ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 2008)

Transcript

1 ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Για τον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών της συνάρτησης μεταφοράς as + s + 9 G(s) s(s 5)(s + b) με Κ>0 δίδεται ότι η τομή των ασυμπτώτων είναι το σημείο σ -(0+Ν 0 ) όπου Ν 0 το τελευταίο ψηφίο του Αριθμού Μητρώου σας.. Να ευρεθούν οι παράμετροι a,b της G(s).. Να ευρεθούν τα τμήματα του πραγματικού άξονα που ανήκουν στον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών της G(s). 3. Να προσδιοριστούν τα σημεία τομής του Γεωμετρικού τόπου των Ριζών με τον φανταστικό άξονα. (Να σημειώσετε με Χ τα σωστά τετράγωνα) ±j7.697 ±j7.738 ±j7.786 ±j7.847 ±j7.87 ±j7.906 ±j7.934 ±j7.97 ±j8.0 ±j8.043 ±j8.4 ±j8.87 ±j8.6 ±j8.3 ±j8.369 ±j8.44 ±j8.58 ±j Να ευρεθούν τα σημεία θλάσης του Γεωμετρικού Τόπου των Ριζών. (Να σημειώσετε με Χ τα σωστά τετράγωνα) Λύση 5. Να σχεδιαστεί ο Γεωμετρικός Τόπος των Ριζών 6. Είναι επιθυμητό να ευρεθεί η γωνία υπό την οποία τέμνεται ο φανταστικός άξονας από τον Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών. Να προτείνετε μέθοδο για τον προσδιορισμό της γωνίας και να την εφαρμόσετε στον ζητούμενο Γεωμετρικό Τόπο των Ριζών.. Η τομή των ασυμπτώτων με τον πραγματικό άξονα δίδεται από τον τύπο σ n p m i i j n m Για να υπάρχει η τομή απαιτείται να υπάρχουν τουλάχιστον δύο ασύμπτωτοι. Καθώς ο αριθμός των ασυμπτώτων είναι ίσος με το βαθμό του παρονομαστή μείον το βαθμό του αριθμητή, πρέπει να είναι a0 διαφορετικά θα υπάρχει μία μόνον ασύμπτωτος. Από τον τύπο λαμβάνεται n pi zj i j 0+ 5 b ( 9) σ 0 N0 n m m z j

2 ή ισοδύναμα Για τα διάφορα Ν 0 θα είναι b 34 + N 0 Ν b Τα τμήματα του πραγματικού άξονα που είναι σημεία του Γεωμετρικού τόπου είναι τα διαστήματα [-b,-9] [0,5] 3. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του αντισταθμισμένου συστήματος θα είναι 3 ψ (s) s(s 5)(s + b) +Κ (s + 9) s + (b 5)s + (K 5b)s + 9K Εφαρμόζεται η διάταξη Routh ως ακολούθως s 3 K-5b s b-5 9K s (b 5)(K 5b) 9K b 5 s 0 9K Για να έχει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ρίζες επάνω στο φανταστικό άξονα πρέπει ή ισοδύναμα (b 5)(K 5b) 9K 0 b 5 5b(b 5) K b 4 Τα σημεία τομής βρίσκονται από τις ρίζες της βοηθητικής εξίσωσης Β(s)(b-5)s +9K οι οποίες είναι 9K 45b ρ, ± j ± j b 5 b 4 Οι τιμές του Κ και των σημείων τομής για τα διάφορα Ν 0 είναι ως εξής: Ν b

3 Κ ρ, ±j8.746 ±j8.58 ±j8.44 ±j8.3 ±j8.6 ±j8.4 ±j8.043 ±j7.97 ±j7.906 ±j Τα σημεία θλάσης προσδιορίζονται από τις ρίζες s b της εξίσωσης ds ds s + (b 5)s 5bs s + (b 5)s 5bs 3 dg(s) d s + 9 s + (b 5)s 5bs (s + 9)[3s + (b 5)s 5b] s + (b + )s + 8s(b 5) 45b 3 0 s + (b 5)s 5bs οι οποίες δίδουν Για η εξίσωση γίνεται G(s b ) < 0 K b40 3 f (s) s + 6s + 630s Για την εύρεση των ριζών της εξίσωσης μπορούν να δοκιμαστούν οι τιμές που δίδονται. Για τη μείωση των πράξεων μπορεί να ακολουθηθεί ο τρόπος εύρεσης της ρίζας συνάρτησης ως εξής Για s.83 προκύπτει f(s ) Για s.303 προκύπτει f(s ) Το νέο σημείο δοκιμής προκύπτει από τη σχέση Είναι f (s ) 5.43 s s + (s s ).83 + * f (s ) f (s ) Για s προκύπτει f(s 3 ) s+ 9 G(s) s.986 s < 0 s(s 5)(s + 40) και συνεπώς το σημείο θλάσης αντιστοιχεί σε Κ>0 και είναι σημείο του προς κατασκευή γεωμετρικού τόπου Οι τιμές του σημείου θλάσης για τα διάφορα Ν 0 είναι ως εξής: 3

4 Ν b s b Ο Γεωμετρικός Τόπος των Ριζών της G(s) για b40 δίδεται στο ακόλουθο Σχήμα. 80 Root Locus Imaginary Axis Real Axis 6. Για b40 τα σημεία τομής με το φανταστικό άξονα είναι ±j8.3 και συμβαίνουν για Κ69.. Η Τρίτη ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου για την τιμή αυτή του Κ προκύπτει από την παραγοντοποίηση του ψ(s) οπότε θα είναι Ας θεωρηθεί ψ (s) K69. s 35s 69.s 4.8 (s 8.3 )(s 35) s -35 K Kˆ Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του αντισταθμισμένου συστήματος λαμβάνει τη μορφή 3 ψ (s) s(s 5)(s + b) +Κ (s + 9) s + 35s + (Kˆ + 69.)s + 9(Kˆ + 69.) (s + 35)(s ) + K(s ˆ + 9) 4

5 Αν σχεδιαστεί ο γεωμετρικός τόπος των ριζών ως προς τη μεταβλητή ˆK θα είναι τμήμα του γεωμετρικού τόπου που έχει σχεδιαστεί και θα αναχωρεί από τα σημεία τομής με το φανταστικό άξονα. Η ζητούμενη γωνία μπορεί να προσδιοριστεί από τη γωνία αναχώρησης του γεωμετρικού τόπου από το φανταστικό πόλο. Θα είναι { } { } { } { } { } { } Arg j8.3 ( 9) Arg j8.3 ( 35) Arg j8.3 ( j8.3) θ Arg j Arg j Arg j*8.3 θ αν π/ θ π Η γωνία αναχώρησης θα είναι αν θ ( π.058)rad 9.38 αν Επομένως η γωνία που σχηματίζει ο γεωμετρικός τόπος με το φανταστικό άξονα θα είναι ο φθ αν ος Τρόπος Από το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ψ (s) D(s) + KN(s) 0 () όπου N(s), D(s) είναι αντίστοιχα ο αριθμητής και ο παρονομαστής της G(s) προκύπτει η συνάρτηση s f(k) και ενδιαφέρει να προσδιοριστεί η συνάρτηση ds/dk. Παραγωγίζοντας την () ως προς Κ λαμβάνεται ή ισοδύναμα Καθώς dd(s) ds dn(s) ds + K + N( s) 0 ds dk ds dk ds N(s) (s + 9) dk + K + K ds ds ds ds (s + 9) 0.0+ j dd(s) dn(s) d(s + 35s 00s) d(s + 9) K 69. 3s + 70s 00 + K s j8.3 η γωνία φ προκύπτει όπως παραπάνω ds Arg Arg j dk { } o ο φ o o o αν 5

6 ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Για το σύστημα κλειστού βρόχου του σχήματος δίδεται ότι R(s) Σ + _ Κ U(s) G(s) Y( s) s 0.05(+ N ) G(s) s s+ όπου Ν είναι το προτελευταίο ψηφίο του Αριθμού Μητρώου σας.. Να προσδιοριστούν τα σημεία τομής της G(jω) με τον πραγματικό άξονα (Να σημειώσετε με Χ τα σωστά τετράγωνα) Να προσδιοριστούν τα σημεία τομής της G(jω) με το φανταστικό άξονα (Να σημειώσετε με Χ τα σωστά τετράγωνα) 0 ±j0.05 ±j0. ±j0.5 ±j0. ±j0.5 ±j0.3 ±j0.35 ±j0.4 ±j Να σχεδιαστεί το διάγραμμα Nyquist της G(s). 4. Εάν εφαρμοστεί ο έλεγχος του Σχήματος, χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Nyquist να ευρεθεί για ποιές τιμές του Κ το αντισταθμισμένο σύστημα είναι ασυμπτωτικά ευσταθές (Να εκφράσετε τις συνθήκες σημειώνοντας με Χ τα κατάλληλα τετράγωνα) Το Κ είναι μεγαλύτερο του Το Κ είναι μικρότερο του Εάν έχει ληφθεί ονομαστική τιμή του κέρδους Κ.5 να προσδιοριστούν τα όρια μεταβολής του περιθωρίου κέρδους. Λύση 6

7 Εάν τεθεί η G(jω) θα είναι a 0.05(+ N ) s+ a a+ jω a+ jω ω + jω G(jω) sω j s s+ ω jω ω jω ω + jω a( ω ) ω j ω [a + ω ] + Χ+ jy ω +ω ω +ω ( ) ( ). Για την εύρεση των σημείων τομής με τον πραγματικό άξονα τίθεται Υ0 και προσδιορίζονται τα ω τα οποία ικανοποιούν τη σχέση. Αυτά είναι τα ακόλουθα Για ω0 προκύπτει Για ω a+ προκύπτει Για ω προκύπτει X ω0 ω a+ ω a( ω ) ω a ω +ω ( ) ω 0 a( ω ) ω a( a) (+ a) a a X a + (+ a) a + a+ ω a+ ( ω ) +ω ( ) a( ω ) ω X3 0 ω ω +ω ( ) Συνεπώς τα σημεία τομής με τον πραγματικό άξονα είναι τα σημεία -, 0 και ανάλογα με το Ν τα ακόλουθα Ν Χ Για τον προσδιορισμό των σημείων τομής με το φανταστικό άξονα τίθεται 7

8 Χ0 και προσδιορίζονται τα ω τα οποία ικανοποιούν τη σχέση. Αυτά είναι α) Τα ω τα οποία ικανοποιούν τη σχέση ή ισοδύναμα a( ω ) ω 0 a ω + a Δεδομένου ότι το a είναι στο διάστημα (-,0), δεν υπάρχουν ω τα οποία ικανοποιούν τη σχέση. β) ω Για ω το σημείο τομής με το φανταστικό άξονα προκύπτει ω [a + ω ] Y ω 0 ω +ω ( ) 3. Το διάγραμμα Nyquist της G(s) φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα για a Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis 4. Το προς έλεγχο σύστημα είναι ασταθές καθώς έχει δύο πόλους, τους 8

9 p, ± j 3 στο δεξιό ημιεπίπεδο. Για να είναι ευσταθές το σύστημα κλειστού βρόχου πρέπει το σημείο -/Κ να περιτριγυρίζεται δύο φορές ανθωρολογιακά από το διάγραμμα Nyquist της G(s). Αυτό σημαίνει ότι πρέπει ή ισοδύναμα < < a K 0 < K< a N + Συνεπώς το Κ πρέπει να είναι μεγαλύτερο της μονάδας ανεξάρτητα του Αριθμού Μητρώου και μικρότερο του Κ max το οποίο ανάλογα με το Ν είναι Ν Κ max Για το περιθώριο κέρδους Κ c θα ισχύει οπότε 0 < K KNKc < a N < K < K (N + )K ( N + )3 c N N ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Για το σύστημα κλειστού βρόχου του σχήματος δίδεται ότι R(z) Σ + _ K U(z) G(z) Y(z) G(z) z(z + 0.)(z + 0.* N ) όπου Ν είναι το τρίτο από το τέλος ψηφίο του Αριθμού Μητρώου σας. 9

10 . Να προσδιοριστεί η τιμή του Κ ώστε να ελαχιστοποιείται το σφάλμα lim r(k) y(k) k { } (Να σημειώσετε με Χ το σωστό τετράγωνο) Κανένα. Για την επιλογή του ερωτήματος να ευρεθεί το lim y(k) / K k { } (Να σημειώσετε με Χ το σωστό τετράγωνο) Λύση Εάν τεθεί b0.*n >0 η συνάρτηση μεταφοράς του αντισταθμισμένου συστήματος θα είναι Ο μετασχηματισμός Ζ του σφάλματος θα είναι Εάν η συνάρτηση KG(z) K H(z) + KG(z) z(z+ 0.)(z+ b) + K e(k)r(k)-y(k) E(z) R(z) Y(z) [ H(z)]R(z) R(z) + KG(z) ( z )E(z) [ H(z)]( z )R(z) έχει όλους τους πόλους της εντός του μοναδιαίου κύκλου, θα ισχύει το θεώρημα της τελικής τιμής και { } { } { } lim e(k) lim ( z )E(z) lim ( z )[ H(z)]R(z) k z z Καθώς η -H(z) δεν έχει μηδενικό στο και η R(z) έχει πολλαπλούς πόλους στο εάν η r(k) είναι η συνάρτηση αναρριχήσεως ή η παραβολική συνάρτηση, το πρόβλημα έχει νόημα (το σφάλμα δεν απειρίζεται) μόνο για τη μοναδιαία βηματική συνάρτηση για την οποία Συνεπώς z R(z) z 0

11 .*( + b) ess lim{ e(k) } lim {( z )[ H(z)]R(z) } lim{ H(z) } k z z.*( + b) + K Καθώς dess.*( + b) < 0 dk [.*( + b) + K] η ελαχιστοποίηση του σφάλματος θα συμβαίνει για την μέγιστη τιμή του Κ που εξασφαλίζει την ασυμπτωτική ευστάθεια του αντισταθμισμένου συστήματος. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του αντισταθμισμένου συστήματος θα είναι 3 ψ (z) z(z + 0.)(z + b) + K z + (b + 0.)z + 0.bz + K Εφαρμόζεται το κριτήριο ευστάθειας των Jury-Blanchard Γραμμή z 0 z z z 3 K 0.b b+0. b+0. 0.b K 3 K - 0.bK-b-0. Kb+0.K-0.b 4 Kb+0.K-0.b 0.bK-b-0. K - Απαιτείται να ισχύουν οι ανισότητες ψ () z(z + 0.)(z + b) + K.( + b) + K > 0 () z 3 ( ) ψ( ) 0.8(b ) K > 0 () K < (3) K > Kb+ 0.K 0.b (4) Στη συνέχεια επιλύεται το θέμα για b0.5 Από την () προκύπτει -.8 < Κ (5) Από την () προκύπτει Κ<0.4 (6) Από την (3) προκύπτει - < Κ < (7) Από την (4) λαμβάνοντας υπόψη και την (7) λαμβάνονται οι ακόλουθες σχέσεις Εάν Kb + 0.K 0.b 0.7K 0. > 0 ή ισοδύναμα 0.49 < Κ (8.α) θα είναι K > 0.7K 0. ή ισοδύναμα K + 0.7K.< 0

12 η οποία αληθεύει για < Κ < (8.β) Οι σχέσεις (8.α) και (8.β) συναληθεύουν για 0.49 < Κ < (9.α) Εάν Kb + 0.K 0.b 0.7K 0.< 0 ή ισοδύναμα Κ < 0.49 (8.γ) θα είναι K > 0.7K + 0. ή ισοδύναμα K 0.7K 0.9 < 0 η οποία αληθεύει για < Κ <.36 (8.δ) Οι σχέσεις (8.γ) και (8.δ) συναληθεύουν για < Κ < 0.49 (9.α) Επομένως η σχέση (4) αληθεύει για < Κ < (0) Επομένως οι σχέσεις () έως (4) συναληθεύουν για < Κ < 0.4 () Η βέλτιστη τιμή του Κ θα είναι K 0.4 ε όπου ε>0 μπορεί να ληφθεί απεριόριστα μικρό. opt ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όπως φαίνεται και από το κατωτέρω σχήμα, η συνάρτηση του σφάλματος εμφανίζει ασυνέχεια για την τιμή Κ-.8 και καθώς είναι παντού φθίνουσα θα ήταν δυνατόν το σφάλμα για αρνητικά Κ να είναι μικρότερο του σφάλματος για θετικά Κ

13 Επειδή το σφάλμα ενδιαφέρει μόνο όταν το σύστημα είναι ευσταθές και στο ακόλουθο σχήμα εξετάζεται η περίπτωση που το Κ οδηγεί σε ευσταθές σύστημα κλειστού βρόχου, εξάγεται το συμπέρασμα ότι το σφάλμα μειώνεται όσο αυξάνει το Κ και συνεπώς η τιμή Κ0.4-ε οδηγεί στο ελάχιστο σφάλμα Για τα διάφορα Ν θα είναι Ν Κ opt 0.8-ε 0.7- ε ε ε ε 0.4-ε 0.3- ε 0.4- ε 0.6- ε ε Για να γίνει κατανοητό τι συμβαίνει στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται ο γεωμετρικός τόπος των ριζών της G(z). Για Κ0.4 ο ένας πόλος του αντισταθμισμένου συστήματος βρίσκεται στο σημείο - ενώ οι άλλοι δύο είναι εντός του μοναδιαίου κύκλου, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Αυτή είναι και η οριακή τιμή για την ασυμπτωτική ευστάθεια του αντισταθμισμένου συστήματος 3

14 .5 Root Locus 0.5 Imaginary Axis Για το όριο της εξόδου θα ισχύει Real Axis lim{ y(k) / K} lim {( z )Y(z) / K} lim{ H(z) / K} *.5 + K. ε k z z opt Για τα διάφορα Ν θα είναι Ν e ss ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Για το σύστημα διακριτού χρόνου x(k + ) x(k) u(k) x(0) N 0 0 όπου Ν 0 είναι το τελευταίο ψηφίο του Αριθμού Μητρώου σας, είναι επιθυμητό x(5) 4. Να εξεταστεί εάν είναι δυνατόν να επιτευχθεί αυτή η κατάσταση με u()u(0)0.. Να προσδιοριστεί η τιμή της u() (Να σημειώσετε με Χ τo σωστό τετράγωνο) Κανένα

15 Λύση Εάν θεωρηθεί b+n 0 και λαμβάνοντας υπόψη ότι η αρχική συνθήκη είναι μηδενική, θα είναι x(5) A x(0) A Bu(0) A Bu() A Bu() ABu(3) Bu(4) u(4) u(4) u(3) u(3) 3 4 B AB A B A B A B u() u() 3 4 u() b b b b b u() u(0) u(0) Καθώς απαιτείται u()u(0)0, το δεδομένο διάνυσμα θα επιτυγχάνεται μόνο εάν το σύστημα 0 u(4) 0 0 u(3) 3 4 b b b u() έχει λύση. Επειδή 0 3 b b b 3 det 0 0 b 0 το ανωτέρω σύστημα έχει ως λύση το διάνυσμα u(4) u(3) u() 3 b + N 0 Κατόπιν τούτου οι σωστές απαντήσεις είναι ως εξής Ν u()

16 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αξίζει να προσεχθεί ότι το σύστημα είναι ελέγξιμο επειδή η μήτρα 0 Pc 0 0 b b b είναι ομαλή. Όμως το διάνυσμα x(5) δεν είναι δυνατόν να επιτευχθεί εάν απαιτηθεί η u(4) ή η u(3) να είναι μηδενική. ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Ο θ F F ελ Κθ Μ Μάζα Μ είναι στερεωμένη στο άκρο αβαρούς ράβδου μήκους L και περιστρέφεται ως προς το σταθερό άλλο άκρο Ο της ράβδου επάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ο συντελεστής δυναμικής τριβής μεταξύ της μάζας και του επιπέδου είναι Β. Επι της μάζας δρά δύναμη F η οποία είναι πάντοτε κάθετη στη ράβδο. Σε απόσταση L 0.05*(+ N )*L από το Ο, όπου Ν είναι το προτελευταίο ψηφίο του Αριθμού Μητρώου σας, δρά επί της ράβδου δύναμη από ελατήριο, κάθετη στη ράβδο με μέτρο ίσο προς Κ*θ, όπως στο σχήμα. Η ροπή αδρανείας της μάζας ως προς το σημείο Ο είναι ίση προς J M*L Δίδονται οι τιμές των στοιχείων σε μονάδες του ΜΚSA συστήματος ως εξής: Κ00, Β, L5, J8. Για τις εξισώσεις καταστάσεως του συστήματος ως προς το διάνυσμα θ x θ& η μήτρα έχει τη μορφή a a A a a Να προσδιοριστεί ο λόγος Β a a 6

17 Λύση Καθώς η γωνία θ λαμβάνεται κατά την ωρολογιακή φορά, θα είναι d θ J M dt όπου Μ i οι ροπές που εφαρμόζονται στο σύστημα και λαμβάνονται σαν θετικές οι ροπές που έχουν ωρολογιακή φορά. Η δύναμη F εφαρμόζει ωρολογιακή ροπή ίση με Μ F*L Η δύναμη του ελατηρίου εφαρμόζει ανθωρολογιακή ροπή με τιμή Μ -F ελ *L -K*θ*0.05*(+Ν )*L Η δύναμη της τριβής εφαρμόζει ανθωρολογιακή ροπή με τιμή Η εξίσωση κινήσεως θα είναι dθ M3 B*v*L B*L * dt d θ dθ J F*L K* θ *0.05*( +Ν )*L B*L dt dt Οι εξισώσεις καταστάσεως ως προς το διάνυσμα x θα είναι Συνεπώς a a 0 x θ& 0 & x x& K *0.05*( L +Ν F )*L B*L + x x & && θ J J J K*0.05*( +Ν)*L J K*0.05*( +Ν ) 00*0.05*( +Ν) +Ν B*L B*L *5 J ΠΡΟΒΛΗΜΑ (Σεπτέμβριος 008) Έστω ότι ένα σύστημα έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο 3 ψ (s) s + (K + 7)s + (4K + 7)s + (3K + 5) i i 7

18 Να σημειώσετε ποιό από τα παρακάτω διαστήματα αποτελεί το σύνολο των τιμών του Κ για τις οποίες όλες οι ρίζες του πολυωνύμου έχουν πραγματικό μέρος μικρότερο του -. Κανένα από (0,) (,3) (3,4) (,4) (,3) (,5) τα προηγούμενα Χ Λύση Θέτοντας προκύπτει το πολυώνυμο ˆ s s + 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ψ (s) ψ(s ) (s ) + (K+ 7)(s ) + (4K+ 7)(s ) + (3K+ 5) 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ s 6s + s 8+ Ks 4Ks+ 4K+ 7s 8s+ 8+ 4Ks 8K+ 7s 34+ 3K+ 5 3 s ˆ + (K+ )sˆ + sˆ+ K Εάν το ψ(s) ˆ ˆ είναι ασυμπτωτικά ευσταθές, οι ρίζες του ψ(s) θα έχουν πραγματικό μέρος μικρότερο του -. Εφαρμόζεται η διάταξη Routh s 3 s K+ -K s K+ + K K K+ K+ s 0 -K Επεισή το πρώτο στοιχείο της πρώτης στήλης είναι θετικό, πρέπει να ισχύουν οι ακόλουθες ανισότητες Κ+>0 Κ>0 -Κ>0 Οι ανισότητες συναληθεύουν στο διάστημα 0<Κ< (Σημειώνεται το πρώτο τετράγωνο από όλους τους σπουδαστές). 8