Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικα Γ Γυμνασιου"

Transcript

1 Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu

2 σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ 6 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ 6 ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 8 ΕΚΠ ΚΑΙ ΜΚΔ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 9 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 10 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (1) 10 ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 10 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ () 10 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ () 10 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (4) 11 ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (5) 1 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ 1 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΩΝ 1 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΚΟΙΝΟΥΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ 14 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 15 ΡΗΤΕΣ (ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ) ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 16 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 16 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ (ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ) 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ (1) 18 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ () 19 ΠΑΡΑΒΟΛΗ 0 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1 ΣΥΝΟΛΑ 1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΛΑ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ - ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 4 Β ΜΕΡΟΣ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5 ΤΡΙΓΩΝΑ 5 ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 5 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 5 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 6 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ 7 ΟΜΟΙΑ ΣΧΗΜΑΤΑ 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 8 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 9 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ [ 0,180 0 ] 9 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 9

3 σελ. απο 9 ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΟΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ 9

4 σελ. 4 απο 9 Α μερος: Αλγεβρα και πιθανοτητες Συστήματα Χ Ενα τετοιο συστημα αποτελειται απο δυο εξισωσεις, καθε μια απο τις οποιες περιεχει δυο μεταβλητες y, υψωμενες στην 1 η δυναμη (γραμμικο συστημα). Για παραδειγμα οι παρακατω δυο εξισωσεις αποτελουν συστημα: Λύση του συστήματος είναι ενα ζευγάρι αριθμών 0, 0 y5 y8 y που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα. Εφοσον καθε μια απο τις δυο εξισωσεις αναπαριστα μια ευθεια στους αξονες, ενα σύστημα εξισώσεων μπορεί να έχει: Ακριβώς μια λύση, πράγμα που σημαίνει ότι οι δύο ευθείες τέμνονται σε ακριβώς ένα σημείο. Άπειρες λύσεις (αόριστο), πράγμα που σημαίνει ότι οι δύο ευθείες συμπίπτουν. Καμία λύση (αδύνατο), πράγμα που σημαίνει ότι οι δύο ευθείες είναι παράλληλες. Για να λύσουμε ένα σύστημα υπάρχουν δύο μέθοδοι. Ας τις δούμε λύνοντας το σύστημα Με αντικατάσταση y y5 y8 (1) : y 5 y 5 5 y. () : y 8 5 y y 8 10 y y 8 y (1) 5 Άρα το σύστημα μας έχει μια λύση, το σημείο,. Με απαλοιφή y (1) : y 5 y 5 y 10 y y 10 8 y () : y 8 () Άρα η λύση του συστήματος είναι το σημείο,. Τα συστηματα ειναι πολυ χρησιμα στη λυση καποιων προβληματων. Για παραδειγμα: Ενας παραγωγος ελαιολαδου συσκευασε 500 kg λαδι σε 800 δοχεια των kg και των 5 kg. Μπορειτε να βρειτε ποσα -κιλα και ποσα 5-κιλα δοχεια χρησιμοποιησε;

5 σελ. 5 απο 9 Μονώνυμα & πολυώνυμα Μονώνυμα Πολυώνυμα Μονώνυμο είναι κάθε γινομενο που περιεχει εναν πραγματικο αριθμο (συντελεστη) και διαφορες μεταβλητες υψωμενες σε δυναμεις. Για παραδειγμα η παρακατω παρασταση ειναι ενα μονωνυμο: 5 8 y z Η δυναμη της καθε μεταβλητης λεγεται βαθμος της μεταβλητης αυτης και πρεπει να ειναι θετικος φυσικος αριθμος ή 0. Το παραπανω μονωνυμο εχει βαθμο 5 ως προς, 1 ως προς y και 8 ως προς z. Ο συνολικος βαθμος ειναι ισος με το αθροισμα των βαθμων ολων των Πολυώνυμο είναι το άθροισμα δύο ή περισσότερων μονωνύμων. Για παράδειγμα, η παράσταση y z y z 9 y z 5 είναι ένα πολυώνυμο που αποτελειται απο 4 μονωνυμα. Ο βαθμος του πολυωνυμου ειναι 8 ως προς, 7 ως προς y και 10 ως προς z. Ο συνολικος βαθμος ειναι = 0. Δυο πολυωνυμα λεγονται ισα αν ολα τα μονωνυμα τους ειναι ισα. Ως ασκηση βρειτε τα,, ετσι ωστε τα παρακατω πολυωνυμα να ειναι ισα: μεταβλητων. Στο παραδειγμα μας ο συνολικος βαθμος ειναι = 14. Το κομματι που περιεχει μονο τις μεταβλητες, δηλαδη το ονομαζεται κυριο μερος του μονωνυμου. y z, 5 8 Ριζα πολυωνυμου Αν ενα πολυωνυμο περιεχει μονο μια μεταβλητη τοτε μπορουμε να το ονομασουμε δηλωνοντας τη μεταβλητη. Για παραδειγμα, το πολυωνυμο μπορουμε να το ονομασουμε Καθε μονωνυμο εχει και ενα αντιθετο μονωνυμο. Το αντιθετο μονωνυμο P( ) του 5 8 y z ειναι το 5 8 y z. Αυτο σημαινει οτι στη θεση του εχουμε το δικαιωμα να βαλουμε οποιον αριθμο θελουμε και να υπολογισουμε την τιμη του. Για παραδειγμα: Καθε πραγματικος αριθμος μπορει να θεωρηθει ως μονωνυμο (ολες οι μεταβλητες ειναι υψωμενες στη μηδενικη) και τον λεμε απλα σταθερο μονωνυμο. Το 0 λεγεται μηδενικό μονώνυμο. Πρεπει να ειναι ειναι σαφες οτι ο βαθμος ενος σταθερου μονωνυμου ειναι 0. Δυο μονωνυμα λεγονται ομοια αν εχουν το ιδιο κυριο μερος. Για παραδειγμα, τα παρακατω μονωνυμα ειναι ομοια: 4 y z, y z y, y y 5, 7y, P () P( ) P( 4) P 1 4 Ένας πραγματικός αριθμός που μηδενιζει ενα πολυωνυμο λεγεται ρίζα του πολυωνύμου. Ευκολα φαινεται οτι οι ριζες του παραπανω πολυωνυμου ειναι οι 0 και 1 : P P (0) (1) Δυο μονωνυμα λεγονται ισα αν εχουν τον ιδιο συντελεστη και το ιδιο κυριο μερος. Ως ασκηση, βρειτε τα,, ωστε τα παρακατω μονωνυμα να ειναι i) ομοια ii) ισα iii) αντιθετα: 10 a y, y Παραδειγματα: Εξεταστε αν το ειναι ριζα του πολυωνυμου: P ( ) 4 6 Αν δυο μονωνυμα ειναι ομοια τοτε μπορουμε να κανουμε τις μεταξυ τους πραξεις. Για παραδειγμα: Βρειτε τις ριζες του πολυωνυμου: 1 6.

6 σελ. 6 απο 9 Πολλαπλασιασμος μονωνυμων Αν μας δωθουν δυο η περισσοτερα μονωνυμα μπορουμε παντα να τα πολλαπλασιασουμε εκτελωντας τον πολλαπλασιασμο με τους συντεστες και ακολουθωντας τις ιδιοτητες των δυναμεων για τις μεταβλητες. Για παραδειγμα: Ως ασκηση, καντε τους παρακατω πολλαπλασιασμους μονωνυμων: yz 5 y 4 8y y y 5 y 4 5 y y y ( ) y y y 4 y y y y 6 y 5 Προσθεση μονωνυμων Αν μας δωθουν δυο η περισσοτερα ομοια μονωνυμα μπορουμε παντα να τα προσθεσουμε χρησιμοποιωντας την επιμεριστικη ιδιοτητα. Για παραδειγμα: Ως ασκηση, καντε τις παρακατω προσθεσεις μονωνυμων: y 10 y y 5y y y y y

7 σελ. 7 απο 9 Γενικες πραξεις μεταξυ πολυωνυμων Αν μας δωθει ενα μονωνυμο και ενα πολυωνυμο μπορουμε να τα πολλαπλασιασουμε χρησιμοποιωντας την επιμεριστικη ιδιοτητα. Για παραδειγμα: y y y y y y y y 6 y 4 4 Ομοιως, αν μας δωθουν δυο ή περισσοτερα πολυωνυμα μπορουμε να τα πολλαπλασιασουμε χρησιμοποιωντας την επιμεριστικη ιδιοτητα. Για παραδειγμα: Ως ασκηση καντε τις παρακατω πραξεις: ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) y y ( 1)( 5) ( 6) 4 y y 4y y y y 4 y y 4 5 y y y y y y y 4y y y y 5 y y y4 y y

8 σελ. 8 απο 9 Διαίρεση πολυωνύμων Στο σημειο αυτο θυμιζουμε την Ευκλειδεια διαιρεση φυσικων: Για καθε δυο φυσικους αριθμους, εναν διαιρετεο και εναν διαιρετη 0, υπαρχουν μοναδικοι φυσικοι, το πηλικο και το υπολοιπο, ετσι ωστε, 0 Μπορουμε να επεκτεινουμε την εννοια της Ευκλειδειας διαιρεσης και να την εφαρμοσουμε στα πολυωνυμα: Για κάθε πολυώνυμο διαιρετέο και πολυώνυμο - διαιρέτη 0 με βαθμος ( ) βαθμος ( ), υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα (πηλίκο) και ώστε 0 βαθμος ( ) βαθμος ( ) (υπόλοιπο) έτσι Ειναι προφανες οτι αν το ( ) ειναι παραγοντας του ( ) (εχουμε δηλαδη τελεια Ευκλειδεια διαιρεση πολυωνυμων) τοτε ( ) 0. Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρουμε την εξίσωση τηε Ευκλειδειας διαίρεσης πολυωνύμων. Ας τους δούμε με παραδείγματα: Αναγωγή σε σύστημα Έστω ( ) 5 1, ( ). Απο την ισοτητα της διαιρεσης πολυωνυμων εχουμε: 5 1 ( ) ( ) με βαθμος ( ) βαθμος ( ) 1 πραγμα που σημαινει οτι βαθμος ( ) 0 ( ) και βαθμος ( ) Αν θεσουμε ( ), τοτε η ισοτητα ξαναγραφεται ως 5 1. Εκτελουμε τις πραξεις στο δεξι μελος και εχουμε: 5 1 ( ) ( ) ( ) Στο τελικο βημα λυνουμε το απλο συστημα που προκυπτει: 1, 5,, 1 1,, 4, 1 Χρηση του αλγοριθμου Ευκλείδειας διαίρεσης Εστω οτι θελουμε να διαιρεσουμε το πολυωνυμο 4 ( ) 4 1 με το ( ) : 4 ( ) ( ) 4 4 = 1 ( ) = 1 ( ) 1 = 4 1 H διαδικασια τερματιζεται διοτι βαθμος ( 4 1) βαθμος ( ). Υπολοιπο: ( ) 4 1 Πηλικο: ( ) 1

9 σελ. 9 απο 9 ΕΚΠ και ΜΚΔ πολυωνυμων Στο σημειο αυτο θυμιζουμε τη διαδικασια ευρεσης ΜΚΔ και ΕΚΠ δυο ή περισσοτερων φυσικων αριθμων. Έστω ότι μας δίνονται δύο ή περισσότεροι φυσικοι αριθμοί, π.χ. οι 1800 και Για να βρούμε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ τους ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Αναλύουμε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες: Για να βρούμε το ΜΚΔ διαλέγουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες (που στο παράδειγμά μας είναι οι, και 5) και τους υψώνουμε στη μικρότερη δύναμη στην οποία εμφανίζονται: 1800, Για να βρούμε το ΕΚΠ διαλέγουμε όλους τους παράγοντες (κοινούς και μη κοινούς) και τους υψώνουμε στη μεγαλύτερη δύναμη στην οποία εμφανίζονται: 1800, Μπορουμε να επεκτεινουμε την παραπανω διαδικασια και να την εφαρμοσουμε στα πολυωνυμα. Για παραδειγμα, εστω οτι θελουμε να βρουμε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ των μονωνυμων : Βρισκουμε πρωτα το ΜΚΔ και το ΕΚΠ των συντελεστων: 4 1 y, 4 y z, 6 y (1,4,6) 6, (1,4,6) 4 Ο συντελεστης του ΜΚΔ των πολυωνυμων θα ειναι το ΜΚΔ των συντεστων τους και το κυριο μερος του ΜΚΔ θα προκυψει αν επιλεξουμε μονο τις κοινες μεταβλητες και τις υψωσουμε στη μικροτερη δυναμη που εμφανιζονται. Αρα λοιπον ο ΜΚΔ των τριων μονωνυμων θα ειναι το μονωνυμο 6 y Ο συντελεστης του ΕΚΠ των πολυωνυμων θα ειναι το ΕΚΠ των συντεστων τους και το κυριο μερος του ΕΚΠ θα προκυψει αν επιλεξουμε ολες τις μεταβλητες (κοινες και μη κοινες) και τις υψωσουμε στη μεγαλυτερη δυναμη που εμφανιζονται. Αρα λοιπον το ΕΚΠ των τριων μονωνυμων θα ειναι το μονωνυμο 4 4 y z Ως ασκηση βρειτε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ των παρακατω μονωνυμων και πολυωνυμων: 1 y z, 18 z, 4y 15 y z, 10 y z, 5y z y y y y, 18, 9 ( ),, 8 y y y y y y

10 σελ. 10 απο 9 Ταυτοτητες Σημαντικες ταυτοτητες Ταυτοτητα ειναι μια εξισωση που περιεχει μεταβλητες και ισχυει οποιες τιμες και αν παρουν οι μεταβλητες. Οι πιο σημαντικες ταυτοτητες ειναι οι παρακατω: y y y ( )( ) y y y y y y y y y y y y y y 1 4y ( y) (9 5 y)(9 5 y) y Εξασκηση στις ταυτοτητες (1) y9 5y 6y 6y y y y y ( 7)( 7) ( ) y y 5 ( ( )) ( 4 ) Εξασκηση στις ταυτοτητες () Εξασκηση στις ταυτοτητες ()

11 σελ. 11 απο 9 Εξασκηση στις ταυτοτητες (4) y y y νδο ( ) ( ) νδο για καθε ισχυει νδο y y ( y) ( y) ( )( ) 8 y y y y y y y y 4 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 y y y y 1 y y y y y y y y 4y 4

12 σελ. 1 απο 9 Εξασκηση στις ταυτοτητες (5) Συμπληρωστε τα παρακατω κενα: y y 6y 4 5 y 6 y 4

13 σελ. 1 απο 9 Παραγοντοποιηση Παραγοντοποίηση με χρήση ταυτοτήτων Παραγοντοποιηση ειναι η διαδικασια με την οποια μετατρεπουμε ενα πολυωνυμο σε γινομενο πολυωνυμων (1 ) y ( 15) ( 15) y y y ( ) 6( )

14 σελ. 14 απο y 6y 4 6y 8y y yz y 16 y 7y 14 y 8 y ( 1) 4 ( 1) ( 1)( ) ( 4)( ) ( 1) (1 )( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) 4 ( 1) 1 ( ) ( 1) ( 1) y y ( 1) ( 1) ( 1) 4( 1) ( y) ( y) Παραγοντοποίηση με κοινούς παράγοντες ( 1) y y y y z yz yz y z yz yz 6 4 y y y 5 4 1

15 σελ. 15 απο 9 Παραγοντοποιηση πολυωνυμου της μορφης Ενα τετοιο πολυωνυμο παραγοντοποιειται ως εξης: a a Για παραδειγμα, για να παραγοντοποιησουμε το πολυωνυμο 8 1 ψαχνουμε δυο αριθμους με αθροισμα 8 και γινομενο 1. Με δοκιμες βρισκουμε οτι 6 8, 6 1, αρα το πολυωνυμο γραφεται ως: ( ) 6( ) ( )( 6) Ως ασκηση παραγοντοποιειστε τα παρακατω πολυωνυμα: 54 1y ( 5 8) 5 8 ( 6 ) 1 4 4

16 σελ. 16 απο 9 Ρητες (κλασματικες) αλγεβρικες παραστασεις 10 5y z 5 y z 5 y y y 6 4 ( 4) y y y y y y y y y y y y y y 1 y 1 y y y y y y y y y 1 y y y Πραξεις με ρητες αλγεβρικες παραστασεις

17 σελ. 17 απο 9 Εξισώσεις ου βαθμού με έναν άγνωστο (διακρίνουσα) Εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο είναι κάθε εξίσωση που μπορεί να έρθει στη μορφή P * ( ) 0 (,, ) Η εξίσωση αυτή είναι επιλύσιμη σε κάθε περίπτωση. Για να τη λύσουμε υπολογίζουμε τη διακρίνουσα της διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: 4 και ανάλογα με το πρόσημό Αν 0 τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις διαφορετικές μεταξύ τους: Αν 0 τότε η εξίσωση έχει μια (διπλή) λύση: Αν 0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει καμία λύση στους πραγματικούς). 1 Επιπλέον, το πολυώνυμο παραγοντοποιείται και γράφεται ως 1 Επιπλέον, το πολυώνυμο παραγοντοποιείται και γράφεται ως Παραδείγματα: P 1 P 1 Παραδείγματα: Παραδείγματα:

18 σελ. 18 απο 9 Ασκησεις στη διακρινουσα (1) ( 1) (1 )( ) 0 ( ) 4 ( 1) 1 0 ( ) 6 ( ) 1 ( )( 4) ( 1) ( 1)( ) ( ( ) ( 4) ( 1) ( )( ) 1 ) 8 ( 1) (5 ) (1 4 )

19 σελ. 19 απο 9 Ασκησεις στη διακρινουσα () Απλοποιειστε τα παρακατω κλασματα: Δινονται οι παραστασεις: A 4 6, B o Να βρειτε για ποιες τιμες του οριζονται οι παραστασεις. o Να λυσετε την εξισωση A B 0. Ποιοί πρέπει να είναι οι συντελεστές β,γ μιας εξίσωσης ου βαθμού για να έχει ρίζες το 10 και το -0; Να βρειτε που τεμνονται (αν τεμνονται) ο κυκλος y 5 και η ευθεια y1. Δινεται το πολυωνυμο P( ). o Να βρειτε τις ριζες του πολυωνυμου και να το παραγοντοποιησετε. o Να λυσετε την εξισωση 1 0 P( ). Λυστε την εξισωση 16y 0 y y ( y)( y). Δινονται οι παραστασεις: A ( 1)( ) 9( 1) B o Να απλοποιηθει η παρασταση A B o Να λυθει η εξισωση AB 0 o Αν η εξισωση AB εχει μια ριζα, να υπολογισετε την παραμετρο.

20 σελ. 0 απο 9 Παραβολή Κάθε συνάρτηση με γενική μορφή y P ( ),,,, 0 ονομάζεται παραβολή. Η γραφική παράσταση της παραβολής στη γενική μορφή της είναι μια καμπύλη που μοιάζει με κύπελο. Για τη γραφική παράσταση της παραβολής ισχύουν τα εξής: Η κορυφή της παραβολής είναι το σημείο K, Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία Αν 0 προς τα πάνω (το κυπελλο ειναι αναποδα). 4 όπου η διακρίνουσα του τριωνύμου.. τότε η κορυφή της παραβολής «κοιτάει» προς τα κάτω (το κυπελλο ειναι ορθιο). Αν 0 τότε η κορυφή της παραβολής «κοιτάει» Όσο μεγαλύτερη η απόλυτη τιμή του τόσο πιο «κλειστή» ή «απότομη» η παραβολή. Ανεξάρτητα από το πρόσημο του, αν η διακρίνουσα είναι: θετική, τότε η παραβολή τέμνει τον άξονα σε δύο διαφορετικά σημεία. μηδέν, τότε η παραβολή τέμνει τον άξονα σε ακριβώς ένα σημείο. αρνητική, τότε η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα. Όλα τα παραπάνω συνοψίζονται γραφικά στα παρακάτω σχήματα:

21 σελ. 1 απο 9 Πιθανότητες Σύνολα Σύνολο είναι μια ομάδα που περιέχει διάφορα στοιχεία το καθενα διαφορετικο απο το αλλο. Για παράδειγμα: {οι θετικοι ακεραιοι αριθμοι μαζι με το 0} {0,1,,,4,5,...} {οι ακεραιοι αριθμοι} {...,,, 1, 0, 1,,,...} {οι πραγματικοι αριθμοι} {ολοι οι ρητοι και ολοι οι αρρητοι} Α {οι αρτιοι αριθμοι} Β {οι διαιρετες του 16} {τα ψηφια του αριθμου 45808}= {τα γραμματα της λεξης "γαλαξιας"}= Αν ένα στοιχείο ανήκει σε ένα σύνολο X, αυτό το συμβολίζουμε ως X. Αν ένα στοιχείο δεν ανήκει σε ένα σύνολο X, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το συμβολισμό X. Ο συμβολισμός αυτός είναι πολύ χρήσιμος ως προς την εκφραση συνολων: { : 6 4} { : διαιρετης του 0} {ρητοι αριθμοι} :,, 0 {αρρητοι αριθμοι} { } Ένα σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο λέγεται κενό σύνολο και συμβολίζεται ως {}. Εξεταστε αν τα παρακατω συνολα ειναι κενα: {οι ανθρωποι που κατοικουν στη σεληνη} {οι αρτιοι διαιρετες του 15}={ : αρτιος και διαιρετης του 15} { : 0} { : 0} Δύο σύνολα λέγονται ίσα αν περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία, ανεξαρτητα απο τη σειρα με την οποια εμφανιζονται. Εξεταστε αν τα παρακατω συνολα ειναι ισα:?? {αρτιοι αριθμοι} = {οι φυσικοι που διαιρουνται ακριβως με το } = {οι φυσικοι που τελειωνουν σε 0,,4,6 ή 8}? {τα ψηφια του αριθμου 76} = {τα ψηφια του αριθμου 677} Αν ενα συνολο εμπεριεχεται εξολοκληρου μεσα σε ενα συνολο τοτε λεμε οτι το ειναι υποσυνολο του και το γραφουμε ως. Αυτο σημαινει οτι καθε στοιχειο του ειναι και στοιχειο του. Για παραδειγμα, το είναι υποσύνολο του :. Μπορούμε να αναπαραστήσουμε όλα τα γνωστά σύνολα με ένα κατατοπιστικό διάγραμμα Venn. Ως ασκηση, βαλτε το σωστο συμβολο ( ή ) στα παρακατω συνολα: {περιττοι αριθμοι} {περιττοι αριθμοι} { : 9} { : } {διαιρετες του 16} {αρτιοι αριθμοι}

22 σελ. απο 9 Πράξεις με σύνολα Ας πάρουμε το συνολο {1,,, 4,5,6,7,8,9,10} και τα υποσύνολα του {1,,}, {,, 4,5,10} Η ένωση των, είναι ένα καινούργιο σύνολο που περιέχει τα στοιχεια που ανηκουν ή στο ή στο. Με άλλα λόγια, η ένωση περιεχει όλα τα κοινά στοιχεία και όλα τα μη κοινά στοιχεία: {1,,,4,5,10} Η τομή των, είναι ένα καινούργιο σύνολο που περιέχει όλα εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν και στο Α και στο Β. Με άλλα λόγια, η τομή περιέχει (μόνο) τα κοινά στοιχεία των συνόλων και συμβολίζεται ως {,} Το συμπλήρωμα (ή αντίθετο) του Α θα είναι εκείνο το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του που δεν ανήκουν στο : {4,5,6,7,8,9,10} Το ειναι εκεινο το συνολο που περιεχει ολα τα στοιχεια που ανηκουν στο εκτος απο εκεινα που ανηκουν στο : {1} Το συμπληρωμα της ενωσης ειναι εκεινο το συνολο που περιεχει ολα τα στοιχεια του που δεν ανηκουν στην ενωση: {6,7,8,9} Το συμπληρωμα της τομης ειναι το συνολο που περιεχει ολα τα στοιχεια του που δεν ανηκουν στην τομη: {1,4,5,6,7,8,9,10} Αν επιπλεον {,5,7,9,10}, εξεταστε αν ισχυουν οι παρακατω ιδιοτητες:

23 σελ. απο 9 Πείραμα τύχης - δειγματικός χώρος - ενδεχόμενα Σε καθε πείραμα τύχης, δειγματικός χώρος ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα αν ρίξουμε ένα ζάρι μια φορά ο δειγματικός χώρος ειναι {1,,, 4,5,6}. Ομοίως, αν ριξουμε ενα κερμα ο δειγματικος χωρος θα ειναι το συνολο {, }. Ο δειγματικος χωρος των αποτελεσματων ενος ποδοσφαιρικου αγωνα ειναι {1,, }. Αν ριξουμε το ζαρι δυο φορες τοτε ο δειγματικος χωρος περιεχει 6 ζευγαρια αποτελεσματων: Κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου ονομάζεται ενδεχόμενο. Για παράδειγμα το ενδεχόμενο Α = { να φέρουμε τον ίδιο αριθμό και στις δυο ρίψεις } είναι το υποσύνολο Α = { (1,1), (,), (,), (4,4), (5,5), (6,6) }. Αν λοιπον φερουμε 6 και στα δυο ζαρια τοτε το ενδεχομενο Α πραγματοποιειται. Αν φερουμε 4 στο ενα ζαρι και 5 στο αλλο τοτε το ενδεχομενο Α δεν πραγματοποιειται. Οι ευνοικες περιπτωσεις ωστε να πραγματοποιηθει ενα ενδεχομενο ειναι ο αριθμος των στοιχειων του ενδεχομενου. Για παράδειγμα, οι ευνοικες περιπτωσεις ώστε να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α είναι 6. Γραφουμε λοιπον ( ) 6. Ένα ενδεχόμενο που είναι απίθανο να πραγματοποιηθεί (πχ το ενδεχόμενο να φέρουμε αθροισμα 14) λέγεται αδύνατο. Ένα αδύνατο ενδεχόμενο είναι ίσο με το κενό σύνολο. Ένα ενδεχόμενο που είναι σιγουρο οτι θα πραγματοποιηθει (πχ να φέρουμε αθροισμα απο και πανω) ονομάζεται βέβαιο. Ενα βέβαιο ενδεχόμενο ισούται με το δειγματικό χώρο. Δύο ενδεχόμενα που δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο (η τομή τους είναι το ) ονομάζονται ασυμβίσβαστα ή ξένα μεταξυ τους. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα είναι αδύνατον να συμβούν ταυτόχρονα. Για παραδειγμα, τα ενδεχομενα Α = { (1,1), (,), (,), (4,4), (5,5), (6,6) } και Β = { να φερουμε αθροισμα περιττο αριθμο } ειναι ασυμβιβαστα. Ενα ενδεχομενο λεγεται υποσυνολο ενος ενδεχομενου ( ) αν η πραγματοποιηση του συνεπαγεται την πραγματοποιηση του. Για παράδειγμα, τα ενδεχομενα = { να φέρουμε τον ίδιο αριθμό και στις δυο ρίψεις } και = { το ενδεχομενο να φερουμε αθροισμα ζυγο αριθμο } τοτε προφανως ισχυει. Εφόσον τα ενδεχόμενα είναι σύνολα, μπορούμε να εφαρμοσουμε ολες τις γνωστες πραξεις μεταξυ συνολων. Πιο συγκεκριμενα, για καθε δυο ενδεχομενα, ενος δειγματικου χωρου ισχυουν τα εξης: Το ενδεχομενο να συμβει τουλαχιστον ενα απο τα, Β( ή το ή το ) ισουται με. Το ενδεχομενο να συμβει ταυτοχρονα και το και το ισουται με. Το ενδεχομενο να μην συμβει το ισουται με. Αν ειναι ο δειγματικος χωρος της ριψης δυο ζαριων να γραψετε τα παρακατω ενδεχομενα και να υπολογισετε τις ευνοικες περιπτωσεις για το καθενα: { να φερουμε τον ιδιο αριθμο } { να φερουμε αθροισμα 9 } { να φερουμε τον ιδιο αριθμο ή αθροισμα 9 } { να φερουμε τον ιδιο αριθμο και αθροισμα 9 } { να φερουμε αθροισμα 8 } { να φερουμε γινομενο 1 } { να φερουμε τουλαχιστον μια φορα 1 } { να φερουμε διαδοχικους αριθμους } { να φερουμε γινομενο 1 }

24 σελ. 4 απο 9 Κλασσικός ορισμός πιθανότητας Σε ένα πείραμα τύχης ορίζουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου ως εξής: πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων αριθμός στοιχείων του Α N( ) P( ) πλήθος δυνατών περιπτώσεων αριθμός στοιχείων του N( ) Για παράδειγμα, η πιθανοτητα να φερουμε τον ιδιο αριθμο και στις δυο ριψεις ενος ζαριου ειναι N( ) 6 P( ) 0, % N( ) 6 Θεωρουμε οτι ενα βέβαιο ενδεχόμενο έχει εξορισμου πιθανότητα P( ) 1 100% και ενα αδύνατο ενδεχόμενο έχει εξορισμου πιθανότητα P( ) 0%. Για καθε δυο ενδεχομενα, ενος δειγματικου χωρου ισχύουν τα εξής: 0 P( ) 1 Προσθετικος νομος: P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) 1 P( ) Παραδειγμα Εξεταζουμε ενα συνολο μαθητων ως προς τις αθλητικες τους προτιμησεις. Το % παιζει ποδοσφαιρο, το 84 % δεν παιζει τεννις ενω το % παιζει και τα δυο. Διαλεγουμε στην τυχη εναν μαθητη. Ποια η πιθανοτητα να παιζει τεννις; Ποια η πιθανοτητα να παιζει τουλαχιστον ενα αθλημα; Ποια η πιθανοτητα να μην κανει κανενα απο τα δυο αθληματα; Αν οι μαθητες που παιζουν ποδοσφαιρο ειναι 18, ποιο ειναι το μεγεθος του δειγματος;

25 σελ. 5 απο 9 Β μερος: Γεωμετρια Τρίγωνα Ειδη τριγωνων Στοιχεια τριγωνου

26 σελ. 6 απο 9 Κριτήρια ισότητας τριγώνων Δυο τριγωνα λεγονται ισα αν το ενα ειναι ακριβης αντιγραφη του αλλου. Συνεπως, αν δυο τριγωνα ειναι ισα τοτε ολες οι αντιστοιχες γωνιες τους ειναι ισες και ολες οι αντιστοιχες πλευρες τους ειναι ισες. Παρακατω συνοψιζουμε τα τρια κριτηρια ισοτητας τριγωνων: Πλευρα Γωνια Πλευρα (ΠΓΠ) Αν δυο τριγωνα εχουν δυο αντιστοιχες πλευρες ισες και την περιεχομενη γωνια στις πλευρες αυτες ιση, τοτε ειναι ισα. Γωνια Πλευρα Γωνια (ΓΠΓ) Αν δυο τριγωνα εχουν μια πλευρα ιση και τις προσκειμενες στην πλευρα αυτη γωνιες ισες, τοτε ειναι ισα. Πλευρα Πλευρα Πλευρα (ΠΠΠ) Αν δυο τριγωνα εχουν και τις τρεις πλευρες τους ισες, τοτε ειναι ισα. Παρατηρηση: Αν δυο τριγωνα ειναι ισα τοτε απεναντι απο ισες γωνιες βρισκονται ισες πλευρες, και απεναντι απο ισες πλευρες βρισκονται ισες γωνιες. Ασκησεις στην ισοτητα τριγωνων Αποδειξτε οτι καθε σημειο της μεσοκαθετου ενος ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ ισαπεχει αποτα σημεια Α και Β. Αποδειξτε οτι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Αποδειξτε οτι δυο ορθογωνια τριγωνα που εχουν δυο αντιστοιχες πλευρες ισες τοτε ειναι ισα. (1 ο κριτηριο ισοτητας ορθογωνιων τριγωνων) Αποδειξτε οτι δυο ορθογωνια τριγωνα που εχουν μια αντιστοιχη γωνια ιση και μια αντιστοιχη πλευρα ιση τοτε ειναι ισα. ( ο κριτηριο ισοτητας ορθογωνιων τριγωνων) Σε ενα ισοσκελες τριγωνο ειναι ΑΒ = ΑΓ και ΑΔ η διχοτομος της. Αποδειξτε οτι και οτι η ΑΔ ειναι διαμεσος και υψος. Αποδειξτε οτι οι απεναντι πλευρες ενος παραλληλογραμμου ειναι ισες. Αποδειξτε οτι οι διαγωνιοι ενος παραλληλογραμμου διχοτομουνται ( η μια κοβει την αλλη στη μεση).

27 σελ. 7 απο 9 Το θεωρημα του Θαλη Αν τρεις η περισσοτερες παραλληλες ευθειες τεμνονται απο δυο αλλες ευθειες,, τοτε τα τμηματα που οριζονται απο την ειναι αναλογα με τα αντιστοιχα τμηματα που οριζονται απο την : (1) Αντιστροφα, αν τρεις ευθειες μεταξυ των οποιων οι δυο ειναι παραλληλες τεμνονται απο δυο αλλες ευθειες ε,ε' και οι ε,ε' οριζουν στις τρεις ευθειες τμηματα αναλογα, ετσι ωστε να ισχυει η ισοτητα (1), τοτε οι τρεις ευθειες ειναι παραλληλες. Ως ασκηση, αποδειξτε οτι αν ισχυει η ισοτητα (1) τοτε ισχυουν και οι παρακατω: Εφαρμογη 1: Αν τρεις παραλληλες ευθειες οριζουν ισα τμηματα σε μια ευθεια που τις τεμνει, τοτε θα οριζουν ισα τμηματα και σε καθε αλλη ευθεια που τις τεμνει. Εφαρμογη : Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα δυο πλευρων ενος τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη πλευρα του και ισο με το μισο της: // Και αντιστροφα: Αν απο το μεσο μια πλευρας τριγωνου φερουμε παραλληλη ευθεια προς μια αλλη πλευρα, τοτε αυτη (η παραλληλη) διερχεται απο το μεσο της τριτης πλευρας του.

28 σελ. 8 απο 9 Ομοια σχηματα Δυο κλειστα πολυγωνα λεγονται ομοια αν το ενα ειναι σμικρυνση η μεγέθυνση του άλλου. Ισοδυναμα, δυο πολυγωνα ειναι ομοια αν οι αντιστοιχες πλευρες τους ειναι αναλογες και οι αντιστοιχες γωνιες τους ειναι ισες. Παρατηρησεις: Αν δυο πολυγωνα ειναι ομοια, τοτε οι αντιστοιχες πλευρες τους (ομολογες πλευρες) εχουν τον ιδιο συντελεστη αναλογιας (λογο ομοιοτητας). Επειδη ισχυει (αντιστοιχων) πλευρων., επεται οτι ο λογος των περιμετρων δυο ομοιων σχηματων ειναι ισος με το συντελεστη αναλογιας των Αποδεικνυεται οτι δυο κανονικα πολυγωνα με τον ιδιο αριθμο πλευρων ειναι ομοια. Αποδεικνυεται οτι ο λογος των εμβαδων δυο ομοιων πολυγωνων ισουται με το τετραγωνο του συντελεστη αναλογιας των (αντιστοιχων) πλευρων. Δυο τριγωνα ειναι ομοια αν εχουν δυο γωνιες ισες. Αν δυο τριγωνα ειναι ομοια τοτε απεναντι απο ισες γωνιες βρισκονται αναλογες πλευρες. Για τα διπλανα τριγωνα ειναι: πλευρα μεγαλου τριγωνου πλευρα μικρου τριγωνου 6 περιμετρος μεγαλου τριγωνου περιμετρος μικρου τριγωνου 11 μεγάλου τριγώνου μικρού τριγώνου Ασκησεις στην ομοιοτητα πολυγωνων Εστω τριγωνο ΑΒΓ ( 0 90 ) και ΑΔ το υψος του. o o o o o o Αποδειξτε οτι τα ΑΔΒ και ΑΒΓ ειναι ομοια. Αποδειξτε οτι τα ΑΔΒ και ΑΔΓ ειναι ομοια. Αν ΔΒ = 4, ΔΓ = 9, βρειτε το ΑΔ. Αφου υπολογισετε τις περιμετρους των ΑΔΒ, ΑΔΓ, επιβεβαιωστε οτι Υπολογιστε τον λογο Υπολογιστε τον λογο... Αποδειξτε οτι αν δυο τριγωνα ειναι ομοια με λογο ομοιοτητας λ, τοτε ο λογος των υψων, των διαμεσων και των διχοτομων τους ειναι επισης ισος με λ. Εστω ενα τριγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Επεκτεινουμε την πλευρα ΑΓ προς το μερος του Γ και παιρνουμε ενα τμημα ΑΔ = ΑΒ. Το σημειο Λ ειναι το μεσο του ΑΔ και το σημειο Κ ειναι το μεσο του ΒΔ. o Αποδειξτε οτι ΑΒ = ΑΓ ΑΔ o Αποδειξτε οτι το τριγωνο ΑΒΛ ειναι ισοσκελες o Αποδειξτε οτι η ΒΛ ειναι διχοτοτομος της γωνιας o Αποδειξτε οτι τα τριγωνα ΑΒΔ και ΚΛΔ ειναι ομοια o Αποδειξτε οτι τα τριγωνα ΒΓΛ και ΒΚΛ ειναι ισα o Αποδειξτε οτι τα τριγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ ειναι ομοια. ^

29 σελ. 9 απο 9 Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών [ 0,180 0 ] Μπορούμε να γενικεύσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και να τους ορίσουμε για κάθε γωνία 0 [0,180 ], ως εξής: y y y Πινακας βασικων τριγωνομετρικων αριθμων Γωνία σε μοίρες Ημίτονο Συνημίτονο Εφαπτομένη Νόμος ημιτόνων και νόμος συνημιτόνων Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι παρακάτω ισοτητες: Νόμος ημιτόνων: ( ) ( ) ( ) Νόμος συνημιτόνων: Ιδιότητες τριγωνομετρικών αριθμών 0 0 0,90 ( ) 0, ( ) 0, ( ) ,180 ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 ( ) ( ) 1

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2008 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2008 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Πειραματικό υμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Μάιος 8 ΘΕΜΑΤΑ ΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΩΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ : ΘΕΩΡΙΑ Έστω η εξίσωση δευτέρου βαθμού : a με a β γ (). α) Ποια παράσταση λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2014-2015 Μαθηματικός Περιηγητής 1 Διδακτέα ύλη και οδηγίες διδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Μονώνυμα Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πράξεις με μονώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι να μάθουν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο α ) Ποια παράσταση καλείται μονώνυμο; Δώστε παράδειγμα. β ) Πότε δυο μονώνυμα είναι όμοια ; Δώστε παράδειγμα όμοιων μονωνύμων. γ ) Για ποιες τιμές των μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή Το βιβλίο αυτό έχει διπλό σκοπό: Να σε βοηθήσει στη γρήγορη, άρτια και αποτελεσματική προετοιμασία του καθημερινού σχολικού μαθήματος. Να σου δώσει όλα τα απαραίτητα εφόδια,

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε μονώνυμο;. Τι ονομάζουμε ρητή αλγεβρική παράσταση; 3. Ποιες τιμές δεν μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ: ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις.: Δυνάμεις φυσικών αριθμών.4: Ευκλείδεια διαίρεση - διαιρετότητα.: Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 009 ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : α) Ποια μονώνυμα λέγονται αντίθετα; Γράψτε ένα παράδειγμα δύο αντίθετων μονωνύμων. β) Ποια αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

: :

: : ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου;

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; 2. Τι ξέρετε για το υπόλοιπο που προκύπτει από μια Ευκλείδεια διαίρεση; 3. Τι ονομάζουμε τέλεια

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2014 Θέμα 1 ο A. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα