Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
|
|
- ῾Ερμιόνη Παπαϊωάννου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνο Σ.H.M.Μ.Y. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. 1η ενότητα: Εισαγωγή, Αλγόριθμοι Επιμέλεια: Πάνος Χείλαρης, Βαγγέλης Μπαμπάς, Γεωργία Καούρη Ευχαριστίες: Ηλίας Κουτσουπιάς (ΕΚΠΑ) 1
2 Περιεχόμενα Εισαγωγή Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι Γράφων Αυτόματα και Τυπικές Γλώσσες Λογική στην Επιστήμη των Υπολογιστών Υπολογιστικά Μοντέλα Υπολογισιμότητα (Computability) Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Λογικός Προγραμματισμός Συναρτησιακός Προγραμματισμός Αντικειμενοστρεφής Προγραμματισμός Συστήματα Αρίθμησης Δυαδική Παράσταση Αριθμών Δομή και Λειτουργία ενός Απλού Υπολογιστή Συμβολική Γλώσσα (ASSEMBLY) του ΕΚΥ 2
3 Εισαγωγή Κλάδοι της Επιστήμης των Υπολογιστών Τι είναι Επιστήμη των Υπολογιστών; Πρόγραμμα και γλώσσα προγραμματισμού Αλγόριθμος Υπολογισιμότητα Πολυπλοκότητα Επανάληψη, επαγωγή, αναδρομή, ορθότητα Δομημένος προγραμματισμός Παράλληλες, ταυτόχρονες, κατανεμημένες διεργασίες Παράδειγμα: πύργοι Hanoi, ταξινόμηση treesort με binary search tree Το Θεώρημα τεσσάρων χρωμάτων (four color theorem) 3
4 Introduction The 21st century has been called the Computer Era. Computers are used not only as a professional tool, but as communication and entertainment media. Young students already have a lot of experience in using computers and the Internet. Their natural fascination can be used in order to boost their interest in mathematics and science. Algorithmics (algorithmic methodology) is a new way for solving problems. Proposal for high school: replace computer literacy with an elementary programming language that prompts students to concentrate on the design and precise formulation of solutions for problems. 4
5 Κεντρικό ερώτημα Επιστήμης Υπολογιστών Τι μπορεί να μηχανοποιηθεί και μάλιστα αποδοτικά ; Ποια προβλήματα μπορούμε να λύσουμε με υπολογιστή και πόσο καλά ; Υπολογιστές: ταχύτητα - ακρίβεια 5
6 What is Computer Science? The scientific and engineering discipline that studies representation, storage and transfer of information by computers and networks, algorithmic solutions and their efficiency, computational complexity. What can be automated, and even better automated efficiently. Computer Science vs. Informatics vs. Computing Science Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 6 Dijkstra (astronomy telescope)
7 Computer Science Informatics Computing Science Dijkstra 7
8 Κλάδοι Επιστήμης Υπολογιστών 8
9 Different aspects of CS Networks and Internet. Information flow (ordering Chinese food, movie theaters, holidays in Togo, poets of Sakhalin, Pursuit of trivia). Business applications (online financial transactions, e-commerce, e-banking, e-anything). Modern technology (AI, multimedia,...). Administration (big brother, encryption, security, e-voting, digital warfare). Change in every aspect of everyday life. Futurology... 9
10 Our view. The value of a new mathematical methodology: Algorithmic problem solution. Algorithmic problems may arise in: Internet (routing, congestion, game theory, cost allocation) Biology (protein folding, genome, evolution). 10
11 Disorientations The question of whether a computer can think is no more interesting than the question of whether a submarine can swim. Computer science is no more about computers than astronomy is about telescopes. [Dijkstra] The world doesn t need more than five computers [Tom Watson, IBM, 1945] 11
12 Hardware exponential growth Gordon Moore, Intel, 1965 Hardware density in integrated circuits doubles every 18 months 12
13 But do not forget: To err is human. To mess everything up, you need a computer. 13
14 Mathematical formalization of engineering methodology Problem requirements Specifications Design Implementation Testing - Verification Optimization Complexity (cost of resources) Documentation Maintenance Concepts that had been used by engineers, were formalized in CS, obtained a mathematical form; and thus we can argue about them using proofs. 14
15 Program Program Precise description of an algorithm in a formal language that is called programming language Actions are applied to data 15
16 Formulation in a language Natural language No strict syntactic rules Great density and semantic capability Formal language Strict syntax and semantics Programming language Formal language in which computations can be described Executable by an electronic computer 16
17 Knowledge representation Modeling Abstraction: (Directed) Graphs (Formal) Logic Data Models Data Structures Algorithms 17
18 Αλγόριθμοι (not in Webster s 50 years ago, in 1971 in Oxford s: erroneous refashioning of algorism: calculation with Arabic numerals) Abu Jaffar Mohammed Ibn Musa AlKhowarizmi, 9, محمد بن موسى الخوارزمي ος αι. μ.χ. Αυστηρά καθορισμένη (πεπερασμένη) ακολουθία ενεργειών που περιγράφει μέθοδο επίλυσης ενός προβλήματος Οι ενέργειες εφαρμόζονται σε δεδομένα Παραδείγματα: Ευκλείδειος αλγόριθμος (Ευκλείδης, 3ος αι. π.χ.) για εύρεση ΜΚΔ Αριθμοί Fibonacci (Leonardo Pisano Filius Bonacci, 13ος αι. μ.χ.) Τρίγωνο Pascal (Yang Hui, 楊輝, 13ος αι. μ.χ.) 18
19 Fibonacci numbers 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, Fn=Fn-1+Fn-2 Problem: Given n, compute Fn? recursion, iteration, How fast can we compute Fn? O(1.618n), O(n), O(log n) 19
20 Pascal Triangle (Yang Hui) Binomial coefficients / (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 / Combinations
21 Algorithmics as a branch of Mathematics Mathematics is a methodology for solving problems. G. Polya: How to solve it. Classically the solution is described statically, e.g., as a solution of an equation. In modern 20th century mathematics, the solution can also be dynamic, e.g., a description of an algorithm that produces the answer. Furthermore, the cost of solving the problem algorithmically is of interest: Computational complexity. D. Harel, W. Feldman. Algorithmics: the spirit of computing 21
22 Υπολογισιμότητα - Πολυπλοκότητα Υπολογισιμότητα (Computability) Τι μπορεί να υπολογιστεί και τι όχι; Υπολογιστική πολυπλοκότητα (Computational Complexity) Τι μπορεί να υπολογιστεί γρήγορα (ή σε λίγο χώρο) και τι όχι; Πόσο γρήγορα μπορεί να υπολογιστεί; 22
23 Μη επιλύσιμα προβλήματα Πρόβλημα τερματισμού Το πρόβλημα του Collatz (Ulam): while x!=1 do if (x is even) then x=x/2 else x=3*x Πρόβλημα: Δίνεται x. Τερματίζει το πρόγραμμα; Πρόβλημα: Τερματίζει το πρόβλημα για κάθε φυσικό αριθμό x; Δεν γνωρίζουμε την απάντηση (είναι δηλαδή ανοικτά προβλήματα). 23
24 Τι είναι πολυπλοκότητα; Το είναι πιο πολύπλοκο από το (Kolmogorov complexity) Τα θηλαστικά είναι πιο πολύπλοκα από τους ιούς. Το σκάκι είναι πιο πολύπλοκο από την τρίλιζα. Οι επικαλύψεις του Escher είναι πιο πολύπλοκες από τα πλακάκια του μπάνιου. Οι πρώτοι αριθμοί είναι πιο πολύπλοκοι από τους περιττούς (υπολογιστική πολυπλοκότητα). 24
25 25
26 Τι είναι υπολογιστική πολυπλοκότητα; Ένας τρόπος για να συλλάβουμε γιατί οι πρώτοι αριθμοί είναι πιο πολύπλοκοι από τους περιττούς είναι η υπολογιστική πολυπλοκότητα. Το πρόβλημα «Δίνεται x. Είναι πρώτος;» είναι πιο δύσκολο από το πρόβλημα «Δίνεται x. Είναι περιττός;» 26
27 Computational Complexity Efficiently computable, feasible. Comparing algorithms with respect to their efficiency. Classifying problems with respect to the use of resources, e.g., time (computational steps), space (memory), number of processors, number of non-deterministic choices in every step, use of external help (oracles), use of random bits, etc. 27
28 Κατηγοριοποίηση προβλημάτων Όλα τα προβλήματα Υπολογίσιμα (επιλύσιμα) Αποδοτικώς επιλύσιμα Παραλληλοποιήσιμα 28
29 Asymptotic behavior logn n n2 2n ( ) 10 29
30 Iteration-Recursion-Induction 30
31 Πύργοι Ανόι (Hanoi Towers) 31
32 Μερική και Ολική Ορθότητα 32
33 Euclid s idea for finding the GCD of two natural numbers If a>b then GCD(a, b) = GCD(a mod b, b) If a<b then GCD(a, b) = GCD(a, b mod a) a mod b = the remainder of the integer division a div b This is the best known algorithm for GCD. It is an open problem whether this is an optimal algorithm. 33
34 Euclid s algorithm for GCD GCD of 172 and (iteration) The GCD is 2. 34
35 Treesort με χρήση Binary Search Tree 35
36 Structured Programming Modularity Parallel Systems Concurrent Systems Distributed Systems 36
37 Δίκτυα Ταξινόμησης (Sorting Networks) 37
38 Four Color Theorem ( ) Appel Haken (απόδειξη με πρόγραμμα!) 38
39 Αλγόριθμοι 39
40 Determinism 40
41 Nondeterminism 41
42 Μοντέλα Υπολογισμού 42
43 Θέση των Church-Turing (ισοδύναμη διατύπωση) 43
44 Πολυπλοκότητα 44
45 Είδη πολυπλοκότητας 45
46 Πολυπλοκότητα: κόστος αλγορίθμου / κόστος προβλήματος 46
47 Παράδειγμα: ταξινόμηση Bubblesort: c n2 Mergesort: c' n logn Πολυπλοκότητα του προβλήματος (επίλυση με συγκρίσεις): c' n logn 47
48 Μαθηματικοί Συμβολισμοί 48
49 Μαθηματικοί Συμβολισμοί 49
50 Μαθηματικοί Συμβολισμοί 50
51 Η "προπαίδεια" log*n: πόσες φορές πρέπει να λογαριθμήσουμε το n για να φτάσουμε κάτω από το 1 (αντίστροφη υπερεκθετικής) A: Ackermann. α: αντίστροφη της Α. 51
52 Εύρεση Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (gcd) Δεν είναι καλή ιδέα να το αναγάγουμε στο πρόβλημα εύρεσης πρώτων παραγόντων γιατί αυτό δεν λύνεται αποδοτικά. Απλός αλγόριθμος: Ο(min(α,b)) Αλγόριθμος με αφαιρέσεις: Ο(max(α,b)) Αλγόριθμος του Ευκλείδη: Ο(log min(α,b)) 52
53 Πολυπλοκότητα Ευκλείδειου Αλγόριθμου Άνω φράγμα: Ο(log min(α,b)) Επειδή σε 2 επαναλήψεις ο μεγαλύτερος αριθμός υποδιπλασιάζεται (άσκηση: αποδείξτε το!) Κάτω φράγμα: Ω(log min(α,b)) Επειδή για διαδοχικούς Fibonacci, Fk+1, Fk, χρειάζεται k βήματα, και Fk φk/ 5, όπου φ=(1+ 5)/2 (χρυσή τομή). Επομένως: Θ(log min(α,b))
54 Ύψωση σε δύναμη power(a, n) result := 1 for i := 1 to n do result := result*a return result Πολυπλοκότητα: O(n) εκθετική ως προς το μήκος της εισόδου! 54
55 Ύψωση σε δύναμη με επαναλαμβανόμενο τετραγωνισμό fastpower(a, n) result := 1 while n>0 do if odd(n) then result:=result*a n := n div 2 a := a*a return result Ιδέα: a =a 13 Πολυπλοκότητα: O(log n) πολυωνυμική ως προς το μήκος της εισόδου! 55
56 Αριθμοί Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... F0 = 0, F1 = 1, Fn=Fn-1+Fn-2, n >=2 Πρόβλημα: Δίνεται n, να υπολογιστεί το Fn Πόσο γρήγορο μπορεί να είναι το πρόγραμμά μας; 56
57 Αριθμοί Fibonacci: αναδρομικός αλγόριθμος F(n) if (n<2) then return n else return F(n-1)+F(n-2); Πολυπλοκότητα: T(n) = T(n-1) + T(n-2) + c, δηλ. η T(n) ορίζεται όπως η F(n) (+ κάτι μικρό), οπότε: Τ(n) > F(n) = Ω(1.62n) 57
58 Αριθμοί Fibonacci: καλύτερος αλγόριθμος F(n) a:=0; b:=1; for i:=2 to n do c:=b; b:=a+b; a:=c; return b; Πολυπλοκότητα: O(n) 58
59 Χρόνος εκτέλεσης αλγορίθμων Θεωρήστε 4 προγράμματα με αριθμό βημάτων O(2n ), O(n 2), O(n), και O(logn) που το κάθε χρειάζεται 1 δευτερόλεπτο για να υπολογίσει το F(100). Πόσα δευτερόλεπτα θα χρειαστούν για να υπολογίσουν το F(n); F(100) c.2n 1 c.n 2 1 c.n 1 c.logn 1 F(101) F(110) F(200)??????
60 Αριθμοί Fibonacci: ακόμα καλύτερος αλγόριθμος Μπορούμε να γράψουμε τον υπολογισμό σε μορφή πινάκων: Από αυτό συμπεραίνουμε Ο αριθμός των αριθμητικών πράξεων μειώνεται στο O(log n). 60
61 Προβλήματα πρώτων αριθμών Primality testing: Δίνεται ακέραιος n. Είναι πρώτος; Σχετικά εύκολο. Επιλύεται σε πολυωνυμικό χρόνο όπως έδειξαν πρόσφατα κάποιο προπτυχιακοί Ινδοί φοιτητές. Factoring: Δίνεται ακέραιος n. Να βρεθούν οι πρώτοι παράγοντες του. Δεν ξέρουμε αν είναι εύκολο ή δύσκολο. Πιστεύουμε ότι δε λύνεται σε πολυωνυμικό χρόνο, αλλά ούτε ότι είναι τόσο δύσκολο όσο τα NP-complete προβλήματα. Σε κβαντικούς υπολογιστές (που δεν έχουμε ακόμα καταφέρει να κατασκευάσουμε) επιλύεται πολυωνυμικά. 61
62 Factoring και κρυπτογραφία (η δικαίωση του Ευκλείδη!) RSA: Κρυπτογραφικό σχήμα δημοσίου κλειδιού για να στείλει η A (Alice) στον B (Bob) ένα μήνυμα m. O B διαλέγει 2 μεγάλους πρώτους αριθμούς p και q, υπολογίζει το γινόμενο n=pq, και διαλέγει ακέραιο e σχετικά πρώτο με το φ(n)=(p-1)(q-1). Ο Β στέλνει στην Α τα n και e. H Α στέλνει στον Β τον αριθμό c=me(mod n). Ο Β υπολογίζει το m: m=cd(mod n), όπου το d=e-1 (mod (p-1)(q-1)). Παράδειγμα: p=11, q=17, n=187, e=21, d=61, m=42, c=9 - Η ασφάλεια του RSA στηρίζεται στην (εκτιμώμενη) δυσκολία του factoring. - Για την υλοποίηση του RSA χρησιμοποιούνται, μεταξύ άλλων, ο αλγόριθμος επαναλαμβανόμενου τετραγωνισμού και ο επεκτεταμένος Ευκλείδειος αλγόριθμος (που επιπλέον εκφράζει τον gcd(a,b) σαν γραμμικό συνδυασμό των a και b). 62
63 Πολυπλοκότητα: ανοικτά ερωτήματα Εκτός από κάποιες ειδικές περιπτώσεις, για κανένα πρόβλημα δεν γνωρίζουμε πόσο γρήγορα μπορεί να λυθεί. Ακόμα και για τον πολλαπλασιασμό αριθμών δεν γνωρίζουμε τον ταχύτερο αλγόριθμο. Ο σχολικός τρόπος πολλαπλασιασμού αριθμών με n ψηφία χρειάζεται O(n2) βήματα. Υπάρχουν καλύτεροι αλγόριθμοι που χρειάζονται περίπου O(n log n) βήματα. Υπάρχει αλγόριθμος που χρειάζεται μόνο O(n) βήματα; Αυτό είναι ανοικτό ερώτημα. 63
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνοσεμφε 2η ενότητα: Αλγοριθμικές τεχνικές, αριθμητικοί υπολογισμοί Διδάσκοντες Θεωρία: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής Εργαστήριο: Δώρα Σούλιου Βοηθός διδασκαλίας:
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνο ΣΕΜΦΕ http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 1η ενότητα: Εισαγωγή, Αλγόριθμοι ιδάσκοντες Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Κλειώ Σγουροπούλου Βοηθός διδασκαλίας:
Διαβάστε περισσότεραΕπιτυχίες της Αλγοριθμικής. Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Εισαγωγή. Κεντρικό ερώτημα Επιστήμης Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσεμφε http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 1η ενότητα: Εισαγωγή, Αλγόριθμοι ιδάσκοντες Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Κλειώ Σγουροπούλου Βοηθός διδασκαλίας:
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισµού Theory of Computation
1 ο µέρος Θεωρία Υπολογισµού Theory of Computation 1 Υπολογισιµότητα - Computability o Υπολογισιµότητα (Computability) n Τι µπορεί να υπολογιστεί και τι όχι; o Υπολογιστική πολυπλοκότητα (Computational
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνοσεμφε 2η ενότητα: Αλγοριθμικές τεχνικές, αριθμητικοί υπολογισμοί Διδάσκοντες Θεωρία: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής Εργαστήριο: Δώρα Σούλιου Βοηθός διδασκαλίας:
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 4η ενότητα: Αλγοριθμικές τεχνικές, αριθμητικοί υπολογισμοί Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/introcs
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνο ΣΕΜΦΕ 3η ενότητα: Αλγοριθμικές τεχνικές, αριθμητικοί υπολογισμοί Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/focs
Διαβάστε περισσότεραΘεµελιώδη Θέµατα. 5ο εξάµηνο ΣΕΜΦΕ. Αλγοριθµικές τεχνικές, αριθµητικοί υπολογισµοί. 3η ενότητα:
Θεµελιώδη Θέµατα Επιστήµης Υπολογιστών 5ο εξάµηνο ΣΕΜΦΕ 3η ενότητα: Αλγοριθµικές τεχνικές, αριθµητικοί υπολογισµοί Επιµέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/focs
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
http://www.corelab.ntua.gr/courses/ Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνο ΣΕΜΦΕ Ενότητα 0: Εισαγωγή Διδάσκοντες: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής Υπεύθυνη εργαστηρίου / ασκήσεων: Δώρα Σούλιου
Διαβάστε περισσότεραWebster s 50 χρόνια πριν: ανύπαρκτος όρος Oxford s, 1971: «erroneous refashioning of algorism: calculation with Arabic numerals»
Αλγόριθμος Webster s 50 χρόνια πριν: ανύπαρκτος όρος Oxford s, 1971: «erroneous refashioning of algorism: calculation with Arabic numerals» Abu Jaffar Mohammed Ibn Musa Al-Khowarizmi, μ.χ. 9 ος αι.,الخوارزمي
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνοσεμφε 1η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού Διδάσκοντες Θεωρία: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής Εργαστήριο: Δώρα Σούλιου Βοηθός διδασκαλίας: Θανάσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 3η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνο ΣHMΜY
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνο ΣHMΜY 2η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 1η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy Ενότητα 0: Εισαγωγή ιδάσκοντες: Στάθης Ζάχος, Κωστής Σαγώνας, Άρης Παγουρτζής, ημήτρης Σούντρης Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 7ο εξάμηνο ΣHMΜY Εισαγωγή Διδάσκοντες: Άρης Παγουρτζής, Δώρα Σούλιου Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Σακαβάλας Επιμέλεια διαφανειών: Άρης Παγουρτζής www.corelab.ntua.gr/courses/algorithms
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνο ΣΕΜΦΕ
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνο ΣΕΜΦΕ 2η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότεραιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε Γενική μέθοδος σχεδιασμού αλγορίθμων: ιαίρεση σε ( 2) υποπροβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει-και-Βασίλευε. Διαίρει-και-Βασίλευε. MergeSort. MergeSort. Πρόβλημα Ταξινόμησης: Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1
Διαίρει-και-Βασίλευε Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης των Η/Υ. 1 η ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης των Η/Υ 1 η ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στόχος Θεματικής Ενότητας Οι μαθητές να περιγράφουν τους βασικούς τομείς της Επιστήμης των Υπολογιστών και να μπορούν
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε»
Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε» ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει-και-Βασίλευε. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2
Διαίρει-και-Βασίλευε Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Διαίρει-και-Βασίλευε 2 Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική µέθοδος σχεδιασµού αλγορίθµων: Διαίρεση σε ( 2) υποπροβλήµατα (σηµαντικά) µικρότερου µεγέθους.
Διαβάστε περισσότεραFinite Field Problems: Solutions
Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις-προσθήκες: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Διαίρει-και-Βασίλευε Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις-προσθήκες: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 1 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Ας ξεκινήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir, Adlemann, 1977) Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κρυπτοσύστημα
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2016 - I. ΜΗΛΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 2016 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 03 - EXAMPLES ALG & COMPL 1 Example: GCD συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΟρθότητα Χωρική αποδοτικότητα. Βελτιστότητα. Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση. Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1
Ανάλυση Αλγορίθμων Θέματα Θέματα: Ορθότητα Χρονική αποδοτικότητα Χωρική αποδοτικότητα Βελτιστότητα Προσεγγίσεις: Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Θεωρητική
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2016 - I. ΜΗΛΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 2016 - Ι. ΜΗΛΗΣ 08 DP I 1 Dynamic Programming Richard Bellman (1953) Etymology (at
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Χρήστος Κούτρας Γιώργος
Διαβάστε περισσότεραHomework 3 Solutions
Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 2.0 Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων Ασυμπτωτική Πολυπλοκότητα Αναδρομικές Σχέσεις Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δημήτρης Φωτάκης (λίγες προσθήκες: Άρης Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραModels for Probabilistic Programs with an Adversary
Models for Probabilistic Programs with an Adversary Robert Rand, Steve Zdancewic University of Pennsylvania Probabilistic Programming Semantics 2016 Interactive Proofs 2/47 Interactive Proofs 2/47 Interactive
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Διαβάστε περισσότεραΑριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραExercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.
Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας
Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 1 / 16 «Ζέσταµα» Να γράψετε τις συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή. Κεφάλαιο 1. είναι Μάγκας σκύλος ζώο έχει ξύλινο σπιτάκι. Σχήμα 1.1: Γράφος για την αναπαράσταση γνώσης.
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Ο όρος Επιστήμη των Υπολογιστών (Computer Science) χρησιμοποιείται περισσότερο στην Αμερική. Στην Ευρώπη χρησιμοποιούμε τον όρο Πληροφορική (Informatics), ενώ στην Μεγάλη Βρετανία λένε
Διαβάστε περισσότεραderivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates
derivation of the Laplacian from rectangular to spherical coordinates swapnizzle 03-03- :5:43 We begin by recognizing the familiar conversion from rectangular to spherical coordinates (note that φ is used
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Δημήτριος Μπάκας Αθανάσιος
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία PROJECT Συνοπτική Παρουσίαση του Κβαντικού Αλγόριθμου Παραγοντοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΟρισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:
Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού
Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών και Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικού Mετσόβιου Πολυτεχνείου
Διαβάστε περισσότεραC.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order
Διαβάστε περισσότεραΣελίδα μαθήματος με ημερολόγιο, υλικό, βιβλιογραφία, ββ, ανακοινώσεις
Αλγόριθμοι Σελίδα μαθήματος με ημερολόγιο, υλικό, βιβλιογραφία, ββ, ανακοινώσεις http://delab.csd.auth.gr/courses/algorithms/ Διαλέξεις: Τρίτη 14-16, αίθουσα Β Πέμπτη 9-11, αίθουσα Β Φροντιστήριο: Τετάρτη
Διαβάστε περισσότεραοµές εδοµένων 3 ο Εξάµηνο Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ
Τµήµα Πανεπιστήµιο Πληροφορικής Ιωαννίνων ΟΜΕΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 εδοµένα Σύνολο από πληροφορίες που πρέπει να αποθηκευτούν σε έναν υπολογιστή Υπολογιστικό Μοντέλο ένας επεξεργαστής και µεγάλος
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Θέματα Απόδοσης Αλγορίθμων 1 Η Ανάγκη για Δομές Δεδομένων Οι δομές δεδομένων οργανώνουν τα δεδομένα πιο αποδοτικά προγράμματα Πιο ισχυροί υπολογιστές πιο σύνθετες εφαρμογές Οι πιο σύνθετες εφαρμογές απαιτούν
Διαβάστε περισσότεραk A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +
Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b
Διαβάστε περισσότεραANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?
Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least
Διαβάστε περισσότεραΕπιστήμη των Υπολογιστών
Επιστήμη των Υπολογιστών Ο επιστημονικός και τεχνολογικός κλάδος που: μελετάει την αναπαράσταση, αποθήκευση, επεξεργασία και μετάδοση πληροφοριών μέσω υπολογιστών και δικτύων αναζητά και εξετάζει τρόπους
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ
Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Πτυχιακή Εργασία Φοιτητής: ΜIΧΑΗΛ ΖΑΓΟΡΙΑΝΑΚΟΣ ΑΜ: 38133 Επιβλέπων Καθηγητής Καθηγητής Ε.
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS
CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =
Διαβάστε περισσότεραThe Simply Typed Lambda Calculus
Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότερα2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομή (Recursion) Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα κάνοντας λίγη δουλειά και ανάγοντας το υπόλοιπο να λυθεί με τον ίδιο τρόπο.
Αναδρομή (Recursion) Πώς να λύσουμε ένα πρόβλημα κάνοντας λίγη δουλειά και ανάγοντας το υπόλοιπο να λυθεί με τον ίδιο τρόπο. Πού χρειάζεται; Πολλές μαθηματικές συναρτήσεις ορίζονται αναδρομικά. Δεν είναι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Δυναµικός Προγραµµατισµός (Dynamic Programming) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 4 Δυναµικός Προγραµµατισµός (Dynamic Programming) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 Τεχνικές Σχεδίασης Αλγορίθµων Απληστία. Χτίζουµε µια λύση σταδιακά, βελτιστοποιώντας
Διαβάστε περισσότεραGPU. CUDA GPU GeForce GTX 580 GPU 2.67GHz Intel Core 2 Duo CPU E7300 CUDA. Parallelizing the Number Partitioning Problem for GPUs
GPU 1 1 NP number partitioning problem Pedroso CUDA GPU GeForce GTX 580 GPU 2.67GHz Intel Core 2 Duo CPU E7300 CUDA C Pedroso Python 323 Python C 12.2 Parallelizing the Number Partitioning Problem for
Διαβάστε περισσότεραSection 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
Διαβάστε περισσότερα2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.
Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν
Διαβάστε περισσότερα1η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων
1/20 Ασυμπτωτικός Συμβολισμός, Αναδρομικές Σχέσεις 1η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1 Ασυμπτωτικός Συμβολισμός, Αναδρομικές Σχέσεις 2 3 4 5 2/20
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Ανάλυση Αλγορίθμων
Κεφάλαιο 5 Ανάλυση Αλγορίθμων 5.1 Επίδοση αλγορίθμων Τα πρωταρχικά ερωτήματα που προκύπτουν είναι: 1. πώς υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου; 2. πώς μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους οι διάφοροι
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ανεµόµετρο AMD 1 Αισθητήρας AMD 2 11 ος όροφος Υπολογιστής
Διαβάστε περισσότεραStatistical Inference I Locally most powerful tests
Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 2: Ανάλυση Αλγορίθμων. Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 2: Ανάλυση Αλγορίθμων Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραAbstract Storage Devices
Abstract Storage Devices Robert König Ueli Maurer Stefano Tessaro SOFSEM 2009 January 27, 2009 Outline 1. Motivation: Storage Devices 2. Abstract Storage Devices (ASD s) 3. Reducibility 4. Factoring ASD
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος
Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA
Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo
Διαβάστε περισσότεραStudy of In-vehicle Sound Field Creation by Simultaneous Equation Method
Study of In-vehicle Sound Field Creation by Simultaneous Equation Method Kensaku FUJII Isao WAKABAYASI Tadashi UJINO Shigeki KATO Abstract FUJITSU TEN Limited has developed "TOYOTA remium Sound System"
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 1.0 Εισαγωγή στις Βασικές Έννοιες του Μαθήματος Απαιτήσεις Μαθήματος και Εργαστηρίου Περιήγηση στις Βασικές Έννοιες του Μαθήματος Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. «Θεσμικό Πλαίσιο Φωτοβολταïκών Συστημάτων- Βέλτιστη Απόδοση Μέσω Τρόπων Στήριξης»
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΑΙΟΥ «Θεσμικό Πλαίσιο Φωτοβολταïκών Συστημάτων- Βέλτιστη Απόδοση Μέσω Τρόπων Στήριξης» Διπλωματική
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Αναδρομή
Αναδρομή Κλήσεις Συναρτήσεων Όταν καλείται μια συνάρτηση, πρέπει Να θυμάται σε ποιο σημείο του προγράμματος θα επιστρέψει Να δεσμεύσει χώρο για την τιμή που θα επιστρέψει Να δεσμεύσει χώρο για τα ορίσματα
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Αναδρομή
Προγραμματισμός Αναδρομή Προγραμματισμός Προγραμματισμός Κλήσεις Συναρτήσεων Όταν καλείται μια συνάρτηση, πρέπει Να θυμάται σε ποιο σημείο του προγράμματος θα επιστρέψει Να δεσμεύσει χώρο για την τιμή
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Αλγορίθµων. Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035).
Ανάλυση Αλγορίθµων Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035). Περίληψη Ανάλυση αλγορίθµων Ο, Θ, Ω Ανάλυση µη αναδροµικών αλγόριθµων Ανάλυση αναδροµικών αλγόριθµων Εµπειρική Ανάλυση Visualization Απόδοση Αλγορίθµων Απόδοση
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι. Κεφάλαιο Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Τι είναι αλγόριθμος
Κεφάλαιο 5 Αλγόριθμοι 5.1 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Η ονομασία Αλγόριθμος προέρχεται από το όνομα του Αραβα Μαθηματικού Al-Khowârizmi (με καταγωγή από το Ουζμπεκιστάν, που έζησε στη Βαγδάτη τον 9ο αιώνα
Διαβάστε περισσότεραCryptography and Network Security Chapter 9. Fifth Edition by William Stallings
Cryptography and Network Security Chapter 9 Fifth Edition by William Stallings Chapter 9 Κρυπτογραφια Δημοσιου Κλειδιου και RSA Every Egyptian received two names, which were known respectively as the true
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα 2 (12 µονάδες)
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2015-2016 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Ε. Μαρκάκης, Θ. Ντούσκας Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Πρόβληµα 1 (12 µονάδες) 1) Υπολογίστε τον
Διαβάστε περισσότεραΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ
ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ Το πρόβλημα: Δεδομένα: δύο ακέραιοι a και b Ζητούμενο: ο μέγιστος ακέραιος που διαιρεί και τους δύο δοσμένους αριθμούς, γνωστός ως Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους (Greatest
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομικοί Αλγόριθμοι
Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας ένα ή περισσότερα στιγμιότυπα του ίδιου προβλήματος. Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος
Μορφές αποδείξεων Μαθηματικά Πληροφορικής ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
Διαβάστε περισσότεραLecture 2. Soundness and completeness of propositional logic
Lecture 2 Soundness and completeness of propositional logic February 9, 2004 1 Overview Review of natural deduction. Soundness and completeness. Semantics of propositional formulas. Soundness proof. Completeness
Διαβάστε περισσότεραΚατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π
Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2005. Κώστας Δόσιος
ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Μου δίνεται η ευκαιρία με την περάτωση της παρούσης διδακτορικής διατριβής να σημειώσω ότι, είναι ιδιαίτερα δύσκολο και κοπιαστικό να ολοκληρώσεις το έργο που ξεκινάς κάποια στιγμή έχοντας
Διαβάστε περισσότεραST5224: Advanced Statistical Theory II
ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known
Διαβάστε περισσότεραConcrete Mathematics Exercises from 30 September 2016
Concrete Mathematics Exercises from 30 September 2016 Silvio Capobianco Exercise 1.7 Let H(n) = J(n + 1) J(n). Equation (1.8) tells us that H(2n) = 2, and H(2n+1) = J(2n+2) J(2n+1) = (2J(n+1) 1) (2J(n)+1)
Διαβάστε περισσότεραΑλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων
Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και Βασίλευε (Divide and
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική»
Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική» Μεταπτυχιακή Διατριβή Τίτλος Διατριβής Επίκαιρα Θέματα Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Σταμάτιος
Διαβάστε περισσότερα