Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικα Γ Γυμνασιου"

Transcript

1 Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu

2 σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ 6 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ 6 ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 8 ΕΚΠ ΚΑΙ ΜΚΔ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 9 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 10 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (1) 10 ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 10 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ () 10 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ () 10 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (4) 11 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (5) 1 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ 1 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΩΝ 1 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΚΟΙΝΟΥΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ 14 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 15 ΡΗΤΕΣ (ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ) ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 16 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 16 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ (ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ) 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ (1) 18 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ () 19 ΠΑΡΑΒΟΛΗ 0 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1 ΣΥΝΟΛΑ 1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΛΑ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ - ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 4 Β ΜΕΡΟΣ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5 ΤΡΙΓΩΝΑ 5 ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 5 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 5 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ 7 ΟΜΟΙΑ ΣΧΗΜΑΤΑ 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 8 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ [ 0,180 0 ] 9 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 9

3 σελ. απο 9 ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 9

4 σελ. 4 απο 9 Α μερος: Αλγεβρα και πιθανοτητες Συστήματα Χ Ενα τετοιο συστημα αποτελειται απο δυο εξισωσεις, καθε μια απο τις οποιες περιεχει δυο μεταβλητες y, υψωμενες στην 1 η δυναμη (γραμμικο συστημα). Για παραδειγμα οι παρακατω δυο εξισωσεις αποτελουν συστημα: Λύση του συστήματος είναι ενα ζευγάρι αριθμών 0, 0 y5 y8 y που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα. Εφοσον καθε μια απο τις δυο εξισωσεις αναπαριστα μια ευθεια στους αξονες, ενα σύστημα εξισώσεων μπορεί να έχει: Ακριβώς μια λύση, πράγμα που σημαίνει ότι οι δύο ευθείες τέμνονται σε ακριβώς ένα σημείο. Άπειρες λύσεις (αόριστο), πράγμα που σημαίνει ότι οι δύο ευθείες συμπίπτουν. Καμία λύση (αδύνατο), πράγμα που σημαίνει ότι οι δύο ευθείες είναι παράλληλες. Για να λύσουμε ένα σύστημα υπάρχουν δύο μέθοδοι. Ας τις δούμε λύνοντας το σύστημα Με αντικατάσταση y y5 y8 (1) : y 5 y 5 5 y. () : y 8 5 y y 8 10 y y 8 y (1) 5 Άρα το σύστημα μας έχει μια λύση, το σημείο,. Με απαλοιφή y (1) : y 5 y 5 y 10 y y 10 8 y () : y 8 () Άρα η λύση του συστήματος είναι το σημείο,. Τα συστηματα ειναι πολυ χρησιμα στη λυση καποιων προβληματων. Για παραδειγμα: Ενας παραγωγος ελαιολαδου συσκευασε 500 kg λαδι σε 800 δοχεια των kg και των 5 kg. Μπορειτε να βρειτε ποσα -κιλα και ποσα 5-κιλα δοχεια χρησιμοποιησε;

5 σελ. 5 απο 9 Μονώνυμα & πολυώνυμα Μονώνυμα Πολυώνυμα Μονώνυμο είναι κάθε γινομενο που περιεχει εναν πραγματικο αριθμο (συντελεστη) και διαφορες μεταβλητες υψωμενες σε δυναμεις. Για παραδειγμα η παρακατω παρασταση ειναι ενα μονωνυμο: 5 8 y z Η δυναμη της καθε μεταβλητης λεγεται βαθμος της μεταβλητης αυτης και πρεπει να ειναι θετικος φυσικος αριθμος ή 0. Το παραπανω μονωνυμο εχει βαθμο 5 ως προς, 1 ως προς y και 8 ως προς z. Ο συνολικος βαθμος ειναι ισος με το αθροισμα των βαθμων ολων των Πολυώνυμο είναι το άθροισμα δύο ή περισσότερων μονωνύμων. Για παράδειγμα, η παράσταση y z y z 9 y z 5 είναι ένα πολυώνυμο που αποτελειται απο 4 μονωνυμα. Ο βαθμος του πολυωνυμου ειναι 8 ως προς, 7 ως προς y και 10 ως προς z. Ο συνολικος βαθμος ειναι = 0. Δυο πολυωνυμα λεγονται ισα αν ολα τα μονωνυμα τους ειναι ισα. Ως ασκηση βρειτε τα,, ετσι ωστε τα παρακατω πολυωνυμα να ειναι ισα: μεταβλητων. Στο παραδειγμα μας ο συνολικος βαθμος ειναι = 14. Το κομματι που περιεχει μονο τις μεταβλητες, δηλαδη το ονομαζεται κυριο μερος του μονωνυμου. y z, 5 8 Ριζα πολυωνυμου Αν ενα πολυωνυμο περιεχει μονο μια μεταβλητη τοτε μπορουμε να το ονομασουμε δηλωνοντας τη μεταβλητη. Για παραδειγμα, το πολυωνυμο μπορουμε να το ονομασουμε Καθε μονωνυμο εχει και ενα αντιθετο μονωνυμο. Το αντιθετο μονωνυμο P( ) του 5 8 y z ειναι το 5 8 y z. Αυτο σημαινει οτι στη θεση του εχουμε το δικαιωμα να βαλουμε οποιον αριθμο θελουμε και να υπολογισουμε την τιμη του. Για παραδειγμα: Καθε πραγματικος αριθμος μπορει να θεωρηθει ως μονωνυμο (ολες οι μεταβλητες ειναι υψωμενες στη μηδενικη) και τον λεμε απλα σταθερο μονωνυμο. Το 0 λεγεται μηδενικό μονώνυμο. Πρεπει να ειναι ειναι σαφες οτι ο βαθμος ενος σταθερου μονωνυμου ειναι 0. Δυο μονωνυμα λεγονται ομοια αν εχουν το ιδιο κυριο μερος. Για παραδειγμα, τα παρακατω μονωνυμα ειναι ομοια: 4 y z, y z y, y y 5, 7y, P () P( ) P( 4) P 1 4 Ένας πραγματικός αριθμός που μηδενιζει ενα πολυωνυμο λεγεται ρίζα του πολυωνύμου. Ευκολα φαινεται οτι οι ριζες του παραπανω πολυωνυμου ειναι οι 0 και 1 : P P (0) (1) Δυο μονωνυμα λεγονται ισα αν εχουν τον ιδιο συντελεστη και το ιδιο κυριο μερος. Ως ασκηση, βρειτε τα,, ωστε τα παρακατω μονωνυμα να ειναι i) ομοια ii) ισα iii) αντιθετα: 10 a y, y Παραδειγματα: Εξεταστε αν το ειναι ριζα του πολυωνυμου: P ( ) 4 6 Αν δυο μονωνυμα ειναι ομοια τοτε μπορουμε να κανουμε τις μεταξυ τους πραξεις. Για παραδειγμα: Βρειτε τις ριζες του πολυωνυμου: 1 6.

6 σελ. 6 απο 9 Πολλαπλασιασμος μονωνυμων Αν μας δωθουν δυο η περισσοτερα μονωνυμα μπορουμε παντα να τα πολλαπλασιασουμε εκτελωντας τον πολλαπλασιασμο με τους συντεστες και ακολουθωντας τις ιδιοτητες των δυναμεων για τις μεταβλητες. Για παραδειγμα: Ως ασκηση, καντε τους παρακατω πολλαπλασιασμους μονωνυμων: yz 5 y 4 8y y y 5 y 4 5 y y y ( ) y y y 4 y y y y 6 y 5 Προσθεση μονωνυμων Αν μας δωθουν δυο η περισσοτερα ομοια μονωνυμα μπορουμε παντα να τα προσθεσουμε χρησιμοποιωντας την επιμεριστικη ιδιοτητα. Για παραδειγμα: Ως ασκηση, καντε τις παρακατω προσθεσεις μονωνυμων: y 10 y y 5y y y y y

7 σελ. 7 απο 9 Γενικες πραξεις μεταξυ πολυωνυμων Αν μας δωθει ενα μονωνυμο και ενα πολυωνυμο μπορουμε να τα πολλαπλασιασουμε χρησιμοποιωντας την επιμεριστικη ιδιοτητα. Για παραδειγμα: y y y y y y y y 6 y 4 4 Ομοιως, αν μας δωθουν δυο ή περισσοτερα πολυωνυμα μπορουμε να τα πολλαπλασιασουμε χρησιμοποιωντας την επιμεριστικη ιδιοτητα. Για παραδειγμα: Ως ασκηση καντε τις παρακατω πραξεις: ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) y y ( 1)( 5) ( 6) 4 y y 4y y y y 4 y y 4 5 y y y y y y y 4y y y y 5 y y y4 y y

8 σελ. 8 απο 9 Διαίρεση πολυωνύμων Στο σημειο αυτο θυμιζουμε την Ευκλειδεια διαιρεση φυσικων: Για καθε δυο φυσικους αριθμους, εναν διαιρετεο και εναν διαιρετη 0, υπαρχουν μοναδικοι φυσικοι, το πηλικο και το υπολοιπο, ετσι ωστε, 0 Μπορουμε να επεκτεινουμε την εννοια της Ευκλειδειας διαιρεσης και να την εφαρμοσουμε στα πολυωνυμα: Για κάθε πολυώνυμο διαιρετέο και πολυώνυμο - διαιρέτη 0 με βαθμος ( ) βαθμος ( ), υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα (πηλίκο) και ώστε 0 βαθμος ( ) βαθμος ( ) (υπόλοιπο) έτσι Ειναι προφανες οτι αν το ( ) ειναι παραγοντας του ( ) (εχουμε δηλαδη τελεια Ευκλειδεια διαιρεση πολυωνυμων) τοτε ( ) 0. Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρουμε την εξίσωση τηε Ευκλειδειας διαίρεσης πολυωνύμων. Ας τους δούμε με παραδείγματα: Αναγωγή σε σύστημα Έστω ( ) 5 1, ( ). Απο την ισοτητα της διαιρεσης πολυωνυμων εχουμε: 5 1 ( ) ( ) με βαθμος ( ) βαθμος ( ) 1 πραγμα που σημαινει οτι βαθμος ( ) 0 ( ) και βαθμος ( ) Αν θεσουμε ( ), τοτε η ισοτητα ξαναγραφεται ως 5 1. Εκτελουμε τις πραξεις στο δεξι μελος και εχουμε: 5 1 ( ) ( ) ( ) Στο τελικο βημα λυνουμε το απλο συστημα που προκυπτει: 1, 5,, 1 1,, 4, 1 Χρηση του αλγοριθμου Ευκλείδειας διαίρεσης Εστω οτι θελουμε να διαιρεσουμε το πολυωνυμο 4 ( ) 4 1 με το ( ) : 4 ( ) ( ) 4 4 = 1 ( ) = 1 ( ) 1 = 4 1 H διαδικασια τερματιζεται διοτι βαθμος ( 4 1) βαθμος ( ). Υπολοιπο: ( ) 4 1 Πηλικο: ( ) 1

9 σελ. 9 απο 9 ΕΚΠ και ΜΚΔ πολυωνυμων Στο σημειο αυτο θυμιζουμε τη διαδικασια ευρεσης ΜΚΔ και ΕΚΠ δυο ή περισσοτερων φυσικων αριθμων. Έστω ότι μας δίνονται δύο ή περισσότεροι φυσικοι αριθμοί, π.χ. οι 1800 και Για να βρούμε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ τους ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Αναλύουμε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες: Για να βρούμε το ΜΚΔ διαλέγουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες (που στο παράδειγμά μας είναι οι, και 5) και τους υψώνουμε στη μικρότερη δύναμη στην οποία εμφανίζονται: 1800, Για να βρούμε το ΕΚΠ διαλέγουμε όλους τους παράγοντες (κοινούς και μη κοινούς) και τους υψώνουμε στη μεγαλύτερη δύναμη στην οποία εμφανίζονται: 1800, Μπορουμε να επεκτεινουμε την παραπανω διαδικασια και να την εφαρμοσουμε στα πολυωνυμα. Για παραδειγμα, εστω οτι θελουμε να βρουμε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ των μονωνυμων : Βρισκουμε πρωτα το ΜΚΔ και το ΕΚΠ των συντελεστων: 4 1 y, 4 y z, 6 y (1,4,6) 6, (1,4,6) 4 Ο συντελεστης του ΜΚΔ των πολυωνυμων θα ειναι το ΜΚΔ των συντεστων τους και το κυριο μερος του ΜΚΔ θα προκυψει αν επιλεξουμε μονο τις κοινες μεταβλητες και τις υψωσουμε στη μικροτερη δυναμη που εμφανιζονται. Αρα λοιπον ο ΜΚΔ των τριων μονωνυμων θα ειναι το μονωνυμο 6 y Ο συντελεστης του ΕΚΠ των πολυωνυμων θα ειναι το ΕΚΠ των συντεστων τους και το κυριο μερος του ΕΚΠ θα προκυψει αν επιλεξουμε ολες τις μεταβλητες (κοινες και μη κοινες) και τις υψωσουμε στη μεγαλυτερη δυναμη που εμφανιζονται. Αρα λοιπον το ΕΚΠ των τριων μονωνυμων θα ειναι το μονωνυμο 4 4 y z Ως ασκηση βρειτε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ των παρακατω μονωνυμων και πολυωνυμων: 1 y z, 18 z, 4y 15 y z, 10 y z, 5y z y y y y, 18, 9 ( ),, 8 y y y y y y

10 σελ. 10 απο 9 Ταυτοτητες Σημαντικες ταυτοτητες Ταυτοτητα ειναι μια εξισωση που περιεχει μεταβλητες και ισχυει οποιες τιμες και αν παρουν οι μεταβλητες. Οι πιο σημαντικες ταυτοτητες ειναι οι παρακατω: y y y ( )( ) y y y y y y y y y y y y y y 1 4y ( y) (9 5 y)(9 5 y) y Εξασκηση στις ταυτοτητες (1) y9 5y 6y 6y y y y y ( 7)( 7) ( ) y y 5 ( ( )) ( 4 ) Εξασκηση στις ταυτοτητες () Εξασκηση στις ταυτοτητες ()

11 σελ. 11 απο 9 Εξασκηση στις ταυτοτητες (4) y y y νδο ( ) ( ) νδο για καθε ισχυει νδο y y ( y) ( y) ( )( ) 8 y y y y y y y y 4 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 y y y y 1 y y y y y y y y 4y 4

12 σελ. 1 απο 9 Εξασκηση στις ταυτοτητες (5) Συμπληρωστε τα παρακατω κενα: y y 6y 4 5 y 6 y 4

13 σελ. 1 απο 9 Παραγοντοποιηση Παραγοντοποίηση με χρήση ταυτοτήτων Παραγοντοποιηση ειναι η διαδικασια με την οποια μετατρεπουμε ενα πολυωνυμο σε γινομενο πολυωνυμων (1 ) y ( 15) ( 15) y y y ( ) 6( )

14 σελ. 14 απο y 6y 4 6y 8y y yz y 16 y 7y 14 y 8 y ( 1) 4 ( 1) ( 1)( ) ( 4)( ) ( 1) (1 )( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) 4 ( 1) 1 ( ) ( 1) ( 1) y y ( 1) ( 1) ( 1) 4( 1) ( y) ( y) Παραγοντοποίηση με κοινούς παράγοντες ( 1) y y y y z yz yz y z yz yz 6 4 y y y 5 4 1

15 σελ. 15 απο 9 Παραγοντοποιηση πολυωνυμου της μορφης Ενα τετοιο πολυωνυμο παραγοντοποιειται ως εξης: a a Για παραδειγμα, για να παραγοντοποιησουμε το πολυωνυμο 8 1 ψαχνουμε δυο αριθμους με αθροισμα 8 και γινομενο 1. Με δοκιμες βρισκουμε οτι 6 8, 6 1, αρα το πολυωνυμο γραφεται ως: ( ) 6( ) ( )( 6) Ως ασκηση παραγοντοποιειστε τα παρακατω πολυωνυμα: 54 1y ( 5 8) 5 8 ( 6 ) 1 4 4

16 σελ. 16 απο 9 Ρητες (κλασματικες) αλγεβρικες παραστασεις 10 5y z 5 y z 5 y y y 6 4 ( 4) y y y y y y y y y y y y y y 1 y 1 y y y y y y y y y 1 y y y Πραξεις με ρητες αλγεβρικες παραστασεις

17 σελ. 17 απο 9 Εξισώσεις ου βαθμού με έναν άγνωστο (διακρίνουσα) Εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο είναι κάθε εξίσωση που μπορεί να έρθει στη μορφή P * ( ) 0 (,, ) Η εξίσωση αυτή είναι επιλύσιμη σε κάθε περίπτωση. Για να τη λύσουμε υπολογίζουμε τη διακρίνουσα της διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: 4 και ανάλογα με το πρόσημό Αν 0 τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις διαφορετικές μεταξύ τους: Αν 0 τότε η εξίσωση έχει μια (διπλή) λύση: Αν 0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει καμία λύση στους πραγματικούς). 1 Επιπλέον, το πολυώνυμο παραγοντοποιείται και γράφεται ως 1 Επιπλέον, το πολυώνυμο παραγοντοποιείται και γράφεται ως Παραδείγματα: P 1 P 1 Παραδείγματα: Παραδείγματα:

18 σελ. 18 απο 9 Ασκησεις στη διακρινουσα (1) ( 1) (1 )( ) 0 ( ) 4 ( 1) 1 0 ( ) 6 ( ) 1 ( )( 4) ( 1) ( 1)( ) ( ( ) ( 4) ( 1) ( )( ) 1 ) 8 ( 1) (5 ) (1 4 )

19 σελ. 19 απο 9 Ασκησεις στη διακρινουσα () Απλοποιειστε τα παρακατω κλασματα: Δινονται οι παραστασεις: A 4 6, B o Να βρειτε για ποιες τιμες του οριζονται οι παραστασεις. o Να λυσετε την εξισωση A B 0. Ποιοί πρέπει να είναι οι συντελεστές β,γ μιας εξίσωσης ου βαθμού για να έχει ρίζες το 10 και το -0; Να βρειτε που τεμνονται (αν τεμνονται) ο κυκλος y 5 και η ευθεια y1. Δινεται το πολυωνυμο P( ). o Να βρειτε τις ριζες του πολυωνυμου και να το παραγοντοποιησετε. o Να λυσετε την εξισωση 1 0 P( ). Λυστε την εξισωση 16y 0 y y ( y)( y). Δινονται οι παραστασεις: A ( 1)( ) 9( 1) B o Να απλοποιηθει η παρασταση A B o Να λυθει η εξισωση AB 0 o Αν η εξισωση AB εχει μια ριζα, να υπολογισετε την παραμετρο.

20 σελ. 0 απο 9 Παραβολή Κάθε συνάρτηση με γενική μορφή y P ( ),,,, 0 ονομάζεται παραβολή. Η γραφική παράσταση της παραβολής στη γενική μορφή της είναι μια καμπύλη που μοιάζει με κύπελο. Για τη γραφική παράσταση της παραβολής ισχύουν τα εξής: Η κορυφή της παραβολής είναι το σημείο K, Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία Αν 0 προς τα πάνω (το κυπελλο ειναι αναποδα). 4 όπου η διακρίνουσα του τριωνύμου.. τότε η κορυφή της παραβολής «κοιτάει» προς τα κάτω (το κυπελλο ειναι ορθιο). Αν 0 τότε η κορυφή της παραβολής «κοιτάει» Όσο μεγαλύτερη η απόλυτη τιμή του τόσο πιο «κλειστή» ή «απότομη» η παραβολή. Ανεξάρτητα από το πρόσημο του, αν η διακρίνουσα είναι: θετική, τότε η παραβολή τέμνει τον άξονα σε δύο διαφορετικά σημεία. μηδέν, τότε η παραβολή τέμνει τον άξονα σε ακριβώς ένα σημείο. αρνητική, τότε η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα. Όλα τα παραπάνω συνοψίζονται γραφικά στα παρακάτω σχήματα:

21 σελ. 1 απο 9 Πιθανότητες Σύνολα Σύνολο είναι μια ομάδα που περιέχει διάφορα στοιχεία το καθενα διαφορετικο απο το αλλο. Για παράδειγμα: {οι θετικοι ακεραιοι αριθμοι μαζι με το 0} {0,1,,,4,5,...} {οι ακεραιοι αριθμοι} {...,,, 1, 0, 1,,,...} {οι πραγματικοι αριθμοι} {ολοι οι ρητοι και ολοι οι αρρητοι} Α {οι αρτιοι αριθμοι} Β {οι διαιρετες του 16} {τα ψηφια του αριθμου 45808}= {τα γραμματα της λεξης "γαλαξιας"}= Αν ένα στοιχείο ανήκει σε ένα σύνολο X, αυτό το συμβολίζουμε ως X. Αν ένα στοιχείο δεν ανήκει σε ένα σύνολο X, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το συμβολισμό X. Ο συμβολισμός αυτός είναι πολύ χρήσιμος ως προς την εκφραση συνολων: { : 6 4} { : διαιρετης του 0} {ρητοι αριθμοι} :,, 0 {αρρητοι αριθμοι} { } Ένα σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο λέγεται κενό σύνολο και συμβολίζεται ως {}. Εξεταστε αν τα παρακατω συνολα ειναι κενα: {οι ανθρωποι που κατοικουν στη σεληνη} {οι αρτιοι διαιρετες του 15}={ : αρτιος και διαιρετης του 15} { : 0} { : 0} Δύο σύνολα λέγονται ίσα αν περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία, ανεξαρτητα απο τη σειρα με την οποια εμφανιζονται. Εξεταστε αν τα παρακατω συνολα ειναι ισα:?? {αρτιοι αριθμοι} = {οι φυσικοι που διαιρουνται ακριβως με το } = {οι φυσικοι που τελειωνουν σε 0,,4,6 ή 8}? {τα ψηφια του αριθμου 76} = {τα ψηφια του αριθμου 677} Αν ενα συνολο εμπεριεχεται εξολοκληρου μεσα σε ενα συνολο τοτε λεμε οτι το ειναι υποσυνολο του και το γραφουμε ως. Αυτο σημαινει οτι καθε στοιχειο του ειναι και στοιχειο του. Για παραδειγμα, το είναι υποσύνολο του :. Μπορούμε να αναπαραστήσουμε όλα τα γνωστά σύνολα με ένα κατατοπιστικό διάγραμμα Venn. Ως ασκηση, βαλτε το σωστο συμβολο ( ή ) στα παρακατω συνολα: {περιττοι αριθμοι} {περιττοι αριθμοι} { : 9} { : } {διαιρετες του 16} {αρτιοι αριθμοι}

22 σελ. απο 9 Πράξεις με σύνολα Ας πάρουμε το συνολο {1,,, 4,5,6,7,8,9,10} και τα υποσύνολα του {1,,}, {,, 4,5,10} Η ένωση των, είναι ένα καινούργιο σύνολο που περιέχει τα στοιχεια που ανηκουν ή στο ή στο. Με άλλα λόγια, η ένωση περιεχει όλα τα κοινά στοιχεία και όλα τα μη κοινά στοιχεία: {1,,,4,5,10} Η τομή των, είναι ένα καινούργιο σύνολο που περιέχει όλα εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν και στο Α και στο Β. Με άλλα λόγια, η τομή περιέχει (μόνο) τα κοινά στοιχεία των συνόλων και συμβολίζεται ως {,} Το συμπλήρωμα (ή αντίθετο) του Α θα είναι εκείνο το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του που δεν ανήκουν στο : {4,5,6,7,8,9,10} Το ειναι εκεινο το συνολο που περιεχει ολα τα στοιχεια που ανηκουν στο εκτος απο εκεινα που ανηκουν στο : {1} Το συμπληρωμα της ενωσης ειναι εκεινο το συνολο που περιεχει ολα τα στοιχεια του που δεν ανηκουν στην ενωση: {6,7,8,9} Το συμπληρωμα της τομης ειναι το συνολο που περιεχει ολα τα στοιχεια του που δεν ανηκουν στην τομη: {1,4,5,6,7,8,9,10} Αν επιπλεον {,5,7,9,10}, εξεταστε αν ισχυουν οι παρακατω ιδιοτητες:

23 σελ. απο 9 Πείραμα τύχης - δειγματικός χώρος - ενδεχόμενα Σε καθε πείραμα τύχης, δειγματικός χώρος ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα αν ρίξουμε ένα ζάρι μια φορά ο δειγματικός χώρος ειναι {1,,, 4,5,6}. Ομοίως, αν ριξουμε ενα κερμα ο δειγματικος χωρος θα ειναι το συνολο {, }. Ο δειγματικος χωρος των αποτελεσματων ενος ποδοσφαιρικου αγωνα ειναι {1,, }. Αν ριξουμε το ζαρι δυο φορες τοτε ο δειγματικος χωρος περιεχει 6 ζευγαρια αποτελεσματων: Κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου ονομάζεται ενδεχόμενο. Για παράδειγμα το ενδεχόμενο Α = { να φέρουμε τον ίδιο αριθμό και στις δυο ρίψεις } είναι το υποσύνολο Α = { (1,1), (,), (,), (4,4), (5,5), (6,6) }. Αν λοιπον φερουμε 6 και στα δυο ζαρια τοτε το ενδεχομενο Α πραγματοποιειται. Αν φερουμε 4 στο ενα ζαρι και 5 στο αλλο τοτε το ενδεχομενο Α δεν πραγματοποιειται. Οι ευνοικες περιπτωσεις ωστε να πραγματοποιηθει ενα ενδεχομενο ειναι ο αριθμος των στοιχειων του ενδεχομενου. Για παράδειγμα, οι ευνοικες περιπτωσεις ώστε να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α είναι 6. Γραφουμε λοιπον ( ) 6. Ένα ενδεχόμενο που είναι απίθανο να πραγματοποιηθεί (πχ το ενδεχόμενο να φέρουμε αθροισμα 14) λέγεται αδύνατο. Ένα αδύνατο ενδεχόμενο είναι ίσο με το κενό σύνολο. Ένα ενδεχόμενο που είναι σιγουρο οτι θα πραγματοποιηθει (πχ να φέρουμε αθροισμα απο και πανω) ονομάζεται βέβαιο. Ενα βέβαιο ενδεχόμενο ισούται με το δειγματικό χώρο. Δύο ενδεχόμενα που δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο (η τομή τους είναι το ) ονομάζονται ασυμβίσβαστα ή ξένα μεταξυ τους. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα είναι αδύνατον να συμβούν ταυτόχρονα. Για παραδειγμα, τα ενδεχομενα Α = { (1,1), (,), (,), (4,4), (5,5), (6,6) } και Β = { να φερουμε αθροισμα περιττο αριθμο } ειναι ασυμβιβαστα. Ενα ενδεχομενο λεγεται υποσυνολο ενος ενδεχομενου ( ) αν η πραγματοποιηση του συνεπαγεται την πραγματοποιηση του. Για παράδειγμα, τα ενδεχομενα = { να φέρουμε τον ίδιο αριθμό και στις δυο ρίψεις } και = { το ενδεχομενο να φερουμε αθροισμα ζυγο αριθμο } τοτε προφανως ισχυει. Εφόσον τα ενδεχόμενα είναι σύνολα, μπορούμε να εφαρμοσουμε ολες τις γνωστες πραξεις μεταξυ συνολων. Πιο συγκεκριμενα, για καθε δυο ενδεχομενα, ενος δειγματικου χωρου ισχυουν τα εξης: Το ενδεχομενο να συμβει τουλαχιστον ενα απο τα, Β( ή το ή το ) ισουται με. Το ενδεχομενο να συμβει ταυτοχρονα και το και το ισουται με. Το ενδεχομενο να μην συμβει το ισουται με. Αν ειναι ο δειγματικος χωρος της ριψης δυο ζαριων να γραψετε τα παρακατω ενδεχομενα και να υπολογισετε τις ευνοικες περιπτωσεις για το καθενα: { να φερουμε τον ιδιο αριθμο } { να φερουμε αθροισμα 9 } { να φερουμε τον ιδιο αριθμο ή αθροισμα 9 } { να φερουμε τον ιδιο αριθμο και αθροισμα 9 } { να φερουμε αθροισμα 8 } { να φερουμε γινομενο 1 } { να φερουμε τουλαχιστον μια φορα 1 } { να φερουμε διαδοχικους αριθμους } { να φερουμε γινομενο 1 }

24 σελ. 4 απο 9 Κλασσικός ορισμός πιθανότητας Σε ένα πείραμα τύχης ορίζουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου ως εξής: πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων αριθμός στοιχείων του Α N( ) P( ) πλήθος δυνατών περιπτώσεων αριθμός στοιχείων του N( ) Για παράδειγμα, η πιθανοτητα να φερουμε τον ιδιο αριθμο και στις δυο ριψεις ενος ζαριου ειναι N( ) 6 P( ) 0, % N( ) 6 Θεωρουμε οτι ενα βέβαιο ενδεχόμενο έχει εξορισμου πιθανότητα P( ) 1 100% και ενα αδύνατο ενδεχόμενο έχει εξορισμου πιθανότητα P( ) 0%. Για καθε δυο ενδεχομενα, ενος δειγματικου χωρου ισχύουν τα εξής: 0 P( ) 1 Προσθετικος νομος: P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) 1 P( ) Παραδειγμα Εξεταζουμε ενα συνολο μαθητων ως προς τις αθλητικες τους προτιμησεις. Το % παιζει ποδοσφαιρο, το 84 % δεν παιζει τεννις ενω το % παιζει και τα δυο. Διαλεγουμε στην τυχη εναν μαθητη. Ποια η πιθανοτητα να παιζει τεννις; Ποια η πιθανοτητα να παιζει τουλαχιστον ενα αθλημα; Ποια η πιθανοτητα να μην κανει κανενα απο τα δυο αθληματα; Αν οι μαθητες που παιζουν ποδοσφαιρο ειναι 18, ποιο ειναι το μεγεθος του δειγματος;

25 σελ. 5 απο 9 Β μερος: Γεωμετρια Τρίγωνα Ειδη τριγωνων Στοιχεια τριγωνου

26 σελ. 6 απο 9 Κριτήρια ισότητας τριγώνων Δυο τριγωνα λεγονται ισα αν το ενα ειναι ακριβης αντιγραφη του αλλου. Συνεπως, αν δυο τριγωνα ειναι ισα τοτε ολες οι αντιστοιχες γωνιες τους ειναι ισες και ολες οι αντιστοιχες πλευρες τους ειναι ισες. Παρακατω συνοψιζουμε τα τρια κριτηρια ισοτητας τριγωνων: Πλευρα Γωνια Πλευρα (ΠΓΠ) Αν δυο τριγωνα εχουν δυο αντιστοιχες πλευρες ισες και την περιεχομενη γωνια στις πλευρες αυτες ιση, τοτε ειναι ισα. Γωνια Πλευρα Γωνια (ΓΠΓ) Αν δυο τριγωνα εχουν μια πλευρα ιση και τις προσκειμενες στην πλευρα αυτη γωνιες ισες, τοτε ειναι ισα. Πλευρα Πλευρα Πλευρα (ΠΠΠ) Αν δυο τριγωνα εχουν και τις τρεις πλευρες τους ισες, τοτε ειναι ισα. Παρατηρηση: Αν δυο τριγωνα ειναι ισα τοτε απεναντι απο ισες γωνιες βρισκονται ισες πλευρες, και απεναντι απο ισες πλευρες βρισκονται ισες γωνιες. Ασκησεις στην ισοτητα τριγωνων Αποδειξτε οτι καθε σημειο της μεσοκαθετου ενος ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ ισαπεχει αποτα σημεια Α και Β. Αποδειξτε οτι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Αποδειξτε οτι δυο ορθογωνια τριγωνα που εχουν δυο αντιστοιχες πλευρες ισες τοτε ειναι ισα. (1 ο κριτηριο ισοτητας ορθογωνιων τριγωνων) Αποδειξτε οτι δυο ορθογωνια τριγωνα που εχουν μια αντιστοιχη γωνια ιση και μια αντιστοιχη πλευρα ιση τοτε ειναι ισα. ( ο κριτηριο ισοτητας ορθογωνιων τριγωνων) Σε ενα ισοσκελες τριγωνο ειναι ΑΒ = ΑΓ και ΑΔ η διχοτομος της. Αποδειξτε οτι και οτι η ΑΔ ειναι διαμεσος και υψος. Αποδειξτε οτι οι απεναντι πλευρες ενος παραλληλογραμμου ειναι ισες. Αποδειξτε οτι οι διαγωνιοι ενος παραλληλογραμμου διχοτομουνται ( η μια κοβει την αλλη στη μεση).

27 σελ. 7 απο 9 Το θεωρημα του Θαλη Αν τρεις η περισσοτερες παραλληλες ευθειες τεμνονται απο δυο αλλες ευθειες,, τοτε τα τμηματα που οριζονται απο την ειναι αναλογα με τα αντιστοιχα τμηματα που οριζονται απο την : (1) Αντιστροφα, αν τρεις ευθειες μεταξυ των οποιων οι δυο ειναι παραλληλες τεμνονται απο δυο αλλες ευθειες ε,ε' και οι ε,ε' οριζουν στις τρεις ευθειες τμηματα αναλογα, ετσι ωστε να ισχυει η ισοτητα (1), τοτε οι τρεις ευθειες ειναι παραλληλες. Ως ασκηση, αποδειξτε οτι αν ισχυει η ισοτητα (1) τοτε ισχυουν και οι παρακατω: Εφαρμογη 1: Αν τρεις παραλληλες ευθειες οριζουν ισα τμηματα σε μια ευθεια που τις τεμνει, τοτε θα οριζουν ισα τμηματα και σε καθε αλλη ευθεια που τις τεμνει. Εφαρμογη : Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα δυο πλευρων ενος τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη πλευρα του και ισο με το μισο της: // Και αντιστροφα: Αν απο το μεσο μια πλευρας τριγωνου φερουμε παραλληλη ευθεια προς μια αλλη πλευρα, τοτε αυτη (η παραλληλη) διερχεται απο το μεσο της τριτης πλευρας του.

28 σελ. 8 απο 9 Ομοια σχηματα Δυο κλειστα πολυγωνα λεγονται ομοια αν το ενα ειναι σμικρυνση η μεγέθυνση του άλλου. Ισοδυναμα, δυο πολυγωνα ειναι ομοια αν οι αντιστοιχες πλευρες τους ειναι αναλογες και οι αντιστοιχες γωνιες τους ειναι ισες. Παρατηρησεις: Αν δυο πολυγωνα ειναι ομοια, τοτε οι αντιστοιχες πλευρες τους (ομολογες πλευρες) εχουν τον ιδιο συντελεστη αναλογιας (λογο ομοιοτητας). Επειδη ισχυει (αντιστοιχων) πλευρων., επεται οτι ο λογος των περιμετρων δυο ομοιων σχηματων ειναι ισος με το συντελεστη αναλογιας των Αποδεικνυεται οτι δυο κανονικα πολυγωνα με τον ιδιο αριθμο πλευρων ειναι ομοια. Αποδεικνυεται οτι ο λογος των εμβαδων δυο ομοιων πολυγωνων ισουται με το τετραγωνο του συντελεστη αναλογιας των (αντιστοιχων) πλευρων. Δυο τριγωνα ειναι ομοια αν εχουν δυο γωνιες ισες. Αν δυο τριγωνα ειναι ομοια τοτε απεναντι απο ισες γωνιες βρισκονται αναλογες πλευρες. Για τα διπλανα τριγωνα ειναι: πλευρα μεγαλου τριγωνου πλευρα μικρου τριγωνου 6 περιμετρος μεγαλου τριγωνου περιμετρος μικρου τριγωνου 11 μεγάλου τριγώνου μικρού τριγώνου Ασκησεις στην ομοιοτητα πολυγωνων Εστω τριγωνο ΑΒΓ ( 0 90 ) και ΑΔ το υψος του. o o o o o o Αποδειξτε οτι τα ΑΔΒ και ΑΒΓ ειναι ομοια. Αποδειξτε οτι τα ΑΔΒ και ΑΔΓ ειναι ομοια. Αν ΔΒ = 4, ΔΓ = 9, βρειτε το ΑΔ. Αφου υπολογισετε τις περιμετρους των ΑΔΒ, ΑΔΓ, επιβεβαιωστε οτι Υπολογιστε τον λογο Υπολογιστε τον λογο... Αποδειξτε οτι αν δυο τριγωνα ειναι ομοια με λογο ομοιοτητας λ, τοτε ο λογος των υψων, των διαμεσων και των διχοτομων τους ειναι επισης ισος με λ. Εστω ενα τριγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Επεκτεινουμε την πλευρα ΑΓ προς το μερος του Γ και παιρνουμε ενα τμημα ΑΔ = ΑΒ. Το σημειο Λ ειναι το μεσο του ΑΔ και το σημειο Κ ειναι το μεσο του ΒΔ. o Αποδειξτε οτι ΑΒ = ΑΓ ΑΔ o Αποδειξτε οτι το τριγωνο ΑΒΛ ειναι ισοσκελες o Αποδειξτε οτι η ΒΛ ειναι διχοτοτομος της γωνιας o Αποδειξτε οτι τα τριγωνα ΑΒΔ και ΚΛΔ ειναι ομοια o Αποδειξτε οτι τα τριγωνα ΒΓΛ και ΒΚΛ ειναι ισα o Αποδειξτε οτι τα τριγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ ειναι ομοια. ^

29 σελ. 9 απο 9 Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών [ 0,180 0 ] Μπορούμε να γενικεύσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και να τους ορίσουμε για κάθε γωνία 0 [0,180 ], ως εξής: y y y Πινακας βασικων τριγωνομετρικων αριθμων Γωνία σε μοίρες Ημίτονο Συνημίτονο Εφαπτομένη Νόμος ημιτόνων και νόμος συνημιτόνων Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι παρακάτω ισοτητες: Νόμος ημιτόνων: ( ) ( ) ( ) Νόμος συνημιτόνων: Ιδιότητες τριγωνομετρικών αριθμών 0 0 0,90 ( ) 0, ( ) 0, ( ) ,180 ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 ( ) ( ) 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Θέματα Προαγωγικών και Απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίων του Νομού Δωδεκανήσου Σχολικό Έτος: 01-013 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις :

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις : ΓΥΜΝΑΣ Ο ΕΞΑΠ ΑΤΑΝΟΥ ΣχολK Έτος: OMNM-OMNN Τάξη: Α Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙ Α Ημερομηνία : 30/05/2011 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN Θέμα 1 ο (ΘΕΩΡ Α) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα