Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει για μια συγκεκριμένη τιμή του x, ονομάζεται εξίσωση με άγνωστο τον αριθμό x. Π.χ η ισότητα x+ x- αληθεύει για x-5.πράγματι για x-5 έχουμε (-5)+-5- ή - - Η παράσταση x+ λέγεται πρώτο μέλος της εξίσωσης,ενώ η παράσταση x- δεύτερο μέλος της εξίσωσης. Σε μία εξίσωση μπορούμε να "μεταφέρουμε" όρους από το ένα μέλος στο άλλο, αλλάζοντας τους το πρόσημο. Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0xα,τότε λέμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x0,τότε λέμε ότι η εξίσωση είναι αόριστη. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Στις παρακάτω ισότητες να συμπληρώσετε τον αριθμό που λείπει: α) β ) γ) δ) ε) στ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ 5x x 5 5 x 5-5 x 5 x 0 x x 7-0 x x 0 - x - 5 x x x 5 x + 7 x 5 - x -9 x 7 - x οπότε α) β ) γ) δ) - (-)... 5 ε) + (-9)... 5 στ)

2 0 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ). ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ α) Η εξίσωση x έχει λύση τον αριθμό. β) Η εξίσωση 5x+xx είναι ταυτότητα. γ) Οι εξισώσεις x + 5 και -x+5 έχουν λύση τον ίδιο αριθμό. δ) Η εξίσωση x0 είναι ταυτότητα. ε) Η εξίσωση 0 x0 είναι αδύνατη. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) x α) Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. (Σ) x β) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και προκύπτει εξίσωση με λύση το β) 5x + x x x0.(λ) 5x + x - x 0 γ) Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και η λύση 5x 0 ή x 0 της πρώτης είναι και γ) x + 5 x 5 - της δεύτερης αν διαιρέσουμε με τον συντελεστή του αγνώστου επί- - - x + 5 -x - 5 -x - x - σης. (Σ) δ) x 0 ή x 0 δ) (Λ) ε) (Λ) ε) 0x 0 ( ταυτότητα). Να αντιστοιχίσετε κάθε παράσταση της στήλης Α με την ίση της παράσταση που βρίσκεται στη στήλη Β. ΑΠΑΝΤΗΣΗ x x - α iii x -9-9 x - β iv x - - x γ i ΣΤΗΛΗ Α α) -x i) -8 β) x-9 ii) ΣΤΗΛΗ Β iii) - γ) x δ) x+x iv) - x + x x x δ x ii

3 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ Να εξετάσετε αν ο αριθμός που δίνεται είναι η λύση της εξίσωσης: α) -x+ x-7 β) x+57,5 x0,5 γ) -x+7x- x ξ + ξ - α) ξ 8 8 ξ -9 - x + 5 7,5 x 7,5-5 β) x,5,5 x 0,8 γ) - x + 7x - - x - 7x -0x -0-0 x α) κάνουμε τις πράξεις Επομένως ο αριθμός που μας δώσανε δεν είναι λύση της εξίσωσης γιατί β) Όπως και στο προηγούμενο ερώτημα καταλήγουμε σε λύση διαφορετική από τη δοθείσα 0,8 0,5 γ) Στην περίπτωση αυτή ενεργώντας όπως και στα προηγούμενα ερωτήματα καταλήγουμε σε λύση που συμφωνεί με την δοθείσα. ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x++x-5 β) y+y-y γ) t-(t+) t+(t+)+

4 α) β) γ) x + + x - 5 x - x x y + y - y 7y + y + y + 9 0y 0 y t t t + - t ( ) t + ( t + ) t - t - t + t + + t - t - t - t ΜΕΡΟΣ Α -.- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ α) κάνουμε αναγωγή ομοίων. β) κάνουμε αναγωγή ομοίων. γ) Κάνουμε πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων. ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (x+)-(x-)(x+), β) (y+) + (y-) y-(y-) γ) (ω+)+ -(ω-) ( x + ) - ( x -) ( x + ) 8x + - x + x + α ) 8x - x - x x - - x - y + + y - y - y - y + + y - 8 y - y + β) y + y - y + y y y ( ) ( ) ( ) α) Κάνουμε πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων. β) Ομοίως

5 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ γ) ( ω + ) + - ( ω - ) ω ω + 8 ω 8ω - ω + ω ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις: x + x - 5 α) 7x - 5x + β ) ( x -)- - x γ) x + x +. α) ( x + ) β) x + x - 5 x - x -5 - x - x - 5 x - 5. x - 5 7x - 5x + 7x - 5x +.. ( 7x - ) ( 5x + ) 8 x - 8x -5x + x 0 x 0 5x + γ) Κάνουμε πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων. α) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών Κάνουμε πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων. β) Ομοίως

6 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ γ). ( x -) ( x -) [ ( x ) ] ( ). γ) x x x x x + x + + 7x 9 x 9 7. x x x ΑΣΚΗΣΗ 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: x + x x α) 5 5 y - y + 7 y β) y + ω γ) ( ω + ) 7 ( ω) + 7 x x x 5 5 x + x x α) 5 5 ( x + ) 5( x ) x 0 x + 5x + 0 x 0 x 5x + x 0 0 x γ) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών που είναι το. πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο της εξίσωσης με το. Απλοποιούμε τους παρονομαστές, σημειώνοντας τους πολλαπλασιασμούς χρησιμοποιώντας παρενθέσεις όπου απαιτούνται. Κάνουμε πράξεις χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα. κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων. + α) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών που είναι το 5. πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο της εξίσωσης με το 5. Απλοποιούμε τους παρονομαστές, σημειώνοντας τους πολλαπλασιασμούς χρησιμοποιώντας παρενθέσεις όπου απαιτούνται. Κάνουμε πράξεις χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα. κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων.

7 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 5 y - y + 7 y y + y - y + 7 y...y +. β) ( y ) ( y + 7) y + ( y) γ) 8. 7 y y 7 y + 9y y y y + 9y y ή y ( ω + ) 7 ( ω) ( ω + ) ( ω) ( ω + ) 9 ( ω) + 7( ω ) 7ω ω + 7ω 7ω + ω 7ω ω ή ω ω ω 8. ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις: x x α) x - 5 t + + t t + 5 β) 5 - t β) (Προσέχουμε να βάλουμε σε παρένθεση τον αριθμητή γιατί έχει δύο όρους ) Εδώ χρειάζεται να βάλουμε σε παρένθεση τον όρο y+7 γιατί ο συντελεστής μετά την απλοποίηση είναι μονάδα Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα) Χωρίζουμε γνωστούς από α- γνώστους κάνουμε αναγωγή όμοιων ό- ρων. Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. γ) Ομοίως

8 x x x - 5 x x x x x.x α) 9x x x + 9x x + x x 9 x 9 8 β) t + + t t t t + + t t t + t + + t t t t + t + 5 t 8 8 t 8 ΑΣΚΗΣΗ 7 ( t + ) + ( + t) 0 t + + t 7 t + t + 5 t + t + t t Να λύσετε τις εξισώσεις: ΜΕΡΟΣ Α -.- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ α) Διώχνουμε πρώτα τις παρενθέσεις Κάνουμε τις πράξεις Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου β) Διώχνουμε πρώτα τις παρενθέσεις Προσέχουμε στην απαλοιφή να βάλουμε παρενθέσεις όταν έχουμε α- ριθμητές με δύο όρους. Κάνουμε τις πράξεις Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου + x α) +, β) t - + t

9 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 7 + x + + x 5 α) ( + x) x 0 ( ) + x 0 x 0 x 0. ( + x) 0 x t t - β) + t - t ( t ) ( t) ( t ) ( t) ( t ) 0( t) t 0 0t t 7 t + 0t 0 + t α) Κάνουμε τις απαιτούμενες πράξεις για να μετατρέψουμε το σύνθετο κλάσμα σε απλό. Προσέχουμε στην απαλοιφή να βάλουμε παρενθέσεις όταν έχουμε αριθμητές με δύο όρους. Κάνουμε τις πράξεις Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου β) Κάνουμε πράξεις στους αριθμητές και στους παρονομαστές των κλασμάτων(πρόσθεση κλασμάτων) Κάνουμε τα σύνθετα κλάσματα απλά Προσέχουμε στην απαλοιφή να βάλουμε παρενθέσεις όταν έχουμε αριθμητές με δύο όρους. Κάνουμε τις πράξεις Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου

10 8 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 8 Για ποια τιμή του x είναι Α Β; α) Αν A 5x, B - x x β) Αν A ( x -) +,B + Α Β 5x - - x α) 5x + x + 7x 5 5 x 7 Α Β β) ( x -) + +.( x -) +. ( x ) + 9 x + 9 x x 0x 9 x x. +. x + x + x + 9 9,9 0 ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνεται η εξίσωση: μ(x + )- (μ-)x + α) Αν μ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει λύση x8. β) Αν η εξίσωση έχει λύση x7, να αποδείξετε ότι μ. γ) Αν μ, να λύσετε την εξίσωση. α) Εξισώνουμε τις παραστάσεις που μας έχουνε δώσει και επιλύουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων β) Εξισώνουμε τις παραστάσεις που μας έχουνε δώσει και επιλύουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν. Κάνουμε τις πράξεις Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

11 ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9 α) Για μ έχουμε ( x + ) (. ) x + x + x x + x 8 x 8 β) Για x 7 έχουμε μ ( 7 + ) - ( ) - μ - μ γ) Για μ έχουμε x +.μ μ + μ - μ μ + μ -μ ( x + ) (. ) x + x + x + x x + 0x ΑΣΚΗΣΗ 0 α) Βάζουμε στην θέση του μ το Κάνουμε τις πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων β) Βάζουμε στην θέση του x το 7 και στη συνέχεια επιλύουμε την εξίσωση που προκύπτει με άγνωστο το μ. Κάνουμε τις πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων γ) Βάζουμε στην θέση του μ το Κάνουμε τις πράξεις(επιμεριστική ιδιότητα) Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων Η εξίσωση είναι αδύνατη Δίνεται το διπλανό τρίγωνο: α) Να βρείτε την τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ. Ποιο είναι σ' αυτή την περίπτωση το μήκος της κάθε πλευράς; β) Να βρείτε την τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. Ποιο είναι σε αυτή την περίπτωση το μήκος της κάθε πλευράς του; γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή α) x + x + 5 x x 5 x β) x + x + 5 x x 5 x x+ Β Α x+ x+5 α) Για να είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ πρέπει ΑΒΑΓ και εξισώνουμε τις αλγεβρικές παραστάσεις που μας δώσανε. Οπότε οι πλευρές είναι ΑΒx+.+7, ΑΓx+5+57, ΒΓx+.+5 β) Για να είναι ισοσκελές με βάση τη ΑΒ πρέπει ΑΓΒΓ και εξισώνουμε τις αλγεβρικές παραστάσεις που μας δώσανε. Οπότε οι πλευρές είναι ΑΒx+.+, ΑΓx+5+59, ΒΓx+.+9 Γ

12 0 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ γ) x x x 0x x + + γ) Για να είναι ισοσκελές με βάση τη ΑΓ πρέπει ΑΒΒΓ και εξισώνουμε τις αλγεβρικές παραστάσεις που μας δώσανε. Η εξίσωση που προκύπτει είναι αδύνατη επομένως δεν υπάρχει τιμή του x για την οποία το τρίγωνο με βάση την ΑΓ. να είναι ισοσκελές ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται το ορθογώνιο του διπλανού σχήματος. Να βρείτε τους αριθμούς x, y και ω, (το ω παριστάνει μοίρες). x x + x x y + 5 y y + y 5 y y ω ω ω 0 ω ΓΙΑ ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΗ 0 5 x- y+ 5-y ω-0 ο Επειδή οι απέναντι πλευρές ορθογωνίου είναι ίσες εξισώνουμε τις αλγεβρικές παραστάσεις των απέναντι πλευρών. Όλες οι γωνίες ενός ορθογωνίου είναι ορθές Εξισώνουμε την παράσταση που μας δώσανε με τις 90 0 Μπορείτε να συμπληρώσετε τα κενά στα παρακάτω αριθμητικά σταυρόλεξα;.x+5 x-5 x x x+9 5x9-5x5 x7.... x+7 x7- x5 x x.5+7 5x-7 5x5 x x x- x x-9- -x8 x - -x--7 -x- x.... x.-- x- x x.(-)-- -x-9 x (-)+x- x-+9 x (-) (-) (-7)+77+8