Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+ } φυσικοί Ζ{-,.,-4,-,-,-1,0,1,,,4,..+ } ακέραιοι Q{Errr!/μ ε Ζ, ν ε Ζ με ν 0} Είναι όλοι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν με την μορφή κλάσματος και ονομάζονται ρητοί. Άρρητοι αυτοί που δεν είναι ρητοί. R{Ρητοί+ Άρρητοι} και ονομάζονται πραγματικοί.. Τι είναι απόλυτη τιμή αριθμού; Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με - + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.χ α. Τι κάνουμε για να προσθέσουμε δυο ρητούς αριθμούς; Aπάντηση Αν είναι ομόσημοι : Προσθέτω τις απόλυτες τιμές και βάζω το κοινό τους πρόσημο (+4)+(+6) +10 (-4)+(-6) -10 Αν είναι ετερόσημοι: Αφαιρώ τις απόλυτες τιμές και βάζω το πρόσημο του αριθμού με την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. (-4)+(+6)+ (+4)+(-6)- 4. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης ρητών αριθμών; Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 4

2 Aπάντηση α α α (ουδέτερο στοιχείο) α + β β + α (αντιμεταθετική) α + ( β + γ ) ( α + β) + γ (προσεταιριστική) α+(-α) (-α)+(α)0 (αντίθετος-αντίστροφος) 5. Τι γνωρίζεις για τον πολλαπλασιασμό ρητών αριθμών ; Πολλαπλασιάζω τις απόλυτες τιμές και Αν είναι ομόσημοι βάζω το πρόσημο + (+4)(+6) +4 (-4)(-6 ) +4 Αν είναι ετερόσημοι βάζω το πρόσημο - (-4)(+6) -4 (+4)(-6) Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού ρητών αριθμών α 1 1 α α ( ουδέτερο στοιχείο) α 0 0 α 0 α β β α (αντιμεταθετική). α ( β γ ) (α β ) γ (προσεταιριστική). α ( β +γ ) α β + α γ (επιμεριστική ως προς την πρόσθεση ). α ( β -γ ) α β - α γ (επιμεριστική ως προς την αφαίρεση ). 7. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι: ΟΡΙΣΜΟΣ Δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι όταν έχουν γινόμενο ίσο με1. π.χ α και Errr!Errr! γιατί (α Errr!1). π.χ και 1 γιατί ( 1 1) Είναι φανερό ότι οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι. Το μηδέν δεν έχει αντίστροφο. 8. Πως υπολογίζουμε το γινόμενο πολλών παραγόντων; Πολλαπλασιάζω τις απόλυτες τιμές και i) αν το πλήθος των αρνητικών είναι άρτιο βάζω + π.χ (-) (+4) (-) (+5)+80 ii) αν το πλήθος των αρνητικών είναι περιττό βάζω π.χ (-) (-4) (-) (+5) Γιατί δεν χρειάζεται να αναφέρουμε κανόνες για την αφαίρεση και την διαίρεση; Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 5

3 Γιατί α-βα+(-β) π.χ 5-5+(-) και α α:β α. Errr! π.χ 5:5 Γιατί η αφαίρεση είναι η αντίθετη πράξη της πρόσθεσης και η διαίρεση η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. Β. Δυνάμεις πραγματικών αριθμών 1. Τι ορίζεται ως δύναμη ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό αριθμό; Το γινόμενο α α α α. α α ν α: βάση ν: εκθέτης ν παράγοντες Για ν0 α 0 1. Για ν1 α 1 α. α : λέγεται άλφα στο τετράγωνο. α : λέγεται άλφα στο κύβο.. Με ποιο τρόπο γίνεται ο υπολογισμός του πρόσημου μιας δύναμης; Πολλαπλασιάζω τις απόλυτες τιμές και (1) αν το πλήθος των αρνητικών είναι άρτιο βάζω + Π.χ (-) 4 (-) (-) (-) (-) +16 () αν το πλήθος των αρνητικών είναι περιττό βάζω Π.χ (-) (-) (-) (-) -8. Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων; α μ α ν α μ+ν α μ : α ν α μ-ν 5 : 5- α ν β ν (α β ) ν 5 5 ( ) α ν : β ν (α :β ) ν 6 : (6:) (α μ ) ν α μ ν ( ) 6 α -ν Γ. Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού 1. Τι είναι τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού; Τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού x, λέγεται ένας θετικός αριθμός x ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό x. Συμβολίζεται x x Aν x>0 ( x ) x 1 Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 6

4 . Ποιες είναι οι ιδιότητες των ριζών και πως αποδεικνύονται; a a Για να τις αποδείξουμε υπολογίζουμε το τετράγωνο του κάθε μέλους χωριστά Προσοχή! a +. Ποιες ρίζες πρέπει να γνωρίζετε; 0 0, 81 9, 15, 1 1, 4, , , 11 11, 16 4, 144 1, 5 5, 6 6, 169 1, 49 7, , 64 8, 4. Με ποια σειρά εκτελώ τις πράξεις; Δυνάμεις. Πολλαπλασιασμοί διαιρέσεις. Προσθέσεις αφαιρέσεις. ΕΚΤΟΣ Αν υπάρχουν παρενθέσεις οπότε εκτελούμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την παραπάνω σειρά Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Α. Αλγεβρικές παρατάσεις μονώνυμα 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση ; Αριθμητική παράστασηείναι μία έκφραση που περιέχει μόνο αριθμούς. Παράδειγμα 5+4 4²+6-. Τι είναι αλγεβρική παράσταση ; Τι είναι αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης; Αλγεβρική παράσταση είναι μία έκφραση που περιέχει μεταβλητές. Παράδειγμα χ+4ψχ² (1) 4κφ²+6γ-μ () Αριθμητική τιμή είναι ο αριθμός που προκύπτει εάν αντικαταστήσουμε με αριθμούς τις μεταβλητές της αλγεβρικής παράστασης. για χ και ψ-1 η αλγεβρική παράσταση (1) γίνεται ()+4(-1)()²()+4(-1)44+(-16)-1 Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 7

5 . Ποια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια; Μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια, όταν μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα ψ+8χ² 4. Τι είναι μονώνυμο; Από ποια μέρη αποτελείται; Μονώνυμα είναι αλγεβρικές παραστάσεις που σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού π.χ Μονώνυμο : -Errr! α²β³ Συντελεστής Κύριο μέρος 5. Τι είναι βαθμός μονώνυμου; Ο εκθέτης μιας μεταβλητής λέγεται βαθμός του μονωνύμου ως προς τη μεταβλητή αυτή, ενώ ο βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του είναι το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του. Το μονώνυμο χ ψ είναι: ου βαθμού ως προς χ 1 ου βαθμού ως προς ψ 4 ου βαθμού ως προς χ και ψ 6. Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια; Όμοια μονώνυμα είναι όσα έχουν το ίδιο κύριο μέρος χ²ψ, -10χ²ψ, Errr!χ²ψ 7. Ποια μονώνυμα λέγονται ίσα ; Ισα μονώνυμα είναι όσα έχουν το ίδιο κύριο μέρος και ίδιο συντελεστή χ²ψ, χ²ψ, 8. Ποια μονώνυμα λέγονται αντίθετα ; Αντίθετα μονώνυμα είναι όσα έχουν το ίδιο κύριο μέρος και αντίθετο συντελεστή χ²ψ, -χ²ψ, 9. Ποια μονώνυμα λέγονται σταθερά και ποιο μηδενικό; Σταθερα μονώνυμα είναι όλοι οι αριθμοί και είναι μηδενικού βαθμού. Π.χ -5, +4, 100 Μηδενικό μονώνυμο είναι ο αριθμός 0 και δεν έχει βαθμό. Β. Πράξεις με μονώνυμα 1. Πως προσθέτω όμοια μονώνυμα; Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 8

6 Άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι μονώνυμο με το ίδιο κύριο μέρος ενώ έχει συντελεστή ίσο με το άθροισμα των συντελεστών των επιμέρους μονωνύμων. χ y 5-5x y 5 +x y 5 (-5+1)x y 5 -x y 5. Πως πολλαπλασιάζω μονώνυμα; Γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο που έχει συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών των επιμέρους μονώνυμων και κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές με εκθέτη η καθεμία το άθροισμα των εκθετών των αντίστοιχων μονώνυμων. (χ y 5 ) (-x y 4 ω ) -4x 5 y 9 ω. Πως διαιρώ μονώνυμα; Η διαίρεση μονωνύμων όπως και η διαίρεση αριθμών, γίνεται αν πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη y χ y 4 ω 5x y 5 y (10χ 5 y 6 ω ) : (5χ y ω ) (10χ 5 y 6 ω ) 1.Πολυώνυμα Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων Α. Αλγεβρικές παρατάσεις μονώνυμα 1. Τι είναι πολυώνυμα; Τι είναι όροι του πολυωνύμου; Πολυώνυμο είναι άθροισμα μονώνυμων που δεν είναι όμοια. π.χ χy+ x y +5x ω 6-6χ 5 ω Όροι του πολυωνύμου είναι καθένα από τα μονώνυμα από τα οποία αποτελείται.. Τι είναι βαθμός πολυωνύμου; Βαθμός πολυωνύμου ως προς μια ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του π.χ το πολυώνυμο Βχ y+xy -x 4 y +x είναι 4 ου βαθμού ως προς χ είναι ου βαθμού ως προς y είναι 6 ου βαθμού ως προς χ και y.. Πότε δυο πολυώνυμα είναι ίσα ; Όταν έχουν όρους ίσα μονώνυμα. 4. Ποια εργασία λέγεται αναγωγή ομοίων όρων; Αναγωγή ομοίων όρων είναι η εργασία κατά την οποία σε ένα πολυώνυμο αντικαθιστούμε τους όμοιους όρους με το άθροισμά τους. 5χ²ψ+αβ-7χ²ψ+4αβ Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 9

7 5χ²ψ-7χ²ψ+αβ+4αβ -χ²ψ+6αβ 5. Πως προσθέτω και αφαιρώ πολυώνυμα; Μπορώ να προσθέσω και να αφαιρέσω πολυώνυμα χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Αν Α(x)5x² +x -7 και Αν Β(x)x² +4x + τότε Αν Α(x)+ Β(x) (5x² +x -7)+( x² +4x +) 5x² +x -7+x² +4x +6x² +6x - 5 Αν Α(x)-Β(x) (5x² +x -7)-( x² +4x +) 5x² +x -7-x² -4x -4x² Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων 1. Πως πολλαπλασιάζω μονώνυμο με πολυώνυμο; Πολλαπλασιάζω το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν 5x²( x -7x+1)15x 4-5x -5x. Πως πολλαπλασιάζω πολυώνυμο με πολυώνυμο; Πολλαπλασιάζω κάθε όρο του ενός πολυωνύμου κάθε όρο του άλλου πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν (5x²+)( x -7x+1)15x 4-5x -5x+6x -14x+15x 4-5x +6x -19x+ Ανάπτυγμα γινομένου Παρατήρηση : προτιμώ να γραφώ τα αποτελέσματα σε φθίνουσες δυνάμεις του x. 1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 10

8 1. Ποια σχέση λέγεται ταυτότητα; Ταυτότητα λέγεται η ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει γι όλες τις τιμές της.. Ποιες ταυτότητες γνωρίζεις και πως αυτές αποδεικνύονται; (α+β)²α²+αβ+β² (α-β)²α²-αβ+β² (α+β)(α-β)α²-β² (α+β)³α³+ α²β + αβ²+β³ (α-β)³α³- α²β + αβ²-β³ α +β (α+β) (α -αβ+β ) α -β (α-β) (α +αβ+β ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ (α+β)²(α+β) (α+β)α +αβ+βα+β α²+αβ+β² (α-β)² (α-β) (α-β)α -αβ-βα+β α²-αβ+β² (α+β)(α-β) α -αβ+βα-β α²-β² (α+β)³ (α+β) (α+β) (α²+αβ+β²)(α+β) α + α²β+ α²β+ αβ²+ αβ²+β α³+ α²β + αβ²+β³ (α-β)³ (α-β) (α-β) (α²-αβ+β²)(α-β) α - α²β+-α²β+ αβ²+ αβ²-β α³- α²β + αβ²-β³ (α+β) (α -αβ+β ) α -α β+αβ +βα -αβ +β α +β (α-β) (α +αβ+β ) α +α β+αβ -βα -αβ -β α -β 1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 11

9 1. Τι είναι παραγοντοποίηση ; Με ποιους τρόπους κάνω παραγοντοποίηση; Παραγοντοποίηση είναι η διαδικασία με την οποία δημιουργώ γινόμενα 1. αβ+αγ α(β+γ) κοινός παράγοντας. αx+αψ+βx+βψ α(x+ψ)+β(x+ψ)(x+ψ)(α+β) ομαδοποίηση. α²+αβ+β²(α+β)² α²-αβ+β²(α-β)² ανάπτυγμα τετραγώνων 4. α²-β²(α+β)(α-β) διαφορά τετραγώνων 5. x²+(α+β)x+αβ(x+α)(x+β) τριώνυμο 1.7 Διαίρεση πολυωνύμων 1. Ποια διαίρεση λέγεται Ευκλείδεια. Αν Δ: Διαιρετέος δ:διαιρέτης π: πηλίκο,υ :υπόλοιπο τότε η σχέση Δ δ π +υ με 0 υ<δ λέγεται Ευκλείδεια διαίρεση. Ισχύει κάτι αντίστοιχο και με τα πολυώνυμα; Φυσικά: Αν Δ(x): Διαιρετέος δ (x):διαιρέτης π(x): πηλίκο,υ (x) :υπόλοιπο τότε ισχύει: Δ(x) δ(x) π(x) +υ (x) με 0 υ(x) <δ(x) λέγεται Ευκλείδεια διαίρεση. Στην περίπτωση που υ(x)0 τότε το δ(x) παράγοντας του Δ(x) 1.8 Ε.Κ.Π και Μ.Κ.Δ ακέραιων αλγεβρικών παραστάσεων Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 1

10 1. Τι είναι Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων; Είναι το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων στην μεγαλύτερη δύναμη. Π.χ το Ε.Κ.Π των χ (χ+y) και χy (x+y) είναι το 6χ y (x+y). Τι είναι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων; Είναι το γινόμεν μόνο των κοινών παραγόντων στην μικρότερη δύναμη. Π.χ M.K.Δ των χ (χ+y) και χy (x+y) είναι το χ(x+y) 1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις 1. Τι είναι κλασματική αλγεβρική παράσταση; Κλασματική αλγεβρική παράσταση είναι μια αλγεβρική παράσταση που έχει μεταβλητή στον παρονομαστή.πχ Errr!. Τι κάνουμε για να απλοποιήσουμε μια κλασματική αλγεβρική παράσταση; Παραγοντοποιούμε και τους δυο όρους της Διαγράφουμε τους κοινούς παράγοντες των όρων της x x x( x 1) x Π.χ x 1 ( x 1)( x 1) x Πράξεις ρητών παραστάσεων Α.ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 1. Ποιους κανόνες πρέπει να θυμάμαι για να κάνω πολλαπλασιασμό και διαίρεση στις ρητές παραστάσεις; α x ( x )x ( x )x π.χ (χ-) x 8 ( x 4) ( x )( x ) x 1 x π.χ x x 4 ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 1)( x )( x ) x ( x )( x x) ( x ) x( x 1) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 1

11 ( x 1)( x ) x 4 x x1 x x 1 π.χ : x y : : y 4x ( x 1) x ( x 1) x y y 4x ( x 1)( x 1) x ( x 1) x y y ( x 1) x x y Β.Πρόσθεση αφαίρεση ρητών παραστάσεων. Ποιους κανόνες πρέπει να θυμάμαι για να κάνω πρόσθεση και αφαίρεση στις ρητές παραστάσεις; Για να προσθέσουμε ομώνυμα κλάσματα + - 5x x 7 5x x 7 7x 7 7( x 1) 7 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Για να προσθέσουμε ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα. x x x x 6 x ( x ) x ( x ) x 6 x 6 ( x ) - 1 ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) x Μαθηματικά Γ Γυμνασίου 14