Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1"

Transcript

1 Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος

2 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό νόμο ελέγχου (ανατροφοδότηση κατάστασης): u( k) = Kx( k) Το κλειστό σύστημα θα είναι x( k+ ) = ( A BF) x( k) με αποτέλεσμα την μετατόπιση των ιδιοτιμών (πόλων) του συστήματος σε νέες θέσεις. Ο στόχος είναι να επιλέξουμε το πίνακα F ώστε το κλειστό σύστημα να έχει κάποια επιθυμητή συμπεριφορά (ευστάθεια, ταχύτητα απόκρισης, εύρος ζώνης). Ψηφιακός Έλεγχος

3 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Οι ιδιοτιμές του συστήματος ανοικτού βρόχου είναι και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι ( λ ) p z = z = zi A = z + a z a z+ a i= λ, λ,..., λ i Θέλουμε να βρούμε ένα πίνακα F ώστε οι ιδιοτιμές του κλειστού συστήματος να είναι * * * λ, λ,..., λ με αντίστοιχο χαρακτηριστικό πολυώνυμο * ( * ) * = λ * * i = + = i= p z z zi A BF z a z a z a Πότε όμως είναι δυνατό να ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να έχει οποιεσδήποτε ιδιοτιμές ; Ψηφιακός Έλεγχος 3

4 Θεώρημα Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Υπάρχει πίνακας ανατροφοδότησης κατάστασης F ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να έχει οποιεσδήποτε νέες ιδιοτιμές αν και μόνο αν το σύστημα ανοιχτού βρόχου είναι ελέγξιμο, δηλαδή αν και μόνο αν raks = όπου = ο πίνακας ελεγξιμότητας. S B AB A B... A B Έτσι, αν το ανοικτό σύστημα δεν είναι ελέγξιμο, υπάρχει τουλάχιστο μία ιδιοτιμή του πίνακα Α που παραμένει ίδια κάτω από οποιοδήποτε γραμμικό νόμο ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης. Σε αυτές τις περιπτώσεις μπορούμε να εφαρμόσουμε δυναμικούς ρυθμιστές, όπως PID ελεγκτές. Ψηφιακός Έλεγχος 4

5 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Θεωρούμε ένα ελέγξιμο σύστημα μίας εισόδου μίας εξόδου x( k+ ) = Ax( k) + bu( k) ο έλεγχος είναι γραμμικός της μορφής u( k) = f x( k) το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου είναι ( λ ) p z = z = zi A+ Bf = z + a z a z+ a * * * * * i i= * * * λ, λ,..., λ Ποιο είναι το διάνυσμα f ώστε το κλειστό σύστημα να έχει ιδιοτιμές ; Τύπος του Ackerma () f W S a * -a a... a 0... a όπου W = = a * * a a * a a =. a =... * a a Ψηφιακός Έλεγχος 5

6 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Στην περίπτωση που το σύστημα βρίσκεται σε κανονική ελέγξιμη μορφή με A = a a a... a b =.. 0 W S τότε το γινόμενο έχει τη μορφή W S = I = οπότε f I ( a* -a) * a a * a a = =.. * a a Ψηφιακός Έλεγχος 6

7 Τύπος του Ackerma () Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών * Μια εναλλακτική μορφή του τύπου είναι: f = es p( A) όπου e = [ ] p * ( A) και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο με όρισμα τον πίνακα Α: p A = A + a A a A+ a I * * * * Στην περίπτωση που όπου το σύστημα είναι πολλών εισόδων, ο υπολογισμός του πίνακα F είναι δύσκολος. Το πρόβλημα μπορεί να παρακαμφθεί με την εξής προσέγγιση: Θεωρούμε ότι ο πίνακας F είναι της μορφής F = qp όπου q, p είναι διανύσματα διάστασης : A BF = A Bqp = A bp Τότε: όπου b= Bq Ψηφιακός Έλεγχος 7

8 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Όπως παρατηρούμε, γίνεται αναγωγή στο πρόβλημα εύρεσης του πίνακα F για σύστημα μίας εισόδου. Παρατήρηση: Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο αν όπου = S b Ab A b... A b raks και b= Bq = Παράδειγμα: Θεωρούμε σύστημα της μορφής x( k+ ) = Ax( k) + bu( k) με 0 0 A=, b= 0 ˆ λ =, ˆ λ = 0.5 Να βρεθεί το διάνυσμα f ώστε οι ιδιοτιμές του συστήματος να είναι Ψηφιακός Έλεγχος 8

9 Λύση: Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών p z = zi A = z + pˆ z = z ˆ λ z ˆ λ = z + 0.5z 0.5 Έχουμε ενώ Μέθοδος η : Καθως το σύστημα βρίσκεται σε κανονική ελέγξιμη μορφή,το διάνυσμα f δίνεται κατευθείαν απο τη σχέση Μέθοδος η : f f aˆ a.5 aˆ a 0.5 * = = = Από τη σχέση f W S ( aˆ -a) = a W = = 0 S = [ b Ab] = 0 Ψηφιακός Έλεγχος 9

10 Επομένως Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών W S και 0 W S = 0 Έτσι f W S ( aˆ -a) = 0 = = = 0 = = Μέθοδος 3 η : Θα εφαρμόσουμε τη η * μέθοδο του Ackerma f = es p( A) pˆ( A) = A + aˆ A+ aˆ I = A + 0.5A 0.5I = = = Ψηφιακός Έλεγχος 0

11 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών (συνέχεια) = + + = [ ] 0 S b Ab = = 0 Έτσι * f = e S p A = 0 = [ 0 ] [.5 0.5] Και οι τρεις μέθοδοι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Ψηφιακός Έλεγχος

12 Παράδειγμα: Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα x( k+ ) = Ax( k) + bu( k) με A= 0 0, b 0 = 0 0 Να βρεθεί τό διάνυσμα f ώστε οι ιδιοτιμές του κλειστού συστήματος να είναι Λύση: ˆ λ = 0.5, ˆ λ = 0, ˆ λ = 0 3 p z = zi A = z Έχουμε 3 και ( ˆ )( ˆ )( ˆ ) 3 = λ λ λ = + pˆ z z z z z 0.5z 3 Ψηφιακός Έλεγχος

13 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Μέθοδος η : Επειδή το σύστημα βρίσκεται σε κανονική ελέγξιμη μορφή έχουμε f * 0+ = = aˆ 3 3 * f = f = aˆ a aˆ a a Μέθοδος η : Από τη σχέση f W S ( aˆ -a) = W a a 0 0 = 0 a = = 0 0 = 0 0 S b Ab A b Ψηφιακός Έλεγχος 3

14 W S Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών = = και W S = Τελικά f = ( W S ) ( aˆ a) = = = Μέθοδος 3 η : 3 3 pˆ A = A + aˆ A + aˆ A+ aˆ I = A + 0.5A = = = Ψηφιακός Έλεγχος 4

15 S b Ab A b Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών 0 0 = 0 0 = 0 0 Έτσι = ˆ = = f e S p A [ ] [ ] Ψηφιακός Έλεγχος 5

16 Παράδειγμα: Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα x( k+ ) = Ax( k) + bu( k) = W S Υπάρχει πίνακας μετασχηματισμού ο οποίος μεταχηματίζει στο σύστημα ( + ) = + z k Az k bz k όπου οι πίνακες είναι στην κανονική ελέγξιμη μορφή a a... a a A =, b= ( A, b) ( A, b ) Για τα συστήματα ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις, = =, =, =, = z k x k A A b b S S S W Ψηφιακός Έλεγχος 6

17 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Να αποδειχτεί η σχέση f = es pˆ ( A) Λύση: Έστω f το ζητούμενο διάνυσμα για το μετασχηματισμένο σύστημα. Είναι φανερό ότι f = [ a a a a a a ]... Το θεώρημα Caley-Hamilto δηλώνει ότι κάθε τετραγωνικός πίνακας ικανοποιέι τη χαρακτηριστική του εξίσωση. Επειδή όμοιοι πίνακες όπως οι A, A έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο, για τον πίνακα A το θεώρημα Caley-Hamilto θα είναι Έτσι, ο πίνακας θα είναι A + a A a A + a I = 0 A A = aa ˆ... aˆ A ai ˆ Ψηφιακός Έλεγχος 7

18 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Αντικαθιστώντας την προηγούμενη σχέση στη pˆ A = A + aˆ A aˆ A + aˆ I έχουμε ˆ( ) = ( ˆ ) ( ˆ ) + ( ˆ ) p A a a A a a A a a I k A [... ] Αν εξετάσουμε τον πίνακα παρατηρούμε ότι όλα τα στοιχεία της τελευταίας γραμμής του είναι μηδέν, εκτός απο το στοιχείο στην θέση -k. Επομένως, το διάνυσμα f που δίνεται απο τη σχέση f = a a a a a a γράφεται ως εξής: f = [ ] pˆ ( A ) Αν στην παραπάνω σχέση αντικαταστήσουμε τη σχέση A = A [ ] ˆ [ ] ˆ f = f = p A = p A Ψηφιακός Έλεγχος 8

19 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών [ ] [ ] Επειδή S = και χρησιμοποιώντας τη έχουμε ˆ ˆ ˆ f = e W S p A = e SS p A = e S p A = W S Ψηφιακός Έλεγχος 9

20 Έλεγχος deadbeat Η λύση του κλειστού συστήματος x( k+ ) = ( A BF) x( k) k = ( ) ( 0) x k A BF x είναι όπου x(0) η αρχική συνθήκη του διανύσματος κατάστασης. ˆ λ, ˆ λ,..., ˆ λ Αν οι ιδιοτιμές του πίνακα Α-ΒΚ είναι μέσα στο μοναδιαίο κύκλο, τότε το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές, πράγμα που σημαίνει ότιωω x k όταν ˆ λ = ˆ λ =... = ˆ λ = 0 0 k Για την ειδική περίπτωση όπου συμβαίνει κάτι πολύ ενδιαφέρον: Το διάνυσμα x(k) θα γίνει μηδέν για k Έτσι, το κλειστό σύστημα θα έλθει και θα παραμείνει σε πλήρη ακινησία το πολύ σε δειγματοληψίες. Έλεγχος τέτοιας μορφής ονομάζεται deadbeat και έχει εξαιρετικό και πρακτικό ενδιαφέρον. Είναι προφανές ότι για να επιτύχουμε έλεγχο deadbeat θα πρέπαι να επιλέξουμε τον πίνακα F ώστε όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα (Α-ΒF) να είναι μηδέν, δηλαδή pˆ z = zi A+ BF = z Ψηφιακός Έλεγχος 0

21 Έλεγχος deadbeat Το προηγούμενο είναι εφικτό αν το σύστημα (Α,Β) είναι ελέγξιμο. Παρατήρηση: Καθώς στον έλεγχο deadbeat ο χρόνος αποκατάστασης είναι μικρότερος η ίσος με, ο χρόνος δειγματοληψίας Τ επηρεάζει σημαντικά το πλάτος του σήματος ελέγχου u(k). Έτσι, όσο πιο γρήγορα θέλουμε το x(k) να φτάσει στο μηδέν (μικρό ) τόσο πιο μεγάλη προσπάθεια πρέπει να καταβάλλουμε (μεγάλο πλάτος του u(k)). Ή επιλογή του Τ πρέπει να είναι τέτοια ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο δειγματοληψίας του Shao αλλά και το πλάτος του u(k) να είναι σε ανεκτά όρια. Μόνο έτσι ο έλεγχος deadbeat μπορεί να εφαρμοστεί στην πράξη. Θα ασχοληθούμε με την περίπτωση όπου το σύστημα βρίσκεται στην κανονική ελέγξιμη μορφή και το διάνυσμα f δίνεται απο τη σχέση ( ˆ ) [ ˆ ˆ... ˆ ] * f = I a a = a a a a a a Ψηφιακός Έλεγχος

22 Έλεγχος deadbeat * Επειδή ο έλεγχος είναι deadbeat τότε f = I ( aˆ a) = [ a a... a ] Για αυτήν την τιμή του f, o πίνακας A bf θα πάρει τη μορφή (πίνακας ilpotet ) A bf = Εύκολα αποδεικνύεται ότι ( A bf ) = 0 k Έτσι x k = A bf x 0 = 0, k Ψηφιακός Έλεγχος

23 Έλεγχος deadbeat Παράδειγμα: Θεωρούμε το σύστημα του διπλού ολοκληρωτή s = U( s) Y s Μια περιγραφή του συστήματος στο χώρο κατάστασης είναι = +, = x t Ax t bu t y t c x t x y 0 0 = =, =, =, = x A b c x y Το ισοδύναμο μοντέλο διακριτού χρόνου είναι όπου c= c (( + ) ) = +, = x k Ax k bu k y k c x k Ψηφιακός Έλεγχος 3

24 Οι πίνακες Α, b υπολογίζονται : Έλεγχος deadbeat ( ) At t A e L si A = = = t= 0 = 0 t= λ ( ) Aλ 0.5 b= e dλ b = dλ b 0 = 0 0 Να προσδιοριστεί ένα διάνυσμα f για έλεγχο deadbeat. Να μελετηθεί το u(0) και u() για x = διάφορες τιμές του Τ και όταν το διάνυσμα αρχικών συνθηκών είναι 0 [ ] Λύση: = ( ˆ - ) f W S a a Έχουμε zi A = z = z z +, pˆ z = z Ψηφιακός Έλεγχος 4

25 W a 0 0 = = Έλεγχος deadbeat S = [ b Ab] = = W S 0 = 0 = ( aˆ a) Έτσι, f W S aˆ -a = = = 3 Ο πίνακας του κλειστού συστήματος είναι / /4 A bf = / / Ψηφιακός Έλεγχος 5

26 Έλεγχος deadbeat Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του κλειστου συστήματος είναι z 0.5 / 4 pˆ z zi A bf z / z+ 0.5 = + = = Επίσης έχουμε ( A bf ) = 0, q> Έτσι, x( k ) = 0, k > q Για το σήμα ελέγχου u(k): u( k) f x( k) / 3/ x( k) = = 3 Για k=0 u ( 0) = / 3/ x ( 0) = x ( 0) + x ( 0) Για k= u = f ( A bf ) x( 0) = x( 0) + x( 0) Ψηφιακός Έλεγχος 6

27 Έλεγχος deadbeat Για k= u f ( A bf ) x = 0 = 0 Για x ( 0) = x( 0) x( 0) = [ ] έχουμε u( 0) = ( / + 3/) u 0 = / + / και Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι τιμές του ελέγχου για τρεις διαφορετικούς χρόνους δειγματοληψίας: Τ u(0) u() Ψηφιακός Έλεγχος 7

28 Παρατηρητές Πολλές φορές δεν είναι δυνατό να μετρηθούν όλες οι καταστάσεις ενός δυναμικού συστήματος. Αν έχουμε το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος, μπορούμε να υπολογίσουμε το διάνυσμα κατάστασης από ήδη μετρημένες εισόδους και εξόδους. Υπάρχουν τρόποι εκτίμησης του διανύσματος κατάστασης:. Εκτίμηση με βάση τις εισόδους και τις εξόδους του συστήματος.. Εκτίμηση χρησιμοποιώντας ένα δυναμικό σύστημα (παρατηρητής κατάστασης) Ψηφιακός Έλεγχος 8

29 Απευθείας υπολογισμός Θεωρούμε το γραμμικό δυναμικό σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + = Cx( k) x k Ax k Bu k y k Γνωρίζουμε τις τιμές των εισόδων και εξόδων όλες τις προηγούμενες χρονικές στιγμές: ( ) ( ) y k, y k,.. u k, u k,.. Για τη γενική περίπτωση αλλά με βαθμωτή έξοδο έχουμε.. ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) y k c x k y k c Ax k c Bu k ( ) = + + ( + ) ( ) y k c A x k c A Bu k c Bu k Ψηφιακός Έλεγχος 9

30 Γράφοντας τις παραπάνω εξισώσεις σε μορφή πινάκων έχουμε: Απευθείας υπολογισμός y k + u k + y k + u k +. = Ox( k + ) +Ω... y( k) u( k ) με O c cb c A =., Ω= c A c A B c A B.. c B Ψηφιακός Έλεγχος 30

31 Φαίνεται καθαρά ότι ο πίνακας Ο είναι ο πίνακας παρατηρησιμότητας. Αν το σύστημα είναι παρατηρήσιμό (rako=) τότε ο πίνακας Ο είναι αντιστρέψιμός. Έτσι: y k + u k + y k + u k + x( k + ) = O. O Ω... y( k) u( k ) Επίσης x( k ) Ax( k ) Bu( k ) y( k + ) u( k + ) y( k + ) u( k + ) Απευθείας υπολογισμός + = =. Ω y( k) u( k ) A O O Bu k Ψηφιακός Έλεγχος 3

32 Απευθείας υπολογισμός Τελικά x( k) = +Ψ A O y k + u k + y k + u k y( k) u( k ) όπου 3 Ψ = A B A B.. B A O Ω Ο υπολογισμός του διανύσματος κατάστασης γίνεται μετά από το πολύ βήματα (για αυτό και ο παρατηρητής ονομάζεται deadbeat). Θεώρημα Το διάνυσμα κατάστασης μπορεί να υπολογιστεί απο μετρήσεις εισόδων και εξόδων αν και μόνο αν το σύστημα είναι παρατηρήσιμο. Ψηφιακός Έλεγχος 3

33 Απευθείας υπολογισμός Παράδειγμα: Θεωρούμε το σύστημα του διπλού ολοκληρώτη απο προηγούμενο παράδειγμα, το οποίο έχει υποστεί δειγματοληψία. Το ισοδύναμο μοντέλο διακριτού χρόνου είναι (( + ) ) = +, = x k Ax k bu k y k c x k A = 0 b 0.5 = c = 0 Να υπολογιστούν οι μεταβλητές κατάστασης ως συναρτήσεις των u(k) και y(k). Λύση: Ο πίνακας παρατηρισιμότητας είναι R είναι c 0 R = = c A Ψηφιακός Έλεγχος 33

34 Επίσης έχουμε Απευθείας υπολογισμός 0 0 R = = / / R cb / / / / Ω= R = = έτσι / 0 0 Ψ= B AR Ω= 0 = / / Επίσης 0 0 A R = AR = 0 = / / / / Ψηφιακός Έλεγχος 34

35 Τελικά Απευθείας υπολογισμός ( ) y( k) 0 y k 0 x k = + u k / / / 0 0 / / / ή x( k ) = y ( k ) + y ( k ) + u ( k ) Από την εξίσωση εισόδου y( k) = c x( k) = [ 0] x( k) = x ( k) Φαίνεται ότι η πρώτη μεταβλητή κατάστασης μετριέται απευθείας απο την έξοδο ενώ η δεύτερη μεταβλητή κατάστασης μετριέται απο την παραπάνω σχέση, όπου τελικά είναι ( ) y k y k x ( k ) = + u k Ψηφιακός Έλεγχος 35

36 Απευθείας υπολογισμός Παρατήρηση: Ο κατευθείαν υπολογισμός του διανύσματος κατάστασης έχει το πλεονέκτημα ότι επιτυγχάνεται σε το πολύ βήματα. Όμως, η τεχνική αυτή εχει το μειονέκτημα ότι μπορεί να είναι ευαίσθητη σε διαταραχές. Μια εναλλακτική μέθοδος είναι η ανακατασκευή του διανύσματος κατάστασης όπως θα παρουσιαστεί παρακάτω Ψηφιακός Έλεγχος 36

37 Παρατηρητής κατάστασης Θεωρούμε ότι το διάνυσμα κατάστασης προσεγγίζεται από την κατάσταση του μοντέλου xˆ k+ = Ax ˆ ˆ k + Bu ˆ k + Ky k ˆx( k) Όπως φαίνεται και από το παρακάτω σχήμα, ο παρατηρητής κατάστασης έχει δύο εισόδους, το διάνυσμα εισόδου u(k) και το διάνυσμα εξόδου y(k). x( k ) Θα μελετήσουμε την περίπτωση όπου τα διανύσματα και ˆx k έχουν τις ίδιες διαστάσεις (παρατηρητής πλήρους τάξης). u( k) ( ) x k+ = Ax k + Bu k C x( k ) y( k) ( + ) = ˆ ˆ + ˆ + xˆ k Ax k Bu k Ky k ˆx( k) Ψηφιακός Έλεγχος 37

38 Ορίζουμε το σφάλμα e( k) = x( k) xˆ ( k) Παρατηρητής κατάστασης Πρέπει να προσδιοριστούν οι πίνακες Aˆ, BK ˆ, ώστε το σφάλμα e(k) να τείναι στο μηδέν: ( + ) = ( + ) ˆ ( + ) = + ˆ ˆ e k x k x k Ax k Bu k A x k e k Bu k KCx k ( + ) = ˆ + ˆ + ˆ ek Aek A KC Axk B Buk Όπως φαίνεται απο τα παραπάνω, για να τείνει το σφάλμα στο μηδέν πρέπει Aˆ = A KC = B Bˆ = B Aˆ ευσταθής Ψηφιακός Έλεγχος 38

39 Παρατηρητής κατάστασης Η εξίσωση διαφορών του σφάλματος είναι ek ( + ) = Aek ˆ = [ A KCek ] Έτσι, ο παρατηρητής κατάστασης περιγράφεται απο την εξίσωση : ( + ) = [ ] ˆ + + xˆ k A KC x k Bu k Ky k ή xˆ( k+ ) = Axˆ( k) + Bu( k) + K y( k) Cxˆ( k) Παρατηρήσεις. Ο πίνακας Κ υπολογίζεται έτσι ώστε ο πίνακας A-KC να έχει ιδιοτιμές μέσα στο μοναδιαίο κύκλο. Ο παρατηρητής μπορεί να θεωρηθεί μπορεί να θεωρηθεί σαν το αρχικό σύστημα μαζί με τον επιπλέον όρο K y ( k) Cxˆ ( k) Ψηφιακός Έλεγχος 39

40 Παρατηρητής κατάστασης Το δομικό διάγραμμα του παρατηρητή φαίνεται παρακάτω: u( k) B y ( k r ) ( k) + K xˆ ( k+ ) z I ˆx ( k ) ˆ Cx k A C Σε αντιστοιχία με το πρόβλημα του ρυθμιστή, για να υπάρχει πίνακας Κ ώστε ο πίνακας A KC να παίρνει αυθαίρετες ιδιοτιμές πρέπει το σύστημα να είναι παρατηρήσιμο. Ψηφιακός Έλεγχος 40

41 Παρατήρηση Παρατηρητής κατάστασης Υπενθυμίζουμε ότι για να υπάρχει γραμμικός ρυθμιστής που να τοποθετεί αυθαίρετα τις ιδιοτιμές ενός συστήματος πρέπει το σύστημα να είναι ελέγξιμο, ή raks = όπου = S B AB.. A B Κατά αντιστοιχία, στην περίπτωση του παρατηρητή υπάρχει πίνακας Κ ώστε ο Aˆ = A C K να έχει αυθαίρετες ιδιοτιμές αν και μόνο αν το σύστημα (, ) A C είναι ελέγξιμο, ή ισοδύναμα, το σύστημα A, C είναι παρατηρήσιμο: rakr R C A C A C = όπου.. = Όπως φαίνεται οι παραπάνω συνθήκες είναι δυικές. Ψηφιακός Έλεγχος 4

42 Παρατηρητής κατάστασης Εξετάζουμε την περίπτωση όπου το γραμμικό σύστημα είναι μιας εξόδου. Τότε, ο πίνακας C είναι μια γραμμή, οπότε ο πίνακας R είναι ο τετραγωνικός x : Επίσης ο πίνακας είναι όπου = [ ] R= c A c.. A c  ˆ A = A kc k k k... k Όπως στην περίπτωση του ελεγκτή, έχουμε ( λ ) p z = z = zi A = z + a z a z+ a i= ( ˆ λ ) i= i pˆ z = z = zi Aˆ = z + aˆ z aˆ z+ aˆ i Για την περίπτωση όπου το σύστημα είναι μιας εξόδου το απαιτούμενο διάνυσμα k για να έχει ο παρατηρητής τις επιθυμητές ιδιοτιμές είναι μοναδικό Ψηφιακός Έλεγχος 4

43 Ψηφιακός Έλεγχος 43 Παρατηρητής κατάστασης Ένας τύπος που οδηγεί στον προσδιορισμό του k είναι ˆ k W R a a = όπου a a a W = ˆ ˆ.. ˆ a a a a =.. c c A R c A =.. a a a a = Για την περίπτωση όπου το σύστημα είναι πολλών εξόδων, ο προσδιορισμός του πίνακα Κ είναι συνήθως πολύπλοκος. Μια απλή προσέγγιση στο πρόβλημα είναι να θεωρήσουμε ότι ο πίνακας Κ έχει τη μορφή K qp = όπου q, p διανύσματα διαστάσεων.

44 Παρατηρητής κατάστασης Τότε, ˆ A = A KC = A qp C = A qγ γ = pc Με αυτόν τον τρόπο η λύση για το διάνυσμα q είναι σαν να ήταν το σύστημα μιας εξόδου. Βέβαια, το διάνυσμα γ αυθαίρετες παραμέτρους και συγκεκριμένα τα στοιχεία του αυθαίρετου διανύσματος p. Οι αυθαίρετες αυτές παράμετροι μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε τιμές, αρκεί όπου R ο πίνακας rakr = R = γ A γ... A γ Ψηφιακός Έλεγχος 44

45 Παράδειγμα: Παρατηρητής κατάστασης Για το σύστημα διπλού ολοκληρωτή A = 0 b 0.5 = c ( + ) = +, = x k Ax k bu k y k c x k = 0 να σχεδιαστεί παρατηρητής κατάστασης τέτοιος ώστε το σφάλμα e(k) να είναι deadbeat. Λύση: = ˆ e k x k x k c R = c A p z = zi A = z z+ Έχουμε οπότε rak(r)= επομένως το σύστημα είναι παρατηρήσιμο. Επίσης ˆ ˆ p z = zi A = zi A kc = z Ψηφιακός Έλεγχος 45

46 Παρατηρητής κατάστασης Έχουμε W a, = 0 = 0 aˆ 0 = 0 a = W R = = ( W ) 0 R = / / 0 k = ( W R) ( aˆ a) = / / = / Ψηφιακός Έλεγχος 46

47 Θα κάνουμε επαλήθευση Παρατηρητής κατάστασης ˆ 0 A= A kc = 0 = / 0 / το σφάλμα είναι ek = xk xk ˆ = ( A kc ) ek ( ) Για k=0 έχουμε e 0 x 0 xˆ 0 d e 0 = = x( 0) xˆ ( 0) = = e ˆ 0 x 0 x 0 d Για k=, e() ( A kc ) e( 0) Για k=, () e A kc e( 0) d = = / d d 0 = = = / d 0 Ψηφιακός Έλεγχος 47

48 Ο αναλογικός ρυθμιστής Ρυθμιστής PID Για συστήματα συνεχούς χρόνου ο αναλογικός ρυθμιστής είναι u( t) = K e( t) Για συστήματα διακριτού χρόνου: u( k) = K e( k) G z = K Επομένως Ο ολοκληρωτικός ρυθμιστής c p Για συστήματα συνεχούς χρόνου u() t () p i t 0 p t K = e t dt K p επομένως Gc ( s) =, i ο χρόνος ολοκλήρωσης s i Για συστήματα διακριτού χρόνου η ολοκληρωτική εξίσωση περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών: K p u( k) u( k ) K p u = ek ή ( k) = u( k ) + e( k) i i Ψηφιακός Έλεγχος 48 p

49 Έτσι G ( z) c K p = = i ( z ) i ( z ) Ο διαφορικός ρυθμιστής Ρυθμιστής PID Kz Για συστήματα συνεχούς χρόνου u( t) = K e ( t) Έτσι, G s = K s, ο χρόνος διαφόρισης c p d d p p d Για συστήματα διακριτού χρόνου η διαφορική εξίσωση περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών: u k K e( k ) e k = p d Έτσι, z K p d z Gc z = Kpd = z Ψηφιακός Έλεγχος 49

50 Ο ρυθμιστής PID Ρυθμιστής PID Συνδυάζοντας τα προηγούμενα, για συστήματα συνεχούς χρόνου ο ρυθμιστής PID είναι Έτσι, t u t Kp e t e t dt de t i t0 Gc s = Kp + + ds s i () = () + () + () Για συστήματα διακριτού χρόνου Έτσι, k u k Kp e k e j e k e k i j= 0 i d = + + ( ) z d z Gc z = Kp + + i z i z Ψηφιακός Έλεγχος 50

51 Τελικά., κάνοντας τις πράξεις: Ρυθμιστής PID = ( ) z az + b Gc z K z z όπου K a = b = + + i d i = Kp i i d i + + i d i d + + i i d i Ψηφιακός Έλεγχος 5

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών (Συνοπτικές σημειώσεις με παραδείγματα) ( Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Άσκηση Θεωρείστε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: Y ( s) a s 4 3 a3s a U ( s) s a όπου οι αριθμοί α ι αντιστοιχούν στους αντίστοιχους αριθμούς των 4 πρώτων γραμμάτων του

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 7 η διάλεξη Υλοποίηση Ψηφιακών Φίλτρων. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 7 η διάλεξη Υλοποίηση Ψηφιακών Φίλτρων. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 7 η διάλεξη Υλοποίηση Ψηφιακών Φίλτρων Ψηφιακός Έλεγχος Υλοποίηση Ψηφιακών φίλτρων Το πρακτικό ενδιαφέρον της υλοποίησης ψηφιακών ρυθμιστών είναι μεγάλο καθώς λαμβάνονται υπόψιν θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 11 η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 11 η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014 Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 204 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Η διαδικασία διεύθυνσης ενός αυτοκινήτου κατά την οδήγησή του μπορεί να περιγραφεί με ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου κλειστού βρόχου.

Διαβάστε περισσότερα

TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ας θεωρήσουμε το σύστημα ανοικτού βρόχου που περιγράφεται από τις εξισώσεις κατάστασης (.) και (.2): x Ax+ Bu (.)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008) ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Για τον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών της συνάρτησης μεταφοράς as + s + 9 G(s) s(s 5)(s + b) με Κ>0 δίδεται ότι η τομή των ασυμπτώτων είναι το σημείο σ -(0+Ν 0 ) όπου Ν 0 το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 1: ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Από τις Καταστατικές Εξισώσεις στη Συνάρτηση Μεταφοράς bx x y bx I X b I Y Καταστατικές

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #2: Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Συστημάτων Κλειστού Βρόχου - Μόνιμα Σφάλματα Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη:

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη: ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Εισαγωγή Αυτό το βοήθημα θα σας δείξει τα χαρακτηριστικά καθενός από τους τρεις ελέγχους ενός PID ελεγκτή, του αναλογικού (P), του ολοκληρωτικού (I) και του διαφορικού (D) ελέγχου, καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ) Modern Control Theory

Συστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ) Modern Control Theory Σ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Συστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ Modern Conrol Theory (η Ενότητα: Συστήματα Συνεχούς Χρόνου Διδάσκων : Αναπληρωτής Καθηγητής Δ.Π.Θ. Δομή και βασικές κατηγορίες

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου.

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου. ΕΡΩΤΗΜΑ Δίνεται το σύστημα δεξαμενών του διπλανού σχήματος, όπου: q,q : h,h : Α : R : οι παροχές υγρού στις δύο δεξαμενές, τα ύψη του υγρού στις δύο δεξαμενές, η διατομή των δεξαμενών και η αντίσταση ροής

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Συστήματα Ελέγχου Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο. Ρομποτική II. Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο. Ρομποτική II. Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 009-0, 8ο Εξάμηνο Ρομποτική II Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

x x Ax Bu u = 0. Η ιδιοτιμή του κάτω δεξιά πίνακα είναι η -3. = s + = = + = +

x x Ax Bu u = 0. Η ιδιοτιμή του κάτω δεξιά πίνακα είναι η -3. = s + = = + = + y = [ ] Έστ συνεχές σύστημα ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΗΣ ΠΡΟΟΔΟΥ ΣΑΕ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 6 ΘΕΜΑ ο u = + = + x x Ax Bu 3 3 u 3 x [ β] Ποιες είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α; Ο πίνακας Α διαχρίζεται σε block, κάθε ένα από τα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η μετρική του χώρου Στην ορίσαμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, όταν οι συντεταγμένες αυτές λαβαίνονται σε ένα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς του Ερχόμαστε,

Διαβάστε περισσότερα

που σε κάθε χρονική στιγμή περιλαμβάνει τις τιμές των μεταβλητών κατάστασης

που σε κάθε χρονική στιγμή περιλαμβάνει τις τιμές των μεταβλητών κατάστασης 1. Έννοια παρατηρησιμότητας. Ας θεωρήσουμε ένα ΓΧΑ σύστημα τάξης, κατ αρχήν μιας εξόδου () και μιας εισόδου (). Έχουμε ήδη θεμελιώσει ότι ένα οποιοδήποτε ΓΧΑ σύστημα μπορεί να περιγραφεί από τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ T.E. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμογών: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #6: Σχεδιασμός ελεγκτών με χρήση αναλυτικής μεθόδου υπολογισμού παραμέτρων 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6)

y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6) Ασκήσεις σε Σήματα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 9 Οκτωβρίου 015 1. Ενα αιτιατό ΓΧΑ σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Βιβλιοραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο : Ενότητες.-.3 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 5: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ Regulators) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση

Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση Επανάληψη στα Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα στα Πεδία Συχνότητας και Χρόνου Ψηφιακός Έλεγχος µε Συνεχή Σχεδιασµό Χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΕΠΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ

ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΕΠΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΠΕΡΙΟΔΟΣ: Σεπτεμβρίου ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 7/0/009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 3 ώρες Αριθμός Μητρώου

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #7 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων για ΓΧΑ Συστήματα Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης Παραδείγματα Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικς περιόδου χειμερινού εξαμνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (2,0 μονάδες) Να σχεδιαστεί το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του για τον ηλεκτρικό θερμοσίφωνα του σχματος. Είσοδος

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Ηλεκτρονικής. Θεωρία Ευφυών Συστημάτων Ελέγχου. Περίγραμμα μαθήματος

Τμήμα Ηλεκτρονικής. Θεωρία Ευφυών Συστημάτων Ελέγχου. Περίγραμμα μαθήματος Τμήμα Ηλεκτρονικής Θεωρία Ευφυών Συστημάτων Ελέγχου. Περίγραμμα μαθήματος Κλειστά συστήματα διακριτού χρόνου περιγραφή και ευστάθεια στο πεδίο z. Mεταβλητές κατάστασης, ελεγξιμότητα και παρατηρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

10 2a 1 0 x. 1) Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα του συστήματος για τις διάφορες

10 2a 1 0 x. 1) Να εξεταστεί η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα του συστήματος για τις διάφορες Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο Κ-Ω ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο Ονοματεπώνυμο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ. Παπαβασιλόπουλος ΠΕΡΙΟΔΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών

Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ

Ο Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και υπολογισμός του βρόχου φάσης (PLL). Β μέρος του Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας

Ανάλυση και υπολογισμός του βρόχου φάσης (PLL). Β μέρος του Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας Ανάλυση και υπολογισμός του βρόχου φάσης (PLL). Β μέρος του Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας 1. Εισαγωγή Στο προηγούμενο μάθημα - εισήγηση αναλύθηκε ποιοτικά η λειτουργία του βρόχου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Συνάρτηση Μεταφοράς Σ.Δ.Δ. Διακριτοποίηση Συν. Μεταφοράς Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο της επεξεργασίας σήματος αλλά και συχνή αιτία πονοκεφάλου για όσους πρωτοασχολούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 7 η : ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Προσαρμοστικός και Συμπερασματικός Έλεγχος Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #9: Αναλογικά Συστήματα Ελέγχου Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α) Η παράγωγος μιας συνάρτησης = f() σε ένα σημείο 0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης (ή τον παράγωγο αριθμό) στο σημείο 0. β) Γραφικά, η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #11: Ελεγκτές PID & Συντονισμός Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Συναρτήσεις Μεταφοράς, Δομικά Διαγράμματα, Διαγράμματα Ροής Σημάτων Aναστασία Βελώνη Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #12: Παραδείγματα Αναλογικών Συστημάτων Ελέγχου Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Ελεγξιµότητα και Παρατηρησιµότητα Καλλιγερόπουλος 5 Εξισώσεις εσωτερικής κατάστασης Η εξωτερική συµπεριφορά ενός συστήµατος ορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗΣ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ

ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗΣ. ΘΕΜΑ Βαθμολογία Βαθμός Σπουδαστή ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Ε.Μ.Π. ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Σ. Ε. Ρ. ΜΑΘΗΜΑ: Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ΕΞΑΜΗΝΟ: 5 ο ΚΑΘΗΓΗΤEΣ: Τ. Γ. Κουσιουρής Γ.Π. Παπαβασιλόπουλος Γ. Ρηγάτος ΠΕΡΙΟΔΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα 5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 4 Ιουνίου 009 Θέμα (0 μονάδες) α) (7 μον) Για τις διάφορες τιμές του k R, να λυθεί το σύστημα y+ kz =

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Στα προηγούμενα κεφάλαια παρουσιάσαμε την έννοια της συνάρτησης συστήματος για αναλογικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι 2.

Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι 2. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΛΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Το φέρον σε ένα σύστημα DSB διαμόρφωσης είναι c t A t μηνύματος είναι το m( t) sin c( t) sin c ( t) ( ) cos 4 c και το σήμα. Το διαμορφωμένο σήμα διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γ.Π. ΠΑΠΑΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 2

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γ.Π. ΠΑΠΑΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Γ.Π. ΠΑΠΑΒΑΣΙΛΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα