Hθεωρία γενικά εξαρτάται απ υποθέσεις, οι οποίες δεν είναι πάντοτε

Transcript

1 K ÂÊ Ï ÈÔ 5 Ì ÔÏ ÛÙË ıâˆú ÙË ÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÌÂÁ ı ÓÛË Prof. R. M. SOLOW Massachusetts Institute of Technology 1 EÈÛ ÁˆÁ Hθεωρία γενικά εξαρτάται απ υποθέσεις, οι οποίες δεν είναι πάντοτε επαληθευ µενες. Aυτ είναι που την κάνει θεωρία. H τέχνη του να κατασκευάζεις πετυχηµένα θεωρητικά σχήµατα συνίσταται στο να κάνεις τις αναπ φευκτες απλουστευτικές υποθέσεις, µε τέτοιο τρ πο, ώστε τα τελικά αποτελέσµατα να αντέχουν στις δοκιµασίες 1. Mια «κρίσι- * Aρχική δηµοσίευση: A Contribution to the Theory of Economic Growth, Quarterly Journal of Economics, 1956, σσ Mετάφραση - επιµέλεια: A. Πανεθυµιτάκης απ τη συλλογή άρθρων του ιδίου µε τίτλο, Θεωρίες Mεγέθυνσης και ιανοµής του Eισοδήµατος, Gutenberg, H παρο σα ηλεκτρονική έκδοση είναι αναθεωρηµένη. [Σ.τ.E] Πρ κειται για το άρθρο τοµή στη θεωρία της µεγέθυνσης. O Solow σε µια σειρά άρθρων του απ το 1960 έως το 1966 επιχείρησε να καταδείξει την πορεία µιας αιτι τητας. Kάτι ανάλογο παρατήρησε και ο N. Kaldor ταν, την ίδια εποχή, δηµοσίευσε το πλαίσιο θεώρησης της συσχέτισης της τεχνολογικής προ δου µε τη συσσώρευση κεφαλαίου. µως και στην περίπτωση του υποδείγµατος Solow η πορεία της αέναης ανάπτυξης προσέκρουσε στην φθίνουσα αποδοτικ τητα του κεφαλαίου µε µ νη δυνατή διορθωτική κίνηση την παρξη εξωγενο ς τεχνολογικής προ δου. H ερµηνεία του «κατάλοιπου Solow» ήταν το ζητο µενο. Σήµερα, το υπ δειγµα Solow αποτελεί τη βάση αναφοράς για τη σ γχρονη µακροχρ νια µακροοικονοµική θεωρία η οποία θέτοντας ως στ χο την ενδογενοποίηση της διαδικασίας µεγέθυνσης αναζητά τα αίτια για την µη φθίνουσα πορεία της αποδοτικ τητας του κεφαλαίου. O Romer και ο Lucas θεµελίωσαν αυτ που είναι σήµερα γνωστ ως «θεωρία της ενδογενο ς µεγέθυνσης». Mε δεδοµένη την αναφορά της µακροοικονοµικής στον µακρ χρ νο, το υπ δειγµα Solow αποτελεί τη φυσική πρώτη αναφορά σε λα τα προ-πτυχιακά ή µετα-πτυχιακά εγχειρίδια. Για την αρχή και το τέλος του υποδείγµατος Solow βλέπε το σχετικ άρθρο µου, στην παρο σα ιστοσελίδα, µε τίτλο «Aπ τον Harrod στον Solow» και τη σχετική βιβλιογραφία. 1. Έτσι το κ στος µεταφοράς ήταν απλά µια ασήµαντη περιπλοκή στη ρικαρντιανή θεωρία του εµπορίου, µως ήταν ένα ζωτικ χαρακτηριστικ της πραγµατικ τητας για τον von Thunen. 1

2 µη» υπ θεση είναι µια υπ θεση απ την οποία τα συµπεράσµατα εξαρτώνται άµεσα, και είναι σηµαντικ οι κρίσιµες υποθέσεις να είναι αρκετά ρεαλιστικές. ταν τα αποτελέσµατα µιας θεωρίας φαίνεται να απορρέουν απ µια συγκεκριµένη κρίσιµη υπ θεση, τ τε, αν η υπ θεση είναι αµφίβολη, τα αποτελέσµατα είναι αναξι πιστα. Θα ήθελα να υποστηρίξω τι κάτι τέτοιο συµβαίνει µε το υπ δειγµα οικονοµικής µεγέθυνσης των Harrod - Domar. Tο χαρακτηριστικ και βασικ συµπέρασµα της συλλογιστικής Harrod - Domar είναι τι ακ µα και για τη µακροχρ νια περίοδο, το οικονοµικ σ στηµα στην καλ τερη περίπτωση ισορροπεί πάνω στην κ ψη του ξυραφιο (knife-edge) της µεγέθυνσης της οικονοµίας σε κατάσταση ισορροπίας (equilibrium growth). Aν παρ ελπίδα, τα µεγέθη των παραµέτρων-κλειδιών (ποσοστ αποτα- µιε σεων, λ γος κεφαλαίου / προϊ ντος, ρυθµ ς α ξησης της εργατικής δ ναµης) απέκλιναν έστω και ελάχιστα απ το κεντρικ σηµείο αναφοράς, η συνέπεια θα ήταν αυξαν µενη ανεργία ή εντειν µενος πληθωρισµ ς. Σε ρους του Harrod, το κρίσιµο πρ βληµα της ισορροπίας περιορίζεται σε µια σ γκριση ανάµεσα στον φυσικ ρυθµ µεγέθυνσης που εξαρτάται, ταν δεν υπάρχει τεχνολογική πρ οδος, απ το ρυθµ α ξησης του εργατικο δυναµικο και τον συστηµικ ρυθµ µεγέθυνσης που µε τη σειρά του εξαρτάται απ τις αποταµιευτικές και τις επενδυτικές συνήθειες των νοικοκυριών και των επιχειρήσεων. Aλλά αυτή η θεµελιώδης αντίθεση, ανάµεσα στον συστηµικ και τον φυσικ ρυθµ µεγέθυνσης αποδεικν εται, τελικά, τι απορρέει απ την κρίσιµη υπ θεση πως η παραγωγή πραγµατοποιείται κάτω απ συνθήκες σταθερών αναλογιών (fixed proportions). εν υπάρχει πιθαν τητα υποκατάστασης εργασίας µε κεφάλαιο στην παραγωγή*. Aν εγκαταλειφθεί αυτή η υπ θεση, τ τε η ιδέα της κ ψης του ξυραφιο (της ασταθο ς ισορροπίας) φαίνεται να εγκαταλείπεται επίσης. Πράγµατι, δεν πρέπει να εκπλήσσει το γεγον ς τι µια τέτοια ακαµψία σ ένα µέρος του συστή- µατος θα προκαλο σε έλλειψη ευελιξίας σ ένα άλλο. Ένα αξιοσηµείωτο χαρακτηριστικ του υποδείγµατος Harrod - Domar είναι τι µελετάει συστηµατικά µακροχρ νια προβλήµατα µε τη βοήθεια συνηθισµένων βραχυχρ νιων µέσων. Συνήθως θεωρο µε τι στη µακροχρ νια περίοδο κυριαρχεί η νεοκλασική ανάλυση, που είναι ο χώ- 2 * [Σ.τ.E.] H υπ θεση της υποκατάστασης δεν είναι τελικά η κ ρια υπ θεση στο υπ δειγ- µα Harrod-Domar. Aν συσχετίσουµε την κ ρια υπ θεση µε την πιθαν τητα αστάθειας του οικονοµικο συστήµατος τ τε η κεϋνσιανή, ανεξάρτητη ή εξωγενής συνάρτηση επενδ σεων ταν εισαχθεί στο υπ δειγµα Solow δηµιουργεί συνθήκες αστάθειας. Kι αυτ γιατί αγνοείται, εν πολλοίς, η σχέση µεταξ του «επιθυµητο ρυθµο» µεγέθυνσης και του «πραγµατικο ρυθ- µο» που ανάγει το πρ βληµα σε πρ βληµα θεώρησης των επιχειρηµατικών προσδοκιών. Bλέπε την «Eισαγωγή» στο βιβλίο του A. Sen, ed. (1970), Growth Economics, Penguin.

3 ρος της οριακής θεωρίας. Aντίθετα, οι Harrod - Domar οµιλο ν για τη µακροχρ νια περίοδο µε ρους του πολλαπλασιαστή, του επιταχυντή και του συντελεστή κεφαλαίου. Tο µεγαλ τερο µέρος του παρ ντος κειµένου είναι αφιερωµένο σ ένα υπ δειγµα µακροχρ νιας µεγέθυνσης, το οποίο αποδέχεται λες τις υποθέσεις Harrod - Domar εκτ ς απ εκείνη των σταθερών αναλογιών. Σε αντικατάσταση προτείνω την υπ θεση τι το µοναδικ σ νθετο αγαθ που υπάρχει, παράγεται µε τη βοήθεια των συντελεστών εργασία και κεφάλαιο κάτω απ τις ορθ δοξες νεοκλασικές συνθήκες. H προσαρµογή του συστήµατος σ έναν εξωγενώς δοσµένο ρυθ- µ α ξησης της εργατικής δ ναµης εξετάζεται κάπως λεπτοµερειακά, για να δο µε κατά π σο εµφανίζεται το πρ βληµα της αστάθειας του Harrod. Oι µεταβολές και οι αµφίδροµες αλυσιδωτές αντιδράσεις τιµών-µισθώνεπιτοκίου, παίζουν σηµαντικ ρ λο σ αυτή τη νεοκλασική προσαρµοστική διαδικασία και γι αυτ αναλ ονται διεξοδικά. Aκ µη, κάποιες απ τις υπ λοιπες περιοριστικές υποθέσεις αίρονται µερικώς, για να φανο ν οι ποιοτικές αλλαγές που απορρέουν: εισάγεται η έννοια της ουδέτερης τεχνολογικής µεταβολής πως επίσης και µια ελαστική ως προς το επιτ κιο συνάρτηση αποταµιε σεων. Tέλος, εξετάζονται σε συντοµία οι συνέπειες συγκεκριµένων, περισσ τερο κεϋνσιανών, σχέσεων και περιοριστικών παραγ ντων. 2 ŒÓ applefi ÂÈÁÌ Ì ÎÚÔ ÚfiÓÈ ÌÂÁ ı ÓÛË Yπάρχει ένα µ νο αγαθ, ως συνολική παραγωγή, του οποίου το επίπεδο παραγωγής συµβολίζεται µε το Y(t). Έτσι µπορο µε να µιλάµε χωρίς ασάφεια για το πραγµατικ εισ δηµα της κοινωνίας. Ένα µέρος της εκάστοτε παραγωγής καταναλώνεται και το υπ λοιπο αποταµιε εται και επενδ εται. Tο µέρος της παραγωγής που αποταµιε εται είναι µια σταθερά s, έτσι ώστε το επίπεδο αποταµίευσης να ορίζεται ως sy(t). Tο απ θεµα του κεφαλαίου της κοινωνίας K(t) παίρνει τη µορφή συσσώρευσης του σ νθετου µοναδικο αγαθο. H καθαρή επένδυση είναι τ τε, απλώς, ο ρυθµ ς α ξησης αυτο του αποθέµατος κεφαλαίου dk/dt ή K, έτσι έχουµε τη βασική ταυτ τητα για κάθε χρονική στιγµή: K = sy (1) Tο παραπάνω σ νθετο προϊ ν παράγεται µε τη βοήθεια δ ο συντελεστών παραγωγής: το κεφάλαιο και την εργασία, της οποίας το επίπεδο εισροής (στην παραγωγή) ορίζεται ως L(t). Oι τεχνολογικές δυνατ τητες εκφράζονται απ την ακ λουθη συνάρτηση παραγωγής: Y = F(K, L) (2) 3

4 Ως παραγωγή νοείται η καθαρή παραγωγή µετά τη συνεκτίµηση της απ σβεσης του κεφαλαίου. Για την παραγωγή θα πο µε προς το παρ ν τι παρουσιάζει σταθερές αποδ σεις κλίµακας*. Γι αυτ η συνάρτηση παραγωγής είναι οµογενής πρώτου βαθµο. Aυτ ισοδυναµεί µε την υπ θεση τι δεν υπάρχουν σπάνιοι παραγωγικοί συντελεστές που να µην µπορο ν να αυξηθο ν πως, π.χ., η γη. Oι σταθερές αποδ σεις κλίµακας είναι η φυσική υπ θεση, που µπορεί να γίνει σε µια θεωρία µεγέθυνσης. H περίπτωση της γης που σπανίζει θα οδηγο σε σε φθίνουσες αποδ σεις κλίµακας ως προς το κεφάλαιο και την εργασία και το πρ τυπο θα γιν ταν περισσ τερο ρικαρντιαν 2. Aπ τις (1) και (2) λαµβάνουµε: K = sf(k,l) (3) Aυτή είναι µια εξίσωση µε δ ο αγνώστους. Ένας τρ πος να συµπληρώσουµε το σ στηµα θα ήταν να προσθέσουµε αφεν ς µια εξίσωση ζήτησης εργασίας που η οριακή φυσική παραγωγικ τητα της εργασίας ισο ται µε το επίπεδο του πραγµατικο ηµεροµίσθιου και αφετέρου µια εξίσωση προσφοράς εργασίας. H τελευταία αυτή εξίσωση θα µπορο σε να λάβει τη γενική µορφή της προσφοράς εργασίας ως συνάρτησης του πραγ- µατικο ηµεροµισθίου ή να θέσουµε το πραγµατικ ηµεροµίσθιο ίσο µ 4 * [Σ.τ.E.] H υπ θεση αυτή του υποδείγµατος Solow είναι πολ βασική δι τι: α) Aπ τη φ ση της συνάρτησης παραγωγής που χρησιµοποιείται, η συνάρτηση αποταµίευσης αυξάνεται µε φθίνοντα ρυθµ. β) M νο σε µια µεγάλη οικονοµία η υπ θεση του διπλασιασµο του κεφαλαίου και της εργασίας θα καταλήξει σε διπλασιασµ της παραγωγής επειδή (υποθέτουµε) τι οι νέες εισροές σε κεφάλαιο και εργασία θα χρησιµοποιηθο ν πως και οι υπάρχοντες παραγωγικοί συντελεστές. γ) Θεωρο νται ως «πηγές µεγέθυνσης» µ νο το κεφάλαιο και η εργασία. H γνώση και οι φυσικοί π ροι δεν ενδιαφέρουν ιδιαίτερα. δ) Tο κεφάλαιο έχει φθίνουσες αποδ σεις, που είναι και οι ανασταλτικοί παράγοντες της οικονοµικής µεγέθυνσης. M νο ταν προστεθεί η εξωγενής τεχνολογική µεταβολή, εξασφαλίζεται η αέναη οικονοµική µεγέθυνση. Γι αυτ ν ακριβώς το λ γο η νέα θεωρία µεγέθυνσης ενδογενοποιεί την τεχνολογική πρ οδο και υποθέτει µη φθίνουσες αποδ σεις του κεφαλαίου. Για το χειρισµ της συνάρτησης παραγωγής στη θεωρία της µεγέθυνσης βλέπε N. Πετραλιάς (1992) Θεωρίες Oικονοµικής Mεγέθυνσης, Σηµειώσεις, Πανεπιστήµιο Aθηνών, Tµήµα Oικονοµικών Eπιστηµών στο τέλος αυτο του µέρους. Eπίσης βλέπε το άρθρο των J. Felipe and JSL McCombie, How Sound are the Foundations of the Aggregate Production Function?, University of Otago, New Zealand, No. 0116, Mimeo. Eπίσης βλέπε την ελληνική µετάφραση του βιβλίου του Hywell G. Jones, (1975), Eισαγωγή στις Σ γχρονες Θεωρίες Oικονοµικής Mεγέθυνσης, Eκδ σεις Kριτική, Aθήνα (1993). 2. Bλέπε, για παράδειγµα, Haavelmo (1954), σσ εν είναι λες οι «λιγ τερο αναπτυγµένες χώρες» χωρίς επαρκή εδάφη. H Aιθιοπία είναι ένα αντιπαράδειγµα. Mπορο µε να φανταστο µε την εφαρµογή της θεωρίας σο επεκτείνεται το καλλιεργήσιµο έδαφος, εις βάρος των αγ νων εδαφών, µε σχετικά σταθερ κ στος.

5 ένα συµβατικ επίπεδο διαβίωσης. Kαι στις δ ο περιπτώσεις θα είχαµε 3 εξισώσεις µε 3 αγνώστους: K, L και πραγµατικ ηµεροµίσθιο. Aντίθετα, εµείς θα προσπαθήσουµε να προσεγγίσουµε περισσ τερο το πνε µα του πρ τυπου του Harrod. Ως αποτέλεσµα της εξωγενο ς α ξησης του πληθυσµο η εργατική δ ναµη αυξάνεται µ έναν σχετικά σταθερ ρυθµ n*. Xωρίς τεχνολογική πρ οδο, το n είναι ο φυσικ ς ρυθ- µ ς µεγέθυνσης του Harrod. Έτσι: L(t) = L 0 e nt (4) Στη σχέση (3) το L εκφράζει τη συνολική απασχ ληση στη σχέση (4) το L εκφράζει τη διαθέσιµη προσφορά εργασίας. Tαυτίζοντας τις δ ο εξισώσεις (για την προσφορά και τη ζήτηση εργασίας), υποθέτουµε τι διατηρείται η πλήρης απασχ ληση. ταν αντικαταστήσουµε την (4) στην (3) έχουµε K = sf(k, L 0 e nt ) (5) που είναι η βασική εξίσωση η οποία ορίζει τη διαχρονική πορεία της συσσώρευσης του κεφαλαίου, που πρέπει να ακολουθηθεί, αν πρ κειται ν απασχολείται λο το διαθέσιµο εργατικ δυναµικ. * [Σ.τ.E.] O Solow επιδιώκει να ακολουθήσει τον Harrod ως προς τη φ ση και την σηµασία του παραγωγικο συντελεστή εργασία σε συνάρτηση µε την τεχνολογική πρ οδο. Yιοθετείται εδώ η ουδετερ τητα κατά Harrod (Harrod-neutral) ή (labor-augmenting) αυξητική της εργασίας τεχνολογική πρ οδος, η οποία, µε βάση τη συνάρτηση προσφοράς, ορίζεται ως σε αντίθεση προς τον τ πο Y = F(K, AL), Y = AF(K, L), που είναι ουδέτερη κατά Hicks (Hicks-neutral) και προς τον τ πο Y = F(AK, L), που είναι αυξητική του κεφαλαίου (capital-augmenting). µως ο σηµεριν ς αναγνώστης θα πρέπει να γνωρίζει τι στην τρέχουσα γραφή (σε προχωρηµένο επίπεδο) του υποδείγµατος Solow το AL αναφέρεται ως «αποτελεσµατική εργασία» (effective labor) και παραλληλίζεται µε τη «γνώση» και την ικαν τητα εφαρµογής της και γι αυτ άλλωστε αναφέρονται σε τρεις παραγωγικο ς συντελεστές: το κεφάλαιο, την εργασία και τη γνώση. Bέβαια η είσοδος της εργασίας και της γνώσης στο υπ δειγµα έχει καθαρά πολλαπλασιαστικ χαρακτήρα. Aυτή η σχέση της labor-augmenting τεχνολογικής προ δου είναι ο ένας πυλώνας της ενδογενο ς µεγέθυνσης που προτάθηκε απ τον R. Lucas και είναι γνωστές ως «θεωρίες ανθρωπίνου κεφαλαίου» (human capital). Bλέπε R. Lucas (1988), «On the Mechanics of Economic Development», Journal of Montrary Economics. 5

6 Eναλλακτικά η (4) µπορεί να θεωρηθεί ως καµπ λη προσφοράς εργασίας. Aυτ σηµαίνει πως είναι απ λυτα ανελαστική η προσφορά εργασίας του εργατικο δυναµικο που αυξάνεται εκθετικά. H καµπ λη προσφοράς εργασίας είναι µια κάθετη γραµµή, η οποία µετατοπίζεται προς τα δεξιά µε το πέρασµα του χρ νου, σο αυξάνεται η εργατική δ ναµη σ µφωνα µε την (4). T τε το επίπεδο του πραγµατικο µισθο προσαρ- µ ζεται, έτσι ώστε να απασχολείται λο το διαθέσιµο εργατικ δυναµικ και η εξίσωση της οριακής παραγωγικ τητας καθορίζει το επίπεδο του µισθο που θα ισχ σει πραγµατικά 3. Περιληπτικά, η (5) είναι µια διαφορική εξίσωση µε µοναδική µεταβλητή την K(t). H λ ση της δίνει τη µοναδική διαχρονική κατανοµή του αποθέµατος κεφαλαίου της κοινωνίας, το οποίο θα απασχολήσει πλήρως το διαθέσιµο εργατικ δυναµικ. Aπ τη στιγµή που γνωρίζουµε τη διαχρονική πορεία του αποθέµατος κεφαλαίου και του εργατικο δυναµικο, µπορο µε να υπολογίσουµε απ τη συνάρτηση παραγωγής την αντίστοιχη διαχρονική πορεία της πραγµατικής παραγωγής. H εξίσωση της οριακής παραγωγικ τητας καθορίζει τη διαχρονική πορεία του επιπέδου του πραγµατικο ηµεροµισθίου. Eδώ εµφανίζεται επίσης η ανάγκη να υποθέσουµε την πλήρη απασχ ληση του διαθέσιµου αποθέµατος κεφαλαίου. Kάθε στιγµή η προσφορά του προϋπάρχοντος αποθέµατος κεφαλαίου (το αποτέλεσµα της προηγο µενης συσσώρευσης) είναι ανελαστική. Έτσι έχουµε µια παρ µοια εξίσωση για την οριακή παραγωγικ τητα του κεφαλαίου, η οποία καθορίζει την πραγµατική αµοιβή των υπηρεσιών που προσφέρει το απ θεµα του κεφαλαίου ανά µονάδα χρ νου. H διαδικασία µπορεί να περιγραφεί ως εξής: σε κάθε χρονική στιγµή η διαθέσιµη προσφορά εργασίας δίνεται απ την (4) ενώ το διαθέσιµο απ θε- µα κεφαλαίου είναι επίσης δεδοµένο. Mια και η πραγµατική απ δοση των συντελεστών θα προσαρµοσθεί, ώστε να επιτευχθεί πλήρης απασχ ληση της εργασίας και του κεφαλαίου, µπορο µε να χρησιµοποιήσουµε τη συνάρτηση παραγωγής (2) για να προσδιορίσουµε το τρέχον επίπεδο της παραγωγής. T τε, η ροπή για αποταµίευση εκτιµά τον γκο της παραγωγής που θα αποταµιευθεί και θα επενδυθεί. Έτσι, γνωρίζουµε την καθαρή συσσώρευση κεφαλαίου που συντελέστηκε κατά τη διάρκεια της τρέχουσας περι δου. Aν προστεθεί στο ήδη συσσωρευµένο απ θεµα κεφαλαίου, προσδιορίζει το διαθέσιµο κεφάλαιο για την ερχ µενη περίοδο και η λη διαδικασία επαναλαµβάνεται Tο πλήρες σ στηµα αυτών των εξισώσεων αποτελείται απ τις (3), (4) και την (K, L) = w L

7 3 EÊÈÎÙ appleúfiù apple ÌÂÁ ı ÓÛË Για να δο µε αν υπάρχει πάντοτε µια πορεία κεφαλαιακής συσσώρευσης συµβιβαστής µε οποιονδήποτε ρυθµ α ξησης του εργατικο δυναµικο, πρέπει να εξετάσουµε την ποιοτική φ ση των λ σεων της διαφορικής εξίσωσης (5). Φυσικά, χωρίς να προσδιορίσουµε την ακριβή µορφή της συνάρτησης παραγωγής, δεν µπορο µε να βρο µε την ακριβή λ ση. Aλλά ορισµένες γενικές ιδι τητες είναι πολ ε κολο να αποµονωθο ν και να προσδιορισθο ν ακ µα και γραφικά. Παρουσιάζουµε λοιπ ν µια νέα µεταβλητή r = K/L, που είναι ο λ γος κεφαλαίου προς εργασία. Έτσι έχουµε: K = rl = rl 0 e nt. Παραγωγίζοντας ως προς το χρ νο έχουµε K = L 0 e nt r + nrl 0 e nt. Aντικαθιστο µε αυτή τη λ ση στην (5): (r + nr)l 0 e nt = sf(k,l 0 e nt ). Aλλά, λ γω των σταθερών αποδ σεων κλίµακας, µπορο µε να διαιρέσουµε και τις δ ο µεταβλητές του F µε το L = L 0 e nt και να πολλαπλασιάσουµε την F µε τον ίδιο παράγοντα. Έτσι K (r + nr)l 0 e nt = sl 0 e nt F(, 1) L 0 e nt και απαλείφοντας τον κοιν παράγοντα καταλήγουµε στην εξής µορφή r = sf(r, 1) nr. (6) Eδώ έχουµε µια διαφορική εξίσωση που περιλαµβάνει µ νο το λ γο κεφαλαίου / εργασίας. H θεµελιώδης αυτή εξίσωση µπορεί να εξαχθεί και κάπως λιγ τερο φορµαλιστικά. Aφο r = K/L, ο σχετικ ς ρυθµ ς µεταβολής του r είναι η διαφορά µεταξ των σχετικών ρυθµών µεταβολής του K και του L. ηλαδή, r K L =. r K L Aλλά επειδή γνωρίζουµε τι L / L = n και K = sf(k,l) 7

8 Kάνοντας αυτές τις αντικαταστάσεις έχουµε: sf(k,l) r = r nr. K Tώρα απαλείφουµε το L απ την F, πως προηγουµένως, και επειδή L / K = 1 / r, φθάνουµε πάλι στην (6). H συνάρτηση F (r, 1), που εµφανίζεται στην (6) είναι ε κολο να ερµηνευθεί. Eίναι η καµπ λη συνολικής παραγωγής καθώς µεταβάλλεται η ποσ τητα (r) του κεφαλαίου που χρησιµοποιείται µε µια µονάδα εργασίας. ηλαδή προσδιορίζει το προϊ ν (παραγωγή) ανά εργαζ µενο, ως συνάρτηση του κεφαλαίου προς εργαζ µενο. Eποµένως η (6) σηµαίνει τι ο ρυθµ ς µεταβολής του λ γου κεφαλαίου / εργασίας είναι η διαφορά µεταξ δ ο ρων, που ο ένας αντιπροσωπε ει την α ξηση (προσα ξηµα) του κεφαλαίου και ο άλλος την α ξηση της εργασίας. ταν έχουµε r = 0, σηµαίνει τι ο λ γος κεφαλαίου / εργασίας είναι µια σταθερά και το απ θεµα κεφαλαίου πρέπει να αυξάνεται µε τον ίδιο ρυθµ, πως η εργατική δ ναµη, δηλαδή n. [O συστηµικ ς (warranted) ρυθµ ς µεγέθυνσης, συστηµικ ς µε την έννοια τι συµβιβάζεται µε το πραγµατικ ποσοστ απ δοσης του κεφαλαίου σε κατάσταση πλήρους απασχ λησης ισο ται µε τον φυσικ ρυθµ ]. Στο Σχήµα 3.1, η ευθεία που ξεκινά απ την αρχή των αξ νων µε κλίση n αποδίδει τη συνάρτηση XHMA 3.1 r ñ nr sf(r, 1) 8 r* r

9 nr. H άλλη καµπ λη είναι η συνάρτηση sf (r, 1). Έχει σχεδιασθεί εδώ, έτσι ώστε να περνάει απ την αρχή των αξ νων και είναι κυρτή προς τα πάνω: δεν µπορεί να υπάρχει παραγωγή, αν και οι δ ο εισροές δεν είναι θετικές και έχουµε φθίνουσα οριακή παραγωγικ τητα του κεφαλαίου, πως θα µπορο σε να ισχ ει, για παράδειγµα, µε τη συνάρτηση Cobb - Douglas. Στο σηµείο τοµής έχουµε nr = sf(r, 1)και r = 0. Aν ο λ γος κεφαλαίου / εργασίας r* επιτευχθεί κάποτε, τ τε θα µπορεί να διατηρηθεί σταθερ ς, ενώ το κεφάλαιο και η εργασία θα αναπτ σσονται απ κει και στερα αναλογικά. Mε σταθερές αποδ σεις κλίµακας, η πραγµατική παραγωγή θα αυξάνεται επίσης µε τον ίδιο σχετικ ρυθµ n και το προϊ- ν κατά κεφαλή θα είναι επίσης σταθερ. Aν µως r r*, τ τε πώς θα εξελιχθεί διαχρονικά ο λ γος κεφαλαίου / εργασίας; Στα δεξιά του σηµείου τοµής, που r > r* έχουµε nr > sf(r,1), ενώ απ την εξίσωση (6) βλέπουµε τι το r θα ελαττωθεί, τείνοντας προς το r*. Aντίστροφα, αν αρχικά r < r*, το σχήµα δείχνει τι nr < sf(r, 1), r > 0 και το r θα αυξηθεί, τείνοντας προς το r*. Έτσι, η τιµή ισορροπίας r* είναι σταθερή. ποια και αν είναι η αρχική τιµή του λ γου κεφαλαίου / εργασίας, το σ στηµα θα εξελίσσεται προς µια κατάσταση ισ ρροπης µεγέθυνσης στον φυσικ ρυθµ, που η διαχρονική πορεία του κεφαλαίου και της παραγωγής δε θα είναι ακριβώς εκθετική παρά µ νο ασυµπωτικά 4. Aν το αρχικ απ θεµα κεφαλαίου είναι κατώτερο εκείνου που αντιστοιχεί στο λ γο ισορροπίας, το κεφάλαιο και η παραγωγή θα αυξάνονται µε ταχ τερο ρυθµ απ,τι η εργατική δ ναµη, µέχρι να επιτευχθεί ο λ γος ισορροπίας. Aν ο αρχικ ς λ γος κεφαλαίου / εργασίας έχει τιµή µεγαλ τερη απ την τιµή ισορροπίας, τ τε το κεφάλαιο και η παραγωγή θα αυξάνονται πιο αργά απ το εργατικ δυναµικ. H α ξηση της παραγωγής βρίσκεται πάντοτε ανάµεσα στην α ξηση της εργασίας και του κεφαλαίου. Φυσικά, η µεγάλη σταθερ τητα, που απεικονίζεται στο Σχήµα 1, δεν θεωρείται αναπ φευκτη κατάληξη. H µονοτονική προσαρµογή του κεφαλαίου και της παραγωγής σ ένα επίπεδο ισ ρροπης µεγέθυνσης προκ πτει απ τον τρ πο µε τον οποίο σχεδιάστηκε η καµπ λη της παραγωγικ τητας F(r, 1). Oποιαδήποτε άλλη σχεδίαση είναι a priori δυνατή. Για παράδειγµα, στο Σχήµα 2 υπάρχουν τρία σηµεία τοµής. Aν εξετάσου- µε αυτά τα σηµεία, διαπιστώνουµε τι τα r 1 και r 3 είναι σταθερά, το δε σηµείο r 2 δεν είναι σταθερ. Aνάλογα µε την αρχική τιµή του λ γου κεφαλαίου / εργασίας που έχει παρατηρηθεί, το σ στηµα θα εξελιχθεί 4. Yπάρχει εδώ µια εξαίρεση. Aν K = 0, r = 0 το σ στηµα δεν µπορεί να τεθεί σε κίνηση χωρίς κεφάλαιο δεν υπάρχει παραγωγή και έτσι δεν υπάρχει συσσώρευση. Aλλά αυτή η ισορροπία είναι ασταθής. H παραµικρή συσσώρευση κεφαλαίου θα κινήσει το σ στηµα προς το r*. 9

10 προς µια ισ ρροπη µεγέθυνση µε βάση το λ γο κεφαλαίου / εργασίας r 1 ή r 3. Kαι στις δ ο περιπτώσεις, η προσφορά εργασίας, το απ θεµα κεφαλαίου και η πραγµατική παραγωγή θα αυξηθο ν ασυµπτωτικά µε ρυθµ n, αλλά γ ρω απ το στίγµα του r 1 το κεφάλαιο θα είναι λιγ τερο απ,τι γ ρω απ το r 3. Έτσι το επίπεδο του κατά κεφαλήν προϊ ντος θα είναι µικρ τερο στην πρώτη περίπτωση παρά στη δε τερη. Tο σχετικ σηµείο ισορροπίας του ρυθµο µεγέθυνσης βρίσκεται στο σηµείο r 1, για έναν αρχικ λ γο κεφαλαίου / εργασίας που θα βρίσκεται οπουδήποτε µεταξ των τιµών 0 και r 2, και είναι στο σηµείο r 3 για οποιονδήποτε αρχικ λ γο µεγαλ τερο του r 2. O λ γος r 2 είναι ο ίδιος ένας λ γος ισ ρροπης µεγέθυνσης, αλλά είναι ασταθής. Mια οποιαδήποτε τυχαία διαταραχή θα εντείνεται µε την πάροδο του χρ νου. Tο Σχήµα 3.2 σχεδιάστηκε µε τέτοιο τρ πο, ώστε αν είναι δυνατή η επίτευξη παραγωγής χωρίς κεφάλαιο. Έτσι, η αρχή των αξ νων δεν απεικονίζει σχηµατισµ ισ ρροπης «µεγέθυνσης». Aκ µα και στο Σχήµα 3.2, µως, δεν εξαντλεί λες τις δυνατές περιπτώσεις. Eίναι πολ πιθαν να µην υπάρχει καν σηµείο ισ ρροπης µεγέθυνσης 5. Kάθε µη φθίνουσα συνάρτηση F(r, 1) µπορεί να µετατραπεί σε XHMA 3.2 r ñ nr sf(r, 1) r 1 r 2 r 3 r Aυτ φαίνεται να έρχεται σε αντίθεση µε ένα θεώρηµα των Solow-Samuelson (1953), αλλά η αντίθεση είναι µ νο επιφανειακή. Eίχε υποτεθεί σ αυτ το θεώρηµα τι κάθε αγαθ είχε µια θετική οριακή παραγωγικ τητα στην παραγωγή του κάθε αγαθο. Eδώ το κεφάλαιο δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την παραγωγή εργασίας.

11 µια συνάρτηση παραγωγής µε σταθερές αποδ σεις κλίµακας, αν πολλαπλασιασθεί απλώς επί L. O αναγνώστης µπορεί να κατασκευάσει µια µεγάλη ποικιλία τέτοιων καµπυλών και να εξετάσει τις λ σεις που προκ πτουν ως προς την (6). Στο Σχήµα 3.3, υποδεικν ονται δ ο δυνατ τητες µαζί µε µια ευθεία nr. Kαι οι δ ο χαρακτηρίζονται σε λα τα σηµεία τους απ φθίνουσα οριακή παραγωγικ τητα και η µια βρίσκεται εξ ολοκλήρου πάνω απ την nr, ενώ η άλλη βρίσκεται εξ ολοκλήρου κάτω απ αυτήν 6. Tο πρώτο σ στηµα είναι τ σο παραγωγικ και αποταµιε ει τ σο πολ, ώστε η µ νιµη κατάσταση πλήρους απασχ λησης, που θα επιτευχθεί, θα αυξήσει τελικά το λ γο κεφαλαίου / εργασίας (και επίσης το κατά κεφαλήν προϊ ν) πέρα απ κάθε ριο. Kεφάλαιο και εισ δηµα αυξάνονται γρηγορ τερα απ την προσφορά εργασίας. Tο δε τερο σ στηµα είναι τ σο αντιπαραγωγικ, ώστε η πορεία για την πλήρη απασχ ληση να συνεπάγεται ένα διαρκώς µειο µενο κατά κεφαλήν εισ δηµα. Aφο η καθαρή επένδυση είναι πάντα θετική και η προσφορά εργασίας αυξαν - µενη, το συνολικ εισ δηµα δεν µπορεί παρά να αυξάνει. H βασική συµπερασµατική κατάληξη αυτής της ανάλυσης είναι τι, ταν η παραγωγή πραγµατοποιείται κάτω απ τις συνηθισµένες νεοκλα- XHMA 3.3 r ñ s 1 F 1 (r, 1) nr s 2 F 2 (r, 1) r 6. H εξίσωση της πρώτης θα µπορο σε να είναι s 1 F 1 (r, 1) = nr + r και της δε τερης nr s 2 F 2 (r, 1) = r

12 σικές συνθήκες των µεταβλητών αναλογιών και των σταθερών αποδ σεων κλίµακας, δεν είναι δυνατή καµιά ασυµφωνία µεταξ φυσικών και συστηµικών ρυθµών µεγέθυνσης. Mπορεί να µην υπάρχει πραγµατικά στην περίπτωση συνάρτησης Cobb-Douglas αποκλείεται να υπάρχει ο- ποιαδήποτε κατάσταση πως η γνωστή «κ ψη του ξυραφιο». Tο σ στη- µα µπορεί να προσαρµ ζεται σε οποιονδήποτε δεδοµένο ρυθµ α ξησης του εργατικο δυναµικο και τελικά να προσεγγίζει µια κατάσταση σταθερής αναλογικής µεγέθυνσης*. 4 Ú Â ÁÌ Ù Σ αυτή την παράγραφο σκοπε ω να αναπτ ξω, σ ντοµα, τρία παραδείγµατα, τρεις απλές περιπτώσεις για το σχήµα της συνάρτησης παραγωγής που καθεµία λ νει επακριβώς τη διαφορική εξίσωση (6). Ú ÂÈÁÌ 1: H appleâú appleùˆûë ÙˆÓ ÛÙ ıâúòó Ó ÏÔÁÈÒÓ Aυτή είναι η περίπτωση Harrod - Domar. Xρειάζονται a µονάδες κεφαλαίου για να παραχθεί µια µονάδα προϊ ντος, και b µονάδες εργασίας. Έτσι το a είναι ένας συντελεστής επιτάχυνσης. Φυσικά, µια µονάδα προϊ ντος µπορεί να παραχθεί µε περισσ τερο κεφάλαιο ή / και εργασία απ αυτ το επίπεδο (οι καµπ λες ίσου προϊ ντος σχηµατίζουν ορθές γωνίες). O πρώτος περιοριστικ ς παράγοντας που συναντάται οριοθετεί το επίπεδο της παραγωγής. Aυτ µπορεί να εκφραστεί µε τη βοήθεια του τ που (2) γράφοντας: K L Y = F(K,L) = min(, a ) b που «min (...)» σηµαίνει τον µικρ τερο απ τους αριθµο ς σε παρένθεση. H βασική διαφορική εξίσωση (6) γίνεται: r 1 r = s min(, ) nr. a b 12 * [Σ.τ.E] Eίναι περισσ τερο απ προφανές τι ο Solow εισάγει ρητά τον προβληµατισµ του Harrod για τον «συστηµικ ρυθµ» ανάπτυξης και τη σ γκρουσή του µε το «φυσικ ρυθ- µ» ανάπτυξης. H είσοδος και χρήση της συνάρτησης Cobb-Douglas αποκλείει την εµφάνιση του προβλήµατος την «κ ψης του ξυραφιο» κι έτσι η α ξηση του πληθυσµο προσεγγίζει σταδιακά τη σταθερή κατάσταση ισορροπίας µε τον χειρισµ την πλεονασµατικής εργασίας. H αγορά τείνει να προσαρµ ζει την «τιµή» των ηµεροµισθίων και την «τιµή» του κεφαλαίου.

13 Προφανώς, για κάθε µικρή τιµή του r πρέπει να έχουµε r/a < 1/b, τ σο που σ αυτ το ε ρος τιµών να είναι sr s r = nr = ( n)r. a a Aλλά, ταν r/a 1/b δηλαδή r a/b, η εξίσωση γίνεται r = s/b nr. Eίναι ευκολ τερο να δο µε τον τρ πο που λειτουργεί αυτ µε τη βοήθεια εν ς σχήµατος. Στο Σχήµα 3.4, η συνάρτηση s min (r/a,1/b) παριστάνεται απ µια διακεκοµένη γραµµή η ευθεία απ την αρχή των αξ νων µε κλίση s/a συνεχίζεται µέχρι το σηµείο εκείνο που το r προσεγγίζει την τιµή a/b και κατ πιν µετατρέπεται σε µια οριζ ντια γραµµή στο ψος του s/b. Στο υπ δειγµα Harrod, s/a είναι ο συστηµικ ς ρυθµ ς µεγέθυνσης.yπάρχουν τρεις πιθανές περιπτώσεις: 1. n 1 > s/a: Σ αυτή την περίπτωση ο φυσικ ς ρυθµ ς µεγέθυνσης είναι µεγαλ τερος απ το συστηµικ ρυθµ. Mπορεί να φανεί απ το Σχήµα 4 τι το n 1 r είναι πάντοτε µεγαλ τερο απ την s min(r/a,1/b), έτσι ώστε το r πάντα φθίνει. Aς υποθέσουµε τι η αρχική τιµή του λ γου κεφαλαίου / εργασίας είναι το r 0 > a/b, τ τε έχουµε r = s/b n 1 r, που έχει την εξής λ ση: s s r = (r 0 )e nt 1 +. n 1 b n 1 b XHMA 3.4 r ñ n 1 r s n 2 r = r n 3 r } s b a b s n 3 b r 13

14 Έτσι το r µειώνεται τείνοντας προς το s/n 1 b, το οποίο µε τη σειρά του είναι µικρ τερο απ το a/b. Σ ένα σηµείο του χρ νου t 1, που υπολογίζεται ε κολα, το r εξισώνεται τελικά προς το a/b. Aπ κει και πέρα έχουµε r = (s/a) n 1 )r, της οποίας η λ ση είναι: a r = e (s/a n 1 )(t t 1 ). b 14 ταν έχουµε s/a < n 1, το r θα µειώνεται τείνοντας στο µηδέν. Στο χρ νο t 1, που r = a/b, η προσφορά εργασίας και το απ θεµα του συσσωρευµένου κεφαλαίου βρίσκονται σε ισορροπία. Aπ κει και πέρα καθώς ο λ γος K/L µειώνεται, το εργατικ δυναµικ πλεονάζει και η έκταση της πλεονασµατικ τητας αυξάνει. Tο επίπεδο της ανεργίας µπορεί να υπολογισθεί ξεκινώντας απ τη σχέση K = rl 0 e nt. Eπειδή γνωρίζουµε τι, ταν το κεφάλαιο είναι ο περιοριστικ ς παράγοντας, η παραγωγή ορίζεται απ τη σχέση K/a και εποµένως η απασχ ληση ορίζεται ως b(k/a). 2. n 2 = s/a: Σ αυτή την περίπτωση ο φυσικ ς και ο συστηµικ ς ρυθµ ς µεγέθυνσης είναι ίσοι. Aν αρχικά έχουµε r > a/b, έτσι ώστε η εργασία να είναι ο περιοριστικ ς παράγοντας, τ τε το r µειώνεται σε a/b και παρα- µένει εκεί. Aν αρχικά είχαµε r < a/b, τ τε το r παραµένει σταθερ διαχρονικά σ ένα είδος ουδέτερης ισορροπίας. Tο απ θεµα κεφαλαίου και η προσφορά εργασίας αυξάνονται µε έναν κοιν ρυθµ n 2 και ποιο κι αν ήταν το ποσοστ της πλεονασµατικής εργασίας αρχικά, διατηρείται. 3. n 3 < s/a: ο συστηµικ ς ρυθµ ς µεγέθυνσης είναι µεγαλ τερος απ το φυσικ ρυθµ. Tυπικά η λ ση είναι ακριβώς η ίδια µε την περίπτωση 1, ταν τοποθετήσουµε το n 3 στη θέση του n 1. Yπάρχει µια σταθερή ισορροπία του λ γου κεφαλαίου / προϊ ντος στο r = s/(n 3 b). Aλλά εδώ το κεφάλαιο πλεονάζει πως µπορο µε να συµπεράνουµε απ το γεγον ς τι η οριακή παραγωγικ τητα του κεφαλαίου αγγίζει το µηδέν. Tο ποσοστ του αποθέµατος κεφαλαίου που πραγµατικά απασχολείται στην ισ ρροπη ανάπτυξη είναι (an 3 )/s. Aλλά ταν αυξάνει το απ θεµα κεφαλαίου (µε έναν ρυθµ ασυµπτωτικά ίσο προς n 3 ), ο απ λυτος γκος της υπερβάλλουσας παραγωγικής δυναµικ τητας αυξάνει επίσης. Aυτή η εµφάνιση του πλεονάσµατος σαν κάτι το ανεξάρτητο απ τις µεταβολές στις σχέσεις τιµών - µισθών είναι µια συνέπεια των σταθερών αναλογιών και δίνει στο παράδειγµα Harrod - Domar το χαρακτηριστικ του στοιχείο που είναι η ανελαστική ισορροπία. Tελικά µπορο µε να φανταστο µε µια συνάρτηση παραγωγής τέτοια ώστε, αν το r υπερβεί µια κρίσιµη τιµή r max, το οριακ προϊ ν του κεφαλαίου να µειώνεται στο µηδέν, και αν το r υστερήσει λίγο απ µια άλλη κρίσιµη τιµή r min, το οριακ προϊ ν της εργασίας να µηδενίζεται. Για εν-

15 διάµεσες τιµές του λ γου κεφαλαίου / εργασίας οι καµπ λες ισοπαραγωγής είναι οι γνωστές. Tο Σχήµα 4 θα είχε ένα γραµµικ τµήµα για 0 r r min, µετά θα είχε ένα τµήµα πως στο Σχήµα 3.1 για r min r r max, και θα τελείωνε µε ένα οριζ ντιο τµήµα για r > r max. Θα υπήρχε µια ολ κληρη «ζώνη» ρυθµών α ξησης της προσφοράς εργασίας που θα οδηγο σε σε µια ισορροπία πως στο Σχήµα 3.1. Για τιµές του n κάτω απ αυτή τη ζώνη, το τελικ αποτέλεσµα θα ήταν η εµφάνιση πλεονασµατικο κεφαλαίου, ενώ για τιµές του n πάνω απ τη ζώνη αυτή, θα έχουµε πλε νασµα εργασίας. Στο βαθµ που, µακροχρ νια, µεταβάλλεται η αναλογική συµµετοχή των συντελεστών (κεφάλαιο και εργασία), η ενδιάµεση ζώνη των ρυθµών µεγέθυνσης θα είναι ευρ τατη. Ú ÂÈÁÌ 2: H appleâú appleùˆûë ÙË Cobb - Douglas Oι ιδι τητες της συνάρτησης Y = K α L1 a, είναι τ σο γνωστές, ώστε δεν χρειάζονται σχ λια. Tο Σχήµα 1 περιγράφει µια κατάσταση πραγµάτων που είναι ανεξάρτητη απ την εκλογή των παραµέτρων a και n. H οριακή παραγωγικ τητα του κεφαλαίου αυξάνεται απερι ριστα καθώς µειώνεται ο λ γος κεφαλαίου / εργασίας, έτσι ώστε η καµπ λη sf(r, 1) πρέπει να υψώνεται υπεράνω της ακτίνας nr. Aλλά ταν το a < 1, η καµπ λη πρέπει τελικά να τέµνει την ευθεία απ πάνω και ακολο θως να παραµένει κάτω απ αυτή. Έτσι, η ασυµπτωτική συµπεριφορά του συστήµατος φαίνεται πάντοτε τι είναι η ισ ρροπη µεγέθυνση σ µφωνα µε τον φυσικ ρυθµ. H διαφορική εξίσωση (6) είναι σ αυτή την περίπτωση r = sr α nr. Eίναι πραγµατικά πιο ε κολο να επιστρέψουµε στην αρχική εξίσωση (5), που τώρα γράφεται ως K = sk α (L 0 e nt ) 1 a. (7) Aυτ µπορεί αµέσως να ενσωµατωθεί και η λ ση είναι: s n K(t) = (K b 0 L b 0 + L b 0 e nbt ) 1/b. n s που b = 1 a, και K 0 είναι το αρχικ απ θεµα κεφαλαίου. E κολα µπορο µε να δο µε τι καθώς το t µεγαλώνει, το K(t) αυξάνει βασικά πως το (s/n) 1/b L 0 e nt, δηλαδή µε τον ίδιο ρυθµ µεγέθυνσης πως του εργατικο δυναµικο. H τιµή ισορροπίας του λ γου κεφαλαίου / εργασίας είναι r* = (s/n) 1/b. Aυτ µπορεί να επιβεβαιωθεί θέτοντας r = 0 στην εξίσωση (6). Λογικά η τιµή αυτή της σχέσης ισορροπίας είναι µεγαλ τερη σο αυξά- 15

16 νεται η ροπή για αποταµίευση και σο µειώνεται ο ρυθµ ς α ξησης της προσφοράς εργασίας. Eίναι αρκετά ε κολο να προσδιορίσουµε τη διαχρονική πορεία του πραγµατικο προϊ ντος µε τη βοήθεια της ίδιας της συνάρτησης παραγωγής. Προφανώς στο πλαίσιο µιας ασυµπτωτικής καταγραφής το Y πρέπει να συµπεριφέρεται πως το K και το L, που σηµαίνει τι αναπτ σσεται µ έναν σχετικ ρυθµ n. Tο πραγµατικ κατά κεφαλήν εισ δηµα των εργαζοµένων, Y/L, τείνει προς την τιµή (s/n) a/b. Πραγµατικά, µε τη συνάρτηση Cobb - Douglas, πάντοτε αληθε ει τι Y/L = (K/L) a = r a. Aµέσως συνάγεται τι η τιµή ισορροπίας του K/Y είναι το s/n. Aλλά ο λ γος K/Y είναι ο «συντελεστής κεφαλαίου«του Harrod, που τον ονοµάζει C. T τε στη µακροχρ νια διαδικασία της ισ ρροπης µεγέθυνσης θα έχουµε C = s/n ή n = s/c, δηλαδή ο φυσικ ς ρυθµ ς µεγέθυνσης ισο ται µε το συστηµικ ρυθµ µεγέθυνσης χι συµπτωµατικά αλλά ως συνέπεια των προσαρµογών ζήτηση-προσφορά. Ú ÂÈÁÌ 3 Eνα ολ κληρο φάσµα συναρτήσεων παραγωγής µε σταθερές αποδ σεις κλίµακας έχει δοθεί απ την Y = (ak P + L P ) 1/p. ιαφέρει απ τις συναρτήσεις Cobb - Douglas στο τι η παραγωγή είναι δυνατή και µε έναν µ νο συντελεστή. Aλλά έχουν την εξής κοινή ιδι τητα, τι, αν p < 1, η οριακή παραγωγικ τητα του κεφαλαίου γίνεται απερι ριστα µεγάλη καθώς ο λ γος κεφαλαίου / εργασίας τείνει προς το µηδέν. Aν p > 1, οι καµπ λες ισοπαραγωγής έχουν τη «λανθασµένη» κυρτ τητα. ταν έχου- µε p = 1, οι καµπ λες ισοπαραγωγής είναι ευθείες γραµµές και εκφράζουν τέλεια υποκατάσταση. Eγώ θα περιορισθώ στην περίπτωση που 0 < p < 1, η οποία δίνει τις συνηθισµένες φθίνουσες οριακές αποδ σεις. ιαφορετικά δεν έχει ν ηµα να επιµείνω στην πλήρη απασχ ληση και των δ ο συντελεστών. Συγκεκριµένα, θεωρο µε το p = 1/2, έτσι ώστε η συνάρτηση παραγωγής γίνεται: Y = (a K + L) 2 = a 2 K + L + 2a (KL). H βασική διαφορική εξίσωση είναι H οποία µπορεί να γραφεί αναλυτικά ως r = s(a r + 1) 2 nr, (8) 16 r = s{(a 2 n/s)r + 2a r + 1} = s(a r + 1)(B r + 1),

17 που A = a (n/s) και B = a + (n/s). H λ ση δίνεται έµµεσα: A r + 1 B r + 1 ( ) 1/A ( ) 1/B = e A r 0 +1 B r 0 +1 (nst) (9) Eίναι χρήσιµο να αναφερθο µε πάλι σ ένα σχήµα. Yπάρχουν δ ο πιθαν τητες, που διευκρινίστηκαν στο Σχήµα 3.5. H καµπ λη sf(r, 1) αρχίζει απ το ψος s, ταν r = 0. Aν sa 2 > n, δεν υπάρχει ισ ρροπη µεγέθυνση ο λ γος K/L αυξάνει απερι ριστα πως επίσης και η πραγµατική κατά κεφαλήν παραγωγή. Tο σ στηµα είναι πολ παραγωγικ και σε κατάσταση πλήρους απασχ λησης αποταµιε ει-επενδ ει αρκετά, ώστε να επεκτείνεται γρήγορα. Aν sa 2 < n, υπάρχει µια σταθερή ισ ρροπη µεγέθυνση, η οποία επιτυγχάνεται σ µφωνα µε τη λ ση (9). O λ γος ισορροπίας κεφαλαίου / εργασίας µπορεί να προσδιορισθεί θέτοντας r = 0 στην XHMA 3.5 r ñ s 1 2 > n nr s 2 2 < n s 1 s 2 1 ( ) 2 (n/s 2 ) r 17

18 εξίσωση (8). Eίναι r* = {1 / (n/s) a} 2. Mπορο µε εξάλλου να υπολογίσουµε τι το κατά κεφαλήν εισ δηµα που θα υπάρχει στο τέλος της µεγεθυντικής διαδικασίας είναι 1 / {1 a (n/s)} 2. Aυτ σηµαίνει τι το πραγ- µατικ κατά κεφαλή εισ δηµα θα φθάσει αυτή την τιµή, αν ξεκινήσει απ χαµηλ τερη τιµή ή και αντίστροφα ÌappleÂÚÈÊÔÚ ÙÔ ÂappleÈÙÔÎ Ô Î È ÙˆÓ ËÌÂÚÔÌÈÛı ˆÓ O ι διαζευκτικές πορείες της µεγέθυνσης (growth paths) που συζητήθηκαν προηγουµένως µπορο ν να εξετασθο ν µε δ ο τρ πους. Aπ µια άποψη µπορεί να υποστηριχθεί τι δεν έχουν αιτιώδη σηµασία και τι δείχνουν απλώς το δρ µο που η συσσώρευση του κεφαλαίου και η πραγµατική παραγωγή θα έπρεπε να ακολουθήσουν για να µην εµφανισθεί ο τε ανεργία, ο τε υπερβάλλον παραγωγικ δυναµικ. Aπ µιαν άλλη άποψη πάντως, µπορο µε να αναρωτηθο µε για τον τ πο της συ- µπεριφοράς της αγοράς ο οποίος θα οδηγο σε τελικά το υπ δειγµα οικονοµίας που εξετάζουµε στο δρ µο της ισ ρροπης µεγέθυνσης. Aπ αυτή τη σκοπιά έχουµε ήδη υποθέσει τι τ σο η αυξαν µενη προσφορά του εργατικο δυναµικο σο και η προσφορά του αποθέµατος κεφαλαίου είναι ανελαστικές. Σ αυτή την περίπτωση η ισορροπία στην αγορά επιτυγχάνεται µε τη βοήθεια της γρήγορης και άµεσης προσαρµογής των επιπέδων του πραγµατικο ηµεροµισθίου και της πραγµατικής απ δοσης του κεφαλαίου. Πάντως, αν οι αποφάσεις για αποταµίευση και επένδυση παίρνονται ανεξάρτητα, θα πρέπει να ικανοποιηθο ν µερικές επιπρ σθετες συνθήκες σχετικά µε την οριακή αποδοτικ τητα του κεφαλαίου. O σκοπ ς αυτής της παραγράφου είναι να εξετάσει τη συµπεριφορά του συν λου τιµή-ηµεροµίσθιο-επιτ κιο σ µφωνα µε τις πορείες µεγέθυνσης που σκιαγραφήθηκαν προηγουµένως. Yπάρχους τέσσερις τιµές που συµµετέχουν σ ένα τέτοιο σ στηµα: (α) η τιµή πώλησης µιας µονάδας πραγµατικο προϊ ντος [µια και το πραγ- µατικ προϊ ν χρησιµοποιείται επίσης ως κεφαλαιουχικ αγαθ αυτή είναι η τιµή (transfer price) µιας µονάδας αποθέµατος κεφαλαίου] που συµβολίζεται ως p(t) (β) το χρηµατικ ηµεροµίσθιο w(t), (γ) η χρηµατική απ δοση κατά µονάδα χρ νου µιας µονάδας αποθέµατος κεφαλαίου q(t) και (δ) το επιτ κιο i(t). Mπορο µε αµέσως να απαλείψουµε µια απ αυτές τις τιµές. Eπειδή αναφερ µαστε σε πραγµατικά µεγέθη δεν υπάρχει τίποτα που να καθορίζει το απ λυτο επίπεδο των τιµών. Eποµένως µπορο µε να λάβουµε το p(t), που είναι η τιµή της πραγµατικής παραγωγής, ως δεδοµένη. Mερικές φορές θα είναι χρήσιµο να φανταστο µε το p ως σταθερ.

19 Σε µια ανταγωνιστική οικονοµία το πραγµατικ ηµεροµίσθιο και η πραγµατική (απ δοση) αµοιβή του κεφαλαίου καθορίζονται απ τις γνωστές παραδοσιακές εξισώσεις της οριακής παραγωγικ τητας: και F w = (10) L p F q =. (11) K p Παρενθετικά σηµειώστε τι µε σταθερές αποδ σεις κλίµακας, οι οριακές παραγωγικ τητες εξαρτώνται µ νο απ το λ γο κεφαλαίου / εργασίας r, και χι απ οποιαδήποτε ποσοτική διαβάθµιση 7. H αµοιβή (απ δοση) του κεφαλαίου σε πραγµατικο ς ρους q/p είναι µιας µορφής επιτοκιακής αυτοαπ δοσης είναι η απ δοση του 7. Στην ακραία περίπτωση του πλήρους ανταγωνισµο, ακ µη και αν οι ατοµικές επιχειρήσεις έχουν καµπ λες µέσου κ στους σχήµατος U, µπορο µε να φανταστο µε µεταβολές στο συνολικ επίπεδο της παραγωγής, επειδή παρατηρείται είσοδος και έξοδος εντελώς ιδίων «αρίστου» µεγέθους επιχειρήσεων. T τε το συνολικ προϊ ν παράγεται µε σταθερ κ στος και πραγµατικά εξαιτίας του µεγάλου αριθµο των σχετικά µικρών επιχειρηµατικών µονάδων που η καθεµία παράγει µε περίπου σταθερ κ στος, ταν υπάρχουν µικρές αποκλίσεις στην παραγωγή, µπορο µε, χωρίς να κάνουµε κανένα ουσιαστικ σφάλµα, να ορίσουµε µια συνάρτηση συνολικής παραγωγής µε σταθερές αποδ σεις κλίµακας. Θα υπάρξουν µικρά σφάλµατα, επειδή αυτή η συνάρτηση συνολικής παραγωγής δεν ισχ ει αυστηρά για αποκλίσεις στο επίπεδο της παραγωγής που είναι µικρ τερες απ το µέγεθος µιας επιχείρησης. Aλλά µια τέτοια λεπτο- µέρεια, µπορο µε να θεωρήσουµε τι είναι ασήµαντη για τη µακροχρ νια ανάλυση. Φυσικά µπορο µε να σκεφθο µε την αναπροσαρµογή του υποδείγµατος στην περισσ τερο γενική υπ θεση του παγκ σµιου µονοπωλιακο ανταγωνισµο. Aλλά το παραπάνω τέχνασµα δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί µε επιτυχία. Aν ο παραγωγικ ς κλάδος αποτελείται απ ακριβώς ίδιες επιχειρηµατικές µονάδες οµαδοποιηµένες, οι οποίες (οµάδες) έχουν εφαπτ µενα σηµεία ισορροπίας, µπορεί να ορισθεί µια συνάρτηση συναθροισµένης παραγωγής σταθερο κ στους µε την προϋπ θεση τι οι αλλαγές στο επίπεδο της παραγωγής θα αντανακλο ν αλλαγές του αριθµο των επιχειρηµατικών µονάδων. Aλλά αυτή η εκδοχή δεν έχει ενδιαφέρον, επειδή, ακ µα και αν θελήσουµε να παραβλέψουµε την έλλειψη συνοχής και να τη µεταχειριστο µε σαν να µπορεί να παραγωγισθεί, οι µερικές παράγωγοι µιας τέτοιας συνάρτησης δεν θα απέδιδαν τις οριακές παραγωγικ τητες µε βάση τις οποίες λειτουργο ν οι επιχειρήσεις. Kάθε επιχείρηση βρίσκεται στο φθίνον τµήµα της ατοµικής της καµπ λης κ στους, ενώ στην περίπτωση του ανταγωνισµο κάθε επιχείρηση λειτουργο σε µε σταθερ κ στος τοπικά. Παραµένει το δ σκολο πρ βληµα της εισαγωγής του µονοπωλιακο ανταγωνισµο στα υποδείγµατα που λειτουργο ν µε ρους συνάθροισης. Π.χ., οι εξισώσεις για την αξία του οριακο προϊ ντος, στο άρθρο αυτ, θα έπρεπε να µεταλλαγο ν σε σχέσεις οριακο εσ δου και οριακο προϊ ντος, οι οποίες µε τη σειρά τους θα απαιτο σαν τη σαφή παρουσία των καµπυλών ζήτησης. Eδώ χρειάζονται πολ περισσ τερες προσπάθειες για να έχουµε κάποιο ρεαλιστικ αποτέλεσµα. 19

20 κεφαλαίου που εκφράζεται σε µονάδες αποθέµατος κεφαλαίου. O ιδιοκτήτης κεφαλαίου µπορεί να το πολλαπλασιάζει δανείζοντάς το και επανεπενδ οντας το προϊ ν της απ δοσης πως στην περίπτωση του ανατοκισµο, µ ένα µεταβαλλ µενο στιγµιαίο «επιτ κιο» q/p, δηλαδή πως t exp (q/p)dt.yπ συνθήκες τέλειας ανταλλαγής αξιών (arbitrage) υπάρ- 0 χει µια πολ γνωστή σχέση µεταξ του χρηµατικο επιτοκίου και εκείνου που αποκαλέσαµε προηγουµένως επιτοκιακή αυτοαπ δοση (commodity own-rate of interest), δηλαδή q(t) p (t) i(t) = + (12) p(t) q(t) Aν το επίπεδο των τιµών είναι πραγµατικά σταθερ, η επιτοκιακή αυτοαπ δοση και το χρηµατικ επιτ κιο θα συµπέσουν. Aν το επίπεδο των τιµών έχει πτωτική τάση, η επιτοκιακή αυτοαπ δοση πρέπει να υπερβαίνει το(χρηµατικ ) επιτ κιο της αγοράς για να παρακινήσει τα άτοµα να διακρατήσουν εµπορε µατα. Tο τι η ακριβής σχέση είναι πως πραγµατικά απεικονίζεται στη (12), µπορεί να αποδειχθεί µε διάφορους τρ πους. Π.χ. ο ιδιοκτήτης 1 δολαρίου τη χρονική στιγµή t έχει δ ο επιλογές: µπορεί να δανείσει τα χρήµατα για µικρ χρονικ διάστηµα π.χ. t + h και να έχει κατά προσέγγιση απ δοση σε τ κο της τάξεως του i(t)h. Mπορεί ακ µα να αγοράσει 1/p µονάδες προϊ ντος, να κερδίσει «απ δοση» της τάξεως του (q/p)h και µετά να πουλήσει αυτά τα προϊ ντα. Στην πρώτη περίπτωση θα κατέχει 1 + i(t)h στο τέλος της περι δου στη δε τερη περίπτωση θα έχει {q(t) / p(t)}h + p(t + h)/p(t). Στην περίπτωση της κατάστασης ισορροπίας αυτά τα δ ο ποσά θα πρέπει να είναι ίσα: q(t) p(t + h) 1 + i(t)h = h + p(t) p(t) ή q(t) p(t + h) p(t) i(t)h = h + p(t) p(t) 20 ιαιρώντας και τα δ ο µέλη µε το h και αφήνοντας το h να τείνει στο µηδέν, παίρνουµε την εξίσωση (12). Έτσι αυτή η συνθήκη εξισώνει την ελκυστικ τητα του κινήτρου της διατήρησης πλο του σαν απ θεµα κεφαλαίου µε το κίνητρο της διατήρησης πλο του σαν ρευστ κεφάλαιο (δανειστικά κεφάλαια). Ένας άλλος τρ πος να εξάγουµε την (12) και να εµβαθ νουµε στον

21 ρ λο που διαδραµατίζει στο υπ δειγµά µας, είναι να σηµειώσουµε τι η p(t), δηλαδή η τιµή µεταβίβασης (transfer price) µιας µονάδας κεφαλαίου πρέπει να ισο ται µε την παρο σα αξία των καθαρών µελλοντικών προσ δων της. Έτσι µε τέλεια πρ βλεψη για τις µελλοντικές προσ δους και τα επιτ κια έχουµε: p(t) = q(u)e i(z)dz du. t t Παραγωγίζοντας ως προς το χρ νο καταλήγουµε στην εξίσωση (12). Eποµένως, στα περιορισµένα πλαίσια του υποδείγµατ ς µας (ιδιαίτερα µε την απουσία κινδ νου, µε µια σταθερή µέση ροπή για αποταµίευση και την απουσία νοµισµατικών προβληµάτων) το ονοµαστικ επιτ κιο και η απ δοση του κεφαλαίου στους κατ χους του θα βρίσκεται στην κατάλληλη εκείνη σχέση για να προτρέψει την κοιν τητα να διατηρήσει το απ θεµα κεφαλαίου που έχει. H απουσία κινδ νου και αβεβαι τητας εµφανίζεται συγκεκριµένα µε την απουσία προτιµήσεων σχετικά µε τη φ ση των περιουσιακών στοιχείων που θα διακρατηθο ν. Mε δεδοµένο το απ λυτο επίπεδο των τιµών p(t), οι εξισώσεις (10) u XHMA 3.6 K K = r*l x P 2 x P 1 L 21

22 22 (12) προσδιορίζουν τις άλλες τρεις µεταβλητές, που η συµπεριφορά τους µπορεί έτσι να υπολογισθεί, ταν είναι γνωστή η συγκεκριµένη πορεία της µεγέθυνσης (growth path). Πριν δείξουµε την κατε θυνση που θα ακολουθήσουν οι υπολογισµοί στα παραδείγµατα του τµήµατος 4, είναι δυνατ ν να έχουµε µια διαγραµµατική παρουσίαση, ιδιαίτερα ταν υπάρχει µια σταθερή ισ ρροπη µεγέθυνση (stable balanced growth equilibrium). Στο Σχήµα 3.6 έχει απεικονισθεί ο συνηθισµένος χάρτης καµπυλών ισοπαραγωγής της συνάρτησης παραγωγής F(K, L), πως και µερικές πιθανές κατευθ νσεις που θα ακολουθήσει η µεγεθυντική πορεία. Ένας δεδοµένος λ γος κεφαλαίου / εργασίας r* αντιπροσωπε εται στο Σχήµα 3.6 µε µια ακτίνα που περνάει απ την αρχή των αξ νων, µε κλίση r*. Έστω τι υπάρχει ένας σταθερ ς ασυµπτωτικ ς λ γος r* τ τε λες οι δυνατές πορείες µεγέθυνσης που µπορο ν να υπάρξουν και ξεκινο ν απ αυθαίρετες αρχικές προϋποθέσεις προσεγγίζουν ένα ριο που βάζει αυτή η ακτίνα. ο τέτοιες πορείες χαράζονται µε βάση τα αρχικά σηµεία P 1 και P 2. Eπειδή στο Σχήµα 3.1 η προσέγγιση του r στο r* ήταν µονοτονική, οι πορείες µεγέθυνσης πρέπει να έχουν τη µορφή που δείχνει το Σχήµα 3.6. Bλέπουµε τι στην περίπτωση που ο αρχικ ς λ γος κεφαλαίου / εργασίας είναι µεγαλ τερος απ την τιµή ισορροπίας, ο λ γος µειώνεται τελικά, και αντίστροφα. Tο Σχήµα 3.7 αντιστοιχεί στο Σχήµα 3.2.Yπάρχουν τρεις ευθείες «ισορροπίας», αλλά η εσωτερική εκφράζει µια ασταθή κατάσταση ισορροπίας. H εσωτερική ευθεία είναι η διαχωριστική γραµµή µεταξ των αρχικών συνθηκών που οδηγο ν είτε στη µια απ τις ευθείες που εκφράζουν σταθερή ισορροπία είτε στην άλλη. λες οι πορείες (µονοπάτια), βέβαια, ακολουθο ν µια ανοδική τάση προς τα πάνω και δεξιά, χωρίς να αντιστρέφονται, ενώ το K και το L πάντα αυξάνουν. O αναγνώστης µπορεί να κατασκευάσει ένα διάγραµµα αντίστοιχο του Σχήµατος 3.3, που οι πορείες µεγέθυνσης θα περνο ν απ ευθείες µε αυξαν µενη ή µε µειο - µενη κλίση, που σηµαίνει τι το r ή τι το r 0. Ξανασηµειώνω εδώ τι λα τα µεγέθη, K, L άρα και το Y, αυξάνουν, αλλά ταν το r 0, ο λ γος Y/L θα µειωθεί. Tώρα εξαιτίας των σταθερών αποδ σεων κλίµακας, η κλίση των καµπυλών ισοπαραγωγής είναι σταθερή κατά µήκος µιας ευθείας που ξεκινά απ την αρχή των αξ νων. Aυτ εκφράζει το γεγον ς τι τα οριακά προϊ ντα εξαρτώνται µ νο απ το λ γο των συντελεστών παραγωγής. Aλλά στην περίπτωση του ανταγωνισµο, η κλίση των καµπυλών ισοπαραγωγής αντανακλά το λ γο των τιµών των συντελεστών παραγωγής. Έτσι, σ ένα σταθερ r*, πως στο Σχήµα 3.6, αντιστοιχεί ένας λ γος ισορροπίας w/q. Eξάλλου, αν οι καµπ λες ισοπαραγωγής έχουν τη συνηθισµένη κυρτ τητα, είναι βέβαιο τι καθώς η τιµή του r µεγαλώνει και

23 XHMA 3.7 K r 3 r 2 x x x r 1 x L προσεγγίζει το r*, αυξάνεται ο λ γος w/q τείνοντας προς την τιµή ριο, και αντίστροφα ταν το r µειώνεται. Στην περίπτωση που έχουµε αστάθεια που το r τείνει στο άπειρο ή στο µηδέν, µπορεί το w/q να τείνει στο άπειρο ή στο µηδέν. Aν µως, οι καµπ λες ισοπαραγωγής φθάνουν τους άξονες των συντεταγµένων µε κλίσεις που έχουν ως ρια την κάθετη και την οριζ ντια θέση, ο λ γος των τιµών των συντελεστών w/q θα τείνει σ ένα πεπερασµένο ριο. Eπίσης ίσως είναι χρήσιµο να δείξουµε τι η κλίση της καµπ λης F(r,1) είναι η οριακή παραγωγικ τητα του κεφαλαίου στην αντίστοιχη τιµή του r. Έτσι, η πορεία της µεταβολής της πραγµατικής απ δοσης q/p µπορεί να εξετασθεί στα Σχήµατα 3.1, 3.2 και 3.3. Θυµηθείτε τι σ αυτά τα διαγράµµατα η F(r, 1) µειώθηκε απ το συντελεστή s, και εποµένως µειώθηκε και η κλίση της καµπ λης. H F(r, 1) απ µ νη της αντιπροσωπε ει το Y/L, το προϊ ν κατά µονάδα εργασίας, ως µια συνάρτηση του λ γου κεφαλαίου / εργασίας. Γενικά, αν υπάρχει µια σταθερή πορεία µεγέθυνσης, η µείωση του πραγµατικο µισθο ή της πραγµατικής απ δοσης (του κεφαλαίου) που είναι απαραίτητη για να φθάσουµε σ αυτή την πορεία, µπορεί να µην 23

24 24 είναι καθ λου καταστροφική. Aν σηµειώνεται µια αρχική έλλειψη (προσφοράς) εργασίας (σε σ γκριση µε τις απαιτήσεις του λ γου ισορροπίας), το πραγµατικ ηµεροµίσθιο θα πρέπει να µειωθεί. σο µεγαλ τερος είναι ο ρυθµ ς α ξησης του εργατικο δυναµικο και σο µικρ τερη είναι η ροπή για αποταµίευση τ σο µικρ τερος είναι ο λ γος ισορροπίας και εποµένως τ σο περισσ τερο θα πρέπει να µειωθεί το πραγµατικ ηµεροµίσθιο. Aλλά η µείωση αυτή δεν είναι απερι ριστη. Oφείλω στον John Chipman την υπογράµµιση τι αυτ το αποτέλεσµα είναι ο άµεσος αντίλογος στη θέση του Harrod (1953, σ. 545), που υποστηρίζει τι απαιτείται ένα συνεχώς µειο µενο επιτ κιο για να διατηρηθεί η κατάσταση ισορροπίας. Πραγµατικά έχουµε καταστροφικές µεταβολές στις τιµές των παραγωγικών συντελεστών στην περίπτωση του Harrod - Domar, αλλά µια τέτοια εξέλιξη είναι συνέπεια της ειδικής υπ θεσης των σταθερών αναλογιών. Έχω πραγµατευθεί αλλο τη συµπεριφορά των τιµών στο υπ δειγµα του Harrod (Solow, ), αλλά εκεί περιέγραψα το επίπεδο των τιµών και το επιτ κιο και παρέλειψα να αναφερθώ στις τιµές των συντελεστών παραγωγής. Πραγµατικά υπάρχουν πολ λίγα που µπορο µε να πο µε. Oι «καµπ λες» ισοπαραγωγής, στην περίπτωση του υποδείγ- µατος του Harrod, έχουν ορθές γωνίες και έτσι προσδιορίζονται και οι θεωρητικές θέσεις. Aναφερ µενοι στο Σχήµα 3.4, αν ο λ γος κεφαλαίου / εργασίας, που παρατηρείται, είναι µεγαλ τερος απ το a/b, τ τε το κεφάλαιο πλεονάζει απολ τως, το οριακ του προϊ ν είναι µηδέν και η λη αξία του προϊ ντος αποδίδεται στην εργασία. Έτσι q = 0 και bw = p, άρα w = p/b. Aν το παρατηρο µενο r είναι µικρ τερο απ το a/b, τ τε η εργασία πλεονάζει απ λυτα και έχουµε w = 0, άρα q = p/a. Aν η εργασία και το κεφάλαιο θα έπρεπε να είναι ακριβώς στη σχέση ισορροπίας, r = a/b, τ τε είναι φανερ πως δεν µπορο µε να αποδώσουµε κάποιο συγκεκρι- µένο µέρος του προϊ ντος στην εργασία ή το κεφάλαιο χωριστά. Για το µ νο που µπορο µε να είµαστε βέβαιοι είναι τι η συνολική αξία µιας µονάδας προϊ ντος p, θα αποδοθεί στη σ νθετη αναλογία των a µονάδων κεφαλαίου και b µονάδων εργασίας (και οι δ ο συντελεστές βρίσκονται σε στεν τητα). Άρα το w και το q µπορο ν να λάβουν οποιεσδήποτε τιµές, υποκείµενα µ νο στη συνθήκη aq + bw = p, aq/p + bw/p = 1. Έτσι στο Σχήµα 3.4, σε κάθε σηµείο εκτ ς απ το σηµείο r = a/b, είτε το κεφάλαιο είτε η εργασία πρέπει να πλεονάζουν, και στο σηµείο a/b οι τιµές των συντελεστών είναι απροσδι ριστες. M νο κάτω απ ειδικές περιστάσεις συµβαίνει να έχουµε r = a/b. Aς θεωρήσουµε τώρα την περίπτωση της συνάρτησης Cobb-Douglas που το Y = K a L 1 a και q/p = a(k/l) a 1 = ar a 1. Άρα w/q = (1 a)r/a. Oι ακριβείς διαχρονικές πορείες των πραγµατικών τιµών των συντελε-

25 στών µπορο ν να υπολογισθο ν χωρίς δυσκολία ξεκινώντας απ τη λ ση της (7), αλλά δεν έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Eίδαµε προηγουµένως τι ο λ γος κεφαλαίου/εργασίας που έχει το χαρακτήρα του ορίου είναι (s/n) 1/1 a. Έτσι το ψος του πραγµατικο ηµεροµισθίου ισορροπίας είναι: s (1 a) ( ) a/1 a. n και η πραγµατική πρ σοδος ισορροπίας του κεφαλαίου είναι an/s. Aυτά τα συµπεράσµατα απ µια ποιοτική άποψη είναι ακριβώς εκείνα που θα περιµέναµε. πως πάντοτε στην περίπτωση της συνάρτησης Cobb - Douglas, το µερίδιο της εργασίας σε πραγµατικ προϊ ν είναι σταθερ. Tο τρίτο παράδειγµά µας µπορεί να διαφοροποιηθεί σχετικά. Aπ τη συνάρτηση Y = (a K + L) 2. µπορο µε να υπολογίσουµε τι K Y/ L = a + 1 = a r + 1. L Στην περίπτωση που υπάρχει ισ ρροπη µεγεθυντική διαδικασία (βλ. τέλος παραγρ. 4) έχουµε 1 r* = [ ] 2. (n/s) a εποµένως, το επίπεδο του πραγµατικο ηµεροµισθίου που λειτουργεί ως ριο είναι a 1 w/p = + 1 =. (n/s) a 1 a (s/n) Προηγουµένως υπολογίστηκε τι στην περίπτωση της ισ ρροπης µεγέθυνσης έχουµε 1 Y/L = [ ] 2. 1 a (s/n) Aλλά, το µερίδιο της εργασίας είναι (w/p)(l/y) = 1 a (s/n). 25

26 Tο αποτέλεσµα αυτ δεν είναι µοιο µε την περίπτωση Cobb - Douglas, που τα σχετικά µερίδια είναι ανεξάρτητα απ τα s και n και εξαρτώνται µ νο απ τη συνάρτηση παραγωγής. Eδώ βλέπουµε τι στην περίπτωση της ισ ρροπης µεγέθυνσης το σχετικ µερίδιο της εργασίας είναι τ σο µεγαλ τερο σο µεγαλ τερος είναι ο ρυθµ ς α ξησης του εργατικο δυναµικο και σο µικρ τερη η ροπή για αποταµίευση. Πράγµατι, πως θα περίµενε κανείς, σο πιο γρήγορα αυξάνει το εργατικ δυναµικ τ σο χαµηλ τερο είναι το πραγµατικ ηµεροµίσθιο στην περίπτωση της µεγέθυνσης, σε κατάσταση ισορροπίας, αλλά ακ µα και ο χαµηλ τερος πραγ- µατικ ς µισθ ς κατανέµει τελικά στο αυξηµένο εργατικ δυναµικ ένα µεγαλ τερο µέρος του πραγµατικο εισοδήµατος. 6 ÚÔÂÎÙ ÛÂÈ O ÙÂÚË ÙÂ ÓÔÏÔÁÈÎ appleúfiô Ô Mπορο µε να υποθέσουµε και να µελετήσουµε αυθαίρετες αλλαγές, διαχρονικά, στη συνάρτηση παραγωγής, αλλά είναι µάλλον απίθανο τι θα οδηγηθο µε σε συστηµατικά συµπεράσµατα. Mια ιδιαίτερα ε κολη κατηγορία τεχνολογικής προ δου είναι εκείνη που απλά πολλαπλασιάζει τη συνάρτηση παραγωγής µε ένα αυξηµένης κλίµακας συντελεστή. Έτσι µεταβάλλουµε την (2) και έχουµε: Y = A(t)F(K, L). (13) O χάρτης των καµπυλών ισοπαραγωγής παραµένει αµετάβλητος αλλά ο γκος του προϊ ντος που εκφράζει κάθε καµπ λη, πολλαπλασιάζεται µε A(t). Tον τρ πο µε τον οποίο επηρεάζεται ο (συνεχώς µεταβαλλ µενος) λ γος ισορροπίας κεφαλαίου / εργασίας µπορο µε να τον δο - µε σε ένα διάγραµµα, πως το Σχήµα 3.1, αν «µεγεθ νουµε» τη συνάρτηση sf(r, 1). H περίπτωση της Cobb - Douglas είναι ε κολη. ταν ορισθεί A(t) = e gt, η βασική διαφορική εξίσωση γίνεται: µε την ακ λουθη λ ση K = se gt K a (L 0 e nt ) 1 a = sk a L 0 1 a e {n(1 a) + g}t, 26 bs bs K(t) = [K b 0 L b 0 + L b 0e (nb + g)t ] 1/b, nb + g nb + g