Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (

Transcript

1 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών ( Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ ( Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ανατροφοδότηση Κατάστασης Παρατηρητές και Ανατροφοδότηση Εξόδου Βέλτιστος Έλεγχος Υλοποίηση Συστημάτων Ελέγχου?? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

3 6. Ανατροφοδότηση Κατάστασης Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

4 Ανατροφοδότηση Κατάστασης Σχεδίαση νόμων ανάδρασης / ανατροφοδότησης κατάστασης με σκοπό την κατάλληλη τοποθέτηση των πόλων του συστήματος για την επίτευξη επιθυμητής απόκρισης κλειστού βρόχου αναφορικά με τα χαρακτηριστικά απόκρισης μεταβατικής κατάστασης, και μόνιμης κατάστασης. Ζητούμενο: εύρεση «κερδών» ανάδρασης της κατάστασης στην είσοδο Αναγκαία & ικανή συνθήκη αυθαίρετης τοποθέτησης πόλων: ελεγξιμότητα Τι γίνεται όταν το σύστημα δεν είναι πλήρως ελέγξιμο - Σταθεροποίηση Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

5 Ο Νόμος Ανάδρασης Έστω το ΓΧΑΣ, δηλ.η προς έλεγχο εγκατάσταση (plant): Θεωρούμε νόμο ελέγχου της μορφής: Σκοπός είναι η εύρεση των «κερδών» ανάδρασης Κ της κατάστασης στην είσοδο για την κατάλληλη τοποθέτηση των πόλων του συστήματος με σκοπό την επίτευξη επιθυμητής απόκρισης κλειστού βρόχου Γενικά: Για μία είσοδο (m = 1): r=0 Ρυθμιστής (Regulator) : σύγκλιση Kostas J. Kyriakopoulos στο ΣΙ ( 0 ) - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

6 Καθορισμός της Δυναμικής Απόκρισης Επιδιώξεις για το σύστημα κλειστού βρόχου: Ασυμπτωτική Ευστάθεια Συγκεκριμένα Χαρακτηριστικά Μεταβατικής Απόκρισης σε είσοδο βαθμίδας: Χρόνος ανύψωσης (rise time) Χρόνος κορυφής (peak time) Εκατοστιαία υπερακόντιση (percent overshoot) Χρόνος Αποκατάστασης (settling time) Πως η θέση των ιδιοτιμών επηρεάζει τα παραπάνω χαρακτηριστικά? Ασυμπτωτική Ευστάθεια : ο πίνακας Α-Β Κ να έχει το πραγματικό τμήμα όλων των ιδιοτιμών του αυστηρά αρνητικό Χαρακτηριστικά Μεταβατικής Απόκρισης: η σχέση των ιδιοτιμών με αυτά τα χαρακτηριστικά είναι σαφής μόνο για συστήματα 1 ης και 2 ης τάξης. Για συστήματα μεγαλύτερης τάξης βασιζόμαστε σε προσεγγίσεις «κυριαρχούντων υποσυστημάτων» (domaining subsystem). Πως κάνουμε δηλαδή την επιλογή των ιδιοτιμών («πόλων»)? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

7 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 1 ης τάξης Σε σύστημα 1 ης τάξης, ή μία και μοναδική ιδιοτιμή καθορίζει την απόκριση δεδομένου ότι η χρονική σταθερά τ δείχνει τον χρόνο αποκατάστασης-95% Το παραπάνω σχήμα δίχνει την τυπική απόκριση συστήματος 1 ης τάξης σε είσοδο συνάρτησης βαθμίδας. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

8 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης Εάν στο παράδειγμα (που έχουμε δει και στην εισαγωγή) θεωρήσουμε ως είσοδο της μορφής δηλαδή ανηγμένη δύναμη ως προς k, που αντιστοιχεί σε «εντολή μετακίνησης» τότε Απόσβεση Φυσική Συχνότητα Ιδιοτιμές Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

9 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υπο-απόσβεση 0 < ξ < 1 : Υποαπόσβεση Απόκριση σε είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας Χαρακτηριστικά Απόδωσης: Χρόνος Ανύψωσης: 10%90% Χρόνος Μέγιστης Υπερακόντισης: Μέγιστη Υπερακόντιση: Χρόνος Αποκατάστασης: χρόνος μετά από τον οποίο το σύστημα παραμένει σε μία ζώνη 2% γύρω από την μόνιμη τιμή Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

10 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Ανοικτός Βρόχος) Στο πρoηγούμενο σύστημα για m = 1 kg, c = 1 Ns/m, k = 10 N/m Χρόνος Ανύψωσης: 0.30 s Χρόνος Μέγιστης Υπερακόντισης: Μέγιστη Υπερακόντιση: 1.01 s 60.5% Χρόνος Αποκατάστασης: 8 s Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10

11 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Κλειστός Βρόχος) Η απόκριση ανοικτού βρόχου που μόλις είδαμε, είναι χαρακτηριστική των συστημάτων με μικρή απόσβεση και όπως φάνηκε από το σχήμα, δεν είναι ικανοποιητική. Αντίθετα, θα επιθυμούσαμε μεγίστη υπερακόντιση ~4% και χρόνο αποκατάστασης ~2 s (σε σύγκριση με τις τωρινές τιμές ~60% και ~7.3 s, αντίστοιχα). Προς τούτο, υιοθετούμε έλεγχο ανάδρασης μεταβλητών κατάστασης (ουσιαστικά, σε αυτή τη περίπτωση, PD) : Αν αυτός είσαχθεί στο σύστημα (ανοικτού βρόχου): Λαμβάνουμε το σύστημα κλειστού βρόχου: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11

12 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Κλειστός Βρόχος) Από την υπερακόντιση υπολογίζουμε τον επιθυμητό λόγο απόσβεσης : ln PO PO ln PO PO e Και από τον χρόνο αποκατάστασης υπολογίζουμε την επιθυμητή φυσική t S συχνότητα : t 2.79 rad / sec S n S Η επιθυμητή φυσική συχνότητα απόσβεσης είναι : Υπενθυμίζουμε ότι στο σύστημα ανοικτού βρόχου είχαμε: Ενώ τώρα, στο σύστημα κλειστού βρόχου έχουμε: n t H s Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 12

13 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Κλειστός Βρόχος) H s Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13

14 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ : Ανισοτικοί Περιορισμοί Η μεταβατική απόκριση καθορίζεται συνήθως με τη μορφή ανισοτήτων και όχι ισοτήτων. Για συστήματα : 1 ης τάξης: καθορίζεται ένα άνω φράγμα του χρόνου που χρειάζεται για προσέγγιση κατά ένα ποσοστό (π.χ. 95%) της μόνιμης κατάστασης. 2 ης τάξης: καθορίζονται φράγματα σε κάποια (ή όλα) από τις προδιαγραφές: χρόνο ανύψωσης, χρόνο μεγίστης υπερακόντισης, μεγίστη υπερακόντιση, και χρόνο αποκατάστασης. Αυτά οδηγούν σε αποδεκτές περιοχές του λόγου απόσβεσης και της φυσικής συχνότητας. Αυτές αντιστοιχίζονται σε αποδεκτές περιοχές των ιδιοτιμών του συστήματος κλειστού βρόχου. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14

15 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ : Ανισοτικοί Περιορισμοί - Παράδειγμα Για το παράδειγμα που έχουμε ήδη αναλύσει,αναζητούμε τις ιδιοτιμέςπου ικανοποιούν τις προδιαγραφές : ln PO PO ln PO ts 2 n 2 n 2 2 PO O O O 100 e cos cos n Υπενθυμίζουμε ότι Αναζητούμε ιδιοτιμές με πραγματικό μέρος, αριστερότερα του t P 0.5 d 6.28 rad / sec 0.5 d Υπενθυμίζουμε ότι Αναζητούμε ιδιοτιμές με φανταστικό μέρος, εκτός του διαστήματος (-6.28, +6.28). 3 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15

16 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ : Ανισοτικοί Περιορισμοί - Παράδειγμα d 6.28 rad Παρατηρούμε ότι η δομή των συνθηκών 1 1 & 3 είναι τέτοια όπου η 2 ικανοποιείται πάντα. Συνήθως τίθενται και άλλες συνθήκες που περιορίζουν: προς το θετικότερο το πραγματικό μέρος των ιδιοτιμών για να περιορισθεί το εύρος ζώνης συστήματος. Τη φυσική συχνότητα των ιδιοτιμών για να μην οδηγείται (συχνά) η είσοδος του συστήματος σε κορεσμό. κλπ. O n O Επομένως οι επιθυμητές περιοχές των ιδιοτιμών αντιστοιχούν συνήθως σε 2 συμμετρικές ως προς τον φανταστικό άξονα «ευσταθείς νησίδες». 3 3 του Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ

17 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ Υψηλής Τάξεως Οταν είναι δυνατόν, τα συστήματα υψηλής τάξεως προσεγγίζονται από κυριαρχούντα συστήματα 1 ης ή 2 ης τάξης. Στα κυριαρχούντα υποσυστήματα οι ιδιοτιμές καθορίζονται όπως προηγουμένως. Οι υπόλοιπες ιδιοτιμές μπορεί να είναι και 10 φορές πιο αριστερά απο τις κυριαρχούσες (αρκεί να μην διεγείρουν πιθανούς θορύβους) Μία (1) κυριαρχούσα ιδιοτιμή : Ο πίνακας δείχνει τις θέσεις των υπολοίπων ιδιοτιμών για μία κυριαρχούσα ιδιοτιμή, ανάλογα με τη τάξη του συστήματος. Το σχήμα δείχνει τις αντίστοιχες αποκρίσεις σε είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17

18 Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ Υψηλής Τάξεως Δύο (2) κυριαρχούσες ιδιοτιμές : Ο πίνακας δείχνει τις θέσεις των υπολοίπων ιδιοτιμών για 2 κυριαρχούσες ιδιοτιμές, ανάλογα με τη τάξη του συστήματος. Το σχήμα δείχνει τις αντίστοιχες αποκρίσεις σε είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18

19 Επιλογή Δυναμικής Απόκρισης / ΧΠ / Ιδιοτιμών με τη Μεθοδολογία ΙΤΑΕ Το κριτήριο ITAE (Integral of Time multiplying the Absolute value of Error) οδηγεί σε διαμόρφωση της δυναμικής απόκρισης με κριτήριο την ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης Στην περίπτωση που επιλεγούν Σ.Μ της μορφής τότε τα ΧΠ που προκύπτουν από το ΙΤΑΕ δίδονται στον παρακάτω πίνακα (ανάλογα με τη τάξη του συστήματος) και οι αντίστοιχες αποκρίσεις (για μοναδία βαθμίδα) φαίνονται διπλα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19

20 Τοποθέτηση Πόλων Κλειστού Βρόχου με Ανάδραση Μεταβλητών Κατάστασης Θεώρημα: Αν Α R n n, B R n m τότε για κάθε σύνολο n μιγαδικών αριθμών {μ 1, μ 2,, μ n }, στο οποίο οι μη αμιγώς πραγματικοί εμφανιζονται ως συζυγή ζεύγη, υπάρχει ένας πίνακας Κ R m n έτσι ώστε σ(α-β Κ) = {μ 1, μ 2,, μ n } αν και μόνο αν το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιμο. Ουσιαστικά το παραπάνω θεώρημα θέτει την ελεγξιμότητα ως αναγκαία και ικανή συνθήκη για την αυθαίρετη (εφόσον οι μη αμιγώς πραγματικές εμφανιζονται ως συζυγή ζεύγη) τοποθέτηση όλων των ιδιοτιμών ενός συστήματος, μέσω κατάλληλου πίνακα κερδών ανατροφοδότησης. Πως ευρίσκεται αυτό το Κ? Τύπος Ackermann : Για συστήματα μίας εισόδου, δηλ. Α R n n, B R n 1, τότε όπου R n n ο πίνακας ελεγξιμότητας που επειδή εμφανίζεται σε μορφή αντιστρόφου είναι εμφανής η ανάγκη για ελεγξιμότητα : οι συντελεστές του δίνονται από το επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο δηλ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

21 Τύπος του Ackermann: Παράδειγμα Έστω το SISO ΓΧΑΣ A B 0 C Για προδιαγραφές PO = 6 % t s = 3 sec Λαμβάνουμε ln PO PO ln PO ts 3 n 2 rad / sec 2 PO e n Ιδιοτιμές Αν και ευσταθείς, μόνο με ελαφρά απόσβεση Η τελευταία ιδιοτιμή επιλέγεται 10φορές πιο γρήγορη, δηλ. Επιθυμητό ΧΠ: 1, j1.49 : κυριαρχούσες ιδιοτιμές s s 1.33 j1.49 s 1.33 j1.49 s s 16s 39.55s s s s Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ

22 Τύπος του Ackermann: Παράδειγμα Ο πίνακας ελεγξιμότητας είναι Επίσης, από το ΧΠ έχουμε: Και από τον τύπο του Ackermann: 1 K P A Ο έλεγχος u K x r δίνει την απόκριση του διπλανού σχήματος στην οποία ικανοποιούνται οι συνθήκες δυναμικής απόκρισης. ΟΜΩΣ: Πως επιτυγχάνεται η επιθυμητή μόνιμη κατάσταση? Θα δούμε παρακάτω... Αν δεν είναι άμεσα διαθέσιμη η κατάσταση? Τι γίνεται σε MIMO συστήματα? P P A A 16A 39.55A I Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22

23 Δυνατότητα Σταθεροποίησης Σε οιοδήποτε ελέγξιμο σύστημα είναι δυνατή η κατά τις προδιαγραφές τοποθέτηση των πόλων και κατα συνέπεια η σταθεροποίησή (stabilization) του. Είναι δυνατή όμως η σταθεροποίηση ενός μη πλήρως ελέγξιμου συστήματος? Απάντηση: Ναι υπό τη προυπόθεση ότι το σύστημα είναι σταθεροποιήσιμο (stabilizable) Παράδειγμα: Το SISO ΓΧΑΣ Όπως φαίνεται παρακάτω είναι μη πλήρως ελέγξιμο. Γιατί? Όμως το υποσύστημα (Α 11, Β 1 ) είναι ένα πλήρως ελέγξιμο σύστημα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

24 Δυνατότητα Σταθεροποίησης Αν επιλέξουμε τότε Από την block άνω τριγωνική μορφή (block upper triangular) του πίνακα κλειστού βρόχου είναι φανερό ότι με τα κέρδη μπορούν να τοποθετήσουμε κατά βούλιση τους 2 (ελέγξιμους) πόλους ενώ ο 3 ος είναι το -2, που είναι ευσταθής. Ορισμός: Το ΓΧΑΣ x t A x t Bu t, ή αλλοιώς το «ζεύγος» (Α,Β), είναι σταθεροποιήσιμο (stabilizable) αν υπαρχει πίνακας κερδών ανάδρασης κατάστασης Κ για τον οποίο όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α-Β Κ έχουν αυστηρά αρνητικό πραγματικό τμήμα. Ελεγξιμότητα Δυνατότητα Σταθεροποίησης (Stabilizability) Δυνατότητα Σταθεροποίησης Ελεγξιμότητα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24

25 Δυνατότητα Σταθεροποίησης Έστω το ΓΧΑΣ x t A x t Bu t που δεν είναι πλήρως ελέγξιμο. Ως γνωστόν, υπάρχει μετασχηματισμός που δίδει τους πίνακες του μετασχηματισμένου συστήματος όπου το (Α 11, Β 1 ) είναι πλήρως ελέγξιμο. Γι αυτό το σύστημα, θεωρούμε τον κατάλληλα «κατατμημένο» πίνακα κερδών οπότε ο πίνακας κλειστού βρόχου του μετασχηματισμένου συστήματος είναι Αυτός ο πίνακας έχει ιδιοτιμές: Αυτές του όπου, επειδή το (Α 11, Β 1 ) είναι πλήρως ελέγξιμο, μπορούν να τοποθετηθούν (π.χ. Με τον τύπο του Ackermann) κατά βούληση, και Αυτές του (που δεν μπορούνα να μετακινηθούν). Επομένως η δυνατότητα σταθεροποίησης του ΓΧΑΣ προϋποθέτει ότι το έχει ασυμπτωτικά ευσταθείς πόλους. Παρατηρούμε δε ότι το δεν παίζε κανένα ρόλο στη σταθεροποίηση του συστήματος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25

26 Δυνατότητα Σταθεροποίησης : Παράδειγμα Για το ΓΧΑΣ στο παρελθόν Εξετάσαμε την ελεγξιμότητά του, και Είδαμε το τρόπο μετασχηματισμού του σε μορφή που «ξεχωρίζουν» τα ελέγξιμα και μη ελέγξιμα τμήματα Επειδή Α 22 = -3, προφανώς το σύστημα είναι σταθεροποιήσιμο. Για το (Α 11, Β 1 ) επιλέγουμε ιδιοτιμές - 2 ± j 2 και μέσω του τύπου του Ackermann υπολογίζεται ο σχετικός πίνακας κερδών και μπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο πινακας έχει τις επιθυμητές ιδιοτιμές. Επιλέγουμε λοιπόν και μπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο έχει ιδιοτιμές - 2 ± j 2, -3. Επειδή θέλουμε οι διοτιμές των A B K, A ˆ B ˆ K ˆ να ταυτίζονται, βάσει των ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Kˆ K T 1 A T AT 1 1 B T B A B K T A B K T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

27 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας Μέχρι στιγμής δόθηκε έμφαση ση μεταβατική απόκριση. Τώρα θα ασχοληθούμε με τη παρακολούθηση εισόδου βαθμίδας μέσω δύο (2) προσεγγίσεων: Ενσωμάτωση της εισόδου αναφοράς στο νόμο ελέγχου με ανατροφοδότηση κατάστασης. Σερβομηχανισμοί: Ενσωμάτωση ολοκληρωτικού παράγοντα του σφάλματος στο νόμο ελέγχου με ανατροφοδότηση κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27

28 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Κέρδος Εισόδου Αναφοράς Αν στο ΓΧΑΣ x t A x t Bu t χρησιμοποιήσουμε νόμο ελέγχου τότε το σύστημα κλειστού βρόχου είναι Με είσοδο αναφοράς η σαφής προδιαγραφή είναι Προφανώς Όλη η ανάλυση που θα ακολουθήσει προϋποθέτει ότι m p, δηλαδή αριθμό εισόδων μεγαλύτερο ή ίσο αυτό των εξόδων, και Κ τέτοιο ώστε το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Ο πίνακας μεταφοράς κλειστού βρόχου είναι H s C s I A B K BG Επειδή p y t, r t G Για να είναι πρέπει =??? m p CL 1 pp Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28

29 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Κέρδος Εισόδου Αναφοράς Για να είναι πρέπει = Ι p p Ποιός πίνακας G R m p ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη? m = p : τότε προφανώς C A B K 1 B C A B K B G C A B K B p p Αν μη αντιστρέψιμος τότε λέμε ότι το σύστημα κλειστού βρόχου έχει ένα μηδενιστή μετάδοσης (transmission zero) στο s = 0. Για να το καταλάβουμε, ας θεωρήσουμε ένα SISO με τη ΣΜ: C s I A B K 1 B. Αυτό θα έχει ένα μηδενιστή στο s = 0. 1 p m m > p : τότε C A B K B δηλ. Έχει περισσότερες στήλες από γραμμές. Αν επομένως rank C A B K 1 B p τότε ο G υπολογίζεται από τον ψευδοαντίστροφο Moore-Penrose 1 T 1 1 G C A B K B C A B K B C A B K B Για να είναι yss Kdc R πρέπει = Κ dc Πώς αλλάζει η παραπάνω ανάλυση? T 1 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 29

30 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Κέρδος Εισόδου Αναφοράς - Παράδειγμα Σε προηγούμενη φάση, προχωρήσαμε σε τοποθέτηση πόλων μέσω ανάδρασης μεταβλητών κατάστασης για ένα ΓΧΑΣ με ΣΜ ανοικτού βρόχου. και το κέρδος DC ανοικτού βρόχου Kdc H Καταλήξαμε στο κερδος και προέκυψε η απόκριση στα αριστερά και η ΣΜ κλειστού βρόχου Επειδή m = p = 1 1 G C A B K B K dc Που οδηγεί στην απόκριση που μεφανίζεται στο δεξιό σχήμα 1 1/18 u K x r u K x Gr Σερβομηχανισμοί Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 30

31 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Είδαμε ότι ο υπολογισμός του κέρδους G προϋποθέτει τον υπολογισμό του παράγοντα, ο οποίος στηρίζεται αποκλειστικά στις παραμέτρους του μοντέλου του συστήματος. Μια τέτοια προσέγγιση δεν είναι «εύρωστη» (robust) γιατι στην πράξη συμβαίνουν τα παρακάτω: Αβεβαιότητα ακριβούς γνώσης των παραμέτρων του συστήματος Προσεγγιστική παράσταση του συστήματος (μη θεώρηση όρων άγνωστης ή πολύπλοκης δυναμικής) Μεταβολή των παραμέτρων του συστήματος. Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε καλή απόδωση υπό αυτές τις συνθήκες? Εδώ προτείνεται ο συνδυασμός της μεθοδολογίας χρήσης ενός ολοκληρωτή του σφάλματος, και των προηγουμένων μεθοδολογιών ανάδρασης μεταβλητών κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 31

32 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Προτείνεται ο συνδυασμός της μεθοδολογίας χρήσης ενός ολοκληρωτή του σφάλματος, και των προηγουμένων μεθοδολογιών ανάδρασης μεταβλητών κατάστασης. Η προτεινόμενη μεθοδολογία είναι εύρωστη αναφορικά με τις αβεβαιότητες των παραμέτρων ανοικτού βρόχου με την έννοια ότι: Διασφαλίζεται η παρακολούθηση της εισόδου βαθμίδας, Εφόσον η ευστάθεια κλειστού βρόχου είναι δεδομένη. Εδώ, θεωρούμε την περίπτωση SISO και στηριζόμαστε στις παρακάτω προϋποθέσεις: 1) Το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιμο 2) 0 σ(α) 3) Η(0) 0, όπου Η(s) η ΣΜ του συστήματος ανοικτού βρόχου Δηλαδή: το s=0 δεν είναι ούτε πόλος ούτε μηδενιστής του συστήματος ανοικτού βρόχου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32

33 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Ο νόμος ελέγχου είναι και το συνολικό δομικό διάγραμμα είναι Plant A,B Οι εξίσώσεις του αντίστοιχου συστήματος κλειστού βρόχου είναι Και επομένως η απόκριση του συστήματος εξαρτάται από τις n+1 ιδιοτιμές αυτού του συστήματος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

34 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Επομένως πρέπει να μπορούμε να τοποθετούμε κατά βούληση, μέσω του πίνακα κερδών, τις ιδιοτιμές του πίνακα κλειστού βρόχου Αυτό προϋποθέτει την ελεγξιμότητα του ζεύγους Από την 2 η προϋπόθεση, δηλ. 0 σ(α), ο Α δεν έχει μηδενική ιδιοτιμή δεν είναι ιδιόμορφος A 0 Από την 3 η προϋπόθεση, δηλ. Η(0) 0 Υπενθυμίζουμε ότι SISO Επομένως ο δεν είναι ιδιόμορφος. Από την 1 η προϋπόθεση, δηλ. (Α,Β) ελέγξιμο Μπορούμε να τοποθετήσουμε κατά βούληση, μέσω του πίνακα κερδών, τις (n+1) ιδιοτιμές του πίνακα κλειστού βρόχου. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Ελέγξιμο 34

35 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Θεωρούμε ότι ο πίνακας κερδών υπολογίσθηκε ωστε να εξασφαλίζεται η ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου. Θέλουμε να δείξουμε ότι αν Επομένως : Πρέπει να βρούμε την σχέση των στο ΣΙ του συστήματος κλειστού βρόχου, και Μετά να αποδέιξουμε ότι Από τη γραμμική άλγεβρα Αυτό έχει νόημα γιατί, όπως αποδείξαμε προηγουμένως, A 0, οπότε Επομένως Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35

36 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Στο παρελθόν είδαμε το SISO ΓΧΑΣ Είναι στην «κανονική μορφή ελεγκτή», επομένως το ζεύγος (Α, Β) είναι ελέγξιμο και έτσι ικανοποιείται η 1 η προϋπόθεση. Βρήκαμε ότι η ΣΜ ανοικτού βρόχου είναι και επομένως δεν υπάρχει ούτε πόλος, ούτε μηδενιστής στο s = 0, ικανοποιόντας τις προϋποθέσεις 2 η και 3 η. Σύμφωνα με την προηγηθείσα ανάλυση Παράδειγμα A B 0 C Αυτό είναι ΓΧΑΣ 4 ης τάξης. Επιλέγουμε ιδιοτιμές σύμφωνα με το κριτήριο ΙΤΑΕ επιλέγοντας ω n = 2 rad/s : = που έχει ιδιοτιμές : Με τον τύπου του Ackermann βρίσκουμε Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36

37 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Δεδομένου ότι ο νόμος ελέγχου είναι: Και το σύστημα κλειστού βρόχου: Σε επόμενη φάση θα δούμε πως αντιμετωπίζεται η μη-άμεση διαθεσιμότητα κατάστασης Απομένει να αξιολογήσουμε την «ευρωστία» του σύστήματος, θεωρόντας μία απόκλιση από την δυναμική του συστήματος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 37

38 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα ΓΧΑΣ με Διαταραχή 1,2,3 1, j4 ΓΧΑΣ κανονικό A Το σύστημα, παρόλη τη «διαταραχή», παραμένει ασυμπτωτικά ευσταθές. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 38

39 Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Από τις αποκρίσεις των συστημάτων, κανονικού και «διαταραγμένου», βλέπουμε την επίδραση της διαταραχής στην μεταβατική απόκριση. Είναι φανερό όμως ότι επειδή το «διαταραγμένο» σύστημα έχει διατηρήσει την ευστάθειά του, ένεκα του ολοκληρωτικού όρου, επιτυγχάνει μηδενικό τελικό σφάλμα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 39

40 7. Παρατηρητές και Ανάδραση Εξόδου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 40

41 Εκτίμηση Κατάστασης Η χρήση ανάδρασης / ανατροφοδότησης κατάστασης στο ΓΧΑΣ προαπαιτεί την ακριβή γνώση της κατάστασής του. Αυτό δεν είναι πάντοτε άμεσα δυνατό και, όπως αποδεικνύεται για πλήρως παρατηρήσιμα ΓΧΑΣ, οδηγούμαστε στη σχεδίαση «Παρατηρητών» (Observers) δηλαδή συστημάτων που στηριζόμενα στη - σε πραγματικό χρόνο - γνώση των εισόδου και εξόδου του παραπάνω συστήματος επιτελούν την «εκτίμηση» (estimation) της κατάστασης του ΓΧΑΣ. Εκτίμηση Κατάστασης Ακολούθως, εισάγεται η έννοια της «Ανιχνευσιμότητας» (Detectability) για εκείνες τις περιπτώσεις όπου το σύστημα δέν είναι πλήρως παρατηρήσιμο. Η εκτίμηση της κατάστασης (στη θέση της πραγματικής της τιμής) μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο σχήμα ελέγχου ανάδρασης μεταβλητών κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 41

42 Ο Παρατηρητής Έστω το προς έλεγχο ΓΧΑΣ : Θεωρούμε παρατηρητή της μορφής: Σκοπός είναι η εύρεση των «πίνακα κερδών παρατηρησης» L που δίνει το βάρος με το οποίο λαμβάνεται υπόψη ο όρος (η «απόκλιση» της εξόδου που θα προέκυπτε από την εκτίμηση από τη τρέχουσα πραγματική έξοδο) σε ένα ΓΧΑΣ, που κατά τ αλλα προσομοιώνει τη δυναμική της εγκατάστασης. Αν ορίσουμε το σφάλμα εκτίμησης μπορούμε να πάρουμε τη δυναμική σφάλματος : Προφανώς Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 42

43 Ο Παρατηρητής Αν τότε οπότε η δομή της δυναμικής σφάλματος. x t A L C x t συνεπάγεται (γιατί?) x t 0 xˆ t x t t 0 Όμως ΔΕΝ είναι δυνατόν πάντοτε να ξέρουμε την αρχική κατάσταση, δηλ. Όμως, με κατάλληλη επιλογή του L, το x t A LC x t μπορεί να γίνει ευσταθές και το xtνα τείνει στο 0. Η δομή του παρατηρητή και όλου του συστήματος φαίνονται αναλυτικότερα,από πριν, στο διπλανό σχήμα. Επίσης, καταλήξαμε στη παραπάνω Δ.Ε. σφάλματος, κάνοντας την ΥΠΟΘΕΣΗ ότι οι πίνακες Α, Β, C του παρατηρητή (δηλ. το μοντέλο που «τρέχει» σε λογισμικό) ταυτίζονται με αυτούς του πραγματικού συστήματος. Παρατηρητής Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 43

44 Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή Επειδή σ(α-l C) = σ((α-l C) Τ ) και (Α-L C) Τ =Α Τ -C T LT, άν θεωρήσουμε τις αντιστοιχίες : Α Α Τ Β C Τ K L Τ βλέπουμε ότι η τοποθέτηση ιδιοτιμών του Α-L C μέσω του L είναι αντίστοιχη με τη τοποθέτηση ιδιοτιμών του Α-Β Κ μέσω του Κ.Υπάρχει δηλ. διαδικότητα (duality) μεταξύ των προβλημάτων. Θεώρημα: Αν Α R n n, C R p n τότε για κάθε σύνολο n μιγαδικών αριθμών {μ 1, μ 2,, μ n }, στο οποίο οι μη αμιγώς πραγματικοί εμφανιζονται ως συζυγή ζεύγη, υπάρχει ένας πίνακας L R n p έτσι ώστε σ(α-l C) = {μ 1, μ 2,, μ n } αν και μόνο αν το ζεύγος (Α,C) είναι παρατηρήσιμο. Το παραπάνω θεώρημα θέτει την παρατηρησιμότητα ως αναγκαία και ικανή συνθήκη για την αυθαίρετη (εφόσον οι μη αμιγώς πραγματικές εμφανιζονται ως συζυγή ζεύγη) τοποθέτηση όλων των ιδιοτιμών ενός παρατηρητή, μέσω κατάλληλου πίνακα κερδών ανατροφοδότησης. Πως ευρίσκεται αυτό το L? Τύπος Ackermann: Για συστήματα μίας εξόδου, δηλ. ΑR n n, CR 1 n, τότε 1 όπου L AQ A C, T T T T T T n 1 T Q C C A C A R n n ο πίνακας παρατηρησιμότητας που επειδή εμφανίζεται σε μορφή αντιστρόφου είναι εμφανής η ανάγκη γιά παρατηρησιμότητα : οι συντελεστές του δίνονται από το επιθυμητό ΧΠ του Α-L C δηλ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 44

45 Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή: Παράδειγμα - 1 Έστω το ΓΧΑΣ Πόλοι Ανοικτού Βρόχου Πόλοι Παρατηρητή ΧΠ Παρατηρητή 1 L A Q A, C T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 45

46 Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή: Παράδειγμα - 1 xˆ t A xˆ t B u t L y t yˆ t A xˆ t B u t L y t C xˆ t A L C xˆ t B u t L y t Παρατηρητής Αν θεωρήσουμε τις τροχιές που προκύπτουν από το ΓΧΑΣ για από τον παρατηρητή (όπως εμφανίζεται παραπάνω) και για xˆ T Είναι φανερή η ασυμπτωτική σύγκλιση της εκτίμησης του παρατηρητή προς τη πραγματική τροχιά του ΓΧΑΣ (που μάλιστα δεν είναι συγκλίνουσα). Στη συνέχεια θα δούμε και την «ελεγχόμενη» περίπτωση x T 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 46

47 Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή: Παράδειγμα - 2 Στο παρελθόν θεωρήσαμε το ΓΧΑΣ Επιλέξαμε πόλους κλειστού βρόχου Επιλέγουμε πόλους παρατηρητή κατά πολύ ταχύτερους (~10 φορές) για να συγκλίνει γρήγορα η εκτίμηση, δηλ. 1, T L L A Q A C T Τα μεγάλα κέρδη παρατηρητή οφείλονται στους επιλεγέντες πολύ γρήγορους πόλους παρατηρητη. Αυτό δυνητικά οδηγεί σε «ευαίσθητο» σύστημα... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Σερβομηχανισμοί 47

48 Ανιχνευσιμότητα Σε οιοδήποτε παρατηρήσιμο σύστημα είναι δυνατή η ανάπτυξη παρατηρητή με πόλους κατά τις προδιαγραφές τοποθετημένους και κατα συνέπεια η παρατήρησή του. Είναι δυνατή όμως η παρατήρηση ενός μη πλήρως παρατηρήσιμου συστήματος? Απάντηση: Ναι υπό τη προυπόθεση ότι το σύστημα είναι ανιχνεύσιμο (detectable) Παράδειγμα: Το SISO ΓΧΑΣ Όπως φαίνεται παρακάτω είναι μη πλήρως. παρατηρήσιμο. Όμως το υποσύστημα (Α 11, C 1 ) είναι ένα πλήρως παρατηρήσιμο σύστημα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 48

49 Ανιχνευσιμότητα Αν επιλέξουμε τότε Από την block κάτω τριγωνική μορφή (block lower triangular) του πίνακα παρατηρητή είναι φανερό ότι με το κέρδος l 1 μπορούμε να τοποθετήσουμε κατά βούληση τον 1 ο πόλο ενώ οι 2 ος & 3 ος είναι οι -1, -2, που είναι ευσταθείς, και κατά συνέπεια το ίδιο και η δυναμική σφάλματος. Τα κέρδη l 2, l 3 δεν μπορούν να έχουν καμμία επίδραση στη δυναμική σφάλματος. Ορισμός: Το ΓΧΑΣ y C x ή αλλοιώς το «ζεύγος» (Α,C), είναι Ανιχνεύσιμο (Detectable) αν υπαρχει πίνακας κερδών παρατηρητή L για τον οποίο όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα Α-L C έχουν αυστηρά αρνητικό πραγματικό τμήμα. Παρατηρησιμότητα Ανιχνευσιμότητα (Detectability) x A x B u Ανιχνευσιμότητα Παρατηρησιμότητα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 49

50 Ανιχνευσιμότητα x A x B u Έστω το ΓΧΑΣ όπου το (Α,C) δεν είναι πλήρως παρατηρήσιμο. y C x Ως γνωστόν, υπάρχει μετασχηματισμός που δίδει τους πίνακες του μετασχηματισμένου συστήματος όπου το (Α 11, C 1 ) είναι πλήρως παρατηρήσιμο. Γι αυτό το σύστημα, θεωρούμε τον κατάλληλα «κατατμημένο» πίνακα κερ- -δών οπότε ο πίνακας παρατη- -ρητή του μετασχηματισμένου συστήματος : Αυτός ο πίνακας έχει ιδιοτιμές: Αυτές του όπου, επειδή το (Α 11, C 1 ) είναι πλήρως παρατηρήσιμο, μπορούν να τοποθετηθούν (π.χ. με τον τύπο του Ackermann) κατά βούληση, και Αυτές του (που δεν μπορούνα να μετακινηθούν). Επομένως η δυνατότητα παρατήρησης του ΓΧΑΣ προϋποθέτει ότι το έχει ασυμπτωτικά ευσταθείς πόλους. Παρατηρούμε δε ότι το L 2 δεν παίζε κανένα ρόλο στη παρατήρηση του συστήματος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 50

51 Ανιχνευσιμότητα : Παράδειγμα Για το ΓΧΑΣ Εξετάσαμε την παρατηρησιμότητά του, και Είδαμε το τρόπο μετασχηματισμού του σε μορφή που «ξεχωρίζουν» τα παρατηρήσιμα και μη παρατηρήσιμα τμήματα Επειδή Α 22 = -3, προφανώς το σύστημα είναι σταθεροποιήσιμο. Για το (Α 11, C 1 ) επιλέγουμε ιδιοτιμές - 2 ± j 2 και μέσω του τύπου του Ackermann υπολογίζεται ο σχετικός πίνακας κερδών L1 1 3 T και μπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο πινακας έχει τις επιθυμητές ιδιοτιμές. Επιλέγουμε λοιπόν Lˆ T και μπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο έχει ιδιοτιμές - 2 ± j 2, -3. Επειδή θέλουμε οι διοτιμές των A LC, Aˆ Lˆ Cˆ να ταυτίζονται, βάσει των ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 L T L 1 A T AT 1 C C T A LC T A L C T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 51

52 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Η Ιδιότητα του Διαχωρισμού Για τη σταθεροποίση μέσω ανάδρασης / ανατροφοδότησης κατάστασης του ΓΧΑΣ γνωρίζουμε ότι: η ελεγξιμότητα του ζευγους (Α, Β) είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι δυνατή η τοποθέτηση πόλων κλειστου βρόχου μέσω του νόμου ελέγχου η παρατηρησιμότητα του ζευγους (Α, C) είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι δυνατή η εκτίμηση κατάστασης του ΓΧΑΣ μέσω του παρατηρητή Αν γίνει διασύνδεση των παραπάνω συστημάτων προκύπτει το συνολικό σύστημα του σχήματος: Controller Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 52

53 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Η Ιδιότητα του Διαχωρισμού Η διασύνδεση μεταξύ παρατηρήτή και ελεγκτή οδηγεί στη δομή Το σχήμα της προηγούμενης σελίδας εξειδικεύεται στο δομικό διάγραμμα ˆ x t A x t B K x t B r t T T Παρατηρούμε ότι δηλαδή x x T x xˆ όπου I I 0 I 1 T T και επομένως Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 53

54 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Η Ιδιότητα του Διαχωρισμού H block τριγωνική μορφή του συνολικού πίνακα δείχνει ότι οι 2n ιδιοτιμές είναι Λόγω του ότι οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων ΔΕΝ επηρεάζουν τις ιδιοτιμές, προφανώς Αυτή είναι η Ιδιότητα Διαχωρισμού (Separation Property) που καθορίζει ότι: οι 2n πόλοι του συστήματος x xˆ T διαχωρίζονται: σε αυτές που αντιστοιχούν στο σύστημα ελέγχου και καθορίζονται απο κατάλληλη επιλογή του K στον πίνακα Α-ΒΚ, και σε αυτές που αντιστοιχούν στο σύστηνα παρατήρησης και καθορίζονται απο κατάλληλη επιλογή του L στον πίνακα Α-LC. Οι πόλοι του Α-LC πρέπει να είναι (~10 φορές) ταχύτεροι από τους κυριαρχούντες του Α-ΒΚ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 54

55 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 Έστω το ΓΧΑΣ (ήδη εξετασθέν) Πόλοι Ανοικτού Βρόχου «Οριακά Ευσταθές» Σύστημα Το σύστημα ανοικτού βρόχου ΔΕΝ είναι ΒΙΒΟ ευσταθές. Για το σύστημα «συντονίζεται» και οδηγεί σε μη-φραγμένη απόκριση (να δειχθεί). Επιλέγουμε ασυμπτωτικά ευσταθείς πόλους κλειστού βρόχου. ΧΠ: Από τον τύπο του Ackermann προκύπτει: Κ Ο πίνακας κλειστού βρόχου είναι: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 55

56 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 Έπιλέξαμε: Πόλοι Παρατηρητή ΧΠ Παρατηρητή 1 L A Q A, C T Αν θέλουμε απλή σταθεροποίηση τότε επιλέγουμε r(t) = 0 στον νόμο ελέγχου οπότε ˆ u t K x t r t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 56

57 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 xˆ t A xˆ t B u t L y t yˆ t A xˆ t B u t L y t C xˆ t A L C xˆ t B u t L y t Παρατηρητής Αν θεωρήσουμε τις τροχιές που προκύπτουν από το ΓΧΑΣ για από τον παρατηρητή (όπως εμφανίζεται παραπάνω) και για xˆ T Είναι φανερή η ασυμπτωτική σύγκλιση της εκτίμησης του παρατηρητή προς τη πραγματική τροχιά του ΓΧΑΣ (που μάλιστα δεν είναι συγκλίνουσα). x T 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 57

58 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 Ως γνωστόν xˆ t A L C xˆ t B u t L y t. Από προηγουμένως Οπότε ut K xˆ t ˆ xˆ t A L C B K x t L y t ˆ xˆ t A L C B K x t L C x t y t C x t x A x BK xˆ xt A xt Bu t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 58

59 Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 Στο διπλανό σχήμα, φαίνονται τα αποτελέσματα προσομοιώσεων για Φαίνονται η σύγκλιση της κατάστασης στο «0», και η σύγκλιση της εκτίμησης προς την πραγματική κατάσταση Ποιά από τις 2 συγκλίσεις είναι ταχύτερη και γιατί? Αν το xˆ 0 επιλεγεί διαφορετικά απ ότι παραπάνω, θα αλλάξει κάποια από τις 2 καμπύλες και ποιά? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 59

60 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Μέχρι στιγμής δόθηκε έμφαση ση μεταβατική απόκριση. Τώρα θα ασχοληθούμε με τη παρακολούθηση εισόδου βαθμίδας μέσω δύο (2) προσεγγίσεων: Ενσωμάτωση της εισόδου αναφοράς στο νόμο ελέγχου με ανατροφοδότηση κατάστασης. Σερβομηχανισμοί: Ενσωμάτωση ολοκληρωτικού παράγοντα του σφάλματος στο νόμο ελέγχου με ανατροφοδότηση κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 60

61 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Κέρδος Εισόδου Αναφοράς xt A B K xt B K xt BG r t xt A LC xt Αν στο ΓΧΑΣ x t A x t Bu t χρησιμοποιήσουμε νόμο ελέγχου. u t K xˆ t G r t τότε x t A x t B K xˆ t BG r t που επειδή ˆx x x γίνεται Ως γνωστόν Ο πίνακας μεταφοράς κλειστού βρόχου είναι: CL δηλαδή ίδιος με τη περίπτωση διαθέσιμης κατάστασης. Άρα ισχύει η ανάλυση του προηγούμενου κεφαλαίου Γιατί ο πίνακας μεταφοράς κλειστού βρόχου είναι ίδιος? 1 pp H s C s I A B K B G Οι ΣΜ καθορίζουν τη σχεση εισόδου-εξόδου για ΜΗΔΕΝΙΚΕΣ αρχικές συνθήκες... Εδώ: Αυτό όμως θα σήμαινε xt 0t 0. Άρα η με παρατηρητή και χωρίς παρατηρητή περίπτωση, θα ήταν ίδιες... 0 x t A B K B K x t BG r t x t 0 A L C x t 0 y t C x t x t T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 61

62 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Η μεθοδολογία του Σερβομηχανισμού προτάθηκε προγουμένως ως εύρωστη αναφορικά με τις αβεβαιότητες των παραμέτρων ανοικτού βρόχου, με την έννοια ότι: Διασφαλίζεται η παρακολούθηση της εισόδου βαθμίδας, Εφόσον η ευστάθεια κλειστού βρόχου είναι δεδομένη. Σκοπεύουμε να επιτύχουμε: Ασυμπτωτική ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου, και Ασυμπτωτική παρακολούθηση εισόδου αναφοράς τύπου συνάρτησης βαθμίδας. Θεωρούμε την περίπτωση SISO και στηριζόμαστε στις παρακάτω προϋποθέσεις: 1) Το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιμο και παρατηρήσιμο 2) 0 σ(α) 3) Η(0) 0, όπου Η(s) η ΣΜ του συστήματος ανοικτού βρόχου Το s=0 δεν είναι ούτε πόλος ούτε μηδενιστής του συστήματος ανοικτού βρόχου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 62

63 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Αν r(t) είναι η είσοδος αναφοράς, ο προτεινόμενος νόμος ελέγχου είναι όπου είναι φανερό ότι το ξ(t) είναι το ολοκλήρωμα του σφάλματος και το συνολικό δομικό διάγραμμα είναι Αν λάβουμε υπόψη μας και τις βασικές εξισώσεις : K k ˆ I xt t xt A xt B u t y t C xt xˆ t xt xt Καταλήγουμε στο σύστημα κλειστού βρόχου: Επομένως, η απόκριση του συστήματος εξαρτάται από τις 2n+1 ιδιοτιμές αυτού του συστήματος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 63 T

64 Ο πίνακας δυναμικής είναι block άνω τριγωνικός. Προφανώς, ένεκα παρατηρησιμότητας, n πόλοι τοποθετούνται μέσω του L στο block: (A-L C) Μπορούμε, όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, να κάνουμε ασυμπτωτικά ευσταθείς, μέσω του πίνακα κερδών [Κ k Ι ], τις (n+1) ιδιοτιμές του πίνακα κλειστού βρόχου : Θέλουμε να δείξουμε ότι αν Επομένως : Πρέπει να βρούμε την σχέση των στο ΣΙ του συστήματος κλειστού βρόχου, και Μετά να αποδέιξουμε ότι Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Βασει της ανάλυσης του προηγούμενου κεφαλαίου Ο (Α-LC) είναι ασυμπτωτικά ευσταθής μη ιδιόμορφος 0 A LC x x 0 SS SS Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 64

65 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Σε ΓΧΑΣ που εξετάσαμε προηγουμένως, βρήκαμε το πίνακα κερδών του σερβομηχανισμού. Επίσης, σε προηγούμενο παράδειγμα βρήκαμε τα κέρδη παρατηρητή Επομένως Σύστημα Έξοδος Νόμος Ελέγχου xt A xt Bu t yt C xt L T A B 0 C Παρατηρητής Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 65

66 Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Για r(t)=1 t0, λαμβάνουμε την απόκριση εξόδου και μεταβλητών κατάστασης. Ποιά από τις 2 συγκλίσεις είναι ταχύτερη και γιατί? Αν το xˆ 0 επιλεγεί διαφορετικά απ ότι παραπάνω τι θα αλλάξει? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 66