δ p = 0 { } = [ q m u m w m q m } δ e (4.1)

Transcript

1 4: ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Σύνοψη Από τη στιγμή που έχουν διαμορφωθεί οι εξισώσεις κίνησης μικρών διαταραχών του αεροσκάφους και έγινε η αποσύζευξή τους σε διαμήκεις και εγκάρσιες, μπορούν πλέον να μελετηθούν ξεχωριστά τα δύο αυτά μέρη της δυναμικής του αεροσκάφους. Στο κεφάλαιο αυτό αναλύεται η διαμήκης δυναμική και τα μοντέλα χαμηλότερης τάξης με τα οποία μπορεί να προσεγγιστεί. Επίσης, παρουσιάζονται εφαρμογές εξαγωγής των αποκρίσεων των μεταβλητών που εμπλέκονται στα πεδία του χρόνου και της συχνότητας. Προαπαιτούμενη γνώση Πέρα από τις δεδομένες γνώσεις γραμμικής άλγεβρας, απαιτούνται γενικές γνώσεις δυναμικής μηχανών, μοντελοποίησης και ελέγχου συστημάτων όπως και ανάλυσης στο πεδίο της συχνότητας με διαγράμματα Bode. Επίσης, είναι απαραίτητη η μελέτη των Παραρτημάτων Γ και Δ, για την κατανόηση της παράστασης των εξισώσεων κίνησης με συναρτήσεις μεταφοράς και στον χώρο κατάστασης. 1. Απόκριση σε εντολές ελέγχου Η λύση των διαμήκων εξισώσεων κίνησης με τις μεθόδους που παρουσιάζονται στο παράρτημα Β μας οδηγεί στην εύρεση της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος (εκτεταμένη ανάλυση από τον Κρικέλη [10], [11]). Η συνάρτηση μεταφοράς περιγράφει πλήρως τη γραμμική δυναμική απόκριση σε μια είσοδο ελέγχου στο επίπεδο συμμετρίας. Τα χαρακτηριστικά ευστάθειας του αεροσκάφους, προσδιορίζουν και τις δυναμικές του ιδιότητες οι οποίες ουσιαστικά περιγράφονται από την απόκρισή του. Η συνάρτηση μεταφοράς αλλά και οι μεταβλητές της απόκρισης που περιγράφονται από αυτήν, είναι γραμμικές ποσότητες επειδή όλη η διαδικασία μοντελοποίησης έχει βασιστεί στην υπόθεση ότι η κίνηση αφορά μικρές διαταραχές γύρω από μια κατάσταση ισορροπίας. Παρ όλα αυτά αποτελεί κοινή πρακτική να υποτίθεται ότι η απόκριση του συστήματος είναι έγκυρη ακόμα και όταν το μέγεθός της δεν είναι τέτοιο ώστε να μπορεί να περιγραφεί με τον όρο «απόκριση μικρών διαταραχών». Για τα περισσότερα συμβατικά αεροσκάφη, επειδή τείνουν να έχουν γραμμικά αεροδυναμικά χαρακτηριστικά σε ολόκληρο τον φάκελο πτήσης τους, το λάθος που υπεισέρχεται στους υπολογισμούς προκύπτει τόσο μικρό ώστε γίνεται αποδεκτό. Για αεροσκάφη με πραγματικά εκτεταμένο φάκελο πτήσης, με σημαντική μη γραμμικότητα στα αεροδυναμικά τους χαρακτηριστικά και/ή εξάρτηση της ομαλής πτήσης τους από πολύπλοκα συστήματα ελέγχου πτήσης, είναι θεμιτό να μην χρησιμοποιούνται οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις κίνησης για την ανάλυση της απόκρισης, εκτός και αν αυτή η απόκριση μπορεί να χαρακτηριστεί ως μικρού εύρους. Σε αυτό το σημείο είναι χρήσιμο να παρουσιαστεί ξανά η διαμήκης απόκριση σε σχέση με τις αποκλίσεις του πηδαλίου ανόδου-καθόδου, γύρω από μια θέση ισορροπίας, καθώς η ώση διατηρείται σταθερή. Το σύστημα των διαμήκων εξισώσεων μπορεί τότε να γραφεί: u x u x w x q x θ u x δ e w z u z w z q z θ w z δ e δ p = 0 { } = [ q m u m w m q m ] { } + { θ q m } δ e (4.1) δ e θ θ 0 Οι τέσσερις συναρτήσεις μεταφοράς μπορούν να γραφούν στην κάτωθι πιο βολική μορφή που χρησιμοποιεί ο Cook [3]:

2 u(s) δ e (s) = N δ u e (s) Δ(s) = k u (s + 1/T u )(s 2 + 2ζ u ω u s + ω 2 u ) (s 2 + 2ζ p ω p s + ω 2 p )(s 2 + 2ζ s ω s s + ω 2 (4.2) s ) w(s) δ e (s) = N δ w e (s) Δ(s) = k w (s + 1/T α )(s 2 + 2ζ α ω α s + ω 2 α ) (s 2 + 2ζ p ω p s + ω 2 p )(s 2 + 2ζ s ω s s + ω 2 (4.3) s ) q(s) δ e (s) = N q δ e (s) Δ(s) = k q s(s + 1/T θ1 )(s + 1/T θ2 ) (4.4) (s 2 + 2ζ p ω p s + ω 2 p )(s 2 + 2ζ s ω s s + ω 2 s ) θ(s) δ e (s) = N δ θ e (s) Δ(s) = k θ (s + 1/T θ1 )(s + 1/T θ2 ) (4.5) (s 2 + 2ζ p ω p s + ω 2 p )(s 2 + 2ζ s ω s s + ω 2 s ) όπου Τ: χρονική σταθερά, ω: φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση [rad/sec], ζ: συντελεστής απόσβεσης, p (phugoid): δείκτης φυγοειδούς, s (short period): δείκτης μικρής περιόδου. Οι συναρτήσεις μεταφοράς των μεταβλητών κατάστασης της διαμήκους δυναμικής προς τις εισόδους, εκφράζονται ως κλάσματα πολυωνύμων με διαφορετικούς αριθμητές και με κοινό παρονομαστή που περιγράφονται στο παράρτημα Γ.3.1. Τα πολυώνυμα παραγοντοποιούνται σε πραγματικά και μιγαδικά ζεύγη ριζών ώστε να συμβαδίζουν με τις μορφές που δόθηκαν πιο πάνω. Περισσότερα για την ανάλυση συστημάτων, παρουσιάζονται στο παράρτημα Β. Όταν οι ρίζες των πολυωνύμων εκφραστούν συναρτήσει των χρονικών σταθερών, των λόγων απόσβεσης και των φυσικών συχνοτήτων τότε λαμβάνονται άμεσα οι απαιτούμενες πληροφορίες που χαρακτηρίζουν τη δυναμική της απόκρισης. Πρέπει επίσης να σημειωθεί, ότι οι παράγοντες των αριθμητών και των παρονομαστών αποτελούν τις τυπικές μορφές που ισχύουν για ένα συμβατικό αεροσκάφος. 2. Η χαρακτηριστική εξίσωση Όπως έχει ήδη περιγραφεί ο κοινός παρονομαστής των συναρτήσεων μεταφοράς αποτελεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, το οποίο με τη σειρά του περιγράφει τα χαρακτηριστικά ευστάθειας του αεροσκάφους. Έτσι, η απόκριση όλων των μεταβλητών ως προς τη μεταβολή του πηδαλίου ανόδου-καθόδου κυριαρχείται από τις παραμέτρους του παρονομαστή, δηλαδή τους λόγους απόσβεσης και τις φυσικές συχνότητες. Οι διαφορές που προκύπτουν ανάμεσα σε κάθε μια απόκριση οφείλονται κατά κύριο λόγο στους αντίστοιχους αριθμητές. Είναι απαραίτητο επομένως να αποτιμηθεί ο ρόλος του αριθμητή στη διαμόρφωση της δυναμικής απόκρισης του αεροσκάφους. Οι γενικές μορφές των αποκρίσεων των μεταβλητών, καθορίζονται από τους κοινούς παρονομαστές και «χρωματίζονται» από τους διαφορετικούς κάθε φορά αριθμητές. Ο αριθμητής δεν παίζει κανένα ρόλο στον καθορισμό της ευστάθειας ενός γραμμικού συστήματος. Το διάμηκες χαρακτηριστικό πολυώνυμο για ένα κλασσικό αεροσκάφος είναι τετάρτου βαθμού, αποτελεί τον κοινό παρονομαστή των συναρτήσεων μεταφοράς και εξισώνοντας το με το μηδέν αποτελεί τη χαρακτηριστική εξίσωση: Δ(s) = As 4 + Bs 3 + Cs 2 + Ds + E = 0 (4.6) Γενικά η χαρακτηριστική εξίσωση παραγοντοποιείται σε δύο ζεύγη ριζών και μπορεί να γραφτεί: Δ(s) = (s 2 + 2ζ p ω p s + ω p 2 )(s 2 + 2ζ s ω s s + ω s 2 ) = 0 (4.7) Δηλαδή η απόκριση του αεροσκάφους είναι υπέρθεση δύο μορφών ταλαντώσεων, της μικρής περιόδου και του φυγοειδούς, σύμφωνα με το [6], οι οποίες

3 εξετάζονται στη συνέχεια. Η γραφή της χαρακτηριστικής εξίσωσης κατά αυτόν τον τρόπο είναι ανάλογη με την αντίστοιχη γραφή για το σύστημα 2 ης τάξης μάζαςελατηρίου-αποσβεστήρα όπως περιγράφεται στο παράρτημα Β.2.2. Έτσι, η διαμήκης δυναμική του αεροσκάφους έχει μεγάλες ομοιότητες μ ένα ζεύγος από συνδεδεμένα συστήματα μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα. Βέβαια τα χαρακτηριστικά της συχνότητας και της απόσβεσης προφανώς δεν έχουν μηχανική προέλευση, αλλά προέρχονται από τις αεροδυναμικές ιδιότητες του αεροσκάφους. Η σύνδεση μεταξύ της δυναμικής του αεροσκάφους και των αεροδυναμικών του χαρακτηριστικών, που είναι μια δύσκολη και επίπονη διαδικασία -περισσότερα στο κεφάλαιο 6- που πραγματοποιείται με τη σύγκριση των εξισώσεων (4.10), (4.11) και στη συνέχεια τη λήψη των ορισμών, ως προς τις αεροδυναμικές παραγώγους ευστάθειας, για τους συντελεστές της εξίσωσης (4.6) από το παράρτημα Γ Ταλάντωση πρόνευσης μικρής περιόδου Κάθε φορά που το αεροσκάφος διαταράσσεται από τη θέση ισορροπίας, συνυπάρχουν και οι δύο μορφές διαμήκους δυναμικής ευστάθειας. Η διαταραχή ως προς την κατάσταση ισορροπίας μπορεί να προκληθεί από τις εντολές του πιλότου στα πηδάλια ελέγχου, κάποια μεταβολή στην ισχύ του αεροσκάφους, αλλαγές στη διαμόρφωση για παράδειγμα έκταση των flaps- καθώς και από εξωτερικούς παράγοντες όπως ατμοσφαιρικές αναταράξεις, ριπές ανέμου κ.ά. Η μορφή (mode) της μικρής περιόδου ή αλλιώς ταχείας προσαρμογής της γωνίας πρόσπτωσης (rapid incidence adjustment), τυπικά είναι μία αποσβενόμενη ταλάντωση, ως προς την πρόνευση περί τον άξονα oy, όπως δείχνει το σχήμα 4.1. Εμφανίζεται ως μία κλασσική ταλάντωση δευτέρου βαθμού, στην οποία οι κυρίες μεταβλητές είναι η γωνία πρόσπτωσης αw, ο ρυθμός πρόνευσης q και η πρόνευση θ. Το γεγονός αυτό θα γίνει φανερό στο αριθμητικό παράδειγμα 4.1 στο τέλος του κεφαλαίου, μέσω της ιδιοδιανυσματικής ανάλυσης. Τυπικά, η φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση είναι ωs ~ 1:10 rad/sec, ενώ η απόσβεση ζs σταθεροποιεί το αεροσκάφος, αν και ο λόγος απόσβεσης είναι συχνά χαμηλότερος του επιθυμητού. Ένα βασικό χαρακτηριστικό της μορφής αυτής είναι ότι η ταχύτητα U παραμένει κατά προσέγγιση σταθερή (u=0). Καθώς η περίοδος της μορφής είναι μικρή, οι επιδράσεις της αδράνειας και της ορμής καθορίζουν ότι η απόκριση της ταχύτητας στη χρονική κλίμακα που αντιστοιχεί η μορφή αυτή είναι αμελητέα. U = U e + u U e (4.8)

4 Σχήμα 4.1 Μηχανικό δυναμικό ισοδύναμο της ταλάντωσης μικρής περιόδου Για να γίνουν πιο κατανοητές οι φυσικές διεργασίες που λαμβάνουν χώρα, συγκρίνεται το αεροσκάφος με το κλασσικό, μηχανικό, δυναμικό σύστημα, μάζαςελατηρίου-αποσβεστήρα. Το αεροσκάφος συμπεριφέρεται σαν να ήταν αγκιστρωμένο, κατά τον άξονα oy, από ένα ελατήριο όπως στο σχήμα 4.1. Μια διαταραχή πρόνευσης ως προς την κατάσταση ισορροπίας αναγκάζει το ελατήριο να παράγει μια ροπή επαναφοράς και επακόλουθα να προκαλεί μια ταλάντωση ως προς τη στάση πρόνευσης. Η ακαμψία του ελατηρίου έχει ως ρίζα της, τη φυσική «ανεμουριακή» (weathercock) τάση του αεροσκάφους, δηλαδή την τάση της κεφαλής ή της ουράς του αεροσκάφους να ευθυγραμμίζεται με τον σχετικό άνεμο. Η ταλάντωση είναι αποσβενόμενη το οποίο παριστάνεται στο σχήμα 4.1 με έναν αποσβεστήρα. Η απόσβεση προκύπτει από την κίνηση της ουράς κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης όπου συμπεριφέρεται ως ένας συνεκτικός αποσβεστήρας κραδασμών. Φυσικά τα αίτια της συμπεριφοράς του αεροσκάφους, που εδώ οφείλονται στο ελατήριο και στον αποσβεστήρα, δεν είναι σε καμία περίπτωση μηχανικά αλλά προκαλούνται από αεροδυναμικούς μηχανισμούς. Κάθε δομικό μέρος του αεροσκάφους συνεισφέρει στη μορφή της ταλάντωσης, ενώ μπορεί να έχει θετική ή και αρνητική επίδραση στην ευστάθεια. Για λόγους απλότητας, υποτίθεται ότι το κυρίαρχο, αεροδυναμικό, δομικό κομμάτι που καθορίζει τα χαρακτηριστικά απόσβεσης και επαναφοράς, είναι το ουραίο πτέρωμα. Η δυναμική συμπεριφορά του αεροσκάφους δεν εξαρτάται μόνο από την επίδραση της ουράς του αεροσκάφους αλλά και από ένα εύρος άλλων επιδράσεων που προκύπτουν από άλλα μέρη του αεροσκάφους. Όταν η συνολική ευστάθεια είναι οριακή εννοείται ότι οι επιπρόσθετες επιδράσεις είναι σημαντικές και έτσι καθίσταται πολύ πιο δύσκολο να τυποποιηθούν αλλά και να περιγραφούν ποσοτικά οι κυρίαρχοι, αεροδυναμικοί παράγοντες μορφοποίησης του τύπου της ταλάντωσης. 4. Το φυγοειδές Πρόκειται κατά κύριο λόγο για μια ελαφρά αποσβενόμενη, ταλάντωση χαμηλής συχνότητας στην ταχύτητα U, συζευγμένη με τη γωνία πρόνευσης θ και το ύψος h. Ένα κύριο χαρακτηριστικό του φυγοειδούς είναι ότι η γωνία πρόσπτωσης αw παραμένει ουσιαστικά σταθερή κατά τη διάρκεια της διαταραχής. Το φαινόμενο αυτό γίνεται φανερό στο αριθμητικό παράδειγμα 4.1, μέσω της ιδιοδιανυσματικής ανάλυσης. Παρόλο που το φυγοειδές εμφανίζεται σε διαφορετικό

5 βαθμό, σε όλες τις διαμήκεις μεταβλητές της κίνησης, είναι επιτρεπτό να αμεληθεί η παρουσία των συνιστωσών του φυγοειδούς στη γωνία πρόσπτωσης αw και στον ρυθμό πρόνευσης q, εφόσον το σχετικό μέγεθος είναι πολύ μικρό συγκρινόμενο με τις υπόλοιπες μεταβλητές κατάστασης. Τυπικές τιμές για τη φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση του φυγοειδούς είναι της τάξης του ωp ~ 0.1 : 1 rad/sec ενώ ο λόγος απόσβεσης είναι πολύ μικρός. Τα χαρακτηριστικά απόσβεσης του φυγοειδούς σε ορισμένα αεροσκάφη, μπορεί να επηρεαστούν σημαντικά από τη μεταβολή της παρεχόμενης ισχύος των κινητήρων. Σχήμα 4.2 Απεικόνιση της ταλάντωσης του φυγοειδούς. Ποιοτικά η εξέλιξη της ταλαντωτικής κίνησης του φυγοειδούς που προκαλείται μετά από την εφαρμογή μιας διαταραχής από την κατάσταση αντιστάθμισης, φαίνεται στο σχήμα 4.2 και περιγράφεται ως εξής: Εικόνα (a): Το αεροσκάφος είναι αντισταθμισμένο σε οριζόντια πτήση ισορροπίας με μόνιμη ταχύτητα U V T οπότε ισχύει L=mg. Τότε το e αεροσκάφος δέχεται τη διαταραχή από την κατάσταση αντιστάθμισης. Εικόνα (b): Η διαταραχή αντιστοιχεί σε μείωση της ταχύτητας κατά τη μικρή ποσότητα u. Η γωνία πρόσπτωσης παραμένει ουσιαστικά σταθερή, αυτό οδηγεί σε μια μικρή μείωση της άνωσης και το αεροσκάφος δεν βρίσκεται πλέον σε κατακόρυφη ισορροπία. Αρχίζει επομένως να χάνει ύψος και καθώς κατέρχεται αρχίζει να επιταχύνεται όπως φαίνεται στην εικόνα. Η ταχύτητα συνεχίζει να αυξάνεται ξεπερνώντας μάλιστα την τιμή V T, ενώ η άνωση, καθώς επίσης e αυξάνεται, κάποια χρονική στιγμή ξεπερνά σε μέγεθος το βάρος. Η αύξηση της ταχύτητας και την άνωσης οδηγεί σε σταθερή άνοδο της κεφαλής του αεροσκάφους. Εικόνα (c): Πλέον το αεροσκάφος ξεκινά την άνοδο. Εικόνα (d): Καθώς το αεροσκάφος πλέον έχει περίσσεια κινητικής ενέργειας, η αδράνεια και η ορμή το αναγκάζουν να ξεπεράσει το αρχικό ύψος χάνοντας παράλληλα ταχύτητα και άνωση, καθώς ανέρχεται. Όσο το αεροσκάφος επιβραδύνεται η κεφαλή του στρέφεται προς τα κάτω. Εικόνας (e): Η άνωση είναι αρκετά μικρότερη από το βάρος και η επιταχυνόμενη κάθοδος ξεκινά για μια ακόμη φορά. Εικόνα (f): Η αδράνεια και η ορμή εξαναγκάζουν το αεροσκάφος να συνεχίζει την κάθοδο διαμέσου του αρχικού ύψους και καθώς η ταχύτητα και ή άνωση του αυξάνονται προοδευτικά, η κεφαλή του στρέφεται προς τα πάνω. Εικόνα (g): Φτάνοντας σε οριζόντια θέση το αεροσκάφος ξεκινά ξανά την άνοδο και ολοκληρώνεται ο κύκλος της ταλάντωσης του φυγοειδούς. Η κίνηση συνεχίζεται με τις επιδράσεις της οπισθέλκουσας

6 να εξαναγκάζουν τα μέγιστα και τα ελάχιστα της κίνησης να μειώνονται προοδευτικά σε μέγεθος, έως ότου η κίνηση αποσβεστεί. Το φυγοειδές λοιπόν είναι μια κλασσική αποσβενόμενη αρμονική κίνηση, που οδηγεί το αεροσκάφος να πετά σε ένα ομαλό ημιτονοειδές ίχνος πτήσης γύρω από το αρχικό ύψος πτήσης, όπου το αεροσκάφος πετούσε αντισταθμισμένο και σε οριζόντια πτήση. Καθώς οι επιδράσεις της αδράνειας και της ορμής είναι μεγάλες το φαινόμενο είναι αργό, οι γωνιακές επιταχύνσεις q και w είναι μικρές και μπορούν να αγνοηθούν για τη συνέχεια των υπολογισμών. Κατά συνέπεια η φυσική συχνότητα του φυγοειδούς είναι χαμηλή και καθώς η οπισθέλκουσα προβλέπεται εξ αρχής χαμηλή, έτσι και η απόσβεση είναι χαμηλή. Τυπικά από την έναρξη της ταλάντωσης του φυγοειδούς, μπορούν να παρατηρηθούν πολλοί κύκλοι πριν τελικά η κίνηση αποσβεστεί. Επίσης, καθώς ο ρυθμός απώλειας της ενέργειας είναι μικρός, λόγω της μικρής απόσβεσης που προκαλεί η χαμηλή οπισθέλκουσα, η κίνηση συχνά προσεγγίζεται από μια μη αποσβενόμενη αρμονική κίνηση στην οποία η δυναμική και η κινητική ενέργεια «εναλλάσσονται». 5. Μοντέλα χαμηλότερης τάξης Έως αυτή τη στιγμή η έμφαση έχει δοθεί στην ακριβή λύση των διαμήκων εξισώσεων κίνησης που οδηγεί στην ακριβή περιγραφή των χαρακτηριστικών ευστάθειας και απόκρισης του αεροσκάφους. Στη πραγματικότητα όμως απαιτούνται μεγάλα υπολογιστικά συστήματα και επίσης, είναι δύσκολο έως αδύνατο, να διατυπωθούν ακριβείς σχέσεις που συνδέουν τα χαρακτηριστικά ευστάθειας με τα αντίστοιχα αεροδυναμικά χαρακτηριστικά του αεροσκάφους. Για τον λόγο αυτό, χρησιμοποιούνται προσεγγιστικές λύσεις, οι οποίες επιτρέπουν την κατανόηση των φυσικών διεργασιών που εμπλέκονται στη δυναμική συμπεριφορά του αεροσκάφους, χωρίς την απαίτηση τεράστιου υπολογιστικού χρόνου για την επίτευξη απόλυτης ακρίβειας. Για παράδειγμα, μια προσεγγιστική λύση της διαμήκους χαρακτηριστικής εξίσωσης (4.6) βασίζεται στο γεγονός ότι οι συντελεστές A, B, C, D και Ε έχουν σχετικές τιμές που δεν μεταβάλλονται σημαντικά, τουλάχιστον για τα συμβατικά αεροσκάφη, σύμφωνα με τον Cook [3]. Γενικά: A, B, C D, Ε Έτσι, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο παραγοντοποιείται κατά προσέγγιση ως ακολούθως: A (s 2 CD BE + C 2 s + E D ) (s2 + B A s + C A ) = 0 (4.9) Η εξίσωση (4.9) αποτελεί στην πραγματικότητα το πρώτο βήμα στην κλασσική λύση του πολυώνυμου, με το πρώτο ζεύγος των μιγαδικών ριζών να περιγράφει το φυγοειδές και το δεύτερο να περιγράφει τη μικρή περίοδο. Οι αλγεβρικές εκφράσεις για τους συντελεστές A, B, C, D και Ε συναρτήσει των αεροδυναμικών παραγώγων, της αδράνειας και της μάζας δίνονται στο παράρτημα Γ.3.1. Δεδομένου ότι αυτές οι εκφράσεις είναι σχετικά πολύπλοκες δεν μπορούν να δώσουν ικανοποιητική περιγραφή των φυσικών διεργασιών που λαμβάνουν χώρα, εκτός και αν ακολουθήσει περαιτέρω απλοποίηση των μαθηματικών σχέσεων. Από την άλλη πλευρά η προσεγγιστική σχέση (4.9) είναι χρήσιμη για την προκαταρκτική εκτίμηση των μορφών ευστάθειας, ή ως τρόπος ελέγχου των λύσεων που λαμβάνονται από κάποιο υπολογιστικό σύστημα, ενώ τέλος, για συμβατικά αεροσκάφη οι προσεγγιστικές λύσεις είναι πολύ συχνά εξαιρετικά κοντά στις πραγματικές λύσεις που δίνει η χαρακτηριστική εξίσωση.

7 5.1. Η προσέγγιση της μικρής περιόδου Τα βραχυπρόθεσμα χαρακτηριστικά απόκρισης ενός αεροσκάφους, έχουν εξαιρετική σημασία για την εκτίμηση των ικανοτήτων του από πλευράς χαρακτηριστικών πτήσης και ευκολίας χειρισμού, για τους λόγους που θα εκτεθούν σε επόμενο κεφάλαιο. Από τη στιγμή που η συμπεριφορά του αεροσκάφους στο βραχυπρόθεσμο διάστημα που ακολουθεί τη διαταραχή, κυριαρχείται από τη μορφή της μικρής περιόδου, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η εξίσωση κίνησης μειωμένης τάξης όπου παραλείπονται οι μεταβλητές κατάστασης στις οποίες επιδρά το φυγοειδές. Παρατηρώντας λοιπόν τη φύση των ταλαντώσεων της μικρής περιόδου, είναι δυνατό να απλοποιηθούν οι διαμήκεις εξισώσεις κίνησης ώστε να περιγράφουν μόνο τη βραχυπρόθεσμη δυναμική. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η ταλάντωση της μικρής περιόδου είναι σχεδόν αποκλειστικά μια ταλάντωση της οποίας οι κυρίαρχες μεταβλητές είναι ο ρυθμός πρόνευσης και η γωνία πρόσπτωσης ενώ η ταχύτητα U παραμένει ουσιαστικά σταθερή (u=0).επομένως η εξίσωση της ταχύτητας αλλά και οι όροι που εξαρτώνται από την ταχύτητα μπορούν να παραλειφθούν από τις διαμήκεις εξισώσεις κίνησης (4.1), καθώς κατά τη βραχυπρόθεσμη κίνηση αυτοί οι όροι θα ισούνται με το μηδέν. Έτσι, μπορεί να γραφεί: z w z q z θ } = [ m w m q m θ z δ e m δ e w { q w ] { q } + { } δ e (4.10) θ θ 0 Εν συνεχεία υποθέτοντας ότι η εξίσωση κίνησης αναφέρεται στους άξονες του ανέμου και το αεροσκάφος είναι αρχικά σε μόνιμη-σταθερή και οριζόντια πτήση τότε: Θ e α e = 0 και U e = V Te (4.11) Ενώ όπως προκύπτει από τις συντετμημένες εκφράσεις των παραγώγων ευστάθειας που παρατίθενται στο ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ.2.1: z θ = m θ = 0 (4.12) Τότε η εξίσωση (4.10) μπορεί να απλοποιηθεί στη μορφή: { w } = { z w z q m } { w q q } + { z δ e } δ e (4.13) m w q όπου όμως τώρα οι παράγωγοι ευστάθειας αναφέρονται στο σύστημα του ανέμου. Η εξίσωση (4.13) είναι αρκετά απλή ώστε το μητρώο της συνάρτησης μεταφοράς να μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά με εφαρμογή της εξίσωσης (4.14): G(s) = N(s) D(s) = [ s m q m w m δ e z q m δ e s z w ] { z δ e s z w z q m w s m q z δ e [s (m m δ e q z q z )] (4.14) δ e [ m δ e [s + (m z ] δ e w m z w )] δ e = s 2 (m q + z w )s + (m q z w m w z q ) Η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω παρατηρώντας ότι: m δ z e δ e z q m q και z w m w (4.15) z δ e Από το παράρτημα Δ.2.1 προκύπτει: Z q mu e και } z q = Z q + mu e U e (4.16) m Z w m Z w Έτσι, οι δύο βραχυπρόθεσμες συναρτήσεις μεταφοράς που περιγράφουν την απόκριση στην πηδάλιο ανόδου-καθόδου μπορούν να γραφούν ως: m δ e }

8 w(s) δ e (s) = z δ e (s + U e m δ e z ) δe s 2 (m q + z w )s + (m q z w m w U e ) k (4.17) w(s + 1 T a ) s 2 + 2ζ s ω s s + ω2 s q(s) δ e (s) = m δ e (s z w) s 2 (m q + z w )s + (m q z w m w U e ) k (4.18) q(s + 1/T θ2 ) s 2 + 2ζ s ω s s + ω2 s Φυσικά σε αυτή την περίπτωση γίνεται πλήρως αποδεκτό ότι τα kw, kq, Tα, Τθ2, ζs και ωs αντιπροσωπεύουν προσεγγιστικά μεγέθη. Τώρα λοιπόν είναι πολύ πιο εύκολο να συσχετιστούν οι πιο σημαντικές παράμετροι που περιγράφουν τη διαμήκη βραχυπρόθεσμη μεταβατική δυναμική απόκριση του αεροσκάφους με τις αεροδυναμικές ιδιότητες του σκάφους (airframe), οι οποίες αντιπροσωπεύονται στις εξισώσεις (4.17) και (4.18) από τη συντετμημένη μορφή των παραγώγων ευστάθειας. Πλέον η χαρακτηριστική εξίσωση μειωμένης τάξης προκύπτει: Δ(s) = s ζ s ω s s + ω s = s 2 (4.19) (m q + z w )s + (m q z w m w U e ) Σε αναλογία με την κλασσική διάταξη της μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα, η απόσβεση και η φυσική συχνότητα της μικρής περιόδου δίνονται με ικανοποιητική ακρίβεια ως: 2ζ s ω s = (m q + z w ) Απόσβεση } (4.20) ω s = m q z w m w U e Φυσική συχνότητα Τότε μπορεί να εκφραστεί η απόσβεση και η φυσική συχνότητα όπως περιγράφονται από την (4.20), αντικαθιστώντας τις εκφράσεις των συντετμημένων παραγώγων ως προς τις διαστατές παράγωγους ευστάθειας από το παράρτημα Δ.2.1, ενώ οι προηγούμενοι περιορισμοί εξακολουθούν να ισχύουν: 2ζ s ω s = ( M q I yy + Z w m + M w U e I yy ) (4.21) ω s = M q Z w I yy m M wu e I yy Παρατηρείται επίσης, ότι οι δεξιοί όροι των εξισώσεων (4.21) έχουν ως παρονομαστή είτε τη μάζα είτε τη ροπή αδράνειας πρόνευσης. Αυτοί οι όροι μπορούν να ερμηνευτούν ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως στη κλασσική διάταξη μάζαςελατηρίου-αποσβεστήρα. Ανάλογα οι αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας, περιγράφουν την ακαμψία του ελατηρίου και τη συνεκτική απόσβεση πρόνευσης αν και υπάρχουν περισσότεροι από ένας όροι που επηρεάζουν την απόσβεση και τη φυσική συχνότητα. Για τα περισσότερα συμβατικά αεροσκάφη, τα ολικά δυναμικά χαρακτηριστικά συνήθως περιγράφουν μια ευσταθή μορφή της μικρής περιόδου. Για το τυπικό συμβατικό αεροσκάφος οι αριθμητικές τιμές των σχετικών αεροδυναμικών παραγώγων ευστάθειας είναι τέτοιες ώστε χονδρικά μπορεί να γραφτεί:

9 2ζ s ω s = M q I yy (4.22) ω s = M wu e I yy Οι δύο αυτές προσεγγιστικές σχέσεις φανερώνουν τους κυρίαρχους παράγοντες που καθορίζουν τα χαρακτηριστικά της μικρής περιόδου. Συνήθως η παράγωγος ευστάθειας Z w που εξαρτάται από την κλίση της καμπύλης της άνωσης και η παράγωγος M q που κατά τον μεγαλύτερο βαθμό εξαρτάται από τις ιδιότητες απόσβεσης του ουραίου πτερώματος (οριζόντιο και κάθετο ουραίο σταθερό πτερύγιο) είναι συνήθως και οι δύο αρνητικοί αριθμοί. Η παράγωγος M w είναι ένα μέτρο της αεροδυναμικής δυσκαμψίας πρόνευσης ενώ και αυτή κυριαρχείται από την αεροδυναμική του ουραίου πτερώματος. Το πρόσημο της M w εξαρτάται από τη θέση του κέντρου βάρους και μάλιστα όσο αυτό κινείται προς τα εμπρός στην άτρακτο, τόσο μεγαλύτερες αρνητικές τιμές παίρνει αυτή η παράγωγος. Υπενθυμίζεται από το υποκεφάλαιο 2.4 του κεφαλαίου 2 περί ευστάθειας συναρτήσει του αδιάστατου συντελεστή ροπής: C mcg = C mo + C mα α (4.23) όπου C m0 = C + ηv m0 w HC Lαt (ε 0 + i w i t ) (4.24) C mα = C (x cg La w c x ac c ) ηv HC Lαt (1 dε dα ) (4.25) Έτσι, η μικρή περίοδος θα είναι ευσταθής εφόσον το κέντρο βάρους βρίσκεται αρκετά μπροστά στο αεροσκάφος. Η θέση του κέντρου βάρους στην άτρακτο, όπου η παράγωγος M w αλλάζει πρόσημο, ονομάζεται ουδέτερο σημείο με τα χειριστήρια σταθεροποιημένα: x NP c = x ac c + ηv C Lαt H (1 dε C Lα dα ) (4.26) w Έτσι, η M w, αποτελεί επίσης ένα μέτρο του περιθωρίου ευστάθειας με τα χειριστήρια σταθεροποιημένα που εκφράστηκε ως: x NP x cg (4.27) c c Σύμφωνα με τις σχέσεις (4.19), (4.20), η αντίστοιχη θέση του κέντρου βάρους, όπου η έκφραση (m q z w m w U e ) αλλάζει πρόσημο, ονομάζεται σημείο ελιγμού με τα χειριστήρια σταθεροποιημένα (controls fixed manoeuvre point) ενώ και αυτή η σχέση αποτελεί αντίστοιχα ένα μέτρο του περιθωρίου ελιγμών με τα χειριστήρια σταθεροποιημένα (controls fixed manoeuvre margin) Η προσέγγιση του φυγοειδούς Καθώς η ταλάντωση του φυγοειδούς έχει μεγάλη περίοδο, δηλαδή εξελίσσεται πολύ αργά, μπορεί να τη διαχειριστεί εύκολα ο πιλότος. Γι αυτό, σπάνια απαιτείται η ύπαρξη ενός μοντέλου μειωμένης τάξης που θα διατηρεί μόνο τη δυναμική του φυγοειδούς. Παρόλα αυτά, ένα τέτοιο μοντέλο χρησιμεύει στον προσδιορισμό των αεροδυναμικών ιδιοτήτων της κατασκευής, που καθορίζουν τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά του φυγοειδούς. Η πρώτη επιτυχής ανάλυση της δυναμικής του φυγοειδούς, πραγματοποιήθηκε από τον Lanchester (1908), όπως αναφέρεται στο [6] που, χρησιμοποιώντας τις παρατηρήσεις του σε μοντέλα ανεμοπτέρων, υπολόγισε ένα μαθηματικό μοντέλο

10 βασισμένο στην ανταλλαγή δυναμικής και κινητικής ενέργειας για να περιγράψει την κίνηση του φυγοειδούς. Η ανάλυση αυτή, η οποία μας δίνει πρόσβαση στη φυσική υπόσταση του φυγοειδούς, μπορεί να εφαρμοστεί στα σύγχρονα αεροσκάφη με την προϋπόθεση ότι θα επαναπροσδιοριστούν οι υποθέσεις που έκανε πρώτος ο Lanchester: Το αεροσκάφος αρχικά βρίσκεται σε μόνιμη-σταθερή οριζόντια πτήση. Η συνολική ενέργεια του αεροσκάφους παραμένει σταθερή. Η γωνία πρόσπτωσης α παραμένει σταθερή στην αρχική τιμή ισορροπίας. Η ώση Τ αντισταθμίζει την οπισθέλκουσα D. Η κίνηση είναι τόσο αργή, ώστε οι επιδράσεις του ρυθμού πρόνευσης q μπορούν να αμεληθούν. Ένα πιο λεπτομερές προσεγγιστικό μαθηματικό μοντέλο του φυγοειδούς μπορεί να προκύψει από τις εξισώσεις κίνησης κάνοντας απλοποιήσεις που θα προκύψουν από αντίστοιχες υποθέσεις γύρω από τη φύση της κίνησης. Μετά λοιπόν από μια διαταραχή οι μεταβλητές w και q αποκρίνονται σε χρονική κλίμακα που σχετίζεται με τη μικρή περίοδο, έτσι είναι λογικό να υποτεθεί ότι οι w και q είναι ψευδοστατικές στη μακρύτερη χρονική κλίμακα, που σχετίζεται με το φυγοειδές, όπως αναφέρεται και στα [3], [6]. Επομένως: w = q = 0 (4.28) Για μια ακόμη φορά υποτίθεται ότι οι εξισώσεις κίνησης αναφέρονται στους άξονες του ανέμου και ότι αφού η διαταραχή λαμβάνει χώρα γύρω από τη μόνιμη και οριζόντια πτήση: Θ e α e = 0 και U e = V Te (4.29) Ενώ σύμφωνα με το παράρτημα Δ.2.1: x θ = g και z θ = m θ = 0 (4.30) Ακόμη, όπως και με το μοντέλο μειωμένης τάξης της μικρής περιόδου και σύμφωνα με το παράρτημα Δ.2.1: και Z q mu e } z q = Z q + mu e U e m Z w m Z w (4.31) Επιπλέον, συνήθης υπόθεση είναι ότι η αεροδυναμική παράγωγος x q, είναι πολύ μικρή ποσότητα. Έτσι, η εξίσωση κίνησης μπορεί να απλοποιηθεί ως εξής: u x u x w 0 g u x δ e 0 z { } = [ u z w U e 0 w z δ e ] { } + { 0 m u m w m q 0 q m } δ e δ e θ θ 0 Η δεύτερη και η τρίτη γραμμή της εξίσωσης μπορεί να γραφτεί: (4.32) z u u + z w w + U e q + z δ e δ e = 0 m u u + m w w + m q q + m δ e δ e = 0 } (4.33) Επιλύοντας αλγεβρικά λαμβάνονται οι εκφράσεις για τα w και q ως προς τα u και δe. w = m uu e m q z u m q z w m w U e u + m δe U e m q z δe m q z w m w U e δ e q = m wz u m u z w u + m wz δe m δe z (4.34) u δ m q z w m w U e m q z w m w U e e } Η έκφραση για τα w και q αντικαθίστανται στην πρώτη και στην τρίτη γραμμή της εξίσωσης (4.34) και μετά από την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει η εξίσωση κατάστασης μειωμένης τάξης:

11 m u U e m q z u { u x u x w g m } = w U e m q z w u θ m u z w m w z { u θ } 0 [ m w U e m q z w ] x δe m δe U e m q z (4.35) δe m + w U e m q z w m δe z w m w z δ e δe { m w U e m q z w } Δηλαδή υπό τη μορφή: x = A p x + B p u (4.36) Η εξίσωση (4.35) μπορεί να λυθεί αλγεβρικά ώστε να μας δώσει την απόκριση της συνάρτησης μεταφοράς για τις μεταβλητές του φυγοειδούς u και θ. Όμως δεν είναι πολύ χρήσιμη η ανάλυση της μακροπρόθεσμης, δυναμικής απόκρισης ως προς το πηδάλιο ανόδου-καθόδου κατά αυτόν τον τρόπο. Η χαρακτηριστική εξίσωση που περιγράφει τη δυναμική μειωμένης τάξης του φυγοειδούς είναι πολύ πιο χρήσιμη και δίνεται από την: Δ(s) = det (sι Α p ) = 0 (4.37) όπου Δ(s) = s ζ p ω p s + ω p = s 2 (x u x w m u U e m q z u m w U e m q z w ) s (4.38) + ( m uz w m w z u ) g m w U e m q z w Έτσι, η προσεγγιστική απόσβεση και φυσική συχνότητα του φυγοειδούς λαμβάνονται ως προς ένα περιορισμένο αριθμό αεροδυναμικών παραγώγων ευστάθειας. Προβαίνοντας σε κάποιες επιπλέον παραδοχές, μπορούν να ληφθούν κάποιες πιο χονδρικές αλλά και πιο περιεκτικές προσεγγίσεις ως προς τις αεροδυναμικές ιδιότητες που καθορίζουν τα χαρακτηριστικά του φυγοειδούς. Για ένα συμβατικό αεροσκάφος σε υποηχητική πτήση μπορεί να θεωρηθεί σύμφωνα με το [3], ότι: m u 0, m u z w m w z u και m w U e m q z w (4.39) Στη συνέχεια οι αντίστοιχες εκφράσεις για την απόσβεση και τη φυσική συχνότητα γίνονται: 2ζ p ω p = x u ω p = gz u U e (4.40) Στη συνέχεια με βάση το παράρτημα Δ.2.1 και επειδή η X u είναι τόσο μικρή ώστε να μπορεί να παραληφθεί, ενώ ισχύει m Z u: x u X u m = ρv Te SX u και z 2m u Z u m = ρv Te SZ u (4.41) 2m Αντίστοιχες εκφράσεις για τις αδιάστατες αεροδυναμικές παραγώγους, όπως ορίζονται στα [5], [6], [12], δίνονται στο παράρτημα Ε. Αυτές μπορούν να προσεγγιστούν όπως στη σχέση (4.42), όπου οι βασικές αεροδυναμικές ιδιότητες υποτίθεται ότι είναι ανεξάρτητες της ταχύτητας. Αυτό προκύπτει από την υπόθεση ότι οι επικρατούσες συνθήκες πτήσης είναι υποηχητικές και επομένως οι αεροδυναμικές ιδιότητες της ατράκτου δεν επηρεάζονται από τα φαινόμενα συμπιεστότητας.

12 C D X u = 2C D V T e V + 1 τ 1 2 ρv Te S V 2C D (4.42) C L Z u = 2C L V T e V 2C L Οι εκφράσεις (4,40) μπορούν πλέον να ξαναγραφτούν ως προς τις αεροδυναμικές παραμέτρους υποθέτοντας ξανά ότι στην αντισταθμισμένη κατάσταση η άνωση είναι ίση με το βάρος του αεροσκάφους: ζ p ω p = gc D C L V T e (4.43) ω p = 2g2 g 2 U e V T V e T e Τότε η απλοποιημένη προσεγγιστική έκφραση για τον λόγο απόσβεσης είναι: ζ p = 1 C D (4.44) 2 C L Όπως είναι φυσικό, αυτές οι εκφράσεις για τον λόγο απόσβεσης και τη φυσική συχνότητα του φυγοειδούς είναι πολύ προσεγγιστικές αφού προκύπτουν βάσει πολλών παραδοχών. Σημειώνεται ότι η έκφραση για την ωp είναι η ίδια με αυτή που κατέληξε ο Lanchester, η οποία αποδεικνύει ότι η φυσική συχνότητα του φυγοειδούς είναι περίπου αντιστρόφως ανάλογη με την ταχύτητα αντιστάθμισης. Επίσης, πολύ ενδιαφέρουσα παρατήρηση είναι ότι ο λόγος απόσβεσης του φυγοειδούς είναι περίπου αντιστρόφως ανάλογος του λόγου άνωσης προς οπισθέλκουσα του αεροσκάφους. Από τη στιγμή που ένας από τους κύριους αντικειμενικούς σκοπούς του μηχανικού είναι να πετύχει μεγάλο λόγο άνωσης προς οπισθέλκουσα, γίνεται εύκολα κατανοητό για πιο λόγο η απόσβεση του φυγοειδούς είναι συνήθως πολύ χαμηλή. Συνοπτικά για τα μοντέλα χαμηλότερης τάξεως προκύπτει ότι οι κυριότερες παράγωγοι ευστάθειας που εμπλέκονται είναι οι: Μ q: απόσβεση μικρής περιόδου, Μ w: συχνότητα μικρής περιόδου, X u: απόσβεση φυγοειδούς, Z u: συχνότητα φυγοειδούς. Βιβλιογραφία/Αναφορές [3] Michael V. Cook, Flight Dynamics Principles - A Linear Systems Approach to Aircraft Stability and Control, 2nd ed. Oxford, UK: Elsevier Ltd, [5] Robert C. Nelson, Flight Stability and Automatic Control, 2nd ed. Singapore: WCB/McGraw-Hill, [6] Bernard Etkin & Lloyd D. Reid, Dynamics of Flight: Stability and Control, 3rd ed. Toronto, Canada: John Wiley & Sons, Inc., [10] Νικόλαος Ι. Κρικέλης, Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο. Αθήνα, Ελλάδα: Συμμετρία, [11] Νικόλαος Ι. Κρικέλης, Μοντελοποίηση & Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων, 3η εκ. Αθήνα, Ελλάδα: Fountas Books, [12] Robert K. Heffley & Wayne F. Jewell, "Aircraft Handling Qualities Data", NASA, Hawthorne CA, Contractor Report 1972.

13

14 Παράδειγμα - Εφαρμογή Παράδειγμα 4.1. Ακολουθεί ένα παράδειγμα μελέτης της διαμήκους δυναμικής για το αεροσκάφος Boeing 747. Δίνονται παρακάτω οι συνθήκες πτήσης και τα δεδομένα μάζας (Παράρτημα Η.1, 3η περίπτωση), ενώ το αεροσκάφος εκτελεί οριζόντια σταθερή πτήση: W e = 0 U e = V Te = 871 ft h = ft Θ sec e = 0 α e = 0 ft sec 2 Weight = lbs I y = m = Weight/ Οι τιμές των παραγώγων ευστάθειας σε αυτές τις συνθήκες, δίνονται ως προς g = το σωματόδετο σύστημα αξόνων του αεροσκάφους (3 η περίπτωση). Η αρχή των αξόνων του σωματόδετου συστήματος (Oxbybzb) βρίσκεται στο κέντρο βάρος (CG). Ο άξονας Oxb κείται πάνω στον διαμήκη άξονα του αεροσκάφους FRL. Η γραμμή της ώσης (TL-Thrust Line) σχηματίζει γωνία 2.5 σε σχέση με την FRL. X u = Z u = M u = X w = Z w = M w = X q = 0 Z q = M q = X w = 0 Z w = M w = X δe = Z δe = M δe = Γενικά, συνιστάται η επίλυση με τις εξισώσεις κίνησης και τα δεδομένα, στα συστήματα αξόνων στις μορφές και στις μονάδες που αυτά δίνονται από την εφαρμογή, διαφορετικά μπορεί να προκύψουν εύκολα πολλά λάθη στους υπολογισμούς. Στο παράδειγμα αυτό, διατηρούνται οι μονάδες του Αμερικανικού συστήματος μετρήσεων (American Imperial Units). Για τη μετατροπή από αυτό το σύστημα στο σύστημα SI, υπάρχουν διαθέσιμοι πίνακες μετατροπής των μονάδων στο παράρτημα Ζ. Από τη στιγμή που η γωνία πρόσπτωσης είναι μηδενική (αe=0) και το αεροσκάφος δεν πλαγιολισθαίνει, το σωματόδετο σύστημα, ταυτίζεται με το αεροδυναμικό και δεν απαιτείται μετασχηματισμός των δεδομένων. Στη συνέχεια εξετάζεται η επίλυση του συστήματος των εξισώσεων κίνησης του Β-747 στον χώρο κατάστασης, που έχει την εξής μορφή: u x u x w x q x θ u x δ 0 e w z u z w z q z θ w z { } = [ q m u m w m q m ] { } + δ 0 e { δ e θ q m δ 0 δ } (Π4.1) p e θ θ [ 0 0] u u w w y(t) = Ιx(t) = { } = [ ] { } (Π4.2) q q θ θ Οι τιμές των συντετμημένων παραγώγων του πίνακα Α, προκύπτουν από τις σχέσεις που δίνονται στο παράρτημα Δ.2.1 συναρτήσει των διαστατών παραγώγων ευστάθειας. Τότε το σύστημα γίνεται:

15 u w { } q θ u w = [ ] { } q θ [ ] { δ e δ } p 0 0 (Π4.3) Ιδιοδιανυσματική ανάλυση Το περιεχόμενο της κάθε μορφής για κάθε μεταβλητή κίνησης, δίνεται με μεγαλύτερη ακρίβεια από τα ιδιοδιανύσματα. Μέσω κάποιου υπολογιστικού πακέτου όπως το Matlab, μπορεί να υπολογιστεί αριθμητικά ο διαγώνιος πίνακας των ιδιοτιμών Λ: Λ = [ i i i i ] (Π4.4 ) λ s λ s 0 0 Λ = 0 0 λ p 0 [ λ p] ενώ ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων V προκύπτει: V i i = [ 4 i i (Π4.5) i 10 4 ] i i i i i Οι λs και λp, καθώς και οι συζυγείς τους λp * και λs * είναι οι ιδιοτιμές που σχετίζονται με την ταλάντωση πρόνευσης της μικρής περιόδου και του φυγοειδούς αντίστοιχα. Επίσης, κατασκευάζεται ο πίνακας των μέτρων των ιδιοδιανυσμάτων ως εξής: u w V magn = q (Π4.6) θ Διαπιστώνεται ότι η κυρίαρχη μορφή στη μεταβλητή u είναι το φυγοειδές αφού >> H μικρή περίοδος κυριαρχεί στην κάθετη ταχύτητα w αφού >> , όμοια και στην q αφού >> ενώ η μικρή περίοδος και το φυγοειδές έχουν ισορροπημένη συμμετοχή στη θ. Τα ίδια συμπεράσματα προκύπτουν παρατηρώντας τις αποκρίσεις στο σχήμα Π4.1. Ο εκθετικός πίνακας ορίζεται ως: e Λt e i = [ 0 e i 0 0 (Π4.7) 0 0 e i ] e i Το μητρώο των ιδιοσυναρτήσεων Ve Λt επομένως έχει μιγαδικά μη μηδενικά στοιχεία και κάθε γραμμή περιγράφει το δυναμικό περιεχόμενο της μεταβλητής

16 κατάστασης με την οποία σχετίζεται. Για παράδειγμα η πρώτη γραμμή περιγράφει το δυναμικό περιεχόμενο της διαταραχής ταχύτητας u και αποτελείται από τα ακόλουθα τέσσερα στοιχεία: i ( i)e [V e Λt i ] 1n = ( i)e, n i e (Π4.8) { i e = 1,2,3,4 Τα πρώτα δύο στοιχεία περιγράφουν την ταλάντωση μικρής περιόδου ως προς την πρόνευση σε μια διαταραχή της ταχύτητας και τα επόμενα δύο περιγράφουν το φυγοειδές. Παρατηρείται ότι τα μέτρα των ιδιοδιανυσμάτων (δηλ. οι όροι στις παρενθέσεις) που σχετίζονται με το φυγοειδές είναι τα μεγαλύτερα και επομένως η δυναμική του φυγοειδούς είναι αυτή που κυριαρχεί στη διαταραχή ταχύτητας. Από την άλλη πλευρά η ταλάντωση της μικρής περιόδου ως προς την πρόνευση μόλις που είναι ορατή. Προφανώς αυτή η παρατήρηση μπορεί να γίνει για όλες τις μεταβλητές κατάστασης με απλή εξέταση των μητρώων των ιδιοδιανυσμάτων και των ιδιοτιμών. Αυτή η ιδιότητα μας εξυπηρετεί ιδιαίτερα για τη μελέτη της απόκρισης του αεροσκάφους ειδικά όταν οι τύποι της ευστάθειας είναι συγκεχυμένοι ή όταν υφίσταται κάποιας μορφής σύζευξη των μορφών ευστάθειας Επαύξηση μοντέλου - Απόκριση στο πηδάλιο ανόδου-καθόδου Όπως είναι γνωστό ο λόγος απόσβεσης και η φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση (πληροφορίες που περιλαμβάνονται στις ιδιοτιμές) χαρακτηρίζουν τις μορφές της ευστάθειας Για την εκτίμηση των χαρακτηριστικών ευκολίας χειρισμού (handling qualities) είναι πολύ χρήσιμος ο προσδιορισμός των μεταβλητών της γωνίας πρόσπτωσης α και της γωνίας του ίχνους πτήσης γ. Η μέθοδος του χώρου κατάστασης παρέχει τη δυνατότητα της άμεσης εισαγωγής επιπλέον μεταβλητών στο σύστημα με τη μέθοδο της επαύξησης του μοντέλου κατάστασης. Για κίνηση μικρών διαταραχών, όπου U e V Te όταν η διαταραχή τείνει στο μηδέν, η γωνία πρόσπτωσης όπως προκύπτει από τις σχέσεις (3.29)-(3.33): α tan α = w (Π4.9) Η γωνία πρόσπτωσης μπορεί να συμπεριληφθεί στη διαμήκη εξίσωση κατάστασης με δύο τρόπους. Είτε η γωνία μπορεί να προστεθεί στο διάνυσμα εξόδου y (t) χωρίς αλλαγή του διανύσματος κατάστασης x (t), είτε μπορεί να αντικαταστήσει την κάθετη ταχύτητα w στο διάνυσμα κατάστασης. Όταν η εξίσωση εξόδου επαυξάνεται (1 η περίπτωση) η (Π4.2) γίνεται: V Te

17 u u w w y(t) = q = { } q θ 1 { α} θ [ V Te ] (Π4.10) [I] 4 4 = x(t) [ V Te ] Η γωνία του ίχνους πτήσης γ μπορεί να αποδειχθεί ότι δίνεται από τη σχέση: γ = θ α θ w (Π4.11) Τότε η εξίσωση εξόδου γίνεται: u w u q w y(t) = θ = { } (Π4.12) q α θ { γ } [ ] Ο κοινός πολυωνυμικός παρονομαστής (χαρακτηριστικό πολυώνυμο) των ΣΜ προκύπτει ως: Δ(s) = (s s )(s s ) (Π4.13) Τα πολυώνυμα των αριθμητών των ΣΜ, προκύπτουν ως: N u δe (s) = (s )(s s ) (Π4.14) Ν w δe (s) = 18.65(s )(s s ) (Π4.15) N q δe (s) = s(s )(s ) (Π4.16) N θ δe (s) = (s )(s ) (Π4.17) N α δe (s) = (s )(s 2 (Π4.18) s ) N γ δe (s) = (s )(s )(s ) (Π4.19) Το πρώτο ζεύγος των μιγαδικών ριζών περιγράφει την ταλάντωση πρόνευσης της μικρής περιόδου με χαρακτηριστικά: ζ s = ω s = rad sec Το δεύτερο ζεύγος των μιγαδικών ριζών περιγράφει τη φυγοειδή ταλάντωση με χαρακτηριστικά: ζ p = ω p = rad/sec Αυτά τα χαρακτηριστικά μας αποκαλύπτουν ότι αναφερόμαστε σε ένα αεροδυναμικά ευσταθές αεροσκάφος. Αργότερα θα αναλυθεί γιατί ο λόγος απόσβεσης της μικρής περιόδου είναι χαμηλός. Η απόκριση του αεροσκάφους σε είσοδο βαθμίδας στο πηδάλιο ανόδου καθόδου (δ e = 1 ) φαίνεται στο σχήμα Π4.1, όπου απεικονίζονται όλες οι μεταβλητές των εξισώσεων κίνησης. Οι αποκρίσεις που παρουσιάζονται στο σχήμα Π4.1, όπως προκύπτουν από το επαυξημένο μοντέλο, δείχνουν καθαρά και τις δύο μορφές της δυναμικής ευστάθειας, το φυγοειδές και τη μικρή περίοδο. Η σημασία (magnitude) της κάθε μορφής ευστάθειας ως προς κάθε μεταβλητή διαφέρει. Για παράδειγμα η ταλάντωση μικρής V Te

18 περιόδου είναι περισσότερο ορατή στο αρχικό μέρος των αποκρίσεων (initial transient) στις μεταβλητές w, q και α, ενώ το φυγοειδές είναι ορατό σε όλες τις μεταβλητές, αν και το σχετικό του μέγεθος διαφέρει αρκετά. Παρατηρείται ότι η ευστάθεια των αποκρίσεων είναι όμοια και ορίζεται όπως προαναφέρθηκε από τον κοινό παρονομαστή των συναρτήσεων μεταφοράς, αλλά οι διαφορές κάθε μιας από τις μεταβλητές απόκρισης που φαίνονται καθορίζονται από τους αριθμητές κάθε συνάρτησης μεταφοράς. Σχήμα Π4.1 Απόκριση του αεροσκάφους σε είσοδο βαθμίδας του πηδαλίου ανόδου-καθόδου Να σημειωθεί εδώ, ότι στα διάφορα λογισμικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν, και συγκεκριμένα στο Matlab, η χρήση της έτοιμης συνάρτησης step() για τη λήψη των αποκρίσεων σε είσοδο βαθμίδας αντιστοιχεί σε είσοδο 1 rad και όχι 1. Για διέγερση 1, οι συναρτήσεις μεταφοράς πρέπει να πολλαπλασιαστούν με π/180=1/57,3. δ e (s) = 1 s [ ] = π 180 [rad] = [rad] (Π4.20) Επίσης, κατά την κατάστρωση του χώρου κατάστασης λαμβάνονται μηδενικές αρχικές συνθήκες, που σημαίνει ότι οι αποκρίσεις που προκύπτουν, αντιστοιχούν στις διαταραχές από την αρχική κατάσταση. Με εφαρμογή του θεωρήματος τελικής τιμής προσδιορίζονται οι τιμές μόνιμης κατάστασης των μεταβλητών μετά από τη διέγερση. Έτσι, για παράδειγμα ο

19 μετασχηματισμός Laplace της απόκρισης της ταχύτητας σε 1 μετατόπιση του πηδαλίου ανόδου-καθόδου γίνεται : u(s) Δ(s) = (s )(s s ) (Π4.21) (s s )(s s ) u(s) = (s )(s s ) 1 1 (s s )(s s ) s 57.3 (Π4.22) Εφαρμόζοντας το θεώρημα τελικής τιμής: u(s) ss (s )(s s ) 1 1 = lim s (Π4.23) s 0 (s s )(s s ) s 57.3 = ft/sec Όπως προαναφέρθηκε, επειδή η είσοδος είναι θετική κατά την έννοια της πτώσης της κεφαλής του αεροσκάφους, η απόκρισή του καταλήγει σε μια μικρή και σταθερή αύξηση της ταχύτητας. Με παρόμοιο τρόπο προκύπτουν οι αποκρίσεις μόνιμης κατάστασης όλων των μεταβλητών κίνησης: u w q θ α { γ } = ft sec = m/sec ft sec = m/sec rad/sec rad = deg rad = deg rad = deg } (Π4.24) steady state { Παρόλο που η αρχική απόκριση παρουσιάζεται κατά την έννοια της πτώσης της κεφαλής του αεροσκάφους, παρατηρώντας τις αποκρίσεις μόνιμης κατάστασης, γίνεται αντιληπτό ότι μετά την αρχική, μεταβατική απόκριση το αεροσκάφος διατηρεί μια ελαττωμένη γωνία πρόσπτωσης, αυξημένη στάση πρόνευσης και πετά σε ένα ίχνος ανόδου με γωνία γss = Μοντέλα μειωμένης τάξης Στη συνέχεια εφαρμόζεται το μοντέλο μειωμένης τάξης που αντιστοιχεί στην προσέγγιση της μικρής περιόδου όπως δίνεται από την εξίσωση (4.13): { w } = [ q ] {w q } + [ ] {δ e} (Π4.25) Ενώ υπενθυμίζεται από την (Π4.9): α tan α = w V Te Η επίλυση των εξισώσεων κίνησης (Π4.25) μας δίνει τις ακόλουθες συναρτήσεις μεταφοράς: w(s) 18.65(s ) = δ e (s) s 2 (Π4.26) s q(s) 1.271(s ) = δ e (s) s 2 (Π4.27) s Η συνάρτηση μεταφοράς που περιγράφει τη βραχυπρόθεσμη απόκριση της πρόνευσης στη προσέγγιση της μικρής περιόδου, προκύπτει άμεσα από τη συνάρτηση μεταφοράς της γωνιακής ταχύτητας q: θ(s) δ e (s) = 1 q(s) s δ e (s) = 1 s 1.271(s ) s 2 (Π4.28) s Εφαρμόζοντας το θεώρημα τελικής τιμής στη συνάρτηση του ρυθμού πρόνευσης q, με την εφαρμογή μοναδιαίας θετικής εισόδου βαθμίδας στο πηδάλιο ανόδου- καθόδου, προκύπτει:

20 1.271(s ) q(s) ss = lim s s 0 s s s = rad (Π4.29) sec Το αποτέλεσμα υποδεικνύει ότι η κεφαλή του αεροσκάφους θα έχει ανοδική πορεία έως ότου η διέγερση από τα πηδάλια ανόδου-καθόδου σταματήσει. Αυτό επιβεβαιώνεται και από τη συνάρτηση μεταφοράς της πρόνευσης, δεδομένου ότι, μετά από τη χρονική στιγμή όπου αποσβένεται πλήρως η μικρή περίοδος, το αεροσκάφος συμπεριφέρεται ως ένας ιδανικός ολοκληρωτής ως προς την πρόνευση. Αυτό δεικνύεται από την παρουσία του παράγοντα s στον παρονομαστή της εξίσωσης (Π4.28). Στην πραγματικότητα η δυναμική του φυγοειδούς συνήθως εμποδίζει την εξέλιξη αυτής της κατάστασης εκτός και αν η είσοδος είναι πολύ μεγάλη και επιπλέον συνοδεύεται από αύξηση της ώσης στο αεροσκάφος, οπότε και καταλήγει στην πραγματοποίηση του ελιγμού στροφής στο κατακόρυφο επίπεδο. Φυσικά το μαθηματικό μοντέλο που αναλύεται εδώ είναι τελείως ακατάλληλο για την ανάλυση μιας κίνησης τέτοιου μεγάλου εύρους. Από το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του προσεγγιστικού μοντέλου μειωμένης τάξης της μικρής περιόδου προκύπτουν οι προσεγγιστικές τιμές του λόγου απόσβεσης και της φυσικής συχνότητας χωρίς απόσβεση της μικρής περιόδου: ζ s = ω s = [ rad s ] (Π4.30) Ενώ είναι προφανές ότι αυτές οι τιμές συγκρίνονται πολύ ικανοποιητικά με τις ακριβείς τιμές όπως προέκυψαν από το πλήρες μοντέλο. Παρατηρώντας τη βραχυπρόθεσμη απόκριση του μοντέλου μειωμένης τάξης για τις μεταβολές του πηδαλίου ανόδου-καθόδου γίνεται πιο κατανοητό το φαινόμενο. Στο σχήμα Π4.2 φαίνεται η απόκριση στη μοναδιαία είσοδο βαθμίδας του πηδαλίου ανόδου-καθόδου των εμπλεκόμενων μεταβλητών. Στην ίδια εικόνα φαίνονται και οι αντίστοιχες αποκρίσεις του πλήρους μοντέλου όπως προέκυψαν προηγουμένως.

21 Σχήμα Π4.2. Αποκρίσεις μοντέλου μειωμένης τάξης της μικρής περιόδου-σύγκριση με το πλήρες μοντέλο Είναι φανερό ότι οι αποκρίσεις αποκλίνουν με την πάροδο του χρόνου, όπως ήταν αναμενόμενο, καθώς στο μοντέλο μειωμένης τάξης δεν συμμετέχει η δυναμική του φυγοειδούς. Παρόλα αυτά, για τα περίπου πρώτα δέκα δευτερόλεπτα, η σύγκριση των δύο μοντέλων μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το μοντέλο μειωμένης τάξης είναι αποδεκτό για τη μελέτη της βραχυπρόθεσμης απόκρισης. Για την εφαρμογή του μοντέλου ελαττωμένης τάξης του φυγοειδούς, όπως αναλύθηκε στην αντίστοιχη παράγραφο, η εξίσωση κατάστασης που αναφέρεται στους άξονες του ανέμου είναι : m u U e m q z u { θ u x u x w g } = m w U e m q z w u m u z w m w z { u θ } 0 [ m w U e m q z w ] x δe m δe U e m q z (Π4.31) δe m + w U e m q z w m δe z w m w z δ e δe { m w U e m q z w } Για τη σύγκριση με τα αποτελέσματα του παραδείγματος 4.1., απλά θα χρησιμοποιηθούν οι προσεγγιστικές σχέσεις που προέκυψαν από την ανάλυση για τα χαρακτηριστικά του φυγοειδούς:

22 2ζ p ω p = x u ω p = gz u U e (Π4.32) Άρα λαμβάνοντας τις τιμές των απαραίτητων παραγώγων από τα δεδομένα του αεροσκάφους: x u = [ l s ] z u = [ l s ] m u = [ rad ft ] ft 2] = [ g = 9.81 [ m s s 2] U e = V Te = 871 [ ft s ] Εφόσον γίνεται αναφορά σε υποηχητική πτήση, η παράγωγος mu είναι μικρή ως αναμενόμενο, γεγονός που συμβαδίζει με το μοντέλο. Τα προσεγγιστικά χαρακτηριστικά αυτού του μοντέλου θα είναι: ζ p = ω p = rad s Και πάλι συγκρίνοντας αυτές τις τιμές με τις ακριβείς τιμές του πλήρους μοντέλου παρατηρείται ότι είναι παραπλήσιες. Επειδή ο λόγος απόσβεσης είναι πάντοτε μικρός (σχεδόν μηδενικός) είναι πολύ ευαίσθητος στα λάθη στρογγυλοποίησης και στις υποθέσεις που έχουν γίνει για την εκτίμησή του κάτι που καθιστά δύσκολο τον ακριβή υπολογισμό του. Στο παράδειγμά μας η προσέγγιση είναι αρκετά ακριβής διότι όπως και προηγουμένως η ταχύτητα του αεροσκάφους είναι υποηχητική κάτι που ταιριάζει σε ικανοποιητικό βαθμό με τις υποθέσεις που έγιναν κατά την κατάστρωση αυτού του μαθηματικού μοντέλου Απόκριση Συχνότητας Για την εκτίμηση της διαμήκους απόκρισης του αεροσκάφους Β-747 στο πεδίο της συχνότητας για τις ίδιες συνθήκες πτήσης, χρησιμοποιούνται οι συναρτήσεις μεταφοράς όπως προκύπτουν από το χαρακτηριστικό πολυώνυμο (Π4.13) και τους αριθμητές (Π4.14)-(Π4.19). Στο σχήμα Π4.3, παρουσιάζονται τα αντίστοιχα διαγράμματα Bode. Σχήμα Π4.3 Διαγράμματα Bode της διαταραχής της ταχύτητας

23 Όπως αναλύεται και στο παράρτημα Β.2.4., τα διαγράμματα Bode παρουσιάζουν την απόκριση μόνιμης κατάστασης t ενός συστήματος το οποίο έχει ημιτονοειδή είσοδο σταθερού εύρους και της οποίας η συχνότητα μπορεί να μεταβάλλεται σε κάποια περιοχή. Γενικά μπορεί να σχολιαστεί ότι: Για χαμηλή απόσβεση η καμπύλη του κέρδους παρουσιάζει απότομο μέγιστο στη συχνότητα θλάσης. Εφόσον, όπως προέκυψε και από την ιδιοδιανυσματική ανάλυση, η μορφή της μικρής περιόδου, η οποία κυριαρχεί στις αποκρίσεις των w (άρα και της α) και q, έχει σχετικά χαμηλό λόγο απόσβεσης. Αυτό επιβεβαιώνεται από το ελαφρό μέγιστο που παρουσιάζεται στη συχνότητά της, στην καμπύλη κέρδους της γωνίας πρόσπτωσης. Όσον αφορά την καμπύλη της φάσης, όταν η απόσβεση είναι χαμηλή, παρουσιάζεται έντονη κλίση στην περιοχή της συχνότητας θλάσης η οποία αποτελεί και σημείο καμπής. Αυτό παρατηρείται και στα τρία διαγράμματα φάσης και κυρίως στη συχνότητα της μικρής περιόδου. Όταν ένα ζεύγος μιγαδικών πόλων ή μηδενιστών βρίσκεται κοντά στον φανταστικό άξονα παρουσιάζεται χαρακτηριστικό μέγιστο ή ελάχιστο στην καμπύλη του κέρδους με έντονη κλίση της καμπύλης φάσης στη συχνότητα θλάσης. Παρατηρώντας τις συναρτήσεις μεταφοράς και τα διαγράμματα, αυτό επιβεβαιώνεται και για τις τρεις μεταβλητές u, w, q. Μηδενιστής στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο, συνεπάγεται ελάχιστο στην καμπύλη του κέρδους και μείωση της φάσης κατά 180. Κάτι τέτοιο δεν είναι εμφανές στα διαγράμματα Π4.3 και επιβεβαιώνεται παρατηρώντας τις αντίστοιχες ΣΜ. Το κέρδος είναι ανάλογο της ευαισθησίας της απόκρισης στην εντολή εισόδου. Η πιο ευαίσθητη μεταβλητή είναι σαφώς η ταχύτητα u. Το αρνητικό κέρδος σε μια περιοχή συχνοτήτων που παρατηρείται στο διάγραμμα της γωνίας πρόσπτωσης, σημαίνει ότι αλλάζει το πρόσημο της απόκρισης.