -) και εφάπτεται στις ευθείες : ε : - y+ = 0 και ζ : - y - 8 = 0.. i) Nρείτε την εξίσωση του συμμετρικού του κύκλου C: ( - ) +(y+) =5, ως προς την ευθεία ε : +y - 5 = 0. ii) Ποιά είναι η σχετική θέση των ε και C. 3. Nρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στους θετικούς ημιάξονες, O και Oy και εξωτερικά στον κύκλο ( - ) +(y - ) = Δίνεται το σημείο Μ(,) και ο κύκλος C: +y - +6y - = 0. i) Nα αποδείξετε ότι το Μ είναι εξωτερικό σημείο του C. ii) Nρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του C που διέρχονται από το M. iii) Νρείτε την γωνία των δύο εφαπτομένων και την απόσταση του Μ από την χορδή του κύκλου που ορίζουν τα σημεία επαφής. a Ένας κύκλος έχει κέντρο το σημείο Κ(α,0) και ακτίνα ρ= (α > 0). Νρείτε τις 3 εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με την διάμετρο του κύκλου. 5 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : +y +(λ - )+(λ - 3)y + (λ - λ + ) = 0. παριστάνει κύκλο για κάθε πραγματική τιμή του λ. Επίσης να αποδείξετε ότι ο κύκλος διέρχεται από ένα σταθερό σημείο, του οποίου να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες. Νρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων των κύκλων C : + y = και C : ( - 6) + y = 9. Ποιες από αυτές είναι οι κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες. 8. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Να δείξετε ότι οι κύκλοι που γράφονται με διαμέτρους ΑΒ και ΑΓ τέμνονται πάνω στην υποτείνουσα ΒΓ. 59

4 3 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 9. i) Δίνονται τα σημεία Α(3,3) και Β(0,). Νρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ορθογώνιο στο Μ. ii) Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του παραπάνω γεωμετρικού τόπου, οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων καθώς επίσης και την γωνία των εφαπτομένων αυτών. 30. Δίνονται τα σημεία Α(, ) και Β( 0, ). i) Νρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση (ΜΒ) = (ΜΑ). ii) Νρεθούν τα σημεία τομής του παραπάνω γεωμετρικού τόπου με την ευθεία ΑΒ. 3. Νρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μεσών των χορδών του κύκλου : C : +y - = 0, που η μία άκρη τους είναι αρχή των αξόνων Δίνεται ο κύκλος ( - ) +(y+3) =5 και τα σημεία του Α( -, 0 ) και Β( 5, ). Αν το σημείο Γ κινείται στον κύκλο, να αποδείξετε ότι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ βρίσκεται σε σταθερό κύκλο. Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση +y - - y = 0. Nρεθούν τα σημεία Μ της ε: - y - 5 = 0, ώστε οι εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Μ να είναι κάθετες μεταξύ τους. 3. Δίνεται η εξίσωση του κύκλου : π +y - ( +εφθ ) - ( εφθ - ) y + Γ = 0, θ κπ+,κπ, κ Ζ, Γ R. i) Αν είναι ρ =Γ, όπου ρ είναι η ακτίνα του κύκλου, νρεθεί ο αριθμός Γ. ii) Nα αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από το σημείο (0, 0) είναι κάθετες μεταξύ τους και νρείτε τις εξισώσεις τους. 35. Δίνονται οι κύκλοι +y +α+γ = 0 και +y +βy+γ = 0 με αβγ 0. Δείξτε ότι αν οι κύκλοι εφάπτονται τότε + =. a β γ 36. i) Νρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου: + y y = 0 που είναι // στον y y ii) Νρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου : 0 στην ( ε ): y+ 9= = που είναι κάθετες 60

5 iii) Νρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου : 8 0 ( ε ):+ 3y+ = 0. iv) Νρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου : ( ) o γωνία με την ευθεία ( ) 5 ε : 5y+ = = που είναι // στην ( ) + y+ = 3 που σχηματίζουν 37. Νρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Ο και έχει παράμετρο p = 5 β) είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Ο και διέρχεται από το σημείο (-, ) γ) είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Οy και διέρχεται από το σημείο (, ) δ) έχει άξονα συμμετρίας τον Οy και εστία Ε (0, - ) ε) έχει εστία Ε (-, 0) και διευθετούσα δ: - = 0 στ) έχει άξονα συμμετρίας τον Ο και εφάπτεται της ευθείας y = Νρεθεί η σχετική θέση της ευθείας + y + = 0 ως προς την παραβολή y =. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της παραβολής y = 3 στα σημεία (0, 0) και (, 6). Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής y = 3 που είναι παράλληλη στην ευθεία - y = 0. Από το σημείο (-, 3) προς την παραβολή y = 8 γράφονται δύο εφαπτόμενες ευθείες. α) Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων αυτών ευθειών. β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες αυτές ευθείες είναι κάθετες. Έστω η παραβολή y = p, p > 0. Μια χορδή της ΑΒ είναι κάθετη στον άξονα και έχει μήκος 8p. Να αποδειχθεί ότι ΟΑ ΟΒ = 0. Ισόπλευρο τρίγωνο ΟΑΒ είναι εγγεγραμμένο στην παραβολή y = p με κορυφή το Ο. Νρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του. Έστω η παραβολή C: y = p και μια χορδή της ΑΒ παράλληλη με τον άξονα y y, η οποία περνάει από την εστία. Να αποδειχθεί ότι: α) (ΑΒ) = (ΕΚ), όπου Κ το σημείο που τέμνει ο άξονας τη διευθετούσα β) οι εφαπτόμενες στα Α και Β διέρχονται από το Κ 6

6 3 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται η παραβολή C: y = p και δύο χορδές ΟΒ, ΟΓ, ώστε γωνία ΒΟΓ = 90. Να αποδειχθεί ότι η ΒΓ διέρχεται από σταθερό σημείο. Δίνεται η παραβολή y =. α) Νρεθούν η εστία και η διευθετούσα της. β) Νρεθεί η απόσταση του σημείου της Α (, ) από την εστία Ε και να συγκριθεί με την απόσταση (ΟΕ). γ) Να αποδείξετε ότι σε κάθε παραβολή το σημείο της με τη μικρότερη απόσταση από την εστία είναι η κορυφή της Ο. δ) Νρεθεί σημείο στην παραβολή y = p που να απέχει από την εστία Ε απόσταση διπλάσια της ΟΕ. Δίνεται η παραβολή y = και η ευθεία (ε): y = -. α) Να δείξετε ότι η (ε) περνά από την εστία της παραβολής. β) Νρείτε τα κοινά σημεία Α, Β της (ε) και της παραβολής. γ) Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής στα σημεία Α, Β είναι κάθετες. δ) Να δείξετε ότι κάθε ευθεία που περνά από την εστία και τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία έχει την ιδιότητα (γ). Δίνεται η παραβολή y = p. Θέτουμε = α και y = αy, α 0. Να αποδειχθεί ότι το σημείο (, y ) κινείται πάλι σε παραβολή. Δίνονται τα σημεία του επιπέδου (, y) = (pκ, pκ) με κ R. α) Να αποδειχθεί ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε μια παραβολή β) Αν Α (p, pκ ), Β (p, pκ ) είναι δύο σημεία της παραβολής αυτής, να κ αποδειχθεί ότι αν η ΑΒ διέρχεται από την εστία, είναι κ κ = -. κ Να αποδείξετε ότι η παραβολή C : y =p και η ευθεία ε : y = -, τέμνονται πάντοτε σε δύο σημεία, των οποίων η απόσταση είναι p. Δίνεται η παραβολή C :y = και ο κύκλος C :( - 3) +y =36. Nα αποδείξετε ότι : i) Ο κύκλος και η παραβολή τέμνονται σε δύο σημεία Α και Β. ii) Oι εφαπτόμενες της παραβολής στα σημεία Α και Β τέμνονται πάνω στον κύκλο. Να αποδείξετε ότι η προβολή της εστίας της παραβολής y = p, πάνω σε οποιαδήποτε εφαπτομένη της, είναι σημείο του άξονα y'y. 6

7 9. 5 i) Νρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει εστία E (, ) και διευθετούσα δ : y= 3. ii) Νρείτε την εφαπτομένη της παραπάνω παραβολής στην ευθεία +y - 3 = 0., η οποία είναι κάθετη 50. Nρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει άξονα την ευθεία y=3,η κορυφή της ανήκει στην ευθεία +y - = 0 και διέρχεται από το σημείο Α(, ). 5. Νρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων του κύκλου παραβολής y =3. +y = και της 5. Nα αποδείξετε ότι η εφαπτόμενη της παραβολής y =p σε ένα σημείο της Μ είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζει η ΜΕ και η Μζ / / '. 53. Nρεθεί η εξίσωση της χορδής της παραβολής y =8 που έχει μέσο το σημείο ( 3, ). Α 5. Νρείτε το μήκος της πλευράς ισοπλεύρου τριγώνου που είναι εγγεγραμμένο στην παραβολή y = p, έτσι ώστε μια από τις κορυφές του τριγώνου να συμπίπτει με την κορυφή της παραβολής Δίνονται η παραβολή y =p και η ευθεία y=λ+κ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία και η παραβολή έχουν ένα διπλό κοινό σημείο, αν και μόνο αν, p = λκ. Η εφαπτόμενη στο σημείο Μ( 0, y 0 ) της παραβολής y =p τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Ν. Αν Ε είναι η εστία της παραβολής δείξτε ότι το τρίγωνο ΕΜΝ είναι ισοσκελές. Δίνεται η παραβολή y = α, α R. Nρείτε την απόσταση της εστίας της από την εφαπτόμενη της, που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. 58. Βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες εφάπτονται συγχρόνως στον κύκλο +y = και στην παραβολή y = Δίνεται η ευθεία κ - κy+30 = 0 και η παραβολή y =p. i) Για ποιά τιμή του p η ευθεία εφάπτεται στην παραβολή, για όλες τις δυνατές τιμές του κ. ii) Nρεθούν οι κοινές εφαπτόμενες της παραβολής και του κύκλου που έχει εξίσωση +y 900 = 3 63

8 3 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 60 Δίνεται ο κύκλος + y = και η παραβολή y = 8. α) Νρεθούν οι κοινές εφαπτόμενες του κύκλου και της παραβολής. β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες αυτές είναι κάθετες. 6. Δίνεται σταθερό σημείο Α και ευθεία (ε) που δεν διέρχεται από το Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το Α και εφάπτονται στην (ε), είναι παραβολή. 6. Να γραφεί η εξίσωση της έλλειψης που έχει μεγάλο και μικρό άξονα με μήκος 6 και μονάδες αντιστοίχως και έχει εστίες πάνω στον άξονα συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων. 63. Νρεθεί η εκκεντρότητα και οι εστίες καθεμιάς από τις παρακάτω ελλείψεις: α) + y = β) + 9y = 36 γ) 9 + 5y = 5 6. Να εξετάσετε αν υπάρχει έλλειψη στην οποία ένα σημείο της Μ να σχηματίζει με τις εστίες Ε και Ε ισόπλευρο τρίγωνο. 65. Ο κύκλος με κέντρο το Ο (0, 0) και ακτίν διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης + α y = με α > β. Νρεθεί η εκκεντρότητα της έλλειψης. β 66. Δίνεται η έλλειψη C: + =. Να αποδείξετε ότι και η έλλειψη με εξίσωση κ y + = έχει την ίδια εκκεντρότητα με τη C. β κ α 67. Να συγκριθούν οι εκκεντρότητες των ελλείψεων C : + = και C : α y + =, με α > β. β 68. Νρεθεί η μορφή της εξίσωσης της έλλειψης με εκκεντρότητα ε =. 6

9 69. Θεωρούμε την υπερβολή C: - y = και την ευθεία (ε): + y = α. Νρεθούν οι τιμές του α, για τις οποίες η (ε) εφάπτεται στη C. 70. Δίνεται ο κύκλος + y = και η έλλειψη + =. 6 α) Να δείξετε ότι το σημείο (, - 3 ) είναι κοινό τους σημείο και στη συνέχεια νρείτε όλα τα κοινά σημεία. β) Να δείξετε ότι τα κοινά τους σημεία είναι κορυφές ορθογωνίου παραλληλογράμμου. γ) Νρεθούν τα σημεία Μ ( 0, y 0 ) ώστε 0 + y0 = και (Ε Μ) + (ΕΜ) = 6 (Ε, Ε οι εστίες της έλλειψης) Αν (ε) είναι η εφαπτομένη της έλλειψης C: + = στο Μ (, y ), να αποδείξετε β α ότι η κάθετη στην (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης β λ = α y. Νρεθούν οι εφαπτόμενες της έλλειψης 9 + 6y = που είναι: α) παράλληλες προς την ευθεία (ε): + y = 0 β) κάθετες στην ευθεία (ε). 73. Δίνεται η έλλειψη + =. α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο Ε ΒΕΒ είναι ρόμβος (Ε, Ε οι εστίες, Β, Β τα άκρα του μικρού άξονα) β) Νρεθεί το εμβαδόν του ρόμβου. 7. i) Νρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες τα σημεία Ε' ( - 3, ), Ε (, ) και σταθερό άθροισμα 6. ii) Νρείτε το κέντρο και τους άξονες συμμετρίας της έλλειψης. ( + ) ( y ) iii) Nα δείξετε ότι η εξίσωση της παραπάνω έλλειψης γράφεται : + = Νρείτε τα σημεία της έλλειψης + = που απέχουν από το μεγάλο άξονα 6 μονάδες. Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά είναι κορυφές ορθογωνίου του οποίου να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών και το εμβαδόν. 65

10 3 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ i) Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης 5 +9y = 5, οι οποίες διέρχονται από το σημείο Μ(3, 5). ii) Ποιά είναι η γωνία των παραπάνω εφαπτομένων και η απόσταση του Μ από την ευθεία που ορίζουν τα σημεία επαφής. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης 9 +y =36, οι οποίες ορίζουν με τους άξονες συντεταγμένων τρίγωνο με εμβαδόν 6 τ.μ. 78. Νρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες τα σημεία Ε'(-3, 0), Ε(3, 0) και εφάπτεται στην ευθεία ε : - y - 5 = Nρείτε την εξίσωση της έλλειψης με εστίες στον άξονα ' και η οποία εφάπτεται στις ευθείες ε :y = -+3 και ε : y = Nρείτε την εξίσωση της χορδής της έλλειψης σημείο Α(, ). + 9 y =, οποία έχει μέσο το 8. Νρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τό σημείο Α(-, 0) και την ευθεία ε : + 5 = 0 είναι ίσος με Να αποδείξετε ότι τα μέσα των χορδών της έλλειψης + =,με συντελεστή διευθύνσεως λ=, ανήκουν σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 83. i) Νρείτε την συνθήκη ώστε η ευθεία y = λ+κ, να είναι εφαπτόμενη της έλλειψης + =. ii) Νρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτόμένων των ελλείψεων: + = 9 και + = Δίνεται η έλλειψη με εξίσωση + =. i) Να δείξετε ότι οι ευθείες με εξισώσεις y = λ, εφάπτονται στην ± β +α λ έλλειψη. ii) Εξετάστε αν οι παραπάνω ευθείες είναι οι μόνες που εφάπτονται στην έλλειψη. 66

11 Δίνονται η έλλειψη C : + = και η παραβολή C : y =. Νρεθούν οι 6 3 εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων των C και C. Μια εφαπτομένη της έλλειψης C : +y =, με συντελεστή διεύθυνσης διάφορο του μηδέν, τέμνει την έλλειψη C : + =, σε δύο σημεία Γ και Δ, 6 3 τα οποία δεν ταυτίζονται με τις κορυφές της. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C στα σημεία Γ και Δ είναι κάθετες μεταξύ τους. 87. Δίνονται οι ελλείψεις 3 5y 5 + = + = 5 3y 5 να δειχθεί ότι τέμνονται σε σημεία ομοκυκλικά 88. Νρεθεί ο γ.τ. των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : όπου Α(-,0) και ( ε ):+ 5= 0. ( ) ( ) d M, A d M, E = Νρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει τις εστίες της στον άξονα συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων και ακόμα: 3 α) έχει εστιακή απόσταση (Ε Ε) = 6 και εκκεντρότητα ε = β) έχει εστιακή απόσταση (Ε Ε) = 0 και εξισώσεις ασυμπτώτων y = και y = γ) έχει εστιακή απόσταση (Ε Ε) = και ασύμπτωτες τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων Έστω η υπερβολή C: + =. Να δειχθεί ότι κάθε παράλληλη προς μια ασύμπτωτη τέμνει την υπερβολή σ ένα μόνο σημείο. Έστω Μ τυχαίο σημείο της υπερβολής y - = α, (ε) η εφαπτομένη στο Μ και Α, Β τα σημεία που η (ε) τέμνει τις ασύμπτωτες. Τότε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό. Έστω κύκλος με εξίσωση + y = α. Αν θέσουμε = και y = cy, να αποδείξετε ότι το σημείο (, y ) ανήκει σε έλλειψη. 93. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τις ασύμπτωτες της υπερβολής - = και την ευθεία y =

12 3 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 9. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής 5 - y = 00 που είναι παράλληλες προς την ευθεία 3 - y = Νρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη + = Δίνεται η υπερβολή C: - = και Μ (, y ) ένα σημείο της διαφορετικό από τις κορυφές της. Αν η κάθετη (ε ) της (ε) στο Μ τέμνει τους άξονες, y y στα Γ και Δ αντίστοιχα (ε η εφαπτόμενη στο Μ) α) νρεθεί συναρτήσει των, y η εξίσωση της (ε ) β) νρεθούν οι συντεταγμένες των Γ και Δ γ) νρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Ν του ΓΔ δ) να αποδειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος του Ν είναι μια υπερβολή C ε) να αποδειχθεί ότι οι υπερβολές C και C έχουν τις ίδιες εκκεντρότητες, αλλά τις εστίες σε διαφορετικούς άξονες. 97. Nρείτε την εξίσωση της υπερβολής με εστίες στον άξονα ' και η οποία εφάπτεται στις ευθείες ε : 5 - y - 6 = 0 και ε : 3 - y = Δίνεται η έλλειψη + =. Νρείτε την εξίσωση της υπερβολής, η οποία έχει 5 6 τις ίδιες εστίες με την παραπάνω έλλειψη και εφάπτεται στην ευθεία :-y+= Nρείτε την εξίσωση της υπερβολής με εστίες στον άξονα ' και η οποία εφάπτεται στις ευθείες ε : 5 - y - 6 = 0 και ε : 3 - y = Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής : =, οι οποίες 0 5 είναι κάθετες στην ευθεία +3y - = 0. Δίνεται η έλλειψη + = και η υπερβολή =. Να αποδείξετε ότι : i) Έχουν τις ίδιες εστίες. ii) Tέμνονται κάθετα. 0. Νρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το σημείο Μ(-,0) και εφάπτονται εξωτερικά στον κύκλο +y =. 68

13 03. Δίνονται οι ημιευθείες y = και y = - με > 0. Μια ευθεία ε τις τέμνει στα σημεία Α και Β. i) Νρείτε τις συντεταγμένες των Α και Β ως συνάρτηση των συντεταγμένων του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ. ii) Αν το τρίγωνο ΟΑΒ έχει εμβαδόν 3 τ.μ, να αποδείξετε ότι το Μ γράφει τον κλάδο ισοσκελούς υπερβολής. 0. Νρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μεσών των παραλλήλων χορδών της υπερβολής = Nρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων της παραβολής υπερβολής =. 7 y =8 και της 06. Ο κύκλος με εξίσωση + y = 6 διέρχεται από τις κορυφές της υπερβολής C του παρακάτω σχήματος, της οποίας η μια ασύμπτωτη έχει εξίσωση y = -. Νρεθούν: 3 α) οι εστίες της υπερβολής β) η εστιακή της απόσταση γ) η εξίσωσή της δ) να προσδιοριστεί το ορθογώνιο βάσης της υπερβολής ε) η εκκεντρότητά της. y C 69

14 3 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ. Νρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: a) Όταν διέρχεται από το σημείο Α (, 3). b) Όταν διέρχεται από το σημείο Α( α β, α + β) c) Όταν εφάπτεται της ευθείας y = d) Όταν εφάπτεται της ευθείας α + βy = α + β. Νρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου παρακάτω περιπτώσεις: a) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία y = + 3 b) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία y = c) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(5, 0) + y = 5 σε καθεμιά από τις 3. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες του κύκλου + y = στα σημεία Α (,), Β (,), Γ (, ) και Δ(, ) σχηματίζουν τετράγωνο με διαγώνιες τους άξονες και yy. Ποιο είναι το εμβαδόν του τετραγώνου αυτού;. Νρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου Μ(, ). + y = που έχει μέσο το σημείο 5. Νρείτε την εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: a) Όταν έχει κέντρο Κ (0,) και διέρχεται από το σημείο Α ( 3,0) b) Όταν έχει διάμετρο το τμήμα με άκρα Α(,) και Β (7,8) c) Όταν έχει ακτίνα ρ = 5 και τέμνει τον άξονα στα σημεία Α (, 0) και Β (7,0) d) Όταν διέρχεται από τα σημεία Α (,0) και Β (8,0) και έχει το κέντρο του στην ευθεία y = e) Όταν τέμνει τον άξονα στα σημεία Α (,0) και Β (8,0) και τον άξονα y y στα σημεία Γ (0, ) και Δ (0, μ). f) Όταν εφάπτεται του άξονα στο σημείο Α (3, 0) και διέρχεται από το σημείο Β(, ). g) Όταν διέρχεται από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας 3+ y = στο σημείο Α(0,3). 70

15 6. Νρείτε το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση (i) + y + 6y 3= 0 (ii) + y 0+ y 0 = 0 (iii) 3 + 3y + 6 9y+ = 0 (iv) + y α+ 0βy+ α + 6β = Νρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου (i) + y + y+ =0 στο σημείο του Α(, ) (ii) + y α βy+ α 3β = 0 στο σημείο του Α( α, β ). 8. Νρείτε τη σχετική θέση των κύκλων: C : + y = και C : ( ) + y =. 9. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( α)( -β) + ( y- γ)( y δ ) = 0 παριστάνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τετραπλεύρου με κορυφές τα σημεία Α ( α, γ ), Β( β, γ), Γ( β, δ), Δ( α, δ ) και ότι οι ΑΓ και Β Δ είναι διάμετροι αυτού του κύκλου. 0. Να αποδείξετε ότι η ευθεία συνφ + yημφ = ημφ συνφ+ + y + 8y+ =0. εφάπτεται του κύκλου. Από ένα σημείο Μ0( 0, y0) εκτός του κύκλου + y = ρ φέρνουμε τις δύο εφαπτόμενές του. Αν Μ, Μ είναι τα σημεία επαφής, να αποδείξετε ότι η χορδή έχει εξίσωση + yy = ρ. ΜΜ 0 0. Έστω C ο κύκλος που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α (3 α,0). Έστω επιπλέον Μ ένα σημείο του C. Να αποδείξετε ότι όταν το Μ διαγράφει τον C, τότε το κέντρο βάρους G του τριγώνου ΟΑΜ διαγράφει τον κύκλο ( α) + y = α. 3. Νρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, από τα οποία οι εφαπτόμενες προς τον κύκλο + y = ρ είναι κάθετες.. Νρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τα σημεία Α ( 3,0) και Β (3,0) είναι σταθερός και ίσος με. 5. Νρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, των οποίων το τετράγωνο της απόστασης από την αρχή των αξόνων είναι ίσο με το τετραπλάσιο της απόστασης από την ευθεία =. 6. Έστω το τρίγωνο με κορυφές A (3,5), B(, ) και Γ( 5, ). Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ =07 είναι κύκλος με κέντρο το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ. 7

16 3 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7. Να αποδείξετε ότι καθώς το θ διαγράφει το διάστημα [0, π ), το σημείο τομής των ευθειών συνθ + yημθ = α και ημθ yσυνθ = β διαγράφει τον κύκλο + y = α + β. 8. Νρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου + y = 5, που διέρχονται από το σημείο Α(,). 9. Νρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: a) Όταν έχει εστία το σημείο Ε (,0) b) Όταν έχει διευθετούσα την ευθεία = c) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(, ). 0. Νρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής με εξίσωση: (i) y = 8 (ii) y = 8 (iii) y = (iv) y = (v) y = α (vi) y =. α. Δίνεται η παραβολή y = p. Να αποδειχτεί ότι η κορυφή της παραβολής είναι το πλησιέστερο στην εστία σημείο της.. Νρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β της παραβολής y =, που έχουν 0 την ίδια τεταγμένη και ισχύει ΑΟΒ = Νρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής παρακάτω περιπτώσεις: a) Όταν είναι παράλληλη στην ευθεία y = + b) Όταν είναι κάθετη στην ευθεία y = c) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(0, ). y = σε καθεμιά από τις. y = Β, τέμνονται κάθετα και πάνω στη διευθετούσα της. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής στα σημεία Α(,) και 7

17 5. Να αποδειχτεί ότι ο κύκλος ( 3) + y = 8 εφάπτεται της παραβολής y =. (Δηλαδή, έχουν τις ίδιες εφαπτόμενες στα κοινά σημεία τους). 6. Έστω η παραβολή y =. Αν η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Α (, 3) τέμνει τον άξονα στο σημείο Β, να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο ΕΑΒ είναι ισόπλευρο. 7. Έστω η παραβολή y =. Αν η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Α (3, 3) τέμνει τη διευθετούσα στο σημείο Β, να αποδειχτεί ότι ο κύκλος με διάμετρο ΑΒ εφάπτεται στον άξονα στην εστία της παραβολής.. 8. Έστω Μ ένα σημείο της παραβολής y = p. Να αποδειχτεί ότι ο κύκλος με διάμετρο EM, όπου Ε η εστία της παραβολής, εφάπτεται στον άξονα y y. 9. Έστω η παραβολή y = p και η εφαπτομένη της ε σε ένα σημείο Α(, y) αυτής. Αν η ευθεία ΟΑ τέμνει τη διευθετούσα της παραβολής στο σημείο Β, να αποδειχτεί ότι ΒΕ //ε. 30. Αν η εφαπτομένη της παραβολής y = p στο σημείο της Α τέμνει τη διευθετούσα στο σημείο Β και τον άξονα y y στο σημείο Κ, να αποδειχτεί ότι 0 (i) AEB = 90, (ii) ΕΚ ΑΒ και (iii) ( ΕΚ ) = ( ΚΑ)( ΚΒ). 3. Έστω η παραβολή y = p και ένα σημείο της Α(, y). Φέρνουμε την εφαπτομένη της παραβολής στο Α, που τέμνει τον άξονα στο Β και την παράλληλη από το Α στον άξονα, που τέμνει τη διευθετούσα στο Γ. Να αποδειχτεί ότι το τετράπλευρο ΑΕΒΓ είναι ρόμβος με κέντρο στον άξονα yy. 3. Δίνονται οι παραβολές C : y = p και C : = py Να αποδείξετε ότι οι C και C τέμνονται στα σημεία O (0,0) και Α ( p, p) Αν οι εφαπτόμενες των C και C στο Α τέμνουν τις C και C στα σημεία Β και Γ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι η είναι κοινή εφαπτομένη των C και C ΒΓ 33. Νρείτε την εξίσωση της έλλειψης σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: a) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε (,0) και Ε(,0) και μεγάλο άξονα 0 b) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε (0, 5) και Ε(0,5) και μεγάλο άξονα 6 c) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε (,0) και Ε(, 0) και εκκεντρότητα 3 d) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε (,0) και Ε (,0) και διέρχεται από το σημείο 9 Μ, 5 73

18 3 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ e) Όταν έχει εστίες στον άξονα yy και διέρχεται από τα σημεία M (,) και M,. 3. Νρείτε τα μήκη των αξόνων, τις εστίες και την εκκεντρότητα των ελλείψεων: (i) + y = (ii) 69 + y = Να εγγράψετε στην έλλειψη + y = άξονες. τετράγωνο με πλευρές παράλληλες προς τους 36. Αν E, E είναι οι εστίες και Β Β ο μικρός άξονας της έλλειψης αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΒΒ Ε είναι τετράγωνο. + y =, να 37. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες μιας έλλειψης στα άκρα μιας διαμέτρου της είναι παράλληλες. (Διάμετρος μιας έλλειψης λέγεται το τμήμα που συνδέει δύο σημεία της έλλειψης και διέρχεται από την αρχή των αξόνων). 38. Νρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης 3 + y =, οι οποίες: f) είναι παράλληλες προς την ευθεία y = 3 + g) είναι κάθετες στην ευθεία y = h) διέρχονται από το σημείο Μ(0,). 39. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της έλλειψης + y = 00 στα σημεία της M( 5, 5), M ( 5, 5), M 3 ( 5, 5) και M ( 5, 5) σχηματίζουν τετράγωνο με διαγώνιες τους άξονες και y y. 0. Να αποδείξετε ότι το σημείο όλες τις τιμές του t R. M t t ανήκει στην έλλειψη α( t ) βt, + + α y β + = για. Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών α y = λβ ( α + ) και λαy = β( α ), 0 < β < α. * ανήκει στην έλλειψη + = για όλες τις τιμές του λ R.. Αν M ( y, ) είναι ένα σημείο της έλλειψης ( ME ) = α + ε και ( ME) = α ε. α y β + =, να αποδείξετε ότι 7

19 3. Αν dd, είναι οι αποστάσεις των σημείων Γ (0, γ ) και Γ (0, γ ) από την εφαπτομένη της έλλειψης + = σε ένα σημείο της M (, y), να αποδείξετε ότι d + d = α.. Έστω M(, y), M (, y) δύο σημεία της έλλειψης + = και τα σημεία N( ε,0) και N( ε,0). Να αποδείξετε ότι ( MN) = ( MN). 5. Έστω η έλλειψη α y β + = και ένα σημείο της Μ. Έστω επιπλέον, ο κύκλος + y = α και το σημείο του Ν, που έχει την ίδια τετμημένη με το Μ. Από το Μ φέρνουμε παράλληλη προς την ON, που τέμνει τους άξονες και y y στα σημεία Γ και Δ αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι ΜΓ= β και ΜΔ = α. 6. Έστω ε και ε οι εφαπτόμενες της έλλειψης C : + =, 0 < β < α στις κορυφές της Α ( α,0) και Α ( α,0), αντιστοίχως, και ζ η εφαπτομένη της C σε ένα σημείο της M(, y ). Αν η ζ τέμνει τις ε και ε στα σημεία Γ και Γ, αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι: a) ( ΑΓ)( Α Γ ) = β b) ο κύκλος με διάμετρο το Γ Γ διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης. 7. Έστω η έλλειψη + = και η εφαπτομένη στο σημείο της M (, y). Αν η εφαπτομένη τέμνει τους άξονες και y y στα σημεία Γ ( p,0) και Δ(0, q), να α αποδείξετε ότι p β + =. q 8. Νρείτε την εξίσωση της υπερβολής σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: a) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε ( 3,0), Ε(3,0) και κορυφές τα σημεία Α(5, 0) και Α ( 5,0) b) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε (0, 0), 5 Ε (0,0) και εκκεντρότητα 3 c) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε ( 5,0), Ε ( 5,0) και διέρχεται από το σημείο M (,) d) Όταν έχει ασύμπτωτες τις ευθείες y =± και διέρχεται από το σημείο M (3, ). 3 75

20 3 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 9. Νρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες της υπερβολής: a) 9 6y =, b) y =, c) 5y = Νρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής α β 0 y = σχηματίζει με τον άξονα γωνία 30. α y β =, της οποίας η ασύμπτωτη 5. Αν η εφαπτομένη της υπερβολής = στην κορυφή Α( α,0) τέμνει την β ασύμπτωτη y = στο σημείο Γ, να αποδείξετε ότι ( ΟΕ ) = ( ΟΓ). α 5. Έστω η υπερβολή C : =, ε η εφαπτομένη της σε ένα σημείο Μ (, y) και ζ η κάθετη της ε στο M. Αν η ε διέρχεται από το σημείο M (0, ) και η ζ διέρχεται από το σημείο M 3 (α,0), να αποδείξετε ότι η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι ίση με. 53. Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία που είναι παράλληλη προς μια από τις ασύμπτωτες της υπερβολής = τέμνει την υπερβολή σε ένα μόνο σημείο. Ποιο είναι το σημείο τομής της ευθείας y = και της υπερβολής y = ; 5. Νρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής y = οι οποίες: a) είναι παράλληλες προς την ευθεία y = + b) είναι κάθετες στην ευθεία y = 3 c) διέρχονται από το σημείο M (3,0) 55. Αν Ε είναι η προβολή της εστίας Ε της υπερβολής = πάνω στην ασύμπτωτη β y =, να αποδείξετε ότι α (i) ( OE ) α, (ii) ( EE ) = β. = 76

21 56. Έστω ε και ε οι εφαπτόμενες της υπερβολής = στις κορυφές της Α και Α. Αν Γ και Γ είναι τα σημεία στα οποία μια τρίτη εφαπτομένη της υπερβολής τέμνει τις ε και ε, αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι (i) ( ΑΓ)( Α Γ ) = β και (ii) ο κύκλος με διάμετρο το ΓΓ διέρχεται από τις εστίες της υπερβολής. 57. Μ(, y) Μ Έστω και (, ) δύο σημεία του δεξιού κλάδου της υπερβολής =. Αν η ευθεία Μ Μ τέμνει τις ασύμπτωτες στα σημεία Μ3( 3, y3) και Μ (, y), να αποδείξετε ότι ( ΜΜ 3) = ( ΜΜ ). 58. Από ένα σημείο Μ(, y) της υπερβολής = φέρνουμε παράλληλες προς τις ασύμπτωτες. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του σχηματιζόμενου παραλληλόγραμμου είναι σταθερό. 59. Να αποδείξετε ότι το συνημίτονο μιας από τις γωνίες των ασυμπτώτων της υπερβολής ε = δίνεται από τον τύπο συνφ =. ε 60. Έστω οι υπερβολές C : = και C : = ρ, ρ >. Αν Α, Α και Α, Α είναι οι κορυφές των C και C αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι από το Α δεν άγονται εφαπτόμενες στη C, ενώ από το Α άγονται εφαπτόμενες της C. 6. Δίνεται η εξίσωση + y λ = 0 (), όπου λ R. a) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του λ η () παριστάνει κύκλο του οποίου ζητείται νρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. b) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι C λ που ορίζονται από την () για τις διάφορες τιμές του λ διέρχονται από δύο σταθερά σημεία. Ποιά είναι η εξίσωση της κοινής χορδής όλων αυτών των κύκλων; 6. Δίνονται οι κύκλοι C : + y = και C : ( ) + y = και η ευθεία y = λ+ β, όπου λ, β R. a) Ποιες είναι οι αποστάσεις των κέντρων των κύκλων C και C από την ευθεία; b) Για ποιες τιμές των λ και β η ευθεία εφάπτεται και στους δύο κύκλους; c) Να αποδείξετε ότι οι κοινές εφαπτόμενες των κύκλων C και C τέμνονται πάνω 0 στον άξονα και σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία

22 3 MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 63. Μια ευθεία y = λ+ β, με λ 0, τέμνει την παραβολή y = σε δύο σημεία Α και Β. i) Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ είναι λβ, λ λ ii) Νρείτε την εξίσωση της γραμμής πάνω στην οποίρίσκεται το Μ, όταν (α) λ = και το β μεταβάλλεται (β) β = 0 και το λ μεταβάλλεται.. 6. Δίνεται η έλλειψη + =, με α > β > 0 και το σημείο Σ (0, β ). Μια ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης λ διέρχεται από το σημείο Σ και τέμνει τις εφαπτόμενες, στα άκρα του μεγάλου άξονα της έλλειψης, στα σημεία Μ και Μ. a) Νρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ΜΜ συναρτήσει του λ. b) Για ποιες τιμές του λ R ο κύκλος αυτός διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης; 65. Δίνεται η έλλειψη + =. Νρείτε την εξίσωση της υπερβολής η οποία έχει τις 5 ίδιες εστίες με την έλλειψη και εφάπτεται στην ευθεία y = Έστω τα διανύσματα OA = (,0) και OA = (, 0) του καρτεσιανού επιπέδου. Αν τα διανύσματα αρχίσουν, συγχρόνως, να περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα αλλά με αντίθετη φορά, να αποδείξετε ότι το πέρας Μ της συνισταμένης τους διαγράφει έλλειψη. 67. Δίνονται οι ημιευθείες δ : y = και δ : y =, (0, + ) και μια ευθεία ε η οποία τις τέμνει στα σημεία M και M αντιστοίχως. a) Νρείτε τις συντεταγμένες των M και M συναρτήσει των συντεταγμένων του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΜΜ. b) Να αποδείξετε ότι όταν η ευθεία ε κινείται, έτσι ώστε το τρίγωνο OMM να έχει σταθερό εμβαδόν και ίσο με, τότε το Μ κινείται στον ένα κλάδο μίας σταθερής υπερβολής. α + β = με 0< β < α. Η π ημιευθεία y = (εφ θ ), > 0, 0 < θ < τέμνει την C στο σημείο Γ (, y) και την C στο σημείο Γ (, y).αν λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C στο σημείο και λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της στο 68. Δίνονται οι ελλείψεις C : + = και C : Γ σημείο Γ, να αποδείξετε ότι το γινόμενο λ λ είναι ίσο με (εφ θ ). C 78

23 69. Δίνεται η έλλειψη + =. a) Η εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο που η διχοτόμος του πρώτου τεταρτημόριου τέμνει την έλλειψη έχει κλίση. Νρείτε την εκκεντρότητα της έλλειψης. b) Έστω Μ το σημείο του πρώτου τεταρτημόριου στο οποίο η ευθεία y = λ, λ > 0 τέμνει την παραπάνω έλλειψη. Αν μ είναι η κλίση της εφαπτόμενης της έλλειψης στο σημείο Μ, τότε να εκφράσετε το γινόμενο λμ ως συνάρτηση των ημιαξόνων α, β. 70. a) Δίνονται ένας κύκλος C με κέντρο Κ και ακτίνα R και μια ευθεία ε που δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον κύκλο C. Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων C, που εφάπτονται της ε και του κύκλου C εξωτερικά, ανήκουν σε σταθερή παραβολή. b) Δίνονται δύο κύκλοι C και C, με κέντρα K και K και ακτίνες R και R αντιστοίχως, από τους οποίους ο C είναι εσωτερικός του C. Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων C, που εφάπτονται εσωτερικά του C και εξωτερικά του C, ανήκουν σε σταθερή έλλειψη. c) Δίνονται δύο κύκλοι C και C, με κέντρα K και K και ακτίνες R και R, αντιστοίχως, που βρίσκονται ο ένας εκτός του άλλου. Να αποδείξετε ότι τα κέντρα του κύκλου C που εφάπτονται εξωτερικά και των δύο κύκλων C και C ανήκουν σε κλάδο σταθερής υπερβολής. 7. Δίνεται η έλλειψη + = και το σημείο της M ( ασυν φβ, ημ φ ). a) Νρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο Μ. b) Να αποδείξετε ότι το γινόμενο των αποστάσεων των εστιών Ε και Ε από την εφαπτομένη είναι σταθερό. c) Για ποια τιμή του φ το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζει η εφαπτομένη με τους άξονες γίνεται ελάχιστο; 79

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ

2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ 2ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ : Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 013-014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε και Ε δύο σημεία του

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100 Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου (x + 5) + (y 5) =. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου x + y 8x + 4y + 11 = 0 3. Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα του κύκλου (x 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2.

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2. ΠΑΡΑΒΟΛΗ P Α δ (διευθετούσα) C (παραβολή) Μ (ΜΕ)=(ΜΡ) Κ Ε (εστία) Ορισμός: Παραβολή λέγεται ο γεωμ. τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σημείο Ε (Εστία) και μία ευθεία δ(διευθετούσα)

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

x y Ax By Εξίσωση Κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου

x y Ax By Εξίσωση Κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση Κύκλου Έστω Oy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(, ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση y y ε Εφαπτομένη Κύκλου Η εφαπτομένη του κύκλου y ρ στο σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να σχεδιάσετε την καμπύλη που παριστάνει η εξίσωση x y x 2 y. x y 2. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Ενιαίου Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διανύσματα Η θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΚΥΚΛΟΣ. Μ(x,y) Ο C ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ3 ΚΥΚΛΟΣ y Μ(x,y) A(x,y) ε Ο C x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ 3ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ 0-0 ΘΕΩΡΙΑ. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο το σημείο K( x0,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Ευθεία ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y + 3 10 v) 18x-6y

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κύκλος. Ασκήσεις Κύκλος

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κύκλος. Ασκήσεις Κύκλος Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε αν οι παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν κύκλο. Έπειτα να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα τους. i) x 2 + y 2 2x 4y + 1 = 0 (Απ.: (x 1) 2 + (y 2) 2 = 4) x 2 + y 2 2x + 4y + 5 =

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

3.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας 3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 87 89 Οµάδας. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου µε κέντρο την αρχή των αξόνων σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν διέρχεται από το σηµείο Α(, 3 ) (ii)

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 1) Δίνονται διανύσματα α και β, με α π = 4 και (α, β ) = 3 Αν ισχύει ότι το α (α + 2β ) = 28, να βρείτε: α) το εσωτερικό γινόμενο α β, β) το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας 3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 A Οµάδας. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συµµετρίας τον άξονα σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλος. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 48 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Κύκλος. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 48 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Κύκλος Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglyks.gr 1 3 / 1 1 / 2 0 1 6 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 48 ασκήσεις και τεχνικές σε 5 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ) 3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο 1. Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(-3,4).Να βρείτε : i) εξίσωση του κύκλου ii) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α,

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxψ θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλος. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 48 ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 2 /

Κύκλος. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο 3 48 ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 2 / Κύκλος Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 9 / 1 2 / 2 0 1 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 48 ασκήσεις και τεχνικές σε σελίδες εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΝΤΡΙΖΟΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ / ΘΕΜΑ Δίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

: y=x+3, εξίσωση διαµέσου µ. : y= 2x+3 και κορυφή Β(4,1). Να προσδιορίσετε τις κορυφές Α και Γ του τριγώνου y= x+ 7 7 και y= 7x 5 αντίστοιχα.

: y=x+3, εξίσωση διαµέσου µ. : y= 2x+3 και κορυφή Β(4,1). Να προσδιορίσετε τις κορυφές Α και Γ του τριγώνου y= x+ 7 7 και y= 7x 5 αντίστοιχα. Κεφάλαιο ο : Η ευθεία στο επίπεδο Θέµατα «Ανάπτυξης» Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ του οποίου η κορυφή Α έχει συντεταγµένες (,5) και οι διάµεσοι ΒΕ και ΓΖ έχουν εξισώσεις x 4y + = 0

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα