Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου

Transcript

1 Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες στο επίπεδο

2 Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα ΟΙ να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Ox. Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα το ΟΙ = Ԧi και τον συμβολίζουμε με x x. Η ημιευθεία Οx λέγεται θετικός ημιάξονας Οx ενώ η Ox λέγεται αρνητικός ημιάξονας Ox. x Ο Ι Μ(x) x Αν τώρα πάνω στον άξονα x x πάρουμε ένα σημείο Μ επειδή OM Ԧι θα υπάρχει ακριβώς ένας πραγματικός αριθμός x τέτοιος ώστε OM = x Ԧi.

3 Καρτεσιανό Επίπεδο Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα τα Ԧi και Ԧj. Λέμε τότε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή απλούστερα ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή ακόμα ένα καρτεσιανό επίπεδο και το συμβολίζουμε με Oxy. Πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο παίρνουμε ένα σημείο Μ. Από το Μ φέρνουμε την παράλληλη στον y y που τέμνει τον x x στο M 1 και την παράλληλη στον x x που τέμνει τον y y στο M 2. Αν x είναι η τετμημένη του M 1 ως προς τον άξονα x x και y η τετμημένη του ως προς τον άξονα y y τότε ο x λέγεται τετμημένη του Μ και ο y τεταγμένη του Μ. Η τετμημένη και η τεταγμένη λέγονται συντεταγμένες του Μ. Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγμένων. y Ԧj = 1 x Ԧi Ԧj Ԧi = 1

4 Συντεταγμένες Διανύσματος y y Ԧj Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και Ԧa ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα OA. Αν A 1 και A 2 είναι οι προβολές του Α στους άξονες x x και y y αντιστοίχως έχουμε: OA = OA 1 + OA 2 (1) Αν x y είναι οι συντεταγμένες του A τότε ισχύει OA 1 = xԧi και OA 2 = yԧj. Επομένως η ισότητα (1) γράφεται a = xԧi + yԧj Συντομογραφία α = x y A 2 Ԧj O Ԧι Ԧa Ԧa A 1 A(x y) Ԧa = xԧi + yԧj x x Ԧi Κάθε διάνυσμα a του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή a = xԧi + yԧj

5 Ισότητα Διανυσμάτων Έστω Ԧa = x 1 Ԧi + y 1 Ԧj και Ԧβ = x 2 Ԧi + y 2 Ԧj. Ισχύει ότι Ԧα = Ԧβ αν και μόνο αν x 1 = x 2 και y 1 = y 2 a = x 1 Ԧi + y 1 Ԧj β = x 2 Ԧi + y 2 Ԧj a = 0 a = β x 1 = 0 και y 1 = 0 x 1 = x 2 και y 1 = y 2 Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες.

6 Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Έστω α = x 1 y 1 και β = x 2 y 2. Ισχύει ότι: Ԧα + Ԧβ = x 1 + x 2 y 1 + y 2 Προσθέτουμε τα x με τα x και τα y με τα y λ Ԧα = λ x 1 λ y 1 Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό λ και με τα x και με τα y λ Ԧα + μ Ԧβ = λ x 1 + μ x 2 λ y 1 + μ y 2

7 Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων α = x 1 y 1 και β = x 2 y 2 Ԧa + Ԧβ = x 1 y 1 + x 2 y 2 = x 1 + x 2 y 1 + y 2 Ԧa + Ԧβ = (-3)

8 Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Έστω α = x 1 y 1 λ Ԧa = λ x 1 y 1 = λ x 1 λ y 1 λ a = (-2)

9 Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α x Α y Α και B x Β y Β. Αν Μ x Μ y Μ ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ τότε: x Μ = x Α + x Β 2 y B(x 2 y 2 ) το μέσο του Μ(xy) και y Μ = y Α + y Β 2 Ο A(x 1 y 1 ) x

10 Αρχή Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α x Α y Α και B x Β y Β. Τότε το διάνυσμα ΑΒ θα έχει συντεταγμένες ΑΒ = x Β x Α y Β y Α Α -3-2 Β -5 3 Τέλος ΑΒ = y της αρχής x του τέλους x της αρχής y του τέλους

11 Μέτρο Διανύσματος Αν α= ( x y) τότε 2 = x + y 2 Η απόσταση των σημείων ( x1 y1 ) και x 2 y ) είναι ίση με ( x1) + ( y2 1) ( ) = ( x y.

12 Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Έστω α = x 1 y 1 και β = x 2 y 2. Ως ορίζουσα των διανυσμάτων Ԧα και Ԧβ ορίζουμε την ποσότητα Πρώτη γραμμή συντεταγμένες του α διανύσματος det Ԧa Ԧβ = x 1 y 1 x 2 y 2 = x 1 y 2 - x 2 y 1 Κύρια Διαγώνιος Δεύτερη γραμμή συντεταγμένες του β διανύσματος Δευτερεύουσα Διαγώνιος

13 Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Έστω α = x 1 y 1 και β = x 2 y 2. Ισχύει ότι Ԧα Ԧβ αν και μόνο αν det Ԧa Ԧβ =0

14 Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος Έστω Ԧα = x y ένα μη μηδενικό διάνυσμα και A το σημείο του επιπέδου για το οποίο ισχύει ΟΑ = Ԧα. Τη γωνία φ που διαγράφει ο ημιάξονας αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α με τον άξονα x x. Είναι φανερό ότι 0 φ 2π Για τη γωνία φ όπως είναι γνωστό από την Τριγωνομετρία αν το Ԧα δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα y y ισχύει εφφ = y x

15 Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος Το πηλίκο y x της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος = ( x y ) με x 0 το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του και τον συμβολίζουμε με ή απλώς με λ. Επομένως: λ = y x = εφφ Είναι φανερό ότι Αν y = 0 δηλαδή αν α// x x τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι ο = 0. Αν x = 0 δηλαδή αν α// y y τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος.

16 Έστω α = x 1 y 1 και β = x 2 y 2. Ισχύει ότι Ԧα Ԧβ αν και μόνο αν λ 1 = λ 2 Προσοχή!!! Για να κάνουμε χρήση του συντελεστή διεύθυνσης πρέπει πρώτα να έχουμε διασφαλίσει ότι τα διανύσματα δεν είναι κατακόρυφα δλδ παράλληλα στον άξονα y y