3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ"

Transcript

1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικη εξισωση με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: 3. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; α + β = γ Λυση της πιο. Aν πανω α, β εξισωσης θετικοι, να ειναι συγκρινεται καθε ζευγος τους πραγματικων αριθμους Α = αριθμων α + β, Β (,) = α που β + αβ την επαληθευουν. Η εξισωση = λ παριστανει μια ευθεια παραλληλη στον αξονα που διερχεται απ το σημειο (λ,) του αξονα. Η εξισωση = μ παριστανει μια ευθεια παραλληλη στον αξονα που διερχεται απ το σημειο (,μ) του αξονα. Συστημα δυο γραμμικων εξισωσεων με δυο αγνωστους λεγεται καθε συστημα της μορφης: D H= D Εννοια = και του : διανυσματος 3 3. α + β = γ α + β = γ Λυση του πιο πανω συστηματος ειναι καθε ζευγος πραγματικων α ριθμων (,) που επαληθευει και τις δυο εξισωσεις του συστηματος. Η μοναδικη λυση ενος συστηματος δυο γρ. εξισωσεων με δυο αγνωστους σημαινει γεωμετρικα το σημειο τομης των δυο ευθειων, που παριστανουν οι εξισωσεις του συστηματος. Αδυνατο λεγεται ενα συστημα, οταν δεν υπαρχουν ζευγη (,) που το επαληθευουν. Σημαινει γεωμετρικα οτι οι δυο ευθειες που παριστανουν οι εξισωσεις του συστηματος, ειναι παραλληλες. Αοριστο λεγεται ενα συστημα, όταν εχει απειρα ζευγη (,) που το επαληθευουν. Σημαινει γεωμετρικα ότι οι δυο ευθειες που παριστανουν οι εξισωσεις του συστηματος, συμπιπτουν. Ισοδυναμα λεγονται τα συστηματα που εχουν ακριβως τις ιδιες λυσεις. Λ υ σ η Δ ι ε ρ ε υ ν η σ η α + β = γ Εστω το συστημα (Σ) : α + β = γ Οριζουσες : α β γ β α γ D = = α.β - α β, D = = γ.β - γ β, D = = α.γ - α γ α β γ β α γ Λυση - Διερευνηση του ( Σ) : D D Αν D τοτε το (Σ) εχει τη μοναδικη λυση : (, ) =,. D D Αν D = και : D η D τοτε το (Σ) ειναι αδυνατο. ενας τουλαχιστον απ'τους α, α,β,β, τοτε το (Σ) εχει απειρες λυσεις. α = α = β = β = γ = γ =, τοτε το (Σ) εχει απειρες λυσεις. α = α = β = β = και γ η γ, τοτε το (Σ) ειναι αδυνατο.

2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ α + β = Στη περιπτωση που το συστημα ειναι της μορφης : λεγεται ομογενες και α + β = εχει παντα τη λυση (, ) και απειρες λυσεις αν D = (μια απ'αυτες και η (, )). M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η Σ υ σ τ η μ α τ ο ς Ο ρ ι ζ ο υ σ ε ς ) - 3 = 4 Να λυθει το συστημα : = ο Βημα : Bρισκουμε την οριζουσα D των συντελεστων των,. - 3 D = =.5 - (-)(-3) = - 6 = 4 (αρα υπαρχει λυση) - 5 ο Βημα : Bρισκουμε την οριζουσα D, που προκυπτει απ'την D αν αλλαξουμε τη στηλη του, (, -), με τη στηλη των σταθερων ορων, (4, ). 4-3 D = = (-3) = 5 3ο Βημα : Bρισκουμε την οριζουσα D, που προκυπτει απ' την D αν αλλαξουμε τη στηλη του, (-3, 5), με τη στηλη των σταθερων ορων, (4, ). 4 D = =. - (-).4 = 8-4ο Βημα : Bρισκουμε τη λυση, γνωριζοντας οτι : = και =. D D D D 8 = = = 5 και = = = D 4 D 4 Δηλαδη η λυση ειναι : (, ) = (5,). D η D, τοτε το συστημα ειναι αδυνατο. Σε περιπτωση που D = και D = D =, τοτε το συστημα εχ ει απειρες λυσεις. M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η Σ υ σ τ η μ α τ ο ς Π α ρ α μ ε τ ρ ι κ ο ) (λ - ) + λ = λ Να λυθει το συστημα : 3 + (λ + ) = ο Βημα : Bρισκουμε τις οριζουσες D, D και D (παραγοντοποιημενες). λ - λ λ λ λ - λ D = = (λ - 4)(λ + ), D = = λ(λ - 4), D = = 6(λ - 4) 3 λ + λ + 3 ο Βημα : Υποθετουμε οτι η οριζουσα D¹, οποτε υπαρχει λυση (, ). D D λ(λ - 4) 6(λ - 4) λ 6 D D (λ - 4)(λ + ) (λ - 4)(λ + ) λ + λ + (, ) = (, ) = (, ) = (, ) 3ο Βημα : Υποθετουμε οτι η οριζουσα D =, oποτε αν οι τιμες που μηδενιζουν την D δεν μηδενιζουν τουλαχιστον μια απ'τις D, D τοτε το συστημα ειναι αδυνα - το, ενω αν καποια μηδενιζει και D και D, τοτε αντικαθιστουμε την τιμη αυ - D D D D D D

3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 3 τη στο αρχικο συστημα ωστε να βρουμε απειρια λυσεων (αφου βεβαια υπαρ - χει τουλαχιστον ενας μη μηδενικος συντελεστης των, ). D = (λ - 4)(λ + ) = λ = 4 η λ = - + = 4 Για λ = 4 τοτε D = D = D =, oποτε το συστημα γινεται : και εχουμε + = 4 απειρες λυσεις της μορφης (4 - κ, κ). (θεσαμε = κ) Για λ = - τοτε D = (-)(- - 4) =, οποτε το συστημα ειναι αδυνατο. M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η Σ υ σ τ η μ α τ ο ς Π α ρ α μ ε τ ρ ι κ ο ) - 3 = -5 Να λυθει το συστημα : - + = Μεθοδος Αντικαταστασης : Λυνουμε την μια απο τις εξισωσεις, ως προς τον ενα αγνω - στο, και αντικαθιστουμε στην αλλη εξισωση (τον αγνωστο αυτο). - 3 = -5 = 3-5 = 3-5 = = -(3-5) + = = -5 = - = =. = = Μεθοδος Συγκρισης : Λυνουμε και τις δυο εξισωσεις, ως προς τον ιδιο αγνωστο, και εξι - σωνουμε τα δευτερα μελη των εξισωσεων που προκυπτουν. = 3-5 = 3-5 = 6-5 = - 3 = = = = = = =. = Μεθοδος Aντιθετων Συντελεστων : Επιλεγουμε τον αγνωστο που θελουμε να απαλοι - ψουμε, πολλαπλασιαζουμε τις εξισωσεις με καταλληλους αριθμους, ωστε να προκυψουν αντιθετοι συντελεστες (για τον αγνωστο αυτο) και στη συνεχεια προσθετουμε τις εξισω - σεις κατα μελη. ( - 3 = -5). - 6 = - (+) - 5 = - = =. - + = - + = - + = - + = =

4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4 Σ υ σ τ η μ α τ α 3 3 Συστημα τριων γραμμικων εξισωσεων με τρεις αγνωστους λεγεται καθε συστημα α + β + γω = δ Λυση του πιο πανω συστηματος ειναι κάθε διατεταγμενη τριαδα πραγματικων αριθμων (,,ω) που της μορφης: α + β + γ ω = δ α3 + β3 + γ3ω = δ 3 επαληθευει και τις τρεις εξισωσεις Συστηματα που λυνονται με τεχνασμα + + z = a + = a. = a + z + ω = b (Σ )= (Σ )=.z = b (Σ 3 )= + = b z + ω + = c ω + + = d z. = c z + = c z Για το (Σ ) προσθετουμε κατα μελη και τις 4 εξισωσεις και προκυπτει: ++z+ω=a+b+c+d. Αφαιρωντας απ τη τελευταια καθεμια απ τις εξισωσεις του συστηματος, βρισκουμε τους αγνωστους. Για το (Σ ) πολλαπλασιαζουμε κατα μελη τις 3 εξισωσεις και προκυπτει:..z =a.b.c Διαιρωντας τη τελευταια με καθεμια απ τις εξισωσεις του συστηματος, βρισκουμε τους αγνωστους. Για το (Σ 3 ) θετουμε κάθε λογο ισο με μια παραμετρο και μετασχηματιζουμε το (Σ 3 ) με αγνωστους τις παραμετρους, τις οποιες και βρισκουμε. Στη συνεχεια βρισκουμε τα,,z συμφωνα με ο,τι θεσαμε. Θεση σ αυτη τη κατηγορια εχει και ο μερισμος σε μερη αναλογα. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να λυθουν το συστηματα : + + z = 6 (α) - + 3z = 8 (β) + - z = (γ) + + z = 6 (α) + z + ω = 9 (β) z + ω + = 8 (γ) ω + + = 7 (δ) (α) + (β) + 4z = 4.(-3) (+) -6 - z = -4 Eιναι : - z = -6 z = 3 (β) + (γ) 3 + 5z = z = 36 και = 4 = = (α) : = 6 = Αρα : (,, z) = (,,3). Ειναι : (α) + (β) + (γ) + (δ) : 3( + + z + ω) = z + ω = (ε) (ε) - (α) : + + z + ω z = - 6 ω = 4 (ε) - (β) : + + z + ω - - z - ω = - 9 = (ε) - (γ) : + + z + ω - z - ω - = - 8 = (ε) - (δ) : + + z + ω - ω - - = - 7 z = 3 Αρα : (,, z, ω) = (,,3, 4).

5 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Π α ρ α δ ε ι γ μ α + + z + = = (α) Να λυθει το συστημα : z = 8 (β) + = λ = λ z + + Eστω : = = = λ = λ = 3λ z + z = 4λ - = λ 4 Οποτε (β) : λ - - (3λ - ) + 3(4λ - ) = 8 λ - - 3λ + + λ - 3 = 8 λ = λ = + + z + = = = = = z = M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η Σ υ σ τ η μ α τ ο ς 3 3 ) (a) : + + z = 6 Να λυθει το συστημα : (b) : z = -7 (c) : z = ο Βημα : Aπαλοιφουμε τον ιδιο αγνωστο στις τρεις εξισωσεις, με τη μεθοδο των αντι - θετων συντελεστων. (a) + (b) : + + z z = 6-7 3(b) + (c) : z z = - + ο Βημα : Λυνουμε το συστημα Χ που προκυπτει D = = - + = -, D = = 7-8 = -, D = = -9 D - D - Oποτε : = = =, = = =. D - D - 3ο Βημα : Aντικαθιστουμε τις λυσεις του πιο πανω συστηματος σε μια οποιαδηποτε εξι = = = σωση του αρχικου συστηματος και βρισκουμε και τον τριτο αγνωστο. (a) : + + z = z = 6 z = 3. Δηλαδη τελικα : (,, z) = (,,3).

6 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 Να λυθει το συστημα : - = = - Μεθοδος αντικαταστασης - = 3 = 3 + = 3 + = 3 + = = - 3( 3 + ) + = = - 5 = - = - = 3 + (-) = = - = - Μεθοδος συγκρισης = 3 + = = 3 = 3 + = = - = 3 + = = = = 3 + = 3 + (-) = = - = - = - Μεθοδος αντιθετων συντελεστων - = 3 - = 6 (+) = 3 + = 3 + = = = - 5 = 5 = = Να βρεθει η εξισωση της ευθειας (ε ) που διερχεται απο τα σημεια Α(,3) και Β(,). Nα βρειτε το σημειο τομης της πιο πανω ευθειας (ε ) και της ευθειας (ε ) : = - + 7, αν αυτο υπαρχει. Η εξισωση της ευθειας γενικα ειναι της μορφης : = α + β Επειδη τα σημεια Α(, 3) και Β(, ) ανηκουν στην ευθεια, τοτε : 3 = α. + β α + β = 3 α + = 3 α = = α. + β β = β = β = Οποτε η εξισωση της ευθειας ( ε ) ειναι : = + Αν (, ) ειναι το κοινο σημειο των δυο ευθειων, τοτε τα, επαληθευουν και τις δυο εξισωσεις. Δηλαδη = = + 3 = 6 = = = = = = = 5 Αρα οι δυο ευθειες τεμνονται στο σημειο (, 5).

7 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 Να λυθει η ανισωση : Nα λυθει η εξισωση : + λ λ - 6 = λ Eιναι + 6 ( + )( + 5) Eιναι λ λ - = λ( - λ) - (-)(λ - ) = λ - λ + λ - = (λ - ) = λ - λ - - λ (λ - ) = λ(λ - ) (Ι) λ( λ - ) Για λ -, δηλαδη για λ η (Ι) εχει τη μοναδικη λυση : = λ - = λ Για λ - =, δηλαδη για λ = η (Ι) γινεται : ( - ) =.( - ). =, ταυτοτητα. - = - = - = 4 (Σ ) = (Σ ) = (Σ ) = 3 + = = = Eιναι - D = = - (-) = + = 3 - D = = - 5(-) = + 5 = 6 D = = 5 - = Αρα (, ) =, Eιναι D D 6 3 =, =, D D D = = 4 - (-4)(-) = 4-4 = -4 - D = = 4-4(-) = = 8 4 Αρα το συστημα ειναι αδυνατο. Eιναι - D = = -6-3(-) = = D = = -4 - (-) = = D = = - = -6 3 Αρα το συστημα εχει απειρες λυσεις, της μορφης (κ + 4,κ). Θετουμε στη πρωτη εξισωση οπου = κ, αφου (συντελεστης του ).

8 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 (λ + ) + = Να λυθει και να διερευνηθει το συστημα : για τις διαφορες τιμες του λ. λ + λ = Eιναι λ + D = = λ(λ + ) - λ = λ + λ - λ = λ - λ = λ(λ - ) λ λ λ + D = = λ - D = = λ + - λ = -(λ - ) λ λ Για D το συστημα εχει τη λυση : D D λ - -( λ - ) (, ) =, = D D, =, - λ( λ - ) λ( λ - ) λ λ Για D = δηλαδη λ(λ - ) = λ = η λ = ειναι : Για λ = εχουμε D = - = -, Αρα το συστημα ειναι αδυνατο. Για λ = εχουμε D = - = D = -( - ) = + = Οποτε το συστημα γινεται : και εχει απειρες λυσεις, της μορφης (κ, - κ). + = (Θετουμε στη μια εξισωση οπου = κ). Δινονται τα συστηματα : (κ + ) - λ = + (λ + ) = κ + (Σ ) : και (Σ ) : 3 + = - - (κ - ) = λ Δειξτε οτι αν το (Σ ) εχει απειρες λυσεις, τοτε το (Σ ) ειναι αδυνατο. Αφου το (Σ ) εχει απειρες λυσεις, τοτε : κ + -λ D = = κ + + λ = κ + λ = - () -λ D = = - λ = λ = () - κ + D = = -κ - - = κ = - (3) - Aπο () + (3) : κ + λ = + (-) = - = -, επαληθευεται η (). Για κ = - και λ = το (Σ ) γινεται : + ( + ) = (-) = (- + ) -. = - - = + = - + = - + = - + = - που προφανως απειρες λυσεις. Για κ = - και λ = το (Σ ) γινεται : - (- - ) = + 3 = 5 - (-3) = + 3 = που ειναι προφανως αδυνατο.

9 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Σ 'ενα συστημα (Σ ) δυο γραμμικω ν εξισω σεω ν με αγνω στους, ισχυει : 3D - 4D = D και D - D = D. A ν το (Σ ) εχει μοναδικη λυση, τοτε : να β ρειτε το συστημα (Σ ). να λυσετε το συστημα (Σ ). Α φου το (Σ ) εχει μοναδικη λυση, τοτε : D D D D O ποτε το συστημα τω ν δοσμενω ν σχεσεω ν : D και (, ) =, D D D D ( = ) 3D - 4D = D 3-4 = (:D ) D D D D 3-4 = = (Σ ) D D - D = D D D D ( = ) - = - = D D D D Λ υνουμε το συστημα (Σ ) : 3-4 D = = (-4) = = D = = -. -.(-4) = = D = =.3 -. = 3 - = - D D D D O ποτε, (, ) =, =, = (, ) Να λυθει το συστημα : + + z = (α) + - z = - (β) z = 3 (γ) Θα απαλοιψουμε τον αγνωστο z. Ετσι 3 + = (+) 3 + = 3. + = = - (α) + (β) = - (α) + (γ) 5 - = 7 8 = 8 = = = Απο την (α) προκυπτει : + (-) + z = - + z = z =. Aρα, (,, z) = (, -,) Να λυθει το συστημα : + + z + = = () z = - () = λ z + Θετουμε : = = = λ = 3λ - (3) Οποτε η () λογω της (3) γινεται : 3 4 z = 4λ - (λ - ) - 3(3λ - ) + 4λ - = - 4λ - - 9λ λ - = - λ =. =. - = Απ'την (3) : = 3. - = Aρα (,, z) = (,,3). z = 4. - z = 3

10 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Για ενα τριψηφιο αριθμο ισχουν : Αν εναλλαξουμε τη θεση του πρωτου και του δευτερου ψηφιου, προκυπτει νεος τριψη - φιος αριθμος κατα 9 μεγαλυτερος του αρχικου. Αν εναλλαξουμε τη θεση του δευτερου και του τριτου ψηφιου, προκυπτει νεος τριψηφι - ος αριθμος κατα 8 μεγαλυτερος του αρχικου. Το τριτο ψηφιο ειναι κατα μεγαλυτερο του αθροισματος των αλλων δυο. Να βρεθει ο τριψηφιος αριθμος. Θεωρουμε τον τριψηφιο αριθμο που εχει μορφη : z = + + z Ειναι, συμφωνα με τα δοσμενα + + z = + + z = = (α) + z + = + + z + 8 9z - 9 = z = (β) z = + + z = z = (γ) Θα απαλοιψουμε τον αγνωστο z. Ετσι - + = - + = = (β) - (γ) = = = Απο την (β) προκυπτει : - + z = z = 4 Aρα ο ζητουμενος τριψηφιος αριθμος ειναι ο 4. Στο πρωταθλημα Α'εθνικης κατηγοριας ποδοσφαιρου καθε ομαδα δινει 3 αγωνες. Για καθε νικη παιρνει 3 βαθμους, για καθε ισοπαλια βαθμο και για την ηττα δεν παιρ - νει βαθμους. Αν η πρωταθλητρια ομαδα συγκεντρωσε στο προηγουμενο πρωταθλημα 69 βαθμους και οι ισοπαλιες της ηταν διπλασιες απ'τις ηττες, να βρειτε ποσες νικες, ισοπαλιες και ηττες ειχε. Εστω νικες, ισοπαλιες και z ηττες ειχε η πρωταθλητρια. Τοτε, συμφωνα με τα δοσμενα ειναι : + + z = 3 + z + z = 3 + 3z = 3.(-3) -3-9z = z = z = z = z = 69 = z = z = z = z -3-9z = -9-7z = - z = 3 z = 3 = z = = 69 3 = 63 = z = 69 = z =.3 = 6 z = 3 = z Aρα η πρωταθλητρια ειχε νικες, 6 ισοπαλιες και 3 ηττες.

11 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθει το συστημα : + + z = z = z = To συστημα ειναι ομογενες, οποτε εχει τη προφανη λυση : (,, z) = (,, ) Θα εξετασουμε αν εχει και αλλες λυσεις. Ειναι + + z = (α) z = (β) z = (γ) 4 + z = z = - z = - z = - z = - (α) + (β) : z = = - = = = z = = - + = = Δηλαδη το αρχικο συστημα για z = -, γινεται : + - = - + = - = = - = - = = - + = - = το οποιο προφανως εχει απειρες λυσεις της μορφης : (,, z) = (κ, κ, -κ) (θεσαμε = κ) + + z = 7 () + = 3 (4) (Σ ) : + + z = 8 () και (Σ ) : + z = 5 (5) + + z = 9 (3) z + = 4 (6) Προσθετουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος (Σ ). Οποτε ( ) + () + (3) z = 4 4( + + z) = z = 6 (α) (α) () : + + z = 7 + ( + + z) = = 7 = (α) () : + + z = 8 + ( + + z) = = 8 = (α) (3) : + + z = 9 z + ( + + z) = 9 z + 6 = 9 z = 3 Aρα (,, z) = (, Προσθετουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος (Σ ). Οποτε,3). (4) + (5) + (6) + + z = ( + + z) = + + z = 6 (β) (4) (β) : ( + ) + z = z = 6 z = 3 (5) (β) : + ( + z) = = 6 = (6) (β) : ( + z) + = = 6 = Aρα (,, z) = (,,3).

12 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 αβ + = () = α β α + β 3 5 βγ 6 (Σ ) : + = () και (Σ ) : = β γ 6 β + γ 5 4 γα 3 + = (3) = γ α 3 γ + α 4 Θετουμε : =, = και = z (4) α β γ 3 + = (a) 5 Το (Σ ) γινεται : + z = (b) Προσθετουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος (Σ ). 6 4 z + = (c) z = + + ( + + z) = z = (I) (a) ( 3 (Ι) : ( + ) + z = + z = z = 4) = γ = γ 3 (b) (4) 5 (Ι) : + ( + z) = + = = = α = α (c) (4) 4 (Ι) : ( + z) + = + = = = β = β Aρα (α,β, γ) = (,,3). Αντιστρεφουμε τα κλασματα - μελη των εξισωσεων του συστηματος (Σ ) και προκυπτει το συστημα (Σ ). Να λυθει το συστημα : = () z = 6 () z = 6 (3) Πολλαπλασιαζουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος. Οποτε,..z =.6.6 (..z) = 36 z = ±6. Ειναι Για z = 6 (α) Για z = -6 (β) (α) z 6 (β) z -6 : = z = 6 : = z = -6 () () (α) z 6 (β) z -6 : = z = : = () 6 () z 6 = - (α) z 6 : = = (3) z 6 Aρα (,, z) = (,, 6) η (,, z) = (-, -, -6). (β) z -6 : = = - (3) z 6

13 AΛYTΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 - = - + = (Σ ) = (Σ ) = = = 4 Με τη μεθοδο : αντικαταστασης συγκρισης αντιθετων συντελεστων Λυσε ως προς τον ενα αγνωστο και αντικατεστησε τον στην αλλη εξισωση... Λυσε και τις δυο εξισωσεις ως προς τον ιδιο αγνωστο Πολλαπλασιασε καταλληλα τις δυο εξισωσεις και προσθεσε... Στο διπλανο σχημα φαινονται οι ευθειες ε και ε που τεμνονται στο σημειο Α(, ). Nα βρεθουν οι εξισωσεις των ευθειων ε και ε. Να βρεθουν οι συντεταγμενες του σημειου Α(, ) = (Σ ) = = = + + (Σ ) = = = (Σ ) = 3 - = 4 5 ε ε 3 - Προκειμενου να βρουμε το ση - μειο τομης δυο ευθειων, λυνου - με το συστημα των εξισωσεων τους. Αν D τοτε το (Σ) εχει τη μοναδικη λυση : D D (,) =,. D D Αν D = και : D η D τοτε το (Σ) αδυνατο. D = D = και... Να λυθουν και να διερευνηθουν τα συστηματα : + λ = (Σ ) = + = λ λ - = - (Σ ) = 4 + λ = λ - = λ (Σ ) = 3 - λ = λ 4 για τις διαφορες τιμες του λ. Αν D τοτε το (Σ) εχει τη μοναδικη λυση : D D (,) =,. D D Αν D = και : D η D τοτε το (Σ) αδυνατο...

14 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 Δινονται τα συστηματα : Αν D τοτε το (Σ) εχει τη - - = (Σ ) : και μοναδικη λυση : (-κ - ) + λ = - D D (κ + 4) + = κ - 3κλ (,) =,. (Σ ) : 3 5 D D (3κ + 8) - (κ + λ) = κ - λ Αν D = και : Δειξτε οτι αν το (Σ ) εχει απειρες λυσεις, τοτε D η D τοτε το το (Σ ) ειναι αδυνατο. (Σ) αδυνατο. Δινονται τα συστηματα : D = D = και... - = 3 + = 5 (Σ ) : και (Σ ) : 3 4 κ + λ = - -κ + (λ + ) = Δειξτε οτι αν το (Σ ) και το (Σ ) ειναι συγχρονως αδυνατα. Δινονται τα συστηματα : = - λ = 8 (Σ ) : και (Σ ) : λ = + 3 = 8 Δειξτε οτι αν το (Σ ) ειναι αδυνατο, τοτε το (Σ ) εχει απειρες λυσεις Σ'ενα συστημα (Σ ) δυο γραμμικων εξισωσεων με α - Αν D τοτε το (Σ) εχει τη γνωστους, ισχυει : μοναδικη λυση : D + D D + D = και - = 3 D D (,) =,. Aν το (Σ ) εχει μοναδικη λυση, τοτε να βρεθει η D D λυση του. Αν D = και : Σ'ενα συστημα (Σ ) δυο γραμμικων εξισωσεων με D η D τοτε το αγνωστους, ισχυει : (Σ) αδυνατο. D + D = D και D - D = 3D D = D = και... Aν το (Σ ) εχει μοναδικη λυση, τοτε να βρεθει η λυση του. Σ'ενα συστημα (Σ ) δυο γραμμικων εξισωσεων με αγνωστους, ισχυει : D + D + D = 4(D - D Nα βρεθει η λυση του. + D ) - Να δειξετε οτι: Να λυθουν τα συστηματα: -7 +7z = 4 + +z = (Σ) : +3-z =5 (Σ ) : + -z = z =7 - +3z =-6 + +z = + + z = 6 (Σ ) : + + 4z = 4 (Σ ) 3 : z = z = - - z = Απαλοιφουμε τον ιδιο αγνω - στο απ'τις τρεις εξισωσεις (μεθοδος αντιθετων συντελε - στων). Λυνουμε το συστημα Χ που προκυπτει. Αντικαθιστουμε τη λυση του πιο πανω συστηματος...

15 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 Το αθροισμα των ψηφιων ενος τριψηφιου αριθμου ειναι 6 και των ψηφιων των μοναδων ειναι λιζεται : z = + + z Ενας τριψηφιος αριθμος συμβο -. Αν αλλαξουμε τη θεση των ψηφιων των εκατονταδων και των δεκαδων του αριθμου, προκυπτει αριθμος κατά 8 μεγαλυτερος. Να βρεθει ο τριψηφιος αριθμος. Δυο θετικοι ακεραιοι εχουν αθροισμα 87. Αν προσθεσουμε το σε καθε εναν απ αυτους, ο ενας γινεται διπλασιος του αλλου. Βρειτε τους αριθμους. Μια ομαδα μαθητων εγραψε, σ ενα μαθημα, διαγωνισμα που εχει ερωτησεις. Για καθε σω- Θεωρουμε,,... τους αγνω - στους του προβληματος. στη απαντηση ο μαθητης επαιρνε 5 μοναδες ε- Σχηματιζουμε τις καταλληλες νω για καθε λαθος απαντηση εχανε 3 μοναδες. Ενας μαθητης εγραψε 5 μοναδες σ αυτο το διαγωνισμα. Βρειτε ποσες απαντησεις του ηταν σω- απ'τα δοσμενα. εξισωσεις που προκυπτουν στες και ποσες λαθος. Λυνουμε το συστημα των πιο Οι μαθητες Α και Β ρωτουν τον καθηγητη στο πανω εξισωσεων, που... τελος του ου τετραμηνου ποσες απουσιες εχουν και εκεινος απαντα: Ο λογος των απουσιων του Α προς τις απουσιες του Β ειναι 4/7 ενω χωρις τις τελευταιες 9 απουσιες ειναι ισος με /. Βρειτε τις απουσιες των Α, Β. Ποσες πρεπει να δικαιολογησουν αν το οριο ειναι 5. Να λυθει το συστημα : z = z = z = κ + λ + μ = 7 () + = 5 (5) λ + μ + ν = 9 () (Σ ) : και (Σ ) : + z = 8 (6) μ + ν + κ = 8 (3) z + = 5 (7) ν + κ + λ = 7 (4) To ομογενες συστημα εχει προ - φανη λυση : (,,z) = (,,) Οποτε εξεταζουμε, κατα τα γνω - στα, αν εχει και αλλες λυσεις. Προσθετουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος Συνδιαζουμε την εξισωση που προεκυψε με καθεμια απ'τις αρ - χικες εξισωσεις του συστηματος. 5 αβγ 6 + = () = α β 6 αγ + βγ 5 7 αβγ (Σ ) : + = () και (Σ ) : = β γ αβ + αγ 7 3 αβγ 4 + = (3) = γ α 4 βγ + αβ 3 Θετουμε : =,... α Προσθετουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος... Συνδιαζουμε την εξισωση που προεκυψε με καθεμια...

16 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 αβγ = αβ = βγδ = (Σ ) : βγ = και (Σ ) : γδα = 8 γα = 8 δαβ = 4 Πολλαπλασιαζουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος. Βρισκουμε τη τιμη του γινομε - νου που προκυπτει. Διαιρουμε την εξισωση που προεκυψε με... z = = (Σ ) : z = z - = = (Σ ) : z = 5 (Σ ) : (Σ ) : + = 3 + = 3 (Σ ) : (Σ ) : 3 4 = - = ( - ) + = 3( - ) + = + = + = 5 Θετουμε τους ισους λογους λ. Βρισκουμε,,z σε συναρτη - ση με το λ. Αντικαθιστουμε τα,,z στην δευτερη εξισωση και βρισκουμε το λ. Πολλαπλασιαστε με καταλληλη παρασταση, αριθμητη και παρονομαστη, ωστε να προκυψει οπαρονομαστης ρητος. Κανετε χρηση δυναμεων και ταυτοτητων.

17 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 7 M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η Σ υ σ τ η μ α τ ο ς ο υ β α θ μ ο υ ) = -6 Να λυθει το συστημα : + = ο Βημα : Λυνουμε την πρωτοβαθμια εξισωση ως προς τον ενα αγνωστο και κανουμε αν - τικατασταση στη δευτεροβαθμια (προτιμουμε τον αγνωστο με τη μικροτερη "συμμετοχη" στη δευτεροβαθμια εξισωση). + = = - Oποτε ( - ) = (4-4 + ) = = = = η =. ο Βημα : Για την καθε τιμη του αγνωστου, που βρηκαμε παραπανω, με αντικατασταση εχουμε την αντιστοιχη τιμη του αλλου αγνωστου. Για = τοτε = - =, οποτε η μια λυση του συστηματος ειναι : (, ) = (,). Για = τοτε = - =, οποτε η αλλη λυση του συστηματος ειναι : (, ) = (, ). (και οι δυο λυσεις ειναι δεκτες, γιατι επαληθευουν το συστημα). + = α Αν το συστημα ειναι της μορφης :,. = β εξυπηρετει η ταυτοτητα : + = ( + ) -.

18 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 ( - 3) + = 3 + = 3 (Σ ) : (Σ ) : + = 5 = 6 Ειναι ( - 3) + = 3 ( - 3) + (5 - ) = (5 - + ) = 3 + = 5 = 5 - = = (, ) =, = = 5 - = 4 η = 5 - (, ) = (4,) Eιναι + = 3 ( + ) - = 3 ( + ) - = 3 + = ±5 = 6 = 6 = 6 = 6 + = 5 = 6, ριζες της z - 5z + 6 = (, ) = (, 3) η (, ) = (3, ) + = -5, ριζες της z + 5z + 6 = (, ) = (-, -3) η (, ) = (-3, -) = 6 Να λυθει το συστημα : + = 3 (Σ) : + + = Eιναι +=κ + = 3 ( + ) - = 3 κ - λ = = ( + ) + = =λ κ + λ = λ = - κ λ = - κ κ - ( - κ) = 3 κ - + κ - 3 = λ = - κ κ + κ - 35 = Δ = 4-4..(35) = 44 κ = -7 κ = -7 κ = -7 - ± λ = - (-7) λ = 8 κ = = - ± 6 κ = 5 κ = 5 κ = 5 λ = - κ λ = - κ λ = - 5 λ = 6 + = -7 = 8, ειναι ριζες της εξισωσης : z + 7z + 8 = + = 5, ειναι ριζες της εξισωσης : z - 5z + 6 = = 6 Δ = 49-7 = -3 <, αρα αδυνατη (, ) = (,3) η (, ) = (3,)

19 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Να βρεθει το πληθος των ριζων του συστηματος : + = 3 (Σ ) : λ + = 4 για τις διαφορες τιμες του πραγματικου αριθμου λ. Δινεται ο κυκλος + = κ και η ευθεια κ =. Να βρειτε τον πραγματικο αριθμο κ, ωστε ο κυκλος και η ευθεια να εχουν ενα μονο κοινο σημειο. Eιναι λ + = 4 = 4 - λ = 4 - λ + = λ = 3 - λ + = Η εξισωση - λ + = προσδιοριζει το π Δ = (-λ) = λ - 4 Αν Δ > λ - 4 > λ > λ > λ < - η λ >, τοτε η εξισωση εχει δυο ριζες, οποτε και το (Σ ) εχει δυο λυσεις. Αν Δ = το (Σ ) εχει μια λυση. ληθος των λυσεων του συστηματος. Οποτε λ - 4 = λ = 4 λ = ±, τοτε η εξισωση εχει μια διπλη ριζα, οποτε και Αν Δ < λ - 4 < λ < λ < - < λ <, τοτε η εξισωση δεν εχει πραγ - ματικες ριζες, οποτε και το (Σ ) δεν εχει λυσεις. Eιναι + = κ (3 - κ) + = κ 9-6κ + κ + = κ κ = = 3 - κ = 3 - κ - 6κ + κ - κ = = 3 - κ Για να εχουν ενα κοινο σημειο ο κυκλος και η ευθεια, πρεπει η εξισωση : - 6κ + κ - κ = να εχει μια διπλη ριζα. Οποτε Δ = (-6κ) - 4..(κ - κ) = 36κ - 4κ + 8κ = - 4κ + 8κ = -4κ(κ - ) = κ = κ =

20 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Σ ) : (Σ ) : + = 3 + = 3 (Σ ) : (Σ ) : 3 4 = - = ( - ) + = 3( - ) + = + = + = 5 Λυνουμε τη πρωτοβαθμια ως προς τον ενα αγνωστο και κα - νουμε αντικατασταση... Ειναι : + = ( + ) = (Σ ) : + + = = 9 (Σ ) : + = 3 - = 5 (Σ ) : 3 + = 5 Να βρεθει το πληθος των ριζων του συστηματος : - = (Σ ) : λ + = λ για τις διαφορες τιμες του πραγματικου αριθμου λ. Να βρειτε τον πραγματικο αριθμο κ, ωστε το συ - = στημα : (Σ ) : + = κ να μην εχει λυση. Ειναι : + = ( + ) = ( + )( - + )... + = ( + ) -... Για το τριωνυμο : Δ > : ριζες ανισες Δ > : ριζα Δ < : καμμια ριζα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; EΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: α+β=0 () Λυση η ριζα. της Aν εξισωσης α, β θετικοι λεγεται, να συγκρινεται κάθε τιμη τους του πραγματικου

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Άσκηση 3. Να λυθεί η εξίσωση: 2(x 1) x 2. 4 x (1). Λύση. Έχουμε, για κάθε x D : x 5 12x. 2x 1 6 (1) x 4. . Συνεπώς: D.

Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Άσκηση 3. Να λυθεί η εξίσωση: 2(x 1) x 2. 4 x (1). Λύση. Έχουμε, για κάθε x D : x 5 12x. 2x 1 6 (1) x 4. . Συνεπώς: D. Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 77 τ/8 Αλγεβρα Α Λυκείου ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αντώνης Κυριακόπουλος - Θανάσης Μαλαφέκας Επιμέλεια: Χρήστος Λαζαρίδης, Χρήστος Τσιφάκης Στα επόμενα, με D θα συμβολίζουμε το σύνολο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση συστήματος εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε αρχαία κινέζικη συλλογή προβλημάτων και αργότερα στο έργο «Αριθμητικά» του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου όπου για πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x-1 x+3. ή D 0 τότε x= =1 και y= 2. 2x 3y ή D=D D 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο ή

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x-1 x+3. ή D 0 τότε x= =1 και y= 2. 2x 3y ή D=D D 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο ή ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να λύσετε την εξίσωση: 3 4-1 +3 0 Λύση: 3 4-1 +3 0 3 3 4 1 0 4 5 0 1 ή =5.Να λυθεί το σύστημα : 3 1 5 Λύση: Βρίσκουμε τις ορίζουσες 3-1 3 11 6 1 7 1 1-1 1 51 5 7 5 3 1 35 11 15 1 14

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση με και 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί λέγονται συντελεστές των αγνώστων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β.

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β. Γραμμικές Εξισώσεις. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = + β διέρχεται από το σημείο Α(, ). Να βρείτε τον αριθμό. ίνεται η ευθεία = + (α ). Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1) Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ+βψ=γ, όπου α,β,γr. α) Λύση της γραμμικής αυτής εξίσωσης λέγεται κάθε ζεύγος (χ,ψ)=(χ 0,ψ 0 ) που την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος 1 Παραδείγματα (επανάληψη) Συντελεστής του αγνώστου x. Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος Ε ξ ι σ ώ σ εις 1 ο υ β α θ μ ο ύ 2x + 2 = x - 1 Άγνωστος x Γνωστός Eπίλυση 1 ος τρόπος Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ . ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις πρώτου βαθμού

Εξισώσεις πρώτου βαθμού Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β. Ενότητα 1 Εξισώσεις Ανισώσεις α βαθμού Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, με βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β. Να επιλύουμε την ανίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 16950 16954

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = -

Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο (ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Παράγραφος 1.1 (ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ) Πότε μια εξίσωση λέγεται γραμμική; Η εξίσωση α + βy = γ Κάθε εξίσωση της μοεφής α + βy = γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση, παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

α έχει μοναδική λύση την x α

α έχει μοναδική λύση την x α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : 2 4y. x x 1. στ) 1 3y. = 0, είναι κάθετη στην ευθεία ε 2 : y =

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : 2 4y. x x 1. στ) 1 3y. = 0, είναι κάθετη στην ευθεία ε 2 : y = ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΛΥΣΗ - ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : α) 5 +

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( )( ) ( ). Να διερευνήσετε τις εξισώσεις i) ( ) ( 6) b, b 0. b. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα α και b ώστ

0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( )( ) ( ). Να διερευνήσετε τις εξισώσεις i) ( ) ( 6) b, b 0. b. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα α και b ώστ ΜΑΘΗΜΑ: Άλγεβρα ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ: Εξισώσεις και Ανισώσεις Πρώτου Βαθμού Απόλυτη Τιμή - Ρίζες Α. Εξισώσεις Πρώτου Βαθμού. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 9(8 ) 0(9 ) ( ) 8 7y y i ( ) 0( ) 0 ( 0) iv) y. Να

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της εξίσωσης:

Η Έννοια της εξίσωσης: Η Έννοια της εξίσωσης: Θεωρία και λυμένα παραδείγματα Εξίσωση με έναν άγνωστο λέμε μια ισότητα η οποία περιέχει αριθμούς και έναν άγνωστο γράμμα ( μεταβλητή). Εξισώσεις είναι οι: χ+=8, χ-21=4,χ+1, 8χ=26.

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα

Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα κεφάλαιο 1 70 ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Συστήματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα κεφάλαιο 1 70 ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 / Συστήματα Κώστας Γλυκός Άλγεβρα κεφάλαιο 1 70 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllkos..gr 0 / 7 / 0 1 8 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα