Controllers - Eλεγκτές

Transcript

1 Controller - Eλεγκτές Στις επόμενες ενότητες θα εξετασθούν οι βιομηχανικοί ελεγκτές ή ελεγκτές τριών όρων PID, (με τους διάφορους συνδυασμούς τους όπως: P, PI ή PID). Η προτίμηση των ελεγκτών PID οφείλεται εν μέρει στην σθεναρή και εν μέρει στην απλή τους λειτουργία, κάτω από πολλές και διαφορετικές συνθήκες. Η υλοποίηση ενός τέτοιου ελεγκτή βασίζεται στον προσδιορισμό των τριών παραμέτρων,, d Ο Ελεγκτής παράγει το σήμα διέγερσης για το ελεγχόμενο σύστημα. Ελεγχόμενο σύστημα

2 Σήμα εξόδου του ελεγκτή στο πεδίο του χρόνου u( e( t 0 e( dt d de( dt Σήμα εξόδου του ελεγκτή στο πεδίο του Lalace U ( ) d E( ) Η έξοδος του ελεγκτή PID σχηματίζεται από το άθροισμα τριών όρων, ενός όρου Ρ (Proortonal) αναλόγου του σφάλματος, ενός όρου Ι (Integral) αναλόγου του ολοκληρώματος του σφάλματος και ενός όρου D (Dervatve ) αναλόγου της παραγώγου του σφάλματος.

3 Ορισμοί u( 1 e( T ntegral tme contant σταθερά χρόνου ολοκλήρωσης roortonal gan Αναλογικό κέρδος e( t 0 e( dt όπου T, Td t 0 d de( dt de( e( dt T d dt dervatve tme contant σταθερά χρόνου διαφόρισης ntegral gan Ολοκληρωτικό κέρδος d dervatve gan Διαφορικό κέρδος

4 Επιρροή των όρων P, I και D στην απόκριση του συστήματος Ο αναλογικός όρος P βοηθά στη βελτίωση της συμπεριφοράς του συστήματος τόσο στην μεταβατική όσο και στην μόνιμη κατάσταση, αλλά αδυνατεί να εξαλείψει πλήρως το μόνιμο σφάλμα. Δεν μπορεί να αντεπεξέλθει ικανοποιητικά σε όλους τους τύπους των συστημάτων και των εξωτερικών διαταραχών, γι' αυτό (όπου απαιτείται) συνδυάζεται μαζί με άλλους όρους. Ο ολοκληρωτικός όρος Ι χρησιμοποιείται σε συστήματα που παρουσιάζουν σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση, αφού για όσο χρόνο υπάρχει σφάλμα, η έξοδος του ελεγκτή, λόγω του ολοκληρώματος αυξάνεται με αποτέλεσμα την εξάλειψη του σφάλματος, αλλά αυτό γίνεται σε βάρος της ταχύτητας απόκρισης και της ευστάθειας του συστήματος. Ο διαφορικός όρος D αυξάνει την ευστάθεια του συστήματος και βελτιώνει τη συμπεριφορά του κατά τη μεταβατική κατάσταση, αλλά λόγω της επιβολής στην πράξη περιορισμού της εξόδου του ελεγκτή δεν χρησιμοποιείται ποτέ από μόνος του.

5 Επιρροή των όρων P, I και D στην απόκριση του συστήματος κλειστού βρόγχου Re tme Χρόνος ανόδου ή ανύψωσης (tr) Maxmum overhoot Μέγιστη υπερύψωση (ym) Settlng tme Χρόνος αποκατάστασης ( Steady-tate error Μόνιμο σφάλμα P ΜΕΙΩΣΗ ΑΥΞΗΣΗ Μικρή αλλαγή ΜΕΙΩΣΗ I ΜΕΙΩΣΗ ΑΥΞΗΣΗ ΑΥΞΗΣΗ ΕΞΑΛΕΙΨΗ D Μικρή αλλαγή ΜΕΙΩΣΗ ΜΕΙΩΣΗ Μικρή αλλαγή Να σημειωθεί ότι η συσχέτιση στον πίνακα μπορεί να μην είναι ακριβής, διότι οι όροι Κ, και d είναι αλληλοεξαρτώμενοι.

6 Παράδειγμα εφαρμογής PID ελεγκτή Έστω ότι έχουμε το εικονιζόμενο μηχανικό σύστημα. Η μαθηματική περιγραφή είναι: m x bx kx f Μετασχηματίζοντας σε Lalace, παίρνουμε: m X ( ) bx ( ) kx ( ) F( ) Η συνάρτηση μεταφοράς είναι: X ( ) F( ) m 1 b k

7 έστω m 1 kg, b 10N. / m, k 0N / m, f 1N Με αυτές τις τιμές η συνάρτηση που προκύπτει είναι: X ( ) F( ) Σκοπός μας είναι να δούμε, πως κάθε ένας από τους όρους, και συμβάλει στο να έχουμε: d Μικρό χρόνο ανόδου Ελάχιστη υπερύψωση Μηδενικό μόνιμο σφάλμα

8 Διάγραμμα ανοιχτού συστήματος χωρίς ελεγκτή Η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόγχου είναι: X ( ) F( ) Η τιμή της εξόδου στη μόνιμη κατάσταση είναι: x lm t x( lm 0 X ( ) lm 0 F( ) X ( ) F( ) 1 0

9 ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΟΙΧΤΟΥ ΒΡΟΓΧΟΥ 0.051/0 είναι η τελική τιμή της εξόδου X( σε μοναδιαία βηματική διέγερση. Αυτό σημαίνει ότι το μόνιμο σφάλμα στο ανοιχτό σύστημα είναι 95%. Ο χρόνος αποκατάστασης Τς είναι περίπου 1,5 ec.

10 P Controller - Αναλογικός Ελεγκτής Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: X F 10 0 () 10 0 ( ) 10 (0 ) 1

11 Επιλέγοντας 300 Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο αναλογικός ελεγκτής, μειώνει το χρόνο ανόδου και το μόνιμο σφάλμα, αυξάνει την υπερύψωση και επιφέρει μικρή αλλαγή στο χρόνο αποκατάστασης.

12 PI Controller Αναλογικός-Ολοκληρωτικός Ελεγκτής F X ) ( / / ) ( ) ( 3 Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι:

13 PI Controller Αναλογικός-Ολοκληρωτικός Ελεγκτής Επιλέγοντας 30, 70 Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο αναλογικός ολοκληρωτικός ελεγκτής, μειώνει το χρόνο ανόδου και μηδενίζει το μόνιμο σφάλμα.

14 PD Controller Αναλογικός-Διαφορικός Ελεγκτής Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: ) (0 ) ( ) ( ) ( d d d d F X

15 PD Controller Αναλογικός-Διαφορικός Ελεγκτής Επιλέγοντας 300, 10 d Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο Αναλογικός-Διαφορικός ελεγκτής, μειώνει την υπερύψωση και το χρόνο αποκατάστασης ενώ έχει μικρή επιρροή στο χρόνο ανύψωσης και στο μόνιμο σφάλμα

16 PID Controller Αναλογικός-Ολοκληρωτικός-Διαφορικός Ελεγκτής Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι: d d d d F X ) (0 ) ( / / ) ( ) ( 3

17 PID Controller Αναλογικός-Ολοκληρωτικός-Διαφορικός Ελεγκτής 350, 300, 5500 d ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ

18 P PD PI PID

19 Επίδραση του Αναλογικού, Ολοκληρωτικού και Διαφορικού κέρδους στη Δυναμική Απόκριση του Συστήματος

20 Αναλογικός Ελεγκτής E( ) U ( ) u( e(

21 Μεταβολή του κέρδους σε Αναλογικό Ελεγκτή Αύξηση του κέρδους: Βελτιώνει την μεταβατική και την μόνιμη απόκριση Μειώνει το μόνιμο σφάλμα. Μειώνει την Ευστάθεια!

22 Αναλογικός Ελεγκτής με μεγάλο κέρδος

23 Ολοκληρωτικός Ελεγκτής E( ) U ( ) u( e( dt Το Ολοκλήρωμα του σφάλματος με σταθερό κέρδος επιφέρει: Αύξηση του τύπου του συστήματος κατά 1 Εξάλειψη του μονίμου σφάλματος σε βηματική διέγερση Αύξηση της υπερύψωσης και των ταλαντώσεων t 0

24 Αύξηση του κέρδους σε Αναλογικό-Ολοκληρωτικό Ελεγκτή (PI) Αύξηση του κέρδους : Δεν βελτιώνει τη μόνιμη απόκριση Αυξάνει ελαφρώς το χρόνο αποκατάστασης Αύξηση της υπερύψωσης και των ταλαντώσεων

25 Διαφορικός Ελεγκτής de( E( ) d U ( ) u( d dt Διαφόριση του σφάλματος με σταθερό κέρδος γρήγορη ανίχνευση των μεταβολών της εξόδου μείωση υπερύψωσης και ταλαντώσεων δεν επηρεάζει τη μόνιμη απόκριση βελτίωση της μεταβατικής απόκρισης

26 Αύξηση του κέρδους σε Αναλογικό-Διαφορικό Ελεγκτή (PD) Αύξηση του κέρδους : βελτίωση της μεταβατικής απόκρισης Μείωση της κορυφής και του χρόνου ανόδου Αύξηση της υπερύψωσης και του χρόνου αποκατάστασης!

27 Περιγραφή PID Ελεγκτή Ο βασικός τύπος PID ελεγκτή περιγράφεται από τις παρακάτω σχέσεις: U () E () d 1 or U () 1 T E() d T

28 Μεταβολές κέρδους σε Ελεγκτή PID

29 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Αυξάνοντας το αναλογικό κέρδος μειώνεται το μόνιμο σφάλμα, αν όμως το αυξήσουμε πολύ το σύστημα αποσταθεροποιείται. Ο Ολοκληρωτικός έλεγχος επιφέρει ισχυρή μείωση του μόνιμου σφάλματος, αλλά συχνά μειώνει την ευστάθεια του συστήματος. Ο Διαφορικός έλεγχος αυξάνει την απόσβεση και βελτιώνει την ευστάθεια χωρίς να επηρεάζει το μόνιμο σφάλμα