Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1"

Transcript

1 Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος

2 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό νόμο ελέγχου (ανατροφοδότηση κατάστασης): u( k) = Kx( k) Το κλειστό σύστημα θα είναι x( k+ ) = ( A BF) x( k) με αποτέλεσμα την μετατόπιση των ιδιοτιμών (πόλων) του συστήματος σε νέες θέσεις. Ο στόχος είναι να επιλέξουμε το πίνακα F ώστε το κλειστό σύστημα να έχει κάποια επιθυμητή συμπεριφορά (ευστάθεια, ταχύτητα απόκρισης, εύρος ζώνης). Ψηφιακός Έλεγχος

3 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Οι ιδιοτιμές του συστήματος ανοικτού βρόχου είναι και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι ( λ ) p z = z = zi A = z + a z a z+ a i= λ, λ,..., λ i Θέλουμε να βρούμε ένα πίνακα F ώστε οι ιδιοτιμές του κλειστού συστήματος να είναι * * * λ, λ,..., λ με αντίστοιχο χαρακτηριστικό πολυώνυμο * ( * ) * = λ * * i = + = i= p z z zi A BF z a z a z a Πότε όμως είναι δυνατό να ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να έχει οποιεσδήποτε ιδιοτιμές ; Ψηφιακός Έλεγχος 3

4 Θεώρημα Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Υπάρχει πίνακας ανατροφοδότησης κατάστασης F ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου να έχει οποιεσδήποτε νέες ιδιοτιμές αν και μόνο αν το σύστημα ανοιχτού βρόχου είναι ελέγξιμο, δηλαδή αν και μόνο αν raks = όπου = ο πίνακας ελεγξιμότητας. S B AB A B... A B Έτσι, αν το ανοικτό σύστημα δεν είναι ελέγξιμο, υπάρχει τουλάχιστο μία ιδιοτιμή του πίνακα Α που παραμένει ίδια κάτω από οποιοδήποτε γραμμικό νόμο ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης. Σε αυτές τις περιπτώσεις μπορούμε να εφαρμόσουμε δυναμικούς ρυθμιστές, όπως PID ελεγκτές. Ψηφιακός Έλεγχος 4

5 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Θεωρούμε ένα ελέγξιμο σύστημα μίας εισόδου μίας εξόδου x( k+ ) = Ax( k) + bu( k) ο έλεγχος είναι γραμμικός της μορφής u( k) = f x( k) το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος κλειστού βρόχου είναι ( λ ) p z = z = zi A+ Bf = z + a z a z+ a * * * * * i i= * * * λ, λ,..., λ Ποιο είναι το διάνυσμα f ώστε το κλειστό σύστημα να έχει ιδιοτιμές ; Τύπος του Ackerma () f W S a * -a a... a 0... a όπου W = = a * * a a * a a =. a =... * a a Ψηφιακός Έλεγχος 5

6 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Στην περίπτωση που το σύστημα βρίσκεται σε κανονική ελέγξιμη μορφή με A = a a a... a b =.. 0 W S τότε το γινόμενο έχει τη μορφή W S = I = οπότε f I ( a* -a) * a a * a a = =.. * a a Ψηφιακός Έλεγχος 6

7 Τύπος του Ackerma () Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών * Μια εναλλακτική μορφή του τύπου είναι: f = es p( A) όπου e = [ ] p * ( A) και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο με όρισμα τον πίνακα Α: p A = A + a A a A+ a I * * * * Στην περίπτωση που όπου το σύστημα είναι πολλών εισόδων, ο υπολογισμός του πίνακα F είναι δύσκολος. Το πρόβλημα μπορεί να παρακαμφθεί με την εξής προσέγγιση: Θεωρούμε ότι ο πίνακας F είναι της μορφής F = qp όπου q, p είναι διανύσματα διάστασης : A BF = A Bqp = A bp Τότε: όπου b= Bq Ψηφιακός Έλεγχος 7

8 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Όπως παρατηρούμε, γίνεται αναγωγή στο πρόβλημα εύρεσης του πίνακα F για σύστημα μίας εισόδου. Παρατήρηση: Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο αν όπου = S b Ab A b... A b raks και b= Bq = Παράδειγμα: Θεωρούμε σύστημα της μορφής x( k+ ) = Ax( k) + bu( k) με 0 0 A=, b= 0 ˆ λ =, ˆ λ = 0.5 Να βρεθεί το διάνυσμα f ώστε οι ιδιοτιμές του συστήματος να είναι Ψηφιακός Έλεγχος 8

9 Λύση: Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών p z = zi A = z + pˆ z = z ˆ λ z ˆ λ = z + 0.5z 0.5 Έχουμε ενώ Μέθοδος η : Καθως το σύστημα βρίσκεται σε κανονική ελέγξιμη μορφή,το διάνυσμα f δίνεται κατευθείαν απο τη σχέση Μέθοδος η : f f aˆ a.5 aˆ a 0.5 * = = = Από τη σχέση f W S ( aˆ -a) = a W = = 0 S = [ b Ab] = 0 Ψηφιακός Έλεγχος 9

10 Επομένως Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών W S και 0 W S = 0 Έτσι f W S ( aˆ -a) = 0 = = = 0 = = Μέθοδος 3 η : Θα εφαρμόσουμε τη η * μέθοδο του Ackerma f = es p( A) pˆ( A) = A + aˆ A+ aˆ I = A + 0.5A 0.5I = = = Ψηφιακός Έλεγχος 0

11 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών (συνέχεια) = + + = [ ] 0 S b Ab = = 0 Έτσι * f = e S p A = 0 = [ 0 ] [.5 0.5] Και οι τρεις μέθοδοι δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Ψηφιακός Έλεγχος

12 Παράδειγμα: Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα x( k+ ) = Ax( k) + bu( k) με A= 0 0, b 0 = 0 0 Να βρεθεί τό διάνυσμα f ώστε οι ιδιοτιμές του κλειστού συστήματος να είναι Λύση: ˆ λ = 0.5, ˆ λ = 0, ˆ λ = 0 3 p z = zi A = z Έχουμε 3 και ( ˆ )( ˆ )( ˆ ) 3 = λ λ λ = + pˆ z z z z z 0.5z 3 Ψηφιακός Έλεγχος

13 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Μέθοδος η : Επειδή το σύστημα βρίσκεται σε κανονική ελέγξιμη μορφή έχουμε f * 0+ = = aˆ 3 3 * f = f = aˆ a aˆ a a Μέθοδος η : Από τη σχέση f W S ( aˆ -a) = W a a 0 0 = 0 a = = 0 0 = 0 0 S b Ab A b Ψηφιακός Έλεγχος 3

14 W S Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών = = και W S = Τελικά f = ( W S ) ( aˆ a) = = = Μέθοδος 3 η : 3 3 pˆ A = A + aˆ A + aˆ A+ aˆ I = A + 0.5A = = = Ψηφιακός Έλεγχος 4

15 S b Ab A b Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών 0 0 = 0 0 = 0 0 Έτσι = ˆ = = f e S p A [ ] [ ] Ψηφιακός Έλεγχος 5

16 Παράδειγμα: Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα x( k+ ) = Ax( k) + bu( k) = W S Υπάρχει πίνακας μετασχηματισμού ο οποίος μεταχηματίζει στο σύστημα ( + ) = + z k Az k bz k όπου οι πίνακες είναι στην κανονική ελέγξιμη μορφή a a... a a A =, b= ( A, b) ( A, b ) Για τα συστήματα ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις, = =, =, =, = z k x k A A b b S S S W Ψηφιακός Έλεγχος 6

17 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Να αποδειχτεί η σχέση f = es pˆ ( A) Λύση: Έστω f το ζητούμενο διάνυσμα για το μετασχηματισμένο σύστημα. Είναι φανερό ότι f = [ a a a a a a ]... Το θεώρημα Caley-Hamilto δηλώνει ότι κάθε τετραγωνικός πίνακας ικανοποιέι τη χαρακτηριστική του εξίσωση. Επειδή όμοιοι πίνακες όπως οι A, A έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο, για τον πίνακα A το θεώρημα Caley-Hamilto θα είναι Έτσι, ο πίνακας θα είναι A + a A a A + a I = 0 A A = aa ˆ... aˆ A ai ˆ Ψηφιακός Έλεγχος 7

18 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Αντικαθιστώντας την προηγούμενη σχέση στη pˆ A = A + aˆ A aˆ A + aˆ I έχουμε ˆ( ) = ( ˆ ) ( ˆ ) + ( ˆ ) p A a a A a a A a a I k A [... ] Αν εξετάσουμε τον πίνακα παρατηρούμε ότι όλα τα στοιχεία της τελευταίας γραμμής του είναι μηδέν, εκτός απο το στοιχείο στην θέση -k. Επομένως, το διάνυσμα f που δίνεται απο τη σχέση f = a a a a a a γράφεται ως εξής: f = [ ] pˆ ( A ) Αν στην παραπάνω σχέση αντικαταστήσουμε τη σχέση A = A [ ] ˆ [ ] ˆ f = f = p A = p A Ψηφιακός Έλεγχος 8

19 Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών [ ] [ ] Επειδή S = και χρησιμοποιώντας τη έχουμε ˆ ˆ ˆ f = e W S p A = e SS p A = e S p A = W S Ψηφιακός Έλεγχος 9

20 Έλεγχος deadbeat Η λύση του κλειστού συστήματος x( k+ ) = ( A BF) x( k) k = ( ) ( 0) x k A BF x είναι όπου x(0) η αρχική συνθήκη του διανύσματος κατάστασης. ˆ λ, ˆ λ,..., ˆ λ Αν οι ιδιοτιμές του πίνακα Α-ΒΚ είναι μέσα στο μοναδιαίο κύκλο, τότε το σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές, πράγμα που σημαίνει ότιωω x k όταν ˆ λ = ˆ λ =... = ˆ λ = 0 0 k Για την ειδική περίπτωση όπου συμβαίνει κάτι πολύ ενδιαφέρον: Το διάνυσμα x(k) θα γίνει μηδέν για k Έτσι, το κλειστό σύστημα θα έλθει και θα παραμείνει σε πλήρη ακινησία το πολύ σε δειγματοληψίες. Έλεγχος τέτοιας μορφής ονομάζεται deadbeat και έχει εξαιρετικό και πρακτικό ενδιαφέρον. Είναι προφανές ότι για να επιτύχουμε έλεγχο deadbeat θα πρέπαι να επιλέξουμε τον πίνακα F ώστε όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα (Α-ΒF) να είναι μηδέν, δηλαδή pˆ z = zi A+ BF = z Ψηφιακός Έλεγχος 0

21 Έλεγχος deadbeat Το προηγούμενο είναι εφικτό αν το σύστημα (Α,Β) είναι ελέγξιμο. Παρατήρηση: Καθώς στον έλεγχο deadbeat ο χρόνος αποκατάστασης είναι μικρότερος η ίσος με, ο χρόνος δειγματοληψίας Τ επηρεάζει σημαντικά το πλάτος του σήματος ελέγχου u(k). Έτσι, όσο πιο γρήγορα θέλουμε το x(k) να φτάσει στο μηδέν (μικρό ) τόσο πιο μεγάλη προσπάθεια πρέπει να καταβάλλουμε (μεγάλο πλάτος του u(k)). Ή επιλογή του Τ πρέπει να είναι τέτοια ώστε να ικανοποιείται το κριτήριο δειγματοληψίας του Shao αλλά και το πλάτος του u(k) να είναι σε ανεκτά όρια. Μόνο έτσι ο έλεγχος deadbeat μπορεί να εφαρμοστεί στην πράξη. Θα ασχοληθούμε με την περίπτωση όπου το σύστημα βρίσκεται στην κανονική ελέγξιμη μορφή και το διάνυσμα f δίνεται απο τη σχέση ( ˆ ) [ ˆ ˆ... ˆ ] * f = I a a = a a a a a a Ψηφιακός Έλεγχος

22 Έλεγχος deadbeat * Επειδή ο έλεγχος είναι deadbeat τότε f = I ( aˆ a) = [ a a... a ] Για αυτήν την τιμή του f, o πίνακας A bf θα πάρει τη μορφή (πίνακας ilpotet ) A bf = Εύκολα αποδεικνύεται ότι ( A bf ) = 0 k Έτσι x k = A bf x 0 = 0, k Ψηφιακός Έλεγχος

23 Έλεγχος deadbeat Παράδειγμα: Θεωρούμε το σύστημα του διπλού ολοκληρωτή s = U( s) Y s Μια περιγραφή του συστήματος στο χώρο κατάστασης είναι = +, = x t Ax t bu t y t c x t x y 0 0 = =, =, =, = x A b c x y Το ισοδύναμο μοντέλο διακριτού χρόνου είναι όπου c= c (( + ) ) = +, = x k Ax k bu k y k c x k Ψηφιακός Έλεγχος 3

24 Οι πίνακες Α, b υπολογίζονται : Έλεγχος deadbeat ( ) At t A e L si A = = = t= 0 = 0 t= λ ( ) Aλ 0.5 b= e dλ b = dλ b 0 = 0 0 Να προσδιοριστεί ένα διάνυσμα f για έλεγχο deadbeat. Να μελετηθεί το u(0) και u() για x = διάφορες τιμές του Τ και όταν το διάνυσμα αρχικών συνθηκών είναι 0 [ ] Λύση: = ( ˆ - ) f W S a a Έχουμε zi A = z = z z +, pˆ z = z Ψηφιακός Έλεγχος 4

25 W a 0 0 = = Έλεγχος deadbeat S = [ b Ab] = = W S 0 = 0 = ( aˆ a) Έτσι, f W S aˆ -a = = = 3 Ο πίνακας του κλειστού συστήματος είναι / /4 A bf = / / Ψηφιακός Έλεγχος 5

26 Έλεγχος deadbeat Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του κλειστου συστήματος είναι z 0.5 / 4 pˆ z zi A bf z / z+ 0.5 = + = = Επίσης έχουμε ( A bf ) = 0, q> Έτσι, x( k ) = 0, k > q Για το σήμα ελέγχου u(k): u( k) f x( k) / 3/ x( k) = = 3 Για k=0 u ( 0) = / 3/ x ( 0) = x ( 0) + x ( 0) Για k= u = f ( A bf ) x( 0) = x( 0) + x( 0) Ψηφιακός Έλεγχος 6

27 Έλεγχος deadbeat Για k= u f ( A bf ) x = 0 = 0 Για x ( 0) = x( 0) x( 0) = [ ] έχουμε u( 0) = ( / + 3/) u 0 = / + / και Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι τιμές του ελέγχου για τρεις διαφορετικούς χρόνους δειγματοληψίας: Τ u(0) u() Ψηφιακός Έλεγχος 7

28 Παρατηρητές Πολλές φορές δεν είναι δυνατό να μετρηθούν όλες οι καταστάσεις ενός δυναμικού συστήματος. Αν έχουμε το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος, μπορούμε να υπολογίσουμε το διάνυσμα κατάστασης από ήδη μετρημένες εισόδους και εξόδους. Υπάρχουν τρόποι εκτίμησης του διανύσματος κατάστασης:. Εκτίμηση με βάση τις εισόδους και τις εξόδους του συστήματος.. Εκτίμηση χρησιμοποιώντας ένα δυναμικό σύστημα (παρατηρητής κατάστασης) Ψηφιακός Έλεγχος 8

29 Απευθείας υπολογισμός Θεωρούμε το γραμμικό δυναμικό σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + = Cx( k) x k Ax k Bu k y k Γνωρίζουμε τις τιμές των εισόδων και εξόδων όλες τις προηγούμενες χρονικές στιγμές: ( ) ( ) y k, y k,.. u k, u k,.. Για τη γενική περίπτωση αλλά με βαθμωτή έξοδο έχουμε.. ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) y k c x k y k c Ax k c Bu k ( ) = + + ( + ) ( ) y k c A x k c A Bu k c Bu k Ψηφιακός Έλεγχος 9

30 Γράφοντας τις παραπάνω εξισώσεις σε μορφή πινάκων έχουμε: Απευθείας υπολογισμός y k + u k + y k + u k +. = Ox( k + ) +Ω... y( k) u( k ) με O c cb c A =., Ω= c A c A B c A B.. c B Ψηφιακός Έλεγχος 30

31 Φαίνεται καθαρά ότι ο πίνακας Ο είναι ο πίνακας παρατηρησιμότητας. Αν το σύστημα είναι παρατηρήσιμό (rako=) τότε ο πίνακας Ο είναι αντιστρέψιμός. Έτσι: y k + u k + y k + u k + x( k + ) = O. O Ω... y( k) u( k ) Επίσης x( k ) Ax( k ) Bu( k ) y( k + ) u( k + ) y( k + ) u( k + ) Απευθείας υπολογισμός + = =. Ω y( k) u( k ) A O O Bu k Ψηφιακός Έλεγχος 3

32 Απευθείας υπολογισμός Τελικά x( k) = +Ψ A O y k + u k + y k + u k y( k) u( k ) όπου 3 Ψ = A B A B.. B A O Ω Ο υπολογισμός του διανύσματος κατάστασης γίνεται μετά από το πολύ βήματα (για αυτό και ο παρατηρητής ονομάζεται deadbeat). Θεώρημα Το διάνυσμα κατάστασης μπορεί να υπολογιστεί απο μετρήσεις εισόδων και εξόδων αν και μόνο αν το σύστημα είναι παρατηρήσιμο. Ψηφιακός Έλεγχος 3

33 Απευθείας υπολογισμός Παράδειγμα: Θεωρούμε το σύστημα του διπλού ολοκληρώτη απο προηγούμενο παράδειγμα, το οποίο έχει υποστεί δειγματοληψία. Το ισοδύναμο μοντέλο διακριτού χρόνου είναι (( + ) ) = +, = x k Ax k bu k y k c x k A = 0 b 0.5 = c = 0 Να υπολογιστούν οι μεταβλητές κατάστασης ως συναρτήσεις των u(k) και y(k). Λύση: Ο πίνακας παρατηρισιμότητας είναι R είναι c 0 R = = c A Ψηφιακός Έλεγχος 33

34 Επίσης έχουμε Απευθείας υπολογισμός 0 0 R = = / / R cb / / / / Ω= R = = έτσι / 0 0 Ψ= B AR Ω= 0 = / / Επίσης 0 0 A R = AR = 0 = / / / / Ψηφιακός Έλεγχος 34

35 Τελικά Απευθείας υπολογισμός ( ) y( k) 0 y k 0 x k = + u k / / / 0 0 / / / ή x( k ) = y ( k ) + y ( k ) + u ( k ) Από την εξίσωση εισόδου y( k) = c x( k) = [ 0] x( k) = x ( k) Φαίνεται ότι η πρώτη μεταβλητή κατάστασης μετριέται απευθείας απο την έξοδο ενώ η δεύτερη μεταβλητή κατάστασης μετριέται απο την παραπάνω σχέση, όπου τελικά είναι ( ) y k y k x ( k ) = + u k Ψηφιακός Έλεγχος 35

36 Απευθείας υπολογισμός Παρατήρηση: Ο κατευθείαν υπολογισμός του διανύσματος κατάστασης έχει το πλεονέκτημα ότι επιτυγχάνεται σε το πολύ βήματα. Όμως, η τεχνική αυτή εχει το μειονέκτημα ότι μπορεί να είναι ευαίσθητη σε διαταραχές. Μια εναλλακτική μέθοδος είναι η ανακατασκευή του διανύσματος κατάστασης όπως θα παρουσιαστεί παρακάτω Ψηφιακός Έλεγχος 36

37 Παρατηρητής κατάστασης Θεωρούμε ότι το διάνυσμα κατάστασης προσεγγίζεται από την κατάσταση του μοντέλου xˆ k+ = Ax ˆ ˆ k + Bu ˆ k + Ky k ˆx( k) Όπως φαίνεται και από το παρακάτω σχήμα, ο παρατηρητής κατάστασης έχει δύο εισόδους, το διάνυσμα εισόδου u(k) και το διάνυσμα εξόδου y(k). x( k ) Θα μελετήσουμε την περίπτωση όπου τα διανύσματα και ˆx k έχουν τις ίδιες διαστάσεις (παρατηρητής πλήρους τάξης). u( k) ( ) x k+ = Ax k + Bu k C x( k ) y( k) ( + ) = ˆ ˆ + ˆ + xˆ k Ax k Bu k Ky k ˆx( k) Ψηφιακός Έλεγχος 37

38 Ορίζουμε το σφάλμα e( k) = x( k) xˆ ( k) Παρατηρητής κατάστασης Πρέπει να προσδιοριστούν οι πίνακες Aˆ, BK ˆ, ώστε το σφάλμα e(k) να τείναι στο μηδέν: ( + ) = ( + ) ˆ ( + ) = + ˆ ˆ e k x k x k Ax k Bu k A x k e k Bu k KCx k ( + ) = ˆ + ˆ + ˆ ek Aek A KC Axk B Buk Όπως φαίνεται απο τα παραπάνω, για να τείνει το σφάλμα στο μηδέν πρέπει Aˆ = A KC = B Bˆ = B Aˆ ευσταθής Ψηφιακός Έλεγχος 38

39 Παρατηρητής κατάστασης Η εξίσωση διαφορών του σφάλματος είναι ek ( + ) = Aek ˆ = [ A KCek ] Έτσι, ο παρατηρητής κατάστασης περιγράφεται απο την εξίσωση : ( + ) = [ ] ˆ + + xˆ k A KC x k Bu k Ky k ή xˆ( k+ ) = Axˆ( k) + Bu( k) + K y( k) Cxˆ( k) Παρατηρήσεις. Ο πίνακας Κ υπολογίζεται έτσι ώστε ο πίνακας A-KC να έχει ιδιοτιμές μέσα στο μοναδιαίο κύκλο. Ο παρατηρητής μπορεί να θεωρηθεί μπορεί να θεωρηθεί σαν το αρχικό σύστημα μαζί με τον επιπλέον όρο K y ( k) Cxˆ ( k) Ψηφιακός Έλεγχος 39

40 Παρατηρητής κατάστασης Το δομικό διάγραμμα του παρατηρητή φαίνεται παρακάτω: u( k) B y ( k r ) ( k) + K xˆ ( k+ ) z I ˆx ( k ) ˆ Cx k A C Σε αντιστοιχία με το πρόβλημα του ρυθμιστή, για να υπάρχει πίνακας Κ ώστε ο πίνακας A KC να παίρνει αυθαίρετες ιδιοτιμές πρέπει το σύστημα να είναι παρατηρήσιμο. Ψηφιακός Έλεγχος 40

41 Παρατήρηση Παρατηρητής κατάστασης Υπενθυμίζουμε ότι για να υπάρχει γραμμικός ρυθμιστής που να τοποθετεί αυθαίρετα τις ιδιοτιμές ενός συστήματος πρέπει το σύστημα να είναι ελέγξιμο, ή raks = όπου = S B AB.. A B Κατά αντιστοιχία, στην περίπτωση του παρατηρητή υπάρχει πίνακας Κ ώστε ο Aˆ = A C K να έχει αυθαίρετες ιδιοτιμές αν και μόνο αν το σύστημα (, ) A C είναι ελέγξιμο, ή ισοδύναμα, το σύστημα A, C είναι παρατηρήσιμο: rakr R C A C A C = όπου.. = Όπως φαίνεται οι παραπάνω συνθήκες είναι δυικές. Ψηφιακός Έλεγχος 4

42 Παρατηρητής κατάστασης Εξετάζουμε την περίπτωση όπου το γραμμικό σύστημα είναι μιας εξόδου. Τότε, ο πίνακας C είναι μια γραμμή, οπότε ο πίνακας R είναι ο τετραγωνικός x : Επίσης ο πίνακας είναι όπου = [ ] R= c A c.. A c  ˆ A = A kc k k k... k Όπως στην περίπτωση του ελεγκτή, έχουμε ( λ ) p z = z = zi A = z + a z a z+ a i= ( ˆ λ ) i= i pˆ z = z = zi Aˆ = z + aˆ z aˆ z+ aˆ i Για την περίπτωση όπου το σύστημα είναι μιας εξόδου το απαιτούμενο διάνυσμα k για να έχει ο παρατηρητής τις επιθυμητές ιδιοτιμές είναι μοναδικό Ψηφιακός Έλεγχος 4

43 Ψηφιακός Έλεγχος 43 Παρατηρητής κατάστασης Ένας τύπος που οδηγεί στον προσδιορισμό του k είναι ˆ k W R a a = όπου a a a W = ˆ ˆ.. ˆ a a a a =.. c c A R c A =.. a a a a = Για την περίπτωση όπου το σύστημα είναι πολλών εξόδων, ο προσδιορισμός του πίνακα Κ είναι συνήθως πολύπλοκος. Μια απλή προσέγγιση στο πρόβλημα είναι να θεωρήσουμε ότι ο πίνακας Κ έχει τη μορφή K qp = όπου q, p διανύσματα διαστάσεων.

44 Παρατηρητής κατάστασης Τότε, ˆ A = A KC = A qp C = A qγ γ = pc Με αυτόν τον τρόπο η λύση για το διάνυσμα q είναι σαν να ήταν το σύστημα μιας εξόδου. Βέβαια, το διάνυσμα γ αυθαίρετες παραμέτρους και συγκεκριμένα τα στοιχεία του αυθαίρετου διανύσματος p. Οι αυθαίρετες αυτές παράμετροι μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε τιμές, αρκεί όπου R ο πίνακας rakr = R = γ A γ... A γ Ψηφιακός Έλεγχος 44

45 Παράδειγμα: Παρατηρητής κατάστασης Για το σύστημα διπλού ολοκληρωτή A = 0 b 0.5 = c ( + ) = +, = x k Ax k bu k y k c x k = 0 να σχεδιαστεί παρατηρητής κατάστασης τέτοιος ώστε το σφάλμα e(k) να είναι deadbeat. Λύση: = ˆ e k x k x k c R = c A p z = zi A = z z+ Έχουμε οπότε rak(r)= επομένως το σύστημα είναι παρατηρήσιμο. Επίσης ˆ ˆ p z = zi A = zi A kc = z Ψηφιακός Έλεγχος 45

46 Παρατηρητής κατάστασης Έχουμε W a, = 0 = 0 aˆ 0 = 0 a = W R = = ( W ) 0 R = / / 0 k = ( W R) ( aˆ a) = / / = / Ψηφιακός Έλεγχος 46

47 Θα κάνουμε επαλήθευση Παρατηρητής κατάστασης ˆ 0 A= A kc = 0 = / 0 / το σφάλμα είναι ek = xk xk ˆ = ( A kc ) ek ( ) Για k=0 έχουμε e 0 x 0 xˆ 0 d e 0 = = x( 0) xˆ ( 0) = = e ˆ 0 x 0 x 0 d Για k=, e() ( A kc ) e( 0) Για k=, () e A kc e( 0) d = = / d d 0 = = = / d 0 Ψηφιακός Έλεγχος 47

48 Ο αναλογικός ρυθμιστής Ρυθμιστής PID Για συστήματα συνεχούς χρόνου ο αναλογικός ρυθμιστής είναι u( t) = K e( t) Για συστήματα διακριτού χρόνου: u( k) = K e( k) G z = K Επομένως Ο ολοκληρωτικός ρυθμιστής c p Για συστήματα συνεχούς χρόνου u() t () p i t 0 p t K = e t dt K p επομένως Gc ( s) =, i ο χρόνος ολοκλήρωσης s i Για συστήματα διακριτού χρόνου η ολοκληρωτική εξίσωση περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών: K p u( k) u( k ) K p u = ek ή ( k) = u( k ) + e( k) i i Ψηφιακός Έλεγχος 48 p

49 Έτσι G ( z) c K p = = i ( z ) i ( z ) Ο διαφορικός ρυθμιστής Ρυθμιστής PID Kz Για συστήματα συνεχούς χρόνου u( t) = K e ( t) Έτσι, G s = K s, ο χρόνος διαφόρισης c p d d p p d Για συστήματα διακριτού χρόνου η διαφορική εξίσωση περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών: u k K e( k ) e k = p d Έτσι, z K p d z Gc z = Kpd = z Ψηφιακός Έλεγχος 49

50 Ο ρυθμιστής PID Ρυθμιστής PID Συνδυάζοντας τα προηγούμενα, για συστήματα συνεχούς χρόνου ο ρυθμιστής PID είναι Έτσι, t u t Kp e t e t dt de t i t0 Gc s = Kp + + ds s i () = () + () + () Για συστήματα διακριτού χρόνου Έτσι, k u k Kp e k e j e k e k i j= 0 i d = + + ( ) z d z Gc z = Kp + + i z i z Ψηφιακός Έλεγχος 50

51 Τελικά., κάνοντας τις πράξεις: Ρυθμιστής PID = ( ) z az + b Gc z K z z όπου K a = b = + + i d i = Kp i i d i + + i d i d + + i i d i Ψηφιακός Έλεγχος 5

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών

Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Σχεδίαση Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου με χρήση Αλγεβρικών Τεχνικών (Συνοπτικές σημειώσεις με παραδείγματα) ( Επίκουρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Άσκηση Θεωρείστε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: Y ( s) a s 4 3 a3s a U ( s) s a όπου οι αριθμοί α ι αντιστοιχούν στους αντίστοιχους αριθμούς των 4 πρώτων γραμμάτων του

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ψηφιακά Σ.Α.Ε: Περιγραφή στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 7 η διάλεξη Υλοποίηση Ψηφιακών Φίλτρων. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 7 η διάλεξη Υλοποίηση Ψηφιακών Φίλτρων. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 7 η διάλεξη Υλοποίηση Ψηφιακών Φίλτρων Ψηφιακός Έλεγχος Υλοποίηση Ψηφιακών φίλτρων Το πρακτικό ενδιαφέρον της υλοποίησης ψηφιακών ρυθμιστών είναι μεγάλο καθώς λαμβάνονται υπόψιν θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Περιγραφή και Ανάλυση Συστημάτων Ελέγχου στο Χώρο Κατάστασης Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 10 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 10 η διάλεξη Ασκήσεις. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 10 η διάλεξη Ασκήσεις Ψηφιακός Έλεγχος 1 Άσκηση1 Ασκήσεις Επιθυμούμε να ελέγξουμε την γωνία ανύψωσης μιας κεραίας για να παρακολουθείται η θέση ενός δορυφόρου. Το σύστημα της κεραίας και

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 13

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 13 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 13 Πάτρα 28 Προσαρμοστικός έλεγχος με μοντέλο αναφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 11

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 11 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 11 Πάτρα 2008 Προσαρμοστικός LQ έλεγχος για μη ελαχίστης

Διαβάστε περισσότερα

. Οι ιδιοτιμές του 3 3 canonical-πίνακα είναι οι ρίζες της. , β) η δεύτερη είσοδος επηρεάζει μόνο το μεσαίο 3 3 πίνακα και

. Οι ιδιοτιμές του 3 3 canonical-πίνακα είναι οι ρίζες της. , β) η δεύτερη είσοδος επηρεάζει μόνο το μεσαίο 3 3 πίνακα και ο ΘΕΜΑ [6. βαθμοί] 5 u x x + u Ax + Bu Έστω συνεχές σύστημα 4 5 3 u3 y [ ] x. [ β] Ποιες είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α; 5 Με το ακόλουθο partinioning του πίνακα A οι ιδιοτιμές του είναι 4 5 eig(a) eig(

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης

Άσκηση 3. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα. Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης Άσκηση 3 Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης dc κινητήρα Έλεγχος ανατροφοδότησης κατάστασης Ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα όπως γνωρίζουμε, μπορεί να περιγραφεί στο πεδίο του χρόνου μέσω

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 11 η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 11 η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα η : Σχεδίαση ελεγκτών στο πεδίο του χώρου μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014

Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 2014 Λύσεις θεμάτων Εξεταστικής Περιόδου Σεπτεμβρίου 204 ΘΕΜΑ Ο (2,0 μονάδες) Η διαδικασία διεύθυνσης ενός αυτοκινήτου κατά την οδήγησή του μπορεί να περιγραφεί με ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου κλειστού βρόχου.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t)

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t) Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑ 1 Ο (6,0 μονάδες) Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου v 1 (t) είναι η είσοδος και v 3 (t) η έξοδος. Να θεωρήσετε μηδενικές αρχικές συνθήκες. v 1

Διαβάστε περισσότερα

TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ας θεωρήσουμε το σύστημα ανοικτού βρόχου που περιγράφεται από τις εξισώσεις κατάστασης (.) και (.2): x Ax+ Bu (.)

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 20. Παρατηρητής Κατάστασης Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ : ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008) ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Για τον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών της συνάρτησης μεταφοράς as + s + 9 G(s) s(s 5)(s + b) με Κ>0 δίδεται ότι η τομή των ασυμπτώτων είναι το σημείο σ -(0+Ν 0 ) όπου Ν 0 το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος. είναι το διάνυσμα ιδιοτιμών του πίνακα Α (Π2)

Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος. είναι το διάνυσμα ιδιοτιμών του πίνακα Α (Π2) Σύγχρονος Αυτόματος Έλεγχος.Ορισμοί και Χρήσιμες Ιδιότητες (Π) (A) είναι το διάνυσμα ιδιοτιμών του πίνακα Α (Π) x x x... xn (Π3) Η «ιδιότητα του τριγώνου»: για οποιαδήποτε διανύσματα ισχύει x, y ότι x

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΕΣ 1: ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 5 6, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το τρέχον έγγραφο αποτελεί υπόδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Από τις Καταστατικές Εξισώσεις στη Συνάρτηση Μεταφοράς bx x y bx I X b I Y Καταστατικές

Διαβάστε περισσότερα

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4)

(1) L{a 1 x 1 + a 2 x 2 } = a 1 L{x 1 } + a 2 L{x 2 } (2) x(t) = δ(t t ) x(t ) dt x[i] = δ[i i ] x[i ] (3) h[i, i ] x[i ] (4) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΗΥ240: Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα Συνάρτηση συστήματος Ένα σύστημα L απεικονίζει κάθε σήμα εισόδου x σε ένα σήμα εξόδου y, δηλ., συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #2: Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Συστημάτων Κλειστού Βρόχου - Μόνιμα Σφάλματα Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 9

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 9 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 9 Πάτρα 2008 Ρύθμιση ελαχίστης διασποράς Η στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u u u u Ευστάθεια Ευστάθεια κατά Lyapunov Ασυµπτωτική Ευστάθεια Κριτήρια Ευστάθειας Ελεγξιµότητα Παρατηρησιµότητα Επίδραση της Δειγµατοληψίας στην Ελεγξιµότητα

Διαβάστε περισσότερα

Controllers - Eλεγκτές

Controllers - Eλεγκτές Controller - Eλεγκτές Στις επόμενες ενότητες θα εξετασθούν οι βιομηχανικοί ελεγκτές ή ελεγκτές τριών όρων PID, (με τους διάφορους συνδυασμούς τους όπως: P, PI ή PID). Η προτίμηση των ελεγκτών PID οφείλεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη:

ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID. Ελεγκτής τριών όρων Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη: ΕΛΕΓΚΤΕΣ PID Εισαγωγή Αυτό το βοήθημα θα σας δείξει τα χαρακτηριστικά καθενός από τους τρεις ελέγχους ενός PID ελεγκτή, του αναλογικού (P), του ολοκληρωτικού (I) και του διαφορικού (D) ελέγχου, καθώς και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID

Κεφάλαιο 6. Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας. Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου.

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου. ΕΡΩΤΗΜΑ Δίνεται το σύστημα δεξαμενών του διπλανού σχήματος, όπου: q,q : h,h : Α : R : οι παροχές υγρού στις δύο δεξαμενές, τα ύψη του υγρού στις δύο δεξαμενές, η διατομή των δεξαμενών και η αντίσταση ροής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ) Modern Control Theory

Συστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ) Modern Control Theory Σ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Συστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ Modern Conrol Theory (η Ενότητα: Συστήματα Συνεχούς Χρόνου Διδάσκων : Αναπληρωτής Καθηγητής Δ.Π.Θ. Δομή και βασικές κατηγορίες

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 7

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 7 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 7 Πάτρα 2008 Τοποθέτηση Επιλογή πόλων Θεωρούμε ένα (Σ)

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 12. Παρατηρησιμότητα Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Συστήματα Ελέγχου Κίνησης Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο. Ρομποτική II. Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο. Ρομποτική II. Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 009-0, 8ο Εξάμηνο Ρομποτική II Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 11: Στοχαστικός βέλτιστος έλεγχος γραμμικών συστημάτων με χρήση τετραγωνικών κριτηρίων (LQG Problem) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ.

ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΜΠΟΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ ΜΕ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΤΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΡΘΡΩΣΕΙΣ. Όλγα Ζωίδη, Ζωή Δουλγέρη Εργαστήριο Αυτοματοποίησης και Ρομποτικής Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Ελεγκτές - Controller Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

x x Ax Bu u = 0. Η ιδιοτιμή του κάτω δεξιά πίνακα είναι η -3. = s + = = + = +

x x Ax Bu u = 0. Η ιδιοτιμή του κάτω δεξιά πίνακα είναι η -3. = s + = = + = + y = [ ] Έστ συνεχές σύστημα ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΗΣ ΠΡΟΟΔΟΥ ΣΑΕ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 6 ΘΕΜΑ ο u = + = + x x Ax Bu 3 3 u 3 x [ β] Ποιες είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α; Ο πίνακας Α διαχρίζεται σε block, κάθε ένα από τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα

Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα Κεφάλαιο 5 Ευστάθεια Ελεγξιµότητα - Παρατηρησιµότητα u Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα (Επανάληψη Ασκήσεις) u Στο πεδίο Συχνότητας (Συναρτήσεις Μεταφορά) u Στο πεδίο Χρόνου (Εξισώσεις Κατάστασης)

Διαβάστε περισσότερα

stopband Passband stopband H L H ( e h L (n) = 1 π = 1 h L (n) = sin ω cn

stopband Passband stopband H L H ( e h L (n) = 1 π = 1 h L (n) = sin ω cn Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ 22: Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 7: Σχεδιασμός Φίλτρων!"#!"#! "#$% Σημειώσεις διαλέξεων στο: http://www.eg.ucy.ac.cy/chadcha/

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η μετρική του χώρου Στην ορίσαμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, όταν οι συντεταγμένες αυτές λαβαίνονται σε ένα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς του Ερχόμαστε,

Διαβάστε περισσότερα

που σε κάθε χρονική στιγμή περιλαμβάνει τις τιμές των μεταβλητών κατάστασης

που σε κάθε χρονική στιγμή περιλαμβάνει τις τιμές των μεταβλητών κατάστασης 1. Έννοια παρατηρησιμότητας. Ας θεωρήσουμε ένα ΓΧΑ σύστημα τάξης, κατ αρχήν μιας εξόδου () και μιας εισόδου (). Έχουμε ήδη θεμελιώσει ότι ένα οποιοδήποτε ΓΧΑ σύστημα μπορεί να περιγραφεί από τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

h(t) δ(t+3) ( ) h(t)*δ(t)

h(t) δ(t+3) ( ) h(t)*δ(t) f()* δ ( ) = f( ) x () = δ ( + 3) = 3 h () = u () u ( ) h()* δ ( + 3) = h ( + 3) = u ( + 3) u ( + 1) 1 h() * -3 δ(+3) ( ) h()*δ() 1-3 -1 MY : Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #6 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Χαρακτηριστικά των Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 2013-14 (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό λειτουργικό διάγραμμα που περιγράφει ένα αναγνωριστικό αυτοκινούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ T.E. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμογών: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #6: Σχεδιασμός ελεγκτών με χρήση αναλυτικής μεθόδου υπολογισμού παραμέτρων 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 10: Λύση εξισώσεων κατάστασης Δ. Δημογιαννόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Μετασχηματισμός Furier Αθανάσιος Κανάτας

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα #5: Σχεδιασμός ελεγκτών με τη μέθοδο του Τόπου Ριζών 2 Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4 ΣΥΝΕΧΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τα συνεχή στο χρόνο δυναμικά συστήματα, γνωστά και ως συστήματα διαφορικών εξισώσεων, περιγράφουν φαινόμενα που μεταβάλλονται συνεχώς στο χρόνο.

Διαβάστε περισσότερα

y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6)

y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] = 2x[n 1] (1) y h [n] = y h [n] = A 1 (2) n + A 2 (3) n (4) h[n] = 0, n < 0 (5) h[n] 5h[n 1] + 6h[n 2] = 2δ[n 1] (6) Ασκήσεις σε Σήματα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 9 Οκτωβρίου 015 1. Ενα αιτιατό ΓΧΑ σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ - Τελική εξέταση Σεπτεμβρίου 2008 ΕΠΩΝΥΜΟ (εξεταζόμενου/ης)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ - Τελική εξέταση Σεπτεμβρίου 2008 ΕΠΩΝΥΜΟ (εξεταζόμενου/ης) 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ - Τελική εξέταση Σεπτεμβρίου 008 ΕΠΩΝΥΜΟ (εξεταζόμενου/ης) ΟΝΟΜΑ (εξεταζόμενου/ης) Αριθμός Μητρώου Έτος (π.χ. Γ,Δ,Ε,Ε,κ.λ.π.) Υπογραφή εξεταστή Υπογραφή

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις

Θέματα Εξετάσεων Ιουνίου 2003 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις Θέματα Εξετάσεν Ιουνίου 00 στο μάθημα Σήματα και Συστήματα και Λύσεις ΘΕΜΑ. μονάδες Έστ το αιτιατό σύστημα d y t y t x t d t όπου x t η είσοδος και y t η έξοδος του συστήματος. α Να υπολογιστεί η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε

Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Βιβλιοραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο : Ενότητες.-.3 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Σε πολλές εφαρµογές, τόσο της αεροδιαστηµικής όσο και άλλων µορφών της τεχνολογίας µεταφορών κλπ, η βελτιστοποίηση επικεντρώνεται στο ζήτηµα της ενέργειας κατά την επίτευξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 5: Το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ Regulators) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική Κατηγορίες f.p. σε γραμμικά διαφορικά συστήματα 1 ης τάξης Έστω το γενικό

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ

ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ Ενότητα 3: Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Διδάσκων: Γεώργιος Στεφανίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τα Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 1: Εισαγωγή Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση

Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση Κεφάλαιο 4 Σχεδίαση Συστηµάτων Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές - Συνεχής Σχεδίαση Επανάληψη στα Συστήµατα από Δειγµατοληπτικά Δεδοµένα στα Πεδία Συχνότητας και Χρόνου Ψηφιακός Έλεγχος µε Συνεχή Σχεδιασµό Χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3. Κανονικές μορφές Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #8: Χώρος Κατάστασης: Μεταβλητές, Εξισώσεις, Κανονικές Μορφές Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

MATLAB. Εισαγωγή στο SIMULINK. Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής

MATLAB. Εισαγωγή στο SIMULINK. Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής MATLAB Εισαγωγή στο SIMULINK Μονάδα Αυτόματης Ρύθμισης και Πληροφορικής Εισαγωγή στο Simulink - Βιβλιοθήκες - Παραδείγματα Εκκίνηση BLOCKS click ή Βιβλιοθήκες Νέο αρχείο click ή Προσθήκη block σε αρχείο

Διαβάστε περισσότερα