Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 11

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 11 Πάτρα 2008

2 Προσαρμοστικός LQ έλεγχος για μη ελαχίστης φάσεως (Σ) Προσαρμοστική παρακολούθηση ενός σήματος αναφοράς από την έξοδο ενός διακριτού ντετερμινιστικού SISO γραμμικού (Σ) με άγνωστες παραμέτρους. Σχήμα ελέγχου βασισμένο στον LQ έλεγχο. Θεωρούμε λοιπόν το (Σ) με συνάρτηση μεταφοράς: 1 1 q B( q ) y = u q A( q ) 1 1 n + 1 Aq ( ) = a 1 + aq aq n (1) 1 1 n + 1 B( q ) = b1 + b2q bnq 1 q y = y 1

3 Οι εξισώσεις (1) μπορούν να γραφούν και ως εξής: y = ϕ θ θ 1 = [ a1... an b1... bn] = [ ] ϕ 1 y 1 y n u 1 u n Ή σε καταστατική μορφή: x 1 = Ax + Bu y = Cx

4 Με A = S+ KC, B = [ b1... b n ], K = [ a1... a n ], C = [ ] και S=

5 Θέλουμε η έξοδος τους (Σ) y να ακολουθεί το σήμα αναφοράς y. r Για να βρεθεί ο προσαρμοστικός νόμος ελέγχου εφαρμόζουμε της εξής διαδικασία: (i) Επιλέγουμε ένα κριτήριο ελέγχου του οποίου η βελτιστοποίηση εγγυάται την σταθερότητα του (Σ) (τοποθέτηση πόλων, τετραγωνικό κριτήριο, ). (ii) Καθορίζουμε την έκφραση του ελέγχου που βελτιστοποιεί το κριτήριο ελέγχου όταν οι παράμετροι του (Σ) είναι γνωστές.

6 (iii) Εάν οι παράμετροι του (Σ) είναι άγνωστες τότε τις προσδιορίζουμε με την βοήθεια επαναληπτικών αλγορίθμων αναγνώρισης. (iv) Αντικαθιστούμε στην έκφραση του βέλτιστου ελέγχου τους άγνωστους όρους με εκτιμήσεις των.

7 Ας θεωρήσουμε το ακόλουθο τετραγωνικό κριτήριο για βήματα: J y y u y y 1 1 r 2 2 r 2 = [( ) ] [ ] + λ +, με λ > 0 = 0 Αυτό το κόστος ελαχιστοποιείται από τον ακόλουθο έλεγχο: = + u L x r *

8 Με L = B R B R B + λ A r = B V B R B + λ 1 = + + R C C A R A A R BB R A B R B λ

9 και τις τελικές συνθήκες: 1 = ( ) (2) r V A BL V C y R 1 = C C V r 1 = C y

10 Για έλεγχο στο διάστημα [0, + ) έχουμε, lim R = R* + όπου R * είναι η μοναδική θετικώς ορισμένη μήτρα λύση της αλγεβρικής Riccai εξίσωσης: = + R C C A R A A RBB RA B RB + λ

11 Όμως η σχέση (2) δείχνει ότι δεν είναι δυνατόν (εκτός από κάποιες εξαιρέσεις) να υπολογίσουμε το lim V +. Επομένως το lim J + δεν υπάρχει πάντα και γι αυτόντονλόγοδενείναιεφικτός τον είναι εφικτός και ο υπολογισμός του ελέγχου u * = lim u *. + Έτσι καταλήγουμε να προτείνουμε έναν υπο βέλτιστο έλεγχο του u που να μπορεί να υπολογιστεί στο διάστημα [0, ) +.

12 Υποθέτουμε ότι το σήμα αναφοράς Επομένως το διάνυσμα διάνυσμα V, N τον εξής τρόπο: V y r είναι φραγμένο. μπορεί να προσεγγιστεί από ένα υπολογισμένο από Ν σήματα αναφοράς με r,1 = C y + N V r V,2 = ( A BL*) V,1 C y+ N 1 r V = *) N, ( A BL VN, 1 C y+ 1

13 Ο υπο βέλτιστος έλεγχος είναι της μορφής: un, = L* x+ rn, B R * A BV (3) N, L* =, r N, = B R* B+ λ B R* B+ λ με N +

14 Για να υπολογίσουμε τον προσαρμοστικό έλεγχο, πρέπει να αναγνωρίσουμε τις παραμέτρους του (Σ). Υποθέτουμε ότι το αναγνωρισθέν διάνυσμα θ στον χρόνο είναι το θ. Για να αναγνωρίσουμε αυτό το διάνυσμα, θεωρούμε έναν επαναληπτικό αλγόριθμο της μορφής: θ = θ + Pϕ ( y ϕ θ ) Τ

15 όπου ο πίνακας κέρδους ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: P είναι έτσι επιλεγμένος ώστε να θ ϕ α ϕ + β με lim α = lim β = 0 ( α 0, β 0) + + θ <Μ, lim θ = 0 + θ 1

16 Καθώς η κατάσταση x είναι επίσης άγνωστη παίρνουμε την εκτίμηση αυτής με τη βοήθεια ενός παρατηρητή της μορφής: xˆ ˆ ˆ + 1 = A+ 1x + B+ 1u + K+ 1( y y) (4) yˆ ˆ = Cx με θ [ = K B ] A = KC+ S Ορίζουμε: ε = y yˆ

17 Αντικαθιστώντας στη σχέση (3) κάθε άγνωστο όρο με την εκτίμησή του έχουμε τελικά: u = Lxˆ + s (5) με L = B R A B RB λ + s = B W, N + B RB λ A B = A ( θ ) = B ( θ )

18 Η μήτρα R υπολογίζεται ως εξής: A RBB RA + 1 = + B R B + λ R C C A R A όπου R0 οποιοσδήποτε θετικά ορισμένος πίνακας. Ο υπολογισμός του WN, μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: 1) r W,1 = C y + N r W,2 = ( A BL) W,1 C y+ N 1 r W N, = ( A BL) WN, 1 C y + 1

19 2) Ας υποθέσουμε ότι το σήμα αναφοράς είναι σταθερό: y r = y,. Σε αυτήν την περίπτωση το lim + J υπάρχει. Επομένως βάσει της (2) το lim + V υπάρχει και είναι λύση της: V = ( A BL*) V C y r (6)

20 Στην (5) αντικαθιστούμε το WN, με το W που υπολογίζεται από την (6) ως ακολούθως: W = A BL W C y (7) ( ) r Αν και ο τρόπος αυτός αφορά σταθερό σήμα αναφοράς, το διάνυσμα W που υπολογίζεται από την (7) μπορεί να χρησιμοποιηθεί έναντι του WN, κάθε φορά που το σήμα αναφοράς r y μεταβάλλεται ελάχιστα. Έτσι ο υπολογισμός του προσαρμοστικού ρμ ελέγχου της (5) είναι πιο απλός.

21 Λήμμα: Δεδομένου του συστήματος (1), του προσαρμοστικού παρατηρητή (4) και ενός αλγορίθμου αναγνώρισης που ικανοποιεί τις ιδιότητες (Α): Ό έλεγχος: u = L xˆ + s (όπου { L } μια ακολουθία από ομοιόμορφα φραγμένους πίνακες (1xn) και { s } μια οποιαδήποτε ακολουθία φραγμένων βαθμωτών) εξασφαλίζει ότι το σφάλμα ε = y yˆ συγκλίνει στο μηδέν και πως όλα τα σήματα είναι φραγμένα, αν το (Σ): είναι εκθετικά ευσταθές. z = 1 ( A + BL ) z Επίσης αν lim s = 0, τότε lim u = 0 και lim y =