Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Transcript

1 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ποιοτικά Κριτήρια Σχεδίασης Ανατροφοδότηση Κατάστασης Εισαγωγή στον Βέλτιστο Έλεγχο Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση σε χώρουν πεπερασμένων και απείρων διαστάσεων. Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των Μεταβολών Αναγκαίες Συνθήκες Βελτίστου Ελέγχου Προβληματα τύπου «Γραμμικού Ρυθμιστή» Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

3 Βέλτιστος Έλεγχος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

4 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccak H µητρωική ΔΕ Riccati εισάγει δυσκολία στην ολοκλήρωσή της λόγω του µη-γραµµικού όρου Θεώρηµα: Αν οι πίνακες Χ(t), Λ(t) R n n είναι η λύση της γραµµικής ΔΕ X ( t f ) I = n n Λ( t f ) H Πίνακας Hamilton τότε ο πίνακας K ( t) = Λ( t) X 1 ( t) είναι η επίλυση της µητρωική ΔΕ Riccati Κάθε χρονική στιγµή t, o υπολογισµός της συνάρτησης εισόδου προαπαιτεί τον υπολογισµό του πίνακα κέρδους F t χρονική στιγµή t). ( ) = R 1 B T K ( t) u( t)! F( t) x t (κάθε Αυτός µε την σειρά του προαπαιτεί µεν τον υπολογισµό των Χ(t) & Λ(t) οι οποίοι, όπως είδαµε, υπολογίζονται σε κλειστή µορφή µέσω της αλλά ο υπολογισµός του K ( t) = Λ( t) X 1 ( t) απαιτεί τη αντιστροφή του Χ(t), κάθε στιγµή t... ( ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 98

5 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccak Παράδειγμα- 1 Έχουµε το ΓΧΑΣ και Θέλουµε να βρούµε την είσοδο ελέγχου που ελαχιστοποιεί τον ΔΛΑ Πρόφανώς, πρόκειται για πρόβληµα LQR µε H Για τον πίνακα Hamilton Αυτό οδηγεί στην H 0 e H 0t = Απ όπου λαµβάνουµε K(t) Η ίδια λύση θα ληφθεί αν θεωρήσουµε και επιλύσουµε την Riccati!K ( t) +1 K 2 ( t) = 0 K ( 1) = σ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 99

6 Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccak - Παράδειγμα- 1 Εποµένως!x = u u = F x F = K!x = K x Και το σύστηµα προσοµοιώνεται γιά σ = 0,1,10. Η απόκριση φαίνεται στο σχήµα Θα επανέλθουµε σε αυτό το παράδειγµα... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 100

7 LQR Μόνιμης Κατάστασης Αν στο ΔΛΑ του LQR Θέσουµε H τότε Δεδοµένου ότι t0 = 0, S = 0, tf 0 t f 0 t f ( ) xt = x 0 0 H = H T, Q = Q T, R = R T, H 0, Q 0, R > 0 Μπορεί να δειχθεί η επιζητούµενη λύση Κ LQR ικανοποιεί την αλγεβρική εξίσωση Ricatti: που προκύπτει από τη µητρωική ΔΕ Riccati στη µόνιµη κατάσταση. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 104

8 LQR Μόνιμης Κατάστασης Από το Κ LQR προκύπτει το αντίστοιχο κέρδος F LQR = R 1 B K LQR και από αυτό η εξίσωση βελτίστου ελέγχου u ( t) = F LQR x ( t). Και τα δυο είναι χρονικά αµετάβλητα Το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι!x t Κατά συνέπεια, το συνολικό δοµικό διάγραµµα είναι : ( ) x t ( ) = A R 1 B K LQR ( ) x( 0) = x 0 R 1 B K LQR Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 105

9 LQR Μόνιμης Κατάστασης Καταλήγουµε µε ένα βασικό θεώρηµα. Πριν το παρουσιάσουµε χρειάζεται να ορίσουµε και ξεκαθαρίσουµε κάποιες έννοιες: Σύστηµα! ( ) = ( ) + ( ) xt ( ) xt Axt But = x 0 0 ΔΛΑ: Το Q µπορεί να αναλυθεί ως Q = C T C όπου ο C R q n, όπου ο C είναι full-row rank. T T Q= Q 0, R= R > 0 q= rank Q n Θεώρηµα: Αν το σύστηµα και ο ΔΛΑ είναι τέτοια όπου το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο και το ζεύγος (Α,C) είναι παρατηρήσιµο, τότε η αλγεβρική Riccati έχει µοναδική θετικά ορισµένη λύση Κ LQR και το σύστηµα κλειστού βρόχου!x t ( ) = A R 1 B K LQR είναι ασυµπτωτικά ευσταθές. ( ) x t ( ) x( 0) = x 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 106

10 LQR Μόνιμης Κατάστασης : Παράδειγμα- 1 Συνεχίζουµε µε το προηγουµένως χρησιµοποιηθέν ΓΧΑΣ αλλά τώρα ορίζοντας ΔΛΑ : Από προηγουµένως έχουµε βρει: Προφανώς 2 ( t t ) 2 ( ) 0 1 f tf t + σ e = e KP( t ) KP LQR = = 1 tf tf 1+ σ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ µε χρήση του προηγούµενου θεωρήµατος: Α=0, Β=1 (Α,Β) : ελέγξιµο C = Q = 1 (Α,C) : παρατηρήσιµο Αλγεβρική Riccati: 1 K 2 LQR ( ) ( ) Επιλέγεται η θετική («ορισµένη») λύση K LQR = 1 F LQR ut = R= 1 Bxt K LQR = 1 u ( t) = F LQR x ( t) = x ( t) Καταλήγουµε στο ασυµπτωτικά ευσταθές σύστηµα κλειστού βρόχου: K ( t) = 0 K LQR = ±1 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 107

11 LQR Μόνιμης Κατάστασης : Παράδειγμα- 2 Θέλουμε να λύσουμε και διερευνήσουμε το πρόβλημα βελτίστου ελέγχου!x ( t) = a x( t) + b u( t) x( 0) = x 0 J ( u) = 1 2 q x 2 ( τ ) + r u 2 ( τ ) dτ 0 ΛΥΣΗ: Σύμφωνα με το συμβολισμό A = a, B = b, Q = q, R = r Οπότε u ( t) = ( R 1 B K LQR ) x ( t) = b με k LQR την θετικά r k LQR x ( t) ορισμένη λύση της αλγεβρικής RiccaŒ = k LQR a a k LQR q k LQR b2 r k LQR Και ο βέλτιστος έλεγχος γίνεται ( ) b2 a + a 2 + q r u ( t) = b Ενώ η πορεία (trajectory) του βέλτιστου συστήματος!x t ( ) = a x ( t) + b u ( t) = a x ( t) + b x ( t) a + ( a 2 + q ) r b2 b k LQR = a + a 2 + q r ( ) b 2 r x ( t)!x ( t) = a 2 + q r ( ) b2 ( ) b2 x t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 108 ( )

12 LQR Μόνιμης Κατάστασης : Παράδειγμα- 2 ( ) Από την εξίσωση x! ( t ) = a + r b x ( t ) του (βελτίστου) συστήματος κλειστού βρόχου γίνεται φανερό ότι αυτό είναι παντοτε ευσταθές. Επίσης παρατηρούμε ότι οι ιδιοτιμές του εξαρτώνται από το λόγο q/r. 2 q r r 2 Είναι φανερό λοιπόν ότι λόγος q/r καθορίζει τη «ταχύτητα απόκρισης» του συστήματος με τρόπο που φαίνεται παρακάτω r r) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 109

13 Έστω (διανύσματα) x, y R n 1 και (πίνακας) Q=Q T R n n Αν f(x) (βαθμωτή) συνάρτηση, για την παράγωγό της x f (x) R n 1 ισχύει: Αν APPENDIX: Παράγωγοι Τετραγωνικών Μορφών f ( x) = y T x f x = x yt x ( ) = y R n 1 Αν Αν f ( x) = x T y f x = ( x xt y) = y R n 1 f ( x) = x T Qx f x = ( x xt Qx) = = ( x xt )Qx + ( x T Q) T ( x x ) = 2Qx R n 1 Πίσω... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 121